Document 2738497

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Е.А.РАПОЦЕВИЧ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАМЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие
для студентов всех форм обучения
по направлению
«Экономика»
НОВОСИБИРСК 2012
1
Издается в соответствии с планом учебно-методической работы
Рецензенты:
О 74-1
Рапоцевич Е.А.
Теория вероятностей и математическая статистика. - Новосибирск: Издательство
СибАГС, 2012. − 94 с.
Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
предназначено для студентов всех форм обучения по программам бакалавриата направления
«экономика». Включает в себя информацию по основным разделам теории вероятностей и
математической статистики, примеры решения основных типов задач, большое количество
задач для организации самостоятельной работы студентов.
ББК 22.1 я 77
О 74-1
СибАГС, 2012
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................. Ошибка! Закладка не определена.
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ....................................................................... 7
ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ................................................................................ 13
§ 2.1. Классическое определение вероятности события .......................................................... 13
§ 2.2. Действия над событиями................................................................................................... 15
§ 2.3. Теорема сложения вероятностей ...................................................................................... 17
§ 2.4. Понятие условной вероятности ........................................................................................ 19
§ 2.5. Теорема умножения вероятностей ................................................................................... 21
§ 2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса ........................................................... 23
§ 2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли ................................................................... 27
ТЕМА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .................. 32
§ 3.1. Общие определения ........................................................................................................... 32
§ 3.2. Дискретные случайные величины и основные законы распределения ....................... 32
§ 3.3. Понятие интегральной и дифференциальной функции распределения ...................... 34
§ 3.4. Непрерывные случайные величины и основные законы распределения .................... 35
§ 3.5. Действия над случайными величинами и основные числовые характеристики ........ 38
§ 3.6. Неравенство Чебышева и интегральная теорема Муавра — Лапласа ......................... 50
ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ ...................................... 55
§4.1 Основные определения ........................................................................................................ 55
§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки ...................................... 56
§4.3. Графическое изображение статистического распределения .......................................... 58
§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета ..................................................................... 60
ТЕМА 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .............. 62
§5.1 Точечные оценки .................................................................................................................. 62
§ 5.2. Интервальные оценки ........................................................................................................ 62
ТЕМА 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ .................................................................... 68
§ 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез ................................................... 68
§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной
совокупности некоторому значению ......................................................................................... 69
§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально распределенной
генеральной совокупности некоторому значению ................................................................... 70
3
§ 6.4. Проверка гипотезы о доле признака ................................................................................ 72
§ 6.5. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности ........................ 73
§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных
генеральных совокупностей ........................................................................................................ 76
ПРИЛОЖЕНИЕ ............................................................................................................................ 80
4
Предисловие
Вниманию читателей предлагается учебное пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», предназначенное для студентов всех форм обучения по программам бакалавриата направления «экономика». Эта дисциплина является федеральным компонентом цикла
ЕН. Включает в себя информацию по основным разделам теории вероятностей и математи-
ческой статистики, примеры решения основных типов задач, большое количество задач для
организации самостоятельной работы студентов.
В конце каждого параграфа имеются типовые задачи с решениями, которые могут послужить основой для проведения практических занятий, а также задачи, предназначенные для самостоятельного
решения. Детальность решения типовых задач и наличие дополнительных задач позволяют студенту
самостоятельно изучить материал, что делает его пригодным для организации дистанционной технологии обучения.
Следует отметить, что большинство учебников по теории вероятностей, опубликованных в
нашей стране, либо вообще не содержат прикладных примеров, либо эти примеры имеют «однобокую окраску». Но очевидно, что для эффективного использования на практике полученных знаний
студент должен уметь самостоятельно строить математические модели для конкретных прикладных
задач. По этой причине в пособии приводятся разнообразные примеры экономического характера,
позволяющие студенту глубже понять смысл изучаемого курса.
5
ВВЕДЕНИЕ
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Б. Паскаль и П. Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Х. Гюйгенс ввел основные понятия
теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание
для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), в своей работе, которая вышла в 1657 году. Важный
вклад в теорию вероятностей внёс Я. Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел
в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в
развитие теории вероятностей внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М.
Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема,
а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила
благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Математическая статистика − наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения
результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
Математическая статистика − раздел математики, разрабатывающий методы регистрации,
описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Выделяют описательную статистику, теорию
оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих
предположений о вероятностной природе данных. Методы оценивания и проверки гипотез
опираются на вероятностные модели происхождения данных. В математической статистике
оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и
др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.
В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов,
посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или
функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения
с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о
симметрии распределения и др.
Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением
адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они
используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
Применение возможностей программы Microsoft Excel избавит вас от громоздких вычислений и доставит вам истинное удовольствие в изучении этой дисциплины.
6
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил — правила умножения и правила сложения.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент a ) можно выбрать n способами, а второй объект (элемент b ) — m способами, то оба объекта ( a и b ) в
указанном порядке можно выбрать n m способами.
Правило сложения: если некоторый объект (элемент a ) можно выбрать n способами, а объект
(элемент b ) — m способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов ( a и b ) можно выбрать n m способами.
Основные виды комбинаций — это перестановки, размещения и сочетания.
Выборкой объема k из множества, содержащего n элементов, называется подмножество отобранных любым способом k элементов (k n). Если порядок расположения элементов выборки принимают во внимание, то выборка называется упорядоченной. Иначе выборка называется неупорядоченной. Если некоторые элементы множества встречаются в выборке несколько раз, то выборка
называется выборкой с возвращениями, иначе — выборкой без возвращений.
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют всевозможные двузначные числа. Это пример упорядоченной
выборки объема 2 с возвращениями.
Из группы, состоящей из 10 человек, выбирают двух дежурных. Это пример неупорядоченной
выборки без возвращений.
Размещением без возвращений из n элементов по k элементов называется упорядоченная выборка без возвращений объема k из множества, содержащего n элементов. Число размещений без возn!
.
вращений из n элементов по k элементов обозначается Ank и определяется по формуле Ank
(n k )!
Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо
порядком их расположения.
Примеры:
1. Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов.
Сколькими способами можно разместить заказы?
Так как все заводы различны и из условия ясно, что каждый завод может либо получить один
заказ, либо не получить ни одного, нужно считать число размещений
7!
A73
7 6 5 210.
(7 3)!
2. Сколько существует различных вариантов выбора четырех кандидатур из девяти специалистов для поездки в четыре различные страны?
9!
9!
A94
9 8 7 6 3 024.
(9 4)! 5!
3. Сколькими способами можно рассадить четырех студентов на 25 местах?
Искомое число способов равно числу размещений из 25 по 4:
25!
A254
25 24 23 22 303 600.
(25 4)!
Перестановкой без возвращений из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Число перестановок без возвращений обозначается Pn и определяется по формуле Pn = Ann = n!
7
Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из n элементов — значит
выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг
от друга только порядком следования элементов.
Примеры:
1. Сколькими способами можно переставить в очереди пять человек?
P5 5! 5 4 3 2 1 120 .
2. Сколько различных слов можно составить перестановкой букв из слова алгоритм (без учета
их смыслового значения)?
P8 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 4 032 .
3. Сколькими способами можно разместить шесть студенческих групп в шести аудиториях?
P6 6! 6 5 4 3 2 1 720 .
4. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы они
не могли «взять» друг друга?
Ясно, что в этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали шахматной доски может
быть расположено только по одной ладье. Число возможных позиций — число перестановок из восьми элементов: P8 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 4 032 .
Размещением с возвращениями из n элементов по k элементов называется упорядоченная выборка с возвращениями объема k из множества, содержащего n элементов. Число размещений с возвращениями обозначается Ank и определяется по формуле Ank n k .
Примеры:
1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
A52 52 25.
2. Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если та же самая
цифра может повторяться несколько раз?
Из цифр 0, 1, 2 можно составить A43 34 81. Но числа, записанные четырьмя цифрами, первая
из которых ноль, не являются четырехзначными. Значит, из числа размещений с повторениями
надо вычесть число таких выборок, которые начинаются с нуля. Последних столько, сколько
трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2 при повторении цифр. Таких чисел
A33 33 27. Поэтому ответ: 81 – 27 = 54.
3. В гостинице десять комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько
существует вариантов размещения прибывших четырех гостей?
Каждый следующий гость из четырех может быть помещен в любую из десяти комнат, поэтому
общее число размещений, по формуле размещений с повторениями, равно A104 10 4 10 000 .
Сочетанием без возвращений из n элементов по k элементов называется неупорядоченная
выборка без возвращений объема k из множества, содержащего n элементов. Число различных сочеn!
. Любые два сотаний без возвращений обозначается Cnk и определяется по формуле Cnk
( n k )! k !
четания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов.
Полезны следующие свойства: C n0 = 1; Cnn = 1; C n1 = n; Cnk Cnn k (правило симметрии);
Cnk
Cnk 1 Cnk 11 (правило Паскаля).
Примеры:
8
1. Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех заказов. Сколькими
способами можно разместить заказы?
Способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы
7!
35.
получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний C73
4!3!
2. Сколькими способами можно назначить трех дежурных из двадцати человек?
20! 18 19 20
3
1 140.
По формуле сочетаний имеем C20
17!3!
1 2 3
3. Сколькими способами из семи человек можно выбрать комиссию, состоящую из трех человек?
7! 7 6 5
35.
По формуле сочетаний имеем C73
4!3! 1 2 3
Сочетанием с возвращениями из n элементов по k элементов называется неупорядоченная
выборка с возвращениями объема k из множества, содержащего n элементов. Число различных соче(n k 1)!
таний с возвращениями обозначается C nk и определяется по формуле Сnk Cnk k 1
.
k!(n 1)!
Примеры:
1. Сколько
имеется
различных
целых
неотрицательных
решений
уравнения
x1 x2 x3 x4 7 ?
Имеем n 4 , k 7 . Используя формулу сочетаний с повторениями (возвращениями), имеем
10 9 8
C nk Cnk k 1 Cnn k1 1 C44 71 1
120 .
1 2 3
2. . В магазине продается десять видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта.
Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.
Число равновозможных заказов вычисляется по формуле сочетаний с повторениями
3
3
3
C 10 C10
C12
220 .
3 1
Основные комбинаторные понятия можно свести в следующую схему, представленную на рис. 1.
ВЫБОРКА
С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
с учетом
порядка
k
n
A
без учета
порядка
С учетом
порядка
БЕЗ ВОЗВРАЩЕНИЯ
с учетом
порядка
С учетом
порядка
k
k
n
n
k
k
Рис.n1 Классификация комбинаторных
n понятий
С
С
A
A
без учета
порядка
С учетом
порядка
Cnk
Сnk
9
Вычисления перестановок с повторениями, которые можно сделать из элементов n1, n2, n3, …, nk
n!
определяются по формуле P(n1 , n2 , ..., nk )
, где n1 + n2 + … + nk = n. Причем Cnk = P (k, n – k).
n1!n2 !...nk !
Примеры:
1. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «колобок»?
Общее число букв n 7 , число различных букв k 4 . Число букв «к» равно n1 2 (элементы
первого типа). Число букв «о» равно n2 3 (элементы второго типа). Число букв «л» равно n3 1
(элементы третьего типа). Число букв «б» равно n4 1 (элементы четвертого типа). Применяя для
7!
420 . Обраэтих данных формулу перестановок с повторениями, получим P7 (2, 3, 1, 1)
2! 3! 1! 1!
тите внимание, что исходные данные задачи связаны соотношением 2 + 3 + 1 + 1 = 7.
2. Сколькими способами можно разделить четыре яблока, три груши и два апельсина между девятью детьми, если каждому нужно дать хотя бы по одному фрукту?
9!
1 260 .
Применяя формулу перестановок с повторениями, получим P9 (4, 3, 2)
4! 3! 2!
3. Девять человек размещаются в гостинице в четырехместный, трехместный и двухместный
номера. Сколько существует способов размещения?
9!
1 260 .
Применяя формулу перестановок с повторениями, получим P9 (4, 3, 2)
4! 3! 2!
Кроме этих основных комбинаторных понятий при решении задач бывает полезным использование понятия пар и комбинаций. Из m элементов множества А={a1, a2, …, am} и n элементов множества В={b1, b2, …, bn} составляются упорядоченные пары вида (ai, bj). Для подсчета числа таких пар
нужно перемножить мощности этих множеств, т.е. n m. Если у нас есть k множеств, которые содержат соответственно n1, n2, …, nk элементов и из каждого множества извлекается по одному элементу и помещается на соответствующее место в последовательность длины k, то полученная упорядоченная последовательность из k элементов называется комбинацией. Для подсчета общего числа
возможных комбинаций необходимо перемножить между собой количество элементов в этих множествах, т.е. n1 n2 … nk.
Задания для самостоятельного решения:
1. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля:
командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера — из
числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач — из числа
8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?
2. В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить
конверт и марку?
3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «конверт»?
4. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не «били» друг друга?
5. Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник
совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовало в
совещании, если было всего 78 рукопожатий?
10
6. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
7. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь к театральной кассе?
8. Имеется 5 одинаковых с виду замков и 5 похожих ключей. Сколько попыток надо сделать,
чтобы установить, какой замок открывается каким ключом.
9. Вася собрал 15 васильков и 10 маргариток и решил подарить их двум девочкам — Марго и
Рите. Сколькими способами он может разделить свои цветы на два букета, если хочет, чтобы у каждой девочки было хотя бы по одному васильку и не менее двух маргариток?
10. Сколькими способами можно посадить 7 мужчин и 7 женщин за круглый стол так, чтобы две
женщины не сидели рядом?
11. На школьном вечере присутствуют 12 юношей и 15 девушек. Сколькими способами можно
выбрать из них 4 пары для танца?
12. Кодовый замок открывается одновременным нажатием трех цифр из десяти. Какое наибольшее количество вариантов кодов необходимо перебрать, чтобы гарантировать открытие двери?
13. Сколькими способами можно выбрать старосту, профорга и спорторга в студенческой группе
из 20 человек?
14. Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех горизонтальных
полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно составить, имея в распоряжении
материал 6 цветов?
15. В лифте, останавливающемся на семи этажах, едет 10 человек. Каждый из них независимо
друг от друга может сойти на любом этаже. Сколькими способами они могут это сделать?
16. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего
есть 5 солдат и 3 офицера?
17. Сколько различных билетов с указанием станции отправления и станции назначения можно
отпечатать для железной дороги, на которой 50 станций?
18. Сколькими способами можно составить международную команду из 9 человек, если в наличии имеются 3 вида рас.
19. Карты экспресс-оплаты сотового оператора имеют PIN-код из 25 цифр (0 ... 9) и защитный серийный код из 5 цифр (0 ... 4). Какое число карт можно сгенерировать, используя эти данные?
20. Во втором семестре студенты изучают 8 дисциплин. Выясните, сколькими способами можно
составить расписание экзаменов на сессию, если в течение ее будут сдаваться 5 дисциплин.
21. В музей приехали 10 экспозиций. Сколькими способами можно выставить эти экспозиции в
один день, если учесть, что музей может вместить 4 экспозиции?
22. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать
набор из 12 открыток? из 8 открыток?
23. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?
24. В качестве памятных сувениров в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры?
Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?
25. Сколько аккордов можно сыграть с помощью 3 клавиш из 7?
26. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно распределить по трем
магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть доставлено 8 наименований, во второй
— 7 наименований и в третий — 5 наименований товаров?
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение основных комбинаторных понятий.
2. Классифицируйте их по основным признакам.
3. Выпишите расчетные формулы, соответствующие основным комбинаторным понятиям.
Список основной литературы
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование,
2009. - 478.
2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. :
Высш. образование, 2009. – 403.
11
4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е.
А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
Список дополнительной литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование,
2006. - 404 с.
2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть
II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
12
ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 2.1. Классическое определение вероятности события
Случайным опытом или случайным экспериментом называется любое действие, которое можно повторить большое число раз в одинаковых условиях и результаты которого нельзя предугадать
заранее.
Вместе с каждым случайным опытом рассматривается некоторое множество , элементами которого являются предполагаемые исходы данного опыта, взаимно исключающие друг друга. Множество называется пространством элементарных событий (ПЭC), а его элементы — элементарными событиями.
Случайным событием называется произвольное подмножество ПЭС.
Пример:
Если в качестве опыта или эксперимента рассмотрим подбрасывание монеты, то с ним связаны
два исхода u1= {выпал орел} и u2= {выпала решка}.
Пусть каждому элементарному событию ui из = {u1, u2, …, un} поставлено в соответствие некоторое число pi P(ui ) , называемое вероятностью элементарного события, которое удовлетворяет
условиям: 0 < pi 1 для всех i и p1 + p2 + … + pn = 1.
Тогда вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных событий, образующих это событие. Вероятность события А обозначается Р (А).
Достоверным называется событие А, которое в результате опыта непременно должно произойти,
то есть P (А) = 1. Невозможным называется событие А, которое в результате опыта не может произойти, то есть P (А) = 0.
Вероятность любого события A заключена между нулем и единицей: 0 Р (A) 1.
Полной группой событий называется несколько таких событий, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Два события будут несовместными, если они не имеют общих элементарных исходов, то есть
два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте.
События A1 , A2 , , An называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.
События A1 , A2 , , An образуют полную группу несовместных событий, если они попарно
несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.
Пример:
Возвращаясь к опыту с подбрасыванием монеты, получим, что события несовместны, т.к. не могут одновременно появиться в одном испытании. События {u1, u2} образуют полную группу, т.к. обязательно произойдет одно из них. Эти события являются равновозможными. Вероятность выпадения
1
.
герба P(u1 )
2
13
1
1
...
, где число слаn
n
m
гаемых равно числу элементарных событий, благоприятных событию А. Итак, P( A)
, где n —
n
число всех элементарных событий ПЭС, m — число элементарных событий, благоприятных событию
А. Это есть классическое определение вероятности. Элементарное событие называется благоприятным событию А, если его появление влечет за собой появление события А.
Если ПЭС опыта состоит из n равновозможных событий, то P( A)
1
n
Примеры:
1. В ящике три белых, два черных и два красных шара. Случайно из ящика вынимают один
шар. Какова вероятность, что он не белый?
m 4
Определим параметры: n = 7, m = 2 + 2 = 4. P( A)
.
n 7
2. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст
число, оканчивающееся на 1?
Понятно, что достаточно рассмотреть только квадраты чисел от 0 до 9, т. е. всего исходов
здесь n 10 . При этом благоприятствующих исходов лишь m 2 (числа 1 и 9). Тогда искомая
m 2 1
вероятность по классическому определению есть P
.
n 10 5
3. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из десяти человек. Они оба
очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их
желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?
Десять человек могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих n 10!
равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут
занять 20 разных позиций. В то же время восемь их друзей могут сесть за стол 8! разными
способами, поэтому m 20 8! Следовательно, вероятность исполнения их желания равна
m 20 8! 2
p
.
n
10!
9
Если исходная совокупность состоит из однотипных частей и из нее изымается выборка, то имеет
место следующая полезная схема вычисления классической вероятности.
Пусть совокупность состоит из двух однотипных частей объема M и N соответственно. Из нее
изымается выборка. Тогда вероятность того, что в этой выборке окажется m элементов из первой чаCMm C Nn
сти и n элементов из второй части вычисляется по следующей формуле: P ( A)
. В этой
CMm nN
формуле в числителе стоит число благоприятных исходов, в знаменателе общее количество исходов
опыта. Эта формула по аналогии легко обобщается для случая, когда исходная совокупность состоит
не из двух, а из k однотипных частей.
Пример:
В ящике три белых, два черных и два красных шара. Случайно из ящика вынимают три шара. Какова вероятность, что они будут разных цветов?
m С31C 21C 21 3 2 2 3! 4! 3 2 2 2 3 12
P ( A)
.
n
С73
7!
5 6 7
35
Задания для самостоятельного решения:
1. Владелец пластиковой карточки банкомата забыл последние три цифры кода и набрал их
наугад. Какова вероятность набора верного номера, если известно, что все эти три цифры
различны?
2. Пусть в лотерее осуществляется розыгрыш 6 номеров из 49. Порядок выпадения выигрышных номеров не важен. Участник лотереи выбирает 6 номеров из 49. Выигрыш вы14
плачивается угадавшим 4, 5 или все 6 номеров. Определить вероятность угадывания четырех выигрышных номеров.
3. Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в Пуховом буфете вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?
4. Группе студентов СибАГС для прохождения производственной практики выделено
30 мест: 15 — в Новосибирске, 8 — в Бердске, 7 — в Омске. Какова вероятность того, что
студент и студентка, которые в скором времени собираются пожениться, будут отправлены для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их
намерениях?
5. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки
распределяются на две группы, по 9 команд в каждой; 5 команд обычно занимают первые
места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? Какова
вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую?
§ 2.2. Действия над событиями
Суммой или объединением двух событий А и В (обозначается A B или A B ) называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. При этом событие С можно получить из исходных, используя союз «или»: С = {имеет место или А, или В, или и А и В}. Операции
над событиями можно наглядно проиллюстрировать, используя диаграммы Эйлера-Вэнна, на которых пространству элементарных исходов и событиям ставятся в соответствие некоторые геометрические фигуры (прямоугольники, овалы, треугольники и т. п.). На следующей диаграмме на рис.2
заштрихованная область соответствует событию С. В него входят все элементарные исходы, содержащиеся хотя бы в одном из событий.
А+В
А
В
Рис. 2 Сумма двух совместных событий
Пример:
Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие два события, которые связаны с этим опытом.
Событие А = {выпадет не меньше трех очков} = {3; 4; 5; 6}.
Событие В = {выпадет четное число очков} = {2; 4; 6}. В скобках мы указали элементарные исходы, составляющие каждое событие.
Тогда А + В = {2; 3; 4; 5; 6} = {выпадет не менее двух очков}.
Если два события А и В несовместны, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из них,
безразлично какого. А так как у несовместных событий нет общих элементарных исходов, то запи-
15
шется оно уже в виде С = {имеет место или А, или В}. Соответствующая этому случаю диаграмма
представлена на рис. 3.
А+В
А
В
Рис. 3 Сумма двух несовместных событий
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из
этих событий.
Произведением или пересечением двух событий А и В (обозначается A B или A B ) называется событие С = A B , состоящее в совместном появлении события А и события В. При этом событие С можно получить из исходных используя союз «и»: С = {имеет место и А, и В}. Произведением
нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
На рис. 4 заштрихованная область соответствует событию С. В него входят все элементарные
исходы, содержащиеся и в А, и в В.
АВ
А
В
Рис. 4 Произведение двух совместных событий
Пример:
Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие два события, которые связаны с этим опытом.
Событие А = {выпадет не меньше двух очков} = {2; 3; 4; 5; 6}.
Событие В = {выпадет четное число очков} = {2; 4; 6}.
Тогда А В = {2; 4; 6} = {выпадет четное число очков}.
Задание для самостоятельного решения:
Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются следующие события:
A−появление герба на первой монете;
B−появление цифры на первой монете;
C−появление герба на второй монете;
D−появление цифры на второй монете;
E−появление хотя бы одного герба;
F−появление хотя бы одной цифры;
G−появление одного герба и одной цифры;
H−не появление ни одного герба;
K−появление двух гербов.
16
Определить, каким событиям из этого списка равносильны следующие события: а) A+C; б) A∙C;
в) E∙F; г) G+E; д) G∙E; е) B∙D; ж) E+K.
§ 2.3. Теорема сложения вероятностей
Аксиоматическое определение вероятности: каждому событию A
ставится в соответствие некоторое число P(A) , называемое вероятностью события A , причем так, что выполняются
следующие три условия (аксиомы вероятностей):
1. P(A) 0 ;
2. P( ) 1 ;
n
3. P
n
P( Ai ) , где события A1 , A2 ,
Ai
i 1
, An являются попарно несовместными событиями.
i 1
Из третьей аксиомы сразу следует, что вероятность суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
События А и В называются совместными, если появление события А не исключает появления
события В в одном и том же испытании. Совместность событий А и В означает наличие у них общих
элементарных исходов.
Вероятность
суммы
двух
произвольных
событий
выражается
формулой
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А∙В), где АВ — произведение событий А и В.
Пример.
Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по философии, 4 — по математике, причем
3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, имеющих
двойки по этим предметам?
