Разработка математических моделей и программного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
На правах рукописи
Деревянка Андрей Евгеньевич
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ СТОЛКНОВЕНИЯ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ С ЗЕМЛЁЙ
05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
доктор физ.-мат. наук,
проф. ЗАУСАЕВ А.Ф.
Самара – 2016
2
Оглавление
Введение ........................................................................................................................................ 5
Глава 1 Аналитический обзор ..................................................................................................... 10
1.1. Астрономические сведения .................................................................................................. 10
1.2. Математические модели движения небесных тел ............................................................... 13
1.2.1. Классическая интерпретация............................................................................. 13
1.2.2. Модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося .............................
материального тела с окружающим пространством .................................................. 16
1.3. Негравитационные эффекты в моделях движения небесных тел ....................................... 18
1.3.1. Эффект Ярковского ........................................................................................... 19
1.3.2. Аппроксимация эффекта Ярковского ............................................................... 22
1.3.3. YORP–эффект .................................................................................................... 24
1.3.4. Световое давление и эффект Пойнтинга-Робертсона....................................... 24
1.4. Численные методы решения уравнений движения небесных тел ...................................... 25
1.4.1. Методы разложения в ряд Тейлора ................................................................... 27
1.4.2. Многошаговые методы Адамса ......................................................................... 28
1.4.3. Метод Коуэлла ................................................................................................... 29
1.4.4. Метод Эверхарта ................................................................................................ 30
1.4.5. Сходимость и устойчивость численных методов ............................................. 30
1.4.6. Оценка погрешности численных методов ........................................................ 33
1.5. Обзор математических моделей для оценки вероятности столкновения ...............................
небесных тел с Землёй ................................................................................................................ 35
1.5.1. Минимальные расстояния между орбитами небесных тел .............................. 36
1.5.2. Моделирование случайных величин ................................................................. 38
1.5.3. Оценка вероятности столкновения небесных тел с Землёй ............................. 41
1.6. Постановка задачи ................................................................................................................ 51
Глава 2 Обоснование выбора методов, используемых для оценки вероятности .........................
столкновения небесных тел с Землёй ......................................................................................... 52
3
2.1. Численное интегрирование уравнений движения ............................................................... 56
2.1.1. Выбор оптимального метода численного интегрирования .............................. 57
2.2. Выбор математической модели движения........................................................................... 66
2.2.1. Сравнение математических моделей ................................................................ 67
2.2.2. Учёт негравитационных эффектов в модели .................................................... 77
2.3. Оптимизация расчётов траектории движения для астероидов, имеющих ............................
тесные сближения с планетами................................................................................................... 80
2.4. Оптимизация расчётов с использованием банка данных координат больших планет ...... 82
2.5. Оценка минимального расстояния между орбитами ..............................................................
небесных тел на конфокальных орбитах .................................................................................... 84
2.5.1. Сравнительные испытания метода быстрой оценки ........................................ 90
2.6. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй ..................................... 93
2.7. Выводы по главе ................................................................................................................... 95
Глава 3 Оценка вероятности столкновения с Землёй астероидов ................................................
групп Аполлона, Амура и Атона ................................................................................................ 97
3.1. Информация о потенциально опасных астероидах ............................................................. 97
3.1.1. Влияние тесных сближений на траекторию движения астероидов ................. 97
3.1.2. Определение значимых элементов орбиты ..................................................... 101
3.2. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй ................................... 104
3.2.1 Метод, основанный на определении опасных областей ................................. 104
3.2.2. Метод Монте-Карло......................................................................................... 107
3.2.3. Модифицированный метод Монте-Карло ...................................................... 108
3.3. Проведение исследований .................................................................................................. 110
3.3.1. Выявление потенциально опасных астероидов .............................................. 110
3.3.2. Генерация облака виртуальных астероидов ................................................... 111
3.3.3. Исследование вероятности столкновения ............................................................
астероида 99942 Apopohis с Землёй .......................................................................... 117
3.3.4. Оценка вероятности столкновения астероидов с Землёй ............................... 123
3.3.5. Сравнение результатов .................................................................................... 128
4
3.3.6. Размещение на сайте SmallBodies.ru ............................................................... 131
3.4. Выводы по главе ................................................................................................................. 132
Глава 4 Программный комплекс для оценки вероятности столкновения ....................................
небесных тел с Землёй .............................................................................................................. 134
Заключение ................................................................................................................................ 144
Список использованных источников и литературы ................................................................. 146
ПРИЛОЖЕНИЕ А ..................................................................................................................... 158
ПРИЛОЖЕНИЕ B...................................................................................................................... 171
ПРИЛОЖЕНИЕ C...................................................................................................................... 184
ПРИЛОЖЕНИЕ D ..................................................................................................................... 185
5
Введение
Актуальность темы. Проблема астероидной опасности носит комплексный характер и
подразделяется на несколько составляющих. Среди наиболее значимых задач можно выделить
такие, как обнаружение потенциально опасных астероидов, сближающихся с Землей, и
определение вероятности столкновения с ними. На текущий момент известно более 12000
астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона. Орбиты этих астероидов
могут пересекать орбиту Земли, а значит, существует необходимость в оценке уровня их
опасности.
Проблеме создания эффективных математических моделей для оценки вероятности
столкновения астероидов с Землёй в последнее время уделяется довольно много внимания [2,
63, 115, 124]. Связанными с этой проблемой являются задачи по разработке математических
моделей [81], описывающих движение малых тел Солнечной системы и созданию численных
методов [11, 40] , позволяющих проводить расчёты наиболее эффективно.
Разработка
программного
комплекса,
позволяющего
автоматизировать
процесс
исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы, а также осуществить отбор
потенциально опасных для Земли небесных тел, предоставив при этом оценки вероятности
столкновения Земли с данными объектами, является актуальной задачей.
Цели диссертационной работы
Целью данной работы является разработка математических моделей для оценки
вероятности столкновения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй.
Достижение этой цели связано с решением следующих задач.
1. Разработка
математических
моделей,
позволяющих
производить
отбор
потенциально опасных астероидов, имеющих сближения с Землёй, и оценивать
степень угрозы столкновения.
2. Проведение исследования с целью выбора наиболее эффективного метода
численного интегрирования уравнения движения астероидов групп Аполлона,
Амура и Атона для оценки вероятности столкновения с Землёй.
3. Создание алгоритмов и программ, использующих разработанные математические
модели и численные методы для обнаружения и мониторинга потенциально
опасных для Земли астероидов. Автоматизация работы программного комплекса с
целью непрерывной обработки поступающей информации об астероидах.
4. Создание банка данных эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и
Атона, являющихся потенциально опасными для Земли, на основе разработанного
программного комплекса.
6
Научная новизна
1. Разработаны новые математические модели для оценки величины вероятности
столкновения астероидов с Землёй, позволяющие по сравнению с известными
методами уменьшить количество вычислений, увеличить скорость расчётов и
повысить точность получаемых оценок вероятности столкновения (по сравнению с
классическим методом Монте-Карло).
2. Проведено исследование эффективности существующих численных методов для
решения дифференциальных уравнений движения небесных тел (многошаговые
методы Адамса, метод Коуэлла, методы, основанные на разложении в ряд Тейлора,
метод Эверхарта) с целью выбора оптимального метода для использования при
получении оценки величины вероятности столкновения астероидов групп Аполлона,
Амура и Атона с Землёй.
3. Предложен новый алгоритм автоматического выбора шага для модифицированного
метода Эверхарта численного интегрирования уравнений движения небесных тел,
имеющих тесные сближения с большими планетами, который, в отличие от ранее
используемых методов, позволяет проводить численное интегрирование на участках
сближения с большей точностью и обладает преимуществом в скорости расчетов.
4. Создан автоматизированный программный комплекс для исследования эволюции
орбит малых тел Солнечной системы и обработки получаемых результатов для
предоставления информации о степени угрозы с оценкой рисков, который
интегрирован в научно-информационный ресурс SmallBodies.ru. Программный
комплекс зарегистрирован, получено свидетельство на электронный ресурс,
отвечающий требованиям новизны и приоритетности № 20710 от 26.12.2014.
ИНИПИ РАО ОФЭРНиО «Автоматизированный программный комплекс для оценки
вероятности столкновения астероидов с Землёй». Копия свидетельства размещена в
Приложении С.
5. На
основе
разработанного
программного
комплекса
создан
динамически
изменяющийся банк данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы,
представляющих потенциальную опасность для Земли, содержащий информацию о
вероятности столкновения.
Теоретическая и практическая значимость.
1. Разработанные
математические
модели
и
алгоритмы
позволяют
оценить
потенциальную опасность астероида и получить оценку величины вероятности
столкновения Земли с небесным объектом.
7
2. Предложена модификация алгоритма метода Эверхарта для интегрирования
уравнений движения астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй. Алгоритм
позволяет ускорить расчёты по сравнению с методом с постоянным шагом
интегрирования и получить более высокую точность результатов, чем при использовании классической схемы переменного шага интегрирования.
3. Программный комплекс, созданный на основе предложенных математических
моделей и численных методов, является автоматизированным и позволяет
осуществлять мониторинг небесных объектов, представляющих потенциальную
опасность для Земли. Создан регулярно обновляемый банк данных потенциально
опасных для Земли астероидов, содержащий информацию об оценке величины
вероятности
столкновения.
Результаты
расчётов
доступны
на
научно-
информационном сайте SmallBodies.гu для научных и образовательных целей.
Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Самарского
государственного технического университета. Копия акта об использовании в учебном
процессе результатов работы находится в Приложении D.
На защиту выносятся следующие положения
1. Новые математические модели для оценки величины вероятности столкновения
астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с Землёй.
2. Вычислительные алгоритмы для исследования эволюции орбит астероидов,
имеющих тесные сближения с Землёй, и получения оценок угрозы столкновения
потенциально опасных небесных тел.
3. Автоматизированный программный комплекс для исследования эволюции движения
малых тел Солнечной системы, обработки получаемых результатов и получения
оценок величины вероятности столкновения с Землёй.
4. Результаты расчётов и информационный динамически изменяющийся банк данных
орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы на основе программного
комплекса с использованием новых математических моделей оценки вероятности
столкновения небесных тел с Землёй и численных методов интегрирования
уравнений движения.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований.
Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ (тема: «Разработка методов
математического моделирования, динамики и деградации процессов в механике сплошных
сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения
8
неклассических краевых задач и их приложений».); проекта Министерства образования и науки
РФ (проект РНП 2.1.1.745): «Создание научно-информационной базы данных эволюции орбит
малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли»
аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей
школы (2009–2010 гг)»; проекта Министерства образования и науки РФ (проект РНП
2.534.2011): «Разработка математического и программного обеспечения для исследования
эволюции орбит главных метеорных потоков», а также при поддержке грантов НИР для
аспирантов СамГТУ (2015).
Апробация работы.
Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:
Десятая международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы
современной науки» (Самара, СамГТУ, 2010 г.); Восьмая всероссийская научная конференции с
международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара.
СамГТУ, 2011 г.); Девятая всероссийская научной конференции с международным участием
«Математическое
моделирование
и
краевые
задачи»
(Самара.
СамГТУ,
2013 г.);
Международная конференции «Околоземная астрономия-2013» (Терскол. КубГУ, 2013 г.);
«Научному прогрессу –
творчество
молодых» Международная
молодежная
научная
конференция по естественнонаучным и техническим дисциплинам (Йошкар-Ола, 2010 г.);
Международная молодёжная научно-техническая конференция по естественнонаучным и
техническим дисциплинам «Научному прогрессу - творчество молодых» (Йошкар-Ола,
МарГТУ. 2011, 2012 гг.); Международная научно-техническая молодёжная конференции
«Научному прогрессу – творчество молодых» (Йошкар-Ола, Волгатех, 2013 г.); Всероссийская
научная Интернет-конференция с международным участием "Современное понимание
Солнечной системы и открытые вопросы." (Казань, 2013 г.); Международная конференция "V
Бредихинские чтения" (Заволжск, 2014 г.); Вторая международная научно-практическая
конференция «Метеориты, астероиды, кометы. Падения на Землю, исследования и
экологические последствия» (Челябинск, 2014 г.); Шестая международная конференция по
астрономии «CAMMAC – 2014». (Украина, Винница, 2014 г.); Международная научнопрактическая
естественных
конференция
наук»
«Перспективы
(Воронеж,
развития
08.12.2014 г);
современных
Международная
математических
и
научно-практическая
конференция «Наука 2014: итоги, перспективы» (Москва, 2015 г.); Третья международная
научно-практическая конференция «Метеориты, астероиды, кометы» и школы молодых ученых
«Чебаркуль
2015»
(Челябинск,
2015 г.);
Вторая
международная
научно-практическая
конференция «О вопросах и проблемах современных математических и естественных наук»
(Челябинск, 2015 г.); Научный семинар «Механика и прикладная математика» Самарского
9
государственного технического университета (руководитель профессор Радченко В.П., 20132015 гг.); семинар «Проблемы происхождения и эволюции кометно-астероидного вещества в
Солнечной системе и проблема астероидной опасности» Института астрономии Российской
Академии наук (г. Москва, 2015 г.)
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ, 5 из которых входят в список
изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ. Список публикаций
приведен в конце автореферата. Созданный программный комплекс зарегистрирован, получено
свидетельство на электронный ресурс, отвечающий требованиям новизны и приоритетности №
20710 от 26.12.2014 г. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО [16].
Личный вклад автора.
Работы [16–34, 79] выполнены самостоятельно, в работах [37–38] диссертанту
принадлежит совместная постановка задачи, программная реализация математических моделей
и методов, а так же анализ результатов.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и четырёх
приложений. В конце каждой из глав, за исключением обзорной, приводятся краткие выводы.
Общий объем диссертации 157 страниц, включая 14 рисунков и 62 таблицы. Список
литературы включает 126 наименований. Приложение включает 34 таблицы и два рисунка.
10
Глава 1
Аналитический обзор
1.1. Астрономические сведения
В состав Солнечной системы входят Солнце, восемь больших планет: Меркурий, Венера,
Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, их спутники, пять карликовых планет: Церера,
Плутон, Хаумеа, Макемаке и Эрида, астероиды, кометы и так называемые малые тела
Солнечной системы [91].
Солнце занимает центральное положение в Солнечной Системе. Его масса в 750 раз
больше суммарной массы остальных тел, входящих в систему. Главной силой, определяющей
движение планет, является гравитационное притяжение Солнца. Среднее расстояние от Земли
до Солнца носит название астрономической единицы (а.е.) и равно 149597870 км. [1]. В силу
конфигурации орбит планет (форма орбит и расстояние между ними) тесные сближения между
планетами исключены.
При отсчёте наклонов орбит планет и других тел, обращающихся вокруг Солнца, за
основную плоскость принимается плоскость земной орбиты, называемая эклиптикой.
Положение небесного тела в пространстве может быть описано с помощью элементов
орбиты. Элементы орбиты это набор параметров, характеризующий орбитальную ориентацию и
временные характеристики орбитального движения небесного тела.
Некоторые элементы орбиты, используемые при исследовании эволюции небесных
объектов, показаны на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Элементы орбиты
11
К элементам орбиты относятся [42]:

Средняя аномалия М – угловое расстояние от перицентра гипотетического тела
(точки орбиты, ближайшей к центру масс), движущегося с постоянной угловой
скоростью, равной среднему движению.

Большая полуось a – половина максимального размера эллипса орбиты. Удвоенное
значение большой полуоси – расстояние от перигелия (самой близкой к Солнцу
точки орбиты) до афелия (самой далекой от Солнца точки орбиты). Часто (особенно
для комет) вместо a рассматривают величину q – перигелийное расстояние,
которое равно расстоянию от Солнца до перигелия.

Эксцентриситет e
– определяет тип орбиты: e  1 для параболы, e  0 для
окружности, e  1 для гиперболы.

Долгота восходящего узла  – определяет точку, в которой орбита пересекает
основную плоскость в направлении с юга на север. Эта точка
восходящим
называется
узлом орбиты. Для тел, обращающихся вокруг Солнца, основная
плоскость – эклиптика, а нулевая точка - первая точка Овна (точка весеннего
равноденствия). Долгота узла может принимать любые значения от 0 до 360°.

Аргумент перигелия  представляет собой угол «точка перигелия – Солнце –
восходящий узел». Он измеряется в плоскости орбиты в направлении движения
небесного тела и может иметь любые значения от 0 до 360°. Иногда вместо элемента
 применяется долгота перигелия      .

Элемент времени, определяется эпохой (датой), в которую небесное тело находится
в определенной точке орбиты. Иногда задается момент времени T , когда объект
находится в перигелии.

Наклонение i – угол между плоскостью орбиты и основной плоскостью
(плоскостью эклиптики). Наклонение может принимать значения от 0 до 180°,
считается меньше 90°, если для наблюдателя, находящегося в северном полюсе
эклиптики, движение планеты имеет прямое направление (против часовой стрелки),
и больше 90° – при обратном движении. При i  90 0 движение, например, кометы
является прямым, а при i  90 0 – обратным.
Форму орбиты определяют большая полуось a и эксцентриситет e. Наклонение i, аргумент
перигелия  и долгота восходящего узла  – ориентацию по отношению к базовой системе
координат.
Астероиды представляют собой небесные тела,обращающиеся вокруг Солнца и имеющие
значинельно меньшие (в сравнении с планетами) массу и размеры. В основном астероиды
12
располагаются в так называемом поясе астероидов между орбитами Марса и Юпитера. По
оценкам Лаборатории реактивного движения NASA, на сегодня открыто уже более 600 000
астероидов (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/).
Астероид относится к классу потенциально опасных для Земли, если его орбита пересекает
орбиту Земли на расстоянии менее 0,05 а.е. (астрономических единиц) и его диаметр больше
150 метров (т.е. абсолютная звёздная величина H  22 ) [66].
На основе характеристик орбит астероидов можно выделить определенные группы
астероидов, имеющие сходные элементы орбиты. В данной работе рассматриваются астероиды,
принадлежащие к трём группам: Аполлоны, Амуры и Атоны. На данный момент, согласно
информации Лаборатории реактивного движения NASA, известно более 12000 астероидов,
принадлежащих к этим группам (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). При этом, из более чем 1500
известных потенциально опасных астероидов только 5 не принадлежат ни к одной из трёх
групп. Таким образом, почти все потенциально опасные астероиды принадлежат к астероидам
групп: Аполлоны, Амуры, Атоны.
Каждую из групп можно характеризовать следующим образом:

Аполлоны пересекают земную орбиту с внешней стороны: перигелийное расстояние q
 1.017 а.е., большая полуось a
 1 а.е. Пересекают орбиту Марса. В перигелии почти
касаются орбиты Земли. Типичные представители: Эрос, Магеллан;

Атоны пересекают земную орбиту с внутренней стороны: афелийное расстояние
Q  0.983 а.е., большая полуось a

 1 а.е. Типичные представители: Икар, Географ;
Амуры полностью находятся снаружи орбиты Земли: перигелийное расстояние
1.017 а.е.  q  1.3 a.e. Типичные представители: Апофис, Атон.;
На рис. 1.2 схематично представлены орбиты астероидов, принадлежащих к группам
Аполлона, Амура и Атона.
Рис 1.2 – Схематическое изображение орбит астероидов потенциально опасных групп
Астероиды этих групп испытывают опасные сближения с большими планетами. Такие
сближения могут провоцировать значительные изменения орбиты астероида, либо могут
13
приводить к столкновению с планетой. Под тесным сближением понимается вхождение
астероида в сферу действия планеты, то есть в область вокруг небесного тела, внутри которой
главное гравитационное действие на астероид исходит от этой планеты, несмотря на
присутствие Солнца (более массивного, но в то же время и более отдалённого) [63].
1.2. Математические модели движения небесных тел
Математической моделью, описывающей движение небесных тел, является задача n тел,
которая представляет собой систему дифференциальных уравнений. Для применения в задаче
оценки вероятности столкновения небесных тел с Землей к математической модели движения
представляются повышенные требования. Математическая модель, кроме точности отражения
физического процесса движения небесных объектов, должна быть относительно простой для
того, чтобы уменьшить объём вычислений и повысить скорость расчётов без значительного
снижения точности результатов.
Такие требования выдвигаются по причине того, что начальные данные по астероидам
Аполлона, Амура и Атона обновляются каждые 100 дней. До истечения этого срока
необходимо просчитать эволюцию орбит этих астероидов по полученным данным, обнаружить
потенциально опасные и рассчитать оценку вероятности столкновения с ними. При получении
нового набора начальных данных расчёты производятся повторно.
1.2.1. Классическая интерпретация
Наиболее простой вид задача n тел принимает при использовании барицентрической
системы координат (прямоугольная система координат с центром, совпадающим с центром
масс системы n материальных точек). Модель (1.1) была предложена Исааком Ньютоном и
считается классической. В векторной форме классическая задача имеет вид [7]:
d 2r n 2 ri  r
  k mi
3 ,
dt 2 i1
ri  r
(1.1)
где r  ( x, y , z ) – вектор координат исследуемого небесного объекта в барицентрических
координатах;
ri  ( xi , yi , zi )
– векторы координат объектов, возмущения от которых
учитываются (включая Солнце); mi – их массы; ri  r  ( xi  x ) 2  ( y i  y ) 2  ( z i  z ) 2 – модуль
разности векторов координат; k – постоянная Гаусса.
Использование уравнений (1.1), несмотря на их простой вид, требует учета теории
движения Солнца, так как (1.1) записано для барицентрических координат. В связи с этим часто
14
используют гелиоцентрическую систему координат, помещая Солнце в центр системы. Система
дифференциальных уравнений для задачи n тел в векторной форме запишется в форме [57]:
n
 r r
d 2r
r
ri 
2
2
i


k
(1

m
)

k
m


,

i
 r  r 3 ri 3 
dt 2
r 3 i 1
 i

(1.2)
где r  ( x, y , z ) – радиус-вектор исследуемого объекта в гелиоцентрической системе координат;
ri  ( xi , yi , zi ) – радиус-векторы тел, возмущения от которых учитываются; mi – массы
возмущающих
ri  r 
тел
в
долях
массы
Солнца
(масса
Солнца
считается
равной
1);
– модуль разности векторов координат; r 3 следует
( xi  x ) 2  ( y i  y ) 2  ( z i  z ) 2
3
понимать как куб модуля вектора, r ; k – постоянная Гаусса.
Уравнения (1.1) и (1.2) учитывают только ньютоновские силы. Для более точного
прогнозирования необходимо учитывать множество
факторов,
к которым относится
несферичность возмущающих тел, негравитационный и релятивистские эффекты, возмущения
и т.д. Чем большее число дополнительных факторов нужно учесть в модели, тем более
сложными становятся уравнения движения.
Система дифференциальных уравнений для задачи n тел с учетом ньютоновских и
шварцшильдовских членов, обусловленных Солнцем, в векторной форме имеет вид [57]:

r   k 2 (m0  mi )
n
 r r
r
ri 
2
i


k
m

 i  r  r 3 r 3  
r 3 i 1
i 
 i
,
(1.3)
r 2
 2
 rr  
k m 
k 2m r
(rr)
 2 0  4  2  4 0  (1   ) 3 r  3 5 r   4  2  3 r  ,
c 
r
r
r
r 
2
где r  ( x, y , z ) , ri  ( xi , yi , zi ) , 
r
векторов,
ri  r 
dr
d 2r
, r 
, (rr)  x  x  y  y  z  z – скалярное произведение
2
dt
dt
( xi  x ) 2  ( y i  y ) 2  ( z i  z ) 2 ,
выбор системы координат характеризует
параметр  (для гармонической системы   0 , для стандартной   1 ).
В барицентрической системе координат система дифференциальных уравнений для задачи
n тел с учетом ньютоновских и шварцшильдовских членов, в векторной форме имеет вид [9,
109]:
15
2
2
 j (r j  ri )  2(    ) k 2  1  k
j 
i 

ri  
 2       (1   )   
1 

rij3
c2
c k  j rjk
c
j i
k  i rik
 c 

2

2(1   )
3  (ri  r j )  ri 
1

ri  rj  2 

  2 (r j  ri )  rj  
2
c
2c 
rij

 2c

1
 2  3j  (ri  r j )  (2  2 )ri  (1  2 ) rj  (ri  r j ) 
c
r

j i

3  4
2c 2
(1.4)

ij
 jrj N m (rm  ri )

,

rim3
j  i rij
m 1
где ri , ri , ri – барицентрические радиус-вектора положения, скорости и ускорения i-того тела;
i  Gm j , где G - гравитационная постоянная, а m j - масса j-того тела; rij  r j  ri модуль
разности векторов;  - параметр, измеряющий нелинейность, создаваемую гравитацией;
–
параметр, измеряющий пространственную кривизну, производимую единичной покоящейся
массой;  i  ri 
dr j
dt
– модуль вектора скорости; c – скорость света. Последний член
уравнения (1.4) в правой части учитывает возмущения от астероидов, r j 
d 2 rj
dt 2
– ускорение j-
того благодаря ньютоновским эффектам.
Для повышения точности модели (1.4) необходимо учитывать влияние фигур Земли и
Луны. С учетом зональных и тессеральных гармоник в координатной системе   и 
ускорение Луны имеет вид [109]:


 
    r 2

 
n
(n  1) Pn (sin  ) 
n 
 1
a 

 J n   0

 n 1  r    cos  P(sin  ) 
n



 (n  1) Pnm (sin  )[Cnm cos m  Snm sin m ]  


a
      m sec  Pnm (sin  )[Cnm sin m  Snm cos m ]  ,
n 1  r  m 1 
m

 cos  Pn (sin  )[Cnm cos m  Snm sin m ]  
n2
n
n
где  – гравитационная постоянная; r – расстояние между центрами масс двух тел; n1 и n2 –
максимальные степени зональных и тессеральных гармоник несферичных тел соответственно;
Pn (sin  ) – полином Лежандра степени n; Pnm (sin  ) – присоединенный полином Лежандра
степени n и порядка m ; J n – зональные гармоники от несферичности тела;
cnm , snm –
коэффициенты тессеральных гармоник;  – широта притягиваемого тела в фиксированной
системе координат;  – восточная долгота притягиваемого тела.
16
Воздействие, оказываемое земными приливами на геоцентрическое ускорение Луны
запишется в виде [109]:
5  x  y 




3
k


a


2
m
m
l

rm   3  1 
    y  x  ,
rlm 
l   rlm 
 z

где k2 – число Лява; al – радиус Земли; rlm – геоцентрическое расстояние Луны; x , y , z –
декартовые геоцентрические координаты Луны;  m – гравитационная постоянная, умноженная
на массу Луны; l – гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли.
Учет релятивистских эффектов приводит к смещению аргументов перигелиев астероидов
групп Аполлона, Амура и Атона. В силу того, что большая часть потенциально опасных для
Земли астероидов принадлежит именно к этим группам, необходимо учитывать релятивистские
эффекты в уравнениях движения небесных объектов, используемых в моделях для оценки
вероятности столкновения небесных тел с Землей.
1.2.2. Модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела
с окружающим пространством
Модели (1.1) – (1.4) являются наиболее распространенными при решении задач о
моделировании движения небесных тел. Математические модели имеют свои определённые
границы применимости. Это справедливо и для моделей
движения небесных тел,
рассмотренных выше и имеющих в основе ньютоновскую механику или принципы общей
теории относительности.
Так, вековое смещение перигелия Меркурия не согласуется с решением задачи n тел, то
есть при использовании классических уравнений Ньютона. При использовании ньютоновских
или релятивистских уравнений для описания движения тел Солнечной системы для
согласования движения Луны с наблюдениями необходимо привлекать дополнительную
систему дифференциальных уравнений, которая позволяет учесть несферичность формы Земли.
При этом происходит совместное решение релятивистских уравнений и уравнений, полученных
на нерелятивистской основе.
Согласно современным космологическим представлениям, имеется гипотеза о том, что в
наблюдаемой Вселенной доминирует физический вакуум, превосходящий по плотности
энергии «обычные» формы космической материи [60]. Значит, окружающее пространство
можно рассматривать как среду, а не как пустое пространство. На основе этой гипотезы можно
выдвинуть два предположения для построения альтернативной математической модели
движения небесных тел.
17
1. Пространство обладает свойством сжатия по отношению к движущимся
материальным телам;
2. Окружающее пространство на любом расстоянии от центра материального тела за
равный промежуток времени сжимается на одинаковый объём, величина которого
пропорциональна объёму данного материального тела.
Материальные тела занимают в пространстве определённые объёмы. Однако в силу
различных физических свойств этих тел, вытесняемый ими объём не равен фактическому
объёму. То есть, для каждого тела вытесняемый им объём рассчитывается индивидуально.
Описанные предположения лежат в основе математической модели движения небесных
тел, предложенной в работах [37, 40]. Суть модели на основе гипотезы о взаимодействии
движущегося материального тела с окружающим пространством в том, что понятие ускорения
вводится не как функция от силы и массы, а как закон изменения величины радиус-вектора при
сжатии пространства в процессе движения материального тела [40]:
 (r ) 
3
r 2  r 3 r 3  r03  3 ( r 3  r03 ) 2
,
(1.5)
где r0 – параметр, характеризующий эффективный радиус материального тела,; 
–
коэффициент   r020 (r0 ) ,  ( r ) – ускорение на расстоянии r от центра масс тела. Для
нахождения значения эффективного радиуса решается задача идентефикации параметров через
согласование начальных данных задачи Коши с найденным решением.
В тех случаях, когда r0  0 (рассматриваются материальные точки), либо r
r0 , формула
(1.5) упрощается и сводится к классическому виду  (r )   r 2 , то есть, ускорение обратно
пропорционально квадрату расстояния от центра материального тела, имеющего сферическую
форму. В общем случае, исходя из формулы (1.5), величина ускорения не является обратно
пропорциональной квадрату расстояния от центра материального тела.
Если вместо материальных точек в модели (1.1) учитывать физические размеры
движущихся тел, то для задачи n тел получится математическая модель, предложенная в
работах [37, 40]. Запишем для барицентрической системы координат математическую модель
на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим
пространством для задачи n тел в векторном виде:
n
r r
30i R02i

r   i
,
 2
3
3
3
3 2
i 1  i  i  i 3 i  R0i  3 ( i  R0 i )
(1.6)
где r  ( x , y , z ) – вектор координат исследуемого небесного объекта в барицентрических
координатах;
ri  ( xi , yi , zi )
– векторы координат объектов, возмущения от которых
18
учитываются;  i  ri  r – модуль разности векторов для i-того тела; R 0i – эффективный
радиус i-того тела; 0i – ускорение для i-того тела на расстоянии R 0i от центра массы.
В модели (1.6) в явном виде не содержатся массы объектов. Однако, как можно заметить,
при R0i  0 , то есть при замене материальных тел материальными точками, 0 i R02i  k 2 mi , и
модель (1.6) становится эквивалентной классической модели (1.1).
Хотя (1.6) не содержит масс небесных тел, в правой части уравнений фигурируют
константы R0i и 0i , значения которых связаны физическими характеристиками небесных тел.
В работе [40] эти константы были рассчитаны на основании сопоставления расчётов с данными,
полученными при использовании численной теории движения больших планет, Луны и Солнца
DE405.
Модель (1.6) является более сложной, чем классическая задача n тел (1.1). Но если
сравнивать (1.6) с уравнениями (1.4), учитывающими релятивистские эффекты, то модель,
предложенная в работах [37, 40] имеет более простой вид. В работе [40] показано, что модель
(1.6) для планет даёт результаты, согласующиеся с DE405 и наблюдениями; требует меньшее
число расчётов в силу более простой структуры, а значит и предоставляет более высокое
быстродействие, нежели модели на основе (1.4), учитывающие релятивистские эффекты.
Описанные выше модели не учитывают многие негравитационные факторы, влияющие на
исследуемое небесное тело. К таким эффектам относятся: эффект Пойнтинга-Робертсона,
эффект Ярковского, столкновения с пылью и газом, которые приводят к вековым изменениям
элементов орбит небесных тел.
1.3. Негравитационные эффекты в моделях движения небесных тел
На движение небесных тел оказывают влияние не только гравитационные, но и
негравитационные силы, которые не учитываются в классической задаче n-тел. К примеру,
возмущение создаётся солнечным светом, который производит хотя и малое, но постоянное
воздействие на все тела, вращающиеся вокруг Солнца.
Одними из негравитационных эффектов, оказывающими влияние на движение небесных
объектов, являются эффект Ярковского, а также его более общая форма – эффект Ярковского–
О'Кифа–Радзиевского–Пэддэка (часто записывается в сокращенной форме как YORP–эффект).
Причиной появления этих эффектов является солнечная энергия, поглощаемая небесными
телами.
Эффект Ярковского зависит от положения оси вращения орбиты и массы тела, от
теплопроводности поверхности его слоев. В силу того, что зачастую эти параметры неизвестны,
19
или получены со значительной долей неопределенности, в общем случае явным образом учесть
эффект Ярковского становится проблематично. Воздействие эффекта Ярковского сравнительно
мало, однако он является кумулятивным, то есть происходит накопление получаемых
возмущений. Данный эффект был описан в начале XX века инженером Ярковским И.О. в статье
[64], а экспериментально подтверждён лишь в 2003 г., после 10 лет наблюдений астероида 6489
Голевка [76]. В настоящее время эффект Ярковского считается значимым фактором при
описании эволюции астероидов, входящих в главный пояс астероидов, что отражено в ряде
работ [61, 63, 72, 81-83, 93, 98, 106, 112-117, 117, 118, 122, 125].
1.3.1. Эффект Ярковского
Рассмотрим небесное тело сферической формы, вращающееся вокруг своей оси и
движущееся по орбите вокруг Солнца под действием гравитационных сил. При движении
объекта солнечное излучение нагревает его дневную сторону. В результате вращения тела
нагретая поверхность перемещается на ночную сторону и излучает накопленное тепло. Каждый
фотон, испущенный остывающей поверхностью, придаёт небесному телу импульс, равный
p  E / c , где E – энергия фотона, c – скорость света. Так как реактивная сила, возникающая
на вечерней стороне тела, не сбалансирована с дневной стороны, орбита астероида изменяется.
Сила будет направлена перпендикулярно поверхности астероида, импульс будет направлен к
центру масс астероида.
Эффект Ярковского для случая, когда ось вращения перпендикулярна плоскости орбиты
небесного тела, схематически представлен на рисунке 1.3 (F – сила Ярковского).
Рис. 1.3 – Эффект Ярковского в случае вращения по ходу движения (a) и против (b)
Проиллюстрированный эффект Ярковского является суточным, то есть проявляется при
смене дня и ночи на небесном теле. Он симметричен в том смысле, что когда направление
вращения небесного тела совпадает с направлением движения по орбите (рис. 1.3. a),
происходит увеличение большой полуоси. Если же направление вращения противоположно
направлению движения по орбите (b), происходит уменьшение большой полуоси.
20
В случае наклона оси к плоскости орбиты складываются условия для попеременного
нагрева одного из полушарий. В результате чего появляется годичная составляющая эффекта
Ярковского. Под годом в данном случае понимается период обращения небесного тела. В
случае, если летнее полушарие расположено по направлению движения, эффект Ярковского
ведёт к торможению движения. Если же по направлению движения расположено зимнее
полушарие, то происходит ускорение. Однако, в отличие от суточного эффекта, годичный
эффект в общем случае не является симметричным, так как в результате действия механизма
тепловой инерции происходит нарушение симметрии сил.
В общем случае эффект Ярковского содержит как годичную, так и суточную
составляющие. Учитывая, что наибольшее влияние эффект Ярковского оказывает на изменение
большой полуоси небесного тела, запишем усредненные за один оборот приращения для
большой полуоси, обусловленные эффектом Ярковского [72]:
8 
 da 
F ( R, ) cos  ,
  
9 n
 dt сут.
(1.7)
4 
 da 
Fn ( R, ) sin 2  .
  
 dt  год. 9 n
(1.8)
В данном случае приращение (1.7) вызвано суточной составляющей силы Ярковского, тогда как
(1.8) – годичной. Общее приращение
da dt , вызванное силой Ярковского, является
суперпозицией приращений (1.7) и (1.8). В уравнениях, записанных выше   1  AC , где AC –
 R 2E0
Бондовское (сферическое) альбедо,  
– коэффициент давления излучения, E0 – поток
mc
солнечного излучения через поверхность,  – угол наклона оси вращения тела, Fn ( R, ) –
функция, отражающая действие силы Ярковского, R  R lv , где R – радиус небесного тела, lv
– глубина прохождения тепловой волны,  – тепловой параметр. Два последних параметра ( lv
и  ) зависят от частоты вращения небесного тела v :
lv 
где K –теплопроводность, 
K  CP v
K
, v 
,
C pv
 T*3
– плотность вещества небесного тела, C p – удельная
теплоёмкость при постоянном давлении,  –коэффициент теплового излучения поверхности
тела,  – постоянная Стефана-Больцмана. T*3 – температура небесного тела в подсолнечной
точке, определяемая соотношением  T*4   E* , а E* – поток солнечного излучения на
расстоянии небесного тела.
21
Для суточной составляющей силы Ярковского частота v принимается равной частоте
вращения небесного тела  , а для годичного – равной среднему движению n . Точный вид
функции Fv приводится в нескольких работах [98, 118, 125], однако для целей данной работы
достаточно информации о характере зависимости Fv от R и  [72]:
Fv ( R, )  
k1 ( R)v
,
1  2k2 ( R)v  k3 ( R)v2
(1.9)
где k1 , k2 , k3 – аналитические функции от R  .
Выражения (1.7), (1.8) и (1.9) позволяют сделать следующие предположения относительно
силы Ярковского:
1. Зависимость от угла наклона и скорости вращения.
В силу того, что функция Fv (R, ) в выражении (1.9) отрицательна, годичное
приращение большой полуоси (1.8) также отрицательно, т.е. приводит к
уменьшению большой полуоси небесного тела. Кроме того, из выражения (1.8)
видно, что максимума годичный эффект достигает при угле наклона оси вращения
   2 , и обнуляется при угле наклона, равном 0 или  . Суточное приращение
большой полуоси, вызванное эффектом Ярковского, в свою очередь, может
приводить как к увеличению большой полуоси (    2 ), так и к уменьшению
(    2 ). Суточное приращение достигает максимума при угле наклона равном 0
или  , и обнуляется при    2 . При быстром вращении вокруг своей оси влияние
суточной составляющей силы Ярковского уменьшается, так как значительно
уменьшаются вариации температуры поверхности небесного тела.
2. Зависимость от размера небесного тела.
Эффект Ярковского становится незначительным как для малых объектов, так и для
очень больших. Для больших объектов da dt   / R , то есть имеется зависимость
вида 1 / R , где R
– радиус объекта. Для малых объектов da dt  R2 /  .
Максимальное приращение большой полуоси получается при R  1 , то есть в
случае, когда размер тела примерно совпадает с l v , глубиной прохождения тепловой
волны. Данное утверждение было подтверждено при моделировании эволюции
астероидов главного пояса астероидов [72].
3. Зависимость от состава поверхности тела.
Как показано выше, параметры R  R lv и v , от которых зависит функция
F ( R ,  ) , входящая в приращения (1.7) и (1.8), зависят от таких физических
22
характеристик вещества как теплопроводность K , плотность вещества небесного
тела  и удельная теплоёмкость при постоянном давлении C p . Таким образом,
физические
характеристики
небесного
тела
играют
значительную
роль
в
формировании силы Ярковского.
4. Зависимость от гелиоцентрического расстояния.
При увеличении гелиоцентрического расстояния приращение большой полуоси
принимает вид da dt   / (n) [72]. В работах [113, 114] установлено, что
da dt  a 2 , так как  , n и  зависят функционально от величины большой
полуоси a . В связи с чем можно утверждать, что при удалении от Солнца, влияние
эффекта Ярковского существенно снижается.
Таким образом, выше отмечены основные факторы, влияющие на величину смещения
большой полуоси, вызванную эффектом Ярковского. Однако стоит отметить тот факт, что
аналитическое представление эффекта Ярковского в общем случае для астероидов,
рассматриваемых в данной работе, затруднительно, так как аналитические выражения для
приращений (1.7) и (1.8), и для силы (1.9) требуют учета физических характеристик астероида,
которые зачастую известны лишь с большой долей погрешности. Кроме того, расчёт силы (1.9)
в аналитическом виде потребует значительных вычислений.
Принимая к сведению тот факт, что эффект Ярковского играет существенную роль лишь на
значительных интервалах времени [63, 72, 98, 125], на коротких интервалах времени для учета в
модели достаточно приближенного выражения для описания эффекта Ярковского.
1.3.2. Аппроксимация эффекта Ярковского
В силу того, что физические характеристики многих потенциально опасных для Земли
астероидов недостаточно изучены, или же получены с высокой степенью неопределённости, во
многих работах используется упрощённая схема учёта эффекта Ярковского. Более того, при
расчёте сближений потенциально опасных астероидов с Землёй для большого количества
объектов на коротких временных периодах (100 – 200 лет), достаточно учесть эффект в
приближенном виде, так как учет в полном виде привёл бы к значительным вычислительным
затратам, не внеся при этом значительного улучшения в прогноз [63, 81].
В работе [83] показано, что из всех известных на тот момент потенциально опасных
астероидов лишь у 21 было обнаружено значительное влияние эффекта Ярковского на
траекторию движения. Кроме того, в работе [112], опубликованной ранее и использовавшей
более простую модель эффекта, чем в работе [83], получено 54 астероида, для которых эффект
23
Ярковского был сочтён влияющим на траекторию движения, что является незначительным
числом по отношению к общему количеству потенциально опасных астероидов.
Таким образом, в модели движения, используемой в данной работе, ускорение небесного
тела, порождаемое эффектом Ярковского, может быть представлено в виде [81]: at 
A2
, а
r2
приращение большой полуоси, вызванное влиянием эффекта Ярковского, учитывается
следующим образом:
da 2 A2 (1  e 2 )

,
dt
np 2
(1.10)
где r – гелиоцентрическое расстояние; A2 – функция, зависящая от физических характеристик
астероида; n – среднее движение, e – эксцентриситет; p – фокальный параметр орбиты. Как
показано в работе [83], для учета эффекта Ярковского с использованием (1.10) A2 можно
представить в виде:
A2
где f ( ) 
4(1  AС )
 f () cos  ,
9
(1.11)
0.5
, AС – Бондовское (сферическое) альбедо, 
1    0, 5 2
– угол наклона оси
вращения тела.
Так как физические характеристики астероида определяются с погрешностями, то в общем
случае параметр A2 следует считать случайной величиной с определённым математическим
ожиданием и среднеквадратическим отклонением [63]. Для астероида 99942 Apophis значение
A2 ,
вычисленное
с
использованием
среднеквадратичное отклонение –
(1.10),
25 10 15 а.е / сут 2 [81],
составляет
а
 A2  70 1015 а.е / сут 2 . Как показывают результаты
моделирования, наличие такой высокой степени неопределённости выражается в смещении
астероида вдоль орбиты, которое может варьироваться от 300 км. [106] до 780 км. [63] при
интегрировании уравнения движения от 2006 до 2029 гг. Такой широкий разброс означает
необходимость учёта эффекта Ярковского при оценке вероятности столкновения для астероида
99942 Apophis.
В настоящее время ведётся учёт потенциально опасных астероидов, для которых
подтверждено
значительное влияние
эффекта
Ярковского
на
траекторию
движения.
Лаборатория реактивного движения NASA регулярно обновляет список таких астероидов
(ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/ssd/yarkovsky), содержащий всю необходимую информацию для учёта
эффекта Ярковского.
24
1.3.3. YORP–эффект
Одним из проявлений эффекта Ярковского является эффект Ярковского-О'КифаРадзиевского-Пэддэка или YORP–эффект. По сравнению с эффектом Ярковского, YORP–
эффект учитывает дополнительные факторы и проявляется в изменении скорости вращения
астероида под действием солнечного излучения. Этот эффект проявляется только для
астероидов, форма которых отлична от сферической. YORP–эффекту посвящен ряд работ [72,
106, 118] и он, совместно с эффектом Ярковского, относится к негравитационным эффектам,
учитывающимся при расчётах эволюции астероидов на значительных интервалах времени [72,
81, 83, 98, 106, 114, 118, 125].
Как описано выше, эффект Ярковского заключается в том, что в результате остывания
нагретой
поверхности
астероида,
возникает
сила,
которая
не
компенсируется
с
противоположной стороны небесного тела. В результате действия такой силы на астероид
неправильной формы, импульс, порождаемый такой силой в общем случае не направлен в
центр масс астероида. Таким образом, возникает круговой момент, и, как следствие, угловое
ускорение, уменьшающее, или увеличивающее скорость вращения астероида (в зависимости от
направленности). Следует учесть тот факт, что хотя влияние эффекта и мало, он является
кумулятивным, то есть как и в случае эффекта Ярковского, возмущения накапливаются со
временем.
YORP–эффект оказывает существенное влияние на длительных интервалах времени и
только на астероиды неправильной формы. На астероиды, близкие по форме к сфере или
эллипсоиду, эффект не оказывает значительного воздействия [93, 122].
В силу того, что в данной работе эволюция орбиты астероидов прослеживается не более
чем на 200 лет, YORP –эффект в модели движения астероидов не учитывается при оценке
величины вероятности столкновения по причине незначительного влияния на таких коротких
промежутках времени.
1.3.4. Световое давление и эффект Пойнтинга-Робертсона
Возмущение, непосредственно вызываемое воздействием солнечного излучения на
небесное тело, можно свести к двум факторам: световому давлению и эффекту ПойнтингаРобертсона [8, 53, 74]. Эффект Пойнтинга-Робертсона проявляется в торможении небесного
тела под действием солнечного излучения. Кванты, излучаемые Солнцем, приносят радиальный
импульс и при излучении частицей, движущейся в Солнечной системе, они дадут
тангенциальную тормозящую силу в дополнении к нормальному давлению излучения [52].
Сила, возникающая из-за эффекта Пойнтинга-Робертсона зависит от мощности излучения W и
скорости частицы v и имеет следующее выражение [52]:
25
FПР 
Wv
.
c2
Для случая частицы сферической формы FПР примет вид [52]:
FПР
r2
 2
4c
GM С L2С
,
R5
где r – радиус частицы, М С – масса Солнца, LС – светимость Солнца, R – гелиоцентрическое
расстояние до частицы, G – гравитационная постоянная.
В ряде работ [8, 52, 63, 74] установлено, что возмущения, оказываемые на траекторию
движения
небесных
объектов
давлением
света
и
эффектом
Пойнтинга–Робертсона
существенны только для малых тел и пылевых частиц. Таким образом, эффектом ПойнтингаРобертсона при рассмотрении движения небесных тел потенциально опасных небесных
объектов на интервалах времени, используемых в данной работе (100–200 лет), можно
пренебречь. Кроме того, эффектами, вызванными торможением потенциально опасных
астероидов от столкновений с пылью и газом, можно пренебречь как в силу значительных
размеров рассматриваемых астероидов, так и по причине низкой плотности межпланетной
среды вблизи Земли [1].
1.4. Численные методы решения уравнений движения небесных тел
Дифференциальные уравнения позволяют представить большинство фундаментальных
законов, отражающих различные явления природы, в простой математической форме.
Большинство задач небесной механики также могут быть описаны обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Однако лишь ограниченный класс задач представлен
дифференциальными уравнениями, для которых возможно получение точных аналитических
решений. Эта проблема приводит к необходимости разработки методов, позволяющих получить
приближенное решение задачи.
Задача n тел состоит в изучении движений n материальных точек под действием их
взаимного притяжения по закону Ньютона. Решение уравнений движения n тел является
основной задачей небесной механики. На сегодняшний день не представлено общего
аналитического решения задачи для n  3 тел, поэтому для решения применяются методы
численного интегрирования уравнений движения. Для случая n  3 имеется аналитическое
решение, предложенное К. Зундманом в виде сходящихся рядов [49]. Однако оно представляет
лишь теоретический интерес, так как из-за медленной сходимости рядов, практическое
использование данного решения нерационально, что было показано Д. Белорицким [68].
26
Решение задач небесной механики связано с нахождением решения задачи n тел
численными методами [5, 6]. Необходимость учета дополнительных эффектов ведёт к
усложнению стандартной задачи n тел, что в свою очередь, выражается в необходимости
модификации и совершенствования существующих численных методов. В аналитических
приближенных методах практически невозможно учесть весь спектр возмущений, так как они
требуют упрощения правых частей дифференциальных уравнений. Численные методы лишены
такого недостатка.
Приведем основные современные методы численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, используемых в решении задач небесной механики на примере
решения задачи Коши [58]:
 y   f ( x, y ), x  [a, b];

 y (a)  y0 ,
(1.12)
где f ( x , y ) удовлетворяет условию Липшица ( L – константа Липшица):
f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  L y1  y2 , x  [a , b ] .
(1.13)
Численные методы, рассматриваемые ниже, известны как дискретные методы, т.е. методы
вычисляющие последовательность приближений yn  y ( xn ) на множестве точек: xn 1  xn  hn ,
n  0,1, 2,..., N  1 , x0  a , xN  b где hn >0 – шаг сетки, y( xn ) – точное решение в точке xn , а yn
– приближенное решение в точке xn .
Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, в большинстве своём,
основанные на двух различных принципах, по которым их можно сгруппировать.
К первой группе относятся методы, в основе которых лежит разложение в ряд Тейлора. При
этом производные высших порядков определяются посредством дифференцирования правой
части уравнения аналитически или численно. Методы, относящиеся к данной группе: Эйлера,
Адамса, Штермера, Коуэлла и др.
В основе методов второй группы – также разложение в ряды, но производные высших
порядков не используются в вычислениях. Вместо этого проводят вычисления правой части
уравнения для различных значений зависимых переменных. Группа этих методов называется
методами Рунге–Кутты.
Преимущества методов Рунге-Кутты перед методами первой группы:
 для определения значения yn 1 на один шаг используются лишь значения искомых
функций в последней точке, то есть для начала интегрирования не требуются какие-либо
другие методы;
27
 допускается изменение величины шага интегрирования h в процессе работы без какихлибо дополнительных вычислений. Критерием необходимости изменения шага могут
служить результаты сравнения расчетов со стандартной длиной шага и с шагом
половинной длины.
Недостатки методов Рунге-Кутты:
 необходимость большого количества вычислений частей дифференциального уравнения,
что представляет собой большую нагрузку, когда правая часть имеет сложную
структуру;
 увеличение сложности расчетных формул и количества необходимых вычислений при
увеличении точности метода.
Методы первой группы лишены указанных недостатков, поэтому они нашли широкое
применение для решения задач, требующих высокой степени точности. Практическим
ограничением применимости методов разложения в ряд Тейлора для задач небесной механики
является незначительное количество задач, для которых легко вычисляются полные
производные высших порядков функции в правой части уравнения.
Стоит отметить, что вторая группа методов, в отличие от первой, содержит универсальные
методы, так как при учёте в правых частях уравнений движения дополнительных членов не
требуется полный пересчёт расчётных формул. Кроме того, к группе методов Рунге-Кутты
также относится и высокоточный метод Эверхарта, который предоставляет не только высокую
точность расчётов, но и высокое быстродействие.
Проведём краткий обзор методов, наиболее часто применяемых в решении задач небесной
механики. К ним относятся: методы, основанные на
разложениях в ряд Тейлора, методы
Адамса, метод Коуэлла и метод Эверхарта.
1.4.1. Методы разложения в ряд Тейлора
Для иллюстрации метода представим решение задачи Коши (1.12) при помощи разложения
функции f ( x, y) в ряд Тейлора:
 y ( xn 1 )  y ( xn )  h ( xn , yn , h), n  0,1, 2  ,


h
h2



(
x
,
y
,
h
)

y
(
x
)

y
(
x
)

y( xn )  ... .

n
n
n
n
2!
3!

(1.14)
Общую формулу для определения yn 1 можно получить, если ограничиться k членами ряда
и заменить y( xn ) приближенным значением yn [39]:
28
 yn 1  yn  h ( xn , yn , h ), n  0, 1, 2, ... ,


h
h k 1 ( k 1)
f
( x, y ).
 ( x, y, h)  f ( x, y )  f ( x, y )  ... 
2!
k!

