ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6 Расчет надежности и

ФГБОУ ВПО СГАУ
Кафедра информационных систем и технологий
НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Методические указания к практическим занятиям
для студентов всех форм обучения
Специальность 230201 - Информационные системы и технологии
Ставрополь
2015
СОДЕРЖАНИЕ
ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 1 Определение количественных характеристик
надежности по статистическим данным об отказах изделия .................................................... 3
ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 2 Аналитическое определение количественных
характеристик надёжности изделия ............................................................................................... 7
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3 Расчет надежности системы с постоянным
резервированием .............................................................................................................................. 14
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Резервирование замещением в режиме облегченного
(теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва ...................................... 21
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5 Определение объема и длительности наблюдений при
планировании определительных испытаний на надежность ................................................. 28
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6 Расчет надежности и построение структурной схемы
надежности......................................................................................................................................... 49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................................................. 56
2
ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 1 Определение количественных характеристик
надежности по статистическим данным об отказах изделия
Теоретические сведения
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается
выражением:
(1.1)
,
где n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t; N- число изделий, поставленных
на испытания; Р*(t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия.
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение:
(1.2)
,
где N-n(t)- число изделий, отказавших к моменту времени t; q*(t) - статистическая оценка
вероятности отказа изделия.
Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением:
(1.3)
,
где n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+t); f*(t) - статистическая оценка
частоты отказов изделия; t - интервал врeмени.
Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой
(1.4)
,
где n(t)- число изделий, не отказавших к моменту времени t; n(t) - число отказавших изделий
на участке времени (t, t+t); *(t)- статистическая оценка интенсивности отказов изделия.
Среднее время безотказной работы изделия по статистическим данным оценивается
выражением:
(1.5)
,
где ti - время безотказной работы i- го изделия; N- общее число изделий, поставленных на
испытания; mt* - статистическая оценка среднего времени безотказной работы изделия.
Для определения mt* по формуле (1.5) необходимо знать моменты выхода из строя всех
N изделий. Можно определять mt* из уравнения:
(1.6)
,
где ni - количество вышедших из строя изделий в i- ом интервале времени;
tср.i = (ti-1+ti)/2 ; m=tk/t ; t=ti+1-ti ; ti-1 -время начала i- го интервала; ti- время конца i- го
интервала; tk - время, в течение которого вышли из строя все изделия; t-интервал времени.
Дисперсия времени безотказной работы изделия по статистическим данным
определяется формулой:
(1.7)
,
3
где Dt*- статистическая оценка дисперсии времени безотказной работы изделия.
Решение типовых задач
Задача 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за 3000 час
отказало 80 ламп. Требуется определить P*(t), q*(t) при t = 3000 час.
Решeниe. В данном случае N= 1000; n(t)=1000-80=920; N-n(t)=1000-920=80. По
формулам (1.1) и (1.2) определяем
или
Задача 1.2. На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 час
отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час отказало еще 50 ламп. Требуется
определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов электронных ламп в
промежутке времени 3000 - 4000 час.
Решение. В данном случае N=1000; t=3000 час; t =1000 час; n(t)=50; n(t)=920.
По формулам (1.3) и (1.4) находим
час
1/час
Задача 1.3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час отказало
200 изделий, т.е. n(t) = 400-200=200.За интервал времени (t, t+t) , где t= 100 час, отказало 100
изделий, т.е. n(t)= 100. Требуется определить Р*(3000),
P*(3100), f*(3000), *(3000).
Решение. По формуле (1.1) находим
Используя формулы (1.3) и (1.4), получим:
(1/час)
(1/час)
Задача1.4. На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены следующие
значения ti (ti - время 6езотказной работы i- го изделия): t1 =280 час; t2 = 350 час; t3 =400 час; t4
=320 час; t5 =380 час; t6 =330 час.
Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.
4
Решение. По формуле (1.5) имеем:
час
Задача 1.5. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 7
отказов. Время восстановления составило:
t1 =12мин.; t2=23мин.; t3 =15мин.; t4=9мин.; t5=17мин.; t6=28мин.; t7=25мин.; t8=31мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры
Решение.
.
мин
Задача 1.6. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования
получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в таблицу 1.1. Требуется
определить mе*.
Таблица 1.1
ti,час.
ni
ti,час.
ni
ti,час.
ni
0-5
1
30-35
4
60-65
3
5-10
5
35-40
3
65-70
3
10-15
8
40-45
0
70-75
3
15-20
2
45-50
1
75-80
1
20-25
5
50-55
0
25-30
6
55-60
0
Решение. В данном случае
Используя формулу (1.6), получим:
час
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.7. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4000 час отказало 50
изделий. За интервал времени 4000 - 4100 час отказало ещё 20 изделий. Требуется определить
f*(t),*(t) при t=4000 час.
5
Задача 1.8. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4000 час отказало 50
изделий. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.
Задача 1.9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени 1000 1100 час отказал еще один гироскоп. Требуется определить f*(t), *(t) при t =1000 час.
Задача 1.10. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые
3000 час отказало 80 ламп. За интервал времени 3000 - 4000 час отказало еще 50 ламп.
Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.
Задача 1.11. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=1300 час вышло из
строя 288 штук изделий. За последующий интервал времени 1300-1400 час вышло из строя
еще 13 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=1300час
и t=1400 час; f*(t), *(t) при t =1300 час.
Задача 1.12. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час вышло из строя 35
штук изделий. За последующий интервал времени 60-65 час вышло из строя еще 3 изделия.
Необходимо вычислить p*(t) при t=60час. и t=65 час; f*(t), *(t) при t =60 час.
Задача 1.13. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного
оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные
до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в таблицу 1.2. Необходимо определить mt*.
Таблица 1.2
ti,час.
ni
ti,час.
ni
ti,час.
ni
0-10
19
30-40
3
60-70
1
10-20
13
40-50
0
20-30
8
50-60
1
Задача 1.14. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены следующие
значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):
t1 =560час; t2 =700час; t3 =800час; t4 =650час; t5 =580час;
t6 =760час; t7 =920час; t8 =850час. Определить статистическую оценку среднего времени
безотказной работы изделия.
Задача 1.15. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин; t2 =20мин; t3 =10мин;
t4 =28мин; t5 =22мин; t6 =30мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры
.
Задача 1.16. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=11000 час вышло из
строя 410 изделий. Зв последующий интервал времени 11000-12000 час вышло из строя еще
40 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=11000 час и t=12000 час, а также f*(t), *(t) при
t=11000 час.
6
ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 2 Аналитическое определение количественных
характеристик надёжности изделия
Теоретические сведения
Выпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики
надежности изделия:
(2.1), (2.2), (2.3), (2.4), (2.5)
где p(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t; q(t) вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t; f(t) - частота отказов изделия или
плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т; (t) - интенcивность отказов
изделия; mt - среднее время безотказной работы изделия.
Формулы (2.1) - (2.5) для экспоненциального закона распределения времени
безотказной работы изделия примут вид:
(2.6)
;
;
(2.7)
;
(2.8)
(2.9)
;
(2.10)
.
Формулы (2.1) - (2.5) для нормального закона распределения времени безотказной
работы изделия примут вид:
(2.11)
;
(2.12)
;
7
(2.13)
;
;
(2.14)
,
где Ф(U) - функция Лапласа, обладающая свойствами
Ф(0)=0 ;
(2. 15)
Ф(-U) =-Ф(U) ;
(2.16)
Ф()=0.5 .
(2.17)
Значения функции Лапласа приведены в приложении П.7.13 [1].
Значения функции (U) приведены в приложении П.7.17 [1].
