применение статистики экстремальных значений при

НАУКА И ТЕХНИКА
Е.И. Миронов, канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник ОАО «ВНИИКП»
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИКИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ
СИЛОВЫХ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ КАБЕЛЕЙ
На примере силового высоковольтного кабеля с изоляцией
из сшитого полиэтилена рассмотрены некоторые возможные
и применяемые в настоящее время варианты вычисления
параметров распределения Вейбулла, используемых при
оценке качества, надежности и срока службы кабелей
Одним из основных требований, предъявляемых
к силовым высоковольтным кабелям, является их срок
службы, который обычно составляет несколько десятков лет.
В частности, для кабелей среднего напряжения (10–35 кВ)
с полиэтиленовой сшитой изоляцией срок службы составляет 30 и более лет [1]. Подтверждение столь продолжительных сроков службы путем натурных испытаний при
разработке кабелей практически невозможно. Поэтому
разработчики вынуждены использовать методы ускоренных
испытаний, позволяющие сократить сроки до приемлемой
продолжительности.
В указанном документе [1], а также в [2, 3] для подтверждения установленного срока службы предписано проведение испытаний кабелей в более жестких условиях по
сравнению с условиями эксплуатации. Эти более жесткие
условия позволяют ускорить процессы старения. При этом
предполагается, что продолжительность испытаний может
быть сокращена до одного года или двух лет.
Оценку степени старения кабелей при ускоренных испытаниях проводят на пяти или шести образцах по величине
их пробивного напряжения, определяемого статистической
обработкой результатов испытаний на основе распределения Вейбулла [1]. При этом конкретные методики этой
статистической обработки не предлагаются, и единой
методики вычисления параметров распределения Вейбулла
не существует. Это приводит к тому, что часто нет взаимопонимания по проблемам применения распределения
Вейбулла даже между специалистами, занимающимися
испытаниями высоковольтных кабелей и исследованием
их электрической прочности.
В данной статье предпринята попытка обсудить некоторые существующие способы вычисления параметров
распределения Вейбулла с целью возможного использования результатов этого обсуждения для разработки
рабочей методики применения этих параметров при оценке
качества силовых высоковольтных кабелей. (Под словом
«качество» понимается соответствие всех нормируемых
характеристик требованиям нормативно-технической
документации). По мнению автора результаты этого
обсуждения могли бы представить интерес не только для
научных работников, занимающихся решением проблем
электрической прочности силовых высоковольтных кабелей, но и для работников служб качества предприятийизготовителей этих кабелей.
Электрическая прочность кабеля определяется уровнем пробивного напряжения испытуемых образцов как
в исходном состоянии кабеля, то есть в состоянии поставки
24
потребителю, так и после старения в условиях, имитирующих
условия эксплуатации или более жесткие условия [1–4].
В том примере, который будет рассмотрен ниже, для
определения пробивного напряжения образцов кабеля
применялась так называемая ступенчатая методика
подъема напряжения. Суть ее заключается в том, что
образцы подвергались воздействию переменного напряжения частоты 50 Гц при его ступенчатом повышении до
пробоя [2, 5].
Испытания в таких случаях обычно проводят на n образцах
одинаковой рабочей длины. В результате получают n значений
пробивного напряжения: Uпр1, Uпр2, ..., Uпрi, ..., Uпрn, по которым
можно судить об уровне пробивного напряжения кабеля
и о разбросе полученных значений пробивного напряжения.
Простейший способ обработки полученных результатов
испытаний заключается в вычислении среднего арифметического значения пробивного напряжения U пр и среднего
квадратичного отклонения ε:
1 n
Σ U прi
n i =1
(1)
1 n
Σ (U пр − U прi ) 2
n i =1
(2)
U пр =
ε2 =
где i – порядковый номер образца; n – общее количество
испытанных образцов; Uпрi – пробивное напряжение i-ого
образца.
В некоторых случаях этим можно ограничиться. Однако
во многих случаях этих данных оказывается недостаточно.
Рассматривая пробивное напряжение Uпр как непрерывную случайную величину, определенную в интервале
от 0 до ∞, и применяя методы статистики экстремальных
значений, можно получить значительно больше информации об исследуемом кабеле, используя те же самые
результаты испытаний. Применение статистики экстремальных значений в данном случае является корректным,
поскольку Uпр в процессе испытаний принимает только
экстремальные, в данном случае – минимальные значения
Uпрi, так как пробой всегда происходит в самом слабом
месте каждого образца.
Для статистического анализа экспериментально полученных значений пробивного напряжения считается практически обоснованным применение двухпараметрического
распределения Вейбулла. Функция вероятности этого
распределения имеет вид:
НАУКА И ТЕХНИКА
  U m 
F (U пр ) = 1 − exp  −  пр  .
 U0  
 

