Симметрия вокруг нас

Симметрия вокруг нас
АВТОР:
Лебедев Алексей Сергеевич
Учащийся 8 класса
МОУ Семёновская СОШ
Омской области Знаменского района с. Семёновка
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛь:
Колпакова Мария Васильевна,
Учитель математики
МОУ Семёновская СОШ
Омской области Знаменского района с. Семёновка
Омская Область Знаменский район с. Семёновка
2012 г.
Содержание
Введение
1Понятие и виды симметрии.
2. Симметричные фигуры.
3.Симметрия в природе.
4.Симметрия в искусстве.
5. Симметрия в графиках функций.
Вывод.
Цели работы:
Знакомство с понятием «симметрия» и еѐ
видами;
Изучение проявлений симметрии в
окружающем нас мире
Перспективы применения симметрии в
различных сферах деятельности человека
Введение
Когда мы проходили по геометрии тему «Симметрия», то на нее было
отведено очень мало времени, а мне показалась эта тема интересной, и я
решил взять ее для исследования. Мне захотелось больше узнать по данному
вопросу, ведь я уже ни раз слышал данный термин на других предметах и в
быту. Приступив к исследованию, я заметил, что симметрия не только
математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и
неживой природе, а также в творениях человека. Поэтому я поставил перед
собой такие проблемные вопросы:
Как проявляется гармоничность симметрии в природе;
Какие виды симметрий встречаются в природе;
Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек.
Поэтому тему своего исследования я назвал «Симметрия вокруг нас».
1. Понятие и виды симметрии.
Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность,
пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
Математически строгое представление о симметрии сформировалось
сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке ( по Г.
Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так:
симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять,
получая в результате то же, с чего начали.
Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование,
переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее еѐ самосовмещение.
Перечислим виды симметрии.
Осевая симметрия.
Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела)
преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точку A,
при этом отрезок AA1 перпендикулярный l, называется осевой симметрией.
Если точка A лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. A
совпадает с A1.
В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l
фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной
относительно оси l ,а ось l называется ее осью симметрии.
Центральная симметрия.
Преобразование, переводящее каждую точку фигуры (тела) в точку A1,
симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием
центральной симметрии или просто центральной симметрией.
Точка О называется центром симметрии и является неподвижной.
Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при
преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F
преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра
О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F. Примерами
фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм,
окружность и т. д.
2. Симметричные фигуры.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для
каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно пря мой а также
принадлежит этой фигуре.
Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У
неразвернутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена
биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник
имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник – три оси
симметрии. Прямоугольник и ромб не являющиеся квадратами, имеют по две
оси симметрии, а квадрат – четыре оси симметрии. У окружности их
бесконечно много – любая прямая, проходящая через ее центр, является осью
симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким
фигурам относится параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба,
разносторонний треугольник.
3. Симметрия в природе.
Симметрия в живой природе.
В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из
прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать
их несравненное совершенство. Этот порядок, являющийся закономерной
необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным
целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой жиздется все
мироздание.
Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам
приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа и
туловище для бабочки служит осью симметрии. Центральная симметрия
характерна для кристаллов, низших животных и цветов.
Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно
любой определенной геометрической схеме, причем законы мироздания
имеют четкое обоснование.
В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарнер пишет: «На Земле
жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала
развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений,
обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной
симметрией».
Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии.
При этом имеется в виду зеркальная симметрия.
Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере
фактически любого дерева.
Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и
вертикальные плоскости симметрии.
Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего
симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести.
Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.
Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и у
цветов.
Для цветов характерна поворотная симметрия.
Часто поворотная симметрия сочетается с зеркальной или переносной.
В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных
порядков. Однако распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта
симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, герань,
гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня,
груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника,
малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.
Симметрия в мире насекомых, птиц, рыб, животных.
Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире.
Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа.
Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном
мире наблюдается редко.
Для насекомых, птиц, рыб, животных характерно несовместимое с
поворотной симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад».
Направление движения является принципиально выделенным
направлением, относительно которого нет симметрии у любого насекомого,
любой птицы или рыбы, любого животного. В этом направлении животное
устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от
преследователей.
Кроме направления движения симметрию живых существ определяет
еще одно направление – направление силы тяжести. Оба направления
существенны; они задают плоскость симметрии животного существа.
Билатеральная (зеркальная) симметрия – характерная симметрия всех
представителей животного мира.
Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и правого
крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.
Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица)
состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфами
являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая
в левую половину тела животного. Так, Энантиоморфами являются правое и
левое ухо, правый и левый глаз, правая и левая рука и т. д.
Отметим, наконец билатеральную симметрию человеческого тела
( речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда
являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения
хорошо сложенным человеческим телом.
Симметрия в неживой природе.
Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи
обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.
При слове «кристалл» в воображении рисуется среди драгоценных
камней – алмаз: кристальная чистота и прозрачность, чудесная,
непередаваемая игра света, идеальная правильная форма. Но теперь алмазы
уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для
обработки наиболее твердых металлов и сплавов. Без них не мыслится
современная металлообрабатывающая промышленность.
Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и
поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Больше
того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из
кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение
мельчайших кристалликов.
Словом, большинство строительных материалов – металлы, камень,
песок, глина – кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в
домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются
предметом тщательного изучения.
Кристаллы - это твердые тела, имеющие естественную форму
многогранников
Характерная особенность того или иного вещества состоит в
постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех
граней, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться
друг от друга.
Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему
одному, идеальная форма его кристалла.
Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов
совмещаться собой в различных положениях путем поворотов, отражений,
параллельных переносов.
