Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» Нижнетагильский технологический институт (филиал) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Рекомендовано Учебно-методическим советом Нижнетагильского технологического института (филиал) УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина в качестве учебно-методического пособия для студентов всех форм обучения всех специальностей Авторы-составители: С. Е. Демин, Е. Л. Демина Нижний Тагил 2013 УДК 517.31 Рецензенты: кафедра гуманитарного и естественно-научного образования филиала ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ» в г. Нижнем Тагиле (зав. кафедрой: д-р фил. наук В. М. Петров); доцент кафедры общенаучных дисциплин филиала ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения» в г. Нижнем Тагиле К. В. Курмаева Научный редактор: канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Феофанова Определенный интеграл : учеб.-метод. пособие / авт.-сост.: С. Е. Демин, Е. Л. Демина ; М-во образования и науки РФ ; ФГАОУ ВПО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). – Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2013. – 152. Рассматриваются вопросы раздела «Определенный интеграл» курса «Математика» для студентов всех специальностей и всех форм обучения. Приводятся многочисленные примеры и подробные пояснения к ним. Основу данного пособия составили лекции, прочитанные авторами в Нижнетагильском технологическом институте. Учебно-методическое пособие содержит 20 заданий (по 30 вариантов для каждого), которые позволяют формировать индивидуальную домашнюю работу студентов по данному разделу. Рекомендовано для самостоятельной работы студентов всех форм обучения всех специальностей при изучении соответствующего раздела высшей математики, а также для использования в качестве дополнительного материала при организации преподавателем практических занятий. Библиогр.: 12 назв. УДК 517.31 © Демин С. Е., Демина Е. Л., составление, 2013 Оглавление Введение ................................................................................................................................... 5 § 1. Определенный интеграл и его свойства .................................................................... 6 1.1. Определение определенного интеграла ...................................................................... 6 1.2. Теорема существования определенного интеграла .................................................... 8 1.3. Геометрический смысл определенного интеграла ..................................................... 8 1.4. Свойства определенного интеграла ............................................................................. 9 § 2. Вычисление определенного интеграла...................................................................... 14 2.1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (теорема Барроу) .......... 14 2.2. Формула Ньютона – Лейбница................................................................................... 15 2.3. Подстановка в определенном интеграле ................................................................... 17 2.4. Интегрирование по частям ......................................................................................... 19 2.5. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах ........... 20 Контрольные вопросы ................................................................................................ 21 Типовые примеры ........................................................................................................ 22 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 30 Задания ........................................................................................................................ 31 § 3. Несобственные интегралы ........................................................................................... 32 3.1. Несобственные интегралы 1-го рода (по неограниченному промежутку) ............ 32 3.1.1. Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку ................................................................................................................ 32 3.1.2. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода .................................................................................................. 36 3.1.3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода ................. 38 3.2. Несобственные интегралы 2-го рода (от неограниченных функций) .................... 40 3.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченных функций ...................................................................................... 40 3.2.2. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода ....................................................................... 44 3 § 4. Приближенное вычисление определенного интеграла .......................................... 47 4.1. Формула прямоугольников ......................................................................................... 48 4.2. Формула трапеций ....................................................................................................... 49 4.3. Формула Симпсона ...................................................................................................... 50 Контрольные вопросы ............................................................................................... 52 Типовые примеры ........................................................................................................ 53 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 58 Задания ........................................................................................................................ 59 § 5. Приложение определенного интеграла ..................................................................... 60 5.1. Вычисление площадей плоских фигур ...................................................................... 60 5.1.1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат ....................................................................... 60 5.1.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат ................................................................................. 66 5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой ................................................................. 70 5.2.1. Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат ....................................................................... 70 5.2.2. Вычисление длины дуги плоской кривой в полярной системе координат ................................................................................. 74 5.2.3. Дифференциал длины дуги плоской кривой .................................................... 75 5.3. Вычисление площади поверхности тела вращения ................................................. 76 5.4. Вычисление объемов ................................................................................................... 79 5.4.1. Вычисление объемов произвольных тел.......................................................... 79 5.4.2. Вычисление объемов тел вращения................................................................. 81 5.5. Приложения определенного интеграла к решению физических задач ............................................................................................ 85 5.5.1. Работа переменной силы ................................................................................. 85 5.5.2. Сила давления жидкости на пластину ........................................................... 87 5.5.3. Путь, пройденный телом ................................................................................. 90 5.5.4. Кинетическая энергия тела ............................................................................. 90 5.5.5. Количество электричества ............................................................................. 92 5.5.6. Масса материального объемного стержня .................................................. 92 Контрольные вопросы ............................................................................................... 94 Типовые примеры ........................................................................................................ 94 Задания ...................................................................................................................... 118 Библиографический список ............................................................................................. 119 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ................................................................................................................. 120 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ................................................................................................................. 121 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ................................................................................................................. 123 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ................................................................................................................. 125 4 Введение В пособии излагается классический раздел математического анализа – определенный интеграл и его применение. Оно написано на основе курса лекций и практических занятий, которые авторы проводили со студентами Нижнетагильского технологического института (филиала) УрФУ, и опирается на известные курсы математического анализа, изложенные в работах [1–6]. В учебном пособии ставится целью помочь студенту самостоятельно или при минимальной помощи преподавателя ознакомиться с основными понятиями и систематизировать свои знания по решению задач. Попыткой достижения этой цели и определяется структура настоящего пособия: в начале каждого параграфа изложен теоретический материал (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать пособие, не прибегая к учебникам. Далее приводятся подробно разобранные задачи с разъяснениями методов их решения. Среди решенных задач многие можно назвать типовыми. Это обстоятельство особенно важно для студентов, занимающихся дистанционно. В пособии также предложены контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы. При составлении настоящего пособия был использован ряд задач из известных задачников по высшей математике [7–12], обычно рассматриваемых на занятиях со студентами. 5 § 1. Определенный интеграл и его свойства 1.1. Определение определенного интеграла Рассмотрим некоторую функцию y f (x) , определенную на промежутке [a; b] (a b) . Проведем следующие операции: 1. Разобьем промежуток [a; b] точками x0 a ; x1; x2 ; ... xk ; xk 1; ... xn b произвольным образом на n -частей. Введем следующие обозначения: xk xk 1 xk – длина участка разбиения, supxk – диаметр разбиения (наибольшая из всех длин участков разбиения). 2. На каждом частичном участке [ xk ; xk 1 ] возьмем произвольную точку k и вычислим в ней значение функции f (k ) . 3. Составим произведение: f (k ) xk . n1 4. Составим сумму n f (k ) xk . Назовем эту сумму интегральk 0 ной суммой или суммой Римана. 6 5. Измельчая дробление (за счет увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом диаметр разбиения к нулю ( 0) , найдем предел последовательности интегральных сумм J lim n . n 0 Определение. Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек k , то он называется определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [a; b] и обозначается так: b J f ( x)dx . a Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Более компактно можно дать определение определенного интеграла следующим образом: n1 J lim f (k )xk . n 0 k 0 В случае когда для функции f (x) существует определенный интеграл b J f ( x)dx , функция f (x) называется интегрируемой на промежутке [a; b] . a Замечания: 1. В приведенном определении предполагается, что a b . Понятие определенного интеграла можно обобщить и на случай, когда a b или a b . Действительно, будем считать по определению, что если a b , то если a b , то b a a b b f ( x)dx f ( x)dx , f ( x)dx 0 . a 2. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: b b a a f ( x)dx f (t )dt . b 3. Если f ( x) 1, то dx b a. a 7 1.2. Теорема существования определенного интеграла Возникает вопрос: всякая ли функция f (x) интегрируема на данном промежутке [a; b] . Напомним определение кусочно-непрерывной функции. Определение. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a; b] , если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода. Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a; b] , является частным случаем кусочно-непрерывной функции. Приведем теперь без доказательства теорему существования определенного интеграла. Т е о р е м а (достаточное условие интегрируемости). Если функция f ( x ) кусочно-непрерывна на промежутке [a; b] , то на этом промежутb ке она интегрируема, т. е. существует f ( x )dx . a Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции. 1.3. Геометрический смысл определенного интеграла Допустим, что функция f ( x) непрерывна и положительна на промежутке [a; b] . Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD. Интегральная n1 сумма n f (k ) xk дает нам сумму площадей прямоугольников k 0 с основаниями xk xk 1 xk и высотами f (k ) . Ее можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции ABCD, т. е. n1 S ABCD f (k ) xk , k 0 причем это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n и 0 мы получим b S ABCD f ( x)dx . a В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла. 8 1.4. Свойства определенного интеграла Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: b b a a Af ( x)dx A f ( x)dx . Доказательство. n1 b n1 b k 0 a lim Af (k )xk A lim f (k )xk A f ( x)dx. Af ( x)dx n n a 0 k 0 0 b b b a a a Свойство 2. ( f1 ( x) f 2 ( x))dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx . Доказательство. n1 b lim ( f1 (k ) f 2 (k ))xk = ( f1 ( x) f 2 ( x))dx n a 0 k 0 b b n1 n1 lim f1 (k )xk f 2 (k )xk = f1 ( x)dx f 2 ( x)dx . n k 0 k 0 a a 0 Свойство 3. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , если все эти интегралы существуют. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть a < c < b. Составим интегральную сумму так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда b c b a a c f (i )xi f (i )xi f (i )xi . Переходя к пределу при 0 , получим доказательство свойства 3. Если a < b < c, то, по только что доказанному, с b c a a b b c c a a b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , или f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . c b b c Но f ( x)dx f ( x)dx , поэтому b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . 9 Аналогично доказывается это свойство и при любом другом расположении точек a, b и с. Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции с основанием [a; b] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a; c] и [c; b] . Свойство 4. Если на отрезке [a, b] (a < b) f (x) ≤ g (x), то b b a a f ( x)dx g ( x)dx . Доказательство. b b b a a a n1 lim g (k ) f (k ) xk 0 , g ( x)dx f ( x)dx g ( x) f ( x) dx 0 k 0 т. к. n g (k ) f (k ) 0, xk 0. Отсюда следует, что b b a a f ( x)dx g ( x)dx . Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции aA2 B2b не меньше площади криволинейной трапеции aA1B1b . 10 y A2 y g (x) B2 A1 B1 y f (x) a 0 b x Следствия: b а) если a b и x [a; b] : f ( x) 0 , то f ( x)dx 0 ; a b b) если a b и x [a; b] : f ( x) 0 , то f ( x)dx 0 . a Свойство 5 (т е о р е м а об оценке определенного интеграла). Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) b на отрезке [a,b], a b, то m(b a ) f ( x )dx M (b a ). a Доказательство. Так как m f ( x) M , то по свойству 4 b b b b b a a a a a mdx f ( x)dx Mdx . Но mdx m(b a), Mdx M (b a), следова- b тельно, m(b a) f ( x)dx M (b a). a Геометрическая интерпретация представлена на рисунке ниже для f ( x) 0 . Площадь прямоугольника aA1B1b равна m(b a) , площадь прямоугольника aA2 B2b – соответственно M (b a) . Неравенство показывает, что площадь криволинейной трапеции не меньше площади первого прямоугольника, и не больше площади второго. 11 y M B2 A2 A y f (x) m 0 A1 c a B B1 b x Свойство 6 (т е о р е м а о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке b найдется такая точка ξ, что f ( x )dx (b a ) f (). a Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть a b, m и Ì – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a, b]. По свойству 5 имеем m 1 b f ( x)dx M . baa Тогда 1 b f ( x)dx , m M . baa Так как f(x) непрерывна на [a, b], она принимает на нем все промежуточные значения между m и Ì , т. е. существует (a b) такое, что f () . Тогда b f ( x)dx (b a) f (), a что и требовалось доказать. 