Математическая статистика

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию РФ
Владивостокский государственный университет
экономики и сервиса
_________________________________________________________
Н.Ю. ГОЛОДНАЯ
Н.Н. ОДИЯКО
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Теория корреляции
в экономических расчетах
Часть II
Учебное пособие
Рекомендовано Дальневосточным региональным
учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ)
в качестве учебного пособия для студентов
специальностей 080102 «Мировая экономика»,
080105 «Финансы и кредит», 080109
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080111
«Маркетинг», 080116 «Математические
методы в экономике», 080502 «Экономика
и управление на предприятии (по отраслям),
080504 «Государственное и муниципальное
управление», 080505 «Управление персоналом»,
080507 «Менеджмент организации» вузов
региона
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2006
ББК 22.1я73
Г 61
Рецензенты: А.А. Степанова, д-р физ.-мат. наук,
профессор кафедры алгебры
и логики ИМКН ДВГУ;
Г.К. Пак, канд. физ.-мат. наук,
профессор, зав. кафедры алгебры
и логики ИМКН ДВГУ;
А.Ю. Чеботарев, д-р физ.-мат. наук,
доцент ИМКН ДВГУ
Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н.
Г 61
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Теория
корреляции в экономических расчетах. Ч. 2.: Учебное
пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 80 с.
ISBN 5-9736-0059-9
Учебное пособие разработано в соответствии с программой курса,
а также требованиями государственного образовательного стандарта к
учебной дисциплине «Математическая статистика» для специальности
«Математические методы в экономике». Содержит теоретический материал из общего курса математической статистики, а также включает в
себя решения типовых задач и индивидуальные задания для самостоятельной работы.
Ориентировано в основном на студентов специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит», «Мировая экономика»,
«Экономика и управление на предприятии», «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент организации», «Маркетинг»,
«Управление персоналом».
ББК 22.1я73
Печатается по решению РИСО ВГУЭС
ISBN 5-9736-0059-9
© Издательство Владивостокского
государственного университета
экономики и сервиса, 2006
2
ВВЕДЕНИЕ
Цель науки – описания, объяснение и предсказание явлений действительности на основе установленных законов, что позволяет находить решения в типичных ситуациях.
В основе научных знаний лежит наблюдение. Для обнаружения
общей закономерности, которой подчиняется явление, необходимо многократно его наблюдать в одинаковых условиях.
Многие явления окружающего мира взаимосвязаны и влияют одно
на другое. Проследить все связи и определить влияние каждого из них
на явление не всегда возможно. Поэтому ограничиваются изучением
влияния лишь основных факторов, определяющих течение явления. Под
одинаковыми условиями наблюдений и понимается соблюдение во всех
наблюдениях практически одинаковых значений основных факторов.
В результате наблюдений и регистрации массовых случайных явлений
получаются статистические данные или статистический материал.
Если наблюдаемая величина есть случайная величина, то она изучается методами теории вероятностей. Для понимания характера этой
случайной величины нужно знать ее закон распределения. Определение
законов распределения рассматриваемых величин и оценка значений
параметров распределения на основании наблюденных значений – задача математической статистики.
Еще одной задачей математической статистики является создание
методов обработки и анализа статистического материала с целью получения определенных выводов необходимых для организации оптимального процесса, который описывает рассматриваемые величины.
Современная экономика существенно повышает требования к качеству подготовки выпускников экономических вузов. Для этого необходимо владеть современным инструментарием математико-статистического анализа данных. Предлагаемое учебное пособие знакомит студентов с одним важным разделом математической статистики – теорией
корреляции и ее применением.
Для всех основных типов задач, которые можно решить на базе изложенного теоретического материала, приведены методики их решения,
позволяющие не только дать «рецепты» для получения ответов, но,
прежде всего, помогают студентам делать выводы при решении различных задач из области практической деятельности. Они увидят, что полученный результат не просто число, а сконцентрированное выражение
того, что исходные данные несут в себе об изучаемом явлении.
Для того чтобы процесс обучения носил активный характер, тексты
задач приближены к реальным ситуациям из области экономики. Решение
их поможет понять универсальность статистического анализа, как инструмента решения проблем, связанных с риском и неопределенностью.
В пособии приведена таблица математической статистики, необходимая
для решения задач (Приложение), а также список рекомендуемой литературы.
3
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Большой практический интерес представляет изучение статистических совокупностей объектов одновременно по двум каким-нибудь признакам X и Y.
Взаимосвязь между величинами X и Y бывает двух видов:
1. Точная функциональная зависимость, когда каждому значению x
величины X соответствует вполне определенное значение y величины Y.
2. Расплывчатая статистическая, или корреляционная, зависимость,
когда одному и тому же значению величины X может соответствовать
целая статистическая совокупность значений величины Y со своим законом распределения, изменяющимся с изменением X. При статистической зависимости расплывчатая связь, или корреляция, между X и Y
может быть более тесной, т.е. более близкой к функциональной, и менее
тесной, вплоть до полного ее отсутствия.
Раздел математической статистики, изучающий статистические
(корреляционные) зависимости, называется теорией корреляции.
Различают два вида корреляции – неполную и полную, в зависимости от того, как ставится эксперимент.
Неполной называется корреляция, когда одному из признаков, например X даются те или иные фиксированные значения x1, x2,…,xk и для
каждого из них путем эксперимента находят совокупность значений у
признака Y.
Полной называется корреляция, когда каждый из отобранных элементов статистической совокупности объектов испытывается сразу по
двум признакам X и Y.
В теории корреляции разрешаются две основные задачи:
1. О форме корреляционной связи между X и Y в виде некоторой
функциональной зависимости, которая хотя бы приближенно изображала расплывчатую корреляционную зависимость.
2. Об оценке тесноты корреляционной связи между X и Y, т.е. о
степени близости корреляционной зависимости к функциональной.
4
2. РЕГРЕССИИ. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Задача о форме корреляционной связи решается с помощью регрессий.
Регрессией Y от X называется функциональная зависимость между
значениями x и соответствующими условными средними значениями
y( x ) .
В случае полной корреляции существует также регрессия X от Y
как функциональная зависимость между y и x ( y) .
Регрессии можно представить геометрически в виде ломанных линий, соединяющих или точки A(x; y( x ) ), или точки B( x ( y) ;y). Эти линии называются эмпирическими (полученными из опыта) ломаными
линиями регрессии.
Регрессии, полученные в виде таблиц или ломаных линий, характеризуют форму корреляционной зависимости между X и Y лишь для выборочных совокупностей. Для генеральной же совокупности они дают
приближенную картину этой зависимости. Очевидно, приближение будет тем точнее, чем больше объем выборки n и чем меньше брать частные интервалы Δx и Δy. При этом ломаная линия регрессии будет приближаться к некоторой плавной кривой. Правда, такую плавную кривую
можно получить и иначе, – если ломаную линию регрессии «сгладить»
посредством какой-либо известной линии (прямой, параболы, гиперболы и т.п.).
Уравнение сглаживающей линии даст хотя и приближенно, но аналитическое – в виде формулы – выражение регрессии. Подобные формулы называют эмпирическими.
Из сказанного следует, что задача отыскания эмпирической формулы распадается на две:
1. Выбор типа линии, выравнивающей ломанную регрессии, т.е.
типа линии, около которой группируются экспериментальные точки
A(x; y( x ) ) или B( x ( y) ;y).
2. Определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного типа, таким образом, чтобы из множества линий этого типа взять
ту, которая наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии.
5
3. ВЫБОР ТИПА ЛИНИИ, ВЫРАВНИВАЮЩЕЙ
ЛОМАНУЮ ЛИНИЮ РЕГРЕССИИ
Для выбора типа линии, выравнивающей ломаную линию регрессии, необходимо хорошо знать простейшие виды линий и их уравнения.
Прямая, проходящая через начало координат. Уравнение этой
прямой
y = ax
(3.1)
Имеем зависимость прямой пропорциональности между y и x.
Линии такого типа выбирают в тех случаях, когда при x = 0 значение y также равно 0 и экспериментальные точки располагаются приблизительно вдоль прямой.
Формула (3.1) содержит лишь один параметр a.
Прямая, не проходящая через начало координат. Уравнение этой
прямой
Y = ax + b, b ≠ 0.
(3.2)
Имеем линейную зависимость y от x.
Формула (3.2) содержит два параметра – a и b.
Параболы с вершиной в начале координат, симметричные одной
из осей координат. Их уравнения
y
a x,a≠0
(3.3)
и
y = ax2, a ≠ 0.
(3.4)
Здесь одна из величин x или y пропорциональна квадрату другой.
Формулы (3.3) и (3.4) содержат один параметр a.
Парабола, симметричная прямой, параллельной оси OY. Ее
уравнение
Y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
(3.5)
(x – m)2 = 2p(y – n), p ≠ 0,
(3.6)
или, что то же самое,
где m и n – координаты вершины параболы. Имеем квадратичную
функцию. Направление выпуклости зависит от знака коэффициента a
(при a < 0 выпуклость направлена вверх, при a > 0 – вниз).
Линии этого типа выбирают в тех случаях, когда имеется один максимум или один минимум и кривые симметричны относительно прямой,
параллельной оси OY.
Формулы содержат три параметра – a, b и c или m, n и p.
6
Гипербола, асимптотически приближающаяся к осям координат. Уравнение
a
, a ≠ 0.
x
y
(3.7)
Имеем зависимость обратной пропорциональности между x и y.
Формула (3.7) содержит один параметр a.
Гипербола, асимптотически приближающаяся к прямым, параллельным осям координат. Уравнение
c
x a
y
b , a ≠ 0.
(3.8)
Формула содержит три параметра a, b и c, причем параметры a и b –
это координаты точки пересечения асимптот. Знак параметра c зависит
от расположения гиперболы относительно асимптот.
Общие степенные кривые. Такими кривыми называются кривые,
имеющие уравнения вида
y = bxa, b ≠ 0,
(3.9)
где a может быть положительным или отрицательным, целым или
дробным, правильной или неправильной дробью. В частности, степенными кривыми являются параболы (формулы (3.3) и (3.4)) при a = 2 и
a = 1/2, и гиперболы (формула (3.7)) при a = –1.
Формула (3.9) содержит два параметра а и b; поэтому ее можно использовать более широко, чем формулы (3.3), (3.4) и (3.7).
Экспоненциальные (показательные) кривые. Уравнения этих кривых
y = be–ax, b ≠ 0
–ax
y = b(1 – e ), b ≠ 0
(3.10)
(3.11)
Кривая (3.10) асимптотически приближается к оси X, пересекает
ось Y и при b > 0 выпукла вниз. Кривая, выраженная уравнением (3.11),
асимптотически приближается к прямой, параллельной оси X, и при
b > 0 выпукла вверх. Экспоненциальными функциями типа (3.10) и
(3.11) хорошо изображаются различные процессы, затухающие во времени.
Кривые Гаусса. Уравнения этих кривых, которые играют особо
важную роль в математической статистике, имеет вид
y
y
e
ce
x2
,
h 2 ( x a )2
(3.12)
, c ≠ 0.
7
(3.13)
Кривая, уравнение которой (3.12), симметрична относительно оси
OY и имеет максимум y(max) = 1 при x = 0. Кривая, уравнение которой
(3.13), является вытянутой (или сжатой) в вертикальном и горизонтальном направлениях и смещенной на величину, а от оси OY.
Отметим, что выбор типа линии на основе результатов испытаний
является в большей мере произвольным.
На практике при нанесении точек, соответствующих экспериментальным данным, отдельные точки или группы точек иногда выходят из
общего «строя». Особенность их положения заставляет предполагать
ошибку в наблюдениях. Поэтому при отыскании эмпирической формулы подобные точки выбрасывают.
8
4. МЕТОД СРЕДНИХ, МЕТОД ПРОБ,
МЕТОД ВЫРОВНЕННЫХ ТОЧЕК,
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Для определения параметров в уравнении выравнивающей линии
выбранного типа существует несколько методов: метод средних, метод
проб, метод выровненных точек и метод наименьших квадратов.
Метод средних применяют в тех случаях, когда выбранный тип
уравнения выравнивающей линии содержит лишь один параметр. Метод состоит в том, что параметр находят как среднюю взвешенную из
различных значений, вычисленных по выбранной формуле после подстановок в нее вместо x и y числовых значений x и y x из соответствующей таблицы регрессии.
Метод проб используют, когда выбранная формула содержит несколько параметров, например два – a и b. Он заключается в том, что
всем параметрам, кроме какого-нибудь одного (наиболее неясного), дают ориентировочные числовые значения, а значение оставшегося неопределенного параметра находят методом средних. Затем можно внести
коррективы, фиксировав этот последний параметр, и определить методом средних новое значение другого параметра, которому ранее давалось ориентировочное значение.
Метод выровненных (или выбранных) точек состоит в выборе по
чертежу нескольких точек (не обязательно совпадающих с точками линии регрессии), через которые проводят выравнивающую линию и определяют ее уравнение по координатам этих выбранных точек.
Так, если ломаная линия регрессии располагается вблизи некоторой
прямой, не проходящей через начало координат, то эмпирическую формулу можно найти как уравнение прямой, проходящей через какие-то
две точки M1(m; n) и M2(k; l), близкие к точкам ломаной.
Искомая формула будет иметь вид
y n
l n
x m
.
k m
(4.1)
Разрешив это уравнение относительно y, можно получить эмпирическую формулу в явном виде
y = ax + b
Если ломаная линия регрессии располагается вблизи параболы,
симметричной прямой, которая параллельна оси ординат, то эмпирическая формула ищется в виде (3.5) или (3.6). В этом случае метод выровненных точек заключается в выборе трех точек M1(m; n), M2(k; l) и
M3(r, s), в трехкратной подстановке координат указанных точек в фор9
мулу (3.5) (или (3.6)) и в отыскании трех неизвестных параметров a, b и
c (или m, n и p) из полученных трех уравнений.
Метод наименьших квадратов служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности.
Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из двух этапов:
на первом выбирают вид искомой формулы, а на втором для данной
формулы подбирают параметры.
В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо
минимизировать сумму
n
( y( x i ) y i ) 2 ,
S
(4.2)
i 1
где xi, yi – значения опытных данных;
y( x i ) – значение функции, взятое из эмпирической зависимости в
точке xi ;
n – число опытов.
В случае линейной эмпирической формулы сумма (4.2) принимает
вид
n
S(a; b)
(ax i
b yi ) 2 ,
(4.3)
i 1
а в случае квадратической зависимости – следующий вид:
n
(ax i2
S(a; b; c)
bx i
c yi )2 .