Пусть событие А состоит в том, что 5 студентов сдали экзамен по философии на двойку, а событие В состоит в том, что 4 студента сдали экзамен по математике на двойку. Из формулы сложения
вероятностей заключаем, что
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А∙В) = 5 / 20 + 4 / 20 – 3 / 20 = 0,3.
Таким образом, тридцать процентов студентов в группе имеют двойки по этим предметам.
Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:
n
n
P
Ai
i 1
P ( Ai ).
i 1
В случае, когда события Аi произвольны, вероятность их суммы выражается формулой
n
P
Ai
i 1
P ( Ai )
i
P ( Ai A j Ak )
P ( Ai A j )
i, j
...
( 1) n
1
P ( A1 A2 A3 ...An. ),
i, j ,k
где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j, k, взятых по
одному, по два, по три и т. д. Если события A1, А2, … , Аn попарно несовместны и образуют полную
группу, то сумма их вероятностей равна единице:
n
P( Ai ) 1.
i 1
17
Событие A называется противоположным событию А, если оно состоит в не появлении события А. В него входят все элементарные исходы из , кроме тех, которые составляют событие
А. Соответствующая этому случаю диаграмма приведена ниже.
А
A
Рис. 5 Противоположное событие
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А) + Р ( A ) =1. Это следует из
того, что события А и A образуют полную группу несовместных событий.
Примеры:
1.
Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к
рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет.
Пусть событие A1 состоит в том, курс евро к рублю возрастет, а событие A2 — в том, что
курс доллара к рублю возрастет. Тогда по условию P( A1 ) 0,55, P( A2 ) 0,35, P( A1 A2 ) 0,3 .
Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет, по теореме
сложения вероятностей составляет P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 ) 0,55 0,35 0,3 0,6 .
2.
Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1, а зашедшая
женщина — с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность
того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?
Обозначим событие A = {покупку сделает мужчина}, событие B 1 = {покупку сделает первая
женщина} и событие B 2 = {покупку сделает вторая женщина}. Пусть событие C = {по крайней
мере, одно лицо что-нибудь купит}, тогда событие C A B1 B2 .
Перейдем к противоположному событию C ={ни одно лицо ничего не купит}, тогда
C A B1 B2 . Используя формулу для нахождения вероятностей противоположных событий и формулу для вероятностей независимых событий, имеем
P(C) 1 P(C) 1 P( A B1 B2 )
= 1 P( A) P( B1 ) P( B2 ) 1 0,9 0,4 0,4 0,856 .
3.
Три независимых эксперта делают прогноз стоимости акции компании, ошибаясь при
этом с одинаковой вероятностью p . Найти p , если вероятность того, что хотя бы один из них
ошибается, равна 0,271.
Пусть событие Ai ={i-ый эксперт ошибается в стоимости акции компании}, где i 1, 2, 3 .
Далее обозначим событие A ={ошибается хотя бы один из экспертов}. По условию задачи
P( A) 0,271 . Но событие A A1 A2 A3 , тогда, переходя к противоположным событиям и используя независимость экспертов, имеем
P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 (1 p)3 0,271 .
Отсюда (1 p)3 1 0,271 0,729 или 1 p
4.
18
3
0,729
0,9 . Наконец, p =0,1.
1
. Найти P( A B) .
4
Используя формулу сложения вероятностей для произвольных событий, имеем
События A и B независимы, P( A)
P( B)
P( A B) P( A) P( B) P( A B) . По условию задачи события A и B независимы, значит,
события A и B тоже независимы. Используя формулу нахождения вероятностей для независимых событий, получим P( A B) P( A) P( B) .
Итак, P( A B)
P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) P( A) P( B)
1
4
3
4
1 3
3
1
4 4
16
13
.
16
Задания для самостоятельного решения:
1. Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропорта, надеется получить контракт в стране А с вероятностью 0,4, вероятность заключить контракт в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
2. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании А
будет составлять 0,7, а компании В — 0,4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность роста акций хотя бы одной компании.
3. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных
программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ — 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что
будет сделана хотя бы одна покупка?
4. В одной комнате находятся четыре девушки и семь юношей, в другой — десять девушек и
пять юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того,
что оба они окажутся юношами или обе — девушками.
§ 2.4. Понятие условной вероятности
Пусть в пространстве
задано два произвольных совместных события A и B.
АВ
А
В
Рис. 6 Совместные события
Через N(A) обозначим число элементарных исходов, входящих в событие A. Через N(B) − число
элементарных исходов, входящих в событие B., через N(А∙B) — число общих элементарных исходов в
событиях А и В, а через N – общее число исходов (см. рис. 6). Тогда по формуле классической вероятности P( A)
N ( A)
, P( B)
N
N ( B)
, причем P( B) 0 .
N
Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А,
вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А/В) и вычисляется по формуле P ( A / В )
N ( A B)
. То есть, для вычисления условной вероятности мы составN ( B)
ляем пропорцию, как общие исходы событий относятся к числу элементарных исходов события, которое произошло. Если числитель и знаменатель последней дроби разделить на N, то получим формулу P ( A / В )
N ( A B)
N ( B)
P( A B)
.
P( B)
19
Примеры.
1. Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Вычислить Р (А/В) и Р (B/A).
Первая условная вероятность − это вероятность выпадения красной масти при условии,
что вытащили десятку, а событие A∙B – это красная десятка. Тогда по формуле
P( A / В)
десятки
P ( B / A)
N ( AB )
N ( B)
при
2
4
условии,
N ( AB)
N ( A)
2
26
1
. Вторая условная вероятность − это вероятность выпадения
2
что
вытащили
красную
масть.
Тогда
по
формуле
1
.
13
2. В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие
мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность
того, что он курит?
Пусть событие M означает, что пациент — мужчина, а событие K — что пациент курит. Тогда по условию P(M ) 0,3, а P(M K ) 0,21 . Поэтому по формуле условной веP( M K ) 0, 21
0,7 .
роятности искомая вероятность P( K / M )
P( M )
0,3
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности
появления другого. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:
Р (А / В) = Р (А); Р (В / А) = Р (В).
Для проверки двух событий на зависимость вычисляют искомую и условную вероятность и сравнивают их между собой.
Пример.
Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Проверить, зависимы эти события или нет.
Находим P( A)
N ( A)
N
26
52
1
. Условная вероятность P ( A / В )
2
N ( AB )
N ( B)
2
4
1
.
2
Следовательно, события A и B независимы.
Этот же результат даст и другая комбинация.
Находим P( B)
N ( B)
N
4
52
1
. Условная вероятность P ( B / A)
13
N ( AB)
N ( A)
2
26
1
.
13
И они тоже равны между собой.
Задания для самостоятельного решения:
1.
Из стандартного набора домино берется наудачу одна кость. Какова вероятность того, что эта
кость будет дублем, если известно, что сумма очков на ней — четное число.
2.
Вероятность попадания в цель равна 0,7, а вероятность осечки при выстреле равна 0,2. Стрелок прицеливается и стреляет. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
3.
Бросаются две игральные кости. Найти вероятность выпадения двух «шестерок», если известно, что сумма выпавших очков делится на три.
4.
Результаты экзаменов в некоторой группе показывают, что 8% студентов не сдали математику, 6% не сдали историю, а 2% не сдали оба этих экзамена. Наугад выбирается студент. Будут ли события «выбранный студент не сдал математику» и «выбранный студент не сдал историю» независимыми?
20
§ 2.5. Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на
условную вероятность другого при наличии первого:
Р (А∙В) = Р (А) ∙ Р (В / А) или Р (А∙В) = Р (В) ∙Р (А / В).
Для случая независимых событий А и В теорема умножения вероятностей примет вид:
Р (А∙В) = Р (А) ∙ Р (В).
Рассмотрим случай, когда событий больше чем два. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть события независимые. В случае, когда события независимы в совокупности, т. е. появление любого числа из них
не меняет вероятностей появления остальных, то теорема умножения примет вид:
n
P
n
Ai
i 1
P( Ai ).
i 1
События A1 , A2 , , An называются попарно независимыми, если любые два события из этого
набора независимы. Если события A1 , A2 , , An независимы в совокупности, то они являются попарно независимыми. Обратное утверждение неверно.
Если события произвольные, то в общем случае формула произведения запишется в виде
P( A1 A2 K An )
P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ... P( An / A1 A2 ... An 1 )
Часто на практике приходится решать задачи, в которых нужно найти вероятность появления хотя бы одного события из некоторой совокупности независимых в совокупности событий. Искомую
вероятность можно вычислить, одновременно применяя теорему суммы и произведения. Но более
короткий способ дает следующая теорема:
Т е о р е м а . Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности равна разности единицы и произведения вероятностей соответствующих противоположных событий. Если обозначить через q1 = P ( A1 ), …, qn = P ( A n ), то Р (A) = 1 – q1 q2 … qn
Примеры:
1.
Шесть охотников увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Предположим, что
каждый из охотников на таком расстоянии обычно попадает в лису и убивает ее в одном случае
из трех. Какова вероятность того, что лиса будет убита?
Пусть событие Аi означает поражение лисы i-м охотником. По условию задачи имеем
Р (А1) = Р (А2) =
= Р (А6) = 1/3. События А1, А2, , А6 независимы и требуется найти
Р (А1 + А2+ +
+ А6). Будем искать вероятность того, что лиса уцелеет. Для того чтобы лиса
уцелела, необходимо, чтобы все охотники промахнулись. Итак,
P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) P( A6 )
26
36
64
.
729
Тогда Р (А1 + А2 + +А6) = 1 – 64/729 = 665 / 729.
2.
Вакансия, предлагаемая безработному биржей труда, удовлетворяет его с вероятностью 0,01. Сколько нужно обслужить безработных, чтобы вероятность того, что хотя бы один
из них найдет работу, была бы не ниже 0,95?
Нужное число безработных обозначим через n . Введем случайные события
Ai = {i-ый безработный найдет работу}, где i 1,2, K , n и A = {хотя бы один из n безработных найдет работу}. Тогда A A1 A2 L An . По условию задачи P( A) 0,95 . Имеем
P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 L An ) 1 P( A1 A2 L An ) 1 P( A1) P( A2 )L P( An ) 1 (0,99) n
Итак, n находится из решения неравенства вида 1 (0,99)
n
0,95 или (0,99)
n
0,95.
0,05 . Решая
21
неравенство, получим n
ln0,05
ln0,99
2,99 573
0,01 005
298,0 729 . Требуется обслужить не менее 298 без-
работных.
3.
Прохожий нашел чужую банковскую пластиковую карточку. Найти вероятность того,
что двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит, чтобы отгадать неизвестный ему четырехзначный код.
Рассмотрим событие A {двух предоставленных попыток хватит, чтобы угадать код}. Это событие может быть представлено следующим образом: A A1 ( A1 A2 ) , где Ai {код впервые
угадан с i-ой попытки}, i 1, 2 . События A1 и A1 несовместны по определению противоположных событий, поскольку соответствующие множества благоприятных элементарных событий
не пересекаются. Множество элементарных событий, благоприятствующих событию A1 A2 ,
состоит из элементарных событий, одновременно благоприятствующих событиям A1 и A2 .
Следовательно, это множество не пересекается с множеством элементарных событий, благоприятствующих событию A1 . Таким образом, события A1 и A1 A2 несовместны. Для нахождения P( A) воспользуемся формулой сложения вероятностей для несовместных событий:
P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) . Вероятность события A1 находим, используя классическое определе1
P( A1 )
ние
вероятности
.
По
формуле
умножения
вероятностей
104
1
1
, P( A2 / A1 )
. Число 104 1
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) , где P( A1 ) 1 P( A1 ) 1
4
4
10
10 1
есть количество всевозможных четырехзначных кодов, за исключением одного, проверенного
1
1
1
2
(1
)
при первой попытке. Таким образом, P ( A)
.
4
4
4
10
10 10 1 104
4.
На баллистическую экспертизу в одной коробке поступило 7 гильз от автомата Калашникова отечественного производства, 5 гильз от такого же автомата, но китайского производства и 3 гильзы от автомата польского производства. Найти вероятность того, что первая
наугад вынутая гильза окажется от автомата отечественного производства, вторая гильза — китайского производства и третья гильза — польского производства.
Определим следующие события: A1 = {первая вынутая гильза от автомата отечественного производства}, A2 = {вторая вынутая гильза от автомата китайского производства}, A3 = {третья
вынутая гильза от автомата польского производства}. Исходя из условия задачи, имеем
7
5
3
. По формуле умножения вероятностей опредеP( A1 )
, P( A2 / A1 )
, P( A3 / A1 A2 )
15
14
13
7 5 3
лим P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )
0,038 . Вероятность последова15 14 13
тельно вытащить из коробки гильзы от автомата отечественного, китайского и польского производства равна 0,038.
Задания для самостоятельного решения:
1.
В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, 412 — среднее специальное
образование, у 357 — высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что
случайно выбранный работник не имеет ни высшего, ни среднего специального образования?
2.
Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по одному из
трех телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя
бы по одному из этих каналов?
3.
Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в
белой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что белый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, черный — в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0,15.
22
Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.
4.
Покупатель может приобрести акции двух компаний А и В. Надежность компании А оценивается экспертами с вероятностью 0,9, надежность компании В — 0,8. Чему равна вероятность того, что
а) обе компании не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?
5.
Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой
этой компании, дающей право на скидку, обратятся за покупкой товара в ее магазины с вероятностью
0,9. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар с
вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании
приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?
6.
Компания, занимающаяся разработкой программного обеспечения, претендует на получение
заказов от двух корпораций А и В. Эксперты компании считают, что вероятность получения заказа от
корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если компания получит заказ от корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того,
что компания получит оба заказа?
7.
Вероятность, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна
0,04. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель
увидит а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу; в) ни одной рекламы.
8.
Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии равна 0,2, на
втором — 0,35, а на третьем равна 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции
всех предприятий, получит высокие дивиденды хотя бы на одном предприятии.
9.
Цех получает месячную премию за выполнение плана по трем независимым показателям. Вероятности выполнения плана по этим показателям соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7. За прошедший
месяц цех премии не получил. Какова вероятность того, что план был выполнен цехом только по третьему показателю?
10.
В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет три партии. Вероятность победы команды А в каждой партии равна 0,4. Определить вероятность того, что в
матче победит команда А, если известно, что она проиграла вторую партию.
11.
Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть
уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?
§ 2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
При вычислении классической вероятности события A делалось предположение, что все элементарные исходы пространства являются равновозможными. Но не всегда это предположение имеет
место. Часто определить структуру пространства элементарных исходов (ПЭИ) сложно, а расчет их
количества достаточно громоздок. Рассмотрим далее схему, в которой пространство элементарных
исходов образует некоторая полная группа событий Hi , попарно несовместных и единственно
возможных в данном опыте или эксперименте. Эту совокупность событий мы назовем гипотезами.
Причем, известна Р (Нi) − априорная вероятность каждой гипотезы Нi. Из условия полной группы
n
следует, что
P( H i ) 1 . Это условие обязательно проверяется при анализе правильности выбора
i 1
системы гипотез.
Если событие А может появиться только при одной из этих гипотез (то есть находится в одном
ПЭИ с системой гипотез), то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
n
P( A)
P( H i ) P( A / H i ),
i 1
или
Р (А) = Р (Н1) Р (А / Н1)+ Р (Н2) Р (А / Н2)+… + Р (Нn) Р (А / Hn),
где Р (А/Нi) − условная вероятность события А при гипотезе Нi.
Таким образом, зная вероятности гипотез и условные вероятности события А при каждой из гипотез, мы по формуле полной вероятности можем найти вероятность события А.
23
Примеры:
1. Из наблюдений установлено, что вероятность сбоя во время работы ЭВМ в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть
условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0,8, 0,9 и
0,9. Найти вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.
Возможны три гипотезы о месте сбоя: H1 — сбой в процессоре; H 2 — сбой в оперативной
памяти; H 3 — сбой в периферийных устройствах. Априорные вероятности этих гипотез могут
быть вычислены как
3
2
5
P( H1 )
0,3 , P( H 2 )
0, 2 , P( H 3 )
0,5 .
3 2 5
3 2 5
3 2 5
Пусть событие A − обнаружен сбой. Тогда его вероятность вычисляется по формуле полной вероятности через априорные вероятности гипотез и условные вероятности события A при гипотезах как P( A) 0,3 0,8 0,2 0,9 0,5 0,9 0,87 .
2. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % — государственные органы, 20 % — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не
возвращается.
Пусть событие A состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза Н1 — в том,
что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Н2 — в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Н3 — в том, что запрос на кредит поступил
от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н1) =0,1 , Р (Н2) = 0,2,
Р (Н3) = 1 – Р (Н1) – Р (Н2) = 0,7. Апостериорные вероятности в свою очередь по условию равны
Р (А / Н1) = = 0,01, Р (А / Н2) = 0,05, Р (А / Н3) = 0,2.
По формуле полной вероятности
Р (А) =Р (А / Н1) Р (Н1) + Р (А / Н2) Р (Н2) + Р (А / Н3) Р (Н3) = 0,01 ∙ 0,1 +0,05 ∙ 0,2 + 0,2 ∙ 0,7 = 0,151.
3. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от
трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй — 20 %, третий — 30 % деталей. Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго — 5 %, третьего — 2 %. Определите вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет годной.
Пусть событие A состоит в том, что выбранная деталь годная, гипотеза Н1 — в том, что
выбран первый поставщик, гипотеза Н2 — в том, что выбран второй поставщик, гипотеза Н3 —
в том, что выбран третий поставщик. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н1) =0,5,
Р (Н2) = 0,2, Р (Н3) = 0,3. Апостериорные вероятности в свою очередь по условию равны
Р (А / Н1) = 1- 0,04 = 0,96, Р (А / Н2) = 1- 0,05= 0,95, Р (А / Н3) = 1- 0,2 = 0,98.
По формуле полной вероятности получим
Р (А) =Р (А / Н1) Р (Н1) + Р (А / Н2) Р (Н2) + Р (А / Н3) Р (Н3) = 0,5 ∙ 0,96 +0,2 ∙ 0,95 + 0,3 ∙ 0,98 = 0,964.
То есть, вероятность события составляет 96,4%.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Если до опыта вероятности гипотез были равны Р (Н1),
Р (Н2), …, Р (Нn), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые»,
т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
P( H i ) P( A / H i )
P( H i / А) n
(i = 1, 2, …, n).
P( H i ) P( A / H i )
i 1
Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом известного результата опыта. Если после опыта, закончившегося появлением события А, производится еще один
опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого послед-
24
него события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятn
ности гипотез Р (Нi), а новые Р (Нi / А) (апостериорные вероятности): P( B / А)
P( H i / А) P( B / H i A).
i 1
Примеры:
1. 30 % пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20 % —
второй и 50 % — третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Обозначим через Н1, Н2, Н3 — гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Эти гипотезы образуют полную группу событий, причем Р (Н1) = 0,3, Р (Н2) = 0,2, Р (Н3) = 0,5. По условию событие А — обнаружение туберкулеза у больного — произошло, причем условные вероятности равны Р (А / Н1) = 0,02,
Р (А / Н2) = 0,03, Р (А / Н3) = 0,01. Апостериорную вероятность Р (Н3 / А) вычислим по формуле
Байеса:
Р( Н 3 / А)
Р( Н 3 ) Р( А / Н 3 )
3
Р( Н i ) H ( A / H i )
0,5 0,01
5
.
0,3 0,02 0, 2 0,03 0,5 0,01 17
i 1
2. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % — государственные органы, 20 % — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Начальнику кредитного отдела доложили, что
получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором
очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.
Пусть событие A состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза Н1— в том,
что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Н2 — в том, что запрос
на кредит поступил от другого банка, гипотеза Н3 — в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют Р (Н1) =0,1 , Р (Н2) = 0,2,
Р (Н3) = 0,7. Условные вероятности, в свою очередь, равны Р (А / Н1) = = 0,01, Р (А / Н2) = 0,05,
Р (А / Н3) = 0,2. По формуле Байеса Р (Н2 / А)
P( A / H 2 ) P( H 2 )
P( A)
10
151
0,066 .
3. Известно, что 1 из 700 мальчиков рождается с лишней Y-хромосомой и у этих мальчиков
наблюдается агрессивное поведение в 20 раз чаще, чем у обычных. У данного мальчика агрессивное поведение. Какова вероятность того, что у него лишняя Y-хромосома?
Пусть A означает наличие агрессивного поведения, H — наличие лишней Y-хромосомы, а H −
1
699
20
1
ее отсутствие. Тогда по условию P( H )
. По фор, P( H )
, P( A / H )
, P( A / H )
700
700
21
21
1 20 699 1
муле полной вероятности P( A) P( H ) P( A / H ) P( H ) P( A / H )
0,05 . По
700 21 700 21
P( H ) P( A / H )
1 20 100
формуле Байеса находим искомую вероятность P( H / A)
0,027 .
P( A)
700 21 5
Как видим, вероятность довольна мала. Поэтому далеко не каждого мальчика с агрессивным поведением надо зачислять в отряд обладателей лишней Y-хромосомы. Объясняется это тем, что
хотя вклад обладателей лишней хромосомы в агрессивное поведение велик, но их доля среди новорожденных очень мала.
4.
Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по теории вероятностей, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, а один совсем не готовился —
понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10, не подгото-
25
вившиеся — на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный
первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?
Обозначим события: A1 = {приглашен студент, подготовившийся отлично}, A2 = {приглашен студент, подготовившийся хорошо}, A3 = {приглашен студент, подготовившийся удовлетворительно}, A4 =
{приглашенный студент к экзамену не готов} и событие A = {приглашенный студент ответил на
три вопроса}. Согласно условию задачи P( A1 ) 0,3, P( A2 ) 0,4, P( A3 ) 0,2, P( A4 ) 0,1 . По
формуле полной вероятности имеем
P( A) P( A1 ) P( A / A1 ) P( A2 ) P( A / A2 ) P( A3 ) P( A / A3 ) P( A4 ) P( A / A4 ) , где
P( A / A1 ) 1,
16
20
10
P( A / A3 )
20
5
P( A / A4 )
20
Тогда P( A)
15 14
0, 491,
19 18
9 8
0,105,
19 18
4 3
0,009.
19 18
0,3 1 0,4 0,491 0,2 0,105 0,1 0,009 0,518 3 .
P( A1 ) P( A / A1 )
0,3 1
По формуле Байеса имеем P( A1 / A)
=0,579 .
P( A)
0,518 3
5.
После осмотра больного врач считает, что равно возможно одно из двух заболеваний −
C или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании С в 30 % случаев, а при заболевании D − в 20 % случаев.
Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным?
Сформулируем систему гипотез следующим образом: H 1 = {пациент имеет заболевание С},
H 2 = {пациент имеет заболевание D}. Для ответа на поставленный вопрос нужно найти апостериорные вероятности гипотез. Априорные вероятности гипотез, согласно условию задачи, равны: P( H1 ) 0,5, P( H 2 ) 0,5 . Рассмотрим событие A = {анализ дал положительную реакцию}.
Для нахождения апостериорных вероятностей гипотез, т. е. P( H1 / A), P( H 2 / A) , воспользуемся
формулой Байеса. Для того чтобы воспользоваться формулой Байеса, необходимо найти условные вероятности события A относительно каждой из гипотез. Согласно условию задачи они
равны соответственно: P( A / H1 ) 0,3, P( A / H 2 ) 0,2 . По формуле полной вероятности найдем
P( A / A2 )
вероятность события A : P( A )
2
P( H k ) P( A / H k ) 0,5 0,3 0,5 0,2 0,25 .
k 1
Воспользуемся формулой Байеса:
P( H1 ) P( A / H1 ) 0,15
P( H 2 ) P( A / H 2 ) 0,1
P( H1 / A)
0,6, P( H 2 / A)
0, 4 .
P( A)
0, 25
P( A)
0, 25
Так как P( H1 / A) P( H 2 / A) , то заболевание С становится более вероятным.
Задания для самостоятельного решения:
1. У директора компании два списка с претендентами на работу. В первом списке — фамилии
шести женщин и четырех мужчин. Во втором списке — фамилии четырех женщин и семи мужчин.
Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия
одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказалось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?
2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение полугода с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не
будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7,
экономическая ситуация в регионе в течение ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна
вероятность того, что участок будет продан в течение полугода?