12 Геометрическая интерпретация дана на рисунке для f ( x) 0 . Так как значение f ()(b a) численно равно площади прямоугольника с основанием b a и высотой f () , то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, площадь которого равна площади криволинейной трапеции aABb . y A y f ( x) f () B Замечание. a 0 Число f () , определяемое b x b из теоремы о среднем как 1 f () f ( x)dx , называется интегральным средним значением функции f ( x) на b a a отрезке [a, b]. 13 § 2. Вычисление определенного интеграла 2.1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (теорема Барроу) Т е о р е м а . Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то x интеграл с переменным верхним пределом Ф( x ) f ( t )dt , имеет проa изводную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т. е. Ф( х ) f ( x ) . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Δх – приращение аргумента х. Тогда по свойству 3 определенного интеграла x x Φ( x x) x f (t )dt f (t )dt a a x x f (t )dt , x x x Φ Φ( x x) Φ( x) f (t )dt. x y f () y f ( x) A Ф 0 x a x x x По теореме о среднем (свойство 6) Φ f ()( x x x) f ()x, где Φ f ()x x x x . Поэтому f (). x x 14 Φ lim f (). x0 x x0 Но при x 0 , x и вследствие непрерывности функции f(x), lim f () lim f () f ( x). Следовательно, Φ( x) lim x 0 x Таким образом, Φ( x) f ( x). Теорема доказана. Замечание. Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхx ним пределом f (t ) dt является первообразной для подынтегральной функции f ( x) на a отрезке [a ; b]: x f ( x) dx f (t ) dt C , a т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами. x Так как интеграл f (t ) dt существует для любого значения x , то данная теорема a является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции f ( x) . Этой первообразной может быть определенный интеграл с переменным верхним пределом: x Ф( x) f (t )dt. a 2.2. Формула Ньютона – Лейбница Выше показано, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], имеет на этом отрезке первообразную. Например, в качестве первообразx ной можно взять функцию Ф( x) f (t )dt , т. е. интеграл с переменным a верхним пределом. Поставим теперь обратную задачу: зная одну из первообразных Ф(x) функции f(x) на отрезке [a, b], вычислить определенный интеграл от функции f(x) на этом отрезке или, что то же, найти определенный интеграл по известному неопределенному. Следующая теорема, представляющая собой решение этой задачи, дает основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона – Лейбница). Она выражает определенный интеграл через неопределенный (первообразную). 15 Т е о р е м а . Если F(x) является первообразной непрерывной функции f(x), то справедлива формула b f ( x )dx F (b) F (a ) . a x Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме Барроу f (t )dt – первообразная a x f (t )dt функции f(x), поэтому F(x) и отличаются на постоянное слагаемое a С, т. е. x f (t )dt = F(x) + C. a а Пусть х = а, тогда f (t )dt F (a) C , т. е. F (a) C 0, откуда a C F (a), тогда x f (t )dt F ( x) F (a). a Принимая в этом равенстве x b , получим формулу Ньютона – Лейбb ница: f ( x)dx F (b) F (a) . a b Замечание. Обычно вводится обозначение F (b) F (a) F ( x) a , и формула Ньютона – Лейбница записывается так: b b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a) . a Формула Ньютона – Лейбница – это одна из немногих формул-связок, объединяющих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах. 0,5 1 0 1 x П р и м е р 1. Вычислить 2 16 dx . Решение: 1 0,5 dx arcsin x 0 arcsin arcsin 0 0 . 2 6 6 1 x2 0,5 1 0 x x dx. x x 1 e П р и м е р 2. Вычислить Решение: e x x 1 1 x x dx x x dx 2 x ln x 1 1 e e 2 e 1. 1 П р и м е р 3. Вычислить 2 x sin 2 x dx . 0 Решение: 1 1 2 1 2 2 2 x sin 2 x dx x 2 cos 2 x 2 cos 2 2 cos 0 . 0 0 П р и м е р 4. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограни- ченной сверху кривой y x 2 при x 1, 2. Решение: 2 x3 2 S x dx 3 1 2 1 8 1 7 кв. ед. 3 3 3 2.3. Подстановка в определенном интеграле Т е о р е м а . Если: 1) функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b] , 2) функция x (t ) непрерывна и имеет непрерывную производную ( t ) на отрезке [ ;] , где a () , b () , 3) функция f (( t )) определена и непрерывна на отрезке [ ;] , то b a f ( x )dx f ((t ))(t )dt . 17 Д о к а з а т е л ь с т в о . Если F(x) – первообразная для f (x) , то f ( x)dx F ( x) C , и по теореме о замене переменных в неопределенном интеграле имеем f ((t ))(t )dt F ((t )) C . Тогда, используя формулу Ньютона – Лейбница, получим b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a), b a f ((t ))(t )dt F ((t ) F (()) F (()) F (b) F (a) , откуда следует справедливость доказываемой теоремы. Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, т. к. результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной. 8 П р и м е р 1. Вычислить интеграл 3 x3 dx. x 1 Решение: 8 3 t x 1 x t 2 1, 3 (t 2 4)2t x3 dx = dx 2tdt ; dt t x 1 8 2 3 x t 2 3 3 32 14 2 2 (t 4)dt t 3 8t 6 . 3 3 3 2 2 3 2 П р и м е р 2. Вычислить интеграл 1 e x dx 0 e 1 2x . Решение: 1 0 t e x dt e x dx, e x dx e2 x 1 t 2 1, e2 x 1 1 e x 0 t 1 18 e dt e e2 1 . ln 2 1 2 1 t 1 2.4. Интегрирование по частям Т е о р е м а . Если функции u( x ) и v ( x ) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a ; b] , то b b u( x )dv( x ) u( x )v( x ) a v( x )du( x ) . b a a Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Доказательство. b b b b a a a a (uv)dx u( x)v( x) u( x)v( x) dx u ( x)dv( x) v( x)du( x) . Все интегралы в этом равенстве существуют, т. к. подынтегральные b b функции непрерывны. При этом u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) a , поэтому a b b a a uv a udv vdu , откуда следует условие теоремы. b Заметим, что во всех выражениях интегрирование ведется по переменной x . /2 П р и м е р 1. Вычислить x sin xdx . 0 Решение: /2 0 du dx, u x, x sin xdx dv sin xdx , v cos x /2 x cos x 0 /2 /2 cos xdx sin x 0 0 x e П р и м е р 2. Вычислить 2 1 ln xdx . 1 19 1. Решение: e 1 dx e du , e u ln x, x3 x3 dx x 2 x 1 ln xdx x ln x x 3 x x3 3 2 1 1 dv x 1 dx , v x 3 e e x2 x3 e3 e3 e3 e3 1 2e2 10 e 1 dx e x e e 1 . 3 3 3 9 3 9 9 9 1 1 2.5. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Т е о р е м а . Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a; a] , симметричном относительно точки x 0 , тогда a a a 2 f ( x )dx , если f ( x ) четная; f ( x )dx 0 0, если f ( x ) нечетная. Доказательство. a a f ( x)dx 0 a По свойству аддитивности интегралов a f ( x)dx f ( x)dx. 0 В первом интеграле сделаем замену переменных x t. Тогда 0 a воспользуемся a f ( x)dx f (t )dt f (t )dt f ( x)dx. замечанием 2 пп.1.1 0 0 a a 0 Возвращаясь к первоначальному интегралу, получаем a a a a a 0 0 0 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x) f ( x) dx – откуда и следует условие теоремы. Примеры: 2 1. 2 x5 5 4 3 4 x 5 x 3x x dx 2 5 x dx 10 5 0 2 20 2 2 2 x5 2 25 2 32 64. 0 0 sin 2. 1 3 x cos 4 xdx 0. 3. sin xe x dx 0. 2 1 Контрольные вопросы 1. Как называются величины a, b, x выражения f ( x ), f ( x )dx в символе b f ( x )dx определенного интеграла? a 2. Всегда ли ограниченные функции интегрируемы на отрезке [a, b] ? Перечислите классы интегрируемых на отрезке функций. 3. Как определяется площадь криволинейной трапеции через определенный интеграл? Может ли значение определенного интеграла быть отрицательным? 4. В чем состоят свойства аддитивности и сохранения знака определенного интеграла? 5. Какими свойствами обладает интеграл с переменным верхним пределом x (функция ( x ) f (t )dt ), если: а) f ( x ) есть интегрируемая функция; б) f ( x ) есть a непрерывная функция? 6. Сформулируйте основную теорему интегрального исчисления. 7. В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном интеграле? 8. В чем состоит метод замены переменной (подстановки) в определенном интеграле? 9. Как вычисляется определенный интеграл от четной и нечетной функции по отрезку интегрирования, симметричному относительно начала координат? 21 Типовые примеры 1 П р и м е р 1. Не вычисляя, сравнить значения интегралов 2 x e dx или 0 1 e x dx. 0 Решение: 2 1 1 0 0 2 Так как e x e x при 0 x 1, по свойству 4, e x dx e x dx . 3 П р и м е р 2. Оценить интеграл 8 x 3 dx . 1 Решение: Для оценки интеграла воспользуемся свойством 5 определенных интегралов: b m b a f x dx M b a . a Подынтегральная функция f ( x) 8 x3 монотонно возрастает на отрезке [1; 3] , т. к. f ( x) 3х 2 0. Поэтому наибольшее и наименьшее 2 8 х значение достигается на концах отрезка: m f (1) 3, M f (3) 35 . Воспользовавшись свойством 5, получим 3 3 3 2 8 x3 dx 2 35 , 1 или 3 6 8 x3 dx 2 35. 1 1 П р и м е р 3. Оценить интеграл: dx . 3 8 x 1 22 Решение: Для оценки интеграла воспользуемся свойством 5 определенных интегралов: b m b a f x dx M b a . a Подынтегральная функция f ( x) ке [1;1] , т. к. f ( x) 3х 2 8 х 3 2 1 монотонно убывает на отрез8 х3 0. Поэтому наименьшее и наибольшее значение достигается на концах отрезка: 1 1 1 , 3 8 (1) 8 1 7 1 1 m f (1) . 3 8 1 9 M f (1) Воспользовавшись свойством 5, получим 1 1 dx 1 2 2, 3 9 7 1 8 x или 2 1 dx 2 . 3 9 1 8 x 7 π 2 П р и м е р 4. Оценить интеграл π 4 ctgx dx . x Решение: 1 монотонно убывают на отрезке ; , x 4 2 1 1 1 0. 0 т. к. ctg x и x2 2sin 2 x ctg x x Поэтому монотонно убывает и их произведение, так что наибольшее и наименьшее значения подынтегральная функция принимает на концах отрезка: 4 M f , m f 0. 4 2 Функции ctg x и 23 Учитывая, что b – a = , получаем оценку 4 0 /2 ctg x dx 1 . x /4 3 П р и м е р 5. Оценить интеграл I x 1 ln x 1 dx . 2 2 Решение: Для рассматриваемого интеграла f x x 1 ln x 1 ; a 2 ; b 3 ; b a 1. 2 Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] исследуем функцию на экстремум: 1 2x 1ln x 1 x 1 x 1 x 11 2 ln x 1, f x 0 x 11 2 ln x 1 0 , 1 1 1,6065 [2,3] . x1 1 [2, 3] ; 2ln x2 1 1, ln x2 1 , x2 1 2 e f x 2 x 1 ln x 1 x 1 2 Следовательно, на [a, b] функция f(x) экстремумов не имеет. Определяем значение функции на концах отрезка [a, b]: f a f 2 2 1 ln 2 1 0 , 2 f b f 3 3 1 ln 3 1 4ln 2 . 2 m f (a) 0, M f (b) 4 ln 2, b a 1 . Значит, свойством 5, получим Воспользуемся 3 0 x 1 ln x 1dx 4 ln 2. 2 2 Пример 6. f ( x) tg 2 x x 0, . 4 Найти среднее 24 значение функции Решение: Для нахождения среднего значения воспользуемся свойством 6 определенных интегралов: b f x dx f b a , a 1 b где число f f x dx называется средним значением f(x) на отb a a резке [a; b]. Таким образом, f /4 1 /4 4 1 cos 2 x 4 /4 dx tg xdx dx dx cos 2 x 0 cos 2 x 0 0 0 4 4 /4 /4 4 tg x 0 x 0 tg tg 0 0 1. 4 4 4 2 П р и м е р 7. Вычислить среднее значение функции y x 1 на x отрезке 1; 4 . Решение: Для нахождения среднего значения воспользуемся свойством 6 определенных интегралов: b f x dx f b a , a где число f 1 b f x dx называется средним значением f(x) на отbaa резке [a; b]. Таким образом, 4 x3/2 x1/2 1 4 х dx 3 / 2 1 / 2 2 1 х 1 1 х x 1 f ( ) 3 4 1 3 3 1 2 1 1 2 14 4 2 10 20 2 4 1 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3 9 4 25 П р и м е р 8. Найти производную определенного интеграла с переx менным верхним пределом I ( x) t 2 5 (t 3 dt . 2 0 Решение: Поскольку подынтегральная функция непрерывна t R , то в силу теоремы о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу имеем 2 I ( x) x 2 5 x 3 . 1 П р и м е р 9. Вычислить x 2 5 x dx. 1 Решение: x 3 5x 2 1 1 5 1 5 2 x 5x dx 3 2 3 2 3 2 3 . 1 1 1 2 x 1 dx . 1 x e П р и м е р 10. Вычислить Решение: e e x 1 1 dx 1 dx x ln | x | (e ln e) (1 ln1) e 2. 1 x 1 x 1 e 16 dx . x4x П р и м е р 11. Вычислить 1 Решение: x t 4; 16 2 t 2 dt 2 2 4t 3dt dx 1 3 4 4 dx 4 t dt ; t 1 dt 2 4 t 1 t 1 t t x x 16 1 1 1 1 2 x t 1 1 2 3 4 t 2 t ln t 1 4 4 2 ln3 1 1 ln 2 4ln 8 . 1 2 ln 2 П р и м е р 12. Вычислить 1 e 2 x dx . 0 26 Решение: ln 1 t 2 2x 2x 2 t 1 2e e 1 t x 2 ln 2 tdt 2x 1 e dx dx 1 t 2 ; 0 x ln 2 t 3/2 0 0 3/2 1 t 2 1 3/2 t 2dt 1 1 t 1 dt dt t ln 1 2 2 2 1 t 1 t 0 1 t 0 0 2 t 1 0 3/2 3 1 3 3 2 ln ln 2 2 3 1 2 1 П р и м е р 13. Вычислить x 3 dx 2 x2 0 3/2 32 . 32 . Решение: x 2 sin t ; 4 4 8 sin 3 t 2 cos t dt x dx dx 2cos tdt ; 8 sin 3 t dt 2 0 2 x 0 2 2sin 2 t 1 0 4 x t 0 0 1 3 4 8 1 cos 2 t d cos t 0 4 2 cos3 t 2 1 8 cos t 1 8 3 4 3 2 0 2 2 (3 2 8) 4 2 8 8 1. 4 3 12 3 5 П р и м е р 14. Вычислить ln xdx . 1 27 Решение: 5 u ln x, ln xdx 1 dv dx, dx 5 5 dx 5 x x ln x 1 xd ln x 5ln 5 1ln1 x x 1 1 vx du 5 5ln5 x 1 5 ln 5 (5 1) 5 ln 5 4 . 1 П р и м е р 15. Вычислить xe x dx . 0 Решение: 1 du dx u x, x 1 x 1 x 1 xe e dx e e x e dx x x 0 0 dv e dx, v e 0 0 e1 e1 e0 2e1 1. 1 x е П р и м е р 16. Вычислить x ln x dx . 1 Решение: dx u ln x , du e e е e x 2 dx x2 1 x2 x x2 ln x ln x x ln x dx 2 x 2 2 2 x2 2 1 1 1 1 dv xdx , v 2 e2 e4 1 e2 e2 1 2e2 e2 1 e2 1 0 . 2 4 4 2 4 4 4 4 4 П р и м е р 17. Вычислить 2 x 5 sin 4 хdx . 0 Решение: du 2dx u 2 x 5, 2 x 5 sin 4 x dx cos 4 x dv sin 4 xdx, v 0 4 4 28 e 1 4 4 1 1 2 x 5 cos 4 x cos 4 х2dx 4 4 0 0 4 4 1 1 1 2 x 5 cos 4 x sin 4 x 4 2 4 0 0 1 5 1 1 2 5 cos cos0 sin sin 0 4 4 4 8 8 1 5 5 5 0 0 . 4 2 8 2 4 /2 П р и м е р 18. Вычислить e2 x cos x dx . 0 Решение: /2 /2 u e 2 x , du 2e2 x dx 2 x e sin x 2 e2 x sin xdx e cos xdx 0 0 0 dv cos xdx, v sin x /2 u e 2 x , du 2e2 x dx 2x e 2 e sin xdx dv sin xdx , v cos x 0 /2 /2 /2 e 2 e2 x cos x 2 e2 x cos xdx e 2 4 e2 x cos xdx . 0 0 0 /2 2x /2 Получили уравнение относительно интеграла e2 x cos xdx : 0 /2 /2 0 0 2x 2x e cos xdx e 2 4 e cos xdx . Решив его, получим e 2 . e cos xdx 5 0 /2 2x 29 Задачи для самостоятельного решения 1. Вычислить интегралы по формуле Ньютона – Лейбница: /4 1 dx dx , б) , 2 2 /6 cos x 01 x 2 в) 3( x 1)2 dx , а) /2 1 /2 е) cos 2 x dx , 6 0 5 xdx , 2 11 x г) sin 3xdx , д) 0 /3 2 dx , 2 4 sin x sin x /6 ж) и) cos x cos5 xdx. 0 2. Вычислить интегралы подстановкой: ln 2 x а) dx , 1 x e /3 8 б) 3 2 д) tg 4 xdx , е) /4 1 x dx , 1 x dx x x2 x 1 3 /2 1 0 в) x3 x 2 1 dx , г) cos3 3x sin 6 xdx , /2 , ж) 0 dx . 2cos x 3 3. Вычислить интегралы по частям: 1 а) xe x dx , 0 1/2 0 1 д) arccos xdx , 1/2 /6 e б) x 1 ln xdx , в) x cos3xdx , г) x 2 sin xdx , 4 2 е) sin xdx , 0 0 e /2 ж) cos(ln x)dx . 1 30 Ответы: 1. а) 1 1 3 3 4 3 , б) , в) 1, г) , д) ln 13 , е) , ж) , и) 0. 4 3 3 4 8 3 2. а) 1 2 3 8 464 2 2 1 32 3 2 3 , б) , в) , г) , д) , е) ln , ж) . arctg 3 15 12 15 3 5 5 2 7 3. а) e2 2 e2 5 e/2 1 , б) , в) , г) 2 4 , д) , е) 2, ж) . e 18 2 2 4 Задания Выполните задания 1–5 из прил. 4. 31 § 3. Несобственные интегралы В предыдущих параграфах рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей (криволинейных трапеций). Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить либо приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (т. е. неограниченной). Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев. 3.1. Несобственные интегралы 1-го рода (по неограниченному промежутку) 3.1.1. Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку Пусть функция f (x) определена и непрерывна при x a . Тогда интеb грал f ( x)dx имеет смысл при любом b a и является непрерывной a функцией аргумента b. b Определение 1. Если существует конечный предел lim f ( x)dx , b a то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f (x) на интервале [a,) и обозначают f ( x)dx . a b a a lim f ( x)dx . f ( x)dx = b Таким образом, по определению При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела, то несобственный интеграл не существует или расходится. Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов: b b c a a c f ( x)dx lim f ( x)dx, f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx. 32 В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства. Если f ( x) 0 , то очевидно, что f ( x)dx дает нам площадь бесконечной кривоa линейной трапеции. y y f ( x) a 0 x С геометрической точки зрения, сходящийся несобственный интеграл b f ( x) dx a означает, что фигура, ограниченная кривой y f ( x) 0 , прямыми x a , у = 0 и бесконечно вытянутая в направлении оси Ox, имеет конечную площадь S . П р и м е р 1. Исследовать на сходимость интеграл e x dx . 0 Решение: e 0 x dx lim x x e dx lim e b 0 Итак, b b интеграл e x b0 blim eb 1 1 . dx сходится и определяет площадь S беско- 0 нечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. 33 y 1 y e x 0 x 2 П р и м е р 2. Исследовать на сходимость интеграл (x 2 5)dx . Решение: 2 2 x2 x x ( 3 ) dx lim ( 3 ) dx lim 3 x 2 2 4 a a a 2 a 22 a lim 6 6a –. 4 a 4 2 Данный интеграл расходится, а площадь бесконечной криволинейной трапеции S, изображенной на рисунке, не ограничена. y x 3 2 y 3 0 x 2 П р и м е р 3. Исследовать на сходимость интеграл 1 34 dx x , R . Решение: При 1 1 b ( 1), b b1 1 1 x1 dx lim x dx lim lim 1 b b 1 b 1 x ( 1). 1 1 1 При α = 1 1 b 1 1 b dx lim dx lim ln | x | 1 lim(ln b ln1) . b x b b x 1 Следовательно, 1 1 dx сходится при 1 и расходится при 1. x П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл dx 1 x2 . Решение: dx 1 x 2 0 dx 2 dx 2 0 a lim dx 2 b lim 0 1 x a1 x 0 b lim arctg x a lim arctg x 0 . 