Симметрия в математике, природе, химии, архитектуре

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«МОСКОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ИНТЕРНАТ
ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ»
им. П.Л. Капицы
XI научно-практическая конференция
«Старт в инновации»
Тема:
«Симметрия в математике, природе,
химии, архитектуре»
Автор работы: Кабанов Николай, 7 «А» класс
Куратор: Сергеева Ольга Петровна,
преподаватель алгебры и
геометрии
г. Долгопрудный,
2016 г.
Оглавление
Введение ..........................................................................................................................................1
1. Симметрия в математике ...........................................................................................................2
1.1. Осевая симметрия ...............................................................................................................2
1.2. Центральная симметрия .....................................................................................................2
1.3. Зеркальная симметрия ........................................................................................................2
1.4. Поворотная симметрия .......................................................................................................3
2.5. Переносная симметрия .......................................................................................................4
2. Симметрия в природе.................................................................................................................4
2.1. Симметрия у растений ........................................................................................................4
2.2. Симметрия простейших ......................................................................................................7
2.3 Симметрия у животных .......................................................................................................7
2.4 Симметрия у человека .........................................................................................................9
2.5. Симметрия кристаллов .....................................................................................................10
3. Симметрия в химии ..................................................................................................................13
4. Симметрия в архитектуре ........................................................................................................14
Практическая часть ......................................................................................................................18
Заключение ...................................................................................................................................22
Список литературы ......................................................................................................................23
Введение
Некоторые теоретические понятия встречаются и у истоков знания, и в самых различных
областях современной науки. К числу таких понятий относится и понятие симметрии.
Первоначальное понятие о геометрической̆ симметрии возникло в Древней̆ Греции.
Само слово «симметрия» произошло от греческого слова συμμετρία — соразмерность (συμ —
совместно + μετρέω — меряю).
В школьной программе по математике под «симметрией» понимается такое
преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую
точку M’ относительно некоторой плоскости (прямой или точки) a, когда отрезок MM’
является перпендикулярным плоскости (или прямой, или проходит через точку) a и делится
ею пополам. Плоскость (прямая или точка) a называется при этом плоскостью (или осью, или
центром) симметрии. Основные виды симметрии, которые изучаются в геометрии –
центральная, осевая, зеркальная.
Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику
Г.Вейлю (1885 – 1955). Под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность)
какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Под объектом мы можем
понимать не только геометрический объект или материальный предмет, но и физическое
явление, математическую формулу, уравнение и т.д.
Именно рассмотрением и изучением свойств симметрии различных объектов я
постараюсь заняться в своей работе.
Симметрия присутствует в большинстве объектов, рассмотреть их все просто
невозможно, поэтому выделим основные направления для изучения свойств симметрии:
математика, живая и неживая природа, химия, архитектура.
Цель работы: выявить, насколько широко симметрия присутсвует в выбранных научных
направлениях.
Решаемые задачи:
·
дать определение понятия симметрия;
·
рассмотреть некоторые виды симметрии;
·
рассмотреть наличие симметрии в выбранных научных направлениях;
·
рассмотреть и исследовать свойства симметрии выращенных кристаллов.
В практической части работы я попытался вырастить кристалл дигидрофосфата
аммония, чтобы показать на его примере симметричность кристаллов.
1
1. Симметрия в математике
В школьной программе по математике под «симметрией» понимается такое
преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую
точку M’ относительно некоторой плоскости (прямой или точки) a, когда отрезок MM’
является перпендикулярным плоскости (или прямой, или проходит через точку) a и делится
ею пополам. Плоскость (прямая или точка) a называется при этом плоскостью (или осью, или
центром) симметрии. Точки M и M’ называются симметричными. Основные виды симметрии,
которые изучаются в геометрии – центральная, осевая, зеркальная.
1.1. Осевая симметрия
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки
фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
Прямая а называется осью симметрии фигуры.
У неразвернутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена
биссектриса угла. Равнобедренный, но не равносторонний треугольник так же имеет одну ось
симметрии, а равносторонний треугольник – три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не
являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии. У
окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через ее центр, является осью
симметрии.