Здесь mt - среднее значение случайной величины Т; t2 - дисперсия случайной величины
Т; Т- время безотказной работы изделия.
Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы
изделия имеют вид:
(2.18)
;
(2.19)
;
(2.20)
;
(2.21)
;
(2.22)
,
где a, k - параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) - гамма-функция, значения которой
приведены в приложении П.7.18 [1].
Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределения Релея времени безотказной работы
изделия имеют вид:
(2.23)
;
(2.24)
;
(2.25)
;
8
(2.26)
;
(2.27)
,
где t - мода распределения случайной величины Т; Т - время безотказной работы изделия.
Решение типовых задач
Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону
распределения с параметром =2.510-5 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t), q(t), f(t), mt
для t=1000час.
Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t), q(t), f(t), mt.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
Используя данные таблицы П.7.14 [1] получим
2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем
q(1000)=1-p(1000)=0.0247
3. Вычислим частоту отказов
;
1/час
4. Вычислим среднее время безотказной работы
час
Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с
параметрами mt =8000 час, t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики
надежности p(t), f(t), (t), mt для t=10000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) для p(t), f(t), (t),mt.
1. Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)=0.5Ф(U) ; U=(t-mt)/t ;
U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413 ;
9
p(10000)=0.5-0.3413=0.1587.
2. Определим частоту отказа f(t)
Введем обозначение:
Тогда:
f(t)=(U)/t ; U=(t-mt)/t
;
f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110-5 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)
(t)=f(t)/p(t);
(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110-5 /0.1587=76.410-5 1/час.
4. Среднее время безотказной работы элемента
mt = 8000 час.
Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m t для
t=1000час, если параметр распределения t=1000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27), (2.26) для p(t), f(t),
mt ,(t).
1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)
2. Определим частоту отказа f(t)
f(t)=tp(t)/t2 ;
f(1000)=10000.606/10002=0.60610-3 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов
10
(t)= t/t 2 ;
(1000)=1000/10002 =10-3 1/час.
4. Определим среднее время безотказной работы изделия
час.
Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с
параметрами k=1.5; a=10-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить
количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),mt.
Решение.
1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18). Имеем:
p(t)=exp(-atk ); p(100)=exp(-10-4 1001.5 ); x=1001.5 ;
lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e-0,1 =0,9048.
2. Определим частоту отказов f(t)
f(t)=aktk-1 p(t);
f(100)=10-4 1,51000,5 0,90481,3510-3 1/час.
3. Определим интенсивность отказов (t)
(t)=f(t)/p(t) ;
(100)=f(100)/p(100)=1,3510-3 /0.90481,510-3 1/час.
4. Определим среднее время безотказной работы изделия mt
.
Так как zГ(z)=Г(z+1), то
;
x=10-2,666 ;lg x=-2,666lg10=-2,666=
; x=0,00215.
11
Используя приложение П.7.18 [1], получим:
m t =0,90167/0,00215=426 час.
Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов
получена в виде
.
Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),mt.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1)
имеем
Вычислим сумму С1+ С2. Так как
, то
.
Тогда
2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по формуле:
.
3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы
(2.5) будем иметь
Задачи для самостоятельного решения.
12
Задача 2.6. Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления
цилиндров автомобильного двигателя в течение 120 час равна 0.9. Предполагается, что
справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность
отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час, а также среднее время
безотказной работы.
Задача 2.7. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления
равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности.
Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час, частоту отказов
для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.
Задача 2.8. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами
mt = 8000 час, t =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности
p(t), f(t), (t), mt для t=8000 час.
Задача 2.9.Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром t=
1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t), (t) для t = 1000 час и среднее время безотказной
работы прибора.
Задача 2.10. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено
закону Вейбулла с параметрами к=2,6 ; а= 1,65*10-7 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), f(t), (t) для t=150 час. и
среднее время безотказной работы шарикоподшипников.
Задача 2.11.Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р
(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить
количественные характеристики надежности f(t), (t), mt.
Задача 2.12. Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час. Время
исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные
характеристики надежности P(t), f(t), (t) для t=1000 час.
Задача 2.13. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота
отказов имеет вид
f(t)=2e-t(1-e-t). Необходимо найти количественные характеристики надежности P(t), (t),
mt .
Задача 2.14. В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что
вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e-t-3e-2t+e-3t.
Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), (t), mt.
Задача 2.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов
прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени
безотказной работы mt=1500 час и среднее квадратическое отклонение t= 100 час.
13
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3 Расчет надежности системы с постоянным
резервированием
Теоретические сведения
При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с
основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы
соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не
отключается.
Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой
(3.1)
где qj(t) - вероятность отказа j - го элемента .
Вероятность безотказной работы системы
(3.2)
где Рj(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента.
Если Рj(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то
(3.3)
При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем
(3.4)
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из
последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на
рис.3.2. [2]. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е.
кратность резервирования равна m.
Определим количественные характеристики надежности системы с общим
резервированием (резервные цепи включены постоянно).
14
Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи
(3.5)
где Рij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Эij.
Вероятность отказа j - ой цепи
(3.6)
Вероятность отказа системы с общим резервированием
(3.7)
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием
(3.8)
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.
Рij(t)=Pi(t) . (3.9)
Тогда
(3.10)
(3.11)
Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.
Pi(t)=e-it
(3.12)
В этом случае формулы (3.10), (3.11) примут вид:
qc(t)=(1-e-0t)m+1,
(3.13)
Pc(t)=1-(1-e-0t)m+1,
(3.14)
15
,
(3.15)
где 0 - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
Частота отказов системы с о6щим резервированием
.
(3.16)
Интенсивность отказов системы с общим резервированием
(3.17)
Среднее время безотказной работы резервированной системы:
,
(3.18)
где Т0 = 1/0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
Решение типовых задач
Задача 3.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время
безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив
экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы
равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также
частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов с(t) в момент времени t = 50 час в следующих
случаях:
а) нерезервированной системы,
б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
Решение.
а)
,
где с - интенсивность отказов системы; i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10
i=1/mti
= 1/1000=0,001; i = 1, 2, . . .,n ; =i;
c=n=0,001*10=0,01
1/час;
16
mtc=1/c=100 час;
fc(t)=c(t) Pc(t);
c(50)=c;
Pc(t)=e-ct;
fc(50)=ce-ct=0,01*e-0,01*506*10-3 1/час;
c(50)=0,01
б)
1/час.
час;
; m=1 ;
; 0 =c =0.01 1/час;
;
;
;
fc(50)4.810-3 1/час; c(50)5.710-3 1/час.
Задача 3.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления.
Интенсивность отказов канала =10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы
системы Рс(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t),
интенсивность отказов с(t) системы.
Решение. В данном случае n=1; i= ; 0=n=;m=1. По формуле (3.14) имеем
Рс(t)=1-(1-e-t)2;
Рс(10)=1-(1-e-0,1)2 .
Из приложения П.7.14 [1] получим:
e-0,1=0,9048 .
Тогда
Рc(10)=1-(1-0,9048)2 =1-0,095221-0,01=0,99 .
Определим mtс. Из формулы (3.4) имеем:
час.
Определим частоту отказов fc(t). Получим:
17
Определим интенсивность отказов с(t). Имеем:
3адача 3.3. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для
повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов.
Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной
работы системы Рс(t) = 0,9 при t =10 час, необходимо рассчитать среднюю интенсивность
отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и
равнонадежных элементах равна:
Pc(t)=1-(1-e-nt)2
или
Pc(t)=1-[1-Pn(t)]2,
где
-t
P(t)=e .
Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.
Так как должно быть
1-[1-Pn(t)]20,9,
то
.
Разложив
малости, получим:
по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка
Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим:
1-t1-6,32*10-5
или
(6,32*10-5)/t=(6,32*10-5)/10=6,32*10-6 1/час.
Задачи для самостоятельного решения
18
3адача 3.4. Приемник состоит из трех блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности
отказов этих блоков соответственно равны: 1= 4*10-4 1/час; 2= 2,5*10-4 1/час; 3= 3*10-4 1/час.
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для
следующих случаев:
а) резерв отсутствует;
б) имеется общее дублирование приемника в целом.
Задача 3.5. Для изображенной на рис.4.3. [2] логической схемы системы определить
Pc(t), mtc, fc(t), c(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.
Задача 3.6. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов (n = 3)
применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов
каскада равна =5*10-4 1/час. Определить Pc(t), mtc, fc(t), c(t) радиопередатчика с дублированием.
Задача 3. 7. Для изображенной на рис.4.4. [2] логической схемы системы определить
интенсивность отказов с(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.
Задача 3.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I, II, III.
Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: 1, 2, 3. Требуется определить
вероятность безотказной работы аппаратуры Pc(t) для следующих случаев:
а) резерв отсутствует;
б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.
Задача 3.9.Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. [2]. Предполагается,
что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивности
отказов элементов имеют значения: 1= 0,3*10-3 1/час; 2= 0,7*10-3 1/час. Требуется найти
вероятность безотказной работы изделия в течение времени t = 100 чаc, среднее время
безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100
час.
Задача 3.10. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика,
применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов
-3
1/час, пр=1*10-3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6.
п=2*10
Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р c(t), среднее время
безотказной работы mtс, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов с(t).
Задача 3.11. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. [2].
Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия.
Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов
имеют значения 1, 2.
Задача 3.12. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов.
Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t = 100 час.
Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая
элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной
вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих
случаях: а) резервирование отсутствует; б) применено общее ду6лирование.
Задача 3.13. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность
безотказной ра6оты устройства Рy(ti) в течение (0, ti) должна быть не менее 0,9. Определить,
какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение (0, ti ).
19
для случаев:
а) резерв отсутствует;
б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в
целом;
в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.
Задача 3.14. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и
характеризующихся соответственно интенсивностями отказов 1=120,54*10-6 1/час и
-6
2=185,66*10 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всей
системы (блока 1 и 2) (см. рис.4.8) [2]. Требуется определить вероятность безотказной работы
Рс (t) вычислителя, среднее время безотказной работы mtс, частоту отказов fc(t) и
интенсивность отказов с(t) вычислителя. Определить Рс(t) при t = 20 час.
20
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Резервирование замещением в режиме облегченного
(теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва
Теоретические сведения
В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их
включения в работу. Надежность резервного элемента в этом случае выше надежности
основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента
их включения в работу.
Вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием
определяется соотношением:
(4.1)
где
(4.2)
Здесь 1 - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента
включения его в работу; 0 - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы; m кратность резервирования или количество резервных элементов.
Вероятность безотказной
работы системы с облегченным резервированием определяется формулой:
(4.3)
Определим среднее
резервированием. Имеем:
время
безотказной
работы
системы
с
(4.4)
где
(4.5)
Определим частоту отказов fc(t) системы с облегченным резервированием.
Имеем:
(4.6)
21
облегченным
Определим интенсивность отказов с(t) системы с облегченным резервированием.
Получим:
(4.7)
При 1 =0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа
резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением
(4.8)
Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется
формулой:
(4.9)
Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом.
Имеем:
(4.10)
Определим частоту отказов fc(t) системы с ненагруженным резервом.
Имеем:
(4.11)
Определим интенсивность отказов с(t) системы с ненагруженным резервом.
Получим:
(4. 12)
Решение типовых задач
22
Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время
безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив
экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы
равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Рс(t), среднее
время безотказной работы системы mtс, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов с
(t)
в момент времени t = 50 час в следующих случаях:
а) нерезервированной системы,
б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный
резерв).
Решение:
а)
где с - интенсивность отказов системы, i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,
1/час,
час ; pc(t)=
;
fc(t)=c(t)pc(t) ; c(50)=c;
-0.0150610-3
=0.01e
fc(50)=c
c(50)=0.01
б) mtc=
mtc=
1/час,
1/час.
; m=1;
=200 час
Определяем Рc(t) по формуле:
23
Так как 0=с , то
Pc(t)=e-сt(1+ct) .
Определяем fc(t). Имеем:
Определяем c (t). Получим:
c(t)=
Определяем Pc(50), fc(50), c(50). Имеем:
pc(50)=e-0.0150(1+0.0150)=e-0.51.5=0.60651.50.91,
fc(50)=0.01250e-0.0150=0.010.5e-0.5310-3 1/час,
1/час.
c(50)=
Задача 4.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов 0=0,4*10-3 1/час. Его
дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме
ожидания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов
передатчика
-3
1= 0,06*10 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей системы
в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы m tс, частоту отказов
fc(t) и интенсивность отказов с(t).
Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя
формулу (4.З), получим:
;
;
.
Тогда
(4.13)
24
Из (4.13) имеем:
0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]0.998 .
Определим mtс по формуле (4.4.). Получим:
=
4668 час .
Определим fc(t). Имеем:
=
Перепишем (4.13) в виде:
Определим с(t). Получим:
Задача 4.3. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в
переменный в течение времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения
надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь,
который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва). Требуется
рассчитать вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы системы,
25
состоящей из двух преобразователей, а также определить частоту отказов fc(t) и
интенсивность отказов с(t) системы.
Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя
формулу (4.9), получим:
(4.14)
Так как для отдельного преобразователя имеет место экспоненциальный закон
надежности, то:
,
(4.15)
где Р(t)- вероятность безотказной работы преобразователя;
преобразователя в состоянии работы.
0
- интенсивность отказов
Из (4.15) имеем:
P(1000)=e-o1000 =0,95 .
Из приложения П.7.14 [1] получим:
0*1000=0,051,
откуда
-4
0=0,051/10000,5*10
1/час.
Тогда из (4.14) имеем:
Pc(1000)=0,95(1+0,05)=0,9975 .
Определим mtc по формуле (4.10). Получим:
mtc = (m+1)/0=2/0=2/(0,5*10-4) = 40000 час
Отметим, что среднее время безотказной работы нерезервированного преобразователя
равно
mtc =1/0=20000 час.
Определим частоту отказов fc(t) по формуле (4.11). Имеем:
Определим с(t). Получим:
26
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 4.4. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее
надежности конструктор предложил дублирование системы по способу замещения с
ненагруженным состоянием резерва (рис.5.1) [2]. Интенсивность отказов элемента равна.
Требуется определить вероятность безотказной работы системы P c(t), среднее время
безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов с(t).
Задача 4.5. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.5.2. [2]. Необходимо
определить вероятность безотказной работы Pc(t), частоту отказов fc(t) , интенсивность отказов
с(t) изделия. Найти с(t) при t = 0.
Задача 4.6. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.3 [2], где А, Б, В, Г блоки системы. Определить вероятность безотказной работы Pc(t) системы.
Задача 4.7. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.4. [2]. Определить
вероятность безотказной работы Pc(t) системы.
Задача 4.8. Передающее устройство состоит из одного работающего передатчика
(=8*10-3 1/час) и одного передатчика в облегченном резерве (0 = 8*10-4 1/час). Требуется
определить вероятность безотказной работы устройства Pc(t), среднее время безотказной
работы устройства mtc. Определить Pc(t) при t = 20 час.
