The Global Positioning System (GPS) и инвариантность скорости света

The Global Positioning System (GPS)
и инвариантность скорости света
Vitali Sokolov, Gennadiy Sokolov
gennadiy@vtmedicalstaffing.com
На основании постулата инвариантности предполагается, что сигналы между спутниками и
между спутником и объектами на Земле распространяются с одинаковой скоростью C , и
поэтому расстояния в GPS определяются простым умножением скорости C на время t , за
которое сигнал проходит эти расстояния. Ошибки измерения устраняются введением различных
поправок. Ниже показано, что возникающие из-за эффекта Саньяка ошибки пренебрежимо
мылы. Однако из-за того что атмосфера вращается вместе с Землёй, а орбиты спутников
неподвижны относительно инерциальной системы, возникает второй эффект: движение
атмосферы относительно орбит приводит к изменению скоростей сигналов GPS и к
значительным ошибкам в определении расстояний,.
Введение
Второй постулат специальной теории относительности утверждает, что скорость
света не зависит ни от движения источника света, ни от движения наблюдателя,
измеряющего эту скорость, то есть в любой инерциальной системе скорость света
одинакова во всех направлениях и в пустоте равна C  299792458 м/с. Спутники
вращаются по орбитам, плоскости которых независимо от вращения Земли
сохраняют ориентацию относительно инерциальной системы, связанной с
удалёнными звёздами. Так как Земля вместе со своей атмосферой вращается
относительно инерциальной системы и относительно орбит спутников, атмосфера
движется относительно орбит спутников и относительно самих спутников.
Относительно атмосферы электромагнитные сигналы во всех направлениях
распространяются с одинаковой скоростью
C
n
, практически равной C , и
поэтому
сигналы GPS в направлении с запада на восток идут относительно инерциальной
системы с большей скоростью, чем сигналы, идущие с востока на запад.
Прежде чем рассматривать распространение радио сигналов в системе GPS,
проанализируем более простую ситуацию с распространением света во
вращающемся стеклянном диске.
Влияние вращающейся среды на скорость света
Представим, что во вращающемся стеклянном диске импульсный источник S,
когда он оказывается в точке A лаборатории, посылает сигнал в направлении к
неподвижной относительно лаборатории точке B (Рис.1).
Если диск не вращается, относительно диска и относительно лаборатории,
которую мы приближённо рассматриваем как инерциальную систему отсчёта,
фотоны идут со скоростью
C
n
, последовательно проходят точки a1 , a2 ,
лежащие на прямой AB, и через время t0 
nLAB
C
a3 ,
приходят в точку B.
b1
b2
.
A
S
.
a1
.
.
a2
b3
a3
.
B
D

O
Рис.1
Когда диск вращается, фотоны первого волнового фронта переизлучаются
движущимися атомами стекла и движутся относительно лаборатории во всех
направлениях с разными скоростями. Но траектории всех первых фотонов
остаются прямолинейными относительно инерциальной системы и пересекаются в
той точке A лаборатории, в которой источник был в момент излучения. Очевидно,
что относительно диска фотоны движутся по криволинейным траектриям.
Точки стекла a1, a2, a3 движутся с разными скоростями и поэтому
переизлученные атомами стекла фотоны движутся относительно лаборатории с
разными скоростями a1-b1, a2-b2, a3-b3 , но их проекции на направление AB для
всех точек (a1, a2, a3) одинаковые. Из точки A к точке B фотоны движутся
относительно лаборатории с одинаковой скоростью
C
 D
n
, величина которой
зависит только от расстояния D от оси вращения диска до линии AB. Если
источник находится в точке B и посылает импульс в направлении к точке A,
фотоны из точки B к точке A движутся с меньшей скоростью, равной
C
 D
n
.В
результате, из точки A в точку B фотоны приходят раньше, чем из B в A.