Существуют фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. Например,
параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.
1.2. Центральная симметрия
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О
называется центром симметрии фигуры.
Фигурами,
обладающими
центральной
симметрией,
являются
окружность
и
параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром
симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает
центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые
имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой
является ее центром симметрии. А вот у треугольника центра симметрии нет.
1.3. Зеркальная симметрия
Предположим, что одна часть фигуры является зеркальным двойником по отношению к
другой ее части. Такая фигура называется зеркально симметричной. Она преобразуется сама
в себя при отражении в соответствующей воображаемой плоскости – плоскости симметрии.
2
Каждой точке фигуры соответствует определенная точка зазеркального двойника. Эти точки
находятся на одном перпендикуляре к прямой а, по разные стороны и на одинаковом
расстоянии от нее.
Плоскость симметрии встречается очень часто в природе и технике. Яркие примеры
зеркально симметричных предметов теннисная ракетка, скрипка. Природа создала идеальный
зеркально симметричный объект в виде бабочки.
Однако понятие симметрии в геометрии более широкое. Под симметрией понимают
неизменность геометрического объекта по отношению к каким-то геометрическим
преобразованиям, выполняемым над ним (или совмещение фигуры при определенного рода
геометрических преобразованиях). В связи с этим можно говорить о переносной и поворотной
видах симметрии, а также о сочетаниях различных видов, среди которых особенно выделяют
зеркально-поворотную, скользящую и винтовую.
1.4. Поворотная симметрия
Поворотная симметрия — это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при
повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n =
2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.
Рис. 1 Примеры поворотной симметрии
При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 (360 /2 = 180 ) вокруг оси, при
этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же
фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.
На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5го порядка.
Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси,
рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось
3
Для описания поворотной симметрии используют следующую формулу LnnP, где n=3,
4, 5, 6, …L – ось симметрии, P – плоскость симметрии.
2.5. Переносная симметрия
Ещё одним видом симметрии является переносная симметрия.
О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то
расстояние а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая,
вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.
а
Рис. 2 Переносная симметрия
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром.
2. Симметрия в природе
Симметрией обладают объекты и явления живой природы и неживой природы. Она
позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.
В живой природе большинство живых организмов обнаруживает различные виды
симметрий. Наиболее распространены поворотная и билатеральные виды симметрии.
Билатеральная симметрия (двусторонняя симметрия) — симметрия зеркального
отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две
его половины зеркально симметричны.
Все природные тела находятся в поле земного тяготения, симметрия их формы должна
нести на себе отпечаток воздействия симметрии поля тяготения.
Рис. 3 Поворотная симметрия
Рис. 4 Билатеральная симметрия
2.1. Симметрия у растений
Для растений характерна симметрия конуса, которая хорошо видна на примере любого
дерева. У любого дерева есть основание и вершина, «верх» и «низ», выполняющие разные
4
функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести
определяют вертикальную ориентацию поворотной оси «древесного конуса» и плоскостей
симметрии. Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой
системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть
наверху. Поэтому направления «вверх» и «вниз» для дерева, существенно различны. В
результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии.
Для лепестков и чашелистиков цветов характерна поворотная симметрия. Однако есть
цветы, лепестки которых оси симметрии не имеют, а имеют только плоскость симметрии.
Например, цветы фасоли и гороха, лепестки фиалок, анютиных глазок.
Рис. 5 Поворотная симметрия у цветков
Цветок гороха
Рис. 6 Плоскость симметрии у цветков
Цветок анютиных глазок
Цветок ириса
n=3
Цветок сурепки
Цветок ландыша
Цветок адониса
n=4
n=6
n=8
Поворотная симметрия наблюдается у многих полевых цветов (колокольчик,
незабудка, лютик, зверобой и т.д.), у цветков плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша и т.д.),
у цветков плодово-ягодных растений (земляника, ежевика, черника и т.д.), у ряда садовых
цветов (настурция, флокс и т.д.)
