Логика.

Логика.
Урок 1 (из 8)
Наша жизнь представляет непрерывную цепь больших и маленьких логических проблем.
Путём рассуждений и выводов мы принимаем решения, т.е. моделируем своё дальнейшее
поведение.
Логические модели - модели, в которых на основе анализа различных условий принимается
решение.
Таким образом, логические модели основываются на рассуждениях и операциях с ними.
Человеческая речь состоит из рассуждений (высказываний), которые несут некоторое
смысловое значение. О высказывании можно сказать «ложно» оно или «истинно».
Высказывания, рассматриваемые с точки зрения их истинности, называются логическими
высказываниями. Условием называется логическое высказывание, которое может принимать 2
значения:
истина и ложь.
Условие называется простым, если сразу можно ответить «да» или «нет».
Но существуют сложные условия, состоящие из простых условий, каждое из которых может
быть истинным или ложным.
Логика - наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления.
Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира.
Основные формы абстрактного мышления: понятие, суждение и умозаключение.
Основоположником этой науки считают Аристотеля (384-382 до н.э.). Именно благодаря ему
возникла формальная логика.
Формальная логика - наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем,
изучающая логические операции и правила мышления.
Логика
помогла
математике
стать
строгой,
последовательной
наукой.
Возрождение античных логических методов в эпоху возрождения началось с Рене Декарта,
который рекомендовал логике руководствоваться общепринятыми в математике принципами.
Но основоположником математической логики считают Вильгельма Лейбница.
Однако идеи Лейбница получили развитие лишь в середине Х1Х века в трудах Джорджа Буля,
который вывел алгебру логики, где символами обозначают не числа, а высказывания.
Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе
дедуктивного (логического) вывода.
Она изучает только умозаключения со строго определёнными объектами и суждениями, для
которых можно решить однозначно истинны они или нет.
Главная задача логики состоит в том, чтобы выявить, какие способы рассуждения правильные,
а какие нет.
Рассмотрим пример:
Задача о трёх фермерах (неправильные рассуждения).
3 фермера решили пообедать. Когда они закончили, то буфетчица сказала, что с них
причитается 30 $. Каждый заплатил по 10$ и они рассчитались. Когда фермеры уходили, то
буфетчица сообразила, что обсчитала их на 5$. Она позвала сына и велела ему вернуть 5$ в
купюрах 3 доллара по 1$ и одна по 2$ . Мальчик решил, что 5$ на троих не делится и решил
вернуть 3 доллара по 1$ , а 2$ оставить себе. Фермеры разделили 3$ поровну и решили, что
обед им обошелся в 9$ каждому. Следовательно, они заплатили 27$ , и мы знаем, что 2$
осталось у мальчика. Всего 29$, но ведь они заплатили 30$. Куда пропал 1 $?»
Рассуждения:
Фермеры заплатили 30 $ , а должны были - 25 $.
Им вернули 3 $ и у мальчика осталось 2 $, т.е. им должны были вернуть 5 $.
Т.e. фермеры фактически заплатили 27 $ (25 + 2 ) и 3 $ им вернули.
Рассуждения есть переход от некоторых предложений, утверждений, называемые
посылками, к утверждению, которое называется умозаключение.
Рассмотрим пример:
« Дикари раскрашивают своё тело».
« Некоторые женщины раскрашивают своё тело».
Следовательно, некоторые женщины - дикари.
Правильно ли это рассуждение?
Нетрудно установить, что данное рассуждение неверно, хотя используемые посылки и
cделанное заключение можно признать истинным.
Задача логики - описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются
правильными.
Вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое логика?
Что такое математическая логика?
Что такое формальная логика?
Основная задача логики?
Что называется условие?
Какие бывают условия?
Урок 2 (из 8).
Логика как наука о законах и формах мышления изучает абстрактное мышление как средство
познания объективного мира.
Основные формы абстрактного мышления:
• понятие
• суждение
• умозаключение
Понятие- мысль, в которой обобщаются и выделяются предметы некоторого класса по
определённым общим и в совокупности специфическим для них признакам.
В понятии «схватывается» сущность предметов, их внутреннее содержание.
Портфель
трапеция
ураганный ветер
«Этот вписанный угол, опирающийся на диаметр». - понятие, единичное.
Понятие имеет 2 основные логические характеристики: содержание и объём.