Так же, как и в оптическом диапазоне, радио сигнал в системе GPS относительно
инерциальной системы идёт по прямой, соединяющей источник и приёмник. Так
как сигналы идут во вращающейся вместе с Землёй атмосфере, возникает эффект
Саньяка и сигналы относительно атмосферы идут по криволинейным
траекториям. При постоянной скорости вращения  сигнал идёт по дуге
окружности радиуса
C
n
и проходит расстояние, большее чем AB. Однако при
1
угловой скорости вращения Земли   7.27 5 c и n = 1 радиус окружности
C
n
оказывается столь большим, что из-за эффекта Саньяка даже для расстояния
порядка 30 000 км длина дуги оказывается всего лишь на 6 см длиннее хорды AB,
То есть эффект Саньяка в системе GPS пренебрежимо мал. Время движения
сигнала заметно увеличиваеся, если сигнал идёт, например, с Земли на Луну.
Движение атмосферы относительно орбит спутников
Независимо от орбитального движения и вращения Земли плоскости орбит
спутников сохраняют постоянную ориентацию относительно инерциальной
системы, связанной с неподвижными звёздами. Земля вместе с атмосферой
вращается внутри сферы, образованной неподвижными орбитами спутников GPS.
Атмосфера движется относительно орбит и относительно спутников подобно тому,
как на Рис.1 атомы стекла движутся относительно точек лаборатории A и B, в
результате чего изменяются скорости и времена прохождения сигналов GPS .
В том случае, когда спутник вращается в плоскости, не совпадающей с плоскостью
экватора, воздействие движущейся атмосферы приводит к непрерывному
изменению скорости спутника и смещению плоскости орбиты. Из-за высокого
разрежения атмосферы этот эффект очень мал и нам не известно, приводит ли он к
заметному смещению орбит спутников GPS. Этот эффект отсутствует в
геостационарных спутниках, где орбитальная скорость спутника совпадает со
скоростью вращения атмосферы. В случае, когда спутник вращается в плоскости,
близкой к плоскости экватора, движения атмосферы приводит к изменению
скорости спутника и, возможно, является одной из причин векового ускорения
Луны и смещения перигелия Меркурия. Однако в данной работе нас интересует
влияние этого движения не на скорости спутников, а на скорости сигналов. Из-за
движения атмосферы относительно орбит спутников сигналы со спутников идут с
запада на восток быстрее, чем с востока на запад.
Земля вращается внутри сферы диаметра 26500 км , образованной равномерно
распределёнными на шести орбитах 24 спутниками GPS. Вращаясь вместе с
Землёй, атмосфера движется относительно каждого спутника, оказавшегося в
данный момент над экватором, со скоростью
VA 
2 26500
86400
= 1.9271 км/с. Так как
орбиты GPS повёрнуты относительно экватора на 55 град., относительно
спутников, оказавшихся в данный момент на максимальном расстоянии от
экватора, атмосфера движется со скоростью 1.1 км/с . На расстоянии 20000 км от
поверхности Земли в кубичском сантиметре атмосферы содержится в среднем 108
атомов. Эта разреженная атмосфера оказывает значительно меньшее влияние на
траектории спутников GPS, чем на траектории и скорости спутников низких орбит.
Но для процесса распространения света или радио сигнала такое уменьшение
плотности атмосферы практически не существенно: в среде с расстояниями
между атомами порядка 1 мм фотоны переизлучаются так же, как в атмосфере у
поверхности Земли, только процесс переизлучения завершается на несколько
больших расстояниях. После переизлучения фотоны движутся относительно
среды со скоростью
C
C
n
. Среда движется относительно передатчика со
скоростью VA , и сигналы проходят практически всё расстояние между орбитами
передатчика и приёмника со скоростью C  VA .
Влияние движущейся атмосферы на скорости сигналов GPS
Рассмотрим наиболее простые ситуации, когда два спутника S1 и S2 находятся
над экватором или когда они находятся на одинаковых расстояниях от экватора и
- обмениваются сигналами
- сигналы от S1 к S2 и от S2 к S1,
- посылают сигнал к приёмнику R на Земле
- сигналы от S1 к R и от S2 к R ),
- принимают сигналы с пунктов управления E - сигналы от E к S1 и от E к S2 ) .