(1.15)
Метод тейлоровских разложений может предоставить высокую точность, так как
производные, входящие в формулу (1.14), могут быть вычислены с необходимой степенью
точности. Формулы (1.15), не требуют вычисления дополнительных начальных условий, а
также допускают изменение шага интегрирования и порядка аппроксимирующей формулы.
Развитие метода применительно к задаче n-тел описано в работах В. Ф. Мячина и
О. А. Сизовой [54], а так же в работах А. Ф. Заусаева [39] и R. Broucke [73].
На практике применение метода тейлоровских разложений ограничено задачами, для
которых легко вычисляются полные производные высших порядков функции f ( x, y) . В силу
того, что при учёте в правых частях уравнений движения дополнительных членов требуется
пересчёт расчётных формул, метод не может считаться универсальным.
1.4.2. Многошаговые методы Адамса
Суть многошаговых методов состоит в том, что для вычисления yn 1 используются
некоторые предварительно вычисленные значения yn , yn1,..., ynk . Построение многошаговых
методов широко раскрыто в работах [58, 77, 96]. Уравнение (1.12) интегрируется в пределах от
x до x   (таких, что отрезок [ x, x   ] содержится в отрезке [ a, b] ). Затем, функция f ( t , y ( t ))
заменяется интерполяционным полиномом, принимающим значения
f n  f ( xn , yn )
на
множестве точек xn , в которых yn ранее вычислены. Если xn , xn1 ,..., xn k – узлы интерполяции, то интерполяционный полином для f ( x, y) в форме Ньютона запишется в виде:
k

 s 
P
(
t
)

(1) r    r f n ,


r 0
 r 

 s  s ( s  1)...( s  r  1)
,
  
r!
 r 

 t  xn  ,
s 
h

где  r f n – r -тая разность функции f ( xn , yn ) , определяемая следующим образом:
 f k  f k 1  f k , k  0, n  1 ;
 r
r 1
r 1
  f k   f k 1   f k , r  m, k  0, n  r.
Подставляя интерполяционный полином вместо f (t , y(t )) и производя интегрирование,
получим различные формулы, которые определяются положением точек
x
и
x 
29
относительно узлов интерполяции. Если при построении интерполяционного полинома
использовать точки xn1 , xn , xn1,..., xn k , то возникает класс неявных m-шаговых методов,
известных как методы Адамса-Мултона. В общем виде класс неявных методов Адамса [58, 53]
имеет вид:
k
yn  yn 1  h   r*  r f n .
r 0
Многошаговые методы, в отличие от одношаговых, имеют свою специфику. Для примера
рассмотрим метод пятого порядка. Легко заметить, что, например, для метода пятого порядка (
k  5 ) для начала расчётов при n  0 требуется информация в точках x1, x2 , x3 , x4 , значения
в которых неизвестны.
Есть два пути решения данной проблемы:
 получение недостающей информации о первых t точках, используя одношаговый
метод того же порядка точности (к примеру, метод Рунге-Кутты);
 использование на первых t шагах интегрирования методов с меньшим количеством
шагов (на первом – одношаговый, на втором – двухшаговый и т.д.).
Существенной деталью является требование к соответствию точности применяемых
методов. Стартовые значения должны вычисляться с той же степенью точности, с какой будет
работать окончательный метод. Поскольку стартовые методы имеют более низкий порядок
точности,
вначале приходится считать
с меньшим шагом
и
использовать
больше
промежуточных точек [42], что может сказываться на точности получаемого решения.
1.4.3. Метод Коуэлла
Метод Коуэлла, является специализированным методом, созданным для решения задачи n
тел [51]. Впервые данный метод был применён в 1910 г. для предсказания возвращения кометы
Галлея в работе Коуэлла и Кроммелина «Investigation of the motion of the Halley's Comet from
1759—1910». В основе метода – интерполяция производных конечными разностями. Для
уравнения вида 
y  f ( y , t ) метод Коуэлла запишется в виде:


 2 yn  h2  f n   k k f n  ,

k 1

где  2 yn  yn 1  2 yn  yn 1 ,  1
 0,
2 
1
, 3
12
 0
, 4  
1
, 5
240
 0,
6 
31
, ... , k f k –
60480
k -тая разность fk . Для нахождения точки yn 1 следует применяется формула yn1  yn  n 1/2 ,
где n1/2  n1/2  n2 .
30
Быстродействие метода Коуэлла выше, чем у методов, основанных на разложениях в ряд
Тейлора, однако при этом методы Коуэлла проигрывают в точности методам Тейлора. Это
связано с тем, что в методах Коуэлла производные вычисляются по разностной схеме. Как
отмечено в работе [54] в описании источников ошибок в численных методах, замена
производных разностями сильно снижает точность формул.
1.4.4. Метод Эверхарта
Метод Эверхарта – неявный одношаговый метод, принадлежащий к группе методов РунгеКутты. Метод Эверхарта использует построение ряда по степеням независимой переменной,
который в общем случае не является рядом Тейлора [80]. Данный метод был разработан для
решения задач небесной механики в 1973 г. Эдгаром Эверхартом для задачи численного
исследования орбит небесных тел. Для уравнения 
y  F ( y , t ) метод имеет вид:
y  y1  y1t  F1
t2 n
t i2
  Ai
,
2 i 1 (i  1)(i  2)
где F1 и Ai – коэффициенты в разложении в ряд правой части по степеням t. При этом
коэффициенты Ai определяются так, чтобы с помощью конечных разностей обеспечить
наилучшее приближение решения y .
Метод Эверхарта является одним из самых эффективных на сегодняшний момент методов
численного интегрирования. В настоящее время он получил широкое практическое
применение.
Точность
метода
можно
увеличить
посредством
повышения
порядка
аппроксимирующей формулы. Эверхарт в своей работе приводит узлы разбиения шага на
подшаги до 15 порядка включительно, однако в современных работах [41–45] алгоритм развит
до 33-ого порядка включительно.
1.4.5. Сходимость и устойчивость численных методов
Большинство задач небесной механики описываются обычными дифференциальными
уравнениями второго порядка. Для задач о движении небесных объектов точность получаемого
решения является одним из важнейших факторов. В связи с этим, методы, применяемые для
численного интегрирования указанных задач, должны быть согласованными и сходящимися.
Кроме того, важным вопросом является оценка погрешности результата, полученного
численным методом.
Численный метод даёт последовательность приближенных решений ( yn | n  0, 1, ... , N ) ,
где yn – приближение к точному решению y( xn ) , где xn  a  nh и Nh  b  a .
31
Полная погрешность метода в точке xn определяется с применением равномерной нормы
yn  y( xn ) , 0  n  N . Метод считается сходящимся, если для каждой задачи из класса (1.12)
справедливо утверждение: lim max yn  y( xn )  0 .
h0 0 n N
Согласованность допускает минимальный уровень локальной точности и является
необходимым условием для сходимости.
Определение 1.1 Метод является согласованным, если выполняется условие lim max d n  0
h 0 0  n  N
, где d n – локальная погрешность дискретизации [58].
k
Теорема 1.1: Метод из класса общих k-шаговых методов
 y
i
n i
 h f ( xn , yn  k ,..., yn , h)
i 0
( где 0  n  N  k , yr  S r (h), 0  r  k – начальные значения) согласован тогда и только тогда,
когда выполнены условия [58]:
lim yr  y0 , 0  r  k ,
h 0
k

i
  (1)  0 ,
i 0
 f ( xn , y ( xn  k ),..., y ( xn ), h)   (1) f ( xn , y ( xn )) при h  0 , xn  a  nh ,
k
где  ( ) 
  i i
– характеристический полином.
i0
Докажем теорему 1.1. Для этого запишем формулу для невязки, получаемой при
подстановке точного решения в формулу k-шаговых методов.
dn k 

1  k

  i  y ( xn )  ihy ( xn  i ih)  h f ( xn , y ( xn  k ),..., y ( xn ), h)  
 (1)h  i 0

k

1 
 k
y
(
x
)


h

i i f ( xn  i ih, y ( xn  iih))   f ( xn , y ( xn  k ),..., y ( xn ), h)   ,
 n  i


 (1)h 
i0
 i o

где 0  n  N  k .
Легко видно, что при выполнении условий теоремы lim d n k  0 , что свидетельствует
h 0
о согласованности метода.
Важным вопросом при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений
является проблема устойчивости как самих дифференциальных уравнений, так и численных
методов [78].
32
Определение 1.2. Устойчивость задачи Коши определяется следующим образом [58].
Пусть ( ( x ),  ) , ( * ( x),  * ) — некоторые возмущения, а z ( x ) , z * ( x ) – возмущенные
решения задачи Коши. Тогда для x  [a , b ] задача Коши (1.12) абсолютно устойчива, если
существует постоянная S  0 такая, что для любого  выполняется:
z ( x)  z*  S ,
 ( x)   * ( x)   ,
(1.16)
  *  .
В случае невыполнения условий (1.16) класс задач является неустойчивым.
Если задача Коши не является абсолютно устойчивой, то получить приемлемое решение
каким-либо численным методом можно только если сам метод является устойчивым.
Рассмотрим класс возмущённых методов следующего вида:
 zr  S r (h )   r , 0  r  k ,
 k

  i zni  h j ( xn , zn k , , zn , h )   n k , 0  n  N  k ,
 i 0
(1.17)
где ( n | n  0, 1, ... , N ) – возмущение, а ( zn | n  0, 1, ... , N ) – возмущенное решение.
Определение 1.3. Пусть ( n | n  0, 1,..., N ) , ( n* | n  0, 1,..., N ) – некоторые возмущения, и
пусть
( zn | n  0, 1,..., N )
и
( zn* | n  0, 1,..., N )
– возмущенные решения. Тогда, если
существуют постоянные h0 и S такие, что для любого h  (0, h0 ] выполняется:
 zn  zn*  S ,


*
 n  n   ,

0  n  N ,
то метод (1.17) нуль – устойчив или устойчив по Далквисту (D – устойчив ).
Теорема 1.2: Метод из класса k-шаговых методов, представленных в общем виде:
k
 i yni  h ( xn , yn k ,, yn , h ), 0  n  N  k ,
 i 0
 y  S (h ), 0  r  k .
 r
r
сходится тогда и только тогда, когда он является и согласованным, и нуль – устойчивым [58].
Величина погрешности аппроксимации определяется согласованностью метода, а за
характер развития погрешностей в пределе при h  0, Nh  b  a отвечает нуль – устойчивость.
Нуль-устойчивость является гарантией устойчивого развития погрешности при h  0 . Для
33
различных численных методов существует определенное число h0 такое, что если h  (0, h0 ) , то
развитие погрешности устойчиво.
Теорема 1.3: Если метод из класса k-шаговых методов, представленных в общем виде:
k
  i yn i  h ( xn , yn k , , yn , h), 0  n  N  k ,
 i 0
 y  S (h), 0  r  k ,
 r
r
нуль-устойчив и имеет порядок согласованности p, то он сходится и имеет порядок
сходимости p [58].
Методы,
не являющиеся сходящимися, нельзя рекомендовать
для практического
использования. С другой стороны, сходимость метода не даёт гарантии того, что метод даст
приемлемые численные результаты [42].
1.4.6. Оценка погрешности численных методов
Результаты, полученные посредством программных реализаций численных методов
неизбежно содержат в себе различные ошибки. К причинам, обуславливающим погрешность
решения задач можно отнести следующие:
1) неточности описания математической модели задачи;
2) погрешности в начальных данных;
3) погрешность метода, использованного для получения численного решения.
Основными типами ошибок, определяющих погрешность метода, являются ошибки
округления, дискретизации и аппроксимации.
На практике из-за наличия ошибок округления, а так же погрешностей в вычислениях
правой части дифференциального уравнения и приближенного решения разностного уравнения,
вместо функции
yn будет вычислена функция
y n , удовлетворяющая возмущенному
разностному уравнению
k
 y
i n i
 h f ( xn , ynk ,..., yn , h)   n k ,
i 0
где  n  k – невязка, определяющая погрешность округления.
Ошибки округления возникают при выполнении арифметических операций на ЭВМ в силу
того, что числа представляются в ЭВМ с конечной точностью. В работе [84] подробно
рассматривается проблема ошибок округления и даются практические рекомендации по
улучшению точности вычислений при использовании арифметики с плавающей запятой.
34
Погрешность
округления
 n k
является
слабоуправляемой
величиной.
Влияние
погрешности этого типа на результаты вычислений можно снизить через увеличение
программной точности вычислений. К примеру, использовать удвоенную точность вычислений
либо специальные структуры данных, поддерживающие длинную арифметику.
Ошибки дискретизации связаны с погрешностью замены непрерывных задач дискретными.
Ошибки дискретизации появлялись бы, даже если было бы возможным точное представление
чисел и абсолютная точность арифметических операций, так как источник ошибок
дискретизации – в представлении непрерывных функции через их значения на конечном
множестве точек [89].
Дискретизация является вынужденной мерой при использовании численных методов
решения дифференциальных уравнений по той причине, что для вычисления значений функций
не может использоваться бесконечное число точек и непрерывные функции будут
представлены как дискретные.
Неточности описания математической модели связаны с тем, что правая часть
дифференциального
уравнения
описывает
поставленную
задачу
с
определенными
допущениями и упрощениями. Кроме того, правая часть может быть представлена
неустойчивой, быстро изменяющейся функцией, и даже допускать сингулярности. В этом
случае необходимо применять специальные процедуры, к примеру линеаризацию и
регуляризацию [5], устраняющие сингулярности (сводящие уравнение к линейному и
регулярному виду), методы стабилизации для ослабления неустойчивости и сглаживающие
преобразования.
Погрешности в начальных данных также вносят свой вклад в погрешность решения задачи
Коши численным методом. К примеру, если задача слабоустойчива, то незначительные
изменения в начальных данных могут повлечь существенную погрешность в решении,
полученном численным методом. Вопрос влияния погрешностей в начальных данных на
результат решения уравнений движения астероида рассмотрен на примере астероидов в работах
[19, 23, 37, 38]. В работе [11] разобрана проблема точности элементов орбит небесных тел.
Неустранимой погрешностью называют погрешность, включающую в себя неточности
задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи, а также погрешности
математической модели как следствие расхождения построенной математической модели с
реальностью.
При использовании методов численного интегрирования необходимо принимать во
внимание и ошибки аппроксимации, которые связаны с точность формул, используемых в
применяемых методах.
35
Полной погрешностью дискретизации (полной погрешностью метода) в точке x  xn ,
0n N
называется величина
 n  yn  y ( xn ) . Получение надежных оценок полной
погрешности дискретизации – одна из основных задач в численных методах решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Наиболее распространённые на практике методы оценки ошибки дискретизации численных
методов – это метод экстраполяции и вложенные методы.
Метод экстраполяции (метод Рунге) состоит в том, что интегрирование на отрезке [ xn , xn 1 ]
выполняется сначала с шагом h, а затем с шагом h/2. Тогда оценка погрешности
h/2
d n 1   ynh/21  ynh1  h (1  2  p ) , где yn1 получено с шагом h/2, а y nh1 – с шагом h.
Идея вложенных методов в том, чтобы на каждом шаге выполнить интегрирование сначала
методом порядка
p , а затем – методом порядка
p  1 . При этом получаем оценку
p1
p
dn 1  ( ynp11  ynp1 ) / h , где yn1 получено с порядком p  1 , а yn1 – с порядком p .
Как показывает практика, метод экстраполяции требует наибольших затрат в сравнении с
вложенными, но в то же время и является более надежным и точным по сравнению с ними.
Погрешность метода Эверхарта оценивалась в работах [40, 43] при численном
интегрировании уравнений движения больших планет на интервале времени 10000 лет.
Полученные результаты показывают, что хотя метод Эверхарта и уступает многошаговым
методам по быстродействию, по точности он превосходит все перечисленные выше методы.
1.5.
Обзор
математических
моделей
для
оценки
вероятности
столкновения небесных тел с Землёй
На сегодняшний день открыто более 12000 астероидов, которые принадлежат группам
Аполлона, Амура и Атона. Свыше 1500 из них проходят через сферу действия Земли на
интервале времени с 1800 по 2200 гг. Вследствие тесного сближения с Землёй возможно
изменение траектории движения астероида, что может привести к столкновению в будущем.
Задача оценки вероятности столкновения распадается на две связанные задачи:
 обнаружение возможности столкновения с астероидом;
 оценка вероятности столкновения.
Кроме того, стоит различать задачу об оценке вероятности столкновения с обнаруженным
и наблюдаемым астероидом и задачу об оценке вероятности столкновения с ещё не
обнаруженными объектами. В рамках данной работы рассматривается только проблема оценки
вероятности столкновения с известными или вновь обнаруженными астероидами.
36
1.5.1. Минимальные расстояния между орбитами небесных тел
Для того, чтобы отнести астероид к классу потенциально опасных для Земли, необходимо
выполнение нескольких условий. Во-первых, астероид должен пересекать орбиту Земли на
расстоянии менее 0,05 а.е. (астрономических единиц) [70, 92], а во-вторых, диаметр астероида
должен превышать 150 метров (это условие эквивалентно тому, что абсолютная звёздная
величина H  22 ) [66]. Таким образом, необходимо знать минимальное расстояние между
двумя орбитами. Что и приводит к задаче поиска и оценки минимального расстояния между
орбитами (параметр MOID: Minimum Orbital Intersection Distance).
При получении новых данных об элементах орбит астероидов необходимо произвести
расчеты для выявления потенциально опасных. Так как расчеты необходимо проводить для
значительного числа астероидов, время расчетов становится важным критерием при выборе
метода оценки MOID. Кроме того, важна и точность получаемых оценок.
По данным Лаборатории реактивного движения NASA (http://neo.jpl.nasa.gov/orbits) и
Центра малых планет (http://www.minorplanetcenter.net/iau/Dangerous.html), на сегодняшний
день насчитывается более 1500 потенциально опасных астероидов.
Разработан широкий спектр различных методов для определения MOID, которые условно
можно подразделить на три группы: аналитические, численные, и численно-аналитические.
Характерными представителями аналитической группы методов являются методы, изложенные
в работах [86, 95]. Существуют аналитические методы, учитывающие стохастические
взаимосвязи в элементах орбиты [71]. Кроме того, весьма широкое развитие получили методы,
опирающиеся на численные алгоритмы [65, 69, 85, 100, 123, 126], которые предоставляют
высокую скорость работы и настраиваемую точностью расчётов.
Наиболее часто используемыми подходами в аналитических методах определения MOID
являются предложенные в работах Холшевникова [95, 67] и Gronchi [85 – 87].
Стоит отметить значительный вклад в разработку методов решения задачи определения
минимального расстояния между орбитами таких учёных как К. В. Холшевников и
Н. Н. Васильев, которые в работе [95] свели задачу отыскания минимального расстояния между
двумя эллиптическими орбитами к решению тригонометрического уравнения восьмой степени.
В той же работе ими показано, что дальнейшее упрощение задачи в общем случае невозможно.
Важным результатом работы [95] является то, что предложенный в ней метод нечувствителен к
наличию кратных или близко расположенных корней исследуемой функции, в отличие от
большинства итеративных методов, которые могут пропустить такие корни. Кроме того,
представленный в работе Холшевникова и Васильева метод позволяет определять не только
минимальное расстояние между орбитами, но и получать информацию о всех критических
37
точках функции расстояния. Существует более поздняя модификация метода, описанная в
статье [67].
Наряду с методом Холшевникова, одним из самых распространённых является метод,
предложенный Giovanni F. Gronchi [85 – 87]. Данный метод считается стандартом при решении
задачи оценки величины MOID. Исходный код метода находится в общем доступе по адресу
http://adams.dm.unipi.it/~gronchi/kepdist/. Метод является эффективным, он предоставляет
высокую точность расчётов (порядка 1014 а.е. ), надёжные оценки и отличается от других
методов своей группы высоким быстродействием [85, 86]. Так же, как и метод, предложенный
Холшевниковым, метод Gronchi позволяет получать информацию не только о точках минимума
функции расстояния, но и о других критических точках. Данная информация может быть
использована при оценке вероятности столкновения потенциально опасного астероида с
Землёй. В основе алгоритма – использование быстрого преобразования Фурье и сведение
задачи к алгебраическому полиному 16-ой степени, чьи действительные корни затем
используются для отыскания критических точек функции расстояния между орбитами [85, 87].
Весьма большая группа методов имеет в своей основе итерационные алгоритмы, то есть
задача оценки минимального расстояния между орбитами в них решается посредством
последовательных уточнений значения MOID. К достоинствам таких методов относится
простота реализации, а также возможность контроля точности и скорости расчётов. Общую
структуру методов этой группы можно представить в следующем виде. Производится расчёт
расстояний между каждыми двумя точками на орбитах исследуемых тел, а затем полученное
дискретное представление функции расстояния между орбитами анализируется различными
методами для получения оценки параметра MOID.
Однако методы, использующие исключительно численный подход к решению задачи,
требуют значительных объёмов вычислений. Поэтому на практике предпочтение отдаётся
гибридным методам, то есть численно-аналитическим, сочетающим в себе преимущества двух
основных подходов. Идея численно-аналитических подходов к решению задачи оценки MOID
состоит в том, что сначала аналитическими методами производится сведение исходной задачи к
более простому виду, а затем используются численные методы для получения результата.
Такой подход к решению задачи использован, к примеру, в работах [70, 100, 105, 116, 126].
Существуют также модификации различных методов (к примеру, работы [71, 87] ),
учитывающих стохастическую составляющую в оценке параметра MOID.
Особо следует отметить работу [126], так как метод, предложенный в ней, предполагает
простую геометрическую интерпретацию, и является наиболее эффективным с точки зрения
быстродействия и вычислительных затрат по сравнению с классическими методами [86, 95]. В
38
программном комплексе, созданном в рамках данной диссертационной работы используется
модификация приближенного метода из работы [126], выбранная по причине высокой
эффективности и контролируемой точности алгоритма нахождения MOID.
1.5.2. Моделирование случайных величин
Для задачи оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй вопрос об
использовании случайных чисел в расчётах весьма важен. При определении элементов орбиты
посредством наблюдений небесных объектов полученные значения элементов неизбежно
содержат в себе погрешности, обусловленные множеством различных факторов. В силу
действия центральной предельной теоремы теории вероятностей, эти величины можно считать
подчиняющимися нормальному закону распределения, что является широко используемым на
практике упрощением [11, 19, 23, 33, 36–38, 56, 63, 85, 92]. Элементы орбиты астероидов,
рассматриваемых
в
задачах
небесной
механики,
считаются
зависимыми
нормально
распределенными случайными величинами и рассматриваются как 6-и мерный вектор с
определенными математическими ожиданиями и ковариационной матрицей, задающей
дисперсии и связи между элементами [11, 36–38, 92].
Числовые характеристики системы n случайных величин:
1. Математическое ожидание системы случайных величин. Представляет собой nмерный вектор, состоящий из математических ожиданий компонент, входящих в
систему M [ X 1 ,..., X n ]  ( M [ X 1 ],..., M [ X n ]) .
2. Дисперсия системы случайных величин. Представляет собой n-мерный вектор,
состоящий
из
дисперсий
компонент,
входящих
в
систему.
D[ X 1 ,..., X n ]  ( D[ X 1 ],..., D[ X n ]) .
3. Ковариационная матрица, состоящая из n ( n  1) ковариаций, определяемых по
формуле
cov( X i , X j )  M [( X i  M [ X i ])( X j  M [ X j ])]
и
n
cov( X i , X i )  D[ X i ] ).
Обозначим  ij  cov( X i , X j ) , тогда ковариационная матрица имеет вид:
11 12

22
ij  21
... ...
 n1  n 2
... 1n
...  2 n
.
... ...
...  nn
дисперсий
(т.к.
39
В
силу
того,
что
ij   ji ,
ковариационная
матрица
удобно
записывается
в
верхнетреугольном виде:
11
ij 
12
... 1n
 22
...  2 n
...
...
D1

