ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Логика и алгебра множеств

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Лекция 3
Курс лекций
Логика и алгебра множеств
Конечные множества
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1
Конечные множества
2
Отношение принадлежности.
Множества состоят из элементов
В этой лекции мы узнаем, что считать даже до пяти
иногда бывает непросто, особенно, если речь идет не
просто о числах, а о статистических данных. Эти
данные могут быть неполными, неточными, и даже
иногда привирать. Известно высказывание, что есть
ложь, наглая ложь и статистика. Хороший экономист
должен хорошо разбираться в цифрах, в данных, уметь
быстро находить ошибки и вранье в данных, строить
оценки для неполных и неточных данных.
3
4
Свойства элементов.
Отношение включения множеств
Множества могут состоять из элементов, удовлетворяющих
определенным условиям
Одно из множеств может полностью содержаться в другом
(состоять из его элементов)
5
6
Пустое множество
Отношение равенства множеств
Иногда неизвестно заранее, есть ли хоть один элемент в
изучаемом множестве. Поэтому удобно иметь специальную
возможность оперировать с пустым множеством как с обычным
множеством, а не просто говорить, что этого множества нет.
Чтобы доказать равенство множеств, нужно взять
произвольный элемент одного множества и доказать, что он
содержится во втором множестве, и наоборот.
7
8
Пересечение множеств
Пересечение множеств
Пересечение множеств моделирует важный логический прием
наложения одновременно нескольких условий.
Иногда пишут AB и используют термин «произведение» - так
будет через год в курсе теории вероятностей.
Это основной способ поиска истины в науке: от микробов до
глобальных финансовыых кризисов.
Системы линейных неравенств - основной аппарат
математической экономики и исследования операций.
9
Объединение множеств
10
Разность множеств
Иногда пишут A+B и используют термин «сумма» - так тоже
будет через год в курсе теории вероятностей.
Объединение допускает одновременное выполнение двух условий,
хотя достаточно хотя выполнения хотя бы одного.
11
12
Дополнение до множества
Универсальное множество
Дополнение множества соответствует логическому отрицанию.
Элементы дополнения обладают свойством, противоположным к
тому, которым обладают элементы исходного множества.
Это принципиально важная идея, отличающая точную науку:
заранее указывать все мыслимые возможности: пространство
элементарных исходов в теории вероятностей, ансамбль
сообщений в теории информации, множества потребителей и
производителей в математической экономике.
13
Алгебраические свойства операций над множествами.
Многие свойства операций над множествами копируют
14
Алгебраические свойства операций над множествами.
Вначале алгебра множеств кажется обычной.
известные свойства операций над числами:
.
При этом роль нуля играет пустое множество, а роль единицы универсальное множество.
15
Остальные свойства доказываются с использованием аналогичной
техники рассуждения.
16
Алгебраические свойства операций над множествами.
Необычная алгебра.
Вообще вся алгебра сохраняется
Появляется и новый распределительный закон, какого нет у чисел
Непохожа и операция вычитания на обычное вычитание
Но начинаются чудеса!
Операция “дополнение” вообще не имеет аналогов в алгебре, зато
на этой основе в теории вероятностей появляется особая алгебра
рискованных событий – там противоположные события
соответствуют “успеху” и “неудаче”
17
Задачка на дом
18
Свойства операции дополнения
Важные законы логики выражаются с помощью операции
дополнения множеств.
Обычные и необычные свойства.
Найдите примеры «обычных» и «необычных»
свойств операций над множествами.
Приведите обоснование некоторых из
обнаруженных Вами свойств.
19
20
Задачка на дом
•
•
•
•
•
•
•
•
Число элементов конечного множества
Верно или неверно? Какие из указанных
свойств верны. Приведите обоснование.
A⊂A+BA
A⊂AB+B
B⊂A+B
В ⊂ АB +A' B
А ⊂ АB + A' B
AB+BC ⊂A+C
А+AB⊂B
AB'+B⊂B'+A
В течение всей этой лекции мы будем рассматривать конечные
множества. Их особенность состоит в том, что можно точно
сказать, сколько элементов есть в этом множестве.
На самом деле это утверждение о точном знании числа элементов
часто не реализуемо на практике. Например, никто в нашей стране
не знает, сколько в России жителей.
21
Число элементов, обладающих данным свойством.
Множества и подмножества могут задаваться заданием свойств,
которым удовлетворяют их элементы.
22
Соотношение численностей для включения.
Если одно множество является подмножеством другого, то в нем не
больше элементов, чем в большем множестве.
Удобный способ получения новых свойств - «ограничение
совокупности» указанием дополнительного условия, то есть взятие
пересечения с другим множеством в обеих частях включения.
Здесь и дальше используется терминология и примеры, обычные для
теории вероятностей, также лежащей в основании статистики.
23
Для простоты записи мы используем символ произведения вместо
пересечения (так принято в теории вероятностей и статистике).
24
Соотношение численностей для суммы.
Принцип включения и исключения
Это - обобщение соотношения для суммы на
произвольное количество множеств.
Чтобы получить точное равенство, нужно устранить «двойной счет»
Доказательство воспроизводит простое соображение на уровне
здравого смысла: сначала складываем численности отдельных
множеств, затем устраняем двойной счет для множеств AB, AC и BC
– мы делаем это трижды, поэтому для элементов ABC возникает
“перехлест”, который устраняем в самом конце.
