– функция Грина для уравнения (2). Т е о р е м а. Пусть система

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
– функция Грина для уравнения (2).
Т е о р е м а. Пусть система ортонормированных полиномов {b
qn (x)} и последовательность вещественных чисел {λn }∞
таковы,
что
ряд
(3)
сходится
равномерно при x, y ∈
n=0
∈ K ⊂ (a, b) и t > t0 > 0 . Тогда при этих значениях имеет место представление
G (x, y, t) =
∞
∑
e−λn t {[1−e−(λn+1−λn ) t ]2 + e−(λn+2 −λn) t [1 − e−△
2λ
nt
]}ϑn (x, y) ,
n=0
где ϑn (x, y) = an an+1 [q̂n (x) q̂n+2 (y) + q̂n+2 (x) q̂n (y)] − 2a2n q̂n+1 (x) q̂n+1 (y) +
+2
n
∑
(a2k
−
a2k−1 )qk
(x) qk (y) + 2
k=0
n
∑
ak (uk+1 − uk ) [q̂k (x) q̂k+1 (y) + q̂k+1 (x) q̂k (y)] .
k=0
∞
С помощью полученного представления можно получить условия на {q̂k }∞
k=0 и {λk }k=0 ,
при которых соотношение
lim ft (x) = f (x)
t→0
выполняется равномерно и почти всюду.
Osilenker B.P. ON THE GREEN FUNCTION FOR A GENERALIZED HEAT EQUATION
In the work, for a generalized heat equation, there is given a representation of the Green function
with the eigenfunctions containing loaded orthonormal polynomials.
Key words: : orthogonal polynomials; Fourier series; loaded orthonormal polynomials; heat equation;
generalized heat equation; Green function.
УДК 51-77, 517.988
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
c
⃝
Н.Г. Павлова
Ключевые слова: α -накрывающие отображения; точки совпадения отображений; равновесные цены.
Исследуется вопрос существования вектора равновесных цен в нелинейных моделях
рынка. Получены достаточные условия существования вектора равновесных цен, а также устойчивости вектора равновесных цен к малым возмущениям модели. Эти результаты получены как следствия теорем теории α -накрывающих отображений о существовании и устойчивости точек совпадения.
В настоящей работе результаты теории накрывающих отображений применяются к исследованию положения равновесия в нелинейных экономических моделях. Под равновесием
понимается такое состояние экономической системы, включающей в себя нескольких взаимосвязанных участников, при котором ни один из них не заинтересован в изменении своего
состояния. В исследуемых моделях участники экономической системы подразделяются на
производителей и потребителей. Рассмотрены различные модели поведения потребителей.
Для каждой из них построена функция спроса как решение задачи нахождения условного
2621
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
экстремума функции полезности при бюджетных ограничениях. Рассмотрены также различные модели поведения производителей. Каждый производитель выбирает и реализует
некоторый технологический процесс переработки одних продуктов в другие, руководствуясь критерием максимума прибыли. Таким образом, выбор производителя сводится к задаче отыскания условного экстремума функции прибыли. В изучаемых моделях для различных производственных функций, через которые вычисляются функции прибыли, построены
функции спроса. В данной работе исследуется равновесное состояние различных моделей
«спрос – предложение», в котором суммарное предложение каждого продукта равно спросу
на него.
Доказательства существования состояний равновесия и исследования свойств таких состояний оформили определенный этап развития экономико-математической теории. Однако
для исследования нелинейных моделей, описывающих реальные процессы точнее, чем линейные, существовавшего до последнего времени математического аппарата недостаточно.
Результаты работ [1]–[3], посвященных существованию точек совпадения отображений в
метрических пространствах, дают возможность существенно расширить имеющийся набор
средств, и получить достаточные условия существования равновесия в нелинейных моделях.
На примере задачи о равновесии в нелинейной модели рынка показано приложение теорем из [1]–[2] о точках совпадения α -накрывающего и липшицевого отображений и теоремы
из [3] об устойчивости точек совпадения к задачам математической экономики.
