Лабораторная работа № 1.10 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОЛЕ

Лабораторная работа № 1.10
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОЛЕ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ: ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД
УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ.
Цель работы: путем численного моделирования выяснить основные
закономерности движения тела вблизи поверхности земли.
Краткие теоретические сведения
Кинематическим законом движения называется зависимость радиус
вектора r , описывающего положение тела в пространстве, или его координат,
от времени:
 x(t )


(1)
r ( t ) =  y (t ) .
 z (t )

Траекторией называется линия, которую описывает радиус-вектор,
проведенный к телу, в процессе движения тела.
Если траектория – прямая линия, движение называется прямолинейным,
если кривая – криволинейным. Если траектория лежит в одной плоскости,

движение называется плоским. Перемещением s называется вектор,
соединяющий начальное и конечное положение тела.
Быстроту изменения положения тела в пространстве характеризует скорость
движения. Скорость – физическая величина численно равная первой
производной по времени от радиус-вектора (или перемещения):


 dr ds
(2)
v=
= .
dt dt
Быстроту изменения скорости с течением времени характеризует ускорение.
Ускорение – это физическая величина, числено равная первой производной от
скорости по времени или второй производной от радиус-вектора по времени:
 d v d 2 r
.
(3)
a=
=
dt dt 2

Если зависимость r (t ) – линейная, скорость движения остается постоянной,
а ускорение равно 0. Такое движение называется равномерным. Если


зависимость r (t ) – квадратичная, v (t ) – линейная, а ускорение постоянно,
движение называется равнопеременным.
Скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории
движения. Ускорение направлено так же, как и вызывающая его сила. При этом
полное ускорение может быть представлено как векторная сумма двух
составляющих – тангенциальной (направление вдоль направления движения,
т.е. вдоль вектора скорости) и нормальной (направленной перпендикулярно
направлению движения):



(4)
=
a aτ ·τ + an ·n ,
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
1

где a – полное ускорение тела,
aτ – проекция полного ускорения на направление
движения,
an – проекция полного ускорения на перпендикуляр

a
к направлению движения,

τ – единичный вектор в направлении движения,

единичный
вектор
в
направлении
n –

перпендикулярном направлению движения к
an
центру кривизны.
Тангенциальная составляющая ускорения или тангенциальное ускорение
определяет изменение модуля скорости и равна:
dv
.
(5)
aτ =
dt
Нормальная
составляющая
ускорения,
или
нормальное
(центростремительное) ускорение определяет изменение направления
скорости и равно:
v2
(6)
an = ,
R
где R – радиус кривизны траектории.

 v
aτ
Физическая модель
В данной лабораторной работе рассматривается движение материальной
точки в поле силы тяжести
y
вблизи поверхности земли. В
начальный момент времени точка

находится в общем случае на
Fc
Fcy

высоте h над поверхностью
v0
земли. Начальная скорость ее
vx
равна v 0 и направлена под углом
α0
Fcx
α0 к горизонтальной плоскости

(см. рис. 1).
vy
v
На тело действует три
mg
силы:


- сила
тяжести
Fт = mg
0
x
направленная вертикально вниз,
Рис.1
- сила сопротивления воздуха Fc ,
направленная в сторону, противоположную скорости и равная Fc =
− Av − Bv 3 ,
где А, В – постоянные коэффициенты. Такая зависимость является хорошим
приближением для произвольной зависимости силы сопротивления от
скорости. Она может быть получена разложением произвольной функции Fc (v )
в ряд со степенями v . При этом физический смысл имеют слагаемые с
нечетными степенями v , так как при изменении направления скорости (знак v )
автоматически изменяется на противоположное и значение силы.
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
2

- сила ветра Fв , направленная горизонтально, пропорциональна скорости ветра,
если направление ветра совпадает
с направлением горизонтального движения

