Олимпиадные задачи по физике

Олимпиадные задачи по физике.
1. За последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело ¾
всего пути. Сколько времени падало тело?
Решение.
S gt12
(1)

4
2
S
g (t1  t 2 ) 2
(2)
2
Решая совместно (1)и (2), получаем: t 
8t 2  64t 22  48t 22
, где t = t1+t2.
2
Учитывая, что t>t2, выбираем один корень t=2t2. По условию задачи t2=1 c.
2. К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря с m1 = 1 кг. К этой гире
подвешена другая с массой m2 = 2 кг. Найти силу натяжения нити между гирей и
лифтом, если сила натяжения между гирями равна 9.8 Н.
Решение.
T0 - m2 g = m2 a ,
a = T0/m2 – g ,
T – m1 g – T0 = m1 a
T=?

m1
T=T0(1+m1/m2) = 1,5 T0 = 14,7 H.
T0=9,8 H
m2
3. С колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью v, слетает комок грязи.
Радиус колеса равен R. На какую высоту над дорогой будет отбрасываться грязь,
оторванная от точки А колеса? (угол α известен). Колесо двигается без пробуксовки.
Решение.
Во время движения комка грязи под действием
силы тяжести горизонтальная компонента скорости
не изменяется. Когда комок грязи достигнет
максимальной точки траектории,
вертикальная составляющая его скорости
исчезнет.
 
 
m(v  v ' ) 2X
m(v  v ' ) 2
mgh0 
 mgh 
2
2
α
v’
v
Или



v 2 v '2 vv ' v 2
h  h0 



(1  cos 2   2 cos  )
2g 2g
g 2g
Учитывая,
что
h  R(1  cos  ) 
 
v  v' ,

v v '   v 2 cos 
и
h0  R(1  cos  ) ,
получаем
v2
sin 2 
2g
4. Металлический шар массы М заполнен резиной с массой m=M/4. Два таких шара,
двигаясь в невесомости навстречу друг другу с равными скоростями v0, испытали
центральное столкновение. Найдите скорости разлёта шаров, если известно, что
незаполненные стальные оболочки сталкивались упруго, а скорость звука в резине
существенно ниже скорости звука в стали.
Решение.
После столкновения оболочек
Резиновые шары изменят движение
не сразу, а лишь после почти
мгновенного столкновения и разлёта
оболочек. Оболочки начнут разлёт
с теми же по модулю и противоположными
по направлению скоростями, что и до удара.
После удара для каждого шара
выполняется закон сохранения импульса:
мv - Mv = (M+m)V
Шары будут двигаться как единое целое
со скоростью V равной:
mM
3
V 
v   v.
mM
5
v’
v
v’
v
5. Для определения скорости пули применяют баллистический метод. Пуля с массой m
попадает в подвешенный на нити с длиной l ящик, заполненный песком, с массой М,
причём m<<M. После того как пуля застревает в ящике, он начинает движение и
достигает максимального отклонения от вертикального положения α. Вычислить
скорость пули до попадания в ящик.
После попадания в ящик с песком
пуля двигается с ящиком и они составляют
единое целое. Во время удара горизонтальные
проекции всех сил равны нулю и горизонтальная
проекция импульса сохраняется:
α
mv = (m+M)V
l
далее движение происходит под действием
консервативных сил, т.е. соблюдается закон
сохранения энергии.
v
( M  m)V 2
 (m  M ) gh ,
2
M
V
h
m
h  l (1  cos  ) ,
v
mM
m
2 gl (1  cos  ) 
mM
m
4 gl
1  cos 
mM