12
... 1n
D2
...  2 n
...
 nn
Следует заметить, что ij
...
.
Dn
не является треугольной, то есть в общем случае содержит
ненулевые элементы ниже главной диагонали. Запись, представленная выше, используется
исключительно для удобства. Иногда вместо ковариационной матрицы используется
корреляционная матрица. Элементами её являются коэффициенты корреляции, определяемые
по формуле:
r( X i , X J ) 
cov( X i , X j )
D[ X i ]D[ X j ]
.
Очевидно, что диагональные элементы будут равны 1, так как cov( X i , X i )  D[ X i ] .
Нормальный закон распределения для n-мерной случайной величины обозначается
N ( M , ) , где M – n-мерный вектор, состоящий из n математических ожиданий, а  –
ковариационная матрица.
Функция плотности вероятности для нормального закона для n-мерной случайной
величины имеет вид [55]:
f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
S
n
(2 ) 2
exp( 
1 n n
  sij ( xi  m xi )( x j  m xj )) ,
2 i j
где mxi  M [ X i ] – математическое ожидание случайной величины X i , exp() –экспонента,
S –
определитель матрицы S, а sij – её элементы. Матрица S является обратной для ковариационной
матрицы  , то есть Sij  ij
1
.
При компьютерном моделировании явлений реального мира часто требуется внесение в
модель элемента случайности. Имитационное моделирование, современная криптография,
методы Монте-Карло и многие другие задачи из прикладных областей нуждаются в случайных
числах для эффективной работы. Однако получение случайных чисел при помощи ЭВМ
является нетривиальной задачей. Это связано с детерминистическим принципом архитектуры
ЭВМ, то есть с тем, что любые неопределённости в результатах работы ЭВМ сводятся к
минимуму.
40
Поэтому в большинстве прикладных задач используются генераторы псевдослучайных
величин. Случайные числа, получаемые с использованием алгоритмов на ЭВМ, считаются
псевдослучайными. Это определение подчеркивает факт того, что случайные величины,
полученные с помощью алгоритмов-генераторов, почти независимы и подчиняются какому-то
определенному закону распределения, однако не являются истинно случайными.
Теоретические и практические аспекты проблемы генерации случайных величин подробно
рассмотрены в работах Д.Э. Кнута [50], С.М. Ермакова [35] и В.В. Быкова [10].
Одним из современных генераторов псевдослучайных чисел на данный момент является
так называемый «Вихрь Мерсенна». Алгоритм разработан японскими учеными Макото
Мацумото и Такудзи Нисимура [102]. Необычное название обусловлено структурой генератора.
«Вихрем»
называется
преобразование,
обеспечивающее
равномерное
распределение
генерируемых псевдослучайных чисел. В основе генератора лежат свойства простых чисел
Мерсенна, благодаря которым генератор выдаёт последовательности псевдослучайных чисел с
периодом, равным числу Мерсенна 219937 1, что позволяет минимизировать корреляцию между
последовательными значениями в выходной последовательности псевдослучайных величин
[102]. Кроме значительного периода, к достоинствам генераторов, основанных на «Вихре
Мерсенна», относятся равномерное распределение и высокая скорость генерации случайных
чисел. Подробно данный генератор псевдослучайных чисел, а также его модификации
рассмотрены в работах [102, 107, 108].
На
практике
часто
возникает
необходимость
в
случайных
числах,
не
только
распределенных по какому-то закону, но и связанных определенными зависимостями, однако
большинство генераторов псевдослучайных величин нацелены по своей сути на создание
максимально независимых между собой случайных величин.
Рассмотрим алгоритм получения n-мерной случайной величины A , распределённой по
нормальному закону, A  N ( M ,  ) с известным вектором математических ожиданий M
и
ковариационной матрицей  .
Пусть
Z
– n-мерная случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону
распределения. Её можно получить, воспользовавшись одним из генераторов псевдослучайных
чисел. В данной работе в качестве генератора псевдослучайных чисел используется «Вихрь
Мерсенна» [102, 107, 108].
Теперь, имея Z , необходимо получить случайную величину Y  N ( M 0 , E ) , где M 0 – nмерный вектор нулевых математических ожиданий, а E – единичная матрица (ковариационная
матрица с  2  1 на главной диагонали).
41
Для этого можно воспользоваться преобразованием Бокса – Мюллера [88], которое
позволяет на основе имеющихся равномерно распределенных величин получать стандартные
нормально распределённые случайные величины. Метод является точным и более быстрым, в
отличие от методов, в основе которых лежит одно из следствий центральной предельной
теоремы, согласно которому сумма независимых случайных величин при достаточно большом
числе слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.
Далее, необходимо осуществить преобразование N ( M 0 , E )  N ( M , ) . Теоретические
аспекты данного преобразования подробно разобраны в работах [10, 102, 107, 108]. Для того
чтобы получить зависимые случайные величины, необходимо воспользоваться формулой
T
X  C T Z , где С является разложением Холецкого для  , то есть С C   [75]. Разложение
Холецкого для ковариационной матрицы всегда существует и единственно, так как по
определению ковариационная матрица является симметричной и положительно-определённой.
Осуществив все описанные выше преобразования, мы получим случайную величину
X  N ( M 0 , ) . Теперь, для получения требуемой величины A необходимо лишь провести
смещение X по формуле A  X  M . Итак, после всех преобразований, из равномерно
распределенной случайной величины Z была получена случайная величина A  N ( M ,  ) .
1.5.3. Оценка вероятности столкновения небесных тел с Землёй
Важно понимать, что орбита объекта никогда не известна абсолютно точно. Хотя
номинальная орбита и подходит под результаты наблюдений наилучшим образом, в пределах
погрешностей найдутся и другие орбиты, подходящие под наблюдения в пределах их
ожидаемой точности. Таким образом, на самом деле вокруг номинальной орбиты существует
целый набор орбиты, укладывающийся в области неопределенности номинальной орбиты. Гдето в пределах этой области находится и реальная орбита небесного тела. При появлении новых
данных наблюдений объекта область неопределенности уменьшается вместе с набором
возможных значений орбитальных элементов. В результате орбиты объектов, наблюдаемых в
течение длительного времени, будут иметь весьма малую область неопределённости, в то время
как орбиты недавно обнаруженных объектов будут иметь весьма высокий уровень
неопределенности.
Вследствие тесных сближений с планетами траектории движения астероидов могут
значительно меняться. Таким образом, в процессе эволюции орбиты астероиды могут перейти в
класс потенциально опасных, а также может возникнуть опасность столкновения Земли с одним
из таких астероидов. Полученная информация в дальнейшем может быть использована для
42
более тщательного наблюдения за объектами с более высокой вероятностью столкновения,
уточнения их физических характеристик и элементов орбиты.
На данный момент разработано несколько общепризнанных методов, используемых для
оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй.
Анализ плоскости цели
Одним из первых разработанных методов оценки вероятности столкновения является так
называемый анализ плоскости цели. Идеи этого метода лежат в основе многих современных
моделей для оценки рисков столкновений небесных тел с планетой.
Под «плоскостью цели» понимается плоскость, которая проходит через центр Земли и
ориентирована перпендикулярно к асимптоте гиперболы, описываемой телом в сфере действия
планеты, или же, что практически эквивалентно, к невозмущенному вектору скорости v
исследуемого объекта относительно Земли. Скорость
v
определяется как разность
гелиоцентрических скоростей планеты и исследуемого тела. После тесного сближения с
Землей, направление скорости астероида v меняется на некоторый угол.
Прицельное расстояние b – геоцентрическое расстояние до упомянутой выше асимптоты.
Если обозначить минимальное геоцентрическое расстояние до траектории движения астероида
r, то связь b и r имеет следующий вид [104]:
ve2
b  r 1 2 ,
v
(1.18)
где ve это скорость убегания Земли (вторая космическая скорость):
ve2  2
GM
,
r
G – гравитационная постоянная, M  – масса Земли, r – радиус Земли. В случае, если в
формуле (1.18) положить r  r , получим [104]:
b  r 1
ve2
.
v2
(1.19)
Таким образом, в случае (1.19) траектория движения коснётся поверхности Земли.
Сравнивая прицельные расстояния, рассчитанные по формулам (1.18) и (1.19) можно выразить
критерий, согласно которому засчитывается соударение небесного тела с Землёй как b  b .
Однако при решении вопроса об оценке вероятности столкновения необходимо учитывать, что
радиус захвата больше, чем физический радиус планеты.
43
Введём систему координат ( ,  ,  ) , связанную с плоскостью цели. Ось  направлена
перпендикулярно плоскости цели (т.е. параллельна скорости v ). Ось  направляется вдоль
кратчайшего расстояния между орбитами (MOID). Ось  выбирается так, чтобы все три оси
были взаимно перпендикулярны, а их направляющие векторы образовывали правую тройку.
Следует отметить, что данное выше использование определения плоскости цели и
связанной с ней системы координат допустимо лишь для случая, когда задачу можно считать
линейной. То есть, когда облако виртуальных астероидов, сформированное на основе
доверительной области Z X в окрестности сближения Земли с астероидом, движущимся по
номинальной орбите, представляет собой эллипсоид.
На плоскость ( ,  ) область начальных значений астероида в момент t0 , в силу
предположения о линейности задачи, проецируется в виде эллипса, центр которого
соответствует центру доверительного эллипсоида. Таким образом, задача сводится к оценке
расположения проекции эллипсоида на плоскость ( ,  ) . Схематически суть проецирования
доверительной области на плоскость цели показана на рисунке 1.4.
Рисунок 1.4 – Проецирование доверительной области на плоскость цели
Возможные варианты расположений проекций доверительного эллипса и Земли
представлены на рисунке 1.5, где Земля обозначена с учетом её радиуса захвата.
44
Рисунок 1.5 – Возможные проекции доверительного эллипсоида на плоскость цели
Поясним соответствующие положения на рисунке 1.5.
1. Возможность столкновения практически исключена, так как пересечений нет.
2. Полученный эллипс и проекция области захвата Земли имеют частичное
пересечение. Существует ненулевая вероятность столкновения.
3. Полученный эллипс полностью закрывает собой область захвата Земли. Существует
ненулевая вероятность столкновения.
Таким образом, в случаях 2 и 3 вероятность столкновения определяется как отношение
площади части проекции Земли с радиусом захвата (находится в точке пересечения осей на
рисунке), занятой эллипсом к площади эллипса. При расчете вероятности следует учесть, что
виртуальные астероиды распределены по доверительному эллипсоиду неравномерно.
Этот метод весьма прост, но имеет свои существенные недостатки. Зачастую задача о
сближении астероида с планетой имеет ярко выраженный нелинейный характер, в результате
чего предложенный эллипсоид может уже не отражать реальной структуры облака виртуальных
астероидов. Кроме того, система координат ( ,  ,  ) должна меняться с течением времени из-за
движения астероида, Земли и их взаимного влияния. Проекция доверительного эллипсоида на
плоскость цели меняется с течением времени и для длительных временных периодов
вытягивается в узкую область, что затрудняет получение адекватных оценок. Ещё одним
недостатком данной модели является то, что оценивается только вероятность столкновения с
астероидом в случае, если его орбита совпадает с номинальной, однако в процессе эволюции
орбиты она может значительно измениться вследствие тесных сближений с другими небесными
объектами Таким образом, предложенный анализ может быть использован либо для первичных
оценок, либо лишь для узкого круга задач [104].
Метод линии вариации
Вместо рассмотрения шестимерной области возможных элементов орбиты астероида Z X
рассматривается одномерная область, отражающая свойства области
Z X . Виртуальные
45
астероиды распределяются на линии, которая проходит через номинальное решение. Если
рассматривать линейное приближение задачи (когда область Z X представлена эллипсоидом),
то линия вариации представлена главной осью эллипсоида, т.е. её направление определяется
собственным вектором ковариационной матрицы  с наибольшим собственным числом [104].
В линейном случае распределение виртуальных астероидов на линии вариации считается
подчиняющимся нормальному закону [104]. В случае нелинейной задачи применяются более
сложные методы для определения линии вариации [104]. Таким образом, вместо рассмотрения
шестимерной области возможных элементов орбит, можно рассматривать возможные
положения астероида на линии вариации.
Полученная линия вариации с выбранными на ней виртуальными астероидами
отображается на плоскость цели. Вероятность столкновения может определяться как отношение
числа виртуальных астероидов, пересекших проекцию Земли, к их общему числу. Либо как
отношение длины отображенного на плоскость цели отрезка линии вариации, пересекающей
проекцию Земли, к общей длине отображенного отрезка. Иллюстрация метода линии вариации
представлена на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6 – Иллюстрация линейного случая линии вариации
Метод линии вариации может комбинироваться с методом Монте-Карло, когда из
возможных виртуальных астероидов, находящихся на линии вариации, наугад выбираются
виртуальные астероиды и производится интегрирование их уравнений движения. Затем,
отношение числа столкновений виртуальных астероидов с Землёй на определённую дату к
общему числу испытаний даст оценку вероятности столкновения астероида с Землёй.
Существует модификация метода линии вариации для трёхмерного случая. То есть вместо
линии рассматривается трёхмерная «трубка», окружающая линию вариаций и формирующаяся
из доверительной области Z X . В данном случае в рассмотрение вводят так же "ширину"
полученной области при отображении на плоскость цели. На рисунке 1.7 проиллюстрирована
схема использования метода линии вариации для оценки вероятности столкновения с Землёй,
46
где RЗ – радиус Земли, R – геоцентрическое расстояние до линии вариации. В данном случае
рассмотрена двумерная проекция трёхмерной области возможных положений астероида,
центром которой является линия вариации.
Рисунок 1.7 – Схема оценки с использованием линии вариации
В случае, если область неопределённости пересекается с проекцией Земли, можно
утверждать, что существуют виртуальные астероиды с определённым набором элементов
орбиты, которые могут столкнуться с Землёй. Оценкой вероятности столкновения будет
отношение области, пересекающейся с проекцией Земли, ко всей области неопределённости.
К достоинствам описанной модели для оценки вероятности столкновения стоит отнести
возможность модификации для учета нелинейностей, возникающих при сильном сближении
астероида с планетой. Кроме того, используемый метод весьма эффективен, так как позволяет
при значительно меньших вычислительных затратах давать оценки, сопоставимые с оценками
классическим методом Монте-Карло.
Недостатком данной модели оценки вероятности столкновения является то, что при
сильных возмущениях в траектории движения астероида при тесных сближениях с Землёй,
подобный метод может давать неадекватные оценки. Более того, в результате упрощения
задачи (по сравнению с методом Монте-Карло), часть виртуальных столкновений будет
потеряна, т.к. соответствующие виртуальные астероиды не попадут на линию вариации.
Однако, даже с учетом недостатков, модели, основанные на методе линии вариации, дают
высокую точность оценки и хорошее быстродействие по сравнению с классическим методом
Монте-Карло. Лаборатория реактивного движения NASA использует различные модификации
данного метода в своих расчётах каталога потенциально опасных небесных объектов [91, 104].
Метод Монте-Карло.
Под Методом Монте-Карло (методом статистического моделирования) в широком смысле
понимается группа численных методов, в основе которой лежит получение большого числа
47
реализаций стохастического процесса, вероятностные характеристики которого совпадают с
аналогичными величинами решаемой задачи. Метод Монте-Карло широко применяется при
решении задач, допускающих теоретико-вероятностное описание, а также для задач, решение
которых стандартным численным методом громоздко.
Модель для оценки вероятности столкновения небесного тела с планетой, использующая
метод Монте-Карло, является самой простой в реализацииn относительно всех имеющихся
моделей. Суть метода состоит в следующем. На основе доверительной области начальных
данных Z X , генерируется облако виртуальных астероидов. По своей сути виртуальные
астероиды являются случайными точками в шестимерном пространстве элементов орбит с
математическим ожиданием X * , равным уточнённым по методу МНК данным наблюдений и
ковариационной матрицей
 , определяемой ошибками наблюдений [36]. Плотность
полученного облака астероидов выше около значения X * , соответствующего номинальной
орбите [104].
После генерации виртуальных астероидов производится интегрирование их уравнений
движения на определенный период. В результате регистрируются виртуальные столкновения,
то есть в определенный момент времени геоцентрическое расстояние астероида становится
меньше или равно радиусу планеты.
Согласно классическому частотному определению вероятности наступления события A она
может быть оценена в ходе серии испытаний как отношение количества наступлений события A
к общему числу испытаний. Для нашего случая вероятность столкновения можно оценить как
отношение количества виртуальных столкновений с планетой m к общему числу испытаний n
[15, 104]:
P ( A) 
m
.
n
(1.20)
При достаточно большом числе испытаний n предел отношения (1.20) будет стремиться к
величине вероятности наступления события A:
P ( A)  lim
n 
m
.
n
Важно отметить, что для корректного применения (1.20) необходимо, чтобы испытания
были однородными и независимыми друг от друга. Метод Монте-Карло требует значительного
количества испытаний, поэтому важную роль в реализации метода играет используемый
генератор случайных величин. Если генерируемые им последовательности будут иметь
короткий период, то при значительном числе испытаний может произойти повторение
48
генерируемой последовательности псевдослучайных величин, что существенно исказит
ожидаемый результат.
Как видно из формулы (1.20), для того чтобы получить оценку порядка 10  6 , необходимо
провести как минимум 1 0 6 испытаний, то есть, рассчитать траектории движения 10 6
виртуальных астероидов (напомним, что каждый из них является шестимерной случайной
величиной). Оценить погрешность результатов, получаемых с помощью метода Монте-Карло,
можно при помощи следующей формулы [124]:
 2  P(1  P) N ,
где P – оценка вероятности, полученная методом Монте-Карло, а N
(1.21)
– количество
проведённых испытаний. По формуле (1.21) можно вычислить и необходимое для получения
оценки P с заданной погрешностью  число испытаний N .
Из формул (1.20) и (1.21) легко установить, что чем большее количество испытаний
проводится, тем точнее будут полученные оценки. Таким образом, при использовании метода
Монте-Карло выдвигаются высокие требования к используемому генератору случайных
величин. Из-за низкого качества генерируемой последовательности величин результаты метода
могут быть существенно искажены. К примеру, если период генератора слишком короткий, а
число испытаний велико, то возникнет ситуация повторения генерируемой псевдослучайной
последовательности, что приведёт к искажению результатов.
Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности [3, 35].
Сходимость по вероятности не следует относить к числу недостатков метода, так как в
практических приложениях при исследовании задач, имеющих вероятностное описание, такой
подход в достаточной мере оправдывает себя.
К числу достоинств модели, основанной на методе Монте-Карло, относится простота
реализации и универсальность. Кроме того, данный метод позволяет учесть сильные
нелинейности, возникающие при тесных сближениях астероида с Землёй, а также резонансные
возвращения астероидов. Однако существенным недостатком метода является тот факт, что
оцениваемая вероятность будет пропорциональна количеству испытаний n.
Несмотря на имеющиеся недостатки, модели на основе метода Монте-Карло продолжают
использоваться и применяться для оценки вероятности столкновения небесных тел с планетой
[11, 36–38, 91, 100, 104, 126] в силу своих очевидных достоинств: простоты и универсальности,
а также высокой мощности современных ЭВМ и доступности технологий параллельных и
облачных расчётов, которые позволяют реализовать значительные объёмы вычислений в
относительно короткое время.
49
Другие методы
Помимо вышеперечисленных методов, используемых наиболее часто, существует
множество других методов, предлагаемых для оценки вероятности столкновения. Стоит
отметить широкий вклад российских ученых в развитие математических моделей для оценки
вероятности столкновения небесных тел с Землёй. К примеру, в работе Холшевникова [59]
предложен способ оценки вероятности столкновения с небесным объектом на основе
представления его в виде роя частиц и последующего "вычерпывания" роя планетой во время
прохождения точек сближения. Отметим, что данный метод более подходит для работы с
метеорными потоками, чем с единичными потенциально опасными объектами типа астероидов.
В работе [56] Смирновым Е. А. предложен метод оценки, основанный на применении
численных методов решения дифференциальных уравнений, модифицированных для работы с
интервальной арифметикой и метода Монте-Карло.
Авдюшев В.А. и Галушина Т.Ю. из Томского государственного университета в работе [2]
описывают метод для быстрой оценки вероятности столкновения небесного тела с Землей. В
основе предложенного метода – поиск орбиты астероида, которая приводит к столкновению и
последующие линейные отображениях начального облака виртуальных астероидов на моменты
ожидаемого тесного сближения. Для начала формируется облако виртуальных астероидов,
соответствующих исследуемому астероиду на номинальной орбите. Затем производится поиск
орбиты, для которой расстояние между планетой и астероидом на исследуемую дату
минимально. Это достигается путём интегрирования уравнений движения виртуальных
астероидов. Когда находится орбита, обеспечивающая минимальное расстояние между
исследуемыми телами, производится линейное отображение начального облака виртуальных
астероидов из начального момента t  t0
на момент тесного сближения с планетой.
Предлагаемое авторами линейное преобразование имеет вид [2]:
p  p? 
p
 q  q? ,
q t ,q?
где p  p(t, q)T  p( x, x )T – вектор, задающий положение астероида в пространстве, x и x –
T
векторы координат и скоростей астероида, вектор q   x0 , x0  описывает состояние элементов
орбиты астероида в зависимости от координат и скоростей астероида на начальный момент
времени t  t0 , p q t,q? – значение матрицы перехода для момента времени t; p? и q? содержат
значения для астероида на найденной целевой орбите.
Неоспоримым достоинством модели является то, что она позволяет получать оценку,
значительно быстрее метода Монте-Карло (на несколько порядков). Однако тот факт, что для
50
использования модели нелинейность возмущений орбиты при тесном сближении астероида с
планетой должна быть слабой, накладывает определенные ограничения на использование
модели, что признают и сами авторы [2]. Таким образом, описанная модель при применении к
классу потенциально опасных астероидов может давать некорректные результаты по причине
тесных сближений данных астероидов с Землёй. Такой метод позволяет получать оценку
вероятности столкновения для астероидов, не имеющих тесных сближений с планетами и
имеющих малые вероятности столкновения, для которых при использовании классических
методов потребовались бы расчёты большого числа виртуальных астероидов на длительные
периоды времени.
В работе Вавилова Д.Е. и Медведева Ю.Д. [124] из Института прикладной астрономии РАН
предложен быстрый способ оценки, который основан на введении системы координат,
связанной с номинальной орбитой астероида. Такой выбор системы позволяет рассматривать
виртуальные
астероиды,
распределённые
только
по
номинальной
орбите.
Важным
предположением, допускаемым в работе, является то, что ошибки, содержащиеся в
координатах и скоростях астероидов, имеют нормальное распределение в любой момент
времени. Вероятность столкновения оценивается путём вычисления шестимерного интеграла от
функции плотности вероятности ошибок в координатах и скоростях исследуемого астероида.
Как утверждают авторы работы, основным недостатком метода являются ошибки в оценках
вероятности столкновения, возникающие для астероидов, имеющих тесные сближения, так как
в таком случае распределение ошибок в координатах и скоростях исследуемого астероида
отличается от нормального. К достоинствам метода относится скорость работы метода и
высокая точность получаемых результатов для астероидов, не имеющих тесных сближений с
небесными телами.
Кроме вышеупомянутых, существуют гибридные методы, использующие комбинации
упомянутых выше подходов к проблеме оценки вероятности столкновения небесного тела с
планетой. Например, метод в работе [115] является комбинацией метода Монте-Карло с
методом для оценки минимального расстояния между орбитами небесных тел. Вероятность
столкновения оценивается на основе соотношения времени прохождения планетой участков
орбиты, на которых возможно столкновения с одним из виртуальных астероидов к
сидерическому периоду обращения. Отличительной особенностью является высокая скорость
получения результатов, однако оценки, рассчитанные по такому методу, весьма неточны и
пригодны только для предварительных расчётов.
Многие из гибридных моделей – модификации метода Монте-Карло или метода линии
вариации, ускоряют получение оценок различными способами [33, 36, 38, 115].
51
1.6. Постановка задачи
Целью данной диссертационной работы является создание математической модели для
оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй на основе высокоэффективных
алгоритмов и программ численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Практической
автоматизированного
реализацией
математической
программного
комплекса,
модели
позволяющий
является
создание
регулярно
обновлять
информацию о потенциально опасных астероидах и вероятности столкновения астероидов с
Землёй на научно-информационном сайте Каталога орбитальной эволюции малых тел
Солнечной системы SmallBodies.ru. Главная задача программного комплекса – на основе
начальных данных, полученных по наблюдениям небесных тел, обнаружить потенциально
опасные астероиды и рассчитать оценку вероятности столкновения астероидов с Землёй.
Для достижения поставленной цели необходимо решить нижеследующие задачи.
 Разработка
математических
моделей,
позволяющих
производить
отбор
потенциально опасных астероидов, имеющих сближения с Землёй, и оценивать
степень угрозы столкновения.
 Проведение исследования с целью выбора наиболее эффективного метода
численного интегрирования уравнения движения астероидов групп Аполлона,
Амура и Атона для оценки вероятности столкновения с Землёй.
 Создание алгоритмов и программ, использующих разработанные математические
модели и численные методы для обнаружения и мониторинга потенциально
опасных для Земли астероидов. Автоматизация работы программного комплекса
с целью непрерывной обработки информации о потенциально опасных астероидах.
 Создание банка данных эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и
Атона, являющихся потенциально опасными для Земли, на основе разработанного
программного комплекса.
Решение этих задач важно для развития моделей, предназначенных для оценки вероятности
столкновения небесных тел с планетой. Кроме того. в свете актуальности вопросов астероидной
опасности
существенную
роль
занимает
задача
улучшения
наполнения
научно-
информационного сайта SmallBodies.ru и предоставления информации не только о сближениях
астероидов, но и о их потенциальной опасности для Земли.
52
Глава 2
Обоснование выбора методов, используемых для оценки
вероятности столкновения небесных тел с Землёй
Для решения задачи об оценке вероятности столкновения небесных тел с Землёй
необходимо рассмотреть несколько тесно связанных с ней вопросов, касающихся выбора
математических моделей и методов, используемых для решения поставленной задачи.
Сначала необходимо определиться с выбором математической модели, описывающей
движение небесных объектов, а также подобрать численный метод, применяемый для
интегрирования уравнений движения. Эти два аспекта являются важной частью задачи, так как
от их выбора напрямую зависит точность представления протекающего физического процесса
(эволюции орбиты астероида).
Модель и метод должны предоставлять результаты,
согласующиеся с численной теорией движения больших планет, Луны и Солнца DE405. Кроме
того, следует учесть тот факт, что задача оценки вероятности столкновения небесных тел
с Землёй подразумевает значительные объёмы вычислений, которые необходимо проводить с
высокой точностью.
Чтобы классифицировать астероид как потенциально опасный, необходимо оценить
минимальное расстояние между орбитами астероида и Земли.
Для отобранных астероидов необходимо оценить вероятность столкновения с Землёй и
определить дату предполагаемого столкновения. Метод для оценки вероятности должен быть
применим для массовых расчётов, так как данные наблюдений небесных тел, требующих
оценки вероятности столкновения с планетой, обновляются регулярно.
Метод оценки минимального расстояния между орбитами небесных тел должен быть как
можно более быстрым и простым в реализации, так как требуется регулярно (не позднее чем
раз в 100 дней) проводить расчёты для орбит более чем 12000 известных астероидов групп
Аполлона, Амура и Атона.
В качестве объектов для исследования моделей и методов использовались 10 астероидов, 5
из которых являются потенциально опасными, 5 других не имеют в ближайшем будущем
тесных сближений с Землёй.
Дадим краткие характеристики выбранных астероидов. В таблице 2.1 приведены данные по
датам и расстояниям тесных сближений с Землёй пяти потенциально опасных астероидов.
Астероид 1999 AN10 взят в рассмотрение по причине того, что его орбита вытянута и
имеет значительный наклон к плоскости эклиптики (то есть, параметры орбиты i – наклонение
и e – эксцентриситет принимают большие значения). По этой причине орбита астероида
53
пересекается с орбитами трёх планет: Венеры, Земли и Марса. Наличие нескольких источников
возмущений делает астероид хорошим объектом для проверки математических моделей
движения небесных объектов.
Таблица 2.1 – Данные о сближениях исследуемых потенциально опасных астероидов
Название астероида
Дата тесного
сближения
Величина сближения, a.e.
Величина
сближения, км.
1999 AN10 (137108)
2001 WN5 (153814)
99942 Apophis
2004 FU4
2007 YV56
07.08.2027
26.06.2028
13.04.2029
25.10.2051
02.01.2101
0,00260674168555872
0,00166307459793523
0,000253689845207298
0,00813838812102328
0,00159038369510071
389963
248792
37951
1217486
237918
Астероид 99942 Apophis имеет одно из самых тесных сближений с Землёй в ближайшее
время. В результате сближения орбита астероида может существенно измениться, что может
сказаться на последующих сближениях с Землёй. Тесные сближения являются источниками
сильных нелинейных возмущений в моделях движения астероида, поэтому 99942 Apophis был
выбран для проверки математических моделей и численных методов интегрирования
уравнений движения
Астероиды 2001 WN5, 2004 FU4 и 2007 YV56 имеют тесные сближения с Землёй в
краткосрочной, среднесрочной и долгосрочной перспективах соответственно. Значит, можно
сравнить результаты, полученные не только с помощью различных численных методов, но и на
основе различных математических моделей. Затем оценить, насколько различаются получаемые
результаты в зависимости от длительности интервала интегрирования.
Пять астероидов, не имеющих тесных сближений: 2000 GX127, 2004 XM14, 2005 D, 2003
UY12, 2006 UQ17.
Уравнения движения этих астероидов интегрировались в данной работе по 2200 г. Так как
приведённые астероиды не имеют тесных сближений на этом интервале времени, можно будет
сравнить получаемые результаты при расчётах на длительный срок без учёта возмущений,
которые обычно возникают из-за тесных сближений.
Для того чтобы проследить влияние начальных данных (элементов орбиты) на результат
интегрирования уравнений движения для каждого астероида расчёты проводились с
использованием начальных данных на различные даты.
Начальные данные, использованные для интегрирования уравнений движения астероидов,
упомянутых выше, приведены в таблицах 2.2 – 2.11. Источником начальных данных служил
научно-информационный сайт SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru/), содержащий информацию
об орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. В таблицах содержится информация
54
о дате, к которой относятся элементы орбиты и шесть элементов, задающих положение
небесного тела в пространстве: M – средняя аномалия, a – большая полуось, e – эксцентриситет,
i – наклонение,  – аргумент перигелия,  – долгота восходящего узла. Описание элементов
орбиты приведено в главе 1.
В таблицах 2.2 – 2.6 приведены начальные данные для пяти астероидов, имеющих тесные
сближения с Землёй.
Таблица 2.2 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 1999 AN10
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
332,721839
228,091092
259,698844
347,233828
43,1739040
211,030956
1,45873792
1,45874868
1,45864866
1,45877400
1,45877900
1,45865800
0,56221575
0,56204417
0,56222548
0,56209800
0,56210600
0,56211200
268,287692
268,293722
268,286619
268,323130
268,321664
268,311035
 , град.
314,484139
314,468822
314,453988
314,412142
314,411627
314,411467
i, град.
39,933533
39,934145
39,930410
39,931530
39,931971
39,932581
Таблица 2.3 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2001 WN5
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
357,696766
122,078413
70,2131880
62,2485180
106,224981
238,217713
1,71107811
1,71121874
1,71171224
1,71215200
1,71218700
1,71164000
0,46670971
0,46695433
0,46714724
0,46686000
0,46698000
0,46750200
44,252067
44,254616
44,389630
44,410688
44,411366
44,417577
 , град.
277,745740
277,742692
277,649518
277,623779
277,623568
277,619145
i, град.
1,922083
1,922205
1,921886
1,921534
1,921781
1,921699
Таблица 2.4 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2004 FU4
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
238,723888
284,953529
52,5707050
250,026471
319,708220
168,770151
1,26025581
1,26035744
1,26010036
1,26001700
1,25998800
1,26004700
0,26386470
0,26381164
0,26367027
0,26374500
0,26375700
0,26372900
46,196904
46,234298
46,254475
46,265938
46,272460
46,269457
 , град.
31,646008
31,626347
31,616176
31,612026
31,611034
31,608915
i, град.
23,256096
23,251141
23,254221
23,253460
23,253605
23,252593
Таблица 2.5 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2007 YV56
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
14.05.2008
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
94,0829810
243,563308
232,351053
271,016008
320,845683
110,359290
1,57590524
1,57573412
1,57575788
1,57570800
1,57574900
1,57542900
0,62189484
0,62205092
0,62209375
0,62186300
0,62183500
0,62189500
265,524620
265,526379
265,563468
265,587793
265,585376
265,574925
 , град.
102,589649
102,585119
102,555744
102,537605
102,536717
102,535106
i, град.
6,246522
6,246429
6,244690
6,244993
6,245062
6,245108
55
Таблица 2.6 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 99942 Apophis
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
222,272876
6,22068800
65,0306210
235,468446
346,801008
320,712216
0,92239593
0,92243355
0,92229421
0,92208700
0,92216800
0,92211700
0,19104000
0,19120975
0,19111538
0,19116500
0,19112900
0,19119300
126,355659
126,400295
126,424970
126,457193
126,431975
126,440782
 , град.
204,462302
204,443648
204,431337
204,223787
204,216339
204,209129
i, град.
3,331224
3,331418
3,331899
3,330558
3,330282
3,330478
Таблицы 2.7 – 2.11 содержат начальные данные астероидов, не имеющих тесных
сближений с Землёй.
Таблица 2.7 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2000 GX127
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
89,4161490
258,522496
104,363089
30,9996830
111,836076
354,317437
1,14142595
1,14132475
1,14131745
1,14137300
1,14134100
1,14136500
0,36142249
0,36126013
0,36128577
0,36128600
0,36126400
0,36120000
4,652133
4,673415
4,679188
4,706588
4,703444
4,708498
 , град.
44,048548
44,038458
44,028056
44,022498
44,022185
44,019766
i, град.
20,242013
20,239212
20,240407
20,240788
20,240782
20,239661
Таблица 2.8 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2003 UY12
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
141,110662
188,885638
284,765169
188,670324
356,662791
136,776860
0,70087840
0,70084684
0,70085466
0,70082100
0,70082300
0,70105900
0,59629188
0,59626074
0,59630982
0,59631500
0,59630100
0,59449900
200,58848
200,599345
200,616133
200,626399
200,628360
200,622677
 , град.
22,958881
22,943304
22,931648
22,925706
22,923366
22,915973
i, град.
16,530119
16,525274
16,527715
16,525302
16,524626
16,412273
Таблица 2.9 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2004 XM14
Дата
M, град.
06.03.2006 82,6364120
14.05.2008 358,360370
23.05.2014 306,735154
a, а.е.
e
 , град.
1,15436652
1,15433860
1,15426900
0,69880297
0,69888490
0,69893300
186,305149
186,316004
186,347419
 , град.
89,448285
89,446974
89,435073
i, град.
42,407957
42,411295
42,408518
56
Таблица 2.10 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2005 DD
Дата
M, град.
a, а.е.
06.03.2006
23.05.2014
178,361775
198,042944
1,93472326
1,93363900
 , град.
 , град.
0,56774554 251,866056 157,510322
0,56807800 252,143439 157,308012
e
i, град.
7,324082
7,326626
Таблица 2.11 – Начальные данные на различные моменты времени для астероида 2006 UQ17
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
22.08.2008
23.05.2014
288,087825
208,582843
1,6234034
1,6237440
0,38094139
0,38090600
10,306639
10,297944
 , град.
82,12534
82,11622
i, град.
1,744033
1,743767
Заметим, что наиболее подверженным изменениям элементом орбиты является средняя
аномалия M, так как она может значительно изменяться для начальных данных астероида на
различные моменты времени, в то время как для остальных элементов орбиты с увеличением
числа наблюдений происходит лишь относительное небольшое уточнение их значения.
2.1. Численное интегрирование уравнений движения
Алгоритм численного интегрирования, используемый для интегрирования уравнений
движения небесных объектов, рассматриваемых в данной работе, должен предоставлять
результаты
с
высокой
точностью.
Для
того
чтобы
выбрать
алгоритм
численного
интегрирования для реализации в данной работе, проведён анализ современных численных
методов с целью выбора наиболее эффективного из них. Критерием эффективности выступала в
первую очередь точность, а затем – длительность вычислений эволюции орбиты астероида с
использованием выбранного численного метода. Таким образом, из двух сопоставимых по
точности методов был бы выбран тот, который позволял бы проводить интегрирование
уравнений движения с меньшими затратами времени.
Три наиболее распространённых метода, используемых в задачах небесной механики, были
рассмотрены в настоящем исследовании: метод Эверхарта, методы Адамса (многошаговые
методы) и метод Коуэлла. Все упомянутые методы являются устойчивыми и сходящимися.
Метод разложения в ряд Тейлора (при всех его достоинствах) был исключен из рассмотрения
по причине того, что не является универсальным и требует пересчёта формул в случае учета в
правой части уравнения движения дополнительных возмущений.
Наиболее высоким быстродействием среди трёх рассмотренных методов обладает неявный
многошаговый метод Адамса. Однако, несмотря на быстродействие, многошаговые методы
проигрывают в точности методу Эверхарта. Перспективным в плане использования в задачах
небесной механики является метод Коуэлла, так как он сочетает в себе высокую скорость и
точность. Но этот метод разработан лишь до 12 порядка точности относительно шага
57
интегрирования h [51]. Отметим, что метод Коуэлла является весьма перспективным методом
численного интегрирования при условии его развития до более высоких порядков точности.
Метод Эверхарта разработан до 33 порядка точности включительно [40].
При современном уровне развития ЭВМ проблема повышения быстродействия является
менее критичной, чем проблема повышения точности вычислений. Она может быть решена как
с помощью увеличения вычислительных мощностей, так и с привлечением технологий
параллельных вычислений (к примеру, использование вычислений на графических процессорах
GPU), позволяющих ускорить расчёты в десятки раз [111].
Кроме того, следует учитывать специфику поставленных в работе задач. При
интегрировании уравнений движения астероида на длительных интервалах времени точность
является определяющим фактором, так как накопленные погрешности могут существенно
сказаться на конечном результате. С учётом того, что задача Коши для некоторых астероидов,
имеющих тесные сближения с Землёй, является неустойчивой (к примеру, для астероида 99942
Apophis [19]), крайне важно максимально снизить влияние погрешностей на этапе
интегрирования уравнений движения.
Учитывая вышеприведенные замечания, выбор был сделан в пользу метода Эверхарта как
метода, удачно сочетающего в себе наибольшую точность и высокое быстродействие.
2.1.1. Выбор оптимального метода численного интегрирования
В качестве метода для интегрирования уравнений движения небесных объектов в данной
работе был выбран метод Эверхарта 27 порядка. В ходе сравнительного анализа расчётов
эволюции орбит астероидов методом Эверхарта различных порядков, было установлено, что
при увеличении порядка метода свыше 27-го, точность расчётов эволюции орбит астероидов не
возрастает, так как значительную роль начинают играть всевозможные погрешности,
возникающие при расчетах [40, 42, 45].
Расчёты можно проводить как с постоянным, так и с переменным шагом. Необходимо
установить, какой вариант более предпочтителен для интегрирования уравнений движения
потенциально опасных для Земли астероидов. Для решения этой задачи были проведены
сравнительные
испытания,
в
ходе
которых
уравнения
движения
небесных
тел
проинтегрированы методом Эверхарта с переменным и с постоянным шагом. В качестве
математической модели движения использовалась модель (1.4).
При интегрировании с постоянным шагом величина шага определялась согласно правилу
Рунге. Проводилось интегрирование с шагом N, а затем с шагом N/2. Далее производилось
сравнение значений элементов орбиты, полученных с разными шагами на конечную дату. Если
58
различие было значительным, то деление шага интегрирования повторялось. В итоге, на какойто итерации процесс становился сходящимся и шаг интегрирования закреплялся.
Ниже приводятся результаты интегрирования уравнений движения астероидов методом
Эверхарта с постоянным и переменным шагом по начальным данным от 23.05.2014. Для более
ранних начальных данных результаты приведены в приложении А.
В таблицах 2.12 – 2.16 приводятся данные по астероидам, имеющим тесные сближения с
Землёй, где  – это модуль разности значений элементов орбит, полученных с использованием
различных методов. Для астероидов с тесными сближениями производилось сравнение
элементов орбит на различные даты (с шагом в 100 дней) до сближения и после сближения.
Таблица 2.12 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10
с начальными данными от 23.05.2014
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,002606742
i, град.
05.04.2027
320,6068085
1,458635916
0,562056364
268,326625
314,3218254
39,93215678
14.07.2027
16,55446842
1,458628891
0,562048225
268,3269657
314,3215261
39,93202127
22.10.2027
73,38522322
1,44826388
0,560353083
267,8854422
314,3186512
40,00907419
30.01.2028
129,9357996
1,448240036
0,560379389
267,8849324
314,3173463
40,00852457
Переменный шаг
05.04.2027
320,607954
1,458635478
0,562056360
268,326625490
314,321825470
39,932156746
14.07.2027
16,555639
1,458628444
0,562048217
268,326964742
314,321526161
39,932021280
22.10.2027
73,364207
1,448522292
0,560394453
267,896733881
314,318661324
40,007198866
30.01.2028
129,899651
1,448498448
0,560420760
267,896223827
314,317356232
40,006649219
05.04.2027
320,607971
1,458635498
0,562056362
268,326624519
314,321825518
39,932156770
14.07.2027
16,555654
1,458628483
0,562048227
268,326965655
314,321526213
39,932021299
22.10.2027
73,374920
1,448397608
0,560376958
267,890904746
314,318657869
40,007954698
30.01.2028
129,917665
1,448373760
0,560403263
267,890394638
314,317352823
40,007405052
  , град.
 i, град.
Постоянный шаг 0,25 сут.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
Дата
 M, град.
05.04.2027
1,145500E-03
4,380000E-07
4,000000E-09
4,900000E-07
7,000000E-08
3,400000E-08
14.07.2027
1,170580E-03
4,470000E-07
8,000000E-09
9,580000E-07
6,099998E-08
1,000000E-08
22.10.2027
2,101622E-02
2,584120E-04
4,137000E-05
1,129168E-02
1,012400E-05
1,875324E-03
30.01.2028
3,614860E-02
2,584120E-04
4,137100E-05
1,129143E-02
9,932000E-06
1,875351E-03
05.04.2027
1,162478E-03
4,184328E-07
2,437118E-09
5,031140E-07
1,180000E-07
8,406801E-09
14.07.2027
1,185577E-03
4,082977E-07
2,164579E-09
6,878400E-08
1,130000E-07
3,000630E-08
22.10.2027
1,030322E-02
1,337282E-04
2,387496E-05
5,462546E-03
6,669000E-06
1,119493E-03
30.01.2028
1,813462E-02
1,337244E-04
2,387392E-05
5,462233E-03
6,523000E-06
1,119514E-03
Каталог и постоянный шаг
59
Таблица 2.13 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 23.05.2014
астероида 2001 WN5
Расстояние, а.е. 0,001663075
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Дата
Каталог
30.01.2028
278,4179667
1,712175215
0,466945938
44,87157595
277,2231364
1,917126739
09.05.2028
322,4042281
1,712043717
0,466958793
44,89110345
277,213706
1,917225709
17.08.2028
6,235145388
1,683572806
0,459727288
46,36148824
276,6921483
2,395384867
25.11.2028
51,36545229
1,683374887
0,459681937
46,35908016
276,6874301
2,395475638
Переменный шаг
30.01.2028
278,418394
1,712175063
0,466946433
44,87159699
277,2231243
1,917127555
09.05.2028
322,4046605
1,712043553
0,466959282
44,89112454
277,2136941
1,917226525
17.08.2028
6,228444425
1,682929586
0,459588472
46,38510085
276,7011239
2,384470887
25.11.2028
51,38461799
1,682731893
0,45954316
46,38269224
276,6964056
2,384561333
30.01.2028
278,4183986
1,712175081
0,466946432
44,87159634
277,2231233
1,91712752
09.05.2028
322,4046654
1,712043588
0,466959288
44,89112356
277,2136931
1,917226489
17.08.2028
6,233349551
1,683370861
0,45968422
46,36910416
276,6947917
2,391765804
25.11.2028
51,37177484
1,683173013
0,459638879
46,36669632
276,6900736
2,39185647
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
Постоянный шаг 0,25 сут.
Дата
 M, град.
30.01.2028
4,27E-04
1,52E-07
4,95E-07
2,10E-05
1,21E-05
8,16E-07
09.05.2028
4,32E-04
1,64E-07
4,89E-07
2,11E-05
1,19E-05
8,15E-07
17.08.2028
6,70E-03
6,43E-04
1,39E-04
2,36E-02
8,98E-03
1,09E-02
25.11.2028
1,92E-02
6,43E-04
1,39E-04
2,36E-02
8,98E-03
1,09E-02
30.01.2028
4,32E-04
1,34E-07
4,94E-07
2,04E-05
1,31E-05
7,81E-07
09.05.2028
4,37E-04
1,29E-07
4,95E-07
2,01E-05
1,29E-05
7,80E-07
17.08.2028
1,80E-03
2,02E-04
4,31E-05
7,62E-03
2,64E-03
3,62E-03
25.11.2028
6,32E-03
2,02E-04
4,31E-05
7,62E-03
2,64E-03
3,62E-03
Каталог и постоянный шаг
Таблица 2.14 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 FU4
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2004 FU4
Дата сближения 25.10.2051
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
Каталог
Дата
M, град.
09.05.2051
214,2079527
1,26031949
0,264009106
17.08.2051
283,8689498
1,260336151
25.11.2051
353,8789476
04.03.2052
63,13145493
Расстояние, а.е. 0,008138388
 , град.
i, град.
46,43059645
31,44920982
23,2421261
0,26399466
46,43024282
31,4470135
23,24222743
1,265228302
0,266064099
45,90742226
31,43404147
23,2186178
1,265224994
0,266052218
45,91571853
31,43041583
23,21853012
60
Продолжение таблицы 2.14
 , град.
e
Переменный шаг
Дата
M, град.
a, а.е.
 , град.
i, град.
09.05.2051
214,2068596
1,260319536
0,26400906
46,43060376
31,4492101
23,24212652
17.08.2051
283,8678508
1,260336194
0,263994608
46,43025126
31,44701377
23,24222784
25.11.2051
353,8754409
1,265197576
0,266052278
45,91123562
31,43406022
23,21871987
04.03.2052
63,13047157
1,265194274
0,266040408
45,91952953
31,43043427
23,21863209
Постоянный шаг 0,5 сут.
09.05.2051
214,2068728
1,260319551
0,264009057
46,43060119
31,44921019
23,24212644
17.08.2051
283,8678651
1,260336214
0,263994611
46,43024733
31,44701385
23,24222776
25.11.2051
353,8767249
1,265214246
0,266058831
45,9092397
31,43405248
23,2186629
04.03.2052
63,13038639
1,265210937
0,266046949
45,91753619
31,43042656
23,21857513
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
Дата
 M, град.
09.05.2051
1,09E-03
4,60E-08
4,64E-08
7,32E-06
2,72E-07
4,18E-07
17.08.2051
1,10E-03
4,25E-08
5,27E-08
8,44E-06
2,69E-07
4,04E-07
25.11.2051
3,51E-03
3,07E-05
1,18E-05
3,81E-03
1,88E-05
1,02E-04
04.03.2052
9,83E-04
3,07E-05
1,18E-05
3,81E-03
1,84E-05
1,02E-04
Каталог и постоянный шаг
09.05.2051
1,08E-03
6,15E-08
4,98E-08
4,74E-06
3,64E-07
3,43E-07
17.08.2051
1,08E-03
6,30E-08
4,97E-08
4,51E-06
3,50E-07
3,31E-07
25.11.2051
2,22E-03
1,41E-05
5,27E-06
1,82E-03
1,10E-05
4,51E-05
04.03.2052
1,07E-03
1,41E-05
5,27E-06
1,82E-03
1,07E-05
4,50E-05
Таблица 2.15 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2007 YV56
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2007 YV56 Дата сближения 02.01.2101
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
Дата
Каталог
Расстояние, а.е. 0,001590384
 , град.
i, град.
20.08.2100
317,0564872
1,575481962
0,622284272
267,3550938
101,0825487
6,25240501
28.11.2100
6,897126766
1,575467803
0,622290952
267,3573737
101,0820787
6,252480997
08.03.2101
56,25690198
1,583686455
0,622652319
267,8059289
101,0314424
6,55910368
16.06.2101
105,7163609
1,58366743
0,622622787
267,8062883
101,0308682
6,559056731
20.08.2100
317,056078
1,575482116
0,622284193
267,3550956
101,0825661
6,252399635
28.11.2100
6,896710532
1,575467933
0,622290866
267,3573743
101,0820961
6,252475624
08.03.2101
56,25690033
1,583679443
0,622651323
267,8058497
101,0313128
6,558914355
16.06.2101
105,7166867
1,583660425
0,622621794
267,8062092
101,0307386
6,55886741
Переменный шаг
Постоянный шаг 0,125 сут.
20.08.2100
317,0537981
1,575482987
0,622284392
267,3550785
101,082546
6,252408761
28.11.2100
6,894389002
1,57546883
0,622291076
267,357359
101,0820761
6,252484759
61
Продолжение таблицы 2.15
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
08.03.2101
56,16942937
1,585129165
0,622845592
267,8515328
101,0331682
6,546450319
16.06.2101
105,5613869
1,585110039
0,622816051
267,8518946
101,0325943
6,546403493
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
Дата
 M, град.
20.08.2100
4,09E-04
1,54E-07
7,94E-08
1,77E-06
1,74E-05
5,37E-06
28.11.2100
4,16E-04
1,30E-07
8,65E-08
6,44E-07
1,74E-05
5,37E-06
08.03.2101
1,65E-06
7,01E-06
9,96E-07
7,92E-05
1,30E-04
1,89E-04
16.06.2101
3,26E-04
7,01E-06
9,93E-07
7,91E-05
1,30E-04
1,89E-04
Каталог и постоянный шаг
20.08.2100
2,69E-03
1,02E-06
1,20E-07
1,53E-05
2,66E-06
3,75E-06
28.11.2100
2,74E-03
1,03E-06
1,23E-07
1,47E-05
2,62E-06
3,76E-06
08.03.2101
8,75E-02
1,44E-03
1,93E-04
4,56E-02
1,73E-03
1,27E-02
16.06.2101
1,55E-01
1,44E-03
1,93E-04
4,56E-02
1,73E-03
1,27E-02
Таблица 2.16 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид
99942 Apophis
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,000253690
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Каталог
Дата
M, град.
13.09.2023
142,857039
0,92272186
0,19144109
126,603979
203,956682
3,339294
13.08.2025
201,537278
0,92236357
0,19116953
126,678443
203,89996
3,340997
05.04.2027
149,134628
0,92232227
0,19115526
126,686717
203,890656
3,341124
05.03.2029
207,973531
0,92233151
0,19121525
126,698244
203,863082
3,342034
14.05.2031
236,046239
1,10148824
0,18858413
71,790435
203,550165
2,237175
13.04.2033
112,882275
1,10138908
0,18859143
71,799253
203,539843
2,237316
22.06.2035
74,954193
1,10153565
0,18857418
71,851354
203,514521
2,237595
22.05.2037
311,784193
1,10142341
0,18864778
71,868659
203,499458
2,237759
Переменный шаг
13.09.2023
142,856108
0,922721983
0,191441427
126,6039733
203,9566898
3,339293578
13.08.2025
201,5362173
0,92236365
0,191169827
126,6784629
203,899951
3,340996516
05.04.2027
149,1334774
0,922322345
0,191155558
126,6867348
203,8906476
3,341124436
05.03.2029
207,9722857
0,922331562
0,191215561
126,6982627
203,8630722
3,342034566
14.05.2031
247,1739096
1,084641233
0,183996085
76,01290769
203,5484882
2,308164608
13.04.2033
137,9594099
1,084590563
0,184018941
76,01819955
203,5390538
2,308319718
22.06.2035
116,0277274
1,084585429
0,183912699
76,05619213
203,5165432
2,308915217
22.05.2037
6,830568052
1,084569409
0,184006864
76,07134723
203,5114401
2,308865004
Постоянный шаг 0,03125 сут.
13.09.2023
142,8561278
0,922721988
0,191441416
126,6039754
203,9566887
3,339293669
13.08.2025
201,5362438
0,922363656
0,191169817
126,6784626
203,8999503
3,340996594
62
Продолжение таблицы 2.16
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
05.04.2027
149,1335056
0,922322352
0,191155547
126,6867364
203,8906469
3,341124514
05.03.2029
207,972322
0,92233157
0,191215549
126,6982606
203,8630716
3,342034623
14.05.2031
242,8702199
1,091120128
0,18555862
74,31621267
203,5555909
2,342717957
13.04.2033
128,2312126
1,09104172
0,185569174
74,32109603
203,5460642
2,342869595
22.06.2035
100,0250374
1,091162986
0,185552231
74,36862028
203,5243768
2,343221913
22.05.2037
345,2714726
1,090792277
0,185603758
74,46512082
203,5130307
2,343534224
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
Дата
 M, град.
  , град.
 i, град.
13.09.2023
0,000930954
1,2259E-07
3,37115E-07
5,726E-06
7,804E-06
4,2218E-07
13.08.2025
0,00106069
8,0196E-08
2,97258E-07
1,9925E-05
9,03E-06
4,8394E-07
05.04.2027
0,00115058
7,5482E-08
2,97517E-07
1,7835E-05
8,432E-06
4,3602E-07
05.03.2029
0,001245277
5,164E-08
3,11491E-07
1,8725E-05
9,794E-06
5,6555E-07
14.05.2031
11,12767064
0,016847007
0,004588045
4,222472686
0,001676798
0,070989608
13.04.2033
25,07713488
0,016798517
0,004572489
4,218946554
0,000789152
0,071003718
22.06.2035
41,07353442
0,016950221
0,004661481
4,204838131
0,002022192
0,071320217
22.05.2037
21,55909543
0,016854001
0,004640916
4,202688235
0,011982134
0,071106004
Каталог и постоянный шаг
13.09.2023
0,000911166
1,27934E-07
3,25912E-07
3,56E-06
6,736E-06
3,3138E-07
13.08.2025
0,001034183
8,6344E-08
2,86833E-07
1,9558E-05
9,699E-06
4,0576E-07
05.04.2027
0,001122439
8,1713E-08
2,86696E-07
1,9401E-05
9,102E-06
5,1431E-07
05.03.2029
0,001209027
5,9971E-08
2,98561E-07
1,6552E-05
1,0351E-05
6,23E-07
14.05.2031
6,823980923
0,010368112
0,003025510
2,525777666
0,00542593
0,105542957
13.04.2033
15,34893759
0,010347360
0,003022256
2,521843035
0,006221169
0,105553595
22.06.2035
25,07084439
0,010372664
0,003021949
2,517266282
0,009855794
0,105626913
22.05.2037
33,48727963
0,010631133
0,003044022
2,596461823
0,013572673
0,105775224
Для астероидов, не имеющих тесных сближений с Землёй, производилось интегрирование
уравнений движения до 2200 года. Таблицы 2.17 – 2.21 содержат результаты интегрирования,
полученные по начальным данным от 23.05.2014, где  – это модуль разности значений
элементов орбит, полученных с использованием различных методов. Для более ранних
начальных данных результаты приведены в приложении А.
Таблица 2.17 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 23.05.2014
астероида 2000 GX127
Астероид 2000 GX127
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
22.65529366
1,142455709
08.01.2200
21,11945273
1,142613635
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
0,362282205
5,791791420
 , град.
i, град.
43,245706302
20,182347042
43,24590349
20,18048274
Переменный шаг
0,362242512
5,808001126
63
Продолжение таблицы 2.17
Дата
08.01.2200
M, град.
a, а.е.
 , град.
e
Постоянный шаг 1 сут.
 , град.
i, град.
5,8069975406
43,245873621
20,18040559
Сравнение результатов
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
0,000197
0,001864
0,000167
0,001941
21,230412100 1,14259619696 0,36225359043
Дата
 M, град.
 a, а.е.
08.01.2200
1,53584093
0,000158
08.01.2200
1,42488156
0,00014
3,97E-05
0,01621
Каталог и постоянный шаг
2,86E-05
0,015206
Таблица 2.18 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 23.05.2014
астероида 2003 UY12
Астероид 2003 UY12
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
160,7786188
0,701033445
08.01.2200
160,8265493
0,701025959
08.01.2200
160,7687734
0,701034761
0,594760454
201,517893
 , град.
i, град.
21,85141435
16,38287575
21,85128589
16,38425524
21,8514576
16,38246782
  , град.
 i, град.
0,000128453
0,001379489
4,3249E-05
0,000407934
Переменный шаг
0,594759235
201,5167814
Постоянный шаг 1 сут.
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,047930464
0,59476161
201,5180358
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
7,48523E-06
1,21908E-06
0,001111599
Каталог и постоянный шаг
08.01.2200
0,009845378
1,31596E-06
1,15673E-06
0,000142788
Таблица 2.19 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 23.05.2014
астероида 2004 XM14
Астероид 2004 XM14
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
179,1043976
1,154624661
0,700101477
187,0098371
 , град.
i, град.
89,08033518
42,29467624
89,08033359
42,29467515
89,08033359
42,29467516
Переменный шаг
08.01.2200
179,078558
1,154625143
0,700101526
187,0098382
Постоянный шаг 1 сут.
08.01.2200
179,0788147
1,154625144
0,700101522
187,0098383
64
Продолжение таблицы 2.19
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,025839587
4,82107E-07
08.01.2200
0,025582898
4,83557E-07
4,81231E-08
1,11809E-06
  , град.
 i, град.
1,59511E-06
1,08208E-06
1,58611E-06
1,07478E-06
Каталог и постоянный шаг
4,49281E-08
1,23609E-06
Таблица 2.20 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид
2005 DD
Элементы орбиты
e
 , град.
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
 , град.
i, град.
08.01.2200
225,2295977
1,933397445
153,2539678
7,258429037
153,2539271
7,258460622
257,1678796
153,2539297
7,258428063
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
4,07436E-05
3,15848E-05
3,81586E-05
9,74107E-07
0,567549362
257,16784
Переменный шаг
08.01.2200
225,2286783
1,933396497
0,567549226
257,1678422
Постоянный шаг 1 сут.
08.01.2200
225,2299387
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,000919408
1,933397369
9,47987E-07
0,567549422
1,35839E-07
2,16685E-06
Каталог и постоянный шаг
08.01.2200
0,00034098
7,53074E-08
6,05052E-08
3,95599E-05
Таблица 2.21 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2006 UQ17
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2006 UQ17
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
 , град.
i, град.
08.01.2200
153,2876613
1,619127766
81,11710098
1,722477172
08.01.2200
153,1691369
1,619077547
81,09213016
1,723179579
08.01.2200
153,2679611
1,619118246
12,70398339
81,11291107
1,722594807
Дата
 M, град.
 a, а.е.
Сравнение результатов
e
  , град.
Каталог и переменный шаг
  , град.
 i, град.
08.01.2200
0,118524392
5,0219E-05
0,024970821
0,000702407
08.01.2200
0,019700226
9,51988E-06
0,004189906
0,000117636
0,37932726
12,69974571
Переменный шаг
0,379301478
12,72486177
Постоянный шаг 1 сут.
0,379322622
2,57817E-05
0,025116056
Каталог и постоянный шаг
4,63842E-06
0,004237679
65
Анализируя приведённые результаты можно установить, что наиболее чувствительным
элементом является средняя аномалия M, поскольку наибольшие погрешности в расчётных
значениях элементов орбит приходятся на этот элемент. Поэтому в дальнейшем, при сравнении
результатов, полученных по различным моделям движения и методам интегрирования
уравнений движения, в качестве основного критерия сравнения результатов расчётов может
выступать значение средней аномалии M. Различия по остальным элементам орбиты можно
использовать в качестве дополнительных критериев.
Как можно установить из сопоставления результатов интегрирования астероидов с
тесными сближениями и без тесных сближений, длительность интервала интегрирования не
имела значительного влияния на точность получаемых результатов в случае отсутствия тесных
сближений. Так, максимальная погрешность в значении средней аномалии
M при
интегрировании уравнений движения до 2200 года была получена для астероида 2000 GX127 и
составила около 1,5 градуса (таблица 2.17). Высокая (относительно других астероидов без
тесных сближений) погрешность может быть обусловлена тем, что астероид в 2065 году имеет
сближение с Землёй, равное 0,29 а.е.
Ещё один вывод, который можно сделать из приведённых таблиц, состоит в том, что
наличие тесного сближения значительно влияет на результаты расчётов. Причём, чем более
тесное сближение происходит, тем существеннее расхождение значений с каталогом.
Особенно явно это можно проследить по результатам интегрирования уравнений движения
астероида 99942 Apophis (таблица 2.16). Тесное сближение астероида Апофис с Землёй
состоится 13 апреля 2029 г. Расчётная величина сближения составит 0,000253690 а.е.
(астрономических единиц), что является одним из наиболее тесных сближений с потенциально
опасным астероидом. Из результатов численного интегрирования уравнений движения видно,
что орбита астероида после сближения претерпевает существенные изменения. Значительно
отличается величина средней аномалии M, которая отвечает за положение тела на орбите, а
также величина большой полуоси a, определяющей форму орбиты, и параметры  и i,
определяющие положение орбиты небесного тела в пространстве.
Можно заметить, что выбор метода не сильно влияет на величину расхождений
результатов с данными каталога. Для астроида 99942 Apophis задача после тесного сближения
становится неустойчивой. Хотя использование постоянного шага даёт несколько более близкие
к значениям каталога орбитальной эволюции астероида Апофис результаты.
Учитывая всё вышеизложенное, вернёмся к оценке результатов интегрирования уравнений
движения методом Эверхарта с переменным и постоянным шагом. Исходя из полученных
результатов, можно установить, что использование постоянного шага в методе Эверхарта для
66
интегрирования уравнений движения астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй,
предоставляет результаты, более близкие к данным каталога орбитальной эволюции малых тел
Солнечной системы по сравнению с использованием переменного шага.
В то же время, для каждого конкретного астероида предварительно требуется определить
величину шага интегрирования. То есть, необходимо провести серию испытаний, в ходе
которых требуемое значение шага будет определено в результате итеративного процесса
деления шага и сравнения результатов интегрирования, получаемых с полным и половинным
шагом. При достижении желаемой точности процесс деления шага останавливается и шаг,
использованный на последней итерации, применяется в дальнейшем.
При использовании метода Эверхарта с переменным шагом интегрирования, в случае
регистрации
тесного
сближения
астероида
во
время
расчётов
шаг
интегрирования
автоматически уменьшается. Такое изменение чревато уменьшением скорости расчётов и
увеличением погрешности в получаемых результатах. При использовании постоянного шага
интегрирования расчёты (в зависимости от выбранного шага) могут идти как быстрее, чем с
переменным (т.к. отсутствует необходимость уменьшения шага и, соответственно, увеличения
количества итераций), так и медленнее по причине выбора малого значения шага
интегрирования. В случае отсутствия тесных сближений интегрирование уравнений движения
может проводиться как с постоянным, так и с переменным шагом без значительных различий в
точности получаемых результатов.
Таким образом, для интегрирования уравнений движения астероидов, обладающих
тесными
сближениями,
метод
Эверхарта
с
постоянным
шагом
является
более
предпочтительным, чем метод с переменным шагом, так как он выигрывает в точности при
наличии тесных сближений у астероидов. Для астероидов, не имеющих тесных сближений с
Зёмлёй, предпочтительным является метод Эверхарта с переменным шагом интегрирования в
силу более высокой скорости работы.
2.2. Выбор математической модели движения
Основные математические модели движения небесных тел, применяемые в задачах
небесной механики, рассмотрены в первой главе данной работы. Из представленных моделей
необходимо выбрать ту, использование которой в задаче оценки вероятности столкновения
небесных тел с Землёй было бы оптимальным с точки зрения точности получаемых результатов
и скорости расчётов.
Классическая модель (1.1) не подходит для использования в силу того, что является
недостаточно точной для применения к малым небесным телам. Данная модель не учитывает
форму планет, дополнительные смещения долгот перигелия внутренних планет, релятивистские
67
эффекты и многое другое. Модели (1.2) и (1.3) также исключаются из рассмотрения, так как
данные уравнения движения рассматриваются в неинерциальных системах отсчёта.
Модель, учитывающая релятивистские эффекты (1.4), использовалась для создания
численной теории движения больших планет, Луны и Солнца DE405. Однако для учёта фигуры
небесных тел при тесных сближениях при использовании модели (1.4) необходимо решение
дополнительных уравнений. Таким образом, модель (1.4) предоставляет данные с высокой
точностью, но в то же время требует значительных вычислений при реализации.
Модель (1.6), основанная на гипотезе о взаимодействии движущегося материального тела с
окружающим пространством, была опробирована для расчётов движения планет в работах [37,
40]. Полученные результаты показали согласованность с данными теории DE405. В настоящем
исследовании принято решение проверить согласованность с данными каталога орбитальной
эволюции малых тел Солнечной системы результатов, получаемых при применении модели
(1.6), к исследованию эволюции орбиты астероидов. Также было решено сравнить модели (1.4)
и (1.6) на основе результатов, получаемых при их использовании в задаче исследования
эволюции орбиты астероидов.
2.2.1. Сравнение математических моделей
Проведены сравнительные испытания математических моделей движения небесных тел
(1.4) и (1.6) с целью выбора модели для использования в задаче оценки вероятности
столкновения небесных тел с Землёй. Такая задача требует больших вычислительных
мощностей, поэтому кроме точности отражения физического процесса, желательно, чтобы
модель была относительно простой в плане объёма вычислений, то есть, снижала бы
длительность вычислений эволюции орбит астероидов.
В качестве объектов для исследования по различным моделям движения были взяты пять
астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, и пять астероидов, не имеющих тесных
сближений с Землёй, описанных в начале главы 2 и использовавшихся при определении
предпочтительного метода численного интегрирования.
С учетом полученных в части 2.1 результатов, в качестве метода численного
интегрирования был выбран метод Эверхарта 27 порядка с постоянным шагом. Методика
определения величины шага интегрирования также описана в части 2.1 и состоит в
последовательном уменьшении начального шага h до момента, пока результаты, полученные с
шагом h и h/2 не совпадут с требуемой точностью (метод Рунге).
Начальные данные для пяти астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй (1999 AN10
(137108), 2001 WN5 (153814), 99942 Apophis, 2004 FU4, 2007 YV56) и пяти астероидов, не
имеющих тесных сближений (2000 GX127, 2004 XM14, 2005 DD, 2003 UY12, 2006 UQ17)
68
приведены в таблицах 2.2 – 2.6 и 2.7 – 2.11 соответственно. Источник начальных данных –
каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы, (научно-информационный сайт
SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru)).
В таблицах, представленных ниже, отражены результаты интегрирования построенных по
различным математическим моделям уравнений движения астероидов. Использовался метод
Эверхарта с постоянным шагом. Данные по астероидам, имеющим тесные сближения с Землёй,
отражены в таблицах 2.22 – 2.26. Сравнение элементов орбит производилось с шагом в 100
дней на различные даты до и после сближения. В представленных таблицах  – это модуль
разности значений элементов орбит, полученных по различным моделям движения.
Начальные данные астероидов от 23.05.2014. Для более ранних начальных данных
результаты приведены в приложении B.
Таблица 2.22 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10
с начальными данными от 23.05.2014
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,002606742
i, град.
05.04.2027
320,6068085
1,458635916
0,562056364
268,326625
314,3218254
39,93215678
14.07.2027
16,55446842
1,458628891
0,562048225
268,3269657
314,3215261
39,93202127
22.10.2027
73,38522322
1,44826388
0,560353083
267,8854422
314,3186512
40,00907419
30.01.2028
129,9357996
1,448240036
0,560379389
267,8849324
314,3173463
40,00852457
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.25 сут.
05.04.2027
320,6079707
1,458635498
0,562056362
268,3266245
314,3218255
39,93215677
14.07.2027
16,55565449
1,458628483
0,562048227
268,3269657
314,3215262
39,9320213
22.10.2027
73,37492032
1,448397608
0,560376958
267,8909047
314,3186579
40,0079547
30.01.2028
129,9176653
1,44837376
0,560403263
267,8903946
314,3173528
40,00740505
Модель (1.6). Шаг 0.25 сут.
05.04.2027
320,6079686
1,45863553
0,562056357
268,3265589
314,3218255
39,93215674
14.07.2027
16,55564985
1,458628625
0,562048248
268,3268973
314,3215262
39,93202127
22.10.2027
73,37526862
1,448393553
0,56037594
267,8907128
314,3186576
40,00800506
30.01.2028
129,9182511
1,448369701
0,560402251
267,8902025
314,3173526
40,00745541
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
05.04.2027
1,162147E-03
4,184928E-07
2,017118E-09
5,031140E-07
1,180000E-07
8,006801E-09
14.07.2027
1,186069E-03
4,080077E-07
2,634579E-09
6,878400E-08
1,130000E-07
3,000630E-08
22.10.2027
1,030290E-02
1,337283E-04
2,387466E-05
5,462546E-03
6,669000E-06
1,119493E-03
30.01.2028
1,813428E-02
1,337249E-04
2,387429E-05
5,462233E-03
6,523000E-06
1,119514E-03
69
Продолжение таблицы 2.22
Каталог и модель (1.6)
05.04.2027
1,160127E-03
3,864228E-07
7,012118E-09
6,608111E-05
1,240000E-07
3,540680E-08
14.07.2027
1,181425E-03
2,659277E-07
2,348258E-08
6,838378E-05
1,200000E-07
2,206299E-09
22.10.2027
9,954598E-03
1,296728E-04
2,285716E-05
5,270616E-03
6,413000E-06
1,069133E-03
30.01.2028
1,754852E-02
1,296653E-04
2,286164E-05
5,270053E-03
6,270000E-06
1,069155E-03
Таблица 2.23 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5
с начальными данными от 23.05.2014
Расстояние, а.е. 0,001663075
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
Дата
Каталог
30.01.2028
278,4179667
1,712175215
0,466945938
44,87157595
277,2231364
1,917126739
09.05.2028
322,4042281
1,712043717
0,466958793
44,89110345
277,213706
1,917225709
17.08.2028
6,235145388
1,683572806
0,459727288
46,36148824
276,6921483
2,395384867
25.11.2028
51,36545229
1,683374887
0,459681937
46,35908016
276,6874301
2,395475638
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0,25 сут.
30.01.2028
278,4183986
1,712175081
0,466946432
44,87159634
277,2231233
1,91712752
09.05.2028
322,4046654
1,712043588
0,466959288
44,89112356
277,2136931
1,917226489
17.08.2028
6,233349551
1,683370861
0,45968422
46,36910416
276,6947917
2,391765804
25.11.2028
51,37177484
1,683173013
0,459638879
46,36669632
276,6900736
2,39185647
Модель (1.6). Шаг 0,25 сут.
30.01.2028
278,4183917
1,712175073
0,466946426
44,87155017
277,2231248
1,917127446
09.05.2028
322,40466
1,712043608
0,466959281
44,8910755
277,2136946
1,917226415
17.08.2028
6,233494124
1,683384677
0,459687217
46,36854408
276,6946148
2,391994661
25.11.2028
51,37136992
1,683186718
0,45964185
46,36613294
276,6898967
2,392085333
Дата
 M, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
 i, град.
30.01.2028 4,318261E-04
09.05.2028 4,373034E-04
1,335958E-07
4,936669E-07
2,039170E-05
1,307900E-05
7,805264E-07
1,294506E-07
4,952623E-07
2,010601E-05
1,285400E-05
7,797309E-07
17.08.2028 1,795836E-03
25.11.2028 6,322546E-03
2,019442E-04
4,306772E-05
7,615918E-03
2,643391E-03
3,619062E-03
2,018735E-04
4,305786E-05
7,616162E-03
2,643495E-03
3,619168E-03
Каталог и модель (1.6)
 a, а.е.
e
  , град.
  , град.
 i, град.
Дата
 M, град.
30.01.2028 4,249341E-04
09.05.2028 4,319014E-04
1,419258E-07
4,878669E-07
2,577590E-05
1,162900E-05
7,069364E-07
1,092506E-07
4,874403E-07
2,794879E-05
1,142300E-05
7,060609E-07
17.08.2028 1,651263E-03
25.11.2028 5,917635E-03
1,881287E-04
4,007100E-05
7,055838E-03
2,466515E-03
3,390205E-03
1,881684E-04
4,008732E-05
7,052781E-03
2,466609E-03
3,390304E-03
70
Таблица 2.24 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 FU4
с начальными данными от 23.05.2014
Дата сближения 25.10.2051
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
Каталог
Астероид 2004 FU4
Дата
M, град.
09.05.2051
214,2079527
1,26031949
0,264009106
17.08.2051
283,8689498
1,260336151
25.11.2051
353,8789476
04.03.2052
63,13145493
Расстояние, а.е. 0,008138388
 , град.
i, град.
46,43059645
31,44920982
23,2421261
0,26399466
46,43024282
31,4470135
23,24222743
1,265228302
0,266064099
45,90742226
31,43404147
23,2186178
1,265224994
0,266052218
45,91571853
31,43041583
23,21853012
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0,5 сут.
09.05.2051
214,2068728
1,260319551
0,264009057
46,43060119
31,44921019
23,24212644
17.08.2051
283,8678651
1,260336214
0,263994611
46,43024733
31,44701385
23,24222776
25.11.2051
353,8767249
1,265214246
0,266058831
45,9092397
31,43405248
23,2186629
04.03.2052
63,13038639
1,265210937
0,266046949
45,91753619
31,43042656
23,21857513
09.05.2051
214,2069439
1,260319548
0,264009054
46,43038922
31,44921027
23,24212645
17.08.2051
283,8679373
1,260336222
0,263994603
46,4300339
31,44701393
23,24222778
25.11.2051
353,8767274
1,265213264
0,2660584
45,90913047
31,43405327
23,21866815
04.03.2052
63,13047335
1,26520992
0,266046502
45,9174251
31,43042733
23,21858038
  , град.
 i, град.
Модель (1.6). Шаг 0,5 сут.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
09.05.2051
1,079889E-03
6,153956E-08
4,976844E-08
4,739826E-06
3,642945E-07
3,428209E-07
17.08.2051
1,084684E-03
6,303722E-08
4,971215E-08
4,509662E-06
3,504181E-07
3,307232E-07
25.11.2051
2,222716E-03
1,405623E-05
5,268440E-06
1,817439E-03
1,101587E-05
4,509818E-05
04.03.2052
1,068544E-03
1,405726E-05
5,268476E-06
1,817662E-03
1,073108E-05
4,501107E-05
09.05.2051
1,008821E-03
5,843956E-08
5,193744E-08
2,072220E-04
4,501945E-07
3,556209E-07
17.08.2051
1,012455E-03
7,044722E-08
5,765215E-08
2,089247E-04
4,327181E-07
3,417232E-07
25.11.2051
2,220271E-03
1,503796E-05
5,698747E-06
1,708204E-03
1,180587E-05
5,035508E-05
04.03.2052
9,815775E-04
1,507480E-05
5,715722E-06
1,706578E-03
1,150548E-05
5,026367E-05
Каталог и модель (1.6)
Таблица 2.25 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2007 YV56
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2007 YV56 Дата сближения 02.01.2101
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
Дата
Каталог
Расстояние, а.е. 0,001590384
 , град.
i, град.
20.08.2100
317,0564872
1,575481962
0,622284272
267,3550938
101,0825487
6,25240501
28.11.2100
6,897126766
1,575467803
0,622290952
267,3573737
101,0820787
6,252480997
08.03.2101
56,25690198
1,583686455
0,622652319
267,8059289
101,0314424
6,55910368
16.06.2101
105,7163609
1,58366743
0,622622787
267,8062883
101,0308682
6,559056731
71
Продолжение таблицы 2.25
Дата
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0,125 сут.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
20.08.2100
317,0537981
1,575482987
0,622284392
267,3550785
101,082546
6,252408761
28.11.2100
6,894389002
1,57546883
0,622291076
267,357359
101,0820761
6,252484759
08.03.2101
56,16942937
1,585129165
0,622845592
267,8515328
101,0331682
6,546450319
16.06.2101
105,5613869
1,585110039
0,622816051
267,8518946
101,0325943
6,546403493
101,0825439
6,252408677
Модель (1.6). Шаг 0,125 сут.
20.08.2100
317,0537071
1,57548307
0,622284387
267,3546785
28.11.2100
6,894292915
1,575469211
0,622291132
267,3569561
101,082074
6,252484676
08.03.2101
56,16133315
1,585265562
0,622864495
267,8552881
101,0333579
6,544925096
16.06.2101
105,5469174
1,585246418
0,622834958
267,8556496
101,0327841
6,544878288
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
20.08.2100
2,689112E-03
1,024920E-06
1,197598E-07
1,526100E-05
2,658783E-06
3,750896E-06
28.11.2100
2,737763E-03
1,026888E-06
1,232841E-07
1,468300E-05
2,620960E-06
3,761450E-06
08.03.2101
8,747260E-02
1,442710E-03
1,932726E-04
4,560387E-02
1,725829E-03
1,265336E-02
16.06.2101
1,549739E-01
1,442608E-03
1,932635E-04
4,560631E-02
1,726164E-03
1,265324E-02
Каталог и модель (1.6)
20.08.2100
2,780128E-03
1,108330E-06
1,151838E-07
4,153430E-04
4,755783E-06
3,666876E-06
28.11.2100
2,833851E-03
1,407848E-06
1,797661E-07
4,176000E-04
4,719960E-06
3,678450E-06
08.03.2101
9,556883E-02
1,579107E-03
2,121757E-04
4,935918E-02
1,915578E-03
1,417858E-02
16.06.2101
1,694435E-01
1,578987E-03
2,121709E-04
4,936126E-02
1,915985E-03
1,417844E-02
Таблица 2.26 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид
99942 Apophis
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,000253690
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Каталог
Дата
M, град.
13.09.2023
142,857039
0,92272186
0,19144109
126,603979
13.08.2025
201,537278
0,92236357
0,19116953
05.04.2027
149,134628
0,92232227
0,19115526
05.03.2029
207,973531
0,92233151
0,19121525
203,956682
3,339294
126,678443
203,89996
3,340997
126,686717
203,890656
3,341124
126,698244
203,863082
3,342034
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
14.05.2031
236,046239
1,10148824
0,18858413
71,790435
203,550165
2,237175
13.04.2033
112,882275
1,10138908
0,18859143
71,799253
203,539843
2,237316
22.06.2035
74,954193
1,10153565
0,18857418
71,851354
203,514521
2,237595
22.05.2037
311,784193
1,10142341
0,18864778
71,868659
203,499458
2,237759
13.09.2023
142,8561278
0,922721988
0,191441416
126,6039754
203,9566887
3,339293669
13.08.2025
201,5362438
0,922363656
0,191169817
126,6784626
203,8999503
3,340996594
05.04.2027
149,1335056
0,922322352
0,191155547
126,6867364
203,8906469
3,341124514
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.03125 сут.
72
Прололжение таблицы 2.26
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
05.03.2029
207,972322
0,92233157
0,191215549
126,6982606
203,8630716
3,342034623
14.05.2031
242,8702199
1,091120128
0,18555862
74,31621267
203,5555909
2,342717957
13.04.2033
128,2312126
1,09104172
0,185569174
74,32109603
203,5460642
2,342869595
22.06.2035
100,0250374
1,091162986
0,185552231
74,36862028
203,5243768
2,343221913
22.05.2037
345,2714726
1,090792277
0,185603758
74,46512082
203,5130307
2,343534224
Модель (1.6). Шаг 0.03125 сут.
13.09.2023
142,8564008
0,922721964
0,191441398
126,6038763
203,9566872
3,339293772
13.08.2025
201,5365612
0,922363641
0,191169808
126,6783373
203,8999523
3,340996578
05.04.2027
149,1338566
0,922322337
0,191155538
126,6865925
203,8906489
3,341124498
05.03.2029
207,97271
0,922331559
0,191215538
126,6980962
203,8630737
3,342034591
14.05.2031
241,756349
1,092802797
0,1860271
73,89587778
203,5549935
2,328031308
13.04.2033
125,7207506
1,092719287
0,186035998
73,90109879
203,5453787
2,328181543
22.06.2035
95,92050863
1,092847381
0,186016991
73,93599753
203,527512
2,32860704
22.05.2037
339,1874456
1,089232013
0,185295788
74,84697157
203,4652733
2,333086562
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
  , град.
 i, град.
13.09.2023
0,000911166
1,27934E-07
3,25912E-07
3,56E-06
6,736E-06
3,3138E-07
13.08.2025
0,001034183
8,6344E-08
2,86833E-07
1,9558E-05
9,699E-06
4,0576E-07
05.04.2027
0,001122439
8,1713E-08
2,86696E-07
1,9401E-05
9,102E-06
5,1431E-07
05.03.2029
0,001209027
5,9971E-08
2,98561E-07
1,6552E-05
1,0351E-05
6,23E-07
14.05.2031
6,823980923
0,010368112
0,00302551
2,525777666
0,00542593
0,105542957
13.04.2033
15,34893759
0,01034736
0,003022256
2,521843035
0,006221169
0,105553595
22.06.2035
25,07084439
0,010372664
0,003021949
2,517266282
0,009855794
0,105626913
22.05.2037
33,48727963
0,010631133
0,003044022
2,596461823
0,013572673
0,105775224
13.09.2023
0,000638244
1,0364E-07
3,08462E-07
0,00010271
5,202E-06
2,281E-07
13.08.2025
0,000716792
7,0944E-08
2,77762E-07
0,000105667
7,733E-06
4,2198E-07
05.04.2027
0,00077136
6,7376E-08
2,77538E-07
0,000124549
7,13E-06
4,9765E-07
05.03.2029
0,000820953
4,8677E-08
2,87881E-07
0,000147809
8,301E-06
5,9144E-07
14.05.2031
5,710109996
0,008685443
0,00255703
2,105442777
0,004828528
0,090856308
13.04.2033
12,83847558
0,008669793
0,002555432
2,101845787
0,005535745
0,090865543
22.06.2035
20,96631563
0,008688269
0,002557189
2,084643533
0,012991021
0,09101204
22.05.2037
27,40325257
0,012191397
0,003351992
2,978312568
0,034184679
0,095327562
Каталог и модель (1.6)
Эволюция орбит астероидов, не имеющих тесных сближений с Землёй, просчитывалась до
2200 года. Результаты интегрирования уравнений движения астероидов приведены в таблицах
2.27 – 2.31, где  – это модуль разности значений элементов орбит, полученных по различным
моделям движения. Начальные данные астероидов от 23.05.2014. Для более ранних начальных
данных результаты приведены в приложении B.
73
Таблица 2.27 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 GX127
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2000 GX127
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
22,65529366
1,14245571
08.01.2200
21,23038252
1,142596202
08.01.2200
22,97383088
1,142442415
0,362282205
5,79179142
 , град.
i, град.
43,2457063
20,18234704
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
0,362253588
5,806997823
43,24587363
20,1804056
43,24570371
20,18300229
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,362265298
5,788100759
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
08.01.2200
1,424911141
0,000140492
08.01.2200
0,318537224
1,32948E-05
2,86172E-05
0,015206403
 i, град.
0,000167326
0,001941438
2,58864E-06
0,000655244
Каталог и модель (1.6)
1,69064E-05
0,003690662
Таблица 2.28 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2003 UY12
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2003 UY12
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
160,7786188
0,701033445
0,594760454
201,517893
 , град.
i, град.
21,85141435
16,38287575
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
08.01.2200
160,7687734
0,701034761
0,59476161
201,5180358
21,8514576
16,38246782
21,85145116
16,38262659
  , град.
 i, град.
4,3249E-05
0,000407934
3,68137E-05
0,000249163
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
08.01.2200
160,7728609
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,009845378
0,701034383
0,594761052
201,5158736
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
1,31596E-06
1,15673E-06
0,000142788
Каталог и модель (1.6)
08.01.2200
0,005757893
9,38769E-07
5,98669E-07
0,002019451
74
Таблица 2.29 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 XM14
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2004 XM14
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
179,1043976
1,154624661
0,700101477
187,0098371
 , град.
i, град.
89,08033518
42,29467624
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
08.01.2200
179,0788147
1,154625144
0,700101522
187,0098383
89,08033359
42,29467516
89,0803377
42,29468646
  , град.
 i, град.
1,58611E-06
1,07478E-06
2,52159E-06
1,02219E-05
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
08.01.2200
179,079971
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,025582898
1,154625127
0,7001014
187,0083161
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
4,83557E-07
4,49281E-08
1,23609E-06
Каталог и модель (1.6)
08.01.2200
0,024426644
4,65847E-07
7,72189E-08
0,001520943
Таблица 2.30 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид
2005 DD
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
225,2295977
1,933397445
0,567549362
257,16784
 , град.
i, град.
153,2539678
7,258429037
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
08.01.2200
225,2299387
1,933397369
0,567549422
257,1678796
153,2539297
7,258428063
153,2539403
7,258426472
  , град.
 i, град.
3,81586E-05
9,74107E-07
2,75136E-05
2,56436E-06
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
08.01.2200
225,2300635
1,933397373
0,567549434
257,1673517
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,00034098
7,53074E-08
08.01.2200
0,000465787
7,20674E-08
6,05052E-08
3,95599E-05
Каталог и модель (1.6)
7,20632E-08
0,000488348
75
Таблица 2.31 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2006 UQ17
с начальными данными от 23.05.2014
Астероид 2006 UQ17
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
153,2876613
1,619127766
0,37932726
12,69974571
 , град.
i, град.
81,11710098
1,722477172
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
08.01.2200
153,2679611
1,619118246
0,379322622
12,70398339
81,11291107
1,722594807
81,11277429
1,722599129
  , град.
 i, град.
0,004189906
0,000117636
0,004326691
0,000121958
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
08.01.2200
153,267836
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,019700226
1,619118072
0,379322535
12,70347768
Сравнение результатов
 a, а.е.
e
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
9,51988E-06
4,63842E-06
0,004237679
Каталог и модель (1.6)
08.01.2200
0,019825284
9,69406E-06
4,72525E-06
0,003731972
На основе проведённого сравнительного анализа математических моделей, результаты
которого представлены в таблицах 2.22 – 2.31, можно сделать следующие выводы.
Для астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, модель на основе гипотезы
о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством (1.6)
позволяет получать результаты, не противоречащие данным каталога орбитальной эволюции с
сайта SmallBodies.ru и сравнимые с результатами, полученными с иcпользованием модели с
учетом релятивистских эффектов (1.4). Отметим, что результаты, полученные по новой модели,
имеют меньшие расхождения с данными каталога SmallBodies.
Анализируя результаты интегрирования уравнений движения астероидов, не имеющих
тесных сближений с Землёй, представленные в таблицах 2.27 – 2.31, можно установить, что две
рассматриваемые модели движения предоставляют схожие и согласующиеся с данными
каталога орбитальной эволюции результаты.
Для астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, приведём относительные
погрешности элементов орбит, вычисленные для модели движения (1.6) на различные даты (до
и после тесных сближений) по отношению к модели с учетом релятивистских эффектов.
Относительные погрешности вычислялись как отношение разности между значениями
элементов орбиты, рассчитанных по двум моделям, к значению элемента, полученному
согласно модели (1.4). Данные приведены в таблицах 2.32 – 2.36.
76
Таблица 2.32 – Относительные погрешности элементов орбиты астероида 1999 AN10
с начальными данными от 23.05.2014
Дата
05.04.2027
14.07.2027
22.10.2027
30.01.2028
M
a
 e

 
i
6,30E-09
2,80E-07
4,75E-06
4,51E-06
2,20E-08
9,74E-08
2,80E-06
2,80E-06
8,89E-09
3,71E-08
1,82E-06
1,81E-06
2,44E-07
2,55E-07
7,16E-07
7,17E-07
1,91E-11
2,23E-11
8,14E-10
8,05E-10
6,86E-10
6,96E-10
1,26E-06
1,26E-06
Таблица 2.33 – Относительные погрешности элементов орбиты астероида 2001 WN5
с начальными данными от 23.05.2014
Дата
30.01.2028
09.05.2028
17.08.2028
25.11.2028
M
2,48E-08
1,68E-08
2,32E-05
7,88E-06
a
4,87E-09
1,18E-08
8,21E-06
8,14E-06
 e
1,24E-08
1,68E-08
6,52E-06
6,46E-06