(4.4)
i 1
Минимум функции (4.3) и (4.4) имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль. В
результате дифференцирования и элементарных преобразований для
определения параметров получают нормальную систему линейных
уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости (y = ax + b)
составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными
a и b:
n
n
x i2
a
i 1
b
i 1
n
a
x i yi
i 1
n
xi
i 1
n
xi
bn
(4.5)
yi
i 1
В случае квадратической зависимости (y = ax2 + bx + c) нормальная
система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:
10
n
n
x i4
a
n
x 3i
b
i 1
i 1
n
n
c
xi
i 1
n
i 1
n
x i2
b
i 1
i 1
(4.6)
n
b
xi
i 1
x i y i,
i 1
n
x i2
a
x i2 y i ,
i 1
n
x 3i
a
n
x i2
c
cn
yi
i 1
i 1
В случае гиперболической зависимости (y = a + b/x) система нормальных уравнений имеет вид
n
na
b
i 1
n
1
xi
a
i 1
n
1
xi
yi ,
n 1
n
b
x
1
2
i
n
i 1
i 1
(4.7)
yi
xi
В случае логарифмической зависимости (y = a · lgx + b) система для
определения a и b имеет вид
n
n
(lg x i ) 2
a
i 1
bn
y i lg x i ,
i 1
n
lg x i
i 1
lg x i
i 1
n
a
n
b
(4.8)
yi .
i 1
Если обозначить lgx = X, то получим линейную функцию относительно y: y = ax + b. Тогда система для определения a и b будет иметь
вид (4.5), при условии, что Xi = lg xi .
В случае показательной зависимости y = bax удобнее сначала функцию записать в виде lg = x · lga + lgb. Если обозначить lgy = Y, lga = A и
lgb = B, то получим линейную функцию относительно x: Y = Ax + B.
Тогда система для определения A и B, а затем a и b будет иметь вид
(4.5) при условии, что Yi = lgyi.
11
5. ОЦЕНКА ТЕСНОТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ
ЗАВИСИМОСТИ
Замечание. Для удобства записи здесь и далее примем следующее
обозначение для условной средней yx i , вычисленной при X = xi:
y xi
yi .
Для оценки тесноты корреляционной зависимости служит корреляционное отношение:
2
(yx )
,
( y)
2
2
( y) – выборочная дисперсия случайной величины Y, вычисленгде
ная по всей таблице;
2
( y x ) – дисперсия условных средних относительно общей средней, так называемая внешняя дисперсия:
2
2
âíåø
(yx )
n
1
n
( y) 2 , где y
y i2
i 1
1
n
n
yi .
i 1
Выборочная дисперсия 2 ( y) случайной величины Y может быть
представлена как сумма двух дисперсий: уже упомянутой внешней дис2
2
персии âíåø
и внутренней дисперсии âíóòð
, которая вычисляется путем
усреднения внутригрупповых дисперсий величины Y, вычисленных для
каждого значения величины xi:
1
n
2
âíóòð
где
2
i
( y)
1
m
n
2
i
m
( y ij y i ) 2 или
2
i
1
m
( y)
j 1
Учитывая, что
2
( y) =
2
âíåø
( y) ,
i 1
+
2
âíóòð
m
2
y ij2 y i .
j 1
, корреляционное отношение
можно записать в следующем виде:
2
âíåø
2
âíåø
2
âíóòð
.
Отсюда следует, что 0 ≤ η ≤ 1.
2
Если =1, то âíóòð
= 0, внутренние дисперсии равны нулю, рассеяние внутри группы отсутствует, при каждом значении X значение Y
определяется однозначно, зависимость Y от X функциональная.
12
При η ≈ 1 разброс внутри группы относительно мал, зависимость
близка к функциональной (тесная).
2
Если η = 0 , âíåø
= 0, разброс условных средних отсутствует, то
есть все условные средние равны между собой и равны общему среднему y x y . В этом случае с изменением X среднее значение Y не меняется, то есть величина Y корреляционно не зависит от X.
При η ≈ 0 внешняя дисперсия мала по сравнению с внутренней
дисперсией, изменение X практически не вызывает изменения среднего
значения Y, корреляционная зависимость практически отсутствует.
Вообще, чем ближе η к 1, тем теснее корреляционная зависимость;
чем ближе η к 0, тем корреляционная зависимость слабее.
В случае линейной корреляции корреляционное отношение η и выборочный коэффициент корреляции rв совпадают.
13
6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ УРАВНЕНИЯ
Корреляционное отношение служит только оценкой тесноты корреляционной зависимости и никак не связано с ее формой. Проверка
того, хорошо ли согласуется подобранная теоретическая линия регрессии с экспериментальными данными, называется проверкой адекватности уравнения регрессии.
Уравнение регрессии считается адекватным, если расхождение между эмпирической и теоретической линиями регрессии можно объяснить ошибками в определении условных средних, вызванных разбросом
(дисперсией) случайных результатов эксперимента.
Для проверки адекватности условия используется критерий Фишера:
2
îñò
FÝÌÏ
где
2
îñò
1
n
2
âîñïð .ñð.
,
^
(yi
y i ) 2 – остаточная дисперсия;
n l i1
l –число коэффициентов в уравнении регрессии;
^
y i – ордината линии регрессии в точке xi;
2
âîñïð . ñð
– дисперсия воспроизводимости средних, равная исправ-
ленной внутренней дисперсии, деленной на число экспериментов m, по
которым вычислялись условные средние y i :
2
âîñïð . ñð.
1
m
m m 1
2
âíóòð .
1
m 1
2
âíóòð .
Величина Fэмп имеет распределение Фишера с k1 = n – l b k2 = n(m – 1)
числами степеней свободы (n – число задаваемых экспериментатором
значений величины X, m – число проводимых опытов, l – число коэффициентов в уравнении регрессии).
По заданному уровню значимости = 0.05 и числам степеней свободы k1 = n – l b k2 = n(m – 1) из таблицы критических точек распределения Фишера находим Fкрит.
Если Fэмп < Fкрит, уравнение регрессии адекватно.
Если Fэмп > Fкрит расхождение между теоретической и эмпирической
линиями регрессии значимо, уравнение не адекватно, следует взять
многочлен более высокого порядка.
14
7. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Из всех корреляционных зависимостей надо особо выделить линейную корреляцию, т.е. такую, когда точки регрессии располагаются
вблизи некоторой прямой линии.
В случае полной линейной корреляции приходится иметь дело с
двумя видами регрессии:
1) регрессия Y на X в виде функциональной зависимости
yx
b;
yx x
xy
2) регрессия X на Y в виде функциональной зависимости
d.
xy y
Угловой коэффициент ρyx (ρxy) прямой линии регрессии Y на X (X
на Y) называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X (X на
Y), он является оценкой коэффициента регрессии.
Для определения параметров уравнения прямой линии регрессии Y
на X с помощью метода наименьших квадратов получается система:
n
n
x i2
yx
i 1
b
n
xi
i 1
n
x i yi
i 1
(7.1)
n
xi
yx
bn
i 1
yt
i 1
в предположении, что значения X и соответствующие им значения Y
наблюдались по одному разу. Запишем систему (7.1) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Воспользуемся тождествами:
n
xi
n
xi
n x (следствие из x
i 1
),
n
i 1
n
yi
n
yi
n y (следствие из y
i 1
),
n
i 1
n
x i2
n
x
2
i
n x (следствие из x
2
i 1
2
i 1
n
),
n
x i yi
n xy xy (учтено, что пара чисел (x, y) наблюдалась nxy
i 1
раз).
15
Подставив правые части тождеств в систему (7.1) и сократив обе
части второго уравнения на n, получим:
yx
nx2
yx
x b
bn x
n xy xy
(7.2)
y
Решив эту систему, найдем параметры ρyx и b и, следовательно, искомое уравнение y x
x b . Целесообразно, введя новую величину –
выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение регрессии в
yx
ином виде. Найдем из второго уравнения системы (7.2) b
ставив правую часть этого равенства в уравнение yx
yx
y
yx
yx
y
yx
x . Под-
x b , получим
( x x) .
(7.3)
Найдем из системы (7.1) коэффициент регрессии, учитывая, что
x
2
( x) 2
2
x
:
n xy xy
yx
nx
2
n x y
(x)
n xe xy
n
2
Умножим обе части равенства на
x
n x y
2
x
.
:
y
n xy xy
x
yx
n
y
n x y
x
.
(7.4)
y
Обозначим правую часть равенства (7.4) через rв и назовем ее выборочным коэффициентом корреляции, который является оценкой коэффициента корреляции:
n xy xy
râ
Подставим rв в (7.4):
n
x
yx
n x
x
y
.
y
râ , отсюда
í÷
râ
y
. Подставим в
x
y
(7.3), окончательно получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида
yx
y
râ
y
(x x) .
x
16
(7.5)
Замечание.
1. Аналогично находим выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y вида:
xy
x
râ
x
( y y) ,
(7.6)
y
где râ
x
xy
.
y
2. Коэффициент корреляции заключен между –1 и 1: –1 ≤ rв ≤1.
Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:
xi
Ui
C1
h1
, Vj
yj
C2
h2
,
где C1 – «ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета): в качестве
ложного нуля удобно принять варианту, которая расположена примерно
в середине вариационного ряда, имеющую наибольшую частоту; h1 –
шаг, то есть разность между двумя соседними вариантами X; C2 – «ложный нуль» вариант Y, h2 – шаг вариант Y. В этом случае выборочный
коэффициент корреляции:
n uv uv n u v
rd
n
u
.
v
Величины u , v, u , v могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо по формулам:
nuu
u
n
u2
u
nvv
, v
(u ) 2 ,
,
n
v
v2
( v) 2 .
Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (7.5) и (7.6) величины по формулам:
x
u h1
x
C1 y
,
u
h1 ,
17
v h2
y
v
C2
h2
.
8. ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Применим линейный регрессионный анализ для нахождения параметров A и
производственной функции Кобба-Дугласа:
(8.1)
Y A K L1 ,
где K – затраты капитала, L – объем трудовых затрат. Обозначив
Y
K
y
– индекс производительности труда, k
– индекс фондовоL
L
оруженности и поделив равенство (8.1) на L, получим:
Y
K L1
A
или y A k . Прологарифмируем обе части поL
L
следнего равенства: ln y ln A
ln k . Используя метод наименьших
квадратов, получим систему уравнений для нахождения lnA и :
где
ln A ln k
ln k ln A (ln k ) 2
ln y
,
ln k ln y
n
1
n
ln k
1
n
ln k i , (ln k ) 2
i 1
n
(ln k i ) 2 , ln k ln y
i 1
18
1
n
n
ln k i ln yi .
i 1
9. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Числовые данные, описывающие изменение показателя во времени,
образуют временной ряд. Значение xi отображаемого показателя для
каждого выбранного значения ti момента времени называется i-м уровнем ряда.
Для практического использования часто достаточно знать лишь некоторые основные числовые характеристики ряда. Характер изменения
уровней ряда со временем описывают следующие основные показатели.
Абсолютные приросты: базисный Δxiб = xi – x1, цепной Δxiщ = xi – xi–1.
xi
xi
100% , цепной Tiö
100% .
Темпы роста: базисный Tiá
x1
xi 1
Темпы прироста:
x iá
100% (Tiá 100)% ,
базисный Tiá
x1
цепной
Tiö
x iö
100%
x1 ö
(Tiö 100)% .
x n x1
n 1
Средний абсолютный прирост
n
xi
Средний темп роста Tcp
i 2
n 1
100% .
xi
i 1
Средний темп прироста ΔТср = (Тср – 100)%.
19
x ná
.
n 1
10. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1. Для установления корреляционной зависимости между
величинами X и Y (где Y – случайная величина, X – неслучайная величина) проведены эксперименты, результаты которых записаны в табл. 1.
Требуется:
I. Найти условные средние y i и построить эмпирическую линию
регрессии Y по X (ломаную).
II. Найти уравнение регрессии Y по X методом наименьших квадратов, принимая в качестве сглаживающей линии параболу
^
yx
ax 2
(10.1)
bx c
и затем построить ее на одном чертеже с эмпирической линией регрессии.
III. Оценить тесноту корреляционной зависимости Y по X.
Проверить адекватность уравнения регрессии Y по X.
Таблица 1
Исходные данные
xi
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
x4 = 4
x5 = 5
x6 = 6
yij
10
9
11
12
10
10
16
15
13
14
19
21
18
20
18
30
28
31
28
33
45
44
42
48
43
79
75
80
73
82
Решение:
I. Условные средние вычислим по формуле
1
5
yi
Например, y1
5
y ij
(10.2)
j 1
1
(10 9 11 12 10) 10,4
5
Результаты вычислений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Условные средние y i
xi
1
2
3
4
5
6
yi
10.4
13.6
19.2
30.0
44.4
77.8
20
По точкам (xi; y i )строим эмпирическую (ломаную) линию регрессии (рис. 10.1).
II. Теоретическое уравнение регрессии Y по X будем искать в виде
(10.1). Неизвестные параметры a, b, c будем находить из системы линейных уравнений (4.6), в которой n = 6. Для определения коэффициентов этой системы составим расчетную табл. 3, где в последней строке
записаны суммы элементов соответствующих столбцов.
Используя последнюю строку табл. 3, имеем:
6
6
x i4
4628,4 и т.д.
x i2 y i
2275 ;
i 1
i 1
Таблица 3
Расчетная таблица
i
xi
yi
x i2
x 3i
x i4
xi y i
x i2 y i
1
1
10.4
1
1
1
10.4
10.4
2
2
13.6
4
8
16
27.2
54.4
3
3
19.2
9
27
81
57.6
172.8
4
4
30.0
16
64
256
120.0
480.0
5
5
44.4
25
125
625
222.0
1110.0
6
77.8
36
216
1296
466.8
2800.8
21
195.4
91
441
2275
904
4628.4
6
В результате получим систему:
2275a 441b 91c 4628.4 ,
441a 91b 21c 904 ,
91a
(10.3)
21b 6c 195.4.
Систему решаем методом Гаусса. Первое уравнение системы (10.3) делим на 2275. Получим уравнение (*). Второе уравнение системы (10.3) разделим на 441, и из полученного результата вычтем уравнение (*). Получим
уравнение (**). Третье уравнение системы (10.3) разделим на 91, и из полученного результата вычтем уравнение (*). Имеем линейную систему:
a
0193846
.
b
0.0125032b
0.03692323b
( )
0.04c 2.034461,
0.007619047c 0.0154256,
0.02593406c
21
01127917
.
.
(
( )
)
Теперь уравнение (**) разделим на 0.0125032. Получим уравнение ( ). Уравнение (***) разделим на 0.03692323, и из полученного результата вычтем уравнение ( ). Получим уравнение ( ). Имеем систему
линейных уравнений:
( )
a 0193846
.
b
0.04c 2.034461,
b 0.609364c 1233732
.
