Л. А. Латотин, кандидат педагогических наук, доцент, Б. Д

Л. А. Латотин,
кандидат педагогических наук, доцент,
Б. Д. Чеботаревский
кандидат физико-математических наук, доцент,
Могилёвский государственный университет им. А. А. Кулешова
latotsinl@yandex.ru
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ
Школьный учебник математики — структура со многими компонентами, одним из которых являются упражнения. Среди всего многообразия упражнений выделяются текстовые задачи, как такие упражнения, которые в
наибольшей степени способствуют умственному развитию школьников младшего и среднего школьного возраста.
Особенностью мышления детей этого возраста является преобладание образного мышления над абстрактным. Поэтому текстовые задачи с сюжетами, близкими опыту школьников, дают возможность освоить многие процедуры, составляющие основу интеллектуальных умений, а именно моделирование, анализ, синтез, сравнение, абстрагирование,
обобщение, конкретизацию и др.
Текстовые задачи, предлагаемые для решения в школьных учебниках математики, самые разнообразные. В методической литературе описаны некоторые типы текстовых задач, но удовлетворительной классификации текстовых
задач по тому или иному основанию не имеется. В этом сообщении предлагается классификация и методика решения
текстовых задач двух классов — задачи с одной величиной и задачи с пропорциональной зависимостью величин.
Условие задачи с одной величиной использует ту или иную величину — массу m, длину l, количество N, цену p,
стоимость K, путь s, скорость v, время t, производительность P и др. Базовыми задачами этого класса являются задачи
з двумя объектами. Пусть a — некоторая величина. Её значения можно сравнивать разностно или кратно, можно также говорить о сумме значений этой величины, т. е. в условии задачи могут быть использованы сами значения a1 и a2
величины, а также разность a1 – a2, частное a1 : a2 или сумма a1 + a2 этих значений. Числа a1, a2, a1 – a2, a1 : a2, a1 + a2
назовём характеристиками задачи. Поскольку описание двух объектов требует использования двух характеристик, то
возможны следующие типы текстовых задач с одной величиной: (a1; a2); (a1 (a2); a1 + a2); (a1 (a2); a1 – a2); (a1 (a2); a1 :
a2); (a1 + a2; a1 – a2); (a1 + a2; a1 : a2); (a1 – a2; a1 : a2). Таким образом, возможны семь типов задач с одной величиной.
Приведем пример задачи типа (a1 + a2; a1 – a2).
Задача 1. Река Припять имеет длину в 761 км и течет по территории Беларуси и Украины. Найдите её протяжённость по Беларуси, учитывая, что она на 239 км большая, чем по территории Украины.
Условие задачи с пропорциональной зависимостью величин построено на некоторой зависимости между тройкой величин. Примерами таких зависимостей являются зависимость s = vt пути s от скорости v движения и времени t
или зависимость N = n0n количества N конфет в коробке от количества n конфет в одном ряду и количества n рядов.
Базовыми задачами этого класса являются задачи з двумя объектами или явлениями. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 2. От Могилёва (Беларусь) до Сум (Украина) по шоссе 587 км. Из Могилёва (рис. 1) выехал первый автомобилист со скоростью 87 км/ч, а через некоторое время из Сум — второй автомобилист со скоростью 99 км/ч. Автомобилисты встретились в Чернигове. Найдите расстояния по шоссе от Чернигова до Могилёва и Сум, учитывая, что время нахождения в пути
первого автомобилиста вместе со временем нахождения в пути второго автомобилиста
составляют 6 ч 20 мин.
В этой задаче с использованием зависимости s = vt описаны два явления — движение первого и движение второго автомобилистов. По условию известны сумма s1 + s2 путей, покрытых первым и вторым автомобилистами, скорости v1 и v2 автомобилистов, сума
времён t1 + t2 нахождения автомобилистов в пути. Если в общем виде использовать зависимость a = bc, то эта задача есть задача типа (a1 + a2; b1; b2; c1 + c2). Вообще, условие задачи с пропорциональной зависимостью величин и двумя явлениями может содержать четыре из следующих 15 характеристик: a1; a2; b1; b2; c1; c2; a1 + a2; b1 + b2; c1 + c2; a1 – a2; b1
– b2; c1 – c2; a1 : a2; b1 : b2; c1 : c2. Не каждая четыре из них порождают задачу. Анализ показывает, что возможны такие типы задач: (a1; a2; b1 + b2; c1 + c2); (a1; a2; b1 + b2; c1 – c2); (a1; a2; b1 – b2; c1 – c2);
(a1; a2; b1 : b2; c1 + c2); (a1; a2; b1 : b2; c1 – c2); (a1 + a2; b1 : b2; c1; c2); (a1 – a2; b1 : b2; c1; c2); (a1 : a2; b1 + b2; c1; c2);
(a1 : a2; b1 – b2; c1; c2); (a1 + a2; b1 + b2; c1; c2); (a1 + a2; b1 – b2; c1; c2); (a1 – a2; b1 – b2; c1; c2); (a1 – a2; b1 + b2; c1; c2). Первых три типа (a1; a2; b1 + b2; c1 + c2); (a1; a2; b1 + b2; c1 – c2); (a1; a2; b1 – b2; c1 – c2) моделируются квадратными уравнениями, и поэтому не могут быть использованы в V—VI классах, когда при решении текстовых задач используются
арифметические средства. Остальные десять типов могут быть объектом рассмотрения на этом этапе обучения. Задачи
типов a1; a2; b1 : b2; c1 + c2); (a1; a2; b1 : b2; c1 – c2); (a1 + a2; b1 : b2; c1; c2); (a1 – a2; b1 : b2; c1; c2); (a1 : a2; b1 + b2; c1; c2);
(a1 : a2; b1 – b2; c1; c2), содержащие отношение значений одной из величин пропорциональной зависимости a = bc, в
методической литературе называют задачами на пропорциональное деление. Однако там обсуждается только простейший случай, когда отношение значений одной из величин равно единице. Однако наибольший интерес в отношении развития интеллектуальных умений представляют случай, когда это отношение есть натуральное число, большее
единицы, и случай, когда отношение есть несократимая дробь с числителем и знаменателем, большими единицы.
