Исследование траекторий космического аппарата, стартующего

УЧЕНЫЕ
ЦАГИ
lМО
hMI
УДК
ЗАПИСКИ
М3
629.78.015 : 531.55 : 523.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА, .СТАРТУЮЩЕГО С ПОВЕРХНОСТИ
ЛУНЫ
И ВОЗВРАЩАЮЩЕГОСЯ В АТМОСФЕРУ ЗЕМЛИ
В. В. Демешкина, В. А. Ильин
I
Исследование траекторий космического аппарата, стартующего с
поверхности Луны и возвращающегося в атмосферу Земли, ведется с
помощью приближенного метода, при котором пренебрегают размерами
сферы действия
Луны
по сравнению с расстоянием
Земля-Луна
при
расчете геоцентрического участка, заменяют истинное движение Луны
движением по 'Кр'Уговой
КelПлеровой
орбите,
не
учитывают
изменение
вектора орбитальной скорости Луны за время селеносферического дви­
жения
аппарата
и
протяженность
активного
'Участка
при
старте
с
по·
верхности Луны.
Кратко рассмотрена схема расчета характеристик геоцентрического
и селеносферического движения аппарата. Установлены свойства инва­
риантности параметров траектории по отношению к замене безапогейного
геоцентрического перелета Луна-Земля апогейным и наоборот и к ото­
бражению траектории относительно плоскости лунной орбиты. Приведе­
ны результаты расчетов потребных скоростей в конце активного участка
и областей на поверхности Луны, из которых возможен выход на за·
данную траекторию полета к Земле. Приведены оценки географических
широт точек посадки при подлете со стороны Северного полюса для
траекторий с однократным погружением в атмосферу.
~
1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ.
СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Рассмотрим следующую задачу. Космический аппарат (фиг. 1),
находящийся в заданной точке на поверхности Луны (точка О), стар­
тует и совершает пассивный перелет к сфере действия Луны (точка 1).
Выйдя из сферы действия Луны, аппарат совершает пассивный пере·
лет к Земле так, что перигей орбиты возврата (условный перигей) рас­
положен в плотных слоях
атмосферы
от поверхности Земли (точка 2).
Траектория перелета Луна ограничений,
основными
из
Земли на
Земля
которых
должна
являются:
заданном
расстоянии
удовлетворять
заданное
ряду
наклонение
плоскости перелета к плоскости экватора Ё; заданная широта условного
перигея
ер,,;
заданная энергетика разгонных ступеней
аппарата
-
ско­
рость Vc о В конце активного участка при старте с поверхности Луны,
ограничение сверху продолжительности перелета Луна-Земля to2 ; осу­
ществление временной стыковки, т. е. ,выбор такого момента старта
с поверхности Луны и такой продолжительности перелета Луна-Зем­
ля, при которых возврат к Земле осуществлялся бы в момент времени,
удобный для посадки аппарата в заданной точке поверхности Земли.
56
Поставленная задача преД!ставляет собой весьма сложную двух­
точечную краевую задачу, численное решение которой по методике
сфер действия
[1], [2]
или более точными методами связано с преодо­
лением значительных трудностей, обусловленных в основнОм необходи­
мостью знать некоторое решение задачи, достаточно близкое к иско­
мому.
сферы
Для приближенного решения задачи предположим:
воздействие Луны на аппарат ограничивается пределами
действия;
ее
..-----..
",,-
//
I
Л!Jна
~\-\-\ ОРОl1mа
r.J
Л§Н/JJ
Земля
Фиг.
-
при
расчете
]
геоцентрического
участка
'Граектории
можно
все
геоцентрические и селеносферические парамет,ры на сфере действия
Луны заменять соответствующими параметрами, вычисленными в цент­
ре напритягивающей Луны;
- Луна движется по круговой кеплеровой орбите; вектор орби-
тальной скорости Луны
ре
считается
-
-
Vл
за время движения аппарата в селеносфе-
неизменным;
протяженностью
активного
участка
при
старте
аппарата
с
по­
верхности Луны можно пренебречь.