26
3. Среди студентов академии 30 % первокурсников, 35 % студентов учатся на втором курсе,
остальные — старшекурсники. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20 % студентов
сдали сессию только на отличные оценки, на втором — 30 %, среди старшекурсников 40 % отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он старшекурсник?
4. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия
нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На
завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень
надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев;
если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?
5. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный
пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна
вероятность успеха сделки?
6. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Вероятность случайной ситуации равна
0,04. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
7. Исследователями-психологами установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют
на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
8. Двумя предприятиями выпускается однотипная продукция. Объем продукции, поставляемый
в продажу вторым предприятием, в k раз превышает соответствующий объем продукции первого
предприятия. Доля брака в среднем составляет: на первом предприятии 10 %, а на втором — 5 %.
Купленное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было выпущено вторым предприятием?
9. В специализированную больницу поступают в среднем 70 % больных с заболеванием К,
остальные — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, а болезни М —
0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что он болел болезнью K?
10. Один властелин, которому наскучил его звездочет со своими ложными предсказаниями, решил казнить его. Однако, будучи добрым повелителем, он решил дать звездочету последний шанс.
Ему велено распределить по 2 урнам 4 шара: 2 черных и 2 белых. Палач выберет наугад одну из урн и
из нее вытащит один шар. Если шар будет черным, то звездочета казнят, в противном случае его
жизнь будет спасена. Каким образом звездочет должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить
себе максимальную вероятность быть спасенным?
§ 2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли
Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не
зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться как в
одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события
А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.
Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с постоянной вероятностью р появляется событие А, то вероятность Рn (m) того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой Бернулли:
Pn (m) Cnm p m q n
m
(m = 0, 1, …, n),
27
где q = (1 – р) есть вероятность непоявления события А. Эта формула выражает, так называемое,
n
биномиальное распределение вероятностей, причем
Pn (m) 1 .
m 0
Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие A наступит:
1. Менее m раз — равна Pn (0) Pn (1)
Pn (m 1) ;
2. Более m раз — равна Pn (m 1) Pn (m 2)
Pn (n) ;
3. Хотя бы один раз — равна Pn (m 1) 1 q n ;
4. Не менее m1 раз и не более m2 — равна Pn (m1
m2
Pn (m) .
m m2 )
m m1
Примеры:
1.
Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, составляет 5 %.
Найти вероятность того, что при выдаче банком 100 кредитов проблемы с возвратом денег
возникнут не менее чем в двух случаях.
Воспользуемся схемой Бернулли. Под опытом понимается получение кредита, который был
выдан банком. В каждом опыте событие A = {кредит не возвращается в срок} происходит с
вероятностью p 0,05 . Назовем наступление события A «успехом». Указанный опыт проводится n 100 раз в одних и тех же условиях. Требуется определить вероятность события
B = {кредит не будет возвращен в срок хотя бы в двух случаях}, а событие B = {кредит не будет возвращен в срок менее чем в двух случаях}. Событие B может быть представлено в виде
следующего объединения событий: B A100 (0) A100 (1) , где A100 (m) ={ровно в m случаях из
100 кредит не будет возвращен в срок}, m = 0,1. События A100 (0) и A100 (1) несовместны. Воспользуемся
формулой
сложения
вероятностей
для
несовместных
событий
P( B) P( A100 (0)) P( A100 (1)) , где вероятности событий A100 (0) и A100 (1) вычисляются по форm
муле Бернулли P( A100 (m)) C100
(0,05)m (0,95)100
Таким
образом,
m
, m 0,1 .
0
1
P( B) C100
(0,05)0 (0,95)100 C100
(0,05)1(0,95)99 .
100
Следовательно,
99
P( B) 1 P( B) 1 (0,95)
5(0,95)
0,96.
2.
Каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. Сейчас в банке
ожидает обслуживания шесть человек. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты: а) только два человека; б) хотя бы один.
Воспользуемся схемой Бернулли. Число испытаний n 6 , вероятность успеха (клиент забе1
рет проценты) равна p
, вероятность неудачи (клиент не заберет проценты) равна
5
1 4
.
q 1 p 1
5 5
а) Вероятность того, что из шести человек только два заберут проценты, равна
P6 (2) C62 (1/ 5) 2 (4 / 5) 4 0,245 76.
б) Вероятность того, что из шести человек хотя бы один заберет проценты, равна
6
P6 (k ) 1 P6 (0) C60 (1/ 5)0 (4 / 5)6 1 (4 / 5) 6
0,737 856.
k 1
3.
Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом, отражают
нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в карабине по 5 пуль, и пока они
могут стрелять, подступиться к ним невозможно. У французов большое количество патронов.
Кроме того, у них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в любого из
них равна 1/2. Какова вероятность того, что французы будут полностью разбиты?
Событие A = {французы полностью разбиты}. Противоположным является событие A =
{израсходованы 10 пуль, но хотя бы один француз жив}, т. е. из десяти выстрелов было либо
28
0 удачных, либо 1 удачный, либо 2 удачных, либо 3 удачных, либо всего 4 удачных. Вероятность этого события вычисляется с использованием формулы Бернулли
1
2
0
3
P( A) C
1
2
1
C10
1
2
1
1
2
9
2
8
3
7
4
6
C102
3
5
.
Вероятность
противоположного
события
16
5 11
. Как видно, они не совпадают.
P( A) 1 P( A) 1
16 16
5.
Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен иногда все же любит несколько
приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй — про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе — хотя бы две абсолютно
правдивые.
Событие A = {хотя бы две истории абсолютно правдивые}. Противоположным является событие A = {ни одной или одна история является абсолютно правдивой}. Используя формулу
3
6
1
2
1
2
10
1
1
1
1
1
1
386
.
C103
C104
2
2
2
2
2
2
1024
386
638
Искомая вероятность P( A) 1 P( A) 1
0,62 .
1 024 1 024
4.
Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного
будильника на то, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 орла. Том считает, что шансы
получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?
Том не прав. Пусть событие A = {при подбрасывании 6 монет выпадет ровно 3 орла}. Тогда по формуле Бернулли для последовательности независимых испытаний
P( A) C100
4
0
3
1
1
4
1
4
608
C41
0,97 .
5
5
5
5
625
6.
В микрорайоне девять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не менее восьми машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.
Бесперебойная работа технической службы в микрорайоне будет осуществляться, если исправными будут либо восемь, либо девять машин. По формуле Бернулли вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне равна C98 p8 q1 C99 p 9 q 0 , где
Подставив
соответствующие
вероятности,
получим
p 0,9, q 0,1 .
Бернулли, получим P( A) 1 P( A) 1 C40
C98 p8 q1 C99 p 9 q 0 9 0,98 0,1 0,99 0,774 8 .
7.
По данным технологического, контроля в среднем 2 % выпущенных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из шести выпущенных
станков не менее двух потребуют дополнительной регулировки?
Для решения задачи воспользуемся последовательностью независимых испытаний и связанной с ней формулой Бернулли. В нашей задаче n 6, p 0,02, q 0,98 . Имеем:
P6 (k 2) 1 P6 (k 2) 1 P6 (0) P6 (1) 1 C60 p 0 q 6 C61 p1q 5 1 0,986 6 0,02 0,985 0,006
8.
Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.
Для того чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был 2:2. Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две
партии из четырех. Если p 0,8, есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой
команды, а q 0, 2 — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли,
4!
найдем, что P4 (2) С42 0,82 0,22
0,64 0,04 0,153 6.
2! 2!
29
Задания для самостоятельного решения:
1. Считая, что в среднем 15 % открывающихся малых предприятий становятся в течение года
банкротами, найти вероятность того, что из 10 новых малых предприятий за это время банкротами
станут: а) одно предприятие; б) более трех предприятий.
2. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 0,125. Найти вероятность выиграть не менее
чем по двум билетам из пяти.
3. Отмечено, что в городе Новосибирске в среднем 10 % заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из восьми случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года: а) ни одна пара не разведется; б) разведутся две пары.
4. Перерасход горючего в течение рабочего дня наблюдается в среднем по парку у 20 % машин.
Найдите вероятность того, что из десяти вышедших на линию машин перерасход горючего произойдет не менее чем у трех машин.
5. В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность того, что страховой случай
наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз.
6. Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, как только торговая инспекция в третий раз обнаружит серьезное нарушение правил торговли. Найти вероятность того, что лицензия будет отобрана после пятой проверки. Известно, что вероятность обнаружения нарушения при одной
проверке равна 0,2 и не зависит от результатов предыдущих проверок.
7. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме.
Найти вероятность того, что это произойдет: а) в трех случаях; б) не более чем в трех случаях.
8. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок
1
потребует регулировки, равна примерно . Какова вероятность того, что в течение часа рабочему
3
придется регулировать четыре станка?
9. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из пяти
посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не менее четырех; в) не более одного.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение классической вероятности события.
2. Сформулируйте все известные вам классификации событий.
3. Сформулируйте теоремы суммы и произведения событий для разных случаев.
4. Определите понятие условной вероятности.
5. Заданы два случайных несовместных события. Зависимы они или нет?
6. Выпишите формулы полной вероятности и Байеса. Объясните входящие в них термины.
7. Сформулируйте условия схемы испытаний Бернулли.
Список основной литературы
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование,
2009. - 478.
2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. :
Высш. образование, 2009. – 403.
4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е.
А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
30
Список дополнительной литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование,
2006. - 404 с.
2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть
II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
31
Тема 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 3.1. Общие определения
Рассмотрим сначала случайный эксперимент с дискретным пространством исходов, т. е. с таким
пространством элементарных событий = {u1, u2, …, un}, которое состоит из конечного или счетного
числа исходов. Пусть есть величина, которая в результате случайного эксперимента принимает различные числовые значения в зависимости от наступления того или иного исхода, при этом каждому
исходу соответствует только одно число. Иными словами, на пространстве элементарных событий
задана функция.
Функция, заданная на пространстве элементарных событий = {u1, u2, …, un}, называется случайной величиной.
Для любого исхода ui значение xi = X (ui) — это реализация случайной величины при данном исходе. Поскольку в ходе случайного эксперимента реализуется лишь один какой-то исход, то это означает, что в результате эксперимента наблюдается лишь какое-то одно значение случайной величины
(одна реализация) из всех возможных. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, …, а конкретные их значения соответствующими строчными буквами х, у,….
Пример.
Пусть бросается игральная кость. Величина X, равная числу выпавших очков, является случайной
величиной. Величина X принимает возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6}. В этом примере элементарный исход — это выпадение той или иной грани игрального кубика. В стандартной ситуации на гранях кубика написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако этим граням могут соответствовать и другие числа. Тогда мы получим другую случайную величину, хотя пространство элементарных исходов останется прежним.
Для дискретных пространств = {u1, u2, …} будем обозначать возможные значения случайной
величины через xi = X (ui), i = 1, 2, …. Значения xi случайной величины X появляются с некоторой вероятностью, которую обозначим через pi = P (X = xi). Величина X принимает при этом не более чем
счетное число возможных значений {x1, x2, …} и называется дискретной.
Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая
отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.
Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина,
возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.
§ 3.2. Дискретные случайные величины
и основные законы распределения
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее
связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х удобно записывать в виде таблицы, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x1, x2, …, хn и вероятности их
появления pi :
xi
pi
32
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
n
В последней строке таблицы pi
P( X
xi );
pi 1.
i 1
Закон распределения можно изобразить графически. Для этого рассмотрим совокупность пар
(x1, р1), (x2, р2), …, (xn, рn). Нанесем точки с этими координатами на плоскость и соединим их
поочередно отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения (рис.7).
( xi , pi )
хi
Рис.7 Многоугольник распределения
Говорят, что случайная величина Х имеет вырожденное распределение с параметром α, если Х
принимает единственное значение α с вероятностью 1, т. е. P( X α) 1 . Таблица распределения X
имеет вид
Х
p
α
1
Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Бернулли с параметром p, если Х принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 – p соответственно. Случайная величина Х с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения X имеет вид
Х
p
0
1–p
1
p
Дискретная случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если
ее возможные значения 0, 1, …, n, а вероятность того, что Х = m, выражается формулой
P( X m) Pn (m) Cnm p m q n m , где 0 < p < 1; q = 1 – p. Таблица распределения X имеет вид
Х
p
0
pn (0)
…
…
1
pn (1)
n
pn (n)
Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, … т,…, а вероятность того, что Х = m, выражается формулой
λm λ
P ( X m) Pm
e , где λ > 0 — параметр закона Пуассона. Таблица распределения X имеет вид
m!
Х
p
0
e
…
…
1
λ
λe
λ
m
λm
e
m!
λ
…
…
Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p, где
0 p 1 , если Х принимает значения 1, 2, 3, … с вероятностями P ( X k ) p (1 p ) k 1 . Случайная
величина Х с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения X имеет вид
Х
p
1
p
2
p (1 – p)
…
…
k
p (1 – p) k-1
…
…
33
Говорят, что случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n,
N и K, где K N , n N , если Х принимает целые значения от max{0, N K n} до min{n, K} с вероCKk C Nn kK
ятностями P ( X k )
. Случайная величина Х с таким распределением имеет смысл числа
C Nn
белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N – K не белых.
§ 3.3. Понятие интегральной и дифференциальной
функции распределения
Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x),
определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие, чем x, т. е. F (x) = Р (Х < х).
Для дискретных случайных величин функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.
Пример.
Пусть задана дискретная случайная величина своим законом распределения.
xi
1
4
8
pi
0,3
0,1
0,6
Найдем для нее функцию распределения. Это будет функция, заданная следующим предписанием:
F ( x)
0 x 1,
0,3 1 x 4,
0, 4 4 x 8,
1
x 8
Соответствующий график функции имеет вид (рис.8).
1
0,4
0,3
1
4
8
Рис.8 График функции F(x)
Если функция распределения F (х) везде непрерывна и имеет производную, то случайная величина называется непрерывной в узком смысле слова или просто непрерывной.
Свойства интегральной функции распред еления:
1.0
F (x)
1, так как это вероятность. Причем для произвольной функции распределения
F (– ) = 0, F (+ ) = 1;
2. Функция F (х) является неубывающей функцией; т. е. F (х2) F (х1), если х2 х1;
3. Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до выражается формулой
Р(
X < ) = F ( ) - F ( );
4. Если случайная величина Х непрерывна, то Р (Х = ) = 0 и Р ( < Х < )=F ( ) – F ( ).
34
Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется первая производная от интегральной функции распределения,
т. е. функция f (х) = F' (х).
Свойства дифференциальной функции распреде ления:
1. Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, т. е. f (х)
2.
0;
f ( x)dx 1.
График плотности f (х) называется кривой распределения.
Второе свойство говорит о том, что площадь фигуры, образованной осью ox и кривой распределения
(не всегда замкнутой) равна единице. То есть, не всякую функцию можно рассматривать в качестве
функции плотности некоторой случайной величины.
x
Функция распределения F (х) выражается через плотность распределения формулой F ( x)
Вероятность попадания на участок от
мулой P(
X
)
до
f (t )dt.
для непрерывной случайной величины выражается фор-
f ( x)dx . Это площадь криволинейной трапеции с границами x= , x= , y=0,
y=f(x).
§ 3.4. Непрерывные случайные величины
и основные законы распределения
Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в интервале (
если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:
1
,x ( , )
,
f ( x)
0, x ( , )
),
где запись х
означает: «х лежит на участке от до », а х
означает: «х не лежит на
участке от до ». График функции плотности равномерного распределения приведен на рис. 9.
1/( - )
Рис. 9 Функция плотности равномерного распределения.
Интегральную функцию непрерывной случайной величины, имеющую равномерное распределение, можно записать в виде
F ( x)
0
x
1
x
,
x
,
x
.
35
Соответствующий график приведен на рис. 10.
1
x
Рис. 10 Функция равномерного распределения
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с пара-
1
e
2
метрами (m, ) , если ее плотность распределения равна f ( x)
( x m) 2
2
2
. Соответствующий
график носит название нормальной кривой (рис. 11).
1
2
m
Рис. 11 Функция плотности нормального распределения.
Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал (
—
P( X
) выражается формулой P(
табулированная
m
) 2
0
функция
X
Лапласа.
)
m
0
Имеет
m
0
место
, где
также
0 ( x)
1
2
следующая
x
e
t2
2 dt
оценка
.
Интегральная функция нормально распределенной случайной величины также представляется
x m
через функцию Лапласа F ( x) 0,5
) . Ее график приведен на рис. 12.
0(
36
1
0,5
m
Рис. 12 Функция нормального распределения
График интегральной функции распределения F(x) центрально симметричен относительно точки
( m, 0,5 ).
Если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами m = 0, σ = 1, то такая
величина называется нормализованной и ее функция плотности имеет вид
φ ( x)
1
e
2π
x2
2
.
Значение этой функции табулировано и может быть найдено в соответствующих вероятностных
таблицах (см. таблицу 1 в приложении). Случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение N 0, 1 , будет обозначаться через Z. Интегральную функцию нормализованной случайной величины обозначим через F(0,1) ( z ) . Ее табулированные значения приведены в приложении в
таблице 2. Интегральная функция произвольной нормально распределенной случайной величины
можно представить в виде F ( x)
F(0,1) (
x m
) и найти ее значение по таблице. Итоговое соотноше-
ние для вычисления вероятности попадания в интервал примет вид
P(
P( X
X
m
)
m
F( ) F( )
) 2
0
m
0
m
F(0,1) (
) F(0,1) (
m
) и
2 F(0,1) ( ) 1
0
Пример.
Производителю электрических ламп известно, что средний срок работы лампы составляет 600
часов, а стандартное отклонение от этого срока 40 часов. Определить, какова вероятность , что
срок работы случайно выбранной из партии лампы будет менее 700 часов, менее 550 часов, попадет в интервал от 550 до 700 часов.
Пусть X – это средний срок работы лампы. Эта случайная величина имеет нормальное распределение. В задаче просят вычислить P( X 700) , P( X 550) и P(550 X 700) .
600
, и X=700 бу40
F(0,1) (2,5) 0,9938 99,38%
Имеем m=600, σ=40. Перейдем к нормализованной величине Z
дет соответствовать Z=25. Тогда P( X
700)
P( Z
2,5)
X
Последнее значение мы нашли по таблице 2 в приложении.
1, 25) 1 F(0,1) (1, 25) 1 0,8944
Аналогично P( X 550) P( Z
m
X
0,1056 10,56% .
Так как в таблице нет отрицательных значений аргумента, то здесь мы воспользовались свойством функции F(0,1) ( z ) : F(0,1) ( z ) 1 F(0,1) ( z ) .
И, наконец, P(550
X
700)
P( 1, 25 Z
2,5) 0,9938 0,1056 0,8882 88,82%
37
Кроме этого мы встретимся с распределениями 2 , Стьюдента и Фишера. Для них мы будем использовать следующие обозначения:
2
k — случайная величина, имеющая распределение 2 с k степенями свободы,
T k — случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы,
F k1 , k2 — случайная величина, имеющая распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы.
Таблицы значений функции для этих распределений также приведены в приложении в конце пособия.
Квантилью порядка р распределения случайной величины Х называется действительное число x p , удовлетворяющее уравнению
P X
Квантили
порядка
2
z p , p , t p , f p k1 , k2 .
р
основных
xp
p.
распределений
обозначаются
соответственно
§ 3.5. Действия над случайными величинами
и основные числовые характеристики
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из
них не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина. Если через xi обозначим
возможные значения случайной величины X, а через yj — возможные значения случайной величины
Y, то независимость случайных величин означает независимость событий {Х = xi} и {Y = yj} для любой комбинации индексов i и j.
Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, которая определяется
по следующему правилу: возможные значения — произведение возможных значений xi и yj; вероятности появления — произведение соответствующих вероятностей. Полученную совокупность возможных значений величины XY необходимо упорядочить по возрастанию. Если среди получившейся
совокупности значений есть одинаковые, то оставляем только разные, а соответствующие вероятности суммируем.
Пример.
Заданы законы распределения случайных величин X и Y.
X
-1
0
1
P
0,2
0,3
0,5
Y
-1
1
2
P
0,1
0,3
0,6
Найдем закон распределения для Z=XY:
XY
P
38
-2
-1
0
1
2
0,12
0,11
0,3
0,17
0,3
Суммой независимых случайных величин X и Y называется случайная величина, которая определяется по следующему правилу: возможные значения — сумма возможных значений xi и yj; вероятности появления — произведение соответствующих вероятностей. Полученную совокупность возможных значений величины X + Y необходимо упорядочить по возрастанию. Если среди получившейся совокупности значений есть одинаковые, то оставляем только разные, а соответствующие
вероятности суммируем.
Пример.
Заданы законы распределения случайных величин X и Y.
X
-1
0
1
P
0,2
0,3
0,5
Y
-1
1
2
P
0,1
0,3
0,6
Найдем закон распределения для Z=X+Y:
X+Y
-2
-1
0
1
2
3
P
0,02
0,03
0,11
0,21
0,33
0,3
Если дискретная случайная величина Y является функцией от дискретной случайной величины X,
т. е. Y = f (X), то закон распределения для Y можно получить по следующему правилу:
Y
f (x1)
f (x2)
…
f (xn)
pi
p1
p2
…
pn
Пример.
Задан закон распределения случайной величины X.
X
1
2
3
P
0,2
0,3
0,5
Тогда законы распределения случайных величин Y=X2 и Z=2X-1 представлены ниже.
Y
1
4
9
P
0,2
0,3
0,5
Z
1
3
5
P
0,2
0,3
0,5
39
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но он не всегда известен.
Существуют некоторые числовые характеристики, описывающие случайную величину суммарно. К
ним относятся математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты.
Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам: M [ X ]
n
xi pi — для дискретной случайной величины; M [ X ]
xf ( x)dx −
i 1
для непрерывной случайной величины.
Свойства математического ожидания случайной величины:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой, т. е. M [C] = C;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.
M [CX] = = C M [X];
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е. М [X Y] = M [X] M [Y];
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических
ожиданий, т. е. М [X + Y] = M [X] + M [Y].
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей биномиальное распределение (схема испытаний Бернулли), равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в
одном испытании, т. е. М [X] = n ∙ p.
Пример.
Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут при бросании двух игральных костей.
Законы распределения для случайных величин X и Y примут вид
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Тогда M[X]=M[Y]=1 1/6+2 1/6+…+6 1/6=7/2.
По свойству 4 имеем: M[X+Y]=M[X]+M[Y]=7/2+7/2=7.
Знание математического ожидания случайной величины еще полностью не характеризует эту
случайную величину. По этому числу нельзя еще судить ни о возможных значениях случайной величины, ни о том, как эти значения рассеяны вокруг математического ожидания.
Пример.
Заданы две случайные величины X и Y.
X
-0,01
0,01
P
0,5
0,5
Y
-100
100
P
0,5
0,5
Найдем их математические ожидания M[X]= -0,01 0,5+ 0,01 0,5=0;
M[Y]=-100 0,5+100 0,5=0.
40
Как видно из примера, случайные величины имеют разные возможные значения, но одинаковые
математические ожидания, причем случайная величина X имеет возможные значения близкие к
M[X], а случайная величина Y далекие. Здесь налицо малое и большое рассеяние возможных значений вокруг среднего. Для оценки величины рассеяния используют новую числовую характеристику
дисперсию дискретной случайной величины.
Введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Пусть
X случайная величина; M[X] ее математическое ожидание. Рассмотрим новую случайную величину X-M[X]
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Отклонение имеет следующее важное свойство: математическое ожидание отклонения равно нулю, т. е. M [X – M [X]] = 0.
Для оценки величины рассеяния, казалось бы, проще всего вычислить все возможные значения
отклонения случайной величины, а затем найти их среднее значение. Но это не подходит, т.к. согласно предыдущему свойству эта величина всегда равна нулю для любой случайной величины. Это следует из того, что одни значения отклонения будут больше, а другие меньше нуля. Следовательно,
нужно оценивать абсолютные значения отклонения или их квадраты.
Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D [X] = M [X – M [X]]2.
Если случайная величина задана законом распределения,
xi
pi
x1
p1
…
x2
p2
xn
pn
n
то дисперсию вычислим по формуле D X
( xi
mx ) 2 pi . Для непрерывной случайной вели-
i 1
чины D X
( x mx ) 2 f ( x)dx . Здесь mx
M (X ) .