Содержание понятия - совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
Пример. «ромб» – «параллелограмм», « имеет равные стороны».
Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки,
составляющие содержание понятия.
Пример. Понятие «река» – это множество рек: р.Москва, р.Волга, и т.д.
Круги Эйлера – геометрическая наглядность понятий и отношений между ними:
Е - множество учащихся;
А – ученики-спортсмены;
В – ученики, интересующиеся литературой;
С – Отличники, не спортсмены;
Д–
ученики-«хорошисты»
Е
В
А
С
Д
Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о
котором можно судить: истинно оно или ложно.
Суждения являются истинными или ложными повествовательными предложениями.
В математической логике суждения называются высказываниями.
Примеры высказываний.
Земля - планета солнечной системы. (истина)
Москва- столица. (истина)
2+8=5 (ложь)
Всякий квадрат есть параллелограмм. ( истина)
Всякий параллелограмм есть квадрат. (ложь)
Те утверждения , о которых нельзя сказать истинны они или ложны, не являются суждениями
(высказываниями).
Примеры предложений, которые не являются высказываниями:
1. Уходя, гасите свет.
2. Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое!
3. 5+Х=12
4. Х+У=1
5. Число У кратно 3.
6. Метеорологический прогноз.
Не являются суждениями вопросительные и восклицательные предложения, а также
предложения 3,4,5,6 так как не можем сказать достоверны они или нет.
Последние 4 предложения называются предикатами.
Предикаты становятся суждениями, если переменной (или переменным) придать
некоторое числовое значение или применить логическую операцию, которая
устанавливает область истинности (её называют квантор):
∀X
( « для всех Х» )
∃X
( « Существуют такие Х» или « для некоторых Х» )
Суждения бывают общие и частные.
Общие суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений.
Примеры.
«Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр - прямые» - суждение, поскольку в нём
высказывается, каковы свойства объекта суждения.
« В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 90»
«Х 2 > 0»
«Всякий человек - млекопитающее»
Урок 3 (из 8).
Будем обозначать суждения большими буквами латинского алфавита: А,B,C,.....F......
Характеристикой каждого высказывания является истинность или ложность, которые
называются значением истинности данного суждения
Условимся обозначать значение истинности :
1, если суждение истинно
и
0, если суждение ложно.
Символы 1 и 0 совпадают с числами 0 и 1 только внешне.
Смысл их заключается в том, что совершающееся событие (абстрактное) - событие истинное,
а логический 0 - совершилось событие ложное.
Например,
1. Суждение «Москва- столица России» - истина.
Обозначим его буквой А, тогда А=1
2. Суждение «Высота гор на Земле превышает 15 км» - ложное.
В=0
Может оказаться, что два суждения А и В одновременно истинны или ложны, тогда назовём
их равносильными или эквивалентными и будем писать:
А ≡ B («Суждение А эквивалентно суждению В» или
« А есть тогда и только тогда, когда есть В» или
« А необходимо и достаточно для В»)
Суждения:
А= «этот треугольник равносторонний»
В= «этот треугольник равноугольный»
Тогда А ≡ В
Частные суждения выражают конкретные (частные) факты.
Примеры:
« 7-2 > 3»
« Луна - спутник Земли»
«Этот 4-х угольник - ромб»
Суждения бывают простые и сложные.
Простое суждение, если никакая его часть не является суждением.
Сложное суждение характеризуется тем, что образованы из нескольких суждений с помощью
определённых способов соединения суждений; простые суждения этим свойством не
обладают.
Примеры:
« Париж - столица Албании» - простое суждение ;
«Неверно, что Париж - столица Албании» - сложное, потому что его часть тоже является
суждение.
Сложное суждение получается путём объединения простых связками-союзами И, ИЛИ и
частицей НЕ.
Значения истинности сложных высказываний (суждений) зависит от простых, входящих в
него высказываний и объединяющих их связок.
Логическая форма суждения:
ВСЕ S есть P
ВСЕ S не есть P
Урок 4 (из 8).
Если из двух суждений (высказываний) выводится третье, то этот процесс называется
умозаключением.
Вывод умозаключений.
Путь к умозаключению лежит через рассуждения, доказательства, умение ставить вопросы и
давать на них четкие ответы.
Рассуждения - цепочка взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений, получаемых
из других суждений по определённым правилам вывода.