Сравнивая приведенную постановку задачи с постановкой задачи
в работе [3], замечаем, что рассматриваемая задача может быть ре­
шена по изложенной в [3] схеме и с использованием полученных там
результатов:
-
независимо
от селеноцентрического
движения
по
методике
[4],
определяются ориентация в пространстве плоскости геоцентриче­
ского перелета Луна-Земля и параметры этого перелета из условия
касательного возврата в атмосферу Земли, в резу~тате чего находит-
[5]
ся
на
вектор селеносферической
селеносфере;
.
скорости
аппарата
Vc 1
в точке
выхода
- определяется по методике работы [3] селеносферическая гипер­
бола аппарата, проходящая через заданную точку на поверхност,и Луны И обеспечивающая на селеносфере аппарату· скорость
-
V c 1.
57
При синтезе траекторий Луна-Земля учитываются все сформу­
лированные выше ограничения за исключением требования временной
стыковки. Отметим, что, как и в [5], вопрос о временной стыковке здесь
не рассматривается, поскольку, во-первых, для ее учета требуется бо­
лее точный расчет траекторий и, во-вторых, такая стыковка практиче­
ски не влияет на характеристики траекторий перелета Луна-Земля.
Учитывая однотипный характер поставленной задачи и задачи
синтеза траекторий облета Луны [4], а также первых трех предположе­
ний, можно на основании приведенных в [4], [5] результатов сравнитель­
ных расчетов траекторий облета Луны по приближенной методике и
методике сфер действия (радиус сферы действия Луны 'сф конечен)
утверждать, что в рассматриваемой задаче параметры приближенного
решения
должны
вующего
решения,
сается
хорошо
последнего
согласовываться
полученного
по
с
методике
предположения,
то
на
расчетов активных участков траекторий
параметрами
сфер
соответст­
действия.
основании
Что
ка­
многочисленных
ракет можно утверждать, что
неучет их протяженности не приводит к сколь-нибудь заметной ошибке.
§ 2.
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИй И СЕЛЕНОСФЕРИЧЕСКИй
УЧАСТКИ ТРАЕКТОРИИ
Для определения ориентации плоскости перелета Луна-Земля
и положения радиуса-вектора
аппарата в этой плоскости
наклонения плоскости орбиты Луны
гумент широты
Луны
ИЛ'
i,
к
угловая
задаются
плоскости экватора i л , ар-
дальность
перелета
Луна-
ЛЛОСlfосmь С~Л~­
lfосфеРU'lеснuД
гuпеРОО/li1'
Фиг.
2
Земля A1j12 и направление движения аппарата при подлете к Земле
по отношению к полушариям Земли. В результате находятся аргу­
менты широты аппарата и\ и И 2 В точках 1 и 2; угол (%\ между
плоскостью орбиты Луны и плоскостью перелета Луна-Земля
а.!
О, если кратчайший поворот от трансверсальной компоненты
>
вектора
58
геоцентрической
скорости
аппарата
~
V]t
в точке
1
......
к Vл
виден в направлении от Земли к Луне происходящим против часовой
стрелки, а также 9". Направление движения аппарата по отношению
к полушариям Земли характеризуется параметром sgпсоs и\: при
sgncos и\
1 перелет Луна-Земля происходит через северное
полушарие, а при sgncos и ) = -1 -через южное полушарие. При
=+
расчете
динамических
параметров
траектория
перелета
Луна­
Земля рассматривается как дуга конического сечения в определен--+
r",
ной выше плоскости с перигейным радиусом-вектором
проходя-
щая через радиус-вектор ЛУНЫ;'л (;", ;'л) = A"f/12' Задавая значения
r",
Гл и
таты
A"f/12, определяем все параметры этого перелета. Резуль­
расчетов
параметров
геоцентрического
участка
перелета
Луна-Земля приведены в [5].
Введем прямоугольную правую систему селеноцентрических
координат х с Ус Zc (фиг. 2): ось
Х С является продолжением век-
тора
--+
r л' ось
+ ус
+
~
совпадает с вектором Vл .