Пример.
Найти дисперсию случайной величины X, заданную следующим законом распределения:
X
1
2
5
P
0,3
0,5
0,2
M[X]= 1 0,3+ 2 0,5+ 5 0,2=2,3;
(x1 – M[X])2=(1-2,3)2=1,69;
(x2 – M[X])2=(2-2,3)2=0,09;
(x3 – M[X])2=(5-2,3)2=7,29;
D[X]=1,69 0,3+0,09 0,5+7,29 0,2=2,01.
Более простая формула для вычисления дисперсии имеет вид: D [ X ] = M [ X 2] – (M [ X ])2. Поясним
ее применение на предыдущем примере. Для ее использования необходимо составить закон распределения случайной величины X2:
X2
1
4
25
41
P
0,3
0,5
0,2
M[X2]= 1 0,3 + 4 0,5 + 25 0,2 = 7,3; D[X]=7,3-(2,3)2=2,01.
Использование этой формулы существенно сокращает число арифметических действий.
Дисперсия D [X] кратко обозначается Dx .
Свойства дисперсии случайной величины:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е. D [C] = 0;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т. е. D [CX] =
= C 2 D [X];
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т. е.
D [X + Y] = D [X] + D [Y];
4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины, т. е. сдвиг возможных значений случайной величины не изменяет рассеяния: D [C + X] = D [X];
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т. е.
D [X – Y] = D [X] + D [Y]. Действительно, D [X – Y] = D [X] + D [–Y] = D [X] +(–1)2∙D [Y].
Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность, равную квадрату размерности
случайной величины. Если это существенно в эксперименте, то используют другую числовую характеристику, среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный
Dx .
из дисперсии x
Модой дискретной случайной величины является ее наиболее вероятное значение.
Модой непрерывной случайной величины X с плотностью p(x) является то ее значение, при
котором функция p(x) достигает максимума.
Медианой случайной величины X является такое ее значение x p , для которого одинаково веро-
1
.
2
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону,
равно mx np , а дисперсия Dx npq .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона тx =λ; Dx =λ.
Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение,
равно тx =1/p; и дисперсия Dx =(1-p)/p2.
ятно, окажется ли случайная величины меньше x p или больше x p , т. е. P( X
xp )
P( X
xp )
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на
(
)2
участке (
), равны mx
; Dx
.
2
12
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно тx = т, а дисперсия Dx = 2
Примеры:
1.
Сделано два высоко рисковых вклада — 20 млн руб. в компанию A и 18 млн руб. в
компанию B . Компания A обещает 40 % годовых, но может обанкротиться с вероятностью
0,3, компания B обещает 30 % годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Будем
считать, что банкротства компаний независимы. Составить ряд распределения случайной величины X, равной сумме вкладов, полученных от двух компаний через год. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины X.
Согласно условию задачи случайная величина X может принимать следующие значения:
x1 = 0, если обе компании обанкротятся;
42
x2 20 0,4 20 28 , если обанкротится только компания B;
x3 18 0,3 18 23,4 , если обанкротится только компания A;
x4 28 23,4 51,4 , если ни одна из компаний не обанкротится.
Для построения ряда распределения случайной величины X достаточно найти вероятности событий {X xi }, i 1,4 . Рассмотрим дополнительно следующие события: H 1 = {компания A
обанкротится}, H 2 = {компания B обанкротится}. Тогда P{X x1} P( H1 H 2 ) . Согласно формуле умножения вероятностей, а также учитывая независимость событий H 1 и H 2 , будем
иметь P{X x1} P( H1 H 2 ) P( H1 ) P( H 2 ) 0,3 0,2 0,06 . Аналогично найдем вероятности
оставшихся событий. Имея в виду, что события H1 и H 2 так же независимы, как и события H 1
и H 2 , получим:
P{X
x2 } P( H1 H 2 ) P( H1 ) P( H 2 ) 0,7 0,2 0,14 ,
P{X
x3} P( H1 H 2 ) P( H1 ) P( H 2 ) 0,3 0,8 0,24 ,
P{X x4 } P( H1 H 2 ) P( H1 ) P( H 2 ) 0,7 0,8 0,56 .
Таким образом, имеем ряд распределения случайной величины ξ .
0,00
0,06
X
P
23,40
0,24
28,00
0,14
51,40
0,56
По определению математическое ожидание случайной величины X может быть найдено следующим образом: M (X)
4
xi pi
0 0,06 23,4 0,24 28 0,14 51,4 0,56 38,32 . Найдем так-
i 1
же дисперсию случайной величины X : D(X)
4
( xi
M (X))2 pi
252,25 .
i 1
Найти квантиль уровня p
2.
2
для случайной величины X, заданной плотность вероят3
2 x, x [0,1]
.
0,
x [0,1]
[0,1] функция распределения
ности вида f ( x)
На
отрезке
x
F ( x)
случайной
величины
X
имеет
вид
x
2tdt x 2 , x [0, 1] , и поэтому является непрерывной и строго монотонной на
f (t )dt
0
0
отрезке [0, 1]. В соответствии со свойством квантили находим x2 / 3 из уравнения F ( x2 / 3 )
2
,
3
2
.
3
3. Страховая компания заключает однотипные договоры, причем страховая премия
(сумма, выплачиваемая страхуемым при заключении договора) составляет 4 тыс. рублей. При
наступлении страхового случая компания должна выплатить 20 тыс. рублей. Известно, что
страховой случай наступает в 4 % случаев. Фирме удалось застраховать 200 клиентов. Каков
средний доход фирмы и среднеквадратическое отклонение дохода фирмы?
Обозначим через X − случайную величину, равную количеству клиентов, которым страховая
компания будет делать выплаты по страховому случаю. Так как страховой случай наступает в
4 % случаев, то вероятность того, что он наступит при работе с одним конкретным клиентом
составляет 0,04. Поэтому случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с
параметрами n 200 и p 0,04 . Обозначим через Y случайную величину, равную доходу
фирмы. Согласно условию задачи случайная величина Y связана с X следующим образом:
Y 200 4 000 20 000 X .
Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии для нахождения M (Y) и
D(Y) : M (Y ) M (200 4 000 20 000 X) 800 000 20 000 M (X) ,
откуда x2 / 3 =
43
D(Y ) D(200 4 000 20 000 X) 4 108 D(X) . Известно, что для биномиального закона распределения M ( X ) np 200 0,04 8 , а D( X ) npq 200 0,04 0,96 7,68 .
Получаем M (Y) 800 000 20 000 8 640 000 , а D(Y) 4 108 7,68 3 072 106 . Таким образом, среднеквадратическое отклонение дохода фирмы равно 3 072 106 55 426 руб.
4.
Если соблюдается график движения, то среднее время ожидания пассажиром трамвая
равно 3,5 минуты. Известно, что время ожидания имеет равномерный закон распределения.
Минимальное время ожидания равно 0. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать
трамвай от двух до пяти минут.
Обозначим время ожидания трамвая через X. Согласно условию задачи X равномерно распределена на интервале (a, b) , где a 0 , а M (X) 3,5 . Найдем параметры закона распределеa b
M (X)
3,5
ния, решив следующую систему уравнений:
. Получаем, что второй пара2
a 0
5
метр закона распределения b 7 . Тогда
f ( x)dx , где плотность распределения
P{2 X 5}
2
случайной
величины
имеет
вид
f ( x)
1
,
7
0,
x [0,7]
.
Получаем
x [0,7]
5
1
3
dx
0, 428.
7
7
2
5.
Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 175 см, а среднеквадратическое отклонение
равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от
среднего роста не больше чем на 7 см.
Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X. По условию задачи X имеет нормальное распределение с параметрами M (X) 175 , а D( X ) 49 . Требуется определить
P(2 X 5)
7} . Так как интервал (M (X) 7, M ( X ) 7) симметричен относительно M (X) ,
P{ X M (X)
7
) 2 0 (1) 2 F(0,1) (1) 1 2 0,8 413 1 0,682 6 .
D( X )
6.
Банк выдал кредит 10 млн рублей на год под залог жилого дома под 8 % годовых. Для
уменьшения риска банк приобрел страховой полис на 20 млн. рублей, заплатив 3 % от страховой суммы. В страховой компании вероятность сгореть дому такого типа за год оценивают в
0,01 (в этом случае заемщик не вернет банку ничего). Найти средний доход банка.
Пусть X есть случайная величина, равная доходу банка. Через Y обозначим случайную вели0,03 20 Y , где Y имеет следующий
чину, равную доходу, который приносит дом. Тогда X
закон распределения:
то P{ X M (X)
Y
P
7} 2
0
(
Дом не сгорит
0,8
0,99
Дом сгорит
20 – 10
0,01
Следовательно, M (Y) 0,8 0,99 10 0,01 0,892 .
Средний ожидаемый доход M (X)
0,03 20 M (Y ) 0,6 0,892 0,292 .
7.
Согласно американским статистическим таблицам смертности вероятность того, что
25-летний человек проживет еще год, равна 0,992. Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1 000 долл., причем страховой взнос равен
10 долл. Найти математическое ожидание прибыли компании.
Величина прибыли X есть случайная величина со значениями 10 долл. (если застрахованный человек не умрет) и –990 долл. (если он умрет). Тогда закон распределения этой случайной
величины имеет вид.
44
–990
0,008
10
0,992
X
P
Тогда M ( X ) 10 0,992 ( 990) 0,008 2 . Ожидаемая средняя прибыль положительна, что
дает возможность страховой компании продолжать дело, оставлять резервный капитал для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.
8.
Дети затеяли интересную игру. В одной из трех совершенно одинаковых шкатулок
спрятан красивый значок. Желающий отгадать выбирает любую шкатулку и проверяет, есть ли
в ней значок. Если значка в ней не оказалось, он должен отвернуться. За его спиной шкатулки
переставляют местами. Ему предлагают попытать счастье еще раз. Игра продолжается до обнаружения значка. Пусть X — число попыток до отгадывания. Найдите закон распределения случайной величины X, M (X) и D(X) .
В задаче производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность выбора
1
шкатулки со спрятанным в ней значком равняется p
и, следовательно, вероятность выбора
3
2
шкатулки без значка равняется q
. Испытания заканчиваются, как только будет выбрана
3
шкатулка со значком. Таким образом, если шкатулка со значком выбрана в k-ом испытании, то
в предшествующих k 1 испытаниях она не была выбрана. По теореме умножения вероятностей независимых событий P (X k ) q k 1 p . Данное распределение является геометрическим
распределением, закон которого представлен следующей таблицей
1
1/3
k
p
2
2/9
3
4/27
...
...
...
...
k
qk 1 p
2
q
1
3
Тогда M ( X )
6.
3 , D(X)
2
2
p
p
1
3
9.
Случайная величина X принимает три значения: –1, 0, 1. Составить ее закон распределения, если M (X) 0, D(X) 0,5 .
Обозначая искомые вероятности p1 , p2 , p3 , приходим к следующему закону распределения
случайной величины ξ :
По
хi
–1
0
1
pi
p1
p2
p3
условию
2
D(X) M ( X )
M (X )
2
задачи
p1
p3
( p1
p3 )
M (X)
2
p1
p3
p1
p3
и
0
0,5 . Заметим, что p1 + p2 + p3 =1.
Для нахождения вероятностей p1 , p2 , p3 получаем следующую систему:
p1
p3
0
p1
p3
0,5 .
p1 + p2
p3 1
Отсюда, решая ее, получим p1 = 0,25; p2 = 0,5; p3 = 0,25.Закон распределения случайной величины X имеет вид:
хi
-1
0
1
pi
0,25
0,5
0,25
10.
Рабочий обслуживает четыре автоматические линии, действующие независимо друг от
друга. Вероятности того, что в течение смены эти линии потребуют вмешательства рабочего,
45
равны соответственно 0,3; 0,35; 0,4; 0,45. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
линий, которые потребуют вмешательства рабочего в течение смены.
Пусть X1 , X2 , X3 , X4 — случайные величины, принимающие значения 1 и 0 в зависимости
от того, потребует или не потребует вмешательства рабочего соответствующая автоматическая
линия. Тогда законы распределения этих случайных величин выглядят следующим образом:
для X1
хi
1
0
pi
0,3
0,7
хi
1
0
pi
0,35
0,65
хi
1
0
pi
0,4
0,6
хi
1
0
pi
0,45
0,55
для X 2
для X 3
для X 4
Следовательно, по формулам вычисления математического ожидания и дисперсии имеем:
MX1 0,3, MX 2 0,35, MX 3 0, 4, MX 4 0, 45, DX1 MX12 ( MX1 ) 2 0,3 0,09 0, 21 . Аналогично DX2 0,2 275, DX3 0,24, DX4 0,2 475. Общее число X линий, которые потребуют вмешательства рабочего, может быть представлено в виде суммы: X = X1 + X 2 + X3 + X 4 .
По свойству вычисления математического ожидания для суммы случайных величин имеем:
MX MX1 MX2 MX3 MX4 0,3 0,35 0,4 0,45 1,5 .
Поскольку величины X1 , X2 , X3 , X4 независимы, то
DX DX1 DX2 DX3 DX 4 0,21 0,227 5 0,24 0,247 5 0,925 .
11.
Может ли случайная величина X иметь биномиальное распределение вероятностей,
если: а) MX 6, DX 3 ; б) MX 7, DX 4 .
а) Для биномиального распределения вероятностей MX np, DX npq np(1 p) , где n —
количество независимых испытаний, p — вероятность успеха, а q 1 p — вероятность неnp 6
. Разделив
np(1 p) 3
1
1
1
, q
второе уравнение системы на первое, получим 1 p
или p
. Из первого уравне2
2
2
ния системы n 12 . Имеем серию из 12 независимых испытаний с вероятностью успеха равной
1
, т. е. случайная величина X имеет биномиальное распределение вероятностей.
2
np 7
б) В этом случае имеем систему уравнений
. Разделив второе уравнение системы
np(1 p) 4
4
3
4
49
, q
на первое, получим 1 p
или p
. Из первого уравнения системы n
. Коли7
7
3
7
чество испытаний получилось дробным, значит, случайная величина X в этом случае не имеет
биномиального распределения.
удачи. Для нахождения этих характеристик имеем систему уравнений
46
если
0,
x 0
a x , если 0
x 1
2
Дана функция f ( x)
12.
.
a (2 x) , если 1 x 2
0,
если x 2
При каком значении параметра a функция f ( x) является плотностью распределения случайной
величины X ? Определить MX, функцию распределения и найти вероятность попадания X в
интервал (0,5;1,5) .
Используем следующее свойство плотности распределения непрерывной случайной величи2
1
ны
2
f ( x)dx 1 или в нашем случае a x 2 dx a (2 x)2 dx 1 .
0
3 1
1
3 2
3
x
(2 x)
a a
.
a
1 , т. е. a
3 0
3 1 3 3
2
Находим математическое ожидание по формуле
Откуда a
1
2
3 3
3
3 x4
MX
xf ( x)dx
x dx
x(2 x) 2 dx
20
21
2 4
.Вычислим функцию распределения по формуле
0,
если x 0
x
F ( x)
f (t ) dt
Тогда P(0,5
1
0
3
(4 x 4 x 2
2
x3 )
2
1
3 1
2 4
3
2
6
28 15
3
4
1
x3
,
если 0 x 1
2
.
(2 x)3
1
если 1 x 2
2
1,
если x 2
1,5)
F (1,5) F (0,5) (1
(2 1,5)3
)
2
0,53
2
0,875 .
Задания для самостоятельного решения на дискретные случайные величины:
1. У дежурного гостиницы в кармане восемь разных ключей от разных дверей. Вынув наугад
ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать
открывать эту комнату, если: а) проверенный ключ кладется обратно в карман; б) проверенный ключ
не кладется обратно в карман.
2. Дискретная случайная величина X принимает только три возможных значения: x1 1, x2 , x3 ,
причем x1 x2 x3 . Вероятности того, что X примет значения x1 и x2 соответственно равны 0,3 и
0,2. Постройте закон распределения случайной величины X, зная, что математическое ожидание равно 2,2 и дисперсия равна 0,76.
3. Задан закон распределения дискретной случайной величины с одной недостающей вероятно2
1 0 1 2
стью
. Построить график функции распределения случайной величины, вы0,1 0,3 0,2
0,1
числить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
4. Случайная величина X принимает три значения: –1, 0, 1. Составить ее ряд распределения, если
M (X) =0, D(X) =0,5.
47
5. По заданной функции распределения F ( x)
0 при
1
при
4
3
при
4
1 при
x
1
1 x 2
случайной величины X
2
x 3
x 3
найдите M (X) и D(X) .
6. Какой наименьшей и какой наибольшей может быть дисперсия D(X) случайной величины Xс
0 при x 0
0,3 при 0 x 2
функцией распределения F ( x)
в зависимости от параметра a ?
a при 2 x 6
1 при x 6
7. Трое студентов независимо друг от друга сдают экзамен по математике на отлично с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно. Пусть X — общее число полученных ими отличных оценок.
Вычислите M (X) и D(X) .
8. Может ли случайная величина X иметь биномиальное распределение вероятностей, если:
а) M (X) =6, D(X) =3; б) M (X) =7, D(X) =4.
9. Пусть X— число решек, Y — число орлов, выпадающих при шести бросаниях монеты. Пусть
Z max( X , Y ) . Вычислите M(Z).
10. Постройте график функции распределения случайной величины X, распределенной равномерно на множестве {–1, 0, 1}.
11. Пусть X — число успехов, а Y — число неудач в трех испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха в отдельном испытании p 0,6 . Постройте график функции распределения случайной величины Z X Y и вычислите M(Z).
12. Случайная величина X имеет геометрическое распределение вероятностей с параметром p .
Чему равна вероятность того, что X примет четное значение?
13. По пути движения автомобиля пять светофоров. Каждый из них, независимо от остальных
светофоров, с вероятностью 0,5 запрещает движение. Пусть X — число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найдите закон распределения случайной величины X и ее математическое ожидание.
14. Закон распределения случайной величины X выглядит следующим образом
X
р
–0,5
0,1
0
0,4
0,5
0,1
1
0,3
1,5
0,1
Построить ряды распределения и найти математическое ожидание следующих случайных величин: а) Y 10 X 1 ; б) Y
X 2 ; в) Y 2 X .
Задания для самостоятельного решения на непрерывные случайные величины:
1. Плотность вероятности случайной величины X имеет следующий вид:
f ( x)
3h
h
0
при x [ 1, 0]
при x [1, 2]
.
в остальных случаях
Найти величину h , функцию распределения случайной величины X, M (X) и D(X) , а также моду и медиану распределения.
2. Случайная величина X имеет нормальное распределение вероятностей со средним значением
25. Вычислить вероятность попадания этой случайной величины в интервал (35, 40), если она попадает в интервал (20, 30) с вероятностью 0,2.
3. Найти квантиль уровня p=2/3 равномерного распределения на интервале (0, 1).
4. Найти квантиль уровня p=2/3 экспоненциального распределения с параметром =1.
48
5. Случайная величина X принимает положительные значения, имеет плотность вероятностей
f ( x)
ax2 2ax . Найти значение параметра a и математическое ожидание случайной величины
X.
6. Случайная величина X, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики: M (X) =2, D(X) =3. Найти функцию распределения случайной величины X.
7. Известно, что случайная величина X имеет равномерное распределение в интервале (а, b),
причем M (X) = D(X) =3. Найдите числа a и b.
8. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается случайной величиной
X с плотностью распределения f ( x)
0 при x 1
. Найти значение параметра c , средний
c
при x 1
4
x
годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода Xmin, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.
9. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим
ожиданием 15,28 рублей и средним квадратичным отклонением 0,12 рублей. Рассчитать вероятности
того, что цена акции окажется: а) не ниже 15,50 рублей; б) не выше 15,00 рублей; в) между 15,10 и
15,40 рублями; г) между 15,05 и 15,10 рублями.
10. Найти моду и медиану случайной величины X, которая имеет равномерное распределение в
интервале (0, 5).
Задания для самостоятельного решения на биномиальное распределение:
В следующих задачах нужно: определить закон распределения случайной величины, найти числовые характеристики распределения, найти функцию распределения и построить ее график.
1. В городе шесть коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет
10 %. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не более одного банка? Случайная величина X — количество обанкротившихся банков.
2. Нефтеразведочная компания получила финансирование для проведения шести нефтеразведок,
вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что работу осуществляют независимые
друг от друга разведывательные партии. Чему равна вероятность того, что не менее двух нефтеразведок принесут успех? Случайная величина X — количество успешных нефтеразведок.
3. Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % правильных решений. Пусть
управляющий банком — хороший руководитель, принимающий правильное решение с постоянной
вероятностью 0,75. Такому управляющему банком предстоит принять решения по четырем важным
вопросам банковской политики. Случайная величина X — количество правильных решений, принятых управляющим. Чему равна вероятность того, что управляющий примет не менее трех правильных решений?
4. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает
пять счетов. Вероятность наличия ошибки в каждом счете — величина постоянная и равна 0,03. Случайная величина X — количество счетов с ошибкой. Какова вероятность того, что хотя бы один счет
будет с ошибкой?
5. В банк поступило 30 авизо. Есть подозрение, что среди них три фальшивые. Тщательной проверке подвергаются пять случайно выбранных авизо. Случайная величина X — количество фальшивых авизо среди отобранных. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее
двух фальшивок?
6. Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых полисов старше 50 лет
потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке отобраны пять человек
старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X — количество потребующих возмещения
среди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек?
7. Билет для зачета содержит пять вопросов, к каждому из которых приведено четыре возможных ответа (правильный ответ только один). Предположим, что студент выбирает ответы среди предложенных наугад. Случайная величина X — количество правильных ответов, угаданных студентом.
Какова вероятность того, что он ответит правильно не менее чем на четыре вопроса?
49
8. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают 5 % ошибок. Аудитор случайно отбирает три входящих документа. Случайная величина X —
количество документов с ошибками среди отобранных. Какова вероятность того, что аудитор обнаружит более одного ошибочного документа среди отобранных?
9. Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. Случайным образом отобраны шесть телезрителей.
Случайная величина X — количество лиц, видевших рекламу, среди отобранных. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, два телезрителя из отобранных видели рекламу нового питания?
10. Торговый агент контактирует с семью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему
известно: вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Случайная
величина X — количество покупателей, совершивших покупку после встречи с торговым агентом.
Чему равна вероятность того, что хотя бы два посетителя сделают покупки?
Задания для самостоятельного решения на нормальное распределение:
1. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 т до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.
2. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.
3. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 долл., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была: а) более 60 долл. за акцию; б) ниже 60 долл. за акцию; в) выше
40 долл. за акцию; г) между 40 и 50 долл. за акцию.
4. Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько
партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количество каучука в покрышках каждой следующей партии до тех пор, пока
срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение
срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет
2 500 миль. Если компания хочет, чтобы 80 % выпускаемых покрышек имели срок службы не менее
2 500 миль, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.
5. Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то,
что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дней, однако для выполнения 20 % заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая,
что время выполнения заказа есть случайная величина, распределенная по нормальному закону,
определите фактическое стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.
§ 3.6. Неравенство Чебышева и интегральная
теорема Муавра — Лапласа
Если в схеме испытаний Бернулли параметры n и k большие числа, то достаточно затруднительно
применить формулу Бернулли. В этом случае применяется локальная теорема Лапласа, согласно ко1
k np
(
) , где φ(x)− функция
торой вероятность Pn (k ) можно вычислить по формуле Pn ( k )
npq
npq
плотности нормального распределения (таблица 1).
50
Если параметр k попадает в некоторый интервал l k m и при этом значение параметра n
большое, то задачу вычисления вероятности помогает решить интегральная теорема Муавра—
Лапласа:
P(l
m) Ф0 (
k
m np
l np
) Ф0 (
)
npq
npq
F( 0,1) (
m np
l np
) F( 0,1) (
),
npq
npq
где
F( 0,1) ( x) −функция нормального распределения (таблица 2).
Иногда, при решении ряда задач, бывают полезны следующие неравенства Чебышева, которые
верны в предположении конечности математического ожидания и дисперсии:
MX
1. P( X
;
)
2. P ( X
MX
)
DX
2
;
Примеры:
1. Согласно данным статистической службы области 5,5 % трудоспособного населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что в случайно отобранной группе из
1 000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до 0,065. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и теоремы Муавра—Лапласа.