,
( )
0.09301282c 1821033
.
.
( )
Из уравнения ( ) находим c. Подставляя его в ( ), из уравнения ( )
находим b. Подставляя найденные b и c в (*), находим a:
c 19.57830 19.578;
b
10.69659
10,697;
a 3.32482 3.325.
Найденные a, b, c подставляем в (10.1), получим теоретическое
уравнение регрессии:
yx
3.325x 2 10.697 x 19.578.
(10.4)
Вычислив ординаты теоретической линии регрессии по формуле
(10.4) для значений X, заданных в таблице исходных данных (эти ординаты записаны в табл. 4), строим теоретическую линию регрессии на
одном чертеже с эмпирической линией регрессии (рис. 10.1).
Таблица 4
Ординаты теоретической линии регрессии
xi
^
yi
1
2
3
4
5
6
12.207
11.484
17.411
30.000
49.216
75.093
Наглядно убеждаемся, что теоретическая линия регрессии хорошо
сглаживает эмпирическую линию регрессии, чем подтверждается, что
система (10.3) составлена и решена верно.
III. Оценим тесноту корреляционной зависимости.
а) находим общее среднее по формуле:
y
1 6
y
6i 1 i
1
(10.4
6
...
Здесь значения y i взяты из табл. 2.
22
77.8)
32.57.
y
80 70 60 -
Эмпирическая
(ломаная)
линия
регрессии
50 40 30 -
Теоретическая линия
регрессии
20 10 .
1
0
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
x
Рис. 10.1. Эмпирическая ломаная и теоретическая линии регрессии
б) находим внешнюю дисперсию
2
âíåø .
1
6
6
y i2
y
2
âíåø .
1
(10,4 2
6
2
i 1
:
...77,82 ) 32,57 2
в) для нахождения усредненной внутренней дисперсии
вычисляем внутренние дисперсии
2
i
1
5
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Для примера вычислим
таблицу (табл. 5).
2
i
2
âíóòð .
сначала
для каждого xi, где m = 5:
5
y ij2
537
2
yi ,
(10.5)
j 1
2
i
, составив предварительно расчетную
Таблица 5
Расчетная таблица
2
i
y1 j
10
9
11
12
10
y 12j
100
81
121
144
100
23
y12j
546
5
1
5
2
1
2
y12j
y1
j 1
1
546 10,4 2
5
Значения всех внутренних дисперсий
лены в табл. 6.
1,04
для каждого xi представ-
2
i
Таблица 6
Значения дисперсий
xi
2
i
2
i
1
2
3
4
5
6
1,04
4,24
1,36
3,60
4,24
10,26
Усредненная внутренняя дисперсия
2
âíóòð .
1
6
6
1
(1,04 4,24 ... 10,26)
6
2
i
ø 1
4,24
г) вычисляем корреляционное отношение:
2
âíåø
2
âíåø
537
537 4,24
2
âíóòð .
0,996
Вывод: корреляционная зависимость – тесная.
IV. Проверяем адекватность уравнения регрессии.
а) вычисляем «остаточную дисперсию»:
2
îñò
1
n
^
(yi
n l i1
(10,4 12,207) 2
yi )2
(13,6 11,484) 2 ... (77,8 75,093) 2
6 3
31,21
10,40
3
Здесь n (число значений X) равно 6, l – количество параметров
уравнения регрессии (10.4) – равно 3, значения y i взяты из табл. 2, зна^
чения y i взяты из табл. 4;
б) вычисляем «дисперсию воспроизводимости средних»:
2
âîñïð . ñð
1
m 1
2
âíóòð
24
1
4,24 1,06 ;
5 1
в) вычисляем величину Fэмп по формуле:
2
îñò
Fýìï
2
âîñïð . ñð
10,40
9,8 ;
1,06
г) находим Fêðèò. при уровне значимости
= 0.05.
В нашем случае n (число значений X) равно 6, m (число значений
Y) в каждом столбце табл. 1) равно 5, l (число параметров уравнения
регрессии (10.4)) равно 3. Следовательно, числа степеней свободы соответственно равны K1 = n – l = 6 – 3 = 3, K 2 n(m 1) 6 4 24 . По таблице критических точек распределения Фишера для
= 0.05, K1 = 3,
K2 = 24 находим Fкрит = 3,01.
Так как 9.8 > 3.01, то Fэмп > Fкрит.
Вывод: теоретическое уравнение регрессии неадекватно. В качестве уравнения регрессии необходимо принять многочлен 3-й степени
y = ax3 + bx2 + cx + d
и все расчеты сделать заново.
(В лабораторной работе пересчета делать не надо).
Задача 2. В прилагаемой таблице приведены данные замеров обхвата груди X (в см) и роста Y (в см) у 20 мужчин некоторого города.
X
90
95
97
99
92
96
100
100
97
101
Y
155
169
162
168
164
164
165
169
159
170
X
97
95
102
98
101
99
103
104
106
103
Y
171
165
171
166
172
175
170
181
185
175
Найти приближенную зависимость Y от X.
Это – первоначальная таблица выборочных значений двумерной
случайной величины (X; Y). Для нее прежде всего составляют таблицу
распределения частот, которая называется корреляционной таблицей
частот (табл. 7). Для того, чтобы составить корреляционную таблицу,
необходимо:
1. Выявить по первоначальной таблице наибольшее и наименьшее
значения признака X и признака Y и определить общий интервал изменения признака в данной выборке:
признак X: 106 – 90 = 16 (см), признак Y: 185 – 155 = 30 (см).
25
2. Разделить общий интервал на K частных интервалов Δx – признака X, Δy – признака Y (число K зависит от объема n выборки):
n
40–60
60–100
100–200
200–500
K
5–7
7–10
10–14
14–17
полученные частные интервалы и их середины внести в составляемую
30
16
6 (ñì ) .
4 (ñì ) , признак Y: h 2
таблицу: признак X: h 1
5
4
3. Просмотреть все случайные величины (X; Y) таблицы в порядке
их записи и определить принадлежность каждого из них к тому или
иному частному интервалу.
4. Найти частоты nx, ny случайных величин, приходящихся на каждый интервал.
Таблица 7
X
Δx
Y
Δy
x
y
[90; 94]
(94; 98]
(98; 102]
(102; 106]
x1 = 92
x2= 96
x3=100
x4=104
ny
[155; 161]
y1=158
1
1
(161; 167]
y2=164
1
4
1
(167; 173]
y3=170
2
5
1
8
(173; 179]
y4=176
1
1
2
(179; 185]
y5=182
2
2
4
n = 20
nx
2
7
2
7
6
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав
в качестве ложных нулей C1 = 100 и C2 = 170 (каждая из этих вариант
расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
Указания к составлению таблицы 8.
Произведение частоты nuv на варианту u, т.е. n uv u записывают в
правом верхнем углу клетки, содержащей частоту; например, в правых
верхних углах клеток первой строки записаны произведения
1 ( 2)
2; 1 ( 1)
1;
– складывают все числа, помещенные в правых верхних углах одной строки, и их сумму помещают в клетку этой строки «столбца U»;
26
– умножают варианту v на U и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столба vU»; например, в первой строке таблицы v = -2, U = -3, следовательно, vU = (-2). (-3) = 6;
– сложив все числа «столбца vU», получают сумму:
vU
n uv u v 17.
Для контроля расчета аналогичные вычисления производят по
столбцам.
Таблица 8
u
-2
-1
1 -2
1 -1
0
nv
U= nuv. u
vU
2
-3
6
6
-6
6
1 1
8
-1
0
1 1
2
1
1
2 2
2
2
4
1
v
-2
-2
-2
1 -2
-1
4 -4
-4
-1
1 0
-1
2 -2
0
0
50
0
0
10
1
1
1
2
4
nu
2
7
7
4
V= nuv.v
-3
-6
0
5
u.V
6
6
0
5
n=20
v.U=17
u.V=17
Найдем u и v :
nu u
u
v
2 ( 2) 7 ( 1) 7 0 4 1
20
n
nv v
n
0,35,
2 ( 2) 6 ( 1) 8 0 2 1 2 2
20
2
2
Найдем вспомогательные величины u и v :
u2
nu u2
n
2 4 7 1 7 0 4 1
20
27
0,95,
0,2 .
n v v2
v2
Найдем
2
2 4 6 1 8 0 2 1 2 4
20
u 2 (u ) 2
u
0,95 ( 0,35) 2
1,2
0,91,
v 2 ( v) 2
1,2 ( 0,2) 2 1,08.
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
v
n uv uv n u v
rb
n
u
v
17 20 ( 0,35) ( 0,2)
20 0,91 1,08
0,79 .
Найдем x и y , учитывая, что С1 = 100, С2 = 170, h1 = 4, h2 = 6:
Найдем
x
x
uh 1 C1
0,35 4 100 98,6,
y
vh 2
0,2 6 170 168,8.
и
y
C2
:
x
h1
u
4 0,91 3,64,
y
h2
v
6 1,08
6,48.
Подставим найденные величины в уравнение (7.5), получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:
6,48
y x 168,8 0,79
( x 98,6),
3,64
y x 168,8 1,41( x 98,6).
Или окончательно:
y = 1,41x – 29,77.
Задача 3. На основании следующих данных построить производственную функцию Кобба-Дугласа (n = 10):
Год
1987
1988
1989
1990
1991
Yi
349
366
375
397
417
Ki
661
721
784
847
911
Li
90,6
92
93,4
94,5
95,6
Год
1992
1993
1994
1995
1996
Yi
438
450
474
498
535
Ki
979
1051
1124
1201
1281
Li
96,8
97,6
98,1
99
99,7
28
Здесь Yi – производственный национальный доход (млрд руб.),
Ki – среднегодовые основные производственные фонды (млрд руб.),
Li – среднегодовая численность занятых в материальном производстве
(млн чел.). Имеется прогноз на 1997 год: основных производственных
фондов 1361 млн руб. и трудовых ресурсов 100,4 млн чел.
На основании полученной производственной функции сделать точечный прогноз национального дохода на 1997 год.
Решение. Вычислим нужные значения, для чего составим расчетную таблицу.
yi
lnyi
ki
lnki
ln2ki
ln k i ln y i
3,8521
1,3486
7,2958
1,9873
3,9494
2,6801
3,9783
1,3808
7,8370
2,0589
4,2389
2,8430
4,0150
1,3900
8,3940
2,1275
4,5263
2,9573
4,2011
1,4353
8,9630
2,1931
4,8097
3,1478
4,3619
1,4729
9,5293
2,2544
5,0822
3,3205
4,5248
1,5096
10,1136
2,3139
5,3541
3,4930
4,6107
1,5284
10,7684
2,3766
5,6483
3,6324
4,8318
1,5752
11,4577
2,4387
5,9471
3,8414
5,0303
1,6155
12,1313
2,4958
6,2290
4,0319
5,3661
1,6801
12,8485
2,5532
6,5190
4,2897
Сумма:
14,9364
---
22,7994
52,3038
34,2371
14,9365
22,7993
1,4937 , ln k
2,2799 ,
10
10
34,2371
52,3038
3,4237 .
ln 2 k
5,2304 , ln k ln y
10
10
Составляется система:
ln A 2,2799
1,4937
2,2799 ln A 5,2304
3,4237
ln y
из системы
ln y ln k ln y ln k
(ln k) 2
ln A
0,5663 ,
ln 2 k
ln y ln k
t
t
A = e =1,2245.
29
0,2025 ,
Запишем функцию в виде Y A K L1 и сделаем прогноз, подставив в формулу K = K1997 и L = L1997.
Для K = 1361 и L = 100,4 получим Y = 538,034
Задача 4. Имеются данные, характеризующие прибыль промышленного предприятия за девять кварталов:
Год
1995
1996
1997
Квартал
1
2
3
4
1
2
3
4
1
Прибыль,
тыс. руб.
243
251
265
270
282
299
327
343
355
Требуется: 1. Рассчитать характеристики скорости и интенсивности изменения ряда: базисные и цепные абсолютные приросты, базисные и цепные темпы роста и прироста.
2. Вычислить средние характеристики изменения прибыли: средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
3. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда в исходном ряду. При построении трендовой модели необходимо выбрать два регрессионных
уравнения из представленного ниже набора функциональных зависимостей и найти методом наименьших квадратов оценки их параметров:
a 0 a 1 t ; X( t )
X(t )
X(t )
a 0 a1 t a 2 t 2 ; X(t )
a 0 e a t ; X( t )
1
a0
a1
;
t
a0 ta .
1
4. По полученным трендовым моделям вычислить значения анализируемого показателя за рассматриваемый период времени. Найти остатки li = X(ti) – xi, дисперсию остатков 2 . Выбрать трендовую модель,
наилучшим образом отражающую тенденции показателей.
5. С помощью трендовой модели получить прогнозные значения
прибыли на 2 и 3 кварталы 1999 года.
Характеристики ряда представлены в табличном виде: xi – прибыль;
Δxiб – базисные, Δxiц – цепные абсолютные приросты; Тiб – базисные, Тiц –
цепные темпы роста; ΔТiб – базисные, ΔТiц – цепные темпы прироста.
xi
Δxiб
Δxiц
Тiб
ΔТiб
Тiц
ΔТiц
243
---
---
---
---
---
---
251
8
8
103,29%
3,29%
103,29%
3,29%
265
22
14
109,05%
9,05%
103,29%
3,29%
270
27
5
111,11%
11,11%
101,89%
1,89%
30
282
39
12
116,05%
16,05%
104,44%
4,44%
299
56
17
123,05%
23,05%
106,03%
6,03%
327
84
28
134,57%
34,57%
109,36%
9,36%
343
100
16
141,15%
41,15%
104,89%
4,89%
355
112
12
146,09%
46,09%
103,50%
3,50%
13,25 , средний
Средний абсолютный прирост составляет
темп роста Тср = 104,49%, средний темп прироста ΔТ ср = 4,49%.
Выберем за единицу времени квартал, а за начало отсчета первый
квартал 1995 года. Из вычисленных характеристик ряда видно, что с
течением времени прибыль предприятия быстро увеличивается, поэтому в качестве трендовой модели выберем квадратическое и экспоненциальное уравнения регрессии.