Основная информация:
- орбиты спутников GPS неподвижны относительно инерциальной системы и
.
наклонены под углом 55o к экватору (линия "aa" на Рис.2),
- орбитальная скорость спутников - V0  3.874 км/с,
- атмосфера вместе с Землёй вращается относительно инерциальной системы
.
2
и относительно орбит спутников с угловой скоростью   T
E
.
-
 7.27 5
1/c ,
над экватором относительно каждого спутника атмосфера движется со
скоростью
VA 
2 26500
86400
= 1.9271 км/с ,
скорость движения атмосферы относительно максимально удалённых от
.
экватора спутников V ACos55 = 1.1 км/с ,
- расстояния от спутников до оси вращения Земли - 26 500 км,
- длина орбиты радиуса 26 500 км 2R = 166 504.41 км.
1. Сигналы между спутниками
1.1
Случай, когда спутники S1 и S2 движутся по разным орбитам и в
данный момент находятся над экватором (Рис.2) :
-
расстояние между спутниками S1 и S2 равно 26 500 км ;
орбитальные скорости VO направлены под углом 55o к направлению S1-S2.
5
VO
S4
4
N
VO
S1
S2
3
a
a
VA
VA
S
S3
2
1
Рис.2
a)
Сначала предположим, что атмосфера не вращается вместе с Землёй.
C
 C . Но
n
углом 55o к
Относительно атмосферы сигналы идут с одинаковой скоростью
так
как спутники S1 и S2 движутся со скоростью V0  3.874 и под
направлению S1-S2 , за время движения сигнала от S1 к S2 спутник S2 удаляется
от S1, а за время движения сигнала от S2 к S1 спутник S1 приближается к S2.
Поэтому время движения сигнала от S1 к S2 оказывается больше, чем от S2 к S1 :
26500
C  3.874Cos 55
26500
t2 
C  3.874Cos55
t1 
Разность времён
= 0.088 395 140 404 452 480 018 426 795 065 77 с ,
= 0.088 393 830 060 280 261 065 577 727 538 39 с .
t1  t 2
= 1.3103441722189528490675273775476e-6 с  1310 нс
То есть, если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью
C
C
n
, от
спутника S1 к спутнику S2 сигнал приходит на 1310 наносекунд позже, чем от S2
к S1.
b)
Так как на самом деле атмосфера движется относительно спутников со
скоростью V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от S1 к S2 увеличивается на
1.9271Cos30 , а скорость сигнала от S2 к S1 уменьшается на 1.9271Cos30 ( на
Рис.3 угол между направлением скорости V A и направлением S2- S1 равен 30o
).
Сигналы идут с разными скоростями:
- от S1 к S2 сигнал идёт со скоростью C  1.9271Cos30 =
299794.12691755563299171617837092 км/с и к S2 приходит за время
t1* 
L
C  1.9271Cos30  3.874Cos55
= 0.0883946483157761313915833532583 с,
на 492 наносекунды меньшее, чем
( t1  t
*
1
t1
= 0.00000049208867634862684344180747 с ).
- от S2 к S1 идёт со скоростью C  1.9271Cos30 =
299790.78908244436700828382162908 км/с и к S1 приходит за время
t 2* 
L
C  1.9271Cos30  3.874Cos55
= 0.08839432213984624998957992036819 с.
на 492 наносекунды большее, чем t 2
( t 2*  t 2 = 0.0000004920795659889240021928298
S1
VA
30o
S2
30o
D
с ).
VA
R
O
Рис.3.
Разность времён
t1*  t 2*
= 3.261759298814020034328901067812e-7 с  326 нс .
Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад,
сигнал от спутника S1 к спутнику S2 идёт дольше на 326 нс, а не на 1310 нс,
то есть разность времён уменьшается на 984 наносекунды.