Пусть случайная величина Xi принимает значение 1, если i-ый выбранный человек безработный, и значение 0 — в противном случае, i 1, 2, K ,1000 . Для распределения Бернулли имеем Mξ i p 0,055, Dξ i p(1 p) 0,0519 . Доля безработных может быть представлена случайной величиной ζ
1 1 000
ξ i . Используя свойства математического ожидания и дисперсии
1 000 i 1
для независимых случайных величин, получим Mζ p 0,055, Dζ 5,19 10 5 . Теперь необходимо оценить вероятность P{0,045
0,065} . Проведем очевидные преобразования:
P{0,045 ζ 0,065} P{0,045 Mζ ζ Mζ 0,065 Mζ} P{ζ Mζ
Согласно неравенству Чебышева имеем 1 P{ ζ Mζ
0,01} 1
0,01} .
Dζ
(0,01) 2
1 0,519 0, 481 .
Согласно интегральной теореме Муавра — Лапласа имеем
0,045 Mζ ζ Mζ 0,065 Mζ
0,01
P{0,045 ζ 0,065} P{
} 2Фо (
)
0,75 10 2
Dζ
Dζ
Dζ
2Фо (1,33) 0,816 4
2.
Известно, что 30 % призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо
иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев?
Очевидно, что имеет место схема Бернулли. Подбор пары обуви каждому призывнику — одно
из 200 испытаний, причем вероятность того, что ему потребуется обувь 27 размера, равна 0,3
(это есть вероятность успеха). Пусть на складе имеется k пар обуви, где k пока неизвестно.
Требуется подобрать такое k , чтобы P200 (0 m k ) 0,9 . Поскольку n 200 велико, а вероятности успеха и неудачи не малы ( p 0,3 и q 0,7 соответственно), применяем интегральную
формулу Муавра—Лапласа.
k np
0 np
k 200 0,3
0 200 0,3
P200 (0 m k ) Ф0 (
) Ф0 (
) Ф0 (
) Ф0 (
)
npq
npq
200 0,3 0,7
200 0,3 0,7
Ф0 (
k 60
60
k 60
k 60
) Ф0 (
) Ф0 (
) Ф 0 (9, 26) Ф 0 (
) 0,5 0,9.
6, 48
6, 48
6, 48
6, 48
51
k 60
k 60
) 0, 4 . По таблицам функции Лапласа имеем
1, 28
6, 48
6, 48
или k 68, 284 . То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос.
3.
Вероятность того, что любой зашедший в тир курсант своевременно выполнит упражнения по стрельбе, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших курсантов не
менее 75 своевременно выполнят упражнения по стрельбе.
Так как значение n 100 велико, p 0,8 и q 1 p 0,2 не малы, то решение задачи лежит
в применении интегральной формулы Муавра — Лапласа:
100 100 0,8
75 100 0,8
P100 (75 m 100) Ф0 (
) Ф0 (
) Ф0 (5) Ф0 ( 1,2)
100 0,8 0,2
100 0,8 0,2
Надо решить неравенство Ф0 (
Ф0 (5) Ф0 (1,2) 0,5 0,385 0,885.
4. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей отдает свой голос за кандидата А с
вероятностью 0,7 и за кандидата В — с вероятностью 0,3. Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5 000 избирателей) кандидат А опередит
кандидата В не менее чем на 1 900 голосов.
Обозначим через случайную величину, равную числу голосов, поданных за кандидата А.
Тогда
имеет биномиальное распределение с n 5 000, p 0,7 и, следовательно,
P(ξ (5 000 ξ) 1900) P(ξ 3 540) 1 P(ξ 3 540) . По интегральной теореме Муавра—
Лапласа P (ξ 3 540) Ф 0
3 450 5 000 0,7
5 000 0,7 0,3
Ф0 (
) Ф 0 ( 1,54)
1
2
1
Ф 0 (1,54) .
2
1
Ф0 (1,54) 0,938 2 .
2
5.
Средняя температура в квартире в период отопительного сезона равна 20o C , а среднее
квадратическое отклонение равно 2o C . С помощью неравенства Чебышева оцените снизу вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине
менее чем на 4o C .
Обозначим через
случайную величину, равную температуре в квартире. Тогда по условию
Тогда 1 P(ξ 3 540) 1
задачи случайная величина
Имеем P(
M
4) 1 P(
имеет Mξ
M
20o C, Dξ
4) .
1
. Тогда оценка снизу имеет вид
4
3
3
. Итак, P( ξ Mξ 4)
.
4
4
Но по неравенству Чебышева P( ξ Mξ
P( ξ Mξ
4) 1 P( ξ Mξ
4) 1
4o C .
1
4
4)
Dξ
42
4
16
Задания для самостоятельного решения:
1. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на
каждый восьмой договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество n
договоров, которые нужно заключить, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,8, можно было
утверждать, что частота страховых случаев отклонится от вероятности не более чем на 0,01 по абсолютной величине. Уточнить результат с помощью формулы Муавра — Лапласа.
2. В среднем каждая тридцатая видеокассета, записываемая в студии, оказывается бракованной.
Оценить вероятность того, что из 900 кассет, записанных в студии, число бракованных окажется в
пределах от 25 до 35. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Сравнить полученные результаты.
3. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75 % от числа заложенных яиц. Оценить вероятность
того, что из 1 000 заложенных яиц вылупятся: а) ровно 750 цыплят; б) от 720 до 780 цыплят.
4. Известно, что 80 % специалистов в районе имеют высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеют: а) не менее 70; б) от 65 до
90 человек.
52
5. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того,
что среди 500 наугад купленных билетов не менее 48 и не более 55 безвыигрышных?
6. На выборах мэра города каждый из 1 000 000 избирателей независимо от остальных отдает
свой голос за кандидата А с вероятностью 0,6 и с вероятностью 0,4 — за кандидата В. С какой вероятностью на выборах победит кандидат А?
7. В лыжной гонке на 50 км участвуют 10 000 человек. В среднем лишь 80 % участников выдерживают испытание до конца, а остальные сходят с дистанции. Оцените вероятность того, что в этой
гонке к финишу придет: а) ровно 3 550 человек; б) не менее 3 550 человек.
8. На факультете обучаются 300 студентов. Предполагая, что вероятность родиться в любой
день года одинакова, найдите вероятность того, что ровно 80 студентов факультета будут праздновать дни рождения летом.
9. Известно, что 40 % автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо и
60 % — налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно
250 повернули налево?
10. Какова вероятность того, что из 2 450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от
1 500 до 1 600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.
11. Средняя температура в квартире в течение отопительного сезона равна 22 С, а ее среднее
квадратическое отклонение равно 4 С. Оценить вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине менее чем на 3 С.
12. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1 000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
13. Фамилия каждого десятого мужчины начинается с буквы М. Найдите вероятность того, что
среди 900 солдат полка окажется от 80 до 120 солдат, чьи фамилии начинаются с буквы М.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной величины.
2. Перечислите основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
3. Назовите основные числовые характеристики случайной величины и перечислите их значения для основных распределений.
4. Сформулируйте основные действия со случайными величинами.
5. Перечислите основные свойства числовых характеристик.
6. Дайте определение интегральной и дифференциальной функции распределения, назовите
их основные свойства.
7. Сформулируйте теорему Лапласа и Муавра-Лапласа. Укажите условия их применения.
Список основной литературы
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование,
2009. - 478.
2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. :
Высш. образование, 2009. – 403.
4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е.
А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
Список дополнительной литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование,
2006. - 404 с.
53
2.
3.
4.
54
Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть
II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ
§4.1 Основные определения
В математической статистике изучаются методы статистического наблюдения и анализа статистических данных. Одним из основных способов статистического наблюдения является так называемый выборочный метод. Исследуемая совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Совокупность n объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой. Число n называется объемом выборки. Метод,
состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности, выделенной из данной генеральной совокупности объектов, делается заключение обо всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.
Пример.
Завод производит электрические лампочки и нас интересует продолжительность их горения, т.е. срок
работы. Здесь применение выборочного метода необходимо, потому, что нельзя произвести сплошное
обследование лампочек на длительность горения, т.к. после такого испытания лампочка сгорает и не
может выполнять своего предназначения.
Можно определить две основные задачи математической статистики:
Указать способы сбора и группировки статистических сведений.
Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Как уже упоминалось ранее, исходную совокупность можно подвергнуть сплошному обследованию,
т.е. проверить каждый объект совокупности. Это можно сделать, если объем совокупности не большой.
Если это не так, то мы применяем выборочный метод исследования.
Различают повторную выборку, когда выбранный предмет возвращается в генеральную совокупность и
участвует на равных правах с остальными при следующем отборе, и бесповторную выборку, когда отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.
Возможные способы отбора разделим на два класса:
1. Без разбиения генеральной совокупности на части. Сюда входят простой случайный бесповторный
отбор и простой случайный повторный отбор.
2. С разбиением генеральной совокупности на части. Этот способ включает типический, механический и серийный отборы.
Типический отбор генеральная совокупность разбивается на типические части, из которых уже
извлекаются объекты. Типическим отбором пользуются, когда обследуемый признак сильно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.
Механический отбор генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько
элементов в выборке и из каждой группы выбирается один объект. Например, с конвейера завода
снимают каждую двадцатую деталь. В результате получаем выборку, содержащую 5% деталей.
Серийный отбор из генеральной совокупности выборка извлекается не по одному объекту, а извлекается сразу целая серия, которая подвергается сплошному обследованию.
55
Сделаем случайную выборку из генеральной совокупности, получив выборочную совокупность из n элементов. Для того, чтобы выборка давала правильное представление о массовом явлении, нужно, чтобы она производилась случайным образом, т.е. чтобы вероятность быть выбранным
была одинаковой для всех объектов. Это свойство называется репрезентативностью выборки.
Вся генеральная совокупность исследуется относительно некоторого критерия. Критерий может быть количественный (рост, вес, оценка) или качественный (годный−негодный; зачет−незачет).
Рассмотрим случай количественного критерия. Как объект критерий есть случайная величина, а она
может быть дискретной или непрерывной. В распоряжении исследователя есть n чисел, как реализация критерия на выборке. Если в этой совокупности есть повторяющиеся значения, то критерий дискретный, если нет, то критерий непрерывный. Желательно определить закон распределения этой
случайной величины и его основные характеристики: математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Пример.
Электрические лампочки, произведенные на заводе за определенный период времени –это генеральная совокупность. Количественный критерий Х−срок службы лампочки. Испытав выбранные
лампочки на продолжительность горения, получим n числовых значений x1, x2,..., хn , являющихся
значением некоторой случайной величины X продолжительности горения лампочки. По этим
данным требуется сделать достаточно надежное суждение о продукции завода. Желательно определить закон распределения случайной величины X и его основные характеристики, математическое
ожидание (средняя продолжительность горения), среднее квадратическое отклонение (если эта характеристика большая, то часто будут попадаться лампочки со сроком горения значительно отличающимися от среднего).
§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки
Пусть в результате выборки объема n, т.е. при n независимых испытаниях, исследуемый количественный признак дискретная случайная величина X принял n1 раз значение x1, n2 раз значение
x2, …, nk раз значение xk. Таким образом, n1 + n2 + …+ nk = n. Значения x1, x2,..., хk , называемые иногда наблюдаемыми значениями случайной величины X, можно считать расположенными в порядке
возрастания: x1 x2 ... хk .
Последовательность значений x1, x2,..., хk , исследуемой случайной величины X, расположенных в
неубывающем порядке и принимаемых ею в результате выборки объема n с частотами соответственно
n1 , n2 , …, nk , где n1 + n2 + …+ nk = n, называется вариационным рядом, а каждое значение
xi (i = 1, 2, …, k) вариантой. То есть, вариационный ряд можно определить как последовательность
наблюдаемых значений исследуемой случайной величины, расположенных в неубывающем порядке.
Частоты n1 , n2 , …, nk , соотнесенные к объему выборки, т.е.
1
n1
,
n
2
n2
, ... ,
n
k
nk
, называn
ются относительными частотами.
Теоретическим законом распределения случайной величины X называется закон распределения количественного признака в генеральной совокупности. Теоретический закон распределения записывается в виде таблицы, в верхней строке которой расположены все значения случайной величины (т.е. все
объекты генеральной совокупности), а в нижней соответствующие им вероятности.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Пример.
56
Записать в виде вариационного ряда выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Определить размах и статистическое распределение выборки.
Объем выборки n=15. Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд 2, 2,
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки
называется размахом выборки, который в нашем случае равен 10 –2 =8. Различными в заданной
выборке являются элементы х1=2, х2=3, х3=4, х4=5, х5=7, х6=10; их частоты соответственно равны
n1=3, n2=1, n3=2, n4=3, n5=4, n6=2. Следовательно, статистическое распределение исходной выборки
можно записать в виде следующей таблицы:
xi
2
3
4
5
7
10
ni
3
1
2
3
4
2
Задания для самостоятельного решения:
Для каждой из приведенных ниже выборок определить размах, построить вариационный ряд и
определить статистическое распределение выборки.
a) 11, 15, 12, 0, 16, 19, 6, 11, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3.
b) 17, 18, 16, 16, 17, 18, 19, 17, 15, 17, 19, 18, 16, 16, 18, 18.
Эмпирический закон распределения отличается от теоретического закона, прежде всего тем, что
вместо вероятностей значений величины в таблице выписываются относительные частоты.
Эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки F*(x), называется
функция F * ( x)
n( x)
, где n
n
общее число наблюдений, а n(x)
число наблюдений, для которых
оказалось X<x.
Эмпирическая функция распределения F*(x) отличается от теоретической интегральной функции
распределения F(x) тем, что вместо вероятности события {X< x} берется относительная частота этого
события.
Свойства эмпирической функции распределения:
1. F*(x)
[ 0, 1];
2. F*(x)
неубывающая функция;
3. если x1
x > хk.
наименьшая, а хk
наибольшая из вариант, то F*(x) = 0 при x < x1 и F*(x)= 1 при
Пример.
Задан эмпирический закон распределения.
xi
2
6
10
ni
12
18
30
Построим эмпирическую функцию распределения.
Объем выборки n=12+18+30=60. Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
57
*
F ( x)
0
12
60
30
60
1
x
2,
2
x
6,
6
x 10,
x 10
Задание для самостоятельного решения:
Построить эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной следующим статистическим распределением.
хi
15
16
17
18
19
ni
1
4
5
4
2
§4.3. Графическое изображение статистического распределения
Для наглядности статистическое распределение изображают в виде различных графиков. Выделяют
несколько видов.
Распределение дискретной случайной величины изображается полигоном частот, который получается следующим образом. По оси абсцисс откладываются наблюдаемые значения x1, x2,..., хk случайной
величины X, а по оси ординат соответствующие частоты этих значений n1 , n2 , …, nk. Полученные
точки с координатами (xi, ni) соединяются прямолинейными отрезками. Если в указанном построении
вместо частоты берется относительная частота, то получается полигон относительных частот. Два этих
графика различаются между собой только масштабом по оси ординат.
( xi , ni )
хi
Рис.13 Полигон частот
Полигон частот является статистическим аналогом многоугольника распределения для случая
дискретного критерия.
Пример.
Имеются следующие данные о размере обуви, проданной магазином за день:
39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 40, 42, 41, 41, 43, 42, 39,
42, 43, 41, 42, 41, 38, 42, 42, 41, 40, 41, 43, 41, 39, 40.
Составим эмпирический закон распределения:
xi
38
39
40
41
42
43
44
ni
1
3
5
9
7
4
1
Построим полигон частот (рис.14).
58
Рис.14 Полигон частот
Для непрерывно распределенного критерия промежуток, в котором заключены все наблюдаемые
значения, разбивается на ряд интервалов. Обычно берут интервалы одинаковой длины h. Если количество интервалов разбиения k задано, то h
x max
x min
k
, где xmin и xmax
минимальная и максимальная
варианты. Если число интервалов не задано, то обычно пользуются следующей формулой:
k [log 2 n] 1 , где [x] целая часть числа x.
Гистограммой частот, соответствующей выборке x1, x2,..., хn, называют ступенчатую функцию, принимающую постоянное значение ni / h на i м интервале длины h. Площадь полученной ступенчатой
фигуры равна n.
Гистограммой относительных частот, соответствующей выборке x1, x2,..., хn, называют ступенчатую функцию, принимающую постоянное значение i / h на i м интервале длины h. Тогда площадь
i того прямоугольника равна i , а площадь полученной ступенчатой фигуры равна единице.
Если количество наблюдений n неограниченно возрастает, а длина промежутков h стремится к нулю,
то гистограмма относительных частот будет приближаться к плотности распределения исследуемого
признака. Поэтому гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности
распределения (функции плотности f(x)).
i/
h
xmin
xmax
Рис.15 Гистограмма относительных частот
59
Задание для самостоятельного решения:
Построить гистограмму и график эмпирической функции распределения выборки из 55 наблюдений,
используя 7 интервалов группировки. Выборка:
20,3 15,4 17,2 19,2 23,3 18,1 21,9 15,3 16,8 13,2 20,4 16,5 19,7 20,5
14,3 20,1 16,8 14,7 20,8 19,5 15,3 19,3 17,8 16,2 15,7 22,8 21,9 12,5
10,1 21,1 18,3 14,7 14,5 18,1 18,4 13,9 19,1 18,5 20,2 23,8 16,7 20,4
19,5 17,2 19,6 17,8 21,3 17,5 19,4 17,8 13,5 17,8 11,8 18,6 19,1
§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета
Для характеристики распределения выборки используются различные средние значения. Главнейшими из них являются:
n
xi
k
выборочная средняя
xв
xi
i 1
i
n
i 1
n
выборочная дисперсия Dв
xв ) 2
( xi
k
( xi
xв ) 2
i 1
i
n
i 1
выборочное среднее квадратическое отклонение
исправленная выборочная дисперсия
S2
n
n 1
в
Dв
Dв
исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S
коэффициент вариации V
в
n
n 1
Dв
100% .
xв
Для дискретного распределения случайной величины X используется первое соотношение первых
двух формул, для непрерывного – последующее общее соотношение. Иногда для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии непрерывного признака используется группировка данных по
интервалам и за значения x1, x2,..., хk в этих формулах берутся, как правило, середины интервалов
разбиения (смотри принцип построения гистограммы).
Выборочная средняя является аналогом математического ожидания, что следует из связи относительной частоты и вероятности и сравнения соответствующих расчетных формул. Так же дело обстоит с выборочной дисперсией и выборочным средним квадратическим отклонением. Введем еще ряд
менее употребляемых характеристик вариационного ряда.
Модой M0 называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.
Пример.
Найти моду эмпирического закона распределения.
xi
1
4
7
9
ni
5
1
20
6
Мода M0 = 7, так как варианта 7 имеет наибольшую частоту 20.
60
Медианой ml вариационного ряда называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. если n=2k+1, то ml = xk+1, а если n=2k, то ml = ( xk + xk+1)/2.
Примеры.
Задан вариационный ряд: 2; 3; 5; 6; 7; тогда ml = 5.
Если мы имеем вариационный ряд: 2; 3; 5; 6; 7; 9; тогда ml = (5+6)/2=5,5.
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить моду, медиану, среднее и дисперсию следующих выборок:
a) 7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3.
b) 3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3.
Размахом варьирования R называется разность между наибольшей и наименьшей вариантой:
R= xmax - xmin . Таким образом, размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
При обработке статистической информации широко используют распределение статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности. Эти распределения
связаны с распределениями 2 , Стьюдента и Фишера.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте основные цели математической статистики.
2. Статистические аналоги каких понятий из теории вероятностей вы встретили?
3. Выпишите расчетные формулы основных характеристик вариационного ряда.
4. Опишите способы графического представления выборки.
Список основной литературы
1.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для
студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование,
2009. - 478.
2.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш.
Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. М. : Высш. образование, 2009. – 403.
4.
Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А.
Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
Список дополнительной литературы
1.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование,
2006. - 404 с.
2.
Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая
статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
3.
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической
статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
4.
Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика.
Часть II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
61
ТЕМА 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§5.1 Точечные оценки
Пусть для случайной величины X известен вид закона распределения. Скажем, известно, что X
распределено по нормальному закону. Нормальный закон распределения определяется двумя параметрами m=M[X] и = (X). Пусть над случайной величиной X проведено n независимых наблюдений, в которых она приняла значения x1, x2,..., хn, т.е. известны данные случайной выборки. Спрашивается, как по этим данным найти неизвестные параметры распределения с достаточно хорошим приближением? Другими словами, требуется найти некоторую функцию от данных выборки, которая
давала бы приближенную оценку искомого параметра.
Статистической оценкой * неизвестного параметра теоретического распределения называется
функция f(x1, x2,..., хn) от данных выборки, дающая приближенную оценку искомого параметра .
Статистическая оценка * сама является случайной величиной, так как она есть функция независимых случайных величин x1, x2,..., хn. Если произвести другую выборку, то * примет другое значе*
ние. Для того, чтобы оценка
не давала систематической ошибки, надо потребовать, чтобы мате*
матическое ожидание
было равно оцениваемому параметру : M[ *]= .
Статистическая оценка, удовлетворяющая требованию M[ *]= , называется несмещенной.
Несмещенная оценка может дать плохое приближение для параметра, если дисперсия D( * ) велика, так как тогда достаточно вероятны большие отклонения найденного значения * от M[ * ], т.е. от
оцениваемого параметра . Поэтому к условию несмещенности добавляют требование, чтобы при
заданном объеме выборки n, * имело наименьшую возможную дисперсию.
Статистическая оценка *, удовлетворяющая условию несмещенности и имеющая наименьшую
возможную дисперсию D( * ) при заданном объеме выборки, называется эффективной.
Статистическую оценку * называют состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки она стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. если lim{
n
*
ε} 1
для любого заданного >0.
Оказывается, выборочная средняя x в является несмещенной, состоятельной оценкой генеральной
средней, т.е. математического ожидания. Исправленная выборочная дисперсия S2 является несмещенной, состоятельной оценкой генеральной дисперсии.
§ 5.2. Интервальные оценки
Все точечные оценки имеют один недостаток, в них не указывается точность оценки. Возникает
вопрос, каким надо взять объем выборки n, чтобы с заданной вероятностью можно было гарантировать заданную точность? Для этого введем вначале понятия точности оценки и надежности оценки.
Надежностью оценки, или доверительной вероятностью оценки, называется вероятность
P{ *
ε} γ , с которой осуществляется неравенство *
ε , где * точечная оценка, а
оцениваемый параметр. Число называется точностью оценки. Число , такое, что =1- , называется уровнем значимости. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используемые значения = 1
равны 0,90; 0,95; 0,99 или 90%; 95%; 99%.
Точность и надежность оценки взаимосвязаны: с уменьшением точности (т.е. с увеличением )
увеличивается надежность и, наоборот, с увеличением точности уменьшается надежность. Точность
62
и надежность оценки зависят от объема выборки n; увеличивая объем выборки можно повысить точность и надежность оценки.
Неравенство
ε можно записать в виде
*
*
Интервал ( * - , * + ), в который с вероятностью
ется доверительным интервалом.
ε
*
ε.
попадает неизвестный параметр
, называ-
Говорят, что доверительный интервал покрывает параметр
с надежностью . Надежность оценки и доверительный интервал также взаимосвязаны. Если увеличивать надежность, то и доверительный интервал расширяется. Наоборот, можно сузить доверительный интервал, если ограничиться
меньшей надежностью.
С интервальной оценкой связано решение трех типов задач:
1. Определение доверительной вероятности по доверительному интервалу и объему выборки;
2. Определение доверительного интервала по заданной надежности и объему выборки;
3. Определение необходимого объема выборки n по заданной надежности и доверительному интервалу.
Распределение выборочной средней, уже начиная с n = 20, можно полагать практически нормальным. Это позволяет при оценке генеральной средней использовать те же самые доверительные
интервалы, что и для параметров m и σ 2 нормально распределенного признака. Однако в этом случае
он будет приближенным и существенно зависящим от объема выборки n.
