УЗЛОВОЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ РАСЧЕТА ЗАДАЧ

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 25 (316).
Физика. Вып. 18. С. 57–63.
И. В. Березанский, В. С. Суров
УЗЛОВОЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ РАСЧЕТА ЗАДАЧ
МНОГОЖИДКОСТНОЙ ГИРОДИНАМИКИ
В рамках обобщенно-равновесной модели многокомпонентной смеси, в которой учтены силы межфракционного взаимодействия, численно с использованием узлового метода характеристик решается
одномерная задача локализации контактных поверхностей в переменных Эйлера.
Ключевые слова: односкоростная многокомпонентная смесь, контактные границы, гиперболические
системы уравнений в частных производных, узловой метод характеристик, численное моделирование.
1. Введение
В случае применения ОР-модели задача ставится следующим образом [13]. Необходимо
рассчитать совместное течение n различных
идеальных сжимаемых жидкостей (газов), разделенных друг от друга контактными границами.
При этом движение каждой из сред, которые занимают некоторые конечные не обязательно связные объемы Vj (j = 1, … , n), описывается уравнениями Эйлера. Для решения поставленной задачи
необходимо, чтобы в начальный момент времени
(t = 0) объемные доли фракций в смеси удовлетворяли равенствам αij = δij (∀x∈Vj), где αij — объемная доля i-й фракции в j-м объеме; δij — дельта
Кронекера. Следует отметить, что в ОР-модели
концентрации компонентов в смеси должны быть
всегда строго больше нуля, поэтому в расчетах
нулевые начальные концентрации компонентов
заменяются очень малыми значениями порядка
10–8, что не снижает точности вычислений.
В литературе описан ряд подходов, с использованием которых в переменных Эйлера решается задача
определения положений контактных границ между
различными идеальными сжимаемыми жидкостями. В одних межфазные границы моделируются
невесомыми маркерами, перемещающимися в пространстве [1–2], в других для фиксации контактных
границ используются методы VOF [3], level set [4],
концентраций [5–6]. Для локализации контактных
границ между идеальными газами применяется
Y-модель [7]. В γ-модели возможен расчет совместного движения не только идеальных газов, но также
сред, описываемых с использованием более сложных
уравнений состояния (см. [7]). В [8] γ-модель использовалась для сред с уравнениями состояния вида
Ван-дер-Ваальса, в [9] — с уравнениями состояния
Ми — Грюнайзена. В последнее время для локализации контактных границ часто используется α-модель
[10–11]. Заметим, что применение α-модели ограничено в отличие от используемой в настоящей работе
обобщенно-равновесной или ОР-модели, предложенной в [12], двумя сжимаемыми средами.
2. Обобщенно-равновесная модель смеси
Уравнения, описывающие совместное движение сред, следующие [14]:
u
1
p
u div u 0,
u u grad p 0,
u p c div u 0;
t
t
t
i
ρi0
u i i (1 Gi ) div u 0, i 1, ..., n 1,
u ρi0 ρi0Gi div u 0,
t
t
(1)
где
1
ε 1 ε p
Gi 0 0i 0 c 2 i ,
p ρi ρi ρi
c
1
1
ε p
ε n 1 p ε ε ε 1 p (ρi0 ) 2 0i ρ 0 0 0i αi
ρ i 1 ρi ρi ρi αi ρi ρ
.
1
ε n 1 ε ε α ε
ε
0 ρ i 0i 0i
p
p
ρ
ρ
α
ρi i 1
i
i i
Обозначения к (1)–(2) приведены в конце статьи.
(2)
58
И. В. Березанский, В. С. Суров
Для одномерных течений систему (1) перепишем в векторно-матричной форме
U
U
(3)
A
0,
t
x
где
u p 1 U 0 ,
1 n 1 0 n 1 При описании термодинамических свойств
каждой из фракций используются калорические
уравнения состояния, в общем случае имеющие вид εi = εi(p,ρ0i). Соотношение для удельной
внутренней энергии смеси ε определяется равенством
1 n
(4)
i i0 i .
i1
Как показано в [14], система уравнений (3) является гиперболической с корнями характеристического уравнения
λ1 = u – c, λ2 = … = λ2n = u, λ2n+1 = u + c.
