(1.4 MБ) - Тихоокеанский государственный университет

Бидерман В.И. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Ф У Н К Ц И Й Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н О Г О П Е Р Е М Е Н Н О Г О Хабаровск 2011 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Бидерман В.И. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Утверждено издательско-библиотечным советом университета в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ТОГУ 2011 УДК 517.5(07) ББК 22.16 Б 597 Рецензенты: Кафедра «Высшая математика» ДВУГПС (зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. П. В. Виноградова); Е. А. Мясников, канд. физ.-мат. наук, доц.кафедры М и ММЭ ХГАЭП Научный редактор канд. физ.-мат. наук, доц. Е. Г. Агапова Б597 Бидерман В. И. Элементы теории функций действительного переменного : учеб. пособие / В. И. Бидерман. — Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011. — 195 с. ISBN 978−5−7389−0931−3 Пособие предназначено для студентов специальности «Прикладная математика» и других специальностей с математическим уклоном. Первые две главы пособия могут быть использованы при чтении курсов высшей математики для студентов технических и экономических специальностей дневной формы обучения. Рассматриваются вопросы теории бесконечных множеств, метрических и линейных нормированных пространств, теории построения интеграла Лебега по схеме Даниэля, её эквивалентности с определением Лебега, элементы теории меры. Пособие включает подборку задач, связанных с непосредственным вычислением интеграла Лебега, и вопросы для самостоятельной работы, а также список литературы, предполагающий более углубленное знакомство с изучаемым материалом. Ключевые слова: теория множеств, метрические и линейные нормированные пространства, интеграл Лебега УДК 517.5(07) ББК 22.16 ISBN 978−5−7389−0931−3 c Бидерман В.И., 2011 c Тихоокеанский государственный университет, 2011 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Определения алгебры множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Понятие мощности множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Счётные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Примеры счётных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Множества мощности континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Примеры множеств мощности континуума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. О сравнении мощностей множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Разбиение множества на классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Комментарии к первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Элементы теории метрических и нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Что такое расстояние?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Окрестности и шары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Аксиомы метрики на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Метрическое пространство. Примеры метрических пространств . . . . . . . . . . § 5. Об «эквивалентности» метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Сходимость в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Замыкание множества. Понятие плотного множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Полные метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Пополнение метрического пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Определение и свойства непрерывных функций в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Понятие линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14. Пополнение линейного нормированного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 15. Понятие фактор-пространства данного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Комментарии ко второй главе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Введение в теорию интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Множества меры нуль и множества полной меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Интеграл Римана. Схема построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Ступенчатые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Интеграл от ступенчатых функций и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Построение интеграла Римана с помощью ступенчатых функций . . . . . . . . . § 6. Класс функций D+ и интегрирование в этом классе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 7 8 12 17 21 23 26 32 33 36 37 38 39 40 42 47 49 51 58 61 66 70 75 76 80 82 87 88 88 92 94 97 103 105 § 7. Свойства интеграла в классе функций D+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Класс суммируемых по Риссу функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Интеграл в классе суммируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Теорема Беппо Леви и её следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Теорема Лебега и её следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Функции, измеримые по Риссу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Теорема о полноте пространства D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14. Понятие меры множества по Риссу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 15. Понятие сходимости функций по мере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. О связи между измеримыми и непрерывными функциями . . . . . . . . . . . . . . § 17. Интегрирование по измеримому множеству . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 18. Об интегрировании по бесконечному промежутку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 19. Комментарии к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4. Мера множества по Лебегу и интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Понятие внешней меры множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Понятие меры множества по Лебегу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Функции, измеримые по Лебегу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Определение интеграла Лебега по Лебегу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Определение интеграла Лебега от неограниченной измеримой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Комментарии к четвёртой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 1. Интегрирование функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 2. Схема Даниэля построения интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 3. Примеры вычисления интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Комментарии к дополнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответы к теоретическим упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражения для самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 108 111 113 117 121 125 131 134 139 143 146 150 151 152 152 155 156 158 160 162 163 163 168 171 177 178 187 189 191 ВВЕДЕНИЕ В курсе математики теория функций действительной переменной (ТФДП) как раздел занимает своё место между классическим математическим анализом и функциональным анализом. Точно также как и в классическом анализе, ТФДП изучает различные виды функций и функциональные ряды, операции дифференцирования и интегрирования над ними, различные предельные переходы. Отличие заключается в более высокой степени абстракции. Если исключить из классического анализа теорию дифференциальных уравнений и теорию функций комплексного переменного, которые сегодня являются самостоятельными отраслями математического знания, то ТФДП можно было бы определить как расширенный и обобщенный математический анализ. В то же время между функциональным анализом и ТФДП отношения развиваются примерно также, как между ней и классическим анализом. Но если в теории функций объектом изучения является понятие функции, то в функциональном анализе — его обобщения — функционал и оператор. Если ТФДП начинается с теории точечных множеств в евклидовых пространствах, то функциональный анализ начинается с изучения свойств множеств в топологических, банаховых, гильбертовых и других пространствах. При этом эти пространства являются самостоятельными объектами изучения в функциональном анализе. ТФДП же использует только свойства пространств, доверяя их изучение геометрии. С точки зрения истории теория функций действительного переменного начинается во второй половине девятнадцатого столетия. Её первой работой считается1 работа Римана «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда», опубликованная в 1867 году. Дальнейшее развитие ТФДП связано с именами французских математиков Э. Бореля и А. Лебега, создателей московской математической школы Д. Егорова и Н. Лузина, польского математика С. Банаха и многих других. Ввиду ограниченности времени на изучение курса ТФДП и невозможности объять необъятное, предлагаемый курс «Элементы теории функций действительного переменного» предполагает своей основной целью знакомство студентов специальности «Прикладная математика» с элементами теории интегрирования. При этом, в отличие от классических курсов ТФДП, существенно использующих теорию меры, в пособии выбрано построение курса, предложенное венгерскими математи-ками Ф. Риссом и Б. Сёкефальви-Надем, которое опирается на схему английского математика П. Даниэля. Такой подход позволяет в рамках отведенного времени достаточно логично изложить схему построения интеграла и показать на задачах технику вычисления. Последующая глава курса устанавливает эквивалентность введения интеграла по схемам Даниэля и Лебега. Поскольку введение инте1 См. работу Ф. Медведева в библиографическом списке. 5 грала невозможно без предварительной подготовки, то изложение курса начинается с введения в теорию бесконечных множеств и теорию метрических и нормированных пространств. Данное учебное пособие предлагает только начальный курс введения в теорию функций действительного переменного. Есть надежда, что читающие, взобравшись на первую ступеньку, не остановятся и обратятся к списку литературы в конце пособия, рассчитанному на глубокое знакомство с ТФДП. Являясь предметом математической культуры, теория функций действительного переменного во многом доступна начинающим. В частности, первые две главы пособия не должны вызвать затруднений в понимании у студентов младших курсов технических специальностей. А освоив их, они, возможно, попробуют одолеть и следующие. Упражнения для самостоятельной работы, приведённые в конце пособия, даже для тех, кто не сможет их одолеть, могут послужить толчком к поиску решения с помощью изучения указанной литературы, то есть освоения нового источника знаний, который может открыть путь к результату. Предлагаемое учебное пособие полностью построено на содержании работ, указанных как в комментариях глав, так и в списке литературы. Естественно, что все обнаруженные в данном пособии «ляпы» к авторам тех работ не имеют никакого отношения. 