материальной точки, то Fв > 0 . Сила ветра учитывается при наличии
сопротивления воздуха. Если силой сопротивления воздуха пренебрегаем
(коэффициенты А и В равны нулю), влияние ветра рассматривается как «снос»
тела: к горизонтальной составляющей скорости добавляется скорость ветра.
Движение является плоским. В соответствии с принципом независимости
движения материальной точки рассматривается как суперпозиция
горизонтального и вертикального движения.
Математическая модель
В общем виде уравнение движения материальной точки может быть
записано в виде:

  
(7)
ma = mg + Fс + Fв
Проекции на горизонтальную и вертикальную оси могут быть представлены
как:
− Fcx + Fв
max =
.
(8)

=
−
−
ma
F
mg
cy
 y
Если угол скорости образует с горизонталью угол α, то
 dv x
− ( Av + Bv 3 ) cosα + Fв
m dt =
.

d
v
y
3
m
=
± ( Av + Bv ) sin α − mg
 dt
(9)
Компьютерная модель
Движение материальной точки отображается на экране в некотором
масштабе, в реальном времени, выводится траектория движения и следующие
кинематические характеристики движения:
- время полета;
- координата x или дальность полета;
- координата y или максимальная высота;
- полная скорость;
- проекция скорости на ось x;
- проекция скорости на ось y;
- полное ускорение;
- тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение;
- угол к горизонту.
Уравнения (9), описывающие движение точки, в общем случае, с учетом
силы сопротивления воздуха и силы ветра, не могут быть решены
аналитически, поэтому для их решения используют численные методы.
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
3
В данной работе для определения характеристик движения в произвольный
момент времени и построения траектории был использован метод Эйлера.
Начальные условия определяются положением и скоростью тела в
начальный момент времени:
(10)
v x0 =
v 0 cos α 0 ,
v y0 =
v 0 sin α 0 .
t0 =
0,
x0 =
0,
y0 =
h,
Задаем шаг по времени и определяем скорость и координаты точки по
рекуррентным формулам:
tn+1= tn + ∆t= t0 + (n + 1)∆t ;
v x ,n+1 = v x ,n + ax ,n ∆t ;
v y ,n+1 = v y ,n + a y ,n ∆t ;
xn+1 = xn + v x ,n ∆t ;
yn+1 = yn + v y ,n ∆t .
Текущее значение ax и ay вычисляем по формулам, полученным из
уравнений движения (9):
F
ax ,n = в − ( A + Bv n 2 ) v x ,n ;
m
a y ,n =− g + ( A + Bv n 2 ) v y ,n ;
v n = v 2x ,n + v 2y ,n .
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
4
Описание интерфейса программы
Окно программы представлено на рисунке 2:
строка меню (1), в пункте «Режим» переключаются режимы моделирования
(«Теория» или «Контрольное задание»);
область отображения траектории (2), синим цветом отображается