Задача 4.9. В радиопередающем канале связной системы используется основной
передатчик П1, два передатчика П2 и П3, находящиеся в ненагруженном резерве.
Интенсивность отказов основного работающего передатчика равна 0=10-3 1/час. С момента
отказа передатчика П1 в работу включается П2, после отказа передатчика П2 включается П3.
При включении резервного передатчика в работу его интенсивность отказов становится
равной 0.. Считая переключатель абсолютно надежным, определить вероятность безотказной
работы Pc(t) радиопередающего канала, среднее время безотказной работы mtc канала.
Определить также Pc(t) при t=100 час.
Задача 4.10. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из двух
логических блоков. Среднее время безотказной работы этих блоков одинаково и для каждого
из них равно mt= 200 час. Требуется определить среднее время безотказной работы устройства
mtc для двух случаев: а) имеется ненагруженный резерв всего устройства; б) имеется
ненагруженный резерв каждого блока.
27
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5 Определение объема и длительности наблюдений при
планировании определительных испытаний на надежность
Цель занятия: Определить объем и длительность наблюдений при планировании
определенных испытаний на надежность
Теоретические сведения
а) Определительные испытания
Результатом определительных испытаний на надежность являются количественные
значения показателей надежности объектов, установленные с заданной точностью и (или)
достоверностью.
Определительные испытания классифицируют по следующим признакам:
1. По характеру оценок показателей надежности.
2. По исходным данным.
3. По планам испытаний.
План испытаний - правила, устанавливающие объем выборки, порядок проведения
испытаний и критерии их прекращения.
Планы испытаний имеют условные буквенные обозначения:
Расшифровка признаков восстанавливаемости объекта испытаний:
U - объекты невосстанавливаемые и незаменяемые в случае отказа;
R - невосстанавливаемые, но заменяемые в случае отказа новыми идентичными
отказавшим экземплярами объекты;
M - восстанавливаемые в случае отказа объекты.
Расшифровка признаков окончания испытания:
28
T - устанавливается время или наработка;
TS - устанавливается суммарная наработка всех объектов;
N - до отказа всех испытываемых объектов;
r - устанавливается число отказавших объектов;
(r, T) - испытание прекращается при числе отказавших объектов r или по достижении
наработки T каждого работоспособного объекта, независимо от того, какое условие
выполнено раньше;
(r, TS ) - испытание прекращается при числе отказавших объектов r или по достижении
суммарной наработки всех испытываемых объектов TS , независимо от того, какое условие
выполнено раньше;
(r1, n1), (r2, n2) … (rk-1, nk-1), rk - после r1 отказов снимают n1 работоспособных объектов и
т. д. до достижения rk отказов;
(T1, n1), (T2, n2) … (Tk-1, nk-1), Tk - после достижения наработки T1 снимают n1
работоспособных объектов и т.д. до достижения наработки Tk;
z - каждый объект испытывают в течение наработки zi=min(ti,ti) i=1,2…N,
где ti - наработка до отказа i -го объекта; t
работоспособного i -го объекта;
i
- наработка до снятия с испытаний
S - принятие решения при последовательных контрольных испытаниях.
Возможно 17 вариантов планов испытаний на надежность:
[N U T], [N U r], [N U N], [N U (r, T)], [N R T], [N R r], [N R (r, T)], [N M T], [NMTS], [N
M r], [N M (r, TS )], [N U (r1, n1), (r2, n2) : (rk-1, nk-1), rk], [NU (T1, n1), (T2, n2) : (Tk-1, nk-1), Tk],
[NUz], [NUS], [NRS], [NMS].
Для определительных испытаний наиболее употребимыми являются планы [NU T], [N
U r], [N U N], [N R T], [N R r].
При планировании определительных испытаний определяют объем наблюдений и
длительность испытаний. При этом задаются показатели достоверности результатов
(доверительная вероятность) и их точность (предельная величина относительной погрешности
оценки исследуемого показателя надежности).
Методы планирования разработаны для каждого из планов.
План [N U N]. Для определения объема наблюдений (объема выборки N) при оценке
средних показателей надежности (средняя наработка до отказа, средний ресурс и т.п.)
считаются известными следующие исходные данные:
- относительная ошибка оценки соответствующего показателя надежности δ;
29
- односторонняя доверительная вероятность оценки β;
- предполагаемый коэффициент вариации
;
- вид закона распределения исследуемой случайной величины (наработка до отказа,
ресурс, срок службы и т.п.).
Относительная ошибка δ представляет собой меру точности оценки показателя
надежности и составляет
,
где P - оценка показателя надежности; P * - односторонняя доверительная граница показателя
надежности (наиболее далеко отстоящая от P).
Относительную ошибку δ выбирают из ряда: 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; одностороннюю
доверительную вероятность β - из ряда: 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.
Минимальный объем наблюдений N для оценки средних показателей надежности
определяется:
а) для экспоненциального закона распределения с плотностью f(x) = e-λt из выражения
,
(1)
Где
- квантиль распределения хи-квадрат с 2N степенями свободы, соответствующая
вероятности 1 - β .
Это трансцендентное уравнение, допускающее только численные решения, которые
табулированы (табл. 1 при V = 1).
Таблица 1.Объем наблюдений для распределения Вейбулла и экспоненциального
распределения (при V = 1)
δ
0,05
β
N для плана [N U N] при распределении Вейбулла при V, равном
0,4
0,5
0,6
0,8
1
1,2
1,5
1,8
2
3
0,80
50
65
100
200
315
500
650
800
1000
-
0,90
100
200
250
500
650
1000
-
-
-
-
0,95
150
250
400
650
1000
-
-
-
-
-
0,99
315
500
800
1000
-
-
-
-
-
-
30
0,10
0,15
0,20
0,80
13
25
32
50
100
150
200
250
315
400
0,90
32
50
65
125
200
315
400
500
500
1000
0,95
50
80
100
200
400
650
800
800
800
1000
0,99
100
150
200
400
650
800
1000
-
-
-
0,80
6
10
15
25
40
80
80
125
125
200
0,90
15
25
32
65
80
150
200
250
315
500
0,95
25
40
50
100
150
200
315
400
500
800
0,99
40
65
100
200
315
500
800
1000
-
-
0,80
5
8
10
20
25
40
50
65
80
125
0,90
10
15
20
40
50
80
125
150
200
315
0,95
15
25
32
50
100
150
200
250
250
400
0,99
25
40
65
125
150
250
315
400
500
1000
Прогнозируемая продолжительность испытаний t может быть определена из
выражения
,
где T - ожидаемая средняя наработка до отказа; Q(t) - минимальная вероятность отказа
объекта за время испытаний.
;
б) для распределения Вейбулла с плотностью
из выражения
.
31
(2)
Решения уравнения (2) приведены в табл. 1.
в) для нормального распределения с плотностью
из выражения
,
где tβ,N-1 - квантиль распределения
соответствующая вероятности β .
(3)
Стьюдента
с
N-1
степенями
свободы,
Решения уравнения (3) табулированы и для определения N можно воспользоваться
табл. 2.
Таблица 2.Объем наблюдений для нормального распределения
δ
β
N для плана [N U N] при нормальном
распределении при V, равном
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,05
0,80
0,90
0,95
0,99
4
8
13
25
6
15
25
50
13
25
40
100
20
40
65
150
25
65
100
200
0,10
0,80
0,90
0,95
0,99
3
5
8
3
5
8
15
5
8
13
25
8
13
20
32
10
15
25
50
0,15
0,80
0,90
0,95
0,99
3
5
3
5
8
3
4
6
13
4
6
10
15
5
8
13
25
0,20
0,80
0,90
0,95
0,99
4
4
6
4
5
8
5
6
10
3
6
8
15
Следует отметить, что испытания по плану [N U N] требуют значительного времени
(особенно при экспоненциальном законе распределения) и количества изделий.
