i. асимметрия затмений. календарные циклы
advertisement
I. АСИММЕТРИЯ ЗАТМЕНИЙ. КАЛЕНДАРНЫЕ
ЦИКЛЫ
И.Н. Таганов и В.-В.Е. Саари
1.1 Метафизика солнечных затмений
1.2 Календарные циклы солнечных затмений
Литература
стр. 13
стр. 23
стр. 31
Для классификации и описания затмений в современной астрономии часто по-прежнему
применяются старинные латинские термины – умбра (umbra – тень), пенумбра (penumbra –
полутень) и антумбра (antumbra – «предтень») (см. рис. 1.1, а также [2, 3]). Частичное
затмение (ок. 35 %) наблюдается, когда Солнце и Луна не находятся на одной линии и Луна
лишь частично закрывает Солнце. Термин «центральное затмение» (ок. 65 %) часто
используется как общий термин для затмений, когда Солнце и Луна находятся точно на
одной линии. Строгое определение центрального затмения предполагает, что ось тени Луны
касается поверхности Земли. Однако, хотя и весьма редко, но наблюдаются затмения, когда
только часть тени Луны пересекается с Землей, но ось тени остается вне ее поверхности.
Такое событие называется «нецентральным» полным или кольцевым затмением.
Рис. 1.1. Основные типы солнечных затмений.
Центральные солнечные затмения делятся на три основные группы: полное затмение (ок.
27 %) происходит, когда темный силуэт Луны полностью закрывает Солнце; кольцевое
затмение (ок. 33 %) наблюдается, когда Солнце и Луна находятся на одной линии, но
видимый диаметр Луны меньше, чем у Солнца; гибридные затмения, – это относительно
1
редкие затмения (ок. 5 %), которые в некоторых местах на Земле наблюдаются как полные, а
в других местах как кольцевые. Кольцевые затмения наблюдаются чаще, чем полные, потому
что в среднем Луна движется по орбите слишком далеко от Земли, чтобы закрыть Солнце
полностью.
С древних времен известно несколько живописных эффектов сопровождающих иногда
солнечные затмения, например «Алмазные четки» (рис. 1.2-1), «Бриллиантовый перстень»
(рис. 1.2-2) и «Обручальное кольцо» (рис. 1.2-3). «Алмазный четки» и «Бриллиантовый
перстень» астрономы обычно назвают теперь «Бусами Бейли» в честь английского
астронома Фрэнсиса Бейли (1774–1844), который первым опубликовал объяснение этих
явлений – вспышки света появляются на темном лунном силуэте, когда во время полного
солнечного затмения яркий солнечный свет сияет в некоторых местах неровного периметра
гористого лунного диска.
Рис. 1.2. «Алмазные четки» (1) и «Бриллиантовый перстень» (2) во время полного
солнечного затмения 25 ноября 2011 [http://www.spacetribe.com/]. «Обручальное кольцо» (3)
– кольцевое солнечное затмение 20 мая 2012 [/wikipedia.org/].
Рис. 1.3. Геометрия лунного затмения. Правая часть: лунное затмение 27 октября 2004 года
[http://eclipse.gsfc.nasa.gov/]. Для земного наблюдателя Луна ежедневно пересекает небосвод
с востока на запад. Однако движение Луны по отношению к конусу тени Земли и звездам
происходит с запада на восток.
Лунное затмение происходит, когда Луна оказывается в тени Земли, которая частично или
полностью перекрывает освещение Луны Солнцем. Лунные затмения происходят, когда
Солнце, Земля и Луна оказываются в сизигии (от древнегреческого σύζυγος, suzugos) –
2
конфигурации, когда все три небесных тела находятся на одной линии (рис. 1.3). Луна
пересекает эклиптику (плоскость орбиты Луны вокруг Земли) в позициях, называемых
лунными узлами, два раза в месяц, и когда полнолуние совпадает с прохождением Луной
узла, может произойти лунное затмение. Два лунных узла обеспечивают возможность
наблюдения лунных затмений от двух до пяти раз в год с интервалом около шести месяцев.
Затмение луны происходит только в полнолуние, и только тогда, когда Луна проходит через
тень Земли, которая состоит из двух конусообразных частей, как бы вложенных друг в друга.
Когда во время всего затмения Луна лишь частично входит в полутень Земли, то
наблюдается частичное полутеневое затмение (рис. 1.4-1) с затемнением лишь части лунного
диска. Когда Луна во время всего затмения перемещается полностью в полутени Земли, то
наблюдается полное полутеневое затмение (рис. 1.4-2). Полные полутеневые затмения
происходят редко, и когда они случаются, то часть Луны, которая находится ближе всего к
центральному конусу тени Земли, может выглядеть несколько темнее, чем остальная часть
лунного диска. Если вся Луна проходит через центральный конус тени Земли, то
наблюдается полное лунное затмение (рис. 1.4-3). Тип и продолжительность лунного
затмения зависят от положения Луны относительно ее орбитальных узлов во время затмения.
Рис. 1.4 Лунные затмения: частичное (1), полное полутеневое затмение (2) и полное
затмение (3; «кровавая Луна»).
Скорость Луны пересекающей тень Земли составляет около одного километра в секунду,
и полное затмение может продолжаться более 100 минут. Однако, общее время между
первым и последним контактами Луны с земной полутенью гораздо больше, и лунное
затмение в различых фазах может наблюдаться до 4 часов. В отличие от солнечного
затмения, которое можно наблюдать только с относительно небольшой площади земной
поверхности, лунное затмение можно видеть в любом месте на ночной стороне Земли.
Лунное затмение длится в течение нескольких часов, в то время как полное солнечное
затмение продолжается всего несколько минут из-за гораздо меньшего размера лунной тени.
Полные затмения Луны, происходящие вблизи апогея орбиты Луны, где ее орбитальная
скорость наименьшая, имеют наибольшую продолжительность.
Внутренний конус земной тени (umbra) является областью, где Земля загораживает Луну
от всех прямых солнечных лучей. Внешняя полутень (penumbra) является областью, где
Земля экранирует только часть солнечных лучей. Хотя во время полного лунного затмения
Луна полностью экранирована Землей от прямого освещения солнцем, Луна все же не
перестает быть видимой, поскольку часть солнечного света проникает в тень Земли из-за
преломления и рассеяния солнечного света в атмосфере Земли. Количество рассеянного и
преломленного солнечного света, проникающего в земную тень, зависит от количества пыли
и облаков в атмосфере Земли, что заметно влияет на цвет лунного диска во время затмения.
Во время затмения диск Луны может живописно менять свой цвет, преображаясь от
пепельного через темно-серый в оранжевый, а затем в медно-красный или даже темнокоричневый. Для того чтобы описывать освещенность и цвет Луны во время затмения,
французский астроном Андре-Луи Данжон (1890–1967) предложен в 1930-х годах особую
3
шкалу, которая иногда используется астрономами: L = 0: очень темное затмение с почти
невидимой Луной; L = 1: темно-серый или коричневатый лунный диск; L = 2: лунный диск
красный или цвета ржавчины; L = 3: кирпично-красный лунный диск с ярким ореолом; L = 4:
очень яркий медно-красный или оранжевый лунный диск с ярким ореолом и голубоватым
рефлексом в полутени.
«Селенелион» или «горизонтальное затмение» происходит, когда и Солнце и затмение
Луны видимы одновременно, что случается либо перед закатом или сразу после восхода
солнца и оба небесных тела видны над горизонтом почти в противоположных точках неба.
На земле есть много высоких горных хребтов, с которых можно регулярно наблюдать
Селенелион на восходе или на закате солнца. Хотя Луна во время затмения и находится в
тени Земли, и Солнца в это время не должно быть видно, но из-за преломления солнечного
света в атмосфере оба небесных тела видны над горизонтом и их кажущееся положение не
соответствует их действительному геометрическому расположению.
Красные и оранжевые оттенки лунного диска во время затмения объясняются тем, что
солнечный свет, проникающий в тень Земли, также как и на закатах и восходах солнца,
проходит значительный путь в земной атмосфере. При этом в атмосфере поглощается и
рассеивается водяным паром и пылью преимущественно коротковолновое излучение.
Поскольку земная атмосфера наиболее прозрачна для лучей красно-оранжевой части
спектра, то именно эти лучи в большей мере достигают поверхности Луны при затмении, что
и объясняет частые оранжевые и красные оттенки лунного диска во время затмения. Луну
интенсивного темно-красного цвета во время затмения со времен средневековья часто
называют «кровавой Луной».
Сезон затмений это часть года, когда Солнце находится достаточно близко к одному из
лунных узлов для того чтобы произошло затмение. Во время Сезона затмений при
полнолунии может происходить лунное затмение, а в новолуние может наблюдаться
солнечное затмение. Сезоны затмений длятся от 31 до 37 дней, чередуясь с интервалом
примерно 6 месяцев (173,31 дней – половина «Года затмений»). Во время Сезона затмений
происходят, по крайней мере, два затмения – одно солнечное и одно лунное (в любом
порядке), но не более трех затмений – солнечное, лунное и опять солнечное (или наоборот).
Поскольку между новолунием и полнолунием около 15 дней, то если затмение произошло в
самом начале Сезона затмений, то остается достаточно времени еще для двух затмений. Если
последнее затмение Сезона затмений происходит в самом начале календарного года, то
появляется возможность наблюдать в этом году семь затмений, поскольку до конца
календарного года достатчно времени для двух полных Сезонов затмений, в каждом из
которых может произойти до трех затмений.
Иногда 4 полных лунных затмения происходят в одной последовательности с интервалом
в 6 лунных месяцев (среднее время для одного цикла лунных фаз, т.е. синодический период
Луны – период от одного новолуния до другого). Такую необычную серию полных лунных
затмений астрономы называют «Тетрадой». Итальянский историк науки и астроном
Джованни Скиапарелли (1835–1910) заметил, что есть эпохи, когда Тетрады наблюдаются
сравнительно часто, а есть эпохи сравнительно редкого появления Тетрад. Впоследствие
голландский астроном Энтони Паннекук (1873–1960) объяснил формирвание Тетрад, и
оценил период появления Тетрады в 591 лет. Недавно Тудор Хьюз объяснил вековые
изменения периода появления Тетрад медленными вариациями эксцентриситета орбиты
Земли и оценил текущий период появления Тетрад в 565 лет. Для того чтобы описать
регулярное появление лунных Тетрад бельгийский астроном Жан Меус предложил
использовать особый астрономический период – «Тетрадий», который состоит из 6984
синодических месяцев и 595 лет затмений (подробности см. в [10]).
