1. В урн е содержится 8 ... образом вынимают 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них...

1. В урне содержится 8 красных шаров и 9 синих шаров. Случайным
образом вынимают 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
1). 4 синих шаров;
2). хотя бы один синий шар.
Решение.
1). Пусть A – событие, которое состоит в том, что из выбранных наугад 7
шаров три оказались синие.
Всего 7 шаров из 17 можно выбрать C177 способами.
Четыре синих шара из 9 можно выбрать C94 способами. Пять других шаров
из семи должны бить красными – их можн о выбрать C83 способами. Тогда,
событию A благоприятствует C94  C83 способов выбора.
Использ уя классическое определение вероятностей, получим:
9! 8!

C94  C83 4!5! 5!3! 126  56
p( A) 


 0,3628 .
17!
C177
19448
7!10!
2). Пусть B – событие, которое состоит в том, что среди вын утых 7 шаров
хотя бы один синий.
Находим вероятность противоположного события, которое состоит в том,
что среди вын утых 7 шаров ни одного синего (все красные):
8!
C
8
p( B) 
 7!1! 
.
17!
C
19448
7!10!
7
8
7
17
Тогда, получим:
p( B)  1 
8
19440

 0,9996 .
19448 19448
2. Заданное слово составлено из карточек, на каждой из которых написана
одна б уква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.
КОМБИНАТОРИКА
Решение.
Пусть A – событие, вероятность которого н ужно определить.
Использ уя классическое определение вероятности, получим:
1). вероятность того, что первая выложенная буква окажется буквой " к"
равна p1 
2
;
13
2). вероятность того, что вторая выложенная буква окажется буквой " о"
равна p2 
2
2
 ;
13  1 12
3). вероятность того, что третья выложенная буква окажется буквой " м"
равна p3 
1
1
 ;
12  1 11
4). вероятность того, что четвертая выложенная буква окажется буквой " б"
равна p4 
1
1
 ;
11  1 10
5). вероятность того, что пятая выложенная буква окажется буквой " и"
равна p5 
2
2
 ;
10  1 9
6). вероятность того, что шестая выложенная буква окажется буквой " н"
равна p6 
1
1
 ;
9 1 8
7). вероятность того, что седьмая выложенная буква окажется буквой " а"
равна p7 
2
2
 ;
8 1 7
8). вероятность того, что восьмая выложенная буква окажется буквой " т"
равна p8 
1
1
 ;
7 1 6
9). вероятность того, что девятая выложенная буква окажется буквой " о"
равна p9 
1
1
 ;
6 1 5
10). вероятность того, что десятая выложенная буква окажется буквой " р"
равна p10 
1
1
 .
5 1 4
11). вероятность того, что одиннадцатая выложенная буква окажется б уквой
"и" равна p11 
1
1
 ;
4 1 3
12). вероятность того , что двенадцатая выложенная буква окажется б уквой
"к" равна p12 
1
1
 ;
3 1 2
13). вероятность того, что тринадцатая выложенная буква окажется б уквой
"а" равна p13 
1
1
 1.
2 1 1
Тогда, получим:
p( A)  p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8  p9  p10  p11  p12  p13 

2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1
16
           1 
 0,000000003 .
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
13!
3. Из урны, содержащей 8 белых шаров и 7 черных шаров, переложен
вын утый наугад шар в другую урн у, содержащую 7 белых шаров и 12
черных шаров. Затем из второй урны случайным образом вынимается один
шар. Найти вероятность того, что вын утый шар окажется б елым.
Решение.
Пусть H1 – гипотеза, которая состоит в том, что из первой урны переложили
белый шар; H 2 – из первой урны переложили черный шар.
Так как других вариантов вытащить из первой урны один шар нет, то эти
события составляют полн ую групп у событий, и они несовместны. Найдем
вероятности этих событий :
P( H1 ) 
8
8
7
7
 ; P( H 2 ) 
 .
8  7 15
8  7 15
Пусть
A – событие, которое состоит в том, что после перекладывания
одного шара из второй урны вытащили белый шар.
Вероятность этого события зависит от того, какие шары во вторую урн у
переложили из первой. Определяем условные вероятности.
1). Рассматриваем вариант, когда из первой урны переложили белы й шар
(гипотеза H1 ). Тогда во второй урне будет 8 белых и 12 черных шаров.
Тогда, получим:
P( A / H1 ) 
8
8

.
8  12 20
2). Рассматриваем вариант, когда из первой урны переложили черный шар
(гипотеза H 2 ). Тогда во второй урне будет 7 белых и 12 черных шаров.
Тогда, получим:
P( A / H 2 ) 
7
7