5
В цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка,
которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот
факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка – своеобразный инструмент
борьбы за существование, «страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом
которой была бы их поимка решеткой».
Цветок яблони
Цветок миндаля
Цветок земляники
n=5
n=5
n=5
Для листьев деревьев, кустарников, трав характерна зеркальная симметрия. Сложные
листья папоротника, веточка акации обладают зеркальной и переносной симметриями.
Веточка боярышника имеет плоскость скользящего отражения.
Лист папортника
Лист акации
Поворотная симметрия обнаруживается и в поперечных сечениях плодов, корней,
побегов.
6
2.2. Симметрия простейших
Простейшие это одноклеточные организмы. Одних относят к царству растений, других –
к царству животных. Они обитают в водной среде, поэтому действие на них силы тяжести
практически компенсируется действием архимедовой силы. Следовательно, многие из них
должны иметь симметрию шара. Например, зеленая водоросль хлорелла – шарик диаметром
15 мкм , одноклеточные золотистые водоросли кокколитофориды диаметром до 30 мкм,
покрытые мелкими известковыми пластинками.
Зеленая водоросль хлорелла
Золотистые водоросли
кокколитофориды
Сферическая симметрия характерна тем, что организм имеет сферическую форму, а
части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни
передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр,
делит животное на одинаковые половинки.
Однако далеко не все простейшие имеют форму шара.
Уже на уровне простейших можно наблюдать постепенный переход к симметрии конуса,
характерной для растений, и билатеральной симметрии, характерной для животных.
Некоторые колонии диатомовых водорослей одним концом прикрепляются ко дну водоема и
приобретают симметрию конуса. У жгутиконосцев и инфузорий намечается переход к
билатеральной симметрии.
Диатомовые водоросли
Жгутиконосцы
Инфузория
2.3 Симметрия у животных
И растения и животные живут в поле тяготения, но у них существенно различны
способы добывания пищи. Так как растения не нуждаются в движении, то для них характерна
7
симметрия конуса, в частности, радиально-лучевая симметрия. Такой же симметрией
обладают и те животные, которые «не обеспокоены» активным поиском пищи. «Ленивые
животные» живут только в водной среде. Они либо прикрепляются ко дну водоема или
раковине рака-отшельника (актинии), либо ползают или отлеживаются на дне (морские
звезды, ежи), либо перемещаются внутри водной массы (медузы).
Актиния
Морская звезда
Медуза
При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного
цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части
тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды.
При зеркальной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна
пара. Потому что две другие стороны – брюшная и спинная – друг на друга не похожи. Этот
вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб,
земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.
Рис. 7 Билатеральная (зеркальная) симметрия у животных
Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с поворотной
симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад». Направление движения
является принципиально выделенным направлением, относительно которого нет симметрии у
любого насекомого, любой рыбы или птицы, любого животного. В этом направлении
животное устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от преследователей.
8
Кроме направления движения, симметрию живых существ определяет еще одно
направление – направление силы тяжести. Оба направления существенны; они задают
плоскость симметрии живого существа.
Билатеральная (зеркальная) симметрия – характерная симметрия всех представителей
животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого
проявляется здесь с почти математической строгостью.
2.4 Симметрия у человека
Человеческое тело обладает билатеральной симметрией (внешний облик и строение
скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего
эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Тело человека построено
по принципу двусторонней симметрии.
Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он
разделён на две половины. Эти две части – два полушария – плотно прилегают друг к другу.
В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет
собой почти точное зеркальное отображение другого.
Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями
равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует
правую сторону мозга, а правое - левую сторону.
Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая
равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук,
чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди
одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.
9
Рис. 8 Строение человеческого мозга
Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко,
зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые
организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты – ДНК. Подлинным царством
природных винтов является мир «живых молекул» – молекул, играющих принципиально
важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся, прежде всего, молекулы
белков. В человеческом теле насчитывают до 10 типов белков. Все части тела, включая кости,
кровь, мышцы, сухожилия, волосы, содержат белки. Молекула белка представляет собой
цепочку, составленную из отдельных блоков, и закрученную по правой спирали. Её называют
альфа-спиралью. Молекулы волокон сухожилий представляют собой тройные альфа-спирали.