4
Рис. 1.5. Корреляция Тетрады 2014/2015 с Тетрадой, которая сопровождала драматические
Евангельские события в 32-33 годы [1].
Тетрады с интенсивной красной окраской Луны во время затмений со времен
средневековья называют «кровавыми Тетрадами». Время от времени дни затмений кровавых
Тетрад совпадают с праздничными датами некоторых древних календарей, которые также
основаны на исчислении циклов лунных фаз. Одним из таких совпадений является
корреляция Тетрады 2014/2015 (по григорианскому календарю) с Тетрадой, которая
сопровождала драматические Евангельские события накануне распятия Иисуса Христа в 3233 годы нашей эры (рис. 1.5 и [1]).
Первая «кровавая Луна» 2014 года это полное лунное затмение 15 апреля, которое можно
было наблюдать на территориях большей части Северной Америки, Латинской Америки и
Карибского бассейна, совпадает с первым днем еврейской Пасхи (Пейсах) 2014 года. Вторая
«кровавая Луна» 8 октября совпадает с первым днем праздника Кущей (Суккот) 2014 года,
третье затмение Тетрады 4 апреля 2015 года совпадает с первым днем еврейской Пасхи 2015
года и четвертое затмение Тетрады 28 сентября 2015 года совпадает с первым днем
праздника Кущей 2015 года. Между этими лунными затмениями происходит затмение
Солнца 20 марта 2015 года в первый день Ветхозаветного года и в первый день «царского»
месяца Нисан в еврейском лунно-солнечном календаре – месяца, в котором израильтяне
были освобождены из рабства в древнем Египте. Астрономы определили, что на протяжении
последних двух тысяч лет затмения Тетрад совпадали с первыми днями еврейской Пасхи и
праздника Кущей семь раз и затмения Тетрады 2014/2015 являются восьмым совпадением.
Королевский астроном Англии Эдмунд Галлей (1656–1742), сменивший на этом посту
астронома Джона Фламстеда, по праву считается одним из основателей современной
астрономии затмений. Галлей внес значительный вклад не только в астрономические
наблюдения планет, Луны и комет, но также сыграл важную роль в открытии закона
всемирного тяготения. Предприняв несколько самостоятельных попыток обосновать и
5
вывести законы Кеплера для движения планет, он в августе 1684 года, в ходе научной
дискуссии в Кембридже убедил Исаака Ньютона не мешкая опубликовать свои расчеты
движения комет и планет на основе закона обратных квадратов для гравитации. Первый из
трех томов исторического произведения Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica [4] был отправлен автором Галлею весной 1686 года. В июле 1687 года Эдмунд
Галлей сам оплатил издание первых 300 экземпляров этого тома, возвестившего начало
эпохи классической механики.
Рис. 1.6. Королевский астроном Англии Эдмунд Галлей.
Эдмунд Галлей разработал первые историко-аналитические методы астрономии и начал
использовать их в расчетах движения комет и Луны, начав с анализа орбиты кометы Кирша.
В 1705 году Галлей опубликовал Synopsis Astronomia Cometicae, в котором на основе своего
историко-астрономического анализа предположил, что кометы, наблюдавшиеся в 1456, 1531,
1607, и 1682 годах, это в действительности одна и та же комета, которая должна вернуться в
1758 году. Галлей не дожил до предсказанного им возвращения кометы, но когда это
произошло, комету стали называть «кометой Галлея».
В 1706 году Галлей, овладевший к тому времени арабским языком, завершил перевод на
латинский язык V-VII томов трактата Conics Аполлония Пергского (262–190 до н. э.), перев
од которых начал Эдвард Бернард, использовав арабские манускрипты, найденные в Лейдене
и в Бодлеанской библиотеке в Оксфорде. Он также сделал собственный перевод на латынь
первых четырех книг греческого текста трактата, перевод которых был начат Дэвидом
Грегори. Все эти переводы Галлей опубликовал в первом полном издании в 1710 году,
добавив собственную реконструкцию VIII тома трактата Аполлония Пергского. В 1718 году
Эдмунд Галлей открыл перемещение «неподвижных» звезд на небесной сфере, сравнивая
свои астрометрические данные с оценками координат нескольких ярких звезд,
приведенными в «Альмагесте» Птолемея.
Основой феноменологии солнечных затмений является цикл Сарос, известный еще
астрономам древнего Вавилона. Этот цикл был назван «Сарос» (греч. σάρος) в 1691 году
Эдмондом Галлеем, который нашел это слово в «Суде» – Византийском лексиконе 11 века. И
хотя слово «Сарос» происходит от “sar” – шумерского названия числа 3600 и не означает
«цикл» или «период», как думал Галлей, тем не менее, оно по-прежнему неизменно
используется в современной астрономии.
6
Лунные и солнечные затмения происходят, когда Земля и Луна находятся на одной линии
с Солнцем, и тень одного небесного тела падает на другое. В полнолуние, когда Луна
находится в оппозиции к Солнцу, Луна может войти в тень Земли и тогда лунное затмение
наблюдается на всей ночной половине Земли. В новолуние, когда Луна находится в
конъюнкции с Солнцем, Луна может пройти перед Солнцем, заслонив его, и тогда в узкой
области на поверхности Земли наблюдается солнечное затмение. Однако солнечные
затмения не происходят в каждое новолуние, так как плоскость лунной орбиты наклонена по
отношению к плоскости эклиптики Земли. Лунное затмение может произойти только тогда,
когда Луна находится близко к плоскости эклиптики Земли вблизи одного из двух узлов
лунной орбиты, а солнечное затмение наблюдается только тогда, когда Солнце находится
вблизи противоположного узла лунной орбиты (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Затмения в планетарной системе Солнце-Земля-Луна.
Наклон орбиты Луны (около 5,15°) по отношению к плоскости орбиты Земли
(«эклиптическая широта» Луны) намного больше, чем средний видимый диаметр Солнца
(около 0,53°) и гораздо больше, чем видимый с Земли диаметр Луны (около 0,525°).
Эклиптическая широта Луны также намного превосходит диаметр тени Земли на среднем
расстоянии от Земли до Луны (около 1,4°). Таким образом, в большинстве новолуний Земля
проходит слишком далеко к северу или к югу от лунной тени для того чтобы наблюдалось
солнечное затмение. Кроме того, в большинстве солнечных затмений видимый угловой
диаметр Луны недостаточен для того, чтобы полностью скрыть солнечный диск, за
исключением затмений, в которых Луна находится недалеко от перигея своей орбиты.
Если солнечное затмение происходит в новолуние в день, когда Луна находится вблизи
узла своей орбиты, то в следующее полнолуние Луна уже более чем на сутки опаздывает к
противоположному узлу своей орбиты и может не попасть в тень Земли для того чтобы
произошло лунное затмение. К следующему новолунию расстояние между положением
Луны и соответствующим узлом орбиты еще больше увеличится так, что наблюдение
солнечного затмения станет маловероятным. Однако, по прошествии 5-6 лунных месяцев
(половина «Года затмений») новолуние вновь будет происходить близко к лунному узлу, а
Солнце на небосклоне также окажется вблизи этого узла, так что геометрия планетарной
системы Солнце-Земля-Луна вновь будет благоприятной для одного или нескольких
затмений.
Интервал времени между двумя последовательными прохождениями Луны через один и
тот же узел своей орбиты – «драконический месяц» (примерно 27,21 дней) меньше, чем
время между двумя последовательными одинаковыми фазами Луны – «синодический месяц»
7
(примерно 29,53 дней). Это следствие того что за драконический месяц система Земля-Луна
проходит около 1/13 ее орбиты вокруг Солнца и Луне необходимо еще более двух суток для
того чтобы вновь оказаться в оппозиции или конъюнкции к Солнцу.
Орбитальные узлы Луны прецессируют на запад в долготе эклиптики, завершая полный
оборот примерно за 18,5 лет, так что драконический месяц короче «сидерического»
(звездного) месяца (примерно 27,32 дней) – промежутка времени между двумя
последовательными возвращениями Луны в одно и то же место относительно неподвижных
звёзд на небесной сфере. При движении Солнца по небосклону оно проходит оба узла
лунной орбиты за «Год затмений» (драконический год, примерно 346,62 дней), который из-за
прецессии лунных узлов короче, чем тропический (звездный) год – промежуток времени
между двумя последовательными прохождениями Солнца через момент весеннего
равноденствия (примерно 365,24 средних солнечных суток).
Все затмения, разделенные одним Саросом из 223 синодических месяцев (18 лет 11 дней и
8 часов), имеют очень похожие характеристики – они происходят при Луне в том же самом
узле своей орбиты, находящейся на том же самом расстоянии от Земли, и в то же самое
время года. Однако, несмотря на то что геометрия системы Солнце-Земля-Луна почти
повторится по прошествии Сароса, Луна все же будет находиться в другом положении по
отношению к неподвижным звёздам из-за прецессии орбиты Луны. Поскольку
продолжительность Сароса не равна целому числу суток, дополнительные 8 часов сдвигают
траекторию каждого последующего затмения на поверхности Земли почти на 120 градусов
на запад. Затмение из серии Сароса возвращается в тот же самый географический район
Земли каждые три Сароса (цикл «Экзелигмос» – 54 года и 34 дня).
Чередование солнечных и лунных затмений определяется циклом «Сар» – половиной
Сароса. После некоторого солнечного или лунного затмения, по прошествии 9 лет и 5,5 дней
(цикл Сар) произойдет лунное затмение вместо солнечного, или наоборот. Например, по
прошествии 9 лет и 5,5 дней после полного солнечного затмения произойдет полное лунное
затмение.