Если при описании поведения компонентов
смеси использовать уравнения состояния вида
i i ( p,i0 ) p c2i i0 i )
i0 ( i 1)
bi pBi
di ,
i0
где Bi = 1/(γi – 1), di = c2*iBi, bi = diρ*i (γi, ρ*i, c*i —
константы, индивидуализирующие i-ю фракцию),
то выражение для удельной внутренней энергии
смеси (4) примет вид
а соотношения для Gi и скорости звука (2) перепишутся как
Gi 1
ρc 2 Bi p
n 1
n 1
, c 1 B αi (bn Bi bi Bn ) b p 1 + B αi (bi n pBi n ) ,
n
n
n
bi pBi
bi pBi
bi pBi
i=1
i=1
где Bin = Bi – Bn, din = di – dn, bin = bi – bn.
Характеристические соотношения вдоль характеристических направлений dx/dt = u ± c могут быть
получены из уравнения
где ξ = dx/dt.
59
Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики
После вычисления определителя имеем выражения
dp ± ρcdu = 0,
(5)
справедливые вдоль характеристических направлений dx/dt = u ± c.
Вдоль траекторной характеристики dx/dt = u
выполняются равенства
dp c 2 d 0, d i d i i (1 Gi )
d 0,
i
d 0, i 1, ..., n 1,
(6)
которые следуют из системы (3).
При интегрировании системы уравнений (3)
применялся узловой метод характеристик (УМХ),
который позволяет с минимальной погрешностью
рассчитывать задачи многожидкостной гидродинамики. Заметим, что при использовании других
известных методов возможно «искажение» численного решения, что будет показано на примере 3, где дополнительно проводились расчеты с
помощью метода Куранта — Изаксона — Риса
(КИР) [15].
3. Узловой метод характеристик для смеси
УМХ относится к бессеточному типу. Для
его описания достаточно рассмотреть способ определения значений искомых величин в
узле (xk, tm+1) по известным данным в узлах на
m-м временном слое. Для регулярных узлов
решение поставленной задачи получим с использованием следующей итерационной процедуры [16–17]. На «нулевой» итерации (ν = 0)
полагаем, что значения искомых переменных в
точке (xk, tm+1) совпадают с данными из (xk, tm),
поэтому
характеристические
направления
dx/dt = u, dx/dt = u ± c аппроксимируются выражениями:
xk – xvC = uv∆t, xk – xvL = (uv + cv)∆t, xk – xvR = uv∆t,
где ∆t = tm+1 – tm. Из последних равенств определяем положения точек пересечения характеристик с
прямой t = tm (рис. 1а):
xLv = xk – (uv + cv)∆t, xvC = xk – uv∆t,
xvR = xk – (uv – cv)∆t.
(7)
Параметры (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(0) в найденных точках (xL, xC, xR)(0) находятся интерполяцией по их известным значениям в узлах xk–1, xk и
p ( xkm 1 )
+1
+1
p ( xLm ) ( xLm )c( xLm ) u ( xkm 1 ) u ( xLm ) 0,
p ( xkm 1 )
+1
+1
p ( xRm ) ( xRm )c( xRm ) u ( xkm 1 ) u ( xRm ) 0,
+1
p ( xCm ) c 2 ( xCm ) ( xkm 1 ( xCm ) 0,
+1
+1
( xCm ) i ( xkm 1 ) i ( xCm ) i ( xCm ) 1 Gi ( xCm ) ( xkm 1 ) ( xCm ) 0,
+1
( xCm ) i ( xkm 1 ) i ( xCm ) i ( xCm )Gi ( xCm ) ( xkm 1 ) ( xCm ) 0,
p ( xkm 1 )
+1
(8)
i 1, , n – 1.
u
u
a
u–c
u+c
б
u–c
u+c
tm+1
tm
tm+1
m+1
xC
tm
m
xC xk
xC
xR xk+1
xL
Рис. 1. Схема расчета для регулярных узлов (а) и для подвижного контактного узла (б)
xk–1 xL
xR
60
И. В. Березанский, В. С. Суров
xk+1. Соотношения (5)–(6) перепишем в конечноразностном виде как
Решая систему (8) при ν = 0 относительно переменных (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(1), найдем
уточненные значения искомых функций в точке
(xk, tm+1). Затем по этим данным из выражений (7)
вычисляются новые координаты (xL, xC, xR)(1), которые в свою очередь используются для определения
(ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(2) из (8), где необходимо
положить ν = 1. Описанный итерационный процесс продолжается вплоть до сходимости.
