задача оценивания импульсной характеристики

ЗАДАЧА ОЦЕНИВАНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Шутов Д.А., Карташевский В.Г.
Поволжский Государственный Университет
Телекоммуникаций и Информатики
В настоящее время в системах радиосвязи в передаваемое сообщение
включают тестовую последовательность известной на приёме структуры,
благодаря которой появляется возможность оценивания свойств канала, и
компенсации искажений, вносимых каналом, посредством эквалайзера.
Подобный метод прост и эффективен с точки зрения решения задачи
оценивания свойств канала, однако передача тестовых последовательностей
приводит к неэффективному использованию ресурсов канала. Например, в
системе GSM порядка 18% временных ресурсов отводится на передачу
испытательных последовательностей. К тому же известны приложения, когда
достоверная
информация
о
структуре
тестовых
последовательностей
отсутствует, как например, в задачах радиоконтроля. Наряду с этим оценки
импульсной характеристики канала необходимы для работы некоторых
алгоритмов демодуляции, например, для алгоритма «приём в целом с
поэлементным принятием решения» [1]. Возможным способом нахождения
импульсной
характеристики
канала
в
подобных
условиях
является
применение методов слепой идентификации.
Слепая идентификация – это фундаментальная технология обработки
сигналов на принимающей стороне, целью которой является получение
информации
о
системе
в
условиях
априорной
неопределённости
относительно свойств канала. В свою очередь, слепая идентификация
подразделяется на 2 основных метода. Первый метод заключается в
оценивании импульсной характеристики (ИХ) на выходе канала для
дальнейшего применения ИХ при вынесении решений демодулятором,
второй состоит в непосредственной оценке сообщения на выходе источника.
В данной работе будет рассматриваться только первый метод.
Метод максимального правдоподобия
Классическим подходом к решению задачи оценивания неизвестных
параметров с известными функциями распределения является метод
максимального
правдоподобия.
Применение
к
задачам
слепой
идентификации метода максимального правдоподобия подробно описано в
[2]. Здесь приведём без доказательства основные тождества этого метода и
ограничения, накладываемые им. Основным требованием данного метода
является наличие не менее 2 разнесённых в пространстве приёмных антенн,
обеспечивающих независимость информационных последовательностей по
ветвям разнесения. Второе условие предполагает «недетерминированность»
информационной последовательности.
Считая вышесказанные ограничения выполненными, предположим
следующее:
y = HM s + w
(1)
Здесь y – информационная последовательность на входе блока
оценивания, HM – обобщённая матрица Сильвестра, составленная из векторов
импульсных характеристик, w - аддитивный белый гауссовский шум.
Согласно [2], максимально правдоподобная оценка HM из (1)
определяется из условия:
( Н М , s) ML = arg min y − H M s
2
(2)
H M ,s
Следовательно:
( H M ) ML = arg min ( I − PH ) y
2
(3)
Здесь I – единичная матрица, а PH – ортогонально проецирующая
матрица на поле HM .
В литературе [3] описаны методы по вычислению выражения (3), но
известен более элегантный способ минимизации данного соотношения.
Согласно
методу,
предложенному
в
[2],
выражение
(3)
можно
минимизировать, воспользовавшись алгоритмом, состоящим из двух этапов:
-
на
первом
этапе
получаем
точную
оценку
импульсной
характеристики при условии наличия только белого шума в канале:
hc = arg min h =1 h H YMH YM h
(4)
На втором этапе получаем точную оценку импульсной характеристики:
he = arg min h =1 h H YMH (GCH GC ) # YM h
(5)
Минимизация правых частей (4) и (5) заключается в нахождении
собственных
векторов,
соответствующих
минимальных
собственным
значениям матриц YMH YM и YMH (GCH GC ) # Y соответственно.
Таким образом, решение задачи слепой идентификации методом
максимального правдоподобия сводится к отысканию собственных векторов
указанных выше матриц.
Методы определения собственных пар матриц
Напомним, что под собственными значениями матрицы А понимаются
корни её характеристического полинома. Связь собственных значений с
собственными векторами выражается тождеством:
Ax = λx
(6)
Проблема нахождения всех собственных значений называется полной в
том случае, когда нас интересуют только некоторые собственные пары,
например наибольшие или наименьшие. В рассматриваемой задаче требуется
определить
собственные
вектора,
соответствующие
наименьшим
собственным значениям.
Все методы определения собственных пар делятся на точные и
итерационные
методы
[4].
Методы
считаются
точными,
если
их
осуществлять для матриц с точно заданными элементами и вычисления
производить по правилам действий над обыкновенными дробями. В таком
случае будет получено точное значение коэффициентов характеристического
полинома.
Значит,
формулами
через
собственные
собственные
векторы
значения.
будут
В
выражены
итерационных
точными
методах
собственные значения получаются как пределы некоторых числовых
последовательностей. Исходные матрицы в большинстве этих методов
многократно трансформируются преобразованиями подобия. Рассмотрим
некоторые из методов определения собственных пар.
QR - алгоритм
Этот алгоритм получил наибольшее распространение для отыскания
характеристических чисел действительных и комплексных матриц. Этот
метод применяется в большинстве специализированных программных
пакетов математического обеспечения. Он заключается в следующем: для
исходной матрицы А строят QR - разложение [5] А=Q0R0. В полученном
разложении меняют местами множители. Это приводит к матрице А1=Q0R0, с
которой
поступают
аналогично,
повторяют
этот
шаг.
Построенная
последовательность матриц сходится к треугольной матрице. Важным
приёмом ускорения QR – алгоритма является использование сдвигов σ k для
повышения скорости убывания по абсолютной величине элементов, лежащих
ниже главной диагонали. С этой целью на каждом (k+1) шаге QR –
разложения строят не для матрицы Аk, а для матрицы Аk - σ k E. Таким образом:
Аk+1=Rk + σ k E
(7)
Метод вращений
Для симметричной задачи отыскания собственных векторов в
настоящее время наиболее употребительным является метод вращений.
Основная идея метода заключается в том, что исходная матрица путём
вращений,
посредством
преобразования
подобия
сходится
к
трёхдиагональной.
Матрица преобразования подобия выглядит так:
1

 с . −s 



Tij=  . 1 .


 s . c


1 
Нахождение собственных значений для трёхдиагональной матрицы
является задачей тривиальной.
Таким образом, задача нахождения максимально правдоподобной
оценки решается весьма успешно при применении соответствующего
математического аппарата. Наряду с этим стоит заметить, что на данный
момент проблема поиска минимальных собственных значений в литературе
освещена недостаточно подробно, что открывает новые возможности для
исследования и оптимизации методов нахождения собственных значений
применительно к задаче слепой идентификации.
Список литературы:
1. Карташевский В.Г.
Обработка пространственно-временных
сигналов в каналах с памятью, М.: Радио и связь, 2000г.,-242с.
2. Abed-Meraim K., Qiu W., Hua Y. Blind system identification. // IEEE
Proceedings, 1997, Vol.85, pp. 1308-1322.
3. D. Starer and A. Nehorai “Passive localization of near-field sources by
path following”, IEEE Trans Signal Processing, vol. 42, pp. 677-680, Mar.
1994.
4. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры, М.: 1963 г., - 734 стр.
5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра и прикладные аспекты: учеб.
пособие – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Магистр : ИНФРА-М, 2010. – 528 с.