2 2 a a 1 x b dx 01 x 2 Данный интеграл сходится и определяет площадь бесконечной криволинейной трапеции S , изображенной на рисунке. В случае сходящегося интеграла, принимая во внимание формулу Ньютона – Лейбница и определение несобственного интеграла 1-го рода, вычислим a f ( x)dx lim F ( x) F (a) F () F (a), x 35 где F (x) – первообразная функции f (x) на любом промежутке при x a. П р и м е р 5. Исследовать на сходимость интеграл sin xdx . Решение: 0 0 sin xdx sin xdx sin xdx . sin xdx cos x 0 Но 0 lim cos x cos0 , и т. к. x не существует, то интеграл sin xdx расходится. Аналогично расходится 0 0 и интеграл lim cos x x sin xdx . Значит, и данный в условии интеграл sin xdx рас- ходится. 3.1.2. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода В некоторых задачах нет необходимости вычислять несобственный интеграл, часто достаточно бывает только установить его сходимость или расходимость и оценить значение. Обратим внимание, что в этом пункте рассматриваются несобственные интегралы от знакопостоянных функций. Случай несобственных интегралов для знакопеременных функций будет рассмотрен в пп. 3.1.3. Примем без доказательства следующие два утверждения. Признак сравнения. Если на промежутке [a, ) определены две неотрицательные функции f (x) и g (x) , интегрируемые на любом конечном отрезке a, b, причем 0 f ( x) g ( x) x a , то из сходимости интеграла g ( x)dx следует сходимость интеграла a a теграла f ( x)dx , а из расходимости a a f ( x)dx следует расходимость интеграла g ( x)dx . 36 ин- Признак сравнения в предельной форме. Если на промежутке [a, ) определены две положительные функции f (x) и g (x) , интегрируемые на любом конечном отрезке a, b, и существует конечный предел f ( x) lim A (0 A ) , то несобственные интегралы x g ( x) f ( x)dx и a g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно. a Признак сравнения в предельной форме является следствием первого признака. Замечание. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынте1 гральную функцию с функцией , 1 , для которой сходимость или расходимость x соответствующего несобственного интеграла установлена выше в примере 3 пп. 3.1.1. П р и м е р 1. Исследовать на сходимость интеграл 1 dx 1 x 3 . Решение: Воспользуемся признаком сравнения. 1 1 1 Так как 3/2 x [1; ) , то из сходимости 1 x3 x3 x следует сходимость и данного интеграла 1 dx 1 x 3 1 dx x3/2 . П р и м е р 2. Исследовать на сходимость интеграл ln 1 x2 2 x2 1 dx . Решение: Воспользуемся предельным признаком сравнения. Данный интеграл dx сходится, т. к. сходится интеграл 2 , а x 1 ln lim x 1 1 ln 1 2 x 1 lim x 2 1 1. x 2 1 lim 1 1 x 1 x x2 x2 x2 x2 2 37 Пример 3. 2x 7 x3 x2 5x 12 dx . 1 Исследовать на сходимость интеграл Решение: Воспользуемся предельным признаком сравнения. При x подын2 тегральная функция эквивалентна . Таким образом, α = 2 > 1, и данный x2 интеграл сходится. 3.1.3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода В случае если подынтегральная функция меняет знак на бесконечном интервале, вводят новое определение. Определение 1. Несобственный интеграл f ( x)dx называется абсо- a | f ( x) | dx . Функция лютно сходящимся, если сходится интеграл f (x) на- a зывается при этом абсолютно интегрируемой на [a,∞). Т е о р е м а . Если сходится интеграл f ( x) dx, то сходится и инте- a грал f ( x)dx . a Не приводя доказательства этой теоремы, заметим, что в первом интеграле суммируются площади, лежащие над и под осью абсцисс, а во втором интеграле площади под осью абсцисс учитываются со знаком минус. 38 Поэтому первый интеграл сходится «труднее»: он может расходиться в тех случаях, когда второй интеграл сходится. Если интеграл f ( x) dx сходится, то интеграл a f ( x)dx называется a абсолютно сходящимся. Определение 2. Несобственный интеграл сходящимся, если сходится интеграл f ( x)dx называется условно a f ( x)dx , а интеграл | f ( x) | dx a рас- a ходится на [a,∞). П р и м е р 1. Исследовать на сходимость интеграл sin x 1 x 2 dx . Решение: Подынтегральная функция – знакопеременная, при этом dx 1 но 2 x 1 x sin x x2 , 1. 1 sin x 2 1 x dx сходится, а интеграл sin x 2 1 x dx схо- дится абсолютно. П р и м е р 2. Исследовать на сходимость интеграл arctg xe x 0 Решение: arctg xe 0 x2 Следовательно, интеграл 1 x 0 0 A dx e x dx e x dx lim (e x ) 2 2 2 A 0 = lim (e A 1) , 2 A 2 так что данный интеграл сходится абсолютно. 39 dx . 3.2. Несобственные интегралы 2-го рода (от неограниченных функций) 3.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченных функций Определение 1. Пусть функция f (x) определена и непрерывна при x [a; b) и имеет разрыв при x b . Тогда b f ( x)dx определяется следую- a щим образом: b b a a f ( x)dx lim f ( x)dx , 0 и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. y y f ( x) 0 a Если f ( x) 0 , то очевидно, что x b b f ( x)dx дает нам площадь криволи- a нейной трапеции c бесконечным основанием. Аналогичным образом определяются другие несобственные интегралы 2-го рода: b 1) от функции, имеющей разрыв при х = а: a 40 f ( x)dx lim b f ( x)dx ; 0a y y f (x) 0 a b x 2) от функции, разрывной во внутренней точке с [a; b] (a < c < b): b с b a a с f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , если существуют оба интеграла, стоящие в правой части равенства; y a 0 c b x 3) от функции, обращающейся в бесконечность на концах промежутка интегрирования [a; b] (a < c < b): b с b a a с f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . y 0 c a 41 b x b При этом в последних двух пунктах интеграл f ( x)dx считается схо- a дящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие справа, и расходящимся, если расходится хотя бы один из этих интегралов. 1 dx П р и м е р 1. Вычислить интеграл 2 или установить его расходиx 1 мость. Решение: При x 0 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Имеем 1 dx 1 dx 1 dx lim 1 1 1 1 , 2 lim 2 2 0 2 x 1 1 1 0 1 x 1x 2 0 2 2 0 т. е. интеграл расходится. Замечание. Если бы мы вычисляли данный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, не обращая внимания на точку разрыва, то получили бы сходящийся инте1 1 dx 1 грал: 2 1 1 2 . Этот результат неверен и явно противоречит следствию x 1 1 x 2 из свойства 4 определенного интеграла, т. к. подынтегральная функция положительна. 1 П р и м е р 2. Исследовать на сходимость интеграл dx x. 0 Решение: При x 0 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв, и тогда 1 1 dx dx 1 lim ln x lim ln 1 ln . lim x 0 x 0 0 0 Это означает, что несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, не ограничена. 42 y y 1 0 1 x x 1 1 П р и м е р 3. Исследовать на сходимость интеграл 1 dx 1 x2 . Решение: При x 1 и при x 1 подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв, следовательно, 1 dx 0 1 dx dx lim 0 dx lim 1 dx 1 0 1 1 x 2 2 0 0 1 x 2 1 1 x 1 1 x 0 1 x 0 1 lim arcsin x 1 lim arcsin x 0 2 lim arcsin 0 arcsin(1 1 ) 1 0 0 0 2 2 1 2 2 1 lim arcsin(1 1 ) arcsin 0 0 2 0 0 . 4 4 2 y 1 1 0 x Несобственный интеграл сходится и определяет площадь S бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. 43 b П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл dx a (b x) R. Решение: Рассмотрим три случая: 1. Пусть 1 , тогда b ln ln b a , b x ln b x a lim 0 dx b a т. е. при 1 интеграл расходится. 2. Пусть 1 . Обозначим 1 s , где s 0 , тогда b b dx a (b x) (b x) 1 s d (b x) a 1 b s(b x) s a , т. е. при 1 интеграл расходится. 3. Пусть 1, тогда s 1 0 . Имеем b b b (b x) s (b a) s , (b x) d (b x) s s ( b x ) a a a dx т. е. при 1 интеграл сходится. b Таким образом, dx a (b x) сходится при 1 и расходится при 1 . 3.2.2. Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода. Так, для знакопостоянных подынтегральных функций справедливы следующие достаточные признаки. 44 Признак сравнения. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны при a x b и имеют разрыв при x = b. Пусть, кроме того, 0 ( x) f ( x) при x [a, b) . Тогда если интеграл b f ( x)dx сходится, то сходится и интеграл a b ( x)dx ; b если интеграл a b ( x)dx расходится, то расходится и интеграл a f ( x)dx . a Предельный признак сравнения. Пусть f ( x) 0, ( x) 0 на [a,∞), ( x) 0 x [a, b) и имеют разрыв при x = b. Если существует конечный b b f ( x) предел lim k , то несобственные интегралы f ( x)dx и ( x)dx x ( x) a a сходятся или расходятся одновременно. Замечание. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтеграль1 ную функцию с функцией , α > 0, для которой сходимость или расходимость со(b x)α ответствующего несобственного интеграла установлена выше в примере 4 пп. 3.2.2. 1 П р и м е р 1. Исследовать на сходимость интеграл 0 Решение: При x 0 dx xx 3 . подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. 1 . Сравним подынтегральную функцию с ( x) x 1 1 x (0;1) . Очевидно, что x x x3 45 1 1 1 dx При этом lim x 2 dx lim 2 x 2 . Поэтому несобственный 0 0 x 0 интеграл от «большей» функции сходится, значит, сходится и исследуемый интеграл. 1 1 П р и м е р 2. Исследовать на сходимость интеграл Решение: При x 1 Имеем 1 x4 но dx (1 x)1/2 dx 0 1 x 4 . подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. 1 1 1 1 x 1 x 1 x2 1 1 , 1 x (1 x)1/2 сходится, следовательно, исходный интеграл также сходится. 0 Для знакопеременных подынтегральных функций справедлива следующая теорема. Т е о р е м а . Если f(x) – знакопеременная функция, непрерывная b на [a, b) и имеющая разрыв при x = b, и если | f ( x ) | dx сходится, то a b сходится и интеграл f ( x )dx . a 46 § 4. Приближенное вычисление определенного интеграла Пусть требуется вычислить определенный интеграл b I f ( x)dx a от непрерывной функции f (x) . Если может быть найдена первообразная F (x) подынтегральной функции f (x) , то интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница: b f ( x)dx F (b) F (a) . a Если же первообразная не выражается через элементарные функции или если f (x) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколько угодно большой. b Определенный интеграл I f ( x)dx – это число, и сам метод его приa ближенного интегрирования основан на вычислении приближенного значения этого числа. Определение. Пусть I – искомое число, Iˆ – его приближенное значение, тогда разность I Iˆ называется абсолютной погрешностью вычисления числа I . Можно сформулировать две задачи приближенного вычисления интегралов: найти приближенное значение числа Iˆ и оценить погрешность вычисления, найти приближенное значение числа I с заданной погрешностью . Приближенные методы вычисления определенного интеграла в больb шинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл f ( x)dx чис- a ленно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x) , отрезком a, b оси 0х и вертикальными прямыми x = a, x = b. Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции. При этом кривая 47 f (x) заменяется новой кривой, которая достаточно «близка» к данной. Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой. В качестве этой кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой (метода аппроксимации) мы получаем ту или иную приближенную формулу, часто называемую квадратурной. 4.1. Формула прямоугольников Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f (x) на кусочно-постоянную функцию. ba Отрезок a, b разбивается на n-частей равной длины x . n На каждой из частей x функция f (x) заменяется постоянной величиной y0 , y1, ..., yn 1. Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно приравнивается к площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников. а y y2 y1 yn–1 y0 … a = x 0 x1 x2 x3 xn–1 xn = b x xn–1 xn = b x б y y2 y3 y1 yn–1 … a = x 0 x1 x2 x3 48 Тогда: – для левосторонней формулы прямоугольников (рис. а): b f ( x)dx a ba y0 y1 ... yn1 ; n – для правосторонней формулы прямоугольников (рис. б): b f ( x)dx a ba y1 y2 ... yn . n Можно показать, что если подынтегральная функция f (x) имеет непрерывную на отрезке a, b вторую производную f (x) , то погрешность n приближенной оценки интеграла оценивается неравенством n M 2 (b a)3 , 24n2 где M 2 sup f ( x) . [ a; b ] Для повышения точности (уменьшения ошибки вычисления) требуется увеличивать n-число элементов разбиения отрезка a, b на части. При этом резко возрастает количество вычислений. 4.2. Формула трапеций Формула трапеций аналогична формулам прямоугольников, но f (x) заменяется на каждом отрезке длиной x линейной функцией, а площадь – суммой площадей трапеций: b a f ( x)dx b a y0 yn y1 y2 ... yn1 . n 2 49 y y2 y3 y1 yn y0 yn–1 … a = x0 x1 x2 x3 xn–1 xn = b x Таким образом, площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры, заштрихованной на рисунке. Можно показать, что если подынтегральная функция f (x) имеет непрерывную на отрезке a, b вторую производную f (x) , то погрешность n приближенной оценки интеграла оценивается неравенством где M 2 sup f ( x) . (b a)3 n M 2 , 12n2 [ a;b ] 4.3. Формула Симпсона Данный метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции дугами парабол, оси которых параллельны оси OY . Разобьем отрезок a, b на четное число 2n равных отрезков x ba . 2n Через каждые три точки M i1 ( xi1, yi1), M i ( xi , yi ), M i1( xi1, yi1) проводится дуга параболы P2 ( x) ax 2 bx c . Таким образом, на участке xi1, xi1 кривая f (x) заменяется параболой. 50 Площадь, ограниченную одной из парабол, нетрудно подсчитать: xi 1 P2 ( x)dx xi 1 xi 1 xi 1 x x P2 ( xi 1 ) 4 P2 i 1 i 1 P2 ( xi 1 ) . 6 2 Суммируя эти площади, в результате найдем приближенное значение интеграла b ba y0 y2n 2( y2 y4 ... y2n2 ) 4( y1 y3 ... y2n1) . f ( x)dx 6n a Эта формула и называется формулой Симпсона. Можно показать, что если подынтегральная функция f (x) имеет непрерывную на отрезке a, b производную четвертого порядка, то погрешность n приближенной оценки интеграла оценивается неравенством (b a)5 n M 4 , 180(2n)4 где M 4 sup f ( IV ) ( x) . [ a ;b ] 2 dx П р и м е р . Вычислить приближенно ln 2 1 x . Решение: Разобьем отрезок [1;2] на 10 равных частей, полагая x 0,1 . Составим таблицу подынтегральной функции. х 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1 x 1,00000 0,90909 0,83333 0,76923 0,71429 0,66667 y х 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 – 51 1 x 0,62500 0,58824 0,55556 0,52632 0,50000 – y По формуле прямоугольников имеем dx b a n1 yk 0,1 7,18773 0,718773. x n k 0 1 2 По формуле трапеций b a y0 yn dx y1 y2 ... yn1 0,1(0,75 6,18773) 0,69377. x n 2 1 2 По формуле Симпсона 2 dx 0,1 y0 y2n 2 y2 y4 ... y2n2 4 y1 y3 ... y2n1 3 x 1 0,1 1,5 2 2,72818 4 3,45955 0,69315. 3 2 dx 0,6931472 (с точностью до седьмого x 1 В действительности ln 2 знака). Таким образом, при разбиении отрезка интегрирования на 10 частей мы получили пять верных знаков по формуле Симпсона, три – по формуле трапеций и один – по формуле прямоугольников. Контрольные вопросы 1. Как распространяется понятие определенного интеграла в случаях бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций? 2. Как формулируется теорема сравнения (в предельной форме) для несобственного интеграла первого и второго рода? 3. Как вычисляются интегралы от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке отрезка интегрирования? Как они называются? 4. В чем заключается метод приближенного вычисления определенных интегралов? 5. Сформулируйте методы приближенного вычисления определенных интегралов: правило треугольников и трапеций; метод Симпсона. Насколько точно можно вычислять определенные интегралы с помощью этих методов? 52 Типовые примеры 1 П р и м е р 1. Вычислить несобственный интеграл xdx 2 x 1 казать его расходимость. Решение: 1 xdx 3 или до- 2 1 1 d x 2 1 1 2 2 3 2 2 3 4 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 0 . 2 2 2 4 a 2 8 8 a 2 4 a 1 4 x 1 a 1 Следовательно, интеграл сходится. П р и м е р 2. Вычислить несобственный интеграл зать его расходимость. Решение: 2 xdx 0 2 xdx a x 2 1 = lim x2 1 b x2 1 или дока- 2 xdx b x 2 1 lim a 2 xdx 0 0 b lim ln x 2 1 lim ln x 2 1 a b a 0 = lim ln 1 ln a 1 lim ln b 1 ln 1 . a 2 b 2 Следовательно, интеграл расходится. П р и м е р 3. Определить, сходится ли интеграл 2 sin x 1 x 3 dx. Решение: Воспользуемся признаком сравнения. sin x 1 1 3/2 x [1;) , то из сходимости Так как 1 x3 1 x3 x следует сходимость и данного интеграла. Следовательно, данный интеграл сходится, причем абсолютно. П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл 1 53 xdx 6 x 2 . 1 dx x3/2 Решение: Воспользуемся признаком сравнения: x x6 2 Из сходимости 1 xdx dx 2 1 x x x6 1 . x2 следует сходимость и данного интеграла . 6 x 2 П р и м е р 5. Исследовать на сходимость интеграл 1 3x 9 х 2 3 х 2х х 2 3 dx. Решение: Преобразуем подынтегральную функцию 9 1 2 3x 9 х 1 x f ( x) 2 . 3 2 3 x 1 1 х 2х х 3 1 x х2 3 2 Несобственный интеграл от функции g ( x) 1 x2 сходится dx . p 2 1 x2 1 Найдем 9 1 2 1 x 3x 9 x 2 x2 1 2 9 3 2 1 3 1 3 2 3 2 f ( x) x x x 2 x x x lim lim lim lim 3. x g ( x ) x x x 1 1 1 2 3 1 x2 x2 x x2 3 По предельному признаку сравнения получаем, что данный несобственный интеграл сходится. 54 1 П р и м е р 6. Вычислить несобственный интеграл 0 dx или доказать x его расходимость. Решение: Интеграл от разрывной функции. 