В алгоритм УМХ нетрудно включить подвижные контактные границы. Будем считать, что в
начальный и последующие моменты времени
контактная граница располагается в узле xC. На
«нулевой» итерации (ν = 0) полагаем, что значения искомых переменных в точке xCm+1 совпадают
с данными из x mC, поэтому характеристические направления dx/dt = u, dx/dt = u ± c аппроксимируются выражениями (рис. 1б)
(9)
( xCm +1 ) ( xLm ) u ( xCm ) c( xCm ) t ,
( xCm +1 ) ( xRm ) u ( xCm ) c( xCm ) t ,
(10)
которые дают возможность найти (xCm+1)(0) и положение точек пересечения крайних характеристик
с прямой t = tm:
( xLm ) ( xCm+1 ) u ( xCm ) c( xCm ) t ,
( xRm ) ( xCm+1 ) u ( xCm ) c( xCm ) t.
(11)
Параметры в найденных точках, (x Lm, xRm)(0) находятся интерполяцией по их известным значениям в узлах xC–1, xC и xC, xC+1. Вдоль найденных
характеристических направлений выполняются
соотношения
которые позволяют получить уточненные значения искомых величин (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(1)
в узле (xCm+1)(1). Далее из формул (9) и (11) определяем новые положения контактной границы и
точек пересечения крайних характеристик с прямой t = tm. Затем из системы (12), где необходимо положить ν = 1, вычисляем значения величин
(ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(2) в точке (xCm+1)(2) и т. д.
Описанный итерационный процесс продолжается вплоть до сходимости.
4. Результаты вычислений
Для иллюстрации применения описанного
выше численного метода, используемого для локализации контактных границ, рассмотрено несколько тестовых примеров взятых из [18–19].
Пример 1. Рассмотрена задача Римана при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [18]: «слева» (x < 5) от контактной границы, разделяющей различные среды, — (p, u, ρ, γ,
ρ*, c*)L = (50, 0, 7,87, 3, 7,87, 1); и «справа» от нее
(x > 5) — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)R = (1, 0, 2, 2, 2, 1).
На рис. 2 представлены данные численных расчетов течения, полученные с использованием УМХ на
равномерной сетке из 400 ячеек в сравнении с точным решением к моменту времени t = 1,0 с.
Пример 2. Рассчитана задача Римана при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [18]: «слева» (x < 5) от контактной
границы, разделяющей различные среды, —
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*)L = (1, 0, 7,87, 1,4, 7,87, 1);
«справа» от нее (x > 5) — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)R =
(10, –2, 8,5, 3, 8,5, 1).
На рис. 3 приведены данные численных расчетов течения, полученные с использованием
УМХ на равномерной сетке из 400 ячеек в сравнении с точным решением к моменту времени
t = 1,0 с.
