МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«10» ноября 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Направление подготовки
230700 «Прикладная информатика»
Профиль подготовки
«Прикладная информатика в экономике»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Балашов
2014
СОДЕ РЖ АН И Е
С О Д Е Р Ж А Н И Е ............................................................................................... 2
1. Цели освоения дисциплины ............................................................................... 3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ....................................... 3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины.............................................................................................................. 3
Планируемые результаты обучения по дисциплине ........................................ 4
4. Содержание и структура дисциплины .............................................................. 4
4.1. Объем дисциплины ....................................................................................... 4
4.2. Содержание дисциплины ............................................................................. 4
4.3. Структура дисциплины ................................................................................ 5
5. Образовательные технологии, применяемые при освоении дисциплины .... 6
Информационные технологии, используемые при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине ...................................................... 6
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ....................................................... 6
Самостоятельная работа студентов по дисциплине ......................................... 6
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации по дисциплине ...................................................... 7
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС ...................................... 10
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ........ 11
Литература по курсу .......................................................................................... 12
Основная литература: ........................................................................................ 12
Дополнительная литература: ............................................................................ 12
Интернет-ресурсы .............................................................................................. 12
Программное обеспечение ................................................................................ 12
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ................................... 13
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Вариационное исчисление и
оптимальное управление» является: формирование у студента прочных
знаний по основам вариационного исчисления, численным методам
оптимизации; выработка у студента навыков, связанных с практическим
применением методов оптимизации при решении прикладных задач;
воспитание у студента культуры мышления, связанной с рациональным
выбором решений в различных областях человеческой деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
относится к блоку цикла дисциплин по выбору ООП (Б3.Д.3), для ее
освоения обучающиеся должны обладать знаниями, умениями и
готовностями, полученными из курсов «Математический анализ», «Линейная
алгебра и аналитическая геометрия», «Дифференциальные уравнения»
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины «Вариационное исчисление и
оптимальное управление» направлен на формирование следующих
компетенций:
Общекультурные компетенции:
- способностью владеть культурой мышления, способностью к
обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору
путей её достижения (ОК-1);
- способностью логически верно, аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь (ОК-2);
- способностью использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы
математического
анализа
и
моделирования,
теоретического
и
экспериментального исследования (ОК-10);
Профессиональные компетенции:
- способностью представить адекватную современному уровню знаний
научную картину мира на основе знания основных положений, законов и
методов естественных наук и математики (ПК-1);
- способностью выявить естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь для их
решения соответствующий физико-математический аппарат (ПК-2);
- готовностью учитывать современные тенденции развития электроники,
измерительной и вычислительной техники, информационных технологий в
своей профессиональной деятельности (ПК-3);
- способностью владеть методами решения задач анализа и расчета
характеристик электрических цепей (ПК-4).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- основные понятия теорий выпуклого анализа, математического
программирования, вариационного исчисления, минимизации функций;
- постановки
задач
выпуклого,
линейного
и
нелинейного
программирования, вариационного исчисления;
- методы решения типовых задач указанных областей;
 разнообразные постановки конкретных оптимизационных задач;
Уметь:
- решать стандартные задачи математического программирования и
вариационного исчисления;
- применять методы условной и безусловной минимизации функций
Владеть:
 стандартными программными средствами решения типовых
оптимизационных задач;
4. Содержание и структура дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72
часа, из них:
- по очной форме обучения 32 часа аудиторной работы (16 часов лекций
и 16 часов практических занятий), 40 часов самостоятельной работы,
дисциплина изучается в 6 семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
4.2. Содержание дисциплины
Тема 1. Основы оптимизации
Понятие о задачах оптимизации. Постановка задачи нелинейного
программирования (НЛП). Общая схема решения задач НЛП. Классификация
методов решения задач НЛП. Выпуклые оболочки, выпуклые множества,
выпуклые функции.
Задачи НЛП с ограничениями типа равенств. Правило множителей
Лагранжа.
Условия экстремума. Существование, единственность, устойчивость
точки минимума. Понятие о безусловной минимизации функций многих
переменных. Градиентный метод. Формулировка теорем о сходимости. Метод
скорейшего спуска. Метод градиента. Метод Ньютона.
Минимизация функций на выпуклых множествах. Условия минимума
выпуклой функции на выпуклом множестве, формулируемом с помощью
проекции.
Метод условного градиента. Метод проекции градиента. Условный метод
Ньютона.
Тема 2. Основы вариационного исчисления
Задача о Брахистохроне. Постановка простейшей задачи
вариационного исчисления. Типы экстремумов в вариационных задачах.
Понятия дифференцируемости по Гато и Фреше. Вариации интегральных
функционалов. Необходимое условие слабого локального минимума.
Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Вторая вариация интегрального функционала. Функция Вейерштрасса.
Условие Лежандра. Условие Якоби. Достаточное условие минимума. Задача
со свободными концами. Условия трансверсальности.
Тема 3. Оптимальное управление
Задача о мягкой посадке на Луну. Уравнение эволюции динамической
системы. Критерий качества в задаче оптимального управления. Функция
Гамильтона. Необходимые условия оптимальности в задаче со свободным
правым концом. Условия трансверсальности. Программные управления и
функция Беллмана. Достаточные условия оптимальности в задаче
оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина..
4.3. Структура дисциплины
1
2
3
Основы
оптимизации
Основы
вариационного
исчисления
Оптимальное
управление
Итого
Неделя семестра
Семестр
№
п/п
Раздел
Дисциплины
Виды учебной
работы, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
(в часах)
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
6
4
4
12
Контрольный срез
6
6
6
14
Контрольный срез
6
6
6
14
Контрольный срез
16
16
40
5. Образовательные технологии, применяемые при
освоении дисциплины
Рекомендуемые образовательные технологии: лекции, практические
занятия, самостоятельная работа студентов.
При проведении занятий рекомендуется использование активных и
интерактивных форм проведения занятий (компьютерных симуляций,
мозгового штурма, разбора конкретных ситуаций, иных форм) в сочетании с
внеаудиторной работой. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных
формах, должен составлять не менее 40 % аудиторных занятий.


Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8
настоящей программы).
Создание электронных документов (компьютерных презентаций,
видеофайлов, плейкастов и т. п.) по изучаемым темам и электронных
коллекций.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с
ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть
адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах
укрупнен шрифт, произведена замена текста аудиозаписью, использованы
звуковые средства воспроизведения информации.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
К самостоятельной работе студентов относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, составление отдельных алгоритмов и программ,
выполнение домашних и индивидуальных расчетных заданий, подготовка к
лабораторным работам, оформление отчетов по лабораторным работам,
выполнение контрольных работ.
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при
ежегодном обновлении банка средств. Количество вариантов заданий
зависит от числа обучающихся.
Самостоятельная работа студентов организуется по лекционным
материалам и рекомендованной литературе.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Практические задания составлены таким образом, что в них всегда
содержится констатация какого-либо факта, указание на предполагаемую
гипотезу, в рамках которой этот факт трактуется, а так же задание, которое
требуется выполнить. Для успешного выполнения задания необходимо
определить средства, которые могут понадобиться, а также исходные данные,
присутствующие в описании факта и гипотезы. Вид и форма результата
подразумеваются в задании, но, как правило, явно не указаны. Таким
образом, при известных исходных данных и относительной определенности
результата пути выполнения (решения) поставленного задания, то есть
последовательность действий, которая при строгом соблюдении всех шагов
приведет от исходных данных к достоверному результату. Содержание
практического или лекционного занятия при подготовке к которому
используется задание, как правило, подразумевает некоторый стандартный
алгоритм: при выполнении которого будет достигнут желаемый результат.
Студенту необходимо строго ему (этому алгоритму) следовать.
Необходимо подготовиться по темам рефератов для выступления на
практическом занятии (первая половина практического занятия) и к решению
задач (обсуждению решенных дома) из разделов, указанных в тематике
практических занятий (вторая половина занятия).
Каждый студент за время проведения практических занятий должен
выступить с докладом по выбранному им реферату и задать как минимум два
вопроса по выступлениям других студентов. Темы рефератов приведены в
заданиях для самостоятельной работы. Реферат должен содержать не менее
10 страниц формата А4 в содержательной части, должно присутствовать
введение с целями и задачами, заключение с краткими выводами и список
использованной при написании реферата литературы. Время выступления
одного студента с ответами на вопросы 30-40 минут, на доклад отводится 1030 минут.
Для промежуточной аттестации используются результаты решения
контрольной работы.
Варианты контрольной работы:
Вариант №1
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
f
3
x
2
x
extr
, x1 x2 4, xi  0 .
1
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи






2 2
2


I
(
y
)

y

y
cos
x

sin
x
dx
,y
(
0
)

0
,
y

1
.



