Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Томский государственный педагогический университет»
На правах рукописи
Мастерова Мария Александровна
ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ НАМАГНИЧЕННОГО
НЕБЕСНОГО ТЕЛА
01.04.02 - Теоретическая физика
Диссертация
на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Эпп Владимир Яковлевич
Томск - 2015
2
Содержание
Введение
4
1 Задача Штермера для эффективной потенциальной энергии наклонного вращающегося магнитного диполя
21
1.1 Поле прецессирующего магнитного диполя . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2 Эффективная потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.1
Динамика заряженной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3 Уравнения движения заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.4 Стационарные точки эффективной потенциальной энергии . . . . .
38
1.4.1
Координаты стационарных точек . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.4.2
Исследование стационарных точек на экстремум . . . . . . .
41
1.5 Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной
энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.5.1
Соосный ротатор, α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.5.2
Общий случай, α 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.5.3
Стационарные точки и эквипотенциальные поверхности . . .
51
1.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2 Эффективная потенциальная энергия релятивистской заряженной частицы в поле наклонной вращающейся намагниченной
сферы
55
2.1 Электромагнитное поле вращающейся намагниченной сферы . . . .
57
2.2 Интеграл движения для частиц в произвольном вращающемся электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3 Потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3
2.4 Стационарные точки эффективной потенциальной энергии . . . . .
64
2.5 Эквипотенциальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5.1
Эквипотенциальные поверхности для положительно заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2
2.5.3
69
Эквипотенциальные поверхности для отрицательно заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Ортогональный ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.6 Потенциальная энергия вблизи поверхности однородно намагниченной сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.7 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3 Геометрия бессиловой поверхности для небесных тел с сильным
магнитным полем
81
3.1 Понятие бессиловой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2 Уравнение бессиловой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.3 Геометрия бессиловой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Заключение
93
Список литературы
96
4
Введение
Актуальность темы
Поле магнитного дипольного момента и движение заряженных частиц в этом
поле имеет большое практическое значение в астрофизике. В большей степени,
это объясняется тем, что магнитные поля планет и звезд в хорошем приближении можно считать дипольными. Случай, когда направление магнитного момента небесного тела совпадает с направлением оси вращения этого тела, является
наиболее изученным. В частности, довольно подробно исследовано движение заряженных частиц в поле Земли. В магнитосфере Земли приходящие заряженные
частицы имеют сложные траектории и наблюдаются в таких радиационных явлениях, как например северное сияние [1], внутренние радиационные пояса Ван
Аллена [2] и южноатлантическая аномалия [3].
Магнитное поле Земли имеет довольно сложную структуру, но в хорошем приближении его можно представить как сумму поля дипольного момента и локальных возмущений. На расстоянии в несколько радиусов Земли магнитное поле
сильно изменяется под действием потока плазмы, испускаемой Солнцем. Считается, что для низких высот (<3000 км), радиационные явления, происходящие
в Земной магнитосфере, могут быть поняты при изучении движения нерелятивистских заряженных частиц в поле диполя. Если дипольный компонент земного магнитного поля считать направленным вдоль оси вращения Земли, уравнения движения заряженной частицы в поле диполя Земли приводят к нелинейной
независимой гамильтоновой динамической системе. Это проблема Штермера. При
анализе проблемы Штермера можно столкнуться с проблемами теоретического,
прикладного и вычислительного характера.
В 1907 году Карл Штермер, исследуя движение заряженных частиц в диполь-
5
ном магнитном поле, численно нашел различные виды их траекторий. Штермером
было показано, что помимо полной энергии частицы, азимутальная компонента
обобщенного импульса движущейся частицы, также является интегралом движения [4]. Сохранение этих двух физических величин обусловлено независимостью
от времени магнитного поля и цилиндрической симметрией относительно оси магнитного диполя.
Так же важные первые теоретические исследования траектории заряженных
частиц движущихся в дипольном магнитном поле были проведены в работах [5–15]
С вычислительной точки зрения, определение траекторий заряженных частиц
высоких энергий в земной магнитосфере для больших промежутков времени является трудоемкой задачей. Существуют трудности в исследовании некоторых
аспектов радиационных явлений, наблюдаемых в земной магнитосфере. Например, чтобы объяснить некоторые динамические аспекты, связанные с северным
сиянием и магнитными зеркалами, в теорию были введены специальные модели
и приближения [2], [16].
Несмотря на вычислительные сложности, имеется несколько точных результатов по проблеме Штермера, описывающих динамику заряженных частиц в земной
магнитосфере. Анализ этой системы приводит к заключению, что заряженные
частицы захватываются земной магнитосферой или улетают в бесконечность, и
область захвата ограничена торообразной поверхностью – внутренними радиационными поясами Ван Аллена [17–22]. В областях захвата движение заряженных
частиц может быть периодическим, квазипериодическим или хаотическим [23].
Довольно сложные математические методы были разработаны для того, чтобы
рассчитать траекторию заряженных частиц в дипольном магнитном поле (см.,
например, [24]). Решение задачи Штермера было изучено для магнитного поля,
которое представляет собой суперпозицию поля диполя и однородного магнитного
6
поля. Разрешенные и запрещенные области движения заряженных частиц в таком
поле были изучены в работе [25].
Также известны небесные тела, у которых направление магнитного момента
отличается от направления оси вращения. В этом случае вокруг тела присутствует не только магнитное, но и электрическое поле, индуцированное переменным
магнитным полем. Примером таких тел могут служить нейтронные звезды и, в
частности, пульсары.
Если ось вращения тела не совпадает с осью диполя, то система теряет азимутальную симметрию. Следовательно, момент импульса частицы в таком поле не
сохраняется. Это обстоятельство существенно осложняет анализ уравнений движения, не говоря уже об их решении. Между тем, накоплен огромный наблюдательный материал, связанный с излучением заряженных частиц в электромагнитном поле звезд с наклонной магнитной осью. Речь идет об излучении пульсаров.
Для расчета этого излучения необходимо знать характер движения заряженных
частиц в магнитосфере пульсара. Поэтому любые новые методы исследования
движения заряженных частиц в поле прецессирующего магнитного диполя являются чрезвычайно актуальными.
Природе излучения пульсаров посвящено очень много работ [26–35]. Тем не менее в этой проблеме до сих пор нет окончательной ясности. Считается практически
достоверно установленным, что пульсары являются быстро вращающимися нейтронными звездами, обладающими очень сильным дипольным магнитным полем.
Простейшим видом излучения пульсара является излучение прецессирующего дипольного момента. Это излучение представляет собой электромагнитные волны
с частотой, равной частоте вращения пульсара. Однако это излучение не регистрируется радиотелескопами вследствие очень большой длины волны – порядка
сотен тысяч километров. Наибольший интерес вызывает излучение в широком
7
диапазоне частот от радиоволн до рентгеновского излучения.
Важно отметить, что пульсары являются многочисленными в том смысле, что
они рождаются приблизительно с той же самой частотой, что и их прародители – сверхновые, поскольку нейтронные звезды – это звездные остатки вспышек
сверхновых. Такие два свойства как вращение и намагничение, являются, вероятно, свойствами всех астрофизических тел. Поэтому модели излучения пульсаров
разделяются, в зависимости от того, рассматриваются ли одни эти свойства, достаточные для объяснения излучения пульсара (вакуумные модели), или считают дополнительные свойства существенными. У любого дополнительного условия
должна быть высокая степень априорной вероятности. Например, таким фактором может быть взаимодействие с межзвездной средой.
Первой моделью, предложенной для описания магнитосферы радиопульсаров
была простейшая вакуумная модель [36, 37].
Дойч [38] рассмотрел вращающуюся намагниченную звезду и отметил, что при
вращении, в случае высокой намагниченности, наблюдаются существенные вращательно индуцированные электрические поля, способные ускорить окружающие
частицы до высоких энергий. Он предположил наличие плотной плазмы, окружающей обычные звезды, которая существует вследствие замыкания силовых линий
таких полей. Эта работа, которая включает вычисление E и H от поверхности до
бесконечности, особенно интересна для случая нейтронных звезд. Дойч полагал,
что ускоряющие потенциалы могли бы генерировать космические лучи. Его идея
получила развитие в ряде других работ [39].
Пачини [36] еще до открытия пульсаров предположил, что вращающаяся нейтронная звезда могла привести в движение Крабовидную туманность и что сильное магнитное поле нейтронной звезды должно обеспечивать вращательную энергию за пределами звезды. В 1968 г. Голд [40] предложил модель «маяка», согласно
8
которой пульсар – это вращающаяся нейтронная звезда, магнитная ось которой не
совпадает с осью вращения. Предполагалось, что угол между этими двумя осями
достигает 900 . Именно такое явление наблюдается у магнитных звезд. Напряженность магнитного поля этих звезд достигает 34000 Эрстед, причем магнитное поле
изменяет свою полярность за время от 0,5 суток до 20 лет. Как правило, у этих
звезд угол наклона магнитной оси к оси вращения близок к 900 [41].
Голд предположил что пучок электронов (1022 на 1м3 ) вращается совместно с
пульсаром, удерживается экваториальным магнитным полем пульсара и локализуется у поверхности светового цилиндра (т.е. поверхности, на которой скорость
вращения равна скорости света RL = c/ω).
Острайкер и Ганн [42] предложили основную идею сильных магнитных полей
(1012 Гаусс), приравнивая потерю энергии пульсаров к энергии электромагнитных волн, испускаемых вращающимся наклоним магнитным диполем. Они также
рассмотрели ускорение частиц до больших энергией в электромагнитных полях
большой амплитуды. Большинство наблюдений говорит о том, что пульсар должен быть вращающимся ротатором.
Голдрайх и Джулиан [31] (1969) предложили более простую модель ротатора,
когда ось магнитного диполя µ параллельна оси вращения ω (модель ГолдрайхаДжулиана). Формально в этом случае эффекта пульсара нет (поток релятивистских частиц направлен вдоль оси вращения и не пульсирует для наблюдателя),
однако на этом примере можно показать, как происходит торможение вращения
нейтронной звезды.
Голдрайх предположил, что у наклонного вращающегося ротатора та же физика что и у прямого вращающегося ротатора. Эта теория привела к, так называемой, полой модели конуса (излучение концентрируется на краю «полярной зоны»
– по периметру магнитных полярных шапок).
9
Старрок ввел первую «современную» модель пульсара: частицы непрерывно
испускаются из магнитных полюсов под действием сильного электрического поля
(идея уже была неявно выражена в модели Голдрайха-Джулиана), ускоряются
до высоких энергий и излучают гамма-лучи. Эти гамма-лучи, в свою очередь, в
этом же самом магнитном поле генерируют электрон-позитронные пары, приводя
к каскадному производству пар.
Рудерман и Сазерленд [43] улучшили модель Старрока. Переформулировка
Рудермана и Сазерленда получила большую популярность, чем модель Старрока
в свое время, возможно потому, что разрешились некоторые вопросы с помощью
данных полученных из наблюдений. Место происхождения импульсов излучения,
согласно этой работе, локализовано в разрядах «искр», которые двигаются вокруг
полярных шапок.
Рассмотрим эту модель более подробно [41]. Пульсар является быстро вращающейся нейтронной звездой с очень сильным магнитным полем B ∼ 1012 Гс.
Вращение служит причиной возникновения электрического поля, достигающего
υ
B ∼ 1011 В/см. При этом существенно то, что
вблизи звезды значения E ∼
c
электрическое поле имеет компоненту, параллельную магнитному полю. Частицы, захваченные столь сильным полем, ускоренно движутся вдоль силовых линий
магнитного поля и излучают жесткие γ-кванты, которые генерируют электронпозитронные пары [44]. Так образуется магнитосфера, наполненная электронпозитронной плазмой, вращающейся в магнитном поле звезды.
Присутствие плазмы оказывает существенное влияние на конфигурацию магнитного поля на значительных расстояниях от звезды. Если при относительно
c
небольших r поле является дипольным, то при r ∼
(где ω – угловая частота
ω
вращения звезды) из-за движения плазмы силовые линии существенно деформируются, вытягиваются и замыкаются уже за световым цилиндром.
10
Электрон-позитронная плазма утекает вдоль силовых линий. Поэтому в
окрестности полюсов она должна генерироваться непрерывно. Это и служит причиной образования активных областей в приполюсной области, позволяющих наблюдать пульсары. Для поддержания активных процессов необходим источник
энергии. Этим источником служит процесс вращения звезды.
Замедление вращения, наблюдаемое у всех пульсаров, происходит за счет пондеромоторного действия электрических токов, которые протекают на поверхности звезды, стекают в магнитосферу и возвращаются обратно. Электрические
токи определяют, таким образом, не только конфигурацию магнитного поля, но и
энергетику основных процессов, протекающих в магнитосфере пульсара, а также
динамику звезды.
Дальнейшие исследования структуры магнитосферы пульсара с учетом возникающих в ней электрических полей и продольных токов при произвольном угле
наклона оси вращения к оси магнитного диполя можно найти в обзорных работах [44–46]. В частности, показано, что в отсутствие источников тока вся магнитосфера вращается вместе со звездой с угловой скоростью ω. При этом дрейфовые
скорости частиц приближаются к скорости света на «световом цилиндре» — циc
линдре радиуса r = .
ω
С момента открытия пульсаров в 1968 г. [47] и их интерпретации как быстро
вращающихся намагниченных нейтронных звезд [40, 48], эти объекты рассматриваются как мощные ускорители частиц высоких энергий. Изучение динамики
электрически заряженных частиц в соответствующих электромагнитных полях
осуществлялось в два этапа: (1) исследование динамики пробной частицы в поле
вращающегося магнитного диполя в вакууме [37,49] и объяснение фундаментальных механизмов ускорения частиц, см., например, [31]; (2) предположение о наличии плотной плазмы и исследование самосогласованных решений для динамики
11
плазмы в магнитосфере звезды.
Другое направление исследований связано с учетом радиационного трения заряженных частиц в магнитосфере. Из первых работ посвященных динамике частиц в поле с вектором магнитного дипольного момента находящимся под углом
к оси вращения стало известно о существовании бессиловой поверхности, определяемой уравнением (EB) = 0, которая может являться ловушкой для заряженных частиц и, следовательно, может иметь сильное влияние на формирование
магнитосферы нейтронной звезды [50]. Из этой серии большое количество работ,
посвященных изучению магнитосферы пульсаров относится к частным случаям,
когда магнитная ось параллельна или перпендикулярна оси вращения, с применением как аналитических [34,51,52] так и численных методов исследования [53–57].
Изучение наклонного ротатора – задача более сложная, из за отсутствия симметрии. В случае аксиально симметричного поля применимы аналитические методы
исследования [58–62].
В работе [63] рассмотрена динамика движения заряженной частицы в электромагнитном поле ортогонального ротатора в вакууме. Показано, что компонента
скорости, ортогональная вектору магнитного поля быстро гасится за счет излучения, так что частица движется практически вдоль линии магнитного поля. При