Таблица 1.1. Основные периоды и циклы, которые используются в астрономии затмений
синодический месяц
драконический месяц
сидерический месяц
аномалистический месяц
Год затмений
лунный год
тропический год
Сар
Сарос
Метонов цикл
Инекс
Экзелигмос
Каллипов цикл
Цикл Гиппарха
Большой Вавилонский цикл
Тетрадий
солнечные сутки
29,53
27,21
27,32
27,55
346,62
354,37
365,24
3292,66
6585,32
6939,69
10571,95
19755,96
27758,75
126007
161177,95
206241,63
синодический месяц
1
0,92
0,925
0,93
11,74
12
12,37
111,5
223
235
358
669
940
4267
5458
6984
год затмений
тропический год
1
1,02
1,05
9,5
19
20
30,50
57
80
363,53
465
595
0,95
0,97
1
9,015
18,03
19
28,945
54,09
76
345
441,29
564,67
В астрономии затмений и календарных расчетах помимо циклов Сар, Сарос и Экзелигмос
применяется и несколько других циклов с историческими именами. Все эти циклы
определяются почти точно целыми числами синодических месяцев. Метонов цикл был,
вероятно, впервые изучен греческим астрономом Метоном Афинским в 5 веке до н.э. и
замечателен тем, что имея продолжительность очень близкую к 19 годам, он определяется и
почти целыми числами драконических лет и синодические месяцев. Каллипов цикл,
8
изучавшийся греческим астрономом Каллипом (ок. 370–ок. 300 до н.э.) очень близок к 76
годам и определяется почти целым числом синодических месяцев. Греческий астроном
Гиппарх из Никеи (ок. 190–ок. 120 до н.э.), сравнивая свои наблюдения затмений с
Вавилонскими астрономическими хрониками, использовал цикл затмений, который
впоследствии стали часто называть его именем. Этот цикл продолжительностью 345 лет
почти точно определяется целым числом средних солнечных суток и целыми числами
синодических и аномалистических месяцев .
Орбита Луны не является идеальной окружностью, а близка к эллипсу с эксцентриситетом
примерно 0,055 и поэтому расстояние от Земли до Луны меняется в течение лунного цикла.
Изменение расстояния от Луны до Земли изменяет видимый диаметр Луны и,
соответственно, влияет на вероятность, продолжительность и тип затмения. Ориентация
орбиты Луны не является постоянной и, в частности, положение линии апсид, соединяющей
перигей и апогей лунной орбиты, описывает полную окружность (лунная прецессия)
примерно за 3233 дней (8,85 лет). Необходим «аномалистический месяц» (примерно 27,55
дней ) для того, чтобы Луна вернулась к тому же самому перигею или апогею своей орбиты.
Луна движется быстрее, когда она ближе к Земле (363,3 тысячи километров вблизи перигея)
и медленнее, когда он находится вблизи апогея на большем расстояниии от Земли (405,5
тысяч километров) таким образом, периодически меняя сроки наступления сизигий в
пределах ± 14 часов (по отношению к их средним моментам). Меняется также в диапазоне
примерно ± 6 % и видимый угловой диаметр Луны. Характеристики затмений похожи только
в циклах близких к целому числу аномалистических месяцев.
Во время солнечного затмения тень Луны движется приблизительно с запада на восток по
поверхности Земли со скоростью – орбитальная скорость Луны минус скорость вращения
Земли. Ширина траектории области затмения зависит от соотношения видимых диаметров
Солнца и Луны. Когда полное затмение происходит в непосредственной близости от перигея
лунной орбиты, ширина полосы затмения может быть более 250 км, а продолжительность
затмения для земного наблюдателя может превышать 7 минут.
Хотя полная длина полосы затмения обычно составляет несколько тысяч километров и
затмение наблюдается в течение нескольких часов, всегда можно рассчитать координаты и
время «Наибольшего затмения», которые соответствуют географическому положению
лунной тени и моменту, когда ось конуса тени Луны проходит ближе всего к центру Земли.
Координаты Наибольшего затмения могут несколько отличается от координат момента
Наибольшей фазы (магнитуды) затмения и Наибольшей продолжительности затмения, но эти
различия невелики. Координаты и время Наибольшего затмения являются индивидуальными
параметрами каждого затмения, и они используются для идентификации затмений в базах
данных и астрономических каталогах.
Для момента Наибольшего затмения определяются основные характеристики затмения –
Наибольшая фаза (магнитуда) затмения и Гамма затмения. Магнитуда затмения это доля
диаметра Солнца, перекрытая Луной. Это именно отношение диаметров и Магнитуду не
следует путать со степенью затемнения Солнца, которая является мерой площади
поверхности Солнца перекрытой Луной. Величина Наибольшей фазы (магнитуды) затмения
может быть представлена либо в процентах, либо в форме десятичной дроби (например, 80%
или 0,80). Гамма солнечного затмения, – это расстояние от оси конической тени Луны до
центра Земли в единицах экваториального радиуса Земли, и в момент Наибольшего затмения
значение Гаммы минимально. Гамма лунного затмения определяется как минимальное
расстояние (в момент Наибольшего затмения) от Луны до оси земной тени в единицах
экваториального радиуса Земли.
9
Рис. 1.8. Полоса солнечного затмения 29 марта 2006 года [Fred Espenak and Jay Anderson,
NASA/TP-2004-212762 “Total Solar Eclipse of 2006 March 29”].
В качестве примера можно рассмотреть географию солнечного затмения 29 марта 2006
года, которое принадлежит к серии затмений Сароса 139 (рис. 1.8). Полоса видимости
полного затмения появилась в Восточной Бразилии («Первый контакт»), а затем она
пересекла Атлантический океан и Африку, где тень Луны проследовала по северной части
континента. Полоса затмения пересекла Средиземное море и Турцию, после чего полоса
видимости полного затмения, пройдя часть Центральной Азии, прервалась в Монголии
(«Четвертый контакт»). Различные частичные фазы этого солнечного затмения наблюдались
по всей Европе, и только в юго-восточных районах Африки затмение не могло наблюдаться.
На большей части полосы видимости продолжительность полного затмения была менее 2
минут, но при Наибольшем затмении в Ливии в 9:18 UTC (Всемирное координированное
время) его продолжительность превысила 4 минуты. В этот момент ширина полосы
наблюдения полного затмения была около 180 километров.
Известная нам история создания географических карт затмений начинается в 17 столетии,
когда накануне солнечного затмения в северной Европе 12 августа 1654 года немецкий
астроном Эрхард Вайгель опубликовал первую карту области видимости этого затмения. В
1676 году Иоганн Штурм издал атлас карт, который включал карты видимости двух
затмений, наблюдавшихся в Европе в том году. В 1700 году в Парижской обсерватории
астроном Джованни-Доминик Кассини создал карту видимости полного солнечного
затмения 1699 года.
В 1715 году Эдмунд Галлей, используя закон всемирного тяготения, рассчитал с высокой
точностью области видимости для нескольких опубликованных в Англии карт затмений.
Позже, после анализа астрономических наблюдений солнечного затмения 1715 года он издал
уточненные карты видимости этого затмения вместе с картой видимости предстоящего
затмения 1724 года.
С начала 20-го столетия карты видимости затмений стали часто публиковаться в
большинстве крупных астрономических альманахов мира, а Военно-морская обсерватория
США приступила к регулярной публикации карт видимости затмений (USNO Eclipse
Circulars) в 1949 году.
10
Рис. 1.9. Карта зон видимости солнечного затмения, изданная Эдмундом Галлеем (1715).
Справа: современная карта солнечного затмения 21 августа 2017 года (Сарос 145) с
продолжительностью полного затмения до 2,7 минут. Светло-голубые линии, параллельные
темно-синей траектории зоны полного затмения, показывают фазы частичных затмений
[http://eclipse.gsfc.nasa.gov/].
К началу 1970-х годов относятся первые успехи международной программы лазерной
локации Луны (Lunar Laser Ranging Experiment). Мобильный комплекс научных приборов
«Луноход-1» (1970) был первым из серии дистанционно управляемых самоходных аппаратов
доставленных на Луну Советским Союзом. Луноходы имели небольшие уголковые
отражатели для лазерной локации Луны, и первые успешные эксперименты в 1971-1972
годах были проведены с отражателями «Лунохода-1». Однако впоследствии аппарат покинул
зону видимости, и до 2010 года отражатель Лунохода-1 не удавалось эффективно
использовать из-за отсутствия точных данных о положении отражателей на поверхности
Луны.
Рис. 1.10. Уголковый отражатель, установленный миссией Аполлон-11 на поверхности
Луны.
Астронавты миссий Аполлон 11 и 15 установили на Луне более совершенные уголковые
отражатели из 100 (Аполлона 11) и 300 (Аполлон 15) призм, способные достаточно
эффективно перенаправлять часть света мощного лазера строго в обратном направлении. Это
11
позволяет обсерваториям в разных странах проводить регулярную лазерную локацию Луны,
определяя с высокой точностью расстояние между земными телескопами и отражателями на
Луне. Аализ серий измерений расстояния до Луны в разное время дал возможность
определить основные характеристики движения Луны в орбите и в том числе оценить
среднюю скорость удаления Луны от Земли – примерно 3,8 см в год.
С конца 1970-х годов, лазерная локация Луны и применение современных компьютерных
технологий позволяют проводить точные расчеты характеристик затмений и создавать
совершенные карты видимости затмений. В частности, публикацию подробных расчетов
характеристик затмений и карт видимости затмений осуществляет коллектив астрономов под
руководством Фреда Эспенака (NASA; Goddard Space Flight Center) и Джея Андерсона из
Королевского астрономического общества Канады (http://eclipse.gsfc.nasa.gov/).
Современные теории орбитального движения Земли и Луны, использующие оценку
векового ускорения Луны (NASA; 25,858 дуг.с/век2), рассчитанную на основе анализа
результатов лазерной локации Луны, позволяют определять характеристики солнечных
затмений для периодов в несколько тысячелетий. В наших исследованиях и этой книге мы
пользуемся «Каноном солнечных затмений для пяти тысячелетий: от –1999 до + 3000 (от
2000 г. до н.э. до 3000 н.э.)» [8], который в дальнейшем будет упоминаться как «Канон».
Примеры характеристик затмений из Канона представлены в таблицах 1.2 и 1.3.
Таблица 1.2. Основные характеристики солнечных затмений 2013–2015 гг.
Дата
затмения
10.05.2013
3.11.2013
29.04.2014
23.10.2014
20.03.2015
13.09.2015
Время
Наиб.
затм.
(UTC)
00:26:20
12:47:36
06:04:33
21:45:39
09:46:47
06:55:19
Саро
с
Тип
затм.
Гамма
затм.
Магнитуда
Наиб.
продолж.
затм.
Координаты
Наиб. затм.
138
143
148
153
120
125
Кольц.
Гибр.
Кольц.
Част.
Полн.
Част.
-0,2694
0,3272
-1,0000
1,0908
0,9454
-1,1004
0,954
1,016
0,987
0,811
1,045
0,788
6 м. 3 с.
1 м. 40 с.
—
—
2 м. 47 с.
