3. Имитаторы эллиптических и гиперболических зеркал. А.В

ИМИТАТОРЫ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗЕРКАЛ
А.В. Иконина, Н.Л. Лазарева, Д.Т. Пуряев
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Идеальные имитаторы эллиптических и гиперболических зеркал представляют
собой виртуальные линзы, установленные в гомоцентрических пучках лучей. Первая по
ходу лучей поверхность линзы плоская, а вторая – асферическая, аналогичная
имитируемой поверхности зеркала.
Известно, что контроль формы оптических поверхностей в большинстве случаев
осуществляют на лазерных интерферометрах. При этом
используют принцип
автоколлимации лучей рабочего пучка лучей от контролируемой поверхности.
Характерной особенностью любой асферической поверхности является то, что ее
нормали не имеют общей точки пересечения. Поэтому на контролируемую
асферическую поверхность необходимо направлять негомоцентрический пучок, лучи
которого будут падать на нее по нормалям. Для создания негомоцентрических пучков
применяют специальные оптические элементы, называемые компенсаторами аберраций
нормалей. Для каждой асферической поверхности разрабатывают индивидуальный
компенсатор, который обеспечивает идеальную компенсацию аберраций ее нормалей.
Оптическую систему, состоящую из компенсатора и контролируемой поверхности,
принято называть компенсационной системой. В большинстве случаев остаточные
волновые аберрации компенсационных систем не должны превышать одной сотой
длины волны используемого излучения, т. е. компенсационная система должна быть
практически идеальной. При расчете любой компенсационной системы требуется
оптимизация ее параметров, которую выполняют с помощью известных компьютерных
программ, предназначенных для расчета хода лучей через оптические системы.
Компенсационные системы для контроля асферических зеркал (АЗ) приходится
рассчитывать в автоколлимационном ходе лучей. Оптимизация компенсационных
систем для контроля светосильных АЗ часто прекращается из-за того, что световые
лучи не проходят через какой-либо оптический компонент. В работе [1] отмечено, что
эта проблема может быть решена, если контролируемое АЗ заменить имитатором,
который в процессе расчета компенсационной системы позволит избавиться от
автоколлимационного хода лучей. Важно, чтобы имитатор представлял собой точную
математическую модель контролируемой поверхности, т. е. формировал
негомоцентрический пучок, лучи которого точно совпадут с нормалями к этой
асферической поверхности. Тогда на завершающей стадии расчета после замены
имитатора на контролируемое АЗ состояние аберрационной коррекции в
компенсационной системе не изменится. Такой имитатор можно назвать идеальным.
Следует отметить, что имитаторы, описанные в [1], по свидетельству авторов не
являются идеальными.
АЗ современных гигантских телескопов в большинстве случаев являются
светосильными эллипсоидами и гиперболоидами. Решение проблемы создания
идеальных имитаторов для таких зеркал весьма актуально. Поэтому авторами
предложено принципиально новое решение идеальных имитаторов эллиптических и
гиперболических зеркал – виртуальные плосковогнутые и плосковыпуклые линзы,
установленные в гомоцентрических пучках лучей. Линзы работают «на просвет».
Первая по ходу лучей поверхность линзы плоская, а вторая – гиперболическая или
эллиптическая, аналогичная имитируемой поверхности контролируемого зеркала.
18
Элементом имитатора, создающим эллиптический или гиперболический волновой
фронт, является преломляющая плоскость, разделяющая две оптические среды с
абсолютными показателями преломления n1 и n2.
Особенность предлагаемых
имитаторов в том, что их асферические поверхности расположены именно там, где
впоследствии окажется контролируемое гиперболическое или эллиптическое зеркало.
Лучи созданного плоской поверхностью негомоцентрического пучка падают по
нормалям на асферическую поверхность имитатора, проходя через нее без
преломления. Практическая ценность такого решения в том, что вычисленное при
оптимизации значение воздушного промежутка между асферической поверхностью
имитатора и компенсатором остается тем же самым после замены имитатора на
контролируемое АЗ.