2
sin
gl
2
m
2
M
 gl .
m
6. Вертикально падающий без начальной скорости с высоты h = 1 м мяч. При каждом
ударе о землю теряет 10 % энергии. Какой путь пролетит мяч до полной остановки?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Если m<<M, и α<<1 , то v 
Решение.
После первого удара о землю мяч подскочит на высоту h1=0,9h, затем на h2=0,9h1=0,81h.
Таким образом, последовательность h1,h2,h3,h4… является бесконечной убывающей
геометрической прогрессией. Путь, пройденный между двумя соседними ударами о землю
равен двум высотам подъёма, а весь путь равен:
S = h + 2 h∙0.9 + 2 h∙0.92 + 2 h∙0.93 + 2 h∙0.94 + 2 h∙0.95 +…= 2 h /(1-0,9) – h = 19 м.
7. Три тела, связанные нитями лежат на горизонтальной гладкой поверхности. На тела
действуют две горизонтальные силы (см. рисунок). Найти силу натяжения нити T1
между телами с массами m1 и m2. Найти силу натяжения T2.
F1
F2
T1
m1
m2
m3
Решение.
Если сумма внешних сил, действующих на систему тел, не равна нулю, это приводит к
движению центра масс с ускорением а:
 
F1  F2

F1  F2  (m1  m2  m3 )a, F1  F2  (m1  m2  m3 )a, a 
m1  m2  m3
При данной геометрии задачи наша система будет двигаться как единое целое, т.е. ускорение
различных её частей будет одинаковым.
На тело с массой m1 действуют силы F1 и Т1: F1  T1  m1a , T1  F1  m1
F1  F2
.
m1  m2  m3
Силу Т2 можно найти аналогично, или воспользоваться заменой индексов.
8. Найти силу натяжения нити Т между неподвижным блоком и потолком в системе,
изображённой на рисунке. Блоки считать невесомыми. Массы грузов равны m1 = 100 г.,
m2 =300 г.
Подвижный блок даёт двукратный выигрыш
в силе, в пройденном пути в этом случае мы
двукратно проигрываем. И, в следствие,
проигрываем в ускорении, т.е. ускорение
первого тела в два раза больше ускорения второго тела.
Неподвижный выигрыш в силе не даёт.
Т = 2 Т1. Сравнивая массы двух тел, приходим
К выводу, что первое тело будет двигаться с
ускорением а направленным вверх,
а второе тело - с ускорением а/2, направленным вниз.
Для первого тела:
T1
T1-m1g = m1 a.
Для второго тела:
2T1-m2g = - m2 a/2.
T
m2
m1
Из первого уравнения находим a = T1/m1 – g
3
m2 g
3m2 g
Подставляем найденное значение во второе и находим: T1  2
,и T 
.
m2
m2
2
2
2m1
2m1
9. Человек массы m = 60 кг переходит с кормы на нос лодки. На какое расстояние
переместится лодка, если её длина l = 3 м, а масса M = 120 кг?
Решение.
При перемещении человека с кормы на нос лодки лодка сместится на расстояние а.
xч
хл
2xч
a
l
При этом центр масс системы “лодка-человек” останется на месте, т.к. внешних сил,
действующих на систему нет. Если начало координат связать с центром масс системы, тогда:
x m  xл M
M
. С другой стороны, xч  x л  l .
0 ч
, xч   x л
2
mM
m
M
l
m
60кг
 . Расстояние а равно: a  l
 3м 
 1м .
Т.е. xч 
mM 2
mM
60кг  120кг
10. Железнодорожная платформа равномерно загружается со скоростью погрузки 100
кг/с. Считая трение между колёсами и рельсами пренебрежимо малым, определить
мощность локомотива для обеспечения автоматической загрузки со скоростью
платформы 0,1 м/с.
Решение.
f 
dP d
 (mv)  m v  mv  v  ma  v, т. к.
dt dt
a  0.
N  fv  v 2 .
11. Тело начинает движение вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v0.
Угол наклона равен α. Через какое время тело вернётся в прежнюю точку, если tg α > k,
где k – коэффициент трения.
1. Движение
вверх
с
замедлением
a1.
ma1 = mg sin α – mgk cos α,
2
v
at
a1  g (sin   k cos  ) . S  1 1 , где t1 – время движения вверх t1  0 .
2
a1
2. Движение обратно: a2  g (sin   k cos  ) , t 2 
Полное время t  t1  t 2 
v0
g (sin   k cos  )
откуда:
2S
.
g (sin   k cos  )