Любое правило вывода умозаключений состоит из 2-х суждений (простых и сложных). Одно
из них называется посылкой или условием, второе - следствием, заключением или выводом.
Существуют определённые приёмы вывода умозаключений, которые облегчают поиск
правильных рассуждений, доказательств или способов решения задач - аналогия, индукция,
дедукция.
Аналогия- греч. «сходство». Умозаключение по аналогии - это знание, полученное из
рассмотрения какого-либо предмета, переносимое на менее изученный, сходный по
существенным свойствам и качествам объект.
Но суждения, сформулированные по аналогии с истинными, могут быть ложными.
Индукция - греч. «наведение» - правило вывода умозаключений при переходе от частных
суждений к общим.
Дедукция - греч. «выведение» - правило вывода умозаключений при переходе от общих
суждений к частным.
Логическая форма умозаключения:
ВСЕ S есть P
Некоторые А есть S
---------------------------Некоторые А есть P
Посылки и умозаключение
Четырёхугольник (S1) , у которого
противоположные стороны параллельны (Р),
есть параллелограмм (S2).
Квадрат (S3) – это четырёхугольник (S1), у
которого противоположные стороны
параллельны (Р).
Квадрат – это параллелограмм.
Если цветы поливают , то они не сохнут.
Цветы засохли.
Цветы не поливали.
Форма
умозаключения
Если S1 есть P,
То S1 есть S2.
Все S3 есть S1
И все S3 есть P.
Все S3 есть S2.
Все Sесть Р.
А есть S
A есть P
Самостоятельные задания.
I. Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями и каково значение их
истинности:
1) "сижу и смотрю";
2) "сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам";
3) "верно ли, что п=3,1415926...?";
4)"44>88";
5) "математическое доказательство";
6) "существует такое значение x, что 2x2-5x+З=0";
7) "не лiзь по перед батька в пекло!";
8) "для ∀ x выражение х2>0";
9) "z+5=45";
10) "20+30+40+10=1000"?
II. Из представленных двух суждений получите третье в виде умозаключения:
А="Если сумма цифр трехзначного числа равна 7";
В = "Цифры десятков и единиц одинаковы".
III. Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими:
1)(x+y)(x-y)=x2-y2;
2) "Любой ромб является параллелограммом";
3) "а^а2, если а=1";
4) "Крышку уличного люка делают круглой, а не квадратной потому, что она не может
соскользнуть в люк, если поставить ее . ребро";
5) 32 + 42 = 52;
6) Если |А| = |В|, то А=В;
7) "Квадрат любого четного числа делится на 4";
8) "Меркурий - спутник Марса";
9) "Джордано Бруно - ученик Галилео Галилея";
10) "Не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2".
Укажите значение истинности для каждого суждения.
IV. Будут ли нижеприведенные суждения равносильными? Если да, то почему?
А = "В этом четырехугольнике один из углов прямой и диагонали равны";
В = "В этом параллелограмме все углы прямые";
С = "В этом ромбе один угол равен 90°".
V. Из сложных суждений выделите простые и обозначьте их буквами:
1. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то
такие треугольники равны.
2. "Есть мера вещей и существуют известные границы" (афоризм Горация).
3. "Разрешаются от бремени горы, а рождается и смешная мышь" (из Горация).
4. Если сумма цифр числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность
этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
5. "Шахтер" выиграл встречу у "Динамо", а встреча "Таврия" - "Спартак" закончилась
вничью.
6. Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на
тренировке, почитать интересную книгу, поиграть в шахматы.
7. Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования.
VI.
Приведите примеры понятий, суждений и умозаключений из курсов математики,
истории, информатики.
VII. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий:
♦ добродетель;
♦ истина;
♦ ложь.
Подсказка. Смотри толковые словари.
VIII. Определите объёмы понятий:
♦ столица России;
♦ столица;
♦ город;
♦ Знаменитый полководец;
♦ бесконечность;
♦ Змей Горыныч.
IX.
Выведите заключение для каждой пары посылок:
♦ Тем, кто лыс расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
♦ Некоторые уроки трудны.
Всё, что, трудно, требует внимания.
X.
Определите правильность рассуждения:
♦ сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит сидящий стоит.
Вопросы.
1. Что такое рассуждение ?