Скрученные многократно друг с другом альфа-спирали образуют молекулярные винты,
которые обнаруживаются в волосах, рогах, копытах. Молекула ДНК имеет структуру двойной
правой спирали, открытой американскими учёными Уотсоном и Криком. Двойная спираль
молекулы ДНК есть главный природный винт.
2.5. Симметрия кристаллов
Своим развитием современное учение о симметрии обязано естествоиспытателям,
углубленно изучавшим кристаллические образования. С изучением высокосимметричных
кристаллических фигур кристаллографы и минералоги развивали и учение о симметрии.
Кристаллами называются все твердые тела, в которых слагающие их частицы (атомы,
ионы, молекулы) расположены строго закономерно наподобие узлов пространственных
решеток.
Кристаллы могут иметь форму различных призм, основанием которых могут быть
правильный треугольник, квадрат, параллелограмм и шестиугольник.
10
Рис. 9 Примеры простых кристаллических решёток:
1 – простая кубическая; 2 – гранецентрированная кубическая; 3 – объёмно-центрированная кубическая; 4 –
гексагональная
Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме, но любой
из них представляет симметричное тело. И действительно симметричность это одно из
основных свойств кристаллов.
В основе классификации кристаллов и объяснения их физических свойств может лежать
не только форма элементарной ячейки, но и другие виды симметрии, например, поворот
вокруг оси. Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на 360°
кристалл несколько раз совмещается сам с собой. Число этих совмещений называют порядком
оси. Существуют кристаллические решётки, обладающие осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и
6-го порядков. Представим плоскость, которую надо полностью покрыть семи-, восьми-,
девятиугольниками и т.д., так чтобы между фигурами не оставалось пространства, это не
получится, пятиугольниками покрыть плоскость так же нельзя. Очевидно, оси симметрии 5,
7-го и выше порядков не возможны, потому что при такой структуре атомные ряды и сетки не
заполнят пространство непрерывно, возникнут пустоты, промежутки между положениями
равновесия атомов. Атомы окажутся не в самых устойчивых положениях и кристаллическая
структура разрушится. Возможна симметрия кристаллической решётки относительно
плоскости симметрии, а также комбинация разных видов симметрии.
Рис. 10 Примеры форм кристаллов
11
В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии
– у одних мало, у других много. По симметрии, прежде всего по осям симметрии, кристаллы
делятся на три категории.
К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы, у них может быть
несколько осей симметрии порядков 2, 3 и 4, нет осей 6-го порядка, могут быть плоскости и
центры симметрии. К таким формам относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др.
Им всем присуща общая черта: они примерно одинаковы во все стороны.
У кристаллов средней категории могут быть оси 3, 4 и 6 порядков, но только по одной.
Осей 2 порядка может быть несколько, возможны плоскости симметрии и центры симметрии.
Формы этих кристаллов: призмы, пирамиды и др.
Общая черта: резкое различие вдоль и поперек главной оси симметрии.
У кристаллов низшей категории не может быть ни одной оси симметрии 3, 4 и 6
порядков, могут быть только оси 2 порядка, плоскости или центр симметрии. Структура
данных кристаллов самая сложная.
Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты, германий,
кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово, вольфрам, железо; к средней
категории – графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл; к низшей –
гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль и др. Конечно в этом списке не были
перечислены все существующие кристаллы, а только наиболее известные из них. Категория,
к которой принадлежит кристалл, характеризует его физический свойства.
В течение долгих лет геометрия кристаллов казалась таинственной и неразрешимой
загадкой. В 1619 великий немецкий математик и астроном Йоган Кеплер обратил внимание на
шестерную симметрию снежинок. Он попытался объяснить ее тем, что кристаллы построены
из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг к другу
(вокруг центрального шарика можно в плотную разложить только шесть таких же шариков).