Для простоты записи мы используем символ суммы вместо
объединения (так принято в теории вероятностей и статистике).
26
25
Проблема совместимости численностей
Условия совместимости для двух множеств
Численности подмножеств не могут быть
произвольными натуральными числами.
Различные формулы для численностей и
получаемые на их основе оценки требуют,
чтобы численности всех подмножеств
были согласованными или совместимыми
Два множества описывают два различных качественных признака.
Здесь четыре заключающих численности, дающих четыре условия.
Знание основных формул для численностей и условий совместимости
дает возможность обнаруживать ошибки и вранье в данных, и даже,
как мы увидим дальше, частично восстанавливать отсутствующие
(утраченные или скрытые) данные.
27
28
Условия совместимости для трех множеств
Два множества описывают три различных качественных признака.
Здесь восемь заключающих численностей, дающих восемь условий.
Производные условия совместимости
Если мы математически выразим условие, что нижняя граница для
N(ABC) по формулам для двух множеств (с ограничением
совокупности) должна быть не больше верхней границы по
формулам для трех множеств, то получим еще 16 неравенств, из
которых только 4 условия являются содержательно новыми:
.
Именно эти условия оказываются на практике в большинстве
случаев наиболее полезными.
29
Задачка на дом
30
Задачка на дом
Голая правда о факультативах
Задача Льюиса Кэрролла
1. 105 студентов первого курса выбрали курс «Дискретная
математика», а 187 – курс «Непрерывная экономика». При
этом нашлись 33 энтузиаста, которые записались на оба
курса. Сколько студентов выбрали только один из курсов?
(Lewis Carrol – псевдоним математика
Чарльза Лютвиджа Доджсона).
A Tangled Tale - “Запутанная сказка”.
2. 45 студентов первого курса выбрали факультатив «Культура
речи», 75 студентов – «Культура деловой переписки» и 80
студентов – курс-практикум «Культура пития». При этом была
предоставлена возможность совмещать различные курсы, так
что 10 студентов записались на три курса одновременно, но все
же на каждом из курсов оказалось ровно 20 студентов, которые
учились исключительно на данном курсе, не совмещая его с
каким-либо другим. Сколько студентов выбрали ровно два курса
«Культура речи» и «Культура деловой переписки»?
В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один
глаз, 75 -одно ухо, 80 - одну руку и 90 - одну ногу.
Страховая компания “Веселый Роджер”, в которой
застрахованы пираты, задалась вопросом: каково
минимальное число потерявших одновременно глаз,
ухо, руку и ногу (страховой случай Total Permanent
Disablement, при котором выплаты компании
максимальны)?
31
32
Задачка на дом
Задачка на дом
Сладкий детектив.
Неутешительные результаты
переписи 1891 года в Англии.
В одном из районов Англии обследовано 10 000
мальчиков школьного возраста, при этом были
обнаружены: A - недостатки физического развития,
B - признаки нервности, D - умственная вялость.
Точные данные таковы: N=10 000; N(A)=877;
N(B)=1 086; N(D)=789; N(AB)=336; N(BD)=455.
Показать, что некоторые умственно вялые мальчики
не обнаруживают недостатков физического развития и
установить минимальное число их.
В отчете об опросе 10000 покупателей было
указано, что 5010 покупателям нравится шоколад, 3470
любят конфеты, и 4820 покупателей обожают леденцы.
При этом в отчете также указано, что все три продукта
любят 500 покупателей, шоколад и конфеты (и возможно
также леденцы) – 1000 покупателей, шоколад и леденцы
(и возможно также конфеты) – 840 покупателей, конфеты
и леденцы (и возможно также шоколад) – 1410
покупателей. В действительности оказалось, что
последнее число 1410 ошибочно. Обозначим его истинное
значение через X. Найдите X, предположив, что каждому
покупателю нравится хоть один из указанных продуктов.
Продолжение на след. странице
33
Задачка на дом (продолжение)
Увы, предположение оказалось неверным: было
обнаружено, что некоторым покупателям не нравится ни
один из перечисленных продуктов. Теперь однозначно
найти X уже невозможно. Можно ли найти максимально
возможное значение X? А минимально возможное
значение X?
(Две последние задачи были предложены недавно на экзамене по
математике за первый курс в Лондонском университете.
34
ГЛАВНОЕ ЗАДАНИЕ КУРСА:
мой личный прогноз экономики
и экономического образования будущего.
Недавно Рэй Курцвейл озвучил подробно расписанный по годам
прогноз Google технических достижений, ожидающих человечество
(http://slon.ru/biz/1213655/). Но неужели все эти чудеса будут
соседствовать с безумно устаревшей моделью экономики, неужели
студенты будущего будут все так же заучивать еще более устаревшие
экономические догмы и в семнадцатый раз пересдавать матанализ?
Давайте попробуем сделать свой прогноз экономики и экономического
образования будущего! Как будут учиться ваши дети и внуки? Что они
будут изучать? Что их будет волновать?
Пожалуйста, отнеситесь к этому серьезно, никому не интересна фигня,
скачанная из интернет. Запишите именно свои авторские мысли и соображения.
Мы соберем все прогнозы, выберем хранителей этого богатства (я уже не
подойду на эту роль), и через много лет посмотрим, кто оказался прав!
Кстати, по правилам Лондонского университета первая
пересдача проводится только через год.)
35
36
Конец лекции