Рассмотрим далее второй тип задач – построение доверительного интервала для параметров
нормально распределенной генеральной совокупности, параметра биномиального распределения.
5.2.1. Доверительные интервалы для оценки параметров m и σ2 нормально
распределенной генеральной совокупности
Пусть имеется выборка x1, x2,..., хn из генеральной совокупности, распределенной по нормальному
закону с параметрами m и , т.е. выборка получена в результате n независимых наблюдений над
случайной величиной X, имеющей нормальное распределение. Нужно построить доверительные интервалы для оценки параметров m и , соответствующие доверительной вероятности =1- .
Возможны несколько случаев:
1. Доверительный интервал для генеральной средней m при известной
σ
z1
n
xв
/2
m
будет иметь вид:
σ
z1- /2 ,
n
xв
где z1-α/2 квантиль порядка 1- /2 стандартного нормального распределения.
2. Доверительный интервал для генеральной средней m при неизвестной
S
xв
n
t
m
xв
S
n
будет иметь вид:
t,
где t квантиль порядка 1- /2 распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы, а S
ное среднее квадратическое отклонение.
3. Доверительный
интервал
2
генеральной
дисперсии
2
будет
иметь
вид:
2
(n 1) S
χ 12- (n)
σ2
Здесь χ 2 (n) и χ 12
( n)
2
2
для
исправлен-
(n 1) S
.
χ 2 ( n)
2
квантили порядка /2 и 1- /2 распределения хи-квадрат с n степенями
2
свободы.
63
Примеры:
1. При измерении нормальной случайной величины со стандартным отклонением, равным 5, и
неизвестным математическим ожиданием m получена следующая выборка:
{3, 12, 8, 14, 15, 6, 19, 10, 15, 6}.
Требуется найти доверительный интервал, содержащий параметр m с доверительной вероятностью =0,95 и погрешность оценки для выборочной средней, соответствующую этой доверительной вероятности.
В нашем случае =5, n=10, =0,95. Для точечной оценки получаем:
n
xi
xв
3 12 8 14 15 6 19 10 15 6
10
i 1
n
10,8 .
Если =0,95, то α=0,05 и 1-α/2=0,975. По таблице 2 найдем z0,975 квантиль порядка 0,975
стандартного нормального распределения: z0,975=1,96. Теперь осталось воспользоваться
формулой x в
σ
z1
n
/2
m
σ
z1n
xв
найденные z0,975. Имеем: 7,7 10,8 1,96
/2
, подставив туда данные в условии
5
10
m 10,8 1,96
5
10
13,9. Таким образом,
искомым доверительным интервалом является интервал (7,7; 13,9). Число
ется погрешностью оценки математического ожидания. Для погрешности
ющее значение:
1.96
5
10
, n,
σ
z называn
получаем следу-
3,099.
2. Построить доверительный интервал уровня доверия 99% для математического ожидания случайной величины, зная объем выборки n=30, выборочное среднее xв =5 и несмещенную оценку для дисперсии равную 9.
Если =0,99, то α=0,01 и 1-α/2=0,995. По таблице 4 найдем t0,995 квантиль порядка 0,995
распределения Стьюдента: t0,995=2.756. Теперь осталось воспользоваться формулой
xв
S
n
t
m
3, 49 5 2, 756
xв
3
30
S
n
t , подставив туда данные в условии S, n, найденные t0,995. Имеем:
m 5 2, 756
3
30
6,51. Таким образом, искомым доверительным
интервалом является интервал (3,49; 6,51).
Задания для самостоятельного решения:
1. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность
работы лампы из выборки оказалась равной 1000 ч. Найти 90% доверительный интервал для
средней продолжительности работы лампы, случайно выбранной из всей партии, если время работы является нормально распределенной случайной величиной со стандартным отклонением
40 ч.
2. Построить доверительный интервал уровня доверия 90% для математического ожидания случайной величины, зная объем выборки n=20, выборочное среднее xв =3 и несмещенную оценку для
дисперсии равную 10.
3. Построить доверительный интервал уровня доверия 98% для математического ожидания случайной величины с известной дисперсией равной 4, зная объем выборки n=25, выборочное среднее
xв =5.
4.
64
Построить доверительный интервал уровня доверия 99% для дисперсии случайной величины,
зная объем выборки n=30 и несмещенную оценку для дисперсии равную 8.
Построить доверительный интервал уровня доверия 95% для дисперсии случайной величины,
зная объем выборки n=20 и несмещенную оценку для дисперсии равную 9.
5.
5.2.2. Доверительные интервалы для оценки разности средних двух
нормально распределенных генеральных совокупностей
Пусть заданы две нормально распределенные совокупности с параметрами m1, 1 и m2, 2 соответственно. Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для оценки разности m1 - m2
. Возможны следующие случаи:
1. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m1 - m2 двух нормально
распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях
X1
X2
z
1
α
2
2
1
2
2
n1
n2
m1 m2
X1
X2
z
1
α
2
2
1
2
2
n1
n2
,
где n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
2
1
,
2
2
— известные дисперсии генеральных совокупностей.
2. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m1 - m2 двух нормально
распределенных генеральных совокупностей при равных, но неизвестных дисперсиях
X1
X2
S t
1
где S 2
n1 1 S12
n2 1 S22
n1 n2
2
α
2
n1 n2
2
m1 m2
X1
X2
S t
1
α
2
n1 n2
2 ,
;
n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
S12 , S 22 — исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
3. Двусторонний доверительный интервал для оценки разности средних m1 - m2 двух нормально
распределенных генеральных совокупностей при неравных и неизвестных дисперсиях
X1
X2
S t
1
α
2
ν
m1 m2
S
где ν
S12
n1
2
S12
n1
n1 1
S 22
n2
S12
n1
X1
X2
S t
1
α
2
ν ,
S22
,
n2
2
2
S 22
n2
n2 1
;
n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
S12 , S 22 — исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
65
5.2.3. Доверительные интервалы для оценки доли признака
Доверительные интервалы для оценки параметра Р (доли признака) биномиального распределения
находятся следующим образом.
Если п 50, а выборочное значение относительной частоты р* удовлетворяет условиям пр* 5 и
п
р* 5, то двусторонний доверительный интервал для параметра Р биномиального распределения
имеет вид
z
P
*
1
α
2
n
z
*
P 1 P
*
P
P
*
1
α
2
n
P* 1 P* .
Если n<50 или хотя бы одно из чисел пр* и п
р* меньше пяти, то для нахождения доверительных границ p1 и p2 используют таблицы функции распределения для биномиального закона:
p1 определяется как наибольшее значение Р, удовлетворяющее неравенству
n
P X
Cnk p k 1 p
x
n k
k x
α
,
2
а p2 — как наименьшее значение Р, удовлетворяющее неравенству
x
P X
Cnk p k 1 p
x
k 0
n k
α
.
2
Для решения таких типов задач нужны статистические таблицы. Некоторые из наиболее встречающихся приведены в конце пособия.
Пример.
В партии из 700 изделий обнаружили 50 бракованных. Найти доверительный интервал для
доли брака при α= 0,05.
Вычислим р*=50/700=0,0714; α= 0,05, поэтому 1-α/2=0,975. По таблице 2 найдем z0,975 квантиль
порядка 0,975 стандартного нормального распределения: z0,975=1,96. Подставим в формулу
1,96
0,0714 0,9286 P 0,0714
700
В итоге получим 0,0523< P <0,0905
0,0714
1,96
0,0714 0,9286.
700
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение точечной и интервальной оценки.
2. Что такое доверительный интервал?
3. Какие свойства точечной оценки вы знаете?
4. Приведите примеры точечных оценок. Какими из перечисленных свойств они обладают?
5. Что называется точностью и надёжностью интервальной оценки?
6. Выпишите формулы для нахождения доверительного интервала в типовых задачах.
7. Какими таблицами вы пользовались для нахождения доверительного интервала в разобранных
примерах и почему?
Список основной литературы
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. 478.
66
2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. :
Высш. образование, 2009. – 403.
4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
Список дополнительной литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006.
- 404 с.
2.
Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
3.
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
4.
Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть
II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
67
ТЕМА 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
§ 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Рассмотрим принцип проверки статистической гипотезы на примере проверки
гипотезы о виде распределения.
Предположим, что функция распределения случайной величины X нам неизвестна, но мы располагаем случайной выборкой x1, x2,..., хn. По наблюдениям выборки мы хотим дать ответ на вопрос:
совпадает функция распределения F(x) с некоторой наперед заданной функцией распределения F0(x),
или нет. При такой постановке задачи говорят, что речь идет о проверке гипотезы согласия. Используя наблюдения выборки x1, x2,..., хn , нужно либо принять гипотезу о том, что функция распределения F(x) совпадает с заданной функцией распределения F0(x), либо ее отвергнуть.
Правило принятия одного из этих двух решений называется статистическим критерием или
просто критерием. В качестве функции F0(x) обычно выбирается одно из известных распределений,
например, нормальное, равномерное или распределение Пуассона с известными параметрами. Далее
рассматривается гипотеза о том, что функция распределения F(x) совпадает с непрерывной функцией
распределения F0(x).
Обозначим эту гипотезу символом H0 и назовем нулевой (основной) гипотезой.
Символом H1 обозначим противоположную гипотезу о том, что F(x) F0(x) хотя бы при одном
значении x. Она называется конкурирующей (альтернативной) гипотезой.
Проверка гипотезы о распределении состоит в том, чтобы по наблюдениям выборки сделать вывод, справедлива гипотеза H0, или заключить, что справедлива гипотеза H1. Поскольку наблюдения
случайны, то абсолютно достоверно такие утверждения сделать нельзя. При любом естественном
подходе есть положительные вероятности того, что мы примем гипотезу H0, когда она на самом деле
не верна, или, что мы примем гипотезу H1, когда она не является верной. Пусть
некоторое наперед заданное малое положительное число (уровень значимости). Мы хотим указать такое правило
(критерий), которое бы по наблюдениям выборки x1, x2,..., хn отвергало гипотезу H0 при условии, что
она на самом деле верна, с вероятностью .
Вероятность
отвергнуть гипотезу H0 при условии, что она верна, называется вероятностью
ошибки первого рода. Вероятность принять гипотезу H0, при условии, что верна гипотеза H1, называется вероятностью ошибки второго рода.
Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки
гипотезы.
Наблюдаемым (эмпирическим) значением критерия Кнабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборке.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Для
каждого вида критерия они определяются по специальным таблицам в соответствии с заданным
уровнем значимости.
Основной принцип проверки статистических гипотез сформулируем так:
1.
Зададим малую величину
уровень значимости критерия.
2.
Определим по таблицам критическую область 0 как совокупность таких значений
критерия К, вероятность принадлежности которых к 0 есть , т.е. P{K
. Это собы0}
тие можно рассматривать как маловероятное событие (с уровнем значимости ).
3.
Если по данным выборки вычислили Кнабл и оно попало в критическую область 0, то
это служит основанием для отклонения нулевой гипотезы H0. Если же Кнабл не будет принадлежать критической области, то можно лишь заключить, что данные опыта (выборки) не противоречат гипотезе H0 и последняя не отклоняется.
68
Кроме гипотез о виде неизвестного распределения часто рассматриваются гипотезы о параметрах
уже известного распределения. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению *, то выдвигают гипотезу H0: = *. Это гипотеза о предполагаемой
величине параметра. Можно выдвинуть бесчисленное множество альтернативных гипотез H1. Причем, различают гипотезы, которые содержат только одно (простая гипотеза) и более одного предположения (сложная альтернативная гипотеза).
Пример.
H0:
= а;
H1:
= b (простая);
H1:
а (сложная).
Существуют следующие виды критических областей:
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > kкр, где kкр положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < kкр, где kкр отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k1, К > k2 , где k1 <
k2. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенством К > kкр.
Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:
, k кр 0;
Для правосторонней критической области P{K k кр }
Для левосторонней критической области P{K
Для двусторонней симметричной области P{K
k кр }
k кр }
, k кр
0;
/ 2, k кр
0; P{K
k кр }
/ 2.
Критические точки являются квантилями соответствующего порядка распределения критерия К,
которое является известным для основных типов задач. Задачи нахождения критической области и
построения доверительного интервала связаны между собой. Существует также связь между видом
альтернативной гипотезы и типом критической области.
Покажем это на следующих типовых постановках задач проверки статистических гипотез.
§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению
Пусть известно, что генеральная совокупность распределена нормально. Кроме этого есть основания предполагать, что дисперсия равна некоторому значению σ 02 . Тогда выдвинем нулевую гипотезу
H0 : σ2
σ 02
«генеральная дисперсия данной генеральной совокупности равна гипотетическому
(предполагаемому) значению σ 02 ».
Возможны
три
случая
2
2
H1 : σ
σ0 ;
H1 : σ 2
σ 02 ;
H1 : σ 2
σ 02 .
выдвижения
альтернативной
гипотезы:
69
Для статистической проверки нулевой гипотезы из генеральной совокупности извлекают выборку
объема n. По этой выборке можно рассчитать выборочную дисперсию Dв и исправленную дисперсию
S2. Необходимо проверить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная дисперсия
S2 и гипотетическая генеральная дисперсия σ 02 . Для этого выберем некоторый уровень значимости .
Для проверки нулевой гипотезы выберем критерий
случайную величину с известным законом рас-
2
пределения: χ 2
(n 1) S
, имеющей распределение «хи-квадрат» с n-1степенями свободы. По этоσ02
му критерию и уровню значимости строится критическая область. Как уже говорилось ранее, вид
критической области зависит от выбора конкурирующей гипотезы. Разберем возможные случаи:
H1 : σ 2
1.
P{χ 2
χ
2
кр
χ
2
набл
2.
σ 02 . В этом случае критическая область ищется, как правосторонняя из условия
2
χ кр
( , k )}
χ
2
1-
χ
,
а критическую точку ищут по таблицам квантилей распределения
H1 : σ 2
то нулевая гипотеза принимается.
σ 02 . В этом случае критическую область ищут как левостороннюю. Критическая
H1 : σ 2
2
χ кр
, то нулевая гипотеза принимается.
σ 02 . В этом случае критическая область ищется как двусторонняя. Критические
точки находятся из условий P{χ 2
χ 2лев ( / 2, k )}
P{χ 2
/ 2,
2
χ пр
( / 2, k )}
/ 2. Им
соответствуют квантили порядка α/2 и 1-α/2 распределения «хи-квадрат» (таблица 5).
Пример.
При обработке выборки объема n=20 получено значение S02
5 . Проверить гипотезу о том,
что заданное значение 2 4 равно дисперсии случайной величины против двусторонней
конкурирующей гипотезы на уровне значимости 10%.
Имеем: H 0 :σ 2 4 ; H1:σ 2 4 ; α=0,1; α/2=0,05; 1-α/2=0,95. По таблице 5 находим
2
2
χ 0,05
(19) 10,1 ; χ 0,95
(19) 30,1. Эти точки определяют границы двусторонней критической
области. Найдем наблюдаемое значение критерия χ 2
(n 1) S 2
σ02
19 5
4
23,75 . Следова-
тельно, принимается гипотеза H0 .
§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально
распределенной генеральной совокупности некоторому значению
Пусть известно, что генеральная совокупность распределена нормально. Кроме этого есть основания предполагать, что генеральная средняя равна некоторому значению a0. Тогда выдвинем нулевую
гипотезу H 0 : a a 0
«генеральная средняя данной генеральной совокупности равна гипотетическому значению a 0 », причем известен второй параметр – дисперсия σ 2 .
Возможны
три
случая
выдвижения
альтернативной
H1:a a 0 ;
70
:
После этого вычисляем по данной выборке наблюдаемое значение критерия. Если
2
кр
2
2
точка ищется как χ кр
( , k ) . Тогда, если χ набл
3.
2
гипотезы:
H1:a a 0 ;
H1:a a 0 .
Для статистической проверки нулевой гипотезы из генеральной совокупности извлекают выборку
объема n. По ней рассчитываем выборочное среднее xв и при заданном уровне значимости
нужно
оценить, значимо или незначимо различаются xв и a0. Это делается следующим образом.
Для проверки заданной нулевой гипотезы выберем критерий
законом распределения: U
M (U ) 0,
( xв a0 )
σ
n
случайную величину с известным
, которая имеет нормальное распределение, причем
(U ) 1 . По этому критерию и уровню значимости строится критическая область. Как
уже говорилось ранее, вид критической области зависит от выбора конкурирующей гипотезы. Разберем возможные случаи:
1. Если H1:a a 0 , то ищется двусторонняя критическая область с симметричными относительно
нуля
критическими
точками,
которые
определяются
из
условия
Ф0 (uкр ) (1 ) / 2 , где Ф0 − функция Лапласа, или из условия F0 (uкр ) 1
/ 2 , где
F0 − интегральная функция нормального распределения. То есть, uкр − это квантиль по/ 2 нормального распределения.
рядка 1
2. Если H1:a
a 0 , то ищется правосторонняя критическая область критической точкой, которая определяются из условия Ф0 (uкр ) (1 2 ) / 2 , где Ф0 − функция Лапласа, или из
условия F0 (uкр ) 1
, где F0 − интегральная функция нормального распределения. То
есть, uкр − это квантиль порядка 1
нормального распределения.
3. Если H1:a
a 0 , то ищется левосторонняя критическая область с критической точкой, коu1 .
торая определяются из условия uкр
Если второй параметр дисперсия σ 2 неизвестен, то для проверки заданной нулевой гипотезы выберем критерий
случайную величину с известным законом распределения: T
( xв a0 )
S
n
, ко-
торая имеет распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы. По этому критерию и уровню значимости строится критическая область. Разберем возможные случаи:
1. Если H1:a
a 0 , то ищется двусторонняя критическая область с симметричными относительно нуля критическими точками, которые определяются из условия tкр t1 / 2 То есть,
tкр − это квантиль порядка 1
/ 2 распределения Стьюдента.
2. Если H1:a
a 0 , то ищется правосторонняя критическая область критической точкой, которая определяются из условия tкр t1 . То есть, tкр − это квантиль порядка 1
распределения Стьюдента.
3. Если H1:a
a 0 , то ищется левосторонняя критическая область с критической точкой, коt1 .
торая определяются из условия tкр
71
Примеры:
1. Проверить гипотезу о том, что заданное значение a=2 равно математическому ожиданию
нормально распределенной случайной величины с известной дисперсией равной 9, против альтернативной двусторонней гипотезы на уровне значимости 5%, если в результате
обработки выборки объема 10 получено значение средней равное 3.
Имеем H0 :a 2 ; H1:a 2 ; α= 0,05; 1-α/2=0,975. По таблице 2 найдем z0,975 квантиль порядка 0,975 стандартного нормального распределения: z0,975=1,96. Это критическая точка, определяет симметричную относительно нуля двустороннюю критическую область.
( xв a0 ) n (3 2) 10
Найдем наблюдаемое значение критерия U
1, 054 .
σ
3
Оно не попадает в критическую область. Следовательно, принимается гипотеза H0 .
2. Проверить гипотезу о том, что заданное значение a=20 равно математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, против альтернативной правосторонней гипотезы на уровне значимости 5%, если в результате обработки выборки объема
10 получено значение средней равное 22 и исправленной дисперсией равной 4.
Имеем H0 :a 20 ; H1:a>20 ; α= 0,05; 1-α=0,95. По таблице 3 найдем t0,95 квантиль порядка
0,95 распределения Стьюдента c n-1=9 степенями свободы: t0,95(9)=1,833. Это критическая точка, определяет правостороннюю критическую область. Найдем наблюдаемое
( xв a0 ) n (22 20) 10
значение критерия T
3,1622 . Это значение попадает в
S
2
критическую область, следовательно принимается гипотеза H1 .
§ 6.4. Проверка гипотезы о доле признака
Пусть х — наблюдаемое значение случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение B (п; Р); р* − относительная частота : оценка параметра Р, вычисляемая по формуле
x
.
n
Если п 50, а выборочное значение р* удовлетворяет условиям пр*
верки гипотезы Н0: Р = р0 используют статистику
p*
5ип
р*
5, то для про-
P* P
, где Q 1 - P.
PQ
N
При условии, что гипотеза Н0 верна, статистика критерия Z имеет распределение, близкое к стандартному нормальному распределению: Z ~ N 0,1 .
Z
Критическая область критерия при уровне значимости определяется неравенствами
1. z* > z1- − при альтернативной гипотезе Н1: Р р0,
2. z* z − при альтернативной гипотезе Н1: Р р0,
3. z* z α − при альтернативной гипотезе Н1: Р р0.
1
72
2
Для проверки гипотезы Н0: Р = р0 можно использовать доверительные интервалы для параметра Р.
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий односторонний или двусторонний доверительный интервал накрывает значение р0; в противном
случае гипотеза Н0 отклоняется.
Пример.
В партии из 700 изделий обнаружили 50 бракованных. Проверить гипотезу, что доля брака
составляет 6% на 5% уровне значимости против альтернативной гипотезы, что брак больше
6%.
Имеем Н0: Р = 0,06
Н1: Р > 0.06
Вычислим р*=50/700=0,0714; α= 0,05, поэтому 1-α=0,95. По таблице 2 найдем z0,95 квантиль
порядка 0,95 стандартного нормального распределения: z0,95=1,645. Подставим в формулу
P* P 0,0714-0,06
=
=1,27.
PQ
0,06 0,94
N
700
Получается, что 1,27<1,645 и мы попали в область принятия решения и верна гипотеза Н0. В итоге нет отличия доли брака от 6% на 5% уровне.
Z
§ 6.5. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности
Пусть x1 , x2 , K , xn — выборка наблюдаемых значений случайной величины Х. Проверяется
гипотеза Н0, утверждающая, что случайная величина Х имеет закон распределения FX x . Процедура применения критерия 2 (хи-квадрат) для проверки гипотезы Н0 состоит из следующих этапов.
Этап 1. По выборке наблюдаемых значений случайной величины Х находятся оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения FX x .
Этап 2. Если Х — дискретная случайная величина, то определяются частоты пi, i = 1, 2, , k, с
которыми каждое значение или группа значений встречается в выборке. Если Х — непрерывная случайная величина, то область ее значений разбивается на k непересекающихся интервалов
, k, и определяется число элементов выборки пi, i = 1, 2, , k, принадлежащих каждому ин1, 2,
k
тервалу. Очевидно, что в обоих случаях
n.
ni
i 1
Этап 3. В случае, если Х — дискретная случайная величина, используя предполагаемый закон распределения FX x , вычисляются вероятности pi, i = 1, 2,
, k, с которыми случайная величина
Х принимает каждое значение, или вероятность появления группы значений. В случае, если Х — непрерывная случайная величина, вычисляется вероятность pi попадания в каждый интервал i
P (X
Очевидно, что в обоих случаях
i)
= pi,
pi
1.
k
i = 1, 2,
, k.
i 1
Этап 4. Вычисляется выборочное значение статистики критерия
k
2
в
i 1
ni
npi
npi
2
.
73
Этап 5. Принимается статистическое решение: гипотеза Н0 не противоречит выборке наблюде2
ний на заданном уровне значимости , если в2
l 1 , где l — число параметров распреде1 α k
2
2
ления FX x , которые оцениваются по выборке; если же
l 1 , то гипотеза
в
1 α k
Н0 отклоняется.
Замечание. Использование критерия 2 (хи-квадрат) основано на том факте, что случайная величина
ni
npi
npi
, i 1, 2, K , k ,
имеет распределение, близкое к стандартному нормальному распределению N 0,1 . Чтобы это
утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие
npi 5. Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними интервалами.
Примеры:
1. Руководство фирмы, владеющей тремя магазинами, решило выяснить, посещают ли покупатели все три магазина одинаково охотно, либо имеется некоторое различие. Для проверки была собрана информация о количестве покупателей, сделавших покупки в течение
недели. Оказалось, что в первом магазине это число составляет 160 человек, во втором –
225, в третьем – 215.
Здесь нулевой гипотезой будет равенство вероятностей посещения покупателем первого
р1, второго р2 и третьего р3 магазинов: Н0: р1= р2= р3=1/3. В результате испытания получаем
m1=160,
m2=225,
m3=215,
n=160+225+215=600.
Вычислим
величину
χ2
3
i 1
(mi
npi ) 2
npi
(160 200) 2
200
(225 200) 2
200
(215 200) 2
200
12,25.