Грани реального кристалла никогда не представляют собой идеальных плоских
поверхностей. Нередко они бывают покрыты ямками или бугорками роста, в некоторых
случаях грани представляют собой кривые поверхности, например у кристаллов алмаза.
Иногда замечаются на гранях плоские участки, положение которых слегка отклонено от
плоскости самой грани, на которой они развиваются.
Дефекты понижают прочность, в сотни, тысячи раз. Если к кристаллу приложить
внешнюю силу, то атомная постройка начнет разрушаться именно в месте слабины, там, где
есть дефект. Дефект - начинает двигаться по кристаллу.
Так как дефекты взаимодействуют друг с другом, то, чем их больше, тем труднее им
двигаться в кристалле. А если дефектов слишком много, то кристалл опять становится
прочным, и чем больше дефектов, тем он более упорядочивается. Значит, если мы научимся
управлять числом и расположением дефектов, мы сможем управлять прочностью материалов.
12
Еще сильнее удалось бы изменить свойства кристаллов, если бы удалось вырастить
кристалл совсем без дефектов.
Кристаллы из-за их прочности используют и в различных режущих аппаратах, так как
кристалл один из самых прочных материалов на Земле.
Человек применяет кристаллы почти во всех областях материальной сферы их цена и
значение чрезвычайно велики. Теперь, когда изучены методы искусственного выращивания
кристаллов, область их применение расширилась, будущее новейших технологий
принадлежит кристаллам и кристаллическим агрегатам.
В практической части работы я попытался вырастить кристалл дигидроортофосфата
аммония, чтобы показать его симметричность.
3. Симметрия в химии
Симметрия – очень распространенное явление в химии: практически все известные
молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные
фрагменты. Так что, пожалуй, в химии труднее обнаружить несимметричную молекулу, чем
симметричную.
Рис. 11 Строение молекулы воды
Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). Ничто не
изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен
операции зеркального отражения.
Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Молекулы ДНК имеют структуру симметричной двойной спирали.
Рис. 12 Строение молекулы ДНК
13
В молекуле метана СН4 атом углерода связан с четырьмя одинаковыми атомами
водорода. Физическое равноправие всех четырёх связей между атомами углерода и водорода
естественным образом согласуется с пространственной структурой молекулы метана в виде
тетраэдра, в вершине которого находятся атомы водорода, а в центре - атом углерода
Рис. 13 Строение молекулы метана
4. Симметрия в архитектуре
Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно
переплетены и строго уравновешены наука, техника искусство.
Простейший вид симметрии — зеркальная симметрия, симметрия левого и правого.
Плоскость симметрии в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна, так же как
вертикальна плоскость симметрии тела человека.
Зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной
Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви
Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры.
Архитектура бесконечно разнообразна. И все же самый древний храм и современный
дом, подобно человеческим лицам, имеют множество общих черт. В своем творчестве
архитекторы располагают только строительным материалом и пространством. Все остальное
в архитектурном облике здания архитектор создает собственной фантазией. В качестве
художественных средств он использует композицию, пропорциональное соотношение здания
и его частей, живопись и скульптуру, окружающую природу.
Наиболее ясны и уравновешены здания с симметричной композицией.
Симметрия объединяет композицию. Расположение главного элемента на оси подчеркивает его значимость, усиливая соподчиненность частей. Каждая деталь в симметричной
системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону
оси, и благодаря этому она может рассматриваться лишь как часть целого.
14
Характерный пример многоосевой симметрии — здание Главного адмиралтейства в СанктПетербурге.
Рис. 14 Рисунок здания Главного адмиралтейства
Башня и арка главного въезда здесь отвечают оси всей композиции; оси второго порядка, объединяющие крылья, выделены большими портиками; осям крыльев подчинены оси
малых портиков. Благодаря этому равенство частей ни в чем не нарушает целостности.
Заметим, что на осях симметрии располагаются именно проемы, а не колонны или простенки
(т. е. количество колонн в портиках является четным, а количество проемов — нечетным).