Рассмотрим в качестве примера методику решения задач 1 и 2.
Одной из возможных моделей задач с одной величиной является система
отрезков. Для задачи 1 она может быть такой, как показана на рисунке 2. Содержательное рассуждение при решении задачи может быть таким.
Уровняем протяжённость реки по Украине до её протяжённости по Беларуси. Тогда общая протяженность Припяти станет равной 761 км + 239 км, т. е. 1000
км. Получили удвоенную протяжённость реки по Беларуси. Тогда протяжённость
реки по Беларуси равна 1000 км : 2, т. е. 500 км.
Записи ученика в тетради могут быть такими.
1. Уровняем протяжённость Припяти по Украине до её протяжённости по Беларуси.
2. 761 км + 239 км = 1000 км — такова удвоенная протяженность Припяти по Беларуси.
3. 1000 км : 2 = 500 км — такова протяженность Припяти по Беларуси.
Ответ. 500 км.
Удобной моделью условия задач с пропорциональной зависимостью величин является табличная запись. Для
задачи 2 эта запись может быть такой.
Движение первого автомобилиста Движение второго автомобилиста
Путь
587 км
Скорость
87 км/ч
99 км/ч
Время
6 ч 20 мин
Содержательное рассуждение при решении задачи может быть таким. Уровняем скорости велосипедистов,
например, до скорости первого велосипедиста, т. е. скорость второго велосипедиста уменьшим на 99 км/ч – 87 км/ч, т.
е. на 12 км/ч. Тогда оба велосипедиста вместе проехали бы 87 км/ч • 6 ч 20 мин, т. е. 551 км. Это меньше действительного пути на 587 км – 551 км, т. е. на 36 км. Получается, что из-за уменьшения скорости на 12 км/ч второй велосипедист проехал меньше на 36 км. Значит, он был в пути 36 км : 12 км/ч, т. е. 3 ч. Поскольку второй велосипедист ехал из
Сум со скоростью 99 км/ч, то расстояние по шоссе между Черниговом и Сумами равно 99 км/ч • 3 ч, т. е. 297 км. Тогда расстояние по шоссе между Черниговом и Могилёвом составляет 587 км – 297 км, т. е. 290 км.
Записи ученика в тетради могут быть таким.
1. Уровняем скорости велосипедистов до скорости первого велосипедиста.
2. 99 км/ч – 87 км/ч = 12 км/ч — на столько уменьшена скорость второго велосипедиста.
Р
Припя
3. 87 км/ч • 6 ч 20 мин = 87 км/ч • 6
1
ч = 551 км — такой путь покрыли бы оба велосипедиста вместе.
3
4. 587 км – 551 км = на 36 км — на столько уменьшен путь, покрытый вторым велосипедистом.
5. 36 км : 12 км/ч = 3 ч — такое время был в пути второй велосипедист.
6. 99 км/ч • 3 ч = 297 км — таково расстояние по шоссе между Черниговом и Сумами.
7. 587 км – 297 км = 290 км — таково расстояние по шоссе между Черниговом и Могилёвом.
Ответ. 290 км; 297 км.
Анотація. Латотін, Л. А, Чеботаревский, Б. Д. Текстові задачі як один із засобів розвитку інтелектуальних вмінь учнів. Рішення текстових завдань з сюжетами, близькими досвіду школярів — найважливіший засіб розвитку інтелектуальних умінь учнів. Важливими класами текстових завдань є завдання з однією величиною (7 типів) і
завдання з пропорційною залежністю величин (13 типів), Усі завдання першого класу і 10 типів другого можуть бути
об'єктом розгляду в V—VI класах.
Ключові слова: інтелектуальні вміння; текстова задачі; задачі з однією величиною; задачі з пропорційної залежністю величин.
Аннотация. Латотин, Л. А, Чеботаревский, Б. Д. Текстовые задачи как одно из средств развития интеллектуальных умений учащихся. Решение текстовых задач с сюжетами, близкими опыту школьников — важнейшее средство развития интеллектуальных умений учащихся. Важными классами текстовых задач являются задачи
с одной величиной (7 типов) и задачи с пропорциональной зависимостью величин (13 типов), Все задачи первого класса и 10 типов второго могут быть объектом рассмотрения в V—VI классах.
Ключевые слова: интеллектуальные умения; текстовая задача; задачи с одной величиной; задачи с пропорциональной зависимостью величин.
Abstract. Latotin, L. A, Chebotarevsky, BD Word problems as a means of developing the intellectual skills of
students. Solution of word problems with plots similar experience students — the most important means of development of intellectual abilities of students. An important class of word problems are the problems with a single value (7 types), and the
problem with proportional quantities (13 types), All problems of the first class and 10 second type may be subject to review in
the V-VI classes.
Keywords: intellectual skills, word problems, problems with a single value, the problem with proportional dependent
variables.