1 Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке x х = 0. В силу определения имеем 1 0 1 1 dx dx = lim lim 2 x lim 2 2 2 . 0 x 0 x 0 Следовательно, интеграл сходится и равен 2. 8 П р и м е р 7. Вычислить несобственный интеграл dx или доказать х 1 3 его расходимость. Решение: Подынтегральная функция f x 1 3x имеет бесконечный разрыв в точке x 0 , которая принадлежит интервалу 1; 8 . В этом случае данный интеграл разбиваем на два интеграла точкой разрыва: 8 0 8 33 2 0 33 2 0 x 3 3 3 2 x 2 x x x 1 1 1 1 0 3 3 4 9 3 3 3 – 3 0 3 12 82 3 0 2 2 2 2 2 dx dx dx интеграл сходится. 2 П р и м е р 8. Вычислить несобственный интеграл tg xdx или дока0 зать его расходимость. Решение: Подынтегральная функция f x tg x имеет бесконечный разрыв на 0, в точке x , т. к. f tg : 2 2 2 2 55 2 2 2 2 sin xdx d cos x tg xdx ln cos x ln cos ln cos0 cos x cos x 2 0 0 0 0 ln 0 ln 1 0 – интеграл расходится. 1 П р и м е р 9. Вычислить несобственный интеграл cos2 x 3 0 1 x 2 dx или доказать его расходимость. Решение: Подынтегральная функция является бесконечно большой при x 1 . Представим ее в виде cos2 x 1 cos2 x 1 . f ( x) 3 3 3 1 x 1 x 1 x (1 x)1/ 3 Найдем cos2 x 1 3 f ( x) cos2 x cos2 1 1 x (1 x)1/ 3 . lim lim lim 3 3 x1 g ( x ) x1 x1 1 x 1 2 (1 x)1/ 3 Так как предел конечен и не равен нулю, то по предельному признаку 1 1 cos2 x 1 сравнения интегралы dx и dx ведут себя одинаково. Инте1/ 3 3 2 ( 1 x ) 0 1 x 0 1 1 1 грал dx сходится, т. к. 1. Следовательно, и исходный инте1/ 3 3 0 (1 x) грал тоже сходится. 1 Пример 10. Вычислить sin x dx по формуле трапеций, приняв n = 10. x 0 Решение: Составим таблицу значений функции, необходимых для приближенного вычисления данного определенного интеграла. 56 i xi sin xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,09985 0,19867 0,29552 0,38942 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 sin xi xi 1 0,99850 0,99335 0,98507 0,97355 0,95886 0,94107 0,92031 0,89670 0,87037 0,84147 10,37925 Поскольку h = 0,1, y0 y10 = 1,84147; y1 ... y9 10,37925 1,84147 8,53778; sin x b a y0 y n dx y1 y2 ... yn 1 0,1(0,92074 8,53778) n 2 0 x 0,94585. 1 Точное значение этого интеграла – 0,94608. П р и м е р 11. Вычислить приближенное значение определенного ин8 теграла x 3 16dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок ин- 2 тегрирования на 10 частей. Решение: По формуле Симпсона получим 82 [ y(2) y(8) 2[ y(0) y (2) y (4) y(6)] 65 4[ y(1) y(1) y(3) y(5) y(7)]]. 2 0 3 1 4 2 f(x) 57 3,873 4 4,123 4,899 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 22,978 1 –1 18,947 0 –2 15,232 n x 2,828 2 11,874 x 3 16dx 8,944 6,557 8 8 2 [2,828 22,978 2[4 4,899 8,944 15,232] 65 4[3,873 4,123 6,557 11,874 18,947]] 91,151. 8 x 3 16dx 2 Точное значение этого интеграла – 91,173. Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная. Задачи для самостоятельного решения 1. Исследовать сходимость несобственных интегралов 1-го рода: а) 1 г) 0 x 0 dx б) ; 2 4 x dx ; 2 arctg x dx ; 1 x2 в) 3 x x e dx ; д) 2 e2 е) 0 dx ; x ln x x (1 x)3 dx . 0 2. Исследовать сходимость несобственных интегралов 2-го рода: 1 а) 0 1 dx ; 1 x б) dx ; x(1 x) 0 1/ e 2 dx г) 2 ; x 6x 8 0 д) 0 1 в) x ln xdx ; 0 2 dx ; x ln 2 x е) dx x ln x . 1 3. Исследовать сходимость несобственных интегралов: dx а) ; 10 1 x 1 г) 1 2 sin x x б) 1 1 dx ; д) e 0 dx ; 2 x 1 ex dx 3 x 1 1 в) 0 1 е) ; dx tg x x . 0 58 dx 3x 2 3 x ; Ответы: 1. а) интеграл сходится и его величина составляет 1, б) интеграл сходится и его величина составляет , 4 в) интеграл расходится. 2 г) интеграл сходится и его величина составляет , 8 1 д) интеграл сходится и его величина составляет , 2 1 е) интеграл сходится и его величина составляет . 2 2. а) интеграл сходится и его величина составляет 2, б) интеграл сходится и его величина составляет , 1 в) интеграл сходится и равен , 4 г) интеграл расходится, д) интеграл сходится и его величина составляет 1, е) интеграл расходится. 3. а, б, в, г – сходятся; д, е – расходятся. Задания Выполните задания 6, 7 из прил. 4. 59 § 5. Приложение определенного интеграла Приложение определенного интеграла к геометрическим и физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла. Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов. Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче. Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить (при расчете работы силы, например), а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона – Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность – доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное. 5.1. Вычисление площадей плоских фигур 5.1.1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Рассмотрим ряд возможностей: 1. Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если f ( x) 0 x [a; b] , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) , осью OX и прямыми x a; x b вычисляется по b b a a формуле S f ( x)dx ydx . 60 y y f ( x) + a 0 b x 2. Аналогично, если f ( x) 0 x [a; b] , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) , осью OX и прямыми b b a a x a; x b вычисляется по формуле S f ( x)dx ydx . y a b x 0 – y f ( x) 3. Если функция f (x) меняет на отрезке [a; b] свой знак конечное число раз, то площадь криволинейной трапеции равна алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, взятых с соответствующим знаком: y y f ( x) + + a – c1 c2 0 61 – c3 b x c1 c2 c3 b a c1 c2 c3 c3 b S f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , или S c1 c2 a c1 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx c2 f ( x)dx . c3 4. Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: f (x) и g (x) , то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции а второй – g (x) , если f (x) , f ( x) g ( x) x a; b. y 0 y f ( x) a y g ( x) b b b b a a a x Таким образом, S f ( x)dx g ( x)dx ( f ( x) g ( x))dx . 5. В случае если разность f ( x) g ( x) не сохраняет знак на отрезке [a; b] , этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на которых функция f ( x) g ( x) сохраняет свой знак. 62 c d b a c d S f ( x) g ( x)dx g ( x) f ( x)dx f ( x) g ( x) dx. 6. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой x ( y) , осью OY и прямыми y c; y d вычисляется по формуле d d c c S ( y )dy xdy . y x ( y) x ( y) y d d + ─ с с x 0 0 x 7. Если криволинейная трапеция ограничена линией, заданной уравне x x(t ), ниями в параметрическом виде t1 t t2 , осью OX и прямыми y y (t ), x a ; x b , причем x(t1) a ; x(t2 ) b , то ее площадь S вычисляется t2 по формуле S y (t ) x(t )dt . t1 П р и м е р 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и графиком функции y x 2 2 х, х 3 . Решение: y S2 0 S1 2 63 3 x Пример соответствует рассмотренному выше п. 3: 2 3 x3 x3 2 2 2 S S1 S 2 x 2 x)dx x 2 x)dx x x 2 3 0 3 2 0 2 8 27 4 4 8 4 4 . 3 3 3 3 3 2 3 П р и м е р 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = cos x, осью OX и прямыми x = 0, x = 3π/2 . Решение: На этом примере удобно показать характерные ошибки, возникающие при решении подобных задач. Приведем вначале Неверное решение: Воспользуемся формулой из п. 1 для площади фигуры: 3/2 S 3/2 cos xdx sin x 0 0 sin 3 sin 0 1. 2 Часто после этого, спохватившись, что площадь фигуры не может быть отрицательной, результат «слегка» подправляют, и пишут: S = 1. Здесь ошибка возникла из-за того, что не было проверено условие f (x) > 0, при котором справедлива формула п. 1. На самом же деле, это условие не выполнено! Правильное решение: Изобразим график функции y cos x . 64 3 Очевидно, что на отрезке 0, имеется область, где этот график 2 выше оси OX (а именно, на интервале 0, ). В то же время, на интерва 2 3 ле , график функции y = cos x расположен ниже оси OX. Поэтому 2 2 для вычисления площади искомую фигуру следует разбить на две части: S = S 1 + S 2. При x 0, функция f (x) положительна, и справедлива формула п. 1: 2 /2 S1 /2 cos xdx sin x 0 sin 0 sin 0 1. 2 3 При x , функция f(x) отрицательна, и справедлива формула 2 2 п. 2: 3/2 S2 /2 3/2 cos xdx sin x /2 sin 3 sin 2. 2 2 Окончательно получаем площадь искомой фигуры: S = S1 + S2 = 3. Пример 2 показывает, какую важную роль в геометрических приложениях определенных интегралов играет предварительный анализ задачи и построение необходимых графиков. Иначе, даже вполне правильные (для определенных условий) формулы могут привести к неверным результатам. П р и м е р 3. Вычислить площадь эллипса с полуосями a и b . Решение: Пример соответствует рассмотренному выше п. 7. x a cos t , 0 t 2 . Запишем параметрические уравнения эллипса: y b sin t , В виду симметричности эллипса вычислим площадь его четверти, коa торая лежит в первом квадранте S 4 ydx . 0 65 y b A B –a _ 0 a x –b x a cos t , Делаем замену переменных: Тогда dx a sin t dt. При этом y b sin t. пределы интегрирования таковы: если x 0 , то t ; если x a , то t 0 : 2 a /2 0 S 4 ydx 4ab sin tdt 2ab 2 0 /2 0 /2 sin 2t 1 cos 2t dt 2ab t ab. 2 0 При a b R получаем формулу площади круга S R 2 . 5.1.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линией l , заданной в полярной системе координат 0; r ; уравнением r r () , . За базовую фигуру в полярной системе координат принимается криволинейный сектор – фигура, ограниченная линией r r () и лучами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч 1, 1 , исходящий из полюса O , пересекает линию r r () не более чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция r r () непрерывна на отрезке [ ; ] . 66 r r () B A O p Для вычисления площади криволинейного сектора OAB применим алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу: 1. Разобьем сектор OAB лучами на n частичных криволинейных секторов α 0 1 ... n1 n . Обозначим k k k 1 , k 1, n . Проведем лучи k , k 1, n . Диаметром дробления назовем sup k . 2. В каждом секторе, ограниченном лучами k 1; k , проведем произвольный луч, выберем произвольным образом точку k и найдем значения функции r r () в этих точках: rk r (k ) k 1, n . k B β A α O k p 3. Заменим этот сектор круговым с радиусом rk r (k ) и вычислим 1 площадь этого кругового сектора S k r 2 (k ) k . 2 n 1 4. Составим интегральную сумму: n r 2 ( k )k . k 1 2 67 5. Измельчая дробление (за счет увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом диаметр разбиения к нулю ( 0) , найдем предел последовательности интегральных сумм J lim n . n 0 В пределе получим площадь криволинейного сектора 1 S r 2 ()d . 2 Замечание. Проведенная здесь процедура, имеет чрезвычайно важное значение в различных геометрических и физических приложениях определенного интеграла, и будет дальше применяться в еще более схематичном виде. Суть процедуры состоит в том, что на первом ее этапе «малый» криволинейный объект заменяется на прямолинейный. Понятие «малости» при этом не носит универсального характера – оно относительно. Так, несмотря на криволинейность поверхности Земли, никому не придет в голову учитывать ее при строительстве дома: его характерный размер много меньше земного радиуса. На втором, заключительном этапе процедуры, сумма большого числа «малых» слагаемых (интегральная сумма) заменяется определенным интегралом. П р и м е р 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r a(1 cos) . Решение: Кардиоида симметрична относительно полярной оси, следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади сектора ABO . S 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 r ( ) d a ( 1 cos ) d a 1 2 cos d 20 2 0 0 23 1 3 a 2 sin sin 2 a 2 . 4 2 0 2 68 П р и м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r 4 sin 3 ( 0 2 ). Решение: k Найдем нули функции: 4 sin 3 0 , откуда 3 k , и . 3 Таким образом, на интервале от 0 до 2 функция r 4 sin 3 определена на трех участках. 3 2 3 r 4sin 3 O 2 р 4 3 5 3 Так как функция периодическая, то 1 S 3 2 /3 0 3 (4sin3) d 2 2 /3 /3 16sin 3 d 24 2 0 0 /3 /3 1 cos6 d 2 1 1 1 12 1 cos6 d 12 sin 6 12 sin 2 sin 0 4. 6 6 0 3 6 0 69 5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой 5.2.1. Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке [a ; b] и кривая l – график этой функции. Требуется найти длину дуги плоской кривой, заключенной между вертикальными прямыми x a и x b . M1 y M k 1 Mk M n1 y f ( x) A B a x0 x1 xk 1 xk xn1 xn b x Определим вначале, что мы будем понимать под длиной дуги AB плоской кривой l . Для этого разобьем отрезок [a ; b] произвольным образом на n частей точками x0 , x1,...,xn . Обозначим xk xk xk 1 , k 1, n . Через точки xk , k 1, n , проведем вертикальные прямые, параллельные оси Oy , до пересечения с кривой l . Тогда дуга AB разобьется на n частей. Соединив каждые две соседние точки разбиения кривой l отрезками (хордами), получим ломаную AM1M 2 ...M n 1B , вписанную в дугу AB . Обозначим длину ломаной через ln : ln AM1 M1M 2 ... M n 1B n lk , k 1 где lk – длина хорды, стягивающей дугу M k 1M k . Определение. Длиной дуги кривой AB мы будем называть предел длины вписанной в нее ломаной линии при условии, что n , а длина наибольшего звена ломаной (диаметр разбиения) стремится к нулю: L n lim lk . sup l k 0 k 1 70 Если конечный предел lk не существует, то и длина дуги не существует, а сама дуга называется неспрямляемой. Покажем теперь, что если функция f (x) на отрезке [a ; b] имеет непрерывную производную f (x) , то кривая l – спрямляемая, и выведем формулу для вычисления ее длины. Вычислим длину стягивающей хорды M k 1M k : lk M k 1M k y xk2 yk2 1 k xk 2 xk . По теореме Лагранжа yk f ( xk ) f ( xk 1) f (k ), k ]xk 1; xk [ . xk xk xk 1 Следовательно, lk 1 f (k ) 2 xk . Подставляя полученное выражение в определение длины дуги, получаем L lim n 0 k 1 В правой части формулы 1 f (k ) 2 xk . стоит интегральная сумма для функции 1 f ( k ) 2 на отрезке [a ; b] . Предел такой суммы существует и равен определенному интегралу от этой функции на отрезке [a ; b] : L lim n 0 k 1 b 1 f (k ) xk 1 f ( x) 2 dx . 2 a Итак, если функция f (x) имеет на отрезке [a ; b] непрерывную производную, то дуга AB – спрямляемая и ее длина l вычисляется по формуле b L 1 f ( x) 2 dx . a 71 Найдем теперь длину дуги плоской кривой в случае, когда уравнение x x( t), кривой задано параметрически: t1 t t2 , x(t ) ; y(t ) – непреy y ( t ), рывные функции с непрерывными производными, причем x(t ) 0 t [t1; t2 ]. y Выполним замену переменных: dx x(t )dt; f ( x) t . xt 2 t2 y Тогда L 1 t x(t )dt , или xt t1 b L t2 2 2 xt yt dt . t1 Замечания: 1. Формула L 1 f ( x) dx справедлива только для кривых, за2 a даваемых дифференцируемыми функциями. В частности, если у кривой имеются точки с вертикальными касательными (там y ), то для вычисления ее длины можно либо использовать полученную формулу, рассматривая соответствующий интеграл как несобственный, либо записав уравнение кривой в параметрической форме, использовать t2 формулу L xt 2 yt 2 dt , для которой требование существования производной t1 y( x) не обязательно. 2. Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями x x(t ), t2 2 2 2 y y (t ), то при указанных ранее условиях L xt yt zt dt. z z (t ), t1 П р и м е р 1. Найти длину окружности x 2 y 2 R 2 . Решение: В силу симметрии окружности найдем четвертую часть ее длины, лежащей в первом квадранте. В нем y R 2 x 2 , 0 x R. x Отсюда y . Следовательно, 2 2 R x R x2 R Rdx R x L 4 1 dx 4 4 Rarcsin 2R. 2 2 2 2 R R x 0 0 0 R x 72 x a(t sin t ), П р и м е р 2. Найти длину дуги циклоиды 0 t 2 . y a (1 cos t ), Решение: L 2 2 2 2 2 a (1 cost ) a sin t dx a 0 2 0 2 2(1 cost )dt a 2 2 0 t 4 sin 2 dt 2 t t 2a sin dt 4a cos 4a 4a 8a. 2 2 0 0 П р и м е р 3. Найти длину астроиды x 2/3 y 2/3 a 2/3 . Решение: Продифференцируем уравнение астроиды как неявную функцию: 2 1/3 2 1/3 x y y 0 , 3 3 73 y 1/3 откуда y 1/3 . x В силу симметрии астроиды найдем четвертую часть ее длины, лежащей в первом квадранте: 2 a a a y 1/3 L x 2/3 y 2/3 a 2/3 1 1/3 dx dx dx 2/3 2/3 4 0 x x x 0 0 a a 1/3 x 1/3 0 a 3 3 dx a1/3 x 2/3 a. 2 2 0 Тогда длина всей астроиды L = 6a. 5.2.2. Вычисление длины дуги плоской кривой в полярной системе координат Рассмотрим случай, когда кривая AB задана уравнением r r () в полярных координатах, причем функция r () и ее производная r () непрерывны на промежутке [; ] . Получим формулу для вычисления длины дуги кривой AB , воспользовавшись выведенной в предыдущем пункте формулой. Действительно, примем за параметр. Тогда получим такой частный x r ()cos , случай параметрических уравнений кривой AB : [;]. y r ()sin , Имеем r cos r sin , y r sin r cos , x x 2 y 2 r 2 () r()2. Таким образом, окончательно получим L r 2 () r() d . 2 П р и м е р . Найти длину дуги кардиоиды r a(1 cos) . Решение: Кардиоида симметрична относительно полярной оси, следовательно, искомая длина равна удвоенной длине кривой ABO . 74 2 r 2 r a 2 (1 cos )2 a 2 sin 2 2a 2 (1 cos ) 4a 2 cos 2 . 