1.2
Случай когда cпутники S3 и S24 движутся по одной орбите и в
данный момент находятся на одинаковом расстоянии от экватора (Рис.2) :
-
расстояние между спутниками
- 37500 км,
угол между направлением S3-S4 и экватором
- 55o ,
угол между S3-S4 и касательной к траектории движения спутника - 45o .
a)
Если предположить, что сигналы между спутниками идут с одинаковой
скоростью
C
C
n
,
- сигнал от спутника S3 приходит к S4 за время
t34 
-
37500
C  V0
= 0.125 088 152 122 563 813 170 417 456 590 01 с,
сигнал от спутника S4 приходит к S3 за время
t 43 
37500
C  V0
= 0.125 084 919 317 825 409 551 708 591 284 57 с
и разность времён
нс.
t34  t 43
= 3.2328047384036187088653054441835e-6 с  3233
b)
Так как на самом деле атмосфера движется относительно спутников,
скорости сигналов изменяются.
Спутники S3 и S4 в данный момент находятся на расстоянии ( 37500 / 2 ) Cos35 =
15359 км от плоскости экватора. На таком расстоянии от экватора атмосфера
движется относительно спутников GPS со скоростью 1.57 км/с . Проекция этой
скорости на направление S3-S4 равна 1.57 Cos 55 Cos 45 = 0.637 км/с. Поэтому
-
сигнал от спутника S3 приходит к S4 за время
*
t34

37500

C  0.637  V0
= 0.125 087 886 331 977 226 092 461 810 026 19 с ,
на 266 наносекунд меньшее, чем t34
*
( t34  t34
= 0.00000026579058658707795564656382 с
сигнал от спутника S4 приходит к S3 за время
t
)
*
43

37500
C  0.637  V0
Разность времён
= 0.125 085 185 095 803 326 995 739 548 561 56 с,
t
*
34
t
*
43
на 266 наносекунд большее, чем t 43
*
 t 43 = 0.000 000 265 77797791744403095727699
( t 43
= 0.00000270123617389909672226146463 с  2701 нс
с )
Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад,
сигнал от спутника S1 к спутнику S2 идёт дольше на 2701 нс, а не на 3233 нс,
то есть разность времён уменьшается на 532 наносекунды.
2. Сигналы со спутников
и приёмнику на Земле
2.1
Случай, когда cпутники S1, S2 и приёмник R находятся в плоскости
экавтора и расстояние S1-R равно расстоянию S2-R (Рис.4) :
-
расстояние между спутниками S1 - S2 - 30730 км ,
расстояния S1-R и S2-R одинаковые и равны 21710 км,
угол между направлениями S1-R и S2-R
- 90o ,
угол между направлениями S1-R, S2-R и векторами скорости V A
- 80.3o ,
расстояния от линий S1-R и S2-R до оси вращения Земли
D = 4470 км .
1.927 км/с
S2 *
S2
S1
93.1o
80.3o
S1 *
99.7 o
76.8o
1.927 км/с
0.458 км/с
R
O
D
4 470 км
Рис.4
a)
Если не учитывать вращение Земли и предположить, что сигналы идут с
одинаковой скоростью
C
C
n
, сигналы от спутников S1 и S2 приходят к
приёмнику R за одинаковое время
b)
21710
C
= 0.0724 с и разности времён нет.
Над экватором атмосфера движется относительно спутников со скоростью
V A = 1.9271 км/с и изменяет скорости сигналов относительно инерциальной
системы. Проекции этой скорости D  V ACos80.3o на направления сигналов
S1-R и S2-R равны 0.324 км/с и сигналы к приёмнику R идут с разными
скоростями:
спутника S1 со скоростью
C
 0.324
n
и от спутника S2 со скоростью
от
C
 0.324
n
.