этом частица ускоряется в направлении проекции электрического поля на силовую
линию магнитного поля. В точках, где электрическое поле ортогонально магнитному, это ускорение изменяет направление на противоположное. Таким образом
некоторый класс частиц совершает колебания вблизи бессиловой поверхности двигаясь вдоль магнитных силовых линий. Амплитуда их колебаний уменьшается за
счет радиационных потерь. В статье [64] показано, что затухание при излучении
имеет большое значение для движения частиц. В случае сильного радиационного
торможения, существенно изменяются траектории и энергии частиц. Определена
12
геометрия областей захвата, где происходит накопление заряженных частиц. Детальное исследование процесса захвата частиц бессиловой поверхностью с учетом
радиационного торможения проведено в [65]. В частности, найдена предельная
энергия, до которой может ускориться частица с учетом реакции излучения.
Подытожившая вышесказанное, можно сделать вывод об актуальности исследований, направленных на систематическое изучение динамики движения заряженных частиц в электромагнитном поле вращающегося намагниченного небесного тела, которым и посвящена данная диссертация. В настоящей работе разработан метод исследования динамики заряженных частиц с помощью эффективной
потенциальной энергии. Метод основан на использовании релятивистской функции Гамильтона во вращающейся системе отсчета. Такой подход, в частности, позволяет определить условия при которых в окрестности намагниченного небесного
тела с наклонной магнитной осью существуют замкнутые области пространства, в
которые могут захватываться частицы, и позволяет исследовать геометрию таких
областей.
Цели и задачи работы
Цели диссертационной работы:
1. Выяснить, возможно ли существование замкнутых областей пространства,
в которые захватываются заряженные частицы (радиационных поясов) в окрестности намагниченного небесного тела, если его ось вращения не совпадает с магнитной осью.
2. Если такие области существуют, то определить условия их существования и
исследовать геометрию этих областей.
3. Рассмотреть случай сильных магнитных и электрических полей, характерных для нейтронных звезд, когда на динамику заряженных частиц оказывает
13
существенное влияние сила радиационного торможения.
Для достижения поставленных целей сформулированы следующие задачи:
1. Исследовать полную энергию заряженной частицы в поле магнитного дипольного момента, прецессирующего вокруг некоторой фиксированной оси.
2. Ввести эффективную потенциальную энергию заряженной частицы в поле
прецессирующего дипольного момента и исследовать ее на наличие экстремумов и стационарных точек.
3. Исследовать эффективную потенциальную энергию с учетом квадрупольного
электрического поля в окрестности проводящего намагниченного небесного
тела.
4. Решить задачи 1 - 3 для релятивистских заряженных частиц и исследовать
нерелятивистское приближение.
5. Исследовать геометрию поверхности, определяемой условием, что вектор напряженности электрического поля намагниченного небесного тела ортогонален вектору напряженности магнитного поля (бессиловой поверхности).
Научная новизна
1. Впервые использован метод эффективной потенциальной энергии для исследования динамики заряженных частиц в системе, не обладающей сферической или аксиальной симметрией.
2. Найдены разрешенные и запрещенные зоны для движения нерелятивистской
частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента. Найдены
частные решения уравнений движения такой частицы, соответствующие перемещению вдоль окружности. Показано, что круговые орбиты заряженных
14
частиц отвечают линиям или точкам касания двух разрешенных для движения областей.
3. Исследована динамика релятивистской заряженной частицы в поле прецессирующего дипольного магнитного момента и в поле проводящей сферы. Построены сечения эквипотенциальных поверхностей для таких полей.
4. Впервые исследованы уравнение и геометрия бессиловой поверхности для поля вращающейся намагниченной проводящей сферы на расстояниях вплоть
до светового цилиндра.
Теоретическая и практическая значимость
1. Метод эффективной потенциальной энергии для систем, не обладающих аксиальной симметрией может быть использован для исследования динамики
заряженных частиц в окрестности различных асимметричных космических
объектов, например, черных дыр.
2. Результаты исследования динамики заряженных частиц в поле прецессирующего магнитного дипольного момента могут быть использованы для исследования радиационных поясов вокруг небесных тел, магнитная ось которых
не совпадает с осью вращения.
3. Результаты исследования структуры бессиловой поверхности могут быть использованы при объяснении распределения релятивистской плазмы в магнитосфере нейтронных звезд и генерации космических лучей в окрестности
этих звезд.
15
Методология и методы исследования
В диссертационной работе были использованы стандартные методы классической электродинамики, классической механики, общей теории относительности и
математического анализа.
Положения выносимые на защиту
1. Получена нерелятивистская функция Лагранжа во вращающейся системе отсчета и найден интеграл движения для нерелятивистской заряженной частицы в поле наклонного магнитного дипольного момента. Найдена эффективная потенциальная энергия в поле наклонного вращающегося магнитного дипольного момента. Показано, что существуют замкнутые эквипотенциальные
поверхности, которые совместно вращаются с полем диполя. В этих поверхностях заключены частицы с определенной начальной энергией. Найдены
стационарные точки эффективной потенциальной энергии. Проведено исследование на устойчивость движения частиц в непосредственной близости от
стационарных точек.
2. Представлен вид эквипотенциальных поверхностей для различных значений
интеграла движения. Исследованы области разрешенные и запрещенные для
движения заряженных частиц. Показано, что круговые орбиты заряженных
частиц соответствуют точкам, в которых касаются две разрешенные для движения области.
3. Найдена релятивистская функция Лагранжа для заряженной частицы в произвольном, равномерно вращающемся электромагнитном поле. Получен интеграл движения для такой системы Лагранжа. Определена эффективная
потенциальная энергия на основе первого интеграла движения. Найдены ста-
16
ционарные точки потенциальной энергии и рассмотрено нерелятивистское
приближение найденных решений. Представлены сечения эквипотенциальных поверхностей для положительно и отрицательно заряженных частиц в
электромагнитном поле прецесссирующего диполя.
4. Проведен анализ поля вращающейся с нерелятивистской скоростью, однородно намагниченной сферы. Вычислена и исследована потенциальная энергия
заряженных частиц вблизи поверхности однородно намагниченной сферы,
магнитная ось которой не совпадает с осью вращения.
5. Исследована геометрия бессиловой поверхности EH = 0 в поле однородно
намагниченной сферы на расстояниях вплоть до светового цилиндра.
Степень достоверности
Для решения поставленных задач использовались стандартные методы математического анализы и теоретической физики. Результаты кандидатской диссертации опубликованы в реферируемых журналах. Следствия из полученных результатов для различных частных случаев совпадают с результатами, полученными ранее другими авторами.
Публикации
1. Колесникова (Мастерова) М. А. Поле прецессирующего магнитного дипольного
момента // Наука и образование: материалы XIII Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 20
– 24 апреля 2009 г. – Томск, 2009. – Т. 1. – С. 146-50.
2. Мастерова М. А. Вектор Умова - Поинтинга наклонного магнитного ротатора
// Наука и образование: материалы Всероссийской с международным участием
17
конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 25 – 29 апреля
2011 г. – Томск, 2011. – Т. 1. – С. 15-20.
3. Мастерова М. А. Исследование уравнений движения заряженной частицы в
поле прецессирующего магнитного дипольного момента // Наука и образование:
Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов
и молодых ученых. Томск, 25 – 29 апреля 2011 г. – Томск, 2011. – Т. 1. – С. 20-25.
4. Мастерова М. А. Вектор Умова-Пойтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов / М. А. Мастерова, Ю. Г. Янц // Вестник Адыгейского
государственного университета. – 2011. – No 4. – С. 33-42.
5. Epp V. Y. The Poynting vector of an oblique magnetic rotator / V. Y. Epp, M.A.
Masterova // TSPU Bulletin. – 2011. – Vol. 8. – P. 44-48.
6. Epp V. The field of precessing magnetic dipole / V. Y. Epp, M.A. Masterova //
TSPU Bulletin. – 2012. – Vol. 13. – P. 51-54.
7. Мастерова М. А. Движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного // Международная школа-конференция молодых ученых и
специалистов. Современные проблемы физики. – Минск, 13–15 июня 2012 г. –
Минск, 2012. – С. 79-84.
8. Epp V. Effective potential energy in Stormer’s problem for an inclined rotating
magnetic dipole // V. Epp, M. A. Masterova // Astrophys. Space Sci. – 2013. – Vol.
345. – P. 315-324.
9. Epp V. Effective potential energy for relativistic particles in the field of inclined
rotating magnetized sphere / V. Epp, M. A. Masterova // Astrophys. Space Sci. –
2014. – Vol. 353. – Р. 473-483.
10. Эпп В. Метод эффективной потенциальной энергии для исследования поля
прецессирующего магнитного дипольного момента / В. Эпп, М. А. Мастерова //
Уральский научный вестник. – 2014. – No. 24. – С. 48-54.
18
11. Masterova M. A. Dynamics of relativistic particles in the field of highly magnetized
rotating sphere // TSPU Bulletin. – 2014. – Vol. 12. – P. 172-176.
Апробация работы
1. Наука и образование: «XIII Всероссийская конференция студентов, аспирантов
и молодых ученых», 20 – 24 апреля 2009. – Томск.
2. Наука и образование: «Всероссийская конференция студентов, аспирантов и
молодых ученых», 25 – 29 апреля 2011. – Томск.
3. Международная конференция «Quantum field theory and gravity», 31 июля – 4
августа, 2012. – Томск.
4. Международная школа-конференция молодых ученых и специалистов. Современные проблемы физики, 13 – 15 июня, 2012. – Минск.
5. Наука и образование: «XVIII Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых», апреля, 2014. – Томск.
6. Международная конференция «Quantum field theory and gravity», 28 июля – 3
августа, 2014. – Томск.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.
Объем диссертации составляет 106 страницы, включая 37 рисунков. Список литературы содержит 103 наименований.
Основное содержание работы
Во введении представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована
актуальность исследуемой работы, приведены полученные в диссертации новые
результаты, дано описание структуры диссертации.
19
Первая глава диссертации посвящена изучению динамики движения нерелятивистской заряженной частицы в поле наклонного магнитного дипольного момента. Глава состоит из шести разделов. В разделе 2.1 рассчитано поле вращающегося
непроводящего тела с дипольным магнитным полем и осью диполя наклоненной к
оси вращения. Приведены некоторые свойства такого поля. В разделе 1.2 найдена
нерелятивистская функция Лагранжа во вращающейся системе отсчета. Найден
интеграл движения и соответствующая эффективная потенциальная энергия. В
разделе 1.3 найдены релятивистские уравнения движения для частицы в поле диполя записанные в трехмерном виде и ковариантном виде в инерциальной системе отсчета. В разделе 1.4 развивается исследование эффективной потенциальной
энергии. Получены стационарные точки эффективной потенциальной энергии.
Здесь исследуется устойчивость движения частиц в непосредственной близости от
стационарных точек. В разделе 1.5 представлен вид эквипотенциальных поверхностей для различных значений интеграла движения. Особое внимание уделяется
исследованию областей разрешенных и запрещенных для движения заряженных
частиц. Последний раздел 1.6 посвящен подведению итогов первой главы.
Вторая глава посвящена изучению динамики движения релятивистской заряженной в поле вращающейся наклонной проводящей сферы. В разделе 2.1 проводится анализ поля вращающейся намагниченной сферы. Рассмотрено поле на
больших расстояниях. Найден четырехмерный потенциал такого поля. В разделе 2.2 найден интеграл движения для частицы в произвольном вращающемся
электромагнитном поле. В разделе 2.3 определяется эффективная потенциальная энергия на основе первого интеграла движения. Проводится анализ основных
свойств эффективной потенциальной энергии. В разделе 2.4 находятся стационарные точки потенциальной энергии. Рассматривается нерелятивистское приближение найденных решений. Подробно исследован случай поведения стационарных
20
точек вблизи светового цилиндра в случае больших магнитных полей. В разделе
2.5 представлены сечения эквипотенциальных поверхностей для положительно
и отрицательно заряженных частиц. В разделе 2.6 исследуется потенциальная
энергия заряженных частиц в поле абсолютно проводящей вращающейся сферы.
Последний раздел 2.7 посвящен обсуждению основных результатов второй главы.
Глава 3 посвящена изучению геометрии бессиловой поверхности во вращающейся системе координат на расстояниях до светового цилиндра. Найден векторный потенциал электромагнитного поля нерелятивистской прецессирующей сферы. Получено уравнение бессиловой поверхности во вращающейся системе отсчета, справедливое внутри светового цилиндра, и в инерциальной системе отсчета
во всем пространстве. Построены сечения бессиловой поверхности для разных
значений угла наклона магнитной оси относительно оси вращения.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, и
выносимые на защиту.
21
1
Задача Штермера для эффективной потенциальной
энергии наклонного вращающегося магнитного диполя
Движение заряженных частиц в магнитном поле небесного тела, магнитная ось
которого совпадает с осью вращения, хорошо изучено на примере магнитного поля
Земли. Это, так называемая, задача Штермера. Известно, что в таком магнитном
поле существуют замкнутые области пространства, в пределах которых движутся заряженные частицы с энергией не превышающей некоторого определенного
значения. Такие области получили название радиационных поясов. Между тем,
существуют тела, магнитная ось которых наклонена относительно оси вращения.
Вопрос существования радиационных поясов в окрестности таких практически
не был изучен до начала наших работ. Наиболее известным примером таких тел
являются нейтронные звезды. Часть из них, а именно пульсары, интенсивно исследуются с использованием наблюдаемого излучения. Динамика заряженных частиц в поле нейтронной звезды имеет важное значение для объяснения природы
излучения пульсара. Аналитическое решение уравнений движения в магнитном
поле с наклонной магнитной осью представляет определенные трудности в связи
с тем, что поле не обладает аксиальной симметрией и момент импульса частицы не является интегралом движения. В связи с этим, все предыдущие работы,
посвященные динамике заряженных частиц в магнитосфере тел с наклонной магнитной осью, представляют либо численное интегрирование уравнений движения,
либо приближенные оценки характера движения частиц. В настоящей главе излагается метод, который позволяет определить разрешенные и запрещенные для
движения частиц области пространства в поле наклонного магнитного ротатора,
если это поле аппроксимировать полем диполя.
Электромагнитное поле вращающегося намагниченного тела существенно за-
22
висит от того, является ли оно проводящим или нет. В случае проводящего небесного тела на его поверхности индуцируется распределенный заряд, создающий
собственное квадрупольное поле. Предполагается, что нейтронные звезды являются проводящими с очень низким коэффициентом сопротивления. Первая модель электрического поля, которое генерируются в окрестности нейтронной звезды была разработана Дойчем [38]. Ряд других моделей были предложены и изучены несколькими авторами. Обзор этих работ можно найти в монографии [39].
Также существуют небесные тела, состоящие из непроводящего вещества, которые вращаются вокруг оси, не совпадающей с осью магнитного поля. Их магнитное поле хорошо аппроксимируется полем прецессирующего магнитного момента или «наклонным ротатором» [66]. Электромагнитное поле и магнитосфера наклонного проводящего ротатора изучались многими авторами. См., например, [67–72]. В работе [72], кроме того, проведена оценка энергии, которая может
быть приобретена частицами в процессе ускорения в магнитосфере.
Некоторые вопросы динамики заряженной частицы в электромагнитном поле
в вакууме были рассмотрены в статьях [73,74]. Задача Штермера для параллельного проводящего ротатора была исследована в работе [75]. Обобщенная задача