По методу наименьших квадратов параметры квадратичной регрессии X( t ) a 0 a1 t a 2 t 2 находятся из системы уравнений:
a 0 t a1 t 2 a 2 X
t a 0 t 2 a1 t 3 a 2 tX
t 2 a 0 t 3 a1 t 4 a 2 t 2 X
где
1 n k
t i , (k = 1, 2, 3, 4);
n i1
1 n k
tkX
t i X i , (k = 0, 1, 2); t i = i, (i=1,...,n,).
n i1
В задаче n = 9,тогда t=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Вычислив коэффициенты, запишем систему:
tk
a0
5 a0
5 a 1 31,667 a 2
31,667 a 1
31,667 a 0
292,777
225 a 2
1561,333
225 a 1 1703,667 a 2
10277,333
Решив систему, получим уравнение регрессии:
X(t)=236,574+5,408t+0,9209t2
Далее находим значения прибыли по уравнению регрессии:
X(1) = 242,9029, X(2) = 251,0736, X(3) = 261,0861,
X(4) = 272,9404, X(5)=286,6365, X(6) = 302,1744,
X(7) = 319,5541, X(8) = 338,7756, X(9)=359,8389.
31
Вычислим отклонения прибыли от значений, полученных по уравнению регрессии: l i = X(ti) – xi,
l1= -0,0971, l2= 0,0736, l3= -3,9139, l4= 2,9404,
l5= 4,6365, l6= 3,1744, l7= -7,4459, l8= 4,2244,
l9= 4,8389.
t
X·t
1
243
2
X·t2
X(t)
l
243
242,9029
-0,0971
502
1004
251,0736
0,0736
3
795
2385
261,0861
-3,9139
4
1080
4320
272,9404
2,9404
5
1410
7050
286,6365
4,6365
6
1794
10764
302,1744
3,1744
7
2289
16023
319,5541
-7,4459
8
2744
21952
338,7756
-4,2244
9
3195
28755
359,8389
4,8389
45
14052
92496
2634,983
-0,0175
Дисперсия остатков вычисляется по формуле:
Sl2
1
n
n
li2 (
i 1
1
n
n
li ) 2 .
i 1
В данном случае дисперсия составляет Sl2 =19,0319.
Коэффициенты
экспоненциального
уравнения
X ( t ) a 0 ea t определяются из системы уравнений:
1
ln a 0 t a1 ln X
t ln a 0 t 2 a1 t ln X
1 n
1 n
t i ln X i .
ln Xi , t ln X
n i1
n i1
Подставив соответствующие значения, имеем:
где ln X
ln a 0
5 ln a 0
5 a1
5,67098
31,667 a1
32
28,6855
регрессии
353,9608
-1,03924
320,6615
-6,33848
336,9674
304,3367
5,336744
-6,03264
290,379
262,956
-2,0441234
8,37877
250,231448
-0,7685519
276,32735
238,1228
l
6,32735
X(t)
-4,87725
Решив систему, получим уравнение регрессии: X( t ) 236,5 e 0.0476 t .
Аналогично находим значения прибыли по уравнению регрессии
X(ti), остатки li:
и их дисперсию: Sl2 = 32,4562.
Дисперсия остатков квадратичного уравнения регрессии меньше
дисперсии остатков экспоненциального уравнения регрессии, поэтому
выбираем первое уравнение, как наиболее адекватно отражающее зависимость прибыли предприятия от времени.
Поскольку 2 и 3-й кварталы 1998 года соответствуют значению времени t = 14 и 15, то прогнозируемая прибыль, вычисленная по квадратичному уравнению регрессии, равна 492,7 и 524,9 млн руб. соответственно.
Задача 5:Множественная корреляция.
Предполагается, что основными показателями, влияющими на величину прибыли предприятия, являются вложенные средства и число
рабочих. Приводятся данные за 7 кварталов:
Год
1995
1996
Квартал
1
2
3
4
1
2
3
Вложенные
средства
128,15
140,25
135,85
142,45
154,55
157,85
155,65
Число
рабочих
66
72
72
78
84
96
102
29,7
43,6
37,8
47,3
64,2
73
66,4
Среднегодовая
норма
прибыли предприятия,
%
33
Требуется:
1. Найти все коэффициенты парной корреляции rXY, rYZ, rXZ и
проанализировать тесноту линейной зависимости между всеми парами
переменных.
2. Выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости нормы
прибыли Z от количества рабочих Y и вложенных средств X. Предлагается
выбрать
следующие
функциональные
зависимости:
a bX
линейную,
–
экспоненциальную,
Z e
Z a b X c Y–
Z a Xb – степенную. Методом наименьших квадратов найти оценки
неизвестных параметров уравнений регрессий.
3. Сравнивая среднеквадратические отклонения случайных возмущений и коэффициенты детерминации RXY, RYZ, RXZ, выбрать регрессионную модель, наиболее адекватно отображающую зависимость
нормы прибыли от рассматриваемых факторов.
4. Методом наименьших квадратов найти оценки неизвестных параметров трендовых моделей: X a b t – линейная, X a t b – стеb
пенная, Y a
– гиперболическая, Y a eb*t – экспоненциальная.
t
Сравнивая дисперсии случайной ошибки, выбрать те трендовые модели,
которые наиболее адекватно отражают зависимости X от t и Y от t.
Найти прогнозные значения для X и Y на первый квартал 1997 года.
5. На основе выбранной в пункте 3 регрессионной модели найти
прогнозное значение нормы прибыли Z при возможных значениях X и
Y в первом квартале 1997 года.
Коэффициенты парной корреляции вычисляются по формуле:
rXY
XY X Y n
, где SX, SY – корень квадратный из исправленных
SX SY
n 1
выборочных дисперсий S 2X , S 2Y , которые вычисляются по формуле:
n
(x i
S
2
i 1
n 1
x) 2
.
XY =11922,9, X =144,9643, Y =81,42857, Sx =11,3, S y =13,4. Подставим эти значения в формулу и вычислим rxy. Аналогично вычисляются rYZ,
rXZ. Коэффициенты детерминации RXY= r 2XY , RYZ = r 2YZ , RXZ= r 2XZ .
Используя данные из условия задачи, получим значения
rXY = 0,9174, rYZ=0,9258, rXZ= 0,9945. Поскольку все значения коэффициентов парной корреляции являются близкими к единице, то можно
предположить, что между переменными существует линейная зависимость.
34
По методу наименьших квадратов коэффициенты множественной
линейной регрессии определяются из системы уравнений:
a X b Y c Z
X a X 2 b XY c XZ
Y a XY b Y 2 c YZ
Подставив соответствующие значения, получим:
a 144,96428 b 81,42857 c 51,71423,
144,96428 a 2112,13679 b 11922,9 c 7653,47,
81,4285 a 11922,9 b 6783,42857 c 4383,42857.
Из первого уравнения системы выразим a и подставим его в два
других:
a
51,71486 144,96429 b 81,42857 c,
144,9642 (51,71486 144,96429 b 81,4287 c)
21124,13679 b 1192,9 c
7653,47,
81,42857(51,71486 144,96429 b 81,42857 c)
11922,9 b 6783,42857 c
4383,42587;
a 51,71486 144,96429 b 81,42857 c,
109,492656 b 118,66531 c 156,74551,
118,66531 b 152,1816 c 172,408
Умножим второе уравнение на 118,6653, а третье на 109,9265 и вычтем третье из второго. Получим:
-2650,81·с = -277,733, отсюда с = 0,0456. Подставим это значение
во второе уравнение, получим b = 1,31824,а из первого найдем
a = -147,8978.
Полученные значения подставим в линейное уравнение:
Z = -147,8978 + 1,31824·X +0,10456·Y.
Вычислим значения нормы прибыли по уравнению регрессии, определим ошибки:
Ziâ
Zi
( Zi
Ziâ
27,935616 44,51368 38,71342 48,04117 64,61923 70,22414 67,95138
1,764384 -0,91368
-0,91342
-0,74117
Ziâ ) 2 3,1130509 0,834811 0,834343 0,54933
35
-0,41923
2,775856 -1,55138
0,175755 7,705377 2,406767
Найдем среднеквадратическое отклонение ошибок по формуле
Ziâ ) 2
n 1
S1= 1,61346.
Коэффициенты
экспоненциального
уравнения
a bX
e
определяются из системы уравнений:
( Zi
S
Z
регрессии
a X b ln Z
,
X a X 2 b X ln Z
где ln Z
1
n
n
ln Zi , X ln Z
i 1
n
1
n
Xi ln Zi .
i 1
Xi
128,15
140,25
135,85
142,45
154,55
157,85
155,65
Zi
29,7
43,6
37,8
47,3
64,2
73
66,4
4,195697056
lnZi
Xi ln Zi
3,391147 3,775057 3,632309
3,85651 4,162003
4,290459
434,5755 529,4518
549,3599 643,2376
677,249 653,0602468
49,4492
Используя данные из таблицы, вычисляем
X ln Z =568,59143,
2
ln Z =3,90023, X 144,96425, X 21124,13679 .
Подставив значения в систему уравнений, получим:
a 144,96428 b
144,96428·a
a
3,90023,
21124,13679·b
568,626178;
3,90023 144,96428 b,
144,96428(3,90023 144,96428 b, ) 21124,13679·b
a
568,626178;
3,90023 144,96428 b,
565,3940338 21014,64248 b 21124,13679·b
b
0,0295188,
a
0,378946.
568,626178;
Вычислив коэффициенты, получим уравнение регрессии:
å
0 , 378946 0 , 0295188 õ
36
.
Ziв
30,0808
42,9942
37,7574
45,87898
65,57435
72,28355
67,7389
Zi – Ziв
-0,3808
0,60578
0,042543
1,42102
-1,374345
0,7164499
-1,33853
(Zi – Ziв)2
0,145034
0,366968
0,0018099
2,019298
1,888825
0,513301
1,791675
Исправленное среднеквадратическое отклонение ошибок для данного уравнения S2 = 1,0588
Система уравнений для определения коэффициентов степенного
уравнения регрессии Z a Xb имеет вид:
ln a ln X b ln Z
,
ln X ln a (ln X) 2 b ln X ln Z
где (ln X) 2
1
n
n
(ln Xi ) 2 , ln X ln Z
i 1
1
n
n
ln Xi ln Zi .
i 1
Xi
140,25
128,15
135,85
142,45
154,55
157,85
155,65
Zi
43,6
29,7
37,8
47,3
64,2
73
66,4
lnXi
4,943427 4,853201 4,911551 4,958991 5,040518 5,061645
5,047609897
(lnXi)
24,43747 23,55356 24,12334 24,59159 25,40682 25,62025
25,47836567
lnZi
3,775057 3,391147 3,632309 3,85651 4,162003 4,290459
4,195697056
ln Xi ln Zi
18,66172 16,45792 17,84027 19,1244 20,97865 21,71678
21,17824199
2
Подставив вычисленные в таблице данные в формулы, получим:
(ln X)2 =24,74449, ln X ln Z =19,42142, ln X =4,9738
Подставляя вычисленные значения, получим систему:
ln a 4,97385 b 3,90023,
4,97385 ln a 24,74449 b 19,42142;
ln a
3,90023 4,97385 b
4,97385(3,90023 4,97385 b) 24,74449 b 19,42142;
ln a
3,90023 4,97385 b
19,3992 24,73915 b 24,74449 b 19,42142;
ln a
3,90023 4,97385 b,
b
4,161049;
b
4,161049,
ln a
16,7962;
37
b
4,161049,
a 5,078 10 8.
Определив коэффициенты, получим уравнение регрессии:
5,078 10 8 Õ 4,19397
Вычислим Z по найденной формуле и найдем ошибки:
Ziв
Zi – Ziв
(Zi – Ziв)
2
29,9105857 43,53841
38,1303
46,45147
65,21206
71,20458
67,16521757
0,04434636 0,003794
0,109097 0,719996
1,024264
1,79542
0,58555793
0,0019666
0,011902 0,518395
1,049116
3,2235
0,34287809
1,44E-05
Исправленное среднеквадратическое отклонение ошибок для данного уравнения: S3=0,92626.
Коэффициенты
детерминации
составляют
RXY=
0,8416,
RYZ= 0,8571, RXZ= 0,989.
Поскольку самое большое значение принимает RXZ, то можно считать, что на норму прибыли Z большее влияние оказывает фактор Х –
вложенные средства, а фактор Y – количество рабочих незначительно
влияет на Z. Это видно и из линейного уравнения регрессии: коэффициент при Y близок к нулю, поэтому можно выбрать уравнение регрессии,
связывающее только переменные X и Z. Так как у экспоненциального
уравнения исправленное среднеквадратическое отклонение ошибок S2
больше, чем у степенного S3, то выбираем последнее уравнение, как
наиболее адекватно отражающее зависимость нормы прибыли от рассматриваемых факторов.
Системы уравнений, полученные по методу наименьших квадратов, для параметров трендовых моделей имеют вид:
a t b X
а) для линейной X a b t :
,
t a t2 b t X
где
1 n
1 n 2
1 n
ti , t2
t i Xi .
ti , t X
n i1
n i1
n i1
Параметр ti принимает целые значения от 1 до 7.
t
Xi
128,15
140,25
135,85
142,45
154,55
157,85
155,65
ti
1
2
3
4
5
6
7
ti2
1
4
9
16
25
36
49
t i Xi
128,15
280,5
407,55
569,8
772,75
947,1
1089,55
38
Подставляя данные таблицы в формулы, вычислим: t = 4, t 2 = 20,
t X =599,34285.
Подставляя вычисленные значения, получаем систему:
a 4 b 144,96429,
4 a 20 b 599,34285;
a 144,96429 4 b,
4(144,96429 4 b) 20 b
599,34285;
a 144,96429 4 b,
579,85716 16 b
b
4,87142,
a
125,4786.
599,34285;
б) для степенной X
где ln t
Xi
1
n
n
lnti
1
n
ln t i , (ln t ) 2
i 1
28,115
140,25
ln a ln t b
a tb :
135,85
ln X
2
ln t ln a (ln t ) b
n
(ln t i ) 2 , ln t ln X
i 1
142,45
154,55
ln t ln X
n
1
n
ln t i ln Xi .
i 1
157,85
4,853201 4,943427 4,911551 4,958991 5,040518 5,061645
ti
1
2
3
4
5
,
6
155,65
5,047609897
7
lnti
0
0,693147 1,098612 1,386294 1,609438 1,791759
1,945910149
(lnti)2
0
0,480453 1,206949 1,921812
2,59029
3,210402
3,786566308
lntilnti
0
3,426522 5,395891 6,874621
8,1124
9,069251
9,822195327
Подставим данные из таблицы в формулы, получим:
ln t =1,21788, (ln t)2 =1,8852, ln t ln X =6,09967. Подставляя эти
значения, получим систему:
ln a 1,21788 b 4,9738,
1,21788 ln a 1,8852 b
ln a
6,09967;
4,9738 1,21788 b,
1,21788(4,9738 1,21788 b) 1,8852 b
ln a
4,9738 1,21788 b
6,05749 1,4832 b 1,8852 b
b
ln a
6,09967;
0,149,
4,9738 1,21788 0,1049;
39
6,09967;
b
0,149,
a
127,23.