Однако сигналы приходят к приёмнику R одновременно, так как приёмник на
вращающейся Земле движется относительно инерциальной системы со скоростью
0.458 км/с и со скоростью 0.458Cos45o = 0.324 км/с удаляется от S1 и с такой же
скоростью 0.458Cos45o = 0.324 км/с приближается к S2. Поэтому в данном
случае движение атмосферы не приводит к изменению времён, и разность
времён отсутствует.
2.2
Случай, когда cпутники S1* и S2* и приёмник R находятся в
плоскости экавтора, но расстояние S1-R не равно расстоянию S2-R (Рис.4) :
-
спутники в положениях S1* и S2* , расстояние S1*- S2* = 30730 км,
расстояния до спутников: S1* - R = 24100 км , S2* - R = 20340 км,
угол между S1*-R и вектором скорости V A
- 76.8o ,
S2*-R и вектором скорости V A
- 93.1o ,
угол между S1* - R и вектором скорости 0.458 км/с - 16.12o ,
проекция на направление S1*-R - 0.458 Cos 16.12 = 0.44 км/с,
угол между S2* - R и вектором скорости 0.458 км/с - 76.72o
проекция на направление S2*-R - 0.458 Cos 76.72 = 0.1 км/с,
a)
Если не учитывать влияние движения атмосферы, сигналы идут с
одинаковой скоростью C и приходят к приёмнику R за промежутки времени
24100
C
20340
C
= 0.080 388 946 942 754 643 947 713 988 188 46 с ,
= 0.067 846 936 963 304 126 883 672 303 724 2 с.
Разность времён равна 0.01254200997945051706404168446426 с.
b)
Из-за движения атмосферы относительно орбит спутников
скорость сигнала от S1* увеличивается на 1.9271Cos 76.8o = 0.44 км/с .
Но из-за вращения Земли приёмник R удаляется от спутника S1* со скоростью
0.458 Cos 16.12, также равной 0.44 км/ с , и поэтому сигнал приходит к
приёмнику за то же самое время
24100
C
= 0.08038894694275464394771398818846 с,
как и при неподвижной атмосфере.
Аналогично, из-за движения атмосферы сигнал от S2* идёт со скоростью,
меньшей на 1.9271Cos93.1o = 0.1 км/с . Но так как приёмник R со скоростью
0.458 Cos 76.72 = 0.1 км/с приближается к спутнику S2* , сигнал приходит к
приёмнику за то же самое время
20340
C
= 0.0678469369633041268836723037242 с ,
как и при неподвижной атмосфере. То есть и в этом случае из-за движения
атмосферы времёна и разность времён не изменяются.
Таким образом, так как приёмник R движется с той же угловой скоростью
  7.27 5 , что и атмосфера, движение атмосферы не оказывает влияния на
времена передачи сигналов от любого спутника к приёмнику на Земле.
3. Сигналы с поверхности
Земли к спутникам
3.1
Случай, когда cпутники S1, S2 и источник сигнала E находятся в
плоскости экавтора и спутники оказываются на одинаковом расстоянии от
источника (Рис.4)
a) Так как спутники со скоростью V0  3.874 движутся по орбите, спутник S1
со скоростью 3.874Cos80.3 = 0.653 км/с приближается к E , а спутник S2 с
такой же скоростью удаляется от E.
Если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью
-
,
сигнал от E к спутнику S1 приходит за время
t E  S1 
-
C
C
n
21710
C  0.653
= 0.072 416 607 331 580 744 695 631 114 752 33 с ,
сигнал от E к спутнику S2 приходит за время
t ES 2 
21710
C  0.653
= 0.072 416 922 804 144 029 220 545 238 052 79 с.
Разность времён
t ES 2  t ES 1
= 0.000 000 315 472 563 284 524 914 123 300 46 с.
То есть, если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью ,
сигнал от источника E приходит к S1 на 315 наносекунд раньше, чем к S2 .
b)
Так как атмосфера движется относительно инерциальной системы со
скоростью V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от источника E уменьшается на
D  VACos80.3o = 0.324 км/с в направлении к спутнику S1 и на столько же
увеличивается в направлении к спутнику S2 .