Штермера с учетом электромагнитных и гравитационных сил, действующих на
заряженные пылинки вблизи планеты, рассмотрена в статье [76]. Динамика заряженной частицы вблизи бессиловой поверхности вращающейся намагниченной
сферы была детально исследована в [63, 65].
В настоящей главе изучается динамика заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента. В первом разделе получены выражения для компонент векторов напряженности электрического и магнитного поля
такого дипольного момента и исследованы их свойства.
Во втором разделе обсуждается динамика заряженной нерелятивистской ча-
23
стицы в электромагнитном поле вращающегося намагниченного небесного тела.
Определена эффективная потенциальная энергия с помощью одного интеграла
движения. В третьем разделе найдены релятивистские уравнения движения. Четвертый раздел посвящен нахождению стационарных точек эффективной потенциальной энергии. Проводится их исследование на устойчивость. В пятом разделе
изучены и построены разрешенные и запрещенные области движения заряженных
частиц для различных значений интеграла движения.
1.1
Поле прецессирующего магнитного диполя
Рассмотрим поле дипольного момента µ, закон движения которого в декартовой системе координат задан в виде [77]:
µ = µ(sin α cos ωt, sin α sin ωt, cos α),
(1.1)
где µ > 0 и ω > 0 - модуль и угловая скорость прецессии дипольного момента,
соответственно, 0 ≤ α ≤ π - угол между вектором µ и осью прецессии. Исходим
из общих формул для поля изменяющегося дипольного момента [78]:
(n × µ̇) (n × µ̈)
,
+
r2c
rc2
(1.2)
(n × (n × µ̈)) 3n(nµ̇) − µ̇ 3n(nµ) − µ
+
,
+
rc2
r2c
r3
(1.3)
E=
H=
где c - скорость света, n = r/r - единичный вектор направления на наблюдателя,
r - радиус-вектор. Напряженности полей вычисляются в момент времени t, а
все величины в правых частях этих уравнений в предыдущий момент времени
r
t0 = t − . Точкой обозначена производная по времени:
c
µ̇ =
dµ
.
dt
(1.4)
24
Выберем декартову систему координат (рисунок 1.1) и найдем компоненты вектора напряженности магнитного и электрического полей прецессирующего диполя.
Рисунок 1.1 - Декартова система координат
Найдем производные по времени:
µ̇ = ωµ sin α(− sin ωt0 , cos ωt0 , 0)
(1.5)
µ̈ = ω 2 µ sin α(− cos ωt0 , − sin ωt0 , 0).
(1.6)
Формулы (1.2) и (1.3) можно записать в более удобном виде, если ввести безразмерную переменную времени τ :
c
τ =t ,
r
µ̇ =
d
c d
=
,
dt r dτ
dµ
c
= µ0 .
dt
r
Штрих обозначает производную по приведенному времени τ . Тогда
d [nµ] [nµ̇]
1 d
E=
+
=
[nM ],
dt r2 c
rc2
r3 dτ
(1.7)
(1.8)
(1.9)
25
где
M = µ + µ0 .
(1.10)
Перепишем выражение для вектора E в виде:
E=
1
[nM 0 ] .
3
r
(1.11)
Аналогично, формула для вектора напряженности магнитного поля принимает
вид:
1
{[n[nµ00 ]] + 3n(nM ) − M } .
(1.12)
r3
Используя уравнение (1.1) и определение (1.10), можно найти зависимость векH=
тора M от времени:
h
i
rω
rω
0
0
0
0
M = µ sin α cos ωt −
sin α sin ωt , sin α sin ωt +
sin α cos ωt , cos α .
c
c
(1.13)
Сделаем замену:
sin ψ ≡ r
1
,
2
cos ψ ≡ r
rω
r2ω
r2ω 2
1+ 2
1+ 2
c
c
Тогда компоненты вектора M можем переписать в виде:
.
(1.14)
Mx = −M ∗ sin(ωt0 − ψ),
(1.15)
My = M ∗ cos(ωt0 − ψ),
(1.16)
Mz = µ cos α,
(1.17)
где обозначено:
s
r2ω 2
M ≡ µ 1 + 2 sin α.
c
∗
(1.18)
Найдем производную вектора M по приведенному времени:
M = [−M ∗ sin (ωt0 − ψ) , M ∗ cos (ωt0 − ψ) , µ cos α] ,
(1.19)
26
M0 = −
rω ∗
M [cos (ωt0 − ψ) , sin (ωt0 − ψ) , 0] .
c
(1.20)
Используя (1.20) и (1.11) найдем декартовы координаты вектора E:
r3 Ex = [nM 0 ]x = ny Mz0 − nz My0 = −nz My0 =
= ρM ∗ cos θ sin (ωt0 − ψ) ,
r3 Ey = [nM 0 ]y = nz Mx0 − nx Mz0 = −ρM ∗ cos (ωt0 − ψ) cos θ,
(1.21)
r3 Ez = [nM 0 ]z = nx My0 − ny Mx0 = −ρM ∗ [sin (ωt0 − ψ) sin θ cos φ −
− cos (ωt0 − ψ) sin θ sin φ] = −ρM ∗ sin θ sin (ωt0 − ψ − φ) .
Найдем Hx , Hy , Hz . Для этого вычислим векторное произведение векторов n
и µ00 и скалярное произведение nM :
[nµ00 ] = ρ2 µ sin θ [i sin ωt0 cos θ − j cos θ cos ωt0 −
+ k sin θ sin (ωt0 − φ)] ,
(1.22)
(nM ) = sin θ sin α (cos (ωt0 − φ) − ρ sin (ωt0 − φ)) + cos θ cos α.
Подставляя формулы (1.22) в (1.12), получим следующие компоненты для вектора магнитного поля H :
Hx =
µ 2
(ρ sin α(− sin2 θ sin φ sin (ωt0 − φ) + cos2 θ cos ωt0 ) +
3
r
+3 sin2 θ sin α cos φ (cos (ωt0 − φ) − ρ sin (ωt0 − φ)) +
Hy
+3 sin θ cos φ cos θ cos α − sin α cos ωt0 − ρ sin α sin ωt0 ),
1
= 3 (sin2 α cos φ sin (ωt0 − φ) + cos2 θ sin ωt0 )ρ2 µ sin α +
r
+3 sin θ sin φ(− sin2 θ sin φ sin (ωt0 − φ) + cos2 θ cos ωt0 ) −
Hz
− (sin α sin ωt0 + ρ sin α cos ωt0 ) µ,
(1.23)
1
= 3 (−ρ2 µ sin α cos(ωt0 − φ) + 3 cos θ(− sin2 θ sin φ sin(ωt0 − φ) +
r
+ cos2 θ cos ωt0 ) − µ cos α).
27
Для дальнейших приложений удобно записать векторы напряженностей электрического и магнитного полей в сферической системе координат. Для этого найдем проекции векторов E и H на единичные орты сферической системы координат. Координаты базисных векторов сферической системы координат равны:
Рисунок 1.2 - Сферическая система координат
er = n = (sin θ cos φ, cos θ sin φ, cos θ) ,
eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) ,
(1.24)
eφ = (sin φ, cos φ, 0) .
Опуская простые, но громоздкие вычисления, запишем результат для вектора
напряженности электрического поля E:
r3 Er = r3 (Eer ) = ρM ∗ [cos θ sin (ωt0 − ψ) sin θ cos φ −
− cos θ cos (ωt0 − ψ) sin θ sin φ − sin θ sin (ωt0 − ψ − φ) cos θ] = 0, (1.25)
r3 Eθ = ρM ∗ cos θ sin (ωt0 − ψ) cos θ cos φ − cos θ cos (ωt0 − ψ) cos θ sin φ +
+ sin θ sin (ωt0 − ψ − φ) sin θ = ρM ∗ sin (ωt0 − ψ − φ) ,
(1.26)
28
r3 Eφ = ρM ∗ [− cos θ sin (ωt0 − ψ) sin φ − cos θ cos (ωt0 − ψ) cos φ] =
= −ρM ∗ cos θ cos (ωt0 − ψ − φ) .
Из полученных формул видно, что
Eθ 2
Eφ 2
+
= 1,
E0θ
E0φ
(1.27)
(1.28)
ρM ∗
ρM ∗ cos θ
где E0θ = 3 , E0φ =
. Таким образом, вектор E описывает эллипс с
r
r3
полуосями E0θ и E0φ в плоскости, ортогональной радиус-вектору. В направлении
оси прецессии (θ = 0) магнитного момента эллипс вырождается в окружность, а в
π
экваториальной плоскости (θ = ) вектор E колеблется в меридиональной плос2
кости (параллельно вектору eθ ). С другой стороны, из уравнений (1.21) следует,
что
ρ2 M ∗ 2 cos2 θ
(1.29)
=
.
+
r6
Это означает,что проекция эллипса, который описывает вектор E на плоскость
Ex2
Ey2
xy представляет собой окружность.
И, наконец, найдем проекции вектора H на орты сферической системы координат. Например, для компоненты Hr имеем:
Hr = (Her ) = Hx erx + Hy ery + Hz erz .
(1.30)
Используя таким образом формулы (1.21), (1.23) и (1.24) найдем:
r3 Hθ = −µ{cos θ sin α cos (ωt0 − φ) − ρ sin (ωt0 − φ) − ρ2 cos (ωt0 − φ) −
r3 Hφ
− sin θ cos α},
= −µ sin α sin (ωt0 − φ) + ρ cos (ωt0 − φ) − ρ2 sin (ωt0 − φ) ,
r3 Hr = 2µ {sin α sin θ [cos (ωt0 − φ) − ρ sin (ωt0 − φ)] + cos θ cos α} ,
(1.31)
29
Из полученных формул видно, что магнитное поле, в отличие от электрического, имеет постоянные составляющие:
2µ
cos θ cos α,
r3
µ
Hθc = 3 sin θ cos α.
r
Hrc =
(1.32)
(1.33)
В случае, если угол прецессии α равен нулю, эти составляющие дают поле
покоящегося магнитного диполя. При этом электрическое поле, естественно, обращается в ноль.
Таким образом, мы получили выражения для компонент векторов напряженности электрического и магнитного поля прецессирующего дипольного момента.
Из полученных формул видно, что время входит в формулы для напряженности электрического и магнитного полей в сочетании ωt0 − φ. Это означает, что
изменение ωt0 эквивалентно соответствующему изменению φ. Другими словами,
геометрия электрического и магнитного поля такова, будто поле, как целое, поворачивается со скоростью ω вокруг оси z. Этот вывод относится только к геометрии электрического и магнитного полей. Если построить картину силовых линий
электрического или магнитного поля, то эта картина будет равномерно поворачиваться вокруг оси z. На первый взгляд мы сталкиваемся с парадоксом – на
достаточно большом расстоянии от оси вращения (r > c/ω) линейная скорость
движения становится больше скорости света. На самом деле движение силовой
линии не означает физического переноса вещества или энергии поля, то есть это
не означает, что само поле вращается вокруг оси z. Из полученных формул следует только то, что в любой точке пространства с координатами (r, θ, φ) электромагнитное поле изменяется таким образом,что в некоторый момент времени t
оно принимает то же значение, что поле в точке (r, θ, φ − δφ) в момент времени
t − δφ/ω.
30
На очень больших расстояниях от диполя присутствует только поле излучения,
которое перемещается радиально со скоростью света:
Hθ
Hφ
Hr
µk 3
cos θ sin α cos(ωt0 − φ),
=
ρ
k 3 µω
=
sin α sin(ωt0 − φ),
ρ
2µk 3
= − 2 sin α sin θ sin(ωt0 − φ),
ρ
Er = 0,
µk 3
Eθ =
sin α sin (ωt0 − φ) ,
ρ
µk 3
sin α cos θ cos(ωt0 − φ),
Eφ = −
ρ
(1.34)
(1.35)
.
где k = ω/c.
1.2
Эффективная потенциальная энергия
Рассмотрим движение заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного диполя. Динамику заряженной частицы в электромагнитном можно исследовать решая уравнения движения частицы. В тех случаях когда уравнения движения имеют сложный вид, весьма эффективным является исследование потенциальной энергии, или, если удается найти интеграл движения – эффективной
потенциальной энергии. В настоящем разделе найдена релятивистская функция
Лагранжа в сферической системе координат и записаны уравнения движения.
Найдены некоторые частные решения этих уравнений. Далее, на основе интеграла
движения введена эффективная потенциальная энергия и исследована на экстремумы. Построены эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной
31
энергии в области ρ 1, где точки вращающейся системы отсчета движутся с
нерелятивистской скоростью относительно инерциальной системы отсчета.
1.2.1
Динамика заряженной частицы
Найдем функцию Лагранжа для заряда в поле прецессирующего магнитного
дипольного момента [79]:
s
2
L = −mc
v2 e
1 − 2 + (Av) ,
c
c
(1.36)
где v - вектор скорости частицы, A - векторный потенциал. Используя определения
1 ∂A
,
B = ∇A,
c ∂t
нетрудно убедиться в том, что векторный потенциал
E = −∇ϕ −
A=−
(n × µ) (n × µ̇)
−
r2
rc
(1.37)
(1.38)
дает поле (1.2) и (1.3). Найдем компоненты векторного потенциала в декартовой
системе координат. Для этого вычислим [n, µ] и [n, µ̇]:
[n, µ] = µ(i[sin θ sin φ cos α − cos θ sin α sin ωt0 ] −
−j[sin θ cos φ cos α − cos θ sin α cos ωt0 ] +
+k[sin θ sin α sin(ωt0 − φ)]),
(1.39)
[n, µ̇] = ωµ(−i cos α sin α cos ωt0 − j cos θ sin α sin ωt +
+k sin θ sin α cos(φ − ωt0 )).
(1.40)
Тогда получим:
µω
µ
Ax = −
sin φ cos α sin θ + 2 sin α cos θ(sin ωt + ρ cos ωt0 ),
rc
r
µω
µ
Ay =
cos φ cos α sin θ − 2 sin α cos θ(cos ωt0 − ρ sin ωt0 ),
rc
r
µ
Az = 2 sin α sin θ(sin(φ − ωt) − ρ cos(φ − ωt0 )).
r
(1.41)
32
Так как Ar = (A, er ) = (A, n), Aθ = (A, eθ ), Aϕ = (A, eϕ ), используя координаты
базисных векторов (1.24), найдем компоненты вектора A в сферической системе
координат
Ar = 0,
µ sin α
(sin τ + ρ cos τ ),
Aθ =
r2
µ
Aφ = 2 [cos α sin θ − sin α cos θ(cos τ − ρ sin τ )] ,
r
(1.42)
(1.43)
(1.44)
где τ = ωt0 − φ. Подставляя компоненты вектора A и вектора скорости в сферической системе координат v = (ṙ, θ̇r, ϕ̇r sin θ) в лагранжиан (1.36), мы имеем
s
ṙ2 + θ̇r2 + ϕ̇2 r2 sin θ2
L = −mc2 1 −
c2
n
eµ
θ̇ sin α(sin τ + ρ cos τ ) + ϕ̇ sin2 θ cos α
+
cr
−ϕ̇ sin θ cos θ sin α(cos τ − ρ sin τ )} .
(1.45)
Далее рассмотрим движение нерелятивистской заряженной частицы. Введем новые обобщенные координаты ρ, θ, ψ, где
ρ=
rω
,
c
ψ = φ − ωt.
(1.46)
Фактически это означает, что мы используем вращающуюся систему отсчета. Известно, что вращающуюся систему отсчета можно использовать только внутри
светового цилиндра, то есть в области rω < c или ρ < 1. Тогда нерелятивистская
функция Лагранжа имеет вид [81]:
i
mc2 h 2
2 2
2
2
2
ρ̇ + ρ θ̇ + ρ (ψ̇ + ω) sin θ
L =
2ω 2
h
eµω
− 2 sin α (ψ̇ + ω) sin θ cos θ(cos ξ + ρ sin ξ)
cρ
i eµω
+ θ̇(sin ξ − ρ cos ξ) + 2 cos α(ψ̇ + ω) sin2 θ,
cρ
(1.47)
33
где ξ = ψ + ρ. Теперь функция Лагранжа не зависит явно от времени. В этом
случае величина представляющая собой полную энергию частицы, является интегралом движения:
mc2 2
∂L
H = qi
−L=
(ρ̇ + ρ2 θ̇2 + ρ2 sin2 θψ̇ 2 )
2
∂ q̇i
2ω
1
eµω 2
− mc2 ρ2 sin2 θ − 2 cos α sin2 θ
2
cρ
2
eµω sin 2θ
+
sin α(cos ξ + ρ sin ξ).
2c2 ρ
(1.48)
mc2 2
Первое слагаемое в этом выражении K =
(ρ̇ + ρ2 θ̇2 + ρ2 sin2 θψ̇ 2 ) всегда поло2
2ω
жительно и представляет собой кинетическую энергию. Оставшуюся часть обычно называют эффективной потенциальной энергией. Ее можно записать в форме:
(
)
2
2
2Nk sin θ
mc
N⊥ sin 2θ
Vef =
−ρ2 sin2 θ +
(cos ξ + ρ sin ξ) −
, (1.49)
2
ρ
ρ
где
eµω 2 sin α
N⊥ =
,
mc4
eµω 2 cos α
Nk =
.
mc4
В этих обозначениях формулу(1.48) удобно представить в виде:
K = H − Vef .
(1.50)
Неравенство H − Vef ≥ 0 накладывает ограничение на допустимые области движения частиц. Эти области подробно рассмотрены в разделе 1.5.
1.3
Уравнения движения заряженных частиц
Найдем релятивистские уравнения движения заряженной частицы в поле вращающегося магнитного диполя. Лагранжиан (1.45) приводит к следующим урав-
34
нениям движения в сферической системе координат [82]:
rṙ 2
m
r̈ 2
2 2
2 2
2
(c
−
r
θ̇
−
r
ϕ̇
sin
θ)
+
(ṙθ̇ + rθ̇θ̈ + ϕ̇ sin2 θ(ṙϕ̇ + rϕ̈)
2
2
2
3/2
c
c
(1 − β )
1 2
mr(θ˙2 + ϕ̇2 sin2 θ) eµ sin α n
p
+ rϕ̇ θ̇ sin 2θ) −
+
2θ̇(sin τ + ρ cos τ − ρ2 sin τ )
2
2
2
2cr
1−β
eµ cos α
−ϕ̇ sin 2θ(cos τ − ρ sin τ − ρ2 cos τ ) +
ϕ̇ sin2 θ = 0,
(1.51)
2
cr
n
m
r2 θ̈(c2 − ṙ2 − r2 ϕ̇2 sin2 θ) + rṙθ̇(2c2 − 2ṙ2 − r2 θ̇2 − r2 ϕ̇2 sin2 θ)
c2 (1 − β 2 )3/2
1 2 2
mϕ̇2 r2 cos θ sin θ
2
2
2
p
+r θ̇(ṙr̈ + r ϕ̇ϕ̈ sin θ + r ϕ̇ θ̇ sin 2θ) −
2
1 − β2
eµ sin α − 2
ρ(ω − ρ̇ − 2ϕ̇ sin2 θ)(cos τ − ρ sin τ ) − ρ̇ sin τ −
(1.52)
r ω
eµϕ̇ cos α sin 2θ
−
= 0,
cr
r sin2 θ h
ṙϕ̇(2ṙ2 + r2 θ̇2 +
sin θ(2rṙϕ̇ + r ϕ̈) + r ϕ̇θ̇ sin 2θ −
2
c
1 2 2
2 2
2
2
2 2
2
r ϕ̇ sin θ) + rϕ̈(ṙ + r θ̇ ) − rϕ̇(ṙr̈ + r θ̇θ̈ + r ϕ̇ θ̇ sin 2θ) −
2
)
(
2
µe sin α 2rθ̇ sin2 θ
r ϕ̇θ̇
2
2 2
2 2
2
(cos τ − ρ sin τ )+
− 2 sin 2θ(ṙ + r θ̇ + r ϕ̇ sin θ) +
c
r2
c
ṙ sin 2θ
ρ sin 2θ
2
+
(cos τ − ρ sin τ − ρ cos τ ) +
(sin τ + ρ cos τ ) +
(1.53)
2c
2
µe cos α
+
(θ̇r sin 2θ − ṙ sin2 θ) = 0.
2
cr
m
(1 − β 2 )3/2
2
2
2
Если в исследуемом поле существуют замкнутые области захвата заряженных
частиц, аналогичные радиационным поясам Земли, то естественно ожидать, что
эти области вращаются вместе с электромагнитным полем с угловой скоростью ω.
В этом случае уравнения движения должны допускать существование круговых
35
орбит для заряженных частиц. Причем, такие орбиты не обязательно должны
лежать в экваториальной плоскости. Для проверки этого предположения будем
искать решения уравнений движения в форме ρ = const, θ = const, ϕ = ϕ(t). В
результате получим следующие решения:
а)
1
ρ = (2N ) 3 ,
θ=
π
,
2
ϕ = Ωt + ϕ0 ,
где Ω = (1/2)ω, и ϕ0 - произвольная постоянная,
б)
1
ρ = Nk3 ,
θ=
π
,
2
ϕ = Ω1 t + ϕ0 ,
где Ω1 = ω. Решения а) и б) справедливы для положительного заряда, если α <
π/2 и для отрицательного, если α > π/2.
в)
i
p
Nh
2
ρ =
cos α + q 9 − sin α ,
4
3
i
p
ε h
2
tg θ = −
3 cos α + q 9 − sin α ,
2 sin α
ϕ = Ωt + ϕ0 ,
(1.54)
где Ω = ω, q = e/|e| = ±1 – знак заряда, ε = ±1.
Таким образом, уравнения движения допускают шесть круговых орбит движения заряженных частиц – две из них лежат в экваториальной плоскости и четыре
– вне этой плоскости. Причем, орбиты вне экваториальной плоскости имеют разные параметры для положительно и отрицательно заряженных частиц. Анализ
устойчивости движения частиц по этим орбитам мы отложим до раздела 1.4.2.
Уравнения (1.51) – (1.53) записаны в трехмерной форме. Иногда решение уравнений движения облегчается, если они записаны в четырехмерной форме, когда
временная и пространственные координаты рассматриваются как равноправные
36
координаты, зависящие от собственного времени (интервала). Получим уравнения
движения в четырехмерной форме. Для этого запишем ковариантные уравнения
Лагранжа:
∂L
dpν
− ν = 0,
dτ
∂x
где
∂L
e
=
mu
+
Aν
(1.55)
ν
∂uν
c
– обобщенный импульс в инерциальной системе отсчета. Функция Лагранжа для
pν =
заряженной частицы с массой m и зарядом e имеет вид:
e
L = uν uν + uν Aν ,
c
uν = (cṫ, ṙ, θ̇, ψ̇),
(1.56)
где uν – четырехмерная скорость. Используя (1.55) и (1.56) найдем:
dpν
= mu̇ν + uσ ∂σ Aν ,
dτ
(1.57)
∂L
= ∂ν
∂xν
m
e
m
e
gσρ uσ uρ + uσ Aσ = uσ uρ ∂ν gσρ + uσ ∂ν Aσ .
2
c
2
c
Тогда уравнение Лагранжа перепишется в виде:
e
m
mu̇ν + uσ Fσν − uσ uρ ∂ν gσρ = 0,
c
2
(1.58)
где Fσν = ∂σ Aν − ∂ν Aσ .
Найдем четырехмерный векторный потенциал электромагнитного поля прецессирующего дипольного момента Aν = (0, 0, A2 , A3 ). Матрица перехода от
декартовых координат к сферическим для нахождения ковариантных векторов
Aµ0 = Yµ0 µ Aµ имеет вид:

