Отображения и соответствия

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Îñíîâû êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè ÷èñåë, îñåíü 2012
Çàäà÷è ïðî îòîáðàæåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ
Ñîîòâåòñòâèåì äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî F ⊂
A × B . Ïèøóò F : A → B , à âìåñòî (a, b) ∈ F ïèøóò b ∈ F (a). Îòîáðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ò.å. òàêîå, ïðè êîòîðîì äëÿ ëþáîãî a åñòü åäèíñòâåííîå
b, òàêîå ÷òî (a, b) ∈ F .  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò b = F (a). Íåïóñòîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå, ïðè êîòîðîì F (a) 6= ∅ ïðè âñåõ a. Èíúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì
íàçûâàåòñÿ òàêîå, ïðè êîòîðîì åñëè a1 6= a2, òî F (a1) è F (a2) íå ïåðåñåêàþòñÿ. Èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èíúåêöèåé. Ñþðúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå, ïðè êîòîðîì ó ëþáîãî b åñòü a, òàêîå ÷òî b ∈ F (a). Ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñþðúåêöèåé. Îòîáðàæåíèå, ÿâëÿþùååñÿ îäíîâðåìåííî èíúåêöèåé
è ñþðúåêöèåé, íàçûâàåòñÿ áèåêöèåé. Îáðàòíûì ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå F −1 ⊂ B × A, îïðåäåëÿåìîå òàê: a ∈ F −1(b) ⇔ b ∈ F (a).
Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà è îíî
ñàìî, è îáðàòíîå ê íåìó ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè.
Ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî èíúåêòèâíûì è ñþðúåêòèâíûì. Îáÿçàòåëüíî ëè îíî ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé?
Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëÿþùèå ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâèé, îáðàòíûõ ê èíúåêòèâíûì
è ê ñþðúåêòèâíûì.
Îáðàçîì F (S) ìíîæåñòâà S ⊂ A ïðè ñîîòâåòñòâèè F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ∪s∈S F (s).
−1
Ïðîîáðàçîì F
(T ) ìíîæåñòâà T ⊂ B ïðè ñîîòâåòñòâèè F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî {s |
F (s) ∩ T 6= ∅}.
Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà ñîîòâåòñòâèå F :
a) F (F −1(T )) ⊂ T ;
b) F −1(F (S)) ⊂ S ;
c) F (S ∪ Q) ⊂ F (S) ∪ F (Q);
d) F (S ∩ Q) ⊂ F (S) ∩ F (Q);
e) F (S \ Q) ⊂ F (S) \ F (Q);
f) F (S4Q) ⊂ F (S)4F (Q);
g) F −1(T ∪ U ) ⊂ F −1(T ) ∪ F −1(U );
h) F −1(T ∩ U ) ⊂ F −1(T ) ∩ F −1(U );
i) F −1(T \ U ) ⊂ F −1(T ) \ F −1(U );
j) F −1(T 4U ) ⊂ F −1(T )4F −1(U );
k) âñ¼ òî æå ñàìîå äëÿ ⊃ âìåñòî ⊂?
Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâèÿ F : A → B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Dom F =
F −1 (B). Îáëàñòüþ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâèÿ F : A → B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Ran F =
F (A).
×åìó ðàâíû F (Dom F ) è F −1(Ran F )?
1.
2.
3.
4.
5.
1
Ïóñòü F : A → B ñîîòâåòñòâèå, à C ⊂ A. Ñîîòâåòñòâèå F C : C → B , çàäàííîå
óñëîâèåì b ∈ F C (a) ⇔ b ∈ F (a) íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì ñîîòâåòñòâèÿ F íà ìíîæåñòâî
C . Ñàìî ñîîòâåòñòâèå F â òàêîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ñîîòâåòñòâèÿ F C .
Âñåãäà ëè ñóæåíèå (ïðîäîëæåíèå) îòîáðàæåíèÿ, èíúåêòèâíîãî ñîîòâåòñòâèÿ, ñþðúåêòèâíîãî ñîîòâåòñòâèÿ, áèåêöèè ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, èíúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì,
ñþðúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì, áèåêöèåé ñîîòâåòñòâåííî?
Êîìïîçèöèåé ñîîòâåòñòâèé F : A → B è G : B → C íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå H =
G ◦ F : A → C , îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì z ∈ H(x) ⇔ íàéä¼òñÿ y, òàêîé ÷òî y ∈
F (x) è z ∈ G(y). Òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ idA : A →
A, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì idA (x) = x.
Äîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé, èíúåêòèâíûõ ñîîòâåòñòâèé, ñþðúåêòèâíûõ ñîîòâåòñòâèé è áèåêöèé ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, èíúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì,
ñþðúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì, áèåêöèåé ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð òàêèõ ñîîòâåòñòâèåé F è G, ÷òî F ◦ G 6= G ◦ F , è òàêèõ, ÷òî
F ◦ G = G ◦ F.
Ïóñòü F : A → B , G : B → C è K : C → D. Äîêàæèòå, ÷òî K ◦(G◦F ) = (K ◦G)◦F .
Äîêàæèòå, ÷òî F ◦ idA = idB ◦F = F .
Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà ñîîòâåòñòâèå F âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F ◦ F −1 = idB ?
F −1 ◦ F = idA ?
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâèé F : A → B è G : B → A âûïîëíåíî G ◦ F = idA.
Âåðíî ëè, ÷òî G = F −1?
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâèé F : A → B , G : B → A è H : B → A âûïîëíåíî
G ◦ F = idA è F ◦ H = idB . Âåðíî ëè, ÷òî G = H ?
×àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå F : X → Y , ïðè êîòîðîì
êàæäûé ýëåìåíò X èìååò íå áîëåå îäíîãî îáðàçà.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóæåíèå ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîé ôóíêöèè íà å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2