1,03E-06
1,07E-06
1,21E-05
1,22E-05
 
5,23E-09
5,16E-09
6,39E-07
6,39E-07
i
3,84E-08
3,84E-08
9,57E-05
9,57E-05
Таблица 2.34 – Относительные погрешности элементов орбиты астероида 2004 FU4
с начальными данными от 23.05.2014
Дата
09.05.2051
17.08.2051
25.11.2051
04.03.2052
M
3,32E-07
2,54E-07
6,91E-09
1,38E-06
a
2,46E-09
5,88E-09
7,76E-07
8,04E-07
 e
8,22E-09
3,01E-08
1,62E-06
1,68E-06

4,57E-06
4,60E-06
2,38E-06
2,42E-06
 
2,73E-09
2,62E-09
2,51E-08
2,46E-08
i
5,51E-10
4,73E-10
2,26E-07
2,26E-07
Таблица 2.35 – Относительные погрешности элементов орбиты астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 23.05.2014
Дата
13.09.2023
13.08.2025
05.04.2027
05.03.2029
14.05.2031
13.04.2033
22.06.2035
22.05.2037
M
1,91E-06
1,57E-06
2,35E-06
1,87E-06
4,59E-03
1,96E-02
4,10E-02
1,76E-02
a
2,63E-08
1,67E-08
1,55E-08
1,22E-08
1,54E-03
1,54E-03
1,54E-03
1,43E-03
 e
9,12E-08
4,74E-08
4,79E-08
5,59E-08
2,52E-03
2,52E-03
2,50E-03
1,66E-03

7,83E-07
9,89E-07
1,14E-06
1,30E-06
5,66E-03
5,65E-03
5,82E-03
5,13E-03
 
7,52E-09
9,64E-09
9,67E-09
1,01E-08
2,93E-06
3,37E-06
1,54E-05
2,35E-04
i
3,09E-08
4,85E-09
4,99E-09
9,44E-09
6,27E-03
6,27E-03
6,24E-03
4,46E-03
Таблица 2.36 – Относительные погрешности элементов орбиты астероида 2007 YV56
с начальными данными от 23.05.2014
Дата
20.08.2100
28.11.2100
08.03.2101
16.06.2101
M
a
 e

 
i
2,87E-07
1,39E-05
1,44E-04
1,37E-04
5,29E-08
2,42E-07
8,60E-05
8,60E-05
7,35E-09
9,08E-08
3,03E-05
3,04E-05
1,50E-06
1,51E-06
1,40E-05
1,40E-05
2,07E-08
2,08E-08
1,88E-06
1,88E-06
1,34E-08
1,33E-08
2,33E-04
2,33E-04
77
По результатам расчётов определено, что использование модели (1.6), основанной на
гипотезе о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством,
уменьшает требуемое время расчётов в среднем в 3,2 раза по сравнению с моделью (1.4),
сохраняя при этом высокую точность вычислений (результаты, полученные по двум моделям
согласуются с данными каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы).
Из данных таблиц 2.32 – 2.36. можно установить, что после момента тесного сближения
наблюдается скачкообразное изменение в значениях орбитальных элементов. Это связано с тем,
что в момент тесного сближения возникают нелинейные возмущения, влияющие на траекторию
движения астероида. Чем теснее сближение, тем более сильное влияние оказывается, и, как
следствие, тем более сильно расходятся моделируемые данные.
Если сопоставить такое поведение элементов орбиты с результатами сравнительных
испытаний, проведённых с использованием модели с учетом релятивистских эффектов (1.4)
различными методами численного интегрирования, то можно увидеть схожую картину.
Таким образом, после тесного сближения астероида с Землёй задача становится
неустойчивой и больше зависит от погрешностей в начальных данных, чем от используемых
методов численного интегрирования или модели движения. Как показано в ряде работ на
примере астероида Apophis [19, 23, 33, 36, 38, 63, 91], незначительные возмущения в начальных
данных приводят к значительным отклонениям в результатах интегрирования. Астероид
Apophis рассматривается чаще прочих по той причине, что он имеет наиболее тесное
сближение с Землёй из всех потенциально опасных астероидов и неустойчивость решения для
него прослеживается наиболее явно.
Использование высокоточного метода Эверхарта совместно с математической моделью
движения небесных объектов (1.6) предоставляет результаты, имеющие высокую точность и
согласующиеся с получаемыми при использовании модели движения небесных объектов с
учётом релятивистских эффектов (1.4). При этом расчёты по представленной модели (1.6)
требуют меньше времени (в среднем в 3,2 раза), чем по модели (1.4) по причине более простого
вида уравнений движения, что является несомненным плюсом при использовании модели (1.6)
в задаче оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй. Таким образом, модель (1.6)
может применяться для задач, требующих быстрых расчётов траекторий движения
значительного количества небесных объектов с высокой точностью.
2.2.2. Учёт негравитационных эффектов в модели
Модели движения небесных тел (1.4) и (1.6), представленные выше, не учитывают
негравитационные эффекты, воздействующие на малые тела солнечной системы в процессе
78
эволюции их обриты. К таким эффектам относятся: YORP эффект, эффект Ярковского, эффект
Пойнтинга-Робертса и световое давление.
Эффект Пойнтинга-Робертса и эффект светового давления по сути своей являются
проявлением непосредственного влияния солнечного излучения на небесное тело [8, 52, 74].
Как установлено в работах [8, 52, 63, 74], возмущения, возникающие в результате воздействия
этих двух эффектов, не существенны для крупных астероидов и проявляются только для малых
тел и пылевых частиц на длительных временных интервалах.
Таким образом, при исследовании эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и
Атона на интервалах времени порядка 100-200 лет эффектом Пойнтинга-Робертса и влиянием
светового давления можно пренебречь.
Так как исследуемые астероиды имеют значительные размеры и из-за низкой плотности
межпланетной среды вблизи Земли [1], в моделировании эволюции орбиты астероидов не будет
учтено торможение астероидов от столкновений с пылью и газом.
Эффект Ярковского подробно рассмотрен в первой главе данной работы. Там же показаны
его основные свойства и особенности. Эффект Ярковского проявляется в дополнительном
ускорении или торможении астероида, которое возникает из-за теплового излучения от
нагревшейся днём и остывающей ночью поверхности астероида (см рис. 2.1).
В ряде работ [63, 72, 98, 125] установлено, что воздействие эффекта Ярковского
существенно проявляется только на длительных временных интервалах. Эффект Ярковского
является кумулятивным, т.е. возмущения, получаемые небесным телом, накапливаются, что
сказывается на эволюции орбиты в долгосрочной перспективе. Аналитическое представление
суточного
(1.7) и годичного (1.8) приращений большой полуоси, вызываемых эффектом
Ярковского, требует учёта физических данных астероида, информация о которых зачастую
недостаточно точна. Учёт в модели аналитического представления возникающей силы (1.9) для
каждого астероида из групп Аполлона, Амура и Атона, потребовал бы значительных
вычислений.
В данной работе при моделировании эволюции орбиты астероидов групп Аполлона, Амура
и Атона эффект Ярковского учитывается в форме (1.10), т.е. как приращение большой полуоси
небесного тела, зависящее от негравитационного параметра A2 :
da 2 A2 (1  e 2 )

,
dt
np 2
где a – большая полуось; r – гелиоцентрическое расстояние; A2 – функция, зависящая от
физических характеристик астероида, n – среднее движение (средняя скорость движения тела
по орбите); e – эксцентриситет; p – фокальный параметр орбиты.
79
В таблице 2.37, сформированной по данным NASA, представлены известные значения
негравитационного параметра A2 , а также приращение большой полуоси da dt для тех
астероидов, у которых было подтверждено влияние эффекта Ярковского на траекторию
движения [83].
Таблица 2.37 – Приращения
для некоторых астероидов
Наименование
астероида
101955 1999 RQ36
152563 1992 BF
2002 XQ40
6489 Golevka
2009 BD
2062 Aten
1862 Apollo
10302 1989 ML
2100 Ra-Shalom
2063 Bacchus
85953 1999 FK21
1999 MN
4179 Toutatis
2340 Hathor
2003 UC20
1999 FA
6037 1988 EG
37655 Illapa
3908 Nyx
1685 Toro
2005 ES70
54509 YORP
2000 YA
162004 1991 VE
283457 2001 MQ3
65679 1989 UQ
1620 Geographos
большой
A2 , (1 1015 а.е. d 2 )
-45,54
-24,01
-93,71
-15,88
-1164,01
-15,89
-3,32
90,48
-10,97
-14,27
-10,62
50,79
-9,76
-24,71
-8,02
-98,69
-32,66
-14,00
27,66
-2,83
-97,22
-77,26
-367,60
18,22
-44,63
-36,66
-4,11
полуоси
и
значение
параметра
 A2
da dt ( 1  104
а.е. млн.лет )
 da dt
0,24
1,21
5,87
152
138,76
2,09
0,52
16,39
2,25
3,07
2,33
11,38
2,20
5,66
1,93
31,27
8,19
3,65
7,23
0,77
29,27
23,59
115,09
5,72
14,33
12,23
1,39
-19,01
-11,55
-43,79
-6,62
-493,39
-7,10
-1,69
34,71
-6,31
-6,65
-10,44
47,12
-4,32
-14,33
-4,34
-41,08
-16,39
-11,27
10,72
-1,27
-55,57
-34,64
-175,88
14,68
-16,02
-17,51
-1,76
0,10
0,58
2,74
0,64
58,81
0,93
0,26
6,28
1,30
1,43
1,50
10,56
0,97
3,28
1,05
13,02
4,11
2,94
2,80
0,34
16,73
10,58
55,07
4,66
5,14
5,84
0,59
A2
Таким образом, в данной работе при моделировании движения астероидов для оценки
величины вероятности столкновения учитывается эффект Ярковского для тех астероидов, для
которых он признан существенным. Кроме того, в случае, если обнаруживается, что задача
неустойчивая, то есть малые изменение элементов орбиты астероида вызывают значительные
изменения в величине сближения с Землёй (как в случае с 99942 Apophis), производится
моделирование с учётом эффекта Ярковского. При этом, если нет дополнительных данных,
80
касающихся направления вращения астероида вокруг своей оси и точного угла наклона
астероида, эффект Ярковского учитывается с использованием случайных величин (при условии
наличия информации о величине негравитационного параметра A2 , зависящего от физических
свойств астероида ).
Эффект Ярковского – О'Кифа – Радзиевского – Пэддэка (YORP–эффект) – представляет
собой одно из проявлений эффекта Ярковского. Суть YORP–эффекта в изменении скорости
вращения астероида под действием солнечного излучения. Эффект возникает только для
астероидов с формой, отличной от сферической. Согласно результатам, установленным в ряде
работ [81, 72, 83, 98, 106, 114, 118, 125], YORP–эффект, так же как и эффект Ярковского,
необходимо учитывать при расчётах эволюции астероидов на значительных интервалах
времени. При этом считается, что на коротких временных интервалах влияние YORP–эффекта
незначительно. Так как максимальный временной интервал, на котором моделируется
эволюция орбит малых тел Солнечной системы, в данной работе не превышает 200 лет, то
YORP–эффект в модели движения астероидов при оценке величины вероятности столкновения
не учитывается.
2.3. Оптимизация расчётов траектории движения для астероидов,
имеющих тесные сближения с планетами
Как было установлено выше, численный метод Эверхарта с постоянным шагом является
более предпочтительным для расчётов эволюции орбиты астероидов, имеющих тесные
сближения с планетами. Однако при отсутствии тесных сближений у астероида использование
метода Эверхарта с переменным шагом интегрирования позволяет уменьшить длительность
вычислений эволюции орбиты астероида, сохранив при этом точность.
В данной работе используется модификация алгоритма численного интегрирования, в
котором шаг интегрирования устанавливается автоматически следующим образом. Сначала
производится просчёт эволюции орбиты астероида с переменным шагом на определённом
временном интервале, например, с 1800 по 2200 гг. Если в ходе расчётов у астероида не
обнаружилось тесных сближений, то в дальнейшем для него продолжает использоваться метод
Эверхарта с переменным шагом интегрирования. Если же обнаружилось, что астероид имеет
тесное сближение с планетой, то эволюция орбиты астероида будет просчитываться более
тщательно с целью обнаружения потенциальной вероятности столкновения с Землёй
вследствие возмущения орбиты, вызванного тесным сближением.
Для ускорения расчётов интегрирование уравнений движения астероида на момент
времени t до тесного сближения производится методом Эверхарта с переменным шагом, а
81
затем интегрирование продолжается методом с постоянным шагом. Подбор шага производится
заранее, аналогично схеме выбора постоянного шага интегрирования, описанной выше при
выборе численного метода.
Рассмотрим применение такого подхода на примере астероида 99942 Apophis, имеющего
тесное сближение с Землёй 13.04.2029 г. До момента времени t =25.11.2028 г. интегрирование
производилось с переменным шагом. Затем, до 22.05.2037 г. производилось интегрирование с
постоянным шагом 0,03125 суток.
Результаты расчётов по начальным данным от 23.05.2014 приведены в таблице 2.38, где
разность между соответствующими элементами орбит записана через  .
Таблица 2.38 – Сравнение результатов интегрирования уравнений движения астероида 99942
Apophis с начальными данными от 23.05.2014
99942 Apophis Дата сближения 13.04.2029
Астероид
22.05.2037
22.05.2037
0,000253690
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
6,830568052
Переменный шаг
1,08456941
0,184007
76,07135
203,5114
2,308865
345,2714726
Постоянный шаг 0.03125 сут.
1,09079228
0,185604
74,46512
203,513
2,343534
350,1790566
Модифицированный алгоритм
1,08977354
0,184062
75,18115
203,5127
2,325655
M, град.
Дата
22.05.2037
Расстояние, а.е.
 M, град.
Дата
a, а.е.
Сравнение результатов
  , град.
 a, а.е.
e
  , град.
 i, град.
22.05.2037
Переменный шаг и модифицированный алгоритм
16,65151143 -0,00520413 -5,5E-05
0,890199
-0,00122
-0,01679
22.05.2037
Постоянный шаг и модифицированный алгоритм
4,907584025 -0,00101874 -0,00154
0,716028
-0,00037
-0,01788
Как видно из результатов сравнений элементов орбиты астероида, полученных на
22.05.2037 г.,
данные,
полученные
по
предложенному
алгоритму
с
использованием
переменного шага до тесного сближения, и постоянного шага после сближения, незначительно
отличаются от результатов, полученных с использованием только переменного шага, или
только постоянного. Сравнивая результаты с данными, приведёнными в таблице 2.16 при
выборе численного метода, можно установить, что рассчитанные элементы орбит согласуются
и с данными каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. По результатам
расчётов установлено, что использование метода Эверхарта с модифицированным алгоритмом
выбора шага позволяет уменьшить время расчётов по сравнению с интегрированием с
постоянным шагом в среднем в 2,4 раза.
82
Таким
образом,
применение
модифицированного
алгоритма
при
интегрировании
уравнений движения астероида не вносит значительных погрешностей в расчёты и в то же
время позволяет ускорить процедуру численного интегрирования уравнений движения. Для
оптимизации расчётов траектории движения астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй,
можно применять описанный алгоритм.
2.4. Оптимизация расчётов с использованием банка данных координат
больших планет
Исследование эволюции орбиты малого тела Солнечной системы состоит в совместном
интегрировании уравнений движения планет и небесного тела. Даже при использовании
высокоэффективных численных методов решения задач небесной механики и современных
вычислительных технологий (например, таких как технология параллельных вычислений
CUDA [111]), решение задачи регулярного массового мониторинга эволюции орбит астероидов
является весьма ресурсоёмким процессом.
Одним из явных способов повысить скорость работы программ численного интегрирования
уравнений движения небесных объектов является использование предвычисленных координат
и скоростей больших планет Солнечной системы при исследовании эволюции малых небесных
тел. Такой подход в задаче исследования эволюции малых тел Солнечной системы возможен в
силу того, что воздействие исследуемых объектов на большие планеты и их спутники
незначительно по сравнению с тем воздействием, которое они оказывают на исследуемый
объект (астероид).
При совместном интегрировании уравнений движения планет и исследуемого тела порядок
системы дифференциальных уравнений равен 72 (3 уравнения для координат и 3 – для
скоростей для Солнца, 10 небесных тел и исследуемого объекта). Использование банка данных
предвычисленных координат и скоростей позволяет сократить порядок системы до 6-го
(уравнения для координат и скоростей исследуемого объекта в трёхмерном пространстве) и
значительно сокращает время, требуемое для расчётов [47, 48]. Однако при использовании
банка данных имеются некоторые особенности, которые нужно учитывать при интегрировании
уравнений движения. Так как координаты возмущающих тел рассчитываются с определённым
интервалом, для определения координат в произвольный момент времени необходимо
использовать формулы интерполяции.
Существует множество подходов к реализации использования банка данных возмущающих
тел Солнечной системы при решении задач небесной механики [3, 46–48, 101, 109, 110, 119–
121]. Один из наиболее распространённых подходов позволяет хранить положения
83
возмущающих тел не в виде компонентов радиус-вектора и вектора скорости, рассчитанных с
определённым шагом, а в форме оскулирующих элементов орбит.
В данной работе используется банк данных возмущающих тел в форме коэффициентов
полинома Эверхарта, который позволяет упростить алгоритм интерполяции, а также ускорить
процесс интегрирования [46–48].
Для создания банка данных возмущающих небесных тел (планеты, Луна и Солнце) было
произведено совместное интегрирование уравнений движения (1.4) методом Эверхарта
11 порядка с шагом в 10 дней. При этом координаты радиус-вектора и вектора скорости
вычислялись следующим образом:
n
y  y1  F1t   Ai
i 1
y  y1  y1t  F1
t i 1
,
(i  1)
t2 n
t i2
  Ai
.
2 i 1 (i  1)(i  2)
(2.1)
(2.2)
Следует отметить, что коэффициенты Ai в формулах (2.1) и (2.2) вычисляются из условий
наилучшего приближения y и y , т.е. (2.1) и (2.2) не являются рядами Тейлора.
Используемый банк данных содержит координаты, скорости, ускорения для возмущающих
небесных объектов, а также коэффициенты A1 , A2 , A3 , A4 , рассчитанные на начало каждого
временного шага, равного 10 дням. Для получения данных внутри интервала проводится
интерполяция с использованием формул (2.1) – (2.2). Период интегрирования был выбран с
1600 по 2200 гг.
Для оценки погрешности полученных координат возмущающих небесных тел (планеты,
Луна и Солнце) произведено их сопоставление с данными численной теории DE405.
Рассчитанные в результате сопоставления координат и скоростей значения максимальных
ошибок в прямоугольных координатах и скоростях возмущающих небесных тел внутри
десятидневных интервалов приведены в таблице 2.39, где S max  max x 2  y 2  z 2 ;
vmax  max x 2  y 2  z 2 ; x , y , z – погрешности в координатах,  x ,  y ,  z –
погрешности в компонентах скоростей.
84
Таблица 2.39 – Максимальные
внутри интервала 10 дней
Небесное тело
Солнце
Меркурий
Венера
Земля
Луна
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
ошибки
в
компонентах
S max , а.е.
1, 95  10
 12
1, 76  10 11
3, 00  10 11
8
3,61 108
1, 67  10 6
2,93  10 6
2,11  10 12
8,83  10 13
 12
8, 02  10 13
7, 48  10 13
6, 27 1013
1, 73  10 12
6, 63  10 13
1, 60  10
 12
7,97 1012
скоростей
7,18  10 13
2, 51  10 9
2, 71  10
и
vmax , а.е./сут.
1,33 109
2,10  10
координат
6,12 1013
7, 80  10 13
Как видно из результатов сопоставлений максимальных ошибок, отраженных в таблице
2.39, полученный банк данных согласуется с численной теорией DE405 с достаточно высокой
точностью.
Высокое быстродействие интегрирования уравнений движения небесных объектов с
использованием банка данных возмущающих тел отражено в работах [46–48], где отмечено, что
по сравнению с совместным интегрированием уравнений движения скорость расчётов при
использовании банка данных в форме полиномов Эверхарта увеличивается в 18 раз. В данной
работе банк данных координат возмущающих небесных объектов в форме полиномов
Эверхарта используется при расчётах эволюции небесных тел как с классической
математической моделью движения (1.4), так и с альтернативной (1.6).
2.5.
Оценка
минимального
расстояния
между
орбитами
небесных тел на конфокальных орбитах
Как отмечалось ранее, для классификации астероида как потенциально опасного для Земли
необходимо рассчитать минимальное расстояние между орбитами Земли и астероида. Это
расстояние обозначается MOID (Minimum Orbital Intersection Distance). Для того чтобы
астероид считался потенциально опасным, требуется выполнение двух условий: MOID  0.05
а.е. и абсолютная звёздная величина астероида H  22 . Такие критерии потенциальной
опасности астероида были установлены в работе [66], одобрены специалистами в области
астероидной опасности и являются общепринятыми [70, 92, 100].
В работах [17, 126] описывается метод для быстрой оценки параметра MOID, реализованый
в данной работе. Метод выбран по причине высокого быстродействия и точности, не
уступающей классическому численно-аналитическому методу. Обязательным условием,
накладываемым на две орбиты, между которыми рассчитывается минимальное расстояние,
85
является условие конфокальности. Каждая из орбит задаётся набором орбитальных элементов
( a , e, i ,  ,  ) .
Обозначим небесные тела E и A. Наборы орбитальных элементов, характеризующие эти
тела в пространстве, будут иметь соответствующий нижний индекс. В общем случае, небесные
тела, для которых вычисляется минимальное расстояние между орбитами, имеют произвольную
ориентацию, то есть их орбитальные параметры i, ,  отличны от нуля.
Важно уточнить, что метод, описанный в данной работе, предназначен для оценки
минимального расстояния между орбитами, т.е. данные о реальных положениях небесных тел
на их орбитах не принимаются во внимание. Поэтому информация о реальном положении тела
на орбите, содержащаяся в параметре M (средняя аномалия) орбитальных элементов, не
используется. В дальнейшем вместо шести элементов орбит (a, e, i,  ,  , M), определяющих
положение небесного тела в пространстве будет рассматриваться пять (a, e, i,  ,  ), которые
представляют орбиту небесного тела в пространстве.
Для упрощения расчётов примем, что одна из орбит (без ограничения общности, пусть это
будет орбита тела E) не наклонена. Таким образом, элементы орбиты второго тела необходимо
будет пересчитать с учетом поворота системы координат. Преобразование не изменяет
расстояний между орбитами [17, 126] и осуществляется с использованием матрицы перехода С:
 cos  E cos E  sin  E cos i E sin E
C   cos  E sin E  sin  E cos i E cos E

sin iE sin  E

sin  E cos E  cos  E cos i E sin E
sin  E sin E  cos  E cos i E cos E
 sin iE cos  E
sin iE sin E 
sin iE cos E  (2.3)
cos iE 
Для расчёта новых значений iA,A, A нам понадобится ещё несколько вектор-столбцов:
 x1   cos  A cos A  sin  A cos i A sin  A 
X   x2    sin  A cos  A  cos  A cos i A sin  A  ;
x  

sin i A sin  A
 3 

(2.4)
 y1    cos  A sin A  sin  A cos i A cos  A 
Y   y 2     sin  A sin A  cos  A cos i A cos A  ;
y  

sin iA cos A
 3 

(2.5)
 z1   sin iA sin  A 
Z   z2     sin iA cos  A  .
z  

cos iA
 3 

(2.6)
Далее, используя выражения (2.3) – (2.6), нужно рассчитать следующие значения [17]:
86
 x1n 
 x1с11  x2c12  x3c13 


X n   x2 n   CX   x1с21  x2c22  x3c23  ;
x 
xс x c  x c 
 3n 
 1 31 2 32
3 33 
 y1n 
 y1с11  y2c12  y3c13 


Yn   y2 n   CY   y1с21  y2c22  y3c23  ;
y 
yс  y c  yc 
 3n 
 1 31
2 32
3 33 
 z1n 
 z1с11  z2c12  z3c13 


Z n   z2n   CZ   z1с21  z2c22  z3c23  .
z 
zс z c z c 
 3n 
 1 31 2 32 3 33 
Новые значения элементов орбиты тела A получим по следующим формулам:
iA  arctg(
z12n  z22n
z
x
) ; A  arctg( 1n ) ; A  arctg( 3n ) .
z2n
y3n
z3 n
(2.7)
Итак, перед началом работы алгоритма имеем следующий набор элементов орбит: для тела
E: (aE , eE , 0, 0, 0) ; для тела A: (aA , eA , iA , A ,  A ) , где iA , A ,  A – пересчитанные по формулам
(2.7) элементы орбиты тела А с учетом поворота системы координат.
Алгоритм, лежащий в основе метода быстрой оценки MOID состоит из двух стадий. На
первой стадии производится расчёт одного полного оборота тела A по орбите с шагом  . Для
каждого положения тела A рассчитывается соответствующее положение тела E. Положение
тела E на первой стадии считается зависимым от положения A, задаваемому значением
истинной аномалии v0 . После просчёта полного оборота A получим набор расстояний D ,
которые можно рассматривать как дискретную функцию, описывающую расстояние между
орбитами тел A и E. Затем начинается вторая стадия алгоритма. Исходя из полученных
расстояний, устанавливаются области локальных минимумов, производится процедура
уточнения значений этих минимумов и в итоге определяется MOID [126].
Рассмотрим расположение тел E и A на рисунке 2.1. В центре находится Солнце, полярная
ось направлена перпендикулярно плоскости орбиты E. Введём в рассмотрение плоскость P ,
содержащую полярную ось и проходящую через тело A (и, как следствие, перпендикулярную к
плоскости орбиты E). При движении тела A по орбите положение плоскости P будет меняться,
так как положение плоскости P зависит от положения тела A.
87
Рисунок 2.1 – Расположение орбит тел E и A, для которых рассчитывается MOID
Положение тела A на орбите задается с помощью истинной аномалии v0 , зная которую,
легко вычислить гелиоцентрическое расстояние:
rA0 
a A (1  eA2 )
.
1  eA cos v0
Декартовы координаты тела определяются так:
x A0  rA0 (cos  A cos(A  v0 )  sin  A sin(A  v0 )cos iA ),
y A0  rA0 (sin  A cos(A  v0 )  cos  A sin(A  v0 )cos iA ),
(2. 8)
z A0  rA0 sin(A  v0 )sin iA.
Исходя из описанных выше предположений, положение тела E на орбите будет
определяться положением тела A. Плоскость P пересекает орбиту тела E в двух точках.
Положим, что тело E находится в той точке, что ближе к телу A (см. рис. 2.1). Таким образом,
Солнце, тело E и тело A образуют треугольник, лежащий в плоскости P . Обозначим расстояние
между E и A как D0 .
Для нахождения координат тела E следует принять во внимание, что оно находится в одной
плоскости с Солнцем и телом A, а именно в плоскости Pv 0 (в силу выбора положения E,
сделанного выше, а так же определения плоскости P ). Отметим, на первой части алгоритма
положение тела E является зависимым от положения теля A, которое определяется значением
истинной аномалии v0 . Истинная аномалия v0 не связана с реальным положением тела на
орбите, а используется только для расчётов. Обозначая долготу тела E за L0 , получим [126]:
88
cos L0 
x A0
x
2
A0
y
2
A0
, sin L0 
y A0
x
2
A0
 y A2 0
.
Гелиоцентрическое расстояние для тела E рассчитывается стандартным образом с учетом
того, что в силу выбора системы координат долгота L0 совпадает с его истинной аномалией:
a E (1  eE2 )
rE 0 
.
1  eE cos L0
Найдём расстояние между телами A и E в их текущих положениях, определяемых
значением v0 . Для этого рассмотрим треугольник, образованный телами и Солнцем в плоскости
Pv 0 . На рисунке 2.2 искомое расстояние обозначено D0 .
Рисунок 2.2 – Расположение тел E и A при определении расстояния между их орбитами
Рассмотрим треугольник SAE , образованный Солнцем и телами A и E. Две его стороны
равны гелиоцентрическим расстояниям rA0 и rE0 , третья – искомое расстояние D0 . Опустим
перпендикуляр из точки A на продолжение луча SE и получим точку A ' . Значение SA' легко
получить, зная координаты точки A ( xA0 , y A0 , z A0 ) , рассчитанные по формулам (2.8):
SA '  xA0 2  yA0 2 .
Сторона EA' треугольника EA'A представима в виде EA '  SA ' SE . Треугольник SA'A
прямоугольный, поэтому
EA'  xA02  yA02  rE 0 .
Сторона AA' равна z A0 . Сторона EA – гипотенуза прямоугольного треугольника
EA2  EA '2  AA '2 . Искомое значение D0 , соответствующее длине стороны EA треугольника
EA'A, находится следующим образом:
D02  z2A0  ( x2A0  y2A0  rE 0 )2 .
Расчёт для очередного положения тела A заканчивается после вычисления D0 . Затем
изменим положение тела A на орбите, увеличив истинную аномалию тела на величину  и
89
повторим приведенные выше вычисления. Получим следующее значение расстояния, например
Dv (см. рис. 2.1).
Проводя описанные вычисления для полного оборота тела A по своей орбите с шагом  ,
получим набор расстояний D как дискретную функцию, зависящую от v , для которой можно
установить точки локальных минимумов. Один из примеров локального Dmin изображен на
рисунке 2.1.
Первая стадия алгоритма завершается после просчёта полного оборота тела A по орбите. В
результате будет осуществлён предварительный поиск точек локального минимума функции,
описывающей расстояние между орбитами тел E и A.
Задача, решаемая на второй стадии алгоритма – уточнение точек локальных минимумов
между орбитами и поиск MOID. То есть, имея данные о точках локального минимума и
соответствующие им координаты тел E и A (зафиксированные на первой стадии работы
алгоритма), проводится уточнение данных и поиск среди уточненных данных глобального
минимума, который и будет являться значением MOID.
Рассмотрим вторую стадию подробнее. Пусть в результате первой фазы работы алгоритма
найдено N локальных минимумов, то есть N положений тел E и A (и, соответственно, 2N
наборов орбитальных элементов). Теперь необходимо произвести уточнение позиций E и A для
каждого найденного локального минимума D v .
Рассмотрим положения E1 и A1 , а также соответствующее им расстояние между орбитами
Dmin1 . Добавим к рассмотрению ещё 4 точки: E1 , E1 , A1 , A1 , которые получены путём
варьирования истинной аномалии тела на величину v , то есть сдвига по направлению
движения (индекс «+») и против движения (индекс «–» ) на величину v . Итак, имеем 6
позиций, и 9 расстояний между орбитами E и A , из которых требуется выбрать наименьшее
значение, характеризующее соответствующую позицию тел E и A . Необходимо вычислить
следующие расстояния: E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 , E1 A1 . Однако,
на первом шаге расстояние E1 A1 известно и соответствует известному Dmin1 .
Для расчёта расстояний используем стандартный подход:

aE (1  eE2 )
r

,
E
1

e
cos
L
E
E

,
 xE  rE cos LE ,
 y  r sin L ,
A
A
 E
 z E  0,
(2.9)
90

a A (1  eA2 )
r

,
A
1

e
cos
v
A
A

 x A  rA (cos  A cos( A  v A )  sin  A sin( A  v A ) cos iA ),
 y  r (sin  cos(  v )  cos  sin(  v ) cos i ),
A
A
A
A
A
A
A
 A A
 z A  rA sin( A  v A ) sin iA ,
(2.10)
где LE и vA – истинные аномалии (с учетом изменений на v ) тел E и A соответственно.
Расстояние между телами E и A, используя полученные по формулам (2.9) – (2.10) значения
координат x , y , z , находится тривиальным образом, как расстояние между двумя точками
в декартовой трёхмерной системе координат:
2
2
2
D 2   x A  xE    y A  y E    z A  z E  .
(2.11)
Применяя формулы (2. 9) – (2.11) для поиска упомянутых выше расстояний, находим из
полученных 9 значений наименьшее. Затем вторая фаза алгоритма повторяется, только теперь
E1 и A1 равны положениям, соответствующим новому минимальному расстоянию Dmin1 . Цикл
останавливается,
если
на
очередном
шаге
найденное
минимальное
расстояние
и
соответствующее ему взаимное положение тел E и A с заданной точностью совпадают с
найденными на предыдущем шаге цикла.
Стоит отметить, что начиная со второй итерации цикла, количество расстояний, которые
необходимо будет вычислить, сократится. К примеру, если новое расположение тел E и A будет
соответствовать E1 A1 , то добавится только 2 новых положения тел, остальные же были
вычислены на предыдущем шаге.
Для всех N локальных минимумов, найденных на первой стадии работы алгоритма,
выполняется описанный выше механизм уточнения значения Dmini , i  1, N . Затем шаг v
уменьшается, и вторая стадия повторяется вновь. После того, как с необходимой точностью
найдены все Dmini , определяется минимальное расстояние между орбитами [126]:
MOID  min Dmin i .
i 1, N
2.5.1. Сравнительные испытания метода быстрой оценки
Для оценки эффективности работы описанного метода быстрого вычисления MOID были
проведены сравнительные испытания. В качестве метода для сравнения был выбран метод
Gronchi G. F. [85–87], так как он считается классическим, исходные коды находятся в
свободном
доступе
по
адресу
http://adams.dm.unipi.it/~gronchi/kepdist/moid/
используется NASA при оценке минимального расстояния между орбитами.
и
метод
91
Начальные данные астероидов брались с сайта Центра малых планет Международного
астрономического союза (http://www.minorplanetcenter.net/iau/Dangerous.html), а также с научноинформационного
сайта
SmallBodies.ru
Результаты
(http://smallbodies.ru/).
испытаний
приведены в таблице 2.40 и таблице 2.41 .
Таблица 2.40 содержит информацию о количестве потенциально опасных астероидов,
(PHA – Potentially Hazardous Asteroids), обнаруженных в результате работы метода быстрой
оценки среди групп Аполлона, Амура и Атона. Выбор в пользу астероидов из этих групп сделан
по той причине, что все потенциально опасные для Земли астероиды, известные на
сегодняшний день (за редким исключением), принадлежат к одной из этих групп.
Таблица 2.40 – Потенциально опасные астероиды в группах Аполлона, Амура и Атона
Группа
астероидов
Аполлоны
Амуры
Атоны
По трём группам
Количество
астероидов
Количество PHA
Процент PHA
6729
4796
947
12591
1329
84
152
1565
19,75%
1,75%
16,05%
12,43%
При оценке принадлежности астероида к классу потенциально опасных использовалось
классическое определение потенциально опасного астероида [66] (PHA), приведённое выше.
Полученные данные совпали с данными, публикуемыми Лабораторией реактивного движения
NASA
(http://neo.jpl.nasa.gov/orbits)
и
Центром
малых
планет
международного
астрономического союза. Как видно из таблицы 2.40, наибольшее число потенциально опасных
астероидов находится в группе Аполлонов.
Произведено сравнение методов по скорости осуществления расчётов. В среднем,
длительность вычислений по методу быстрой оценки составляла 12 мс на 100 вычислений
MOID против 40 мс (в среднем) на 100 вычислений MOID по методу Gronchi G. F. Отметим, что
при сравнении длительности вычислений в методе быстрой оценки MOID не использовалась
параллелизация вычислений, которая могла бы еще больше ускорить расчеты MOID.
Результаты сравнения точности двух методов оценки MOID приведены в таблице 2.41.
Таблица 2.41 – Сравнение точности расчетов MOID
Астероид
2000 SG344
410777 (2009 FD)
99942 Apophis
6344 P-L
2005 WG57
MOID, а.е.
0,000790777
0,002290780
0,000659446
0,028124800
0,001624190
 , 10  13
а.е.
1,5
5,9
10,4
0,7
4,8
92
В таблице 2.41 содержатся значения параметра MOID, рассчитанные для нескольких
потенциально опасных астероидов. Варьируя значения  и v для первой и второй стадий
алгоритма, удалось добиться совпадения значений MOID (выраженных в астрономических
единицах) с рассчитываемыми по методу Gronchi с весьма высокой точностью. В силу того, что
при расчёте параметра MOID по методу, описанному в данной статье, получаются значения,
совпадающие с классическим методом G. F. Gronchi как минимум до 9 разряда, в таблице 2.41
во втором столбце приведено значение MOID с точностью до 9-го знака, а в третьем —
разность
  |MOIDGR  MOID Fast | , где
MOIDGR
– значение, полученное по методу
G. F. Gronchi, a MOIDFast – значение, полученное по описанному алгоритму быстрой оценки.
Таким образом, можно утверждать, что при правильном подборе параметров  и  v , которые
определяют количество итераций на первой и второй стадии работы метода быстрой оценки,
можно добиться совпадения значений MOID с рассчитанными по методу Gronchi до значений
порядка от 10 12 до 10 14 . Метод G. Gronchi так же, как и рассмотренный метод, даёт
приближенное значение MOID [85–87].
Рабочая станция, на которой проводились сравнительные испытания методов имеет
следующие характеристики: CPU: Intel Core i7-4800MQ (4 kernels, 2.7 GGz); RAM: 8.0 GiB,
DDR3; HDD: 1 TiB, 7200 rpm.; OS: Windows 8.1 64bit.
Итеративный метод позволяет получать промежуточные результаты вычислений, которые
можно использовать для ускорения работы алгоритма. Структура итеративного метода,
используемого в данной работе, позволяет применить технологии параллельных вычислений
при расчетах расстояний между орбитами как на первой, так и на второй стадии алгоритма, что
даёт возможность получить значительный выигрыш в скорости расчётов MOID. Стоит
отметить,
что
при
использовании
численного
метода
рассматривается
дискретное
представление функции расстояния между орбитами, то есть, строго говоря, в результате
работы алгоритма возможны погрешности дискретизации.
Метод быстрой оценки, приведённый здесь, является универсальным в том смысле, что
может применяться не только для определения минимального расстояния между орбитами
Земли и астероида, но и для оценки MOID для орбит двух произвольных небесных тел
(к примеру, спутников). Единственным условием остается требование конфокальности
эллиптических орбит этих двух небесных тел [17, 126].
Представленный
метод
расчета
MOID,
в
отличие
от
аналитических
методов
К. В. Холшевникова и G. F. Gronchi, не предоставляет информацию об особых точках функции,
описывающей расстояние между орбитами E и A (максимумы расстояний, седловые точки).
Однако, так как метод создан для оценки только параметра MOID для большого количества
93
астероидов с высокой скоростью и точностью, данная информация для поставленных задач не
требуется. Стохастическая природа параметра MOID в рамках метода быстрой оценки не
рассматривалась, то есть, при расчёте параметра было принято, что элементы орбит астероида
представляют номинальную орбиту.
После вычисления параметра MOID астероид может быть помечен как потенциально
опасный, как сближающийся с Землёй или как не представляющий опасности (если
отсутствуют точки пересечения орбит и значение MOID велико), что влияет на дальнейшие
шаги по вычислению вероятности столкновения исследуемого астероида с Землёй.
2.6. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй
Более 12000 астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона, обнаружено
на сегодняшний день. Из них более 1500 считаются потенциально опасными для Земли. Как
было обнаружено в ходе проведённого сравнительного анализа методов численного
интегрирования и математических моделей, наличие тесных сближений у астероида может
существенно
отразиться
на
результатах
расчётов
эволюции
орбиты.
Возникает
неопределённость относительно возможного положения астероида после тесного сближения,
что приводит к задаче оценки вероятности столкновения с Землёй.
Одной из целей, поставленных в данной диссертационной работе, является получение
оценок вероятности столкновения небесных тел с Землёй. Необходимо отметить, что
исследуется только задача оценки вероятности столкновения с известными или вновь
обнаруженными астероидами. Вопрос об оценке вероятности столкновения с ещё не
обнаруженными астероидами не рассматривается.
Так как данные наблюдений небесных тел регулярно обновляются, необходим
автоматизированный программный комплекс, который определял бы потенциальную опасность
астероида по данным наблюдений, а затем на основе полученной информации при
необходимости проводил бы оценку вероятности столкновения с Землёй. Так как, за редким
исключением, все потенциально опасные астероиды принадлежат к группам Аполлона, Амура
и Атона, было решено ограничить задачу «работой» с астероидами, принадлежащими этим
группам. Однако, даже в таком случае задача требует не только значительных вычислительных
мощностей, но и достаточно оперативного получения оценок, так как при появлении
следующих наблюдений небесных тел произойдёт уточнение значений элементов орбиты и
потребуется проводить расчёты и оценки заново.
Поэтому ключевыми требованиями к математической модели для оценки вероятности
столкновения небесных тел с Землёй являются: точность получаемых оценок, скорость работы
и возможность автоматизации. В первой главе был проведён обзор методов, наиболее часто
94
используемых в решении задачи оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй.
Отметим, что все рассмотренные методы имеются свои достоинства и недостатки.
Так,
для
метода
Монте-Карло
достоинствами
являются
простота
реализации,
универсальность и возможность учёта сильных нелинейностей, возникающих при тесных
сближениях астероида с Землёй. Основной недостаток метода Монте-Карло, а именно,
потребность в большом количестве испытаний, может быть смягчён тем, что испытания в
методе должны быть независимыми, то есть после формирования облака виртуальных
астероидов расчёты траектории движения каждого виртуального астероида можно проводить
параллельно с другими. Основным достоинством метода линии вариации является возможность
снизить количество требуемых вычислений путём уменьшения размерности области, в которой
рассматривается положение астероида. К недостаткам классической реализации метода
относится не очень высокая точность предоставляемых оценок.
Отметим, что алгоритм быстрой оценки минимального расстояния между двумя
конфокальными орбитами, описанный в данной работе, может быть применён не только для
поиска потенциально опасных для Земли астероидов, но и для формирования грубых
предварительных оценок вероятности столкновения или же для отбора среди потенциально
опасных астероидов таких, у которых шанс столкнуться с Землёй весьма высок и для них
требуется провести оценку вероятности столкновения в первую очередь. Для этого нужно
отслеживать динамику изменения параметра MOID для астероида во времени, а также
сопоставить сидерический1 год планеты с временем, в течение которого планета может
находиться в области минимального сближения орбиты планеты и астероида.
В данной диссертационной работе было решено разработать собственный метод для
оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй. В качестве основных ориентиров
были выбраны метод Монте-Карло и метод линии вариации в силу их очевидных достоинств.
Созданные методы для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй подробно
описаны в третьей главе диссертации. Там же приведены оценки для нескольких наиболее
опасных астероидов. Кроме того, математические модели и методы, выбранные для
применения в решении задачи оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй,
получили программную реализацию в виде модулей автоматизированного программного
комплекса для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй, описанного в четвёртой
части данной диссертационной работы.
1
Время, через которое планета в своем движении периодически становится в одно и то же положение
относительно звезд. Сидерический год Земли равен 365,2564 суток.
95
2.7. Выводы по главе
Основные выводы по второй главе диссертации:
 Проведён сравнительный анализ и определён метод численного интегрирования,
оптимальный для использования в задаче оценки вероятности столкновения
небесных тел с Землёй. Ключевыми критериями выступали высокая точность
получаемых результатов и скорость работы.
 Показано, что в зависимости от типа астероида необходимо использовать метод
Эверхарта с постоянным или с переменным шагом. В случае, если астероид является
потенциально опасным и имеет тесные сближения, предпочтительным является
метод Эверхарта с постоянным шагом. Для астероидов, не имеющих тесных
сближений, подойдёт метод с переменным шагом.
 Определено, что при интегрировании уравнений движения астероидов, не имеющих
тесных сближений на длительном временном промежутке, метод Эверхарта 27
порядка с переменным шагом предоставляет данные, незначительно отличающиеся
от результатов, полученных методом с постоянным шагом. Метод с переменным
шагом в таком случае имеет преимущество по причине более высокой скорости
расчётов.
 В результате сравнительного анализа математических моделей движения небесных
тел установлено, что для задач оценки вероятности столкновения астероидов с
Землёй наряду с моделью движения с учетом релятивистских эффектов (1.4) может
быть использована модель на основе гипотезы о взаимодействии движущегося
материального тела с окружающим пространством (1.6). Показано, что модель (1.6)
предоставляет высокоточные результаты, согласующиеся как с данными каталога
эволюции орбит малых тел Солнечной системы, так и с получаемыми при
использовании модели (1.4).
 Так как уравнения движения (1.6) имеют более простой вид, чем (1.4), то расчёты
требуют меньше времени (в среднем в 3,2 раза). Поэтому модель (1.6) может
применяться для расчётов траекторий значительного количества небесных объектов
с высокой точностью, то есть в задаче оценки вероятности столкновения небесных
тел с Землёй.
 Предложен алгоритм автоматического выбора шага для модифицированного метода
Эверхарта численного интегрирования уравнений движения небесных тел, имеющих
тесные сближения с большими планетами. Алгоритм позволяет получать для
астероидов, имеющих тесные сближения, более точные результаты, по сравнению с
96
использованием
классической
схемы
переменного
шага
интегрирования.
Использование метода с модифицированным алгоритмом выбора шага для
астероидов, имеющих тесные сближения, позволяет уменьшить время расчётов в
среднем в 2,4 раза. Алгоритм основан на совмещении расчётов с постоянным и
переменным шагом интегрирования.
 Предложен способ оптимизации расчётов эволюции орбит небесных тел с
использованием банка данных координат возмущающих небесных объектов в форме
полиномов Эверхарта. Банк данных может использоваться как с моделью движения
(1.4), так и с моделью (1.6). Показано, что использование банка данных позволяет
существенно увеличить скорость расчётов с незначительными потерями в точности
результатов.
 Рассмотрены негравитационные эффекты, не учитывающиеся в структуре моделей
(1.4) и (1.6). Предложен способ учёта воздействия эффекта Ярковского при
моделировании эволюции орбиты астероидов групп Аполлона, Амура и Атона как
приращение большой полуоси небесного тела. Таким образом, при моделировании
движения астероидов для оценки величины вероятности столкновения учитывается
эффект Ярковского для тех астероидов, для которых он признан существенным. В
случае, когда данных о физических характеристиках астероида недостаточно,
эффект Ярковского учитывается с использованием случайных величин.
 Предложен метод быстрой оценки минимального расстояния между орбитами Земли
и астероида (параметра MOID). Задача, решаемая методом – получение оценки
параметра MOID с максимально возможной скоростью, что крайне важно, так как
метод будет использован в массовых расчётах эволюции орбит астероидов групп
Аполлона, Амура и Атона, которых насчитывается более 12000.
 Проведены сравнительные испытания метода быстрой оценки параметра MOID и
классического аналитического метода. Подтверждено высокое быстродействие
алгоритма, позволяющее получать результаты быстрее классического метода в 3,3
раза (в среднем). Одно из достоинств метода быстрой оценки – возможность
параллелизации, позволяющая значительно ускорить расчёты.
97
Глава 3
Оценка вероятности столкновения с Землёй астероидов
групп Аполлона, Амура и Атона
3.1. Информация о потенциально опасных астероидах
Как упоминалось выше, для потенциально опасных для Земли астероидов выполняется два
условия: диаметр больше 150 метров ( H  22 ) и MOID (минимальное расстояние между
орбитами) с Землёй меньше 0,05 а.е. [66, 70, 92]. Таким образом, потенциально опасные
астероиды имеют тесные сближения с Землёй. Кроме того, данные наблюдений астероидов не
являются абсолютно точными. Они приводятся с погрешностями и ошибками. То есть, можно
говорить о том, что начальные данные астероида являются случайной величиной, а истинные
значения элементов орбиты астероида находятся внутри доверительной области.
Поэтому необходимо исследовать влияние тесных сближений на траекторию движения
астероида. Так же нужно выяснить, насколько может изменяться траектория движения
астероида, имеющего тесные сближения, при расчёте для различных начальных данных.
3.1.1. Влияние тесных сближений на траекторию движения астероидов
Как было обнаружено в ходе проведённого сравнительного анализа методов численного
интегрирования и математических моделей, наличие тесных сближений у астероида может
существенно отразиться на результатах расчётов эволюции орбиты. Неопределённость
возможного положения астероида после тесного сближения для потенциально опасных
астероидов приводит к необходимости оценки вероятности столкновения с Землей.
Рассмотрим, насколько выбранная математическая модель движения согласуется с
наблюдениями. Сравним данные наблюдений с результами расчётов траектории движения
астероида для различных начальных данных. Результаты представлены в таблицах 3.1 – 3.3.
Таблица 3.1 содержит начальные данные, являющиеся данными наблюдений астероида. Данные
таблицы 3.2 получены следующим образом. Для начальных данных на определённую дату
производился расчет траектории движения астероида до момента времени, совпадающего со
следующей датой наблюдений. Элементы орбиты, характеризующие положение астероида на
эту дату, заносились в таблицу. Так, в таблице 3.2 результаты на 10.03.2009 получены путём
интегрирования уравнений движения по начальным данным от 06.03.2006, а результаты на
08.02.2011 – по начальным данным от 10.03.2009.
98
Таблица 3.1 – Начальные данные астероида 99942 Apophis
Дата
наблюдений
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
222,272876
6,220688
65,030621
235,468446
346,801008
320,712216
0,92239593
0,92243355
0,92229421
0,92208700
0,92216800
0,92211700
0,19104000
0,19120975
0,19111538
0,19116500
0,19112900
0,19119300
126,355659
126,400295
126,424970
126,457193
126,431975
126,440782
204,462302
204,443648
204,431337
204,223787
204,216339
204,209129
3,331224
3,331418
3,331899
3,330558
3,330282
3,330478
Таблица 3.2 –
начальных данных
Расчеты
траектории
астероида
99942
Apophis
для
различных
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
-6,22076263
65,03051817
235,4686281
346,8008779
320,7122478
-0,922433577
0,922294227
0,922086476
0,922168527
0,922116841
-0,191209849
0,191115241
0,191164823
0,191129229
0,191192777
-126,400239
126,4250405
126,4571621
126,4320285
126,4407784
-204,4436691
204,4312572
204,2237837
204,2162848
204,2091209
-3,331419346
3,331897273
3,330559482
3,330274819
3,330477778
Результаты сравнения данных таблиц 3.1 и 3.2 представлены в таблице 3.3. В столбцах
таблицы приведены абсолютные значения разности элементов орбиты на соответствующие
даты. Как можно заметить, наибольшие расхождения получаются по значению средней
аномалии M, однако и они являются достаточно малыми, порядка 104 .
Таблица 3.3 – Сравнение данных наблюдений с расчетами по модели движения для астероида
99942 Apophis
Дата
 M , град.
 a , а.е.
e
 , град.
 , град.
i , град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
-7,46296E-05
1,02825E-04
1,82063E-04
1,30065E-04
3,17510E-05
-2,68860E-08
1,66380E-08
5,24312E-07
5,27408E-07
1,59415E-07
-9,86310E-08
1,39040E-07
1,76505E-07
2,28591E-07
2,23176E-07
-5,60440E-05
7,05160E-05
3,09020E-05
5,35300E-05
3,62600E-06
-2,10670E-05
7,98020E-05
3,33500E-06
5,42210E-05
8,09600E-06
-1,34608E-06
1,72740E-06
1,48165E-06
7,18092E-06
2,22010E-07
Из приведённых данных можно установить, что хотя модель и согласуется с данными
наблюдений, но не абсолютно точно. Так как с ростом числа наблюдений происходит
уточнение элементов орбиты и повышается точность начальных данных, то при расчётах лучше
использовать самые последние результаты наблюдений,
Рассмотрим влияние тесных сближений на результаты интегрирования уравнений
движения астероида 99942 Apophis. Таблицы 3.4 и 3.5 содержат элементы орбиты, полученные
99
для различных начальных данных на моменты времени до и после тесного сближения
соответственно. Относительные погрешности в таблицах 3.6 и 3.7 вычислены следующим
образом:
Ai  Ai 1
 Ai 
Ai 1
,
где Ai – значение элемента орбиты, вычисленное по i-тым начальным данным.
Таблица 3.4 – Элементы орбиты астероида 99942 Apophis на 05.03.2029, вычисленные
по различным начальным данным
Дата
наблюдений
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
207,9736884
207,9739096
207,9741225
207,9694393
207,9740252
207,9727100
0,922331507
0,922331500
0,922331507
0,922331673
0,922331497
0,922331559
0,191215338
0,191215239
0,191215375
0,191215524
0,191215325
0,191215538
126,6981224
126,6981758
126,6981031
126,6981733
126,6980769
126,6980962
203,8629514
203,8629316
203,8630150
203,8629946
203,8630757
203,8630737
3,342027955
3,342026692
3,342028773
3,342026843
3,342034263
3,342034591
Таблица 3.5 – Относительные погрешности для элементов орбиты астероида 99942 Apophis на
05.03.2029, вычисленные по различным начальным данным
Дата
наблюдений
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
M
a
 e