Yµ0 µ

1
0
0
0




0 sin θ cos φ
r cos θ
−r sin θ sin φ
.
=


0 sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ 


0
cos θ
−r sin θ
0
(1.59)
37
Используя полученные формулы для компонент векторного потенциала (1.41)
и матрицу (1.59), получим:
µ
S sin α,
(1.60)
r
µ
A3 =
sin θ[C cos θ sin α − sin θ cos α],
(1.61)
r
где S = sin λ − ρ cos λ, C = cos λ + ρ sin λ, λ = φ − ωt + ρ. Тогда ненулевые
A2 =
компоненты тензора электромагнитного поля равны:
µω
F02 = − C sin α,
rc
µω
F03 =
S sin 2θ cos α,
2cr
µ
F12 = − 2 sin α(sin λ − ρ cos λ − ρ2 sin2 λ),
(1.62)
r
µ
F13 = 2 sin θ[sin θ cos α − cos θ sin α(cos λ + ρ sin λ − ρ2 cos λ)],
r
2µ
F23 = − sin θ(C sin θ sin α + cos θ cos α).
r
Подставляя в (1.58), получим
N
1
ẗ + (C θ̇ sin α − S ϕ̇ sin 2θ sin α) = 0,
ρ
2
Nc
r̈ − rθ̇2 − rϕ̇2 sin2 θ + 2 {−θ̇ sin α(S − ρ2 sin λ) + ϕ̇ sin θ[cos θ sin α(C − ρ2 cos λ)+
ρ
+ sin θ cos α]} = 0,
d 2 1 2 2
Nc
r θ̇ − ϕ̇ r sin 2θ − 2 [−Crω ṫ sin α − ṙ sin α(S − ρ2 sin λ)+
dτ
2
ρ
(1.63)
(1.64)
+ 2ϕ̇r sin θ(C sin θ sin α + cos θ cos α)] = 0,
Ncn 1
d 2
2
r ϕ̇ sin θ + 2 − ṫωrS sin 2θ sin α + ṙ sin θ[cos θ sin α(C − ρ2 cos λ)−
dτ
ρ
2
o
sin θ cos α] + 2θ̇r sin θ(C sin θ sin α + cos θ cos α) .
(1.65)
38
1.4
Стационарные точки эффективной потенциальной энергии
Исследуем эффективную потенциальную энергию на наличие экстремумов. В
стационарных точках эффективной потенциальной энергии частица может находиться в состоянии равновесия – устойчивого, неустойчивого или безразличного
в зависимости от вторых производных. Вопрос наличия экстремумов потенциальной энергии чрезвычайно важен для анализа процесса формирования магнитосферы небесного тела – в случае существования минимумов потенциальной энергии заряженные частицы могут накапливаться в окрестности этих минимумов.
1.4.1
Координаты стационарных точек
Поскольку функция Лагранжа записана для нерелятивистской частицы, мы
полагаем, что ωr c или ρ 1. Физически это означает, что частицы, движущиеся вокруг оси прецессии с угловой скоростью порядка ω являются нерелятивистскими. В этом приближении ξ ≈ ψ и эффективная потенциальная энергия
имеет вид:
2
Vef =
mc
2
(
2
−ρ2 sin2 θ +
2Nk sin θ
N⊥ sin 2θ
cos ψ −
ρ
ρ
)
.
(1.66)
Для получения стационарных точек функции Vef , найдем решение системы уравнений:
∂Vef
= 0,
∂qi
(1.67)
где qi = ρ, θ, ψ. Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений [83]:
− 2ρ3 sin2 θ + 2Nk sin2 θ − N⊥ sin 2θ cos ψ = 0,
(1.68)
−ρ3 sin 2θ − 2Nk sin 2θ + 2N⊥ cos 2θ cos ψ = 0,
(1.69)
N⊥ sin 2θ sin ψ = 0.
(1.70)
39
Уравнение (1.70) имеет следующие решения:
θ=
πn
,
2
ψ = 0, π,
(1.71)
(n ∈ Z).
(1.72)
Решение для ψ = 0, π
Используя формулу (1.71) мы можем исключить переменную ψ из уравнений
(1.68) и (1.69) путем замены cos ψ = ε, где ε = +1 соответствует ψ = 0 и ε =
−1 соответствует ψ = π. Это приводит к системе из двух уравнений с двумя
неизвестными:
− ρ3 + Nk − εN⊥ ctg θ = 0,
(1.73)
−ρ3 ctg θ − 2Nk ctg θ + εN⊥ (ctg2 θ − 1) = 0.
(1.74)
Выражая ctg θ из уравнения (1.73) и подставляя его в уравнение (1.74), получаем:
2ρ6 − Nk ρ3 − N 2 = 0,
(1.75)
где
eµω 2
.
N=
mc4
Уравнение (1.75) имеет следующие решения:
i
p
Nh
3
2
ρ =
cos α ± 9 − sin α .
4
(1.76)
(1.77)
Знак перед корнем определяется знаком заряда, который содержится в N , и условием ρ > 0. Поэтому, уравнение (1.77) принимает вид:
i
p
Nh
3
2
ρ =
cos α + q 9 − sin α ,
4
(1.78)
где q = e/|e| = ±1 - знак заряда. Подставляя ρ в уравнение (1.73), получим:
i
p
ε h
2
tg θ = −
(1.79)
3 cos α + q 9 − sin α .
2 sin α
40
Таким образом, учитывая (1.71), (1.77), (1.79), получим следующие серии координат критических точек для функции Vef для положительной частицы, в случае
когда sin 2θ 6= 0:
ρ31
ρ32
i
p
Nh
2
=
cos α + 9 − sin α , ψ1 = 0,
4
i
p
1 h
2
tg θ1 = −
3 cos α + 9 − sin α ,
2 sin α
i
p
Nh
2
cos α + 9 − sin α , ψ2 = π,
=
4
i
p
1 h
2
3 cos α + 9 − sin α .
tg θ2 =
2 sin α
(1.80)
(1.81)
Для отрицательно заряженной частицы получаем следующие стационарные точки:
i
p
Nh
2
=
cos α − 9 − sin α , ψ3 = 0,
4
i
p
1 h
2
tg θ3 =
−3 cos α + 9 − sin α ,
2 sin α
ρ33
ρ34
i
p
Nh
2
=
cos α − 9 − sin α , ψ4 = π,
4
i
p
1 h
2
3 cos α − 9 − sin α .
tg θ4 =
2 sin α
(1.82)
(1.83)
Таким образом, решению уравнений (1.68) – (1.70) для случая sin 2θ 6= 0 соответствует две стационарных точки для положительной частицы, и две точки для
отрицательной частицы.
Решение для θ =
πn
2
Как следует из уравнений (1.68) – (1.70) на оси вращения (θ = 0, π) все первые производные от эффективной потенциальной энергии равны нулю только в
плоскости ψ = 0, π и для любого ρ. Это означает что на оси θ = 0, π нет стаπ
ционарных точек. В экваториальной плоскости θ = , уравнения (1.68) – (1.70)
2
41
имеют следующие решения:
1
ρ = Nk3 ,
cos ψ = 0,
Nk > 0.
(1.84)
Это дает два решения для ψ, так как ψ ∈ (0, 2π). Таким образом, в случае θ =
π
2
имеем две стационарные точки:
1
ρ5 = Nk3 ,
1
ρ6 = Nk3 ,
π
π
, ψ5 = ,
2
2
π
3π
θ6 = , ψ6 =
.
2
2
θ5 =
(1.85)
(1.86)
Из (1.84) следует, что e cos α > 0. Это означает, что две вышеупомянутые стационарные точки соответствуют положительным зарядам, если α < π/2 и отрицательным зарядам если α > π/2. Частица, находящаяся в критической точке,
может находиться в состоянии равновесия относительно вращающейся системы
отсчета. Это означает, что в лабораторной системе отсчета частица движется по
окружности с постоянной скоростью. Нетрудно убедиться, что найденные в этом
разделе стационарные точки соответствуют круговым орбитам, полученным как
решение уравнений движения в разделе 1.3. Таким образом, шесть частных решений, которые описывают круговые движения частиц, соответствуют стационарным точкам эффективной потенциальной энергии. Положение орбит определяется
углом θ и их радиусы различны для положительной и отрицательной частицы.
Две из полученных траекторий лежат в экваториальной плоскости z = 0.
1.4.2
Исследование стационарных точек на экстремум
Существование минимума потенциальной энергии является очень важным
фактором для динамики частиц в данном поле. Для определения наличия в стационарных точках (1.80) – (1.86) максимума или минимума потенциальной энергии
воспользуемся критерием Сильвестра: предположим, что в некоторой окрестности стационарной точки Mi (ρi , θi , ψi ) определены частные производные второго
42
порядка функции Vef (ρ, θ, ψ). Функция имеет локальный максимум, если квадратичная форма d2 Vef (M0 ) определена отрицательно и локальный минимум если
d2 Vef (Mi ) если определена положительно. Если форма d2 f (Mi ) знакопеременна,
то в точке Mi экстремума нет (см., например, [84]). Найдем все вторые частные
производные функции Vef (ρ, θ, ψ) и определим их значения в стационарных точках (1.80) – (1.83).
a11 =
p
2 ∂ 2V
2
=
cos
α
−
4
−
q
cos
α
9 − sin2 α,
2
2
mc ∂ρ
a22
a33
a12
2 ∂ 2V
= 6ρ2 ,
=
2
2
mc ∂θ
2 ∂ 2V
N sin2 α
=
=−
(cos α
mc2 ∂ψ 2
3ρ
p
−q 9 − sin2 α),
2 ∂ 2V
2N cos ψ sin α
=
=
,
2
mc ∂ρ∂θ
ρ2
(1.87)
(1.88)
(1.89)
(1.90)
a23 =
2 ∂ 2V
= 0,
mc2 ∂θ∂ψ
(1.91)
a13 =
2 ∂ 2V
= 0.
mc2 ∂ρ∂ψ
(1.92)
Используя уравнение (1.79), перепишем выражение (1.87) в виде a11 = −6 sin2 θ,
откуда видно, что оно принимает только отрицательные значения. Для первой
квадратичной формы мы имеем:
a11 a12
D1 = a21 a22
2N =
−8 cos α − cos3 α
ρ
i
p
2
2
+ (cos α − 4)q 9 − sin α .
(1.93)
43
Последнее уравнение перепишем в виде:
2N q 2 p
D1 = −
sin θ 9 − sin2 α,
ρ
тогда, очевидно, что D1 < 0 как для отрицательных так и для положительных
частиц, поскольку параметр N пропорционален заряду частицы. Определитель
третьего порядка
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= D1 a33
(1.94)
определен отрицательно, так как a33 > 0. Таким образом, форма d2 f (Mi ) знакопеременна и четыре точки с координатами (1.80) – (1.83) не являются экстремумами
π
функции Vef . Вычисление вторых производных для случая θ = дает:
2
a11 = −6,
a12 = 0,
2
3
a22 = 6Nk ,
a13 = 0,
a33 = 0,
−1
a23 = 2N⊥ Nk 3 sin ψ.
Как видим, знак квадратичной формы, составленной из этих производных,
неопределен.
Подводя итог, мы утверждаем, что шесть стационарных точек (1.80) – (1.83),
(1.85) и (1.86) являются точками равновесия, но равновесие не является устойчивым. Словосочетание «покоящаяся частица» означает, что координаты ρ, θ, ψ
во вращающейся системе отсчета фиксированы. В инерциальной системе отсчета
такая частица движется по окружности с постоянной скоростью.
Стационарные точки, рассмотренные выше, не исчерпывают всех решений
уравнений движения для круговых орбит. Как показано в разделе 1.3, существует
еще одно решение уравнений движения (1.51) – (1.53) следующего вида:
θ=
π
,
2
ρ3 = 2Nk ,
ϕ = Ωt + ϕ0 ,
(1.95)
44
где Ω = (1/2)ω, и ϕ0 - произвольная постоянная. Это решение справедливо для
положительно заряженной частицы если α < π/2 и для отрицательно заряженной, если α > π/2.
Проверим это решение на устойчивость. Разложим уравнения движения в ряд
по приращению координат в окрестности решения. Введем приращения координат
следующим образом
θ=
π
+ δθ,
2
ϕ = Ωt + ϕ0 + δϕ,
r = R + δr.
(1.96)
Подставим эти координаты в уравнения (1.51) – (1.53) и сохраним члены первого
порядка малости по приращениям координат:
δr
δ
ϕ̇
mΩ2 R 1 +
+2
m
R 2 Ω2
R
Ω
p
p
δr̈ 1 − 2
−
+
c
( 1 − β 2 )3
1 − β2
eµ n
+ 2 sin αδ θ̇(sin τ + ρ cos τ − ρ2 sin τ ) + sin αδθΩ(cos τ − ρ sin τ − ρ2 cos τ )+
cR
δ ϕ̇ 2δr
+ cos αΩ 1 +
−
= 0,
(1.97)
Ω
R
mδ θ̈R2
R 2 Ω2
µe sin α
Ω
p
(ρ cos τ − ρ2 sin τ )−
1− 2
+
1−
2
c
R
ω
( 1 − β 2 )3
Ω
δ ṙ δ ϕ̇
δ ṙ
2δr
1−
(ρ cos τ − ρ2 sin τ ) − ( +
)ρ cos τ + (ρ2 − 1) sin τ +
−
R
ω
c
ω
c
δ ϕ̇ρ2 sin τ
mΩ2 R2 δθ eµ sin α
δrΩ
+ p
−
− 2 (cos τ − ρ sin τ − ρ2 cos τ )+
ω
c
R
1 − β2
δϕΩ
δ ϕ̇ Ω
+
(ρ cos τ + sin τ ) +
+
(cos τ − ρ sin τ ) +
(1.98)
R
R
R
2eµδθΩ cos α
= 0,
cR
(
2 3
mR
R Ω δ ṙ
eµ sin α
δ θ̇
p
2δ ṙΩ + δ ϕ̈R −
+
ρ
(cos τ − ρ sin τ )−
2
2
c
R
ω
( 1 − β 2 )3
45
(
eµ cos αδ ṙ eµ sin α δ θ̇
Ω
(sin τ + ρ cos τ ) −
−
(ρ sin τ − cos τ )+
−δθ 1 −
ω
cR2
c
R
δθΩ
+
(ρ cos τ + sin τ ) = 0.
(1.99)
R
Учтем, что для нерелятивистского случая ρ 1. Получим систему дифференциальных уравнений описывающих движение частицы в окрестности окружности:
δr̈ − 3δrω 2 − ωRδ ϕ̇ + εωR tg αδ θ̇ = 0,
δ ṙω tg α
δ θ̈ − ε
+ 3ω 2 δθ − εω 2 tg αδϕ = 0,
R
δ ṙω
δ ϕ̈ +
− εω 2 tg αδθ = 0,
R
(1.100)
где ε = sin ϕ0 = ±1. Исследуем тривиальное решение этой системы на устойчивость. Напомним, что по теореме Ляпунова тривиальное решение является устойчивым, если все корни характеристического уравнения первого приближения системы отрицательны [84]. Перепишем уравнения (1.100) в виде:
4x001 − 3x1 − 2x03 + 2T x02 = 0,
4x002 − 2T x01 + 3x2 − T x3 = 0,
(1.101)
4x003 + 2x01 − T x2 = 0,
δr
, x2 = δθ, x3 = δϕ, T = tg α. Штрих означает производную по ξ, где
R
ξ = ωt. Приведем систему (1.101) к нормальному виду:
где x1 =
x01 − d1 = 0
4d01 − 3x1 2 − d3 + T d2 = 0
x02 − d2 = 0
4d02 − 2T d1 + 3x2 − T x3 = 0
x03 − d3 = 0
4d03 + 2d1 − T x2 = 0
(1.102)
Решение системы будем искать в виде d1 = a1 eiνξ , d2 = a2 eiνξ ....x3 = a6 eiνξ . Тогда
характеристическое уравнение системы:
3
k −k
2 (2
(12 + 7T 2 )
3
+ 3T 2 )
−k
− T 2 = 0,
8
32
64
(1.103)
46
где k = ν 2 . По теореме Гурвица условием отрицательности действительных частей всех корней многочлена (с действительными коэффициентами) является положительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица [85]. Для
многочлена
P (λ) = λn + a1 λn−1 + ... + an−1 λ + an ,
(1.104)
где коэффициенты ai – вещественные константы, i = 1, 2, 3..., n, определим n
матриц Гурвица составленных из коэффициентов ai характеристического многочлена:


H1 = (a1 ), H2 = 
a 1 0
 1


 , H3 = 
 a3 a2 a1  . . .