Обратимся
теперь к таблице критических значений при степени свободы равной 2. Даже на уровне
2
2
значимости =0,01 имеем χ кр
9,2. Таким образом, χ 2 χ кр
. Поэтому, разницу в посещаемости магазинов в течение недели нельзя объяснить случайными колебаниями, то
есть нулевая гипотеза отвергается.
2. Имеется следующая выборка из 50 вариант:
xi
0
1
2
3
4
5
6
8
ni
6
18
11
7
4
1
2
1
Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных распределению Пуассона с параметром 2 с помощью критерия 2 (хи-квадрат) на уровне значимости = 0,05.
Распределение Пуассона в общем случае имеет вид
P X
k
По статистической таблице 3 для параметра
74
λk
k!
e λ.
2 , находим теоретические вероятности:
P X
0
P X
1
P X
2
P X
3
P X
4
P X
5
P X
6
P X
7
P X
8
20 2 1
e
0,135;
0!
e2
21 2 2 20 2 2
e
e
P X 0
1!
1 0!
1
22 2 2 21 2 2
e
e
P X 1
2!
2 1!
2
23 2 2 2 2 2 2
e
e
P X 2
3!
3 2!
3
24 2
e
4!
25 2
e
5!
26 2
e
6!
27 2
e
7!
28 2
e
8!
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
23 2
e
3!
24 2
e
4!
21 2
e
5!
26 2
e
6!
27 2
e
7!
2
P
4
2
P
5
2
P
6
2
P
7
2
P
8
0, 270;
0, 270;
0,180;
X
3
0,090;
X
4
0,036;
X
5
0,012;
X
6
0,003;
X
7
0,001.
Для нахождения ожидаемых (теоретических) частот появления исследуемого признака
найденные вероятности нужно умножить на объем выборки и округлить до ближайшего
целого. Для исследуемой выборки найденные вероятности нужно умножить на 50.
Для обеспечения необходимой точности нужно, чтобы частота каждой группы была не менее пяти, поэтому значения для к = 4, 5, 6 и 8 нужно объединить. Результаты запишем
в виде таблицы, в первой строке которой выписаны наблюдаемые значения, объединенные
в группы, во второй — наблюдаемые значения (сколько раз значение наблюдаемого признака приняло данное значение). В третьей строке запишем соответствующие теоретические вероятности, а в четвертой — теоретические значения частот:
xi
ni
pi
npi
0
6
0,135
7
1
18
0,270
14
2
11
0,270
14
Вычисляем выборочное значение статистики
2
в
6 7
2
18 14
7
2
2
3
7
0,180
9
4
8
0,145
7
(хи-квадрат):
11 14
2
14
14
1 16 9 4 1
7 14 14 9 7
7 9
2
9
8 7
2
7
2,52.
Параметр задавался, а не вычислялся по выборке, данные были сгруппированы в пять
групп, поэтому число степеней свободы равно = 5 = 4. По таблице квантилей распределения 2 (хи-квадрат) находим критическую точку
2
кр
2
1
2
0,95
4
Поскольку 2,52 < 9,49, то выполняется неравенство
9, 49.
2
в
2
кр
, т. е. значение статистики
критерия, вычисленное по выборочным данным, меньше критического значения. Следовательно, мы считаем, что наблюдаемые значения не противоречат гипотезе о том, что исследуемый признак Х имеет распределение Пуассона с параметром
2.
75
Задания для самостоятельного решения:
1. . Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый ра-
бочий изготовил 60 деталей, второй – 80, третий – 100 деталей. Можно ли на
уровне значимости =0,01 принять гипотезу о том, что производительности труда
первых двух рабочих равны между собой и в два раза меньше производительности
третьего рабочего?
2. Наблюдение за 1000 автомобилями на скоростной дороге с четырьмя полосами
движения показало, что первую полосу предпочли 294 водителя, вторую – 276 водителей, третью −238 водителей, а остальные выбрали четвертую. Можно ли на
основании этих данных утверждать, что равное количество водителей выбирает
каждую из полос?
§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей
Пусть заданы две нормально распределенные генеральные совокупности. Рассмотрим случаи
проверки гипотез о равенстве параметров этих совокупностей. Возможны следующие случаи:
1. Гипотеза о равенстве их средних H0 :a1 a 2
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних нормально распределенных генеральных совокупностей при известных дисперсиях имеет вид
Z
X1
X2
σ12
n1
σ 22
n2
~ N 0,1 ,
где n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
σ12 , σ 22 — известные дисперсии генеральных совокупностей.
Критическая область критерия при уровне значимости
z* z α − при альтернативной гипотезе H1:a1 a 2
1
z
*
2
− при альтернативной гипотезе H1:a1
z1
z* < z1
определяется неравенствами
− при альтернативной гипотезе H1:a1
a2 ,
a2
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение
критерия z*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных, но равных дисперсиях имеет вид
X1
T
S
где S
n1 1 S12
n1 n2
n2 1 S22
2
X2
~ T n1
1 1
n1 n2
n2
2 ,
;
n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
76
S12 , S 22 — исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
Статистика имеет распределение Стьюдента с n1 n2
2 степенями свободы.
Критическая область критерия при уровне значимости
t* t α − при альтернативной гипотезе H1:a1 a 2
определяется неравенствами
1
t
*
2
− при альтернативной гипотезе H1:a1
a2 ,
− при альтернативной гипотезе H1:a1 a 2
t1
t* < t1
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение
критерия t*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных, но неравных дисперсиях имеет вид
T
X1
2
1
S
n1
где ν
S12
n1
S 22
n2
2
~T ν ,
S22
n2
2
2
S12
n1
n1 1
X2
S 22
n2
n2 1
;
n1, n2 — объемы выборок;
X 1 , X 2 — выборочные средние исследуемых генеральных совокупностей;
S12 , S 22 — исправленные выборочные дисперсии исследуемых генеральных совокупностей.
Дальнейшие действия по проверки гипотезы аналогичны предыдущему случаю.
2. Гипотеза о равенстве их дисперсий H 0 :
2
1
2
2
.
Статистика критерия для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных
генеральных совокупностей при неизвестных средних имеет вид
F
где S12
S12
~ F n1 1, n2 1 ,
S 22
S22 .
Статистика имеет распределение Фишера с n1 1, n2 1 степенями свободы.
Критическая область критерия при уровне значимости определяется неравенствами
f * f α n1 1, n2 1 . − при альтернативной гипотезе H1 : σ12 σ 22
1
f*
f1
2
n1 1, n2 1 . − при альтернативной гипотезе H1 : σ12
σ 22
При этом гипотеза Н0 не отвергается (принимается) на уровне значимости , если соответствующий двусторонний или односторонний доверительный интервал накрывает наблюдаемое значение
критерия t*; в противном случае гипотеза Н0 отклоняется.
Пример.
77
При обработке выборок объемов n1 =30 и n2 =20 из генеральных совокупностей с известными
4 и σ 22
дисперсиями σ12
4 получены для математических ожиданий X 1
3 и X2
5 . На
уровне значимости 5% проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий против
конкурирующей гипотезы о том, что a1
Имеем: H0 :a1
a 2 ; H1:a1
a2 .
a2 .
Значение α= 0,05; 1-α=0,95. По таблице 2 найдем z0,95 квантиль порядка 0,95 стандартного нормального
Z
распределения:
X1
X2
σ12
n1
σ 22
n2
3 5
4
4
30 20
z0,95=1,645.
Вычислим
наблюдаемое
значение
критерия
3, 4641 <- z0,95=-1,645. Следовательно, принимается гипотеза H1:a1
a2 .
Контрольные вопросы и задания
1. Понятие статистической гипотезы. Привести основные виды статистических гипотез.
2. Сформулируйте основной алгоритм проверки статистической гипотезы.
3. Какие виды критических областей Вы знаете? От чего зависит выбор вида критической области?
4. Ошибки первого и второго рода. Способы уменьшения вероятности появления
ошибки.
Список основной литературы
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование,
2009. - 478.
2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. :
Высш. образование, 2009. – 403.
4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос.
службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е.
А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.
Список дополнительной литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование,
2006. - 404 с.
2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.
3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.
4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть
II. Сборник задач и упражнений. Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.
78
5. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.
Пособие. – М.: Дело, 2000.
6. Палий, И. А. Задачник по теории вероятностей / И. А. Палий.— М. : Наука, 2005.— 237 с.
7. Кочетков, Е. С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях : учеб. пособие / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская.— М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2005.— 480 с.
79
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Значения функции плотности стандартизированного нормального распределения N (0, 1)
( x)
•x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
80
0,00
0,398 9
0,397 0
0,391 0
0,381 4
0,368 3
0,352 1
0,333 2
0,312 3
0,289 7
0,266 1
0,242 0
0,217 9
0,194 2
0,171 4
0,149 7
0,129 5
0,110 9
0,094 0
0,079 0
0,065 6
0,054 0
0,044 0
0,035 5
0,028 3
0,022 4
0,017 5
0,013 6
0,010 4
0,007 9
0,006 0
0,004 4
0,003 3
0,002 4
0,001 7
0,001 2
0,000 9
0,000 6
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
0,01
0,398 9
0,396 5
0,390 2
0,380 2
0,366 8
0,350 3
0,331 2
0,310 1
0,287 4
0,263 7
0,239 6
0,215 5
0,191 9
0,169 1
0,147 6
0,127 6
0,109 2
0,092 5
0,077 5
0,064 4
0,052 9
0,043 1
0,034 7
0,027 7
0,021 9
0,017 1
0,013 2
0,010 1
0,007 7
0,005 8
0,004 3
0,003 2
0,002 3
0,001 7
0,001 2
0,000 8
0,000 6
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
0,02
0,398 9
0,396 1
0,389 4
0,379 0
0,365 3
0,348 5
0,329 2
0,307 9
0,285 0
0,261 3
0,237 1
0,213 1
0,185 9
0,166 9
0,145 6
0,125 7
0,107 4
0,090 9
0,076 1
0,063 2
0,051 9
0,042 2
0,033 9
0,027 0
0,021 3
0,016 7
0,012 9
0,009 9
0,007 5
0,005 6
0,004 2
0,003 1
0,002 2
0,001 6
0,001 2
0,000 8
0,000 6
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
0,03
0,398 8
0,395 6
0,388 5
0,377 8
0,363 7
0,346 7
0,327 1
0,305 6
0,282 7
0,258 9
0,234 7
0,210 7
0,187 2
0,164 7
0,143 5
0,123 8
0,105 7
0,089 3
0,074 8
0,062 0
0,050 8
0,041 3
0,033 2
0,026 4
0,020 8
0,016 3
0,012 6
0,009 6
0,007 3
0,005 5
0,004 0
0,003 0
0,002 2
0,001 6
0,001 1
0,000 8
0,000 5
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
1
e
2
0,04
0,398 6
0,395 1
0,387 6
0,376 5
0,362 1
0,344 8
0,325 1
0,303 4
0,280 3
0,256 5
0,232 3
0,208 3
0,184 9
0,162 6
0,141 5
0,121 9
0,104 0
0,087 8
0,073 4
0,060 8
0,049 8
0,040 4
0,032 5
0,025 8
0,020 3
0,015 8
0,012 2
0,009 3
0,007 1
0,005 3
0,003 9
0,002 9
0,002 1
0,001 5
0,001 1
0,000 8
0,000 5
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
x2
2
0,05
0,398 4
0,394 5
0,386 7
0,375 2
0,360 5
0,342 9
0,323 0
0,301 1
0,278 0
0,254 1
0,229 9
0,205 9
0,182 6
0,160 4
0,139 4
0,120 0
0,102 3
0,086 3
0,072 1
0,059 6
0,048 8
0,039 6
0,031 7
0,025 2
0,019 8
0,015 4
0,011 9
0,009 1
0,006 9
0,005 1
0,003 8
0,002 8
0,002 0
0,001 5
0,001 0
0,000 7
0,000 5
0,000 4
0,000 2
0,000 2
0,000 1
0,06
0,398 2
0,393 9
0,385 7
0,373 9
0,358 9
0,341 0
0,320 9
0,298 9
0,275 6
0,251 6
0,227 5
0,203 6
0,180 4
0,158 2
0,137 4
0,118 2
0,100 6
0,084 8
0,070 7
0,058 4
0,047 8
0,038 7
0,031 0
0,024 6
0,019 4
0,015 1
0,011 6
0,008 8
0,006 7
0,005 0
0,003 7
0,002 7
0,002 0
0,001 4
0,001 0
0,000 7
0,000 5
0,000 3
0,000 2
0,000 2
0,000 1
0,07
0,398 0
0,393 2
0,384 7
0,372 5
0,357 2
0,339 1
0,318 7
0,296 6
0,273 2
0,249 2
0,225 1
0,201 2
0,178 1
0,156 1
0,135 4
0,116 3
0,098 9
0,083 3
0,069 4
0,057 3
0,046 8
0,037 9
0,030 3
0,024 1
0,018 9
0,014 7
0,011 3
0,008 6
0,006 5
0,004 8
0,003 6
0,002 6
0,001 9
0,001 4
0,001 0
0,000 7
0,000 5
0,000 3
0,000 2
0,000 2
0,000 1
0,08
0,397 7
0,392 5
0,383 6
0,371 2
0,355 5
0,337 2
0,316 6
0,294 3
0,270 9
0,246 8
0,222 7
0,198 9
0,175 8
0,153 9
0,133 4
0,114 5
0,097 3
0,081 8
0,068 1
0,056 2
0,045 9
0,037 1
0,029 7
0,023 5
0,018 4
0,014 3
0,011 0
0,008 4
0,006 3
0,004 7
0,003 5
0,002 5
0,001 8
0,001 3
0,000 9
0,000 7
0,000 5
0,000 3
0,000 2
0,000 1
0,000 1
0,09
0,397 3
0,391 8
0,382 5
0,369 7
0,353 8
0,335 2
0,314 4
0,292 0
0,268 5
0,244 4
0,220 3
0,196 5
0,173 6
0,151 8
0,131 5
0,112 7
0,095 7
0,080 4
0,066 9
0,055 1
0,044 9
0,036 3
0,029 0
0,022 9
0,018 0
0,013 9
0,010 7
0,008 1
0,006 1
0,004 6
0,003 4
0,002 5
0,001 8
0,001 3
0,000 9
0,000 6
0,000 4
0,000 3
0,000 2
0,000 1
0,000 1
Таблица 2
Значения функции распределения F (0,1)(x) нормального закона N (0,1);
F(0,1) ( x) 1 F(0,1) ( x), F( 0,1) ( x)
1
2
x
e
t2
2 dt
х
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,500 0
0,539 8
0,579 3
0,617 9
0,655 4
0,691 5
0,725 7
0,758 0
0,788 1
0,815 9
0,841 3
0,864 3
0,884 9
0,903 2
0,919 2
0,933 2
0,945 2
0,955 4
0,964 1
0,971 3
0,977 2
0,982 1
0,986 1
0,989 3
0,991 8
0,993 8
0,995 3
0,996 5
0,997 4
0,998 1
0,998 7
0,999 0
0,999 3
0,999 5
0,999 7
0,504 0
0,543 8
0,583 5
0,621 7
0,659 1
0,695 0
0,729 1
0,761 1
0,791 0
0,818 6
0,843 8
0,866 5
0,886 9
0,904 9
0,920 7
0,934 5
0,946 3
0,956 4
0,964 9
0,971 9
0,977 8
0,982 6
0,986 4
0,989 6
0,992 0
0,994 0
0,995 5
0,996 6
0,997 5
0,998 2
0,998 7
0,999 1
0,999 3
0,999 5
0,999 7
0,508 0
0,547 8
0,587 1
0,625 5
0,662 8
0,698 5
0,732 4
0,764 2
0,793 9
0,821 2
0,846 1
0,868 6
0,888 8
0,906 6
0,922 2
0,935 7
0,947 4
0,957 3
0,965 6
0,972 6
0,978 3
0,983 0
0,986 8
0,989 8
0,992 2
0,994 1
0,995 6
0,996 7
0,997 6
0,998 2
0,998 7
0,999 1
0,999 4
0,999 5
0,999 7
0,512 0
0,551 7
0,591 0
0,629 3
0,666 4
0,701 9
0,735 7
0,767 3
0,796 7
0,823 8
0,848 5
0,870 8
0,890 7
0,908 2
0,923 6
0,937 0
0,948 4
0,958 2
0,966 4
0,973 2
0,978 8
0,983 4
0,987 1
0,990 1
0,992 5
0,994 3
0,995 7
0,996 8
0,997 7
0,998 3
0,998 8
0,999 1
0,999 4
0,999 6
0,999 7
0,516 0
0,555 7
0,594 8
0,633 1
0,670 0
0,705 4
0,738 9
0,770 4
0,799 5
0,826 4
0,850 8
0,872 9
0,892 5
0,909 9
0,925 1
0,938 2
0,949 5
0,959 1
0,967 1
0,973 8
0,979 3
0,983 8
0,987 5
0,990 4
0,992 7
0,994 5
0,995 9
0,996 9
0,997 7
0,998 4
0,998 8
0,999 2
0,999 4
0,999 6
0,999 7
0,519 9
0,559 6
0,598 7
0,636 8
0,673 6
0,708 8
0,742 2
0,773 4
0,802 3
0,828 9
0,853 1
0,874 9
0,894 4
0,911 5
0,926 5
0,939 4
0,950 5
0,959 9
0,967 8
0,974 4
0,979 8
0,984 2
0,987 8
0,990 6
0,992 9
0,994 6
0,996 0
0,997 0
0,997 8
0,998 4
0,998 9
0,999 2
0,999 4
0,999 6
0,999 7
0,523 9
0,563 6
0,602 6
0,640 6
0,677 2
0,712 3
0,745 4
0,776 4
0,805 1
0,831 5
0,855 4
0,877 0
0,896 2
0,913 1
0,927 9
0,940 6
0,951 5
0,960 8
0,968 6
0,975 0
0,980 3
0,984 6
0,988 1
0,990 9
0,993 1
0,994 8
0,996 1
0,997 1
0,997 9
0,998 5
0,998 9
0,999 2
0,999 4
0,999 6
0,999 7
0,527 9
0,567 5
0,606 4
0,644 3
0,680 8
0,715 7
0,748 6
0,779 4
0,807 8
0,834 0
0,857 7
0,879 0
0,898 0
0,914 7
0,929 2
0,941 8
0,952 5
0,961 6
0,969 3
0,975 6
0,980 8
0,985 0
0,988 4
0,991 1
0,993 2
0,994 9
0,996 2
0,997 2
0,997 9
0,998 5
0,998 9
0,999 2
0,999 5
0,999 6
0,999 7
0,531 9
0,571 4
0,610 3
0,648 0
0,684 4
0,719 0
0,751 7
0,782 3
0,810 6
0,836 5
0,859 9
0,881 0
0,899 7
0,916 2
0,930 6
0,942 9
0,953 5
0,962 5
0,969 9
0,976 1
0,981 2
0.985 4
0,988 7
0,991 3
0,993 4
0,995 1
0,996 3
0,997 3
0,998 0
0,998 6
0,999 0
0,999 3
0,999 5
0,999 6
0,999 7
0,535 9
0,575 3
0,614 1
0,651 7
0,687 9
0,722 4
0,754 9
0,785 2
0,813 3
0,838 9
0,862 1
0,883 0
0,901 5
0,917 7
0,931 9
0,944 1
0,954 5
0,963 3
0,970 6
0,976 7
0,981 7
0,985 7
0,989 0
0,991 6
0,993 6
0,995 2
0,996 4
0,997 4
0,998 1
0,998 6
0,999 0
0,999 3
0,999 5
0,999 7
0,999 8
Квантили Zp нормального распределения N (0,1):
P
Zp
0,90
1,282
0,95
1,645
0,975
1,960
0,99
2,326
0,995
2,576
0,999
3,090
0,9995
3,291
Значение функции Лапласа можно вычислить следующим образом:
F(0,1) ( x) 0,5
0 ( x)
81
Таблица 3
Распределение Пуассона
P X
k
А
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
82
0,1
1
0,90484
0,09048
0,00452
0,00015
0,2
2
0,81873
0,16375
0,01638
0,00109
0,00006
0,3
3
0,74082
0,22223
0,03334
0,00333
0,00025
0,00002
k
λk λ
e , k 1, 2, K .
k!