.
7  13 20
Использ уя формулу полной вероятности, получим:
P( A)  P( H1 )  P( A / H1 )  P( H 2 )  P( A / H 2 ) 
8 8
7 7 113
  

 0,3767 .
15 20 15 20 300
4. В каждом из 600 независимых испытаний событие A происходит с
постоянной вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что событие A
происходит:
1. ровно 125 раз;
2. от 125 раз до 185 раз;
3. не менее 205 раз.
Решение.
1. Использ уем локальную теорему Муавра -Лапласа:
 k  np 


npq

 , где  – ф ункция Гаусса.
Pn (k ) 
npq
 
В нашем случае имеем:
n  600 , p  0,3 , q  1  p  1  0,3  0,7 , k  125 .
Тогда, получим:
 125  600  0,3 
    55 
600  0,3  0,7 
126   4,9

P600 (125) 
 

.
600  0,3  0,7
126
126
 
Использ уя таблиц у значений ф ункции Гаусса, находим:
 4,9  0,000002 .
Следовательно,
P600 (125) 
2.
Для
0,000002
 0,0000002 .
126
определения
искомой
вероятности
исп ольз уем
интегральн ую
формулу Муавра-Лапласа:
 k  np 


  Ф k1  np  , где (x) – ф ункция Лапласа.
Pn (k1  k  k 2 )  Ф 2
 npq 
 npq 




По условию задачи имеем:
p  0,3 , q  1  p  1  0,3  0,7 , n  600 , k1  125 , k2  185 .
Тогда, получим:
 185  600  0,3 
 125  600  0,3 
5 
  55 
  Ф
  Ф
P600 (125  k  185)  Ф

Ф




 600  0,3  0,7 
600

0
,
3

0
,
7
126
126








 Ф0,45  Ф 4,9  Ф0,45  Ф4,9 .
Использ уя таблиц у значений ф ункции Лапласа, получим: Ф0,45  0,1736 ,
Ф4,9  0,5 .
Следовательно,
P600 (125  k  185)  0,1736  0,5  0,6736 .
   600  0,3 
 205  600  0,3 
25 
  Ф
  Ф   Ф
3. P600 (205  k  )  Ф




 126 
 600  0,3  0,7 
 600  0,3  0,7 
 Ф  Ф2,23  0,5  0,4871  0,0129 .
5.
Закон
распределения
дискретной
случайной
X
задан
рядом
распределения вида:
X
P
Найти значения
P1
и
-4
P1
P3 ,
если
-1
0,25
математическое
3
P3
ожидание
M  2,55 .
Определить дисперсию D (двумя способами). Построить график ф ункции
распределения.
Решение.
Использ уя условие нормирования, получим:
P1  0,25  P3  1 ; P1  P3  0,75 ; P1  0,75  P3 .
Использ уя определение математического ожидания, получим:
M  X 1P1  X 2 P2  X 3 P3 ;
 4 P1  0,25  3P3  2,55 ;  4P1  3P3  2,3 .
Тогда, получим:
 4  (0,75  P3 )  3P3  2,3 ;  3  4 P3  3P3  2,3 ; 7 P3  0,7 ; P3  0,1 ; P1  0,75  0,1  0,65 .
Определяем дисперсию:
D  ( X 1  M ) 2  P1  ( X 2  M ) 2  P2  ( X 3  M ) 2  P3 
 (4  2,55) 2  0,65  (1  2,55) 2  0,25  (3  2,55) 2  0,1  1,366625  0,600625  3,08025 
 5,0475 ;
D  X 12 P1  X 22 P2  X 32 P3  M 2  16  0,65  1  0,25  9  0,1  (2,55) 2  11,55  6,5025  5,0475 .
Функция распределения:
0, x  4
0, x  4


 0,65,  4  x  1
0,65,  4  x  1


F ( x)  

.
0,65  0,25,  1  x  3  0,9,  1  x  3
0,65  0,25  0,1, x  3 
1, x  3
График ф ункции распределения.
6.
Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины X имеет вид:
Cx;  5  x  0
.
f ( x)  
 0; x  [5;0]
Найти:
1. значение константы C; построить график ф ункции f (x ) ;
2. P(3  X  5) ;
3. математическое ожидание M ; дисперсию D и  ;
4. ф ункцию распределения F (x) , построить график F (x) .
Решение.
1. Использ уя условие нормиро вания, получим:
 x2  0
25
2
 0  25
 C    1 ;   
 C  1 ; C    0,08 .
 C  1; 
;
Cx

dx

1
5
2
25
2  5
2 2

0
Следовательно,
 0,08 x;  5  x  0
f ( x)  
– плотность распределения.
 0; x  [5;0]
График плотности распределения.
0
0

x2 
2. P(3  X  5)  P(3  X  0)  P(0  X  5)    0,08x  dx  0    0,08    0,36 .
2  3

3
3. Математическое ожидание:
0
0
M    0,08  x  x  dx  0,08   x 2  dx  0,08 
5
5
x3
3
0
5
 0,08 
125
10
1
   3
3
3
3
Дисперсия:
2
x
 10 
D    0,08  x  x  dx  M  0,08   x  dx     0,08 
4
3
5
5
0
0
2
2
4
0
3
5