Рассмотрим методику расчета предлагаемых линз-имитаторов. Исходными
данными для расчета имитатора являются основные параметры контролируемого АЗ:
вершинный радиус кривизны r0, эксцентриситет e и диаметр D. Результат расчета
линзы-имитатора: относительный показатель преломления n сред, разделенных
плоскостью, координата m точки пересечения плоскости лучом, проходящим через
край АЗ, удаление s предметной точки А и толщина d по оси линзы-имитатора.
На рис. 1 показан ход реального луча через четыре возможных варианта
виртуальных линз-имитаторов: а и б – для вогнутого и выпуклого гиперболоидов, в и г
– для выпуклого и вогнутого эллипсоидов. Точка А – вершина гомоцентрического
пучка лучей, входящего в линзу-имитатор, удалена от плоской поверхности имитатора
на расстояние s, которое связано с вершинным радиусом r0 контролируемого АЗ и
относительным показателем n преломления на плоской границе раздела сред
зависимостью
s = r0 n / (n2 – 1).
(1)
Центр кривизны С0 при вершине контролируемого АЗ расположен в точке А’0 –
параксиальном изображении точки А. Очевидно, что толщина d линзы-имитатора в
общем случае определяется зависимостью
d = s’0 – r0 = ns – r0.
(2)
Относительный показатель преломления на границе двух сред определяется
известным отношением n = n2 / n1, где n1 и n2 абсолютные показатели преломления
первой и второй сред. Показатели преломления n1 и n2 следует выбирать с учетом
значения эксцентриситета е контролируемого АЗ. Для имитации гиперболических
зеркал (е > 1) первая среда – воздух (n1 = 1), а вторая среда должна быть оптически
более плотной (n2 = е). В случае эллиптических зеркал (0 < е < 1) оптически более
плотной является первая по ходу лучей среда (n1 = 1/е), а вторая среда – воздух (n2 = 1).
Примечательно то, что в любом из случаев значение относительного показателя
преломления на границе раздела сред определяется одним и тем же соотношением
n = e.
(3)
С учетом соотношения (3) формулы (1) и (2) принимают более удобный для
практического применения вид
s = r0 e / (e2 – 1);
(4)
d = es – r0.
(5)
19
n1 = 1
m
n1 = 1
σ
A
A '0 , C 0
σ'
-σ '
A'
A'
A '0 , C 0
-σ
A
m
n2= e
r0
d
s
-r 0
- ∆ sn
∆ sn
s'0
а
σ'
σ
A'
n 2= 1
s'
n 1 =1/e
АЗ
A
A A '0 , C 0
A '0 , C 0
- ∆ sn
s'0
s
-d
б
АЗ
m
-s
-s'0
-s'
s'
n 1 = 1/e
n2= e
АЗ
АЗ
A'
-σ '
-r0
r0
d
n 2= 1
∆ sn
-σ
-m
-s'
-s'0
-s
-d
в
г
Рис. 1
Для идеальной имитации аберраций нормалей контролируемого АЗ необходимо
выполнить условие равенства продольных аберраций ∆s’, вносимых линзойимитатором, и аберраций нормалей ∆sn по всем лучам светового пучка, т.е. ∆s’ = ∆sn.
Аберрацию любой нормали контролируемого АЗ следует вычислять по известной
точной формуле
⎤
r0 e 2 ⎡
1
(6)
⎢
− 1⎥ ,
∆s n = 2
(e − 1) ⎢ 1 − (e 2 − 1)tg 2 ϕ ⎥
⎣
⎦
предварительно определив tg ϕ, (ϕ – угол наклона этой нормали к контролируемому
АЗ) по формуле
2r0 z + (e 2 − 1) z 2
.
(7)
r0 + (e 2 − 1) z
Следует отметить, что каждый луч, преломленный плоской границей раздела двух
сред и идущий внутри линзы-имитатора под углом σ' к оптической оси, должен стать
нормалью к поверхности АЗ; поэтому σ' = ϕ.