32
План [N U r]. Число объектов наблюдений N для оценки g -процентных показателей
надежности (или вероятности безотказной работы P(t)) определяется из выражения
,
(4)
где Fβ (m1, m2) - квантиль распределения Фишера с m1 и m2 степенями свободы,
соответствующая вероятности β; m1=2(r+1); m2=2(N-r).
Для нахождения N необходимы следующие исходные данные:
- односторонняя доверительная вероятность β;
- регламентированная вероятность g (или предполагаемое значение P(t));
- установленное число отказов (или предельных состояний) r.
Решения уравнения (4) табулированы и приведены в табл. 3.
Таблица 3.Объем наблюдений для плана [N U r]
N для плана [N U r] при оценке g -процентных показателей
надежности при r, равном
g
или
β
0
1
2
3
4
5
6
8
10
20
40
50
0,80 0,80 8
8
13
20
25
32
40
50
65
125 200 -
0,90 10 10 15
25
32
40
40
50
65
125 -
-
0,95 13 13 20
32
40
40
50
65
80
125 -
-
0,99 20 20 25
32
40
50
50
65
80
150
-
0,90 0,80 15 15 32
40
50
65
80
100 125 200 -
-
0,90 20 20 32
50
65
80
80
100 150 200 -
-
0,95 20 25 40
50
65
80
100 125 150 -
-
-
0,99 32 32 50
80
80
100 125 125 150 -
-
-
0,95 0,80 32 32 50
80
100 125 150 150 200 -
-
-
P(t)
0,90 50 50 65
100 100 125 150 200 -
-
-
-
0,95 50 65 80
125 150 200 -
-
-
-
-
-
0,99 65 65 100 150 150 200 -
-
-
-
-
-
33
Примечание. Прочерк означает, что испытанию подлежит вся партия изделий.
Если по результатам наблюдений за N объектами получено значение вероятности
безотказной работы больше заданного, то число отказов (предельных состояний) r
пересчитывают по табл. 3 для найденного значения Р(t) и наблюдения продолжают.
План [N U T]. Число объектов наблюдений N для оценки средних показателей
надежности при нормальном распределении может быть определено по табл. 4 при
следующих исходных данных:
- относительная ошибка δ;
- односторонняя доверительная вероятность β;
- предполагаемый коэффициент вариации V;
- предполагаемая величина
- отношение продолжительности наблюдения к
оцениваемому среднему значению исследуемого показателя надежности.
Если по результатам наблюдений за N объектами получено значение k меньше
заданного, то число N пересчитывают для найденного значения k и наблюдения продолжают.
Данные табл. 4 могут быть также использованы для определения продолжительности
наблюдения Т при заданном числе объектов наблюдений N. При этом исходными данными
являются:
- относительная ошибка δ;
- односторонняя доверительная вероятность β;
- предполагаемый коэффициент вариации V;
- число объектов наблюдения N;
- предполагаемое среднее значение исследуемого показателя надежности tср.
Продолжительность наблюдений T вычисляют по формуле T=k tср, где величину k
определяют по табл. 4.
Таблица 4.Объем наблюдений для плана [N U T] при нормальном распределении
N для плана [N U T] при нормальном распределении
k
V
δ = 0,05
δ = 0,1
δ = 0,15
δ = 0,2
β
β
β
β
34
0,90
0,95 0,99 0,90 0,95 0,99
0,90 0,95 0,99 0,90 0,95 0,99
0,1 -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,6 0,2 -
-
-
-
-
-
100
-
-
500
800
-
0,3 1000 -
-
315
500
1000 125
250
500
80
125
500
0,1 -
-
-
315
500
1000 125
200
400
80
125
250
0,8 0,2 250
400
800
65
100
200
25
40
100
15
25
50
0,3 250
400
800
65
100
200
32
50
100
15
25
50
0,1 65
100
200
15
25
50
-
10
20
-
-
13
0,9 0,2 80
125
250
20
32
65
-
15
32
-
-
20
250
500
40
65
125
15
25
50
-
13
32
0,3 150
Примечание. Прочерк означает, что испытанию подлежит вся партия изделий.
b) Контрольные испытания
Контрольные испытания - испытания, проводимые для контроля качества объекта.
По результатам контрольных испытаний устанавливают соответствие между фактическими
показателями надежности контролируемого объекта (партии объектов) и нормативными
показателями надежности и принимается решение о приемке или браковке.
План контрольных испытаний задан, если установлены:
- количество испытуемых образцов (объем наблюдений);
- стратегия проведения испытаний (с восстановлением и (или) заменой отказавших
изделий, без восстановления и (или) замены отказавших изделий);
- правила прекращения испытаний и принятия решения о соответствии или
несоответствии изделий заданным требованиям по уровню надежности.
Контрольные испытания на надежность классифицируют по следующим признакам:
1. В зависимости от способа получения исходных данных методы контроля
показателей надежности подразделяют на расчетные, экспериментальные и расчетноэкспериментальные.
35
2. По методу контроля различают:
- испытания, основанные на одноступенчатом методе контроля (решение о
соответствии или несоответствии уровня надежности партии изделий принимается по
результатам испытаний заранее определенного числа изделий или заданной наработки, т.е. на
основании обработки заранее запланированного объема информации);
- испытания, основанные на последовательном методе контроля (объем наблюдений,
необходимых для принятия решения о соответствии и несоответствии, не может быть заранее
установлен и является случайной величиной);
- испытания, основанные на комбинированном методе контроля, представляющем
собой сочетание одноступенчатого и последовательного методов.
Одноступенчатым методом целесообразно пользоваться при жестком ограничении
времени, отводимого на испытания; последовательным методом - при ограничении количества
объектов испытаний. Особенно эффективно использование последовательного метода при
контроле восстанавливаемых объектов.
3. По виду контролируемого показателя надежности планы контроля разделяются на
два типа:
- планы контроля показателя типа Р - вероятность (вероятность безотказной работы,
вероятность восстановления, коэффициент готовности и т. п.); при контроле показателя типа Р
знание закона распределения наработки не обязательно;
- планы контроля показателя типа Т - наработка (наработка до отказа, ресурс, срок
службы, срок хранения и т.п.); при контроле показателя типа Т знание закона (включая
параметры) распределения контролируемого показателя обязательно.
В основе построения планов испытаний лежит процедура проверки статистических
гипотез при одноступенчатом анализе (рис. 1).
36
Исходными данными при выборе планов контроля являются:
α - риск поставщика (вероятность ошибки 1-го рода), т.е. вероятность того, что при
испытаниях бракуется партия годных (имеющих приемочный уровень надежности) изделий;
β - риск потребителя (вероятность ошибки 2-го рода), т.е. вероятность того, что при
испытаниях будет принята партия негодных (имеющих браковочный уровень надежности)
изделий;
Рα(t) или Тα - приемочное значение контролируемого показателя;
Рβ(t) или Тβ - браковочное значение контролируемого показателя;
fα и fβ - функции плотности распределения контролируемого показателя надежности
для изделий, имеющих приемочный (гипотеза Н0 верна) и браковочный (гипотеза Н1 верна)
уровни надежности, соответственно.