Сигнал от E к спутнику S1 приходит за время
t E*  S 1 
21710
C  0.324  0.653
= 0.072 416 685 595 574 385 850 717 615 831 1 с,
на 78 наносекунд большее, чем
t E S1
(
t E*  S 1  t E  S 1
= 0.00000007826399364115508650107877 с )
Сигнал от E к спутнику S2 приходит за время
t E*  S 2 
21710
C  0.324  0.653
= 0.072 416 844 539 637 663 402 430 422 047 54 с,
на 78 наносекунд меньшее, чем
(
t E  S 2  t E*  S 2
t ES 2
= 0.00000007826450636581811481600525
с)
Разность времён
нс
*
*
t ES
2  t ES 1
= 0.00000015894406327755171280621644 с  159
Из-за того, что сигналы идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад,
разность времён t E*  S 2  t E*  S 1 = 159 нс оказывается на 156 наносекунд
меньше, чем t E  S 2  t E  S 1 = 315 нс .
3.2
Случай, когда cпутники S1* и S2* и источник сигнала E находятся в
плоскости экавтора, но расстояние E-S1* не равно расстоянию E-S2* :
E-S1* = 24100 км ,
E-S2* = 20340 км
(Рис.4).
a) Так как спутники со скоростью V0  3.874 движутся по орбите,
спутник S1 со скоростью 3.874Cos 76.8 = 0.885 км/с приближается к E ,
а спутник S2 со скоростью 3.874Cos93.1 = 0.21 км/с удаляется от E .
Если предположить, что сигналы идут с одинаковой скоростью
-
24100
= 0.080 388 709 631 887 990 254 673 533 561 42 с ,
C  0.885
сигнал от E к спутнику S2* приходит за время
t E  S 2* 
20340
= 0.067 846 984 489 071 912 226 362 837 774 24 с.
C  0.21
Разность времён
b)
,
сигнал от E к спутнику S1* приходит за время
t E  S1* 
-
C
C
n
tE S1*  tE S 2* = 0.01254172514281607802831069578718 с.
Так как атмосфера движется относительно орбит спутников со скоростью
V A = 1.9271 км/с , скорость сигнала от источника E в направлении к спутнику S1*
уменьшается на 1.9271Cos 76.8o = 0.44 км/с и в направлении к спутнику S2*
увеличивается на 1.9271Cos93.1o = 0.1 км/с .
Сигнал от E к S1* приходит за время
t E*  S1* 
24100
= 0.080 388 827 616 776 505 213 000 322 425 91 с ,
C  0.44  0.885
на 118 наносекунд большее, чем
(
t E  S 1*
t E* S1*  t E S1* = 0.00000011798488851495832678886449
с)
Сигнал от E к S2* приходит за время
t E*  S 2* 
20340
= 0.067 846 961 857 745 615 308 366 709 880 13 с ,
C  0.1  0.21
на 23 наносекунды меньшее,чем
(
t E  S 2*
t E* S1*  t E S 2* = 0.00000011798488851495832678886449
с)
Разность времён
t E* S1*  t E* S 2* = 0.012 541 865 759 030 889 904 633 612 545 78
с оказывается на 141 наносекунду меньше, чем .
tE S1*  t E S 2* , когда
предполагается, что сигналы идут с одинаковой скоростью.
Заключение
Из-за того, что атмосфера вращается относительно неподвижных орбит спутников,
сигналы GPS идут с запада на восток быстрее, чем с востока на запад. Вращение
атмосферы не влияет на времена прохождения сигналов от спутников к приёмнику
на Земле, но значительно изменяет времена передачи сигналов от одного спутника
к другому и от передатчика на Земле к спутникам. Учёт влияния движения
атмосферы относительно орбит спутников позволит повысить точность работы
навигационной системы GPS. Тот факт, что с запада на восток сигналы идут со
скоростью, большей C, доказывает ошибочность специальной теории
относительности и эйнштейновского метода синхронизации часов.