в) для гиперболической Y
1
t
где
1
ti
1
ti
2
Yi / t i
1
n
n
i 1
1
,
ti
1
t2
1
n
n
i 1
a
b
:
t
a
1
a
t
1
Y
,
t i2
t
1
n
n
i 1
1
b Y
t
,
1
Y
b
t2
t
Yi
,
ti
1
0,5
0,333333
0,25
0,2
0,166667
0,142857143
1
0,25
0,111111
0,0625
0,04
0,027778
0,020408163
66
36
24
19,5
16,8
16
14,57142857
Подставим вычисленные значения в формулы. Получим:
Y
1
1
= 27,55306, тогда система при0,37041 , 2 = 0,21597,
t
t
t
мет вид:
a
0,37041·b
81,42857,
0,37041·a
0,21597·b
27,55306;
a
81,42857 0,37041·b,
0,37041(81,42857 0,37041·b)
a
0,21597·b
81,42857 0,37041·b,
30,16196 0,1372·b 0,21597·b
b
-33,12048,
a
93,69673.
г) для экспоненциальной Y
где
27,55306;
t ln Y
1
n
27,55306;
a eb t :
n
t i ln Yi .
i 1
40
ln a t b ln Y
,
t ln a t 2 b t ln Y
Yi
66
lnYi
72
72
78
84
4,189655 4,276666 4,276666 4,356709 4,430817
t i ln Yi 4,189655 8,553332
Подставим
12,83
17,42684 22,15408
вычисленные
значения
ln Y =4,38855, t ln Y =17,84497, t
ln a
4·b
4,38855,
4· ln a
20·b
17,84497;
ln a
4, t
в
96
102
4,564348
4,624972813
27,38609
32,37480969
формулы,
получим:
20 . Система примет вид:
2
4,38855 4·b,
4· ( 4,38855 4·b) 20·b 17,84497;
ln a
4,38855 4·b,
17,5542 16·b 20·b 17,84497;
b
0,07269,
ln a
b
4,09778;
0.07269,
a 60.20631.
Определив коэффициенты систем и решив их, получим уравнения
трендовых моделей:
127,23 t 0,1049 ,
X1 = 125,4786 + 4,87142·t, X 2
93,69673
1
33,12048
,
t
2
60,2 å 0, 07269 t .
Далее вычисляются значения трендовых моделей и отклонения наблюдаемых значений от вычисленных. Исправленные дисперсии случайных отклонений трендовых моделей равны соответственно
2
2
2
2
X = 16,9976,
X = 19,43697,
Y = 77,4867,
Y = 6.718. Выбираем те
1
2
1
2
модели, у которых меньшие дисперсии: X1 и Y2. По этим уравнениям
определим прогнозные значения количества рабочих Y и вложенных
средств X. Первому кварталу 1997 года соответствует значение t = 9.
Получим X1(9) = 169,32%, Y2(9) = 115,8%. По линейному уравнению
множественной регрессии определим прогнозное значение нормы прибыли предприятия Z = 95,1%.
41
11. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. Для установления корреляционной зависимости между
величинами X и Y (где Y – случайная величина, X – неслучайная величина) проведены эксперименты, результаты которых представлены в
таблице.
Требуется:
I. Найти условные средние y i и построить эмпирическую линию
регрессии Y по X (ломаную).
II. Найти уравнение регрессии Y по X методом наименьших квадратов и затем построить ее на одном чертеже с эмпирической линией
регрессии.
III. Оценить тесноту корреляционной зависимости Y по X.
IV.Проверить адекватность уравнения регрессии Y по X.
№1
xi
10
20
30
40
50
yij
212
220
251
270
292
258
258
285
314
325
282
290
325
326
343
316
330
334
361
370
370
330
350
375
380
xi
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
yij
187
150
162
210
234
208
192
208
238
278
225
225
234
266
300
255
245
265
295
332
295
988
270
320
321
xi
1
2
3
4
5
yij
30,6
49,2
30,6
49,2
30,6
49,2
55
55
55
55
35
35
10,89
11,43
9,65
9,65
10,94
11,23
11,39
12,62
11,06
10,16
12,35
13,53
11,39
14,19
14,80
15,01
15,07
14,01
№2
№3
42
№4
xi
1
2
3
4
5
yij
30,6
49,2
30,6
49,2
30,6
49,2
55
55
35
35
35
35
11,06
10,16
12,35
13,53
10,79
10,24
9,65
9,65
10,94
11,23
9,40
9,13
8,01
8,10
9,13
10,90
8,70
8,10
xi
1
2
3
4
5
yij
0,27
0,25
0,21
0,33
0,24
0,23
0,25
0,30
0,31
0,37
0,31
0,27
0,26
0,24
0,22
0,32
0,29
0,33
0,32
0,33
0,81
0,65
0,50
0,63
0.60
xi
1
2
3
4
5
yij
0,23
0,25
0,28
0,28
0,29
0,25
0,30
0,31
0,27
0,27
0,33
0,32
0,32
0,32
0,28
0,81
0,65
0,50
0,63
0,62
1,33
1,40
0,95
1,42
0,96
№5
№6
№7
xi
1
2
3
4
5
6
yij
12
12
10
14
13
11
11
12
12
9
6
8
6
6
7
6
4
6
3
6
11
12
10
10
11
15
13
16
14
14
№8
xi
5
7
10
12
15
yij
92,7
91,5
88,7
88,4
53
62
32
37
42
51
64
97
81
82,3
75
71
92,7
81,8
88,7
93,4
43
№9
xi
1
2
3
4
5
yij
9,83
5,0
3,33
3,16
1,83
4,16
5,83
6,33
6,66
4,5
9,16
3,33
10,0
8,33
8,33
7,5
9,16
4,16
8,33
5,83
9,16
10,0
7,5
8,4
7,8
xi
1
2
3
4
5
yij
146,9
129,59
132,57
169,18
98,44
67,53
84,0
86,75
43,55
67,53
50,02
33,80
27,78
16,82
13,38
13,14
16,82
13,38
18,33
13,14
xi
12
14
16
18
20
yij
0,6
0,44
0,93
0,52
1,28
1,01
1,58
0,93
4,18
5,11
5,76
6,57
6,57
6,87
6,78
7,42
4,56
4,41
4,04
4,89
xi
11
13
15
17
19
yij
4,56
4,89
4,57
4,59
3,32
2,07
2,23
3,76
1,89
1,71
1,28
1,28
1,28
1,87
1,04
1,58
1,02
1,08
1,09
0,91
xi
90
100
110
120
130
yij
1,7
1,54
1,1
2,0
1,78
1,9
1,73
1,22
2,22
2,0
2,1
1,91
1,35
2,47
2,21
2,2
2,0
1,42
2,58
2,31
3,1
4,2
5,8
2,9
3,2
№ 10
№ 11
№ 12
№ 13
44
№ 14
xi
90
100
110
120
130
yij
2,0
1,78
1,26
1,41
1,31
1,06
2,22
2,0
1,41
1,58
1,46
1,19
2,47
2,21
1,56
1,74
1,62
1,31
2,58
2,31
1,63
1,83
1,69
1,37
2,58
2,31
2,10
2,02
1,93
1,72
xi
90
100
110
120
130
yij
11,8
14,3
23,7
10,3
9,4
11,1
19,2
8,8
8,0
8,3
16,9
5,5
7,3
7,8
14,5
5,7
7,8
7,3
11,0
5,0
xi
90
100
110
120
130
yij
10,3
12,8
21,0
18,8
22,0
8,8
10,6
15,3
14,3
20,9
5,5
9,6
12,1
11,0
14,3
5,7
6,4
10,2
9,8
12,1
7,7
6,7
8,8
9,8
10,01
№ 15
№ 16
№ 17
xi
1
2
3
4
5
6
yij
75
75
90
100
100
75
75
99
99
100
90
90
100
100
110
110
120
130
150
150
100
110
120
140
150
120
130
140
150
170
xi
1
2
3
4
5
6
yij
6,8
3,3
5,4
13,3
9,8
4,1
5,6
14,7
13,6
9,3
17,4
24,6
11,9
6,4
10,1
18,4
14,2
11,2
17,3
22,5
16,3
16,2
22,0
32,7
№ 18
45
№ 19
xi
1
2
3
4
5
6
yij
14,2
9,6
7,4
6,1
20,3
13,4
10,2
8,1
27,1
17,9
13,6
10,8
18,8
12,4
9,6
7,5
28,2
19,2
14,8
12,1
20,6
15,3
14,2
11,1
xi
8
10
14
16
20
24
yij
13,9
9,5
7,3
6,0
20,3
13,4
10,2
8,1
27,1
17,9
13,6
10,8
18,8
12,4
9,4
7,5
27,7
19,0
14,7
12,1
15,9
14,2
12,9
10,4
№ 20
№ 21
xi
1
2
3
10
12
yij
0,95
0,95
0,95
0,95
0,77
0,77
0,81
0,84
0,89
0,90
0,79
0,8
1,26
1,55
1,65
1,94
1,46
1,5
31,5
25,6
20,6
19,4
36,6
24,8
20,6
24,2
20,2
19,8
18,7
16,1
xi
1
2
3
12
15
yij
0,77
0,77
0,7
0,7
0,7
0,7
0,89
0,9
0,68
0,7
0,72
0,73
1,68
2,04
1,23
1,63
1,81
1,97
21,0
20,4
30,7
26,9
22,7
19,7
15,0
14,6
17,1
13,2
17,1
12,0
xi
30
40
50
60
70
yij
1,2
2,3
3,0
0,9
1,1
2,0
2,5
0,9
1,1
1,8
1,8
0,9
1,0
1,5
1,6
0,9
0,9
0,8
0,7
0,7
№ 22
№ 23
46
№ 24
xi
10
20
30
40
50
yij
1,2
2,0
2,2
0,9
1,1
1,7
2,0
0,9
1,1
1,4
1,6
0,9
1,0
1,1
1,4
0,9
0,9
0,9
0,8
0,7
xi
20
40
60
80
100
yij
1,2
2,0
2,5
0,9
1,1
1,6
1,8
0,9
1,1
1,2
1,3
0,9
1,0
1,1
1,2
1,0
1,0
1,1
0,8
0,9
xi
1
2
3
4
5
yij
0,65
0,7
0,75
0,81
0,7
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,92
0,97
0,98
0,99
0,86
0,99
0,86
0,93
0,96
0,97
0,7
0,75
0,80
0,85
0,7
xi
1
2
3
4
5
yij
14,9
12,2
10,0
8,6
16,9
18,1
15,4
13,6
10,1
15,2
18,8
16,4
30,9
23,6
19,7
13,4
28,8
22,7
18,3
16,2
8,8
16,6
12,8
10,4
8,8
xi
2
4
6
8
10
yij
0,8
0,85
0,9
0,95
0,8
0,9
0,9
0,9
1,8
1,6
0,96
0,98
0,99
0,97
0,98
2,5
1,8
1,6
3,0
2,8
3,4
3,2
2,8
3,5
2,5
№ 25
№ 26
№ 27
№ 28
47
№ 29
xi
10
15
20
25
30
yij
4,6
5,8
5,8
4,6
5,0
11,5
14,5
14,5
11,5
12,0
20,1
19,2
18,2
20,1
20,1
11,5
14,5
13,5
14,5
13,5
8,9
9,9
7,2
6,2
7,8
xi
1
2
3
4
5
yij
0,17
0,15
0,14
0,17
0,16
1,22
1,0
1,21
1,2
0,9
1,35
1,40
1,58
1,40
1,58
2,5
2,4
2,3
2,5
2,3
6,7
6,0
7,0
7,0
6,8
№ 30
Задание 2.
Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X.
№1
X
67
68
70
76
80
87.
75
79
79
73
86
78
79
67
79
Y
- 201
- 199
- 206
- 221
- 238
- 256
- 222
- 230
- 234
- 217
- 253
- 228
- 230
- 201
- 237
X
82
70
83
80
76
81
80
76
70
79
74
77
65
80
79
Y
- 237
- 209
- 243
- 239
- 221
- 238
- 238
- 223
- 207
- 237
- 216
- 228
- 193
- 234
- 229
Y
99
83
106
X
61
42
55
Y
128
88
117
X
78
75
82
85
68
72
71
72
68
86
85
71
72
76
Y
- 226
- 218
- 245
- 247
- 201
- 215
- 209
- 212
- 203
- 252
- 251
- 206
- 214
- 227
X
90
95
88
86
71
87
77
73
82
74
67
82
72
74
Y
- 269
- 279
- 259
- 251
- 207
- 257
- 227
- 214
- 243
- 214
- 196
- 239
- 210
- 221
№2
X
48
40
52
X
52
32
48
48
Y
112
67
97
X
50
49
54
Y
105
99
113
50
39
47
38
46
47
44
45
44
53
52
45
42
45
45
107
79
100
80
96
98
97
92
90
108.
107
96
86
98
97
52
44
41
47
43
55
43
49
42
31
40
47
43
48
44
110
94
82
97
91
118
87
104
89
71
86
97
89
101
93
40
40
46
41
54
48
53
47
50
46
56
42
41
55
40
82
81
92
90
110
96
110
97
102
101
112
93
84
112
80
45
36
41
46
38
44
35
47
44
57
53
51
48
46
43
99
75
91
101
83
89
79
99
93
120
107
108
100
92
89
Y
192
171
162
175
178
185
185
189
214
192
189
201
178
179
225
180
159
200
195
203
182
X
92
79
82
103
93
89
93
91
83
104
95
97
100
92
92
84
93
98
97
104
84
Y
186
158
176
211
188
194
188
186
174
211
199
204
204
187
184
175
205
197
199
218
177
X
95
97
83
97
79
91
85
90
89
91
80
86
90
91
90
92
84
77
88
89
Y
195
207
182
208
161
193
186
187
185
193
169
190
199
192
193
191
174
156
190
183
X
92
81
92
93
108
78
98
99
90
93
92
76
90
90
87
85
88
103
91
94
Y
189
169
201
196
229
169
201
210
191
193
195
169
193
190
177
186
185
211
190
200
Y
96
X
13
Y
75
№3
X
90
83
81
83
86
87
90
85
99
91
92
98
87
89
108
82
79
93
91
98
90
№4
X
16
X
12
49
Y
66
X
14 14
Y
86
16
16
13
16
10
16
15
14
13
12
13
15
14
13
14
17
13
18
15
13
17
15
86
96
68
92
54
81
89
78
71
77
79
81
81
66
85
92
68
104
83
81
102
92
16
15
17
15
16
17
17
16
12
13
13
14
12
14
16
13
19
14
17
13
16
11
80
92
86
77
99
94
104
86
74
75
84
88
67
78
87
74
107
76
102
79
86
70
15
14
16
14
13
13
17
12
15
13
15
19
17
15
15
14
16
15
17
15
13
84
71
86
85
78
75
97
67
83
74
93
109
99
76.