4


0
4
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x


x

1
2
x
(
0
)

0
,t

[
0
,
4
],
0

u

,

i

x

Cos
(
u
)
2


F

x
(
4
)

2
x
(
4
)

min
1
2
Вариант №2
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
f x
extr
, 2x1 3x2 7.
1x
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи
3





3
 

2
2
2

I
(
y
)

y

4
y

2
xy

x
dx
,y


y
,
y

y
.



1
2

8
4






4
8
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x

x

1
2


0
)

0
,t

[
0
,
2
],
0

u
,

1x
i(

4
x

Cos
(
u
)

2

2

F

x
(
2
)

x
(
2
)

min
1
2
Вариант №3
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
x
3
x
x
4
f x2

extr
, x
.
1
2
1
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи



 
9
8

 

2 2
2

I
(
y
)

y

9
y

4
y
sin
3
x

5
x
dx
,y


y
,
y

y
.




1
2

9
9




8


9
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x
u

1
,x
0
)
1
, t
[
0
,2
],

1

u

1
,

i(

x
x
2
1

12 2
F
 u
dt

min
20
КОНРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1. Постановка задачи оптимизации. Задача безусловной оптимизации.
Постановка задачи оптимизации в общем виде. Понятия минимума.
Существование решения задачи оптимизации. Постановка задачи
безусловной оптимизации. Градиент и Гессиан. Необходимые и
достаточные условия в безусловной задаче. Пример.
2. Задача условной оптимизации. Классическая задача на условный
экстремум. Постановка задачи безусловной оптимизации. Линии
уровня. Геометрическая интерпретация условных задач. Классическая
условная задача. Функция Лагранжа. Правило множителей Лагранжа.
Достаточное условие оптимальности в условной задаче
3. Задача о брахистохроне. Значение и постановка. Решение задачи.
4. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Типы
экстремумов в вариационных задачах Постановка ПЗВИ. Множество
допустимых функций. Пространства непрерывных и непрерывнодифференцируемых функций и их нормы. Слабый и сильный
локальные минимумы.
5. Понятия дифференцируемости. Вариации интегральных функционалов.
Дифференцируемость по Фреше и Гато. Определение первой и второй
вариации интегрального функционала. Вычисление первой вариации.
6. Необходимое условие слабого локального минимума. Основная лемма.
Необходимое условие с использованием первой вариации. Основная
лемма вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Реймона.
7. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа.
Определение экстремалей. Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа в
зависимости от вида подынтегральной функции.
8. Вторая вариация интегрального функционала. Необходимое условие.
Вычисление
второй
вариации
интегрального
функционала.
Формулировка положительной и неотрицательной определенности
функционала. Необходимое условие с использованием второй
вариации.
9. Функция Вейерштрасса. Условие Лежандра. Определение функции
Вейерштрасса. Необходимое условие Вейерштрасса. Условие
Лежандра.
10.Уравнение Якоби. Сопряженные точки. Вывод уравнения Якоби.
Понятие присоединенного уравнения. Понятие сопряженной точки и
способ ее поиска.
11.Условие Якоби. Достаточные условия локального минимума. Понятие
сопряженной точки. Необходимое условие Якоби. Усиленное условие
Якоби. Достаточные условия слабого и сильного локальных
минимумов.
12.Задача вариационного исчисления со свободными концами.
Формулировка задачи со свободными концами. Необходимые условия
локального минимума. Естественные условия на концах.
13.Условия трансверсальности в вариационной задаче. Задачи
вариационного исчисления с подвижным концом. Необходимые
условия локального минимума. Условия трансверсальности.
14.Постановка задачи и основные понятия оптимального управления.
Задача о мягкой посадке на Луну. Понятие фазовых координат,
фазового пространства, управления и допустимого управления.
Уравнение динамической системы. Критерии качества. Классификации
задач.
15.Задача без ограничений на управление со свободным правым концом.
Постановка задачи без ограничений на управление со свободным
правым концом. Определение функции Гамильтона. Необходимое
условие оптимальности.
16.Задача без ограничений на управление с подвижным правым концом.
Постановка задачи без ограничений на управление с подвижным
правым концом. Определение функции Гамильтона. Необходимое