Кристалл каждого вещества характеризуется определенным
комплексом элементов симметрии – видом (классом) симметрии.
Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так
называемой пространственной решетки. В ее одинаковых ячейках, имеющих
форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые
мельчайшие материальные частицы – молекулы, атомы, ионы, или их группы.
Опираясь на эти преставления, А. В. Гадолин в 1867 г. доказал, что
всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое
кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к
одному из этих видов симметрии. Эти утверждения представляет закон
симметрии, один из законов кристаллографии.
Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма
снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией
– поворотной симметрией 6-го порядка, и зеркальной симметрией.
4. Симметрия в искусстве и архитектуре.
Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства.
Принцип симметрии используется в построении орнамента.
Орнамент – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически
упорядоченных элементов.
Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды,
мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.
Связанных с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует,
орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой
и цветом конструктивные особенности предмета, природную красоту
материала.
В народном творчестве, каждая национальная культура выработала
свою систему орнамента – мотивы, формы, расположение украшаемой
поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому
времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства.
Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространения
нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья
и цветы лотоса.
Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие
орнаменты – меандр и акант.
Высокого развития орнамент достиг в средневековой Руси. Для
русского орнамента как геометрические и растительные формы, так и
изображение птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур.
Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. В
плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является
так называемая плетенка – различного вида переплетение полосок типа лент,
ремней, стеблей цветов.
В русском языке есть «симметричные» слова – палиндромы, которые
можно читать одинаково в двух направлениях:
шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.
Могут быть и палиндромическими и предложения. Написаны тысячи
таких предложений.
А роза упала на лапу Азора.
Я иду с мечем судия. (Г. Р. Державин.)
Архитектура. Прекрасные образы симметрии демонстрируют произведения
архитектуры. Большинство зданий зеркально симметричны. Это обусловлено
их функциональной природой. Общие планы зданий, архитектура фасадов,
оформление внутренних помещений, орнаменты, карнизы, колонны, потолки,
если их рассматривать с точки зрения присутствующих в них
пространственных закономерностей, можно описать той или иной группой
симметрии материальных фигур.
Особенно интересно проявление симметрии в древнерусских постройках, в
частности в деревянных церквах, которыми издавна славилась Россия. В
XVII-XVIII вв. на Руси были распространены так называемые ярусные
храмы, завершавшиеся поставленными друг на друга, уменьшающимися по
величине срубами. Старая русская архитектура дает много и других
примеров использования симметрии. Достаточно назвать колокольни,
звонницы, сторожевые башни, внутренние опорные столбы. Более поздние
каменные русские храмы, дворцы, садово-парковые ансамбли тоже несут на
себе явный отпечаток симметрии.
От нее в первую очередь зависит впечатление, которое производит
архитектурное сооружение. Сочетание различных объемов - высоких и
низких, прямолинейных и криволинейных, чередование пространств открытых и закрытых - вот основные приемы, которые использует зодчий,
создавая архитектурные композиции. Впечатление от здания во многом
зависит и от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в
определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм
на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.).
5. Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций.
Понятие осевой и центральной симметрии широко применяется и в алгебре
при изучении и построении графиков различных функций.
Y
Y
Х
Х
a) Парабола у=х2, график которой симметричен относительно оси ординат
ОУ.
б) Кубическая парабола у=х3, график которой симметричен относительно
начала координат.
Построение графика функции y = |f(x)| и y = (f|x|).
а) График функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x)
следующим образом: часть графика y = f(x), лежащая над осью ОХ,
сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично
оси ОХ.
б) График функции у = f(|x|) получается из графика функции следующим
образом: при x ≥ 0 график у = f (x) сохраняется, а при x < 0, полученная часть
графика отображается симметрично относительно оси ОУ.
Линейная функция.
1) у=|2х+3|
1.Строим график функции у=2х+3
х
у
0
3
-1
3
2. Отображаем часть графика, лежащую ниже оси 0х симметрично оси 0х.
2) у= 2|х|+3
1) Строим график функции у=2х+3
2) Сохраняем часть графика при х ≥ 0 и отображаем еѐ симметрично
относительно оси 0у.
. Построение графиков квадратичных функций, содержащих модуль
Пример 1. Построить график функции y = x2 – 8|x| + 12.
Решение. Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со
значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график
симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12
для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для
отрицательных x (рис. 1).
Пример 2. Следующий график вида y = |x2 – 8x + 12|.
График функции получают следующим образом: строят график функции y =
x2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без
изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично
отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3. Для построения графика функции y = |x2 – 8|x| + 12| проводят
комбинацию преобразований:
y = x2 – 8x + 12 → y = x2 – 8|x| + 12 → y = |x2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
7. Вывод.
Изучив и исследовав тему «Симметрия вокруг нас» я узнал, что помимо
осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в
школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе
– поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.
Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно
удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и
дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в
жизни.
Рассматривая архитектуру зданий, предметы украшения и быта, технические
изобретения, мы видим в них присутствие центральной, осевой и зеркальной
видов симметрии, которые дают ощущение спокойной уверенности и
эстетической привлекательности.
Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира,
несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Проявление симметрии
в природе и искусстве очень сложны. Их нельзя подчинить простым
математическим законам. Зная законы математики можно исследовать и
законы природы. В результате симметрия становится средством
математических исследований, помогает нам решать задачи.
2. Список литературы.
1. Л. С. Сагателова, В. Н. Студенецкая, «Геометрия: красота и гармония»
2007 г.
2. Л. С. Атанасян, Геометрия, «Просвещение» 2008 г.
3. Коллекция картинок Microsoft Office.
4. Коллекция картинок из интернета.