Значения Рβ(t) (или Тβ) должны соответствовать минимальным значениям показателя
надежности, заданным в стандартах или ТУ на изделие. В этом случае величины α, Р α(t) (или
Тα) могут быть в одностороннем порядке установлены разработчиком и изготовителем без
согласования с заказчиком. Величина разрешающего коэффициента Δ = T α /Tβ может
составлять 1,5  5,0.
При планировании контрольных испытаний с использованием одноступенчатого
метода контроля определяется объем наблюдений и критическое значение контролируемого
показателя Тк (или Рк), определяемое соотношением между α и β и выражаемое предельным
числом отрицательных исходов испытания или суммарной наработкой испытуемых изделий.
Планы контроля типа Р.Для построения плана контроля необходимо определить
количество независимых наблюдений N и приемочное число отрицательных исходов с αиз
системы двух уравнений:
37
;
(5)
.
(6)
Уравнение (5) составлено на основе того, что в выборке объема N из партии годных
изделий число отрицательных исходов испытаний не превысит сαс вероятностью (1 - α).
Аналогично, уравнение (6) есть математическая формулировка условия, заключающегося в
том, что в выборке объема N из партии негодных изделий число отрицательных исходов
испытаний не превысит сα с вероятностью β .
Решения системы уравнений (5)-(6) приведены в табл.5.
Контроль осуществляется следующим образом: организуется N независимых
наблюдений, продолжительность которых равна наработке t, для которой задана вероятность,
и в каждом наблюдении фиксируют результат: положительный или отрицательный исход.
После N-го наблюдения результаты испытаний положительны (гипотеза Н0
принимается), если r < cα , и отрицательны, если r > cα (r - наблюдаемое число отрицательных
исходов). Испытания могут быть прекращены раньше (с отрицательным исходом) после того,
как r превысит cα .
Верхняя доверительная граница для показателя типа Р при отрицательном исходе
испытания с вероятностью (1 - α) не больше приемочного значения Рα. Нижняя доверительная
граница для показателя типа Р при положительном исходе испытания с вероятностью (1 - β) не
меньше браковочного значения Рβ .
Таблица 5. Планирование одноступенчатого контроля показателя типа Р (α =β
=0,05)
Pβ(t)
cα
N
Pα(t)
Pα(t)
38
Pβ(t)
cα
N
0,988 0,996 22 7843 0,950 0,910 31
463
0,995 12 3886
0,900 22
312
0,994 8
2402
0,890 17
230
0,993 6
1688
0,880 14
180
0,992 5
1312
0,870 11
138
0,991 4
1015
0,860 10
120
0,990 4
913
0,850 8
93
0,980 2
313
0,800 5
50
0,970 1
157
0,750 4
35
0,960 1
117
0,650 6
31
0,995 0,990 22 3135
0,600 5
24
0,980 5
523
0,550 4
18
0,970 3
256
0,500 3
13
0,960 2
156
0,400 2
8
0,950 2
124
0,300 1
5
0,940 1
78
0,930 1
66
0,990 0,980 22 1566 0,880 0,800 38
245
0,970 8
480
0,750 20
114
0,960 5
261
0,700 11
57
0,950 4
182
0,650 8
38
0,940 3
128
0,600 6
27
0,930 2
88
0,550 5
20
0,920 2
77
0,500 4
15
39
0,910 2
69
0,400 4
16
0,900 2
61
0,300 2
6
0,890 1
42
0,880 1
38
0,980 0,960 22 783
0,850 0,750 40
203
0,950 12 386
0,700 21
97
0,940 8
238
0,650 13
55
0,930 6
167
0,600 9
36
0,920 5
129
0,550 7
26
0,910 4
100
0,500 6
21
0,900 4
89
0,400 4
13
0,890 3
69
0,300 3
9
0,880 3
63
0,800 0,650 32
0,870 3
58
0,600 20
68
0,860 2
43
0,550 14
45
0,850 2
40
0,500 10
30
0,800 1
22
0,400 6
17
0,750 1
17
0,300 4
10
118
Планы контроля типа Т.Эти планы контроля строятся в зависимости от вида
функции распределения соответствующей контролируемой случайной величины (времени или
наработки).
При экспоненциальном распределении предельное число отрицательных исходов rпр и
предельная суммарная наработка определяются из уравнений:
;
40
(7)
.
(8)
Рассчитанные по этим выражениям планы контроля приведены в табл. 6.
Таблица 6. Планирование одноступенчатого контроля показателя типа Т при
экспоненциальном распределении
при β , равном
α
0,05
0,10
rпр
0,05
0,10
0,20
58,820
45,450
31,250
1
0,052
13,330
10,990
8,403
2
0,356
7,692
6,493
5,235
3
0,817
5,682
4,878
4,032
4
1,366
4,651
4,065
3,413
5
1,970
3,350
2,958
2,570
8
3,981
2,898
2,618
2,309
10
5,425
2,631
2,396
2,137
12
6,944
2,445
2,242
2,012
14
8,464
2,369
2,178
1,961
15
9,246
2,096
1,961
1,779
20
13,200
1,942
1,815
1,669
25
17,300
1,835
1,721
1,597
30
21,500
28,570
21,740
15,380
1
0,105
8,928
7,299
5,650
2
0,532
5,714
4,831
3,891
3
1,102
4,444
3,831
3,164
4
1,745
3,769
3,289
2,762
5
2,432
41
0,20
2,525
2,283
2,012
10
6,221
2,127
1,953
1,760
15
10,300
1,915
1,792
1,626
20
14,520
1,792
1,672
1,538
25
18,840
1,706
1,602
1,486
30
23,230
13,510
10,310
7,246
1
0,223
5,747
4,717
3,636
2
0,824
4,098
3,472
2,785
3
1,535
3,378
2,907
2,404
4
2,297
2,967
2,590
2,174
5
3,089
2,155
1,949
1,718
10
7,289
1,872
1,724
1,553
15
11,680
1,780
1,608
1,460
20
16,170
1,628
1,520
1,398
25
20,720
1,565
1,468
1,362
30
25,320
Испытания прекращаются, как только будет достигнута одна из этих величин.
При испытаниях без восстановления или замены отказавших изделий новыми объем
выборки должен быть не менее предельного числа отрицательных исходов rпр.
При испытаниях с восстановлением или заменой объем выборки может быть любым.
Допускается
уменьшение
(увеличение)
продолжительности
испытаний
при
пропорциональном увеличении (уменьшении) количества испытуемых образцов с
единственным условием: обеспечить требуемую суммарную наработку t mαx.
Если продолжительность испытаний tи задана, все образцы работают одновременно, а
отказавшие заменяются (или полностью восстанавливаются), то необходимое количество
образцов (объем выборки) определяется по формуле
.
42
(9)
Если отказавшие изделия не заменяются и не восстанавливаются, количество образцов
для достижения той же суммарной наработки при той же общей продолжительности
испытаний следует увеличить до
.
(10)
В ходе испытаний определяется суммарная наработка t∑:
при испытаниях без восстановления или замены
,
(11)
где r - текущее число отказов, соответствующее наработке t каждого работоспособного
изделия, отсчитанной от начала испытаний; tj - наработка j-го из r отказавших изделий,
отсчитанная от начала испытаний;
- при испытаниях с восстановлением или заменой
,
(12)
где ti - суммарная наработка i -го изделия за время испытаний.
Если первым достигается предельное число отрицательных исходов rпр (суммарная
наработка t∑<tmαx), то результаты испытаний отрицательны; если достигается суммарная
наработка t∑ =tmαx, а количество отрицательных исходов, соответствующих этой наработке,
r<rпр - результаты положительны.