a2
a5 a4 a3
a1 1
a3


(1.105)
Все корни многочлена P (λ) отрицательны или имеют отрицательные действительные части если определители всех матриц Гурвица положительны (DetHj ≥ 0,
j = 1, 2, . . . , n).
Для многочлена третьей степени n=3 условия Гурвица сводятся к неравенствам
a1 > 0,
a1 a2 − a3 > 0,
a3 (a1 a2 − a3 ) > 0.
(1.106)
(12 + 7T 2 )
3
(2 + 3T 2 )
, a2 = −
, a3 = − T 2 . Легко
Из (1.103) получим: a1 = −
8
32
64
видеть, что условия (1.106) не выполняются. Таким образом, тривиальное решение
системы (1.100) не устойчиво.
1.5
Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной
энергии
Вернемся к выражению (1.50): K = H−Vef . Начальные координаты и скорости
частицы определяются интегралом движения H. Если они указаны, то частица
47
может двигаться только в пространстве, где Vef < H. В этом разделе мы представим вид поверхностей Vef = const. Эти поверхности ограничивают разрешенные
для движения частиц области. Как мы выяснили в предыдущем разделе, стационарные точки находятся на расстоянии ρ порядка |N |1/3 от начала координат.
Таким образом, мы вводим переменную ρ̃ = ρ|N |−1/3 для того, чтобы ρ̃ ∼ 1, и
переобозначаем потенциальную энергию Ṽ = 2Vef /(mc2 N 2/3 ). Тогда
q sin α sin 2θ
2q cos α sin2 θ
cos ψ −
,
Ṽ = −ρ̃ sin θ +
ρ̃
ρ̃
2
2
(1.107)
где q = e/|e|. Области, разрешенные для движения частиц определяются неравенством:
Ṽ ≤ C.
(1.108)
Константа C связана с интегралом движения H равенством C = 2H/(mc2 N 2/3 ).
1.5.1
Соосный ротатор, α = 0
Удобно строить поверхности уровня, начиная с простого случая стационарного диполя α = 0, для того чтобы показать, как аксиально-симметричная эквипотенциальная поверхность преобразуется в аксиально-антисимметричную. Если
α = 0, эквипотенциальная поверхность для заданной константы C определяется
выражением (θ 6= 0, π):
ρ̃3 + η ρ̃ + 2q = 0,
(1.109)
где η = C/ sin2 θ. Обсудим случай положительно заряженной частицы. Уравнение (1.109) не имеет положительных корней для ρ, если C ≥ 0 и неравенство
(1.108) выполняется во всем пространстве. Таким образом во всем пространстве
движение разрешено. В случае C ∈ (−∞; −3) уравнение (1.109) имеет два корня
для любого θ. Характерный вид эквипотенциальной поверхности в этом случае
представлен на рисунке 1.3. Внутренняя поверхность образует тор. Неравенство
48
(1.108) удовлетворяется внутри тора и, таким образом, эта область является разрешенной для движения. Область между тором и внешней поверхностью является
запрещенной. В то время как оставшаяся часть пространства является разрешенной для движения областью. С ростом константы C от −∞ до −3, поверхность
тора увеличивается, в то время как радиус внешней поверхности уменьшается.
При C = −3 поверхности касаются друг друга вдоль окружности радиуса ρ̃ = 1.
Это показано на рисунке 1.4.
Рисунок 1.3 - Эквипотенциальная
поверхность для α = 0, C = −3.5,
q = 1. C и A – разрешенные области,
B – запрещенная область
Рисунок 1.4 - Эквипотенциальная
поверхность для α = 0, C = −3, q = 1.
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
При C ∈ (−3; 0) уравнение (1.109) имеет два положительных корня, если
sin2 θ < −C/3; один корень, если sin2 θ = −C/3; не имеет корней в случае
sin2 θ > −C/3 .Характерная форма эквипотенциальной поверхности в случае
C ∈ (−3; 0) представлена на рисунке 1.5. Пространство внутри поверхности запрещено для движения, в то время как внешняя часть является разрешенной для
движения. Верхняя и нижняя части поверхности на рисунке 1.5 имеют общую
точку соприкосновения в начале координат ρ̃ = 0. В пределе C → −0 все про-
49
Рисунок 1.5 - Эквипотенциальная поверхность для α = 0, C = −2, q = 1. B - запрещенная
зона, A - разрешенная зона.
странство будет разрешенным для движения. Для отрицательно заряженной частицы уравнение (1.109) имеет один корень для любого C. В случае C ∈ (0, +∞)
мы имеем поверхность в виде тора (рисунок 1.6). В других случаях (C ∈ (0, −∞))
эквипотенциальная поверхность имеет вид, представленный на рисунке 1.7. Радиус поверхности увеличивается с ростом C.
1.5.2
Общий случай, α 6= 0
Обсудим эквипотенциальные поверхности в общем случае α 6= 0. Из уравнения
(1.107) видно, что эквипотенциальные поверхности симметричны относительно
замены θ → π − θ, ψ → ψ + π, т.е. они симметричны относительно отражения в
плоскости z = 0 и вращения вокруг оси OZ на угол π. Вместо (1.109) мы имеем
следующее уравнение
ρ̃3 + η ρ̃ + 2χ = 0,
χ = q(cos α − sin α ctg θ cos ψ).
(1.110)
В случае χ < 0 это уравнение имеет одно решение для ρ̃, следовательно, существует эквипотенциальная поверхность, которая делит все пространство на разре-
50
Рисунок 1.6 - Эквипотенциальные
поверхности для C = 3, q = −1, B – запрещенная область, A – разрешенная
область.
Рисунок 1.7 - Эквипотенциальная
поверхность для C = −2, q = −1. A –
разрешенная область, B – запрещенная область.
шенную и запрещенную области. Если χ > 0 и C > 0 уравнение не имеет решений
и, следовательно, все пространство разрешено для движения частицы. Если χ > 0
и C < 0, число решений зависит от знака выражения b = χ−(−η/3)3/2 . А именно,
уравнение (1.110) не имеет решений для ρ̃ если b > 0, имеет одно решение для
b = 0 и два решения если b < 0. Знак b такой же как и знак выражения
C −3/2
2
q sin θ(cos α sin θ − sin α cos θ cos ψ) − −
.
3
Очевидно, что сумма первых двух членов лежит в пределе [-1, 1]. Следовательно,
если C < −3, то b отрицательно. В других случаях знак b зависит от θ и α. Таким
образом, если C ∈ (−∞; −3), то уравнение (1.110) имеет два корня для любого
θ. Характерный вид эквипотенциальной поверхности в этом случае представлен
на рисунке 1.8. Но в отличие от случая α = 0 (1.3), имеется три эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальные поверхности для других значений C и
q показаны на рисунках 1.9-1.11. Все рисунки 1.8-1.11 соответствуют значению
51
α = π/3.
Рисунок 1.8 - Эквипотенциальная
поверхность для C = −4, q = 1.
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
1.5.3
Рисунок 1.9 - Эквипотенциальная
поверхность для C = −1, q = 1.,
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
Стационарные точки и эквипотенциальные поверхности
Покажем, что стационарные точки, найденные в разделе 1.4 с координатами
(1.80) – (1.83) располагаются в разрешенных областях. Можно увидеть, что в пределе α → 0 эти точки имеют координаты θ = π/2, ρ = N 1/3 , ψ = 0, π, π/2, 3π/2.
Частица, располагающаяся в этих точках во вращающейся системе координат,
движется вдоль окружности в лабораторной системе отсчета. Заменяя значения
координат и скоростей в уравнении (1.48), мы находим, что C = −3. Следовательно, частица движется вдоль границы между двумя областями A и C на рисунке
1.4. Эта траектория соответствует нестабильному движению. Найдем значение
константы C для стационарных точек в случае α 6= 0. Подставляя (1.78) и (1.79)
52
Рисунок 1.11 - Эквипотенциальная
поверхность для C = −3, q = −1.
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
Рисунок 1.10 - Эквипотенциальная
поверхность для C = 3, q = −1.
A - разрешенная область, B и C запрещенные области.
в уравнение (1.107), получаем:
p
2
3 cos α + q 9 − sin α
C=−
1/3 .
p
2
1/3
2
cos α + q 9 − sin α
(1.111)
Тогда для стационарных точек (1.80), (1.81) мы имеем C ≈ −2.314. Эквипотенциальная поверхность для этого значения C показана на рисунке 1.12. Стационарные точки являются точками примыкания областей A и C. Как и прежде,
состояние частицы, находящейся в любой из этих точек нестабильно. В случае
отрицательно заряженных частиц и значения α = π/3 эквипотенциальные поверхности проходят через стационарные точки (1.82), (1.83) при C ≈ −0.816.
Этот случай изображен на рисунке 1.13. Мы видим, что точки (1.82), (1.83) являются точками касания внутренней и внешней разрешенных областей и являются
точками неустойчивого равновесия.
53
Рисунок 1.12 - Эквипотенциальные
поверхности для C = −2.314, q = 1.
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
1.6
Рисунок 1.13 - Эквипотенциальные
поверхности для C = −0.816, q = −1.
A и C - разрешенные области, B запрещенная область.
Выводы
В данной главе вычислены компоненты магнитного и электрического полей однородно намагниченного вращающегося непроводящего тела, когда ось дипольного момента тела не совпадает с осью вращения. В этом случае электромагнитное
поле вне тела совпадает с полем точечного дипольного момента. Показано, что
геометрия электрического и магнитного поля такова, будто поле, как целое, поворачивается со скоростью ω вокруг оси z.
Для того, чтобы выяснить, возможны ли «радиационные пояса» в такой системе, мы исследовали эффективную потенциальную энергию в поле наклонного
вращающегося магнитного диполя. Показали, что существуют замкнутые эквипотенциальные поверхности, которые совместно вращаются с полем диполя. В
этих поверхностях заключены частицы с начальной энергией, ниже определенного уровня. Эффективная потенциальная энергия исследована на наличие экстремумов. Найдены все стационарные точки и показано, что заряженная частица,
54
покоящаяся в этих точках относительно вращающейся системы отсчета, находится в состоянии неустойчивого равновесия, поскольку данные стационарные точки являются седловыми и соответствуют точкам, в которых соприкасаются две
разрешенные для движения области. Эквипотенциальные поверхности построены
для различных значений интеграла движения, для положительного и отрицательного заряда частицы и для различных значений магнитного момента небесного
тела.
Результаты, полученные в настоящей главе, могут быть использованы для описания радиационных поясов вокруг некоторых конкретных небесных тел, обладающих полем наклонного магнитного диполя.
55
2
Эффективная потенциальная энергия релятивистской
заряженной частицы в поле наклонной вращающейся намагниченной сферы
Первой моделью, описывающую магнитосферу нейтронной звезды является ва-
куумная модель [36], [37]. Deutsch [38] моделировал нерелятивистскую вращающуюся намагниченную звезду как идеально проводящую сферу, жестко вращающуюся в вакууме. Для того чтобы ввести релятивистскую модель источника
поля Belinsky и др. [87, 88] рассмотрели бесконечно тонкий постоянный магнит
конечной длинны. Эта модель является применимой для расчета поля на больших расстояниях, но она не может быть использована для расчетов в ближней
зоне.
Georgiou [89] нашел точные релятивистские решения для электромагнитного
поля внутри и вне вращающейся намагниченной нейтронной звезды. Расчет поля был сделан как обобщение поля медленно вращающейся нейтронной звезды,
которая была изучена в [91] рассматривая общие релятивистские эффекты. Поле
вращающейся намагниченной сферы не являющейся ни проводником ни диэлектриком было вычислено в работе [92].
Существует большое разнообразие других работ, в которых представлены расчеты электромагнитного поля вращающейся намагниченной сферы [93–95]. Эти
результаты существенно зависят от используемой модели намагниченной сферы
и скорости ей вращения.
Модель релятивистской вращающейся сферы достаточно сложна. Прежде всего, твердый шар не совместим с теорией относительности. Следовательно, мы
должны должны жидкую или газовую модель. Во вторых, поле быстро вращающегося тела зависит от формы тела (которая, вообще говоря, уже не являет-
56
ся сферической) и от природы намагниченности. В этой главе мы принимаем в
качестве модели внешнего электромагнитного поля поле нерелятивистской вращающейся однородно намагниченной проводящей сферы. Кроме того, в отличие
от предыдущей главы, мы будем исходить из релятивистской функции Лагранжа для заряженных частиц во вращающейся системе отсчета. Это существенно
усложняет уравнения движения и выражение для эффективной потенциальной
энергии. В частности, не для всех стационарных точек удается найти координаты
в явном виде.
В разделе 2.1 мы покажем, что поле такой сферы рассчитанное разными авторами при различных предположениях, совпадает с полем вращающегося магнитного диполя если сфера однородно намагничена и вращается с нерелятивистской
скоростью. В разделе 2.2 мы представляем релятивистскую функцию Лагранжа для заряженной частицы в произвольном, равномерно вращающемся электромагнитном поле. Найден интеграл движения для такой системы Лагранжа.
Существование интеграла движения дает возможность ввести эффективную потенциальную энергию, которая позволяет изучить некоторые общие особенности
движения частиц, не решая уравнений движения. В разделе 2.3 представлен анализ основных свойств эффективной потенциальной энергии. Стационарные точки потенциальной энергии находятся в разделе 2.4. Доказывается, что найденные
стационарные точки эффективной потенциальной энергии являются частными решениями уравнений движения. Эквипотенциальные поверхности получаются из
численных расчетов и продемонстрированы в разделе 2.5. В разделе 2.6 вычислена
и исследована потенциальная энергия вблизи поверхности однородно намагниченной сферы. Представлены сечения эквипотенциальных поверхностей. Раздел 2.7
содержит обсуждение результатов и выводов.
57
2.1
Электромагнитное поле вращающейся намагниченной сферы
В этом разделе мы анализируем поле вращающейся намагниченной проводящей сферы и уравнения движения релятивистской заряженной частицы в этом
поле.
Поскольку вещество звезд имеет очень высокую проводимость, Дойч предложил решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля звезды в предельном случае бесконечной внутренней и нулевой внешней проводимости [38].
Для внешнего электромагнитного поля проводящей намагниченной сферы эти
решения имеют вид
r03
h1 /ρ
Hr = R1 (r0 ) 3 cos α cos θ +
sin α sin θeiλ ,
r
(h1 /ρ)a
Hθ
Hϕ
3
r0
ρ2
1
= R1 (r0 ) 3 cos α sin θ +
h2 +
2
r
(ρh02 ) + h2 a
ρ
h
1
+
h01 +
sin χ cos θeiλ ,
h1 a
ρ
1
= R1 (r0 )
2
Er
Eθ
Eϕ
(2.1)
ρ2
h02 + h2
h2 cos 2θ +
a
ρ
h1
a
h1
h01 +
ρ
4
1
r
= ωµr0 R1 (r0 ) − 04 cos α sin 2θ+
2
r
0
ρh2 + h2
ρ
h1
iλ
+
cos 2θ −
sin αe
,
0
ρ
h1 (a)
a ρh2 + h2
ρ
0
ρh2 + h2
i sin αeiλ , (2.3)
4
1 r0
1
= ωµr0 R1 (r0 )
cos α(3 cos 2θ + 1)+
2
2 r4
h2
ρ
sin α sin 2θeiλ ,
+3
0
ρh2 + h2 a ρ
1
= ωµr0 R1 (r0 )
2
(2.2)
(2.4)
(2.5)
ρh02 + h2
h1
−
i sin α cos θeiλ , (2.6)
ρ
h
(a)
1
a
58
2µ
, r0 - радиус сферы, h1 и h2 - сферические функции Бесселя треr03
тьего рода [97]:
где R(r0 ) =
n+1
hn = h(1)
n = (−i)
eix X
im (n − m)!
.
x
m!(2x)m (n − m)!
2
x+i
ix x + 3ix − 3
,
h
(x)
=
ie
. В формулах (2.1)-(2.6) функ2
x2
x3
ции Бесселя являются функциями от аргумента ρ, если не указан другой аргу-
Отсюда h1 (x) = −eix
мент. Индекс a у скобки означает, что значение скобки вычисляется при ρ = a,
где a = ωr0 /c – приведенный радиус сферы, ω – угловая скорость вращения, c –
dh2
dh1 0
, h2 =
.
скорость света. Штрих означает производную по ρ: h01 =
dρ
dρ
Разложим уравнения (2.1)-(2.6) по степеням a. С точностью до первого порядка по a мы получаем следующие уравнения для векторов электрического (E) и
магнитного (H) поля в сферической системе координат r, θ, ϕ (ось Z направлена
вдоль вектора угловой скорости ω) [98]:
Er
Eθ
Eϕ
µk 3 a2
= −
[cos α(3 cos 2θ + 1) + sin α sin 2θ(3C − ρ2 cos λ)],
4
2ρ
µk 3
a2
a2
= − 2 C sin α 1 − 2 cos 2θ + 2 cos α sin 2θ ,
ρ
ρ
ρ
3
2
µk
a
=
S
sin
α
cos
θ
1
−
,
ρ2
ρ2
2µk 3
[cos α cos θ + sin α sin θ(cos λ + ρ sin λ)],
ρ3
µk 3
=
[cos α sin θ − sin α cos θ(cos λ + ρ sin λ − ρ2 cos λ)],
3
ρ
µk 3
=
sin α(sin λ − ρ cos λ − ρ2 sin λ),
3
ρ
(2.7)
Hr =
Hθ
Hφ
где S = sin λ − ρ cos λ,
(2.8)
C = cos λ + ρ sin λ, λ = ρ + φ − ωt, ρ = rω/c, k = ω/c.
59
Мы также разложили:
sin(λ − β) ≈ sin λ − β cos λ,
cos(λ − β) ≈ cos λ + β sin λ.
Можно видеть, что поле описываемое формулами (2.8) является полем вращающегося точечного магнитного диполя, в то время как электрическое поле (2.7) является суперпозицией дипольного и квадрупольного полей. Квадрупольная часть
состоит из членов, пропорциональных a2 /ρ2 и убывающих с расстоянием как ρ−4 .
На больших расстояниях ρ a эта часть обращается в ноль и электромагнитное
поле становиться полем вращающегося магнитного диполя.
Поле вблизи поверхности намагниченного тела сильно зависит от используемой
модели. Поле (2.7) найдено для идеально проводящей сферы. Поле наклонного ротатора с использованием других моделей найдено авторами, упомянутыми выше,
и оно сильно отличается от поля, полученного в [38]. Но если мы разложим поле,
полученное для различных моделей по степеням a, то далеко от поверхности оно
принимает форму поля вращающегося точечного диполя. Например, это имеет
место для полей в моделях, принятых в работах [99] и [92]. Рассмотрим поле на
больших расстояниях. Тогда, магнитное поле дается уравнениями (2.8), а электрическое поле имеет вид
Er = 0,
Eθ
Eϕ
µk 3
= − 2 C sin α,
ρ
µk 3
=
S sin α cos θ.
ρ2
(2.9)
Поле (2.8) и (2.9) может быть представлено с помощью четырехмерного вектор-
60
ного потенциала Aν . В сферической системе координат xν = (ct, r, θ, ϕ):
A0 = A1 = 0,
µ
A2 = − 3 S sin α,
r
µ
A3 = 3 (cos α − C sin α cot θ).
r
(2.10)
В нескольких следующих разделах мы изучим динамику и потенциальную энергию для заряженных частиц в поле вращающегося диполя, которое задается уравнениями (2.8) и (2.9), а в разделе 2.6 вернемся к полю, заданному уравнениями
(2.7), (2.8).
2.2
Интеграл движения для частиц в произвольном вращающемся
электромагнитном поле
Рассмотрим произвольное электромагнитное поле, вращающееся с угловой скоростью ω. Четырехмерный потенциал для такого поля в инерциальной сферической системе координат xν = (ct, r, θ, φ), ν = 0, 1, 2, 3 определяется как:
Aν = Aν (r, θ, φ − ωt + ρ).
0
Во вращающейся системе отсчета xν = (ct, r, θ, ψ), где ψ = φ−ωt, поле не зависит
от времени. Таким образом, соответствующий обобщенный импульс сохраняется.
Лагранжиан для заряженной частицы с массой m и зарядом e во вращающейся
системе отсчета имеет вид
1
e
0
0
L = muν uν 0 + uν 0 Aν ,
2
c
0
uν = (cṫ, ṙ, θ̇, ψ̇),
где uν - четырехмерная скорость:
0
uν = (cṫ, ṙ, θ̇, ψ̇), uν 0 = (cṫ, −ṙ, −r2 θ̇, −r2 ψ̇ sin2 θ).
(2.11)
61
Штрихами обозначены величины во вращающейся системе отсчета, а точка
означает производную по собственному времени τ . Как уже сказано выше, временная компонента p00 обобщенного 4-импульса является интегралом движения:
p0 0 =
∂L
e
0 +
=
mu
A00 .
0
∂u00
c
(2.12)
Это означает, что энергия частицы во вращающейся системе отсчета определенная как E 0 = cp00 сохраняется. Выразим интеграл движения P = p00 через величины в инерциальной системе отсчета. Матрица преобразований от инерциальной
системы отсчета ко вращающейся системе имеет вид:


1 0 0 ω/c




ν


0
1
0
0
∂x
.
Jµ0ν = µ0 = 


∂x
0 0 1 0 


0 0 0 1
(2.13)
В результате преобразований
Aµ0 = Jµ0ν Aν
получим
A00 = A0 +
ω
A3 ,
c
u00 = u0 +
ω
u3 .
c
Подставляя в (2.12), находим интеграл движения
P = p0 +
ω
p3 ,
c
(2.14)
где
e
pν = muν + Aν
c
- обобщенный импульс в инерциальной системе отсчета. Величина p3 представляет собой обобщенный момент импульса относительно оси вращения. Если мы
умножим уравнение (2.14) на c, мы можем прочитать его следующим образом:
62
сумма энергии и момента импульса, умноженного на ω сохраняется. Вычислим
интеграл движения для поля прецессирующего дипольного момента. Обобщенные импульсы вычисленные с помощью выражений (2.10) равны:
p0 = mcṫ,
p3 = mφ̇ +
(2.15)
eµ
(cos α − C sin α ctg θ).
cr3
(2.16)
Используя метрический тензор в сферических координатах для инерциальной системы отсчета
gµν = diag(1, −1, −r2 , −r2 sin2 θ)
найдем интеграл движения
P = m(cṫ −
eµω
ω 2
r φ̇ sin2 θ) − 2 sin θ(cos α sin θ − C sin α cos θ).
c
cr
(2.17)
Замена φ = ψ + ωt дает выражение для P во вращающейся системе отсчета:
ωr2
eµω
ψ̇ sin2 θ] − 2 sin θ{cos α sin θ − [cos(ρ + ψ) +
c
cr
+ ρ sin(ρ + ψ)] sin α cos θ}.
(2.18)
P = m[cṫ(1 − ρ2 sin2 θ) −
Если в последнем выражении рассматривать r, θ, ψ как координаты, тогда выражение (2.18) применимо только внутри светового цилиндра, имеющего радиус
c/ω, в то время как (2.17) справедливо во всем пространстве.
2.3
Потенциальная энергия
Исследуем динамику частиц во вращающейся системе отсчета с координатами
ct, r, θ, ψ и метрическим тензором


2
2
2
1 − ρ sin θ 0
0 −rρ sin θ






0
−1 0
0
.
gµ0 ν 0 = 


2


0
0 −r
0


2
2
2
−rρ sin θ
0
0 −r sin θ
(2.19)
63
Полная энергия частицы в неинерциальной системе отсчета может быть определена следующим образом [79], §88
√
mc2 g00 00
+ eA00 ,
(2.20)
cp00 = p
1 − β2
√
где β = v/c, и v скорость частицы. Так как mc2 g00 00 – энергия частицы в состоянии покоя, мы можем определить кинетическую энергию как
!
1
√
−1 .
T = mc2 g00 00 p
1 − β2
(2.21)
Тогда потенциальная энергия U может быть введена как U = cp00 − T , что дает
√
U = mc2 g00 00 + eA00 .
(2.22)
Потенциальная энергия определенная уравнением (2.22) обладает стандартным
свойством: пространственная часть ее четырехмерного градиента ∂ν U пропорциональна ускорению частицы, находящейся в состоянии покоя. Чтобы доказать это,
рассмотрим уравнение движения
e
m
mu̇ν + uσ Fσν − uσ uρ ∂ν gσρ = 0,
c
2
(2.23)
0
0
где Fσν = ∂σ Aν − ∂ν Aσ . Подставляя четырехмерную скорость uσ = (u0 , 0, 0, 0)
для частицы в состоянии покоя, получим
m 00
00 e
∂ν 0 A00 + u ∂ν 0 g00 00 .
mu̇ν 0 = u
c
2
√
0
0
Из uσ uσ0 = c2 следует, что u0 = c/ g00 00 . Отсюда
1
√
mu̇ν 0 = √
∂ν 0 eA00 + mc2 g00 00 ,
g00 00
(2.24)
что и требовалось доказать. Найдем потенциальную энергию частицы в поле вращающегося диполя. Преобразование потенциала (2.10) во вращающуюся систему
отсчета с использованием матрицы (2.13) приводит к выражению
A00 =
µω
[sin α sin 2θ(cos ξ + ρ sin ξ) − 2 cos α sin2 θ],
2rc
64
где ξ = ρ + ψ. Подставляя эту компоненту потенциала в уравнение (2.22) и вводя
безразмерную потенциальную энергию V = U/mc2 , получим:
q
Nk 2
N⊥
sin 2θ(cos ξ + ρ sin ξ) −
sin θ.
V = 1 − ρ2 sin2 θ +
2ρ
ρ
(2.25)
Обратим внимание, что все физические параметры частицы и поля оказались
собранными в одном безразмерном параметре N . Например, для электронов значение N для пульсара в Крабовидной туманности составляет 5·1010 , для Юпитера
– 0.03, для Земли – 3 · 10−7 и для сферы, использованной в лабораторном эксперименте по измерению поля в окрестности вращающегося намагниченного тела [101],
– 3 · 10−16 .
Разложение (2.25) в степенной ряд по ρ дает эффективную потенциальную
энергию детально изученную в Главе 1 для областей ρ 1. Там было показано, что величина N играет роль масштабного фактора и с заменой переменной
ρ̃ = ρN −1/3 форма потенциальной энергии не зависит от N . В общем случае,
область определения потенциальной энергии строго ограничена световым цилиндром ρ2 sin2 θ < 1, как следует из уравнения (2.25).
2.4
Стационарные точки эффективной потенциальной энергии
Найдем стационарные точки потенциальной энергии, т. е. точки, удовлетворяющие системе уравнений:
∂V
= 0,
∂qi
(2.26)
где qi = ρ, θ, ψ. Получим систему из трех уравнений:
ρ3 sin θ
N⊥ cos θ
p
+
(cos η + ρ3 sin η) − Nk sin θ = 0,
2
2
2
1+ρ
1 − ρ sin θ
p
ρ3 sin 2θ
p
−
2N
cos
2θ
1 + ρ2 cos η + 2Nk sin 2θ = 0,
⊥
2
1 − ρ2 sin θ
sin 2θ sin η = 0,
p
(2.27)
(2.28)
(2.29)
65
ρ
1
, cos σ = p
.
1 + ρ2
1 + ρ2
Уравнение (2.29) имеет два решения:
где η = ψ + ρ − σ, и sin σ = p
1)
2)
πn
, n∈Z
2
η = 0, π.
θ=
(2.30)
(2.31)
Стационарные точки на оси θ = 0, π могут существовать при условии ∂V /∂ρ = 0
и ∂V /∂θ = 0 для любых ψ, но это не выполняется для уравнений (2.27)–(2.28).
Следовательно, на оси θ = 0, π нет стационарных точек.
π
В экваториальной плоскости θ = , уравнения (2.27)–(2.28) имеют следующие
2
решения:

v
v
s
s
u
u
2/3
4Nk2 u
4Nk2 
Nk u
3
3
t
t
2

(2.32)
ρ = 1/3 
 1 + 1 + 27 + 1 − 1 + 27  ; η = 0, 1.
2
Перепишем выражение для ρ в виде
2
ρ =
Nk
3
2
+(
Nk
2
2
2
) 3 −1 +
q
4Nk
27
2
Nk 2
32
23 .
q 2
2 2
N
4Nk
+ 1 + ( 2k ) 3 1 +
27 + 1
Можно заметить, что так как

s
s
 13 
 13 2
4Nk 2
4Nk 2




+1
− 1+
+ 1  =
 −1 +
27
27

−1 +
s
 23

4Nk 2
+ 1  + 1 +
27
s
 23
2
4Nk 2
(2Nk ) 3
+ 1 −
,
27
3
выполнится неравенство
s
s