6 Глава 1 Элементы теории множеств § 1. Понятие множества Следует признать, что мы не можем сказать, что такое множество. Всё, что мы знаем об этом объекте, является объяснением того, что это за вещь, но не определением. Сам создатель теории множеств Г. Кантор1 определял под множеством «соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления.» Эти предметы он назвал2 элементами множества M . В первом руководстве «Теория множеств» его автор — Ф. Хаусдорф3 ввёл понятие множества так: «Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство. Вещь M особым, не подлежащим определению, образом определяет собой вещи a, b, c, . . . и что, обратно, эти последние также определяют M . Это отношение между вещью M и вещами a, b, c, . . . будем выражать словами: множество M состоит из вещей a, b, c, . . . ». Свойство вещи как элемента принадлежать или не принадлежать множеству определяется некоторым характеристическим признаком. При этом для одних множеств этот признак можно задать перечислением всех элементов множества или заданием алгоритма, позволяющего отличить его элементы за конечное, пусть даже неизвестное, число действий. Например, множество студентов группы можно задать списком в журнале преподавателя, а множество людей в городе, фамилия которых начинается на «А», мы перечислить не можем, но очевидно, что оно состоит также из конечного числа элементов. Такие множества называются конечными множествами. В то же время другие множества, такие как, например, множество натуральных чисел N или множество точек, лежащих на отрезке [a; b], подобным свойством не обладают. Эти множества называют неконечными или бесконечными множествами. Говоря о множествах и их элементах, мы будем следовать двум правилам: 1. Относительно каждого элемента множества верно одно и только одно: этот элемент принадлежит множеству или не принадлежит . 2. Само множество не содержит себя в качестве элемента . Тот факт, что элемент x является элементом множества M , записывается так: x ∈ M (x принадлежит M ). 1 Кантор Георг (Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp, 1845 — 1918) — великий немецкий математик, создатель теории множеств. 2 Здесь и далее ссылки на литературу см. в комментариях в конце главы. 3 Хаусдорф Феликс (Hausdorff Felix, 1868 — 1942) — великий немецкий математик, один из основоположников современной топологии. 7 А то, что элемент y не содержится во множестве M , обозначается: y∈ / M (y не принадлежит M ). Например, утверждение «m — натуральное число» можно записать: m ∈ N. Обозначаются множества с помощью фигурных скобок. Так A = {a}, B = {a, b} есть обозначения множеств, состоящих соответственно из одного элемента a, двух элементов a и b. А выражение C = {a, b, c, . . . } есть обозначение множества C, состоящего из элементов a, b, c и, может быть, еще некоторых других. Фраза «множество точек декартовой плоскости, лежащих на параболе с вершиной в начале координат и ветвями вверх» с помощью обозначений выглядит так: {(x; y) ∈ R2 : y = x2 }. Поскольку не всегда известно, содержит ли данное множество хотя бы один элемент, было введено понятие пустого множества. Так в книгах по теории вероятностей, рассказывая о невозможных событиях, рассматривают множество верблюдов, гуляющих по Северному полюсу (в предположении, что их там нет1 ). Так как пустое множество , по определению, не содержит элементов, то мы можем при рассмотрении нового множества не оговаривать каждый раз факт его существования, не исключая того, что множество может оказаться пустым. Пустое множество обозначается через ∅. § 2. Определения алгебры множеств Рассмотрим отношение порядка между двумя множествами. Определение 2.1. Если каждый элемент множества A является одновременно и элементом множества B, то множество A называется подмножеством множества B. Обозначается это так: A⊆B. При этом часто говорят, что множество A содержится в множестве B или что A включено в B. Например, множество натуральных чисел N составляет часть множества целых чисел Z, поэтому N подмножество Z: N ⊆ Z. Из данного определения вытекают два следствия: ? любое множество является подмножеством самого себя: A ⊆ A; ? пустое множество является подмножеством любого множества2 . 1 Что совсем не исключает существование богатого ненавистника верблюдов, который может их туда завезти самолетом. 2 Множество A и пустое множество называются несобственными подмножествами множества A. 8 Определение 2.2. Два множества A и B называются равными, если для них одновременно имеют место включения: A ⊆ B и B ⊆ A. Равенство множеств выглядит так: A=B. Например, если A = {−1, 0, 1}, а B является множеством корней уравнения x − x = 0, то A = B. В том случае, когда A ⊆ B, но A 6= B, отношение множеств A и B обозначается знаком A ⊂ B. При этом множество A называется собственным подмножеством множества B или его правильной частью. В дальнейшем нам понадобится знание операций над множествами. Первой из таких операций рассмотрим объединение множеств. Определение 2.3. Пусть даны два множества A и B. Множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B, называется объединением или суммой множеств A и B и обозначается следующим образом: 3 C = A ∪ B или C = A + B . Так объединение множества A = {1, 4, 9, 16, 25, . . . } (квадратов натуральных чисел) и B = {1, 8, 27, . . . } (кубов натуральных чисел) есть множество C = {1, 4, 8, 9, 16, 25, 27 . . . }. Точно также, как множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств, составляющих это объединение (сумму), определяются: ? объединение n множеств A1 , A2 , . . . , An ; ? объединение множеств последовательности A1 , A2 , . . . , An , . . . ; ? объединение множества множеств, отмеченных для отличия друг от друга значком α (α пробегает значения некоторого множества Λ). При этом соответствующие обозначения данных объединений имеют вид: C = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An или C = n [ Ak ; k=1 C = A1 + A2 + · · · + An или C = n X Ak ; k=1 C = A1 ∪ A2 ∪ · · · или C = C = A1 + A2 + · · · или C = ∞ [ Ak ; k=1 ∞ X k=1 C= [ Aα или C = X α∈Λ α∈Λ 9 Aα . Ak ; Так множество положительных действительных чисел R+ можно записать как + R = ∞ [ (k − 1; k] . k=1 Из определения 2.3 вытекают достаточно очевидные следствия: ? если A ⊂ B, то A ∪ B = B; ? A ∪ A = A. Следующей из операций над множествами рассмотрим пересечение множеств. Определение 2.4. Пусть даны два множества A и B. Множество элементов, одновременно принадлежащих1 каждому из множеств A и B, называется пересечением или произведением множеств A и B и обозначается так: P = A ∩ B или P = AB . Например, в приведенном ранее примере объединения множеств A = {1, 4, 9, 16, 25, . . . } и B = {1, 8, 27, . . . }, пересечением этих множеств будет множество чисел, состоящее из явно видимого числа 1 и невидимых в данной записи шестых степеней натуральных чисел: 64, 729, 4096 и так далее, поскольку только эти числа одновременно входят в каждое из данных множеств. Аналогично, как множество, элементы которого образуют общую часть множеств, составляющих это пересечение (произведение), определяются: ? пересечение n множеств A1 , A2 , . . . , An ; ? пересечение множеств последовательности A1 , A2 , . . . , An , . . . ; ? пересечение множества множеств, отмеченных для отличия друг от друга значком α (α пробегает значения некоторого множества Λ). При этом соответствующие обозначения данных пересечений имеют вид: P = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An или P = n \ Ak ; k=1 P = A1 A2 · · · An или P = n Y Ak ; k=1 ∞ \ P = A1 ∩ A2 ∩ · · · или P = P = A1 A2 · · · или P = k=1 ∞ Y Ak ; k=1 1 То есть, общая часть данных множеств. 10 Ak ; P = \ Aα или P = Y Aα . α∈Λ α∈Λ Так множество из одного элемента {0} можно записать как ∞ \ 1 1 {0} = − ; . k k k=1 Из определения 2.4 следует, что: ? если A ⊂ B, то A ∩ B = A; ? A ∩ A = A. В случае, когда множества A и B не имеют общих элементов1 , то их пересечение является пустым множеством и это обозначается так: A ∩ B = ∅. Перейдем к третьей операции над множествами − к операции вычитания множеств. Определение 2.5. Допустим, что нам даны два множества A и B (из которых второе может и не содержаться в первом). Разностью множеств A и B называется множество тех элементов множества A, которые не являются элементами множества B. При этом разность множеств A и B обозначается R = A \ B или R = A − B . Так, например, если A есть множество точек отрезка [2; 5], а B — множество точек отрезка [4; 7], то разностью A \ B этих множеств является полусегмент R = [2; 4). Все введённые понятия можно показать на одном рисунке, на котором под A и B понимаются множества всех точек соответствующих промежутков: Частным случаем операции вычитания множеств A и B является операция дополнения. 1 Говорят, что множества A и B «не пересекаются». 11 Определение 2.6. Если множество B является подмножеством множества A, то множество всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, называется дополнением множества B до множества1 A и обозначается2 CB. Так, если A есть множество точек отрезка [2; 5], а B — множество точек отрезка [3; 4], то дополнением множества B до множества A является объединение полусегментов CB = [2; 3) ∪ (4; 5]. Приведем без доказательства3 основные свойства определённых операций: 1. Свойство коммутативности: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A . 2. Свойство ассоциативности: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) . 3. Свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) . 4. Свойство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . 5. Свойство дистрибутивности пересечения относительно разности: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C) . 6. Свойства двойственности пересечения и объединения4 : C(A ∪ B) = CA ∩ CB , C(A ∩ B) = CA ∪ CB . § 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Понятие мощности множества Как сравнивать два множества с точки зрения количества элементов в этих множествах? Конечно, если множества A и B конечны, то мы, наверно, можем пересчитать элементы в каждом из множеств и сравнить полученные в результате счёта числа, хотя и не всегда, учитывая приведённые выше примеры5 . А как быть с неконечными множествами? В них элементы пересчитать невозможно. 1 В том случае когда множество A не указывается, то речь идет о некотором универсальном множестве, которое является объединением всех рассматриваемых в данном случае множеств (например, множество (−∞; ∞) является таким универсальным множеством для всех множеств точек, лежащих на числовой прямой). 2 C — начальная буква слов «set complement» — дополнение множества. 3 Доказательство данных свойств можно найти в книгах из библиографического списка, приведенной в конце пособия. 