Верхняя доверительная граница для показателя типа Т у изделий, признанных в
соответствие с результатами контроля по плану, выбранному по табл. 6, несоответствующими
заданным требованиям, с доверительной вероятностью 1 - α не больше приемочного значения
Тα. Нижняя доверительная граница для показателя типа Т у изделий, признанных по
результатам контроля с помощью тех же планов соответствующими заданным требованиям, с
доверительной вероятностью 1 - β не меньше браковочного значения Тβ.
Испытания при последовательном методе контроля
В основе построения планов испытаний лежит процедура проверки статистических
гипотез при последовательном анализе (рис. 2).
43
Построение планов последовательного контроля и процедура принятия решений при
последовательном анализе основаны на вычислении отношения правдоподобия (статистики
Вальда)
,
где Р1 - вероятность получения выборочных значений при условии, что верна гипотеза
Н1 (несоответствие изделий заданным требованиям надежности); Р0 - вероятность получения
выборочных значений при условии, что верна гипотеза Н0 (соответствие изделий заданным
требованиям надежности).
Порядок принятия решений при последовательном анализе:
1) если
- принять гипотезу Н0 (изделия признаются годными);
2) если
- принять гипотезу Н1 (изделия бракуются);
3) если
- продолжить испытания (количество полученной при испытаниях информации
недостаточно для вынесения решения о соответствии или несоответствии изделий
требованиям надежности по контролируемому показателю).
Рассмотрим построение плана последовательного контроля (рис.7.3) показателя
надежности типа Т (наработка) для случая, когда наработка до отказа распределена по
экспоненциальному закону. Предусмотрены также планы контрольных испытаний для
44
нормального и логарифмически нормального распределений наработки, распределения
Вейбулла и др.
Для случая экспоненциального распределения наработки до отказа функции плотности
распределения описываются формулами:
- для группы изделий, соответствующих установленным требованиям по надежности
(верна гипотеза Н0)
;
(13)
- для группы изделий, не соответствующих установленным требованиям по надежности
(верна гипотеза Н1)
.
(14)
Вероятность появления r отказов в течение суммарной наработки t∑ может быть
подсчитана по формуле распределения Пуассона:
,
где Т - средняя наработка до отказа (на отказ - для восстанавливаемых объектов).
45
(15)
Вероятность получения r отказов при условии, что верна гипотеза Н1 (несоответствие
изделий заданным требованиям надежности):
.
(16)
Вероятность получения r отказов при условии, что верна гипотеза Н 0 (соответствие
изделий заданным требованиям надежности):
.
(17)
Отношение правдоподобия
.
(18)
Условие приемки дает
.
(19)
Логарифмируя (19), получаем
,
откуда после преобразований получаем условие соответствия:
.
(20)
Замена знака ≤ на = в неравенстве (20) дает уравнение линии соответствия 2 на плане
последовательного контроля (см. рис. 3).
Условие браковки дает
46
.
(21)
Логарифмируя (21), после преобразований получаем условие несоответствия:
.
(22)
Заменой знака ≥ на = в неравенстве (22) можно получить уравнение линии
несоответствия 1 на плане последовательного контроля.
Усечение плана осуществляется по одноступенчатому методу. Уравнение линии
усечения 4 на плане последовательного контроля:
.
(23)
Уравнение дополнительной линии соответствия 2' на плане последовательного
контроля:
.
(24)
Уравнение дополнительной линии несоответствия 1' на плане последовательного
контроля:
.
(25)
При испытаниях без восстановления или замены отказавших изделий минимальный
объем выборки Nmin = rус. При испытаниях с восстановлением или заменой объем выборки
может быть любым.
При наличии отрицательных исходов графиком последовательных испытаний является
ступенчатая линия 3 (см. рис. 3), сумма отрезков которой, параллельных оси tS / Tα , равна
отношению суммарной наработки испытываемых образцов в момент времени t испытаний к
значению Tα, а сумма отрезков, параллельных оси r, равна числу отрицательных исходов
(отказов) к моменту t.
При отсутствии отрицательных исходов графиком последовательных испытаний
является прямая линия с началом в начале координат, совпадающая с осью t∑/Tα . При этом
суммарная наработка испытываемых образцов в момент времени t испытаний составит t ∑ = Nt.
47
При испытаниях с восстановлением или заменой суммарная наработка в момент
времени t испытаний составит
,
где tj - длительность восстановления работоспособности j-го из r отказавших образцов
изделия или длительность замены j-го из отказавших образцов.
При испытаниях без восстановления или замены суммарная наработка в момент
времени t испытаний может быть подсчитана по формуле (11).
Результаты испытания положительны, если график испытаний достигает линии
соответствия (ступенчатая ломаная линия 3 на рис. 3), и отрицательны, если график достигает
линии несоответствия. Если конечная точка графика испытаний находится в области
неопределенности между линиями соответствия и несоответствия, то испытания должны быть
продолжены (количество полученной при испытаниях информации недостаточно для
вынесения решения о соответствии или несоответствии изделий требованиям надежности по
контролируемому показателю).
Задание к практической работе
Задача 1. Для плана [N U N] определить число объектов наблюдений, чтобы с
односторонней доверительной вероятностью β = 0,90 относительная ошибка δ в определении
среднего ресурса не превышала 0,10. Ресурс распределен нормально с коэффициентом
вариации V = 0,2.
Задача 2. Для плана [N U r] определить число объектов наблюдений N, чтобы с
односторонней доверительной вероятностью β = 0,80 определить 90%-ный ресурс объектов.
Установленное число предельных состояний r = 5.
Задача 3. Для плана [N U T] определить продолжительность наблюдений Т за 25
объектами, чтобы с односторонней доверительной вероятностью β = 0,95 относительная
ошибка δ в определении средней наработки до отказа не превышала 0,15. Наработка до отказа
распределена нормально с коэффициентом вариации V = 0,3; предположительно средняя
наработка до отказа tср = 400 ч.
Задача 4. Для контроля надежности партии невосстанавливаемых изделий заданы два
уровня вероятности безотказной работы, соответствующие наработке t=20 ч: приемочный
уровень Рα =0,98 и браковочный уровень Рβ =0,96, а также риски α =β =0,05. Определить план
контроля по одноступенчатому методу.
48
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6 Расчет надежности и построение структурной схемы
надежности
Цель: Научиться рассчитывать показатели надежности в режиме ненагруженного
резерва
Теоретическая часть
1. Расчет надежности, основанный на использовании параллельнопоследовательных
структур
Пусть некоторая техническая система D составлена из n элементов (узлов). Допустим,
надежности элементов нам известны. Возникает вопрос об определении надежности системы.
Она зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функция каждого
из них и в какой мере исправная работа каждого элемента необходима для работы системы в
целом.
Параллельно-последовательная структура надежности сложного изделия дает
представление о связи между надежностью изделия и надежностью его элементов. Расчет
надежности ведется последовательно - начиная от расчета элементарных узлов структуры к ее
все более сложным узлам.
2. Система с последовательным соединением элементов
Самым простым случаем в расчетном смысле является последовательное соединение
элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в
целом. По аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого
из которых равносилен размыканию всей цепи, мы и называем такое соединение
"последовательным" (рис. 1). Следует пояснить, что "последовательным" такое соединение
элементов является только в смысле надежности, физически они могут быть соединены как
угодно.
Рис. 1. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов
С позиции надежности, такое соединение означает, что отказ устройства, состоящего из
этих элементов, происходит при отказе элемента 1 или элемента 2, или элемента 3, или
элемента n. Условие работоспособности можно сформулировать следующим образом:
устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 и элемент 2, и элемент 3, и
элемент n.