 23 
 23
2
2
2
4Nk
4Nk
(2Nk ) 3
−1 +
+ 1  + 1 +
+ 1 >
.
27
27
3
(2.33)
(2.34)
66
Поэтому можно сделать вывод, что координата ρ в уравнении (2.32) растет
монотонно с ростом Nk и асимптотически приближается к единице. Для малых
1/3
Nk она принимает значение ρ ≈ Nk .
Перейдем к решению уравнения (2.31). Подставляя η = 0, π в уравнения (2.27)
и (2.28) получим два уравнения на θ и ρ
ρ3 sin θ
εN⊥ cos θ
p
+
− Nk sin θ = 0,
2
2
2
1
+
ρ
1 − ρ sin θ
p
ρ3 sin 2θ
p
− 2εN⊥ cos 2θ 1 + ρ2 + 2Nk sin 2θ = 0,
2
2
1 − ρ sin θ
p
(2.35)
(2.36)
где ε = 1 соответствует η = 0 и ε = −1 соответствует η = π.
Найдем уравнение связи между величинами θ и ρ:
q
−1 ± 1 + 49 (2 + ρ2 ) tg2 α
3
p
tg θ = ctg α
2
ε 1 + ρ2
(2.37)
и уравнение для координаты ρ
ρ6 Q2 [4 + 4ρ2 + Q2 ]2 − N 2 sin2 α[4 + 4ρ2 + (1 − ρ2 )Q2 ][2 + Q ctg α]2 = 0, (2.38)
где Q = 3 ctg α + q
p
9 ctg2 α + 8 + 4ρ2 и q = ±1 – знак заряда частицы. Если
N 1 и ρ 1 эти уравнения преобразуются в (1.78) и (1.79)(Глава 1). Линии,
которые задаются уравнением (2.37) построены на рис. 2.22 для α = π/3.
Таким образом, существует шесть частных решений системы уравнений (2.26).
Частица, которая в начальный момент покоится в этих точках относительно вращающейся системы отсчета, находится в равновесии и движется по окружности в
инерциальной системе отсчета. Две из этих траекторий лежат в экваториальной
плоскости z = 0.
Рассмотрим подробнее случай больших N . Координаты особых точек в экваториальной плоскости можно найти, если разложить уравнение (2.32) по степеням
67
1/N . Тогда мы получим [100]:
1
ρ= 1− 2
N
.
(2.39)
Координата ρ в уравнении (2.39) монотонно растет с ростом N . И при N → ∞
асимптотически приближается к единице.
Получить в явном виде координаты стационарных точек вне экваториальной
плоскости не представляется возможным. Очевидно, что с ростом N эти точки
также приближаются к световому цилиндру. Это видно из рисунков (2.14)-(2.15).
Рисунок 2.14 - Сечения эквипотенциальных поверхностей, N = 100, η = 1800 , α = 600 .
Рассмотрим стационарные точки, отвечающие второму решению. Для сильных магнитных полей, первые слагаемые в уравнениях (2.27) - (2.28) должны
p
быть порядка N . Следовательно 1 − ρ2 sin2 θ ∼ N −1 . Таким образом ρ sin θ ≈
1 − O(N −2 ). Это означает, что в случае больших N стационарные точки приближаются к световому цилиндру.
68
Рисунок 2.15 - Сечения эквипотенциальных поверхностей, N = −100, η = 00 , α = 600 .
2.5
Эквипотенциальные поверхности
В этом разделе представим сечения эквипотенциальной энергии определенной
уравнением (2.25). При использовании аргумента ξ = ρ + ψ эквипотенциальные
поверхности имеют форму поверхностей закрученных вокруг оси Z. Для графического представления удобно «раскрутить» весь рисунок в обратном направлении
введением координаты η = ψ + ρ − σ, где
sin σ = p
ρ
,
1 + ρ2
cos σ = p
1
.
1 + ρ2
(2.40)
В таком представлении потенциальная энергия становится симметричной относительно плоскости η = 0, π, проходящей через векторы µ и ω:
q
Nk 2
N⊥ p
V = 1 − ρ2 sin2 θ +
1 + ρ2 sin 2θ cos η −
sin θ.
2ρ
ρ
(2.41)
Кроме того, функция V симметрична относительно преобразований η → η +
π; θ → π − θ. На рисунках ниже мы рассмотрим сечения эквипотенциальной энергии в плоскости η = const. Эквипотенциальные поверхности определяются урав-
69
нением V = const. Это значит что частица, обладающая полной энергии E 0 и имеющая нулевую скорость на эквипотенциальной поверхности V = E 0 /mc2 , может
двигаться согласно уравнениям движения в области, где потенциальная энергия
меньше ее полной энергии. Для примера, частица с полной энергией E 0 = 1.04 mc2
находящейся в области, изображенной на рисунке (2.16) может двигаться везде,
кроме замкнутой области в центре, отмеченной значением 1.04. Изучим структуру потенциальной энергии для α ≤ π/2, для положительных и отрицательных
заряженных частиц. Структура для α > π/2 такая же, но следует заменить e на
−e и θ на π − θ. Все сечения построены для углов наклона α = 600 , если угол α
не указан специально.
2.5.1
Эквипотенциальные поверхности для положительно заряженных частиц
Рассмотрим эквипотенциальные поверхности для малых N . На рисунках 2.16
и 2.17 изображены профили для N = 0.1. Знак N = 0.1 совпадает со знаком
заряженной частицы согласно определению N (1.76).
Эквипотенциальные поверхности для малых N также можно построить в 3-д
форме, как в первой главе. Для примера, эквипотенциальные поверхности для
V = 0.74 показаны на рисунке 2.18. Константа C, используемая в этой главе, и
энергетические уровни V связаны соотношением V = 1 + N 2/3 C/2. Форма эквипотенциальных поверхностей для N 1 не зависит от N . Величина N играет
роль масштабного фактора в виде V ∼ N 2/3 .
Как видно из рисунков 2.16–2.18 энергетические уровни образуют эквипотенциальную долину в виде тора вокруг центра поля. Существует две разрешенные
области для движения частиц с энергией меньше чем ≈ 0.74: одна из них - это замкнутая область внутри тора и другая область вне цилиндрической поверхности.
На критическом энергетическом уровне V ≈ 0.74 внутренние и внешние области
70
Рисунок 2.16 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 0.1, η = 00 .
Рисунок 2.17 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 0.1, η = 900
касаются в двух симметричных точках которые являются седловыми точками
потенциальной энергии. Это продемонстрировано на рисунке 2.18.
Как доказано в Главе 1, в приближении малых N все стационарные точки определенные уравнениями ∂V /∂qi = 0 с qi = ρ, θ, ψ являются седловыми точками.
Существуют также, две седловые точки в экваториальной плоскости с координатами определенными уравнением (2.32). Для частиц с энергией больше чем критическая энергия, внутренние и внешние области соединяются двумя симметричными трубками как показано на рисунке 2.19. Такие частицы могут вырываться
из торообразной области захвата во внешнее пространство.
Эквипотенциальные профили для промежуточных значений N имеют сходную структуру. Например, участки эквипотенциальных поверхностей для N = 1
построены на рисунках 2.20–2.21. Седловые точки для таких N лежат на энергетическом уровне V ≈ −0.35. С ростом N седловые точки движутся к световому
цилиндру вдоль линий определенных уравнением (2.37). Линия, лежащая в плос-
71
Рисунок 2.18 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 0.1, V = 0.74
Рисунок 2.19 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 0.1, V = 0, 85
кости η = 0 показана на рисунке 2.22 как линия II в цилиндрических координатах
R = ρ sin θ и Z = ρ cos θ. Соответствующие линии в плоскости η = π можно получить путем замены Z → −Z. Из уравнений (2.35)–(2.36) следует, что седловые
точки приближаются к световому цилиндру с ростом N . Другими словами, критическая потенциальная поверхность так же как и замкнутые области существует
при любых больших N . Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = 100
изображены на рисунках 2.23 и 2.24. Форма профилей в случае больших N не
зависит от N . В самом деле, если N 1, мы можем пренебречь первым членом в
уравнении (2.41) и N становится масштабным фактором. Единственным исключением становится окрестность светового цилиндра, так как первые производные
∂V /∂ρ и ∂V /∂θ, как видно из уравнений (2.27) и (2.28) стремятся к бесконечности
при ρ sin θ → 1.
72
Рисунок 2.20 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 1, η = 00
2.5.2
Рисунок 2.21 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для
N = 1, η = 900
Эквипотенциальные поверхности для отрицательно заряженных частиц
Существуют значительные отличия между структурой эквипотенциальных поверхностей для положительных и отрицательных частиц, хотя они имеют ряд
сходных признаков. Если изменить знак заряда в выражении для потенциальной энергии, то «потенциальные холмы» сменяются «потенциальными ямами» и
наоборот. Замкнутые области в этом случае имеют форму двух симметричных
гантелеобразных фигур. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = −1
показаны на рисунках 2.25 и 2.26.
Для отрицательно заряженных частиц так же существует критическая энергия,
при которой внутренние области захвата соприкасаются со внешней цилиндрической поверхностью в двух седловых точках. Форма критической поверхности для
V ≈ 0.82 изображена на рисунке 2.27.
С изменением N , седловые точки в плоскости η = 0 движутся вдоль линии I
на рисунке 2.22 и приближаются к световому цилиндру радиуса R = ρ sin θ = 1
73
Рисунок 2.22 - Линии, вдоль которых движутся седловые точки с изменением N . I – для
отрицательных, II – для положительных заряженных частиц,
η = 00 , α = π/3.
при N → ∞. Линии I и II на рисунке 2.22 пересекаются в начале координат под
углом γ: cos γ = 31 sin α.
2.5.3
Ортогональный ротатор
В этом разделе мы кратко опишем структуру потенциальной энергии для угла
наклона α = π/2. В этом случае последний член в уравнении (2.41) обращается в
ноль. Следовательно, эквипотенциальные поверхности для положительных и отрицательных частиц становятся симметричными, так как замена e → −e эквивалентна замене η → η +π. Энергетические профили для отрицательно заряженных
частиц не сильно изменяются при α = π/2. Но для положительно заряженных
частиц это изменение существенно, как можно видеть из рисунках 2.28 и 2.29.
Особые профили на рисунке 2.29 возникают вследствие того, что седловые
точки в экваториальной плоскости, как видно, например, из рисунке 2.21, движутся к оси Z согласно уравнению (2.32) по мере того, как угол α приближается
к значению π/2. Профили для отрицательно заряженных частиц такие же, ес-
74
Рисунок 2.23 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
0
N = 100, η = 0
Рисунок 2.24 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
0
N = 100, η = 90
ли повернуть их вокруг оси Z на 1800 . Замкнутые области для отрицательных и
положительных частиц имеют форму гантелеобразных фигур.
2.6
Потенциальная энергия вблизи поверхности однородно намагниченной сферы
До этого мы пренебрегали квадрупольным электрическим полем, которое генерируется индуцированными зарядами в случае проводящего небесного тела. Поэтому полученные результаты справедливы для поля непроводящего тела или для
поля проводящего тела, но на расстояниях, больших по сравнению с размерами
небесного тела, поскольку квадрупольное поле убывает обратно пропорционально
четвертой степени расстояния. Как уже упоминалось в разделе 2.2, электрическое
поле вблизи звезды зависит от используемой модели. В этом разделе мы исследуем потенциальную энергию заряженных частиц в поле абсолютно проводящей
намагниченной сферы [38]. Эти поля описываются уравнениями (2.7) и (2.8). Со-
75
Рисунок 2.25 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
N = −1, η = 00 .
Рисунок 2.26 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
N = −1, η = 900 .
ответствующий четырехмерный векторный потенциал может быть записан как:
0
A
A1
A2
A3
ωr02 µ
=−
(3C sin 2θ sin α + cos α(3 cos 2θ + 1)) ,
6cr3
= 0,
µ
= − 3 S sin α,
r
µ
= 3
(cos α sin θ − C sin α cos θ).
r sin θ
(2.42)
Преобразуем этот потенциал во вращающуюся систему отсчета и подставим его
в уравнение (2.22). В результате получим потенциальную энергию с учетом квадрупольного электрического поля
q
N⊥
V = 1 − ρ2 sin2 θ +
sin 2θ(cos ξ + ρ sin ξ) −
2ρ
Nk 2
2Nk a2
a2
−
sin θ 1 − 2 −
. (2.43)
ρ
ρ
3ρ ρ2
Она отличается от потенциальной энергии (2.25) членами, пропорциональными
a2 /ρ2 , где a = ωr0 /c.
76
Рисунок 2.27 - Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = −0.1, V ≈ 0.82.
Величина a для реальных небесных объектов значительно меньше единицы.
Для примера, величина a для Земли, Юпитера и пульсара в Крабовидной туманности равна: 1.5 · 10−6 , 4 · 10−5 и 7.6 · 10−3 . Построим систему эквипотенциальных
поверхностей для a = 0, 01. Графики, построенные для интервала 0 < ρ sin θ < 1,
практически не отличаются от представленных в предыдущем разделе. Различие
наблюдается лишь в области ρ ∼ a. Эти различия видны на рисунках 2.30 – 2.33.
Отличительным свойством потенциальной энергии в этом случае является то,
что минимум потенциальной энергии для отрицательных частиц и области захвата отделены от поверхности сферы как видно из рисунке 2.32. Форма сечений
в пределах области ρ ∼ a не меняется с ростом N . Причина в том, что первый
член в уравнении (2.43) близок к единице в случае малых ρ и им можно пренебречь, поскольку потенциальная энергия определена с точностью до аддитивной
константы.
В работе [65] найдены координаты точек, в которых электрическое поле в сопутствующей системе отсчета равно нулю. Поле заданно уравнениями (2.7) и (2.8).
77
Рисунок 2.28 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
N = 1, η = 00 , α = π/2.
Рисунок 2.29 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
N = 1, η = 900 , α = π/2.
В этих точках заряженная частица, покоящаяся относительно вращающейся системы отсчета, находится в равновесии, если не учитывать центробежную силу.
Для сравнения наших результатов найдем стационарные точки эффективной потенциальной энергии (2.43), пренебрегая центробежной силой. Получим следующие решения:
π
,
2
3π
θ=
,
2
θ=
ξ = 0,
ξ = π,
ξ = π,
ξ = 0,
ρ = a;
(2.44)
ρ = a;
− cos α + 1
tg θ =
,
sin α
cos α + 1
,
tg θ =
sin α
cos α − 1
tg θ =
,
sin α
− cos α − 1
tg θ =
,
sin α
(2.45)
ρ2
3 − cos α
=
;
a2
1 + cos α
ρ2
3 − cos α
=
;
a2
1 + cos α
ρ2
3 + cos α
=
;
a2
1 − cos α
ρ2
3 + cos α
=
;
a2
1 − cos α
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
где ε = ±1. Эти стационарные точки совпадают с точками равновесия получен-
78
Рисунок 2.30 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
0
N = 0.1, η = 0 .
Рисунок 2.31 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
0
N = 0.1, η = 90 .
ными в работе [65].
2.7
Выводы
Потенциальная энергия которая описывается уравнением (2.41) была построена в соответствии с предположением что намагниченное тело находится в вакууме и нет областей с ненулевым зарядом в окружающей плазме. Но мы видим,
что области захвата для частиц разного заряда расположены в разных пространственных областях. Следовательно, это может привести к разделению зарядов в
магнитосфере. Если допустим, пара частиц рождается в какой то момент времени в результате рождения пар, одна из частиц будет находится в потенциальной
яме, а другая на потенциальном холме. Впоследствии первая частица будет захвачена, в то время как частица с противоположным знаком покинет эту область