—
2.2N;175.5E
3.5N;11.7W
70.6S;131.3E
71.2N;97.2W
64.4N;6.6W
72.1S;2.3W
Ширина
зоны
Наиб.
затм. (км)
173
58
—
—
463
—
Таблица 1.3. Основные характеристики лунных затмений (Тетрада 2014/15) [9].
Дата
затмения
15.04.2014
8.10.2014
4.04.2015
28.09.2015
Время Наиб. затм.
(UTC)
07:46:48
10:55:44
12:01:24
02:48:17
Сарос
122
127
132
137
Тип
затм.
Полн.
Полн.
Полн.
Полн.
Магнитуда
Част./Полн. продолжит.
1,291
1,166
1,001
1,276
03ч.35м./01ч.18 м.
03 ч.20 м./00 ч.59 м.
03 ч.29 м./00 ч.05 м.
03 ч.20 м./01 ч.12 м.
Голландский астроном Георг ван ден Берг (1890–1961) в своей книге Periodicity and
Variation of Solar (and Lunar) Eclipses использовал систему нумерации циклов затмений,
которая с тех пор часто используется в астрономии. Все 8000 солнечных затмений из
каталога Теодора фон Оппольцера (1887) ван ден Берг представил в форме матрицы («СИпанорамы»), где затмения каждого цикла Сарос («серия Сароса») расположены в отдельной
колонке в хронологическом порядке (см., например, http://eclipse.gsfc.nasa.gov/). Колонки с
сериями Сароса расположены так, что интервал времени между двумя затмениями в
соседних столбцах определяется циклом «Инекс» – 358 синодических месяцев (29 лет минус
20 дней). Положение каждого затмения в такой СИ-панораме определяется двумя числами –
номерами соответствующих циклов Инекс и Сарос (рис. 1.11-1). При этом цикл Инекс
определяет интервал времени между последовательно пронумерованными сериями Сароса.
В каждой вертикальной колонке СИ-панорамы представлена полная серия Сароса, в
которой фазы затмений меняются от частичных к полным и вновь к частичным. Каждая
12
серия Инекса представлена как горизонтальная графа, но эта графа постепенно изгибается
из-за вековых изменений параметров орбитального движения Земли и Луны. Этот изгиб СИпанорамы можно увидеть на панораме для 61775 солнечных затмений, которая была
рассчитана астрономами Лукой Гаглиа и Джоном Тилли (рис. 1.11-2).
Рис. 1.11. 1. Фрагмент СИ-панорамы. 2. СИ-панорама для 61775 солнечных затмений. 3.
Несколько центральных солнечных затмений из серии Сароса 145, начавшейся с частичного
затмения в районе Северного полюса в 1639 году и которая закончится частичным затмением
в районе Южного полюса в 3009 году (http://eclipse.gsfc.nasa.gov/).
Нумерация циклов Сарос не зависит от того, когда серия Сароса начинается или
заканчивается, и нумерация циклов имеет тенденцию следовать за порядком, в котором
затмения серий достигают своих максимальных магнитуд – «пиковых» фаз, когда ось лунной
тени проходит ближе всего к центру Земли. Поскольку продолжительность каждой серии
Сароса изменяется в пределах нескольких сотен лет, то первое затмение из серии, которая
достигает пиковых значений фаз позже, может предшествовать первому затмению серии,
которая достигает пиковых значений фаз раньше. Одновременно развивается около сорока
различных серий Сароса и по мере того как старые серии завершаются их место занимают
новые серии. Лунные затмения, происходящие вблизи восходящего узла лунной орбиты,
имеют четные номера серий Сароса и, соответственно, лунные затмения, происходящие
вблизи нисходящего узла лунной орбиты, имеют нечетные номера.
1.1 Метафизика солнечных затмений
Полное затмение центральной звезды в системе планета-спутник это очень редкое явление
в планетарной механике, и в системе Солнце-Земля-Луна возможность полного затмения
определяется её особой геометрией, которая обеспечивает близкое соответствие видимых
угловых размеров Луны и Солнца. Современные астрономы объясняют возможность
полного солнечного затмения тем, что отношение диаметра Солнца к диаметру Луны:
A1 dS d M 400,5 почти совпадает с отношением средней полуоси орбиты Земли к средней
13
полуоси лунной орбиты: A2 aE aM 389,3 (рис. 1.12). Разница между этими отношениями
менее 3 %.
tg
dM aM
dS aE
0.53 (1.1)
Однако в метафизике и астрологии Востока возможность полных солнечных затмений
объясняется иначе – утверждением о том, что солнечное затмение, также как и всю
геометрию Вселенной определяет единственное священное число 108. И действительно,
отношение средней полуоси лунной орбиты к диаметру Луны: M1 aM d M 110,6 почти
совпадает с отношением диаметра Солнца к диаметру Земли: M 2 dS d E 109,1 . Разница
между этими отношениями, даже меньше, чем разница между отношениями A1 и A2 в (1.1) –
всего лишь 1,4%, и отношения M 1 , M 2 в пределах точности древних астрономических
наблюдений вполне могли оцениваться священным числом 108:
aM dM
dS dE
108 (1.2)
Рисунок 1.12 наглядно показывает, что близкие значения отношений A1 A2
обеспечивают приблизительное подобие трапеций, определяющих видимые угловые
размеры Луны и Солнца, что и делает возможным полное солнечное затмение. Однако
трудно объяснить, какое отношение к геометрии полных солнечных затмений может иметь
диаметр Земли d E , который входит в соотношение M2 и, сооветственно, в (1.2).
Рис. 1.12. Геометрия солнечного затмения.
На Востоке, число 108 считается священным и занимает особое место в ритуальной
нумерологии индуизма, джайнизма и буддизма. Алфавит санскрита – языка священных
гимнов Ригведы состоит из 54 букв, причем каждая буква может иметь либо мужское, либо
женское (Шива и Шакти) символическое значение. Таким образом, буквы алфавита
санскрита имеют 54 × 2 = 108 символических значений. Упанишады – философские тексты,
которые являются неотъемлемой частью священного корпуса Вед, состоят из 108 разделов и
делятся на четыре категории в зависимости от того к которой из Вед они принадлежат.
Рассуждая о священных гимнах Ригведы, индийские брахманы утверждают, что каждый
гимн или раздел Вед допускает 108 различных толкований и это число совпадает со 108
возможными звучаниями священной мантры «А-У-М».
Некоторые традиции индуизма утверждают, что всего существует 108 божеств и каждое
божество имеет 108 имен. Поэтому каждый человек может выбрать один из 108 возможных
путей к Богу. Великолепный барельеф в знаменитом храме Ангкор Ват в Камбодже
иллюстрирует индуистский миф о пахтании богами Молочного океана для того чтобы
получить Амриту – эликсир бессмертия. Более тысячи лет 108 богов и асуров (демонов)
14
гоняли в Молочном океане циклопического змея, и поэтому перед воротами храма стоит 108
грандиозных статуй 54 богов и 54 демонов.
Многие традиции Индуизма используют священную Шри Янтру, образованную девятью
взаимосвязанными треугольниками, которые постепенно сходятся к общему центру (бинду),
– месту соединения наблюдаемой «физической» Вселенной и ее невидимого
метафизического образа (рис. 1.13). Четыре треугольника с вершинами вверх представляют
воплощения могущественного бога Шивы и космический мужской принцип. Пять
треугольников с вершинами вниз, это символы творческой энергии Шакти и женского
космического принципа. Структура Шри Янтры отражает единство проявлений мужского и
женского начал во Вселенной и в пантеоне Индуизма. Девять пересекающихся друг с другом
треугольников различных размеров создают в Шри Янтре структуру из 54 марм – точек
пересечения линий, обладающих одновременно и мужскими и женскими качествами.
Поэтому считается, что Шри Янтра воспроизводит структуру из 54 × 2 = 108 особых точек
Вселенной. Согласно Аюрведе, эти же 108 точек соответствуют точкам в организме
человека, где «астральное тело» и сознание соприкасаются с плотью, обеспечивая
жизнедеятельность живого существа. Считается, что Шри Янтра также символически
представляет «Сердечную Чакру», где пересекается 108 «энергетических каналов»
организма.
Рис. 1.13. Шри Янтра с 54 пересечениями треугольников (мармами).
В буддистской «Ланкаватара Сутре» есть раздел, где Бодхисаттва Махамати задает Будде
108 вопросов, а в другом разделе этой Сутры Будда формулирует 108 философских
утверждений. Санскритское слово «утверждение» – pada можно перевести и как «шаг», и
поэтому многие буддийские храмы имеют лестницы со 108 ступенями. В Тибете, Китае и
Японии, в конце года, во многих буддийских храмах колокола звонят 108 раз, отмечая конец
старого года и приветствуя наступающий новый год. Каждый удар колокола символизирует
один из 108 земных соблазнов, которые буддист должен преодолеть для достижения
нирваны.
В Индуизме и Буддизме ритуальные четки (мала) имеют 108 бусин и отдельную
дополнительную большую бусину (Меру), которая считается «руководящей», отмечая начало
и конец мала. Китайские буддисты и даосисты пользуются особыми четками со 108
шариками (Су-чу), которые имеют не одну, а три «руководящие» бусины, разделяющие
четки на три части. Тибетские буддийские четки имеют одну «руководящую» бусину (Гуру)
и 108 бусин, символизирующих самые важные заветы Будды, собранные в священном
«Кангьюре», который, в свою очередь, делится на 108 томов.
Изучающие йогу во время медитации останавливаются на 109-ом шарике Меру,
переворачивают малу и продолжают повторять мантры, перебирая четки в обратном
15
направлении. Шарик Меру символизирует летние и зимние солнцестояния, когда Солнце как
будто останавливается, а затем меняет характер изменения продолжительности дня. В
учениях йоги применение четок со 108 шариками при медитации считается ритуалом,
обеспечивающим слияние подсознания йога с главными космическими циклами,
управляющими Вселенной. Если йогину удается достигнуть такого отрешения в медитации,
что он делает только 108 вдохов и выдохов в день, то он близок к Просветлению.
В современной теории чисел, число 108 рассматривается как «избыточное» число, которое
меньше суммы его отличных от 108 положительных собственных делителей {1, 2, 3, 4, 6, 9,
12, 18, 27, 36, 54, 108}, и которое разделяет одну из пар простых чисел: 107, 108, 109. Это
«тау-число» (refactorable number) поскольку оно делится без остатка на общее количество
своих делителей: 108 : 12 = 9.