(3)
Здесь m и U0 – параметры распределения Вейбулла,
получившие условные названия «параметр формы»
и «параметр масштаба» соответственно. Параметр m является безразмерным, а U0 имеет такую же размерность, как
и Uпр поэтому выражение, стоящее под знаком exp, является безразмерным.
При Uпр = U0 функция вероятности независимо от величины m принимает значение F (Uпр) = 1 – exp [–1] = 0,632...
(трансцендентное число), поэтому величина U0 часто
используется при оценке электрической прочности кабеля
в качестве пробивного напряжения при вероятности пробоя
равной 0,632 (обозначение «U0» в данной статье принято
с целью краткости написании; на практике часто применяют
индекс «U0,632» для того, чтобы не спутать с U0 – напряжением
между фазой и нейтралью).
Выражение для плотности вероятности распределения
Вейбулла записывается следующим образом:
f (U пр ) =
m  U пр 


U0  U0 
m−1
  U m 
пр
exp  − 
 .
  U0  


(4)
Плотность вероятности f (Uпр) является производной от
функции вероятности и по смыслу соответствует вероятности
пробоя, приходящейся на единичный интервал напряжений,
в то время, как функция вероятности соответствует вероятности пробоя в интервале напряжений от 0 до Uпр. Обе
функции как F (Uпр), так и f (Uпр) нормированы на единицу,
то есть принимают значения только от 0 до 1. При этом
1 соответствует достоверному событию, а 0 – невероятному
событию.
При статистической обработке результатов испытаний
с использованием распределения Вейбулла задача сводится
к вычислению параметров m и U0. При известных значениях этих параметров становится возможным вычисление
по формуле (3) вероятности пробоя кабеля для любого
напряжения.
Применив известную теорему Ляпунова, можно получить два уравнения:
M (m, U 0 ) = U пр .
(5)
σ (m, U0) = ε.
(6)
Здесь M (m, U0) – математическое ожидание, σ (m, U0) –
дисперсия. Через параметры распределения Вейбулла они
выражаются следующим образом:
 m +1 
M ( m, U 0 ) = U 0 Г 
.
 m 
  m + 2  2  m +1 
−Г 
 .
 m 
  m 
σ 2 ( m,U 0 ) = U 02  Г 
(7)
(8)
Символом Г обозначена гамма-функция.
Теоретически совместное решение двух уравнений
(5) и (6) с учетом (7) и (8) относительно m и U0 возможно.
№ 1 (344), 2014
Однако, поскольку гамма-функция в простых функциях не
выражается, эта задача представляется слишком сложной.
Значительно проще найти численное решение для m и U0,
используя компьютерные программы с представлением
математического ожидания и дисперсии не через гаммафункцию, а в интегральной форме. Соотношения (5) – (8)
могут быть использованы с привлечением табличных значений
гамма-функции для контрольной проверки правильности
выполненных вычислений.
Выражение (3) можно рассматривать как уравнение
с неизвестными F (Uпр), m и U0 при известном Uпр. Неизвестных три, а уравнение одно. Такое уравнение имеет
бесчисленное множество решений. Из этих решений
надо выбрать одно, которое соответствует полученным
результатам испытаний.
Экстремальные значения являются частными случаями
порядковых статистик [6]. Их можно упорядочить (ранжировать) по возрастанию, то есть занумеровать образцы кабеля
по возрастанию пробивного напряжения.
Если ранжированные по возрастанию значения
пробивного напряжения подставить последовательно
в формулу (3), то можно получить систему n уравнений
с n + 2 неизвестными:
  U m 
F (U пр1 ) = 1 − exp  −  пр1  
 U0  
 

  U m 
пр2
F (U пр2 ) = 1 − exp  − 
 
  U0  


(9)
.....
.....
  U m 
прn
F (U прn ) = 1 − exp  − 
 .
  U0  


Эта система является неполной и тоже имеет бесчисленное множество решений. На практике, для того, чтобы
получить хотя бы какое-нибудь решение, используют искусственный прием подмены неизвестных F (Uпрi) на P (Uпрi)
вычисленные по формуле:
P (U прi ) =
i
.
n +1
(10)
Такая манипуляция с цифрами на математическую
строгость не претендует. Однако при такой подмене неизвестных величин якобы известными уравнения (9) становятся решаемыми относительно m и U0 как попарно, так
и совокупно по известному способу замены переменных
с двойным логарифмированием, приводящем к линеаризации
(уравнения становятся линейными). Параметр m определяется как тангенс угла наклона прямой, построенной по
методу наименьших квадратов.
В дальнейшем, используя более точные методы решения,
мы сможем оценить погрешность, допущенную при замене
F (Uпрi) на P (Uпрi).
Рассмотрим конкретный пример.
После испытаний на длительное старение силового
одножильного кабеля с полиэтиленовой сшитой изоляцией
получены следующие значения пробивного напряжения,
ранжированные по возрастанию: 74,0; 92,0; 95,6; 98,4;
119,9 кВ. Подставим эти результаты в систему уравнений
(9) и заменим F (Uпрi) соответствующими значениями
25
НАУКА И ТЕХНИКА
Таблица
Решения уравнений (11)
Параметры
распределения
m
U0
Парные комбинации уравнений с номерами, соответствующими номерам образцов ранжированного ряда
1+2
1+3
1+4
1+5
2+3
2+4
2+5
3+4
3+5
4+5
3,67
5,21
6,30
4,73
13,97
14,82
5,61
15,96
4,19
2,47
117,7
102,6
96,94
106,0
98,14
97,78
108,1
97,82
104,3
94,73
P (Uпрi). Получим следующую систему пяти уравнений
с двумя неизвестными:
  m 
74
0,1667 = 1 − exp  −   