sin   k cos 
1 

sin   k cos 




12. Лодка подтягивается к высокому берегу озера при помощи верёвки, которую
наматывают на цилиндрический барабан с постоянной скоростью v = 1 м/с. Барабан
находится на высоте h = 6 м над уровнем воды. Найти скорость зависимость скорости
верёвки от её длины l. Найти скорость верёвки при l = 10 м и перемещение из этого
положения за 1 секунду.
Решение.
Пользуясь теоремой Пифагора, находим x:
x  l 2  h2
Скорость u 
dx
l
dl

 
dt
l 2  h 2 dt
1
h2
1 2
l
v.
l
h
x
Скорость при l = 10 м равна 1,25 м/с.
Пройденный лодкой путь из этого положения за 1 с равен: x1 - x2 ≈1,3 м.
13. Балда выпустил зайца одновременно с тем, как бесёнок побежал по “берегу
морскому”. Заяц побежал по кратчайшему расстоянию, равному 2 вёрстам “в лесок до
дому” со скоростью 30 вёрст в час. Возвращаясь, бесёнок видел зайца, мелькнувшего за
первыми деревьями леса, но не придал этому значения. Найдите скорость, развиваемую
бесёнком, если он может смотреть только вперёд, а радиус круглого моря равен 2
вёрстам.
Решение.
За время, когда заяц пробежал
расстояние R, бесёнок одолел
расстояние αR. Поэтому скорость
бесёнка в α раз выше скорости зайца.
Изображённый на рисунке
прямоугольный треугольник позволяет
найти угол α:
R
5
 cos( 2   ),   
2R
3
Значит скорость бесёнка примерно
равна 155 вёрстам в час.
R
Балда
α
R
R
Лес
14. Когда хвост удава поравнялся с пальмой, под которой сидела мартышка, она, решив
измерить длину удава побежала вдоль него и положила банан рядом с его головой,
затем побежала с той же скоростью в обратном направлении и положила второй банан у
хвоста. Пришёл попугай и измерил расстояния от бананов до пальмы. Они оказались
равны 16 и 48 попугаям. Найдите длину удава. Определите соотношение скоростей
мартышки и удава.
Решение.
t1 
l
.
vм  v у
l
l1  t1v м 
1
vу
. t2 
l
.
vм  vу
l 2  l1 
l
1
vм
vу

2l v м v у
v м2  v у2
vм
Решая систему двух уравнений, получаем длину удава в попугаях (38,4), скорость мартышки
в 5 раз больше скорости удава.
15. Пуля пробивает доску с толщиной h. Найдите время пробивания доски, если известны
скорости пули до и после пробивания, а также тот факт, что сила сопротивления пули в
доске прямо пропорциональна квадрату скорости.
1.)
2.)
dv k
1 1
k
 dt ,

 
2
m
v1 v 2 m
v
dv( x)
dv dx
dv
f  kv 2  m
m
 m v,
dt
dx dt
dx
dv
dv k
m
h
h 1 1
 
kv  m ,
 dx,

,  
v2
v 2  v1 v 2
dx
v
m
k
ln
ln
v1
v1
f  kv 2  ma  m
dv
,
dt

.

16. Определить сопротивление цепи между точками а) А и Б; б) А и В; в) А и Г.
Сопротивление каждого резистора равно R.
А
Задача решается сведением схемы к эквивалентной.
а) 8R/15
б) 2R/3
Б
Г
в) 7R/15
В
17. Катушка равномерно намотана на торроидальном сердечнике с радиусом r. Катушка
имеет N витков. Ферритовый сердечник с сечением S имеет нелинейную кривую
dB
 1   2 H 2 . Катушка охвачена
намагничивания с магнитной проницаемостью  
dt
проводником, замкнутым на конденсатор с ёмкостью С. Определить спектральный
состав тока, протекающего через конденсатор, если в катушке протекает переменный
ток I (t )  I 0 sin t . Гистерезисом в магнетике пренебречь.
Решение.
E
d
dB
dB dH
dH
  0 S
  0 S
   0 S ( 1   2 H 2 )
dt
dt
dH dt
dt
Напряжённость поля Н в торроидальном сердечнике можно вычислить по формуле:
H
N
N
I
I 0 sin t ,
2  r
2  r
dH
N