Введем
ческую селеноцентрическую систему координат
rc,
также сфери-
(r c -
л'с, СРс
селе­
ноцентрическое радиальное расстояние, долгота +л'с отсчитывается
в плоскости ХСУС ОТ линии Земля--Луна против часовой стрелки,
если смотреть
+ zc;
с оси
+ CPc-ОТ
широта
плоскости ХсУс
В сто­
рону Zc> О). В том случае, когда л'CI СРс определяют положение
точки на поверхности Луны, обозначаем их через f,л, 'fл'
Положение аппарата на поверхности Луны (точка О) задается
вектором ;'С о =
Rл
{- R л cos 'fл соs f· л ,
- R СОS'fл sin }'л' Rл sin 9л}, где
- средний радиус Луны.
На селеносфере
~
ней вектор
--+
I rc 1= Гсф
~
задан свободно перемещающийся по
-+
-'J>
Vc 1 = V 1
V л'
-
рости аппарата в точке
1.
Г де
V] -
вектор
геоцентрической ско-
В проекциях на оси х с , усо Zc
~
Vc 1
имеет
компоненты
(1)
>
<
Здесь всегда V1 t
О, а радиальная составляющая геоцентри­
ческой CKOPOCTU V 1 ,
О для геоцентрического маршрута А, не
содержащего апогея (A"fj12
180°); V1 ,
О для геоцентрического
маршрута С, содержащего апогей (A"f/12> 1800); V\, = О для геоцен­
трического хомановского перелета (A"fj12
1800).
Задача расчета селеносферического движения сводится к пост­
!:оению селеносферической гиперболы, проходящей через вектор
<
>
=
rc о
и обеспечивающей
аппарату
на селеносфере
тора
V c l'
век-
Введем орт
[Г:о,
Vc 1]
--+
I[rc о'
нор~альный к плоскости
от
достижение
~
r
Vc 1] I
гиперболы.
cо к
c 1 на кратчайший
часовой стрелки:
V
угол
--+
cos~=
~
Со стороны орта
in
поворот
виден проис.ходящим против
->
(r c о, VC 1)
Rл
(2)
~
V C1
(3)
59
в [3] показано, что если считать
Vc 1
направленным по ас~мп­
тоте гиперболы, то с точностью до малых (,,,с)2, где У"с -< Rл-се­
Г сф
леноцентрическое расстояние до перицентра гиперболы, имеем:
фокальный параметр гиперболы
= Rл [ Vf 41
Рс
Rл
ас s1n ~
2
+ 1-
+ "21 ..VI
cos ~
Rл
]2
---a;-sin ~ ,
(4)
эксцентриситет гиперболы
е. с =";-Ь+l.
V ас
Здесь ас =
---;;'----""2:- -
V~ 1
заданная
(5)
действительная
полуось
ги-
Г Сф
КЛ -
перболы; КЛ - гравитационная постоянная Луны. Ориентация ги­
перболы задается ортом {2) и направленным в перицентр ортом
-+
->-
' со
vс '
C1
Г со + vVl,,=f.I.--
--;
cos '1Jc о
г де
f.I. =
+-
1
ес
1
1
cos ~
-е
----s-l-n-;;:2-:::~---
v =
-
с
+ cos ~ cos 1Jco
---s~in-=-a~=----
Здесь 1Jc о - истинная аномалия точки старта на поверхности
Луны в плоскости гиперболы. Угол ~ изменяется в пределах
0<: ~ <: ~ <1t, где
cos ~ =
-
------=-1 + Rл
(6)
ас
При ~ = ~ точка старта с поверхности Луны является пери­
центром гиперболы, при ~=O имеем вертикальный подъем в селе­
носфере.
Применительно к перелетам Луна-Земля со стартом с поверх­
ности Луны установим свойства инвариантности характеристик
селеносферического движения, аналогичные
облета Луны [5] и старта с орбиты ИСЛ [3].
При замене безапогейного маршрута А
наоборот в
--+
Vc 1
[см.