2. Что понимаем под посылкой и заключением в сложном суждении вывода
умозаключения? Примеры.
3. В чём состоит вывод умозаключения по аналогии? Всегда он истинный? Примеры.
4. Принцип индукции; дедукции.
Урок 5 (из 8).
Построение логических моделей.
Логические модели - модели, в которых на основе анализа различных условий принимается
решение.
Таким образом, логические модели основываются на рассуждениях и операциях с ними.
Иногда достаточно 2-3 вывода и всё становится на своё место. Но чем сложней задача, тем
больше вероятность запутаться.
На помощь приходят формальные способы описания хода рассуждений в виде таблиц, графов
или блок-схем.
Таблица - встречается на каждом шагу - имеет столбцы и строки.
Граф - структурный объект, состоящий из вершин, соединённых линиями (ребрами).
Пример: «Ухоженные дети являются признаком цивилизованного и благополучного
общества».
что делают?
Дети
являются
какие?
чем?
ухоженные
признаком
чего?
общества
какого?
цивилизованного
какого?
благополучного
Блок-схема - каждый шаг решения представлен в виде геометрического блока.
Различные задачи решаются различными способами.
Табличное построение логических моделей.
Рассмотрим на примере конкретной задачи:
« В школе учатся 4 способных подростка: Иванов, Петров, Сидоров и Андреев.
Один- будущий музыкант, другой - преуспел в бальных танцах, третий- солист хора,
четвёртый - подаёт надежды как художник.
О них известно, что:
1. Иванов и Сидоров были в консерватории, где выступал певец.
2. Петров и музыкант позировали художнику.
3. Музыкант раньше дружил с Андреевым, а теперь неразлучен с Ивановым.
4. Иванов незнаком с Сидоровым, т.к. учатся в разных классах и в разные смены.
I. Построим таблицу: столбцы - будущие профессии, строки - фамилии.
II. Анализ исходных условий
Из 1 условия - Иванов и Сидоров не певцы.
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
художник
солист
-
музыкант
Из 2 условия - Петров не художник и не музыкант.
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
художник
солист
-
-
музыкант
-
-
Из 3 условия - Андреев и Иванов не музыканты.
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
художник
солист
-
-
музыкант
-
-
III.Рассуждения:
В столбце «музыкант» 3 минуса, значит музыкант - Сидоров.
Тогда в остальных столбцах у Сидорова «минус».
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
-
художник
-
солист
-
музыкант
+
-
Сопоставим 2 и 3 условия - Петров и Сидоров позировали художнику, но Иванов не знает
Сидорова. Значит Иванов не художник.
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
-
художник
+
солист
-
музыкант
+
-
Тогда в столбце «художник» - 3 минуса. Значит художник - Андреев. Во всех остальных
столбцах его строки ставим «минус» и у нас определился солист.
Это - Петров.
Танцор
художник
солист
музыкант
Иванов
+
Петров
+
Сидоров
+
Андреев
+
И остался - Иванов. Значит он - танцор.
Самостоятельная работа:
1. Задача. « Трое подростков: Григорьев, Капранов и Литвинов - живут на одной улице.
Один - известный во всём районе шахматист, другой - заядлый футболист, третий
известная всем личность, любитель тусовок.
Однажды футболист пришёл к другу, а мать друга сказала, что он ушёл с известной
личностью на дискотеку.
Известно, что Литвинов ничего не слышал о Капранове. Кто есть кто?»
2. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили только правду, и лжецы,
которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который
иногда говорил правду, а иногда лгал, в зависимости от того, что ему выгодно. Шпион
поселился с двумя жителями страны: рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один
день. На допросе они сделали следующее высказывание:
А: Я- Мердок.
В: А говорит правду.
С: Я – не Мердок.
Кто из них шпион?
3. После традиционной встречи с выпускниками школы в стенгазете появилась заметка о
трёх выпускниках. В ней было сказано, что Иван, Борис и Андрей стали учителями.
Один из них преподаёт математику, второй – химию, третий-физику. Все они живут в
разных городах: Минске, Витебске, Харькове. В заметке сказано, что их
первоначальные планы осуществились не полностью:
1) Иван живёт не в Минске;
2) Андрей- не в Витебске;
3) Житель Минска преподаёт не математику;
4) Андрей преподаёт не физику;
5) повезло только жителю Витебска: он преподаёт любимую химию.