 
i
-1,06359E-06
1,02373E-06
2,25182E-05
2,20506E-05
6,3235E-06
-6,67331E-09
7,25769E-09
1,79769E-07
1,91271E-07
6,73836E-08
-5,16177E-07
7,11308E-07
7,78693E-07
1,04098E-06
1,11228E-06
-4,219E-07
5,73702E-07
5,53607E-07
7,60303E-07
1,51873E-07
-9,70554E-08
4,0904E-07
9,98612E-08
3,97566E-07
9,7124E-09
-3,77962E-07
6,22754E-07
5,7761E-07
2,22032E-06
9,82456E-08
Таблица 3.6 – Элементы орбиты астероида 99942 Apophis на 14.05.2031, вычисленные
по различным начальным данным
Дата
наблюдений
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
236,8065631
235,2407236
234,0000787
257,1034546
234,2993326
241,7563490
1,100326346
1,102723233
1,104628826
1,070060449
1,104169074
1,092802797
0,188228885
0,188956157
0,189537769
0,180149943
0,189394207
0,186027100
72,06590937
71,49683185
71,04761023
79,92743095
71,15489116
73,89587778
203,5508614
203,5493443
203,5483111
203,5557220
203,5487176
203,5549935
2,250879715
2,225223810
2,206143896
2,549460440
2,211588714
2,328031308
100
Таблица 3.7 – Относительные погрешности для элементов орбиты астероида 99942 Apophis на
14.05.2031, вычисленные по различным начальным данным
Дата
наблюдений
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
M
a
 e

 
i
-0,006612314
0,005273938
0,098732342
0,088696288
0,031826878
-0,002178341
0,001728079
0,031294111
0,031875419
0,010293964
-0,003863766
0,003078028
0,049530106
0,051314275
0,0177783
-0,007896626
0,006283098
0,124984087
0,109756309
0,038521408
-7,45323E-06
5,07589E-06
3,64086E-05
3,44100E-05
3,08323E-05
-0,011398168
0,00857438
0,155618382
0,132526758
0,052651107
Анализируя полученные результаты, можно установить, что при расчётах для различных
начальных
данных
результаты
интегрирования
оказываются
различными,
причём,
относительная погрешность, рассчитанная для элементов орбиты по различным начальным
данным, может отличаться на порядок. К примеру, относительная погрешность для большой
полуоси (элемент a) на 05.03.2029 между результатами, рассчитанными по начальным данным
от 27.07.2013 и 23.05.2014, составляет 6,3235E-06, тогда как для начальных данных от
18.04.2013 и 27.07.2013 эта погрешность составляет 2,20506E-05.
При этом наличие тесных сближений значительно увеличивает величины относительных
погрешностей элементов орбиты, рассчитанных для различных начальных данных, как можно
установить из данных в таблицах 3.5 и 3.7. Относительная погрешность для большой полуоси
(элемент a) на 14.05.2031 между результатами, рассчитанными по начальным данным от
27.07.2013 и 23.05.2014, составляет 0,031826878, а для начальных данных от 18.04.2013 и
27.07.2013 эта погрешность составляет 0,088696288.
Рассмотрим изменение орбиты астероида 99942 Apophis, возникающее после тесного
сближения с Землёй. Для этого сравним элементы орбиты, рассчитанные на даты до и после
тесного сближения. Результаты для различных начальных данных представлены в таблице 3.8.
Приращения элементов рассчитаны по следующей формуле:
 Ai   Ai  Ai 1  Ai 1 ,
где Ai – значение элемента орбиты, вычисленное на дату до тесного сближения, а Ai1 –
значение, вычисленное на дату после тесного сближения.
Для астероида
Apophis
рассматриваемой датой до сближения выбрана 05.03.2029, датой после сближения 14.05.2031 г.
Отметим, что элемент орбиты M (средняя аномалия) в таблице 3.8 исключен из
рассмотрения по той причине, что он характеризует положение небесного тела на орбите, но не
форму и расположение орбиты небесного тела в пространстве.
101
Таблица 3.8 – Изменения орбиты астероида Apophis на 14.05.2031 г., возникающие после
тесного сближения с Землёй 13.04.2029, вычисленные по различным начальным данным
Дата
наблюдений
a
 e
 
 
i
06.03.2006
10.03.2009
08.02.2011
18.04.2013
27.07.2013
23.05.2014
0,1929836
0,1955823
0,1976484
0,1601688
0,1971499
0,1848264
-0,0156183
-0,0118143
-0,0087734
-0,0578697
-0,0095239
-0,0271340
-0,4311999
-0,4356917
-0,4392370
-0,3691509
-0,4383901
-0,4167562
-0,0015309
-0,0015382
-0,0015437
-0,0015073
-0,0015420
-0,0015112
-0,3264929
-0,3341693
-0,3398788
-0,2371514
-0,3382507
-0,3034090
Как видно из данных таблицы 3.8, тесное сближение астероида Apophis с Землёй оказывает
значительное воздействие на параметры a,  и i (большая полуось, аргумент перигелия и
наклонение), которые задают форму орбиты и её положение в пространстве.
В результате аналогичных исследований, проведённых для других астероидов, имеющих
тесные сближения с Землёй, установлено, что для них также происходит изменение орбиты
после тесного сближения. Астероид Apophis рассмотрен в силу того, что для него изменение
траектории движения представляется наиболее характерно.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что для астероидов, имеющих тесные
сближения с Землёй, точность начальных данных играет важную роль в расчётах их траекторий
и дать прогноз касательно точных положений астероида, имеющего тесные сближения с Землёй
можно лишь с определённой долей вероятности. При незначительных изменениях начальных
данных траектория астероида после тесного сближения может измениться значительно, что
может привести к столкновению с Землёй.
Для задачи оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй элементы орбиты
астероида можно считать многомерной случайной величиной, или системой случайных
величин, которые распределены по определённому закону. Такие случайные величины можно
описать при помощи математического ожидания и ковариационной матрицы (на диагонали
матрицы расположены дисперсии).
3.1.2. Определение значимых элементов орбиты
Положение астероида в пространстве определяют шесть орбитальных элементов.
Возмущение каждого из этих элементов оказывает влияние на траекторию движения небесного
тела. Стоит отметить, что в задаче оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй
элементы орбиты астероида считаются случайными величинами с заданной ковариационной
матрицей,
дисперсиями
и
математическими
ожиданиями, определяемыми
на основе
102
наблюдений. Таким образом, для элементов орбиты существуют доверительные интервалы, в
пределах которых они могут варьироваться.
В случае, если по астероиду нет предыдущих наблюдений (обнаружен впервые), либо
число этих наблюдений мало, считается, что элементы орбиты этого астероида имеют
равномерное распределение [11, 70].
Астероиды, включенные в список потенциально опасных, наблюдаются регулярно. Для них
элементы орбиты полагаются нормально распределёнными случайными величинами [11, 36, 63,
70, 85]. С увеличением количества наблюдений происходит уточнение номинальной орбиты
астероида. Информация об астероидах обновляется каждые 100 дней, что необходимо
учитывать при выборе распределения для моделирования.
Внося возмущения в пределах допустимых отклонений в элементы орбиты, можно
определить, в каких из них изменения наиболее сказываются на величине сближения
потенциально опасного астероида с Землёй. Проведя такое исследования для определенного
астероида, можно сократить размерность случайной величины, представляющей начальные
данные, с шестимерной до равной количеству значимых элементов орбиты астероида. Значения
орбитальных элементов, незначительно влияющих на величину сближения с Землёй, таким
образом, принимаются за равные их математическим ожиданиям.
Процедура
определения
элементов
орбиты,
влияющих
на
величину
сближения
потенциально опасного астероида с Землёй состоит в следующем. Значение элемента орбиты
варьируется в пределах его допустимых значений, определяемых параметрами случайной
величины. Затем проводится численное интегрирование уравнений движения астероида. Если в
результате анализа эволюции орбиты астероида обнаруженные тесные сближения отличаются
от найденных в результате интегрирования уравнений движения астероида с невозмущенными
начальными данными больше, чем на величину допустимой погрешности численного
интегрирования, то рассматриваемый элемент орбиты помечается как потенциально значимый.
После этого следует процедура уточнения, в ходе которой выясняется, насколько сильно
возмущения в элементе орбиты влияют на величину сближения потенциально опасного
астероида с Землёй. После того, как установлено, что орбитальный элемент является значимым
для величины сближения, производится исследование других элементов орбиты. Отметим, что
совместный вклад нескольких элементов орбиты в величину тесного сближения с Землёй
потенциально опасного астероида также исследуется.
Для астероида 99942 Apophis и 2011 AG5 были проведены испытания с целью определения
элементов орбиты, значительно влияющих на величину тесного сближения с Землёй.
103
Полученные результаты были использованы для оценки величины вероятности столкновения
данных астероидов с Землёй и отражены в работах [21, 30, 33, 38].
Для астероида Apophis для начальных данных от различных дат (от 06.03.2006, 04.01.2010
и 27.08.2011) было установлено, что только изменения в большой полуоси (параметр a)
существенно отражаются на величине тесного сближения 99942 Apophis с Землёй. В данной
работе для более новых начальных данных было установлено, что кроме большой полуоси
значимыми также являются средняя аномалия M и эксцентриситет e, однако одного их влияния
недостаточно, т.е. рассматривать их влияние для 99942 Apophis нужно только в системе
величин (M, a, e).
Астероид 2011 AG5, наряду с 99942 Apophis, также был подвергнут исследованию в
упомянутых выше работах [21, 25, 30, 33, 38, 80]. Для начальных данных от 19.05.2011,
27.08.2011 и 05.12.2011 было установлено, что существенными для этого астероида являются
большая полуось и эксцентриситет. В дальнейшем, при уточнении начальных данных и
траектории движения, астероид 2011 AG5 был исключен из списка потенциально опасных.
Тот факт, что большая полуось и эксцентриситет оказывали значительное влияние на
величину сближения астероида с Землёй можно объяснить тем, что эти элементы определяют
форму орбиты астероида, в то время как остальные – ориентацию в пространстве и положение
на орбите.
Следует отметить, что после уточнения начальных данных астероид 2011 AG5 был
исключен из списка потенциально опасных. Орбита астероида 99942 Apophis была уточнена в
2013 году после серии высокоточных наблюдений, в результате чего вероятность столкновения
астероида с Землёй в 2037 году была исключена. Согласно последним данным Лаборатории
реактивного движения NASA, наибольшая вероятность столкновения астероида 99942 Apophis
с Землёй имеется 12 апреля 2068 г. и составляет 6, 7 106 (согласно расчётам по начальным
данным от 08.10.2014 и уточнениям от 02.03.2015 http://neo.jpl.nasa.gov/risk/a99942.html)
Такая зависимость величины оценки вероятности столкновения от начальных данных
доказывает, что точность начальных данных является одной из ключевых частей в задачах,
связанных с астероидной опасностью и моделированием движения небесных объектов.
Описанная процедура определения значимых элементов орбиты требует значительного
объёма расчётов для каждого конкретного потенциально опасного астероида, однако в
некоторых случаях позволяет значительно уменьшить размерность области допустимых
начальных данных для генерации виртуальных астероидов в задаче оценки вероятности
столкновения астероидов с Землёй. Данная процедура может применяться для вновь
обнаруженных потенциально опасных астероидов и в случае значительного уточнения
104
начальных данных среди имеющихся потенциально опасных астероидов (например, после
точных радиолокационных наблюдений).
Кроме того, информация, полученная в результате проведенных исследований, может быть
использована для формирования области возможных положений виртуальных астероидов перед
тесными сближениями для последующего применения в процедуре оценки величины
вероятности столкновения астероида с Землёй.
3.2. Метод оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй
В диссертационной работе реализовано несколько методов для оценки вероятности
столкновения небесных тел с Землёй. Предложено два новых метода: метод на основе
определения опасных областей и модифицированный метод Монте-Карло. Результаты,
полученные в ходе исследований по этим методам, сравнивались с классическим методом
Монте-Карло. Ниже приведём описание реализованных методов.
3.2.1 Метод, основанный на определении опасных областей
Если для астероида удаётся определить элементы орбиты, вносящие основной вклад в
величину тесного сближения с Землёй, можно получить грубую оценку величины вероятности
столкновения, на основе информаци об областях, содержащих значения элементов орбиты,
приводящих к столкновению с планетой. Поясним суть метода.
Допустим, что для астероида было установлено, что элементом орбиты, существенно
влияющим на величину тесного сближения с Землёй, является большая полуось (параметр a).
Пусть в результате интегрирования уравнений движения астероида для различных вариантов
начальных данных (пять элементов орбиты неизменны, варьируется только значение большой
полуоси) обнаружено, что для некоторых значений параметра a из доверительного интервала на
определённую дату величина геоцентрического расстояния астероида меньше радиуса Земли.
Формально можно считать, что произошло столкновение виртуального астероида с Землёй.
Теперь, исследуя эволюцию орбиты астероида для различных значений элемента a внутри
доверительного интервала, можно установить области значений, для которых на определённую
дату величина геоцентрического расстояния астероида становится меньше радиуса Земли, то
есть, происходит столкновение Земли с виртуальным астероидом.
Определив размер и количество таких областей, содержащих значения параметра,
приводящие к столкновению, можно оценить вероятность столкновения с Землёй. Схематично
изобразим простейший случай для одного элемента орбиты, распределённого по нормальному
закону на рисунке 3.1, где M[a] – математическое ожидание параметра a,  a – допустимое
отклонение. Значения a1 и a2 соответствуют граничным значениям начальных данных большой
105
полуоси, при выборе которых столкновение виртуального астероида с Землёй ещё происходит.
Масштаб на рисунке 3.1 не соблюдён.
Рисунок 3.1 – Область опасных значений для большой полуоси (элемент a).
Если принято, что случайная величина распределена по нормальному закону, применяется
формула для расчёта вероятности попадания в отрезок [a1 , a2 ] :
a M
P  Ф*  2
 a

*  a1  M
 Ф 

 a
1
где Ф ( x) – интеграл вероятности, Ф ( x) 
2
*
*
x
e

t2
2

,

dt [12].

Для двумерного случая будет рассчитана вероятность попадания двумерной случайной
величины в область W , содержащую «опасные» значения элементов орбиты на плоскости:
P(( X 1 , X 2 )  W )   f ( x1 , x2 )dx1dx2 ,
D
f ( x1 , x2 ) 
1
2 1 2
 1  ( x1  m1 )2
2( x1  m1 )( x2  m2 ) ( x2  m2 ) 2  
exp 



  ,
2 
2
2
2(1


)




1  2

1
1
2
2


где X 1 , X 2 – случайные величины, f ( x1 , x2 ) – функция плотности распределения двумерной
случайной величины, m1 и m2 – математические ожидания случайных величин,  1 и  2 –
среднеквадратичные отклоненеия случайных величин,

– коэффициент корреляции
случайных величин, рассчитываемый следующим образом:

M [( x1  m1 )( x2  m2 )]
,
 1 2
где M[] – оператор математического ожидания.
Для трёхмерной области применяется аналогичный подход с плотностью вероятности
трёхмерной случайной величины.
В общем случае, производится интегрирование функции плотности вероятности по
найденным областям, содержащим элементы орбиты, приводящие к столкновению. Плотность
вероятности для n–мерной случайной величины имеет вид:
1
f ( x) 
 2 
n
(det )1 2
T
 1

exp    x  m   1  x  m   ,
 2

106
где x это n–мерная векторная случайная величина,  – ковариационная матрица n–мерной
случайной величины размерности n x n, det  – определитель ковариационной матрицы, m –
n–мерный вектор математических ожиданий случайной величины.
Если имеется нескольких «опасных» областей, вероятности рассчитываются отдельно по
каждой, а затем суммируются.
Рассмотрим
случай,
когда
распределение
элементов
орбит
астероида
является
равномерным.
Величину вероятности столкновения теперь можно оценить как отношение областей,
содержащих «опасные» значения элементов орбиты к доверительной области. В простейшем
случае, аналогичном представленному на рисунке 3.1, область опасных значений элементов
орбиты является одномерной. Таким образом, вероятность столкновения астероида можно
оценить как отношение величины a1  a2 к величине доверительного интервала
P
a1  a2
,
6 a
где  a – допустимое отклонение для большой полуоси.
В случае, когда значимыми являются несколько элементов орбиты, размерность области
допустимых значений повышается. Если обозначить меру области за  , то оценка вероятности
столкновения может быть представлена через геометрическую интерпретацию, а именно, как
отношение суммы мер m штук областей Wi , значения элементов в которых приводят к
столкновению, к мере доверительной области G [14]:
m
P   (Wi ) / (G)
i 1
Необходимо отметить, что в случае классического определения, вероятность достоверного
события равна единице, а невозможного, соответственно, нулю. Для классического
определения вероятности также справедливы и обратные утверждения, то есть, если
вероятность события равна нулю, то событие невозможно. В случае геометрического
определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Так, вероятность попадания
брошенной точки в одну определённую точку области G равна нулю, однако это событие может
произойти, и, следовательно, не является невозможным [14].
107
3.2.2. Метод Монте-Карло
Одним из самых распространённых методов в моделировании процессов с вероятностным
исходом является метод Монте-Карло. Данный метод в классическом варианте является
достаточно простым в реализации. Опишем суть метода применительно к задаче оценки
вероятности столкновения астероидов с Землёй.
Как неоднократно отмечалось выше, набор из шести элементов орбиты астероида,
составляющих начальные данные, можно считать многомерной случайной величиной, которая
подчиняется определённому закону распределения и характеризуется такими числовыми
характеристиками, как математическое ожидание, ковариационная матрица и дисперсия.
Данная многомерная случайная величина, по аналогии с доверительным интервалом для
одномерной случайной величины, имеет доверительную область, которая является областью
возможных начальных значений элементов орбиты. Необходимо отметить, что элементы
орбиты астероида обычно считаются распределёнными по нормальному закону [11, 36].
Итак, для вектора начальных данных, представляющих собой элементы орбиты астероида
(a, e, i,  ,  , M), на конкретную дату наблюдений имеется шестимерная доверительная
область G, определяемая на основе числовых характеристик данной случайной величины
(математические ожидания, ковариационная матрица и дисперсии). Можно утверждать, что
каждой шестимерной точке данной области, представляющей набор элементов орбиты,
соответствует виртуальный астероид.
Сгенерируем N случайных наборов элементов орбит так, чтобы они были распределены по
нормальному закону с заданными математическими ожиданиями и матрицей ковариации.
Можно считать, что у нас есть «облако» из N виртуальных астероидов. Проинтегрируем
уравнения движения каждого из них, в результате чего получим информацию о сближениях с
Землёй. Если на какую-то дату величина геоцентрического расстояния виртуального астероида
меньше радиуса Земли, то считается, что произошло столкновение виртуального астероида с
Землёй.
Согласно классическому частотному определению, вероятность наступления события A
может быть оценена в ходе серии испытаний как отношение количества наступлений события A
к общему числу испытаний. Для нашего случая вероятность столкновения можно оценить как
отношение количества виртуальных столкновений с планетой m к общему числу испытаний n
[12, 104]:
P( A) 
m
.
n
(3.1)
108
При достаточно большом числе испытаний n предел отношения (3.1) будет стремиться к
величине вероятности наступления события A:
P( A)  lim
n 
m
.
n
Важно отметить, что для корректного применения (3.1) необходимо, чтобы испытания
были однородными и независимыми друг от друга. Метод Монте-Карло требует значительного
количества испытаний, поэтому важную роль в реализации метода играет используемый
генератор случайных величин. Если генерируемые им последовательности будут иметь
короткий период, то при значительном числе испытаний может произойти повторение
генерируемой последовательности псевдослучайных величин, что существенно исказит
ожидаемый результат.
Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности [35, 3].
Сходимость по вероятности не следует относить к числу недостатков метода, так как в
практических приложениях при исследовании задач, имеющих вероятностное описание, такой
подход в достаточной мере оправдывает себя.
Модель оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй, основанная на методе
Монте-Карло, отличается простотой реализации и универсальностью. Такой подход позволяет
учитывать сильные возмущения траектории движения, возникающие при тесных сближениях
астероида с другими телами. Главным недостатком метода является необходимость
значительного количества расчётов, так как оцениваемая вероятность по формуле (3.1) зависит
от количества испытаний n. Для того, чтобы иметь возможность получить оценку вероятности
события порядка 10n , необходимо провести не менее 10 n испытаний. Применительно к
рассматриваемой задаче это означает, что необходимо будет произвести численное
интегрирование уравнений движения 10 n виртуальных астероидов.
С
учетом
регулярного
наращивания
вычислительных
мощностей
современных
компьютеров, а также доступности высокопроизводительных параллельных и облачных
вычислений, недостатки метода Монте-Карло перестают быть критичными. Модели,
основанные на методе Монте-Карло, активно применяются в задачах, связанных с астероидной
опасностью [11, 36–38, 91, 100, 104, 126].
3.2.3. Модифицированный метод Монте-Карло
Классическую реализацию метода Монте-Карло можно улучшить, если обратить внимание
на то, что значительные изменения в траектории движения астероида, которые могут внести
неопределённость в расчёт траектории, возникают в результате тесных сближений астероидов с
другими объектами.
109
Так как элементы орбиты астероида можно считать шестимерной случайной величиной (a,
e, i,  ,  , M), то в момент начала расчёта траектории движения t  0 астероиду соответствует
шестимерная доверительная область возможных элементов орбиты G . Каждая точка этой
области – виртуальный астероид с соответствующими элементами орбиты.
Согласно классической схеме метода Монте-Карло необходимо наугад выбрать из
имеющейся доверительной области G необходимое количество виртуальных астероидов и
произвести интегрирование их уравнений движения до конечной даты либо до момента
столкновения.
В ходе проведённого выше исследования влияния тесных сближений на траекторию
движения астероидов, на примере астероида Apophis, показано, что наибольшие отклонения в
результатах расчётов возникают после прохождения астероидом тесного сближения. Однако до
момента тесного сближения номинальная орбита астероида представляется математической
моделью с высокой точностью, как показано в таблицах 2.22 – 2.31. Более того, из таблиц 2.32 –
2.36 видно, что после момента тесного сближения происходит скачкообразное изменение
погрешностей в значениях орбитальных элементов, связанное с возникновением в результате
тесного сближения нелинейных возмущений, влияющих на траекторию движения астероида.
Пусть
в
результате
предварительных
расчётов
траектории
движения
астероида
с невозмущёнными элементами орбиты обнаружено, что в момент времени t  T астероид
имеет тесное сближение с планетой. В таком случае, на момент времени непосредственно до
тесного сближения с планетой можно определить область возможных элементов орбиты G *
рассматриваемого астероида. Для ускорения расчётов численное интегрирование до момента
времени t  T можно проводить с большим шагом и с использованием более простой
математической модели.
Таким образом, на момент времени непосредственно до тесного сближения исследуемого
астероида с планетой получим область возможных элементов орбиты G * , в которую переходит
область G после эволюции орбиты астероида до момента времени t  T .
Далее можно применить классический метод Монте-Карло, выбирая из области G * наугад
необходимое количество виртуальных астероидов и производя численное интегрирование
уравнений их движения.
Если предполагаемые даты столкновений известны в результате предварительных расчётов
другими методами, то можно провести расчёты области возможных положений астероида на
момент времени до столкновения, а затем также применить классический метод Монте-Карло
на коротком временном интервале для того, чтобы получить оценку вероятности столкновения
на указанную дату.
110
Отличие модифицированного метода Монте-Карло от классического состоит в том, что в
данном случае методом Монте-Карло исследуется более короткий временной промежуток. Как
следствие, происходит уменьшение времени, требуемого для расчётов.
3.3. Проведение исследований
Созданная методика для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй была
применена для получения информации о потенциально опасных астероидах, принадлежащих
группам Аполлона, Амура и Атона по начальным данным от 27.06.2015 г. Однако для начала
требовалось определить, какие из астероидов этих групп являются потенциально опасными для
Земли. Для этого была применена методика быстрой оценки параметра MOID (минимальное
расстояние между орбитами) для астероидов и Земли.
3.3.1. Выявление потенциально опасных астероидов
По данным от 27.06.2015 г. в группах Аполлона, Амура и Атона насчитывалось 12591
астероида. Для выявления потенциально опасных астероидов были отобраны астероиды, у
которых значение H  22 , что снизило количество астероидов для исследования до 6432, для
которых и было проведено исследование эволюции орбит и рассчитаны величины
минимального расстояния между орбитами (MOID) астероида и Земли. В процессе
интегрирования уравнений движения астероида значение MOID проверялось каждые 10 дней
по методике, предложенной во второй части диссертационной работы. Если обнаруживалось,
что на определённом шаге MOID меньше критического значения (0,05 а.е. для потенциально
опасных астероидов [66, 70, 92]), то производились расчёты значений MOID внутри последнего
рассчитанного десятидневного интервала.
В результате было установлено, что из 12591 астероида к потенциально опасным согласно
определению [66] относятся только 1565 астероидов. Таким образом, доля потенциально
опасных астероидов среди астероидов групп Аполлона, Амура и Атона составила 12,43%.
Наибольший процент потенциально опасных астероидов содержится в группе Аполлона
(19,75%), однако это и самая многочисленная группа из трёх: 6729 астероидов против 4796
астероидов в группе Амура и 947 в группе Атона. Было выбрано несколько потенциально
опасных астероидов для испытания методов оценки вероятности столкновения.
111
3.3.2. Генерация облака виртуальных астероидов
В данной работе для генерации псевдослучайных величин используется алгоритм под
названием «Mersenne Twister» (Вихрь Мерсенна), который разработан японскими учеными
М. Мацумото и Т. Нисимура. В основу алгоритма генерации псевдослучайных чисел положены
свойства простых чисел Мерсенна. Описание и теоретическое обоснование алгоритма
приведено в работе [102]. Выбор в пользу этого алгоритма был сделан по причине его
быстродействия и значительного периода. Чем больше период генерируемой псевдослучайной
последовательности, тем меньше возможность корреляции между элементами. Вихрь Мерсенна
генерирует равномерно распределённые случайные величины с периодом 219937  1 , что является
более чем достаточным для задачи генерации начальных данных для виртуальных астероидов.
В данной работе были проведены сравнительные испытания нескольких широко
используемых на практике алгоритмов генерации псевдослучайных величин. Для испытаний
были выбраны стандартный линейный конгруэнтный алгоритм, использующийся в наиболее
распространённых генераторах псевдослучайных величин, и алгоритм запаздывающего
генератора Фибоначчи, в основе которого – свойства последовательности Фибоначчи [50].
Сравнение проводилось для генерации стандартных нормально распределённых величин,
получаемых из равномерно распределённых с помощью преобразования Бокса – Мюллера
[100]. Характеристики рабочей станции, на которой производились испытания: CPU: Intel Core
i7-4800MQ (4 kernels, 2.7 GGz); RAM: 8.0 GiB, DDR3; HDD: 1 TiB, 7200 rpm.; OS: Windows 8.1
64bit, Visual C++ 2010. Результаты сравнения алгоритмов приведены в таблице 3.9, где в
столбцах таблицы записаны названия реализаций соответствующих алгоритмов из библиотеки
классов Boost для С++ [94]. Так, minstd_rand – это стандартная реализация линейного
конгруэнтного алгоритма, mt19937 – Вихрь Мерсенна, lagged_fibonacci607 – запаздывающий
генератор Фибоначчи. Значения в первой строке показывают, сколько миллионов случайных
чисел может быть получено за секунду работы генератора, т.е. скорость генерации случайных
величин.
Таблица 3.9 – Сравнение алгоритмов генерации псевдослучайных величин
Характеристика
Млн. случ. чисел / сек.
Период
Требуемый объём памяти
minstd_rand
mt19937
lagged_fibonacci607
14,3515
17,2467
20,9757
31
2 2
sizeof(int32)
19937
2
1
625*sizeof(uint32)
 2 32000
607*sizeof(double)
Обозначение «sizeof(тип данных)» в третьей строке таблицы 3.9 отражает размер
соответствующего типа данных, используемого генератором. Базовые типы данных С++,
112
приведённые в таблице, имеют следующие размеры [94]: int32, uint32 – 4 байта (32 бита), double
– 8 байт (64 бита).
Из данных таблицы 3.9 можно сделать вывод, что хотя Вихрь Мерсенна и требует больше
памяти для работы, чем стандартный линейный конгруэнтный алгоритм, он в то же время
предоставляет намного больший период и более высокую скорость генерации. Несмотря на то,
что метод и уступает запаздывающему генератору Фибоначчи в скорости и периоде, но требует
и меньше памяти для работы.
Стоит отметить, что существуют реализации Вихря Мерсенна, ускоряющие классический
вариант алгоритма, например Быстрый Вихрь Мерсенна (SFMT) [107], ускоряющий генерацию
последовательности. В ходе испытаний было сгенерировано 1 0 8 случайных 32-битных целых
чисел двумя способами: блочно и последовательно. Блочная генерация подразумевала запрос
1 0 5 случайных чисел единым блоком. Таким образом, во время испытаний каждый алгоритм
создавал три блока чисел. Последовательная генерация применялась для получения по одному
числу последовательности за вызов. В таблице 3.10 приведено сравнение быстродействия
алгоритмов. Испытания проводились на той же рабочей станции, что и для данных таблицы 3.9.
Таблица 3.10 – Сравнение скорости генерации 108 целых чисел с использованием различных
реализаций Вихря Мерсенна
Тип генерации
Последовательный вызов
Блочный вызов
Классический Вихрь
Мерсенна
1,526 с.
1,135 с.
Быстрый Вихрь
Мерсенна (SFMT)
1,087 с.
0,689 с.
Таким образом, из результатов, отраженных в таблицах 3.9 и 3.10 можно сделать вывод о
том, что для целей генерации начальных данных виртуальных астероидов оптимальным будет
выбор генератора на основе Вихря Мерсенна, а именно, его быстрой реализации SFMT, по
причине оптимального
соотношения
быстродействия
и
длины
периода
создаваемой
последовательности. В данной работе использована реализация SFMT на С++ из библиотеки
RandomLib (http://randomlib.sourceforge.net/).
Рассмотрим теперь на примере астероида 99942 Apophis генерацию облака астероидов, чьи
элементы орбиты являются нормально распределёнными случайными величинами, по
заданным математическим ожиданиям и ковариационной матрице.
Для начала, с помощью генератора Вихря Мерсенна и преобразования Бокса-Мюллера,
получим шестимерный вектор X  ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) стандартных нормальных независимых
величин, то есть X  N ( M 0 , E ) , где M 0 – шестимерный вектор нулевых математических
113
ожиданий, а E – единичная матрица (ковариационная матрица, у которой диагональные
элементы  2  1 , а недиагональные равны нулю).
Преобразование Бокса-Мюллера состоит в следующем. Пусть имеются два числа,
порождённые случайной последовательностью и имеющие равномерное распределение на
отрезке [1; 1] , то есть a , b U ( 1;1) . Введём обозначение a 2  b 2  s . Если s  1 или s  0 , то
необходимо сгенерировать новые значения a , b U ( 1;1) . Иначе, если s  1 , необходимо
выполнить следующее преобразования:
 p1 
p 
 2
2 ln s  a 
  .
s
b
Рассмотрим сразу же второй вариант преобразования Бокса – Мюллера, использующий
тригонометрические функции. Для этого необходимо получить два числа, распределенных
равномерно на интервале (1, 0) . Пусть a , b  U (0;1) . Применим следующее преобразование для
получения величин p1 и p2 :
 p1 
 cos 2 b 
 p   2ln a   sin 2 b  .


 2
В результате применения первого и второго преобразований получим две независимые
распределённые случайные величины p1 и p2 , подчиняющиеся стандартному нормальному
закону N (0,1) . т.е. имеющих математическое ожидание m  0 , а дисперсия  2  1 .
Преобразование Бокса-Мюллера требует меньше вычислений и проводится быстрее, чем
классическое суммирование 12 равномерно распределённых случайных величин, основанное на
центральной предельной теореме [50, 99]. Отметим, что для генерации значительного
количества случайных величин первый алгоритм Бокса-Мюллера более предпочтителен в силу
меньшего количества необходимых операций (нет необходимости вычислять значения
тригонометрических функции).
Допустим, в результате работы генератора и последующего преобразования получен
шестимерный вектор нормальных независимых случайных величин:
X  (1,1892, -0,0376, 0,3273, 0,1746, -0,1867, 0,7258)T .
Теперь необходимо преобразовать полученный вектор X в вектор Y  N ( M , ) , где M это
шестимерный вектор математических ожиданий элементов, а  – ковариационная матрица,
описывающая взаимосвязь элементов.
Применительно к нашей задаче генерации начальных данных виртуальных астероидов M
будет задавать номинальные значения элементов орбиты, а  – их ковариационную матрицу.
114
Ковариационная матрица представляет собой симметричную матрицу, состоящую из n ( n  1)
ковариаций, cov(Yi , Y j )  M [(Yi  M [Yi ])(Y j  M [Y j ])] и n дисперсий (так как cov(Yi , Yi )  D[Yi ] ).
Ковариационная матрица отражает степень линейной зависимости между элементами
многомерной случайной величины. Начальные данные астероида, полученные в результате
наблюдений, не являются абсолютно точными в силу того, что при обработке данных
наблюдений небесных тел неизбежно возникают различные погрешности. Ковариационная
матрица формируется в результате обработки наблюдений и построения номинальной орбиты
небесного тела. При увеличении количества наблюдений уровень неопределённости в
элементах орбиты снижается и матрица ковариаций стремится к диагональному виду, где
диагональные элементы представляют дисперсии соответствующих элементов орбиты. В
идеальном случае, когда орбита небесного тела известна абсолютно точно, матрица ковариаций
состоит из нулей.
В данной работе ковариационные матрицы для расчётов использовались с сайта
Лаборатории реактивного движения NASA. Для астероида 99942 Apophis матрица находится на
информационной странице астероида http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=99942.
Отметим, что для астероида 99942 Apophis ковариационная матрица приведена не для
классического набора элементов (a, e, i,  ,  , M), а для (e, q, t p ,  ,  , i), где q – перигелийное
расстояние (расстояние от точки перигелия до Солнца), t p – время прохождения перигелия.
Таким образом, сначала будет сгенерирован вектор случайных элементов (e, q, t p ,  ,  , i),
который затем будет преобразован в (a, e, i,  ,  , M).
Ковариационная матрица элементов (e, q, t p ,  ,  , i) для астероида Apophis имеет вид:
2,636e-17 -2,451e-17 1,128e-14 1,306e-13 -1,233e-13 -1,963e-15
-2,451e-17 2,297e-17 -1,000e-14 -1,260e-13 1,191e-13 1,916e-15
Σ=
1,128e-14 -1,000e-14 1,304e-11 2,373e-11 -1,539e-11 6,474e-13
1,306e-13 -1,260e-13 2,373e-11 1,092e-09 -1,068e-09 -1,765e-11
-1,233e-13 1,191e-13 -1,539e-11 -1,068e-09 1,051e-09 1,806e-11
-1,963e-15
1,916e-15
6,474e-13
-1,765e-11
1,806e-11
(3.2)
4,342e-13
Кроме ковариации, необходимо знать также и вектор математических ожиданий.
Начальные данные элементов орбиты астероида 99942 Apophis приведены в таблице 3.11
Таблица 3.11 – Начальные данные астероида 99942 Apophis от 27.06.2015
M, град.
a, а.е.
e
 , град.  , град.
i, град.
45,932746 0,9221170 0,191215 126,456907 204,203501 3,330617
115
Выполним преобразования данных из таблицы 3.11 так, чтобы вектор математического
ожидания имел элементы (e, q, t p ,  ,  , i). Воспользуемся формулами:
q  a (1  e) ,
M  n( t  t p ) 
2
(t  t p ) ,
T
(3.3)
(3.4)
где t – дата, на которую рассчитывается средняя аномалия M ; n – среднее движение, t p – дата
прохождения перигелия; T – орбитальный период астероида. Для нашего случая t  2457200, 5 ,
T  323,51306 .
Из соотношений (3.3) и (3.4) с учётом данных таблицы 3.11, элементы q и t p имеют
значения 0,745794 и 2454834,9824 соответственно.
Таким образом, искомый вектор математических ожиданий элементов (e, q, t p ,  ,  , i)
для астероида 99942 Apophis будет иметь вид:
M  (0,191215, 0,745794 , 2454834,9824 , 204,203501, 126,456907, 3,330617)T .
(3.5)
Запишем формулу для получения вектора Y  N (M , ) :
Y  M  LX ,
(3.6)
где M – вектор математических ожиданий, X  N (M 0 , E ) , L – нижнетреугольная матрица,
являющаяся разложением Холецкого для матрицы ковариаций Σ, то есть LLT   .
Разложение Холецкого определено для симметричных положительно определённых матриц
[13]. Для ковариационной матрицы Σ разложение Холецкого существует, так как Σ в силу своей
структуры является симметричной и положительно определена, если случайная величина имеет
невырожденное распределение.
Пусть lij – элементы матрицы L  {lij } , а  ij – элементы матрицы Σ={ ij } , тогда алгоритм
получения L через разложение Холецкого для матрицы Σ следующий [13]:
l11   11 ;
lk1  k1 l11 , j  2, n ;
i 1

2
l ii   ii   lim ,

m 1

j 1
 l  1    l l  , j  i.
im jm 
 ij l jj  ij 
m 1


Применяя описанный алгоритм, запишем для матрицы (3.2) разложение Холецкого L:
116
0,0000513420
L  104 
0
0
0
0
0
-0,0000477387 0,0000042446
0
0
0
0
0,0219703207
0,0115052130
0,0262475729
0
0
0
0,2543726849
-0,1075677709 -0,0753616103 0,1650585943
0
0
-0,2401543036 0,1049213430
-0,0038233812 0,0021384406
0,0963946147
0,0047294924
(3.7)
-0,164551848 0,0069419006 0
-0,0012479618 0,0003138169 0,0004525930
Запишем (3.6) для нашего примера, с учётом значений (3.2), (3.5) и (3.7) а также значений
вектора X , обозначенных выше:
0,191215
0, 745794
Y  M  LX 
1,1892
-0,0376
0,191215006
0,745793994
2454834,9824
0,3273
2454834,982
 L

.
204,203501
0,1746
204,2035321
126,456907
-0,1867 126,4568782
3,330617
0,7258
3,330616697
Используя (3.6), получили набор элементов (e, q, t p ,  ,  , i), распределённых по закону
N ( M , ) . Преобразуем теперь элементы (e, q, t p ,  ,  , i) в (a, e, i,  ,  , M) по формулам (3.3)
и (3.4). В итоге получим a  0,922116508 и M  45,94245747 . Запишем полученное значение
Y *  (a, e, i, ,  , M )T :
Y *  (0.922116508, 0.191215006, 3.330616697, 204.2035321, 126.4568782, 45.94245747)T
Таким образом, в итоге получили вектор зависимых нормально распределённых величин,
описывающих элементы орбиты (a, e, i,  ,  , M) виртуального астероида, расположенного в
доверительной области его номинальной орбиты.
Приведём
среднеквадратические
отклонения
для
элементов
орбиты
астероида
99942 Apophis в таблице 3.12.
Таблица 3.12 – Среднеквадратические отклонения элементов орбиты астероида 99942 Apophis
 M, град.
3,9882e-06
 a, а.е.
e
  , град.
5,3344e-10 5,1343e-09
3,2426e-05
  , град.  i, град.
3,3046e-05 6,5897e-07
Используя описанный алгоритм, по формуле (3.6), используя (3.5) и (3.7), генерируются
случайные векторы, содержащие начальные данные для облака виртуальных астероидов.
Отметим, что ковариационная матрица  может быть записана и для набора элементов (a, e,
i,  ,  , M) исходя из результатов наблюдений. Например, такую информацию предоставляют
программный комплекс по обработке результатов астрономических наблюдений FIND_ORB
(http://www.projectpluto.com/find_orb.htm)
или
для
шестимерного
вектора
координат
и
скоростей, также определяющего положение небесного тела в пространстве. В данной работе
для генерации виртуальных астероидов используется вариант ковариационной матрицы,
117
применяемый Лабораторией реактивного движения NASA (http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi) и
считающийся более точным по сравнению с остальными. Кроме того, такой подход
используется и в международном проекте NEODyS, созданном для сбора данных о
сближающихся с Землёй астероидах (http://newton.dm.unipi.it/neodys/).
3.3.3. Исследование вероятности столкновения астероида 99942 Apopohis с Землёй
Так как элементы орбиты большинства потенциально опасных астероидов в задаче оценки
вероятности столкновения с Землёй считаются нормально распределёнными случайными
величинами, то для них имеется доверительная область начальных данных – шестимерный
эллипсоид, задаваемый уравнением:
( X  M )T C 1 ( X  M )   2 ,
где X – шестимерная матрица-столбец элементов орбиты, M – шестимерная матрица-столбец
математических ожиданий элементов орбиты, C – ковариационная матрица элементов орбиты,
 2 – константа, характеризующая размер эллипсоида. В случае, если элементы орбиты –
нормально распределённые случайные величины, может использоваться оценка на основе
квантилей распределения хи-квадрат (  2 ) для соответствующих значений уровня значимости и
количества степеней свободы. Квантили хи-квадрат представляют собой значения, при которых
функция распределения хи-квадрат с заданным числом степеней свободы равна заданной
вероятности  . Распределение  2 используется в силу того, что сумма квадратов k нормально
распределённых случайных величин имеет именно это распределение с k степенями свободы
[14]. Таким образом, при формировании области допустимых значений элементов орбиты
истинное значение элементов орбиты будет находиться внутри заданной области с
вероятностью 1   . Значения квантилей распределения  2 (k ,  ) с заданным числом степеней
свободы k и уровнем значимости 1   известны и приведены во многих статистических
таблицах [14].
В случае, когда рассматриваются 6 элементов орбиты с уровнем значимости 99.5%,
критическое значение  2 ( k  6,   0, 005)  18, 548 [12]. Ориентацию эллипсоида определяют
собственные векторы ковариационной матрицы, а размеры – собственные значения матрицы и
значение выбранного квантиля  2 (k ,  ) , например  2 ( k  6,   0.005) .
Если было установлено, что некоторые элементы орбиты могут считаться постоянными
величинами, то происходит уменьшение размерности доверительной области. К примеру, для
двух элементов орбиты, обозначенных как x и y область станет двумерным эллипсом,
определяемым формулой [12]:
118
2
( x  mx )2 2 r( x  mx )( y  m y ) ( y  m y )