Выразим надежность данной системы через надежности ее элементов. Пусть имеется
некоторый промежуток времени (0,t), в течение которого требуется обеспечить безотказную
работу системы. Тогда, если надежность системы характеризуется законом надежности Р(t),
нам важно знать значение этой надежности при t=t, т.е. Р(t). Это не функция, а определенное
49
число; отбросим аргумент t и обозначим надежность системы просто Р. Аналогично
обозначим надежности отдельных элементов P1, P2, P3, ..., Pn.
Для безотказной работы простой системы в течение времени t нужно, чтобы безотказно
работал каждый из ее элементов. Обозначим S - событие, состоящее в безотказной работе
системы за время t; s1, s2, s3, ..., sn - события, состоящие в безотказной работе соответствующих
элементов. Событие S есть произведение (совмещение) событий s1, s2, s3, ..., sn:
S = s1s2s3...sn.
Предположим, что элементы s1, s2, s3, ..., sn отказывают независимо друг от друга (или,
как говорят применительно к надежности, "независимы по отказам", а совсем кратко
"независимы"). Тогда по правилу умножения вероятностей для независимых событий
Р(S)=P(s1)P(s2)P(s3)...P(sn)
или
в
других
обозначениях,
Р = Р1Р2Р3...Рn.,
(1)
а короче
P=
,
(2)
т.е. надежность (вероятность работоспособного состояния) простой системы, составленной из
независимых по отказам, последовательно соединенных элементов, равна произведению
надежностей ее элементов.
=Pn,
Р = Pn.
В частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежностью P1=P2=P3= ...
выражение
(2)
принимает
вид
(3)
Интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределения времени
до
отказа
легко
определить
из
выражения
lс = l1 + l2 + l3 + ... + ln,
(4)
т.е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и естественно, так как для
системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равносилен отказу
системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов
системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков. Формула (4)
получается
из
выражения
Р = P1P2P3 ... Pn = ехр{-(l1 + l2 + l3 + ... + ln)}.
(5)
Среднее
время
работы
до
отказа
Т0 = 1/lс.
(6)
3. Система с параллельным соединением элементов
На рис. 2 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что
устройство, состоящее из этих элементов, переходит в состояние отказа после отказа всех
элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы
элементов статистически независимы.
50
Рис.
2.
Блок-схема
системы
с
параллельным
соединением
элементов
Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом:
устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 или элемент 2, или элемент 3, или
элементы 1 и 2, 1; и 3, 2; и 3, 1; и 2; и 3.
Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из n параллельно
соединенных элементов определяется по теореме сложения вероятностей совместных
случайных
событий
как
Р=(р1+р2+...рn)-(р1р2+р1р3+...)-(р1р2р3+р1р2рn+...)-...  (р1р2р3...рn).
(7)
Для приведенной блок-схемы (рис. 2), состоящей из трех элементов, выражение (7) можно
записать:
Р=р1+р2+р3-(р1р2+р1р3+р2р3)+р1р2р3.
Применительно к проблемам надежности, по правилу умножения вероятностей
независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из n элементов вычисляется
по
формуле
Р = 1,
(8)
т.е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их
ненадежности (1-pi=qi) перемножаются.
В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, формула (8)
принимает
вид
Р = 1 - (1-р)n.
(9)
Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соединенных
элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов l0, определяется как
. (10)
Из (10) видно, что интенсивность отказов устройства при n>1 зависит от t: при t=0 она
равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до l0.
Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показательному закону
распределения, то выражение (8) можно записать
51
Р(t) =
.
(11)
Среднее время безотказной работы системы Т0 находим, интегрируя уравнение (11) в
интервале [0,]:
Т0=
=(1/l1+1/l2+…+1/ln)-(1/(l1+l2)+ 1/(l1+l3)+…)+
+(1/(l1+l2+l3)+1/(l1+l2+l4)+…)+(-1)n+1.
(12)
В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (12)
принимает вид
Т0=
.
(13)
Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (7) в
интервале [0,]
4. Способы преобразования сложных структур
Относительная простота расчетов надежности, основанных на использовании
параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в
инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно
представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную
структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой. К таким
преобразованиям
относится:
- преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;
- разложение сложной структуры по базовому элементу.
Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на
звезду и обратно заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел
другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового
узла, что надежности преобразуемой цепи сохранялись прежними.
Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 3,а) звездой (рис. 3,б) при
условии, что вероятность отказа элемента a равна q13, элемента b равна q12, элемента c - q23.
52
Переход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1-2, 1-3, 2-3. Поэтому
значение вероятностей отказов элементов звезды q1, q2, q3 должны удовлетворять следующим
равенствам:
(14)
Рис. 3. Преобразование "треугольник - звезда"
Если пренебречь произведениями вида qiqj; qiqjqk, то в результате решения системы
уравнения
(14)
можно
записать:
q1=q12q31; q2=q23q12; q3=q31q23.
(15)
Для
обратного
преобразования
звезды
в
треугольник
q12=
; q23=
; q31=
.
(16)
Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому
элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В
сложной структуре выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаются
следующие
допущения:
базовый
элемент
находится
в
работоспособном
состоянии;
- базовый элемент находится в отказавшем состоянии.
Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная
структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента
ставится "короткое замыкание" цепи, а во второй - разрыв. Вероятности безотказной работы
каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая - на вероятность
безотказного состояния базового элемента, вторая - на вероятность отказа базового элемента.
Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности безотказной
работы сложной структуры.
5. Надежность резервированной системы
Одним из путей повышения надежности системы является введение в нее резервных
(дублирующих) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы "параллельно"
тем, надежность которых недостаточна.
53
5.1. Параллельное соединение резервного оборудования системы
Рассмотрим самый простой пример резервированной системы - параллельное
соединение резервного оборудования системы. В этой схеме все n одинаковых образцов
оборудования работают одновременно, и каждый образец оборудования имеет одинаковую
интенсивность отказов. Такая картина наблюдается, например, если все образцы
оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый "горячий резерв"), а для
исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из n образцов оборудования.
В этом варианте резервирования применимо правило определения надежности
параллельно соединенных независимых элементов. В нашем случае, когда надежности всех
элементов одинаковы, надежность блока определяется по формуле (9)
Р = 1 - (1-р)n.
Если система состоит из n образцов резервного оборудования с различными
интенсивностями отказов, то
P(t) = 1-(1-p1) (1-p2)... (1-pn).
(17)
Выражение (17) представляется как биноминальное распределение. Поэтому ясно, что
когда для работы системы требуется по меньшей мере k исправных из n образцов
оборудования, то
pi(1-p)n-i, где
P(t) =
.
(18)
При постоянной интенсивности отказов l элементов это выражение принимает вид
P(t) =
,
(18.1)
где р = еxp(-lt).
Задание к практической работе
Задача 1. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема
которого изображена на рис. 1,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого
из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.
Задача 2. Решить предыдущий пример методом разложения сложной структуры.
Задача 3. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема
которого изображена на рис. 3,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого
из элементов схемы равны 0,9.
Задача 4. Требуется определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку
на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединенных по
54
мостиковой схеме (рис. 3,б); считается, что =0,0005ч-1, t=100ч и все элементы начинают
работать в момент времени t=0.
55
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сборник задач по теории надежности / Под редакцией А. М. Половко и И. М.
Маликова. М.: Cоветское радио, 1972
2. Надежность информационных систем: учеб. Пособие / К.П. Голоскоков. – СПб:
СПбГИЭУ, 2007
3. Основы теории надежности. Практикум / А.М. Половко, С.В. Гуров. - СПб.: БХВ –
Петербург, 2006
56