Рис. 15 Собор Василия Блаженного в Москве
Трудно заметить симметрию в архитектуре собора Василия Блаженного на Красной
площади в Москве. Это композиция из десяти различных храмов, каждый храм геометрически
симметричен. Однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.
Архитектурные формы собора как бы накладываются друг на друга, пересекаются,
поднимаются, и завершаются центральным шатром. И все это настолько гармонично, что
вызывает ощущение праздника.
Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и
повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на
здании (колонн, окон, рельефов и т.д.). Преобладание элементов вертикального ритма колонн, арок, проемов, пилястр - создает впечатление облегченности, устремленности вверх.
15
Наоборот, горизонтальный ритм - карнизы, фризы, пояса и тяги - придает зданию впечатление
приземистости, устойчивости.
Центрально-осевая симметрия реже использовалась в истории архитектуры. Ей
подчинены античные круглые храмы и построенные в подражание им парковые павильоны
классицизма.
Центрально-осевая
симметрия
определяет
также
форму
некоторых
архитектурных деталей — например колонн и их капителей.
Прочие виды симметрии в архитектуре используются крайне редко.
К редко используемым зодчеством видам симметрии относится и винтообразная. Она
издавна применялась для элементов здания — винтовых лестниц и пандусов, витых стволов
колонн. Попытку использовать ее для организации крупной части здания сделал американский
архитектор Ф. Л. Райт. Экспозиционный корпус построенного по его проекту музея
Гуггенхейма сформирован несколькими витками железобетонной пологой спирали,
образующей своеобразную галерею — пандус.
Рис. 16 Здание музея Гуггенхейма в Нью-Йорке
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюры. В
архитектуре бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье,
гипсовые барельефы или керамика).
Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или
переворачивая его и повторяя рисунок.
Рис. 17 Трафареты пяти видов: а) несимметричный; б, в) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или
вертикальную; г) центрально-симметричный; д) имеющий две оси симметрии: вертикальную и
горизонтальную.
Для построения бордюров используют следующие преобразования: а) параллельный
перенос; б) симметрию относительно вертикальной оси; в) центральную симметрию; г)
симметрию относительно горизонтальной оси.
16
Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в
одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в
остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/n.
Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить
забор, изображённый на фотографии.
17
Практическая часть
Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира
и живой природы. В неживой природе своей симметрией особенно выделяются кристаллы.
Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть
очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка
и, кроме того, зеркальной симметрией.
Что же такое кристалл? Кристаллическими считаются вещества, атомы, молекулы или
ионов которых расположены регулярно, так что образуют правильную трёхмерную решётку,
называемую кристаллической.
Удивительный мир кристаллов привлекает красотой и совершенством геометрических
форм многогранников. Свет, отражаясь от граней, вызывает блеск и сверкание при малейшем
повороте. Но правильность внешней огранки необязательное свойство кристаллов. Главное
то, что их внутреннее строение подчиняется строгим законам симметрии: атомы (или
молекулы) расположены в строго определенном порядке. Для каждого вещества этот порядок
свой.
Симметрии кристаллов
Симметрия огранки кристаллов
Симметрия кристаллической решетки
Первый аспект – симметрия огранки кристаллов, то есть симметрия внешней формы
кристаллов. В этом случае кристалл представляет собой выпуклый многогранник, и
соответственно можно рассматривать виды симметрии характерные для выпуклых
многогранников. Что же касается формы граней, числа граней и ребер и величины кристалла,
то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.
Второй аспект - симметрия кристаллической решетки определяет внешнюю форму
кристалла.
Типы кристаллических решеток:
Рис. 1 Типы кристаллических решеток:
а) кубическая;
б) кубическая центрированная;
в) гранецентрированная;
г) гексагональная
18
Чтобы наглядно изучить понятие симметрии, я решил вырастить кристалл
дигидрофосфата аммония в домашних условиях и на их примере рассмотреть свойства
симметрии.