p ( xCm 1 )
+1
+1
p ( xLm ) ( xLm )c( xLm ) u ( xCm 1 ) u ( xLm ) 0,
p ( xСm 1 )
+1
+1
p ( xRm ) ( xRm )c( xRm ) u ( xCm 1 ) u ( xRm ) 0,
p ( xCm 1 )
+1
p ( xCm ) c 2 ( xCm ) ( xCm 1
+1
( xCm ) 0,
( xCm ) ι ( xCm 1 )
+1
ι ( xCm ) ι ( xCm ) 1 Gι ( xCm ) ( xCm 1 )
( xCm ) ι ( xCm 1 )
+1
ι ( xCm ) ι ( xCm )Gι ( xCm ) ( xCm 1 ) ( xCm ) 0, i 1, , n – 1,
+1
( xCm ) 0,
(12)
61
Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики
50
50
pρ
ρr
40
40
66
30
30
20
20
44
10
10
00
0
33
0
22
00
99 x x
66
33
99 xx
66
Рис. 2. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 1,0 с, полученные с помощью УМХ
(штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые
pρ
rρ
20
20
20
20
15
15
15
15
10
10
55
10
10
00 0
0
33
99 xx
66
00
3
66
3
99 xx
Рис. 3. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 1.0 с, полученные с помощью УМХ
(штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые
ρp
uu
00
ρr
120000
120 000
22
-10
–10
100 100000
000
11
80 80000
000
0,0
0,0
0,3
0,3
0,6
0,6
0,9 xx
0,9
0,0
0,0
-20
–20
0,3
0,3
0,6
0,6
x
0,9 x
0,9
0,0
0,0
0,3
0,3
x
0,9
0,9
0,6
0,6
Рис. 4. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 0,3 мс, полученные с помощью УМХ
(штриховые кривые); КИР (штрихпунктирные); точное решение — сплошные кривые
ρp
1,5
uu
rρ
1,5
200
200
150000
150 000
1,0
1,0
100000
100 000
50 50000
000
0
0,0
0,0
100
100
0,5
0,5
0,3
0,3
0,6
0,6
0,9 x
x
0,9
0,0
0,0
0,0
0,3
0,3
0,6
0,6
0,9 x
0,9
0
0,0
0,0
0,3
0,3
0,6
0,6
0,9 xx
0,9
Рис. 5. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 0.28 мс, полученные с помощью УМХ
(штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые
x
62
И. В. Березанский, В. С. Суров
Для следующего тестового примера расчеты
проводились также с использованием схемы КИР
(см. [15]):
U im 1 U im
U m U im1/ 2
Aim i 1/ 2
0,
t
x
ность получать неосциллирующие решения, совпадающие с имеющимися точными значениями.
Рассмотренный подход позволяет учесть эффекты
вязкости и теплопроводности, если воспользоваться
моделями смеси из [20–21].
Обозначения
где
U (, u, p, , 1 , , 2 ) ,
0
1
0
2
T
Здесь Λ — диагональная матрица собственных
m
значений матрицы A i , Ω — матрица, строками которой являются левые собственные векторы матрицы Ai.
Пример 3. Рассмотрена задача Римана для трех
различных газов при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [19]:
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (0,8 · 105, 0, 2,5, 1,2, 2,5, 0), x < 0,3,
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,0 · 105, 0, 1,5, 1,4, 1,5, 0), 0,3 ≤ x < 0,6,
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,2 · 105, 0, 0,5, 1,67, 0,5, 0), x ≥ 0,6.
На рис. 4 представлены данные численных
расчетов течения, полученные с использованием
УМХ и метода КИР, к моменту времени t = 0,3 мс
на равномерной сетке из 200 ячеек в сравнении с
точным решением. Следует отметить при использовании метода КИР положения контактных разрывов и ударных скачков существенно разнятся с
точными. Не исправляет ситуацию и измельчение
расчетной сетки.
Пример 4. Рассмотрена задача Римана для трех
различных газов при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [19]:
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,8 · 105, 0, 1,5, 1,4, 1,5, 0), x < 0,3,
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,0 · 105, 0, 1,0, 1,2, 1,0, 0), 0,3 ≤ x < 0,6,
(p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (0,2 · 105, 0, 0,15, 1,67, 0,15, 0), x ≥ 0,6,
На рис. 5 представлены результаты численных
расчетов течения, полученные с использованием
УМХ, на равномерной сетке из 200 ячеек к моменту времени t = 0.28 мс в сравнении с точным
решением.
5. Выводы
В рамках обобщенно-равновесной модели многокомпонентной смеси численно решается задача
о движении многожидкостной среды в переменных Эйлера. Описан узловой метод характеристик,
предназначенный для интегрирования одномерных
уравнений модели со «сквозным» расчетом ударных скачков, применение которого дает возмож-
с — скорость звука в смеси;
n — количество фракций в смеси;
p — давление;
u — скорость смеси;
x — пространственная переменная;
α — объемная доля;
ε — удельная внутренняя энергия;
ρi0 — истинная плотность i-й фракции;
ρ — плотность смеси;
ρi = αiρi0 — приведенная плотность.
Нижние индексы L и R — для параметров смеси «слева» и «справа» от контактного разрыва (С);
k — номер узла;
m — номер временного слоя;
Верхние индексы ν — номер итерации.