0,4
4
0,67032
0,26813
0,05363
0,00715
0,00072
0,00006
0,5
5
0,60653
0,30327
0,07582
0,01204
0,00158
0,00016
0,00001
0,6
6
0,54881
0,32929
0,09879
0,01976
0,00296
0,00036
0,00004
0,7
7
0,49659
0,34761
0,12166
0,02839
0,00497
0,00070
0,00008
0,00001
0,8
8
0,44933
0,35946
0,14379
0,03834
0,00767
0,00123
0,00016
0,00002
k
А
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,9
9
0,40657
0,36591
0,16466
0,04940
0,01112
0,00200
0,00030
0,00004
1,0
10
0,36788
0,36788
0,18304
0,06131
0,01533
0,00307
0,00051
0,00007
0,00001
1,5
11
0,22313
0,33469
0,25102
0,12551
0,04707
0,01412
0,00353
0,00076
0,00014
0,00002
2,0
12
0,13534
0,27067
0,27067
0,18043
0,09022
0,03609
0,01203
0,00344
0,00086
0,00019
0,00004
0,00001
2,5,
13
0,08208
0,20521
0,25652
0,21376
0,13360
0,06680
0,02783
0,00994
0,00311
0,00086
0,00022
0,00005
0,00001
3,0
14
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
0,00022
0,00006
0,00001
3,5
15
0,03020
0,10569
0,18496
0,21578
0,18881
0,13217
0,07710
0,03855
0,01686
0,00656
0,00330
0,00073
0,00021
0,00057
0,00001
83
Продолжение табл. 3
4,0
16
0,01832
0,07326
0,14653
0,19537
0,19537
0,15629
0,10419
0,05954
0,02977
0,01323
0,00529
0,00193
0,00064
0,00020
0,00006
0,00002
84
4,5
17
0,01111
0,04999
0,11248
0,16872
0,18981
0,17083
0,12812
0,08236
0,04633
0,02316
0,01042
0,00426
0,00160
0,00055
0,00018
0,00005
0,00001
5,0
18
0,00674
0,03369
0,08422
0,14037
0,17547
0,17547
0,14622
0,10445
0,06528
0,03627
0.01813
0,00824
0,00343
0,00132
0,00047
0,00016
0,00005
0,00001
6,0
19
0,00248
0,01487
0,04462
0,08924
0,13385
0,16062
0,16062
0,13768
0,10326
0,06884
0,04130
0,02253
0,01126
0,00520
0,00223
0,00089
0,00033
0,00012
0,00004
0,00001
7,0
20
0,00091
0,00638
0,02234
0,05213
0,09123
0,12772
0,14900
0,14900
0,13038
0,10140
0,07098
0,04517
0,02635
0,01419
0,00709
0,00331
0,00145
0,00060
0,00023
0,00008
0,00003
0,00001
8,0
21
0,00034
0,00268
0,01074
0,02863
0,05725
0,09160
0,12214
0,13959
0,13959
0,12408
0,09926
0,07219
0,04813
0,02962
0,01692
0,00903
0,00451
0,00212
0,00094
0,00040
0,00016
0,00006
0,00002
0,00001
9,0
22
0,00012
0,00111
0,00500
0,01499
0,03374
0,06073
0,09109
0,11712
0,13176
0,13176
0,11858
0,09702
0,07276
0,05038
0,03238
0,01943
0,01093
0,00579
0,00289
0,00137
0,00062
0,00026
0,00011
0,00004
0,00002
0,00001
Таблица 4
Квантили tp распределения Стьюдента
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
100
p
0,750
1,000
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
0,683
0,683
0,681
0,679
0,677
0,674
0,900
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,296
1,290
1,282
0,950
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,671
1,660
1,645
0,975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,000
1,984
1,960
0,990
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,364
2,326
0,995
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,626
2,576
0,999
318,00
22,300
10,200
7,173
5,893
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
3,307
3,232
3,174
3,090
85
Таблица 5
к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
41
42
43
44
45
50
55
60
75
90
100
86
0,005 0,010
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,34
1,73
2,16
2,60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
5,70
6,26
6,84
7,43
8,03
8,64
9,26
9,89
10,5
11,2
11,8
12,5
13,1
13,8
17,2
20,7
21,4
22,1
22,9
23,3
24,3
28,0
31,7
35,5
47,2
59,2
67,3
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
18,5
22,2
22,9
23,6
24,4
25,,1
25,9
29,7
33,6
37,5
49,5
61,8
70,1
Квантили распределения
р
0,025 0,05 0,10 0,20 0,80
0,02 0,06 1,64
0,051 0,10 0,21 0,45 3,22
0,216 0,35 0,58 1,00 4,64
0,484 0,71 1,06 1,65 5,99
0,831 1,15 1,61 2,34 7,29
1,24 1,64 2,20 3,07 8,56
1,69 2,17 2,83 3,82 9,80
2,18 2,73 3,49 4,59 11,0
2,70 3,33 4,17 5,38 12,2
3,25 3,94 4,87 6,18 13,4
3,82 4,57 5,58 6,99 14,6
4,40 5,23 6,30 7,81 15,8
5,01 5,89 7,04 8,63 17,0
5,63 6,57 7,79 9,47 18,2
6,26 7,26 8,55 10,3 19,3
6,91 7,96 9,31 11,2 20,5
7,56 8,67 10,1 12,0 21,6
8,23 9,39 10,9 12,9 22,8
8,91 10,1 11,7 13,7 23,9
9,59 10,9 12,4 14,6 25,0
10.3 11,6 13,2 15,4 26,9
11,0 12,3 14,0 16,3 27,3
11,7 13,1 14,8 17,2 28,4
12,4 13,8 15,7 18,1 29,6
13,1 14,6 16,5 18,9 30,7
13,8 15,4 17,3 19,8 31,8
14,6 16,2 18,1 20,7 32,9
15,3 16,9 18,9 21,6 34,0
16,0 17,7 19,8 22,5 35,1
16,8 18,5 20,6 23,4 36,3
20,6 22,5 24,8 27,8 41,8
24,4 26,5 29,1 32,3 47,3
25,2 27,3 29,9 33,3 48,4
26,0 28,1 30,8 32,2 49,5
26,8 29,0 31,6 35,1 50,5
27,6 29,8 32,5 36,0 51,6
28,4 30,6 33,4 36,9 52,7
32,4 34,8 37,7 41,4 58,2
36,4 39,0 42,1 46,0 63,6
40,5 43,2 46,5 50,6 69,0
52,9 56,1 59,8 64,5 85,1
65,6 69,1 73,3 78,6
101
74,2 77,9 82,4 87,9
112
2
(хи-квадрат)
0,90 0,95 0,975
2,71 3,84 5,02
4,61 5,99 7,38
6,25 7,81 9,35
7,78 9,49 11,1
9,24 11,1 12,8
10,6 12,6 14,4
12,0 14,1 16,0
13,4 15,5 17,5
14,7 16,9 19,0
16,0 18,3 20,5
17,3 19,7 21,9
18,5 21,0 23,3
19,8 22,4 24,7
21,1 23,7 26,1
22,3 25,0 27,5
23,5 26,3 28,8
24,8 27,6 30,2
26,0 28,9 31,5
27,2 30,1 32,9
28,4 31,4 34,2
29,6 32,7 35,5
30,8 33,9 36,8
32,0 35,2 38,1
33,2 36,4 39,4
34,4 37,7 40,6
35,6 38,9 41,9
36,7 40,1 43,2
37,9 41,3 44,5
39,1 42,6 45,7
40,3 43,8 47,0
46,1 49,8 53,2
51,8 55,8 59,3
52,9 56,9 60,6
54,1 58,1 61,8
55,2 59,3 63,0
56,4 60,5 64,2
57,5 61,7 65,4
63,2 67,5 71,4
68,8 73,3 77,4
74,4 79,1 83,3
91,1 96,2 100,8
107,6 113,1 118,1
118,5 124,3 129,6
0,990
6,63
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
57,3
63,7
64,9
66,2
67,5
68,7
70,0
76,2
82,3
92,0
106.4
124,1
135,6
0,995
7,88
10,6
12,8
14,9
16,7
18,5
20,3
22,0
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31,3
32,8
34,3
35,7
37,2
38,6
40,0
41,4
42,8
44,2
45,6
46,9
48,3
49,6
51,0
52,3
53,7
60,3
66,8
68,1
69,3
70,6
71,9
73,2
79,5
85,7
99,6
110,3
128,3
140,2
0,999
10,8
13,8
16,3
18,5
20,5
22,5
24,3
26,1
27,9
29,6
31,3
32,9
34,5
36,1
37,7
39,3
40,8
42,3
43,8
45,3
46,8
48,3
49,7
51,2
52,6
54,1
55,5
56,9
58,3
59,7
66,6
73,4
74,7
76,1
77,4
78,7
80,1
86,7
93,2
100,6
118,6
137,2
149,4
Таблица 6
Квантили распределения Фишера f
0,9 9
(k 1, k 2)
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1
2
4052 4999,5
98,50 99,00
34,12 30,82
21,20 18,00
16,26 13,27
13,75 10,92
12,25
9,55
11,26
8,65
10,56
8,02
10,04
7,56
9,65
7,21
9,33
6,93
9,07
6,70
8,86
6,51
8,68
6,36
8,53
6,23
8,40
6,11
8,29
6,01
8,18
5,93
8,10
5,85
8,02
5,78
7,95
5,72
7,88
5,66
7,82
5,61
7,77
5,57
7,72
5,53
7,68
5,49
7,64
5,45
7,60
5,42
7,56
5,39
7,31
5,18
7,08
4,98
6,85
4,79
6,63
4,61
3
4
5403
99,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,13
3,95
3,78
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,65
3,48
3,32
5
6
p = 0,99
5764
5859
99,30
99,33
28,24
27,91
15,52
15,21
10,97
10,67
8,75
8,47
7,46
7,19
6,63
6,37
6,06
5,80
5,64
5,39
5,32
5,07
5,06
4,82
4,86
4,62
4,69
4,46
4,56
4,32
4,44
4,20
4,34
4,10
4,25
4,01
4,17
3,94
4,10
3,87
4,04
3,81
3,99
3,76
3,94
3,71
3,90
3,67
3,85
3,63
3,82
3,59
3,78
3,56
3,75
3,53
3,73
3,50
3,70
3,47
3,51
3,29
3,34
3,12
3,17
2,96
3,02
2,80
7
8
9
10
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,12
2,95
2,79
2,64
5982
99,37
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,82
2,66
2,51
6022
99,39
27,35
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
3,18
3,15
3,12
3,09
3,07
2,89
2,72
2,56
2,41
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
3,09
3,06
3,03
3,00
2,98
2,80
2,63
2,47
2,32
87
k1
88
12
15
20
24
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,46
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,66
2,50
2,34
2,18
6157
99,43
26,87
14,20
9,72
7,56
6,31
5,52
4,96
4,56
4,25
4,01
3,82
3,66
3,52
3,41
3,31
3,23
3,15
3,09
3,03
2,98
2,93
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,73
2,70
2,52
2,35
2,19
2,04
6209
99,45
26,69
14,02
9,55
7,40
6,16
5,36
4,81
4,41
4,10
3,86
3,66
3,51
3,37
3,26
3,16
3,08
3,00
2,94
2,88
2,83
2,78
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,37
2,20
2,03
1,88
6235
99,46
26,60
13,93
9,47
7,31
6,07
5,28
4,73
4,33
4,02
3,78
3,59
3,43
3,29
3,18
3,08
3,00
2,92
2,86
2,80
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,29
2,12
1,95
1,79
30
p = 0,99
6261
99,47
26,50
13,84
9,38
7,23
5,99
5,20
4,65
4,25
3,94
3,70
3,51
3,35
3,21
3,10
3,00
2,92
2,84
2,78
2,72
2,67
2,62
2,58
2,54
2,50
2,47
2,44
2,41
2,39
2,20
2,03
1,86
1,70
40
60
120
6287
99,47
26,41
13,75
9,29
7,14
5,91
5,12
4,57
4,17
3,86
3,62
3,43
3,27
3,13
3,02
2,92
2,84
2,76
2,69
2,64
2,58
2,54
2,49
2,45
2,42
2,38
2,35
2,33
2,30
2,11
1,94
1,76
1,59
6313
99,48
26,32
13,65
9,20
7,06
5,82
5,03
4,48
4,08
3,78
3,54
3,34
3,18
3,05
2,93
2,83
2,75
2,67
2,61
2,55
2,50
2,45
2,40
2,36
2,33
2,29
2,26
2,23
2,21
2,02
1,84
1,66
1,47
6339
99,49
26,22
13,56
9,11
6,97
5,74
4,95
4,40
4,00
3,69
3,45
3,25
3,09
2,96
2,84
2,75
2,66
2,58
2,52
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,17
2,14
2,11
1,92
1,73
1,53
1,32
6350
99,50
26,22
13,46
9,02
6,88
5,64
4,86
4,31
3,91
3,60
3,36
3,17
3,00
2,87
2,75
2,65
2,57
2,49
2,42
2,36
2,31
2,26
2,21
2,17
2,13
2,10
2,06
2,03
2,01
1,80
1,60
1,38
1,00
Квантили распределения Фишера f
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1
2
647,8
38,51
17,44
12,22
10,01
8,81
8,07
7,57
7,21
6,94
6,72
6,55
6,41
6,30
6,20
6,12
6,04
5,98
5,92
5,87
5,83
5,79
5,75
5,72
5,69
5,66
5,63
5,61
5,59
5,57
5,42
5,29
5,15
5,02
799,5
39,00
16,04
10,65
8,43
7,26
6,54
6,06
5,71
5,46
5,26
5,10
4,97
4,86
4,77
4,69
4,62
4,56
4,51
4,46
4,42
4,38
4,35
4,32
4,29
4,27
4,24
4,22
4,20
4,18
4,05
3,93
3,80
3,69
3
864,2
39,17
15,44
9,98
7,76
6,60
5,89
5,42
5,08
4,83
4,63
4,47
4,35
4,24
4,15
4,08
4,01
3,95
3,90
3,86
3,82
3,78
3,75
3,72
3,69
3,67
3,65
3,63
3,61
3,59
3,46
3,34
3,23
3,12
4
899,6
39,25
15,10
9,60
7,39
6,23
5,52
5,05
4,72
4,47
4,28
4,12
4,00
3,89
3,80
3,73
3,66
3,61
3,56
3,51
3,48
3,44
3,41
3,38
3,35
3,33
3,31
3,29
3,27
3,25
3,13
3,01
2,89
2,79
k1
5
6
p = 0,975
921,8
937,1
39,30
39,33
14,88
14,73
9,36
9,20
7,15
6,98
5,99
5,82
5,29
5,12
4,82
4,65
4,48
4,32
4,24
4,07
4,04
3,88
3,89
3,73
3,77
3,60
3,66
3,50
3,58
3,41
3,50
3,34
3,44
3,28
3,33
3,22
3,29
3,17
3,25
3,13
3,22
3,09
3,18
3,05
3,15
3,02
3,15
2,99
3,13
2,97
3,10
2,94
3,08
2,92
3,06
2,90
3,04
2,88
3,03
2,87
2,90
2,74
2,79
2,63
2,67
2,52
2,57
2,41
7
948,2
39,36
14,62
9,07
6,85
5,70
4,99
4,53
4,20
3,95
3,76
3,61
3,48
3,38
3,29
3,22
3,16
3,10
3,05
3,01
2,97
2,93
2,90
2,87
2,85
2,82
2,80
2,78
2,76
2,75
2,62
2,51
2,39
2,29
0,9 7 5
(k 1, k 2).
8
956,7
39,37
14,54
8,98
6,76
5,60
4,90
4,43
4,10
3,85
3,66
3,51
3,39
3,29
3,20
3,12
3,06
3,01
2,96
2,91
2,87
2,84
2,81
2,78
2,75
2,73
2,71
2,69
2,67
2,65
2,53
2,41
2,30
2,19
9
963,3
39,39
14,47
8,90
6,68
5,52
4,82
4,36
4,03
3,78
3,59
3,44
3,31
3,21
3,12
3,05
2,98
2,93
2,88
2,84
2,80
2,76
2,73
2,70
2,68
2,65
2,63
2,61
2,59
2,57
2,45
2,33
2,22
2,11
10
968,6
39,40
14,42
8,84
6,62
5,46
4,76
4,30
3,96
3,72
3,53
3,37
3,25
3,15
3,06
2,99
2,92
2,87
2,82
2,77
2,73
2,70
2,67
2,64
2,61
2,59
2,57
2,55
2,53
2,51
2,39
2,27
2,16
2,05
89
k1
12
976,7
39,41
14,34
8,75
6,52
5,37
4,67
4,20
3,87
3,62
3,43
3,28
3,15
3,05
2,96
2,89
2,82
2,77
2,72
2,68
2,64
2,60
2,57
2,54
2,51
2,49
2,47
2,45
2,43
2,41
2,29
2,17
2,05
1,94
90
15
984,9
39,43
14,25
8,66
6,43
5,27
4,57
4,10
3,77
3,52
3,33
3,18
3,05
2,95
2,86
2,79
2,72
2,67
2,62
2,57
2,53
2,50
2,47
2,44
2,41
2,39
2,36
2,34
2,32
2,31
2,18
2,06
1,94
1,83
20
993,1
39,45
14,17
8,56
6,33
5,17
4,47
4,00
3,67
3,42
3,23
3,07
2,95
2,84
2,76
2,68
2,62
2,56
2,51
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
2,30
2,28
2,25
2,23
2,21
2,20
2,07
1,94
1,82
1,71
24
997,2
39,46
14,12
8,51
6,28
5,12
4,42
3,95
3,61
3,37
3,17
3,02
2,89
2,79
2,70
2,63
2,56
2,50
2,45
2,41
2,37
2,33
2,30
2,27
2,24
2,22
2,19
2,17
2,15
2,14
2,01
1,88
1,76
1,64
30
p = 0,975
1001
39,46
14,08
8,46
6,23
5,07
4,36
3,89
3,56
3,31
3,12
2,96
2,84
2,73
2,64
2,57
2,50
2,44
2,39
2,35
2,31
2,27
2,24
2,21
2,18
2,16
2,13
2,11
2,09
2,07
1,94
1,82
1,69
1,57
40
1006
39,47
14,04
8,41
6,18
5,01
4,31
3,84
3,51
3,26
3,06
2,91
2,78
2,67
2,59
2,51
2,44
2,38
2,33
2,29
2,25
2,21
2,18
2,15
2,12
2,09
2,07
2,05
2,03
2,01
1,88
1,74
1,61
1,48
60
1010
39,48
13,99
8,36
6,12
4,96
4,25
3,78
3,45
3,20
3,00
2,85
2,72
2,61
2,52
2,45
2,38
2,32
2,27
2,22
2,18
2,14
2,11
2,08
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,94
1,80
1,67
1,53
1,39
120
1014
39,49
13,95
8,31
6,07
4,90
4,20
3,73
3,39
3,14
2,94
2,79
2,66
2,55
2,46
2,38
2,32
2,26
2,20
2,16
2,11
2,08
2,04
2,01
1,98
1,95
1,93
1,91
1,89
1,87
1,72
1,58
1,43
1,27
1018
40,50
13,09
8,26
6,01
4,84
4,14
3,67
3,33
3,08
2,88
2,72
2,60
2,49
2,40
2,32
2,25
2,19
2,13
2,09
2,08
2,00
1,96
1,94
1,91
1,88
1,85
1,83
1,81
1,77
1,64
1,48
1,31
1,00
Квантили распределения Фишера f
0,9 5
(k 1, k 2)
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p = 0,95
1 161,4
2 15,51
3 10,13
4 7,71
5 6,61
6 5,99
7 5,59
8 5,32
9 5,12
10 4,96
11 4,84
12 4,75
13 4,67
14 4,60
15 4,54
16 4,49
17 4,45
18 4,41
19 4,38
20 4,35
21 4,32
22 4,30
23 4,28
24 4,26
25 4,24
26 4,23
27 4,21
28 4,20
29 4,18
30 4,17
40 4,08
60 4,00
120 3,92
3,84
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
2,60
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,17
2,10
236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,09
2,01
238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,90
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
240,5
19,38
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
1,96
1,88
241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
4,05
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
91
12
15
20
24
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72,
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
1,66
1,57
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,84
1,81
1,78
1,76
1,88
1,76
1,52
92
k1
30
40
p = 0,95
250,1
251,1
19,46
19,47
8,62
8,59
5,75
5,72
4,50
4,46
3,81
3,77
3,38
3,34
3,08
3,04
2,86
2,83
2,70
2,66
2,57
2,53
2,47
2,43
2,38
2,34
2,31
2,27
2,25
2,20
2,19
2,15
2,15
2,10
2,11
2,06
2,07
2,03
2,04
1,99
2,01
1,96
1,98
1,94
1,96
1,91
1,94
1,89
1,92
1,87
1,90
1,85
1,88
1,84
1,87
1,82
1,85
1,81
1,84
1,79
1,74
1,69
1,65
1,59
1,55
1,50
1,46
1,39
60
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
3,20
3,00
2,85
2,72
2,61
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
120
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
Квантили распределения Фишера f
0,9 0
(k 1, k 2)
k1
k2
1
1 39,86
2 8,53
3 5,54
4 4,54
5 4,06
6 3,78
7 3,59
8 3,46
9 3,36
10 3,29
11 3,23
12 3,18
13 3,14
14 3,10
15 3,07
16 3,05
17 3,03
18 3,01
19 2,99
20 2,97
21 2,96
22 2,95
23 2,94
24 2,93
25 2,92
26 2,91
27 2,90
28 2,89
29 2,89
30 2,88
40 2,84
60 2,79
120 2,75
2,71
2
49,50
9,00
5,46
4,32
3,78
3,46
3,26
3,11
3,01
2,92
2,86
2,81
2,76
2,73
2,70
2,67
2,64
2,62
2,61
2,59
2,57
2,56
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,50
2,49
2,44
2,39
2,35
2,30
3
53,59
9,16
5,39
4,19
3,62
3,29
3,07
2,92
2,81
2,73
2,66
2,61
2,56
2,52
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,38
2,36
2,35
2,34
2,33
2,32
2,31
2,30
2,29
2,28
2,28
2,23
2,18
2,13
2,08
4
55,83
9,24
5,34
4,11
3,52
3,18
2,96
2,81
2,69
2,61
2,54
2,48
2,43
2,39
2,36
2,33
2,31
2,29
2,27
2,25
2,23
2,22
2,21
2,19
2,18
2,17
2,17
2,16
2,15
2,14
2,09
2,04
1,99
1,94
5
6
7
8
9
10
p = 0,90
57,24
58,20
9,29
9,33
5,31
5,28
4,05
4,01
3,45
3,40
3,11
3,05
2,88
2,83
2,73
2,67
2,61
2,55
2,52
2,46
2,45
2,39
2,39
2,33
2,35
2,28
2,31
2,24
2,27
2,21
2,24
2,18
2,22
2,15
2,20
2,13
2,18
2,11
2,16
2,09
2,14
2,08
2,13
2,06
2,11
2,05
2,10
2,04
2,09
2,02
2,08
2,01
2,07
2,00
2,06
2,00
2,06
1,99
2,05
1,98
2,00
1,93
1,95
1,87
1,90
1,82
1,85
1,77
58,91
9,35
5,27
3,98
3,37
3,01
2,78
2,62
2,51
2,41
2,34
2,28
2,23
2,19
2,16
2,13
2,10
2,08
2,06
2,04
2,02
2,01
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,94
1,93
1,93
1,87
1,82
1,77
1,72
59,44
9,37
5,25
3,95
3,34
2,98
2,75
2,59
2,47
2,38
2,30
2,24
2,20
2,15
2,12
2,09
2,06
2,04
2,02
2,00
1,98
1,97
1,95
1,94
1,93
1,92
1,91
1,90
1,89
1,88
1,83
1,77
1,72
1,67
59,86
9,38
5,24
3,94
3,32
2,96
2,72
2,56
2,44
2,35
2,27
2,21
2,16
2,12
2,09
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
1,95
1,93
1,92
1,91
1,89
1,88
1,87
1,87
1,86
1,85
1,79
1,74
1,68
1,63
60,19
9,39
5,23
3,92
3,30
2,94
2,70
2,54
2,42
2,32
2,25
2,19
2,14
2,10
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,89
1,88
1,87
1,86
1,85
1,84
1,83
1,82
1,76
1,71
1,65
1,60
93
12
15
20
24
60,71
9,41
5,22
3,90
3,27
2,90
2,67
2,50
2,38
2,28
2,21
2,15
2,10
2,05
2,02
1,99
1,96
1,93
1,91
1,89
1,87
1,86
1,84
1,83
1,82
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,71
1,66
1,60
1,55
61,22
9,42
5,20
3,87
3,24
2,87
2,63
2,46
2,34
2,24
2,17
2,10
2,05
2,01
1,97
1,94
1,91
1,89
1,86
1,84
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,72
1,66
1,60
1,55
1,49
61,74
9,44
5,18
3,84
3,21
2,84
2,59
2,42
2,30
2,20
2,12
2,06
2,01
1,96
1,92
1,89
1,86
1,84
1,81
1,79
1,78
1,76
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
1,69
1,68
1,67
1,61
1,54
1,48
1,42
62,00
9,45
5,18
3,83
3,19
2,82
2,58
2,40
2,28
2,18
2,10
2,04
1,98
1,94
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,72
1,70
1,69
1,68
1,67
1,66
1,65
1,64
1,57
1,51
1,45
1,38
94
k1
30
p = 0,90
62,26
9,46
5,17
3,82
3,17
2,80
2,56
2,38
2,25
2,16
2,08
2,01
1,96
1,91
1,87
1,84
1,81
1,78
1,76
1,74
1,72
1,70
1,69
1,67
1,66
1,65
1,64
1,63
1,62
1,61
1,54
1,48
1,41
1,34
40
60
62,53
9,47
5,16
3,80
3,16
2,78
2,54
2,36
2,23
2,13
2,05
1,99
1,93
1,89
1,85
1,81
1,78
1,75
1,73
1,71
1,69
1,67
1,66
1,64
1,63
1,61
1,60
1,59
1,58
1,57
1,51
1,44
1,37
1,30
62,79
9,47
5,15
3,79
3,14
2,76
2,51
2,34
2,21
2,11
2,03
1,96
1,90
1,86
1,82
1,78
1,75
1,72
1,70
1,68
1,66
1,64
1,62
1,61
1,59
1,58
1,57
1,56
1,55
1,54
1,47
1,40
1,32
1,24
120
63,06
9,48
5,14
3,78
3,12
2,74
2,49
2,32
2,18
2,08
2,00
1,93
1,88
1,83
1,79
1,75
1,72
1,69
1,67
1,64
1,62
1,60
1,59
1,57
1,56
1,54
1,53
1,52
1,51
1,50
1,42
1,35
1,26
1,17
63,33
9,49
5,13
3,76
3,10
2,72
2,47
2,29
2,16
2,06
1,97
1,90
1,85
1,80
1,76
1,72
1,69
1,66
1,63
1,61
1,59
1,57
1,55
1,53
1,52
1,50
1,49
1,48
1,47
1,46
1,38
1,29
1,19
1,00
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вы познакомились с дисциплинами «теория вероятностей» и «математическая статистика»,
входящими в перечень, составляющий понятие прикладная математика. В учебном пособии были
отражены основные темы дисциплин указаны доступные библиографические источники для самостоятельного более глубокого изучения каждой темы. Основные, ключевые моменты каждой темы пояснялись на разобранных типовых примерах. Для более глубокого закрепления основных навыков и
организации самостоятельной работы, в конце каждой темы были предложены дополнительные типовые задания и сформулированы контрольные вопросы. В некоторых вопросах сформулированы
задания, выполняя которые при помощи изучения основных источников, вы расширите свои знания
по каждой из предложенных тем.
95
Евгений Алексеевич Рапоцевич
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАМЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие
для студентов всех форм обучения
по направлению
«Экономика»
Редактор
Корректор
Компьютерная верстка
Подписано в печать
. Бумага офсетная. Печать RISO. Гарнитура Times New Roman.
Формат
Уч.-изд. л.
. Усл. п. л.
. Тираж
. Заказ №
630102, г. Новосибирск, ул. Нижегородская, 6, СибАГС
96