С учетом полученных по формулам (6) и (7) значений ∆sn и tg ϕ координату m точки
пересечения луча с плоской границей двух сред определяем по формуле
(8)
m = (d + r0 + ∆sn) tg ϕ.
tgϕ =
20
Если значения ∆sn и tg ϕ вычислены для луча, приходящего в край АЗ, то
полученное значение m может быть использовано при расчете хода реальных лучей в
системе имитатор – компенсатор в качестве координаты края входного зрачка, который
совмещен с плоской поверхностью имитатора.
Исследования показали, что асферическая поверхность линзы-имитатора может
быть «действительной» (на рис. 1, а и 1, в она показана сплошной линией) или
«мнимой» (на рис. 1, б и 1, г показана пунктиром). Характерная особенность линзимитаторов вогнутых гиперболических и выпуклых эллиптических зеркал (см. рис.
1, а и 1, в) в том, что они имеют положительные толщину d и предметный отрезок s.
При расчете линз-имитаторов
выпуклых гипербололических и вогнутых
эллиптических зеркал (см. рис.1, б и 1, в) значения толщин и предметных отрезков
получаются отрицательными. Понятно, что линза с отрицательной толщиной может
быть только виртуальной. Кроме того (см. рис.1, б и 1, г), имитаторы выпуклых зеркал
представляют собой «воздушные» линзы, причем значение показателя преломления
среды, расположенной за ее асферической поверхностью, может быть любое, так как
лучи проходят через эту поверхность по нормалям.
В таблице представлены параметры эллиптических и гиперболических зеркал
некоторых современных телескопов и расчетные параметры линз-имитаторов.
Таблица - Параметры зеркал крупных телескопов и имитаторов для расчета компенсационных систем
Параметры контролируемых
асферических зеркал
D, мм
r0, мм
e2
Расчетные параметры имитаторов
d, мм
n=e
s, мм
m, мм
66284,8874
9520606,3710
5794431,9825
7673960,9575
179914,2945
72569,3818
–6325,0006
–965049,0775
–5468,9071
17409,2702
1362588,9221
824100,0000
1067829,7872
16622,8707
10592,4181
–1288,9957
–104193,3484
–1091,2652
–2081,1367
–8688,5480
–8790,6126
–2421,0427
–2303,5274
757,2148
1363,1651
1391,7567
343,1834
551,7670
Вогнутые асферические зеркала
4000
10000
8200
8000
1700
2600
940
3000
1200
8094
35000
28900
28800
9444,44
9509
1974,2416
13794,21
2415,354
1,129792
1,003683
1,005
1,00376
1,05389
1,139899
0,732802
0,985808
0,645236
1241,5
1036
1116
500
900
–4018,81
–4193,0685
–4553,57
–3384,62
–4374,46
5,548792
1,613898
1,66926
3,68288
5,421864
1,0629167
1,0018398
1,0024969
1,0018782
1,0265914
1,067661
0,856039
0,992879
0,803266
62361,3166
9503122,4545
5780000,0000
7659574,4681
175254,0360
67970,4644
–7388,6863
–971970,8286
–6808,3402
Выпуклые асферические зеркала
2,3555874
1,2699992
1,2919985
1,9190831
2,328490
–883,4895
–6841,3806
–6803,8879
–1261,5622
–989,2796
Полученные имитаторы использованы авторами при разработке компенсационных
систем, предназначенных для контроля формы указанных асферических зеркал.
Следует отметить, что знаки вершинных радиусов поверхностей АЗ даны в таблице с
учетом ориентации этих поверхностей в линзах-имитаторах. При финишных
компьютерных расчетах автоколлимационных компенсационных систем по известным
программам следует знак вершинного радиуса контролируемого АЗ поменять на
обратный.
Литература
1. Б.М.Комраков, Д.Т.Пуряев, В.В.Медведев. Имитаторы асферических поверхностей
для расчета компенсационных схем контроля // Оптико-механическая
промышленность. – 1989. – № 6. – С. 25-27.
21