Кто где живёт и что преподаёт?
4. В конструкторском бюро работают Антонов, Борисов, Кириллов и Дроздов. Все хотят
отдыхать летом, и поэтому при составлении графика отпусков всегда возникают
споры. Попробуйте составить график отпусков на 4 года, который удовлетворял бы
следующим пожеланиям сотрудников:
1) в отпуск сотрудники уходят только с мая по август;
2) продолжительность отпуска – 1 месяц;
3) в каждом месяце в отпуск может пойти только 1 человек;
4) за 4 года все сотрудники получат отпуск по 1 разу в каждом из этих месяцев;
5) в 1 год Кириллов хочет отдыхать в июле;
6) во 2 год Антонову отпуск нужен в мае;
7) в 3 год Дроздову отпуск нужен в июне;
8) Борисов предполагает на 4 год уйти в отпуск в июле;
9) в августе все предполагают следующим образом: в 1 год – Дроздов, во 2 год –
Кириллов, 3 год – Борисов, 4 год – Антонов.
5. В одном доме живут Воронов, Павлов, Журавлёв, Синицын. Один из них – математик,
другой – художник, третий – писатель, четвёртый – баянист.
Известно, что:
1) ни Воронов, ни Журавлёв не умеют играть на баяне;
2) Журавлёв не знаком с Вороновым;
3) писатель и художник в воскресенье уезжают на дачу к Павлову;
4) писатель собирается писать очерк о Синицыне и Воронове.
Кто есть кто?
Урок 6 (из 8). Построение логических моделей в виде графов.
Рассмотрим пример.
«Составить расписание 4-х уроков и удовлетворить следущие требования:
• математика должна быть 1 или 2 уроком
• физкультура только последней
• история и 1, и 2, и 3 уроками
• литература 2 или 3 уроками
Решение в виде графа, где буква - предмет, цифра - номер урока
Начнём с самого «сговорчивого» урока - истории - И1, И2, И3.
Далее - литература - Л2, Л3; математика - М1, М2; и завершим - физкультурой - Ф4.
Ф4
Ф4
Ф4
Ф4
М1
М2
Ф4
Ф4
М1
Ф4
М2
Ф4
М1
М2
Ф4 Ф4
Ф4 Ф4
М2
М1
М2
М1
М2
М1
Л2
Л3
Л2
И1
Л3
И2
Л2
Л3
И3
Следующие ветви противоречат друг другу:
И2-Л2;
И3-Л3;
И1-Л2-М1;
И1-Л2-М2;
И1-Л3-М1;
И2-Л3-М2;
И3-Л2-М2;
Значит остаются ветви:
И1-Л3-М2-Ф4;
И2-Л3-М1-Ф4;
И3-Л2-М1-Ф4.
Самостоятельная работа.
1. Задача. «На математической олимпиаде выступили: Аня, Витя и Егор.Егор справился
со всеми заданиями и представил нестандартные решения. Но из-за небрежности в
оформлении мнения жюри разделилось: 1 и 3 призовые места. Аня тоже решила все
задания, но стандартными способами, и жюри выделили с 1 по 3 место. Виктор
показал себя с хорошей стороны, и судьи назвали его 2 или 3. Найти варианты
распределения мест и примите сами решение.»
2. На соревнованиях по лёгкой атлетике Андрей , Борис, Серёжа и Володя заняли первые
4 места. Но когда девочки стали вспоминать как распределились места, то мнения
разошлись:
Даша: Андрей был первым, а Володя - вторым.
Галя: Андрей был вторым, Борис – третий
Лена: Боря был четвёртый, а Серёжа – второй
Ася, которая была судьёй на соревнованиях, сказала, что каждая из девочек сделала
одно правильное и одно неправильное заявление.
Кто из мальчиков занял какое место?
Урок 7 (из 8). Алгебра суждений. Алгебра логики.
Для составления сложных суждений используют простые суждения, соединённые знаками
логических операций: «И», «ИЛИ», «НЕТ», «ЕСЛИ...,ТО..». Значения истинности
сложных суждений определяется значениями простых элементарных суждений.
В математической логике не рассматривается содержание высказывания, а важно истинно
оно или ложно.
Поэтому высказывание можно представить переменной величиной, значения которой 0
или 1.
Высказывания обозначаются латинскими буквами А,В,С,....
