Урок 4

34
Урок 4
Волновой пакет
1.21. (Задача 2.9.) Найти групповую скорость волнового пакета, состоящего из
двух плоских волн с близкими частотами ω0 ± ∆ω , распространяющихся в диспергирующей среде.
Решение Пусть в направлении оси Z распространяются две плоские волны с
одинаковой поляризацией, одинаковой амплитудой E0 и различными частотами ω1 =
ω0 − ∆ω, ω2 = ω0 + ∆ω. Волновые числа равны k1 и k2 соответственно. Напряженность результирующего поля равна сумме напряженностей обеих волн в силу
принципа суперпозиции
E = E0 cos(ω1 t + k1 z) + E0 cos(ω2 t − k2 z + α) =
k2 − k1
α
ω2 + ω1
k2 + k1
α
ω2 − ω1
= 2E0 cos
t−
z+
cos
t−
z+
.
2
2
2
2
2
2
(1)
Каждая из волн является решением волнового уравнения, для которой k = ωc n,
где n — показатель преломления среды. Если среда обладает дисперсией, тогда показатель преломления n зависит от частоты и естественно предположить, что n1 =
n0 − ∆n1 , n2 = n0 + ∆n2 (n0 — показатель преломления при частоте ω0 ), ∆n1 ≈
∆n2 = ∆n, ∆n << n0 , так как ∆ω << ω0 . Тогда, отбрасывая величины второго
2
2
1
= ∆ω, ω1 +ω
= ω0 , k1 +k
= n02ω0 = k0 ,
порядка малости, получаем ω2 −ω
2
2
2
k2 −k1
n0 ∆ω
∆nω0
≈ c + c = ∆k и выражение (1) примет вид
2
α
α
E = 2E0 cos ∆ωt − ∆kz +
· cos ω0 t − k0 z +
.
(2)
2
2
Эту результирующую волну можно рассматривать как волну с частотой ω0 и волновым числом k0 , но с медленно и притом непериодически меняющейся амплитудой
A = 2E0 cos(∆ωt − ∆kz + α2 ). Волна (2), строго говоря, уже не будет гармонической, но при ∆ω << ω0 и ∆k << k0 изменение модулированной амплитуды A в пространстве и во времени происходит за период TA = 2π/∆ω и на
длине λA = 2π/∆k, которые много больше периода T0 = 2π/ω0 и длины волны
λ0 = 2π/k0 соответственно. Для определения скорости перемещения фазы волны
(2) выберем какое-нибудь значение фазы, положив
α
ω0 t − k0 z + = const .
(3)
2
Переписывая выражение (3) в виде
z=
2 const +α ω0
+
t,
2k0
k0
35
1. Волны в пространстве-времени
заключаем, что точка, где находится значение выбранной нами фазы, движется со
скоростью v = ω0 /k0 . Чему равна скорость перемещения данного значения амплитуды? Амплитуда A будет постоянной, если постоянен аргумент под косинусом в A,
т. е.
α
∆ω · t − ∆k · z + = const,
2
или
∆ω
2 const
z=
t+α−
.
∆k
2∆k
Отсюда видно, что точка, где находится значение выбранной амплитуды, движется со скоростью v = ∆ω/∆k, называемой групповой скоростью.
1.22. (Задача 2.10.) Найти волновой пакет для момента времени t = 0, если его
амплитудная функция имеет гауссовский вид
( 2 )
k − k0
a(k) = a0 exp −
.
∆k
Решение Волновой пакет — это результирующее поле, полученное путем наложения гармонических волн с непрерывно меняющимся волновым вектором k. В нашем
случае закон изменения k дается в условии задачи выражением a(k), поэтому
E(z, t) =
∞
Z
a(k)ei(ωt−kz) dk.
−∞
При t = 0 имеем
E(z, 0) =
Z
∞
a(k)e−ikz dk = a0
−∞
Z
∞
e −(
k−k0
∆k
2
)
−ikz
dk.
−∞
Делая в уравнении (1) замену
ξ=
k − k0
∆kz
+i
,
∆k
2
получаем
E(z, 0) = a0 e
−ik0 z −z 2 ∆k2 /4
e
Z
∞
−∞
√ −z2 ∆k2
2
e−ξ dξ = a0 ∆k πe 4 e−ik0 z .
(1)
36
1.23. (Задача 2.11.) Определить форму и движение волнового пакета, состоящего
из плоских волн одинаковой амплитуды и с волновыми векторами,лежащими в обла
сти |k0 −k| ≤ q. Дисперсия среды линейна: ω(k) = ω(k0 ) + ∂ω
∂k k=k0 · (k − k0 ). ∂ω ∂ω ∂ω Решение Выражение ∂ω
— это вектор с компонентами ∂k
,
,
.
∂k ∂k
∂k
x
y
z
k=k0
Тогда зависимость частоты ω от k будет
ω(k) ∼
= ω0 + ux (kx − k0x ) + uy (ky − k0y ) + uz (kz − k0z ),
(1)
где ω0 = ω(k0 ). Сложная зависимость ω от k возникает в связи с тем, что диэлектрическая проницаемость вещества, а с ней и показатель преломления n зависят от частоck
.
ты волны или от k. Для каждой плоской волны выполняется соотношение ω = n(k)
Видом этой функции определяется закон дисперсии волны. Учтем, что в нашем случае
дисперсия среды линейна. Тогда волновой пакет, являющийся суперпозицией плоских
волн с одинаковыми амплитудами a0 и различными частотами, удовлетворяющими
соотношению (1), запишется так:
Z
Z
E(r, t) = E0 ei(ωt−kr) dk = a0 ei{[ω0 +u(k−k0 )]t−(kr)} dkx dky dkz . (2)
Интеграл (2) — трехмерный по области |k − k0 | ≤ q. Учитывая, что (uk) =
ux kx + uy ky + uz kz и вводя вектор ρ = r − ut, запишем
Z
(3)
E(r, t) = a0 ei(ω0 t−rk0 ) e−iρ(k−k0 ) dkx dky dkz .