Цифровое представление числа 108 зависит от используемой системы счисления:
108(10) 423(5) 154(8) 90(12) 30(36) . В десятичной системе счисления число 108 является
числом Харшад (числом Нивена), то есть является целым числом, которое без остатка
делится на сумму своих цифр: 108 / (1 +0 +8 = 9) = 12. Число 108 также имеет редкую
особенность сохранять постоянной сумму представляющих его цифр в трех
последовательных делениях на 2: 108 (1 +0 +8 = 9): 2 = 54 (5 +4 = 9): 2 = 27 (2 +7 = 9): 2 =
13,5 (1 + 3 +5 = 9). Однако, теория чисел не может объяснить таинственную роль числа 108 в
особой геометрии системы Солнце-Земля-Луна, которая обеспечивает возможность полных
солнечных затмений, и для того чтобы пролить свет на эту загадку мы должны будем
познакомиться с восточной метафизикой.
Некоторые Шульба Сутры (Shulba Sutra от санскритского sulba – «шнур»), которые
служат приложениями к Ведам, содержат описания геометрических преобразований и
построений, необходимых при строительстве священных алтарей для жертвоприношений.
Эти тексты являются самыми надежными источниками информации об индийской
математике ведийского периода (I тысячелетие до н.э.). Различие форм алтарей определялось
священными ритуалами и ожиданиями особых милостей богов: «Тот, кто желает постигнуть
Небо должен построить алтарь в форме сокола ... тот, кто надеется победить всех своих
врагов должен построить алтарь в форме ромба». Разработка методов расчетов,
необходимых для геометрических построений и преобразований различных форм алтарей со
временем привела к созданию основных разделов ведийской математики. Например,
«Будхаяна Сутра» (ок. 800 до н.э.) описывает способы построения квадратов и
прямоугольников, а также геометрические преобразования, сохраняющие неизменной
площадь фигуры: квадрата в прямоугольник, равнобедренной трапеции в равнобедренный
треугольник, в ромб или в круг, а также преобразование круга в квадрат.
Строительство алтарей сложной геометрической формы потребовало разработки
алгоритма извлечения квадратного корня из 2, использования Пифагоровых триад и
понимания принципов несоизмеримости и иррациональных чисел. Литература эпохи Вед
свидетельствует об использовании индийскими математиками «больших чисел» от 102 (sata)
до 1012 (paradha). Некоторые свойства чисел считались в индуизме ритуально важными, что
и привело к их частому упоминанию в религиозных текстах и гимнах.
Трактаты Джайнских1 математиков второй половины первого тысячелетия до нашей эры
являются своего рода связующим звеном между математикой ведийского периода и
математикой, так называемой Классической эпохи истории Индии. Джайнские математики
исследовали свойства первых степеней чисел – квадратов и кубов, что позволяло им
формулировать простые алгебраические уравнения, а также начали систематически
Джайнизм это религиозная философия, которая возникла, вероятно, на несколько веков раньше жизни
своего самого известного религиозного лидера Махавиры (6 век до н.э.), который был современником или,
возможно, предшественником Гаутамы Будды.
1
16
использовать концепцию нуля. Возможно, именно Джайнские математики впервые
обнаружили выразительные, «магические» представления древних священных чисел 9, 12, и
108 в форме факториалов метафизических Высших Символов 1, 2, 3:
9 32
1
12 13 22 31 108 11 22 33 (1.3)
Так называемый Классический период истории Индии (400–1600) стал золотым веком
индийской математики, когда геометрия и алгебра вошли в состав «Астрального знания»
(Jyotiḥsastra), состоявшего из математики (Ganita), астрологии (Hora) и теории предсказаний
(Samhita). В течение этой эпохи достижения индийских математиков получили признание во
всей Восточной Азии и на Ближнем Востоке, а впоследствии стали известны и в Европе.
Астрономический символизм священного числа 108 стал признаваться на Востоке после
работ выдающегося индийского астронома и математика Арьябхаты (476–550) и его
последователей. Математическая часть главного труда Арьябхаты, который был назван его
поздними комментаторами Aryabhatiya, включала арифметику, алгебру и тригонометрию. В
ней также рассматривались элементы теории непрерывных дробей, квадратные уравнения,
суммы степенных рядов и таблицы синусов с термином kha («пустота»), который отмечал
позицию нуля в табличных представлениях цифр. В первой главе своей книги Арьябхата
описал необычное исчисление на основе цифр, представленных фонемами санскрита, в
котором определенное числовое значение приписывалось каждому слогу в фонологии
санскрита – от ka = 1 до hau = 1018. Вероятно, Арьябхата также впервые дал
астрологическую интерпретацию священного числа 108 – полное количество
положений 9 планет индийской астрологии во всех 12 Знаках зодиака:
108 9 12 (1.4)
Ученики и последователи Арьябхаты часто называли его книгу Arya-shatas-aShTa, что
означает «108 Арьябхаты» по той причине, что эта книга написана в классическом стиле сутр
и состоит из 108 стихов, каждый из которых призван помогать запоминанию всего
содержания книги.
Многочисленные, в отличие от европейской астрологии, нумерологические методы
индийской астрологии основаны на интерпретациях символической формулы (1.5) и ее
графического представления (рис. 1.14).
Рисунок 1.14 показывает традиционную для индийской астрологии двойную систему
координат с 12 Знаками зодиака и 27 лунными Домами, в которую вписан «магический
квадрат» с девятью планетами. Расположение планет в квадратной сетке соответствует
индуистским традициям поклонения Наваграха, с Солнцем (Сурья) в центре и божествами
других планет окружающими Сурья. В центральном магическом квадрате красные цифры –
нумерологические символы планет образуют структуру, в которой результаты сложений
цифр в каждой строке и в каждом столбце, а также в диагоналях, равны отному и тому же
числу – «магической» константе 15. Магические квадраты со структурой 3×3 были
элементами священных ритуалов в Индии уже в эпоху Вед и до сих пор используются
различными религиозными традициями, например, популярная в Индии «Ганеша-янтра» и
магический квадрат 10-го века в Джайнском храме Паршванатх в Кхаджурахо.
17
Рис. 1.14. Магический квадрат из 9 планет в центре круга с 12 Знаками зодиака.
Авторитет и значение числа 108 в метафизике Востока еще более возросли, когда было
обнаружено, что это число тесно связано с Золотой пропорцией и определяет геометрию
простейшего полигона, который соответствует самопересекающейся звезде – пентаграмме
метафизики Пифагорейцев. Формула для внутреннего угла правильного n-угольника:
n 180 360 n определяет для пентагона ( n 5 ) магическое число 108 градусов.
Число 108 не является членом классического ряда Фибоначчи, который начинается с двух
предопределенных членов, а каждый последующий член ряда становится суммой двух
предыдущих: [0, 1] 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...
Однако число 108 является членом одного из обобщений ряда Фибоначчи – так
называемого ряда «тетраначчи», который начинается не с двух, а с четырех
предопределенных членов, а затем каждый член ряда становится суммой четырех
предшествующих членов ряда:
[0, 0, 0, 1] 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401…
Константа «тетраначчи» – число, к значению которого стремится отношение двух
соседних членов ряда «тетраначи» это 1,92756 ..., которое заметно отличается от константы
Фибоначчи (Золотой пропорции): 1,61803… Тем не менее, тесную связь числа 108 с
Золотой пропорцией демонстрирует анализ геометрии пентагона.
Как впервые доказал Евклид в своих «Элементах» (ок. 300 до н.э.), правильный
пятиугольник относится к числу фигур, которые могут быть построены с помощью только
линейки и циркуля – либо как фигура, вписанная в круг, либо как построение, начинающееся
после определения величины ребра пентагона. В правильном пятиугольнике все стороны
равны и каждый внутренний угол составляет 108°. Правильный пятиугольник имеет
центральные углы по 72° – число, которое составляет половину числа Фибоначчи 144.
Диагонали правильного пятиугольника d находятся в Золотой пропорции к его сторонам s:
d s 1,61803…(рис. 1.15-2).
Угол, определяющий длину стороны пентагона: 2 5 72 , а угол, определяющий
диагональ пентагона: 2 4 5 144 . Длина стороны петагона: s 2sin( 2) 2sin( 5) , а
длина диагонали: d 2sin( ) 2sin( 5) . Отношение диагонали к стороне для правильного
пентагона: d s sin sin( 2) . Эту формулу можно преобразовать, применив формулу для
18
синуса двойного угла: sin 2sin( 2) cos( 2) . Пребразование дает: d s 2cos( 2) и,
подставив сюда 2 5 , мы получим для пентагона: d s 2cos( 5) 1,61803... .
Рис. 1.15. 1. Золотой треугольник (красные линии) в пропорциях Леонардо да Винчи. 2.
Геометрические параметры правильного пентагона.
Формула 2cos( 5) и обратная ей: 5arccos( 2) определяют точное соотношение
иррациональных чисел и . Применив соотношение 2cos ei ei , мы можем найти
также точное соотношение между тремя иррациональными числами , и e:
2cos( 5) ei 5 ei 5 (1.5)
В метафизике числа и считаются не просто цифрами, а используются как символы
рационального порядка Вселенной, свидетельства существования универсальных и
непреложных законов, определяющих структуру и бытие нашего мира. С давних пор
математики вели поиск лаконичных представлений этих иррациональные чисел с
максимальной точностью, например: 22 7 3,14285714 (Архимед, 3 век до н.э.);
377 120 3,14116667 (Арьябхата, 5 век); 355 113 3,14159292 (Цу Чун-чжи, 5 век).
Следуя этой традиции, мы можем преобразовать сотношение (1.6) в лаконичную
приближенную формулу для чисел , и e, которая обеспечивает правильное значение
первых пяти десятичных цифр:
(e) 7 5 1.40001384… (1.6)
Ответ на вопрос сформулированный в начале этой главы – «Какое отношение имеет
священное число 108 и диаметр Земли к солнечным затмениям?» мы находим в
древнеиндийских Шульба Сутрах (Shulba Sutras), рассказывающих о священной геометрии
индуистских храмов. В этих трактатах можно прочитать: «Возьми шест, определи его
размер, а затем удались на расстояние в 108 его размеров. С этого расстояния твой шест
будет выглядеть точно таким же, как Луна и Солнце».
19
Рис. 1.16. Число 108 в геометрии планетарной системы Солнце-Земля-Луна.