100
625 100
 0,08 


9
4
9

50 100 450  400 50
7



1 .
4
9
36
36 18
Среднее квадратическое отклонение:
 D
50
 1,18 .
36
4. Запишем ф ункцию распределения.
x

x2 
25


F ( x)   f ( x)  dx    0,08 x  dx    0,08    0,04  x 2  0,08   0,04  x 2  1 .
2  5
2

a
5
x
x
Следовательно,
0; x  5


F ( x)   0,04  x 2  1;  5  x  0 – ф ункция распределения.

1; x  0

График ф ункции распределения:
7. В рез ультате предварительной обработки выборки случайной величины
X , состоящей из 100 наблюдений, наблюдения сгруппированы по 10
смежным интервалам равной длины с центрами в точках
xi  a  bi . В
интервале с номером i оказалось ni наблюдений.
i
0
ni
1
Треб уется:
1
6
2
8
3
12
4
25
5
28
6
10
7
8
8
1
9
1
1. построить полигон и гистограмму частот распределения;
2. построить гистограмму плотности распределения;
3. пол учить точечные оценки математического ожидания и дисперсии
сл учайной величины X ;
4. определить доверительные интервалы о ценок математического ожидания
и дисперсии с доверительной вероятностью 0,95;
5.
на
графике
теоретическ ую
гистограммы
плотность
плотности
распределения
распределения
X
(в
построить
предположении
его
нормальности);
6. оценить справедли вость гипотезы нормальности по критерию Пирсона.
Решение.
1. Построим статистический интервальный ряд по исходным данным.
i
0
1
2
3
Средина
интервала,
10
12
14
16
xi
Интервалы 9 -1 1 1 1 -1 3 1 3 -1 5 1 5 -1 7
Частота,
1
6
8
12
ni
Полигон частот распределения:
4
5
6
7
8
9
18
20
22
24
26
28
1 7 -1 9
1 9 -2 1
2 1 -2 3
2 3 -2 5
2 5 -2 7
2 7 -2 9
25
28
10
8
1
1
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
Гистограмма частот распределения:
2. Шаг интервала: h  2 .
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Строим вспомогательную таблиц у:
i
Интервалы
0
1
2
3
9 -1 1
1113
1315
1517
4
5
6
7
8
9
1 7 -1 9
1921
2123
2325
2 5 -2 7
2 7 -2 9
28
10
8
1
1
0,2
8
0,1
0,0
8
0,01
0,01
0,1
4
0,0
5
0,0
4
0,00
5
0,00
5
Частота, ni
1
6
8
12
25
Относительна
0,0
0,0
0,1
я частота,
0,01
0,25
6
8
2
p  ni / n
Относительна
0,00
0,0
0,0
0,0
0,12
я плотность,
5
3
4
6
5
p/h
Гистограмма плотности распределения:
3. Строим вспомогательн ую расчетн ую таблиц у:
Интервалы
Частота, ni
9-11
11-13
13-15
15-17
17-19
19-21
21-23
23-25
25-27
27-29

1
6
8
12
25
28
10
8
1
1
100
Средина
интервала, xi
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
190
xi  ni
xi2  ni
10
72
112
192
450
560
220
192
26
28
1862
100
864
1568
3072
8100
11200
4840
4608
676
784
35812
Точечная оценка математического ожидания:
 x n
i
a
i

n
1862
 18,62 .
100
i
Выборочная дисперсия:
D
x
2
i
 ni
 a  
2
n
35812
 (18,62) 2  358,15  346,7044  11,4456 .
100
i
Точечная оценка дисперсии (несмещенная дисперсия):
s2 
n
100
D 
11,4456  11,53 .
n 1
99
4.
Доверительный
интервал
для
оценки
математического
ожидания
находится по соответствующему двойному неравенству:
a t 
s
s
s
, где t 
– точность оценки, n – объем выборки, a –
 M  at
n
n
n
точечная оценка математического ожидания , t – аргумент функции Лапласа,
при котором  (t ) 
p
.
2
p
Находим значение t из соотношения  (t )  .
2
 (t ) 
0,95
,
2
 (t )  0,475.
Использ уя
соответствующую
таблиц у
значений
функции Лапласа, получим: t  1,96 .
Подставляя все известные значения в неравенство для доверительного
интервала, получи м:
18,62  1,96 
11,53
100
 M  18,62  1,96 
11,53
100
;
17,95  M  19,29 .
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (дисперсии)
находится по соответствующему двойному неравенству:
s  (1  q)    s  (1  q) .
По известному размеру выборки
p  0,95 ,
q  0,143 .
использ уя
n  100 и доверительной вероятности
соответствующую
таблицу,
находим
значение
q:
Тогда, получим:
11,53  (1  0,143)    11,53  (1  0,143) ;
2,91    3,88 .
5.
6. Провери м при уровне значимости 0,05 гипотез у о нормальном законе
распределения соответствующего признака с помощью критери я согласия
 2 – Пирсона, который описывается уравнением:
 