4 Читаются эти формулы соответственно так: «дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений», «дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений». 5 Ещё один из таких примеров: как пересчитать по отдельности всех девушек и всех юношей на современной дискотеке с целью количественного сравнения этих множеств? 12 Попробуем отказаться от пересчёта элементов каждого из сравниваемых множеств с помощью установления связи между элементами сравниваемых множеств. Определение 3.1. Правило f , которое каждому элементу a из множества A ставит в соответствие элемент b множества B таким образом, что этому элементу b в множестве A соответствует только элемент a, называется взаимно однозначным соответствием между множествами A и B. Приведём примеры такого соответствия: 1. Пусть множество A совпадает с множеством N натуральных чисел, а множество B является множеством целых отрицательных чисел. Тогда отображение, задаваемое правилом f (n) = −n является взаимно однозначным соответствием. 2. Рассмотрим в качестве множества A — множество точек оси абсцисс в координатной системе XOY . А за множество B возьмём множество точек полуокружности x2 + (y − 1)2 = 1, y < 1 с центром в точке (0; 1)1 . Поставим каждой точке α координатной оси в соответствие ту точку полуокружности, в которой эта полуокружность пересекается лучом, соединяющим центр полуокружности с α. Данное соответствие является взаимно однозначным. 3. Примем за A и B множества из предыдущего примера. Пусть B1 — множество точек x оси абсцисс, удовлетворяющих неравенству −1 < x < 1. Проектируя полуокружность B ортогонально на интервал B1 , установим между точками B и B1 взаимно однозначное соответствие. В то же время, как следует из примера 2, такое соответствие существует между точками числовой прямой A и множеством B. Рассматривая цепочку A ⇐⇒ B, B ⇐⇒ B1 , получаем взаимно однозначное соответствие между точками всей числовой прямой A и интервалом B1 = (−1; 1). Аналогично можно установить взаимно однозначное соответстие между точками числовой прямой и любым её интервалом, а следовательно, и между любыми двумя интервалами. 4. Одним из самых наглядных примеров взаимно однозначного соответствия является знакомое каждому с детства соответствие, устанавливаемое лучом проектора, между точками кадра кинопленки и точками экрана кинотеатра. 5. Закончим перечисление примеров взаимно однозначного соответствия более сложным примером, установленным Георгом Кантором: 1 Заметим, что концы полуокружности, то есть точки (−1; 1) и (1; 1) полуокружности не принадлежат. 13 y 6 sQ P x sS y M Рассмотрим в качестве множества A квадрат M N P Q cо стороной, равной 1. А за множество B выберем отрезок [0; 1]. Попробуем установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и отрезка. Очевидно, что проектирование точек квадрата в точки отрезка пользы не принесёт, так как в одну точку отрезка - x проектируется несколько точек квадрата. N Каждую точку S квадрата M N P Q определим её координатами x, y в привязанной к квадрату системе координат. При этом представим эти числа x и y с помощью бесконечных десятичных дробей. А так как каждое из них меньше единицы, то эти дроби имеют вид x = 0, α1 α2 . . . αn . . . y = 0, β1 β2 . . . βn . . . (здесь αn и βn — знаки цифр в десятиричной системе счисления). Точке S(x, y) поставим в соответствие точку z из отрезка [0; 1] следующим образом: z = 0, α1 β1 α2 β2 α3 β3 . . . αn βn . . . При подобном соответствии разным точкам S квадрата соответствуют разные точки z отрезка. И наоборот, разным точкам z и z 0 отрезка соответствуют различные десятичные дроби1 , а, значит, и разные точки квадрата. Поэтому выбранное таким образом соответствие является взаимно однозначным. Теоретическое упражнение 3.1. Найдите функцию, которая бы определяла взаимно однозначное соответствие между отрезком [0; 1] и отрезком [a; b]. Теоретическое упражнение 3.2. Найдите функцию, которая бы определяла взаимно однозначное соответствие между интервалом (0; 1) и всей числовой прямой. Теоретическое упражнение 3.3. Приведите пример отображения, задающего взаимно однозначное соответствие между отрезком [0; 1] и интервалом (0; 1). Определение 3.2. Два множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются количественно эквивалентными множествами. Количественно эквивалентные множества обычно называют эквивалентными множествами. Примером эквивалентных множеств являются два конечных множества, состоящие из одинакового числа элементов. 1 Так как вопрос с соответствием точек отрезка десятичным дробям решается сложнее, то данное доказательство не является достаточно строгим. 14 Замечание 3.1. Говорят, что эквивалентные множества имеют одинаковую мощность. То есть, под мощностью множества A понимается такое свойство этого множества, которым обладает любое множество B, эквивалентное множеству A. В частности, для эквивалентных конечных множеств этим общим свойством будет количество элементов, из которого они состоят. В применении же к бесконечным множествам понятие мощности является только аналогом понятия количества 1 . Замечание 3.2. Из определения эквивалентных множеств следует, что два множества A и B, эквивалентные одному и тому же третьему множеству C, эквивалентны между собой. На основании приведённых выше примеров сложно ответить на вопрос эквивалентности множества точек отрезка [a; b] множеству точек интервала (a; b). Ответ на этот вопрос даёт теорема, доказанная Ф. Бернштейном2 в 1898 году3 . Теорема 3.1. Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B1 есть часть множества B, эквивалентная множеству A, A1 — часть множества A, эквивалентная множеству B. Так как между элементами множества B и элементами множества A1 существует взаимно однозначное соответствие, то для элементов множества B1 в множестве A1 определено подмножество элементов A2 , которые им отвечают в данном соответствии. Таким образом, мы имеем цепочку включений A ⊃ A1 ⊃ A2 , причём A2 ∼ A, так как A2 ∼ B1 , а B1 ∼ A. Если мы докажем, что A ∼ A1 , то теорема будет верна (так как A1 ∼ B). При взаимно однозначном отображении A на A2 множество A1 ⊂ A переходит в некоторое множество A3 ⊂ A2 , множество A2 ⊂ A1 переходит в некоторое множество A4 ⊂ A3 , множество A3 ⊂ A2 переходит в некоторое множество A5 ⊂ A4 и т. д. Помимо этого, множество A \ A1 переходит в A2 \ A3 , множество A1 \ A2 переходит в A3 \ A4 , множество A2 \ A3 переходит в A4 \ A5 и так далее. Отсюда следует, что множества A \ A1 , A2 \ A3 , A4 \ A5 , A6 \ A7 и т. д. 1 Г. Кантор называл мощность множества также кардинальным числом (см. комментарии к главе). Бернштейн Феликс (Bernstein Felix, 1878-1956) — немецкий математик. Занимался вопросами теории множеств и математической статистики. 3 Некоторые авторы (например, П. С. Александров) называют её теоремой Кантора - Бернштейна, другие (И. П. Натансон) теоремой Шрёдера - Бернштейна. (Шрёдер Эрнст (Schroder Ernst, 1841-1902) — немецкий математик. Специалист в области теории множеств и математической логики). 2 15 попарно эквивалентны. Объединение множеств без общих точек (A \ A1 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ (A4 \ A5 ) ∪ · · · эквивалентно объединению (A2 \ A3 ) ∪ (A4 \ A5 ) ∪ (A6 \ A7 ) ∪ · · · Пусть D = A ∩ A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An . . . . Тогда верно следующее равенство: A = D ∪ (A \ A1 ) ∪ (A1 \ A2 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ · · · В самом деле, пусть a ∈ A. Покажем, что a входит в правую часть равенства. Если a входит в каждое из множеств A1 , A2 , . . . , то a ∈ D и утверждение доказано. Если же a не принадлежит какому-нибудь множеству из An , то пусть Ak — первое из таких множеств, тогда a ∈ Ak−1 . А значит, a ∈ Ak−1 \ Ak . Поэтому a входит в правую часть равенства. Обратно, если a входит в правую часть равенства, то a ∈ A, так как каждое из слагаемых правой части является подмножеством множества A. Аналогичным образом доказывается следующее равенство: A1 = D ∪ (A1 \ A2 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ (A3 \ A4 ) ∪ · · · Оба равенства можно переписать в следующем виде: A = [D ∪ (A1 \ A2 ) ∪ (A3 \ A4 ) ∪ · · · ] ∪ [(A \ A1 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ · · · ], A1 = [D ∪ (A1 \ A2 ) ∪ (A3 \ A4 ) ∪ · · · ] ∪ [(A2 \ A3 ) ∪ (A4 \ A5 ) ∪ · · · ]. В правых частях обоих равенств в первых квадратных скобках стоят одни и те же множества, а во вторых квадратных скобках стоят множества, эквивалентность которых была доказана ранее. Используя это, мы можем каждой точке множества D∪(A1 \A2 )∪(A3 \A4 )∪· · · ⊂ A поставить в соответствие эту же точку в множестве A1 . Затем каждую точку a множества (A \ A1 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ · · · отобразим в ту точку множества (A2 \ A3 ) ∪ (A4 \ A5 ) ∪ · · · , которая отвечает точке a в силу установленной выше эквивалентности. Такое сопоставление точек исчерпывает все точки множеств A и A1 . Поэтому между множествами A и A1 существует взаимно однозначное соответствие, что и делает утверждение теоремы истинным. Одним из многочисленных следствий теоремы Ф. Бернштейна является следующее: Следствие 3.1. Множества точек отрезка и интервала равномощны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заданный отрезок [a; b] содержит интервал (a; b), который эквивалентен множеству точек заданного интервала (c; d) (смотри пример 3). В свою очередь, множество точек любого из внутренних отрезков интервала (c; d) эквивалентно множеству точек заданного отрезка [a; b]. Применяя теорему Бернштейна, получаем, что множества точек [a; b] и (c; d) равномощны. 16 § 4. Счётные множества Определение 4.1. Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Из замечания 3.2. следует, что: 1. Любое множество, эквивалентное счётному множеству, само является счётным. 2. Любые два счётные множества эквивалентны. Можно дать другое, эквивалентное определение счётного множества: Определение 4.2. Множество A, все элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . таким образом, чтобы каждый элемент получил только один номер n, и каждое натуральное число n было бы дано в качестве номера одному и только одному элементу данного множества, называется счётным множеством. Мощность счётного множества принято обозначать1 символом ℵ0 . Определение 4.3. Бесконечное множество, которое не является счётным, называется несчётным множеством. Теорема 4.1. Любое подмножество счётного множества является либо конечным, либо счётным множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — счётное множество. Из определения 4.2 следует, что его элементы можно представить в виде бесконечной последовательности a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . Предположим, что A0 есть подмножество множества A, а an1 — первый элемент последовательности, который одновременно является и элементом подмножества A0 . Допустим, что an2 второй такой элемент в последовательности, а an3 третий. Выбирая таким образом элементы последовательности, мы либо исчерпаем всё множество A0 , которое в этом случае окажется конечным множеством, либо получим бесконечную последовательность an1 , an2 , an3 , . . . , ank , . . . , которая состоит из всех элементов A0 . Обозначив для удобства ank через a0k , видим, что A0 — счётное множество. Теорема 4.2. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — бесконечное множество. Выберем в нём произвольный элемент a1 . Так как A — бесконечно, то мы сможем найти в A элемент a2 , отличный от a1 . Поскольку A не исчерпывается этими двумя 1 ℵ — первая буква древнееврейского алфавита (читается а́леф). Символ ℵ0 (а́леф-нуль) был введён Г. Кантором для обозначения мощности счётного множества. 17 элементами, то мы можем найти в нём отличный от них элемент a3 . Этот процесс выбора можно продолжать неограниченно. В итоге мы получим бесконечную последовательность элементов a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . , которая и образует счётное подмножество. Следствие 4.1. Если из бесконечного множества удалить счётное подмножество, то оставшееся множество будет бесконечным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим доказательство теоремы 4.2. При первом выборе, учитывая, что множество A бесконечно, мы могли бы выбрать не только элемент a1 , но и отличный от него элемент b1 . А при втором выборе можно было бы найти не только a2 , отличный от a1 и b1 , но и b2 , отличающийся от всех трёх выбранных элементов. Продолжая этот процесс, мы бы получили не одно, а два счётных подмножества. Удалив одно из них, мы бы получили в оставшемся множестве счётное подмножество, которое является бесконечным множеством. Следствие 4.2. Если из бесконечного множества удалить конечное подмножество, то оставшееся множество будет бесконечным. Доказательство этого факта вытекает из доказательства следствия 4.1, если мы будем в качестве второго подмножества выбирать конечное, а не счётное подмножество. Теорема 4.3. Объединение конечного и счётного множеств есть счётное множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что множества не имеют общих элементов. Пусть A = {a1 , a2 , . . . , an }, B = {b1 , b2 , b3 . . . } и S = A ∪ B. Тогда S можно представить как S = {a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , b3 , . . . }, а затем ввести новую нумерацию, в которой bi = an+i (i = 1, 2, 3, . . . ). Если множества имеют общие элементы, то их число k конечно (k ≤ n). Удалим множество K общих элементов из множеств A и B. Так как A1 = A\K и B1 = B\K не имеют общих элементов, то их объединение является счётным множеством. Объединяя это множество с непересекающимся с ним множеством K, мы вновь получим счётное множество. Теорема 4.4. Объединение конечного числа счётных множеств есть счётное множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в предыдущей теореме допустим, что множества A1 = {a11 , a21 , a31 . . . }, A2 = {a12 , a22 , a32 . . . }, A3 = {a13 , a23 , a33 . . . }, . . . An = {a1n , a2n , a3n }1 не пересекаются между собой. 1 Здесь второй индекс в записи элементов означает номер множества, которому этот элемент принадлежит. 18 Тогда объединение множеств S = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An можно записать в виде последовательности S = {a11 , a12 , a13 , . . . , a1n , a21 , a22 , a23 , . . . , a2n , a31 , a32 , a33 , . . . , a3n , . . . }, что и доказывает счётность множества S. В случае попарного пересечения множеств мы имеем не более чем счётное множество общих элементов. Поступая аналогично второй части доказательства теоремы 4.3, мы также получим истинность доказываемой теоремы. Теорема 4.5. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств является счётным множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть рассматриваемые множества есть A1 = {a11 , a21 , a31 , . . . , an1 1 }, A2 = {a12 , a22 , a32 , . . . , an2 2 }, A3 = {a13 , a23 , a33 , . . . , an3 3 }, .............................. Для того чтобы представить их объединение S = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · в виде последовательности, достаточно переписать подряд элементы множества A1 , затем элементы A2 и так далее, что в результате и доказывает счётность рассматриваемого множества. Теоретическое упражнение 4.1. Является ли необходимым в данной теореме условие отсутствия общих элементов? Теоретическое упражнение 4.2. Определите мощность множества точек разрыва монотонно возрастающей функции f (x), заданной на отрезке [a; b]. Теорема 4.6. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств является счётным множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества A1 = {a11 , a21 , a31 , . . . }, A2 = {a12 , a22 , a32 , . . . }, A3 = {a13 , a23 , a33 , . . . }, .............................. являются попарно не пересекающимися счётными множествами. Назовём «порядком» элемента сумму его индексов (например, третий элемент множества A2 имеет «порядок», равный 3 + 2 = 5). Перепишем объединение данных множеств ∞ [ S= An в виде последовательности, порядок элементов в которой определяется n=1 определённым «порядком» элементов в множествах: S = { a11 , a21 , a12 , a31 , a22 , a13 , . . . } . 19 Существование последовательности доказывает счётность множества S. Теоретическое упражнение 4.3. Является ли необходимым в данной теореме условие отсутствия общих элементов? Используя обозначение мощности счётного множества ℵ0 , можно представить теоремы 4.3 - 4.6 следующими «правилами»: n + ℵ0 = ℵ 0 , ℵ0 + ℵ0 + · · · ℵ0 = nℵ0 = ℵ0 , n1 + n2 + n3 + · · · = ℵ0 , ℵ0 + ℵ0 + ℵ0 + · · · ℵ0 = ℵ0 ℵ0 = ℵ0 . Теорема 4.7. Если M есть несчётное множество, а A его конечное или счётное подмножество, то M и M \ A эквивалентны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество M \ A является несчётным, так как если бы оно было конечным или счётным, то на основании теорем 4.3 и 4.4 множество M = A ∪ (M \ A) было бы конечным или счётным. На основании теоремы 4.2 из множества M \ A можно выделить счётное подмножество A0 . Обозначим оставшуюся часть (M \ A) \ A0 множества M через N . Тогда M \A = A0 ∪ N и M = (A ∪ A0 ) ∪ N . Так как каждый элемент множества N можно поставить в соответствие самому себе, а между счётными множествами A∪A0 и A0 существует взаимно однозначное соответствие, то и между множествами M и M \A существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому они эквивалентны между собой. Теорема 4.8. Если к бесконечному множеству A присоединить конечное или счётное множество, то полученное множество эквивалентно множеству A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A счётное множество, а множество B есть счётное или конечное множество. Тогда множество A ∪ B счётно на основании теорем 4.3 и 4.4 и, следовательно, эквивалентно множеству A. Если A несчётное множество, то A ∪ B также несчётно. Таким образом, мы можем получить множество A, отнимая от несчётного множества A ∪ B конечное или счётное множество B. Поэтому на основании теоремы 4.7 мы можем утверждать, что множества A ∪ B и A эквивалентны. Теорема 4.9. Любое бесконечное множество A содержит собственную часть A0 , эквивалентную всему множеству A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если A — счётное множество, то, выделяя из него (согласно теореме 4.2) счётное подмножество A0 (так, чтобы A \ A0 было бесконечно), сразу же получим доказательство нашего утверждения. Если же A — несчётное множество, то, выделяя из него счётное множество A0 , мы получим (согласно теореме 4.7), что множество A \ A0 эквивалентно A. 20 Так как никакое конечное множество не может содержать часть, ему эквивалентную, то теорема 4.9 выражает характеристическое свойство бесконечных множеств. То есть свойство, принадлежащее каждому бесконечному множеству и не принадлежащее никакому множеству другой природы. Это позволило Р.Дедекинду1 взять его за определение бесконечного множества: Определение 4.4. Множество называется бесконечным, если оно содержит эквивалентную правильную часть. В заключение параграфа рассмотрим следующую задачу. Задача. В ящик опускают 10 шаров. Затем один шар из ящика вынимают. Снова опускают 10 шаров и снова один шар вынимают и т. д. счётное число раз. Сколько шаров останется в ящике? Р е ш е н и е. Допустим, что все шары были занумерованы числами 1, 2, . . . . Рассмотрим два варианта вынимания шаров. В первом варианте: первым шагом в ящик опустили шары с №1 по №10 и вынули шар №10; вторым шагом в ящик опустили шары с №10 по №19 и вынули шар №19; третьим шагом в ящик опустили шары с №19 по №28 и вынули шар №28 и т. д. В этом случае в ящике должны были собраться все шары №1, 2, . . . Во втором варианте: первым шагом в ящик опустили шары с №1 по №10 и вынули шар №1; вторым шагом в ящик опустили шары с №11 по №20 и вынули шар №2 и т. д. В этом случае в ящике вообще не останется шаров, т.к. на шаге с номером N был вынут шар с номером N , который затем в ящик не возвращался. Таким образом, рассмотренные варианты показывают, что определить сколько шаров останется на самом деле в ящике невозможно. § 5. Примеры счётных множеств Теорема 5.1. Множество P всех пар натуральных чисел счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждый левый элемент m пары натуральных чисел (m, n) порождает счётное множество пар (m, 1), (m, 2), (m, 3), . . . , (m, n), . . . Так как левый элемент сам может пробегать не более чем счётное множество значений, то мы получаем, что в результате этого пробега образуется объединение счётного числа счётных множеств. А оно согласно теореме 4.6 является счётным множеством. Теорема 5.2. Множество P всех рациональных чисел счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению, рациональным числом p называется число, которое можно представить несократимой дробью , где p ∈ Z, q 1 Дeдекинд Рихард (Dedekind Julius Wilhelm Richard, 1831 — 1916) — немецкий математик, создатель ряда общих концепций, лежащих в основе современной алгебры, автор одной из первых систем строгого обоснования теории действительных чисел. 21 p . Каждой такой дроби q взаимно однозначно соответствует пара натуральных чисел (p, q). Поэтому на основании теоремы 5.1 все положительные рациональные дроби образуют счётное множество. Так как каждой положительной рациональной дроби соответствует только одна отрицательная дробь, то отрицательные рациональные дроби также образуют счётное множество. Объединение двух счётных множеств и конечного множества, содержащего число 0, согласно теоремам 4.3 и 4.4 является счётным множеством. Пара натуральных чисел (m1 , m2 ) является частным случаем конечной последовательности натуральных чисел а q ∈ N. Рассмотрим множество положительных дробей m1 , m2 , . . . , mn . Покажем, что справедлива следующая Теорема 5.3. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества A, есть счётное множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом полной математической индукции. Из теоремы 5.1 следует, что множество пар, составленных из элементов счётного множества A, есть счётное множество. Рассмотрим множество Sn всех последовательностей, состоящих из n элементов данного счётного множества A. Допустим, что множество Sn является счётным множеством. Докажем, что множество S всех последовательностей, состоящих из n+1 элемента множества A, также счётно. Пусть A = {a1 , a2 , . . . , ak , . . . }. Каждой последовательности s(n+1) = (ai1 , ai2 , . . . , ain , am ) ∈ Sn+1 соответствует пара (s(n) , am ), где s(n) = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) ∈ Sn , причём различным s(n+1) соответствуют различные пары этого вида. Так как множество Sn всех s(n) счётно, то его можно записать в виде (n) (n) (n) (n) s1 , s2 , s3 , . . . , si , . . . . (n) Поэтому счётно и множество всех пар (si , am ) (они взаимно однозначно соответствуют парам натуральных индексов (i, m)), то есть, счётно множество всех s(n+1) . А это означает, что счётно и множество S. Следствие 5.1. Множество всех рациональных1 точек n−мерного пространства счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая рациональная точка n−мерного пространства может быть представлена в виде конечной последовательности n рациональных чисел. Поэтому из теоремы 5.3 и счётности множества рациональных чисел и вытекает данное утверждение. 1 Точка координатной плоскости или трехмерного (а также n−мерного) координатного пространства называется рациональной, если её координатами являются рациональные числа. 22 Следствие 5.2. Множество всех многочленов P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 с рациональными коэффициентами счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этого факта вытекает из того, что многочлены взаимно однозначно соответствуют конечным последовательностям рациональных чисел (an , an−1 , . . . , a1 , a0 ). Рассмотрим еще один пример счётного множества. Определение 5.1. Действительное число α называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Теорема 5.4 (Г. Кантор). Множество всех алгебраических чисел счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как любой многочлен n−й степени P (x) имеет конечное число корней, а множество многочленов с рациональными коэффициентами счётно, то множество всех корней всех многочленов с рациональными корнями является счётным множеством как объединение счётного числа конечных множеств. Следовательно, множество алгебраических чисел есть счётное множество. § 6. Множества мощности континуума Рассматривая в предыдущих параграфах бесконечные несчётные множества, мы их определили как бесконечные множества, не являющиеся счётными. При этом мы не привели ни одного примера их существования. Устраним этот пробел с помощью двух примеров несчётных множеств. Первый из примеров является примером арифметического множества и иллюстрацией метода канторовской лестницы или канторовской диагонали. Теорема 6.1. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, является несчётным множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество M = {(m1 , m2 , . . . )} состоит из нулей и единиц: каждое mi = 0 или 1. Предположим, что M счётно, т. е. каждому натуральному n взаимно однозначно соответствует некоторая последовательность (mn1 , mn2 , . . . ) из нулей и единиц: 1 ⇔ (m11 , m12 , . . . ), 2 ⇔ (m21 , m22 , . . . ), ................... Выпишем последовательность элементов, стоящих на диагонали D = (m11 , m22 , m33 , . . . ), 23 и составим последовательность, все члены которой отличаются от соответствующих элементов D: T = (1 − m11 , 1 − m22 , 1 − m33 , . . . ). T является последовательностью из нулей и единиц. Но она не сооответствует никакому натуральному числу n, так как в случае n ↔ T выполнялось бы равенство mnn = 1 − mnn . Так как это невозможно, то множество M несчётно. Второй пример геометрический был предложен Г. Кантором в 1874 году. Теорема 6.2. Множество всех точек отрезка [0; 1] несчётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим обратное, что отрезок [0; 1] является счётным множеством. И все его точки можно записать в виде последовательности x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . С помощью этой последовательности построим последовательность вложенных отрезков. Для этого разделим отрезок [0; 1] на три равные части: ∆ x1 z }|1 { 0 2 3 1 3 1 Так как точка x1 одновременно не может принадлежать всем трём отрезкам 1 1 2 1 , ; , ; 1 , то среди них существует такой, который не содержит x1 0; 3 3 3 3 (ни внутри, ни на границе). Обозначим этот отрезок через ∆1 1 . Далее разделим на три равные отрезка отрезок ∆1 и обозначим через ∆2 тот из новых отрезков, который не содержит точку x2 . Продолжая процесс деления отрезков подобным образом, мы получим последовательность вложенных в друг друга отрезков ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ ∆3 ⊃ · · · ⊃ ∆n ⊃ . . . , обладающих общим свойством: ∀n xn ∈ / ∆n . Так как длины отрезков ∆n образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то при стремлении n к бесконечности длина отрезка ∆n стремится к нулю. Поэтому в силу известной из курса математического анализа леммы о вложенных отрезках данная последовательность отрезков имеет общую точку. Эта точка принадлежит каждому из отрезков ∆n и поэтому не может совпадать ни с одной из точек xn . Полученное противоречие означает, что точки отрезка [0; 1] нельзя задать с помощью последовательности. Следовательно, отрезок [0; 1] является несчётным множеством. Данная теорема является основанием следующего определения: Определение 6.1. Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0; 1], называется множеством мощности континуума2 . 1 2 Так как отрезков, не содержащих x1 , может быть два, то обозначим через ∆1 левый из них. «continuum» означает «непрерывное». 24 Теорема 6.3. Множества точек любого отрезка [a; b], любого интервала (a; b) и числовой прямой (−∞; ∞) являются множествами мощности континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждой точке x ∈ [0; 1] взаимно однозначно соответствует одна и только одна точка y = (b−a)x+a из множества точек отрезка [a; b], то множество точек [a; b] эквивалентно множеству точек [0; 1]. Согласно следствию 3.1 множество точек интервала (a; b) эквивалентно множеству точек [a; b], а значит, эквивалентно и множеству точек отрезка [0; 1]. И, наконец, из примера 3 третьего параграфа следует, что точки интервала (a; b) находятся во взаимно однозначном соответствии с точками числовой прямой (−∞; ∞). Следовательно, и числовая прямая является множеством мощности континуума. Рассмотрим некоторые из утверждений алгебры мощностей континуальных множеств. Теорема 6.4. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества E1 , E2 , . . . , En являются множествами мощности континуума и не пересекаются попарно между собой. Рассмотрим полуотрезок [0; 1) и разделим его точками a0 = 0 < a1 < a2 < · · · < an−1 < an = 1 на n полуотрезков [ak−1 ; ak ) (k = 1, 2, . . . , n). Так как каждый полуотрезок [ak−1 ; ak ) имеет мощность континуума, то между ним и множеством Ek можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что и между конечным объединением E = E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En и между полуотрезком [0; 1), представляющим объединение полуотрезков [ak−1 ; ak ), существует взаимно однозначное соответствие. Что и доказывает теорему. Теорема 6.5. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества E1 , E2 , . . . , En , . . . образуют счётное множество непересекающихся попарно между собой множеств мощности континуума. Рассмотрим на полуотрезке [0; 1) монотонно возрастающую последовательность точек a0 = 0 < a1 < a2 < · · · < an−1 < an < . . . , для которой lim an = 1. Так как каждый полуотрезок [an−1 ; an ) имеет мощность n→∞ континуума, то между ним и множеством En можно установить взаимно одно∞ [ значное соответствие. А это означает, что и между объединением E = En и n=1 полуотрезком [0; 1) также существует взаимно однозначное соответствие. 25 § 7. Примеры множеств мощности континуума Теорема 7.1. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как числовая прямая есть множество мощности континуума, то множество действительных чисел также имеет мощность континуума. В силу теоремы 5.2 множество рациональных чисел счётно. Поэтому множество иррациональных чисел, полученное удалением из множества действительных чисел его рационального подмножества, согласно теореме 4.7, эквивалентно всему множеству действительных чисел, то есть является множеством мощности континуума. Определение 7.1. Действительное число α называется трансцендентным, если оно не является корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Теорема 7.2. Множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в доказательстве предыдущей теоремы заменить ссылку на теорему 5.2 ссылкой на теорему 5.4, то утверждение доказывается аналогично. В дальнейшем нам понадобятся следующие две теоремы о двоичном представлении действительных чисел. Определение 7.2. Последовательность чисел i1 , i2 , i3 , . . . , in , . . . , каждое из которых 0 или 1, называется последовательностью двоичных знаков. Определение 7.3. Запись вида x = k, i1 i2 i3 . . . in . . . называется разложением действительного числа x в двоичную дробь. Теорема 7.3. Пусть m, k и n целые числа. Каждое действительное число m x 6= n имеет только одно двоичное разложение 2 k, i1 , i2 , i3 , . . . , in , . . . , а каждое действительное число x = m имеет два двоичных разложения 2n k, i1 , i2 , i3 , . . . , in−1 0111, . . . , и k, i1 , i2 , i3 , . . . , in−1 1000, . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Назовём [0; 1] отрезком нулевого ранга и отрезок 1 1 обозначим через ∆. Отрезки 0; и ; 1 назовём отрезками первого ранга и 2 2 обозначим через ∆0 и ∆1 . Каждый из отрезков первого ранга разделим пополам 26 и получим четыре отрезка второго ранга: 1 1 1 1 3 3 ∆00 = 0; , ∆01 = ; , ∆10 = ; , ∆11 = ; 1 . 4 4 2 2 4 4 Продолжая процесс деления пополам, получим восемь отрезков ∆000 , ∆001 , ∆010 , ∆011 , ∆100 , ∆101 , ∆110 , ∆111 1 1 , шестнадцать отрезков ∆0000 , ∆0001 , . . . , ∆1111 длины и так далее. 