77
70
92
79
101
93
74
16
16
15
15
13
17
14
13
15
14
14
16
11
13
15
13
16
15
16
15
15
86
80
80
88
74
86
80
79
92
77
81
87
71
81
76
77
95
78
99
78
94
Y
242
235
228
136
204
249
160
140
229
213
172
207
98
225
141
X
34.
31
34
36
19
34
28
30
24
17
27
29
33
32
30
Y
215
198
209
225
132
218
174
197
162
104
175
176
203
210
188
X
27
31
2.8
30
38
34
35
22
38
28
30
36
32
26
26
Y
165
196
183
196
229
205
221
143
242
181
199
225
201
159
163
X
29
32
31
27
41
44
22
33
38
30
30
31
28
27
Y
181
206
205
174
252
274
142
200
236
184
186
205
178
166
№5
X
39
36
35
20
31
41
24
22
38
35
26
34
16
35
22
50
№6
X
93
88
91
83
89
86
85
88
85
87
82
91
86
86
87
Y
298
281
283
254
271
260
262
275
265
277
256
280
263
264
279
X
83
87
91
87
87
91
86
93
89
85
87
87
88
84
Y
251
273
284
266
265
280
274
286
278
269
268
269
264
263
X
90
89
81
87
88
89
89
82
86
84
86
92
92
80
Y
279
270
261
276
266
278
268
265
276
262
258
295
280
243
X
87
88
85
83
88
88
89
92
88
90
91
84
82
83
Y
261
271
270
268
266
282
273
284
267
274
288
264
261
263
Y
542
549
550
556
550
540
553
544
541
556
541
552
548
534
X
89
91
88
90
91
90
88
89
89
90
89
91
89
90
Y
544
564
535
559
564
555
545
535
543
554
548
553
536
553
X
88
90
90
91
88
90
88
87
92
89
88
90
89
Y
536
549
542
546
545
556
546
527
559
545
530
542
547
X
90
92
90
90
86
90
89
89
88
90
90
90
88
Y
546
568
555
544
519 550
550
537
528
553
551
553
535
Y
177
201
189
213
180
185
X
40
39
28
39
28
32
Y
212
208
142
196
143
162
X
34
34
33
31
33
42
Y
180
180
177
159
182
223
X
35
34
42
27
41
40
Y
181
187
218
145
206
204
№7
X
89
89
89
90
89
90
91
88
89
90
89
90
89
89
№8
X
32
40
36
40
36
34
51
33
35
36
43
29
41
44
36
37
177
175
189
229
153
208
221
186
185
40
37
30
32
34
40
40
36
36
200
191
163
177
187
208
213
196
199
26
43
38
40
33
29
38
39
130
224
205
205
181
147
202
210
32
40
36
32
40
33
36
32
172
219
197
173
211
177
187
179
Y
702
739
760
699
688
713
700
719
706
696
696
703
755
838
748
715
831
709
734
736
736
X
70
73
71
71
69
71
66
74
76
78
74
79
78
72
70
75
77
68
68
71
72
Y
715
730
712
716
700
722
662
752
765
798
746
797
787
737
708
753
775
695
697
713
730
X
72
77
75
70
72
72
70
76
80
65
70
70
70
80
65
72
70
75
69
73
73
Y
721
788
755
719
434
725
717
779
800
662
710
718
702
804
655
739
707
752
702
747
744
X
72
78
76
71
78
77
74
67
70
75
67
79
75
67
74
69
70
71
74
68
Y
729
785
777
711
780
784
755
684
706
756
678
808
756
683
741
696
705
719
751
682
Y
122
138
137
133
132
143
137
X
63
68
64
70
63
67
65
Y
133
148
144
154
140
153
148
X
62
62
66
73
70
64
69
Y
138
137
141
160
151
131
141
X
72
61
58
63
65
70
58
Y
151
137
1.31
128
148
151
130
№9
X
70
72
75
68
68
71
69
71
69
68
68
69
75
83
73
71
82
69
73
73
72
№ 10
X
58
62
65
61
66
67
67
52
65
62
68
64
55
68
64
63
64
67
69
70
68
69
68
70
63
131
142
138
143
114
136
130
143
137
138
140
153
152
153
149
158
126
71
64
62
64
72
66
63
67
59
69
67
69
64
64
65
65
61
150
145
124
135
160
135
139
151
123
139
134
148
129
130
144
147
128
70
59
65
65
64
64
63
68
67
63
63
68
77
62
59
67
63
157
121
145
149
137
130
144
148
145
131
143
145
158
138
123
152
139
62
66
64
64
64
64
67
64
65
67
75
63
60
73
73
66
138
140
137
137
140
147
148
140
145
149
158
130
137
159
150
138
Y
159
174
133
137
173
145
150
162
157
140
157
149
114
118
166
134
154
159
151
144
158
202
X
41
31
44
38
28
42
31
26
32
31
40
31
34
45
36
38
35
32
37
40
31
Y
182
127
191
159
126
181
132
116
140
143
163
126
139
185
161
153
150
129
157
161
134
X
4S
39
34
36
31
29
41
27
27
37
38
47
40
33
36
36
41
41
35
39
33
Y
176
173
138
154
133
125
182
109
124
154
157
198
176
149
154
150
179
172
150
169
133
X
40
35
24
37
42
38
35
38
32
38
37
41
33
32
42
28
44
42
35
33
35
Y
169
147
115
160
168
153
159
162
146
154
167
182
139
128
178
129
178
180
142
136
141
№ 11
X
37
39
30
32
40
34
33
40
38
35
37
35
26
29
37
31
38
38
33
36
37
48
53
№ 12
X
17
16
17
16
15
17
17
16
17
16
16
18
15
16
16
17
Y
117
103
108
102
91
110
111
111
109
96
96
108
97
108
102
109
X
15
18
16
18
18
15
18
17
18
15
17
17
16
18
16
18
Y
9.7
112
98
114
113
99
121
103
120
95
116
116
112
117
104
121
X
16
16
16
17
18
16
17
14
17
15
18
17
16
18
15
Y
107
113
111
120
127
100
110
86
110
101
110
112
99
108
90
X
16
17
16
18
15
16
17
19
15
16
15
18
15
16
15
Y
110
121
96
112
98
111
120
128
99
98
95
127
96
106
108
Y
298
291
301
283
337
311
306
307
293
291
307
306
298
310
292
311
298
315
303
329
309
306
292
297
X
29
30
30
32
30
30
29
31
30
29
29
29
30
29
28
29
29
27
27
28
32
29
31
33
Y
308
310
308
326
305
316
308
328
300
299
290
293
303
303
294
309
302
286
274
289
336
297
327
343
X
27
30
29
28
30
32
30
30
29
30.
27
32
30
29
31
29
30
29
30
29
31
31
30
30
Y
270
304
295
293
307
332
302
309
303
303
283
324
303
297
310
309
303
299
303
293
328
310
315
306
X
30
32
31
30
30
30
30
31
30
29
30
30
29
29
28
30
30
30
29
30
29
28
30
29
Y
301
338
318
216
306
318
304
320
306
294
305
312
304
300
284
304
303
307
304
316
307
289
301
297
№ 13
X
28
29
30
28
32
31
29
30
28
29
29
30
29
30
29
30
28
30
29
31
29
30
29
29
54
№14
X
47
49
50
50
52
49
49
54
50
52
54
58
55
49
55
50
51
56
50
53
49
Y
482
504
513
500
526
493
505
552
503
529
546
590
550
491
567
512
512
564
515
538
492
X
52
47
53
57
48
51
46
57
50
53
51
55
53
51
54
53
48
54
51
50
55
Y
529
479
532
580
491
516
465
578
507
539
510
566
533
528
549
537
492
546
527
500
559
X
56
48
52
50
51
51
53
49
50
51
59
52
51
52
51
52
51
52
47
54
Y
576
487
522
507
521
527
540
506
515
511
598
522
515
521
527
524
526
531
486
558
X
50
55
50
49
53
52
55
51
54
50
56
54
50
48
54
59
52
57
54
52
Y
510
556
506
494
541
521
561
519
556
503
563
547
516
496
548
606
534
586
554
537-
Y
299
373
325
277
383
291
331
240
435
327
251
310
152
310
198
365
416
X
41
41
36
39
32
45
46
36
40
52
36
56
41
41
37
52
43
Y
295
289
254
273
224
320
331
260
281
373
252
401
288
296
265
371
306
X
34
53
41
50
21
51
40
46
50
48
28
55
60
48
45
47
40
Y
247
374
296
354
148
359
284
323
355
337
198
386
420
342
320
329
283
X
45
41
30
43
45
57
35
48
58
34
39
52
42
40
49
42
33
Y
316
295
216
302
322
399
254
345
408
239
279
372
298
287
343
302
240
№ 15
X
42
52
46
39
54
41
47
34
62
46
35
43
21
44
28
52
59
55
59
50
57
58
41
41
43
413
353
404
409
288
288
310
41
42
53
41
24
48
48
296
294
377
293
174
337
340
58
57
35
34
43
33
33
414
400
252
238
301
239
233
45
52
38
43
45
38
41
322
369
273
302
323
272
287
Y
71
62
91
60
79
85
79
54
71
67
90
81
61
54
77
82
72
91
81
X
17
16
17
16
17
13
18
14
13
11
15
10
15
14
9
19
18
15
15
Y
87
70
80
67
68
67
86
57
67
48
60
51
63
67
54
85
87
61
71
X
13
16
15
22
14
15
12
12
11
16
17
15
14
13
17
15
14
12
12
Y
60
78
65
95
69
77
49
62
49
76
70
77
72
57
70
64
61
67
51
X
20
15
16
16
10
15
23
15
17
17
17
19
16
11
13
17
20
19
Y
96
64
74
69
40
61
102
63
70
83
76
86
73
52
5?
87
88
85
Y
233
432
385
347
274
276
294
348
315
307
377
X
49
22
48
30
29
29
38
37
55
38
27
Y
443
201
440
274
261
270
345
334
498
342
250
X
43
27
49
35
36
15
33
27
43
47
33
Y
392
245
445
323
331
140
303
247
387
426
304
X
52
43
49
39
42
37
30
27
18
42
24
Y
473
392
442
356
386
338
277
247
170
380
221
№ 16
X
13.
11
18
13
15
21
17
13
16
13
19
17
15
12
17
20
17
18
17
№ 17
Х
25
47
42
38
30
30
32
38
34
34
41
56
37
39
36
34
29
31
41
15
27
46
34
39
338
353
332
307
264
285
377
137
245
421
313
359
44
48
35
35
28
39
38
35
40
44
30
43
403
434
320
318
256
358
347
318
369
400
277
395
28
41
59
23
39
37
49
26
20
48
32
257
377
535
208
357
337
447
238
182
437
292
31
27
34
24
43
46
37
35
28
22
35
287
244
313
219
392
415
341
321
255
206
324
Y
304
340
315
303
341
297
316
318
348
329
325
349
320
337
330
357
337
321
328
324
303
X
89
78
87
83
82
83
84
81
91
85
80
86
84
88
87
82
85
77
79
81
90
Y
364
318
353
332
331
332
341
324
364
343
320
345
345
355
356
333
347
310
320
329
366
X
81
84
80
83
88
79
81
81
83
90
73
80
75
77
80
85
83
90
84
78
76
Y
326
338
326
338
361
317
325
332
339
368
300
323
303
313
320
341
338
362
343
315
303
X
80
85
77
85
77
93
78
74
78
86
75
79
93
84
82
85
80
75
83
75
71
Y
325
344
312
340
313
373
313
298
312
351
307
317
372
339
337
343
328
305
341
309
284
Y
420.
509
435
469
X
61.
63
59
64
Y
435
457
422
454
X
63
65
64
68
Y
460
462
456
485
X
62
62
64
64
Y
444
437
458
453
№ 18
X
76
85
77
74
83
73
77
78
85
82
81
85
79
83
81
87.
84
80
81
81
74
№ 19
X
59
71
61
67
57
62
62
61
59
65
63
65
62
62
65
67
63
58
64
64
449
450
437
422
463
455
472
448
443
462
484
442
419
456
451
63
62
68
65
68
65
62
68
64
60
64
67
68
62
67
458
449
486
468
478
463
441
491
450
432
453
478
481
438
487
70
57
65
69
62
65
66
66
62
60
64
60
60
63
490
409
472
502
436
.457
475
474
452
435
465
431
432
446
62
56
65
66
64
61
62
69
65
62
66
63
57
55
443
410
473
464
458
431
434
486
465
439
466
453
408
396
Y
200
188
249
261
213
253
252
230
204
225
220
192
273
236
X
52
65
65
49
69
55
47
61
53
58
68
48
52
52
Y
216
261
265
196
276
229
192
246
212
237
273
192
214
212
X
65
70
58
70
63
60
77
63
49
59
65
65
61
64
Y
269
281
232
287
258
249
311
261
199
242
262
267
244
260
X
60
54
67
57
66
58
63
58
70
59
62
51
61
71
Y
246
224
277
237
265
236
261
234
282
239
255
204
245
286
Y
209
201
214
222
210
219
208
208
X
40
39
41
42
41
42
40
41
Y
212
204
224
223
215
214
2i0
207
X
41
40
.41
40
41
42
42
40
Y
224
213
216
213
209
225
219
215
X
40
40
41
40
41
40
41
39
Y
219
204
205
217
217
202
219
213
№ 20
X
48
46
62
63
51
61
62
56
50
54
53
47
66
58
№ 21
X
40
40
42
41
42
41
40
41
58
41
39
38
39
42
40
40
41
206
200
209
202
212
206
216
220
42
40
41
40
42
40
42
41
215
203
207
212
226
204
221
220
40
41
40
41
41
40
41
39
214
223
209
220
205
212
218
210
41
41
40
41
39
41
40
219
208
201
216
212
217
216
У
23
38
34
16
42
44
33
18
29
42
39
36
27
30
36
31
38
35
45
48
18
30
50
X
6
5
10
10
13
15
6
11
10
14
8
14
6
16
8
6
8
8
7
8
10
12
Y
19
18
31
31
43
49
26
42
31
45
28
49
23
57
29
23
25
32
25
29
36
39
X
6
10
14
12
6
6
8
6
6
13
11
9
10
8
12
14
14
7
16
11
11
12
Y
20
37
47
42
25
22
28
26
25
46
42
32
36
31
43
44
49
28
50
34
40
42
X
11
9
12
10
7
8
9
9
11
13
9
9
10
13
7
9
8
16
12
15
13
11
Y
42
35
45
32
30
32
30
34
36
42
27
29
38
41
21
32
27
53
42
50
39
37
Y
152
152
155
144
145
155
X
69
70
73
68
70
69
Y
140
145
155
140
144
145
X
71
73
69
73
68
67
Y
149
148
139
147
139
135
X
75
73
75
80
71
75
Y
159
152
152
164
151
158
№ 22
X
7
11
10
4
11
12
9
5
8
13.