I 0 cos t.
dt
2  r
N2
N
I 2 sin 2 t ) 
I 0 cos t 
2 2 0
2  r
4 r
 SNI 0 1  2 SI 03 N 3 
 2 SN 3 I 03


 

cos t 
cos 3t.
2  r
32 3 r 3 
32 3 r 3

E    0 S ( 1   2
Ток через конденсатор является суммой гармонических составляющих с частотами ω и 3ω.
I c (t )  I 01 sin t  I 03 sin 3t , где
I 01 
SN 2 CI 0 1  2 SN 3 I 03 2 C

,
2  r
32 3 r 3
I 03 
3 2 SN 3 I 03 2 C
.
32 3 r 3
18. Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках A, B, C, зарегистрировали
в момент времени tA > tB> tC звук от взрыва, который произошёл в точке О, лежащей на
отрезке АС. Найдите АО, если АВ=ВС=L. Момент пуска часов не совпадает с моментом
взрыва.
Решение.
А
В
О
С
OC + OB = L,
OB – OC = v(tB-tC), OB = OC + v(tB-tC),
OC + OC + v(tB-tC) = L
L  v(t B  t C )
L  v(t B  t C )
3
v
OC 
, OB 
, AO  L  OB  L  (t B  t C ).
2
2
2
2
Скорость, с которой распространяется взрывная волна v может отличаться от известной
величины – скорости звука в воздухе при нормальных условиях, кроме того, неизвестно
насколько наши условия отличаются от нормальных. Значит, стоит считать скорость v
неизвестной.
L
L  t t 
L=AO – OB= v (tA – tB), v 
, AO   3  B C  .
t A  tB
2  t A  tB 
1. К концу вертикально висящей пружины длиной l прикрепили груз, в результате чего ее
длина возросла до 2l. Предполагая, что удлинение пружины пропорционально нагрузке, найти
угловую скорость груза, вращающегося на этой пружине по кругу в горизонтальной плоскости,
если длина пружины в этом случае L. Массой пружины пренебречь.
Решение: Пусть жесткость пружины k, а масса груза m. Тогда условие равновесия груза,
подвешенного на пружине, имеет вид: k (2l - l ) = mg . При вращении по окружности с угловой
скоростью w пружина отклонилась от вертикали на угол a . Радиус окружности, описываемой
грузом, будет равен L sin a , а центростремительное ускорение w2L sin a . I закон Ньютона
примет вид: m w2L sin a = k (L - l ) sin a . Откуда получим, что w2 = (L - l )g / Ll .
2. На горизонтальной поверхности стоят два одинаковых
кубика массой M. Между кубиками вводится тяжелый клин массой
углом при вершине 2 . Чему равны ускорения кубиков? Трением
пренебречь.
m с
Решение: Пусть h - путь, который проходит клин по вертикали, в результате клин приобрел
Mv 2 mu 2
u
v
скорость , а кубики - . Закон сохранения энергии дает mgh = 2
. Кубик прошел
+
2
2
v2
путь h t g a , его ускорение при этом a =
. Учитывая, что v = u t g a , получим
2h t g a
mg t g a
.
a=
m + 2M t g2 a
3. В плоский конденсатор вдвигается с постоянной
скоростью v пластина из диэлектрика. Определите ток в цепи
батареи, подключенной к конденсатору. Считать известным ЭДС
батареи E, диэлектрическую проницаемость ε, высоту пластины
площадь квадратных пластин конденсатора S = b2 .
h,
Решение: Рассмотрим два параллельно соединенных конденсатора площадью b ´ vt и
b ´ (b - vt ) , один из которых заполнен диэлектриком. Эквивалентная емкость такой системы
e b (b - vt )
ee0bvt
. Напряжение на конденсаторах поддерживается постоянным, тогда ток
+ 0
h
h
E (e - 1)e0bv
в цепи батареи составит I =
.
h
C =
4. Одноатомный газ участвует в некотором процессе. Известно, что его внутренняя
энергия пропорциональна квадрату объема. Найдите работу, которую совершает газ при
сообщении ему количества теплоты Q.
Решение: Внутренняя энергия идеального газа в данном процессе пропорциональна квадрату