C,
 x2
 x y
 y2
где  x ,  y – дисперсии случайных величин, r –коэффициент корреляции, C – константа,
определяющая размер доверительного эллипса. Центр эллипса находится в точке  mx , my  , угол
наклона осей определяется из соотношения tg2 
2r x y
 x2   y2
[12]. Расчёты доверительной
области производились с использованием функций программного комплекса MATLAB,
позволяющего использовать математические функции для обработки многомерных данных, а
также поддерживающего символьные вычисления.
Рассмотрим изменение доверительной области со временем. Для этого проведём
интегрирование уравнений движения астероида на номинальной орбите от даты начальных
данных до момента тесного сближения. При этом элементы обриты будут изменяться на
значения, равные 3 i , где i – индекс соответствующего элемента орбиты.
В таблице 3.13 представлены результаты интегрирования уравнения движения астероида
Apophis для номинальной орбиты и орбит с возмущенными элементами. Результаты
представлены на 25.03.2029 г., то есть на дату до тесного сближения астероида Apophis с
Землёй (13.04.2029 г.). В первой колонке отражено, для каких начальных данных получена
соответствующая строка таблицы. К примеру, строка 3 M получена при интегрировании
уравнений движения астероида с начальными данными, отличающимися от номинальных в
значении средней аномалии M , уменьшенной на 3 M . Строка 3 M
соответствует
результатам, полученным для начальных данных с увеличенной на 3 M средней аномалией.
Начальные данные были взяты на дату 27.06.2015 г.
Таблица 3.13 – Значения элементов орбиты астероида 99942 Apophis на дату 25.03.2029 г.,
полученные по различным начальным данным
Элементы
орбиты
Номина
льные
3 M
3 M
3 a
3 a
3 e
3 e
3 
3 
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
230,24119490
0,9222539870
0,191345323
126,71097770
203,85001680
3,343771989
230,24118462
0,9222539857
0,19134532
126,71097739
203,85001699
3,34377197
230,24120521
0,9222539875
0,19134532
126,71097797
203,85001657
3,34377200
230,24120671
0,9222539858
0,19134532
126,71097753
203,85001695
3,34377198
230,24118312
0,9222539874
0,19134532
126,71097783
203,85001661
3,34377200
230,24119520
0,9222539866
0,19134531
126,71097763
203,85001678
3,34377199
230,24119463
0,9222539866
0,19134534
126,71097773
203,85001678
3,34377199
230,24121423
0,9222539789
0,19134533
126,71087914
203,85001746
3,34377191
230,24117560
0,9222539943
0,19134532
126,71107623
203,85001611
3,34377206
119
Продолжение таблицы 3.13
3 
3 
3 i
3 i
230,24121202
0,9222539788
0,19134533
126,71097607
203,84991870
3,34377193
230,24117781
0,9222539944
0,19134532
126,71097929
203,85011487
3,34377205
230,24119411
0,9222539866
0,19134532
126,71097784
203,85001662
3,34377001
230,24119572
0,9222539866
0,19134532
126,71097752
203,85001694
3,34377397
Таблица 3.14 содержит разности  между номинальной и возмущенными орбитами. Так,
значение M  M ном.  M j , где M ном. – значение M на дату 25.03.2029 г., полученное на
номинальной орбите астероида, а M j – значение средней аномалии на дату 25.03.2029 г.,
полученное для начальных данных, соответствующих j –той строке.
Таблица 3.14 – Отклонения элементов орбиты астероида 99942 Apophis на дату 25.03.2029 г. от
номинальных
Элементы
орбиты
 M, град.
 a, а.е.
e
 , град.
 , град.
 i, град.
3 M
3 M
3 a
3 a
3 e
3 e
3 
3 
3 
3 
3 i
3 i
1,0281E-05
1,3250E-09
-1,2300E-10
3,0900E-07
-1,8900E-07
1,6050E-08
-1,0309E-05
-5,2700E-10
3,7700E-10
-2,7300E-07
2,2800E-07
-1,5450E-08
-1,1805E-05
1,1910E-09
8,9000E-11
1,6900E-07
-1,4700E-07
7,7700E-09
1,1778E-05
-3,9300E-10
1,6400E-10
-1,3300E-07
1,8600E-07
-7,1700E-09
-3,0200E-07
4,2200E-10
1,5526E-08
6,9000E-08
1,7000E-08
1,8700E-09
2,7500E-07
3,7600E-10
-1,5272E-08
-3,4000E-08
2,2000E-08
-1,2600E-09
-1,9331E-05
8,0830E-09
-3,6660E-09
9,8560E-05
-6,5600E-07
7,5270E-08
1,9301E-05
-7,2850E-09
3,9200E-09
-9,8525E-05
6,9500E-07
-7,4670E-08
-1,7118E-05
8,1630E-09
-4,0070E-09
1,6270E-06
9,8104E-05
6,0550E-08
1,7087E-05
-7,3650E-09
4,2610E-09
-1,5910E-06
-9,8065E-05
-5,9950E-08
7,8700E-07
3,9700E-10
1,7000E-11
-1,4100E-07
1,7900E-07
1,9768E-06
-8,1500E-07
4,0200E-10
2,3600E-10
1,7600E-07
-1,4000E-07
-1,9762E-06
Рассмотрим
влияние
возмущений
элементов
орбиты
астероида
в
пределах
среднеквадратических отклонений на величину сближения астероида с Землёй на примере
астероида 99942 Apophis. Величины тесных сближений на 13.04.2029 г., полученные для
номинальной орбиты и по возмущенным начальным данным приведены в таблице 3.15, где  R
– относительная погрешность, рассчитанная следующим образом:
 R
Rном  R j
,
Rном
где R j – значение геоцентрического расстояния астероида Apophis, полученное для начальных
данных, соответствующих j –той строке.
120
Таблица 3.15 – Сближения астероида 99942 Apophis с Землёй 13.04.2029 г., полученные
для различных начальных данных
Элементы
орбиты
Номина
льные
3 M
3 M
3 a
3 a
3 e
3 e
3 
3 
3 
3 
3 i
3 i
R, а.е
R, км.
R
0,000253690
37951,46
--
0,000253681
37950,13
3,51e-05
0,000253699
37952,79
-3,50e-05
0,000253699
37952,84
-3,63e-05
0,000253681
37950,07
3,65e-05
0,000253689
37951,39
1,75e-06
0,000253690
37951,53
-1,75e-06
0,000253475
37919,30
8,47e-04
0,000253903
37983,29
-8,39e-04
0,000253455
37916,31
9,26e-04
0,000253922
37986,25
-9,17e-04
0,000253689
37951,36
2,65e-06
0,000253691
37951,56
-2,64e-06
Таким образом, из данных таблиц 3.13 и 3.14 можно установить, что с эволюцией орбиты
астероида область неопределённости увеличивается. Отметим, что факт «растяжения»
доверительной области применяется в методе оценки вероятности столкновения астероида с
Землёй с помощью линии вариации. Из результатов в таблицах 3.14 и 3.15 видно, что для
астероида Apophis отдельные вариации элементов орбиты могут оказывать влияние на
траекторию движения астероида. Таким образом, необходимо определить, какие из элементов
орбиты могут оказывать влияние на величину вероятности столкновения.
Были проведены исследования влияния изменений элементов орбиты на величину
геоцентрического расстояния и, соответственно, вероятность столкновения с Землёй. Для этого
элементы орбиты астероида варьировались в пределах доверительной области, проводилось
интегрирование уравнений движения с возмущенными начальными данными и оценивалась
величина полученных тесных сближений астероида с Землёй. Несмотря на то, что в таблице
3.15 наибольшие отклонения в геоцентрическом расстоянии астероида Apophis на 13.04.2029 г.
вызваны вариациями в  и  , критическими для вероятности столкновения были признаны
элементы орбиты M , a и e. Остальные начальные данные были приняты неслучайными
величинами, равными математическим ожиданиям (данным наблюдений). Выбор средней
аномалии M , большой полуоси a и эксцентриситета e значимыми связан с тем, что при
интегрировании уравнений с возмущёнными начальными данными (в которых варьировались
значения параметров M , a и e), величина геоцентрического расстояния R в определённые
121
моменты времени оказывалась меньше радиуса Земли. Формально это означает, что
происходило столкновение с Землёй, предполагаемая дата которого – 12.04.2068 г. Так
возникла необходимость оценки вероятности столкновения астероида 99942 Apopohis с Землёй
Для астероида 99942 Apophis была получена оценка вероятности столкновения на основе
определения опасных областей.
Были определены трёхмерные области, содержащие наборы элементов ( M , a , e) , при
использовании которых в качестве начальных данных для интегрирования уравнений движения
геоцентрическое расстояние на 12.04.2068 г. было меньше радиуса Земли. Отметим, что для
более точного пределения опасных областей, расчёты производились с применением функций
программного комплекса Wolfram Mathematica на основе массива трёхмерных точек ( M i , ai , e j ) ,
содержащихся в областях.
Для оценки вероятности столкновения применялась методика оценки вероятности
попадания многомерной случайной величины в область, описанная в пункте 3.2.1. Для
обнаруженных областей Wi ( i  1, k ) производилось интегрирование плотности вероятности:
1
f ( x) 
 2 
n
(det )1 2
T
 1

exp    x  m   1  x  m   ,
 2

где x это 3–х мерная векторная случайная величина ( M , a , e) ,  – ковариационная матрица
трёхмерной случайной величины, det  – определитель ковариационной матрицы, m –
трёхмерный вектор математических ожиданий случайной величины. Затем полученные
вероятности складывались. В результате получена оценка вероятности столкновения астероида
99942 Apophis с Землёй 12.04.2068 г., которая составила 2, 27 10 5 .
Опишем процесс оценки вероятности столкновения астероида Apophis с Землёй с
применением классического и модифицированного методов Монте-Карло.
Для реализации классического метода Монте-Карло было сгенерировано облако из 1 0 8
виртуальных астероидов. Генерация проходила с использованием приведённого выше
алгоритма с применением Вихря Мерсенна, преобразования Бокса-Мюллера и формулы (3.6). В
качестве вектора математических ожиданий выступали начальные данные номинальной
орбиты, ковариационная матрица использовалась с сайта Лаборатории реактивного движения
NASA как наиболее точная. Затем производилось интегрирование уравнений движения
виртуальных астероидов. В результате из 1 0 8 виртуальных астероидов у 839 на дату
12.04.2068 г. было зафиксировано значение геоцентрического расстояния меньше радиуса
Земли. Таким образом, исходя из классического определения вероятности наступления события
122
(3.1), можно оценить, в частности, вероятность столкновения 99942 Apophis с Землёй как
P ( A)  839 10 8  8,39 10 6 .
Классический вариант метода Монте-Карло можно улучшить, если ввести некоторые
изменения
в
процесс
расчётов.
Классический
метод
Монте-Карло
подразумевает
интегрирование уравнений движения на определённый временной интервал от даты начальных
данных. Как было показано выше, для номинальной орбиты астероида математическая модель
движения даёт достаточно точные данные при отсутствии тесных сближений с планетами.
Поэтому для ускорения расчётов было принято решение о переносе начала расчётов в точку,
предшествующую тесному сближению астероида 99942 Apophis с Землей. Таким образом, в
качестве нового начала отсчёта была выбрана дата 25.03.2029 г., предшествующая тесному
сближению с Землёй 13.04.2029 г. В качестве начальных данных были взяты элементы орбиты,
рассчитанные на эту дату по номинальной орбите. Они приведены в таблице 3.13.
Как установлено ранее, доверительная область элементов орбиты астероида со временем
увеличивается, то есть, положение астероида становится более неопределённым, чем в начале
интегрирования. Особенно сильно неопределённость растёт после тесного сближения с
планетой, так как орбита астероида претерпевает сильные нелинейные возмущения.
Для астероида 99942 Apophis была получена новая ковариационная матрица на дату,
предшествующую тесному сближению. Было создано порядка 5000 виртуальных астероидов,
уравнения движения которых были проинтегрированы до 25.03.2029 г., выбранного новой
точкой отсчёта. Затем на основе имеющихся данных элементов орбит этих астероидов была
получена оценка матрицы ковариаций элементов орбит. Для того чтобы получить
несмещённую оценку ковариационной матрицы C? для k случайных n-мерных величин
используются следующие формулы [97]:
1 k
C? 
 ( X i  X )( X i  X )T ,
n  1 i 1
T
где X i   x1 , x2 ,  , xn  n-мерный случайный вектор, а X 
1 n
 X i – оценка математического
n i 1
ожидания M [ X ] . Для нашего случая производилась оценка ковариационной матрицы 5000
шестимерных
случайных
величин,
представляющих
виртуальные
астероиды
с
характеризующими их положение орбитальными элементами.
Имея ковариационную матрицу и приняв значение элементов орбиты астероида на
номинальной орбите за математическое ожидание, можно сформировать новое облако
виртуальных астероидов на дату, предшествующую тесному сближению. После генерации 1 0 8
123
виртуальных астероидов на основе новой ковариационной матрицы, оценка вероятности
проводилась аналогично классическому методу Монте-Карло.
Для астероида 99942 Apophis из облака 1 0 8 виртуальных астероидов при интегрировании
от 25.03.2029 г. было установлено, что 786 виртуальных астероидов сталкиваются с Землёй
12.04.2068 г. Значит, вероятность столкновения астероида с Землёй на эту дату составляет
P ( A)  786 10 8  7,86 10 6 .
Отметим, что вероятности столкновения 13.04.2029 г. обнаружено не было ни одним из
приведённых методов, несмотря на чрезвычайно тесное сближение 99942 Apophis с Землёй,
равное 0,000253690 астрономических единиц (37951,4838 км.) на эту дату.
Таким образом, метод оценки на основе определени опасных областей даёт результат,
отличающийся от методов Монте-Карло. Преимуществом этого метода является меньший
объём требуемых вычислений в случае, если рассматриваемая область двух- или трёхмерная.
Проиллюстрированные на астероиде Apophis методы исследования и оценки вероятности
столкновения с Землёй были реализованы и автоматизированы в виде программного комплекса,
а затем применены и к другим потенциально опасным астероидам.
3.3.4. Оценка вероятности столкновения астероидов с Землёй
Приведём оценки вероятности столкновения с Землёй, полученные описанными выше
методами для следующих потенциально опасных астероидов: 2001 VB, 99942 Apophis, 2007
FT3, 101955 Bennu, 2011 BT59.
Начальные данные, использованные при расчётах, приведены в таблице 3.16. Величины
допустимых отклонений и размеры доверительной области рассчитывались на основе матрицы
ковариаций, приведённой Лабораторией реактивного движения NASA на информационной
странице каждого потенциально опасного астероида (к примеру, для астероида 99942 Apophis –
http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=99942).
Таблица 3.16 – Начальные данные от 27.06.2015 для рассматриваемых астероидов
Астероид
M, град.
2001 VB
101955 Bennu
99942 Apophis
2007 FT3
2011 BT59
330,690628
12,721537
45,932746
270,026423
78,977247
a, а.е.
1,1407490
1,1259690
0,9221170
1,1250570
2,4184920
e
0,136867
0,203640
0,191215
0,306091
0,944714
 , град.  , град.
i, град.
99,919053 66,368503
66,290555 2,033763
126,456907 204,203501
277,520797 9,799295
302,565194 39,767648
24,509927
6,034979
3,330617
26,726477
3,557742
124
Метод, основанный на определении опасных областей
Для астероидов предварительно были проведены исследования эволюции орбиты для
определения значимых элементов орбиты по методике, описанной в пункте 3.3.3.
В качестве значимых элементов орбиты были приняты большая полуось a, эксцентриситет
e и средняя аномалия M. Таким образом, расчёты проводились для трёхмерных областей.
Результаты представлены в таблице 3.17.
Таблица 3.17 – Оценки вероятности столкновения астероидов с Землей, полученные через
определение опасных областей
Дата
столкновения
22.07.2037
Астероид
2001 VB
P(A)
7, 04 107
101955 Bennu
25.09.2175
1, 45 104
99942 Apophis
12.04.2068
2, 27 105
2007 FT3
03.10.2030
4, 01 10 7
2007 FT3
03.10.2041
1,56 106
2011 BT59
10.04.2052
4,97 106
Заметим, что для астероида 2007 FT3 было обнаружено только две предполагаемые даты
столкновения с Землёй, в то время, как при использовании метода Монте-Карло обнаружилось
три возможные даты столкновения. Сравнение оценок, полученных разными методами будет
приведено ниже.
Необходимо отметить, что описанный выше метод позволяет получить лишь грубую
оценку величины вероятности столкновения, однако в случаях, когда размерность области
выбора виртуальных астероидов не велика (не больше 3), он может быть использован для
получения первичных оценок величины вероятности столкновения. Можно сказать, что данный
метод является упрощенным видом метода линии вариации, использование которого
предоставляет более точные оценки. Краткое описание метода линии вариации приведено в
первой главе диссертационной работы. Отметим, что для массовых расчётов Лаборатория
реактивного движения NASA использует гибрид метода линии вариации и метода Монте-Карло
(http://neo.jpl.nasa.gov/risk/doc/sentry.html).
Классический метод Монте-Карло
С
учетом
высокого
уровня
развития
вычислительных
мощностей
современных
компьютеров, а также доступности высокопроизводительных параллельных и облачных
вычислений, недостатки метода Монте-Карло (необходимость большого числа испытаний и
значительные объёмы вычислений) перестают быть критичными. Модели, основанные на
125
методе Монте-Карло, активно применяются в задачах, связанных с астероидной опасностью
[11, 36–38, 91, 100, 104, 126].
Рассмотрим оценки вероятности столкновения с Землёй, полученные классическим
методом Монте-Карло для потенциально опасных астероидов с начальными данными из
таблицы 3.16. В качестве математических ожиданий элементов орбит были приняты данные
наблюдений. Ковариационные матрицы для каждого астероида были взяты с сайта
Лаборатории реактивного движения NASA. Предполагалось, что элементы орбит являются
шестимерной нормально распределённой случайной величиной.
Полученные в результате расчётов классическим методом Монте-Карло оценки приводятся
в таблице 3.18, где P(A) – оценка вероятности столкновения астероида с Землёй на
приведённую дату. Отметим, что в результате расчётов для астероида 2007 FT3 обнаружились
три возможных даты столкновения. В таблице 3.18 также приводится относительная
погрешность оценки
 P,
(3.8)
где  вычислена согласно (1.21):  2  P(1  P) N , а P – оценка вероятности столкновения.
Таблица 3.18 – Оценки вероятности столкновения астероидов с Землей, полученные методом
Монте-Карло
Астероид
Дата
столкновения
 P(A)
P(A)
2001 VB
22.07.2037
1, 00 107
31,62%
101955 Bennu
25.09.2175
3,32 10 5
1,73%
99942 Apophis
12.04.2068
8,39 10 6
3,45%
2007 FT3
03.10.2019
1, 60 10
7
23,57%
2007 FT3
03.10.2030
1, 40 107
26,73%
03.10.2041
2, 30 10
7
20,85%
7, 40 10
7
11,62%
2007 FT3
2011 BT59
10.04.2052
Отметим, что относительная погрешность оценки  зависит от количества испытаний и
порядка вероятности наступления оцениваемого события. В этом отражается основная суть
метода Монте-Карло: чем большее количество испытаний проводится, тем выше точность
получаемых результатов.
Приведём алгоритм, по которому в данной работе были получены оценки методом МонтеКарло на примере астероида 99942 Apophis.
По имеющимся начальным данным и числовым характеристикам случайной величины
было сгенерировано 10 8 виртуальных астероидов с начальными данными, являющимися
126
случайными величинами, подчинёнными шестимерному нормальному закону распределения с
заданными математическими ожиданиями и матрицей ковариации. Матрица ковариации
элементов орбиты была сформирована по данным сайта Лаборатории реактивного движения
NASA для астероида 99942 Apophis (http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=99942). Алгоритм
генерации зависимых случайных величин с нормальным законом распределения описан во
второй главе данной работы.
Затем, для каждого виртуального астероида было осуществлено интегрирование уравнений
движения до 2200 г. В качестве математической модели движения использовалась модель,
основанная гипотезе о взаимодействии движущегося материального тела с окружающим
пространством,
описанная
в
пункте
1.2.2.
Как
было
доказано
выше,
результаты,
предоставляемые данной моделью, хорошо согласуются с классической моделью и с данными
каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. Выбор модели в данном случае
обусловлен
меньшим
объёмом
требуемых
вычислений
и,
как
следствие,
большим
быстродействием программной реализации модели. Для численного интегрирования уравнений
движения использовался метод Эверхарта 27 порядка с постоянным шагом интегрирования.
Величина шага подбиралась до начала основных расчётов по методике, использованной при
сравнении методов численного интегрирования, описанной выше. Такой выбор математической
модели и численного метода позволил ускорить быстродействие и сохранить высокую точность
вычислений.
Кроме
того,
в
программной
реализации
использовались
технологии
распределённых вычислений, позволяющие ускорить расчёты.
В процессе интегрирования уравнений движения в случае, если на какой-то момент
времени геоцентрическое расстояние виртуального астероида становилось меньше радиуса
Земли, засчитывалось столкновение и расчёт траектории движения для этого астероида
останавливался. Факт тесных сближений фиксировался отдельно для последующего анализа
зависимости траектории от возмущений начальных данных.
После окончания расчётов был проведён подсчёт количества столкновений виртуальных
астероидов с Землёй. Отношение количества столкновений на конкретную дату к общему числу
испытаний согласно частотному определению вероятности было принято за оценку величины
вероятности столкновения астероида 99942 Apophis с Землёй. Была установлена дата
предполагаемого столкновения – 12 апреля 2068 г. и получена оценка вероятности этого
события, равная 8,39 106 .
Аналогичная схема расчётов использовалась и для других потенциально опасных
астероидов, упомянутых выше.
127
Модифицированный метод Монте-Карло
Классическую реализацию метода Монте-Карло можно улучшить, если обратить внимание
на то, что значительные изменения в траектории движения астероида, которые могут внести
неопределённость в расчёт траектории, возникают в результате тесных сближений астероидов с
другими объектами.
Так как элементы орбиты потенциально опасного астероида можно считать шестимерной
случайной величиной, то (a, e, i,  ,  , M), то в момент начала расчёта траектории движения
t  0 астероиду соответствует шестимерная доверительная область возможных элементов
орбиты G . Каждая точка этой области – виртуальный астероид с соответствующими
элементами орбиты.
Согласно классической схеме метода Монте-Карло необходимо наугад выбрать из
имеющейся доверительной области G необходимое количество виртуальных астероидов и
произвести интегрирование их уравнений движения до конечной даты, либо до момента
столкновения. Однако траектория движения виртуальных астероидов в случае отсутствия
тесных сближений и высокой точности начальных данных будет лишь незначительно
отличаться от траектории, рассчитанной с невозмущёнными начальными данными.
Пусть в результате предварительных расчётов траектории движения астероида с
невозмущёнными элементами орбиты обнаружено, что в момент времени t  T астероид имеет
тесное сближение с планетой. В таком случае на момент времени непосредственно до тесного
сближения с планетой можно определить область возможных элементов орбиты G * астероида.
Значит, можно получить область возможных положений астероида до тесного сближения. Для
ускорения расчётов численное интегрирование до момента времени t  T можно проводить с
большим шагом и по более простой математической модели.
Таким образом, на момент времени непосредственно до тесного сближения исследуемого
астероида с планетой получим область возможных элементов орбиты G * , в которую переходит
область G после эволюции орбиты астероида до момента времени t  T .
Далее можно применить классический метод Монте-Карло, выбирая из области G * наугад
необходимое количество виртуальных астероидов и производя численное интегрирование
уравнений их движения.
Если предполагаемые даты столкновений известны в результате предварительных расчётов
другими методами, то можно провести расчёты области возможных положений астероида на
момент времени до столкновения, а затем также применить классический метод Монте-Карло
на коротком временном интервале для того, чтобы получить оценку вероятности столкновения
на указанную дату.
128
Полученные в результате расчётов модифицированным методом Монте-Карло оценки
приводятся в таблице 3.12, где P(A) – оценка вероятности столкновения астероида с Землёй на
приведённую дату. Как и при применении классического метода Монте-Карло, для астероида
2007 FT3 было обнаружено три возможных даты столкновения. В таблице 3.19 так же
приводится относительная погрешность оценки , вычисленная по формуле (3.8).
Таблица 3.19 – Оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй, полученные
модифицированным методом Монте-Карло
Астероид
2001 VB
101955 Bennu
Дата
столкновения
 P(A)
P(A)
22.07.2037
1,37 10 7
25.09.2175
5
1,50%
6
3,57%
4, 46 10
27,74%
99942 Apophis
12.04.2068
7,86 10
2007 FT3
03.10.2019
1, 40 107
26,73%
03.10.2030
7
22,36%
7
24,25%
12,13%
2007 FT3
2, 00 10
2007 FT3
03.10.2041
1, 70 10
2011 BT59
10.04.2052
6,80 107
Отличие модифицированного метода Монте-Карло от классического состоит в том, что в
данном случае методом Монте-Карло исследуется более короткий временной промежуток. Как
следствие, происходит уменьшение времени, требуемого для расчётов.
3.3.5. Сравнение результатов
Было проведено сравнение полученных оценок вероятности столкновения рассмотренных
потенциально опасных астероидов с Землёй. В таблице 3.20 приведены результаты, полученные
тремя описанными в работе методами, а также результаты, публикуемыми Лабораторией
реактивного движения NASA. Отметим, что оценки NASA получены с использованием метода,
совмещающего метод линии вариации и метод статистических испытаний Монте-Карло.
В таблице 3.20 столбец «Обл. P(A)» содержит оценку вероятности столкновения,
вычисленную по методу, основанному на определении опасных областей. Оценка, рассчитанная
по классическому методу Монте-Карло, содержится в столбце «М-К P(A)», а рассчитанная по
модифицированному методу Монте-Карло – в столбце «Мод. М-К P(A)». Относительные
погрешности  выражены в процентах и вычислялись как отношение модуля разности оценки
NASA и оценкой, полученной указанным методом, к величине оценки NASA. К примеру,
значение в столбце «  Обл. P(A), % » вычислялось так:
 Обл. P( A) 
NASA P  A  Обл. P( A)
NASA P  A
100%
129
Таблица 3.20 – Сравнение оценок вероятности столкновения астероидов с Землёй,
рассчитанных различными методами
Астероид: 2001 VB
NASA
Обл. P(A)
P(A)
1, 20 107
7, 04 107
Астероид: 101955 Bennu
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
4,10 105
1, 45 104
Астероид: 99942 Apophis
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
6, 70 106
2, 27 105
Астероид 2007 FT3
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
1, 20 107
--
4, 01107
Астероид: 2007 FT3
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
1,80 107
1,56 106
Астероид: 2011 BT59
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
6, 20 107
516,67%
4,97 106
1, 00 107
16,67 %
1,37 107
Предполагаемая дата столкновения: 25.09.2175 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
254,63%
3,32 105
18,98 %
4, 46 105
Предполагаемая дата столкновения: 12.04.2068 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
239,25%
8,39 106
25,22 %
7,86 106
Предполагаемая дата столкновения: 03.10.2019 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
--
Астероид: 2007 FT3
Обл.
NASA
P(A)
P(A)
1,80 107
Предполагаемая дата столкновения: 22.07.2037 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
1, 60 107
33,33 %
1, 40 107
Предполагаемая дата столкновения: 03.10.2030 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
127,78%
1, 40 107
22,22 %
2, 00 107
Предполагаемая дата столкновения: 03.10.2041 г.
М-К
Мод. М-К
 Геом.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
766,67%
2,30 107
27,78 %
1, 70 107
Предполагаемая дата столкновения: 10.04.2052 г.
М-К
Мод. М-К
 Обл.
 М-К
P(A)
P(A)
P(A), %
P(A), %
701,61%
7, 40 107
19,35 %
6,80 107
 Мод. М-К
P(A), %
8,33 %
 Мод. М-К
P(A), %
8,71 %
 Мод. М-К
P(A), %
17,31 %
 Мод. М-К
P(A), %
16,67 %
 Мод. М-К
P(A), %
11,11 %
 Мод. М-К
P(A), %
5,56 %
 Мод. М-К
P(A), %
9,68 %
Из данных таблицы 3.20 можно установить, что оценки, полученные модифицированным
методом Монте-Карло в данной работе согласуются с результатами, опубликованными на сайте
Лаборатории реактивного движения NASA (http://neo.jpl.nasa.gov/risk/ по состоянию на
08.07.2015), а также по данным информационного ресурса по объектам, сближающимся с
Землёй – NEODyS http://newton.dm.unipi.it/neodys/index.php?pc=4.1.
Отметим, что наибольшие отклонения от результатов NASA имеют оценки, полученные по
методу,
основанному
на
основанному
на
определении
опасных
областей.
Однако
представленный метод может быть использован для получения грубых оценок при
относительно малых затратах вычислительных мощностей, в сравнении с классическим
130
методом Монте-Карло. Данный метод можно использовать для предварительного отбора
астероидов для исследования вопроса вероятности столкновения более точным методом.
Для отбора астероидов для исследования использовался метод, использующий данные по
минимальным расстояниям между орбитами (MOID). При обнаружении тесного сближения с
Землёй элементы орбиты астероида варьировались, и для каждого полученного набора
орбитальных элементов отслеживалось изменение параметра MOID со временем. В случае,
если значение MOID было близко к величине радиуса Земли или равно ему, астероид отбирался
для дальнейшего исследования. Данный подход характеризуется быстродействием. Однако в
силу того, что используемый алгоритм быстрой оценки параметра MOID не сохраняет
информацию о реальных положениях небесных тел на орбитах, полученные результаты не
всегда отражают возможную вероятность столкновения, так как астероид и планета могут не
находиться в точке минимального сближения орбит в один и тот же момент времени. Таким
образом, для дополнительного исследования выбирается излишне много астероидов.
Если в процессе интегрирования уравнений движения астероида обнаруживается, что на
рассматриваемом временном интервале (до 2200 г.) у астероида с планетой нет реальных
сближений, для него проводится определение значимых элементов орбиты, описанное в
параграфе 3.1.2. В случае, если тесных сближений не выявлено, оценка вероятности
столкновения астероида с Землёй будет отложена, так как найдутся астероиды, имеющие
реальные тесные сближения с планетами. Если выявлены тесные сближения, для получения
грубых предварительных оценок используется метод, основанный на поиске опасных областей.
Такой подход позволяет снизить количество астероидов, выбираемых для оценки вероятности
столкновения. Так, из найденных 1565 потенциально опасных астероида процедуре оценки
вероятности столкновения были подвергнуты 319, из которых у 28 имеются шансы столкнуться
с Землёй в ближайшие 200 лет.
Сравним затраты времени на вычисление оценок, приведенных в таблице 3.20. Результаты
представлены в виде таблицы 3.21.
Таблица 3.21 – Сравнение затрат времени на расчёт оценки вероятности столкновения
потенциально опасных астероидов с Землёй различными методам
Метод
Среднее время, затраченное на расчет оценки
вероятности столкновения для одного астероида, сек.
Классический Монте-Карло
36668,08
Модифицированный Монте-Карло
20448,77
Определение опасных областей
4742,01
Оценки, полученные методом, основанном на методе Монте-Карло, имеют меньшие
отклонения от оценок, предложенных NASA. Таким образом, в силу большего быстродействия
131
и более высокой точности результатов, для оценки вероятности столкновения потенциально
опасных астероидов с Землёй предпочтительным является модифицированный метод МонтеКарло. Стоит отметить, что так как метод, основанный на поиске опасных областей, является
более быстрым (по даным таблицы 3.21 среднее время для расчёта оценки вероятности
столкновения одного астероида в 4,3 раза меньше, чем для модифицированного метода МонтеКарло), он может быть использован для получения предварительных грубых оценок. Кроме
того, для ускорения расчётов по методу Монте-Карло можно учесть информацию о элементах
орбиты астероида, влияющих на величину тесных сближений. В таком случае можно
уменьшить размерность случайной величины, определяющей начальные данные астероида,
положив незначимые элементы орбиты в начальных данных равными их математическим
ожиданиям. Полученные по такому гибридному методу оценки будут менее точными по
причине
потери
части
возможных виртуальных астероидов
вследствие
уменьшения
размерности области возможных начальных элементов орбиты, однако результаты могут быть
получены за меньшее время.
Рассмотренные в данной главе математические модели движения небесных тел, численные
методы интегрирования и методы для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй
реализованы в виде автоматизированного программного комплекса для оценки вероятности
столкновения астероидов с Землёй. Данный программный комплекс так же производит отбор
потенциально опасных для Земли астероидов на основе оценки минимального расстояния
между орбитами – параметра MOID, быстрый алгоритм для вычисления которого рассмотрен
во второй главе данный работы.
3.3.6. Размещение на сайте SmallBodies.ru
Математические модели и методы, предложенные в данной диссертационной работе,
позволяют решить две связанных задачи: поиск потенциально опасных для Земли астероидов и
оценка вероятности столкновения небесных тел с Землёй. Полученные данные размещены на
научно-информационном сайте SmallBodies.ru вместе с информацией об орбитальной эволюции
малых тел Солнечной системы, а также начальными данными от различных дат, для которых
проводились вычисления.
К имеющейся на сайте информации добавлены данные об обнаруженных потенциально
опасных астероидах, содержащие наименование объекта, величину H (абсолютная звёздная
величина), а также оценку минимального расстояния между орбитами астероида и Земли –
параметр MOID. Кроме этого, добавлены и оценки вероятности столкновения небесных тел с
Землёй. В числе первых добавлены данные о потенциально опасных астероидах с наибольшей
величиной вероятности столкновения, а также для тех, которые считаются наиболее опасными.
132
Это связано с тем, что при получении новых данных решено проводить исследования эволюции
орбиты в первую очередь для наиболее опасных и вновь обнаруженных астероидов.
Отметим, что при оценке вероятности столкновения астероидов с Землёй для публикации
на сайте рассматриваются не только астероиды, классифицированные как потенциально
опасные, но и приближенные к ним, то есть у которых H  22, 2 . В строгом определении
потенциально опасных астероидов H  22 [66]. Кроме того, на сайте публикуются только
астероиды, имеющие порядок оценки вероятности столкновения не менее 1  10 10 в силу
ограниченности ресурсов для проведения исследований.
В силу того, что данные наблюдений небесных тел регулярно обновляются, процесс поиска
потенциально опасных астероидов и получения оценок вероятности столкновения их с Землёй
должен быть автоматизирован. Поэтому создан программный комплекс, в основу которого
положены представленные в данной диссертационной работе математические модели и методы.
В качестве источника исходных данных элементов орбит астероидов используется банк данных
Лаборатории реактивного движения NASA – DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets).
Описание созданного программного комплекса представлено в четвёртой части данной
диссертационной работы.
3.4. Выводы по главе
 Установлено влияние точности начальных данных в расчётах эволюции орбит
астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй. Незначительные изменения в
начальных данных астероида, имеющего тесное сближение с Землёй, могут оказать
значительное влияние на его траекторию после сближения, что в расчетной практике
может привести к выводу о возможном столкновении с Землёй. Это связано с тем, что в
результате тесного сближения астероида с Землёй возникают сильно нелинейные
возмущения элементов орбиты, в результате чего математические модели движения
астероида предоставляют данные с большими погрешностями.
 Исследован алгоритм быстрой генерации значительного числа виртуальных астероидов
на основе генератора Вихря Мерсенна. Элементы орбиты получаемых астероидов
являются
зависимыми
нормально
распределёнными
величинами
с заданными
математическими ожиданиями и ковариационной матрицей.
 Предложена процедура определения элементов орбиты, влияющих на величину
сближения потенциально опасного астероида с Землёй. Такое исследование позволяет
сократить размерность случайной величины, отражающей набор орбитальных
элементов астероида.
133
 Предложено два метода для оценки вероятности столкновения небесных тел с Землёй:
метод на основе определения опасных областей и модифицированный метод МонтеКарло. Для сравнения реализован также классический метод Монте-Карло.
 Для астероида 99942 Apophis проведены исследования предложенных методов
генерации облака случайных величин. Кроме этого, для этого астероида исследовано
влияние различных орбитальных элементов на эволюцию орбиты астероида.
Предложенные методы оценки вероятности апробированы на астероиде Apophis.
 В качестве объектов для оценки вероятности столкновения с Землёй предложенными
методами выбрано пять потенциально опасных астероидов. Для них получены
предполагаемые даты столкновения с Землёй и оценки вероятности этого события.
 Проведён сравнительный анализ оценок вероятности столкновения, полученных с
использованием предложенных методов. В качестве эталонных значений использованы
оценки, публикуемые Лабораторией реактивного движения NASA.
 Установлено, что наименьшего расхождения оценок с другими исследователями
удаётся достичь с использованием модифицированного метода Монте-Карло. В то же
время, метод на основе определения опасных областей хотя и предоставляет весьма
грубые результаты, может использоваться для предварительной оценки вероятности
столкновения, так как расчёты по данному методы требуют меньше временных затрат
(в среднем в 4,3 раза меньше, чем при использовании модифицированного метода
Монте-Карло и в среднем в 7,7 раза по сравнению с классическим методом МонтеКарло).
 Результаты, полученные в данной главе относительно выбора математической модели
движения небесных тел, использования численного метода интегрирования уравнений
движения и определения оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй
реализованы в виде автоматизированного программного комплекса, описанного в
четвёртой главе данной работы.
134
Глава 4
Программный комплекс для оценки вероятности
столкновения небесных тел с Землёй
Информация об известных небесных телах обновляется регулярно, кроме того,
обнаруживаются новые астероиды. К примеру, на данный момент известно более 12000
объектов, принадлежащих к астероидам групп Аполлона, Амура и Атона. Из более 1500
известных потенциально опасных астероидов только 5 не принадлежат к этим группам. То есть,
потенциально опасные астероиды почти все находятся среди астероидов групп Аполлона,
Амура и Атона.
Каждые 100 дней производится обновление банка данных наблюдений DASTCOM
(Database of ASTeroids and COMets) Лаборатории реактивного движения NASA, в связи с чем
необходимо периодически проводить по новым данным расчёты эволюции орбиты астероидов,
которые имеют тесные сближения с внутренними планетами.
Как было показано в данной диссертационной работе, для некоторых астероидов
начальные данные играют значительную роль в оценке их потенциальной опасности.
Например, для астероида 2011 AG5 первоначальная оценка вероятности столкновения
05.02.2040 г. имела порядок 10 4 . После уточнения параметров орбиты астероид был исключен
из списка потенциально опасных. Для астероида 99942 Apophis после высокоточных
наблюдений была исключена вероятность столкновения в 2037 году.
Так как одним из критериев отнесения астероида к потенциально опасным является оценка
минимального расстояния между орбитами Земли и астероида (параметр MOID – Minimum
Orbital Intersection Distance [103]), то необходимо по обновлённым данным произвести
повторные расчёты параметра MOID. Вследствие тесных сближений траектория астероидов
может меняться, а значит, может изменитсья и значение MOID.
Оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй также требуют пересчёта после
обновления данных наблюдений. В первую очередь следует проводить оценку для вновь
обнаруженных потенциально опасных астероидов и повторную оценку для уже известных
астероидов, имеющих предполагаемые даты столкновения с Землёй.
Таким образом, возникает задача регулярного и своевременного обновления информации
об астероидной опасности. В рамках данной диссертационной работы создан программный
комплекс, автоматизированный для решения следующих задач:
 расчёт эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с 1600 по
2200 год по начальным данным элементов орбит небесных тел;
135
 оцека потенциальной опасности астероидов групп Аполлона, Амура и Атона;
 оценка вероятности столкновения астероидов с Землёй;
 составление и обновление банка данных, содержащего информацию о потенциально
опасных астероидах и оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй.
Созданный программный комплекс является практической реализацией математических
моделей и численных методов, рассмотренных во второй и третьей главах данной
дисертационной работы. Результаты работы программного комплекса публикуются на научноинформационном ресурсе SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru/).
Описание программного комплекса
Приведём описание структуры программного комплекса, представляющего собой
реализацию математических моделей и методов, описанных во второй и третьей главах данной
диссертационной работы и применяемых для решения задачи о поиске потенциально опасных
стероидов и оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй.
Программный комплекс, созданный в данной диссертационной работе, имеет модульную
структуру, укрупнённая схема которой представлена на рисунке 4.1.
Банк данных элементов орбит астероидов
ASTORB.dat, полученный по результатам
наблюдений
Расчет эволюции орбит астероидов
групп Аполлона, Амура, Атона
Банк данных
эволюции орбит
астероидов
Банк данных
начальных данных
астероидов
Модуль оценки
потенциальной
опасности астероида
Банк данных
потенциально
опасных астероидов
Модуль оценки вероятности столкновения астероида с Землёй
Рисунок 4.1 – Структура программного комплекса
Из приведённой схемы видно, что в программном комплексе можно выделить три
основных модуля: интегрирование уравнений движения астероидов, оценка потенциальной
опасности астероида и оценка вероятности столкновения астероида с Землёй. Отметим, что
каждый из этих модулей имеет свою внутреннюю структуру и состоит из других модулей и
подпрограмм.
Модульность
позволяет
достичь
большей
функциональной
гибкости
программного комплекса. Так, каждый модуль может быть изменён без необходимости
136
внесения изменений в другие модули. Также в программном комплексе широко задействованы
банки данных, в которых хранится необходимая для проведения расчётов информация и
результаты расчётов. В качестве базы данных используется MySQL. Результатом работы
программного
комплекса
является
банк
данных
потенциально
опасных
астероидов,
информация из которого, и результаты оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй
размещаются на научно-информационном сайте SmallBodies.ru.
Схема работы программного комплекса следующая. Из банка данных, содержащего
актуальные начальные данные астероидов (элементы орбит) на определённую дату отбираются
астероиды групп Аполлона, Амура и Атона. Начальные данные для расчётов берутся из банка
данных DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets), поддерживаемого Лабораторией
реактивного
движения
NASA
и
находящегося
в
свободном
доступе
по
адресу
ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.htm. Данные представляют собой файл ASTORB.dat. Этот
источник данных выбран по причине того, что содержит данные, полученные с высокой
точностью, находится в свободном доступе и регулярно обновляется. Затем производится
интегрирование уравнений движения этих астероидов с 1800 по 2200 гг. и элементы орбит
астероидов сохраняются в банке данных. Во время интегрирования уравнений движения
производится оценка потенциальной опасности астероида на основе вычисления параметра
MOID – минимального расстояния между орбитами астероида и планет. Астероид считается
потенциально опасным, если величина минимального расстояния с Землёй меньше 0,05 а.е. [66,
70] и абсолютная звёздная величина астероида H  22 [92]. В программном комплексе
реализован алгоритм быстрой оценки параметра MOID, позволяющий повысить скорость
расчётов. Описание алгоритма и результаты сравнительных испытаний приведены во второй
главе диссертационной работы.
После формирования банка данных потенциально опасных астероидов, для отобранных
астероидов производится оценка вероятности столкновения. После завершения расчётов на
научно-информационном сайте SmallBodies.ru публикуется каталог потенциально опасных
астероидов и список астероидов, для которых определены даты предполагаемых столкновений
и получены оценки вероятности столкновения с Землёй.
Модуль интегрирования уравнений движения – базовый модуль, своего рода ядро
программного комплекса, на основе которого работает большая часть функционала. В ходе
работы модуля производится численное интегрирование уравнений движения астероида с
учетом выбранной математической модели движения, учитываемых негравитационных
эффектов, а также выбранного численного метода. При интегрировании уравнений движения
астероидов активно используется банк данных эволюции орбиты астероидов и банк данных
137
координат и скоростей возмущающих тел в форме полиномов Эверхарта. Структура модуля
отражена на рисунке 4.2.
Интегрирование уравнений движения астероида
Математическая модель движения
исследуемого астероида
Банк данных эволюции
орбиты исследуемого
объекта
Модуль учёта негравитац. эффектов
Численный метод интегрирования
уравнений движения
Банк данных координат
возмущающих тел в форме
полиномов Эверхарта
Рисунок 4.2 – Структура модуля по расчёту эволюции орбиты астероида
В программном комплексе реализован численный метод Эверхарта. Существует
возможность выбора метода с постоянным или переменным шагом. Порядок метода может
меняться от 19 до 31-го. Кроме того, в целях ускорения расчётов в программном комплексе
используется банк данных координат и скоростей возмущающих тел в формате полиномов
Эверхарта.
Использование
банка
данных
позволяет
сократить
порядок
системы
дифференциальных уравнений движения с 72 до 6 [47, 48], что существенно отражается на
скорости расчётов. Подробное описание банка данных приведено во второй части
диссертационной работы.
В модуле расчёта траектории движения астероида существует возможность выбора
математической модели движения. В программном комплексе реализовано две модели: модель
с использованием релятивистских эффектов, на основе которой построена теория DE405, и
модель (1.6), основанная на гипотезе о взаимодействии движещегося теля с окружающим
пространством. Обе модели описаны во второй части данной диссертационной работы. Там же
проведён сравнительный анализ моделей, в ходе которого установлено, что результаты,
полученные по модели на основе гипотезы о взаимодействии движущегося материального тела
с окружающим пространством, согласуются с моделью с релятивистскими эффектами. В силу
своей структуры новая модель требует меньшее количество вычислений и позволяет проводить
расчёты более быстро. Для астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй, новая модель
даёт более близкие к каталогу орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы данные,
что отражено во второй части диссертационной работы.
138
Основной функционал, используемый для решения задач, сосредоточен в третьем модуле,
предназначенном для оценки вероятности столкновения астероидов с Землёй. Структура
модуля отражена на рисунке 4.3.
Математические ожидания, дисперсии и
ковариация элементов орбиты астероида
Интегрирование уравнений
движения астероида
Банк данных астероидов
ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi
Поиск элементов орбиты
астероида, влияющих на
величину сближения с Землей
Банк данных потенциально
опасных астероидов
Выбор метода оценки
Метод опасных областей
Классический Монте-Карло
Формирование
доверительной области
Формирование облака
виртуальных астероидов
Поиск «опасных»
областей
Интегрирование уравнений
движения астероидов
Интегрирование
уравнений движения
Оценка
Модифицированный
Монте-Карло
Формирование
виртуальных астероидов
Интегрирование уравнений
движения астероидов до
тесного сближения с планетой
Построение ковариационной
матрицы на момент времени
непосредственно перед
тесным сближением
Формирование облака виртуальных
астероидов на основе новой ковар.
матрицы и мат. ожидания
Оценка
Интегрирование уравнений
движения астероидов
Банк данных потенциально
опасных астероидов
Оценка
Рисунок 4.3 – Структура модуля по оценке вероятности столкновения астероидов с Землёй.
Элементы орбиты астероида предполагаются нормально распределёнными случайными
величинами с заданными математическими ожиданиями и дисперсиями. В качестве
математического ожидания используются орбитальные элементы номинальной орбиты,
полученные из банка начальных данных астероидов, а дисперсии и ковариации берутся из
банка данных астероидов Лаборатории реактивного движения NASA.
На основе этих данных производится поиск элементов орбиты, влияющих на величину
тесного сближения с Землёй и на величину вероятности столкновения. В третьей части
диссертационной работы приведён алгоритм определения значимых элементов орбиты, а в
качестве примера рассмотрен астероид 99942 Apophis. Полученная информация о значимых для
столкновения элементах орбит астероидов заносится в банк данных потенциально опасных
астероидов.
139
Для оценки вероятности столкновения с Землёй программный комплекс позволяет выбрать
один из трёх методов: метод на основе определения опасных областей, классический метод
Монте-Карло и модифицированный метод Монте-Карло. Подробное описание методов, пример
их применения для астероида 99942 Apophis и сравнительный анализ трёх методов описаны в
третьей части диссертационной работы. По результатам сравнительного анализа было
установлено, что оценки, наиболее близко расположенные к оценкам Лаборатории реактивного
движения NASA, получаются при использовании модифицированного метода Монте-Карло. По
умолчанию используется модифицированный метод Монте-Карло.
После получения оценки вероятности столкновения астероида с Землёй, информация
записывается в банк данных потенциально опасных астероидов. Отметим, что для метода
Монте-Карло необходимо использование значительного числа астероидов, элементы орбит
которых являются случайными величинами. Таким образом, существует необходимость
генерации облака виртуальных астероидов с элементами орбиты, распределёнными по
определенному закону.
На рисунке 4.4 изображена структура модуля, созданного для генерации потенциально
опасных астероидов. В третьей части диссертационной работы подробно описан процесс
получения виртуальных астероидов и приведено обоснование выбора генератора «Вихрь
Мерсенна».
Формирование облака N виртуальных астероидов
Вихрь Мерсенна - получить равномерно
распределенные случайные величины
X  U (1;1)
Преобразование Бокса-Мюллера.
Преобразовать величины X в
многомерные стандартно распределенные
Y  N (0;1)
Учёт математических ожиданий
элементов и матрицы ковариаций.
Z=M+LY, где L – разложение
Холецкого для ковариационной
матрицы  Z  N ( M ,  ) .
Банк данных
виртуальных астероидов
Рисунок 4.4 – Схема генерации виртуальных астероидов
Основные функции, используемые в программном комплексе:
1. Double CalendarDateToMjd(DateTime dt) – функция для расчета Юлианского дня,
соответствующего календарной дате. Переменная dt типа DateTime содержит в себе
дату, для которой вычисляется юлианский день.
2. DateTime MjdToCalendarDate(Double mjd) – функция вычисляет календарную дату
по Юлианскому дню.
140
3. BigDecimal CalculateEccentricByMeanAnomaly ( BigDecimal MA, BigDecimal eps) –
функция для расчёта эксцентрической аномалии по значению средней аномалии MA
с точностью eps. Для получения значения применяется численное решение
уравнения Кеплера для случая эллиптической орбиты E   sin E  M [1].
4. Elements
CVToElements(CoordinatesVelocities
орбитальных элементов,
cv)
–
функция
находит
соответствующих набору компонент
набор
координат
и
скоростей небесного тела, который задаётся переменной cv.
5. CoordinatesVelocities ElementsToCV(Elements elem) – расчёт набора координат и
скоростей, соответствующего заданным элементам орбиты небесного тела.
6. RelativisticModel – класс, представляющий собой математическую модель движения
небесного тела, основанную на релятивистских эффектах.
7. NewPrincipalModel – класс, отражающий математическую модель движения,
основанную на гипотезые о взаимодействии движущегося материального тела с
окружающим пространством. Во второй главе диссертационной работы модель
подробно описана, где проведены сравнительные испытания с моделью с
релятивистскими эффектами.
8. Model.Force(CoordinatesVelocities cv, BigDecimal[] acc, double mjd) – расчёт правой
части дифференуиальных уравнений движения; cтруктуру и вид правой части
определяет выбор модели движения Model. Расчёт на дату mjd производится по
имеющимся координатам и скоростям cv, ускорениям acc.
9. EverhartIntegrator(Integer numOrder, double step, double startMjdDate, DateTime
endMjdDate, CoordinatesVelocities cv, Model model ) – функция для численного
интегрирования уравнений движения астероида методом Эверхарта. Переменная
numOrder задаёт порядок метода, step – шаг метода, если используется метод с
постоянным шагом, startMjdDate, endMjdDate – начальные и конечные Юлианские
даты, cv – объект, содержащий координаты и скорости исследуемого объекта, model
–используемая модель движения.
10. Elements generateVirtualAsteroidNormDist(String randomElements, Elements M, Matrix
Covariance) – функция создаёт объект Elements, представляющий собой набор
элементов орбиты виртуального астероида. Полученные элементы орбиты являются
случайными,
нормально
распределенными
величинами
с
математическим
ожиданием M и матрицей ковариаций Covariance.
11. Matrix calculateCholetskyL(Matrix C) – функция расчитывает нижнетреугольную
матрицу L, являющуюся разложением Холецкого для матрицы С. Алгоритм расчёта
приведён в третьей части диссертационной работы.
141
12. Matrix calculateCovarianceMatrixByData(Elements[] asteroids) – функция для расчёта
ковариационной матрицы элементов орбит по массиву случайных элементов
орбиты, представляющих виртуальные астероиды. Алгоритм расчёта приведён в
третьей части диссертационной работы.
13. BigDecimal[] getCorrNormalRndNum(RandomGenerator rnd, BigDecimal[] M, Matrix
Covariance) – создание массива зависимых нормально распределённых случайных
величин
14. double calculateMOID(Elements body1, Elements body2) – функция рассчитывает
минимальное расстояние между орбитами двух небесных тел на основе набора их
элементов орбит, содержащихся в переменных body1 и body2. Используется
алгоритм
быстрого
расчёта
MOID,
который
приведён
во
второй
части
диссертационной работы.
15. double MonteCarloExperiment(DateTime startDate, DateTime endDate, Element[]
virtualAsteroids) – функция реализует схемы успытаний метода Монте-Карло для
набора виртуальных астероидов. Интегрирование проходит от начальной даты
startDate до конечной даты endDate, количество экспериментов равно количеству
виртуальных астероидов в массиве virtualAsteroids. Каждый астероид представлен
набором орбитальных элементов.
16. Region[] findDangerousRegion(Elements nominalOrbit, Matrix Covariance, Integrator
EverhartIntegrator) – функция осуществляет поиск областей, содержащих наборы
элементов, для которых возможно столкновение астероида с Землёй. Возвращается
массив значений типа Region, которые содержат центры областей и их граничные
точки. Параметры: nominalOrbit – элементы номинальной, невозмущенной, орбиты;
Covariance – матрица ковариаций элементов орбиты.
17. Region findConfidenceRegion(Elements nominalOrbit, Matrix Covariance, double
confidenceLevel) – функция создаёт объект Region, характеризующий доверительный
эллипсоид,
построенный
для номинальной
орбиты
по
элементам
орбиты
nominalOrbit и их ковариационной матрице Covariance. Параметр confidenceLevel
отвечает за уровень доверия. Уровень доверия изменяется от 0 до 100%, таким
образом, что выбранное число характеризует вероятность, с которой оцениваемая
случайная величина находится в заданной области.
На рисунке 4.5. отражена структура программной реализации расчётов.
142
Банк данных
астероидов
1
2
N
Asteroid integrator
Asteroid integrator
Asteroid integrator
Controller
startDate
startDate
startDate
endDate
endDate
endDate
orbitalElements
orbitalElements
orbitalElements
Model
Model
Model
NumMethod
NumMethod
NumMethod
results.xml
results.xml
results.xml
Рисунок 4.5 – Схема реализации расчётов в программном комплексе
Модуль Controller координирует расчёты, выполняемый модулями AsteroidIntegrator.
Модуль
Integrator
выполняет
минимальный
базовый
функционал
осуществляет
–
интегрирование уравнений движения с заданными начальными данными от начальной до
конечной даты (startDate и endDate) с использованием заданной математической модели
движения (Model) и численного метода (NumMethod). Результаты расчётов записываются в
файл results.xml, который затем обрабатывается модулем Controller.
Модуль Controller создаёт модули AsteroidIntegrator и позволяет управлять их работой:
приостанавливать расчёты, принудительно завершать расчёты, предоставляет им начальные
данные и содержит информацию о статусе каждого из модулей AsteroidIntegrator. При задании
схемы работы, модуль Controller позволяет задействовать различные методы оценки
вероятности
столкновения,
использовать
модули
AsteroidIntegrator
с
различными
математическими моделями и реализациями численных методов. Таким образом, расчёты могут
вестись параллельно на нескольких рабочих станциях, соединённых в сеть, а результаты будут
обрабатываться единым модулем Controller. Реализация некоторых критически важных для
скорости расчётов компонент, таких как численный метод интегрирования уравнений
движения, метод оценки минимального расстояния между орбитами (параметр MOID) и
генерация случайных величин реализованы на языке С++. Комплекс приспособлен для ведения
распределённых вычислений.
Существует
несколько
аналогов
программного
комплекса,
диссертационной работе. Опишем наиболее знаимые из них ниже.
созданного
в
данной
143
Проект OrbFit (http://adams.dm.unipi.it/orbfit/OrbFit/doc/), созданный и поддерживаемый
международным объединением объединением учёных " OrbFit consortium" во главе с
итальянскими учёными Andrea Milani Comparetti и Giovanni F. Gronchi. OrbFit в связке с
проектом
по
уточнению
орбит
небесных
тел
по
наблюдениям
Find_Orb
(http://www.projectpluto.com/find_orb.htm) используются Европейским космическим агентством
в проектах по поиску и мониторингу астероидов AstDyS-2 (http://hamilton.dm.unipi.it/astdys/) и
потенциально
опасных
объектов,
сближающихся
с
Землёй
NEODyS-2
(http://newton.dm.unipi.it/neodys/).
Центр малых планет Международного астрономического союза, также предоставляет
информацию
касательно
потенциально
опасных
астероидов
и
оценках
вероятности
столкновения с Землёй (http://www.minorplanetcenter.net/iau/Dangerous.html).
Лаборатория реактивного движения NASA на сайте проекта Near Earth Object Program
регулярно обновляет информацию о наиболее опасных для Земли астероидах и оценках
вероятности их столкновения с Землёй (http://neo.jpl.nasa.gov/risk/).
К достоинствам программного комплекса, представленного в данной диссертационной
работе, относится кроссплатформерность и возможность проводить расчёты распределённо.
Комплекс реализует новую математическую модель для оценки вероятности столкновения,
которая позволяет получать за меньшее время более точные данные, чем классическая
реализация метода Монте-Карло при аналогичном количестве испытаний. Используется новая
математическая модель движения небесных тел, позволяющая упростить расчёты, не потеряв
точность вычислений. Показано, что математическая модель на основе гипотезы о
взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством даёт меньшие
погрешности при интегрировании уравнений движения астероидов с тесными сближениями с
Землёй. Реализован алгоритм быстрой оценки параметра MOID, характеризующего расстояние
между орбитами двух небесных тел.
Минимальные требования для работы комплекса: Тип процессора – Intel Core i7 и выше,
RAM – 4 Гб и выше, поддержка JVM (Java virtual machine) версии не ниже 1.7.
В качестве планов по дальнейшему развитию программного комплекса можно отнести
реализацию в виде web – приложения. Такая реализация позволила бы более эффективно
организовывать распределённые расчёты и уменьшить время на настройку программного
комплекса перед запуском расчётов.
Для программного комплекса получено свидетельство на электронный ресурс, отвечающий
требованиям новизны и приоритетности № 20710 от 26.12.2014. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО.
Копия свидетельства находится в приложении C.
144
Заключение
Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы:
1.
В ходе исследования методов численного интегрирования определен оптимальный
(с точки зрения соотношения скорости расчётов и точности) метод для расчёта
траектории движения астероидов в задаче оценки вероятности столкновения с
Землёй.
Предложен
алгоритм
автоматического
выбора
шага
для
модифицированного метода Эверхарта численного интегрирования уравнений
движения небесных тел, имеющих тесные сближения с большими планетами.
Использование модификации алгоритма выбора шага позволяет уменьшить время
расчёта траектории движения астероида, имеющего тесные сближения с планетами
в среднем в 2,4 раза по сравнению с применением метода с постоянным шагом.
В результате сравнительного анализа математических моделей движения небесных
тел для расчётов траекторий движения в задаче оценки вероятности столкновения
небесных тел с Землёй определено, что модель, основанная на гипотезе о
взаимодействии движущегося материального тела с окружающим пространством,
позволяет уменьшить врямя расчётов по сравнению с моделью с учётом
релятивистских эффектов в среднем в 3,2 раза, сохранив при этом высокую
точность расчётов.
2.
Предложен метод быстрой оценки минимального расстояния между орбитами
Земли и астероида (параметра MOID) для использования в массовых расчётах
эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона с целью поиска и
выявления потенциально опасных астероидов. В ходе сравнительных испытаний
установлено, что метод быстрой оценки параметра MOID в среднем в 3,3 раза
быстрее классического метода Gronchi G.F..
3.
Произведено исследование влияния точности начальных данных на эволюцию
орбиты астероидов, имеющих тесные сближения с Землёй. Погрешности в
начальных данных астероида, имеющего тесное сближение с Землёй, могут оказать
значительное влияние на его траекторию после сближения, вплоть до столкновения
с Землёй. Причина – в сильных возмущениях элементов орбиты, возникающих в
результате тесного сближения астероида с Землёй, вследствие чего математические
модели движения астероида предоставляют данные с большими погрешностями.
Предложен алгоритм определения элементов орбиты, влияющих на величину
сближения потенциально опасного астероида с Землёй. Выявление таких элементов
145
орбиты позволяет сократить размерность вектора случайных величин, отражающего
набор орбитальных элементов астероида.
4.
Предложены математические модели для оценки вероятности столкновения
небесных тел с Землёй: модифицированный метод Монте-Карло и метод на основе
определения
опасных
областей.
Установлено,
что
использование
модифицированного метода Монте-Карло позволяет достичь большей точности по
сравнению с классическим методом Монте-Карло. Не смотря на то, что метод на
основе определения опасных областей даёт весьма грубые результаты, он может
использоваться для предварительной оценки вероятности столкновения в силу
меньшего времени расчетов. Модифицированный метод Монте-Карло позволяет
сократить время расчётов в среднем в 1,79 раза по сравнению с классическим
методом Монте-Карло, а метод на основе определения опасных областей – в
среднем в 7,7 раза. Полученные оценки согласуются с данными Лаборатории
реактивного движения NASA.
5.
На основе предложенных математических моделей и численных методов создан
автоматизированный программный комплекс для отбора потенциально опасных для
Земли астероидов и оценки их вероятности столкновения с Землей. Результатом
работы программного комплекса является банк данных, содержащий информацию о
потенциально опасных для Земли астероидах и оценки вероятности столкновения
астероидов
с
Землёй.
Программный
комплекс
интегрирован
с
научно-
информационным сайтом SmallBodies.ru, на котором публикуются результаты
расчётов.
В результате работы программного комплекса формируется банк данных, содержащий
информацию о потенциально опасных для Земли астероидах и оценке вероятности
столкновения астероидов с Землёй. Структура программного комплекса позволяет проводить
распределённые вычисления. Программный комплекс позволяет проводить не только поиск
потенциально опасных для Земли астероидов и расчёты оценок вероятности столкновения, но и
исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона, которые затем
публиуются на научно-информационном сайте SmallBodies.ru. Модульная организация
позволяет вносить изменения в используемые численные методы и математические модели не
затрагивая остальной функционал. Программный комплекс является универсальным и
расширяемым. Программный комплекс интегрирован с научно-информационным сайтом
SmallBodies.ru, на котором публикуются результаты расчётов программного комплекса.
146
Список использованных источников и литературы
1.
Абалакин, В. К. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К.
Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин, Ю. А. Рябов. — М.: Наука,
1976. — 862 с.
2.
Авдюшев, В. А. Линейные отображения для быстрого численного оценивания
вероятности столкновения астероида с Землей / В. А. Авдюшев, Т. Ю. Галушина. // Изв.
Вузов. Физика, 2013. — Т. 56. № 6(3). — С. 182–184.
3.
Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. —
М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 636 с.
4.
Беляев, Н. А. Эволюция орбиты кометы Даниэля 1909IV за 400 лет (1660-2060 гг.)
/ Н. А. Беляев. // Бюлл.ИТА, 1966. — Т. 10. № 10. — С. 696–710.
5.
Бордовицына, Т. В. Алгоритмы численного моделирования движения малых тел
Солнечной системы / Т. В. Бордовицына. // Астрометрия, геодинамика и небесная
механика на пороге XXI века. СПб, 2000. — С. 208–211.
6.
Бордовицына, Т. В. Алгоритмы численного моделирования движения малых тел
Солнечной системы / Т. В. Бордовицына. // Труды ИПА РАН, 2001. — № 6. — С. 160–
169.
7.
Брауэр, Д. Методы небесной механики / Д. Брауэр, Д. Клеменс. — М.: Мир, 1964. —
516 с.
8.
Бронштэн, В. А. Метеоры, метеориты, метеороиды / В. А. Бронштэн. — М.: Наука,
1987. — 173 с.
9.
Брумберг, В. А. Методика определения релятивистских планетных возмущений в
теориях движения больших планет / В. А. Брумберг. // Труды. ИПА РАН, 1999. — №. 4.
— С. 199 – 224.
10. Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. / В. В. Быков.
— Изд-во «Советское радио», 1971. — 328 с.
11. Быков, О. П. Прямые методы определения орбит небесных тел: учебное пособие
/ О. П. Быков, К. В. Холшевников. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2013. — 151 с.
12. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник / Е. С. Вентцель. — 11-е изд. —
М.: КНОРУС, 2010. — 664с.
13. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. — М.: Высш. шк.,
2009. — 840 с.
147
14. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие
для вузов / В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2003. — 479 с.
15. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. — М.: Едиториал УРСС,
2005. — 448 с.
16. Деревянка,
А. Е.
«Автоматизированный
программный
комплекс
для
оценки
вероятности столкновения астероидов с Землей» / А. Е. Деревянка // Свидетельство на
электронный ресурс, отвечающий требованиям новизны и приоритетности № 20710 от
26.12.2014. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО.
17. Деревянка,
А. Е.
Быстрая
оценка
минимального
расстояния
между
двумя
конфокальными гелиоцентрическими орбитами / А. Е. Деревянка // Вестн. Сам. гос.
техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. — № 4(37). — С. 144–156.
18. Деревянка, А. Е. Быстрая оценка минимального расстояния между орбитами небесных
тел / А. Е. Деревянка. // Труды III международной научно-практической конференции
«Метеориты, астероиды, кометы» и школы молодых ученых "Чебаркуль 2015". —
Челябинск: TETA, 2015. — C. 46–50.
19. Деревянка, А. Е. Влияние погрешностей элементов орбит астероида Апофис на
величину его минимального сближения с Землей в 2029 г. / А. Е. Деревянка // Тезисы
докладов Международной молодежной научной конференции по естественнонаучным
и техническим дисциплинам. — Йошкар-Ола: МарГТУ, 2010. — С. 77–78.
20. Деревянка, А. Е. Выбор метода численного интегрирования уравнений движения
потенциально опасных астероидов / А. Е. Деревянка // Труды III Международной
научно-практической
конференции
«О
вопросах
и
проблемах
современных
математических и естественных наук». — Челябинск, 2015. — С. 20–23.
21. Деревянка, А. Е. Использование различных математических моделей для оценки
вероятности столкновения астероидов с Землей / А. Е. Деревянка // Труды девятой
Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое
моделирование и краевые задачи» Ч.3: Диф. уравнения и краевые задачи. — Самара:
СамГТУ, 2013. — С. 16–21.
22. Деревянка А. Е. Исследование оценки вероятности столкновения астероида «Апофис» с
Землей / А. Е. Деревянка // Труды международной научно-технической молодежной
конференции «Научному прогрессу - творчество молодых». — Йошкар-Ола: МарГТУ,
2011. — C. 5–6.
148
23. Деревянка,
А. Е.
Исследование
оценки
вероятности
столкновения
астероида
ATEN/2004 MN4 (Апофис) с Землей / А. Е. Деревянка // Труды восьмой Всероссийской
научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и
краевые задачи» Ч.3: Диф. уравнения и краевые задачи. — Самара: СамГТУ, 2011. —
С. 82–85.
24. Деревянка, А. Е. Математическое моделирование в задаче астероидной опасности:
оценка величины вероятности столкновения потенциально опасных астероидов с
Землёй. / А. Е. Деревянка // Известия Самарского научного центра РАН —
Самара, 2015. — Т. 17 — №6(2) — С. 410–412.
25.
Деревянка, А. Е. Математические модели в задаче оценки вероятности столкновения
астероидов с Землёй / А. Е. Деревянка // Труды II международной научно-практической
конференции «Метеориты, астероиды, кометы. Падения на Землю, исследования и
экологические последствия» — Челябинск: ТЕТА, 2014. — C. 21–26.
26.
Деревянка, А. Е. Математические модели для оценки вероятности столкновения
астероидов с Землей / А. Е. Деревянка // Труды международной конференции
«V Бредихинские чтения». — М: Янус-К; 2014. — C. 42.
27. Деревянка А. Е. Метод для быстрой оценки минимального расстояния между двумя
конфокальными гелиоцентрическими орбитами / А. Е. Деревянка
// Труды
международной конференции «Околоземная астрономия-2015». — Терскол. Изд.
КубГУ, 2015. — С. 8.
28. Деревянка, А. Е. Метод для быстрой оценки параметра MOID для двух конфокальных
гелиоцентрических орбит / А. Е. Деревянка // Труды международной научнопрактической конференции «Наука 2014: итоги, перспективы». — М: Грифон, 2015. —
С. 94–97.
29. Деревянка, А. Е. Метод Монте-Карло в задаче оценки вероятности столкновения
потенциально опасных небесных тел с Землей / А. Е. Деревянка // Труды
международной
научно-практической
конференции
«Перспективы
развития
современных математических и естественных наук». — Воронеж. 2014. — С. 23–25.
30. Деревянка, А.Е. Оценка вероятности столкновения астероида 2011 AG5 с Землей на
основе различных математических моделей / А. Е. Деревянка // Тезисы докладов
Международной научно-технической молодёжной конференции «Научному прогрессу
– творчество молодых». — Йошкар-Ола: Волгатех, 2013. — С. 7–8.
149
31. Деревянка,
А. Е.
Оценка вероятности
столкновения астероидов
с Землей
с
использованием различных математических моделей / А. Е. Деревянка // Труды
международной конференции «Околоземная астрономия-2013». — Терскол: КубГУ,
2013. — С. 7.
32. Деревянка, А. Е. Применение различных математических моделей для оценки
вероятности столкновения астероида 99942 Apophis с Землей / А. Е. Деревянка //
Сборник материалов Всероссийская научная Интернет-конференция с международным
участием «Современное понимание Солнечной системы и открытые вопросы». —
Казань, 2013. — С. 31–35.
33. Деревянка, А. Е. Применение различных математических моделей для оценки
вероятности столкновения астероидов 99942 Apophis и 2011 AG5 c Землeй
/ А. Е. Деревянка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат.науки. — 2013. — №
4(33). — С.115–121.
34. Деревянка, А.Е. Сравнение математических моделей для оценки вероятности
столкновения с Землей астероида Апофис / А. Е. Деревянка // Тезисы докладов
Международной научно-технической молодёжной конференции «Научному прогрессу
– творчество молодых». — Йошкар-Ола: МарГТУ, 2012. — С. 16–18.
35. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. / С. М. Ермаков. — М.: Наука,
1975. — 472 с.
36. Железнов,
Н. Б.
Влияние
корреляционных
связей
между
оцениваемыми
по
наблюдениям орбитальными параметрами астероида на результаты определения
вероятности его столкновения с планетой методом Монте-Карло / Н. Б. Железнов. //
Астрономический вестник, 2010. — Т. 44. — № 2. — С. 150–157.
37. Заусаев, А. Ф. Исследование движения планет, Луны и Солнца, основанное на новом
принципе взаимодействия / А. Ф. Заусаев. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат.
науки, 2014. — № 3 (36). — С. 118–131. doi: 10.14498/vsgtu1304.
38. Заусаев, А. Ф. Исследование эволюции астероида 2012 DA14 / А. Ф. Заусаев, С. С.
Денисов, А.Е. Деревянка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2012.
— №3(28). — С. 211–214.
39. Заусаев, А. Ф. Сравнительный анализ математических моделей для оценки вероятности
столкновения с Землей астероида Апофис / А. Ф. Заусаев, А. Е. Деревянка // Вестн.
Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2012. — №2(27) — С. 192–195.
150
40. Заусаев, А. Ф. Математическое моделирование орбитальной эволюции малых тел
Солнечной системы / А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев. — М.: Машиностроение, 2008. —
250 с.
41. Заусаев, А. Ф. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения задач
небесной механики / А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев. // Математическое моделирование.
М., 2008. — Т. 20. — № 11. — C. 109–114.
42. Заусаев, А. Ф. Применение метода Эверхарта 31 порядка для решения уравнений
движения больших планет / А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев, А. Г Ольхин. // ВАК-2004:
Горизонты Вселенной. Труды всероссийской астрономической конференции. М.: МГУ.
ГАИШ, 2004 — С. 209.
43. Заусаев, А. Ф. Применение метода Эверхарта 31 порядка для решения уравнений
движения различных небесных объектов / А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев, А. Г. Ольхин. //
Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004. — Т. 11. — № 3. — С. 636.
44. Заусаев, А.Ф. Применение метода Эверхарта высокого порядка к решению задач
небесной механики / А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев, А. Г. Ольхин. // Труды ГАИШ.
Астрономия–2005:
Состояние
и
перспективы
развития.
Тезисы
докладов
международного симпозиума. — М.: МГУ. ГАИШ, 2005. — Том LXXVIII. — С. 12.
45. Заусаев, А. Ф. Численное интегрирование уравнений движения больших планет
(Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений / А. Ф. Заусаев,
А. А. Заусаев, А. Г. Ольхин. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004.
— №26. — С. 43–47.
46. Заусаев, А. Ф. Численное интегрирование уравнений движения больших планет
(Меркурий-Нептун) и Луны методом Тейлора / А. Ф. Заусаев, А. С. Исуткин. // Вестн.
Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2000. — № 9. — С. 25–29.
47. Заусаев, Д. А. Использование банка данных координат больших планет для численного
интегрирования уравнений движения астероидов групп Аполлона и Атона /
Д. А. Заусаев // Труды седьмой всероссийской научной конференции с международным
участием «Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара: СамГТУ,
2010. — С. 77–82.
48. Заусаев, Д. А. Применение банка данных оскулирующих элементов больших планет к
исследованию эволюции астероидов, сближающихся с Землей за период с 1600-2200 /
Д. А. Заусаев // Труды 10-й Международной конференции «Актуальные проблемы
151
современной науки. Естественные науки. Части 1-3 Математика, математическое
моделирование, механика» — Самара: СамГТУ, 2010. — С. 90–95.
49. Зундман, К. Мемуар о задаче трех тел / К. Зундман // Acta Mathematica, 1912. — v. 36.
— P. 14–179.
50. Кнут, Д. Искусство программирования, Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. — 3-е
изд. — М.: «Вильямс», 2007. — 832 c.
51. Куликов,
Д. К.
Интегрирование уравнений
движения небесной
механики
на
электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с
автоматическим выбором шага / Д. К. Куликов // Бюлл. ИТА, 1960. — № 10. — С. 770–
797.
52. Ловелл, Б. Метеорная астрономия / Б. Ловелл, под ред. Б. Ю. Левина. — М.: Физматгиз,
1958. — 188 с.
53. Мысовских, И. П. Лекции по методам вычислений / И. П. Мысовских. — СПб.: СПбГУ,
1998. — 472 с.
54. Мячин, В.Ф. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным
методом Тейлора-Стеффенсона / В. Ф. Мячин, О. А. Сизова. // Бюлл. ИТА, 1970. — №
5. — С. 389–400.
55. Прохоров, Ю.В. Лекции по теории вероятностей и математической статистике /
Ю. В. Прохоров, Л. С. Пономаренко. — М.: Московский университет, 2012. — 256 с.
56. Смирнов, Е. А. Использование интервальной арифметики при прогнозировании орбит
малых тел / Е. А. Смирнов. // Труды международной конференции «Астрономия и
всемирное наследие через время и континенты», секция «Околоземная астрономия» —
Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. — С. 101–102.
57. Субботин, М. Ф. Введение в теоретическую астрономию / М. Ф. Субботин. —
М.: Наука, 1968. — 800 с.
58. Холл, Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений / Д. Холл, Д. Уатт.— М.: Мир, 1979. — 312 с.
59. Холшевников, К. В. Вероятность столкновения с объектом, движущимся по орбите
соударения с Землей / К. В. Холшевников. // Труды всесоюзного совещания (с
международным участием) «Астероидная опасность», СПб: Институт теоретической
астрономии РАН, 1991. — С. 27–29.
60. Чернин А. Д. Космичекий вакуум / А. Д. Чернин // Успехи физических наук. – М.: РАН,
2001. — Т. 171. — №11. — С. 1153–1175.
152
61. Шор, В. А. О влиянии эффекта Ярковского на орбиту Апофиса / В. А. Шор,
Ю. А. Чернетенко, О. М. Кочетова, Н. Б. Железнов. // Астрономический вестник, 2012.
— Т. 46. — № 2. — С. 131.
62. Штифель, Е. Линейная и регулярная небесная механика / Е. Штифель, Т. Шейфеле. —
М.: Наука, 1975. — 304 с.
63. Шустов, Б. М. Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра / Б. М. Шустов,
Л. В. Рыхлова. — М.: Физматлит, 2010. — 384 с.
64. Ярковский, И. О. Всемирное тяготение как следствие образования весомой материи
внутри небесных тел / И. О. Ярковский. — М.: Типо-лит. Т-ва И. Н. Кушнерев и К°,
1889. — 429 с.
65. Armellin, R. Computing the critical points of the distance function between two Keplerian
orbits via rigorous global optimization / R. Armellin, P. D. Lizia, M. Berz, K. Makino.
// Сelest. Mech. Dynam. Astron., 2010. — v. 107. — Pp. 377–395.
66. Atkinson, H. "Report of the Task Force on potentially hazardous Near Earth Objects" /
H. Atkinson, C. Tickell, D. Williams. — Information Unit British National Space Centre,
2000. — 57 p.
67. Baluyev, R.V. Distance between two arbitrary unperturbed orbits / R. V. Baluyev,
K. V. Kholshevnikov. // Сelest. Mech. Dynam. Astron., 2005. — v. 91. — Pp. 287–300.
68. Belorizky, D. Sur la solution du probleme des trois corps, donnee par M. Sundman /
D. Belorizky.// C. R. Acad. Sc, 1931. — v. 193. — Pp. 766–768.
69. Besse, I.M. A numerical method for calculating minimum distance to Near Earth Objects /
I. M. Besse, N. H. Rhee. // Applied Mathematics and Computation, 2014. — v. 237. —
Pp. 274–281.
70. Bowell, E. Hazards due to comets and asteroids / E. Bowell, K. Muinonen, T. Gehrels. —
Tucson: Univ. Arizona Press, 1994. — 149 p.
71. Bonanno, C. An analytical approximation for the MOID and its consequences / C. Bonanno. //
Astronomy and Astrophysics, 2000. — v. 360. — Pp. 411–416.
72. Bottke, W. F. Jr. The Yarkovsky and YORP Effects: Implications for Asteroid Dynamics /
W. F. Jr. Bottke, D. Vokrouhlicky, D. P. Rubincam, D. Nesvorny. // Annual Review of Earth
and Planetary Sciences, 2006. — v. 34(1). — Pp. 157–191.
73. Broucke, R. Solution of the N-body Problem with Recurrent Power Series / R. Broucke. //
Celest. Mech, 1971. — v. 44(1). — Pp. 110–115.
153
74. Burns, J. Radiation Forces on Small Particles in the Solar System / J. Burns, P. Lamy,
S. Soter. // Icarus, 1979. — v. 40. — Pp. 1 – 48.
75. Chalermpol, S. C. Multivariate Gaussian Random Number Generator Targeting Specific
Resource Utilization in an FPGA / S. C. Chalermpol, C-S. Bouganis, G. A. Constantinides. //
Proceedings of the 4th international workshop on Reconfigurable Computing: Architectures,
Tools and Applications (ARC '08). Springer-Verlag, Berlin. Heidelberg, 2008. — Pp. 233–
244.
76. Chesley, S.R. Direct Detection of the Yarkovsky Effect via Radar Ranging to Asteroid 6489
Golevka / S. R. Chesley, S. J. Ostro, D. Vokrouhlicky, D. Capek, J. D. Giorgini, M. C. Nolan,
J-L. Margot, A. A. Hine, L. A. M. Benner, A. B. Chamberlin. // Science, 2003. — v. 302. —
Pp. 1739–1742.
77. Cohen, C.J. An Algorithm Applicable to Numerical Integration of Orbits in Multirevolution
steps / C. J. Cohen, E. C. Hubbard. // Astron. J, 1960. — v. 65. — Pp. 454–456.
78. Dahlquist, G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinal differential
equations / G. Dahlquist. // Math. Scand, 1956. — v. 4. — Pp. 33–53.
79. Derevyanka, A. E. Mathematical models for the problem of estimating the impact probability
of near-earth objects. / A. E. Derevyanka // Труды VI Международной конференции по
астрономии «CAMMAC – 2014». — Украина. Винница:"Костюк Н.П.", 2014. — С. 54.
80. Everhart, E. Implicit single methods for integrating orbits / E. Everhart. // Celestial
mechanics, 1974. — №.10. — Рp.35-55.
81. Farnocchia, D. Yarkovsky-driven impact risk analysis for asteroid (99942) Apophis /
D. Farnocchia,
S. R. Chesley,
P. W. Chodas,
M. Micheli,
D. J. Tholen,
A. Milani,
G. T. Elliott, F. Bernardi. // Icarus, 2013. — v. 224(1). — Pp. 192–200.
82. Farnocchia, D. Near Earth Asteroids with measurable Yarkovsky effect / D. Farnocchia,
S. R. Chesley, D. Vokrouhlicky, A. Milani, F. Spoto, W. F. Bottke. // Icarus, 2013. —
v. 224(1). — Pp. 1–13.
83. Farnocchia, D. Yarkovsky–driven Impact predictions: Apophis and 1950 DA / D. Farnocchia,
S. R. Chesley, P. ЦЮ Chodas, A. Milani // AAS/Division foe Planetay Sciences Meetings
Abstracts, 2013. — v. 45. — Pp. 106–108.
84. Feiveson, A. H. The generation of a random sample-covariance matrix. / A. H. Feiveson. —
NASA technical note. — National Aeronautics and Space Administration. Washington, D.C,
1966. — 12 p.
154
85. Giorgini, J. D. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis / J. D. Giorgini, Lance
A. M. Benner, S. J. Ostro, M. C. Nolan, M. W. Busch // Icarus, 2008. — № 193. — Pp. 1 –
19.
86. Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-point Arithmetic
/ D. Goldberg. // ACM Comput. Surv. — New York, NY, USA 1991. — v. 23.— № 1. — Pp.
171–264.
87. Gronchi, G. F. An Algebraic Method to Compute the Critical Points of the Distance Function
Between Two Keplerian Orbits / G. F. Gronchi // Celestial Mechanics and Dynamical
Astronomy, — 2005. — v. 93. — Pp. 295–329.
88. Gronchi, G. F. Mutual geometry of confocal Keplerian orbits: uncertainty of the MOID and
search for virtual PHAs / G. F. Gronchi, G. Tommei, A. Milani. // Near Earth Objects, our
Celestial Neighbors: Opportunity and Risk Proceedings of the International Astronomical
Union. Symposium S236, 2006. — v. 2. — Pp. 3–14.
89. Gronchi, G. F. On the stationary points of the squared distance between two ellipses with a
common focus / G. F. Gronchi. // SIAM J. Sci. — Comput, 2002. — v. 24. — Pp. 61–80.
90. Haugh, M. The Monte Carlo Framework, Examples from Finance and Generating Correlated
Random Variables. / M. Haugh. — Course Notes, 2004. — 10 p.
91. Higham, N. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms / N. Higham. — 2nd ed. —
SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia. PA. USA, 2002. — 680
p.
92. Jewitt, D. The Solar System Beyond The Planets in Solar System Update : Topical and
Timely Reviews in Solar System Sciences / D. Jewitt, A. Delsanti. — Springer-Praxis
Ed, 2006. — 27 p.
93. Kaasalainen, M. Acceleration of the rotation of asteroid 1862 Apollo by radiation torques /
M. Kaasalainen, , J. W. Ďurech, D. Brian, Y. N. Krugly, N. M. Gaftonyuk. // Nature, 2007. —
v. 446. — Pp. 420–422.
94. Karlsson, B. Beyond the C++ Standard Library: An Introduction to Boost. / B. Karlsson. —
Addison Wesley Professional, 2005. — 432 p.
95. Kholshevnikov, K. V. On the distance function between two Keplerian elliptic orbits /
K. V. Kholshevnikov, N. N. Vassiliev. // Celest. Mech. and Dynam. Astron, 1999. — v. 75.
— Pp. 75–83.
96. Lapidus, L. Numerical solution of Ordinary Differential Equations / L. Lapidus,
J. H. Seinfeld. — New York: Academic Press, 1997. — 303 p.
155
97. Ledoit, O. A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices /
O. Ledoit, M. Wolf. // Journal of Multivariate Analysis, 2004. — v. 88(2) — Pp. 365–411.
98. Lorenz, R.D. The Yarkovsky effect as a heat engine / R. D. Lorenz, J. N. Spitale. //
Icarus, 2004. — v. 170. — Pp. 229–233.
99. MacDougall, M.H. Simulating Computer Systems / M. H. MacDougall. — Cambridge: M.I.T.
Press, 1987. — 292 p.
100. Marceta, D. The distributions of positions of Minimal Orbit Intersection Distances among
Near Earth Asteroids / D. Marceta, S. Segan // Advances in Space Research, 2012. — v. 50.
— Pp. 256–259.
101. Marsden, B. Catalogue of Сometary Orbits 1999 / B. Marsden, G. V. Williams. — 15th ed. —
Smithsonian Astrophys. Obs. — Cambridge: MA, 2003. — 169 p.
102. Matsumoto,
M.
Mersenne
twister:
A
623-dimensionally
equidistributed
uniform
pseudorandom number generator / M. Matsumoto, T. Nishimura. // ACM Transactions on
Modeling and Computer Simulation (TOMACS), 1998. — v. 8. — № 1. — Pp. 3–30.
103. Milani, A. The Asteroid Identification Problem: I. Recovery of Lost Asteroids / A. Milani //
Icarus, 1999. — v. 137. — №2. — Pp. 269–292.
104. Milani, A. Asteroid Close Approaches: Analysis and Potential Impact Detection / A. Milani,
S. R. Chesley, P. W. Chodas, G. B. Valsecchi. // Asteroids III (Eds. Bottke W., Cellino
A.,Paolicchi P., Binzel R.P.). — University of Arizona Press, 2002. — Pp. 55–69.
105. Milisavljevic, S. The proximities of asteroids and critical points of the distance function /
S. Milisavljevic. // Serbian Astronomical Journal, 2010. — v. 180. — Pp. 91–102.
106. Morbidellia, A. The Yarkovsky-driven origin of near-Earth asteroids / A. Morbidellia,
D. Vokrouhlicky // Icarus, 2003. — v. 163(1). — Pp. 120–134.
107. Mutsuo, S. Variants of Mersenne Twister Suitable for Graphic Processors / S. Mutsuo,
M. Makoto // ACM Trans. Math. Softw, 2013. —v. 39(2). — № 12. — Pp. 1–20.
108. Newhall, X. X. Numerical representation of planetary ephemeredes / X. X. Newhall.//
Cel. Mech, 1989. — № 45. — Pp. 305–310.
109. Newhall, X. X. DE102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning
forty-four centuries / X. X. Newhall, E. M. J. Standish, J. G. Williams // Astron. and
Astrophys, 1983. — № 125. — Pp. 150–167.
110. Nguyen, H. Fast N-Body Simulation with CUDA / H. Nguyen // Gpu Gems 3, chapter 31. —
Addison-Wesley Professional, 2007. — Pp. 677–695.
156
111. Nugent, C.R. 2012b. Detection of semimajor axis drifts in 54 Near-Earth Asteroids: New
measurements of the Yarkovsky effect / C. R. Nugent, J. L. Margot, S. R. Chesley,
D. Vokrouhlicky. // Astron. J. — v. 144. — Pp. 60–72.
112. Peterson, C. A source mechanism for meteorites controlled by the Yarkovsky effect /
C. Peterson. // Icarus, 1976. — v. 29. — Pp. 91–111.
113. Radzievskii, V.V. About the influence of the anisotropically reemited solar radiation on the
orbits of asteroids and meteoroids / V. V. Radzievskii // Astron. Zh, 1952. — №29 — Pp.
162–170.
114. Rickman, H. Monte Carlo methods to calculate impact probabilities / H. Rickman,
T. Wiśniowski, R. Wajer // Astronomy & Astrophysics, 2014 — v. 569. — Pp. 1–15.
115. Saito, M.. SIMD-Oriented Fast Mersenne Twister: a 128-bit Pseudorandom Number
Generator / M. Saito, M. Matsumoto. // Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods, 2006.
2008. — v. 2. — Pp. 607-622.
116. Segan, S. A combined method to compute the proximities of asteroids / S. Segan,
S. Milisavljevic, D. Marceta. // Acta Astron., 2011. — №61(3). — Pp.275–283.
117. Spitale, J. Numerical Evaluation of the General Yarkovsky Effect: Effects on Semimajor Axis
/ J. Spitale, R. Greenberg. // Icarus, 2001. — v. 149. — issue 1. — Pp. 222–234.
118. Spitale, J. Numerical evaluation of the general Yarkovsky effect: Effects on eccentricity,
inclination, and longitude of periapse / J. Spitale, R. Greenberg. // Icarus, 2002. — v. 156. —
Pp. 211–222.
119. Standish, E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 / E. M. Standish // Jet
Prop. Lab, 1998. — Technical Report. Interoffice Memorandum 312.F-048. — Pp. 1–7.
120. Standish, E. M. Orientation of the JPL Ephemerides, DE200/LE200, to the Dynamical
Eguinox of J2000 / E. M. Standish // Astron. Astrophys, 1992. — №114. — P.297–302.
121. Standish, E. M. Time scales in the jpl and sfa ephemeredes / E. M. Standish // Astron.
Astrophys, 1998. — № 336. — Pp. 381–384.
122. Taylor, P.A. Spin rate of asteroid (54509) 2000 PH5 increasing due to the YORP effect /
P. A. Taylor,
J. L. Margot,
D. Vokrouhlicky,
D. J. Scheeres,
P. Pravec,
S. C. Lowry,
A. Fitzsimmons, M. C. Nolan, S. J. Ostro, L. A. M. Benner, J. D. Giorgini. // Science, 2007.
— №316(5822). — Pp. 274–277.
123. Vasile, M. Optimal Impact Strategies for Asteroid Deflection / M. Vasile, C. Colombo. //
Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2008. — №31(4). — Pp. 858–872.
157
124. Vavilov, D. E. A fast method for estimation of the impact probability of near-Earth objects /
D. E. Vavilov, Yu. D. Medvedev. // MNRAS, 2015. — v. 446. — Pp. 705–709.
doi:10.1093/mnras/stu2097.
125. Vokrouhlicky, D. A complete linear model for the Yarkovsky thermal force on spherical
asteroid fragments / D. Vokrouhlicky // Astron. Astrophys, 1999. – №344. — Pp. 362–366
126. Wiźniowski, T. Fast Geometric Method for Calculating Accurate Minimum Orbit Intersection
Distances (MOIDs). / T. Wiźniowski, H. Rickman // Acta Astronomica, 2013. — v. 63 —
№2. — Pp. 293–307.
158
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблицы с результатами сравнения методов численного интегрирования уравнений
движения. Рассматривались метод Эверхарта с переменным шагом и с постоянным шагом
интегрирования. Ниже представлены таблицы с расчётами для астероидов, имеющих тесные
сближения с Землёй. , где  – это модуль разности значений элементов орбит, полученных с
использованием различных методов.
Таблица А.1 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10
с начальными данными от 27.07.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,002606742
i, град.
05.04.2027
320,6067895
1,458635924
0,562056358
268,3266254
314,3218262
39,93215702
14.07.2027
16,55444899
1,458628899
0,562048218
268,3269661
314,3215269
39,93202151
22.10.2027
73,38539224
1,448261687
0,560352682
267,8853535
314,3186519
40,00909298
30.01.2028
129,9360971
1,448237843
0,560378988
267,8848437
314,317347
40,00854336
05.04.2027
320,605593
1,458636312
Переменный шаг
0,562056436
268,3266263
314,3218262
39,93215702
14.07.2027
16,55323065
1,458629274
0,562048291
268,3269652
314,3215269
39,93202147
22.10.2027
73,38476442
1,448254954
0,560346652
267,8858383
314,3186489
40,00944565
30.01.2028
129,9358625
1,448231115
0,56037296
267,8853288
314,317344
40,00889603
05.04.2027
320,6056111
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,458636332
0,562056439
268,3266254
314,3218262
39,93215704
14.07.2027
16,55324702
1,458629313
0,562048302
268,3269662
314,321527
39,93202149
22.10.2027
73,39603576
1,448123842
0,560328152
267,8797229
314,3186453
40,01024747
30.01.2028
129,9548153
1,44810000
0,560354458
267,8792134
314,3173405
40,00969785
  , град.
 i, град.
0,000000E+00
0,000000E+00
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
05.04.2027
1,196500E-03
Каталог и переменный шаг
3,880000E-07
7,800000E-08
9,000000E-07
14.07.2027
1,218340E-03
3,750000E-07
7,300000E-08
9,000000E-07
0,000000E+00
4,000000E-08
22.10.2027
6,278200E-04
6,733000E-06
6,030000E-06
4,848000E-04
3,000000E-06
3,526700E-04
30.01.2028
2,346000E-04
6,728000E-06
6,028000E-06
4,851000E-04
3,000000E-06
3,526700E-04
05.04.2027
1,178412E-03
4,077200E-07
Каталог и постоянный шаг
8,144600E-08
7,999972E-09
1,699999E-08
2,120000E-08
14.07.2027
1,201971E-03
4,140800E-07
8,412000E-08
7,699998E-08
5,800001E-08
1,980000E-08
22.10.2027
1,064352E-02
1,378446E-04
2,452988E-05
5,630580E-03
6,600000E-06
1,154488E-03
30.01.2028
1,871822E-02
1,378431E-04
2,452987E-05
5,630336E-03
6,538000E-06
1,154494E-03
159
Таблица А.2 – Результаты интегрирования уравнений движения
астероида 1999 AN10
с начальными данными от 18.04.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,002740504
i, град.
05.04.2027
320,6067588
1,458635939
0,562056385
268,3266264
314,3218263
39,93215463
14.07.2027
16,55441745
1,458628913
0,562048246
268,3269671
314,3215271
39,93201912
22.10.2027
73,3856433
1,448258398
0,560352141
267,8852167
314,3186519
40,00911704
30.01.2028
129,9365408
1,448234554
0,560378447
267,884707
314,317347
40,00856741
05.04.2027
320,6080159
1,458635495
Переменный шаг
0,562056527
268,3266268
314,3218264
39,93215458
14.07.2027
16,55570039
1,458628461
0,562048385
268,326966
314,3215271
39,93201912
22.10.2027
73,36356811
1,448530452
0,560396172
267,8970505
314,3186627
40,00712243
30.01.2028
129,8985339
1,448506607
0,56042248
267,8965404
314,3173576
40,00657278
05.04.2027
320,6080324
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,458635515
0,562056531
268,3266258
314,3218264
39,9321546
14.07.2027
16,55571522
1,458628501
0,562048396
268,326967
314,3215271
39,93201913
22.10.2027
73,37426289
1,448405975
0,560378712
267,8912303
314,3186592
40,00787722
30.01.2028
129,916518
1,448382127
0,560405018
267,8907202
314,3173542
40,00732757
  , град.
 i, град.
1,000000E-07
5,000000E-08
Сравнение результатов
e