траектория движения тела, бордовым
вектор
начальной
скорости
v

0 , красным

вектор текущей скорости тела v и векторы его проекций на оси ( v x и v y ), а

зеленым
вектор
ускорения
и векторы его проекций на оси (тангенциального
a


a τ и нормального a n ускорений); с помощью кнопки-флажка (поле (4))
«Скрыть векторы» можно скрыть векторы ускорения и скорости, однако
траектория движения будет отображаться, с помощью кнопки-флажка (поле (4))
«Не очищать экран» можно управлять режимом отображения траекторий: если
флажок установлен, то при запуске тела с другими начальными параметрами
предыдущая траектория удалена не будет;
область управления (3) − в соответствующие окна вводятся начальные
параметры движения тела (начальная высота h0 над поверхностью земли, угол
α0, под которым направлен вектор скорости относительно к горизонтальной
плоскости, начальная скорость v 0 , коэффициента А и В, скорость ветра) либо с
помощью кнопок вверх-вниз, расположенных справа от поля; либо прямо с
клавиатуры; в поле (4) расположены кнопки , и для запуска, остановки и
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
5
приостановки движения тела соответственно, кнопка
предназначена для
очистки экрана;
область вывода параметров (5) содержит вкладки
«Конечные параметры», где фиксируются параметры в конечной точке
движения;
«Текущие параметры», где фиксируются параметры в текущей точке
траектории, отмеченной ЛК мыши в области (2), если при этом, не отпуская
кнопку мыши, переместить курсор, то параметры будут изменяться в
соответствии с новым положением.
Для перехода на нужную вкладку, необходимо щелкнуть ЛК мыши на ее
названии.
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
6
Задания для моделирования
I. Установить режим «Теория», вид «Скрыть векторы». Установить
начальную высоту полета h = 0, коэффициенты силы сопротивления A = 0,
B = 0, скорость ветра v В = 0.
1. Изменяя значения начальной скорости ( v 0 ) в диапазоне 10-20 м/с с
шагом 2 м/с и угол, который составляет скорость с горизонтом в начальный
момент времени (α0), в диапазоне от 150 до 750 с шагом 100, исследовать как
влияет угол броска и начальная скорость на дальность полета и
максимальную высоту подъема? по какой траектории движется тело?
Результаты записать в тетрадь в виде ответов на вопросы.
2. Установить начальную скорость v 0 = 14 м/с. Изменяя α0 в диапазоне от
15º до 75º с интервалом 10º, определить угол броска, при котором дальность
полета будет максимальной. Результат оформить в таблице 1.
Таблица 1
v0
Smax
α0
3. Повторить п.1.2 для v 0 = 18 м/с. Результат оформить в таблице 1.
II. Установить режим «Теория», отменить вид «Скрыть векторы» (снять
флажок). Установить h = 0, A = 0, B = 0, v 0 = 0.
1. .Установить v 0 = 18 м/с, α0 = 50º.
а) Исследовать, как изменяется на протяжении полета:
- угол, который образует скорость тела с горизонтальной осью;
- вертикальная и горизонтальная составляющие скорости;
- нормальная и тангенциальная составляющие ускорения;
- радиус кривизны траектории в течение полета;
- потенциальная и кинетическая энергия тела во время полета.
б) Сравнить значение характеристик движения ( v 0 , v x, v y, аτ, аn, R, Eк, Еп)
в начальный момент броска, верхней точке траектории и в конце
движения. В каких точках траектории они имеют максимальное и
минимальное значения?
Результаты оформить в виде ответов на вопросы.
2. Повторить п.2.1 для других 2-3 значений v 0 и α0..
III. Установить режим «Теория», отключить вид «Скрыть векторы», включить
вид «Не очищать экран». Исследовать, как изменится характер движения, если
тело брошено под углом к горизонту с ненулевой высоты (h ≠ 0), если учесть
силу сопротивления воздуха (А ≠ 0, В ≠ 0), если учесть силу ветра ( v в ≠ 0).
1. Установить h = 10м, А = 0, В = 0, v в = 0. Повторить п.1.2, п.1.3 и п.2.1.
2. Установить h = 0, А = 0,3 (кг/с), В = 0,003 (кг·с/м2), v в = 0. Повторить п.
1.2, п.1.3 и п. 2.1.
3. Установить h = 0, v 0 = 18 м/с, α0 = 45º, А = 0, В = 0. Изменяя значения
скорости ветра в диапазоне от -20 м/с до 20 м/с с шагом 5 м/с, исследовать
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
7
изменение характера движения. Как влияет скорость ветра на дальность
полета, максимальную высоту подъема, угол падения и конечную скорость?
по какой траектории движется тело? Результаты записать в тетрадь в
виде ответов на вопросы.
Сформулировать выводы.
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
8
Контрольные вопросы
1. Как движется тело, брошенное под углом к горизонту?
2. Записать выражение зависимости перемещения и скорости от времени для
тела, брошенного под углом к горизонту.
3. Чему равно значение центростремительного и тангенциального ускорения
тела, брошенного под углом к горизонту в произвольной точке траектории?
4. Какой будет траектория движения тела, участвующего одновременно в
равноускоренном и равномерном движении вдоль двух взаимно
перпендикулярных осей?
Компьютерный лабораторный практикум по физике: уч.-метод. пособие /
Сук А.Ф., Синельник И.В., Синельник А.В. – Харьков: Изд-во «Точка», 2011
9