И действительно угловой размер шеста с расстояния в 108 его высот будет:
arctg (1/108) 9.26 103 rad 0.53 , что совпадает со средним угловым размером
Солнца и Луны на небосводе (рис. 1.16). Это значит, что в геометрии планетарной системы
Солнце-Земля-Луна число 108 приближенно определяет даже не два, а три отношения
характеристик (см. табл. 1.4). Анализ соотношений (1.1) и (1.2) показывает, что они оба
являются следствиями формулы (1.7).
Таблица 1.4 Необычные совпадения в геометрии системы Солнце-Земля-Луна (млн. км)
Солнце (S)
a (полуоси орбит)
d (диаметры)
1,392
aE d S
dS aE
dM aM
Земля (E)
149,6
0,0127
Луна (M)
0,384
0,0035
107,5
aM d M
dE dS
1/108
dS dE
109,6
109,7
9, 26 103 rad
0,53 (1.7)
Конечно, оценка видимых угловых размеров Солнца и Луны по (1.7) является только
приближенной, поскольку угловые размеры этих небесных тел меняются из-за
эллиптичности орбит Земли и Луны: S 0,533 0,009 и M 0,525 0,035 . Более того,
соотношение aM d M 109,7 справдливо только для относительно короткой исторической
эпохи, ведь расстояние от Земли до Луны из-за потерь энергии в приливном трении
возрастает примерно на 3,8 см. в год. Это значит, что 1-2 миллиарда лет тому назад Луна
была гораздо ближе к Земле, и ее видимый угловой размер был заметно больше.
В современной планетологии самой популярной является гипотеза о формировании Луны
в результате столкновения двух прото-планет (Big Splash – Большой Всплеск),
предпологающая, что Луна была сформирована из обломков, оставшихся от столкновения
молодой Земли с другим небесным телом. По одному из сценариев Земля столкнулась с
планетой размером с Марс (George Darwin, 1898; Daly, 1946; Hartmann & Davis, 1975).
Другой сценарий предполагает, что Луна и Земля образовались одновременно в результате
столкновении двух планетарных тел, каждое из которых было в пять раз больше Марса
(NASA Lunar Science Institute, Robin M. Canup, 2012). Гипотеза столкнвения прото-планет
объясняет одинаковое направление вращения Земли и движения Луны в орбите; особенности
образцов горных пород Луны, свидетельствующие о том, что некогда поверхность Луны
была полностью расплавлена; относительно небольшое железное ядро Луны; низкую по
сравнению с Землей среднюю плотность Луны, и одинаковые соотношения стабильных
изотопов в лунных и земных породах.
Столкновение прото-планет могло сначала образовать тройную систему – Землю с двумя
спутниками, окруженную общей атмосферой силикатных паров, что должно было привести к
выравниванию геохимических характеристик всех трех планетарных тел за счет
конвективного перемешивания в общей силикатной атмосфере. Меньшая по размерам вторая
Луна могла находиться в точке Лагранжа орбиты большой Луны, и тогда по прошествии
20
десятков миллионов лет, после того как оба спутника несколько удалились от Земли,
приливные силы неизбежно сделали бы орбиту малой Луны неустойчивой. Медленное
столкновение обеих Лун может объяснить утолщенную кору Луны на ее обратной стороне.
Неоднородность распределения масс на Луне после такого столкновения должна была
привести к значительному гравитационному градиенту, в результате которого Луна
оказалась в «приливной блокировке» (tidal locking), так что в наше время только одна
сторона нашего спутника остается видимой с Земли.
Несколько миллиардов лет тому назад скорости вращения Земли и Луны были больше чем
сегодня, и Луна была ближе к Земле. Разработанные математические модели вращения
Земли оценивают продолжительность дня (LOD – Length of Day) в 6-8 часов в эпоху около
четырех миллиардов лет тому назад. Гравитационное взаимодействие между Солнцем,
Землей и Луной, сопровождающееся приливной диссипацией энергии, неуклонно уменьшает
скорость вращения Земли и увеличивает величину полуоси орбиты Луны. В наше время
гравитационное воздействие Луны и Солнца добавляет к продолжительности дня около 1,7
миллисекунды в каждое столетие. Развитие палеонтологии привело к разработке достаточно
точных методов экспериментальной оценки продолжительности дня в далеком прошлом
нашей планеты2.
Оказалось, что специфические структуры периодического роста – линии, полосы и кольца
хорошо сохранились в окаменевших скелетах и останках некоторых вымерших организмов –
строматолитах, ископаемых моллюсках и кораллах. Эти индикаторы процессов роста дают
возможность определить количество дней в году в эпоху жизни этих организмов. Измерения
индикаторов роста в ископаемых кораллах, живших в эпоху от 180 до 400 миллионов лет
тому назад, позволили определить продолжительность года – от 381 до 410 дней (Wells, 1963;
Scrutton, 1970; Eicher, 1976). Исследование самых древних ископаемых кораллов, еще
допускающих надежную радиологическую датировку, показало, что 600 миллионов лет тому
назад день был на 3,3 часа короче современного, а год состоял из 424 дней.
Рис. 1.17. 1. Строматолиты эпохи Протерозоя из Боливии. 2. Нелинейная зависимость LOD
(в часах) от времени (Ma – Megaannus – единица времени, равная одному миллиону лет;
синие кружки отмечают оценки LOD по ископаемым кораллам, а красные кружки отмечают
оценки LOD по строматолитам).
Pannella, G. Paleontological evidence on the Earth’s rotational history since the early Precambrian // Astrophysics
and Space Science (1972) 16; 212-237. Rosenberg, G. D. and S. K. Runcorn (eds.). Growth Rhythms and the History of
the Earth's Rotation. New York, 1975. Schopf, J.W. (ed.). Earth's Earliest Biosphere. Its Origin and Evolution.
Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1983.
2
21
Исследование строматолитов, которые образуют ежегодные индикаторы роста похожие на
годовые кольца древесины, также позволяет определить продолжительностя дня в минувшие
эпохи истории Земли. Слоистые структуры строматолитов формировались на мелководье
различными микроорганизмами, среди которых особую роль играли сине-зеленые
цианобактерии, которые используют воду, углекислый газ и солнечный свет для того, чтобы
увеличивать свою биомассу. Из-за слишком интенсивного ультрафиолетового излучения в
дневное время, бактерии строматолитов были активны преимущественно ночью.
Хорошо различимые в строматолитах слои мелкодисперсных осадков, скрепленные
органическими выделениями бактерий, показывают периодические ночные фазы активного
метаболизма микроорганизмов. Исследование ископаемых строматолитов из Чжоукоудяна
(район Пекина, Китай) показало, что миллиард лет тому назад год состоял из 516 дней, и
каждый день продолжался всего около 17 часов (Pannella et al., 1968; Mohr, 1975; Williams,
1997). Рисунок 1.26 демонстрирует все полученные к настоящему времени
палеонтологические оценки LOD для прошлых эпох истории Земли.
При современной скорости удаления Луны от Земли в 3,8 см в год возрастание полуоси
лунной орбиты приближенно оценивается соотношением: aM 0.384 3.8 105 T (млн. км),
а возрастание видимого углового размера Луны определяется приближенной формулой:
dM aM
0.0035 (0.384 3.8 105 T ) (1.8)
В этой формуле Т в Ma (млн. лет) отрицательно для прошлых эпох истории Земли.
Расчеты по формуле (1.8) показывают, что, например, два миллиарда лет тому назад
видимый размер Луны был заметно больше Солнца ( M 0,65 S 0,53 ), и с поерхности
Земли могли наблюдаться только полные или частичные затмения Солнца. В будущем, через
два миллиарда лет диск Луны станет заметно меньше Солнца ( M 0, 43 S 0,53 ), и
земные обсерватории уже не смогут наблюдать полных затмений Солнца.
Рис. 1.18. Солнце и Луна это древние библейские символы. 1 Хартманн Шедель: Liber
chronicarum. Нюрнберг: Кобергер, 1493. 2 Гравюры в Sphæra Mundi. Иоанн Сакро Боско,
Венеция, 1482.
Священное число Востока 108 не играет заметной роли в религиозной философии
Христианства, но астрологи средневековой Европы нашли другую загадку, которая и в наше
22
время удивляет астрономов. Солнце и Луна это древние Библейские символы, и в средние
века астрономы и астрологи утверждали, что все дни недели отмечены особыми
астрологическими знаками для того, чтобы напомнить людям о священных днях Творения. В
частности, они уверяли, что по средам (средний день Творения) происходит гораздо больше
затмений Солнца, чем по субботам (день отдыха Бога).
Долгое время это утверждение средневековых астрономов считали астрологическим
фольклором. Однако в начале 2000-х годов бельгийский астроном Жан Меус
проанализировал статистику более 3500 рассчитанных солнечных затмений в Берлине,
Мадриде и Москве в период: 1–3000 гг. [11] и нашел выразительные календарные циклы.
Оказалось, что вероятности солнечных затмений для этих трех европейских столиц
разительно отличаются от ожидавшегося постоянного значения: 1 7 0,143 . Вместо этого
статистические расчеты дали:
0,17; 0,1; 0,19; 0,1; 0,18; 0,12; 0,14 (1.9)
для семи дней недели, начиная с понедельника (рис. 1.19.).
Рис. 1.19. Вероятности (P) солнечных затмений в разные дни недели в Берлине, Мадриде и
Москве, которые разительно отличаются от ожидаемой средней вероятности 1/7.
Эта удивительная статистика меняющихся вероятностей показывает, что, по крайней
мере, в Европе наибольшее количество солнечных затмений, действительно происходит в
среду, хотя для понедельника и пятницы вероятности затмений почти так же высоки.
Современная астрономия, предполагающая совершенно произвольное распределение дней
по семидневным неделям, до сих пор не может предложить никаких идей для объяснения
этого давнего «Парадокса среды» с его странными недельными циклами вероятностей
солнечных затмений.
1.2 Календарные циклы солнечных затмений
Вторая половина первого тысячелетия нашей эры была золотым веком астрономии на
Востоке. Арьябхата (476–550), которого мы уже упоминали, был первым в ряду выдающихся
индийских ученых Классической эпохи в Индии. Он родился в 476 году в центральной
Индии и, вероятно, стал руководителем только что основанного буддийского университета
Наланда и его обсерватории. Университет Наланда, который находился примерно в 100
километрах к юго-востоку от современного города Патна, оставался ведущим
образовательным центром Индии с пятого до двенадцатого столетия.