3
объема: U = nR T = aV 2 . Совместно с уравнением состояния идеального газа pV = n R T
2
2
получим, что давление в данном процессе пропорционально объему p = aV . Работу газа при
3
изменении объема от V 1 до V 2 можно посчитать как произведение среднего давления на
1
1
A = a (V 2 + V 1 )(V 2 - V 1 ) = a (V 22 - V 12 ).
изменения
объема:
Из
второго
начала
3
3
1
термодинамики: Q = A + a (V 22 - V 12 ), тогда становится ясно, что A = Q .
4
1.
Найти сопротивление цепи между точками А и В. Сопротивление
каждого резистора известно и равно R.
Решение: Разобьем участок ВС на два параллельных участка с сопротивлением 2R каждый.
Схема цепи преобразуется как показано на рисунке. Тогда общее эквивалентное сопротивление
7
составит RO =
R.
15
2.
Легкий жесткий стержень с шариком массы m на конце свободно вращается в
вертикальной плоскости вокруг точки O. Известно, что в верхней точке траектории модуль
силы натяжения стержня равен T, и в два раза меньше, чем в нижней. Найдите отношение
скоростей шарика в верхней и нижней точках траектории. Ускорение свободного падения
равно g.
Решение: Пусть скорости шарика в верхней и нижней точках равны соответственно v 1 и v 2 ,
длина стержня R, масса груза m. I закон Ньютона для верхней и нижней точек имеет вид:
mv22
mv12
Закон
сохранения
энергии
запишется
так:
= 2T - mg .
= T + mg ,
R
R
mv22
mv12
=
+ 2mgR . Совместно решая эти уравнения, найдем T = 6mg , окончательно
2
2
v1
7
.
=
v2
11
3.
С балкона, находящегося на высоте 20 м, бросают мяч со скоростью 20 м/с. Мяч упруго
ударяется о стену соседнего дома и падает на землю под балконом. Определите расстояние до
соседнего дома, если время полета мяча 1,4 с.
Решение: При упругом отскоке от стены вертикальная компонента скорости
сохраняется, а горизонтальная меняет знак. Траектория мяча (парабола)
отражается относительно стены соседнего дома. Начальная скорость v имеет
горизонтальную и вертикальную составляющие: vx2 + vy2 = v 2 = 202 (м/с).
Высота h , с которой бросили мяч, связан с временем падения t :
gt 2
, откуда найдем vy » 7, 3 м/с. Расстояние до стены соседнего дома s равно
h = vy t +
2
половине пути, который мяч пролетает по горизонтали со скоростью vx » 18, 6 м/с за время
t = 1, 4 с: s = v x t / 2 » 13 м.
4.
В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок высоты L и сечения S1. При помощи
тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая
работа при этом совершена? Сечение стакана S 2 = 2S 1 , начальная
высота воды в стакане тоже L, плотность материала бруска
r = 0, 5r B , где r B - известная плотность воды.
Решение: Первоначально брусок плавает в стакане, погрузившись в воду на половину объема,
поскольку r = 0, 5r B . Для того, чтобы брусок, полностью погрузился в воду, его следует
сместить вниз на L / 4 (т.к. S 2 = 2S 1 , то вытесненная жидкость тоже поднимется на L / 4 и
скроет брусок). При таком медленном перемещении внешняя сила в каждый момент времени
уравновешивает дополнительную выталкивающую силу. Последняя при погружении линейно
1
F L
меняется от нуля до величины F = r B gS 1L , а работа составит A1 =
. Для того, чтобы
2
2 4
брусок достиг дна, нужно его еще погрузить на расстояние L / 4 , при этом совершив работу
L
3
r B gLS 1 .
A2 = F . Окончательно, полная работа равна A = A1 + A2 =
16
4