 U0
   
  m 
92
0,3333 = 1 − exp  −   
  U0  


m
 

95,
6
0,5000 = 1 − exp  − 
 
  U0  


m
 
98, 4  
0, 6667 = 1 − exp  − 

  U0  


m
 
119,9  .
0,8333 = 1 − exp  − 

  U0  


(11)
Любые два уравнения этой системы в любом сочетании
имеют свое решение относительно m и U0. Число этих пар
равно числу сочетаний из пяти элементов по два: C52 = 10.
Результаты приведены в таблице.
Усреднение этих решений дает следующий результат:
m = 7,69; U0 = 102,4.
При совместном решении системы уравнений (11)
с использованием линеаризации и нахождения параметра
m по тангенсу угла наклона прямой линии получается:
m = 4,94; U0 = 104,1 при коэффициенте корреляции r = 0,96.
Точное вычисление параметров m и U0 с использованием
специальной компьютерной программы дает следующий
результат: m = 7,75; U0 = 102,1.
Видно, что результат, полученный усреднением решений 10-и пар уравнений, приведенных в таблице, близок
к результату точных вычислений. В то же время параметры, вычисленные по методу линеаризации, значительно
отличаются от результатов точных вычислений. Разницу
можно наглядно увидеть, сравнивая кривые 1 и 3 на рис. 1
с кривыми 1* и 3* соответственно.
Из рассмотрения приведенного примера следует, что
для приближенного вычисления параметров распределения
Вейбулла подмена искомых значений функции вероятности пробоя значениями, вычисленными по формуле (10),
возможна, однако при этом следует отдать предпочтение
решению парных сочетаний получающихся уравнений
с последующим усреднением всех C 2n результатов.
На рис. 1 приведены графики функций вероятности
пробоя кабеля, подвергавшегося ускоренному старению
(кривая 2), и того же кабеля до начала старения (кривая 4).
По этим кривым, также, как и по формуле (3), можно определить вероятность пробоя кабеля при любом напряжении
Uпр в интервале от 0 до Uпр.
Кривые 2 и 4 имеют точки перегиба, соответствующие медианам распределений и математическим ожиданиям. С точками
перегиба по значениям Uпр совпадают также максимумы кривых
плотности вероятности пробоя (кривые 1 и 3 соответственно). По
мере старения кабеля происходит смещение кривых в сторону
малых значений пробивного напряжения и соответствующее
увеличение вероятности пробоя. Так, если вероятность пробоя
кабеля при напряжении 66 кВ и ниже до начала старения была
исчезающее малой (6 · 10–5), то после ускоренного старения она
возросла почти на 3 порядка (3,3 · 10–2). Уровень напряжения
66 кВ выбран по нормативу для пробивной напряженности
у поверхности экрана по жиле 23 кВ/мм, принятому в [1].
Можно заметить, что кривые на рис. 1 не являются симметричными. В этой асимметрии кроется дополнительная информация
о свойствах электроизоляционной системы кабеля и изменении
этих свойств в процессе его старения. Однако анализ формы
кривых с одновременным изучением физической и химической
природы дефектов и повреждений изоляции, на которых происходят пробои, представляет собой самостоятельную задачу,
которая в данной статье не рассматривается.
В заключение можно отметить, что статистика экстремальных значений является эффективным инструментом,
который может быть использован при оценке качества силовых высоковольтных кабелей и исследовании электрической
прочности их электроизоляционных систем.
Литература
Рис. 1. Графики функций распределения Вейбулла:
1, 3 – плотность вероятности пробоя кабеля после старения
и до старения (соответственно);
1*, 3* – те же графики, построенные с использованием
параметров, вычисленных по методу линеаризации;
2, 4 – функции вероятности пробоя кабеля после старения
и до старения (соответственно)
26
1. ТУ 16.К71-335–2004 «Кабели силовые с изоляцией из сшитого
полиэтилена на напряжение 10, 20, 35 кВ. Технические условия».
2. ГОСТ Р 55025–2012 «Кабели силовые с пластмассовой изоляцией на номинальное напряжение от 6 до 35 кВ включительно.
Общие технические условия».
3. Гармонизированный документ CENELEC HD 620.
4. Гармонизированный документ CENELEC HD 605.
5. ГОСТ 2990–78 «Кабели, провода и шнуры. Методы испытания
напряжением».
6. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. – М., 1965.