Список литературы
1. Glimm, J. Robust computational algorithms
for dynamic interface tracking in three dimensions /
J. Glimm, J. Grove, X Li et al. // SIAM J. Sci. Comput.
2000. Vol. 21, № 6. P. 2240–2276.
2. Суров, В. С. Взаимодействие ударных волн с
каплями пузырьковой жидкости // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71, № 6. С. 17–22.
3. Scardovelli, R. Direct numerical simulation of
free-surface and interfacial flow / R. Scardovelli, S. Zaleski
// Annu Rev. Fluid Mech. 1999. Vol. 31. P. 567–598.
4. Osher, S. A level set method: An overview and
some recent results / S. Osher, R. P. Fedkiw // J. Comput. Phys. 2001. Vol. 169. P. 463–502.
5. Бахрах, С. М. Расчет газодинамических течений на основе метода концентраций / С. М. Бахрах,
Ю. П. Глаголева, М. С. Самигулин и др. // Докл.
АН СССР. 1981. Т. 257, № 3. С. 566–569.
6. Бондаренко, Ю. А. Расчет термодинамических
параметров смешанных ячеек в газовой динамике
/ Ю. А. Бондаренко, Ю. В. Янилкин // Мат. моделирование. 2002. Т. 15, № 6. С. 63–81.
7. Abgrall, R. Computations of compressible multifluids / R. Abgrall, S. Karni // J. Comput. Phys. 2001.
Vol. 169. P. 594–623.
8. Shyue, K.-M. A fluid-mixture type algorithm
for compressible multicomponent flow with van der
Waals equation of state // J. Comput. Phys. 1999.
Vol. 156. P. 43–88.
9. Shyue K.-M. A fluid-mixture type algorithm for
compressible multicomponent flow with Mie — Gru-
Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики
neisen equation of state // J. Comput. Phys. 2001. Vol.
171. P. 678–707.
10. Allaire, G. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids /
G. Allaire, S. Clerc, S. Kokh // J. Comput. Phys. 2002.
Vol. 181. P. 577–616.
11. Murrone, A. A five-equation reduced model for
compressible two phase flow problems / A. Murrone,
H. Guillard // J. Comput. Phys. 2005. Vol. 202. P. 664–698.
12. Суров В. С. Течение Буземана для односкоростной модели гетерогенной среды // Инженер.физ. журн. 2007. Т. 80, № 1. С. 75–84.
13. Суров В. С. О локализации контактных поверхностей в многожидкостной гидродинамике //
Инженер.-физ. журн. 2010. Т. 83, № 3. С. 518–527.
14. Суров В. С. Об уравнениях односкоростной
гетерогенной среды // Инженер.-физ. журн. 2009.
Т. 82, № 4. С. 45–51.
15. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем
уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов,
А. Ю. Семенов. М. : ФИЗМАТЛИТ. 2001.
16. Суров В. С. Об одном варианте метода характеристик для расчета течений односкоростной
многокомпонентной смеси // Инженер.-физ. журн.
2010. Т. 83, № 2. С. 345–350.
63
17. Суров, В. С. Узловой метод характеристик для гиперболических систем / В. С. Суров,
Е. Н. Степаненко, И. В. Березанский // Материалы
XVIII междунар. конф. по вычислит. механике и
современным прикладным программным системам, г. Алушта, 22–31 мая 2013. М. : Моск. авиац.
ин-т. 2013. С. 668–671.
18. Guoxi, N. A remapping-free, efficient Riemannsolvers based, ALE method for multi-material fluids
with general EOS / N. Guoxi, J. Song and W. Shuanghu // Computers & Fluids. 2013. Vol. 71. P. 19–27.
19. Caia, L. An efficient ghost fluid method for
compressible multifluids in Lagrangian coordinate /
L. Caia, J.-H. Feng W.-X. Xie // Applied Numerical
Mathematics. 2008. Vol. 58. P. 859–870.
20. Суров, В. С. Сеточный метод характеристик
для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды / В. С. Суров,
Е. Н. Степаненко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2010.
№ 24 (205). Физика. Вып. 8. С. 15–22.
21. Суров, В. С. Новые гиперболические модели в
механике гетерогенных сред / В. С. Суров, И. В. Березанский // Механика композиционных материалов и
конструкций : сб. тр. IV Всерос. симпозиума, Москва,
4–6 дек. 2012, Т. 2. М. : Ин-т приклад. механики РАН,
2012. С. 252–265.