свойствам траекторий
на
апогейный С или
(1)] м~яет знак l-я компонента V1 Г' Изменим
координаты точки старта 'с о так, чтобы относительно новых точек
--+
старта и вектора V c 1 движение по гиперболе оставалось неизменным. Для этого -+Достаточно неизменности cos~. Но тог да из (3)
следует,
-+
что
-+
у
'с о должна изменять знак l-я компонента. Векторы
-+--+
и еn заменяются на i,,(-++), Ё n (+--); здесь и в дальнейшем
знаком
обозначены неизменные элементы векторов, а знаком
i"
,,+"
,~-" элементы, меняющие знак. Таким образом, у векторов ~ о и
долготы л.л, Л" с заменяются на 1t- Л л, 1t-Л"с, У вектора долгота
i"
t:
лn с заменяется на 21t-Л n с' а широта 9n с - на -СРn С'
При отображении геоцентрической траектории относительно
плоскости орбиты Луны, что эквивалентно изменению sgncos U1,
60
yVc
[см. О)], меняет знак 3-я компонента V 1 ts1n 1%1' Аналогично
1
можно по казать,
-останется
что
движение аппарата
в
плоскости
неизменным, если заменить ;:: о на ;:: о (+
..........
Ё,,(++-) и Ё n на Ё n (-
т. е. у векторов Гсо и
- +),
няются на -'fл, --ср" с, а у вектора Ё n
i"
гиперболы
+ -),
Z.
на
'fл и ер" заме-
А n с заменяется на
1I:+),n с'
§ 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ТРАЕКТОРИЙ ПОВЕРХНОСТЬ
ЛУНЫ-АТМОСФЕРА ЗЕМЛИ
Расчет проводился для следующих исходных данных: Гл=Гл ср=
0
км, i л =280 (1969-1972 п.), r,,=6421 км, Ё=90 , сред­
ний радиус Земли 6371 км, гравитационная постоянная Земли
=384394,8
К®=398580 км 3 /сек 2 , Rл= 1738 км, Кл=4889 км 3 /сек 2 , Г с ф=66000 км.
Основными варьируемыми
Учтены следующие
ваемой постановке (см.
1)
2)
ИЛ,
Il1J12'
~ И J·л.
аппарата в рассматри­
§ 2):
0
"правило
при
пересчета"
0
плоскости
не
[5]
движения
изменении
на и л +180 , 1%1'
3)
и
[3], [5]
являлись
движения
четность всех величин по ил относительно значения и л =180 ;
селеносферического
рыми
параметрами
особенности
и
инвариантность
аппарата,
sgncos И 1
(для i л <
в
<
i
характеристик
соответствии
11: -
i л ) ил
с
кото­
заменяется
ср" и 'fл меняют знаки, параметры гиперболы в ее
меняются;
симметрия
селеносферических
характеристик
по Д "1j12 отно·
сительно значения ~'1J12=180°, в соответствии с которой при пере­
ходе от маршрута А к маршруту С и наоборот )'л заменяется на
0
180 -),л, а ерл и все параметры гиперболы в ее плоскости остаются
неизменными.
Величина скорости в коние активного участка V c о не зависит
от расположения точки старта на поверхности Луны. Поскольку
Vlt~ V л , из (1) следует очень слабая зависимость V C1 ' V co И
параметров селеносферического движения от i л , ил и i (фиг. 3).
Таким образом, параметры селеносферического
ляются в основном
величиной
д'1J12
и
движения опреде­
координатами точки старта
Ал, 'f л ' Практически важно, что
Vc о в отличие от V c 1 слабо зави­
сит также и от д'1J12' В результате, располагая небольшим запасом
в импульсе скорости
::::::: 2510
300-400
м/сек
по
сравнению с
м/сек, можно, изменяя ориентаuию
к Земле
из
различных
точек поверхности
---+
Vc о.
min min V c о ~
реализовать старт
Луны
по существенно
различным траекториям Луна-Земля.
В случае вертикального подъема в селеносфере векторы
Vc 1
r co
и
коллинеарны, откуда с учетом V 1 t ~ V Л получаем:
tg Ал верт:::::::
-
Л
1t
VV г' тах tg I ер л I верт ~
~ V
VЛ
'
1
sgn 'fл верт
=
sgncos и!.