Дигидрофосфат аммония - искусственные кристаллы, легко растворимы в воде,
прозрачны, могут образовывать форму кристалла – «двухголовика».
Свойства:
Кристаллическая
Средняя категория, тетрагональная (одна ось 4-го порядка)
система:
Состав (формула):
NH4H2PO4
Цвет:
Белый
Прозрачность:
Прозрачный
Блеск:
Стеклянный
Устойчивость:
Устойчивы на воздухе, растворимы в воде
Форма:
Удлинённый четырёхгранник с заострённой вершиной.
Цель работы: выращивание кристаллов в домашних условиях.
Задачи: Изучить различные способы выращивания кристаллов. Вырастить кристаллы в
домашних условиях. Расширить представления о кристаллах и их симметричности.
Объект исследования: кристаллы дигидрофосфата аммония.
Предмет исследования: рост кристаллов в домашних условиях, симметричность
выращенных кристаллов
Методы исследования: эксперимент, анализ, сравнение, обобщение.
Гипотеза: кристаллы, выращенные в домашних условиях, обладают свойствами
симметрии.
Существует три способа образования кристаллов: кристаллизация из расплава, из
раствора и из газовой фазы. Примером кристаллизации из расплава может служить
образование льда из воды (ведь вода – это расплавленный лёд), а также образования
вулканических пород. Пример кристаллизации из раствора в природе – выпадение сотен
миллионов тонн соли из морской воды.
Ход процесса:
1. Приготовление маточного раствора
Самое
важное
условие:
для
выращивания
свежеприготовленные растворы!
19
кристаллов
используют
только
1.1. Растворение при комнатной температуре. Для приготовления маточного раствора
требуется чистый, хорошо вымытый сосуд. Объем сосуда зависит от размера кристалла,
который хотим получить. В него наливают кипячёную воду комнатной температуры или, что
лучше, дистиллированную. Вещество растворяем маленькими порциями (по 1 ложке),
добавляя следующую порцию только после полного растворения предыдущей порции.
Наступает момент, когда соль перестает растворяться, значит мы достигли максимального
растворения для взятой соли. Чтобы в раствор не попала пыль, его накрывают листом
фильтровальной бумаги и оставляем в той части помещения, где сохраняется постоянная
температура. Чтобы кристаллы росли как можно правильно, кристаллизация должна идти
медленно.
1.2. Растворение при высокой температуре. В своем опыте я готовил маточный раствор
при высокой температуре. Для этого я взял 200 мл кипящей воды (температура примерно
100°С). Высокая температура повышает растворимость соли. Вещество растворял маленькими
порциями, после растворения предыдущей порции добавлял следующую порцию. При
высокой температуре опять наступает момент, когда соль перестает растворяться, значит, мы
достигли максимального растворения соли для этого температурного уровня.
2. Остывание раствора.
После того, как маточный раствор готов, даю ему остыть примерно 15 минут и
переливаю в прозрачный контейнер, где будет проходить процесс кристаллизации. Т.к.
кристаллы дигидрофосфата аммония прозрачные, я добавил в раствор краситель.
3. Фильтрация раствора.
Если в растворе есть нерастворившиеся кристаллики или какие-то соринки, раствор
нужно профильтровать. Вообще фильтрация раствора нужна тем, кто растит кристаллы на
нити или выращивает крупные монокристаллы (один кристалл). Я выращивал друзы (сростки
кристаллов) и раствор не фильтровал.
Фильтруют растворы следующим образом: берется чистый сосуд (не холодная), на него
одевается конус с фильтром (фильтр можно сделать из ваты, завернутой в марлю или купить
фильтровальную бумагу). И раствор из одного сосуда (в которой растворяли соль)
переливается через фильтр в новый сосуд. Все кристаллики оставшиеся от растворения соли
остаются в фильтре и получается чистый раствор.
5. Подготовка к кристаллизации. Далее очищенный раствор ставим в прохладное место
и помещаем в него затравку. Затравка – маленький кристаллик соли, который будет дальше
расти.
