Интеграл как функция верхнего предела Формула

1
С.А. Лавренченко
www.lawrencenko.ru
Лекция 2
Интеграл как функция верхнего предела
Формула Ньютона-Лейбница
Рекомендуется, чтобы студенты перед прослушиванием этой лекции повторили лекцию
15 о первообразных из 1-го семестра математического анализа.
На этой лекции будут доказаны две фундаментальные теоремы, составляющие основу
математического анализа. Эти результаты были одними из прорывных научных
достижений XVII-го века и явились мостом между дифференциальным и интегральным
исчислениями, показав, что эти операции, на самом деле, обратны друг к другу.
Эти теоремы были независимо получены в 1670-х годах английским математиком
Исааком Ньютоном и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем,
которые развили идеи их предшественника Исаака Барроу, учителя Ньютона.
1. Интеграл как функция верхнего предела
Интеграл можно дифференцировать, если рассматривать его как функцию от
переменного верхнего предела.
Теорема 1.1 (о производной интеграла по верхнему пределу). Если функция f
непрерывна на отрезке [a, b] , то функция
x
g ( x )   f (t ) dt
(a  x  b)
a
непрерывна и дифференцируема на [a, b] (в точках a и b в одностороннем смысле),
причем g ( x)  f ( x) . Словами, производная интеграла по переменному верхнему пределу
равна подынтегральной функции.
Доказательство: Выберем произвольно точку x в (a, b) и зафиксируем ее. По
определению производной имеем
g ( x)  lim
h 0
g ( x  h)  g ( x )
.
h
Предполагая, что x  h  (a, b) , предположим сперва, что h  0 . Преобразуем выражение
под знаком предела следующим образом:
2
ah
g ( x  h)  g ( x ) 

a
x
xh
xh
x
 x
f (t )dt   f (t )dt    f (t )dt   f (t )dt    f (t )dt   f (t )dt ,
a
x
x
a
 a
и, так как h  0 , получаем, что
g ( x  h)  g ( x ) 1

h
h
xh
 f (t )dt .
x
Далее, так как f непрерывна, f достигает на отрезке [ x, x  h] абсолютных максимума и
минимума. Обозначим их, соответственно, через m и M , и обозначим через u и v две
какие-нибудь точки, в которых достигаются эти экстремумы: f (u)  m и f (v)  M . По
сравнительному свойству 3 интеграла,
xh
mh 
 f (t )dt  Mh .
x
xh
Следовательно, f (u )h 
 f (t )dt 
f (v)h . Поэтому, так как h  0 , имеем
x
f (u ) 
(1)
g ( x  h)  g ( x )
 f (v ) .
h
Совершенно аналогично такое же неравенство доказывается для h  0 ; проведите
доказательство самостоятельно.
Теперь устремим h к нулю. При этом u  x и v  x , потому что u и v лежат между x
и x  h . Следовательно, lim f (u )  lim f (u )  f ( x) и lim f (v)  lim f (v)  f ( x) , потому что
h 0
ux
h 0
v x
f непрерывна в точке x . Следовательно, по теореме о зажатой функции, из двойного
неравенства (1) получается, что
g ( x)  lim
h 0
g ( x  h)  g ( x )
 f ( x) .
h
Таким образом, g дифференцируема в (a, b) . Так же доказывается, что g
дифференцируема справа в точке a и слева в точке b . Следовательно, g непрерывна на
[a, b] по теореме о непрерывности дифференцируемой функции. ■
В обозначениях Лейбница утверждение теоремы записывается так:
x
d
f (t )dt  f ( x) .
dx a
Эта запись выразительно показывает, что если сперва проинтегрировать функцию f , а
затем получившуюся функцию продифференцировать, то в результате придем к исходной
функции f . Другими словами, результат процесса интегрирования функции f
аннулируется последующим дифференцированием функции g . Таким образом,
интегрирование и дифференцирование, оказывается, взаимно-обратные операции.
3
x
Пример 1.2. Дана функция g ( x)   1  t 2 dt . Найти g (x) .
0
Решение: Так как функция f (t )  1  t 2 непрерывна, имеем g ( x)  1  x 2 . ■
x4
d
sec tdt .
Пример 1.3. Найти
dx 1
Решение: Данная функция — сложная функция, в которой внешняя функция — интеграл с
переменным верхним пределом, а внутренняя функция равна x 4 . Применяем цепное
правило дифференцирования сложной функции и теорему о производной интеграла по
верхнему пределу:
x4
d
sec tdt  sec( x 4 )  ( x 4 )  4 x 3 sec( x 4 ) . ■