8 16 Таким образом, мы видим, что отрезки n−го ранга получаются из деления по1 полам отрезков (n − 1)−го ранга, имеют длину n . Обозначим их через ∆i1 ...in , 2 где i1 , . . . , in независимо друг от друга принимают значения 0 или 1. При этом ∆i1 ...in−1 0 и ∆i1 ...in−1 1 есть соответственно левая и правая половины отрезка ∆i1 ...in−1 . Пусть x — произвольное действительное число. Если x не целое число, то оно является внутренней точкой одного и только одного отрезка [k; k + 1]. Поэтому x можно представить как x = k + x0 , где x0 ∈ (0; 1). m Рассмотрим сначала случай, когда x0 6= n (в этом случае x0 называется дво2 0 ично-иррациональным числом). Тогда x принадлежит единственному отрезку первого ранга ∆i1 , единственному отрезку второго ранга ∆i1 i2 ⊂ ∆i1 , аналогично при любом n единственному отрезку n-го ранга ∆i1 ...in . Следовательно, единственным образом определяется последовательность вложенных отрезков длины ∆i1 ⊃ ∆i1 i2 ⊃ ∆i1 i2 i3 ⊃ · · · ⊃ ∆i1 ...in ⊃ . . . , единственной общей точкой которых является точка x0 . Для каждого из действительных чисел x0 и x = k + x0 последовательность чисел i1 , i2 , i3 , . . . , in , . . . , каждое из которых 0 или 1, также определяется однозначно. А сами эти числа записываются в виде x0 = 0, i1 i2 i3 . . . in . . . ; x = k, i1 i2 i3 . . . in . . . m m , где дробь несократима и, 2n 2n следовательно, n имеет наименьшее значение (в этом случае x0 называется двоично-рациональным числом). Тогда x0 является общим концом сразу двух отрезков ∆∗ и ∆∗0 1 ранга n. Например, x0 будет правым концом отрезка ∆∗ и левым концом отрезка ∆∗0 . То есть x0 будет правым концом отрезка ∆∗1 и левым концом отрезка ∆∗0 0 , правым концом отрезка ∆∗11 и левым концом отрезка ∆∗0 00 и т. д. Это Пусть теперь x0 ∈ (0; 1) и имеет вид x0 = 1 Здесь принято для краткости ∗ = i1 i2 . . . in−1 0 и ∗0 = i1 i2 . . . in−1 1. 27 означает, что число x0 определяет не одну, а две последовательности вложенных отрезков: ∆i1 ⊃ · · · ⊃ ∆i1 ...in−1 ⊃ ∆i1 ...in−1 0 ⊃ ∆i1 ...in−1 01 ⊃ ∆i1 ...in−1 011 ⊃ . . . и ∆i1 ⊃ · · · ⊃ ∆i1 ...in−1 ⊃ ∆i1 ...in−1 1 ⊃ ∆i1 ...in−1 10 ⊃ ∆i1 ...in−1 100 ⊃ . . . И поэтому мы получим две последовательности двоичных знаков числа x0 : i1 . . . , in−1 , 0, 1, 1, 1, . . . и i1 . . . , in−1 , 1, 0, 0, 0, . . . Первая из последовательностей, начиная с ранга n + 1, состоит из одних единиц, а вторая — из одних нулей. Числа x и x0 имеют по два двоичных разложения. Для завершения доказательства теоремы остаётся только учесть, что каждое целое число k имеет два двоичных разложения k, 000 . . . 0 . . . и k − 1, 111 . . . 1 . . . Теорема 7.4. Каждое двоичное разложение определяет единственное неотрицательное действительное число, разложением которого оно является. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть мы имеем последовательность i1 , i2 , i3 , . . . , in , . . . , состоящую из нулей и единиц, отличную от последовательностей 0, 0, 0, . . . 0, . . . и 1, 1, 1, . . . 1, . . . Ей соответствует последовательность вложенных отрезков ∆i1 ⊃ ∆i1 i2 ⊃ ∆i1 i2 i3 ⊃ · · · ⊃ ∆i1 ...in ⊃ . . . с единственной общей точкой x0 . Следовательно, имеющаяся последовательность является последовательностью двоичных знаков числа x0 . Если же мы имеем две различные двоичные последовательности, определяющие одно и то же действительное число x0 ∈ (0; 1), то, согласно теореме 7.3, они имеют только один из двух видов: i1 . . . , in−1 , 0, 1, 1, 1, . . . , i1 . . . , in−1 , 1, 0, 0, 0, . . . , что в итоге и доказывает теорему1 . Рассмотрим следующие примеры множеств мощности континуума. Выше уже было показано, что множество последовательностей, состоящих из нулей и единиц, является несчётным множеством. Теперь мы можем дать его более точную характеристику: 1 Если отрезки ранга n разделить на десять частей, то доказанные теоремы составят недостающую часть строгого доказательства в примере 5 третьего параграфа. 28 Теорема 7.5. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматриваемое множество является объединением трех множеств: множества последовательностей, содержащих бесконечное число, как нулей, так и единиц, множества последовательностей, содержащих лишь конечное число нулей и у которых все элементы, начиная с некоторого номера, являются единицами, и множества последовательностей, у которых конечное число единиц, а число нулей бесконечно. Первое из множеств, согласно теореме 7.3, эквивалентно множеству двоичноиррациональных чисел, имеющего мощность континуума. А второе и третье множества находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством двоичных дробей и, следовательно, счётны. Поэтому множество последовательностей из нулей и единиц можно поставить во взаимно однозначное соответствие точкам отрезка [0; 1]. А это означает, что оно имеет мощность континуума. Теорема 7.6. Множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность {kn } является возрастающей последовательностью натуральных чисел. Это означает, что k1 < k2 < · · · < kn < . . . Мы можем поставить этой последовательности во взаимно однозначное соответствие последовательность из нулей и единиц, в которой единицы стоят на местах с номерами k1 , k2 , k3 , . . . , kn , . . . , а нули — на остальных местах. Такое сопоставление приводит к взаимно однозначному соответствию между множеством всех последовательностей из нулей и единиц и множеством возрастающих последовательностей натуральных чисел. Поэтому, согласно теореме 7.5, изучаемое множество также имеет мощность континуума. Теорема 7.7. Множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m1 , m2 , m3 , . . . , mn · · · — последовательность натуральных чисел. Каждой такой последовательности можно поставить во взаимно однозначное соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел k1 = m1 , k2 = m1 + m2 , . . . , kn = m1 + m2 + · · · + mn , . . . Так как множество возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума, то и множество всех последовательностей натуральных чисел тоже имеет такую мощность. Теорема 7.8. Множество всех последовательностей действительных чисел r = {r1 , r2 , r3 , . . . , rn , · · · } имеет мощность континуума. 29 Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, каждому действительному числу rn можно сопоставить последовательность натуральных чисел rn ⇔ {mn1 , mn2 , . . . , mnk . . . } и, следовательно, последовательности r можно сопоставить таблицу m11 m12 . . . m1k . . . m21 m22 . . . m2k . . . ... ... ... ... ... mn1 mn2 . . . mnk . . . ... ... ... ... ... Используя доказательство теоремы 4.6, запишем элементы данной таблицы в виде последовательности m11 ; m21 ; m12 ; m31 ; m22 ; m13 ; m41 ; m32 ; m23 ; m14 ; . . . Таким образом, последовательности r можно сопоставить последовательность натуральных чисел. Верно и обратное, что каждой последовательности натуральных чисел можно поставить в соответствие некоторую последовательность r. Поэтому из теоремы 7.7 следует, что множество последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума. Следствие 7.1. При любом натуральном n множество всех точек n−мерного пространства имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждая точка n− мерного пространства может быть представлена n−мерным вектором-символом r = {r1 , r2 , r3 , . . . , rn }, координаты которого являются координатами точки в n−мерном пространстве. Повторив доказательство теоремы 7.8 для этого вектора, можно подтвердить истинность данного утверждения. Следствие 7.2. Множество комплексных чисел имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждое число можно интерпретировать как точку плоскости, т.е. элемент двухмерного пространства, то, согласно следствию 7.1, комплексные числа образуют множество мощности континуума. Теорема 7.9. Объединение континуального множества не пересекающихся множеств мощности континуума является множеством мощности континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на координатной плоскости xOy множество прямых x = c, где c — произвольное действительное число. Как следует из 30 теоремы 6.3, каждая числовая прямая является множеством мощности континуума. Поэтому её можно сопоставить одному из данных множеств. Из этой же теоремы следует, что рассматриваемые прямые образуют множество мощности континуума. А их объединение образует двухмерную плоскость, которую можно поставить во взаимно однозначное соответствие изучаемому объединению множеств. Что, согласно следствию 7.1, и доказывает утверждение теоремы. Аналогично «арифметике» счётных множеств обозначим мощность континуальных множеств символом c. С его помощью теоремы 6.4 - 6.5 и 7.9 можно представить следующими «правилами»: c + c + · · · c = nc = c, c + c + c + · · · = ℵ0 c = c, cc = c. Теоретическое упражнение 7.1. Докажите, что на плоскости можно расположить континуум взаимно непересекающихся пятёрок. В заключение параграфа рассмотрим еще один пример континуального множества. Теорема 7.10. Множество C[a; b] всех непрерывных функций f (x), определённых на отрезке [a; b], имеет мощность континуума. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что r1 , r2 , . . . , rn , . . . — последовательность всех рациональных точек отрезка [a; b]. Поставим в соответствие каждой непрерывной функции f (x) последовательность действительных чисел — значений функции f (x) в точках r1 , r2 , . . . , rn , . . . : f (x) ≡ {f (r1 ), f (r2 ), . . . , f (rn ), . . . } = {f (rn )}. При этом двум различным функциям f (x) и g(x) будут соответствовать различные последовательности f (rn ) и g(rn ), так как две непрерывные функции, совпадающие во всех рациональных точках, совпадают всюду1 . Следовательно, множество C[a; b] всех непрерывных функций можно считать эквивалентным некоторой части множества всех последовательностей действительных чисел. Но множество последовательностей действительных чисел, согласно теореме 7.8, имеет мощность континуума и поэтому эквивалентно подмножеству множества C[a; b], состоящему из функций, являющихся постоянными во всех точках отрезка [a; b]. А значит, в силу теоремы Бернштейна, множество C[a; b] эквивалентно множеству всех последовательностей действительных чисел и имеет мощность континуума. 1 Если a - произвольное действительное число, то существует последовательность рациональных чисел {rn } такая, что a = lim rn . Поэтому из свойств непрерывных функций вытекает, что n→∞ f (a) = f lim rn = lim f (rn ) = lim g(rn ) = g lim rn = g(a). n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 31 § 8. О сравнении мощностей множеств В основе теории сравнения мощностей множеств лежит теорема, доказанная Г. Кантором в 1878 году. Теорема 8.1. Пусть дано множество A, а множество B является множеством всех подмножеств множества A. Тогда мощность множества A меньше мощности множества B. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу x множества A сопоставлено некоторое подмножество Ax множества A. При этом сам элемент x может принадлежать или не принадлежать данному множеству Ax . Например, если Ax совпадает со всем множеством A, то x ∈ Ax , а если Ax — пустое множество, то x ∈ / Ax . Элементы первого типа назовем «хорошими», а элементы второго типа — «плохими». Пусть множество P содержит только «плохие» элементы множества A. В силу взаимно однозначного соответствия между элементами и подмножествами множества A множеству P соответствует некоторый элемент x̄. Возможны два варианта: x̄ или «хороший» элемент, или «плохой». Если x̄ — «хороший элемент», то x̄ ∈ P , но P содержит только «плохие элементы», поэтому x̄ ∈ / P . Если же x̄ — «плохой» элемент, то x̄ ∈ / P . Но по построению множества P x̄ должен ему принадлежать, поэтому и «плохим элементом» x̄ не может быть. Таким образом, x̄ не может быть ни «хорошим» элементом, ни «плохим». Полученное противоречие означает, что предполагаемая эквивалентность множеств A и B невозможна. А так как множество A эквивалентно части множества B, состоящей из одноэлементных множеств, то множество A имеет мощность, меньшую чем множество B. В том случае, когда множество A является конечным множеством, содержащим n элементов, множество его подмножеств B состоит из 2n элементов. Это можно объяснить следующим образом: множество B можно представить в виде множества «слов» длиной n символов в некотором «Поле чудес», при этом каждый элемент из множества A в соответствующую ему «клетку» может входить или не входить. Поэтому способов формирования каждой «клетки» только два. Так как «клеток» n, то можно образовать 2| · 2 ·{z· · · · 2} = 2n «слов». n Этот пример может служить пояснением к следующему определению. Определение 8.1. Пусть множество A имеет мощность m, а множество всех его подмножеств B имеет мощность M , тогда полагают, что M = 2m . Данное определение позволяет сформулировать теорему о связи мощностей счетного множества и множества мощности континуума. Теорема 8.2. Равенство c = 2ℵ0 является истинным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через M множество всех подмножеств множества натуральных чисел N. Каждое подмножество из M взаимно однозначно соответствует некоторой последовательности из множества последователь32 ностей натуральных чисел. Поэтому на основании теоремы 7.7 имеет мощность континуума. Следовательно, по определению 8.1, имеет место равенство c = 2ℵ0 . Определение 8.1 легко позволяет построить множество, мощность которого больше, чем мощность данного множества, если подходить к этому построению формально. С качественной точки зрения неминуемо возникает вопрос о природе элементов множества большей мощности, о целесообразности его построения. Теорема 8.3. Множество F всех действительных функций, определённых на отрезке ∆ = [0; 1], имеет мощность, бо́льшую, чем c . Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что множество F эквивалентно множеству точек ∆. Тогда существует взаимно однозначное соответствие ϕ, которое каждому числу t ∈ [0; 1] сопоставляет единственным образом некоторую функцию ft (x) ∈ F . Обозначим через G(t, x) = ft (x). Функция G(t, x) является функцией двух переменных, заданной на множестве {(t, x) : 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}. Рассмотрим функцию ψ(x) = G(x, x) + 1. Данная функция определена на отрезке [0; 1], поэтому ψ(x) ∈ F . Но в этом случае в соответствии ϕ функция ψ(x) является образом некоторого числа a ∈ ∆, т. е. ψ(x) = fa (x), или ψ(x) = G(a, x). Следовательно, при всех x ∈ [0; 1] получится, что G(x, x) + 1 = G(a, x). Но тогда для x = a : G(a, a) + 1 = G(a, a), что невозможно. А это означает, что множество F не эквивалентно множеству ∆. Сопоставим каждому множеству D из множества всех подмножеств множества ∆ функцию 1, если x ∈ D, χD (x) = 0, если x ∈ / D. Такая функция называется характеристической функцией множества D. Множество характеристических функций S, являясь подмножеством множества F , эквивалентно множеству всех подмножеств множества ∆. Но из определения 8.1 следует, что множество всех подмножеств множества ∆ равна 2c , а значит, больше, чем c. Поэтому и мощность множества S больше, чем c. Следовательно, и мощность множества F больше, чем c . Что и доказывает данную теорему. § 9. Разбиение множества на классы В дальнейшем нам придётся встречаться с задачами о разбиении заданного множества на попарно не пересекающиеся подмножества элементов, обладающие определёнными свойствами. Эти подмножества являются элементами разбиения рассматриваемого множества. Например, пусть A есть множество членов одной семьи, состоящей из четырех человек (мама, папа, дочь, сын). Множество A можно разбить на попарно не пересекающиеся подмножества несколькими способами, в том числе и такими: 1) по признаку пола мама и дочь объединяются в одно слагаемое, а папа и сын в другое, 2) по признаку старшинства мама и папа составляют одно слагаемое, а дочь и сын другое. Еще один пример: пусть A есть множество всех точек плоскости. Выберем на плоскости какую-нибудь прямую a 33 и разобьём всю плоскость на прямые, параллельные прямой a. Множества точек каждой такой прямой и являются теми подмножествами, на которые разбивается множество A. Замечание 9.1. Если данное множество A разбито на не пересекающиеся множества, дающие в сумме множество A, то для краткости говорят о разбиении множества A на классы. Из вышесказанного вытекают два утверждения: Утверждение 1. Если f отображение множества X на множество Y , то f порождает разбиение множества X на классы. Действительно, так как каждый элемент y из Y является образом для какойто группы элементов1 из множества X, то эти группы элементов и являются классами разбиения множества X. При этом образованное множество классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством Y . Утверждение 2. Каждое разбиение множества X на классы порождает отображение множества X на некоторое множество Y . Это множество Y не что иное, как множество классов данного разбиения. Отображение строится по правилу: каждому элементу множества X ставится в соответствие тот класс разбиения, которому он принадлежит. Тот факт, что множество точек плоскости A разбито на множество прямых, параллельных выбранной прямой a, устанавливает отображение множества X на множество Y , элементами которого являются параллельные прямые: каждой точке плоскости соответствует та из параллельных прямых, на которой эта точка лежит. Пусть дано разбиение множества A на классы. Дадим следующее Определение 9.1. Два элемента множества A называются эквивалентными по отношению к данному разбиению, если они принадлежат одному и тому же классу. Обозначается это таким образом: a, b ∈ A, a ∼ b . Так в приведенных выше примерах дочь «эквивалентна» маме в отношении пола, но не «эквивалентна» в отношении старшинства. Две точки, лежащие на одной прямой, «эквивалентны» в отношении параллельности. Отношениями эквивалентности являются такие известные отношения как: в теории чисел — отношение равенства чисел и отношение сравнения чисел по модулю, в геометрии — отношение конгруэнтности и отношение подобия, и многие другие. Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами, которые называются аксиомами эквивалентности: 1 В случае взаимно однозначного отображения, конечно, только одного элемента. 34 Свойство рефлексивности. Каждый элемент множества эквивалентен сам себе (∀ a ∈ A, a ∼ a). Примером рефлексии может служить отношение параллельности прямых на плоскости, так как каждая прямая параллельна сама себе. Свойство симметричности (или взаимности). Если элементы a и b эквивалентны, то эквивалентны также b и a (∀ a, b ∈ A из того, что a ∼ b, следует, что b ∼ a). Например, отношение подобия является примером симметричности. Если фигура M подобна фигуре N , то и фигура N подобна фигуре M . Свойство транзитивности (или переходности). Если элементы a и b эквивалентны и эквивалентны элементы b и c, то элементы a и c эквивалентны (то есть два элемента a и c, эквивалентные третьему b, эквивалентны между собой). В символьной форме это можно записать: ∀ a, b, c ∈ A из того, что a ∼ b и b ∼ c следует, что a ∼ c. Указанное выше отношение подобия обладает свойством транзитивности: так для любых трёх треугольников ∆1 , ∆2 , ∆3 , если треугольник ∆1 подобен треугольнику ∆2 , а треугольник ∆2 подобен треугольнику ∆3 , то треугольник ∆1 подобен треугольнику ∆3 . В дальнейшем нам понадобится следующая Теорема 9.1 (Т е о р е м а о р а з б и е н и и). Каждое разбиение множества A на классы определяет между элементами множества A некоторое отношение эквивалентности. И наоборот, каждое отношение эквивалентности, установленное между элементами множества A, определяет разбиение множества A на классы попарно эквивалентных между собой элементов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Истинность первой части теоремы вытекает из определения 9.1. Предположим обратное: нам удалось установить некоторый признак, дающий возможность говорить о некоторых парах элементов как об эквивалентных. От этой эквивалентности требуется, чтобы она обладала свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Назовём классом α(a) данного элемента a множества A множество всех элементов из A, эквивалентных элементу a. Так как отношение является рефлексивным, то каждый элемент a содержится в своем классе, т.е. a ∈ α(a). Докажем, что если два класса имеют хоть один общий элемент, то они совпадают. Пусть классы α(a) и α(a0 ) имеют общий элемент a00 . Тогда по определению классов a ∼ a00 и a0 ∼ a00 . Следовательно, в силу симметричности a00 ∼ a0 . А так как отношение транзитивно, то a ∼ a0 . Допустим, что a∗ — какой-нибудь элемент класса α(a0 ). Имеем a ∼ a0 ∼ a∗ , и в силу транзитивности a ∼ a∗ . Это означает, что a∗ ∈ α(a). Поэтому α(a0 ) ⊆ α(a). Пусть теперь ā ∈ α(a). Тогда a ∼ ā. Но данное отношение симметрично, и поэтому ā ∼ a. А так как a ∼ a0 , то из транзитивности данного отношения следует, что ā ∼ a0 . Откуда вытекает, что a0 ∼ ā. То есть ā ∈ α(a0 ). А это означает, что 35 α(a) ⊆ α(a0 ). Таким образом, два класса α(a) и α(a0 ), имеющие общий элемент, совпадают между собой. Следствие 9.1. Задание отношения эквивалентности на множестве A равносильно заданию для каждого элемента a ∈ A множества α(a), для которого выполняются условия: 1. ∀ a ∈ A a ∈ α(a); 2. ∀ a, b ∈ A α(a) = α(b) или α(a) ∩ α(b) = ∅. Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно также, как и при задании отношения эквивалентности на множестве A, так и при задании множеств α(a) множество A разбивается на непересекающиеся между собой множества α. При этом эквивалентность элементов a и b означает, что они принадлежат одному и тому же множеству α. Замечание 9.2. Определив разбиение множества на классы, можно более точно ответить на вопрос, что такое мощность множества. Под мощностью некоторого множества A можно понимать класс всех множеств, равномощных множеству A. То есть равномощность, обладая рефлексивностью, симметрией и транзитивностью, является отношением эквивалентности, определяющим разбиение множества множеств на классы с «количественной» точки зрения. Замечание 9.3. Следует заметить, что в мире отношений не всё так просто, и существуют отношения, не являющиеся отношениями эквивалентности: 1. Так отношение пар R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} в множестве элементов A = {1, 2, 3} является симметричным и транзитивным, но не является рефлексивным, так как (3, 3) ∈ / R. 2. Отношение делимости на множестве натуральных чисел является рефлексивным . . . . (так как ∀ n ∈ N n..n1 ), транзитивным ( ∀ k, m, n, ∈ N если k ..m и m..n, то k ..n), но . не является симметричным (например 2..4, а 4 не является делителем 2). 