12
10
9
9
11
9
10
10
13
15
4
9
14
№ 23
X
72
72
73
68
71
77
59
74
67
68
71
74
69
69
81
68
67
76
67
68
69
70
69
154
136
142
147
153
145
143
168
143
134
152
139
141
146
146
142
71
71
71
65
67
68
66
71
72
66
72
73
67
75
66
73
150
142
142
139
137
144
139
144
148
134
151
150
134
155
139
150
69
80
77
74
78
68
73
64
67
67
70
67
67
74
66
65
139
168
157
149
161
137
153
131
139
143
144
142
137
153
139
136
79
76
73
65
70
66
68
74
74
71
70
73
70
75
63
68
164
153
152
137
141
141
143
156
151
149
140
146
147
157
130
136
Y
279
245
354
212
323
285
240
361
235
246
357
361
343
390
208
301
277
306
334
X
57
45
55
46
53
45
43
48
50
44.
38
68
54
57
34
59
57
57
49
Y
342
274
336
277
320
278
266
294
308
271
228
414
325
348
211
356
350
350
301
X
56
48
44
49
50
46
46
47
39
49
44
49
53
44
47
51
56
39
46
Y
338
297
268
294
309
284
276
289
234
298
264
302
323
272
284
315
340
236
285
X
68
47
40
35
60
37
41
46
46
53
43
53
54
50
45
50
25
44
54
Y
415
282
242
210
360
227
248
284
278
320
260
321
328
304
278
303
159
266
331
Y
-177
-146
X
38
34
Y
-145
-135
X
53
29
Y
-204
-110
X
41
40
Y
-162
-151
№ 24
X
46
40
58
35
58
47
40
60
39
41
58
59
57
65
34
50
45
50
55
№ 25
X
45
38
60
58
46
40
41
58
41
51
59
62
44
47
43
47
55
61
47
58
40
47
46
42
50
45
-226
-184
-152
-155
-230
-155
-199
-227
-244
-172
-184
-170
-183
-218
-240
-180
-232
-158
-183
-184
-162
-198
-171
44
47
65
34
42
48
54
55
50
37
43
47
44
51
51
48
43
64
53
43
45
43
-172
-181
-259
-133
-161
-189
-208
-220
-191
-141
-163
-188
-170
-203
-204
-186
-172
-255
-207
-168
-174
-172
40
41
44
28
48
53
26
43
42
68
42
60
56
39
47
55
35
41
47
56
42
53
-152
-161
-167
-109
-186
-203
-99
-168
-159
-266
-159
-237
-222
-147
-188
-211
-138
-157
-183
-217
-167
-208
30
38
51
45
43
44
46
59
42
43
49
34
54
49
44
43
42
59
42
39
33
64
-111
-143
-201
-180
-167
-176
176
-234
-163
-166
-188
-130
-215
-191
-176
-170
-161
-232
-163
-150
-123
-256
Y
207
171
246
191
172
255
213
261
203
242
248
221
195
172
186
197
182
X
75
68
65
80
71
61
77
69
64
68
52
59
63
56
62
67
Y
225
207
201
241
219
183
239
209
201
208
159
183
197
176
192
204
X
62
71
67
66
67
70
64
66
78
65
63
69
59
71
59
64
Y
195
220
205
207
201
215
197
206
241
197
196
216
180
214
185
196
X
68
71
76
77
73
65
70
74
73
77
77
49
63
71
69
52
Y
208
220
231
234
225
198
217
225
224
237
236
154
189
222
214
160
№ 26
X
67
57
82
62
57
83
69
86
66
79
82
73
65
55
61
64
59
61
№ 27
X
46
55
57
55
51
62
43
64
56
65
56
51
58
42
4J5
54
62
57
68
47
69.
65
Y
50
57
61
58
51
70
43
71
64
67
63
58
60
47
54
60
67
58
68
56
74
72
X
59
57
48
41
57
50
64
43
57
54
50
59
48
45
51
40
59
46
47
55
49
64
Y
59
60
52
47
57
57
67
45
62
56
51
66
51
54
53
41
65
54
52
59
55
70
X
56
52
42
48
60
62
46
51
69
60
57
62
58
54
57
44
55
50
63
44
51
47
Y
62
58
46
50
63
64
47
59
76
60
61
65
66
60
63
45
62
54
67
48
60
55
X
58
57
46
54
67
60
53
57
41
58
43
55
40
67
57
48
56
57
73
54
57
63
Y
62
57
49
63
72
64
53
65
45
61
45
57
43
74
57
54
57
65
79
56
66
67
Y
619
626
505
680
673
637
629
649
568
669
591
648
663
616
672
677
X
74
77
69
72
76
69
84
77
72
76
78
87
79
80
70
80
Y
605
632
554
594
612
556
679
629
582
611
626
703
650
655
577
657
X
67
69
66
71
71
77
78
77
67
73
67
83
67
76
71
74
Y
549
568
530
568
574
628
631
631
542
587
542
681
544
616
579
604
X
72
66
80
72
68
76
81
69
83
77
69
81
65
71
69
85
Y
583
529
647
585
561
619
667
567
667
634
565
664
528
579
564
688
№ 28
X
77
76
62
83
83
79
77
81
71
83
73
81
82
77
82
83
62
80
77
69
78
655
619
568
624
75
69
77
613
557
619
73
75
80
594
601
659
81
72
84
656
578
675
Y
-291
-270
-279
-282
-254
-264
-216
-276
-248
-253
-276
-262
-234
-243
-313
-278
-292
-271
-256
-291
X
57
71
66
76
70
68
74
68
69
71
60
56
71
68
66
60
70
69
72
70
Y
-219
-281
-262
-302
-275
-267
-290
-266
-270
-283
-237
-222
-281
-269
-257
-235
-275
-276
-282
-277
X
61
62
63
71
65
70
70
63
73
68
59
64
79
77
78
66
63
69
74
Y
-241
-243
-245
-282
-252
-276
-276
-246
-284
-271
-227
-256
-309
-300
-310
-255
-252
-274
-291
X
68
62
70
70
65
70
63
63
67
68
55
56
58
70
59
68
69
63
70
Y
-264
-240
-277
-279
-253
-275
-248
-243
-264
-267
-213
-218
-223
-278
-236
-263
-268
-243
-271
Y
318
280
305
234
255
258
258
272
317
252
280
258
304
X
23
28
26
26
28
27
25
26
27
28
27
29
24
Y
231
288
269
267
284
277
253
268
270
289
278
295
246
X
28
26
29
26
23
27
29
24
27
25
29
29
25
Y
284
265
298
264
232
272
292
245
274
256
291
290
257
X
31
25
27
26
27
28
24
24
26
25
22
27
26
Y
316
251
278
268
273
280
244
243
269
255
229
272
263
№ 29
X
73
69
72
72
65
67
56
70
63
64
70
67
60
63
80
71
74
68
65
73
№ 30
X
31
28
30
23
25
25
25
27
31
25
28
25
30
63
28
28
31
289
288
317
23
27
27
238
279
273
25
30
25
258
309
257
24
25
22
249
252
229
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Задание 3. На основании следующих данных построить производственную функцию Кобба-Дугласа:
№1
Yi
124
130
133
141
148
156
160
168
177
190
Ki
235
256
279
301
324
348
373
399
427
455
Li
32,2
32,7
33,2
33,6
34,0
34,4
34,7
34,9
35,2
35,4
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№2
Yi
113
119
121
129
135
142
146
153
161
173
Ki
214
233
254
274
295
317
340
364
389
415
Li
29,3
29,8
30,2
30,6
31,0
31,3
31,6
31,8
32,1
32,3
Год
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№3
Yi
129
135
139
147
154
162
166
175
184
198
Ki
244
267
290
313
337
362
388
415
444
473
Li
33,5
34,0
34,5
34,9
35,3
35,8
36,1
36,3
36,6
36,9
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№4
Yi
148
155
159
168
177
186
191
201
211
227
Ki
280
306
332
359
386
415
446
477
509
543
Li
38,4
39,0
39,6
40,1
40,5
41,0
41,4
41,6
42,0
42,3
64
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№5
Yi
138
145
148
157
165
173
178
187
197
212
Ki
261
285
310
335
360
387
416
444
475
507
Li
35,8
36,4
36,9
37,4
37,8
38,3
38,6
38,8
39,1
39,4
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№6
Yi
168
176
181
191
210
211
217
228
240
258
Ki
318
347
377
408
439
471
506
541
578
617
Li
43,6
44,3
45,0
45,5
46,0
46,6
47,0
47,2
47,7
48,0
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№7
Yi
157
165
169
179
188
197
202
213
224
241
Ki
297
324
353
381
410
440
473
506
540
576
Li
40,8
41,4
42,0
42,5
43,0
43,5
43,9
44,1
44,5
44,9
Год
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№8
Yi
192
201
206
218
229
241
248
261
274
294
Ki
364
397
431
466
501
539
578
618
661
705
Li
49,8
50,6
51,4
52,0
52,6
53,3
53,7
54
54,5
54,8
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№9
Yi
174
182
187
198
208
218
224
236
248
267
Ki
330
359
391
422
454
488
524
560
599
639
Li
45,2
45,9
46,6
47,1
47,7
48,3
48,7
48,9
49,4
49,7
Год
65
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 10
Yi
217
228
233
247
259
272
280
295
310
333
Ki
411
448
487
527
566
609
653
699
747
796
Li
56,3
57,2
58,1
58,8
59,4
60,2
60,7
61
61,6
62
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 11
Yi
223
234
240
254
266
280
288
303
318
342
Ki
422
461
501
541
582
626
672
718
767
819
Li
57,9
58,8
59,7
60,4
61,1
61,9
62,4
62,7
63,3
63,7
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 12
Yi
238
250
256
271
284
299
307
323
340
365
Ki
451
492
535
578
621
668
717
767
819
874
Li
61,8
62,7
63,7
64,4
65,2
66,0
66,6
66,9
67,5
68
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 13
Yi
246
258
264
280
294
309
317
334
351
377
Ki
466
508
553
597
642
690
741
792
847
903
Li
63,9
64,8
65,8
66,6
67,4
68,2
68,8
69,1
69,8
70,3
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 14
Yi
251
263
270
286
300
315
324
341
358
385
Ki
475
519
564
609
655
704
756
808
864
921
Li
65,2
66,2
67,2
68,0
68,8
69,6
70,2
70,6
71,2
71,7
Год
66
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 15
Yi
267
280
287
304
319
335
344
363
381
409
Ki
506
552
600
648
697
749
804
860
919
980
Li
69,3
70,4
71,5
72,3
73,1
74,1
74,7
75,1
75,7
76,3
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 16
Yi
275
288
295
313
329
345
355
373
392
422
Ki
521
568
618
667
718
771
828
886
946
1009
Li
71,4
72,5
73,6
74,5
75,3
76,3
76,9
77,3
78,0
78,6
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 17
Yi
283
297
304
322
338
355
365
384
404
434
Ki
536
585
636
687
739
794
852
911
974
1039
Li
73,5
74,6
75,7
76,6
77,5
78,5
79,1
79,5
80,3
80,8
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 18
Yi
296
310
318
337
354
371
382
402
422
454
Ki
561
612
665
718
773
830
891
953
1019
1086
Li
76,8
78,0
79,2
80,1
81,1
82,1
82,8
83,2
84,0
84,6
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 19
Yi
305
320
328
347
364
383
393
414
435
468
Ki
578
630
685
740
796
856
918
982
1050
1119
Li
79,2
80,4
81,6
82,6
83,5
84,6
85,3
85,7
86,5
87,1
67
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 20
Yi
312
327
335
35
373
392
402
424
445
478
Ki
591
645
701
757
814
875
940
1005
1074
1145
Li
81,0
82,2
83,5
84,5
85,5
86,5
87,3
87,7
88,5
89,1
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 21
Yi
326
342
350
371
390
409
420
443
465
500
Ki
617
673
732
791
851
914
982
1050
1122
1197
Li
84,6
85,9
87,2
88,3
89,3
90,4
91,2
91,6
92,5
93,1
1996
380
1995
359
1994
1990
350
1993
1989
334
1992
1988
Yi
1991
Год
1987
№ 22
399
419
431
454
477
512
Ki
633
690
750
811
872
937
1006
1076
1149
1226
Li
86,7
88,0
89,4
90,4
91,5
92,6
93,4
93,9
94,7
95,4
1991
1992
1996
1990
1995
1989
1994
1988
Yi
3
358
366
388
407
428
440
463
487
523
Ki
646
704
766
828
890
957
1027
1098
1173
1252
Li
88,5
89,9
91,3
92,3
93,4
94,6
95,4
95,9
96,7
97,4
Год
1993
1987
№ 23
1991
1992
1996
1990
1995
1989
353
370
379
402
422
443
455
479
504
541
669
729
793
857
921
990
1063
1137
1215
1296
Li
91,6
93,1
94,5
95,6
96,7
97,9
98,7
99,2
100,1
100,8
68
1994
1988
Yi
Ki
Год
1993
1987
№ 24
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 25
Yi
368
386
395
419
440
462
474
500
525
564
Ki
697
760
827
893
961
1032
1108
1185
1266
1351
Li
95,5
97,0
98,5
99,6
100,8
102,1
102,9
103,4
104,4
105,1
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 26
Yi
379
397
407
431
453
476
489
515
541
581
Ki
718
783
851
920
989
1063
1141
1221
1304
1391
Li
98,4
99,9
101,4
102,6
103,8
105,1
106,0
106,5
107,5
108,3
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 27
Yi
384
403
413
437
459
482
495
522
548
589
Ki
727
793
863
932
1002
1077
1156
1237
1321
1409
Li
99,7
101,2
102,8
104
105,2
106,5
107,4
107,9
108,9
109,7
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 28
Yi
392
411
421
446
468
492
505
532
559
601
Ki
742
810
881
951
1023
1100
1180
1262
1349
1439
Li
101
103
104
106,1
107
108
109,6
110,2
111,2
112
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 29
Yi
397
416
427
452
474
498
512
539
566
609
Ki
752
820
892
963
1036
1114
1196
1279
1366
1457
Li
103,1
104,7
106,2
107,5
108,7
110,1
111,0
111,6
112,6
113,4
69
Год
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
№ 30
Yi
400
419
430
455
478
502
516
543
571
613
Ki
758
826
899
971
1044
1122
1205
1288
1377
1468
Li
103,8
105,4
107,0
108,3
109,6
110,9
111,9
112,4
113,5
114,3
Здесь Yi – производственный национальный доход (млрд руб.),
Ki – среднегодовые основные производственные фонды (млрд руб.),
Li – среднегодовая численность занятых в материальном производстве
(млн чел.). Имеется прогноз на 1997 год: основных производственных
фондов K1996·1,0N млн руб. и трудовых ресурсов L1996·1,0N, где N=01,
02, …, 30 (номер а) млн чел. На основании полученной производственной функции сделать точечный прогноз национального дохода на
1997 год.