условие оптимальности.
17.Функция Беллмана. Достаточные условия оптимальности. Постановка
задачи с ограничением на управление. Определение функции Беллмана.
Достаточные условия оптимальности.
18.Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи с ограничением
на управление. Принцип максимума Понтрягина. Связь теории
оптимального управления и вариационного исчисления
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
Таблица 1. Примерная таблица максимальных баллов по видам учебной
деятельности.
1
2
3
4
5
6
7
8
Другие
Автоматиз виды Промежу
Лаборато Практич Самостоя
ированное учебно точная
Лекции рные
еские тельная
Итого
тестирова
й
аттестац
занятия занятия работа
ние
деятель
ия
ности
10
10
13
37
0
0
30
100
Примерная программа оценивания учебной деятельности студента
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др.за один семестр –от 0 до 10
баллов.
Лабораторные занятия
Контроль выполнения лабораторных работ в течение одного семестра от 0 до 10 баллов
Практические занятия
Контроль выполнения практических работ в течение одного семестра от 0 до 13 баллов.
Самостоятельная работа
Отчет по заданиям к практическим работам для самостоятельного
выполнения – от 0 до 47 баллов
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Дополнительно
Не предусмотрено.
Промежуточная аттестация
При определении разброса баллов при аттестации преподаватель может
воспользоваться следующим примером ранжирования:
21-30 баллов – ответ на «отлично»
11-20 баллов – ответ на «хорошо»
6-10 баллов – ответ на «удовлетворительно»
0-5 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды
учебной деятельности студента за один семестр по дисциплине «Теория игр»
составляет 100 баллов.
Таблица 2. Пример пересчета полученной студентом суммы баллов по
дисциплине «Теория игр» в оценку (экзамен):
86-100
«отлично»
70-85
«хорошо»
55-69
«удовлетворительно»
0-54
«не удовлетворительно»
50 баллов и более
«зачтено» (при
оценке)
меньше 50 баллов
«не зачтено»
недифференцированной
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература:
1. Пантелеев А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах : учеб.
пособие/ А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. -3-е изд., стер.. -М.: Высш. шк.,
2008. -544 с.
Дополнительная литература:
1. Корнеенко, В. П. Методы оптимизации : учебник [Текст] / В. П.
Корнеенко. - М.: Высш. шк., 2007. -664 с.
2. Зеликин, М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.
Изд. 2-е, испр. [Текст] / М.И. Зеликин. - М.: Едиториал УРСС, 2004. –
160 с.
3. Алексеев, В.М. Оптимальное управление [Электронный ресурс] /
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - М. : ФИЗМАТЛИТ,
2007. - 408 с. Режим доступа: ЭБС «IBOOKS6.
Интернет-ресурсы
1.
2.
3.
4.
http://mirea.boom.ru/diskret.html
http://rk-cmb.chat.ru/algo/ln_dm_01.htm
http://www.isu.ru/~slava/do/disc/curshome.htm
"Введение в анализ, синтез и моделирование систем" (http://www.intuit.ru/)
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office,
Turbo Pascal;
2. Пакет MathCad.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для
проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска;
2. Компьютерные классы (аудитории №№ 24, 25);
Рабочая программа дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное
управление» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по
направлению подготовки 230700 «Прикладная информатика» и профилю
«Прикладная информатика в экономике» (квалификация (степень)
«бакалавр») и требованиями приказа Министерства образования и науки РФ
№ 1367 от 19.12.2013 г. о порядке организации и осуществления
образовательной деятельности по образовательным программам высшего
образования – программам бакалавриата, программам специалитета,
программам магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры физики и
информационных технологий, протокол № 7 от «29» августа 2011 года)
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры
физики и информационных технологий, протокол № 2 от «16» октября 2014
года).
Автор:
канд. физ.-мат. наук, доцент
Кузнецов О.А.
Зав. кафедрой физики и информационных технологий
канд. пед. наук, доцент
Сухорукова Е.В.
Декан факультета математики, экономики и информатики
канд. пед. наук, доцент
Кертанова В.В.