Дискретная математика и математическая логика, задачи для

Дискретная математика и математическая логика, задачи для семинаров (Лисица А. Ю.)
Листок 3. Продолжение темы "Мощности множеств".
Заметим, что в листках мы пока не пользовались, по существу, термином мощность множества и
даже не определили его, вполне обходясь четко определенным понятием равномощности. Так будет и в
настоящем листке. Другими словами, везде встечающееся ниже слово "мощность" следует считать некоторой небрежностью автора, не желающего, например, вместо короткого "множество мощности гиперконтинуума" писать "множество, равномощное множеству всех подмножеств множества I01 ". Кстати,
это было Определение 7. Но оно нам потребуется только в конце листка.
Определение 8. Пусть рассматриваются всевозможные подмножества некоторого множества U (которое иногда в такой ситуации называют универсальным множеством). Тогда для каждого подмножества
X ∈ U характеристической функцией этого подмножества называют функцию χX : U → {0, 1}, такую что χX (x) = 1 тогда и только тогда, когда x ∈ X. Множество всех характеристических функций всех
подмножеств U обозначается через 2U .
1. Что в этой терминологии представляет из себя множество I01 ?
2. Доказать, что множество P (U ) всех подмножеств данного множества U равномощно множеству 2U .
Примечание: Срв. с задачей 10 листка 2.
3. Доказать, что никакое множество U не равномощно множеству всех своих подмножеств P (U ). (Заметим, что по крайней мере для некоторого множества, в свете одного из предыдущих утверждений, эта
задача уже нами решалась в прошлом листке. Быть может – даже если Вам и так известно решение! – позаимствовать идею именно из решения той задачи? И снова: если Вам известно решение настоящей задачи – попробуйте понять, используя аппарат характеристических функций, что это решение не отличается
от решения одной из задач второго листка.) Здесь же: отыскать в P (U ) подмножество, равномощное U .
4. Доказать, что для любых двух подмножеств X, Y ⊂ U характеристическая функция их пересечения
есть произведение их характеристических функций: χX∩Y = χX · χY .
5. Разность множества U и его подмножества X иногда называют дополнением X до U и обозначают
через X̄. Другими словами, X̄ = U \ X в случае, когда X ⊂ U (а U – универсальное множество).
а) Выразить χX̄ через χX . б) Выразить χX∪Y через χX и χY .
6. Доказать, что конечное или счетное объединение множеств мощности континуума тоже имеет мощность континуума.
7. Доказать, что и континуальное объединение множеств мощности континуума тоже имеет мощность
континуума (предварительно – по аналогии с тем, что было сделано в задаче 16 первого листка для
счетного случая, – нужно, конечно, дать определение континуальному объединению).
8. Доказать, что множество всех конечных последовательностей вещественных чисел континуально.
9. Доказать, что множество всех бесконечных последовательностей вещественных чисел также имеет
мощность континуума.
10. Останутся ли верными утверждения двух предыдущих задач, если в их условиях последовательности заменить подмножествами (конечными и счетными соответственно)? Замечание: конечно, если заменить последовательности произвольными подмножествами, то верным утверждение перестанет быть (а,
кстати, почему?)
Некоторые из утверждений следующих задач очень важны и за пределами теории множеств (например, то, которое говорит, что монотонная функция не может иметь "слишком много" разрывов). Другие
(скажем, про буквы "Т") на первый взгляд выглядят забавными шутками. Однако все они совсем не
случайно объединены в одну группу, приведены в определенной последовательности и предварены вот
таким вот неказистым предисловием.
11. Доказать, что любое семейство попарно не пересекающихся интервалов на прямой конечно или
счетно.
12. Доказать, что множество точек разрыва любой монотонной вещественной функции вещественного
аргумента конечно или счетно.
13. Доказать, что любое семейство попарно не пересекающихся кругов (именно кругов, а не окружностей) на плоскости конечно или счетно.
14. Доказать, что любое семейство попарно не пересекающихся "восьмерок" на плоскости ("восьмерка" – объединение двух касающихся внешним образом окружностей) конечно или счетно.
15. Доказать, что любое семейство попарно не пересекающихся букв "Т" на плоскости конечно или
счетно. Верно ли аналогичное утверждение для букв "Г"?
16. Доказать, множество точек строгого локального максимума любой вещественной функции вещественного аргумента конечно или счетно.
17. Доказать, что множество всех вещественных функций вещественного аргумента имеет мощность
гиперконтинуума.
18. Доказать, что множество вещественных функций рационального аргумента (т. е. множество функций из Q в R) имеет мощность континуума. (Указание: а не решали ли мы уже выше эту задачу?)
19. Доказать, что множество непрерывных вещественных функций вещественного аргумента имеет
мощность континуума. (Вопрос-подсказка: помните ли Вы, что такое непрерывность по Гейне?)
20. Доказать, что и множество монотонных вещественных функций вещественного аргумента имеет
мощность континуума.