2 2 L 2 r 2 r d 4a cos d 8a sin 8a. 2 20 0 0 5.2.3. Дифференциал длины дуги плоской кривой Как было показано, длина дуги кривой определяется формулой b L 1 ( f ( x))2 dx , где y f ( x) x [a; b] . a Предположим, что в этой формуле нижний предел интегрирования оставим постоянным, а верхний будем изменять. Обозначим его через x , а переменную интегрирования – через t . Тогда длина дуги будет функцией верхнего предела: x L( x) 1 ( f (t ))2 dt . a Согласно теоремы Барроу, производная от функции L(x) определяется формулой L( x) 1 ( f ( x))2 . Отсюда дифференциал дуги dL L( x)dx 1 ( y) 2 dx , или с учетом dy того, что y , окончательно получаем dx 2 dy dL 1 dx dx 2 dy 2 . dx 75 Полученная формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTP . y L y f ( x) M dy dl dх 0 T P x dx x x Тогда можно записать еще одну формулу для вычисления длины дуги плоской кривой: b L dL . a Эта формула широко применима при изучении раздела «Криволинейные интегралы». 5.3. Вычисление площади поверхности тела вращения Рассмотрим на плоскости XOY некоторую кривую AB , заданную уравнением y f (x), x [a; b] . Пусть функция f (x) и производная f (x) непрерывны на [a; b] . От вращения кривой AB вокруг оси OX получается тело вращения, ограниченное поверхностью вращения. Определение. Будем называть площадью поверхности вращения площадь поверхности, которая получается от вращения ломаной линии A A0 , A1, A2 , ..., Ak 1, Ak , ..., An B , вписанной в кривую AB при условии, что число точек дробления бесконечно возрастает, а диаметр дробления sup xk при этом стремится к нулю. От вращения хорды Ak Ak 1 получим усеченный конус, площадь боковой поверхности которого 2 y y yk y yk Sk 2 k 1 li 2 k 1 1 k xk . 2 2 xk 76 По теореме Лагранжа yk f ( xk ) f ( xk 1) поэтому f (k ), k ]xk 1; xk [ , xk xk xk 1 y yk S k 2 k 1 1 f 2 ( k ) xk . Следовательно, площадь поверхно2 сти вращения хорды Ak 1 Ak равна n Sk f ( xk ) f ( xk 1 ) 1 f 2 (k )xk . k 1 Измельчая дробление и устремляя 0 , получим точное равенство b S 2 f ( x) 1 f 2 ( x)dx. a Найдем теперь площадь поверхности в случае, когда уравнение кривой x x(t ), задано параметрически: t1 t t2 , x(t ) ; y(t ) – непрерывные y y (t ), функции с непрерывными производными, причем x(t ) 0 t [t1; t2 ]. y Выполним замену переменных: dx x(t )dt; f ( x) t . xt t2 2 y Тогда S 2 yt 1 t x(t )dt , xt t1 или 77 t2 S 2 yt xt 2 yt 2 dt . t1 Если кривая задана в полярных координатах r r (), , где x r cos, y r sin , то S 2 r ()sin r 2 () r2 ()d . П р и м е р 1. Найти площадь поверхности шара радиуса R . Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y R 2 x 2 , R x R вокруг оси OX . Тогда по полученной выше формуле S 2 R R 2 R x 2 x 1 2 2 R x 2 R dx 2 R 2 x 2 x 2 dx 4R 2 . R П р и м е р 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением x a(t sin t ), циклоиды 0 t 2 вокруг оси OX . y a (1 cos t ), Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси OX площадь поверхности равна 1 S 2 a(1 cost ) a 2 (1 cost ) 2 (a sin t ) 2 dt 2 0 78 2 a 2 sin 0 2 2t 2 2a 2 sin 2 2t 2 dt 8a 2 sin 2t 0 t sin dt 2 2 t t 1 t 2 3 8a 21 cos d cos 16a cos cos 2 2 2 3 2 0 0 2t 1 32 16a 2 0 1 0 a 2 . 3 3 5.4. Вычисление объемов 5.4.1. Вычисление объемов произвольных тел Пусть дано тело Т, ограниченное замкнутой поверхностью, и S S (x) , a x b – площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например, к оси абсцисс Ox . y S (x) 0 a x b x z Тогда, разбивая отрезок [a ; b] на n частичных отрезков точками a x0 x2 ... xn 1 xn b , выбирая на каждом из частичных отрезков [ xk 1; xk ] произвольным образом точку k , k 1, n и обозначив xk xk xk 1 , k 1, n получим, что объем V всего тела Т приближенно равен объему фигуры, состоящей из n ступенчатых частичных цилиндров, объем каждого из которых Vk S (k ) xk . 79 y xk S k 0 a k b x z То есть объем V тела Т приближенно равен V n Vk k 1 n S (k )xk . k 1 Очевидно, что последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше диаметр разбиения max {xk } отрезка [a ; b] на частичные отk 1, n резки. Таким образом, объем тела, заключенного между двумя плоскостями x a, x b , в случае, если площадь сечения, проведенная перпендикулярно к оси Ox , есть известная функция S S (x) для x a ; b , вычисляется по формуле V lim b n S (k )xk S ( x) dx . 0 k 1 a Замечание. По полученной формуле возможно вычисление объемов лишь для малого числа тел, для которых известна зависимость S S ( x) . П р и м е р . Найти объем эллипсоида x2 a2 y2 b2 z2 c2 1. Решение: Рассечем эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Оzу: x h . 80 В сечении будут появляться следующие эллипсы: y 2 z 2 1, b2 1 h2 c2 1 h2 h2 , c c 1 h2 . b b 1 с полуосями a2 a2 1 1 a2 a2 x h h2 Зная, что площадь эллипса S S (h) b1c1 bc 1 2 , найдем ис a комый объем: a h2 h3 4 abc. V S (h)dh bc 1 dh bc 1 a2 3a 2 a a 3 a a a При a b c R получаем шар радиуса R , объем которого равен 4 V R 3. 3 5.4.2. Вычисление объемов тел вращения Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb , ограниченной кривой y f (x) , осью Ox и прямыми x a, x b . Если пересечь это тело плоскостями, перпендикулярными к оси Ox , получим круги, радиусы которых равны модулю ординат y f (x) точек данной кривой. 81 y y f (x) B x b A 0 a x z Сечения такого тела плоскостью x = const представляет собой круг с площадью, равной S ( x) y 2 ( f ( x))2 , и формула для вычисления в этом случае имеет вид b b V y dx ( f ( x))2 dx . 2 a a Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции cCDd , то его объем вычисляется по формуле d V ( y ) dy , 2 c где x ( y) – уравнение кривой CD . y D d x ( y) c C 0 x z 82 Объем тел вращения в случае, когда уравнение кривой задано пара x x( t) , метрически: t1 t t2 , x(t ) ; y(t ) – непрерывные функции y y ( t ) , с непрерывными производными, причем x(t ) 0 t [t1; t 2 ] имеет вид t2 V yt 2 хtdt . t1 Если кривая задана в полярных координатах r r (), , где x r cos, y r sin , то 2 V r 3 ()sin d . 3 П р и м е р 1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y x , x 1, x 3 . Решение: y y x 0 1 2 3 4 x z По формуле нахождения объема тела вращения, имеем 4 x2 15 V y dx x dx (16 1) . 2 1 2 2 1 1 4 4 2 П р и м е р 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривой y e x , x 0. 83 Решение: 0 0 V e dx e 2 x (1 e ) . 2 2 2 2x П р и м е р 3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси x a(t sin t ), абсцисс фигуры, ограниченной аркой циклоиды y a (1 cos t ), 0 t 2 . Решение: V 2a y 2 dx . При этом dx a(1 cost )dt . Если x 0 , то t 0 , если 0 x 2a , то t 2. Тогда V 2a 2 2 y dx a (1 cost ) a(1 cost )dt a 0 0 a 3 2 2 1 3 cost 3 cos 2 2 3 2 (1 cost ) 3 0 t cos3 t dt 0 2 2 1 cos 2t 2 2 a t sin 3t 0 3 dt 1 sin t d sin t 2 0 0 2 3 3 sin 2 t sin t 3 2 3 3 a 2 t 2 sin t 2 84 5 a . 3 0 dt 5.5. Приложения определенного интеграла к решению физических задач 5.5.1. Работа переменной силы Пусть материальная точка под действием силы F (x) движется по пря мой. Пусть сила F сохраняет свое направление, но меняется по модулю. Найдем работу A силы F на участке [a; b]. Используем алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к определенному интегралу. Разобьем участок [a; b] на n произвольных частей точками x0 a ; x1; x2 ;...xk 1; xk ;...xn b . Введем следующие обозначения: xk xk xk 1 – длина участка разбиения, sup xk – диаметр разбиения (наибольшая из всех длин участков разбиения). На каждом частичном участке [ xk ; xk 1] возьмем произвольную точку k и вычислим в ней значение функции F ( k ) , тогда An n F ( k ) xk . k 1 В качестве работы, совершаемой силой на участке [a; b] , примем предел этой интегральной суммы при 0 . b Таким образом, A F ( x)dx . a П р и м е р 1. Какую работу необходимо совершить для растяжения пружины на 0,05 м, если сила 1 Н растягивает пружину на 0,01 м. Решение: По закону Гука, модуль силы упругости пропорционален деформации пружины, т. е. F kx , где k – коэффициент пропорциональности. 1 100 , следовательно, F 100 x . Из условия определяем k : k 0,01 85 Искомая работа равна 0,05 A 0,05 F ( x)dx 100 xdx 50 x 2 0 0 0,05 0 0,125 Дж . П р и м е р 2. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса R ? Решение: 0 r x R dx R x Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобьем полушар на элементы толщины dx . Элементарная сила (сила тяжести), действующая в направлении оси OX на слой, толщиной dx , с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно dx равна gr 2 dx , где – плотность воды, g – ускорение свободного падения. Следовательно, элементарная работа силы равна dA gr 2 xdx , где x – уровень воды, r R2 x2 . Отсюда находим R R2 x2 x4 R4 R4 R4 2 2 A g R x xdx g g g . 2 2 4 4 4 0 0 R 86 5.5.2. Сила давления жидкости на пластину Пусть пластинка, имеющая форму криволинейной трапеции, погружена вертикально в жидкость, плотность которой равна , таким образом, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня на расстояниях, равных соответственно a и b . Определим силу давления со стороны жидкости на пластину. По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластину, а высотой – глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. P ghS , где g – ускорение свободного падения. Если же пластину поместить вертикально, то давление жидкости будет изменяться с глубиной погружения. При этом давление в жидкости передается одинаково по всем направлениям, в том числе и на вертикальную пластину. Пусть уравнение кривой AB имеет вид y f (x) , где f (x) – непрерывна на отрезке [a; b] . Используем алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к определенному интегралу. Разобьем участок [a; b] на n произвольных частей точками x0 a ; x1; x2 ;... xk 1; xk ;... xn b . Введем следующие обозначения: xk xk xk 1 – длина участка разбиения, sup xk – диаметр разбиения (наибольшая из всех длин участков разбиения). Проведем через точки x0 ; x1; x2 ; ... xk ; xk 1; ... xn прямые, параллельные оси OY , которые разобьют пластину на n малых горизонтальных полосок. 87 На каждом частичном участке [ xk ; xk 1 ] возьмем произвольную точку k и вычислим площадь S k малой горизонтальной полоски: S k f ( k )xk . Считая, что все точки каждой элементарной пластины находятся на одной глубине h k , вычислим силу давления: Pk g k f ( k )xk . Просуммировав по всем полоскам, получим Pn n g k f ( k ) xk . k 1 В качестве точного значения силы давления жидкости на пластину возьмем предел этой интегральной суммы при 0 : b P g xf ( x)dx . a Если в жидкость погружена пластина, ограниченная кривыми x a, x b, y y1( x), y y2 ( x) , то сила давления на эту пластину вычисляется по следующей формуле: b P g x( y2 y1 )dx . a П р и м е р 1. Найти силу давления P , испытываемую полукругом радиуса R , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды. Решение: В силу симметрии круга достаточно найти силу давления на четвертую часть круга и удвоить результат. Уравнение четверти круга имеет вид x 0, y 0 : y R2 x2 . 88 O R x dx r R x Тогда R 2 P 2 g x R x dx g 3 0 2 2 R 2 x 23 R 0 2 gR 3 . 3 П р и м е р 2. Треугольный щит вертикально опущен в воду, причем основание треугольника находится на уровне воды. Требуется найти силу давления P на одну из сторон щита, если щит имеет форму равностороннего треугольника со стороной a. Решение: В силу симметрии равностороннего треугольника достаточно найти силу давления со стороны его половины и удвоить результат. Уравнение гипотенузы половины треугольника имеет вид x 0, y 0 : y 3 a 1 3 a x x . 3 2 3 2 a / 2 O a /2 x l a 3/2 x 89 dx Тогда 2g P 3 a 3/2 0 a 3/2 3 a 3 x 2 x3 2 ρx a x dx ρg 2 2 2 3 3 0 ρga3 . 8 5.5.3. Путь, пройденный телом Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью V V (t ) . Найдем путь S , пройденный точкой за промежуток времени от t1 до t2 . Из физического смысла производной известно, что скорость движения по прямой есть первая производная от пути по времени, следовательно, dS . Отсюда dS V (t )dt . Интегрируя данное соотношение, получим V (t ) dt величину пройденного пути: t2 S V (t )dt . t1 П р и м е р . Найти путь, пройденный телом за третью секунду от начала движения, если скорость тела изменяется по закону V 10t 2 . Решение: Путь, пройденный телом за третью секунду от начала движения, равен разности 3 S (10t 2)dt 5t 2 2t 2 5 9 4 2 3 2 25 2 27 м. 0 3 3 2 5.5.4. Кинетическая энергия тела Кинетическая энергия материальной точки, имеющей массу m и скорость v, определяется выражением mv 2 K . 2 90 Кинетическая энергия системы n материальных точек с массами m1, m2 ,..., mn и скоростями v1, v2 ,..., vn равна mi vi2 . K 2 i 1 n Чтобы вычислить кинетическую энергию тела, его разбивают соответствующим образом на элементарные части, играющие роль материальных точек. Затем, суммируя кинетические энергии этих частей, с помощью предельного перехода вместо суммы получают соответствующий определенный интеграл. П р и м е р . Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра, заполненного средой плотности , имеющего радиус основания R, высоту H и вращающегося с угловой скоростью w вокруг своей оси. Решение: Примем за элементарную часть полый цилиндр высоты H, с внутренним радиусом r и толщиной стенки r . Его (элементарная) масса равна m {(r r )2 H r 2 H } {2rr (r )2}H 2r H r . Так как линейная скорость массы m равна v rw , то элементарная кинетическая энергия равна v 2dm K r 3w2 H r . 2 Следовательно, R w2R 4 H 2 3 K w H r dr . 4 0 91 5.5.5. Количество электричества Пусть по проводнику течет ток переменной силы I I (t ) , где I ( t ) 0 . Тогда количество электричества Q , протекшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени t1 ; t2 t1 t2 , вычисляется по формуле Q t2 I (t ) d t , t1 где I выражена в амперах, t – в секундах. П р и м е р . Сила тока I в проводнике меняется со временем по закону I 2 3t 2 . Определить, какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от t1 2 с до t 2 5 с. Решение: 5 Q 2 3t 2 2 5 5 3t 3 3 3 3 d t 2t 2t t 2 2 5 5 2 2 2 3 2 10 125 4 8 135 12 123 K . 5.5.6. Масса материального объемного стержня Пусть V – некоторое неоднородное тело массой m . Тогда вычисление его массы можно записать в виде определенного интеграла m dm, V описывающего суммирование масс dm бесконечного числа малых элементов dV , образующих тело V . Плотностью неоднородного материального тела в некоторой его точке называется предел отношения массы элемента тела к величине объема этого элемента, когда последний стягивается к этой точке: m . V 0 V lim 92 Поэтому для бесконечно малого элемента тела dm dV , и получаем следующую формулу для вычисления массы: m dV . V П р и м е р . Вычислить массу однородного стержня, ограниченного замкнутой поверхностью, образованной вращением вокруг оси Ох линии у 0,003 0,005х(3 х). Стержень имеет длину 3 м, ограничен плоскостями х 0 и х 3. Плотность материала 8 103 кг/ м3 . Решение: Так как плотность стержня постоянная, то m dV dV V , V V где V – объем стержня. Объем стержня вычислим как сумму объемов цилиндрических элементов, которые перпендикулярны оси Ох, имеют бесконечно малую толщину dx , круглое сечение радиуса y(x). Объем такого элемента dV πy 2 ( x)dx, а объем всего стержня представляется определенным интегралом: 3 V dV π y ( x)dx π 10 2 V 0 6 3 (3 5x(3 x)) 2 dx 0 3 π 106 [9 30 x(3 x) 25 x 2 (9 6 x x 2 )]dx 0 6 3 729 75 . π 10 9 x 45 x 65 x x 4 5 x5 106 2 2 0 2 3 Тогда масса тела m V 8 103 106 729 2,916 9,16 кг. 2 93 Контрольные вопросы 1. Какие общие элементы или этапы имеет схема применения определенного интеграла для вычисления различных геометрических и физических величин? 2. Является ли таким общим элементом составление интегральной суммы? Вычисление ее предела? 3. Является ли соответствующая интегральная сумма при вычислении геометрической или физической величины ее точным значением? С какой целью при этом вычислении находится ее предел? 4. Пусть кривая AB задана уравнением y f ( x ) на отрезке [a, b] . В чем различие между условиями на функцию f ( x ) при вычислении с помощью определенного интеграла площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой AB, осью Ox и прямыми x a , x b , и длины кривой AB? 5. Что понимается под длиной дуги кривой? Участвует ли в этом определении понятие предела? 6. Какая кривая (дуга) называется спрямляемой? Могут ли существовать неспрямляемые кривые? 7. Объем тела, образованного вращением некоторой кривой y f ( x ) вокруг оси Ox или Oy, и поверхность этого тела выражаются определенным интегралом через функцию f ( x ) . В каком случае на f ( x ) налагаются более сильные требования – при вычислении объема или поверхности? 8. Для вычисления каких геометрических и физических величин можно применять определенный интеграл? Важна ли при этом физическая природа величины? Типовые примеры П р и м е р 1. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми y1 x 2 1 , y2 x 1, x 2 . Решение: y x 2 1, найдем точки y x 1, Решив систему уравнений пересечения A1 (1;0) , A2 (2 ; 3) параболы y1 x 2 1 и прямой y2 x 1. Следовательно, 2 x 2 x3 29 2 2 S ( x 1) ( x 1) dx ( x x 2) dx 2 х . 3 2 1 3 1 1 2 2 94 y B y x 1 A 1 1 0 2 x y x2 1 1 П р и м е р 2. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми y1 x 2 1 , y2 x 1 , x 2 . Решение: y x 2 1, Решив систему уравнений найдем точки A(0;1) , B(1; 0) y x 1, пересечения параболы y1 x 2 1 и прямой y2 x 1 . Следовательно, 1 2 2 S ( x 1) ( x 1) dx ( x 2 1) ( x 1) dx 0 1 1 2 x 2 x3 x3 x 2 1 1 8 4 1 1 1. 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 0 1 95 П р и м е р 3. Вычислить y x2 и y 2 x2 . Решение: площадь фигуры, ограниченной линиями y y2 x 2 y1 2 x 2 -1 x 1 y x 2 , Найдем координаты точек пересечения линий откуда 2 y 2 x , x1 1 ; x2 1: S 2 x 1 1 2 x dx 2 2x dx 2 1 x dx 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 8 x3 2 x 2 1 1 . 3 3 3 3 1 1 П р и м е р 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y ln( x 2) , y 2 ln x , y 0 . Решение: График функции y ln( x 2) и y 2 ln x ось 0 x пересекают в точках x 1 и x 1 соответственно. Решая систему уравнений: y ln( x 2) , y 2 ln x , x 0 найдем точку пересечения графиков: y 2 ln x,2 ln x ln( x 2), x 0 . Отсюда следует, что x 2 x 2 0 , y 2 ln x , x 0 . Уравнение x 2 x 2 0 имеет решения x1 2 и x2 1 , из которых x2 0 является посторонним. Поэтому эти графики имеют лишь одну точку пересечения A2;2 ln 2 . Кривая AB – график функции y ln( x 2) , а кривая AC – y 2 ln x . Площадь фигуры BACB равна разности площадей криволинейных трапеций BADB и CADC . Следовательно, 2 2 1 1 S BACB ln( x 2)dx 2 ln xdx . 96 у A 2ln2 В С –1 D 1 0 2 х Оба интеграла вычислим методом интегрирования по частям: 2 u ln( x 2), du 1 dv dx, v x J 1 ln( x 2)dx dx 2 , x22 2 dx x 2 x ln( x 2) 1 x 2 1 2 2 ln 4 ( x 2 ln( x 2)) 1 2 ln 4 (2 (1)) 2 ln 4 4 ln 4 3 . 2 u ln x, du 1 dv dx, v x J 2 ln xdx dx 2 , 2 2 x ln x x dx 2 ln 2 x 1 ln 4 (2 1) 1 1 ln 4 1. Таким образом, получим S J1 2 J 2 2 ln 4 1 . П р и м е р 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 2 y x3 , прямой y 1 и осью Оу. Решение: Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся формулой, когда кривая задана функциональной зависимостью x x( y). 1 1 3 Имеем х у , тогда S у dу у 5/3 0,6. 5 0 0 2/3 2/3 Замечание. Данный пример можно было бы решить и с учетом функциональной зависимости y y( x). Тогда искомая площадь была бы равна разности площади квадрата со стороной, равной 1, и площади фигуры, лежащей ниже прямой y 1: 1 S 1 x 0 1 3/2 2 dx 1 x5/2 0, 6. 5 0 97 у 1 0 1 х П р и м е р 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 х 1, х y 1 0. Решение: 2 1 Первая линия – парабола с осью симметрии Ох и вершиной А ;0 . 2 Вторая – прямая, имеющая с параболой две общих точки В(0;1) и С (4;3). Форма фигуры не позволяет непосредственно, т. е. не разбивая на части, найти ее площадь, рассматривая ее относительно оси Ох . Однако, если рассматривать фигуру относительно оси Оу , то ее площадь можно найти без разбиения на составные части. y2 1 Имеем х1 ( у ) , х2 ( у) у 1, и 2 3 3 2 у2 y y 9 5 16 у 1 dу y . S у 1 2 2 6 2 2 6 3 1 1 3 98 П р и м е р 7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой 8a3 2 4ay x и локоном Аньези y 2 x 4a 2 . Решение: Чтобы найти пределы интегрирования, решаем совместно уравнения x2 8a3 данных кривых: . Отсюда найдем, что кривые пересекаются 4a x 2 4a 2 в точках A(–2a;a) и B(2a;a). Тогда 2a 2a 2 x x x3 8a 8a3 S 2 dx 2 arctg 2a 2 . 2 2 4a 3 2a 12a x 4a 2a 0 0 3 2 П р и м е р 8. Найти площадь одного витка архимедовой спирали r a . Решение: 99 1 2 2 2 a2 3 S a d 2 6 0 2 0 4 3a 2 , 3 так что площадь витка спирали равна трети площади круга 43a 2 радиуса OA 2a. Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями x 5(t sin t ) , y 5(1 cost ) , y 5, 0 x 10, y 5. Решение: Фигура ограничена горизонтальной прямой y 5 и циклоидой x 5(t sin t ), L: y 5(1 cos t ). Одной арке циклоиды соответствует изменение 0 x 10 (при этом 0 t 2 ). Для концевых точек дуги АВ найдем значения параметра t из уравне 3 ния y(t ) 5(1 cos t ) 5. Имеем cos t 0, откуда t1 , t 2 . 2 2 Тогда S t2 3/2 t1 /2 y(t ) 5x(t )dt [5(1 cos t ) 5]5(1 cos t )dt 3/2 25 3/2 cos t (1 cos t )dt 25 /2 t sin 2t 25 sin t 4 2 3/2 /2 1 cos 2t cos t dt 2 /2 25( 4) . 25 2 2 2 П р и м е р 10. Найти площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r 3 cos 2 . 100 Решение: 4 3 4 r 3cos 2 O 3 7 4 5 4 1 1 S 8 2 /4 0 9 r ()d 2 2 9 4 /4 /4 0 9 9 cos 2d 2 2 /4 /4 0 1 cos 4 d 2 9 d 16 cos 4d 4 16. 0 0 9 Таким образом, S . 2 П р и м е р 11. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя окружностями r 4cos и r 2cos . Решение: до . При 2 2 этом лучи сектора, заключающего в себя фигуру, как ее границы вырождаются в точку касания. Угол для обеих кривых изменяется в пределах от 101 Поэтому /2 /2 1 1 2 2 S r2 () r1 () d 16cos 2 4cos 2 d 2 ( /2) 2 ( /2) /2 /2 /2 sin 2 3. 6 cos d 3 1 cos 2 d 3 2 ( /2) ( /2) ( /2) 2 П р и м е р 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями r 1 cos и r cos . Решение: Половине искомой площади соответствует изменение угла в преде лах от 0 до . Но внутренняя кривая при этом меняется от 0 до . 2 Поэтому приходится вычислять искомую площадь как сумму двух площадей: 1 /2 2 1 2 S 2 r2 () r1 () d r2 2 ()d 2 2 /2 0 /2 (1 cos ) 0 /2 = cos d 2 (1 cos ) 2 d /2 1 2cos d (1 cos 2 cos /2 0 2 2 )d 1 = 1 2cos d cos d 1 2cos d (1 cos 2)d 2 /2 0 /2 0 2 ( sin 2) 0 1 sin 2 1 5 = . 2 2 4 2 2 0 102 П р и м е р 13. Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью r 3sin из кардиоиды r 1 cos . Решение: Искомая фигура состоит из двух криволинейных секторов: r 3sin , 0, и r 1 cos , , . Сектора отделяет друг от друга полярный луч , на котором лежит точка пересечения кривых. r 3 sin , Найдем из системы уравнений Имеем , тогда 3 r 1 cos . 1 S 2 3 4 /3 3sin 2 d 2 d /3 0 /3 (1 cos ) (1 cos 2)d 0 1 (1 2cos cos 2 )d 2 /3 /3 3 sin 2 1 sin 2 1 (1 cos 2)d 4 2 0 2 2 /3 4 /3 sin 2 3 3 1 2 1 3 4 3 4 2 3 2 /3 4 3 3 3 1 2 3 3 3 . 4 16 3 2 4 3 4 4 П р и м е р 14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями r 2 sin 2 и r 1 r 1 . Решение: В полярной системе координат кривая уравнения r 2 sin 2 представляет четырехлепестковую розу. 103 r 2sin 2 12 1 O р Уравнение r 1 описывает окружность радиуса 1, центр которой совпадает с полюсом. Таким образом, площадь, которую необходимо найти по условию задачи, состоит из четырех заштрихованных частей. Найдем площадь S1 той ее части, которая расположена в первом квадранте. Пределы изменения полярного угла найдем, решая совместное уравнение кривых k , 2 sin 2 1, (1) k 12 2 откуда в первый квадрант попадают значения 1 Тогда 1 S1 2 5 /12 1 (4sin 2 1) d 2 /12 5 и 2 . 12 12 5 /12 2 [2(1 cos 4) 1]d /12 5 /12 1 sin 4 1 3 . 2 2 /12 2 3 2 3 2 3 3 . Искомая площадь S 2 3 2 3 1 П р и м е р 15. Вычислить длину линии y x3/2 от начала координат 3 до точки Â 12; 8 3 . 104 Решение: 1 1 3 x ; y x 2 3 2 2 x 1 ( y) 2 1 ; 4 1 ( y) 2 1 x ; 4 и тогда L 12 0 12 x 1 dx 4 4 0 x 1 x x 4 1 d 1 4 4 4 3/ 2 3/2 12 0 8 x 12 8 8 64 8 56 1 3 1 3 . 1 3 40 3 3 3 3 3 П р и м е р 16. Вычислить длину цепной линии y e x/2 e x/2 , x 0;2 . Решение: Находим 2 1 1 1 y e x /2 e x /2 ; 1 ( y) 2 1 e x 2 e x e x /2 e x/2 . 2 4 4 Тогда 1 ( y) 2 и 2 1 x /2 x /2 e e , 2 1 x /2 x /2 e e dx e x /2 e x /2 2 0 L 2 0 1 e . e П р и м е р 17. Вычислить часть длины кардиоиды r 7(1 cos ) от до . 2 3 105 Решение: /2 L [7(1 cos )]2 [7(1 cos )]2 d /3 /2 /3 /2 7 /3 /2 49(1 2cos cos 49sin )d 7 2 2 2cos d 2 /3 /2 4cos 2 d 28sin 28 sin sin 14 2 2 /3 4 6 2 1 . П р и м е р 18. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриче ски: х 2(3cost cos3t ) , y 2(3sin t sin 3t ) , 0 t . 2 Решение: Имеем x 6( sin t sin 3t ); y 6(cost cos3t ). Тогда /2 L 36(sin 3t sin t )2 36(cos t cos3t ) 2 dt 0 /2 6 /2 2 2(sin 3t sin t cos3t cos t )dt 6 0 2 2cos 2tdt 0 /2 = 6 0 /2 /2 4sin 2 tdt 12 sin tdt 12cos t 0 12. 0 П р и м е р 19. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox петли кривой 9 у 2 х(3 х) 2 . 1 Для верхней части кривой при 0 х 3 имеем у (3 х) х . Отсюда 3 1 (3 х) 1 х у х , 3 2 х 2 х 106 и 1 ( у( х))2 dx x 1 dx. 2 x Решение: Тогда 1 x 1 S 2 (3 x) x dx (3 x)( x 1)dx (2 x x 2 3)dx 3. 3 30 30 2 x 0 3 3 3 П р и м е р 20. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды x cos3 t; y sin 3 t вокруг оси Ox . Решение: В силу симметрии получаемой поверхности достаточно посчитать половину площади. В этом случае координата х меняется от х 0 до х 1 . Определим значения t1, t 2 . Если х 0 , то cos3 t 0 , и t1 . При 2 3 х 1 , cos t 1, и t 2 0. 107 Имеем yt 3sin 2 t cost; xt 3 cos2 t ( sin t ); ( xt )2 ( yt )2 9sin 4 t cos 2 t 9cos 4 t sin 2 t 9sin 2 t cos2 t (cos2 t sin 2 t ) 3sin t cost. Тогда 0 0 sin 5 t S 4 4 6 sin t cos tdt 6 sin td (sin t ) 6 5 2 /2 /2 0 /2 6 , 5 и S 12 . 5 П р и м е р 21. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты r 2 cos 2 вокруг: а) полярной оси; б) вокруг оси . 2 Решение: Лемниската симметрична относительно обеих координатных осей, ее 3 5 график проходит в двух секторах: и . 4 4 4 4 а) Участок кривой, лежащей в первой четверти, отвечает значениям 0 . При вращении он дает поверхность, площадь которой составляет 4 половину от всей площади: /4 /4 S a 2 r ()sin r 2 () r2 ()d 2 a cos 2 sin d 2 cos 2 0 0 /4 2a 2 sin d 2a 2 cos 0 108 /4 0 a 2 (2 2), и, окончательно, S 2a 2 (2 2); б) Аналогично предыдущему пункту, можно ограничиться участком кривой, лежащей в первой четверти, и удвоить полученную площадь: /4 /4 S a 2 r ()cos r 2 () r2 ()d 2 a cos 2 cos d 2 cos 2 0 0 /4 2a 2 cos d 2a 2 sin 0 /4 0 2a 2 , и, окончательно, S 2 2a 2 . П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у2 у 2 х 1, z , z 0, y 0. 4 2 Решение: Данное тело – цилиндрический клин, в основании которого полуэллипс, а наклонная плоскость проходит через малую ось эллипса. Сечение клина плоскостью у const представляет собой прямоугольник площади S 2hx. 4 y2 4 y2 y2 y . , x 1 Поскольку h , то S S ( y ) y 4 2 2 2 Тогда искомый объем 2 1 V S ( y )dy 2 0 2 1 (4 y 2 )3/2 4 2 y 4 y dy . 3 3 2 0 0 2 2 109 П р и м е р 23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2 у2 z 2 1, z 0, z 2. 25 9 16 Решение: Тело ограничено однополостным гиперболоидом и двумя горизонтальными плоскостями. Сечениями гиперболоида плоскостями z const являются эллипсы, уравнения которых имеют вид х2 z2 251 16 у2 z2 91 16 1. Поэтому полуоси эллиптического сечения равны a b 3 16 z 2 . 4 Площадь эллипса S ab 5 16 z 2 , 4 15 16 z 2 . 16 Тогда 2 15 z3 65 15 2 2 . V S ( z )dz (16 z )dz 16 z 16 0 16 3 2 0 0 2 П р и м е р 24. Найти объем тела (параболоида вращения), образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболой y 2 2 px , осью Ox и прямой x const. 110 Решение: x x x 0 0 0 x2 2 Vx y dx 2 pxdx 2p 2 px 2 1 2 y x , 2 так что объем параболоида равен половине объема цилиндра, имеющего то же основание – круг радиуса y y( x) и ту же высоту x. П р и м е р 25. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры y sin x; y 0; 0 x : а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. Решение: а) y y sin x π 0 x 1 1 cos 2 x Vx y dx sin xdx dx dx cos 2 x dx 2 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 1 2 x sin 2 x sin 2 0 sin 0 . 2 2 2 2 2 0 2 2 111 б) Vy 2 xy ( х)dx 2 x sin xdx 0 0 ux du dx dv sin xdx v cos x 2 x cos x 0 cos xdx 2 cos sin x 0 22 . 0 П р и м е р 26. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной графиками функций: y ( x 1)2 , x 0, x 2, y 0 . Решение: y –2 –1 2 x Пусть V – искомый объем; V1 – объем цилиндра, образованный вращением прямой x 2; V2 – объем, образованный вращением параболы АВ; V3 – объем, образованный вращением параболы ВС и отрезка ОВ. 112 y 1 y A 1 y 0 V1 B 1 x x C B 0 V2 1B V3 Тогда V V1 V2 V3 . Для вычисления каждого объема используем формулу b V x( y ) dy , где х(у) – уравнение образующей, [а, b] – проекция тела 2 a вращения на ось Оу (ось вращения). Из уравнения параболы y ( x 1) 2 выразим уравнения левой (АВ) и правой (ВС) ее ветвей: АВ: x 1 y ; ВС: x 1 y . Имеем 1 V1 22 dy 4; 0 1 1 V2 (1 y ) dy (1 2 y y)dy 2 0 1 0 1 17 ; 6 1 V2 (1 y )2 dy (1 2 y y )dy . 6 0 0 Окончательно 17 1 4 V V1 V2 V3 4 . 6 6 3 П р и м е р 27. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций у х 2 , у 2 х, ( х 0) : а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. Решение: у х2 , а) Из системы уравнений найдем точку пересечения (1;1) у 2 х данных линий. 113 Пусть V – искомый объем; V1 – объем, образованный вращением прямой у 2 х; V2 – объем, образованный вращением параболы у х 2 . Тогда 1 1 (2 х)3 х5 V V1 V2 (2 х) dх х dх 3 5 0 0 0 0 1 1 2 4 8 32 . 3 3 5 15 б) Пусть V – искомый объем; V1 – объем, образованный вращением параболы х у , 0 у 1; V2 – объем, образованный вращением прямой х 2 у, 1 у 2. Тогда 1 2 у2 (2 у )3 5 . V V1 V2 уdу (2 у ) dу 2 0 3 1 2 3 6 0 1 1 2 2 114 П р и м е р 28. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, 4 ограниченной линиями: y ; x 1; x 4; y 0 : а) вокруг оси Ох; x б) вокруг оси Оу. Решение: а) 2 4 x 1 4 16 4 4 2 Vx dx 16 x dx 16 (1) 1 x 1 1 х 1 16 16 16 4 12. 4 1 4 б) Пусть V – искомый объем; 4 ; x V2 – объем цилиндра, образованный вращения прямой x 1 (1 ó 4) ; x4 V3 – объем цилиндра, образованный вращения прямой (0 у 1); x 1 V4 – объем цилиндра, образованный вращения прямой (0 у 1) . V1 – объем, образованный вращением гиперболы y 115 Тогда V V1 V2 V3 V4 : 2 4 4 16 16 16 V1 dy 16 y 2dy 12; y y 4 1 1 1 1 4 4 V2 R 2 H 12 3 3; V3 4 2 1 16; V4 12 1 . Таким образом, V V1 V2 V3 V4 12 3 16 24 . П р и м е р 29. Вычислить объем тела, полученного вращением окружности r 2 cos вокруг оси Ox . Решение: /2 /2 2 16 3 V r sin φ d cos3 sin d 3 0 3 0 16 3 /2 0 16 cos 4 cos d (cos ) 12 3 /2 0 4 . 3 П р и м е р 30. Найти объем тела, образованного вращением кардиоиды r a(1 cos) вокруг полярной оси. Решение: В силу симметрии кардиоиды относительно полярной оси достаточно рассматривать вращение ее верхней половины, отвечающей [0, ] : 2 V a3 (1 cos )3 sin d 3 0 116 2 a3 (1 3cos 3cos 2 cos3 )d (cos ) 3 0 2 3 cos 4 8 a3 cos cos2 cos3 a3 . 3 2 4 3 0 П р и м е р 31. Найти объем тела, образованного вращением астроиды x a cos3 t , y a sin 3 t , вокруг оси Ох. Решение: t2 Имеем V y 2 (t ) xt dt. Посчитаем половину объема тела вращения. t1 В этом случае координата х меняется от х 0 до х а . Определим значения t1, t 2 . Если õ 0 , то a cos3 t 0 , и t1 . При õ à , a cos3 t a , и t 2 0. 2 Следовательно, 0 0 V 3 3 2 2 3 3 a (sin t ) cos t ( sin t )dt 3a (1 cos 2 t )3 cos 2 t d (cos t ) 2 /2 /2 0 3a 3 (1 3cos 2 t 3cos 4 t cos6 t ) cos 2 t d (cos t ) /2 cos3 t 3cos5 t 3cos7 t cos9 t 3a 3 5 7 9 3 3 1 16a3 31 3a . 3 5 7 9 105 0 3 117 /2 П р и м е р 32. Определить работу, совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту H . Масса спутника m , радиус Земли R . Чему равна эта работа, если тело удаляют в бесконечность? Решение: Обозначим через F силу притяжения спутника Землей. Согласно закону всемирного тяготения, mM F , r2 где гравитационная постоянная, M масса Земли, r расстояние от спутника до центра Земли. Если r R (т. е. на поверхности Земли), то F mg. Поэтому mgR 2 mg , откуда M gR , и F (r ) 2 : r r2 mM 2 R H A R H F (r )dr mgR 2 R R mgR 2 2 r dr r R H R mgRH . RH Работа по удалению тела на бесконечность: mgRH mgR. H R H A lim П р и м е р 33. Вычислить массу цилиндрического неоднородного стержня. Радиус стержня R 0,007 м, длина l 2 м. В системе координат, начало которой совпадает с началом стержня, плотность стержня изменяется по закону (9 0,01x) 103 кг/м3 . Решение: Мысленно разобьем стержень на цилиндрические участки бесконечно малой толщины dx . Ввиду малости dx, изменением x в пределах каждого такого элемента пренебрегаем, т. е. считаем его однородным. Тогда масса такого элементарного участка равна dm ( x)dV , где dV Sdx объем элементарного участка, а S R2 площадь поперечного сечения. Из этого следует, что dm R2( x)dx : 2 m dm R ( x)dx R 2 V 0 2 2 3 2 (9 0,01x)dx 49 10 9 x 0,005x 0 0,49 1,802 2,774 кг. Задания Выполните задания 8–12 из прил. 4. 118 2 0 Библиографический список 1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985. 2. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука, 1989. 3. Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач : Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Минск : ТетраСистемс, 1998. 4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1980. 5. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1–3 / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Высш. шк., 1988. 6. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л. А. Кузнецов. – М. : Высш. шк., 1994. 7. Никольский, С. М. Курс математического анализа. Т. 1–2 / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1983. 8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1972. 9. Руководство к решению задач по высшей математике. Ч. 2 / под общ. ред. Е. И. Гурского. – Минск : Вышейш. шк., 1990. 10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 / под ред. А. П. Рябушко. – Минск : Вышейш. шк., 1990. 11. Шилов, Г. Е. Математический анализ функции одного переменного / Г. Е. Шилов. – М. : Наука, 1970. 12. Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики. Т. 2 / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М. : Высш. шк., 1978. 