Кристаллик можно привязать к нитке. Иногда сложно найти крупный кристаллик или
его просто сложно привязать, тогда некоторые специалисты советуют приклеить кристаллик
к нити. Я выращивал кристаллы без нити. Поэтому необходимо плоское дно стакана, куда я
поместил несколько кристалликов-затравки.
20
6. Кристаллизация. Дальше от меня уже ничего не зависело, кристаллизация происходит
сама, раствор продолжает остывать, вода постепенно испаряется из-за чего кристаллы
(затравки) начинают расти. Для разных солей время кристаллизации разное, в моем случае
рост кристаллов был заметен уже через 4 часа.
Рис. 2
Сосуд с растущим кристаллом
Кристаллы-скалолазы. В процессе выращивания кристалла (примерно на 3 день на
стенках контейнера выросли маленькие кристаллы. Такой эффект называют капиллярным
воздействием. Маленькие кристаллы вышли за рамки сосуда. Я аккуратно избавился от них и
накрыл сосуд шаблоном из плотной бумаги, чтобы предотвратить рост этих кристаллов в
будущем.
7. Извлечение кристаллов. Самый интересный процесс опыта, когда можно достать
кристаллы и увидеть что получилось. Доставать кристаллы нужно осторожно, стараться не
повредить их т.к. они могут легко ломаться. Я слил оставшийся раствор, аккуратно
сполоснул кристалл водой и поставил его сушиться на бумагу.
8. Результаты
Рис. 3
Выращенные кристаллы
21
Заключение
В результате проведенного эксперимента я получил друзы кристалла дигидрофосфата
аммония красного и голубого цвета. Отдельные кристаллы напоминают карандаш, как и было
указано в справочной информации. Особенно это видно на примере красного кристалла.
Кристаллы обладают симметрией. Симметрия у голубого кристалла не так заметна. Это может
быть связано с тем, что я где-то нарушил технологию выращивания кристаллов.
Изучив литературу, посвященную кристаллам, и проведя эксперимент по выращиванию
кристаллов, я сделал следующие выводы:
1. кристаллы различных веществ отличаются друг от друга по всей форме;
2. кристаллы, окружающие нас, не образовались когда-то раз и навсегда готовыми, а
выросли постепенно: в природе, в лаборатории. Я убедился в этом, вырастив кристаллы
дигидрофосфата аммония из раствора;
3. формы кристаллов зависят от условий кристаллизации – скорости охлаждения, чистоты
препарата, формы и материала затравки;
4. выращенные кристаллы обладают симметрией.
Искусственные кристаллы очень нужны. Строение кристаллов влияет на физические и
химические свойства. В лабораториях выращивают кристаллы с заданными свойствами,
изучают свойства кристаллов. Кроме того, процесс выращивания кристаллов очень красив и
увлекателен.
Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии,
объясняющей наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей
окружающего мира. С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве,
науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого
творчества. Принципы симметрии играют важную роль в математике и физике, химии и
биологии, технике и архитектуре.
Явление симметрии можно рассматривать в абсолютно разных областях нашей жизни.
И знание ее законов в одной области может позволить сделать выводы, касающиеся предметов
абсолютно другой области. Через понятие симметрии можно получить те знания, которые
отражают связанность отдельных частей мира как системы, научиться представлять мир как
единое целое, в котором все элементы взаимосвязаны.
В своей работе я рассмотрел симметрию живой и неживой природы, но это только малая
часть, доступная для моего понимания. В дальнейшем я хотел бы изучить мир симметрии
более глубоко.
22
Список литературы
1.
Тарасов Л.В., «Грани симметрии», Москва, изд. «Мнемозина», 2012
2.
Урманцев Ю.А., «Симметрия природы и природа симметрии», Москва, изд. «Мысль»,
1974
3.
Шаскольская М.П., «Кристаллы», Москва, изд. «Наука», 1978
4.
Энциклопедия для детей. Биология. Исмаилова С., Москва, изд. «Аванта+», 1997
5.
Ресурсы интернет:
www.krugosvet
www.fondcultura.ru
www.ru.wikipedia.org/wiki
23