23
Арьябхата написал несколько трактатов по математике и астрономии, большая часть из
которых, увы, до нас не дошла. Его главная книга Aryabhatiya – сборник статей в стихах по
математике и астрономии, часто упоминается в Восточной научной литературе и сохранился
до наших дней. В астрономической части своего трактата Арьябхата утверждал, что
вращающаяся Земля движется вокруг Солнца, а Луна вращается вокруг Земли. Он был
уверен, что Луна и планеты светят отраженным солнечным светом, проницательно полагая,
что орбиты планет представляют собой не идеальные окружности, а эллипсы. Арьябхата
описал популярную в его время геоцентрическую модель Солнечной системы, в которой
Солнце и Луна движутся эпициклически – движения планет определяются двумя
эпициклами – меньшим manda (медленный) и большим sighra (быстрый).
Арьябхата, вероятно, вполне понимал общий метафизический принцип относительности,
который утверждает, что сущность физических законов не зависит от используемой при их
описании системы координат. Он не только использовал геоцентрическую планетарную
модель, но также писал о положениях планет и их движении относительно Солнца. Он
провел оценки радиусов планетарных орбит в масштабе радиуса орбиты Земли вокруг
Солнца и рассчитал периоды вращения планет вокруг Солнца.
Рис. 1.20. Индийский математик и астроном Арьябхата (476–550). 2. Китайский инженер и
астроном Ю Синг (683–727).
Пренебрегая астрологической традицией, где виновниками затмений были демоны Раху и
Кету, Ариабхата впервые объяснил затмения динамикой теневых конусов Земли и Луны. Он
впервые исследовал движение узлов лунной орбиты и оценил диаметр и протяженность
теневого конуса Земли. Вычислительные методы Аьябхаты, усовершенствованные его
последователями, была настолько точными, что французский астроном Гийом Ле Жантиль,
во время своего визита в Индию, стал свидетелем того, что расчеты продолжительности
лунного затмения 30 августа 1765 индийскими астрономами, разошлись с наблюдениями
всего на 41 секунду, тогда как его собственные расчеты были с ошибкой 68 секунд.
Арьябхата сумел оценить окружность Земли с погрешностью всего 0,2 % и
продолжительность звездного года с ошибкой менее 1 секунды.
Астрономические труды Арьябхаты и его последователей заметно повлияли на всю
астрономию Востока и, в частности, были включены с комментариями в китайскую
астрологическую энциклопедию «Трактат об астрологии эпохи Кайюань» (Da Tang kai yuan
zhan jing), составленную с 714 по 724 год в эпоху Кайюань династии Тан под руководством
Гаутамы Сиддха, астронома и астролога индийского происхождения. Этот монументальный
трактат, известный на Востоке также под именем «Наблюдения звезд в эпоху Кайюань»
содержит более 600 000 иероглифов, разделенных на 120 разделов (juan). К десятому
столетию почти все рукописи трактата были утрачены, и только в начале 17-го века
24
буддийский монах Чэн Минг Шан случайно нашел уцелевшую рукопись внутри древнего
изваяния Будды [7].
Этот монументальный трактат начинается с обсуждения астрологического значения Неба
и Земли, описывает способы предсказаний на основе наблюдений небесных тел и движения
Земли, Солнца, Луны, «пяти звезд», 28 созвездий; метеоритов, комет, новых звезд и
«гостящих» звезд. Очень важным является то, что эта энциклопедия собрала результаты
наблюдений, астрономических теорий и астрологических предсказаний астрономов и
астрологов, работавших до начала эпохи династии Тан.
Среди разнообразной астрономической информации в книге есть раздел, описывающий
работы китайского астронома, буддийского монаха Ю Синга (Чжан Суя, 683–727), который
известен как автор астрономического прибора со «спусковым» часовым механизмом, –
первого в долгой исторической традиции китайских астрономических приборов с часовыми
механизмами. Небесный глобус Ю Синга воспроизводил движущийся небесный свод с
лунными Домами, экватором и шкалой эклиптики. В начале 8-го столетия, Ю Синг, помимо
разработки астрономических приборов, возглавлял астрономический проект, начатый по
инициативе правителей династии Тан, для того чтобы систематизировать новые
астрономические наблюдения, которые могли бы увеличить надежность прогнозирования
солнечных затмений.
Кроме известного с античности цикла Сароса в энциклопедии «Трактат об астрологии
эпохи Кайюань», можно найти намек на зависимость частоты солнечных затмений от
времени года и географического положения наблюдателей. Комментируя труды
Арьябхаты, Ю Синг написал примерно следующее:
«Луна состоит из воды, Солнце из огня, Земля из земли, а тень Луны из тьмы.
Милосердная Луна затеняет палящее Солнце гораздо чаще летом и в южных землях».
В 2006 году Ф. Эспенак и Ж. Меус с помощью статистического анализа подтвердили
сезонные изменения вероятности затмений солнца [8]. Однако, этот необычный тип
изменения вероятности солнечных затмений долго оставался без внимания планетарной
астрономии и его исследование было проведено лишь недавно (Таганов, Саари 2014 [6, 12]).
База данных Канона позволяет оценить, используя даты и координаты максимальных
затмений, вероятности всех типов затмений для календарных месяцев: pei ( N ) nei ( N ) nei и
для различных географических районов: pel nel ne . Здесь и далее индекс «e» обозначает
оценки на основе базы данных Канона; N это календарный номер месяца; nei ( N ) это
количество затмений i-го типа в N-ый месяц; nei это общее количество затмений i-го типа в
рассматриваемую эпоху; nel это количество центральных затмений с максимальным
затмением на широте l для рассматриваемого множества затмений ne .
Как показывает статистический анализ базы данных Канона, распределения по
календарным месяцам общего количества затмений, общего количества частичных и
центральных затмений, а также гибридных затмений являются случайными. Относительные
частоты и вероятности этих затмений для каждого месяца в среднем соответствуют:
p 1 12 0,0833 . Более точно эти вероятности определяются количеством дней в месяце,
соответственно для месяцев с 31, 30 и 28,25 днями:
p( N ) (0,0849;0,0821;0,0773) (1.10)
Например, для февраля: p(2) 28, 25 365, 25 0,0773 . Все определенные по Канону
вероятности, представленные на рис. 1.30, 1.32 нормированы ( pei 1 ).
(i )
25
Рисунок 1.21 демонстрирует близкое совпадение статистических оценок по Канону
вероятностей всех центральных затмений: peC ( N ) (ромбы) с теоретическими вероятностями
(1.10) – ломанная кривая 1 вблизи пунктирной линии: p 1 12 0,0833 .
В отличие от почти равномерного распределения вероятностей всех центральных
затмений, вероятности полных и кольцевых затмений обнаруживают выразительные
календарные циклы. Для весенне-летнего полугодия (март–август) календарные циклы
определяют 58 % полных и 42 % кольцевых затмений с обратной пропорцией для осеннезимнего полугодия.
Рис. 1.21. Календарные циклы полных (темные кружки) и кольцевых (контурные кружки)
солнечных затмений для эпохи в 3500 лет: от 2000 г. до н.э. до 1500 г. н.э. с 4887
центральными затмениями. Зеленая кривая 1 это расчеты по (1.10); синяя кривая 2 это
расчеты по (1.15); красная кривая 3 это расчеты по (1.14). На рисунке pi это вероятности
затмений, а N это стандартный номер месяца в календаре, за исключением декабря, для
которого N 0 .
Для количественного описания календарных циклов затмений необходимо провести
анализ динамики «серий Сароса». Положения Солнца и Луны при затмении по прошествии
каждого Сароса сдвигаются примерно на 0,48º по отношению к узлам орбиты Луны. Это
приводит к формированию серий затмений, продолжающихся от 1226 до 1550 лет и
состоящих из 69–87 центральных затмений, которые и называются «сериями Сароса».
Если бы орбита Луна была круговой, и Луна двигалась бы чуть ближе к Земле в той же
орбитальной плоскости, то полные солнечные затмения происходили бы каждый месяц, что
соответствовало бы равномерному календарному распределению затмений. Однако
плоскость эллиптической орбиты Луны наклонена примерно на 5,1º по отношению к
плоскости эллиптической орбиты Земли, и поэтому орбита Луны пересекает эклиптику в
двух узлах, которые отстоят на 180º друг от друга и медленно смещаются на 19,35º в год с
полным циклом в 18,6 лет. Солнечное затмение будет наблюдаться в некоторых местах на
Земле, только если новолуние происходит в диапазоне 15,4º–18,6º (в интервале 10º–12º для
центрального затмения) от узла орбиты Луны, что бывает в два Сезона затмений,
разделенных примерно шестью месяцами (173,3 дней). Эти характеристики земной и лунной
орбит и определяют динамику серий Сароса.
Серия Сароса начинается, например, когда новолуние происходит в 17º–18º к востоку от
узла лунной орбиты. Конус лунной тени проходит примерно в 3500 км к югу от Земли, и
частичное затмение с малой магнитудой будет наблюдаться в высоких южных широтах. По
26
прошествии одного Сароса, конус тени Луны проходит примерно на 250 км ближе к
геометрическому центру Земли и наблюдается частичное затмение с немного большей
магнитудой. Так возникает серия Сароса, начальная фаза которой длится около 2,5 веков с 6–
25 частичными затмениями. Развитая фаза серии Сароса длится от 7 до 10 веков с 39–59
центральными затмениями, которые происходят почти каждый Сарос, а их траектории
постепенно перемещаются к северу. В середине развитой фазы серии Сароса, центральные
затмения значительной длительности происходят в экваториальных районах Земли.
Последнее центральное затмение развитой фазы рассматриваемой серии Сароса
происходит в высоких северных широтах. Завершающая фаза серии Сароса длится около 2,5
веков с 6–24 частичными затмениями в высоких северных широтах с постепенно
уменьшающимися магнитудами. Рассмотренная серия Сароса заканчивается около
Северного полюса через 12–15 веков после ее начала вблизи противоположного Южного
полюса.
Рис. 1.22. Траектории солнечных затмений Сароса 136 для 1937–2081 годов
[http://eclipse.gsfc.nasa.gov/].
Хорошим примером является серия затмений Сароса 136, к которому относятся самые
продолжительные солнечные затмения 20 и 21 веков. Эта серия из 71 затмения будет
продолжаться более 1260 лет и её затмения происходят в следующем порядке: 8 частичных,
6 кольцевых, 6 гибридных, 44 полных и вновь 7 частичных. На рисунке 1.22 представлены
траектории девяти солнечных затмений Сароса 136 в период от 1937 до 2081 года.
