Лекция 23 25.04.08

Лекция 23
25.04.08
Теорема 23.1. Подмножество R связно тогда и только тогда, когда это промежуток.
Доказательство.
Достаточность. Если I — промежуток, то ∀ непрерывная на I действительнозначная функция
по теореме Больцано—Коши принимает все промежуточные значения. Значит, I связно.
Необходимость. Пусть E (
не является промежутком, то есть ∃x, y ∈ E и точка c между x и y,
1, x > c
. ϕ(x) непрерывна на E и принимает ровно два значения.
что c ∈
/ E. Функция ϕ(x) =
0, y < c
Значит, E не явл.связным множеством.
Следствие 23.1.1. Нет подмножества R, отличного от R и ∅ которое было бы одновременно открытым и замкнутым.
Теорема 23.2. Если D — связное множество в м.п. M , ϕ — непрерывно отображение D в м.п. N ,
то ϕ(D) — связное множество в N .
Доказательство. Допустим, что ϕ(D) не является связным. Тогда на ϕ(D) существует непрерывная действительнозначная функция f , принимающая ровно два значения. Тогда f (ϕ) — непрерывная действительнозначная функция на D, принимающая ровно два значения, что противоречит
связности D.
Теорема 23.3. Непрерывная действительнозначная функция на связном множестве принимает все
промежуточные значения (то есть вместе с любыми двумя значениями принимает и все значения
между ними).
Доказательство. Образ связного множества при непрерывном его отображении в R — связное
множество, то есть промежуток.
Определение. Непрерывной кривой будем называть непрерывное отображение промежутка (из
R) в метрическое пространство.
Образ такого отображения также называется непрерывной кривой.
Непрерывная кривая (как образ отображения) — связное множество в метрическом пространстве.
Определение. Множество в м.п. называется линейно связным, если через любые две его точки
можно провести непрерывную кривую, принадлежащую этому множеству.
Теорема 23.4. Линейно связное множество связно.
Доказательство. Предположим, что E линейно связно, но не связно. Тогда на E существует непрерывная действительная функция ϕ, принимающая ровно два значения — a и b. Тогда найдется точка
x ∈ E, что ϕ(x) = a; y ∈ E, что ϕ(y) = b. Проведём кривую через точки x, y. Тогда ϕ на этой кривой непрерывна и принимает ровно два значения, что противоречит связности нашей непрерывной
кривой.
Определение. Отрезком с концами x и y в нормированном пространстве N называется множество
{t ∈ N : t = (1 − α)x + αy, где 0 6 α 6 1}.
Отрезок — непрерывная кривая в N .
Определение. Ломаной с узлами {αi }ni=1 в норм. пространстве N называется объединение отрезков [αi−1 , αi ] с концами αi−1 , αi , где i = 1, . . . , n.
Это непрерывная кривая, так как отрезок [αi−1 , αi ] можно считать непрерывным отображением
отрезка [i − 1, i] ⊂ R, то есть ломаная — непрерывное отображение [0, n] ⊂ R.
Теорема 23.5. Открытое множество в нормированном пространстве N связно т. и т.т, когда любые
две его точки можно соединить ломаной, принадлежащей этому множеству.
Доказательство. Достаточность очевидна (из теоремы 23.4).
Необходимость. Пусть G — открытое связное множество в N . Возьмём любую точку x0 ∈ G и
положим G0 = {x ∈ G : x0 , x можно соединить ломаной, принадлежащей G}. Покажем, что G0 —
открытое множество. Если x ∈ G0 , то ∃Bε (x) ⊂ G, для любой y ∈ Bε (x) отрезок [y, x] ⊂ Bε (x), так
1
как ρ(t, x) = k(1 − α)x + αy − xk = kα(y − x)k = α · ky − xk < α · ε 6 ε. Значит, любую точку Bε (x)
можно соединить с x0 ломаной. То есть, Bε (x) ⊂ G0 .
Покажем, что G \ G0 — открытое множество. Если x ∈ G \ G0 , то ∃Bε (x) ⊂ G. В Bε (x) нет точек
G0 (иначе их можно соединить с x отрезком). То есть, Bε (x) ⊂ G \ G0 .
Тогда G разбито на два открытых непересекающихся множества G0 и G \ G0 . Так как G связно,
то одно из них пусто. Так как x0 ∈ G0 , то G \ G0 = ∅, то есть G = G0 .
Определение. Непрерывным путём с началом в т. A и с концом в т. B из м.п. M будем называть
непрерывное отображение отрезка [a, b] в M , при котором a переходит в A, b переходит в B.
Определение. Длиной пути будем называть sup
n
P
ρ(ϕ(αi−1 ), ϕ(αi )), где a = α0 < α1 < . . . < αn =
i=1
= b, ϕ — непрерывное отображение [a, b] в M , задающее путь.
Эту величину будем также называть вариацией ϕ на [a, b] и будем обозначать Var ϕ
[a,b]
Введём в множестве
разбиений {αi }ni=0 отрезка [a, b] базу B, состоящую из Bδ =
max(αi − αi−1 ) < δ .
i
n
P
Пусть ST =
ρ ϕ(αi−1 ), ϕ(αi ) , где T = {αi }ni=0 — разбиение [a, b].
{αi }ni=1 :
i=0
Теорема 23.6. Var ϕ = lim ST .
B
[a,b]
Доказательство. Возьмём любое ε > 0 и найдём такое разбиение T = {αi }ni=0 , что ST ∈ B 2ε (Var ϕ).
ε [a,b]
1
Так как ϕ непрерывна на [a, b], то ∃δ > 0 ∀x, y ∈ [a, b] : |x − y| < δ ⇒ ρ(ϕ(x), ϕ(y)) < min 4n
, 4nε
.
Возьмём любое разбиение {βj }nj=0 , a = β0 < β1 < . . . < βn = b, из Bδ , то есть max(βj − βj−1 ) < δ.
j
Пусть ∀i, 0 6 i 6 n, βji — ближайшее слева
к αi , то есть
βji 6 αi < βji +1 . ρ(ϕ(αi−1 ), ϕ(αi )) 6
6 ρ ϕ(αi−1 ), ϕ(βji−1 ) +ρ ϕ(βji−1 ), ϕ(βji ) + ρ ϕ(βij ), ϕ(αi ) . То есть ρ ϕ(βji−1 ), ϕ(βji ) > ρ ϕ(αi−1 ),
|
|
{z
}
{z
}
ε
ε
< 4n
< 4n
ε
ϕ(αi ) − 2n
.
n
n
P
P
Значит,
ρ ϕ(βj−1 ), ϕ(βj ) >
ρ ϕ(αi−1 ), ϕ(αi )) − 2ε . Следовательно, если Var ϕ < +∞, то
j=1
[a,b]
i=1
ST ∈ Bε (Var ϕ), где T = {βj }nj=0 ∈ Bδ .
[a,b]
Аналогично, если Var ϕ = +∞, то ST ∈ Bε (+∞).
[a,b]
2