Gos2_03

3. Графы, деревья, планарные графы; их свойства. Оценка числа
деревьев
Граф G – пара (V,E), где V-- множество вершин, E-- множество пар вершин – дуги, если пары
упорядоченные, ребра иначе.
Далее рассматриваются неориентированные графы.
Граф связен, если между любыми двумя вершинами существует путь. Всякий граф можно представить в
виде объединения связных компонентов.
Утв. Если G–связен, пара (v1, v2) не является ребром, то при добавлении ребра (v1, v2) в G появляется
простой цикл.
Утв. Если ребро е входит в цикл, то при его удалении граф остается связным.
Утв. В графе (без циклов) с p вершинами и q ребрами не менее (ровно) p-q связных компонент.
Док. При добавлении ребра число связных компонент уменьшается не более, чем на 1.
Граф G--дерево, если он связный и не содержит циклов.
Теор. Пусть G=(V,E) не содержит петель и кратных ребер, |V|=p, |E|=q. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1. G - дерево;
2. G - без циклов и q=p-1
3. G - связный и q=p-1
4. G - связный, но при удалении любого ребра становится несвязным;
5. G - без циклов, но при добавлении ребра образуется цикл.
Корневое дерево – дерево с выделенной вершиной. Упорядоченное корневое дерево – КД, у которого
фиксирован порядок поддеревьев (по инд.)
Теор. Число УКД не превосходит 4^q
Док. Каждому дереву – код:
 Дереву из одной вершины – пустая строка;
 КД с поддеревьями D1,D2,…,Dn – код 0K110K21…0Kn1, где Ki – код Di.
Пусть G=(V,E); вершина v -> a – точка в пространстве. Разным вершинам соответствуют разные точки.
Ребро -> кривую связывающую соответствующие точки. Если кривые, соответствующие ребрам не
пересекаются, то имеем геометрическую реализацию графа.
Утв. Любой граф можно реализовать в R^3.
Граф, который можно реализовать в R^2, называется планарным.
Теор. Всякая реализация в R^2 планарного графа удовлетворяет соотношению p-q+r=2, где r – полное
число граней.
Док. По индукции, базис – дерево.