с ускорением. Если области захвата накапливают достаточно большой заряд, то
потенциальные профили будут искажены по сравнению с вакуумной магнитосфе-
79
Рисунок 2.32 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
N = −0.1, η = 0.
Рисунок 2.33 - Сечения
эквипотенциальных
поверхностей
для
0
N = −0.1, η = 90 .
рой. В этом случае мы должны изучать динамику плазмы, а не движение одной
частицы. Большое разнообразие работ на эту тему приведено в монографии в [39]
и недавнем обзоре [44].
Для полей с большим N , таких как поля нейтронных звезд, на релятивистские
заряженные частицы действует сила радиационного трения, что приводит к потери энергии частиц. Хотя движение частиц с учетом радиационного трения не
обсуждается в данной работе, исследование потенциальной энергии, тем ни менее, является мощным инструментом качественного анализа поведения частиц и
в этом случае, так как структура потенциальной энергии определяется только полем и не зависит от движения частиц. Очевидно, что если частица теряет энергию
в процессе излучения, она переходит в состояния с более низкой энергией, двигаясь вдоль других линий магнитного поля. Следовательно, граница ограничения
разрешенной области меняется со временем, сдвигая частицу вниз по потенциальным поверхностям. Если частица при этом движении пересекает бессиловую
80
поверхность определенную уравнением E · H = 0, то она может двигаться вдоль
этой поверхности пока ее энергия сохраняется [50, 65], но в пределах области,
ограниченной соответствующей эквипотенциальной поверхностью.
Как видно из приведенных выше рисунков, захваченные положительно заряженные частицы с потерей энергии в конечном итоге попадают на поверхность
звезды, в то время не захваченные частицы уходят на бесконечность. Орбиты частиц с учетом излучения численно рассчитаны в [102] в поле ортогонального вращающегося диполя. Было показано, что существуют критические поверхности,
такие что траектории начинающиеся внутри поверхности остаются в полярных
областях, а траектории, начинающиеся вне этой поверхности, уходят на бесконечность.
Тот факт, что в случае ω ·µ > 0 отрицательно заряженные частицы концентрируются в полярных областях наклонного ротатора и частицы с положительным
зарядом в экваториальной зоне, совпадает с выводами других авторов которые
использовали различные модели для магнитосферы нейтронной звезды [40,50,65].
81
3
Геометрия бессиловой поверхности для небесных тел с
сильным магнитным полем
3.1
Понятие бессиловой поверхности
Важной проблемой в теории пульсаров является выяснение структуры их магнитосферы. Детальное представление об электромагнитных полях, зарядах в магнитосфере пульсаров необходимо для понимания механизмов радиоизлучения, интерпретации наблюдаемых явлений этих небесных тел. Этим темам посвящено
большое количество работ – см., например, монографию [44] и недавний обзор [46].
Модель вращающейся нейтронной звезды с сильным магнитным полем впервые
описали Goldreich и Julian [31]. Они показали, что под действием электрического
поля, которое генерируется за счет вращения сильно намагниченного тела, электроны вырываются с поверхности звезды и движутся с ускорением вдоль силовых
линии магнитного поля. Во время этого процесса звезда приобретает положительный заряд. За счет накопления заряда создается электрическое поле в вакууме,
которое компенсирует индуцированное электрическое поле и препятствует дальнейшему накоплению заряда. Джексон [50] первым отметил, что над полюсами
намагниченного тела, вращающегося вокруг своей магнитной оси, существует поверхность, задаваемая уравнением E · H = 0, на которой электроны, теряя энергию на излучение, могут накапливаться. Данная поверхность характерна тем, что
электрическое поле ортогонально магнитным силовым линиям и, следовательно,
не может увеличивать энергию заряженной частицы. Такая поверхность получила
название бессиловой поверхности. Джексон показал, что в случае, когда ось вращения совпадает с магнитной осью, а электрическое поле обусловлено зарядом,
индуцированным на поверхности звезды, бессиловая поверхность имеет форму
купола, опирающегося на поверхность звезды. При этом, отрицательно заряжен-
82
ные частицы, скапливающиеся на бессиловой поверхности, могут стекать в тело
звезды, образуя потоки турбулентной плазмы.
В работе [65] показано, что с уменьшением энергии вследствие излучения частицы захватываются бессиловой поверхностью. Далее частицы начинают совершать адиабатические колебания вдоль силовых линий магнитного поля двигаясь
вдоль бессиловой поверхности. Таким образом, с учетом радиационного трения
область движения частицы совпадает с частью бессиловой поверхности, ограниченной соответствующей эквипотенциальной поверхностью. В статье [65] исследована геометрия бессиловой поверхности на расстояниях ρ 1.
В данной главе исследована геометрия бессиловой поверхности для произвольных расстояний ρ во вращающейся и инерциальной системах отсчета. Естественно, во вращающейся системе отсчета можно говорить только о пространстве внутри светового цилиндра.
3.2
Уравнение бессиловой поверхности
Найдем уравнение бессиловой поверхности EH = 0 во вращающейся системе
отсчета. Векторный потенциал Aν 0 = (A00 , A10 , A20 , A30 ) электромагнитного поля
прецессирующей нерелятивистской намагниченной сферы можно найти преобразованием потенциала (2.42) из инерциальной системы отсчета во вращающуюся:
2
2
r0
r
2
r2
µω sin 2θ
sin α 2 − 1 − sin2 θ cos α 02 − 1 + cos α 02 ),
A00 = − (C
cr
2
r
r
3
r
A10 = 0,
µ
A20 = S sin α,
(3.1)
r
µ sin θ
A30 =
(C sin α cos θ − sin θ cos α).
r
83
Найдем компоненты тензора электромагнитного поля во вращающейся системе
отсчета:
F00 10
3ωr02 µ
cos
λ
= −
sin 2θ sin α(C − ρ2
) + cos α(3 cos 2θ + 1) −
3
2cr
3
µω
sin 2θ
2
−
[sin
θ
cos
α
−
sin α(C − ρ2 cos λ)],
2
cr
2
µω r02
µω
sin αC +
(C cos 2θ sin α − sin 2θ cos α) +
cr
rc r2
2µω
sin 2θ
+
(C sin2 θ sin α +
cos α),
cr
2
(3.2)
F00 20 = −
F00 30
µω
r02
=
S sin 2θ sin α(1 − 2 ),
2cr
r
(3.4)
µ
sin α(S − ρ2 sin2 λ),
2
r
(3.5)
F10 20 = −
F10 30 =
µ
sin θ[sin θ cos α − cos θ sin α(C − ρ2 cos λ)],
2
r
F20 30 = −
(3.3)
2µ
sin θ(C sin θ sin α + cos θ cos α).
r
(3.6)
(3.7)
В общей теории относительности, в четырехмерной криволинейной системе координат роль напряженностей электрического и магнитного полей играют трехмерные векторы Eα и Hα , определенные следующим образом (штрихи у индексов
опущены) [79, 90]:
Eα = F0α ,
Bαβ = Fαβ ,
1
B α = − √ eαβγ Bβγ ,
2 γ
1√
Hα = − γeαβγ H βγ ,
2
(3.8)
(3.9)
где γ – определитель пространственного метрического тензора:
γαβ = −gαβ +
g0α g0β
.
g00
(3.10)
84
Уравнение бессиловой поверхности в этих терминах имеет вид Eα B β = 0. Подставляя сюда компоненты тензора электромагнитного поля (3.2) – (3.7) и переходя
к безразмерному радиусу намагниченной сферы a = ωr0 /c, получим
4 cos θ[cos θ cos α + sin θ sin α(cos(ψ + ρ) + ρ sin(ψ + ρ))]2 −
(3.11)
2
ρ
− sin α[(cos(ψ + ρ) + ρ sin(ψ + ρ)) cos α sin θ − sin α cos θ] 2 − 1 = 0.
a
Это уравнение задает бессиловую поверхность во вращающейся системе отсчета
и справедливо в области ρ < 1. Мы не можем выразить из этого уравнения ρ как
функцию угловых координат, но чтобы сравнить его с уравнением для ρ 1 [65],
запишем уравнение бессиловой поверхности в форме
2
cos
θ[cos
θ
cos
α
+
sin
θ
sin
α(cos(ψ
+
ρ)
+
ρ
sin(ψ
+
ρ))]
. (3.12)
ρ 2 = a2 1 − 4
sin α[(cos(ψ + ρ) + ρ sin(ψ + ρ)) cos α sin θ − sin α cos θ]
В области ρ 1 зависимость от ρ в правой части исчезает и уравнение (3.12)
принимает вид
ρ 2 = a2
cos θ[cos θ cos α + sin θ sin α cos ψ]2
1−4
sin α[cos ψ cos α sin θ − sin α cos θ]
.
(3.13)
Последнее выражение совпадает с уравнением, полученным в работе [65].
Для численных расчетов удобно представить уравнение (3.11) в декартовой
системе координат:
ρ2
4z(z cos α + q sin α) − ρ sin α(q cos α − z sin α) 2 − 1 = 0,
a
2
2
(3.14)
где q = x(cos ρ + ρ sin ρ) − y(sin ρ − ρ cos ρ), ρ2 = x2 + y 2 + z 2 .
В плоском пространстве скалярное произведение E · H = 0 инвариантно относительно преобразования координат. Поэтому можно ожидать, что уравнение
бессиловой поверхности в инерциальной системе отсчета имеет такой же вид как
во вращающейся. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов E
и H, представленных формулами (2.1) – (2.6), приходим к формуле (3.11) с той
85
разницей что ψ становится функцией времени: ψ = φ−ωt. Таким образом, уравнение бессиловой поверхности в инерциальной системе отсчета совпадает по форме
с уравнением поверхности во вращающейся системе отсчета, но уравнение относительно инерциальной системы отсчета применимо и за пределами светового
цилиндра.
В связи с этим возникает вопрос – какова геометрия бессиловой поверхности
на больших расстояниях, ρ 1? Как известно, в волной зоне (ρ 1) вектор E
всюду ортогонален вектору H и, следовательно, бессиловая поверхность должна
заполнять все пространство. Это порождает следующий вопрос – каким образом
двумерная поверхность переходит в трехмерную область пространства?
Рассмотрим асимптотику ρ → ∞ более подробно. Полагая ρ 1 в уравнениях
(2.7) и (2.8), получим формулы для напряженности электрического поля:
Er = 0,
µk 3
sin λ sin α,
ρ
µk 3
=
cos λ sin α cos θ,
ρ
Eθ = −
Eϕ
(3.15)
и для напряженности магнитного поля:
Hr
Hθ
Hφ
2µk 3
=
ρ sin α sin θ sin λ,
ρ2
µk 3
=
sin α cos θ cos λ,
ρ
µk 3
=
sin α sin λ.
ρ
Как и следовало ожидать, скалярное произведение (EH) этих векторов равно
нулю, поскольку они представляют поле излучения.
Чтобы найти уравнение бессиловой поверхности в асимптотике ρ 1, записываем уравнение (3.11) в инерциальной системе отсчета и оставляем только члены
86
с высшей степенью ρ:
cos α sin θ sin α sin(φ − ωt + ρ) = 0.
Полагая, что α 6= 0, π/2, π и θ 6= 0, π, получаем уравнение спирали, вращающейся
с угловой скорость ω вокруг оси Z
ρ = ωt − φ.
(3.16)
Пространственный шаг спирали равен ∆ρ = 2π, или в размерных единицах
∆r = 2πc/ω, что равно длине волны дипольного излучения. Как видим, на больших расстояниях бессиловая поверхность представляет собой поверхность, навивающуюся на ось Z таким образом, что линия ее пересечения с произвольным
конусом θ = const есть спираль, описываемая уравнением (3.16). Поскольку уравнение (3.16) не зависит от угла θ, каждый виток этой поверхности близок к сфере,
исчезающей на оси Z. Вращение такой спиральной квазисферической поверхности создает картину расширяющихся со скоростью света концентрических сфер,
каждую из которых можно рассматривать как волновой фронт поля излучения.
Таким образом, бессиловая поверхность не может заполнять все пространство
в волновой зоне. Строго говоря, в пространстве между соседними витками бессиловой поверхности электрическое поле не ортогонально магнитному. Утверждая
что в волновой зоне EH = 0, мы пренебрегаем слагаемыми в формулах для электромагнитного поля, которые убывают быстрее, чем 1/r. Учет этих слагаемых
приводит к тому что между соседними витками бессиловой поверхности имеется
продольная относительно H составляющая электрического поля порядка λ/r (λ
– длина волны дипольного излучения), которой пренебрегают при расчете излучения.
Интерес к бессиловой поверхности обусловлен тем, что если заряженная частица находится на этой поверхности, то электрическое поле не ускоряет эту частицу
87
вдоль магнитного поля. В сильных полях, когда радиационное трение существенно влияет на движение заряженных частиц, они могут накапливаться на бессиловой поверхности, вращаясь вместе с этой поверхностью вокруг оси Z [65]. В случае
сильных полей и небольших расстояний от оси вращения можно, очевидно, пренебречь центробежной силой, действующей на частицу. Но на больших расстояниях
центробежная сила становится существенной, и ее следует учитывать при анализе
движения частиц. Оценим расстояние от оси вращения, на котором центробежная
сила сравнима с силой электромагнитного взаимодействия.
Потенциал центробежной силы инерции частицы для частицы в электромагнитном поле прецессирующей сферы определяется первым слагаемым в формуле
√
(2.25) U = mc2 1 − R2 , где R = ρ sin θ – цилиндрическая координата, равная
расстоянию от оси вращения в единицах радиуса светового цилиндра. Величина центробежной силы Fc равна градиенту потенциальной энергии частицы со
знаком минус: Fc = −grad U. Тогда получим:
mc2 R
Fc = √
.
1 − R2
(3.17)
Продольное относительно магнитного поля H электрическое поле действует на
частицу с силой
(EH) eµk 3
Fe = eEH = e
∼
f (θ, φ).
H
ρ
(3.18)
Правая части уравнения (3.18) прямо пропорциональна некоторой функции от углов θ, φ и обратно пропорциональна ρ. Подставляя N из уравнения (1.76), имеем:
Fe ∼
N
.
ρ
Таким образом, отношение центробежной силы к силе электромагнитного взаимодействия порядка
Fc
R2
∼ √
.
Fe
N 1 − R2
(3.19)
88
Отсюда видно, что в случае малых N центробежной силой можно пренебречь
√
в области R N , а в случае больших N – во всем пространстве, кроме малой окрестности светового цилиндра. Этот вывод согласуется с рассуждениями в
конце раздела 2.5.1.
3.3
Геометрия бессиловой поверхности
Из формулы (3.11) видно, что геометрия бессиловой поверхности зависит от
радиуса a намагниченного сферического тела. Построим сечения бессиловой поверхности плоскостью ψ = 0, π, проходящей через ось вращения и магнитную
ось, и плоскостью ψ = π/2, 3π/2, для разных углов наклона магнитной оси к
оси вращения намагниченного тела и разных значений a. Величина a зависит
от угловой скорости вращения небесного тела. Например, для пульсара PSRB
1919+21:a = 5.719 ∗ 10−6 , пульсара PSRJ1748-2446ad: a = 0.02089, пульсара в
Крабовидной туманности PSR B0531+21: a = 0.0076.
Структура бессиловой поверхности для a2 = 0.1 и a2 = 0.01 и угла наклона
α = π/3 представлена на рисунке 3.34.
Сечения бессиловой поверхности плоскостью ψ = 0, π, проходящей через ось
вращения и магнитную ось, и плоскостью ψ = π/2, 3π/2, для различных величин угла наклона магнитной оси к оси вращения нейтронной звезды показаны на
рисунке 3.35.
Рассмотрим подробнее структуру бессиловой поверхности. Найдем точки, в
которых бессиловая поверхность примыкает к поверхности звезды. Положим в
уравнении (3.13) a = ρ. При этом учтем, что мы рассматриваем небесные тела,
для которых a 1. Тогда имеем два решения:
1)
cos θ = 0,
(3.20)
2)
(cos θ cos α + sin θ sin α cos ψ) = 0.
(3.21)
89
Рисунок 3.34 - Бессиловая поверхность α =
π
для a2 = 0.1 (слева), и для a2 = 0.001 (справа)
3
Первое решение соответствует точкам на экваторе звезды. Рассмотрим второе
решение. Используя матрицу поворота