 , град.
Дата
 M, град.
 a, а.е.
05.04.2027
1,257100E-03
4,440000E-07
14.07.2027
1,282940E-03
4,520000E-07
1,390000E-07
1,100000E-06
0,000000E+00
0,000000E+00
22.10.2027
2,207519E-02
2,720540E-04
4,403100E-05
1,183380E-02
1,080000E-05
1,994610E-03
30.01.2028
3,800690E-02
2,720530E-04
4,403300E-05
1,183340E-02
1,060000E-05
1,994630E-03
05.04.2027
1,273596E-03
Каталог и постоянный шаг
4,237200E-07
1,455740E-07
5,850000E-07
1,450000E-07
2,650000E-08
14.07.2027
1,297769E-03
4,122300E-07
1,496950E-07
1,410000E-07
3,899999E-08
1,430000E-08
22.10.2027
1,138041E-02
1,475771E-04
2,657134E-05
6,013582E-03
7,327000E-06
1,239824E-03
30.01.2028
2,002283E-02
1,475733E-04
2,657099E-05
6,013160E-03
7,174000E-06
1,239841E-03
Каталог и переменный шаг
1,420000E-07
4,000000E-07
Таблица А.3 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5
с начальными данными от 27.07.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,001673488
i, град.
30.01.2028
278,4179705
1,712175215
0,46694594
44,87158618
277,2231265
1,917126381
09.05.2028
322,4042319
1,712043717
0,466958794
44,89111366
277,2136962
1,917225351
17.08.2028
6,235126082
1,683570667
0,459726821
46,36157841
276,6921647
2,395351531
25.11.2028
51,36551893
1,683372749
0,45968147
46,35917033
276,6874465
2,395442302
160
Продолжение таблицы А.3
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
277,2231223
1,917126438
30.01.2028
278,4180593
1,712175161
Переменный шаг
0,466945565
44,87159287
09.05.2028
322,404322
1,712043651
0,466958415
44,89112056
277,2136921
1,917225407
17.08.2028
6,229514533
1,683053746
0,459614017
46,38048232
276,6992967
2,38698585
25.11.2028
51,38069346
1,682856004
0,459568696
46,37807353
276,6945784
2,38707637
30.01.2028
278,4180659
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,712175179
0,466945565
44,87159207
277,2231215
1,91712641
09.05.2028
322,4043289
1,712043685
0,466958422
44,89111942
277,2136912
1,917225378
17.08.2028
6,234497043
1,68350412
0,459711962
46,36407752
276,693002
2,394251295
25.11.2028
51,36756516
1,68330622
0,459666612
46,36166957
276,6882838
2,394342033
Сравнение результатов
e
  , град.
  , град.
 i, град.
4,200000E-06
5,700000E-08
Дата
 M, град.
 a, а.е.
30.01.2028
8,880000E-05
Каталог и переменный шаг
5,400000E-08
3,750000E-07
6,690000E-06
09.05.2028
9,010000E-05
6,600000E-08
3,790000E-07
6,900000E-06
4,100000E-06
5,600000E-08
17.08.2028
5,611549E-03
5,169210E-04
1,128040E-04
1,890391E-02
7,132000E-03
8,365681E-03
25.11.2028
1,517453E-02
5,167450E-04
1,127740E-04
1,890320E-02
7,131900E-03
8,365932E-03
30.01.2028
9,544000E-05
Каталог и постоянный шаг
3,569000E-08
3,748580E-07
5,886700E-06
4,988000E-06
2,855000E-08
09.05.2028
9,702200E-05
3,195000E-08
3,723480E-07
5,761900E-06
4,962000E-06
2,725000E-08
17.08.2028
6,290394E-04
6,654695E-05
1,485935E-05
2,499106E-03
8,372530E-04
1,100236E-03
25.11.2028
2,046232E-03
6,652868E-05
1,485793E-05
2,499240E-03
8,372550E-04
1,100269E-03
Таблица А.4 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5
с начальными данными от 18.04.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,001680954
i, град.
30.01.2028
278,4179628
1,712175217
0,466945948
44,87158592
277,2231263
1,917127143
09.05.2028
322,4042241
1,712043719
0,466958803
44,89111341
277,213696
1,917226112
17.08.2028
6,235167326
1,683575142
0,459727801
46,36140951
276,6921081
2,395427792
25.11.2028
51,36538032
1,683377222
0,45968245
46,35900143
276,6873899
2,395518565
277,2231125
1,917127977
30.01.2028
278,4184445
1,71217506
Переменный шаг
0,466946055
44,87160858
09.05.2028
322,4047112
1,712043551
0,466958904
44,89113608
277,2136824
1,917226947
17.08.2028
6,228071668
1,682891487
0,459579846
46,38650852
276,7016487
2,383793883
25.11.2028
51,38577815
1,682693807
0,459534535
46,38409994
276,6969304
2,38388431
30.01.2028
278,4184523
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,712175079
0,466946054
44,87160775
277,2231117
1,917127952
09.05.2028
322,4047193
1,712043585
277,2136816
1,917226921
0,466958911
44,89113492
161
Продолжение таблицы А.4
Дата
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
17.08.2028
6,232939127
1,683328411
0,459674589
46,37069281
276,6953305
2,391065159
25.11.2028
51,37307134
1,683130576
0,45962925
46,36828497
276,6906124
2,391155804
Сравнение результатов
e
  , град.
  , град.
 i, град.
1,380000E-05
8,340000E-07
Дата
 M, град.
 a, а.е.
30.01.2028
4,817000E-04
Каталог и переменный шаг
1,570000E-07
1,070000E-07
2,266000E-05
09.05.2028
4,871000E-04
1,680000E-07
1,010000E-07
2,267000E-05
1,360000E-05
8,350000E-07
17.08.2028
7,095658E-03
6,836550E-04
1,479550E-04
2,509901E-02
9,540600E-03
1,163391E-02
25.11.2028
2,039783E-02
6,834150E-04
1,479150E-04
2,509851E-02
9,540500E-03
1,163426E-02
30.01.2028
4,895460E-04
1,383900E-07
Каталог и постоянный шаг
1,062690E-07
2,182850E-05
1,460000E-05
8,085900E-07
09.05.2028
4,951980E-04
1,340300E-07
1,077400E-07
2,151050E-05
1,442900E-05
8,088100E-07
17.08.2028
2,228199E-03
2,467311E-04
5,321178E-05
9,283298E-03
3,222398E-03
4,362633E-03
25.11.2028
7,691023E-03
2,466457E-04
5,319993E-05
9,283541E-03
3,222501E-03
4,362761E-03
Таблица А.5 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 FU4
с начальными данными от 27.07.2013
Дата сближения 25.10.2051
Расстояние, а.е.
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
Каталог
Астероид
2004 FU4
0,008193933
Дата
M, град.
09.05.2051
214,2078764
1,260319495
0,264009106
46,43059769
31,4492105
23,24212511
17.08.2051
283,8688731
1,260336156
0,26399466
46,43024406
31,44701418
23,24222644
25.11.2051
353,878791
1,265227316
0,266063733
45,90755082
31,43404289
23,21861994
04.03.2052
63,13137929
1,265224008
0,266051851
45,91584709
31,43041723
23,21853226
31,44921131
23,24212594
i, град.
09.05.2051
214,2055889
1,260319602
Переменный шаг
0,264008819
46,43060979
17.08.2051
283,8665748
1,260336261
0,263994367
46,43025713
31,44701496
23,24222725
25.11.2051
353,8728544
1,265181406
0,266046048
45,91333106
31,43407375
23,21877051
04.03.2052
63,12921292
1,265178103
0,266034178
45,92162521
31,43044748
23,21868262
09.05.2051
214,2056055
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,260319617
0,264008815
46,43060719
31,44921141
23,24212587
17.08.2051
283,8665926
1,260336281
0,263994369
46,43025319
31,44701505
23,24222718
25.11.2051
353,8741364
1,265198014
0,26605258
45,91134436
31,43406603
23,21871351
04.03.2052
63,12913065
1,265194704
0,2660407
45,91964109
31,43043978
23,21862564
Сравнение результатов
e
  , град.
  , град.
 i, град.
8,100000E-07
8,300000E-07
Дата
 M, град.
 a, а.е.
09.05.2051
2,287500E-03
Каталог и переменный шаг
1,070000E-07
2,870000E-07
1,210000E-05
17.08.2051
2,298300E-03
1,050000E-07
2,930000E-07
1,307000E-05
7,800000E-07
8,100000E-07
25.11.2051
5,936600E-03
4,591000E-05
1,768500E-05
5,780240E-03
3,086000E-05
1,505700E-04
04.03.2052
2,166370E-03
4,590500E-05
1,767300E-05
5,778120E-03
3,025000E-05
1,503600E-04
162
Продолжение таблицы А.5
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
  , град.
 i, град.
9,082000E-07
7,594000E-07
09.05.2051
2,270870E-03
Каталог и постоянный шаг
1,220700E-07
2,908710E-07
9,503300E-06
17.08.2051
2,280531E-03
1,250200E-07
2,910320E-07
9,127500E-06
8,673000E-07
7,411000E-07
25.11.2051
4,654620E-03
2,930205E-05
1,115262E-05
3,793537E-03
2,314440E-05
9,356700E-05
04.03.2052
2,248641E-03
2,930360E-05
1,115146E-05
3,793996E-03
2,254710E-05
9,337730E-05
Таблица А.6 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 FU4
с начальными данными от 18.04.2013
Дата сближения 25.10.2051
Расстояние, а.е.
Элементы орбиты
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
Каталог
Астероид
2004 FU4
0,008193933
Дата
M, град.
09.05.2051
214,2078616
1,260319495
0,264009105
46,43059776
31,44920995
23,24212515
17.08.2051
283,8688582
1,260336157
0,263994659
46,43024413
31,44701362
23,24222648
25.11.2051
353,8787601
1,265227118
0,266063658
45,90757648
31,43404248
23,21862061
04.03.2052
63,1313646
1,26522381
0,266051776
45,91587276
31,43041682
23,21853292
09.05.2051
214,2053925
1,260319608
Переменный шаг
0,264009322
46,43061113
31,44921076
23,24212604
17.08.2051
283,8663779
1,260336267
0,263994869
46,43025845
31,44701441
23,24222735
25.11.2051
353,8724179
1,265178284
0,266045327
45,91370806
31,43407554
23,21878264
04.03.2052
63,12903278
1,265174981
0,266033457
45,9220022
31,43044921
23,21869473
09.05.2051
214,2054131
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,260319623
0,264009318
46,43060859
31,44921085
23,24212597
17.08.2051
283,8663997
1,260336287
0,263994871
46,43025456
31,44701448
23,24222728
25.11.2051
353,8737064
1,265194924
0,266051871
45,91171739
31,43406777
23,21872551
04.03.2052
63,12895447
1,265191614
0,26603999
45,92001411
31,43044147
23,21863763
  , град.
 i, град.
8,100000E-07
8,900000E-07
i, град.
Дата
 M, град.
 a, а.е.
Сравнение результатов
  , град.
e
09.05.2051
2,469100E-03
1,130000E-07
Каталог и переменный шаг
2,170000E-07
1,337000E-05
17.08.2051
2,480300E-03
1,100000E-07
2,100000E-07
1,432000E-05
7,900000E-07
8,700000E-07
25.11.2051
6,342200E-03
4,883400E-05
1,833100E-05
6,131580E-03
3,306000E-05
1,620300E-04
04.03.2052
2,331820E-03
4,882900E-05
1,831900E-05
6,129440E-03
3,239000E-05
1,618100E-04
09.05.2051
2,448470E-03
Каталог и постоянный шаг
1,281900E-07
2,126510E-07
1,083220E-05
8,994000E-07
8,166000E-07
17.08.2051
2,458501E-03
1,303600E-07
2,124630E-07
1,043110E-05
8,628000E-07
7,958000E-07
25.11.2051
5,053655E-03
3,219405E-05
1,178697E-05
4,140913E-03
2,528830E-05
1,049011E-04
04.03.2052
2,410134E-03
3,219578E-05
1,178567E-05
4,141352E-03
2,464820E-05
1,047068E-04
163
Таблица А.7 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 27.07.2013
Астероид
99942 Apophis
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,0002567106
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Каталог
Дата
M, град.
13.09.2023
142,857028
0,92272186
0,19144109
126,603986
203,956674
3,339294
13.08.2025
201,537267
0,92236357
0,19116953
126,678451
203,899952
3,340996
05.04.2027
149,134616
0,92232227
0,19115526
126,686725
203,890648
3,341124
05.03.2029
207,973518
0,92233151
0,19121525
126,698252
203,863074
3,342034
14.05.2031
236,123767
1,10136951
0,18854861
71,818774
203,550217
2,238292
13.04.2033
113,056345
1,10127046
0,18855588
71,827526
203,539909
2,238433
22.06.2035
75,238323
1,1014137
0,1885352
71,88048
203,514155
2,238717
22.05.2037
312,166712
1,10130631
0,18861107
71,896841
203,499188
2,238878
203,9566748
3,339293849
13.09.2023
142,8570105
0,922721857
Переменный шаг
0,191441202
126,6039848
13.08.2025
201,5372431
0,922363568
0,191169636
126,6784519
203,8999516
3,340996268
05.04.2027
149,1345906
0,922322266
0,191155367
126,6867239
203,8906482
3,341124187
05.03.2029
207,973486
0,922331502
0,19121536
126,698255
203,8630739
3,342034209
14.05.2031
240,9426008
1,094003572
0,186599051
73,6611043
203,5429975
2,204646072
13.04.2033
123,9134131
1,093916889
0,186607048
73,66676923
203,5332423
2,204792669
22.06.2035
92,98386748
1,094038023
0,186575318
73,69709066
203,515792
2,205271502
22.05.2037
336,1643144
1,095081079
0,187078782
73,45636068
203,4576379
2,203741855
13.09.2023
142,8570318
Постоянный шаг 0.03125 сут.
0,922721862 0,191441191
126,603987
203,9566738
3,339293938
13.08.2025
201,5372711
0,922363574
0,191169627
126,6784515
203,8999511
3,340996344
05.04.2027
149,1346201
0,922322272
0,191155357
126,6867255
203,8906477
3,341124263
05.03.2029
207,9735235
0,92233151
0,191215348
126,6982529
203,8630735
3,342034265
14.05.2031
236,1367441
1,101349555
0,188543061
71,8236481
203,550222
2,238375498
13.04.2033
113,0855473
1,101250522
0,188550316
71,83238838
203,5399154
2,238516697
22.06.2035
75,28602796
1,101393202
0,188529053
71,8854789
203,5140902
2,2388015
22.05.2037
312,2309629
1,101286619
0,188605313
71,90168258
203,4991385
2,238962169
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
  , град.
 i, град.
13.09.2023
1,75E-05
Каталог и переменный шаг
3E-09
1,12E-07
1,2E-06
13.08.2025
2,39E-05
2E-09
1,06E-07
9E-07
4E-07
2,68E-07
05.04.2027
2,54E-05
4E-09
1,07E-07
1,1E-06
2E-07
1,87E-07
05.03.2029
3,2E-05
8E-09
1,1E-07
3E-06
1E-07
2,09E-07
14.05.2031
4,8188338
0,007365938
0,001949559
1,8423303
0,0072195
0,033645928
13.04.2033
10,8570681
0,007353571
0,001948832
1,83924323
0,0066667
0,033640331
22.06.2035
17,74554448
0,007375677
0,001959882
1,81661066
0,001637
0,033445498
22.05.2037
23,9976024
0,006225231
0,001532288
1,55951968
0,0415501
0,035136145
8E-07
1,51E-07
164
Продолжение таблицы А.7
 M, град.
 a, а.е.
Дата
e