Простые высказывания являются переменными, а сложные - логическими функциями.
У кошки 4 ноги.
А=1 (истина)
Москва расположена на 2-х холмах.
В=0 (ложь)
Значения логических функций для различных сочетаний значений входных переменных
(наборов входных переменных) задаются специальной таблицей, которые называются
таблицами истинности.
Количество
наборов
входных
n
Q=2
переменных
Q
можно
определить
по
формуле:
, где n - количество входных переменных
I. Отрицание.
Имеется суждение А, образуем новое « не А» ; «неверно, что А...»
В программировании логическая операция «NOT» и называется ИНВЕРСИЯ.
А
А
0
1
1
0
1 =0 и
0 =1
Cуждение
« Мы любим информатику»
Отрицание
« Мы не любим информатику»
Итак, подведём итог:
логическая операция ИНВЕРСИЯ
• соответствует союзу НЕ
• обозначают черточкой над именем переменной или знаком ¬
• называется отрицанием
• в программировании операция «NOT»
Инверсия логической переменной истина, если сама переменная ложна и,
наоборот, ложна, если переменная истинна.
II. Конъюнкция.
• соответствует союзу И
• обозначают знаками * , /\ , &
• логическое умножение
• в программировании операция « AND»
Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда,
когда оба высказывания истинны
Таблица истинности конъюнкции
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А /\ В
0
0
0
1
III. Дизъюнкция.
• соответствует союзу ИЛИ
• обозначают знаками \/ , +
• называют логическим сложением
• в программировании операция «OR»
Дизъюнкция 2-х логических переменных ложна тогда и только тогда , когда
оба высказывания ложны.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А \/ В
0
1
1
1
Рассмотрим операцию «строгой дизъюнкции» - истинна тогда,
когда только одно высказывание истинно, и ложна , когда оба
истинны или оба ложны.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
АÚВ
0
1
1
0
А
В
IV.Импликация.
• логическая операция с использованием ключевых слов «если...(основание)..., то
...(следствие)....»
• обозначают « ⊃ », «IMP», « ⇒ »
• в программировании оператор « IF .... THEN ...»
Запись А ⇒ В или А IMP В читается:
«А импликация В»
«если А ...., то В .....»
« из А следует В»
« А влечёт В»
« В следует из А»
Импликация лежит в основе процесса вывода умозаключенй.
Поэтому А -посылка (условие) , В - заключение или следствие.
Импликация истинна всегда , за исключением, когда А истинна, а В - ложна.
Недаром говорят « из лжи рождается, что угодно»
Таблица истинности импликации:
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А IMP В
1
1
0
1
А
используя набор функций {+,*,-}, мы получим выражение
__
импликации в виде А ⇒ В=А+В, которое полностью
соответствует таблице истинности.
В
V. Эквивалентность.
В программировании логическую операцию эквивалентность обозначают символами
«EQV»; «~»; « ≡ »
Таблица истинности для 2-х суждений А и В
А
1
1
0
0
В
1
0
1
0
А~В
1
0
0
1
Ранее мы рассматривали эту логическую операцию.
Эквивалентность называют двойной импликацией.
• логическая операция с использованием ключевых слов
«если и только если...(основание)..., то ...(следствие)....»,
« в том и только в том случае, когда .......»
«тогда и только тогда, когда .....»
• обозначают « ≡ », «EQV», «~»
Эквивалентность истинна, когда А и В истинны и А и В ложны.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А ~В
1
0
0
1
А
В
Для неё справедливо:
_ _
А~B=A*B+A*B
Порядок выполнения логических операций.
Приоритет и скобки:
ИНВЕРСИЯ
КОНЪЮНКЦИЯ
ДИЗЪЮНКЦИЯ
Алгоритм построения таблиц истинности.
1. Определим количество строк в таблице по формуле:
n
Q=2 , где n - количество входных переменных
2. Определим количество логических операций и последовательность выполнения.
3. Определим количество столбцов: количество переменных + количество логических
операций.
Пример.
_
F(A,B,C)= A /\ ( C /\ B )
А
В
0
0
0
0
1
1
1
1
С
0
0
1
1
0
0
1
1
С
0
1
0
1
0
1
0
1
С/\ В
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
А\/ (С/\В)
0
0
1
0
1
1
1
0
Область применения алгебры логики.
Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических
переменных и цифрами в двоичной системе.
Любое устройство ПК , выполняющее действия над
двоичными
цифрами,
можно
рассмотреть
как
функциональный преобразователь.
Числа на входе – значения входных логических переменных,
число на выходе - значение логической функции, результат.
Логическая схема устройства строится на основе
объединения электронных элементов.
ИНВЕРТОР – реализует операцию отрицания.
У инвертора один вход и один выход.
Х
F(X,Y,Z)
У
Z
КОНЪЮНКТОР- реализует операцию конъюнкцию.
У конъюнктора один выход и не менее двух входов.
Сигнал на выходе появляется тогда и только тогда,
когда на все входы поданы сигналы.
&
ДИЗЪЮНКТОР – реализует операцию дизъюнкцию.
У дизъюнктора один выход и не менее двух входов.
Сигнал на выходе не появляется тогда и только тогда,
когда на все входы не поданы сигналы.
1
Пример логической схемы для функции F(X,Y,Z)= X ∩ (Y ∪ Z )
X Y Z
X
X
&
Z
Y
1
F
Y Z
В технике логические схемы реализуются через электрические контактные схемы:
1. Последовательное соединение
а
а
в
2. Параллельное соединение
в
А
В
Последовательное Параллельное
соединение
соединение
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Как видно из таблицы, операция И соответствует последовательному соединению, а операция
ИЛИ – параллельному соединению.
Операция НЕ реализуется через электромагнитное реле.
УРОК 8
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ. УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Если у двух логических функций совпадают таблицы истинности, то есть на всех
наборах значений входных переменных они принимают одинаковое значение, то их
называют равносильными, или эквивалентными. Это обозначается знаком = .
A v B ∧ C =A v (В ∧ С)
Логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных,
называются тождественно-истинными.
Логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных,
называются тождественно-ложными.
F= A ∧ 0=0— тождественно-ложная функция.
P=A v l = l— тождественно-истинная функция.
Учитывая определения логических функций, можно выделить ряд свойств,
позволяющих упростить логическое выражение:
КОНЪЮНКЦИЯ
A∧ A = 0
A∧ A = A
A ∧1= A
A∧ 0 = 0
ДИЗЪЮНКЦИЯ
A∨ A =1
A∨ A = A
A ∨1 = 1
A∨ 0 = A
ИНВЕРСИЯ
A= A
Упростить выражения и отметить тождественно-ложные и тождественноистинные функции:
В ^ А ^ A = В v О == В;
C v ( B v B ) ^ С v 1= 1 — тождественно-истинная функция;
(A v A ) ∧ В ∧ С = 1 ∧ В ∧ С — В ∧ С;
В ∧ (C ∧ С ) ∧ D=B ∧ O ∧ D = 0— тождественно-ложная функция.
Среди многочисленных законов логики есть четыре основных. Для трех из них
можно найти аналогию в алгебре чисел.
Логические выражения
Алгебраические выражения
Переместительный закон
A∨ B = B ∨ A
A∧ B = B ∧ A
A+ B = B+ A
A⋅ B = B ⋅ A
Сочетательный закон
( A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C )
( A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C )
( A + B) + C = A + ( B + C )
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C )
Распределительный закон
( A ∨ B) ∧ C = ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C )
( A + B) ⋅ C = ( A ⋅ C ) + ( B ⋅ C )
A ∧ B) ∨ C = ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C ) НЕТ АНАЛОГА
Закон инверсии, или формулы де Моргана
НЕТ
АНАЛОГА
A∨ B = A∧ B
НЕТ АНАЛОГА
A∧ B = A∨ B
Для упрощения логических функций удобно использовать формулы склеивания
и поглощения:
Формулы склеивания
( A ∧ B) ∨ ( A ∧ B) = A
( A ∨ B) ∧ ( A ∨ B) = A
A ∨ ( A ∧ B) = A
Формулы поглощения
A ∧ ( A ∨ B) = A
A ∨ ( A ∧ B) = A ∨ B
A ∧ ( A ∨ B) = A ∧ B
Равносильность функций в формулах склеивания и поглощения можно легко
доказать, используя рассмотренные выше законы.
Например:
A v ( A ∧ В) = (A v A) ∧ ( A ∨ B) = 1 ∧ ( A ∨ B) = A ∨ B