Формализуем поставленную задачу. Будем рассматривать метрические пространства
(X, ρX ) и (Y, ρY ). BX (r, x) = {ξ ∈ X : ρX (x, ξ) 6 r}, BY (r, y) = {ξ ∈ Y : ρY (y, ξ) 6 r}.
О п р е д е л е н и е 1 (см. [1]). Пусть задано α > 0. Отображение S : X → Y называется
α -накрывающим, если S(BX (r, x)) ⊇ BY (αr, S(x)) ∀r > 0, ∀x ∈ X.
Т е о р е м а (см. [1]). Пусть пространство X полно, а S, D : X → Y — произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является α -накрывающим, а второе
удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица β < α. Тогда для произвольного
x0 ∈ X существует такое ξ = ξ(x0 ) ∈ X, что
S(ξ) = D(ξ), ρX (ξ, x0 ) 6
ρY (S(x0 ), D(x0 ))
.
α−β
(1)
Решение ξ уравнения (1) может быть не единственным. Это решение ξ называется
точкой совпадения отображений S и D.
Вектор равновесных цен в модели «спрос – предложение» является точкой совпадения отображений спроса и предложения. Используя локальный вариант теоремы о точках
совпадения, а именно теорему 1 из [2], исследуется вопрос о существовании равновесия
для различных нелинейных моделей рынка. В частности рассмотрена модель следующей
экономической системы. Ее участниками являются производители и потребители. На рынке продается n товаров. Количество приобретаемого покупателем i -го товара зависит от
цены товара pi и находится как решение задачи минимизации функции Р. Стоуна при
некоторых ограничениях. Зависимость Di количества приобретаемого покупателем i -го
товара от цен p1 , p2 , . . . , pn называется функцией спроса на i -ый товар. В рассмотренной модели Di : P → R, i = 1, m,
(
)
n
∑
αi I −
pj a j
j=1
Di (p1 , p2 , . . . , pn ) = ai +
pi
n
∑
,
p = (p1 , ..., pn ) ∈ P ;
αj
j=1
2622
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
P = {p ∈ Rn+ :
n
∑
pj aj < I},
j=1
где I > 0, αj > 0, aj > 0, j = 1, n — заданные параметры.
Количество поступающего на рынок i -го товара также зависит от вектора цен p и
находится в результате решения задачи максимизации функции прибыли производителя,
соответствующей мультипликативной производственной функции. Функция предложения
Si i -го товара в рассматриваемой модели имеет вид
Si (p) = Ki
n
∏
−βij
pj
− Li p−1
i , i = 1, m,
j=1
где
n
∑
j=1
Ci bi
Ki =
(
n
∑
n
βij ∏
β
βijij
j=1
,
n
)− ∑
βki
βki
k=1
m
∑
bs βsi
Li =
, i = 1, m,
n
∑
s=1
βsj
j=1
k=1
где bi > 0, i = 1, m, βk,j , k, j = 1, n — заданные параметры.
О п р е д е л е н и е 2. Вектор p ∈ P называется вектором равновесных цен, если
Si (p) = Di (p) для любого i = 1, m.
Были получены достаточные условия существования равновесных цен в исследуемых
моделях. Кроме того, был исследован вопрос устойчивости точки совпадения при малых
возмущениях параметров моделей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах. Докл. РАН. 2007. Т. 416.
№ 2. С. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces
and coincidence points. J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.
3. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений. Математические заметки, 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проекты № 12-01-31140, № 12-01-33023).
Pavlova N.G. ANALYSIS OF ECONOMIC MODELS BY METHODS OF THE COVERING MAPPINGS THEORY
Existence of an equilibrium price-vector in a nonlinear market models is studied. Sufficient conditions
for existence of the equilibrium price-vector are obtained. Stability of the equilibrium is studied. These
results are obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.
Key words: α -covering mappings; coincidence points; equilibrium price-vector.
2623