 , град.
  , град.
 i, град.
13.09.2023
3,814E-06
Каталог и постоянный шаг
2,378E-09
1,01338E-07
1,01E-06
1,72E-07
6,164E-08
13.08.2025
4,055E-06
4,09E-09
9,6538E-08
5,31E-07
9,28E-07
3,442E-07
05.04.2027
4,145E-06
2,309E-09
9,7386E-08
5,11E-07
3,04E-07
2,6335E-07
05.03.2029
5,495E-06
1,88E-10
9,763E-08
8,59E-07
5,21E-07
2,6466E-07
14.05.2031
0,012977052
1,99551E-05
5,54871E-06
0,0048741
4,98E-06
8,34979E-05
13.04.2033
0,029202274
1,99376E-05
5,56431E-06
0,004862383
6,353E-06
8,36971E-05
22.06.2035
0,047704956
2,04977E-05
6,14713E-06
0,004998898
6,4816E-05
8,45E-05
22.05.2037
0,064250941
1,96913E-05
5,75746E-06
0,004841581
4,9538E-05
8,41685E-05
Таблица А.8 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид
99942 Apophis
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,0003171512
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Каталог
Дата
M, град.
13.09.2023
142,856978
0,92272186
0,19144113
126,604044
203,956621
3,339287
13.08.2025
201,537219
0,92236357
0,19116957
126,678509
203,899898
3,340989
05.04.2027
149,134571
0,92232227
0,1911553
126,686783
203,890595
3,341117
05.03.2029
207,973478
0,92233151
0,19121529
126,69831
203,86302
3,342027
14.05.2031
236,359957
1,10100763
0,18844236
71,905751
203,5503
2,241125
13.04.2033
113,586935
1,10090891
0,1884495
71,914302
203,54003
2,241267
22.06.2035
76,104872
1,1010417
0,18841801
71,969265
203,513127
2,241571
22.05.2037
313,333822
1,10094863
0,18850072
71,982876
203,4984
2,241726
13.09.2023
142,85361
0,922722263
Переменный шаг
0,191441465
126,604011
203,9566578
3,339284069
13.08.2025
201,5334606
0,922363813
0,191169771
126,6785624
203,8998763
3,340988446
05.04.2027
149,130549
0,922322501
0,191155498
126,6868339
203,8905728
3,341116369
05.03.2029
207,9691963
0,922331665
0,191215533
126,6983532
203,8629948
3,342026778
14.05.2031
260,2713903
1,065543271
0,179315207
81,44464002
203,5311235
2,515376735
13.04.2033
167,51251
1,065473029
0,179241625
81,5069673
203,5012472
2,51571964
22.06.2035
164,4599741
1,065430083
0,179257096
81,51615123
203,4915621
2,516075594
22.05.2037
71,80918574
1,065476419
0,179316127
81,51219219
203,4848865
2,516096685
13.09.2023
142,8536414
Постоянный шаг 0.03125 сут.
0,922722268 0,191441454
126,6040135
203,9566568
3,339284177
13.08.2025
201,5334998
0,922363819
0,191169761
126,6785621
203,8998759
3,340988535
05.04.2027
149,1305905
0,922322507
0,191155489
126,6868355
203,8905724
3,341116457
05.03.2029
207,9692465
0,922331673
0,191215521
126,698351
203,8629945
3,342026844
14.05.2031
257,0812714
1,070091672
0,18016424
79,91984545
203,5556326
2,547300424
13.04.2033
160,3135394
1,070100163
0,180198918
79,98200404
203,5291299
2,547314296
22.06.2035
152,6111615
1,070077264
0,180199794
79,98962233
203,5197712
2,547690812
22.05.2037
55,8785999
1,070104666
0,180249644
79,9876698
203,5134588
2,547656993
165
Продолжение таблицы А.8
Сравнение результатов
e

 , град.
 M, град.
 a, а.е.
13.09.2023
0,003368
Каталог и переменный шаг
4,03E-07
3,35E-07
3,3E-05
3,68E-05
2,931E-06
13.08.2025
0,0037584
2,43E-07
2,01E-07
5,34E-05
2,17E-05
5,54E-07
05.04.2027
0,004022
2,31E-07
1,98E-07
5,09E-05
2,22E-05
6,31E-07
05.03.2029
0,0042817
1,55E-07
2,43E-07
4,32E-05
2,52E-05
2,22E-07
14.05.2031
23,9114333
0,035464359
0,009127153
9,53888902
0,0191765
0,274251735
13.04.2033
53,925575
0,035435881
0,009207875
9,5926653
0,0387828
0,27445264
22.06.2035
88,3551021
0,035611617
0,009160914
9,54688623
0,0215649
0,274504594
22.05.2037
118,4753637
0,035472211
0,009184593
9,52931619
0,0135135
0,274370685
13.09.2023
0,003336577
Каталог и постоянный шаг
4,07548E-07 3,24333E-07
3,0522E-05
3,5816E-05
2,82264E-06
13.08.2025
0,00371917
2,48815E-07
1,91431E-07
5,3084E-05
2,2145E-05
4,6543E-07
05.04.2027
0,003980545
2,366E-07
1,8852E-07
5,2509E-05
2,2629E-05
5,4257E-07
05.03.2029
0,004231517
1,63453E-07
2,3092E-07
4,1049E-05
2,5486E-05
1,5587E-07
14.05.2031
20,72131441
0,030915958
0,00827812
8,014094451
0,005332554
0,306175424
13.04.2033
46,72660436
0,030808747
0,008250582
8,06770204
0,010900135
0,306047296
22.06.2035
76,50628953
0,030964436
0,008218216
8,020357327
0,00664421
0,306119812
22.05.2037
102,5447779
0,030843964
0,008251076
8,004793799
0,015058819
0,305930993
Дата
  , град.
 i, град.
Таблица А.9 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2007 YV56
с начальными данными от 14.05.2008
Расстояние, а.е.
Астероид 2007 YV56 Дата сближения 02.01.2101
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,007623912
i, град.
05.04.2027
316,1530162
1,575866985
0,622377285
267,3473044
101,0767566
6,254279083
14.07.2027
5,975395634
1,575846924
0,622383119
267,3497286
101,0762923
6,254358973
22.10.2027
55,71627845
1,577282355
0,622547066
267,4016105
101,0739277
6,253373735
30.01.2028
105,4772986
1,577261863
0,622518416
267,4018314
101,07341
6,253332796
05.04.2027
316,1544624
1,575866264
Переменный шаг
0,622377085
267,3473159
101,0767833
6,254270658
14.07.2027
5,976876256
1,575846188
0,622382912
267,3497387
101,0763191
6,254350541
22.10.2027
55,71754733
1,577285829
0,62254727
267,4017874
101,0739516
6,253364298
30.01.2028
105,478402
1,577265347
0,622518621
267,4020088
101,0734338
6,253323354
05.04.2027
316,1530421
Постоянный шаг 0,25 сут.
1,575866979
0,622377259
267,3473084
101,0767563
6,254278958
14.07.2027
5,975421789
1,575846938
0,622383099
267,3497327
101,0762921
6,254358848
22.10.2027
55,71630242
1,577282396
0,622547044
267,4016165
101,0739275
6,253373598
30.01.2028
105,477321
1,577261901
0,622518394
267,4018374
101,0734098
6,253332659
166
Продолжение таблицы А.9
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.

e
 , град.
Каталог и переменный шаг
2,00E-07
1,15E-05
  , град.
 i, град.
2,67E-05
8,42E-06
05.04.2027
1,45E-03
7,21E-07
14.07.2027
1,48E-03
7,36E-07
2,07E-07
1,01E-05
2,68E-05
8,43E-06
22.10.2027
1,27E-03
3,47E-06
2,04E-07
1,77E-04
2,39E-05
9,44E-06
30.01.2028
1,10E-03
3,48E-06
2,05E-07
1,77E-04
2,38E-05
9,44E-06
05.04.2027
2,59E-05
5,65E-09
Каталог и постоянный шаг
2,59E-08
4,03E-06
2,59E-07
1,25E-07
14.07.2027
2,62E-05
1,42E-08
2,00E-08
4,15E-06
1,82E-07
1,25E-07
22.10.2027
2,40E-05
4,06E-08
2,16E-08
6,03E-06
2,12E-07
1,37E-07
30.01.2028
2,24E-05
3,82E-08
2,20E-08
5,96E-06
2,14E-07
1,37E-07
Ниже представлены таблицы с расчётами для астероидов, не имеющих тесных сближений с
Землёй в ближайшие 200 лет, где  – это модуль разности значений элементов орбит,
полученных с использованием различных методов.
Таблица А.10 – Результаты интегрирования уравнений движения
начальными данными от 27.07.2013
астероида 2000 GX127 с
Астероид 2000 GX127
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
22,87288872
1,142446294
0,36227121
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
5,790158417
43,24570387
20,18280239
14,9107483
1,142960536
Переменный шаг
0,362407322
5,845063988
43,2469345
20,18022287
14,92631473
Постоянный шаг 1 сут.
1,142959607 0,362406216
5,844322626
43,24691152
20,18026138
 , град.
  , град.
 i, град.
7,96214042
Каталог и переменный шаг
0,000514242 0,000136112
0,054905571
0,00123063
0,00257952
7,946573994
Каталог и постоянный шаг
0,000513313 0,000135006
0,054164209
0,001207652
0,002541014
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
 a, а.е.
e

167
Таблица А.11 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 GX127
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид 2000 GX127
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
22,84609037
1,142447376
0,362272662
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
5,790346349
43,24570399
20,18274733
30,86840743
1,142103069
Переменный шаг
0,361852743
5,782719645
43,24423804
20,18953103
30,94583287
Постоянный шаг 1 сут.
1,142099184 0,361849145
5,782888047
43,24422005
20,1895478
 , град.
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e

Дата
 M, град.
08.01.2200
8,02231706
Каталог и переменный шаг
0,000344307 0,000419919
0,007626704
0,00146595
0,0067837
08.01.2200
8,099742499
Каталог и постоянный шаг
0,000348192 0,000423517
0,007458302
0,001483938
0,006800468
Таблица А.12 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2003 UY12
с начальными данными от 27.07.2013
Астероид 2003 UY12
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
221,1928806
0,700974567
0,596118386
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
201,5609192
21,84337112
16,54111701
221,1746105
0,700975228
Переменный шаг
0,596117004
201,5610716
21,84334952
16,54126327
221,0486051
Постоянный шаг 1 сут.
0,700981553 0,596122176
201,5620177
21,84354322
16,53942393
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
e

 , град.
 M, град.
 a, а.е.
0,0182701
Каталог и переменный шаг
6,61E-07
1,382E-06
0,0001524
2,16E-05
0,00014626
0,144275481
Каталог и постоянный шаг
6,98606E-06 3,79023E-06
0,001098547
0,000172101
0,001693082
168
Таблица А.13 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2003 UY12
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид 2003 UY12
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
220,8394088
0,700992467
0,596127153
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
201,5638002
21,84372555
16,53712856
220,9318603
0,700987298
Переменный шаг
0,59612341
201,5630013
21,84361528
16,53847105
220,8321532
Постоянный шаг 1 сут.
0,700992874 0,596126835
201,5638679
21,84373004
16,53705113
  , град.
 i, град.
Каталог и переменный шаг
3,743E-06
0,0007989
0,00011027
0,00134249
Каталог и постоянный шаг
4,07004E-07 3,17626E-07
6,7726E-05
4,4907E-06
7,74331E-05
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
08.01.2200
0,0924515
5,169E-06
08.01.2200
0,007255611
e

 , град.
Таблица А.14 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 XM14
с начальными данными от 06.03.2006
Астероид 2004 XM14
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
179,1147682
1,154624472
0,700101112
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
187,0098995
89,08033874
42,29470756
179,114644
1,15462447
Переменный шаг
0,700100888
187,009883
89,08033993
42,29468818
179,1149401
Постоянный шаг 1 сут.
1,154624471 0,700100885
187,0098831
89,08033995
42,29468819
  , град.
 i, град.
1,19E-06
1,938E-05
1,2078E-06
1,93695E-05
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
0,0001242
0,00017192
 a, а.е.
2E-09
e

 , град.
Каталог и переменный шаг
2,24E-07
1,65E-05
Каталог и постоянный шаг
1,37E-09
2,27371E-07
1,6432E-05
169
Таблица А.15 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 XM14
с начальными данными от 14.05.2008
Астероид 2004 XM14
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
179,1009716
1,154624724
0,700101574
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
187,0098208
89,08033709
42,29471911
179,1046318
1,154624653
Переменный шаг
0,700101332
187,0098046
89,08033852
42,29470018
179,1049446
Постоянный шаг 1 сут.
1,154624653 0,700101329
187,0098047
89,08033854
42,29470022
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
e

 , град.
Дата
 M, град.
 a, а.е.
08.01.2200
0,0036602
7,1E-08
Каталог и переменный шаг
2,42E-07
1,62E-05
1,43E-06
1,893E-05
08.01.2200
0,003972979
7,073E-08
Каталог и постоянный шаг
2,44831E-07
1,6116E-05
1,4531E-06
1,88897E-05
Таблица А.16 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD
с начальными данными от 06.03.2006
Астероид
2005 DD
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
225,2928171
1,933411488
0,567550068
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
257,1675397
153,2548479
7,257930899
225,2914559
1,933410476
Переменный шаг
0,567549815
257,1674711
153,254869
7,257975151
225,2928091
Постоянный шаг 1 сут.
1,933411489 0,567550055
257,1675484
153,2548474
7,25793079
  , град.
 i, град.
0,0013612
Каталог и переменный шаг
1,012E-06
2,53E-07
6,86E-05
2,11E-05
4,4252E-05
8,031E-06
Каталог и постоянный шаг
1,34E-09
1,3025E-08
8,698E-06
4,52E-07
1,0856E-07
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
170
Таблица А.17 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2006 UQ17
с начальными данными от 22.08.2008
Астероид 2006 UQ17
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
153,2877441
1,619127802
0,37932722
08.01.2200
08.01.2200
 , град.
i, град.
12,69970439
81,11712913
1,722476891
153,1931253
1,61908649
Переменный шаг
0,379306931
12,71960486
81,0971217
1,723049131
153,2876385
Постоянный шаг 1 сут.
1,619127758 0,379327234
12,69974217
81,11710936
1,722477368
 , град.
  , град.
 i, град.
0,0946188
Каталог и переменный шаг
4,1312E-05
2,0289E-05
0,01990047
0,02000743
0,00057224
0,000105598
Каталог и постоянный шаг
4,443E-08
1,3574E-08
3,77803E-05
1,97683E-05
4,7681E-07
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
 a, а.е.
e

171
ПРИЛОЖЕНИЕ B
Таблицы с результатами сравнения математических моделей движения небесных тел.
Рассматривались модель с учётом релятивистских эффектов и модель (1.6) на основе гипотезы
о
взаимодействии
движущегося
материального
тела
с
окружающим
пространством.
В представленных таблицах  – это модуль разности значений элементов орбит, полученных с
использованием различных математических моделей движения.
Таблица B.1 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10
с начальными данными от 27.07.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
Каталог
0,002606742
i, град.
05.04.2027
320,6067895
1,458635924
0,562056358
268,3266254
314,3218262
39,93215702
14.07.2027
16,55444899
1,458628899
0,562048218
268,3269661
314,3215269
39,93202151
22.10.2027
73,38539224
1,448261687
0,560352682
267,8853535
314,3186519
40,00909298
30.01.2028
129,9360971
1,448237843
0,560378988
267,8848437
314,317347
40,00854336
05.04.2027
320,6056111
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.25 сут.
1,458636332
0,562056439
268,3266254
314,3218262
39,93215704
14.07.2027
16,55324702
1,458629313
0,562048302
268,3269662
314,321527
39,93202149
22.10.2027
73,39603576
1,448123842
0,560328152
267,8797229
314,3186453
40,01024747
30.01.2028
129,9548153
1,4481
0,560354458
267,8792134
314,3173405
40,00969785
314,3218262
39,93215701
05.04.2027
320,6056818
Модель (1.6). Шаг 0.25 сут.
1,458636339
0,562056441
268,3265587
14.07.2027
16,5533166
1,45862943
0,56204833
268,3268968
314,321527
39,93202146
22.10.2027
73,39572963
1,448128268
0,560328641
267,8798786
314,3186455
40,01022763
30.01.2028
129,9542499
1,448104421
0,560354952
267,8793688
314,3173406
40,00967801
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
05.04.2027
1,178412E-03
Каталог и модель с релят. эффектами
4,077200E-07
8,144600E-08
7,999972E-09
1,699999E-08
2,120000E-08
14.07.2027
1,201971E-03
4,140800E-07
8,412000E-08
7,699998E-08
5,800001E-08
1,980000E-08
22.10.2027
1,064352E-02
1,378446E-04
2,452988E-05
5,630580E-03
6,600000E-06
1,154488E-03
30.01.2028
1,871822E-02
1,378431E-04
2,452987E-05
5,630336E-03
6,538000E-06
1,154494E-03
Каталог и модель (1.6)
8,304200E-08
6,669300E-05
7,999972E-09
8,199997E-09
05.04.2027
1,107651E-03
4,146100E-07
14.07.2027
1,132388E-03
5,311400E-07
1,116410E-07
6,935000E-05
6,499999E-08
4,720000E-08
22.10.2027
1,033739E-02
1,334190E-04
2,404094E-05
5,474918E-03
6,446000E-06
1,134648E-03
30.01.2028
1,815280E-02
1,334217E-04
2,403609E-05
5,474942E-03
6,386000E-06
1,134654E-03
172
Таблица B.2 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 1999 AN10
с начальными данными от 18.04.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 1999 AN10 Дата сближения 07.08.2027
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
0,002740504
i, град.
05.04.2027
320,6067588
1,458635939
Каталог
0,562056385
268,3266264
314,3218263
39,93215463
14.07.2027
16,55441745
1,458628913
0,562048246
268,3269671
314,3215271
39,93201912
22.10.2027
73,3856433
1,448258398
0,560352141
267,8852167
314,3186519
40,00911704
30.01.2028
129,9365408
1,448234554
0,560378447
267,884707
314,317347
40,00856741
05.04.2027
320,6080324
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.25 сут.
1,458635515
0,562056531
268,3266258
314,3218264
39,9321546
14.07.2027
16,55571522
1,458628501
0,562048396
268,326967
314,3215271
39,93201913
22.10.2027
73,37426289
1,448405975
0,560378712
267,8912303
314,3186592
40,00787722
30.01.2028
129,916518
1,448382127
0,560405018
267,8907202
314,3173542
40,00732757
05.04.2027
320,6085476
1,458635373
Модель (1.6). Шаг 0.25 сут.
0,562056495
268,3265564
314,3218265
39,93215456
14.07.2027
16,55623786
1,458628469
0,562048386
268,3268949
314,3215272
39,93201911
22.10.2027
73,37017895
1,448459661
0,560387924
267,8934002
314,3186618
40,00744698
30.01.2028
129,9092906
1,448435808
0,560414235
267,8928897
314,3173567
40,00689733
  , град.
 i, град.
1,450000E-07
2,650000E-08
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
05.04.2027
1,273596E-03
Каталог и модель с релят. эффектами
4,237200E-07
1,455740E-07
5,850000E-07
14.07.2027
1,297769E-03
4,122300E-07
1,496950E-07
1,410000E-07
3,899999E-08
1,430000E-08
22.10.2027
1,138041E-02
1,475771E-04
2,657134E-05
6,013582E-03
7,327000E-06
1,239824E-03
30.01.2028
2,002283E-02
1,475733E-04
2,657099E-05
6,013160E-03
7,174000E-06
1,239841E-03
05.04.2027
1,788831E-03
5,662400E-07
Каталог и модель (1.6)
1,096740E-07
7,001600E-05
1,880000E-07
6,560000E-08
14.07.2027
1,820407E-03
4,438700E-07
1,401560E-07
7,222900E-05
6,499999E-08
7,700002E-09
22.10.2027
1,546435E-02
2,012629E-04
3,578334E-05
8,183492E-03
9,936000E-06
1,670057E-03
30.01.2028
2,725024E-02
2,012539E-04
3,578777E-05
8,182703E-03
9,742000E-06
1,670082E-03
Таблица B.3 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5
с начальными данными от 27.07.2013
Расстояние, а.е.
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
Дата
0,001673488
i, град.
30.01.2028
278,4179705
1,712175215
Каталог
0,46694594
44,87158618
277,2231265
1,917126381
09.05.2028
322,4042319
1,712043717
0,466958794
44,89111366
277,2136962
1,917225351
17.08.2028
6,235126082
1,683570667
0,459726821
46,36157841
276,6921647
2,395351531
25.11.2028
51,36551893
1,683372749
0,45968147
46,35917033
276,6874465
2,395442302
173
Продолжение таблицы B.3
M, град.
a, а.е.
Дата
e
 , град.
 , град.
i, град.
30.01.2028
278,4180659
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.25 сут.
1,712175179
0,466945565
44,87159207
277,2231215
1,91712641
09.05.2028
322,4043289
1,712043685
0,466958422
44,89111942
277,2136912
1,917225378
17.08.2028
6,234497043
1,68350412
0,459711962
46,36407752
276,693002
2,394251295
25.11.2028
51,36756516
1,68330622
0,459666612
46,36166957
276,6882838
2,394342033
30.01.2028
278,4180568
Модель (1.6). Шаг 0.25 сут.
1,71217517
0,466945561
44,87154698
277,223123
1,917126333
09.05.2028
322,4043213
1,712043704
0,466958415
44,89107245
277,2136927
1,917225302
17.08.2028
6,23465208
1,683519145
0,459715228
46,36347077
276,6928142
2,394495654
25.11.2028
51,36712219
1,683321135
0,459669853
46,36105953
276,688096
2,394586399
Дата
 M, град.
 a, а.е.
Сравнение результатов
e
  , град.
  , град.
 i, град.
30.01.2028
9,544000E-05
Каталог и модель с релят. эффектами
3,569000E-08
3,748580E-07
5,886700E-06
4,988000E-06
2,855000E-08
09.05.2028
9,702200E-05
3,195000E-08
3,723480E-07
5,761900E-06
4,962000E-06
2,725000E-08
17.08.2028
6,290394E-04
6,654695E-05
1,485935E-05
2,499106E-03
8,372530E-04
1,100236E-03
25.11.2028
2,046232E-03
6,652868E-05
1,485793E-05
2,499240E-03
8,372550E-04
1,100269E-03
Каталог и модель (1.6)
3,792660E-07
3,920130E-05
3,539000E-06
4,775000E-08
30.01.2028
8,633400E-05
4,484000E-08
09.05.2028
8,943700E-05
1,256000E-08
3,787770E-07
4,121260E-05
3,533000E-06
4,914000E-08
17.08.2028
4,740021E-04
5,152161E-05
1,159253E-05
1,892361E-03
6,495030E-04
8,558774E-04
25.11.2028
1,603259E-03
5,161416E-05
1,161734E-05
1,889196E-03
6,494920E-04
8,559033E-04
Таблица B.4 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2001 WN5
с начальными данными от 18.04.2013
Расстояние, а.е.
0,001680954
Астероид 2001 WN5 Дата сближения 26.06.2028
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Дата
30.01.2028
278,4179628
1,712175217
Каталог
0,466945948
44,87158592
277,2231263
1,917127143
09.05.2028
322,4042241
1,712043719
0,466958803
44,89111341
277,213696
1,917226112
17.08.2028
6,235167326
1,683575142
0,459727801
46,36140951
276,6921081
2,395427792
25.11.2028
51,36538032
1,683377222
0,45968245
46,35900143
276,6873899
2,395518565
30.01.2028
278,4184523
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.25 сут.
1,712175079
0,466946054
44,87160775
277,2231117
1,917127952
09.05.2028
322,4047193
1,712043585
0,466958911
44,89113492
277,2136816
1,917226921
17.08.2028
6,232939127
1,683328411
0,459674589
46,37069281
276,6953305
2,391065159
25.11.2028
51,37307134
1,683130576
0,45962925
46,36828497
276,6906124
2,391155804
30.01.2028
278,4184557
1,712175066
Модель (1.6). Шаг 0.25 сут.
0,466946056
44,87156257
277,2231128
1,917127897
09.05.2028
322,4047243
1,712043601
0,46695891
44,89108785
277,2136827
1,917226866
17.08.2028
6,233038026
1,683337147
0,459676497
46,37032438
276,6952202
2,391203569
25.11.2028
51,37282497
1,683139204
0,459631132
46,36791325
276,6905021
2,391294218
174
Продолжение таблицы B.4
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
30.01.2028
4,895460E-04
09.05.2028
 a, а.е.
e

 , град.
  , град.
 i, град.
Каталог и модель с релят. эффектами
1,383900E-07
1,062690E-07
2,182850E-05
1,460000E-05
8,085900E-07
4,951980E-04
1,340300E-07
1,077400E-07
2,151050E-05
1,442900E-05
8,088100E-07
17.08.2028
2,228199E-03
2,467311E-04
5,321178E-05
9,283298E-03
3,222398E-03
4,362633E-03
25.11.2028
7,691023E-03
2,466457E-04
5,319993E-05
9,283541E-03
3,222501E-03
4,362761E-03
Каталог и модель (1.6)
1,076700E-07
2,335060E-05
1,345400E-05
7,539600E-07
30.01.2028
4,928640E-04
1,511700E-07
09.05.2028
5,001790E-04
1,182500E-07
1,071180E-07
2,556100E-05
1,329700E-05
7,541200E-07
17.08.2028
2,129300E-03
2,379953E-04
5,130430E-05
8,914875E-03
3,112086E-03
4,224223E-03
25.11.2028
7,444648E-03
2,380184E-04
5,131833E-05
8,911820E-03
3,112182E-03
4,224347E-03
Таблица B.5 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 FU4
с начальными данными от 27.07.2013
Расстояние, а.е.
0,008193933
Астероид 2004 FU4 Дата сближения 25.10.2051
Элементы орбиты
 , град.
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
Дата
09.05.2051
214,2078764
1,260319495
Каталог
0,264009106
46,43059769
31,4492105
23,24212511
17.08.2051
283,8688731
1,260336156
0,26399466
46,43024406
31,44701418
23,24222644
25.11.2051
353,878791
1,265227316
0,266063733
45,90755082
31,43404289
23,21861994
04.03.2052
63,13137929
1,265224008
0,266051851
45,91584709
31,43041723
23,21853226
09.05.2051
214,2056055
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.5 сут.
1,260319617
0,264008815
46,43060719
31,44921141
23,24212587
17.08.2051
283,8665926
1,260336281
0,263994369
46,43025319
31,44701505
23,24222718
25.11.2051
353,8741364
1,265198014
0,26605258
45,91134436
31,43406603
23,21871351
04.03.2052
63,12913065
1,265194704
0,2660407
45,91964109
31,43043978
23,21862564
09.05.2051
214,2059517
Модель (1.6). Шаг 0.5 сут.
1,260319599
0,264008822
46,43038949
31,44921141
23,24212579
17.08.2051
283,8669411
1,260336273
0,26399437
46,43003405
31,44701505
23,24222711
25.11.2051
353,8747009
1,265200566
0,266053472
45,91077429
31,43406406
23,21870738
04.03.2052
63,12948952
1,265197221
0,266041574
45,91906912
31,43043786
23,21861953
Сравнение результатов
  , град.
e
  , град.
 i, град.
9,082000E-07
7,594000E-07
Дата
 M, град.
 a, а.е.
09.05.2051
2,270870E-03
Каталог и модель с релят. эффектами
1,220700E-07
2,908710E-07
9,503300E-06
17.08.2051
2,280531E-03
1,250200E-07
2,910320E-07
9,127500E-06
8,673000E-07
7,411000E-07
25.11.2051
4,654620E-03
2,930205E-05
1,115262E-05
3,793537E-03
2,314440E-05
9,356700E-05
04.03.2052
2,248641E-03
2,930360E-05
1,115146E-05
3,793996E-03
2,254710E-05
9,337730E-05
Каталог и модель (1.6)
2,842110E-07
2,081974E-04
9,118000E-07
6,845000E-07
09.05.2051
1,924676E-03
1,040300E-07
175
Продолжение таблицы B.5

 , град.
17.08.2051
 M, град.
1,931983E-03
 a, а.е.
1,172600E-07
e
2,901150E-07
2,100139E-04
  , град.
8,725000E-07
 i, град.
6,670000E-07
25.11.2051
4,090113E-03
2,675007E-05
1,026080E-05
3,223470E-03
2,116860E-05
8,744000E-05
04.03.2052
1,889771E-03
2,678727E-05
1,027670E-05
3,222032E-03
2,062660E-05
8,726780E-05
Дата
Таблица B.6 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 18.04.2013
астероида 2004 FU4
Дата сближения 25.10.2051
Расстояние, а.е.
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
Астероид
2004 FU4
Дата
M, град.
09.05.2051
214,2078616
1,260319495
Каталог
0,264009105
46,43059776
31,44920995
23,24212515
17.08.2051
283,8688582
1,260336157
0,263994659
46,43024413
31,44701362
23,24222648
25.11.2051
353,8787601
1,265227118
0,266063658
45,90757648
31,43404248
23,21862061
04.03.2052
63,1313646
1,26522381
0,266051776
45,91587276
31,43041682
23,21853292
09.05.2051
214,2054131
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.5 сут.
1,260319623
0,264009318
46,43060859
31,44921085
23,24212597
17.08.2051
283,8663997
1,260336287
0,263994871
46,43025456
31,44701448
23,24222728
25.11.2051
353,8737064
1,265194924
0,266051871
45,91171739
31,43406777
23,21872551
04.03.2052
63,12895447
1,265191614
0,26603999
45,92001411
31,43044147
23,21863763
09.05.2051
214,2055204
1,260319618
Модель (1.6). Шаг 0.5 сут.
0,26400932
46,43038808
31,44921093
23,24212597
17.08.2051
283,8665083
1,260336293
0,263994868
46,43003258
31,44701456
23,24222728
25.11.2051
353,8737778
1,265194338
0,26605159
45,91154758
31,43406825
23,21872958
04.03.2052
63,12907783
1,265190992
0,266039692
45,91984245
31,43044195
23,21864169
Сравнение результатов
  , град.
e
  , град.
 i, град.
8,994000E-07
8,166000E-07
Дата
 M, град.
 a, а.е.
0,008193933
i, град.
09.05.2051
2,448470E-03
Каталог и модель с релят. эффектами
1,281900E-07
2,126510E-07
1,083220E-05
17.08.2051
2,458501E-03
1,303600E-07
2,124630E-07
1,043110E-05
8,628000E-07
7,958000E-07
25.11.2051
5,053655E-03
3,219405E-05
1,178697E-05
4,140913E-03
2,528830E-05
1,049011E-04
04.03.2052
2,410134E-03
3,219578E-05
1,178567E-05
4,141352E-03
2,464820E-05
1,047068E-04
09.05.2051
2,341180E-03
1,231800E-07
Каталог и модель (1.6)
2,154160E-07
2,096770E-04
9,810000E-07
8,192000E-07
17.08.2051
2,349896E-03
1,358300E-07
2,094630E-07
2,115479E-04
9,414000E-07
7,968000E-07
25.11.2051
4,982335E-03
3,278031E-05
1,206786E-05
3,971100E-03
2,577310E-05
1,089689E-04
04.03.2052
2,286765E-03
3,281782E-05
1,208352E-05
3,969685E-03
2,512550E-05
1,087728E-04
176
Таблица B.7 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis с
начальными данными от 27.07.2013
Астероид
Дата
99942 Apophis
M, град.
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,0002567106
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
13.09.2023
142,857028
0,92272186
Каталог
0,19144109
126,603986
203,956674
3,339294
13.08.2025
201,537267
0,92236357
0,19116953
126,678451
203,899952
3,340996
05.04.2027
149,134616
0,92232227
0,19115526
126,686725
203,890648
3,341124
05.03.2029
207,973518
0,92233151
0,19121525
126,698252
203,863074
3,342034
14.05.2031
236,123767
1,10136951
0,18854861
71,818774
203,550217
2,238292
13.04.2033
113,056345
1,10127046
0,18855588
71,827526
203,539909
2,238433
22.06.2035
75,238323
1,10141370
0,1885352
71,880480
203,514155
2,238717
22.05.2037
312,166712
1,10130631
0,18861107
71,896841
203,499188
2,238878
13.09.2023
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.03125 сут.
142,8570318 0,922721862 0,191441191
126,603987
203,9566738
3,339293938
13.08.2025
201,5372711
0,922363574
0,191169627
126,6784515
203,8999511
3,340996344
05.04.2027
149,1346201
0,922322272
0,191155357
126,6867255
203,8906477
3,341124263
05.03.2029
207,9735235
0,92233151
0,191215348
126,6982529
203,8630735
3,342034265
14.05.2031
236,1367441
1,101349555
0,188543061
71,8236481
203,550222
2,238375498
13.04.2033
113,0855473
1,101250522
0,188550316
71,83238838
203,5399154
2,238516697
22.06.2035
75,28602796
1,101393202
0,188529053
71,8854789
203,5140902
2,2388015
22.05.2037
312,2309629
1,101286619
0,188605313
71,90168258
203,4991385
2,238962169
13.09.2023
142,8574026
Модель (1.6). Шаг 0.03125 сут.
0,92272183
0,19144116
126,6038782
203,9566708
3,339294132
13.08.2025
201,5376936
0,922363554
0,191169607
126,6783145
203,8999531
3,340996367
05.04.2027
149,1350809
0,922322254
0,191155337
126,6865697
203,8906497
3,341124286
05.03.2029
207,9740252
0,922331497
0,191215325
126,6980769
203,8630757
3,342034263
14.05.2031
234,2993326
1,104169074
0,189394207
71,15489116
203,5487176
2,211588714
13.04.2033
108,9621561
1,104068338
0,189402923
71,16536309
203,5380601
2,211723998
22.06.2035
68,56668978
1,104246886
0,189419686
71,18890034
203,52283
2,212023172
22.05.2037
303,2325339
1,103979114
0,189428845
71,23997684
203,502352
2,212298694
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
  , град.
Каталог и модель с релят. эффектами
2,378E-09
1,01338E-07
1,01E-06
1,72E-07
 i, град.
13.09.2023
3,814E-06
6,164E-08
13.08.2025
4,055E-06
4,09E-09
9,6538E-08
5,31E-07
9,28E-07
3,442E-07
05.04.2027
4,145E-06
2,309E-09
9,7386E-08
5,11E-07
3,04E-07
2,6335E-07
05.03.2029
5,495E-06
1,88E-10
9,763E-08
8,59E-07
5,21E-07
2,6466E-07
14.05.2031
0,012977052
1,99551E-05
5,54871E-06
0,0048741
4,98E-06
8,34979E-05
13.04.2033
0,029202274
1,99376E-05
5,56431E-06
0,004862383
6,353E-06
8,36971E-05
22.06.2035
0,047704956
2,04977E-05
6,14713E-06
0,004998898
6,4816E-05
8,45E-05
22.05.2037
0,064250941
1,96913E-05
5,75746E-06
0,004841581
4,9538E-05
8,41685E-05
177
Продолжение таблицы B.7
Дата
 M, град.
 a, а.е.
e

 , град.
  , град.
 i, град.
3,174E-06
1,32E-07
13.09.2023
0,000374579
Каталог и модель (1.6)
3,0475E-08
6,9619E-08
0,000107772
13.08.2025
0,000426618
1,5612E-08
7,6587E-08
0,00013654
1,106E-06
3,6698E-07
05.04.2027
0,000464883
1,6068E-08
7,744E-08
0,00015527
1,74E-06
2,8558E-07
05.03.2029
0,000507171
1,3473E-08
7,5196E-08
0,000175051
1,679E-06
2,631E-07
14.05.2031
1,824434392
0,002799564
0,000845597
0,663882842
0,001499354
0,026703286
13.04.2033
4,094188941
0,002797878
0,000847043
0,662162912
0,001848937
0,026709002
22.06.2035
6,671633218
0,002833186
0,000884486
0,69157966
0,008674979
0,026693828
22.05.2037
8,934178122
0,002672804
0,000817775
0,656864161
0,003164036
0,026579306
Таблица B.8 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид
Дата
99942 Apophis
M, град.
Дата сближения 13.04.2029
Расстояние, а.е. 0,0003171512
Элементы орбиты
 , град.
a, а.е.
e
 , град.
i, град.
13.09.2023
142,856978
0,92272186
Каталог
0,19144113
13.08.2025
201,537219
0,92236357
0,19116957
126,678509
203,899898
3,340989
05.04.2027
149,134571
0,92232227
0,1911553
126,686783
203,890595
3,341117
05.03.2029
207,973478
0,92233151
0,19121529
126,69831
203,86302
3,342027
14.05.2031
236,359957
1,10100763
0,18844236
71,905751
203,5503
2,241125
13.04.2033
113,586935
1,10090891
0,1884495
71,914302
203,54003
2,241267
22.06.2035
76,104872
1,1010417
0,18841801
71,969265
203,513127
2,241571
22.05.2037
313,333822
1,10094863
0,18850072
71,982876
203,4984
2,241726
13.09.2023
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.03125 сут.
142,8536414 0,922722268 0,191441454
126,6040135
203,9566568
3,339284177
13.08.2025
201,5334998
0,922363819
0,191169761
126,6785621
203,8998759
3,340988535
05.04.2027
149,1305905
0,922322507
0,191155489
126,6868355
203,8905724
3,341116457
05.03.2029
207,9692465
0,922331673
0,191215521
126,698351
203,8629945
3,342026844
14.05.2031
257,0812714
1,070091672
0,18016424
79,91984545
203,5556326
2,547300424
13.04.2033
160,3135394
1,070100163
0,180198918
79,98200404
203,5291299
2,547314296
22.06.2035
152,6111615
1,070077264
0,180199794
79,98962233
203,5197712
2,547690812
22.05.2037
55,8785999
1,070104666
0,180249644
79,9876698
203,5134588
2,547656993
13.09.2023
142,8537725
Модель (1.6). Шаг 0.03125 сут.
0,922722265 0,191441455
126,6038977
203,9566562
3,339284203
13.08.2025
201,5336534
0,922363818
0,191169764
126,678424
203,8998761
3,340988529
05.04.2027
149,130762
0,922322507
0,191155491
126,6866787
203,8905726
3,341116451
05.03.2029
207,9694393
0,922331673
0,191215524
126,6981733
203,8629946
3,342026843
14.05.2031
257,1034546
1,070060449
0,180149943
79,92743095
203,555722
2,54946044
13.04.2033
160,3629917
1,07006843
0,180183963
79,98981051
203,5291194
2,549474998
22.06.2035
152,6923331
1,070045406
0,180184965
79,99741665
203,5197623
2,549851436
22.05.2037
55,98762274
1,070072899
0,180234801
79,99542453
203,5134475
2,549817785
126,604044
203,956621
3,339287
178
Продолжение таблицы B.8
Сравнение результатов
 a, а.е.
e

 , град.
Дата
 M, град.
  , град.
 i, град.
13.09.2023
0,003336577
Каталог и модель с релят. эффектами
4,07548E-07 3,24333E-07
3,0522E-05
3,5816E-05
2,82264E-06
13.08.2025
0,00371917
2,48815E-07
1,91431E-07
5,3084E-05
2,2145E-05
4,6543E-07
05.04.2027
0,003980545
2,366E-07
1,8852E-07
5,2509E-05
2,2629E-05
5,4257E-07
05.03.2029
0,004231517
1,63453E-07
2,3092E-07
4,1049E-05
2,5486E-05
1,5587E-07
14.05.2031
20,72131441
0,030915958
0,00827812
8,014094451
0,005332554
0,306175424
13.04.2033
46,72660436
0,030808747
0,008250582
8,06770204
0,010900135
0,306047296
22.06.2035
76,50628953
0,030964436
0,008218216
8,020357327
0,00664421
0,306119812
22.05.2037
102,5447779
0,030843964
0,008251076
8,004793799
0,015058819
0,305930993
13.09.2023
0,003205475
Каталог и модель (1.6)
4,05364E-07 3,24739E-07
0,000146316
3,5196E-05
2,79731E-06
13.08.2025
0,003565578
2,48229E-07
1,94413E-07
8,4952E-05
2,1915E-05
4,712E-07
05.04.2027
0,003809011
2,36583E-07
1,91238E-07
0,000104276
2,2397E-05
5,4864E-07
05.03.2029
0,00403868
1,62942E-07
2,34247E-07
0,000136722
2,537E-05
1,5726E-07
14.05.2031
20,74349759
0,030947181
0,008292417
8,021679946
0,005422002
0,30833544
13.04.2033
46,77605672
0,03084048
0,008265537
8,07550851
0,010910648
0,308207998
22.06.2035
76,58746109
0,030996294
0,008233045
8,028151649
0,006635262
0,308280436
22.05.2037
102,6538007
0,030875731
0,008265919
8,01254853
0,015047545
0,308091785
Таблица B.9 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2007 YV56
с начальными данными от 14.05.2008
Расстояние, а.е.
Астероид 2007 YV56 Дата сближения 02.01.2101
Элементы орбиты
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
Дата
0,007623912
i, град.
05.04.2027
316,1530162
1,575866985
Каталог
0,622377285
267,3473044
101,0767566
6,254279083
14.07.2027
5,975395634
1,575846924
0,622383119
267,3497286
101,0762923
6,254358973
22.10.2027
55,71627845
1,577282355
0,622547066
267,4016105
101,0739277
6,253373735
30.01.2028
105,4772986
1,577261863
0,622518416
267,4018314
101,07341
6,253332796
20.08.2100
316,1530421
28.11.2100
5,975421789
1,575846938
0,622383099
267,3497327
101,0762921
6,254358848
08.03.2101
55,71630242
1,577282396
0,622547044
267,4016165
101,0739275
6,253373598
16.06.2101
105,477321
1,577261901
0,622518394
267,4018374
101,0734098
6,253332659
20.08.2100
316,1529922
Модель (1.6). Шаг 0.125 сут.
1,575867072
0,622377256
267,3468813
101,0767525
6,254278859
28.11.2100
5,975366479
1,575847346
0,622383162
267,3493027
101,0762883
6,25435875
08.03.2101
55,71627182
1,577282039
0,622546991
267,4011653
101,0739241
6,253373958
16.06.2101
105,4773078
1,577261535
0,622518345
267,4013855
101,0734064
6,253333022
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 0.125 сут.
1,575866979
0,622377259
267,3473084
101,0767563
6,254278958
179
Продолжение таблицы B.9
 M, град.
 a, а.е.
20.08.2100
Сравнение результатов
e
  , град.
  , град.
 i, град.
2,59E-05
Каталог и модель с релят. эффектами
5,65E-09
2,59E-08
4,03E-06
2,59E-07
1,25E-07
28.11.2100
2,62E-05
1,42E-08
2,00E-08
4,15E-06
1,82E-07
1,25E-07
08.03.2101
2,40E-05
4,06E-08
2,16E-08
6,03E-06
2,12E-07
1,37E-07
16.06.2101
2,24E-05
3,82E-08
2,20E-08
5,96E-06
2,14E-07
1,37E-07
20.08.2100
2,40E-05
8,67E-08
Каталог и модель (1.6)
2,85E-08
4,23E-04
4,08E-06
2,24E-07
28.11.2100
2,92E-05
4,22E-07
4,27E-08
4,26E-04
4,01E-06
2,23E-07
08.03.2101
6,63E-06
3,16E-07
7,53E-08
4,45E-04
3,64E-06
2,23E-07
16.06.2101
9,17E-06
3,28E-07
7,05E-08
4,46E-04
3,60E-06
2,26E-07
Дата
Ниже представлены таблицы с расчётами для астероидов, не имеющих тесных сближений с
Землёй в ближайшие 200 лет. В представленных таблицах  – это модуль разности значений
элементов орбит, полученных с использованием различных математических моделей движения.
Таблица B.10 – Результаты интегрирования уравнений движения
с начальными данными от 27.07.2013
астероида 2000 GX127
Астероид 2000 GX127
Дата
M, град.
a, а.е.
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
0,36227121
5,790158417
 , град.
i, град.
08.01.2200
22,87288872
1,142446294
43,24570387
20,18280239
08.01.2200
14,92631473
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,142959607 0,362406216
5,844322626
43,24691152
20,18026138
08.01.2200
14,89508033
1,142961666
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,362408583
5,844539401
43,24696255
20,18017983
 , град.
  , град.
 i, град.
7,946573994
Каталог и модель с релят. эффектами
0,000513313 0,000135006
0,054164209
0,001207652
0,002541014
7,977808394
Каталог и модель (1.6)
0,000515372 0,000137373
0,054380984
0,001258676
0,002622565
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
 a, а.е.
e

180
Таблица B.11 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 GX127
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид 2000 GX127
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
22,84609037
1,142447376
08.01.2200
08.01.2200
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
43,24570399
20,18274733
30,94583287
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,142099184 0,361849145
5,782888047
43,24422005
20,1895478
31,83383326
1,142053366
Каталог
0,362272662
5,790346349
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,361810591
5,783747084
43,24402424
20,18962321
 , град.
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e

Дата
 M, град.
08.01.2200
8,099742499
Каталог и модель с релят. эффектами
0,000348192 0,000423517
0,007458302
0,001483938
0,006800468
08.01.2200
8,98774289
0,00039401
Каталог и модель (1.6)
0,000462071
0,006599265
0,001679746
0,006875884
Таблица B.12 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2003 UY12
с начальными данными от 27.07.2013
Астероид 2003 UY12
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
221,1928806
0,700974567
08.01.2200
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
21,84337112
16,54111701
221,0486051
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
0,700981553 0,596122176
201,5620177
21,84354322
16,53942393
08.01.2200
220,7150946
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,700999726 0,596128833
201,5629629
21,84378549
16,53576553
Дата
 M, град.
 , град.
  , град.
 i, град.
08.01.2200
0,144275481
Каталог и модель с релят. эффектами
6,98606E-06 3,79023E-06
0,001098547
0,000172101
0,001693082
08.01.2200
0,477785965
2,51585E-05
Каталог и модель (1.6)
1,0447E-05
0,002043693
0,000414374
0,005351482
Каталог
0,596118386
201,5609192
Сравнение результатов
 a, а.е.
e

181
Таблица B.13 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2003 UY12
с начальными данными от 18.04.2013
Астероид 2003 UY12
Дата
08.01.2200
08.01.2200
08.01.2200
M, град.
a, а.е.
Элементы орбиты
 , град.
e
Каталог
0,596127153
201,5638002
 , град.
i, град.
220,8394088
0,700992467
21,84372555
16,53712856
220,8321532
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
0,700992874 0,596126835
201,5638679
21,84373004
16,53705113
220,8168045
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,700993784 0,596127363
201,5619456
21,84374935
16,53683495
 , град.
  , град.
 i, град.
0,007255611
Каталог и модель с релят. эффектами
4,07004E-07 3,17626E-07
6,7726E-05
4,4907E-06
7,74331E-05
0,022604321
Каталог и модель (1.6)
1,31743E-06 2,10099E-07
0,001854648
2,3802E-05
0,000293614
Сравнение результатов
Дата
08.01.2200
08.01.2200
 M, град.
 a, а.е.
e

Таблица B.14 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 XM14
с начальными данными от 06.03.2006
Астероид 2004 XM14
Элементы орбиты
M, град.
a, а.е.
e
 , град.
 , град.
i, град.
Дата
Каталог
0,700101112
08.01.2200
179,1147682
1,154624472
187,0098995
89,08033874
42,29470756
08.01.2200
179,1149401
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,154624471 0,700100885
187,0098831
89,08033995
42,29468819
08.01.2200
179,11533
1,154624468
Дата
 M, град.
 a, а.е.
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,700100751
187,0082991
89,08034434
42,2947004
 , град.
  , град.
 i, град.
08.01.2200
0,00017192
Каталог и модель с релят. эффектами
1,37E-09
2,27371E-07
1,6432E-05
1,2078E-06
1,93695E-05
08.01.2200
0,000561788
4,39E-09
Каталог и модель (1.6)
3,60859E-07
0,001600408
5,5962E-06
7,1635E-06
Сравнение результатов
e

182
Таблица B.15 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2004 XM14
с начальными данными от 14.05.2008
Астероид 2004 XM14
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
179,1009716
1,154624724
08.01.2200
08.01.2200
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
89,08033709
42,29471911
179,1049446
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,154624653 0,700101329
187,0098047
89,08033854
42,29470022
179,1659545
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
1,154623535 0,700100928
187,0082399
89,08034665
42,29471552
 , град.
  , град.
 i, град.
Каталог и модель с релят. эффектами
7,073E-08
2,44831E-07
1,6116E-05
1,4531E-06
1,88897E-05
Каталог и модель (1.6)
6,45993E-07
0,001580859
9,5556E-06
3,5943E-06
Каталог
0,700101574
187,0098208
Сравнение результатов
Дата
 M, град.
08.01.2200
0,003972979
08.01.2200
0,064982858
 a, а.е.
1,18877E-06
e

Таблица B.16 – Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2005 DD
с начальными данными от 06.03.2006
Астероид
2005 DD
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
225,2928171
1,933411488
08.01.2200
08.01.2200
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
153,2548479
7,257930899
225,2928091
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,933411489 0,567550055
257,1675484
153,2548474
7,25793079
225,292935
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
1,93341147
0,567550064
257,166996
153,2548594
7,257929781
  , град.
 i, град.
4,52E-07
1,0856E-07
1,153E-05
1,11835E-06
Каталог
0,567550068
257,1675397
Сравнение результатов
 , град.
 M, град.
 a, а.е.
08.01.2200
8,031E-06
Каталог и модель с релят. эффектами
1,34E-09
1,3025E-08
8,698E-06
08.01.2200
0,000117865
1,763E-08
e

Дата
Каталог и модель (1.6)
4,4E-09
0,000543651
183
Таблица B.17 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2006 UQ17
с начальными данными от 22.08.2008
Астероид 2006 UQ17
Дата
M, град.
a, а.е.
08.01.2200
153,2877441
1,619127802
08.01.2200
08.01.2200
Элементы орбиты
 , град.
e
 , град.
i, град.
81,11712913
1,722476891
153,2876385
Модель с релятивистскими эффектами. Шаг 1 сут.
1,619127758 0,379327234
12,69974217
81,11710936
1,722477368
153,2884264
1,619128016
Каталог
0,37932722
12,69970439
Модель (1.6). Шаг 1 сут.
0,379327356
12,69902262
81,11716334
1,722476379
 , град.
  , град.
 i, град.
Сравнение результатов
 a, а.е.
e

Дата
 M, град.
08.01.2200
0,000105598
Каталог и модель с релят. эффектами
4,443E-08
1,3574E-08
3,77803E-05
1,97683E-05
4,7681E-07
08.01.2200
0,000682251
2,137E-07
Каталог и модель (1.6)
1,3614E-07
0,000681773
3,42065E-05
5,116E-07
184
ПРИЛОЖЕНИЕ C
На рисунке C.1 приведена копия свидетельства на электронный ресурс, отвечающий
требованиям новизны и приоритетности № 20710 от 26.12.2014. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО
Рисунок С.1 – Копия свидетельства о регистрации электронного ресурса
185
ПРИЛОЖЕНИЕ D
На рисунке D.1 представлена копия акта об использовании результатов диссертационной
работы в учебном процессе Самарского государственного технического университета.
Рисунок D.1. – Копия акта об использовании результатов диссертационной работы в
учебном процессе Самарского государственного технического университета.