Перейдем от интегрирования по k в декартовой системе координат к интегрированию в сферической системе координат с полярной осью вдоль вектора ρ и с началом
в точке k0 . Получим
Z qZ π
0
2
i(ω0 t−rk0 )
E(r, t) = a0 e
e−iρk cos θ 2πk 0 dk 0 sin θdθ,
(4)
0
0
где k0 = k − k0 . Интегрируя правую часть уравнения (4) по θ, получаем
Z
1 q
E(r, t) = 4πa0 ei(ω0 t−k0 r) ·
sin ρk 0 · k 0 dk 0 .
ρ 0
Окончательно
4πa0 q
E(r, t) =
ρ2
sin ρq
− cos ρq ei(ω0 t−k0 r) .
ρq
(5)
37
1. Волны в пространстве-времени
Выражение (5), описывающее результирующее поле, можно представить в виде
произведения двух сомножителей:
4πa0 q sin ρq
A(r, t) =
и ei(ω0 t−k0 r) .
ρ2
ρq
Второй из них представляет бегущую волну, однородную в пространстве со средней частотой ω0 и волновым вектором k0 . Множитель A(r, t) можно рассматривать
как амплитуду результирующей волны, которая заметно отлична от нуля только в пространственной области ρq ≤ 1 и одинакова при равных ρq. Например, при ρq = 0,
т. е. ρ = 0, амплитуда максимальна и равна 2πa0 q 3 . Но ρ = |r − ut| равно нулю
в точке r = 0 в момент времени t = 0 и в последующие моменты времени в точках, определяемых радиусом вектором r = ut. Таким образом, результирующее поле
в действительности представляет волновой пакет, т. е. ограниченное в пространстве
возмущение, которое движется как целое без изменения формы с групповой скоростью u = dω
dk .
1.24. (Задача 2.13.) Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой a(k) = a0 exp{−α(k − k0 )2 }, учитывая и
квадратичные члены в дисперсии.
Решение В задаче 1.23. рассмотрено движение волнового пакета, когда квадратичные члены в дисперсии не учитывались. Получено, что волновой пакет движется, не «расплываясь». Исследуем этот вопрос в случае, когда в законе дисперсии
2
присутствует
квадратичный
член, т. е. ω(k) = ω0 + u(k − k0 ) + β(k − k0 ) , где
2 .
u = dω
, β = 12 ddkω2 dk (k=k0 )
(k=k0 )
Волновой пакет выразится интегралом
Z ∞
E(z, t) =
a(k)ei(ωt−kz) dk =
−∞
= a0 ei(ω0 t0 −kz)
Z
e−[(k−k0 )
2
(α−iβt)+i(k−k0 )(z−ωt)]
dk.
Обозначим γ = α − iβt, ξ = z − ut. Делая замену k1 = k − k0 и дополняя
до полного квадрата показатель экспоненты, получаем
Z ∞
√
ξ2
√ )2
−(k γ+ 2iξ
γ
E(z, t) = a0 aei(ω0 t0 −kz)− 4γ
dk 0 =
e 1
−∞
2
= a0 e
ξ
− 4γ
i(ω0 t0 −kz)
e
√
π
√ .
γ
38
Окончательно
E(z, t) = a0
r
(z−ut)2
π
e− 4(α−iβt) ei(ω0 t0 −kz) .
α − iβt
Поскольку амплитуда волны
E(z, t) = a0
r
(z−ut)2
π
e− 4(α−iβt)
α − iβt
комплексна, то проще исследовать характер зависимости пакета от z и t, образовав
квадрат модуля амплитуды, так как именно он определяет интенсивность волны:
πa20
α(z − ut)2
2
2
|E(z, t)| = |E0 (z, t)| = p
exp −
.
(6)
2(α2 + β 2 t2 )
α2 + β 2 t2
Из этого выражения p
видно, что полуширина кривой интенсивности p
растет со временем по закону ∆z = 2(α2 + β 2 t2 )/α, а высота убывает как 1/ α2 + β 2 t2 .
Волновой пакет расплывается, но для времени t << α/β пакет мало деформируется,
и можно говорить о его распространении со скоростью
dω ,
u=
dk (k=k0 )
называемой групповой.
1.25. (Задача 2.14.) Волновой пакет длиной ` входит в среду с дисперсией
ω(k) = ω0 + υg · (k − k0 ) +
a2
(k − k0 )2 .
2
Оценить его размер после прохождения слоя толщиной d.
Решение Используя решение задачи 1.24. (формула 1), для модуля амплитуды
волнового пакета находим
√
πa0
α(z − ut)2
|E0 (z, t)| = 2
.
exp −
4(α2 + β 2 t2 )
(α + β 2 t2 )1/4
Из этого выражения видно, что полуширина волнового пакета (расстояние, на
котором амплитуда уменьшается в e раз) определяется множителем в показателе экспоненты, равном
p
∆z(t) ≈ 4(α2 + β 2 t2 )/α,
39
1. Волны в пространстве-времени
√
а сам пакет движется с групповой скоростью u. Пусть при t = 0 ∆z(0) = 2 α =
`/2, тогда через интервал времени ∆t, равный времени прохождения слоя ширины
d, ∆t = d/u, размер пакета
"
2
∆S = ` +
16βd
u`
2 #1/2
"
=`· 1+
16βd
u`2
2 #1/2
.
Если второе слагаемое под корнем много больше единицы, размер пакета можно
оценить как ∆S ≈ 16βd/(u`).