cos α 0 − sin α


 0
1
0

sin α 0 cos α



,

(3.22)
повернем систему координат на угол α вокруг оси y, так что бы ось Z 0 совпала с
вектором магнитного момента µ. Тогда в новой системе координат
z 0 = ρ0 cos θ0
(3.23)
Уравнение (3.21) в новой декартовой системе координат принимает вид
z0 = 0
(3.24)
Тогда второе решение отвечает уравнению cos θ0 = 0, которое соответствует
точкам магнитного экватора.
90
Таким образом, в случае, когда ось вращения совпадает с магнитной осью,
бессиловая поверхность - это экваториальная плоскость. Для произвольного наклонного ротатора в случае больших a, бессиловую поверхность можно разделить
на две области: одна область представляет собой купол, примыкающий к поверхности нейтронной звезды в точках экватора. Вторая область представляет собой
поверхность, которая начинается на магнитном экваторе и удаляясь от центра,
навивается на ось Z. Фрагменты первого витка этой спирали видны на рисунке
3.36.
С ростом радиуса сферы a геометрия бессиловой поверхности существенно изменяется. Сечения этой поверхности для разных значений a показаны на рисунке
3.37.
3.4
Выводы
В настоящей главе получено уравнение бессиловой поверхности (EH) = 0,
справедливое на любом расстоянии от вращающегося намагниченного тела. Впервые исследована геометрия этой поверхности в окрестности и за пределами светового цилиндра. Построены трехмерные графики, иллюстрирующие поведение
бессиловой поверхности в центральной области и вблизи светового цилиндра. Показано, что с удалением от центрального тела бессиловая поверхность закручивается вокруг оси вращения этого тела. Проведена оценка расстояний, на которых
можно пренебречь действием центробежной силы во вращающейся системе отсчета. В случае сильного электромагнитного поля (N 1) действием центробежной
силы можно пренебречь всюду внутри светового цилиндра, за исключением тонкого цилиндрического слоя у внутренней поверхности светового цилиндра. Вне светового цилиндра поверхность (EH) = 0 образует спираль, витки которой близки
к сферическим поверхностям.
91
Рисунок 3.35 - Сечение бессиловой поверхности плоскостью ψ = 0, π (слева), и плоскостью
π 3π
π π π
ψ= ,
(справа) при a2 = 0.1, для углов наклона 0, , ,
2 2
6 3 2
92
Рисунок 3.36 - Бессиловая поверхность α =
π
для a2 = 0.1
3
π
π 3π
плоскостью ψ = ,
6
2 2
(слева) и плоскостью ψ = 0, π (справа) для разных радиусов сферы a. Значения a2 указаны на
рисунках.
Рисунок 3.37 - Сечения бессиловой поверхности для угла наклона
93
Заключение
В настоящей работе исследована динамика заряженных частиц в электромагнитном поле вращающегося намагниченного небесного тела. При этом использован метод эффективной потенциальной энергии во вращающейся системе отсчета.
Применение данного метода позволило определить геометрию областей, доступных и запрещенных для движения заряженных частиц в окрестности вращающегося небесного тела, магнитная ось которого не совпадает с ось вращения.
Новизна данного исследования заключается, в частности, в том что проведено
аналитическое исследование конфигурации разрешенных для движения областей
в зависимости от величины магнитного момента вращающегося тела, угловой скорости вращения, угла между осью вращения и магнитной осью. В большинстве
предшествующих работ, посвященных данной теме, динамика частиц в магнитосфере магнитных тел с наклонной осью вращения исследовалась методами численного моделирования. Подробный обзор литераруры приведен во Введении.
В первой главе найдены выражения для компонент векторов напряженности
электрического и магнитного поля непроводящего, однородно намагниченного
небесного тела с наклонной магнитной осью. Из полученных формул видно, что
время входит в формулы для поля в сочетании ωt−φ. Это означает, что изменение
ωt эквивалентно соответствующему изменению φ. Другими словами, геометрия
электрического и магнитного поля такова, что поле как целое поворачивается со
скоростью ω вокруг оси z. Этот вывод относится только к геометрии электрического и магнитного полей. Это не означает, что само поле вращается вокруг оси
z. Линейная скорость вращения на достаточно больших расстояниях может быть
больше скорости света. Практически, на больших расстояниях от диполя присутствует только поле излучения которое перемещается радиально со скоростью
94
света.
Для того, чтобы выяснить, возможны ли «радиационные пояса» в такой системе, мы исследовали эффективную потенциальную энергию в поле наклонного
вращающегося магнитного диполя. Показали, что существуют замкнутые эквипотенциальные поверхности, которые совместно вращаются с полем диполя. В
этих поверхностях заключены частицы с начальной энергией, ниже определенного уровня. Эффективная потенциальная энергия исследована на наличие экстремумов. Найдены все стационарные точки и показано, что заряженная частица,
покоящаяся в этих точках относительно вращающейся системы отсчета, находится в состоянии неустойчивого равновесия, поскольку данные стационарные точки являются седловыми и соответствуют точкам, в которых соприкасаются две
разрешенные для движения области. Эквипотенциальные поверхности построены
для различных значений интеграла движения, для положительного и отрицательного заряда частицы и для различных значений магнитного момента небесного
тела.
Изучена динамика движения релятивистской заряженной в поле вращающейся
наклонной проводящей сферы в сопутствующей вращающейся системе отсчета с
использованием ковариантного формализма. Проведен анализ поля вращающейся намагниченной сферы. Найден четырехмерный потенциал такого поля. Найден
интеграл движения для частицы в произвольном вращающемся электромагнитном поле и на основе него определена эффективная потенциальная энергия. Проведен анализ основных свойств эффективной потенциальной энергии. Найдены
стационарные точки потенциальной энергии. В приближении ρ 1 полученные
решения совпадают с решениями для нерелятивистского случая. Подробно исследован случай поведения стационарных точек вблизи светового цилиндра в случае
больших магнитных полей. Представлены сечения эквипотенциальных поверхно-
95
стей для положительно и отрицательно заряженных частиц.
В третьей главе получено уравнение бессиловой поверхности (EH) = 0, справедливое на любом расстоянии от вращающегося намагниченного тела. Впервые
исследована геометрия этой поверхности в окрестности и за пределами светового
цилиндра. Построены трехмерные графики, иллюстрирующие поведение бессиловой поверхности в центральной области и вблизи светового цилиндра. Показано,
что с удалением от центрального тела бессиловая поверхность закручивается вокруг оси вращения этого тела. Проведена оценка расстояний, на которых можно
пренебречь действием центробежной силы во вращающейся системе отсчета. В
случае сильного электромагнитного поля (N 1) действием центробежной силы можно пренебречь всюду внутри светового цилиндра, за исключением тонкого
цилиндрического слоя у внутренней поверхности светового цилиндра. Вне светового цилиндра поверхность (EH) = 0 образует спираль, витки которой близки к
сферическим поверхностям.
Благодарности. Автор глубоко признателен научному руководителю – доктору физико-математических наук, профессору В. Я. Эппу за научное руководство
и помощь в работе над диссертацией.
96
Список литературы
1. Stormer C. The Polar Aurura / C. Stormer. – Oxford : Oxford at the Clarendon
Press, 1955. – 403 p.
2. Van Allen J. A. Radiation Around the Earth to a Radial Distance of 107,400 KM.
/ J. A. Van Allen, L. A. Frank. 1959. – P. 430-434.
3. Radiation Environment Measurement with the Cosmic Ray Experements On-Board
the KITSAT-1 and Micro-Satellites, / C. Underwood [et.al] // IEEE Trans. Nucl.
Sci. – 1994. – Vol. NS-41. – P. 2353.
4. Lemaire J. F. The effect of a southward interplanetary magnetic field on stormer’s
allowed regions // Advances in Space Research. – 2003. – Vol. 31 – P. 1131-1153.
5. DeVogelaere R. On the structure of symmetric periodic solutions of conservative
systems, with applications, Contributions to the Theory of nonlinear Oscillations //
Princeton University Press, Princeton. – 1958. – Vol. IV. – P. 53-84.
6. Dragt A. J. Trapped Orbits in a Magnetic Dipole Field // Rev. Geophys. – 1965. –
Vol. 3(2). – P. 255-298.
7. Dragt A. Insolubility of Trapped Particle Motion in a Magnetic Dipole Field / A.
J. Dragt, J. M. Finn // J. Geophys. Res. – 1976. – Vol. 81. – P. 2327.
8. De Vogelaere R. Surface de section dans le probleme de Stormer // Acad. Roy.
Belg., Bulletin Classe des Sciences. – 1954. – Vol. 40. – P. 705-714.
9. Graef C. On periodic orbits in the equatorial plane of a magnetic dipole / C. Graef,
S. Kusaka // J. Math. Phys. – 1938. – Vol. 17. – P. 43-54.
10. Gall R. Motion of charged particles in slowly varying fields to the first order of
approximation // J. Geophys. Res. – 1963.– Vol. 68. – P. 3565-3576.
97
11. Garmire G. Geomagnetically trapped protons with energies greater than 350 MeV
// J. Geophys. Res. – 1963. – Vol. 68. – P. 2627-2638.
12. Mirror and azimuthal drift frequencies for geomagnetically trapped particles / D.
A. Hamlin [et. al.] // J. Geophys. Res. – 1961. – Vol. 66. – P. 1-4.
13. Hayakawa S. An effect of nonadiabaticity on the structure of radiation belts / S.
Hayakawa, H. Obayashi // J. Geophys. Res. – 1963. – Vol. 68. – P. 3311 -3313.
14. Hones E. W. Jr. Motion of charged particles trapped in the earth’s magnetosphere
// J. Geophys. Res. – 1963. – Vol. 68. – P. 1209-1219.
15. Ray E. C. On the motion of charged particles in the geomagnetic field / E. C. Ray
// Ann. Phys. N.Y. – 1963. – Vol. 24. – P. 1-18.
16. Hess N. W. The Radiation Belt and Magnetosphere / N. W. Hess. – Waltham,
Mass.: Blaisdell, – 1968. – 548 p.
17. Alfven H. Cosmical Electrodynamics / H. Alfven. – Oxford : International Series
of Monographs on Physics, Clarendon Press, 1950. – 240 р.
18. Holmes-Siedle A. G. Handbook of Radiation Effects / A. G. Holmes-Siedle, L.
Adams. – Oxford : University Press, 2002. – 569 p.
19. Williams D.J. Ring current and radiation belts // Rev. Geophys. – 1987. – Vol.
25. – P. 570-578.
20. Bossy L. Le probleme de Stormer et le mouvement des particules dans les ceintures
de radiation // Ann. Geophys. – 1962. – Vol. 18. – P. 198-220.
21. Bossy L. The motion of particles trapped in a magnetic dipole field as a special
case of the Stormer problem // Pontificiae Academiae Scientiarium Scripta Varia. –
1963. – Vol. 25. – P. 355-386.
98
22. Morfill G. Study of the magnetosphere using energetic solar particles / G. Morfill,
M. Scholer // Space Science Reviews. – 1973. – Vol. 15. – P. 267-353.
23. Dilao R. Chaos in the Stormer problem / R. Dilau, R. Alves-Pires // 2007. –
Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/0704.3250v1.pdf.
24. Lanzano P. Analytic contributions to the Stormer problem // Astrophysics and
Space Science. – 1968. – Vol. 2. – P. 319-333.
25. Katsiaris G. A. Allowed regions for the motion of charged particles in superposed
dipole and uniform magnetic fields / G. A. Katsiaris, Z. M. Psillakis // Astrophysics
and Space Science. – 1986. – Vol. 126. – P. 69-87.
26. Ginzburg V. L. On the Pulsar Emission Mechanisms / V. L. Ginzburg, V. V.
Zheleznyakov // Annu. Rev. Astron. Astrophys. – 1975. – Vol. 13. – P. 511-535.
27. Ginzburg V. L. Magnetic Models of Pulsars / V. L. Ginzburg, V. V. Zheleznyakov,
V. V. Zaitsev // Nature. – 1968. – Vol. 220. – P. 355-356.
28. Kadomtsev B. B. Atoms in a superstrong magnetic field / B. B. Kadomtsev, V. S.
Kudryavtsev // JETP Lett. – 1971. – Vol. 13. – P. 42-44.
29. Ломинадзе Д. Г. Ленгмюровская турбулентность релятивистской плазмы в
сильном магнитном поле / Д. Г. Ломинадзе, А. Б. Михайловский, Р. З. Сагдеев
// ЖЭТФ. - 1979. – T. 77 – C. 1951-1958.
30. Lominadze J. G. Theory of NP 0532 pulsar radiation and the nature of the activity
of the Crab Nebula / J. G. Lominadze, G. Z. Machabeli, V. V. Usov // Astrophys.
Space Sci. – 1983. – Vol. 90. – P. 19-43.
31. Goldreich P. Pulsar Electrodynamics / P. Goldreich, W. H. Julian // Ap. J. –
1969. – Vol. 157. – P. 869-880.
99
32. Coppi B. Magnetic equation for a rotating neutron star / B. Coppi, F. Pegoraro
// Ann. Physics. – 1979. – Vol. 119. – P. 97-116.
33. Melrose D. B. Amplified linear acceleration emission applied to pulsars //
Astrophys. J. – 1978. – Vol. 225. – P. 557-573.
34. Mestel L. Stellar Magnetism / L. Mestel. - New York: Oxford Univ. Press, 1999.
35. Gunn J. E. Magnetic Dipole Radiation from Pulsars / J. E. Gunn, J. P. Ostriker
// Nature. – 1969. – Vol. 221. – P. 454-456.
36. Pacini L. M. Energy Emission from a Neutron Star // Nature. – 1967. – Vol. 216.
– P. 567-568.
37. Ostriker J. P. On the Nature of Pulsars. I. Theory / J. P. Ostriker, J. E. Gunn //
Theory Astrophys. J. – 1969. – Vol. 157. – P. 1395-1417.
38. Deutsch A. J. The electromagnetic field of an idealized star in rigid rotation in
vacuo // Ann. d’Astrophys. – 1955. – Vol. 18. – P. 1-10.
39. Michel F.C. Theory of Neutron Star Magnetospheres / F. C. Michel. – The
University of Chicago Press: Chicago and London, 1991. – 287 p.
40. Gold T. Rotating Neutron Stars as the Origin of Pulsating Radio Source // Nature.
– 1968. – Vol. 218. – P. 731-731.
41. Гинзбург В. Л. Пульсары. // Успехи физических наук. – 1971. – Т. 103, No 3.
С. 393-429.
42. Gunn J. E. Acceleration of High-Energy Cosmic Rays by Pulsars / J. E. Gunn, J.
P. Ostriker // Phys. Rev. Lett. 1969. – Vol. 22. – C. 728-731.
100
43. Ruderman М. А. Theory of pulsars-Polar caps, sparks, and coherent microwave
radiation / M. A. Ruderman, P. G. Sutherland // Astrophysical Journal. – 1975. –
P. 51-72.
44. Beskin V. S. Phisycs of the pulsar magnetosphere / V. S. Beskin, A. V. Gurevich,
Ya. N. Istomin. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. – 408 p.
45. Манчестер P. Пульсары / P. Манчестер, Дж. Тейлор. - Москва: Мир, 1980. –
285 с.
46. Бескин В. С. Радиопульсары – поиски истины / В. С. Бескин, Я. Н. Истомин,
А. А. Филиппов // Успехи физических наук. – 2013. – Т. 182, No 2. – С. 179-194.
47. Observation of a rapidly pulsating radio source / A. Hewish [et. al.] // Nature. –
1968. – Vol. 217. – P. 709-713.
48. Pacini F. Rotating neutron stars, pulsars, and supernova remnants // Nature. –
1968. – Vol. 219. – P. 145-146.
49. Gunn J. E. Pulsars, their origin and evolution / J. E. Gunn, J. P. Ostriker // The
Astrophysical Journal. – 1971. – Vol. 165. – P. 523
50. Jackson E. A. A new pulsar atmospheric model. I. Aligned magnetic and rotational
axes // Astrophys. J. – 1976. – Vol. 206. – P. 831-841.
51. Endean V. G. Self-Consistent Equilibria in the Pulsar Magnetosphere // MNRAS.
– 1976. – Vol. 174. – P. 125-135.
52. Shibata S. A numerical method to determine the electromagnetic field of the pulsar
magnetosphere with inclined magnetic moment // Astrophys. Space Sci. – 1989. –
Vol. 161. – P. 145 - 158.
101
53. Fitzpatrick R. Pulsar electrodynamics-I / R. Fitzpatrick, L. Mestel // MNRAS. –
1988. – Vol. 232. – P. 277-302.
54. Fitzpatrick R. Pulsar electrodynamics-II / R. Fitzpatrick, L. Mestel // MNRAS.
– 1988. – Vol. 232. – P. 303-321.
55. Kaburaki O. Euler potential method in three-dimensional stellar wind problems
// Astrophys. Space Sci. – 1985. – Vol. 112. – P. 157-174.
56. Kaburaki O. Self-consistent electromagnetic field in a nealy co-rotating
magnetosphere // Astrophys. Space Sci. – 1985. – Vol. 112. – P. 287-301.
57. Rylov Yu. A. The global structure of yhe pulsar magnetospheres // Astrophys.
Space Sci. – 1989. – Vol. 158. – P. 297-333.
58. Kuo-Petravic L. G. Self-Consistent Solution for an Axisymmetric Pulsar Model /
L. G. Kuo-Petravic, M. Petravic, K. V. Roberts // Phys. Rev. Letter. – 1974. – Vol.
32. – P. 1019-1022.
59. Kuo-Petravic L. G. Numerical studies of the axisymmetric pulsar magnetosphere
/ L. G. Kuo-Petravic, M. Petravic, K. V. Roberts // Astrophisycal Journal. – 1975.
– Vol. 202. – P. 762-772.
60. Krause-Polsdorff J. Pulsar Space Charging / J. Krause-Polsdorff, F. C. Michel //
Astrophys. and Astronomy. – 1985. – Vol. 144. – P. 72-80.
61. Zachariades H. A. Numerical simulation of the aligned neurton star magnetosphere
// Astrophys. and Astronomy. – 1993. – Vol. 268. – P. 705-713.
62. Neukirch T. Equilibria of Charge–Separated rigidly rotating relativistic
magnetospheres // Astrophys. and Astronomy. – 1993. – Vol. 274. – P. 319-329.
102
63. Thielheim K. O. Charged particle dynamics near the force-free surface of a rotating
magnetized sphere / K. O. Thielheim, H. Wolfsteller // Astrophys. J. Suppl. Ser. –
1986. – Vol. 71. – P. 583-593.
64. Effects of radiation damping on particle motion in pulsar vacuum fields / B.
Finkbeiner [et. al.] // Astron. Astrophys. – 1989. – Vol. 225. – P. 479-487.
65. Истомин Я. Н. Заполнение плазмой магнитосферы нейтронных звезд: динамика движения электронов и позитронов / Я. Н. Истомин, Д. Н. Собъянин //
ЖЭТФ. – 2009. – Т. 136, No 3(9). – С. 458-475.
66. Babcock H. W. General magnetic fields in the Sun and stars / H. W. Babcock,
T. G. Cowling // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. – 1953. – Vol.
113. – P. 357-381.
67. Cohen J. M. Pulsar magnetosphere / J. M. Cohen, A. Rosenblum // Astrophys.
Space Sci. – 1972. – Vol. 16. – P. 130-328.
68. Kaburaki O. Determination of the electromagnetic field produced by a magnetic
oblique rotator // Astrophysics and Space Sciens. – 1981. – Vol. 74. – P. 333-356.
69. Cohen J. M. Neutron star electrodynamics in curved space / J. M. Cohen, M. W.
Kearney // Astrophys.Space Sci. – 1980. – Vol. 70. – P. 295 - 328.
70. Бескин В. С. Аномальный момент сил, действующий на вращающийся намагниченный шар в вакууме / В. С. Бескин, А. А. Желтоухов // Успехи физических
наук. – 2014. – Т. 184, No 8. – С. 865 - 873.
71. Beskin V. S. Electrodynamics of pulsar magnetospheres / V. S. Beskin, A. V.
Gurevich, Ya. N. Istomin // Soviet Physics - JETP. – 1983. – Vol. 58. – P. 235-253.
103
72. Sarychev V. T. Electromagnetic field of a rotating magnetic dipole and electriccharge motion in this field // Radiophys. Quant. Electr. – 2009. – Vol. 52. – P.
900-907.
73. Ferrari A. Pulsed high-energy radiation from oblique magnetic rotators / A.
Ferrari, E. Trussoni // Astrophys. Space Sci. – 1975. – Vol. 33. – P. 111-126.
74. Finkbeiner B. Particle Motion in Pulsar Magnetospheres / B. Finkbeiner [et. al]
// Mitteilungen der Astronomischen Gesellschaft. – 1987. – Vol. 70. – P. 375-437.
75. Thielheim K. O. Particle trapping near a parallel rotator / K. O. Thielheim, H.
Wolfsteller // Journal of Physics A. – 1990. – Vol. 23, No 4. – P. 583-593.
76. Dullin H. R. Generalizations of the Stormer problem for dust grain orbits / H. R.
Dullin, M. Horұanyi, J. E. Howard // Phys. D. – 2002. – Vol. 171. – P. 178-195.
77. Колесникова М. А. Поле прецессирующего магнитного дипольного момента
// Наука и образование: материалы XIII Всерос. с междунар. участием конф.
студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 20 – 24 апр. 2009 г. – Томск:
Изд-во ТГПУ, 2009. – С. 146-150.
78. Feynman R. P. The Feynman Lectures on Physics / R. P. Feynman, R. B. Leighton,
M. Sands. – Addison-Wesley: Reading, – 1964. – Vol. 2.
79. Landau L. D., The Classical Theory of Fields / L. D. Landau, E. Lifshitz. Pergamon: NY, – 1975.
80. Epp V. Effective potential energy in Stormer’s problem for an inclined rotating
magnetic dipole / V. Epp, M. A. Masterova // Astrophys. Space Sci. - 2013. - Vol.
345. - P. 315-324.
104
81. Epp V. The field of precessing magnetic dipole / V. Epp, M. A. Masterova //
TSPU Bulletin. – 2012. – Vol. 13. – P. 51-54.
82. Мастерова М. А. Исследование уравнений движения заряженной частицы в
поле прецессирующего магнитного дипольного момента // Наука и образование: материалы Всерос. с междунар. участием конф. студентов, аспирантов и
молодых ученых. Томск, 25 - 29 апр. 2011 г. - Томск: Изд-во ТГПУ, 2011. – С.
20-25.
83. Эпп В. Я. Метод эффективной потенциальной энергии для исследования поля
прецессирующего магнитного дипольного момента / В. Я. Эпп, М. А. Мастерова
// Уральский научный вестник. – 2014. – Т. 24 (103). – С. 48-54.
84. Merkin R. M. Introduction to the Theory of stability / R. M. Merkin. – Springer:
NY, 1996. – 319 p.
85. Gantmacher F. R. Applications of the Theory of Matrices / F. R. Gantmacher. –
Interscience Publishers Inc.: NY, 1959. – 317 p.
86. Gorbatenko V. P. About spatial variations of thunder days and density of lightning
discharges to the ground // Tomsk State Pedagogical University Bulletin. – 2000. –
Issue 2. – P. 39-42.
87. Radiation from a relativistic rotating magnetic dipole - Magnetic synchrotron effect
/ V. Belinsky [et. al.] // Astronomy and Astrophysics. – 1994. – Vol. 283. – P. 10181024.
88. Belinsky V. Radiation from a relativistic Magnetized Star / V. Belinsky, R. Ruffini
// Astrophys.Journal Letters. – 1992. – Vol. 401. – P. L27-L29.
105
89. Georgiou A. A rapidly rotating perfectly conducting sphere and the
electrodynamics of a neutron star // Nuovo Cimento B. – 2008. – Vol. 123, No.
2. – P. 201-215.
90. Moller C. The Theory of Relativity / C. Moller. – Oxford : Oxford University
Press, 1976. – 572 p.
91. Rezzolla L. General relativistic electromagnetic fields of a slowly rotating
magnetized neutron star - I. Formulation of the equations / L. Rezzolla, B. J.
Ahmedov, J. C. Miller // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 2001. – Vol. 322. – P. 723-740.
92. Kaburaki O. Determination of the electromagnetic field produced by a magnetic
oblique-rotator // Astrophys. Spase Sci. – 1980. – Vol. 67. – P. 3-18.
93. Redzic D. V. Electromagnetostatic charges and fields in a rotating conducting
sphere // Progress In Electromagnetic Research. – 2010. – Vol. 110. – P. 383-401.
94. Swann W. F. G. Unipolar induction // Phys. Rev. – 1920. – Vol. 15. – P. 365-398.
95. Schmutzer E. Electromagnetic field of a rotating permanently magnetized sphere
in the inertial and the comoving frames of reference // Asta Physica Polonica. –
1979. – Vol. B 10. – P. 515-524.
96. Cowling T. G. in The Sun / T. G. Cowling. – Chicago, 1953. – 542 p.
97. Ватсон Дж. Н. Теория Бесселевых функций Москва: издательство иностранной литературы / Дж. Н. Ватсон, 1949. – Т. 1. – 799 с.
98. Epp V. Effective potential energy for relativistic particles in the field of inclined
rotating magnetized sphere / V. Epp, M. A. Masterova // Astrophys. Space Sci. –
2014. – Vol. 353. – Р. 473-483.
106
99. Ferrari A. Magnetic fielda around highly magnetized objects / A. Ferrari, E.
Trussoni // Astrophys. Spase Sci. – 1973. – Vol. 24. – P. 3-15.
100. Masterova M. A. Dynamics of relativistic particles in the field of highly
magnetized rotating sphere // TSPU Bulletin. – 2014. – Vol. 12. – P. 172-176.
101. Timofeev V. B. Experimental Research of the Electric Field Potential of a
Rotating Magnetized Sphere / V. B. Timofeev, T. E. Timofeeva // Progress In
Electromagnetics Research Letters. – 2014. – Vol. 45. – P. 19-24.
102. Laue H. Acceleration of protons and electrons in the electromagnetic field of a
rotating orthogonal magnetic dipole / H. Laue, K. O. Theilheim // Apstrophysical
Journal supplement series. – 1986. – Vol. 61. – P. 465-478.
103. Epp V. Effective potential energy in Stormer’s problem for an inclined rotating
magnetic dipole / V. Epp, M. A. Masterova // Astrophys. Space Sci. – 2013. – Vol.
345. – P. 315-324.