2
ni  ni 2
ni
.
Находим теоретические частоты ni , используя соответствующие формулы :
ni  pi  n ,
pi  ( zi1 )  ( zi ) ,
zi 
xi  a
,
s
zi 1 
xi1  a
,
s
де
 ( zi )
–
функция
Лапласа, значения которой определяются по соответствующей таблице.
При этом использ уем дополнительн ую расчетн ую таблиц у:
x i
9
11
13
xi1
11
13
15
zi
-2,83
-2,24
-1,65
zi 1
-2,24
-1,65
-1,06
( z i )
-0,4976
-0,4875
-0,4505
( zi 1 )
-0,4875
-0,4505
-0,3554
pi
0,0101
0,037
0,0951
ni
1,01
3,7
9,51
15
17
-1,06
-0,48
-0,3554 -0,1844
0,171
17,1
17
19
-0,48
0,11
-0,1844
0,0436
0,228
22,8
19
21
0,11
0,70
0,0436
0,258
0,2144
21,44
21
23
0,70
1,29
0,258
0,4015
0,1435
14,35
23
25
1,29
1,88
0,4015
0,4699
0,0684
6,84
25
27
1,88
2,46
0,4699
0,4931
0,0232
2,32
27
29
2,46
3,05
0,4931
0,4988
0,0057
0,57
Качество рез ультатов, полученных по критерию Пирсона можно считать
приемлемым, если все теоретические частоты ni  5 . В нашем случае первые
две теоретические частоты меньше пяти и последние две меньше пяти ,
поэтому объединяем
их.
Тогда количество интервалов
станет
равной
10  3  7 .
Строим дополнительную расчетн ую таблицу:
ni
ni
7
4,71
8
9,51
12
17,1
25
22,8
28
21,44
10
14,35
10
9,73

Следовательно,  2  6,4199 .
ni  ni 2
ni  ni
ni
1,1134
0,2398
1,5211
0,2123
2,0072
1,3186
0,0075
6,4199
2,29
-1,51
-5,1
2,2
6,56
-4,35
0,27
Определяем число степеней число свободы, учитывая то, что количество
интервалов в последней таблице равно 7. Тогда, получим: k  7  2 1  4 .
Использ уя
таблицу
квантилей
распределения
Пирсона
(по
количеству
квантилей – 4 и уровню значимости – 0,05), находим критическ ую точк у:
 кр 2  9,5 .
Поскольк у  2   кр , то гипотеза о нормальном распределении указанного
2
признака подтверждается.
8. Определить оценки коэффициентов
A
и
B
по методу наименьших
квадратов. Рез ультаты расчетов представить в виде таблицы и графиков.
Y  A B/ X
4,40
5,13
6,03
7,75
8,56
9,97
10,95
11,65
13,28
X
26,705 25,307 24,182 22,791 22,308 21,612 21,322 21,098 20,707
Y
Решение.
Сначала
проведем
простейшую
обработк у
данных
при
помощи
вспомогательной расчетной таблицы.
№
Y
X
1
4,40
26,705
2
5,13
25,307
3
6,03
24,182
4
7,75
22,791
5
8,56
22,308
6
9,97
21,612
7
10,95
21,322
8
11,65
21,098
9
13,28
20,707
Среднее
значение
8,64
22,892
Находим значение коэффициента B :
B
YZ  Z  Y

Z2  Z
2

Z  1/ X
0,227
0,195
0,166
0,129
0,117
0,100
0,091
0,086
0,075
YZ
6,069
4,933
4,010
2,941
2,606
2,168
1,947
1,811
1,559
Z2
0,052
0,038
0,028
0,017
0,014
0,010
0,008
0,007
0,006
0,132
3,116
0,020
3,116  0,132  22,892
 39,2 .
2
0,02  0,132
Находим значение коэффи циента
AY 
B
39,2
 22,895 
 18,35 .
8,64
X
Следовательно, получили искомое уравнение:
Y  18,35  39,2 / X .
Построим поле рассеяния из указанных пар точек ( X ;Y ) и график найденной
гиперболической функции.