Задание 4. Имеются данные, характеризующие прибыль промышленного предприятия за девять кварталов:
Год
Кв
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1995
1
243
234
247
298
231
212
221
263
226
229
268
203
207
237
239
245
251
254
258
265
216
2
251
241
255
308
238
219
228
272
233
236
277
209
214
245
247
253
259
262
266
273
223
3
265
255
269
325
252
231
241
287
246
250
292
221
225
258
260
267
273
277
281
289
235
1996
4
270
261
274
331
256
235
245
292
251
254
297
225
230
263
265
272
279
282
286
294
240
1
282
272
287
346
268
246
256
305
262
266
311
235
240
275
277
284
291
294
299
307
250
70
2
299
288
304
366
284
261
271
323
278
282
329
249
254
291
294
301
309
312
317
326
265
3
327
315
332
401
311
285
297
354
304
308
360
273
278
319
321
329
337
341
347
356
290
1997
4
343
330
348
421
326
299
312
371
319
323
378
286
292
334
337
345
354
358
364
374
304
1
355
342
361
435
337
310
323
384
330
335
391
296
302
346
349
358
366
371
377
387
315
22
23
24
25
26
27
28
29
30
219
274
271
279
277
281
283
285
287
226
283
279
288
286
290
292
294
296
238
298
285
304
302
306
308
310
313
243
304
301
310
307
312
314
316
319
254
318
314
323
321
326
328
330
332
269
337
333
343
340
345
348
350
353
294
368
364
375
372
378
380
383
386
309
386
382
393
391
396
399
402
405
319
400
396
407
404
410
413
416
418
Требуется:
1. Построить график данного временного ряда.
2. Рассчитать характеристики скорости и интенсивности изменения
ряда: базисные и цепные абсолютные приросты, базисные и цепные
темпы роста и прироста.
3. Вычислить средние характеристики изменения прибыли: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.
4. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда в исходном ряду. При построении трендовой модели необходимо выбрать два регрессионных
уравнения из представленного ниже набора функциональных зависимостей и найти методом наименьших квадратов оценки их параметров:
a1
;
X(t ) a 0 a1 t ; X( t ) a 0 a1 t a 2 t 2 ; X(t ) a 0
t
X(t )
a 0 e a t ; X( t )
1
a0 ta .
1
5. По полученным трендовым моделям вычислить значения анализируемого показателя за рассматриваемый период времени. Найти остатки li= X(ti) – Xi, дисперсию остатков l2 . Выбрать трендовую модель,
наилучшим образом отражающую тенденции показателя.
6. С помощью выбранной трендовой модели получить прогнозные
значения прибыли на 2 и 3-й кварталы 1999 года.
1995
1996
Кв
1
№
Год
Задание 5. На основе предварительного анализа в качестве основных показателей, определяющих величину прибыли предприятия, приняты вложенные средства (X) и количество рабочих (Y), данные по которым за 1995–1996 гг. приводятся (Z – норма прибыли, %):
1
2
3
4
1
2
3
X
Y
Z
244
120
9
266
130
13
258
130
11
270
140
14
292
150
18
298
170
21
294
180
19
71
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
292,8
120
11
317,2
120
11
341,6
120
12
366
120
13
390,4
120
14
414,8
120
8
439,2
120
8
463,6
120
9
488
120
9
512,4
120
10
536,8
120
10
561,2
120
11
585,6
120
11
610
120
12
319,2
130
15
345,8
130
16
372,4
130
18
399
130
19
425,6
130
20
452,2
130
11
478,8
130
12
505,4
130
12
532
130
13
558,6
130
14
585,2
130
14
611,8
130
15
638,4
130
16
665
130
16
309,6
130
13
335,4
130
14
361,2
130
15
387
130
17
412,8
130
18
438,6
130
10
464,4
130
10
490,2
130
11
516
130
11
541,8
130
12
567,6
130
13
593,4
130
13
619,2
130
14
645
130
14
324
140
16
351
140
18
378
140
19
405
140
21
432
140
22
459
140
12
486
140
13
513
140
13
540
140
14
567
140
15
594
140
15
621
140
16
648
140
17
675
140
18
72
350,4
150
22
379,6
150
24
408,8
150
26
438
150
27
467,2
150
29
496,4
150
16
525,6
150
17
554,8
150
18
584
150
19
613,2
150
20
642,4
150
20
671,6
150
21
700,8
150
22
730
150
23
357,6
170
25
387,4
170
27
417,2
170
29
447
170
31
476,8
170
33
506,6
170
18
536,4
170
19
566,2
170
20
596
170
21
625,8
170
22
655,6
170
23
685,4
170
24
715,2
170
25
745
170
26
352,8
180
23
382,2
180
24
411,6
180
26
441
180
28
470,4
180
30
499,8
180
16
529,2
180
17
558,6
180
18
588
180
19
617,4
180
20
646,8
180
21
676,2
180
22
705,6
180
23
735
180
24
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
634,4
120
10
658,8
120
10
683,2
120
10
707,6
120
11
732
120
11
756,4
120
11
780,8
120
12
805,2
120
12
829,6
120
13
854
120
13
878,4
120
13
902,8
120
14
927,2
120
14
951,6
120
14
691,6
130
14
718,2
130
14
744,8
130
15
771,4
130
15
798
130
16
824,6
130
16
851,2
130
17
877,8
130
17
904,4
130
18
931
130
18
957,6
130
19
984,2
130
19
1010,8
130
20
1037,4
130
20
670,8
130
12
696,6
130
12
722,4
130
13
748,2
130
13
774
130
14
799,8
130
14
825,6
130
15
851,4
130
15
877,2
130
16
903
130
16
928,8
130
16
954,6
130
17
980,4
130
17
1006,2
130
18
702
140
15
729
140
15
756
140
16
783
140
16
810
140
17
837
140
17
864
140
18
891
140
18
918
140
19
945
140
20
972
140
20
999
140
21
1026
140
21
1053
140
22
73
759,2
150
19
788,4
150
20
817,6
150
21
846,8
150
22
876
150
22
905,2
150
23
934,4
150
24
963,6
150
25
992,8
150
25
1022
150
26
1051,2
150
27
1080,4
150
28
1109,6
150
28
1138,8
150
29
774,8
170
22
804,6
170
23
834,4
170
24
864,2
170
24
894
170
25
923,8
170
26
953,6
170
27
983,4
170
28
1013,2
170
29
1043
170
29
1072,8
170
30
1102,6
170
31
1132,4
170
32
1162,2
170
33
764,4
180
20
793,8
180
21
823,2
180
22
852,6
180
22
882
180
23
911,4
180
24
940,8
180
25
970,2
180
25
999,6
180
26
1029
180
27
1058,4
180
28
1087,8
180
28
1117,2
180
29
1146,6
180
30
30
X
Y
Z
976
120
15
1064
130
21
1032
130
18
1080
140
22
1168
150
30
1192
170
34
1176
180
31
Используя исходные данные и предполагая, что тенденции изменения прибыли, наметившиеся в 1995–1996 годах, в основном сохранятся в ближайшее полугодие, требуется:
1. Найти все коэффициенты парной корреляции: rXY, rYZ, rXZ и
проанализировать тесноту линейной связи между всеми парами переменных.
2. Построить поля рассеяния наблюдаемых значений переменных
Х, Y, Z на основе из визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде
статистической зависимости нормы прибыли Z от вложенных средств X
и количества рабочих Y; записать их в виде математических моделей. В
качестве математических моделей предлагается выбрать следующие:
Z a b X c Y – линейная, Z e a b X – экспоненциальная, Z a Xb –
степенная.
3. На основе применения метода наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров моделей. Сравнивая среднеквадратические отклонения случайных возмущений и коэффициенты
детерминации, выбрать регрессионную модель, наиболее адекватно отражающую зависимость нормы прибыли от рассматриваемых факторов.
4. Методом наименьших квадратов найти оценки неизвестных параметров трендовых моделей: X a b t – линейная, X a t b – стеb
пенная, Y a
– гиперболическая, Y a eb t - экспоненциальная.
t
Сравнивая дисперсии случайных ошибок выбрать те трендовые модели,
которые наиболее адекватно отражают зависимости X от t и Y от t.
Найти точечный прогноз величины X и величины Y на первый квартал
1997 года.
5. На основе выбранной в пункте 3 регрессионной модели найти
точечный прогноз изменения нормы прибыли при возможных изменениях величин X и Y в первом квартале 1997 года.
74
12. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИН
1. Что называется функциональной зависимостью?
2. Что называется корреляционной зависимостью?
3. Чем отличается полная корреляция от неполной?
4. Основные задачи теории корреляции.
5. Дать определение регрессии.
6. В виде чего можно представить регрессию?
7. На какие задачи распадается задача отыскания эмпирической
формулы?
8. Назовите типы линий, выравнивающих ломаную линию регрессии.
9. В чем заключается метод средних?
10. В чем заключается метод проб?
11. В чем заключается метод выровненных точек?
12. В чем заключается метод наименьших квадратов?
13. Какой величиной оценивается теснота корреляционной зависимости?
14. По какой формуле вычисляется корреляционное отношение?
15. Какие значения может принимать корреляционное отношение?
16. В чем заключается проверка адекватности уравнения?
17. Что называется коэффициентом корреляции?
18. По какой формуле вычисляется выборочный коэффициент корреляции?
19. Какие значения может принимать коэффициент корреляции?
20. Какой формулой описывается производственная функция Кобба-Дугласа?
21. Что называется временным рядом?
22. По каким формулам вычисляются базисные и цепные абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста?
23. По каким формулам вычисляются средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста?
24. По каким формулам вычисляются коэффициенты парной корреляции?
25. В чем смысл коэффициента детерминации?
75
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Виноградов Ю. С. Математическая статистика и ее применение в
текстильной и швейной промышленности. – М.: Легкая индустрия,
1970.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Высш. шк., 1985.
Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. – М.; ДИС, 1998.
Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Статистика, 1979.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование. – М.: Высш.школа, 1982.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: ЮНИТИ, 2000.
Математическая статистика (Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др.) – М.: Высш.школа, 1981.
Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Наука, 1979.
Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.:
Высш. шк., 1997.
Экономико-математические методы и прикладные модели, под ред.
В.В. Федосеева. – М.: Юнити, 1997.
76
ПРИЛОЖЕНИЕ
Критические точки распределения Фишера-Снедекора (K1 – число степеней
свободы большей дисперсии, К2 – число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости α=0,01
К1
К2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
4052
98,49
34,12
21,20
16,26
13,74
12,25
11,26
10,56
10,04
9,86
9,33
9,07
8,86
8,68
2
4999
99,01
38,81
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,20
6,93
6,70
6,51
6,36
3
5403
90,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
4
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,!5
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,20
5,03
4,89
5
5764
99,33
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
6
5889
99,30
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
77
7
5928
99,34
27,67
14,96
10,45
8,26
7,00
6,19
5,62
5,21
4,88
4,65
4,44
4,28
4,14
8
5981
99,36
27,49
14,80
10,27
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,72
4,50
4,30
4,14
4,00
9
6022
99,36
27,34
14,66
10,15
7,98
6,71
5,91
5,35
4,95
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
10
6056
99,40
27,23
14,54
10,05
7,87
6,62
5,82
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
11
6082
99,41
27,13
!4,45
9,96
7,79
6,54
5,74
5,18
4,78
4,46
4,22
4,02
3,86
3,73
12
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
Окончание приложения
16
17
К2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8,53
8,40
1
161
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
6,23
6,11
2
200
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
5,29
5,18
3
216
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
4,77
4,67
4
225
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
4,44
4,44
4,20
4,10
4,03
3,93
Уровень значимости α=0,05
К1
5
6
7
230
234
237
19,30
19,33
19,36
9,01
8,94
8,88
6,26
6,16
6,09
5,05
4,95
4,88
4,39
4,28
4,21
3,97
3,87
3,79
3,69
3,58
3,50
3,48
3,37
3,29
3,33
3,22
3,14
3,20
3,09
3,01
3,11
3,00
2,92
3,02
2,92
2,84
2,96
2,85
2,77
2,90
2,79
2,70
2,85
2,74
2,66
2,81
2,70
2,62
78
3,89
3,79
3,78
3,68
3,69
3,59
3,61
3,52
3,55
3,45
8
239
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
9
241
19,38
8,81
6,00
4,78
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,72
2,65
2,59
2,54
2,50
10
242
19,39
8,78
5,96
4,74
4,06
3,63
3,34
3,13
2,97
2,86
2,76
2,67
2,60
2,55
2,49
2,45
11
243
19,40
8,76
5,93
4,70
4,03
3,60
3,31
3,10
2,94
2,82
2,72
2,63
2,56
2,51
2,45
2,41
12
244
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .........................................................................................................1
1. Статистические зависимости ....................................................................4
2. Регрессии. Эмпирические формулы ........................................................5
3. Выбор типа линии, выравнивающей
ломаную линию регрессии .......................................................................6
4. Метод средних, метод проб, метод выровненных точек,
метод наименьших квадратов ..................................................................9
5. Оценка тесноты корреляционной
зависимости ............................................................................................. 12
6. Проверка адекватности уравнения ......................................................... 14
7. Линейная корреляция .............................................................................. 15
8. Линейный регрессионный анализ .......................................................... 18
9. Анализ временных рядов ........................................................................ 19
10. Решение типовых задач ......................................................................... 20
11. Варианты заданий для самостоятельной работы ............................... 42
12. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества
освоения дисциплин ................................................................................ 75
Список литературы ...................................................................................... 76
Приложение ..................................................................................................77
79
Учебное издание
Голодная Наталья Юрьевна
Одияко Наталья Николаевна
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Теория корреляции
в экономических расчетах
Часть II
Учебное пособие
В авторской редакции
Компьютерная верстка М.А. Портновой
Лицензия на издательскую деятельность ИД № 03816 от 22.01.2001
Подписано в печать 5.04.06. Формат 60 84/16.
Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,7.
Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 300 экз. Заказ
________________________________________________________
Издательство Владивостокского государственного университета
экономики и сервиса
690600, Владивосток, ул. Гоголя, 41
Отпечатано в типографии ВГУЭС
690600, Владивосток, ул. Державина, 57
80