119 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица неопределенных интегралов № п/п Формула 1 u du 2 3 4 5 6 u 1 C , 1 1 du ln | u | C u au u a du ln a C, a 0, a 1 e du e C sin udu cos u C cos udu sin u C. u u du 7 cos2 u tg u C 8 sin 2 u ctg u C 9 u 2 a2 a arctg a C a arcctg a C 10 11 12 du du 1 du u arcsin 1 u u u C arccos C a a a2 u 2 du 1 ua u 2 a2 2a ln u a C du 2 2 2 2 ln | u u a | C u a 13 14 u 2 a2 2 u a du u a ln u u 2 a 2 C 2 2 u 2 a2 u u 2 a 2 du u a 2 arcsin C 2 2 a 2 2 120 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Уравнения некоторых кривых в полярных координатах 1. Окружности: r a центральная окружность, r 2a cos правая окружность, r 2a sin верхняя окружность. 2. Спирали: r a спираль Архимеда, a r гиперболическая спираль, r a логарифмическая спираль. 3. Розы: r a sin 3 , r a cos3 трехлепестковые розы, r a sin2 , r a cos2 четырехлепестковые розы. 121 4. Улитка Паскаля: r acos b . 5. Кардиоида: r a(1 cos ) . 6. Лемниската Бернулли: r 2 2a 2cos2 . 7. Локон Аньези: rsin a3 a 2 r 2cos x2 y a 2 (a y) ): 122 (в декартовой системе координат ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Некоторые параметрически заданные кривые x a cos t , 1. Центральная окружность: 0 t 2 . y a sin t , x a cos t , 2. Эллипс: 0 t 2 . y b sin t x a (t sin t ), 3. Циклоида: 0 t 2. y a (1 cos t ), x a cos3 t , 4. Астроида: 0 t 2. 3 y a sin t , 3at x 1 t 3 , t 1; 5. Декартов лист: 2 y 3at , 1 t . 1 t3 123 x t 2 , 6. Полукубическая парабола: 3 y at , 124 t R. ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Индивидуальные задания Задание 1. Не вычисляя интегралов, сравнить их (указать больший). Вар-т Задание Вар-т Задание 1 1 x e dx xdx 0 2 3 x e dx 7 9 1 2 1 1 12 2 x dx ( x 3)dx и 4 4 /2 /2 3 cos xdx и cos xdx 0 0 /2 /2 sin xdx и xdx x и 2 x 5x e dx 27 3 2 4 29 3 3 24 26 3x dx 28 2 ( x 2)dx и 2 4 sin xdx cos xdx и cos xdx dx и 1 1 1 e xdx и e x 3x dx sin xdx dx и 0 1 ( x 1)dx и x xdx (x и 4 (x 2 1)dx 30 2 125 1)dx 1 (2 x и 2 1)dx 0 1 ( x 2)dx (2 x sin 4 x)dx и 0 /4 2 2 ( x cos x)dx ( x cos x)dx и 0 x 2 dx 1 и 2 3x dx 2 /2 /2 0 3 0 sin xdx и sin xdx 3 ( x 1)dx и x 2 dx 1 /2 1 /2 0 0 0 0 3 sin xdx и sin xdx e 1 2 dx 2 (2 x 1)dx 2 0 3 2 /2 0 x 2 1 22 0 /2 1 2 0 x x sin 2 dx 1 2 sin xdx и 0 1 20 2 /2 25 0 /4 4 и 0 0 2 2 x dx 0 /2 18 1 x e dx и /2 2 5 sin xdx и sin xdx 0 1 x sin 3 dx dx и 1 23 16 1 2 0 /2 2 1 x sin xdx 2 2 21 14 dx 1 1 4 19 2 0 0 3 2 xdx и x 12 0 1 2 17 10 0,5 xdx и 0 1 x e dx 3 1 1 1 cos xdx и 1 2 8 xdx 1 ( x 1)dx 6 0 0 3 15 5 sin xdx 1 13 4 2 2 ( x 1)dx и 0 0 11 2 ( x 1)dx и 1 12 5 2 1 и x dx и e 1 2x dx Задание 2. Оценить интеграл сверху и снизу. Вар-т Задание Вар-т 2 4 1 2 ( x x 5)dx 2 sin xdx 0 3 5 2 x 4 dx 6 sin 2xdx 8 0 arctg xdx 10 1 tg xdx 12 0 2 13 (x 0 1 15 2 2 23 2 (3x 2 (x 1 2 25 dx (3x 1 2 (x 2 2 16 18 29 (2 x e x 2)dx dx x 3 (5x 5 x 6 x)dx 20 22 24 1)dx (4 x 2 3)dx 2 3)dx (3x 0 2 10 x 2)dx 26 1)dx 2 1 2 2 x 7)dx 2 (4 x 1 1 2)dx dx dx 0 1 e x 1 dx 0 3 2 ( x x 5)dx 1 4 3x 1 1 1 3 27 e 3 0 1 2 1 1 21 14 x 3 dx 1 1 19 (x 1 1 2 x)dx x2 1 1 17 arctg xdx 1 3 /4 11 ln xdx 0 3 3 9 cos xdx 1 1 /2 dx 0 e 1 7 x2 e 0 1 3 Задание 2 28 arcctg xdx 1 1 3x 1)dx 30 2 0 2 126 x 3 dx Задание 3. Найти среднее интегральное значение функции на указанном интервале. Вар-т 1 Задание y cos x; x , 4 3 Вар-т 2 Задание y sin x; x , 6 4 3 y 3x 2 x; x 0,2 4 y 2 x ; x 0,2 5 y x 2 3; x 0,3 6 y x 2 x 3; x 0,2 7 y 3x 2 2 x 1; x 1,3 8 y 3x 2 x 1; x 0,2 9 y x 2 x 1; x 0,1 10 y (3x 1) 1; x 0,2 11 y x 3 x 1; x 1,3 12 13 y 5 x ; x 0,2 14 15 17 19 y sin 2 x; x , 4 2 y sin 2 x; x 0, 2 y sin 2 x; x 0, 4 16 y x 2 x 5; x 2,4 y cos x; x , 6 3 y cos 3x; x , 6 2 18 y cos 3x; x 0, 20 y cos x; x 0, y sin 3x; x 0, 2 y cos 2 x; x 0, 2 21 y 3 x ; x 0,2 22 23 y e 3x ; x 0,2 24 25 y sin x; x 0, 26 y x 2 2 x 3; x 0,4 27 x y sin ; x , 2 4 2 28 y 3 x ; x 1,3 29 y 2 x 2 x 1; x 0,2 30 y sin 4 x; x , 8 4 Задание 4. Найти производную указанного определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу (результат обосновать). Вар-т Задание Вар-т Задание 1 I ( x) (t 1) 2 (t 5)3 dt 2 I ( x) (t 1)(t 5) 1 dt x x 0 0 x x 3 I ( x) (t 2 3)(t 3 1) 1 dt 4 0 I ( x) (t 3)(t 2) 2 dt 0 127 x x 5 I ( x) (t 2)(t 2 1) 1 dt 6 0 x 7 I ( x) sin t cos 2 tdt 0 x I ( x) (t 2 3)(t 5) 1 dt 8 I ( x) (3 t 2 )(t 1) 1 dt 0 0 x 9 x I ( x) (t 1) (t 1)dt 3 10 I ( x) tg t sin 3 tdt 0 0 x 11 x I ( x) ctg t cos 2 tdt 12 0 x 13 0 x I ( x) (t 2 1) sin tdt 14 0 x 15 x I ( x) sin t cos 3 tdt 16 I ( x) t sin 3 tdt 0 x I ( x) (t 2 1) cos tdt 18 I ( x) (t 2 2)(t 3 3) 1 dt 0 0 x 19 I ( x) (t 1) 2 (t 3)3 dt 0 0 x 17 I ( x) (t 3)(t 2 5) 1 dt x I ( x) t tg tdt 2 20 I ( x) t sin tdt 0 0 x 21 x I ( x) (t 3 1)t sin 2tdt 22 I ( x) sin t tg 2 tdt 0 0 x x 23 I ( x) (t 1) 2 sin tdt 24 0 x 25 0 x I ( x) sin t cos 5tdt 26 0 I ( x) (t 2 3)(t 3) 1 dt 28 0 x 29 I ( x) (t 1) 2 (t 2) 4 dt 0 x x 27 I ( x) (t 2 1) tg tdt I ( x) (t 1)3 (t 3 2)dt 0 x I ( x) (t 2 6)(t 1) 4 dt 30 0 I ( x) (t 3) 4 (t 1) 1 dt 0 128 Задание 5. Вычислить определенные интегралы. Вариант 1 1 3 1) x dx 3 2) 0 1 dx 3) x 4 dx 2 2 x 2x 8 x 4 4) 0 dx 0 x 5 Вариант 2 3 2 dx 1) 1/ 3 1 x 2 /2 dx 2) 2 3x 2 x 2 3/4 3) 1 x cos xdx 4) /3 dx x 3 x 0 Вариант 3 1 0 1) 2 x dx 2) /2 dx 0 2 14x 9 3 /2 3) x sin xdx 5 4) /3 dx 1 3x 1 1 Вариант 4 1) (3x 2 x 1)dx 2 2 1 2) x 2 sin dx x 1/ 3 e 3) ln xdx x 1 4) dx 0 x 1 2 Вариант 5 /2 1) 8 sin xdx 2) 0 1 dx 3) x6 dx 2 3 x 6x 34 x 3 4) 0 dx 0 x 1 1 Вариант 6 1 1) 1 dx 2) 2 0 x 1 0 /2 1 1) e x dx 2) 1 dx 0 0 4 ln 8 3) x10 x dx 6 4x 2x2 0 Вариант 7 sin 3 x sin 2 xdx 4 4) 2 3) x5 x dx dx 0 2x 1 1 3 4) 1 0 xdx 4 x2 Вариант 8 1) ( x 1)dx 1 x 2 2) /2 dx x cos xdx 4) 3) x sin 3xdx 4) 3) x ln 3 e 1 1 /4 ( x 1)dx x 4 0 Вариант 9 1 /2 1) cos xdx 2) 2 0 2 /3 dx 0 5 4x x2 Вариант 10 e 3) x3 x dx ( x 1)dx x 2 0 4 2 (1 ln x)dx 2) x 1 dx 1) x 1 4 4) 1 ( x 2)dx x 1 1 Вариант 11 1/2 1) 0 1 dx 1 x 2 2) dx 2 2 x 4x 13 2 3) 1 129 ln xdx x 4 2 4) xdx 1 5x 1 Вариант 12 1/2 1) dx 1/2 1 x2 /2 e 2) cos x sin 2 xdx 3) 0 ln xdx x3 1 5 4) xdx 1 3x 1 Вариант 13 1 1) 2 (1 x 3x )dx 1 3) 8 2 x x2 1/2 2 e dx 2) ln xdx x2 1 9 4) xdx 1 2x 7 Вариант 14 2 1) 5 dx 04 x 2 2) 4 1 dx 3) x7 x dx 2 2 x 2x 10 4) 0 xdx 1 4x 5 Вариант 15 3 6 6 1) x dx x 1 2) 1 dx 3) x5 dx 2 2 x 3x 2 x 4 4) 0 x dx 1 x 5 Вариант 16 1 1) (1 x 2 )dx 7/2 2) 2 0 /2 dx 3) x sin 2 xdx 5 4 x x2 4 4) 0 x 1dx 1 x 1 5 Вариант 17 3 1) (5 2 x x 2 )dx 1 /8 2) cos 2 x dx 4 0 /2 3) 4 x cos 2 xdx 4) 0 x dx 1 x 2 Вариант 18 2 1) 3 (1 x )dx /4 2) 1 0 tg3/2 x 2 1 3) arccos xdx dx cos x 4 4) 0 dx 1 x 2 Вариант 19 /3 1) 1/4 tg xdx 2) 0 0 1 1 1 16 x 2 3) arcsin xdx dx 9 4) 0 dx 4 x 1 Вариант 20 /4 1) 1 cos xdx 2) 0 e dx 0 8 2x x 3) ln xdx 2 9 4) 1 dx 4 x 1 Вариант 21 1 dx 1) 4 2x 0 2 1 1) x dx x 1 5 2) 2 ln 2 2) 0 1 1 dx 3) x3 x x 2 2 x 10 0 Вариант 22 e x /2 x e 1 2 R dx R 2 x 2 dx 0 3) x3 dx dx 4) x 7 4) 1 1 dx 2 x2 Вариант 23 /4 1) /6 1 ctg xdx 2) /2 xdx 0 8 2x x 2 3) 0 130 3 x sin xdx 4) 1 dx 0 x 1 Вариант 24 /2 1) 1 cos xdx 2) /4 2 0 13 4 x x 1 /2 1) tg xdx 2) /4 2) 1 3) xdx x 0e Вариант 25 3) 2 0 2 5 4x x Вариант 26 e dx 5 4) 3) x ln 3 e 1 3 x cos xdx x 1 x 1dx 4) x 1dx 0 ln xdx 1 /2 dx ln 8 3 1) (5 4 x x 2 )dx 1 ( x 1)dx 4 9 4) dx 2 x 2 Вариант 27 5 4 4 1) x dx x 1 2) 3 dx x4 1 2) dx 3) x cos xdx 0 x2 2x 8 Вариант 28 3 3 1) 4) 1 dx 4 /4 1 3) x 2 x dx 2 2 x 2x 8 xdx 1 3x 1 4 4) 0 x 2dx 1 x2 3 Вариант 29 2 1 dx 1) 1/ 2 1 x 2 2) e dx 2 2 x 4x 13 3) ln xdx x 1 3 9 4) dx 4 x 3 Вариант 30 1/4 1) dx 1 x 0 5 2 2) /4 dx 2 2 x 2x 5 3) x cos xdx 3 4) 0 x dx 1 x 3 Задание 6. Исследовать сходимость несобственного интеграла. Вариант 1 1 1) x 3 dx 3 2) 1 dx 0 2 2 x 2x 8 3) x 4 x dx 4 4) 0 dx 0 x 5 Вариант 2 1) dx x 0 2) arctg x 1 x 2 1 /2 dx 3) tgx dx 4 4) 0 dx 2x 2 e dx ln x 4x 3 Вариант 3 1) dx x2 9 2) 0 2x 2 x 1 2 dx 3) dx x 2 4) x 1 Вариант 4 1) ( x 3)dx 2) ln x 3 dx 2 x 3 3) x2 4 2 131 dx 4 4) 2 dx x 2 4x 4 Вариант 5 1) ( x 2 x 1)dx 0 2) 3 dx 3) 3 0 x 1 e dx x2 1 4) 1 dx x 3 ln x 1 Вариант 6 1) e x dx 2) 3 dx 3) 2 0 x 2 x 2 1/ e dx 0 9 x 2 4) 1 dx x ln 3 x Вариант 7 1) dx x2 4 2) 0 5 dx (x 2 1)2 3) 2 2 dx x5 5 4) xdx 1 x 1 Вариант 8 1) dx x 2 1 2) 1/5 2 x xe dx 3) 0 0 2 dx 5x 1 4) 0 xdx 4 x2 Вариант 9 1) 2 x dx 2) e x e x 3 0 5 3) dx 3 dx x5 1 4) xdx 2 x2 Вариант 10 1) ( x 1)dx 2) 1 dx x ln 2 x 2 3) 4 dx 0 1 x 2 4) x dx 1 x 1 Вариант 11 1) ( x3 1)dx 2) e 0 x (e 3x 1)dx 1/3 dx 3) 1 3x 0 1/2 4) 0 dx x ln 2 x Вариант 12 1) 5 x dx 2) 0 dx x 2 (x 5) 2 3) 1 dx 2x 4 0 2 4) dx x ln 5 x 1 Вариант 13 1) x dx 2) x2 x2 4 0 3 0 5 dx 3) dx x5 0 3/2 4) 0 dx 2 x 3x 2 Вариант 14 1) ( x x 1)dx 2 2) x x3 1 0 1 dx 3) dx x 0 9 4) x dx 4 x 3 Вариант 15 0 dx x ln x 2 1) ( x 2 1)dx 2) 2 3) dx x2 2 4 4) x dx 1 x 2 Вариант 16 1) xdx 2) x 1 2 (1 x)3 dx 3) 0 132 dx 2x 1 0 1/2 4) 0 dx x ln 2 x Вариант 17 0 1) ( x 3)dx 2) 2 dx 3) 2 x 4 x 8 dx x2 0 2 4) dx x ln x 1 Вариант 18 1) (2 x 1)dx 2) 1) (3x 1)dx 2) 0 3) dx x3 0 x2 4x 8 Вариант 19 0 5 dx 3 x 1 2 x 4 x 8 dx 3) dx x 1 0 9 4) x dx 1 x 3 1 4) x ln 2 xdx 0 Вариант 20 1) dx x3 0 2) e2 x 1 ex 2 3) dx dx 2x 1 0 2 4) dx x 2 4x 3 0 Вариант 21 1) ( x 3 x 1)dx 2) 0 x sin xdx 0 1 0 3) dx x3 3 2 4) 0 dx x 2 4x 3 Вариант 22 1) e x dx 2) 0 dx dx 3) x2 2 2 1 x (x 1) 1 4) x 2 ln xdx 0 Вариант 23 0 1) x 2 dx 2) 2 dx x (x 1) 1 3) dx x 1 0 2 4) x2 0 1 x 2 dx Вариант 24 1) 3 x x dx 0 2) 0 9 2 dx 2 x 4x 8 3) dx 1 x 1 4) x 3 dx x 3 0 Вариант 25 1) 5 x x dx 2) 1 dx 3) dx 0 3 2 0x x x 2 x 2 Вариант 26 1) (2 x 3)dx 2) xe 0 0 0 0 3 x 3 dx 3) x 3 3 dx 4 4) x2 2 0 4 x dx 1 4) x ln 4 xdx 0 Вариант 27 1) e 3x dx 2) 4 dx 2 x 2x 2 3) 0 dx 4 x2 4 4) x dx 1 x 2 Вариант 28 1) 5 x dx 2) dx x3 1 4 3) 0 133 dx x4 1 4 4) xdx 1 x 1 Вариант 29 1) ( x 4)dx 2 2) 4 4 x 0 2 x 1 dx 3) x4 4 dx 4) 0 x2 dx 4 x2 Вариант 30 1) dx x2 4 2) e x (e 2x 1)dx 2 3) 0 e dx 2x 3 0 4) dx x 5 ln x 1 Задание 7. Вычислить интегралы по формулам трапеций и Симпсона, деля отрезок интегрирования на n 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле Ньютона – Лейбница и сравнить результаты. Вар-т Задание Вар-т 2 1 I x 4 dx Задание 3 2 3 7 dx I 2 2 x x 1 4 I 1 x dx 5 2 2 x x 1 1 8 16 x2 1 I dx x 1 6 0 1 x 5 11 2 11 x 14 9 20 I 25 I dx 01 х 5 3 3 1 x 1 5 x 1 I dx x 1 2 x (x 1) 1 xdx x 1 0 I 2 dx 4 x 1 x2 2 0 x 1 5 23 dx I x 1 26 I dx 3 dx 2 1x 29 I 2 dx 3 1 x (x 1) 134 dx I 1 1 x 3 2 dx x 1 I 3 15 I x dx 1 x 1 dx x 1 I 12 16 I I 2 0 17 22 3 I 1 x 2 dx dx x 1 I dx xdx I dx I 9 1 xdx I 1 28 I 1 x dx 2 2 3 19 3 3 2 1 13 01 x 4 2 3 10 dx I Задание 4 dx I 0 4 Вар-т 4 18 21 dx I 2 2 x (x 1) 4 dx 0 x2 I 6 dx x 1 2 24 I 27 I 30 I 2 xdx 11 x 2 3 xdx x 1 0 Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Выполнить чертеж. Вар-т Задание Вар-т 2 a) y x 3x 7, y x 7 ; 1 3 2 b) y 4 x , y 0 ; 2 a) y x 3x 5, y x 3 ; b) xy 4, x 1, x 4, y 0 ; c) y ( x 2) 2 , y 4 x 8 c) y x 9 x 2 , y 0, (0 x 3) a) y x 2 x, y x 9 ; a) y x 2 2 x 4, y 3x ; b) y 2 2 x 4, x 0 ; 4 b) y x 2 , y 2 x2 ; π c) y sin x cos2 x , y 0, 0 x 2 c) y 4 x 2 , y x 2 x 5 Задание 2 a) y x2 2 x 2, y x ; a) y x2 5x 1, y 2 x2 x 1 ; b) y ln x, x e, y 0 ; 6 2 c) y 4 x , y 0, x 0, x 1 b) y x 3 , x 0, y 8; c) y x 2 4 x 2 , y 0, (0 x 2) a) y 2 x 2 2 x, y x 2 1 ; b) y sin x, x 0, , y 0 ; 7 8 c) y sin 2 x cos x , c) y e x 1 , y 0, x ln 2 π y 0, 0 x 2 9 a) y x 2 8x 3, y 5x 3 ; b) y x, y 2 x, x 3 ; 10 c) y 1 /( x 1 ln x ) , y 0, x 1, x e3 a) b) y 1 x 2 , 12 y 0; 2 b) y 3 x 2 , x 0, y 0 ; c) y 2 x x2 3 , y x2 4 x 3 2 c) y ( x 1) , y x 1 13 a) y x 2 3x 2, y 6 x ; b) y x, y 3x, x 2 ; c) y arccos x , y 0, x 0 a) y x2 4 x 11, y x2 x 9 ; y x 2 4 x 3, y x 2 4 x 5 ; 11 a) y x 2 5x, y 4 x 6 ; b) xy 6, x y 7 ; a) y x 2 7 x 2, y x 6 ; b) y x, x 2, y 0 ; a) y x2 13x, y 10 x ; 14 2 c) y x 36 x , y 0, (0 x 6) b) y e x , y e 2 x , x 1 ; c) x arccos y , y 0, x 0 a) y x2 6 x 6, y x 4 ; a) y x 2 2 x 3, y 1 x ; 15 b) y 2 x , y 22x , x 1; 16 b) y cos x, x , , y 0 ; 2 2 c) y x 2 8 x 2 , c) y x arctg x , y 0, x 3 y 0, (0 x 2 2) 135 a) y x 2 x 17, y x 17 ; 17 b) y x 2 , y 2 4 x 2 ; 18 y c) x e 1 , x 0, y ln 2 a) y x2 x 12, y 12 ; b) y 2 x 1, x 0 ; c) y x /(1 c) y x 4 x 2 , y 0, (0 x 2) a) y x 2 1, y x 2 17 ; 19 a) y x 2 2 x, y 3 ; b) xy 3, x 1, x 3, y 0 ; 20 x ) , y 0, x 1 b) y 2 x, y 2 2 x, x 1; 1 π π c) y , y 0, x , x 1 cos x 2 2 a) y x 2 3x 1, y 2 x ; 2 2 a) y x 4 x 8, y 2 x 3x 10 ; 21 23 2 2 b) y x , y 2 x , x 1; b) y 5 x 2 , x 0, 22 π y 0, 0 x 2 a) y x 2 2 x 3, y 7 x 3 ; b) xy 1, x 1, x 2, y 0 ; a) y x 2 7 x 1, y 5x 4 ; x 24 , y 0, x 1 ( x 2 1) 2 1 b) y x, y 5x , x 3 ; 1 c) x , y 1 ln y 26 a) y x 2 4 x, y 3x 6 ; b) xy 6, x y 5 ; c) y x e1/ x x2 , y 0, x 1, x 2 a) y 3x2 x, y 2 x2 4 x ; 28 2 16 x , b) y x 2 , y 9 x 2 ; c) x 4 y 2 , x 0, y 0, y 1 y 0, (0 x 4) a) y 2 x 2 , y 3 x 2 ; a) y x 2 7 x, y 11x 3 ; 29 a) y x 2 8x 1, y 8x ; b) y lg x, x 10, y 0 ; c) y x 0, y 1, y e 3 2 b) y x 1 , x 2, x 4, y 0 ; c) x 4 y 2 , x y 2 y a) y 4 x 2 , y x 2 ; 27 c) y sin 2 x cos5 x , c) x ( y 2) 2 , x 4 y 8 c) y 25 y 0; b) y sin 2 x, x 0; , y 0 ; 2 30 c) y ( x 1) 2 , y 2 x 1 b) y 3 x , y 32 x , x 1 ; c) x 4 ( y 1) 2 , x y 2 4x 3 136 Задание 9. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вар-т Задание 1 x 4 2 cos3 t , y 2 2 sin 3 t , x 2( x 2) 4 x 16 cos 3 t , y 2 sin 3 t , x 2( x 2) x 16 cos 3 t , y sin 3 t , Вар-т Задание 2 x 2 cos t , y 2 2 sin t , y 2( y 2) 5 x 2 cos t , y 6 sin t , y 3( y 3) x 6 cos t , y 2 sin t , Вар-т Задание 3 x 4(t sin t ), y 4(1 cos t ), y 4(0 x 8, y 4) 6 x 2(t sin t ), y 2(1 cos t ), y 3(0 x 4, y 3) 9 x 6 3( x 6 3) y 3( y 3) x 3(t sin t ), y 3(1 cos t ), y 3(0 x 6, y 3) 10 x 8 2 cos 3 t , y 2 sin 3 t , x 4( x 4) 11 x 2 2 cos t , y 3 2 sin t , y 3( y 3) 12 x 6(t sin t ), y 6(t cos t ), y 9(0 x 12, y 9) 13 x 32 cos 3 t , y sin 3 t , x 4( x 4) 14 x 3 cos t , y 8 sin t , y 4( y 4) 15 x 6(t sin t ), y 6(1 cos t ), y 6(0 x 12, y 6) 7 16 19 22 25 28 x 8 cos 3 t , y 4 sin 3 t , 8 17 x 6 cos t , y 4 sin t , 18 x 10(t sin t ), y 10(1 cos t ), x 3 3( x 3 3) y 2 3( y 2 3) y 15(0 x 20, y 15) x 2 2 cos 3 t , y 2 sin 3 t , x t sin t , y 1 cos t , x 1( x 1) x 2 cos t , y 4 2 sin t , y 4( y 4) x 8cos3 t , y 8sin 3 t , x 1( x 1) x 9cos t , y 4sin t , y 2( y 2) x 24 cos 3 t , y 2 sin 3 t , 20 23 26 x 3 cos t , y 8 sin t , x 9 3( x 9 3) x 4 3( y 4 3) x 4 2 cos3 t , y 2 sin 3 t , x 2 2 cos t , y 5 2 sin t , x 2( x 2) 29 y 5( y 5) 137 21 y 1(0 x 2, y 1) 24 x 8(t sin t ), y 8(1 cos t ), y 12(0 x 16, y 12) 27 x 2(t sin t ), y 2(1 cos t ), y 2(0 x 4, y 2) 30 x 4(t sin t ), y 4(1 cos t ), y 6(0 x 8, y 6) Задание 10. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах. Вар-т 1 3 a) b) a) b) 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Задание r 2 sin 4 , r 4cos , r 2(r 2) 1 r 2 cos , 2 r 4sin 3, r 2(r 2) a) r 2 cos , b) r 3cos , r 1(r 1) a) r sin3, b) r 6cos3, r 3(r 3) a) r sin 4 , b) r cos , r 2 cos( / 4) ( / 4 / 2) 1 a) r cos , 2 b) r 6cos3, r 3(r 3) a) r 2 9 sin 2 , b) r cos , r sin (0 / 2) a) r 4 sin 4 , b) r sin , r 2cos 1 a) r sin , 2 b) r 6cos , r 4cos a) b) a) b) a) b) a) b) a) b) a) b) r 1 2 sin , r 5cos , r 2(r 2) r 2 sin 4 , r 3 / 2cos , r 5 / 2sin r cos6, r 4sin , r 2(r 2) r cos sin , r 2 cos r 2cos6, r 3sin , r 5cos r 1 cos , r 3sin3, r 2(r 2) Вар-т 2 4 6 8 10 12 Задание a) r cos2, b) r 4sin , r 2(r 2) 1 2 sin , 2 b) r 3 cos , r sin (0 / 2) a) r 2 sin , a) r b) r 2cos , r 2 3sin , 0 / 2 a) r cos3, b) r 6sin 3, r 3(r 3) a) r cos 4 , b) r sin , r 2 cos( / 4) (0 3 / 4) 1 a) r sin , 2 b) r 6 sin 3, r 3, r 3 a) r 2 4cos 2 , 14 16 18 20 22 24 26 28 30 138 b) r 2 cos( / 4), r 2 sin( / 4),( / 4 3 / 4) a) r 2 cos 4 , b) r cos , r 2sin 1 cos , 2 b) r 6sin , r 4cos a) r a) b) a) b) a) b) a) b) a) b) r 1 2 cos , r 3sin , r 2(r 2) r 4cos4, r 5 / 2sin , r 3 / 2cos r sin 6, r 2cos , r 3sin r 2sin 4, r 1 sin r cos sin . r 3cos , r 5sin a) r 21 cos , b) r 2sin , r 4sin Задание 11. Найти длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат. Вар-т Задание Вар-т 3 x 15 2 1 y ln x, 3 y 1 x 2 arcsin x, 0 x 5 y ln cos x, 0 x / 6 7 y 2 arcsin x x x 2 , 9 y 1 x 2 arcsin x, 0 x 11 y 2 ch x, 0 x 1 13 y e x 13, 15 7 9 1 x 1 4 8 9 4 Задание x 2 ln x , 1 x 2 4 2 5 y ln , 3 x 8 2x y 6 y e x 6, ln 8 x ln 15 8 y ln( x 2 1), 2 x 3 10 y ln(1 x 2 ), 0 x 12 1 4 y 1 ln cos x, 0 x / 6 14 y arccos x x x 2 , 0 x y 2 e x , ln 3 x ln 8. 