Лекция 3 Тема Содержание темы

Лекция 3
Тема
Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Содержание темы
Алгебра событий.
Теоремы сложения вероятностей.
Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
Основные категории
I
I
I
I
алгебра множеств, алгебра событий,
сложение вероятностей,
условная вероятность, зависимые и независимые события,
умножение вероятностей.
Алгебра множеств
Множество — совокупность объектов произвольной природы.
Объект, входящий в состав рассматриваемого множества,
называется элементом этого множества.
Множества обозначаем заглавными (прописными) латинскими
буквами, элементы множеств — строчными латинскими
буквами.
Задание. Дать определения следующих понятий, обозначений,
операций:
1) a ∈ A, a ∈
/ A (a принадлежит A, a не принадлежит A);
2) A ⊂ B (A есть подмножество B);
3) A ∪ B, A ∩ B, A\B (объединение, пересечение, разность
множеств).
Алгебра множеств — совокупность множеств с операциями
объединения и пересечения.
Алгебра событий — это математическая модель
эксперимента
Вначале задается множество Ω всех элементарных событий.
Алгеброй событий называется система подмножеств множества
Ω, которые называются событиями. Алгебра событий должна
удовлетворять следующим требованиям:
I
I
I
I
I
все множество Ω является событием (называется
достоверным событием);
пустое множество ∅ является событием (называется
невозможным событием);
если A, B — события, то A ∩ B тоже событие (называется
произведением событий AB);
если A, B — события, то A ∪ B тоже событие (называется
суммой событий A + B);
сумма бесконечного, но счетного числа событий тоже
является событием.
Аксиоматическое определение вероятности
В аксиоматическом подходе события A и B называются
несовместными, если AB = ∅. Если задано конечное или счетное
число событий A1 , A2 , . . . , An , . . ., то они называются попарно
несовместными, если Ai Aj = ∅ для любых двух различных
номеров i, j.
Вероятность — это функция P на алгебре событий, которая
удовлетворяет следующим требованиям:
I
I
I
0 6 P (A) 6 1 для любого события A;
P (∅) = 0, P (Ω) = 1;
если A1 , A2 , . . . , An , . . . — конечный или счетный набор
попарно несовместных событий, то
X
X
P(
Ai ) =
P (Ai ).
i
i
Теоремы сложения вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий:
P (A + B) = P (A) + P (B).
Теорема 2. Вероятность суммы произвольных событий:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
Эти утверждения следуют из аксиоматического определения
вероятности и хорошо видны на диаграмме:
Следствия теорем сложения
Следствие 1. Сумма вероятностей трех событий вычисляется
по формуле:
P (A + B + C) =?
(Вывести формулу самостоятельно по рисунку)
W
C
A
B
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих
полную группу, равна единице:
AB = BC = CA = ∅
⇒ P (A)+P (B)+P (C) = P (Ω) = 1.
A+B+C =Ω
Следствия теорем сложения (продолжение)
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий
равна единице:
P (A) + P (A) = 1.
Следствие 4. Вероятность
вычисляется по формуле:
противоположного
события
P (A) = 1 − P (A).
Пример: Вероятность не сдать зачет по предмету для
некоторого студента равна 0,8. Какова вероятность сдать
зачет?
P (A) = 0, 8
⇒
P (A) = 1 − P (A) = 0, 2
Условная вероятность
Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что
событие A произошло, называется условной вероятностью события B (при
условии A) и обозначается через PA (B) или P (B|A).
Формулы условных вероятностей: если P (A) 6= 0 и P (B) 6= 0, то условные
вероятности вычисляются по формулам
P (B|A) =
P (AB)
,
P (A)
P (A|B) =
P (AB)
.
P (B)
Определение. Событие B называется независимым от события A, если
P (B|A) = P (B); событие B называется зависимым от A, если P (B|A) 6=
P (B).
Определение. Два события называются независимыми, если появление
одного из них не меняет вероятности наступления другого:
P (B|A) = P (B),
P (A|B) = P (A).
Вероятность независимых событий
Из данных определений вытекает, что A независимо от B тогда и только
тогда, когда B независимо от A. И то, и другое равносильно тому, что A и B
независимы, а из формул условной вероятности следует теорема умножения
вероятностей.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух
событий равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, найденную в предположении, что первое
событие произошло:
P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).
События A и B независимы тогда и только тогда, когда вероятность
их произведения равна произведению их вероятностей
P (AB) = P (A)P (B).
Задание
Бросают два игральных кубика. Выяснить, зависимы или нет
события A = {сумма очков не более 9}, B = {сумма очков не
менее 5}.
Контрольные вопросы
1. Определение алгебры событий.
2. Аксиоматическое определение вероятности.
3. Теорема сложения вероятностей.
4. Чему равна сумма вероятностей
событий? полной группы событий?
противоположных
5. Определение условной вероятности; события зависимые и
независимые.
6. Теорема умножения вероятностей.