dx 1
2. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 2.1 (формула Ньютона-Лейбница). Если f — непрерывная функция на отрезке
[a, b] , то
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
a
где F — произвольная частная первообразная функции f .
Перед доказательством формулы Ньютона-Лейбница следует подчеркнуть ее
неочевидность: в левой части стоит определенный интеграл, т.е. площадь криволинейной
трапеции, в то время как в правой стоит первообразная подынтегральной функции —
понятие, на первый взгляд, не имеющее ничего общего с площадью!
x
Доказательство формулы Ньютона-Лейбница: Положим g ( x )   f (t ) dt ( x  [a, b] ). По
a
теореме о производной интеграла по верхнему пределу имеем g ( x)  f ( x) , т.е. функция
g является частной первообразной для f на [a, b] (в точках a и b в одностороннем
смысле). Значит, по теореме об общем виде первообразной, F ( x)  g ( x)  C , где C —
константа. Таким образом,
b
a
b
a
a
a
F (b)  F (a)  ( g (b)  C )  ( g (a)  C )  g (b)  g (a)   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt ,
что и требовалось доказать. ■
Так как F   f , формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде
4
b
 F ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
Записанная в таком виде, эта формула (как и предыдущая теорема) показывает, что
дифференцирование и интегрирование — взаимно-обратные операции: результат
дифференцирования функции F аннулируется обратной операций интегрирования.
3
Пример 2.2. Вычислить интеграл  ( x 3  6 x)dx .
0
Решение: Применяем формулу Ньютона-Лейбница.
3
x4
x2
0 ( x  6 x)dx  4  6 2
3
3
0
 34
32
   6
2
 4
  04
02
    6
2
  4

27
  
 6.75 . ■
4

Вспомним, что интеграл из предыдущего примера мы вычислили на первом
практическом занятии непосредственно по определению интеграла, т.е. как предел
интегральных сумм. С использованием формулы Ньютона-Лейбница решение получилось
несравненно проще.
Правая часть формулы Ньютона-Лейбница кратко называется “приращением
первообразной от a до b .” Для нее используются следующие обозначения:
F (b)  F (a)  F ( x) a  F ( x)a  F ( x)a .
b
b
b
В этих обозначениях формула Ньютона-Лейбница принимает более компактный вид:
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
.
a
Пример 2.3. Найти площадь криволинейной трапеции под аркой косинусоиды от 0 до
 2.
Решение: Площадь выражается интегралом:
 2
S
 cos xdx  sin x
 2
0
 sin 2  sin 0  1 .
0
Итак, искомая площадь равна одной квадратной единице. ■
До 1670-х годов последний пример представлялся чрезвычайно трудной задачей. Она
была решена в 1635 году, и история даже помнит имя человека, который впервые
вычислил этот интеграл — им был французский математик Жиль Роберваль. Однако, в
1660-х и 1670-х годах Ньютон и Лейбниц (независимо) открыли одноименную формулу, и
последний пример стал доступен школьнику.
5
Знак дорожного движения
означает опасность на дороге. В лекциях этот символ
будет предупреждать вас от совершения ошибок.
1
x 1
Пример 2.4. Найти ошибку в вычислении:  2 dx 
1
1 x
3
3
1
1

x
3
1
1
4
  1   .
3
3
Решение: Полученный ответ, очевидно, неверен, потому что интеграл от неотрицательной
функции не может быть отрицательным (почему?). Где же ошибка? Ошибка состоит в
неправомерном применении формулы Ньютона-Лейбница. Эту формулу можно
применять только на отрезке, на котором подынтегральная функция непрерывна! Однако,
в данном примере f ( x)  1 / x 2 не является непрерывной на [1,3] (почему?), и поэтому
формула Ньютона-Лейбница неприменима. ■
В заключение адресуем механический смысл интеграла. Пусть s(t ) и v(t ) — координата
и скорость, соответственно, частицы, движущейся по координатной прямой, в момент
времени t . Так как v(t )  s (t ) , координата является первообразной скорости.
t2
Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница имеем  v(t )dt  s (t 2 )  s (t1 ) , т.е., в
t1
физических терминах, интеграл от скорости от t1 до t 2 выражает перемещение
частицы за этот промежуток времени.