16 y arcsin x 1 x 2 , 0 x 17 y 1 ln sin x, 3 x 2 18 y 1 ln( x 2 1), 3 x 4 19 y x x 2 arccos x 5, 20 y arccos x 1 x 2 1, 0 x 21 y ln sin x, 3 x 2 22 y ln 7 ln x, 23 y ch x 3, 0 x 1 24 y 1 arcsin x 1 x 2 , 0 x 25 y ln cos x 2, 0 x 6 26 y e x 26, ln 8 x ln 24 27 y e x ex 3, 0 x 2 2 28 y arccos x x x 2 4, 0 x 29 y e 2 x e 2 x 3 , 0 x2 3 30 y e x e, ln 3 x ln 15 ln 15 x ln 24 1 x 1 9 139 1 4 15 16 9 16 3x 8 3 4 1 2 Задание 12. Найти длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями. Вар-т Задание 1 x 5(t sin t ), y 5(1 cos t ), 0t 4 2 x (t 2)sin t 2t cos t , 2 y (2 t )cos t 2t sin t , 0t 7 x 3(t sin t ), y 3(t cos t ), t 2 10 2 x (t 2)sin t 2t cos t , 2 y (2 t )cos t 2t sin t , 0t /3 13 x 2,5(t sin t ), y 2,5(1 cos t ), / 2 t 16 2 x (t 2)sin t 2t cos t , 2 y (2 t )cos t 2t sin t , 0t /2 19 x 4(t sin t ), y 4(1 cos t ), / 2 t 2 / 3 22 25 28 2 x (t 2)sin t 2t cos t , 2 y (2 t )cos t 2t sin t , 0 t 2 x 2(t sin t ), y 2(1 cos t ), 0t /2 2 x (t 2)sin t 2t cos t , 2 y (2 t )cos t 2t sin t , 0 t 3 Вар-т 2 5 8 11 Задание x 3(2cos t cos 2t ), y 3(2sin t sin 2t ), 0 t 2 x 10cos3 t , y 10sin 3 t , 0t 2 1 1 x 2 cos t 4 cos 2t , y 1 sin t 1 sin 2t , 2 4 / 2 t 2 / 3 x 6cos3 t , y 6sin 3 t , 0t /3 14 x 3,5(2cos t cos 2t ), y 3,5(2sin t sin 2t ), 0t /2 17 x 8cos3 t , y 8sin 3 t , 0t /6 20 x 2(2cos t cos 2t ), y 2(2sin t sin 2t ), 0t /3 23 26 29 x 4cos3 t , y 4sin 3 t , /6t /4 x 4(2cos t cos 2t ), y 4(2sin t sin 2t ), 0t x 2cos3 t , y 2sin 3 t , 0t /4 140 Вар-т Задание 3 x 4(cos t t sin t ), y 4(sin t t cos t ), 0t 2 6 x et (cos t sin t ), y et (cos t sin t ), 0t 9 x 3(cos t t sin t ), y 3(sin t t cos t ), 0t /3 12 x et (cos t sin t ), x et (cos t sin t ), /2t 15 x 6(cos t t sin t ), y 6(sin t t cos t ), 0t 18 x et (cos t sin t ), y et (cos t sin t ), 0 t 2 21 x 8(cos t t sin t ), y 8(sin t t cos t ), 0t /4 24 27 30 x et (cos t sin t ), y et (cos t sin t ), 0 t 3 / 2 x 2(cos t t sin t ), y 2(sin t t cos t ), 0t /2 x et (cos t sin t ), y et (cos t sin t ), /6t /4 Задание 13. Найти длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах. Вар-т 1 r 3e3 / 4 , / 2 / 2 Вар-т 2 r 2e 4 / 3 , / 2 / 2 3 r 2e , / 2 / 2 4 r 5e5 / 12 , / 2 / 2 5 r 6e12 / 5 , / 2 / 2 6 r 3e3 / 4 , 0 / 3 7 r 4e 4 / 3 , 0 / 3 8 r 2e , 0 / 3 9 r 5e5 / 12 , 0 / 3 r 1 sin , / 2 / 6 r 3(1 sin ), / 6 0 r 5(1 cos ), / 3 0 r 7(1 sin ), / 6 / 6 r 2, 0 3 / 4 r 2, 0 5 / 12 r 4, 0 3 / 4 r 5, 0 12 / 5 r 8 cos , 0 / 4 r 2 sin , 0 / 6 10 r 12e12 / 5 , 0 / 3 r 2(1 cos ), / 2 r 4(1 sin ), 0 / 6 r 6(1 sin ), / 2 0 r 8(1 cos ), 2 / 3 0 r 2, 0 4 / 3 r 2, 0 12 / 5 r 3, 0 4 / 3 r 2 cos , 0 / 6 r 6 cos , 0 / 3 r 8 sin , 0 / 4 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Задание 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Задание Задание 14. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или ее части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на линии вокруг оси ОХ (если не указано иное). Вар-т 1 3 Задание Вар-т a) y x 3 , 0 x 2 ; 2 b) y 4 x, 2 x 0;1 a) y 4 x 2 , 1 x 1 ; b) y cos x, 4 x 0; / 2 a) y 4 2 x 2 , 0 x 2 ; 5 7 6 1 3 x , 1 x 1; 3 b) y x3 , 3 x 0;1 a) y 3x , 0 x 2,25 ; b) y sin x, x 0; a) y 0,5 4 x2 , 0 x 2 ; x 2(t sin t ), b) y 2(1 cos t ) a) y Задание a) y 3 x , 6,75 x 18 ; x2 , x 3; 3 , ось OY b) y 2 141 8 x3 , x 2;2 3 x x 4 4 a) y 2 е е , 0 x 4 ; b) y b) y 2 4 x, x 6 ; 6 9 11 1 1 a) y x x , x 1 ; 3 3 x 9t 2 , b) y 3t (3 t 2 ), 10 петля b) a) y 2 0,5 x 2 , 0 x 2 ; b) x2 4 y, x 6; 6 , ось OY x 3(3t t 3 ), b) петля y 9t 2 , 12 b) 2 b) 17 21 16 2 x ( y 2) 25, ось OY ; от А(2 6;1) до B(4,6) b) x2 y 2 25, от А(3;4) до B(4,3) x 6t 2t 3 , петля ось ОY b) y 6t 2 , b) a) y 23 е x 3t t 3 , b) y 3t 2 , a) y 25 b) x 2 9 y, от O(0;0) до A(6;4), ось OY a) y 16 2 x 2 , 0 x 2 2 ; b) y 2 4 x, от O(0;0) до A(3;2 3 ) a) y 22 b) x2 y 2 4, от А(2;0) до B( 3;1) x 2, x x 3 , 3 x 6 ; x 3t 2 , b) петля y t (3 t 2 ), ось ОY 18 20 a) y 2 1 x 2 , 0 x 1; 3 a) y 2 9 x 2 , 0 x 3 ; a) y 2 4 x , 1 x 4 ; x 2 е 1 a) y 2 x 1, 1 x 4 ; a) y 2 x , 0 x 15 ; 19 от А(2;4 2) до B(4,6) b) y 2 9 x, от O(0;0) до A(4;6) a) y 0, 25 е2 x е2 x , 0,5 x 0,5 ; 15 4 3 1 x , x45; 3 3 y 2 ( x 4) 2 36, 14 ось ОY ось OY ; от А(4;1) до B(2 2,3) a) y x 2 ( y 1)2 16, a) y a) y x 12 x , 0 x 12 ; 13 3 4 a) y 3 x 2 , 0 x 2 ; 1 3 x , 0 x 4 12 ; 6 x 6t 2 , петля b) y 2t (3 t 2 ), a) y 8 0 x2; 24 петля ось ОY b) 1 1 4 x x , x ; 3 3 3 x 2 y 2 16, от А(2;2 3 ) до B(3; 7 ) a) y x 2 4 y, от O(0;0) до A(2 3;3), ось OY 142 26 x2 , 0 x4; 2 2 3 3 x2 , 0 x 3 ; b) x2 2 y, x 3; 3 , ось OY a) y x 3 x , 0 x 2 ; a) y 8 0,5 x 2 , 0 x 4 ; 27 x 3(t sin t ), b) y 3(1 cos t ) 28 x4 b) y , x 2; 2 , ось OY 4 1 x 12 x , 12 x 24 6 b) y sin 2 x, x 0; 2 29 a) y 0,5 е x е x , 0 x 1 a) y 30 b) x 2 2 y, от O(0;0) до A(2 3;3), ось OY Задание 15. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями. Вар-т Задание Вар-т 2 Задание 1 x y 2 1, z y, z 0( y 0) 9 2 z x2 4 y2 , z 2 3 x2 y2 z 2 1, z 0, z 3 9 4 4 x2 y2 z 2 1, z 12 9 4 36 5 x2 y2 z2 1, z 1, z 0 16 9 4 6 x 2 y 2 9, z y, z 0 ( y 0) 7 z x2 9y2 , z 3 8 x2 y 2 z 2 1, z 0, z 3 4 9 x2 y2 z2 1, z 16 9 16 64 10 x2 y2 z2 1, z 2, z 0 16 9 16 11 x2 y2 1, z y 3, z 0 ( y 0) 3 4 12 z 2x 2 8 y 2 , z 4 13 x2 y2 z 2 1, z 0, z 2 81 25 14 x2 y2 z2 1, z 12 4 9 36 15 x2 y2 z2 1, z 3, z 0 16 9 36 16 x2 y2 1, z y 3, z 0 ( y 0) 3 16 17 z x2 5y2 , z 5 18 x2 y2 z 2 1, z 0, z 4 9 4 19 x2 y2 z2 1, z 20 9 25 100 20 x2 y2 z2 1, z 4, z 0 16 9 64 21 x2 y2 y 1, z , z 0 ( y 0) 27 25 3 22 z 4x 2 9 y 2 , z 6 23 x2 y2 z 2 1, z 0, z 3 4 24 x2 y2 z2 1, z 20 25 9 100 25 x2 y2 z2 1, z 5, z 0 16 9 100 26 x2 y y 2 1, z , z 0 ( y 0) 27 3 143 27 z 2 x 2 18 y 2 , z 6 28 x2 y2 z 2 1, z 0, z 2 25 9 29 x2 y2 z2 1, z 16 16 9 64 30 x2 y2 z2 1, z 6, z 0 16 9 144 Задание 16. Найти объем тела, полученного вращением указанных линий: в варианте а) вокруг ОХ, в варианте б) – вокруг ОY. Выполнить чертеж. Вар-т 1 Задание a) y e x , x 0, Вар-т x 1, y 0; b) y 2 x 2 4, y 2 2 x 2(t sin t ), 0 t , y 2(1 cos t ), b) y0 4 a) x y 2 , y x; 5 b) x2 y2 1, 4 9 x2 y2 1, b) 9 4 2 2 x y 1, 4 9 a) xy 5, x 1, x 9 cos t , b) y 4 sin t , b) 11 x2 y2 1, b) 4 16 a) y x, y 2 x, 15 x2 y2 1, b) 4 9 y3 y 1 x 4cos t , y 2sin t , b) 8 y 2 x 1; 10 y 2 x 2, x2 y 2 1, 9 16 y2 a) y e x , y e 2 x , x 1; x 4 cos t , y 1 b) y 2 sin t , 1 a) y , x 1, x x 3, y 0; b) y ( x 2) 3 , x 4 y 8 y 0; 12 y2 a ) y 3 x , y 32 x , 13 x2 y2 1, b) 16 9 6 y2 a ) y 2 x , y 23 x , 9 y 0; a) a) y x 2 , y 2 x; 7 a) y x 2 , x 2, x 3(t sin t ), b) y 3(1 cos t ), a) y x 2 , y x; a) y 2 x, x 1; 3 Задание a) y e 2 x , x 0, x 1, b) y x 2 , y 0, x 2 a) y x 2 1, y 0; x 1; y 1 b) 16 a) y x 2 , y 2 x 2 , x 1; x 3 cos t , y 1 b) y 2 sin t , x 2; y 3 144 x 3(t sin t ), y 3(1 cos t ), y 0, 0 x 14 y 0; 18 a) y sin x, x / 2, y 0; x 3cos t , b) y 2 sin t 20 a) y x, y 4 x, x 2; b) xy 6, x 0, y 6, y 1 a) y cos x, y 0, x 0; 17 19 b) x 4 y 2 , x 0, y 0, y 1 a) y tg x, x / 2, y 0; x 3 cos t , y 1 b) y 2 sin t , a) y 2 cos x, 21 y 0, b) x 2 y , y 4, x 0; 23 a) y x 2 1, x cos t , b) y 2sin t 25 a) y sin x, x / 4, y 0; x 2 cos t , b) y3 y 6 sin t , y 0; 24 a) y 2 x , y 2 2 x , 27 2 b) 2 x y 1, 16 9 a) y x 2 2, 29 x2 y2 1, b) 9 16 22 x0 a) y 3 cos x, y 0, x 0; x 2 cos t , b) y 3sin t a) y 2 sin x, x / 2, y 0; x 2 cos t , b) y 6sin t a) y x 2 , y 2 x 2 , 26 x 1; 28 y 2 y 0; 30 y 2 x 1; b) x2 y2 1, 9 4 y 1 a) y tg 2 x, x , y 0; b) x 3 y , y 9, a) y 2 x 2 , x 1, x 2(t sin t ), b) y 2(1 cos t ), x0 y 0; y2 Задание 17. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара. Вар-т Вид резервуара 1 Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 и высотой 5 м. Усеченный конус, у которого радиус верхнего основания 3 м, нижнего – 1 м, высота 3 м. Котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5 м и радиус 1 м. Полуцилиндр (корыто), радиус основания которого 1 м, длина 5 м. Усеченный конус, у которого радиус верхнего основания 1 м, нижнего 2 м, высота 3 м. Желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 1 м, длиной 5 м. Правильная треугольная пирамида со стороной основания 2 м и высотой 5 м. Полусфера радиусом 4 м. 2 3 4 5 6 7 8 9 145 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Конус, обращенный вершиной вниз. Радиус основания конуса 3 м, высота 5 м. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 м и высотой 6 м, обращенной вершиной вниз. Параболоид вращения, радиус основания которого 2 м, высота 2 м. Половина эллипсоиды вращения, радиус основания которого 1 м, высота 1 м. Правильная четырехугольная усеченная пирамида со стороной верхнего основания 2 м, нижнего 4 м и высотой 1 м. Правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2 м. Правильная шестиугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания 2 м и высота 6 м. Цилиндр, радиус основания которого 1 м, высота 3 м. Правильная шестиугольная усеченная пирамида со стороной верхнего основания 1 м, нижнего 2 м и высотой 2 м. Желоб, перпендикулярное сечение которого является полуокружностью радиуса 1 м. Длина желоба 10 м. Правильная шестиугольная усеченная пирамида со стороной верхнего основания 2 м, нижнего – 1 м и высотой 2 м. Полусфера радиуса 2 м. Правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания 4 м, высота 6 м. Правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м, высотой 2 м, удельный вес жидкости. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 м и высотой 4 м. Правильная шестиугольная усеченная пирамида со стороной верхнего основания 1 м, нижнего – 2 м и высотой 2 м. Параболоид вращения глубиной H = 0,5 м и радиусом основания R = 0,4 м. Обращенный вершиной вниз конус, высота которого равна Н, а радиус основания R. Усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего 2 м, высота 4 м. Конус (с вершиной на дне), высота которого Н = 2 м, а радиус основания R = 0,3 м. Цилиндрический бассейн с радиусом основания 0,5 м, если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре. Задание 18. Решить задачу. Вар-т 1 2 3 4 Условие задачи Вычислить работу растяжения на 0,001 м медной проволоки длиной 1 м с радиусом сечения 2 мм (для меди коэффициент упругости Е 1,2 105 Н/ мм2 ). В цилиндре под поршнем находится воздух объемом V0 = 0,1 м3 с давлением P 0 1,033 105 Па . Определить работу изотерметрического сжатия воздуха до объема V1 = 0,03 м3. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы поднять массу m c поверхности земли на высоту h. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания S = 420 см2 и высотой H = 40 см, вытечет через отверстие на дне площадью s = 2 см2 Взять = 0,6. 146 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 За какое время вода вытечет из конической воронки высотой H = 40 см, радиусом нижнего основания r = 0,3 см и верхнего R = 6 см. Взять = 0,6. Найти глубину x, на которой прямоугольный шлюз высотой h разделится горизонтально на такие две части, величина силы давления на которые одинакова. С какой силой полукольцо радиуса r и массы M действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре? Капля с начальной массой M падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу m. Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебречь). Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты H и радиусами оснований R и r (r < R)? Плотность песка равна d (песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса). Высота правильной четырехугольной пирамиды Хеопса 140 м, ребро основания 200 м, удельный вес камня, из которого она сделана, равен 250 Н/м3. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого S 4000 см2 , а высота H = 50 см, плавает на поверхности воды. Плотность дерева d 0,8 103 кг/м3 . Какую работу нужно затратить, чтобы: а) вытащить поплавок из воды, б) погрузить поплавок в воду целиком Тело, температура которого 25, погружено в термостат, в котором поддерживается температура 0. За какое время тело охладится до 10, если за 20 мин оно охлаждается до 20. Два электрических заряда q1 33,3 109 Кл, и q2 40 109 Кл, находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Каково будет расстояние между зарядами, если мы приблизим второй к первому, затратив при этом работу 18 105 Дж. (Разделяющей средой служит воздух). Напряжение на клеммах электрической цепи V = 120 В. В цепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0,1 Ом/с, кроме того, в цепь включено постоянное сопротивление r = 10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение 2 мин? Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть света дойдет до глубины 30 м Количество света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность. Два килограмма соли растворяется в 30 л воды, через 5 мин растворяется 1 кг соли. Через какое время растворится 99 % первоначального количества соли Скорость растворения пропорциональна количеству соли и разности между концентрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, и концентрацией раствора в данный момент. Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется от 20 до 100 С, если сопротивление спирали электроприбора 14,4 Ом, напряжение тока 120 В, температура воздуха в комнате 20 С и известно, что 1 кг воды остывает от 40 до 30 С за 10 мин. Если первоначальное количество фермента 1 г через час увеличивается до 1,2 г, то чему будет равно количество фермента через 5 ч после начало брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0 , без учета сопротивления воздуха равна v v0 gt , где t – протекшее время, g – ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимается тело 147 20 Точка, лежащая на оси Оx, совершает гармонические колебания около начала координат со скоростью v v0 cos(t ) , где t – время, v0 , , – постоянные. Найти закон колебания точки и среднее значение абсолютной величины скорости за период колебаний. 21 Два тела движутся по одной и той же прямой: первое – со скоростью v1 3t 2 4t (м/с), второе – со скоростью v2 4(t 3) (м/с). Если в начальный момент они были вместе, то в какой момент и на каком расстоянии от начала движения они опять будут вместе 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Скорость движения точки v te0,01t . Найти путь, пройденный точкой от начала до полной остановки. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высотой 5 м, имеющего радиусы оснований 4 и 1 м. Удельный вес песка 20 Н/м3. (Песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание). Найти массу стержня длины l = 100 см, если линейная плотность стержня на расстоянии х см от одного из его концов равна 2 0,001x2 г/см. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если сила в 1 H растягивает ее на 1 см? Два электрических заряда q0 и q1 находятся на оси ОХ соответственно в точ- ках x0 0 и x1 1 см. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместить в точку x2 10 см? Вычислить кинетическую энергию диска массой М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0 , без учета сопротивления воздуха, дается формулой v v0 gt , где t – протекшее время и g – ускорение силы тяжести. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t секунд от момента бросания? При установившемся ламинарном течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения v в точке, находящейся на расстоянии r от оси трубы, задается формулой v p a 2 r 2 , где – коэффициент вязко4l сти, p – разность давлений на концах трубы, l – длина трубы. Определить расход жидкости Q, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Скорость точки изменяется по закону v 2(6 t ) м/с. Каково наибольшее удаление точки от начала движения? 148 Задание 19. Найти силу давления на пластинку, изображенную на соответствующем рисунке. Принять 10 3 кг/м3 , g 10 м/с2 . Размеры (м) Вариант Номер рисунка a b h 1 3 4 – 3 2 1 4 – 3 3 4 4 – 3 4 8 4 6 3 5 5 4 – 3 6 2 4 – 3 7 7 4 6 3 8 6 4 – 3 9 8 5 8 3 10 4 5 – 3 11 1 5 – 3 12 3 5 – 3 13 5 5 – 3 14 2 5 – 3 15 7 5 8 3 16 6 5 – 3 17 1 6 – 4 18 4 6 – 4 19 8 6 9 4 20 5 6 – 4 21 2 6 – 4 22 7 6 9 4 23 3 6 – 4 24 6 6 – 4 25 4 7 – 5 26 8 7 11 5 27 5 7 – 5 28 2 7 – 5 29 7 7 11 5 30 6 7 – 5 149 Треугольник 2a h h 2a Рис. 1 Рис. 2 Параболический сегмент 2a h h 2a Рис. 3 Рис. 4 Полуэллипс 2a h h 2a Рис. 5 Рис. 6 150 Трапеция b b h h a a Рис. 7 Рис. 8 Задание 20. Найти путь, пройденный материальной точкой за указанное время t (с) с начала движения при заданном выражении для скорости V(t) (м/c). Вар-т Задание Вар-т Задание 1 V (t ) 2t 2 t 3; t 5 2 V (t ) 3t 2 2t 1; t 3 3 V (t ) 3t 2 5t 2; t 4 4 V (t ) 2t 2 t 4; t 3 5 V (t ) t 2 6t 2; t 4 6 V (t ) 2t 2 4t 3; t 2 7 V (t ) 7t 2 4t; t 2 8 V (t ) t 2 4t 3; t 2 9 V (t ) 4t 2 7t; t 2 10 V (t ) 5t 2 2t 1; t 3 11 V (t ) 3t 2 3t 1; t 2 12 V (t ) 4t 2 t 1; t 3 13 V (t ) t 2 2t 1; t 4 14 V (t ) t 2 6t 1; t 2 15 V (t ) 4t 2 2t 1; t 2 16 V (t ) 2t 2 5t 3; t 2 17 V (t ) t 2 2t 8; t 3 18 V (t ) 4t 2 t 4; t 3 19 V (t ) 2t 2 2t 5; t 3 20 V (t ) 2t 2 5t 1; t 2 21 V (t ) t 2 6t 1; t 4 22 V (t ) 2t 2 3t 2; t 3 23 V (t ) t 2 5t 3; t 2 24 V (t ) 3t 2 t 5; t 3 25 V (t ) 4t 2 2t 3; t 2 26 V (t ) 4t 2 2t 6; t 2 27 V (t ) 3t 2 2t 1; t 3 28 V (t ) 6t 2 2t 1; t 2 29 V (t ) 5t 2 4t 1; t 3 30 V (t ) 2t 2 7t 5; t 2 151 Учебное издание Авторы-составители: ДЕМИН Сергей Евгеньевич ДЕМИНА Елена Леонидовна Определенный интеграл Редактор А. В. Кочурина Подписано в печать 26.11.2013. Формат 60×90 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Ризография Усл. печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 10,75. Тираж 120 экз. Заказ № 1902 Редакционно-издательский отдел Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» Нижнетагильский технологический институт (филиал) 622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59 Отпечатано в РИО НТИ (филиал) УрФУ 152