ИЗ этого следует, что траектории Луна - Земля с вертикаль­
ным подъемом в селеносфере могут быть реализованы из весьма
узкой
Чтобы
области
оценить
на
поверхности
максимальные
Луны
при О
размеры
< Ал <
области
11:,
на
I'fл 1-< 100,5.
поверхности
61
Луны, из которой возможен выход на заданную траекторию пере­
- Земля, рассмотрим траектории с касательным к поверхности Луна стартом при предельных значениях ~ =~. Из при­
веденных на фиг. 4 зависимостей ~ = ~ (iл , ил, Ё, ~ 'YJ12), посчитан­
ных по (6), видно, что с ростом V c 1 ~ уменьшается.
7t
0
0
лета Луна
При
Vc 1 ~
~ ~
00
Геометрическое
на фиг.
Rл;
=280, Ё=90 )::::::142 •
{ил_
точек старта
место
пересечение плоскости
радиуса
mах~(iл
LI'J,,}
2;
с
результаты
нормальным
расчета
при
~
~~ представляет
=
вектором
граничных
Vc 1
кривых
со
сферой
приведены
6 (изменение Ал при переходе от маршрута А к С учтено
разметкой оси). Из геометрических соображений ясно, что
<рл тах = - 'Рл верт + (7t - ~), qiл min = - <рл верт - (1t - ~),
Ал тах :::::: ),л верт - ~, Ал min ;::::::: Ал верт + ~ .
Из
фиг.
точек
лунной
поверхности,
попадающих
внутрь
овалов
6, старт к Земле при заданных i л , ил, Ё, ~'YJ12 И sgncos и l
; Vco
lл=28
I
/сек}
1
D
,
=§О"
i
u =и..5'БО"(180~
~ iiIii1.,
/
~~
'15~ 1 !SO(22S~ 1.5'5")
JO~ 270°(2711: JO
/
';;:::j ~ -.
\
".,
'"
D)
~~
~ Vc
/15,0 2l5О(Л.5~ '1S0)
/SO° (1б/J." /J)
ил = 17. #0°(180°)
2 ~
rж" ЛУ," ШУ,"DIJР} o
J/J: Z7/J (27/J J/JD)
/
fJ""115"IJts."·,,"m
~~
~-
""'~ ~
1
\/,
~
~
!80 0 (Jб11.0 о)
!
-
-
/JtfОJ'НО"lt'НUЯ Оез С/(ОООН иля .5'gп СО.5и, =
0ОО3НU'ft'tluя
J
Lл
I",..в ~
I!!"'"
l.....! ~ гf"'
='/8°,
--:::::::
/
/
/
62
~-
l
Фиг.
3
Фиг.
4
=.5'0°
~ 1::::::-.
F"=' ~ ~
1/
1В0D(Л0~ о)
§О,D 270° (270,° §ОО)
uЛ =0,.5'507/30°)
-
-1
снооких t/ля .5'JПСОSU f =+/
-- f---
1---
I1tfо.!нuztt'НUЯ Dе.! СНООО/( иля .5§Л &0,5 и, = -
"
J
I
сноDнtмt/l1я5§ЛСО.5u,=+1
Vc о
невозможен. С ростом
область
возможных точек старта с по~
верхности Луны уменьшается и стягивается к вектору V c 1. При
Vc о
3250 м/сек всегда возможен старт к Земле для любого 'fл
С
при 430
}'л
1370, для любого Ал при 'fл
73 , 'fл
65 в слу­
чае sgncos И 1 = - 1; 'fJI
650; 'fл
730 в случае sgncos И 1 = 1.
Таким образом, использование траекторий с наклонным подъемом
-<
< <
>
в селеносфере существенно
ности,
откуда
возможен
>
<-
<-
расширяет область на
выход
на
заданную
лунной поверх­
траекторию
полета
к Земле.
i л =28 0 , i~!J[J°,
f3=$
Л/1
'./ \
\
.90: 27/J 0( 270.0.900)
\
,
~
~---.-'-+IIf-----НI--f
\ Iвоо(о.ЗQlJО)
h
\
о
Фиг.