Регулярное 120-градусное смещение траекторий затмений в западном направлении это
следствие дополнительных 8 часов в цикле Сароса. Систематическое смещение траекторий
затмений в северном направлении объясняется прогрессивным удалением Луны от
нисходящего узла её орбиты.
На протяжении одного Сароса наблюдаются в среднем 40 солнечных и 29 лунных
затмений. Эти затмения входят в состав 19–21 серий Сароса, которые перемещаются от
Южного полюса к северу, и 19–21серий Сароса, которые перемещаются от Северного
полюса к югу. Эти серии находятся на разных стадиях развития, но большинство серий
(около 65%) находится в развитых фазах, позволяя наблюдать центральные солнечные
затмения.
Распределение координат максимальных затмений на поверхности Земли является важной
географической характеристикой солнечных затмений, которая пока еще не исследовалась в
планетарной астрономии. Статистический анализ Канона обнаруживает выразительную
зависимость вероятностей широтных координат максимальных центральных затмений от
широты (рис. 1.23). Почти 40 % координат максимальных центральных затмений
соответствуют тропикам (23,5º ю.ш.–23,5º с.ш.) и более 70 % полосе между 45° ю.ш. и 45º
с.ш.
27
Место максимального центрального солнечного затмения всегда располагается вблизи
пересечения поверхности Земли с линией, соединяющей центры Земли и Солнца. Прогнозы
координат максимальных затмений случайно распределены на фронтальной плоскости,
перпендикулярной линии, соединяющей центры Земли и Солнца. При этом равномерная
плотность распределения этих прогнозов возрастает с увеличением продолжительности
рассматриваемой эпохи. Вращение Земли усредняет прогнозы долготы максимальных
затмений, постепенно формируя равновероятное распределение значений долготы
максимальных солнечных затмений.
Рис. 1.23. 1. Зависимость вероятностей pel значений широтных координат максимальных
центральных затмений (темные кружки) от широты l (градусы с отрицательными значениями
для южного полушария) для эпохи в 2000 лет: от 2000 г. до н.э. до 1 г. н.э. с 2915
центральными затмениями. Сплошная кривая это теоретические оценки вероятностей по
формуле (1.11). 2. Распределение плотности потока солнечной энергии на поверхности
Земли.
Однако проекция равномерного на фронтальной плоскости распределения прогнозов
координат максимальных затмений на сферическую поверхность Земли уже неоднородна.
По мере увеличения угла между линией, соединяющей центры Земли и Солнца, и
координатным вектором рассматриваемого меридиана, плотность распределения проекций
прогнозов координат максимальных затмений уменьшается пропорционально
косинусу значения широты l на рассматриваемом меридиане. Это тот же самый эффект,
как и уменьшение средней плотности потока солнечного излучения с ростом угла падения
солнечных лучей. Таким образом, вероятность значения широты для прогнозов
максимальных центральных солнечных затмений оказывается пропорциональной средней
плотности потока солнечного излучения, и может быть описана следующим соотношением:
pl 0,194 cos l
(1.11)
Амплитуда в формуле (1.11) определялась методом наименьших квадратов по данным
Канона, и это соотношение оценивает вероятность значения широты в координатах
максимальных центральных солнечных затмений с относительной погрешностью не более
2,5%.
28
Рисунок 1.24, на котором представлены траектории полных и кольцевых солнечных
затмений в период 2000–2020 гг., наглядно демонстрирует большую частоту затмений в
экваториальных и субэкваториальных широтах.
Рис. 1.24. Траектории полных, кольцевых и гибридных солнечных затмений в период 2000–
2020 гг. Синим цветом отмечены траектории полных затмений, а красным цветом –
траектории кольцевых и гибридных затмений [http://eclipse.gsfc.nasa.gov/].
Движение Земли и Луны по эллиптическим орбитам периодически изменяет наблюдаемые
угловые размеры Солнца и Луны. Магнитуда затмения, которая определяется отношением
видимого углового диаметра Луны к видимому диаметру Солнца, максимальна (полное
затмение), когда Луна находится вблизи перигея и когда Земля приближается к месту своего
наибольшего удаления от Солнца в июле. Наоборот, магнитуда затмения минимальна
(кольцевое затмение), когда Луна находится вблизи своего апогея и когда Земля достигает
своего самого малого расстояния от Солнца в январе. Таким образом, относительная
частота полных затмений оказывается больше в летние месяцы, а относительная
частота кольцевых затмений, наоборот, больше в зимние месяцы.
Календарные циклы полных и кольцевых затмений, представленные на рис. 1.21,
формируются при статистическом суммировании вероятностей центральных затмений,
принадлежащих к разным сериям Сароса, которые наблюдаются ежегодно. При этом
вероятности полных затмений в весенне-летние месяцы повышены, а вероятности кольцевых
затмений, наоборот, выше в осенне-зимние месяцы. Этот качественный анализ
peT ( N ) peT ( N ) p( N )
подтверждается
тем,
что
разницы
вероятностей:
и
peA peA ( N ) p( N ) по данным Каталога оказываются пропорциональными склонению
Солнца , которое зависит от сезона года:
peT ( N ) aT ( N )
paA aA ( N ) (1.12)
29
Эти пропорциональности могут быть использованы для вывода количественной оценки
вероятностей центральных затмений в календарных циклах. Поскольку эксцентриситет
орбиты Земли довольно мал, то орбита может приближенно рассматриваться как круговая, и
тогда склонение Солнца достаточно точно определяется известной формулой:
sin[2 365 (284 n )] . В этой формуле 23, 45 ( 0, 41 рад.) это максимальное
склонение при летнем солнцестоянии в северном полушарии, а n это номер дня в году,
начиная с 1 января. Мы можем использовать эту формулу в более удобной форме, определив
номер дня n 365 12 N по календарному номеру месяца N:
( N ) sin(2 365 C 6 N ) (1.13)
В этой формуле N это стандартный номер месяца в календаре, за исключением декабря,
для которого N 0 .
Используя метод наименьших квадратов, можно оценить для данных Канона
оптимальные значения параметров C, aT , aA , а затем из (1.12, 1.13) можно получить
следующие формулы:
pT ( N ) p( N ) 0,018 sin(2 365 C 6 N ) (1.14)
pA ( N ) p( N ) 0,013 sin(2 365 C 6 N ) (1.15)
В этих формулах, как и в (1.13) N это стандартный номер месяца в календаре, за
исключением декабря, для которого N 0 .
В качестве меры расхождения теоретических оценок pi по (1.14, 1.15) и вероятностей pei ,
рассчитанных по данным Канона, мы можем использовать среднеквадратичное значение
относительного различия: si [( pei pi ) pei ] 100(%) . В базе данных Канона для эпохи в 1200
лет: с 1601 г. до 2800 г. с 1682 центральными затмениями использовался григорианский
календарь и оптимальное значение календарного параметра в (1.14, 1.15): C 240 , что
обеспечивает: sT 1,08% ; sA 2,54% .
Для эпохи в 3500 лет: с 2000 г. до н.э. до 1500 г. н.э. (рис. 1.30) с 4887 центральными
затмениями, для дат которых в Каноне используется юлианский календарь, оптимальное
значение календарного параметра в (1.14, 1.15): C 297 и sT 1% ; sA 0, 45% .
В Каноне юлианский календарь используется для дат затмений в эпоху до 15 октября 1582
года, а затем далее даты затмений соответствуют григорианскому календарю. Для такого
смешанного использования календарей оптимальное значение календарного параметра в
(1.14, 1.15): C 284 . Для статистики эпохи в 5000 лет: с 2000 г. до н.э. до 3000 г. н.э. с 7129
центральными затмениями расхождения теоретических оценок (1.14, 1.15) и вероятностей,
рассчитанных по Канону: sT 0,74% ; sA 0,51% .
Календарные циклы полных и кольцевых затмений солнца являются результатом
статистического суммирования последствий трех основных периодических движений в
системе Солнце-Земля-Луна – перемещения Земли и Луны по своим эллиптическим орбитам
и медленного смещения узлов лунной орбиты на 19,35º в год с полным циклом 18,6 лет.
Средневековые астрономы были правы в своих интуитивных догадках – вероятности полных
солнечных затмений относительно больше в летние месяцы (рис. 1.20) и в южных регионах
(рис. 1.22).
Этот короткий раздел не претендует на исчерпывающее количественное описание
рассмотренных явлений. В частности, следующим шагом могло бы стать представление
эмпирических амплитуд в (1.11, 1.14, 1.15) в форме зависимостей от орбитальных
характеристик Земли и Луны.
30
Литература
1. Библия. Современный русский перевод. М.: Рос. Библейское о-во, 2011.
2. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Небесная механика. Общий курс. М., 2007.
3. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс Астрономии / Под ред. Иванова В.В. 2-е изд.
М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. с латинского и
примеч. А.Н. Крылова. М.: Наука, 1989.
5. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Изд. 2-е. М.: Наука,
1976.
6. Таганов И.Н., Саари Вилле. Древняя загадка солнечных затмений – календарные циклы
// Система «Планета Земля»: XX лет Семинару «Система “Планета Земля”». М.:
ЛЕНАНД, 2014. ISBN 978-5-9710-0929-0. (стр. 317-325).
7. Da Tang kai yuan zhan jing (开元占经 (開元占經) входит в состав Siku quanshu. В
1989 году Zhonghua shuju осуществило факсимильное издание этого трактата. Еще одна
публикация
трактата
была
сделана
в
период
Даогуанг
(1821–1850).
http://www.wdl.org/en/item/11423/
8. Espenac, F., Meeus, J. Five Millenniums Canon of Solar Eclipses: - 1999 to + 3000 (2000
BCE to 3000 CE). NASA/TP-2006-214141.
9. Espenak, F., Fifty Year Canon of Lunar Eclipses: 1986-2035, Sky Publishing Corp.,
Cambridge, MA, 1989,
10. Meeus, Jean. Mathematical Astronomy Morsels III. Willmann-Bell, Richmond VA, 2004.
ISBN 0-943396-81-6]
11. Meeus, Jean. More mathematical astronomy morsels. Willmann-Bell, Inc., 2002.
12. Igor Taganov & Ville Saari. Antike Rätsel der Sonnenfinsternisse. Die Kalendarzyklen //
Nachrichten der Olbers-Gesellschaft Bremen, 244, Januar 2014. 4-10.
31