5
При подлете аппарата к Земле
и
со
стороны Северного полюса
реализации траектории посадки аппарата
с однократным погруже­
нием в атмосферу могут представить интерес значения географиче­
ских широт точек посадки 'fеэ. Угловая дальность от точки условного
перигея до точки посадки аппарата, которая при i=90° равна разности
географических широт точки посадки и условного перигея drp, зави­
сит от величины максимальной перегрузки аппарата nЕ. В случае бал­
-<
листических траекторий спуска при значениях n!
20 зависимость
Д~ = d'f (nЕ ) можно получить с помощью данных, приведенных в [6].
При значениях n~ ~ 10, но таких, что еще можно полагать
г де
6 вх
и nЕ =
-
угол
входа
в
атмосферу,
nЕ
340 6 вх [7] получим d'f ~ 170
из
соотношений
[рад].
Используя
sin 6Bx~6BX'
dl' ~ 26 вх [6]
зависимости
<р" (iл, Ил, i, sgncos И 1 = 1, ~1J12) из [5] и drp (nr.), можно получить зави­
симость широты точки посадки rpеэ от V c о и nЕ при заданных iл ,
ил , ё. Пример такой зависимости приведен на фиг. 6.
63
Переход от траекторий поверхность Луны - атмосфера Земли к
траекториям орбита ИСЗ - поверхность луны соответствует о~ащению движения по траектории. При этом Vc 1 заменяется на - V c 1, а
~ - на :тt - ~, cos ~ меняет знак. При неизменном векторе точки посад~
~
~
i"
ки ГС О
остается неизменным,
[Д =
.f/l
280 ; i =.М О; uл=17/l о
- ...-...-~
"
-
.-1 i-"
i.- ~
"....
~
"
2, 7]
10
20
точек посадки
на
6
поверхности
менными. Хотя т,раектории орбита ИСЗ
пиально
отличаю'flСЯ
от
во
50
Фиг.
расположение
-
V,,=J,2Z /(M/celf
-
и
~ t--
2,55
\
~~
"....
/l
меняет знак, параметры гиперболы
in
траекторий
Луны
остаются
неиз­
поверхность Луны принци­
-
поверхность
Луны
-
атмосфера
Земли, векторы геоцентрических скоростей на сфере действия в обоих
случаях,
от друга
как
[5].
показывают
расчеты,
не
очень
сильно
отличаются
друг
Поэтому приведенные выше результаты могут быть исполь­
зованы для качественного анализа свойств селеносферического движе­
ния
перелетов
орбита
ИСЗ
-
поверхность
Луны.
* **
ЛИТЕРАТУРА
1.
Е г о Р о в В. А. О траекториях возврата от Луны к Земле. «Кос­
мические исследования», т.
2.
Е
r
5,
вып.
4, 1967.
о р о в В. А. О влиянии разброса начальных данных на тра­
ектории возврата
вып.
1, 1969.
от
Луны
к
Земле.
«Космические
исследования»,
т.
7,
3. И л ь и н В. А., И с т о м и н Н. А. Приближенный синтез опти­
мальных траекторий Земля-Луна-Земля с выходом на орбиту искусст­
венного спутника Луны. Ученые записки ЦАГИ, т. 1, N2 1, 1970.
4.
И л ь и н В. А. Синтез траекторий близкого облета Луны с воз­
вращением
зики, т. 7,
5.
в
атмосферу Земли. Журнал вычислит.
матем.
и
матем.
фи­
N2 2, 1967.
И л ь и н В. А., Д е м е ш к и н а В. В., И с т о м и н Н. А. Исследо­
вание траекторий близкого облета Луны
Земли. «Космические исследования», т. 8,
с
возвращением
в
атмосферу
N2 1, 1970.
6. С h а р m а n D. R. Ап ana1ysis of the corridor and guidance
requirements for supercircu1ar entry into p1anetary atmospheres, NASA
TR, 1959, NR-55.
7. А 1 1 е n А. Т., Е g g е r s А. Т. А study of the mоНоп and аего­
dynamic heating of ballistic missiles entering the earth's atmosphere at
high supersonicspeeds. NASA Rep., 1958, N2 1381.
Рукопись поступила
1/VIl 1969
г.