3. Отношение между точками (x, y) плоскости R2 , подчиняющееся условию ∀ x, y ∈ R2 |x − y| ≤ 1 , является рефлексивным и симметричным, но не является транзитивным (из того, что для x = 1, y = 2, z = 3 истинны утверждения |x − y| ≤ 1 и |y − z| ≤ 1, не следует истинность неравенства |x − z| ≤ 1). § 10. Комментарии к первой главе 1. Понятие множества Г. Кантор дал в работе «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», опубликованной в 1895 году (см. Кантор Г. Труды по теории множеств, с. 173). 2. Ф. Хаусдорф определил понятие множества в работе «Теория множеств». Книга была издана в 1914 году. В СССР книга была опубликована в 1937 году под 1 . Обозначение a..b читается как «a делит b» или «a является делителем b» . 36 редакцией и с дополнениями П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова1 (см. Хаусдорф Ф. Теория множеств, с. 9). 3. По словам Г. Кантора, понятие мощности множества он взял у Я. Штейнера2 из его работы «Лекции по синтетической геометрии конических сечений» (см. Кантор Г. Труды по теории множеств, с. 51). Сам же Кантор называл мощность множества также кардинальным числом и определял мощность множества M или кардинальное число, как «то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из M , когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания» (см. ту же работу с.173). Определение мощности как класса эквивалентности дано Г. Фройденталем (см. Математика как педагогическая задача, ч.1, с. 108). 4. В заключение главы следует сказать, что доказательства теорем в данной главе, а также примеры, рисунки и задачи были взяты из следующих работ: ? Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. ? Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. ? Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. ? Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. ? Макаров Б.М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу. ? Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. ? Хаусдорф Ф. Теория множеств. ? Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. Глава 2 Элементы теории метрических и нормированных пространств Одним из важнейших понятий в математическом анализе является понятие предельного перехода. С его помощью определяются основные операции анализа: дифференцирование и интегрирование. По определению последовательность действительных чисел xn имеет пределом число x, если расстояние между xn и x, то есть модуль разности xn − x, стремится к нулю при n → ∞. Из этого определения вытекает, что понятие предельного перехода основано на возможности измерять расстояние между точками действительной оси. Точно также предельный переход на плоскости и в многомерном пространстве определяется возможностью измерять расстояние между точками в 1 Александров П. С. (1896 — 1982) — один из основоположников математической школы современной топологии. Колмогоров А. Н. (1903 — 1987) — основоположник современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей. 2 Штейнер Якоб (Steiner Jacob, 1796 - 1863) — немецкий математик, один из создателей проективной геометрии. 37 соответствующих множествах. При этом в каждом из данных случаев под расстоянием понимается расстояние ρe между точками X и Y в евклидовом пространстве E n: p ρe (X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 , где x1 , x2 , . . . xn ; y1 , y2 , . . . yn — координаты точек X и Y в данном пространстве. Таким образом, предельный переход существенно зависит от природы рассматриваемых элементов, то есть от свойств евклидова пространства. Возникает вопрос: существуют ли другие совокупности элементов, в которых «расстояние» между элементами можно определить так, чтобы введенный с помощью такого «расстояния» предельный переход не зависел от природы элементов? § 1. Что такое расстояние? Со времён школьной математики нас приучили, что расстояние есть геометрическое понятие. А так как геометрия для большинства людей связана с евклидовым пространством, то и единственным способом вычисления расстояния может быть только приведенная формула. В то же время в нашей жизни естественными являются такие фразы: — Близкий по форме, но далёкий по содержанию. — Двигатель работает в режиме, близком к оптимальному. — Да это недалеко — 10 минут ходьбы отсюда. А в детской игре расстояние измеряется «холодно — теплее — горячо». Разве эта фигура на рисунке похожа на окружность? Отклонение от окружности достигает здесь почти половины радиуса. А с другой стороны, разрежьте пополам яблоко, и вы увидите на срезе как раз такую фигуру, которая здесь изображена. Но ведь яблоко — это почти шар, а значит каждое его сечение — почти круг. Таким образом, далеко от окружности, но близко к кругу. Странно? Нет. Просто две разные меры близости. Если измерять близость этих линий их максимальным расхождением, то они совсем различные. А если сравнивать площади, ими ограниченные, то они близки друг к другу. Эти и многие другие примеры приводят к выводу, что есть и другие способы определения расстояния. Допустим, что мы находимся в городе с очень правильной планировкой. В этом городе k × n прямоугольных кварталов, разделённых k − 1 «горизонтальными» и n − 1 «вертикальными» улицами. С точки зрения водителя расстояние от перекрёстка A до перекрёстка B разумно определить как длину кратчайшего пути по улицам города от пункта A до пункта B 1 . Зададим это расстояние в координатах. 1 Не может же водитель проезжать через дворы. 38 Пусть точка A на плоскости имеет координаты (x1 , y1 ), а точка B — координаты (x2 , y2 ). Обозначим расстояние через ρ1 . Его формула имеет вид ρ1 (A, B) = |x2 − x1 | + |y2 − y1 | . Рассмотрим еще один пример из физики кондиционирования воздуха. Допустим, что мы должны в двух комнатах поддерживать определённую температуру, и с этой целью мы измеряем её двумя термометрами. Пусть в первой комнате нам нужно поддерживать температуру x1 , а во второй комнате — температуру y1 . При этом показания термометров соответственно равны x2 и y2 . Нужно следить за тем, чтобы температура нигде не отклонилась от нормы. Мы можем отклонение температуры от нормы определить как некоторое «расстояние» ρ0 между показаниями термометров. При этом на координатной плоскости выбранное «расстояние» определяется формулой ρ0 = max(|x2 − x1 |, |y2 − y1 |) . § 2. Окрестности и шары Вернёмся снова в мир геометрии. С учётом евклидового расстояния ρe мы имеем три формулы расстояний на множестве точек координатной плоскости. Поэтому мы имеем возможность описать шары или окрестности точек в смысле этих расстояний. Выясним, что будет единичным шаром с центром в нуле в смысле каждого из рассмотренных расстояний. Определение 2.1. Единичный шар — это множество точек, которые удалены от центра на расстояние, не большее, чем 1. Если центр обозначить через O, растояние через ρ, а точку, принадлежащую шару, через A, то формальная запись будет иметь вид: {A : ρ(A, O) ≤ 1}. Для евклидова расстояния ρe единичный шар на плоскости будет обычным кругом радиуса 1 (см. рис. a). С точки же зрения расстояния ρ1 точка A тогда и только тогда принадлежит единичному шару с центром в точке O, когда выполняется неравенство |x| + |y| ≤ 1. Все точки A координатной плоскости, удовлетворяющие такому условию, принадлежат квадрату (см. рис. б). Если же расстояние задавать с помощью ρ0 , то единичный «круг» будет иметь форму квадрата, стороны которого параллельны осям координат (см. рис. в). 39 Возникает вопрос: есть ли между этими тремя формулами расстояний что-то, что их объединяет или же они представляют различные высказывания, общим для которых является только слово «расстояние»? Вернёмся к формуле вычисления ρe между точками A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ) на координатной плоскости p ρe (A, B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 и перепишем её в другой форме ρe (A, B) = (|x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 )1/2 . Затем заменим 2 на p: ρp (A, B) = (|x2 − x1 |p + |y2 − y1 |p )1/p . Если считать, что p ≥ 1, то эта формула также определяет расстояние между точками при различных p1 . Так, например, то расстояние, которое мы обозначили в предыдущем параграфе через ρ1 , является частным случаем этой формулы при p = 1, а евклидово расстояние ρe в данной формуле имеет место при p = 2. Попробуем постепенно увеличивать p от 1 до 2 и посмотрим, как будут увеличиваться единичные шары на плоскости, соответствующие этим расстояниям. На рисунке видно, что они постепенно раздуваются от ромба, т.е. от шара, который соответствует расстоянию ρ1 , до естественного евклидова шара-круга, соответствующего расстоянию ρe . А дальше, когда p станет больше, чем 2, единичный шар станет заполнять большой квадрат. И при p, стремящемся к бесконечности, получится тот квадрат, который является единичным шаром для расстояния ρ0 .2 Очевидно, что наличие универсальной формулы, позволяющей описать рассмотренные нами расстояния, должно предполагать и наличие универсальных свойств, которыми должны обладать «правильно определённые» расстояния. § 3. Аксиомы метрики на плоскости Так как расстояние между точками плоскости неотрицательно (в рассмотренных нами случаях числа ρe , ρ1 , ρ0 ≥ 0), то имеет место Аксиома 1 ( аксиома неотрицательности): Для любых точек плоскости X и Y ρ(X, Y ) ≥ 0. Далее, расстояние между точками X и Y равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Поэтому выполняется 1 Доказательство см., например, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы функционального анализа, гл. II, §1. 2 В литературе расстояние ρ0 обозначают ρ∞ (если использовать обозначение ρp ). 40 теории функций и Аксиома 2 ( аксиома невырожденности): Для любых точек плоскости X и Y ρ(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y. Заметим, что во всех рассмотренных примерах было безразлично, измерять ли расстояние от точки X до точки Y или, наоборот, от точки Y до X. Расстояние всегда оставалось неизменным. Данное свойство называется Аксиома 3 ( аксиома симметрии): Для любых точек плоскости X и Y ρ(X, Y ) = ρ(Y, X) . И, наконец, это можно проверить с помощью вычислений (а для расстояния ρe известно из геометрии), имеет место Аксиома 4 ( неравенство треугольника): Для любых точек плоскости X, Y и Z ρ(X, Z) ≤ ρ(X, Y ) + ρ(Y, Z) . Определение 3.1. Расстояние, для которого выполняются сформулированные аксиомы 1—4, называется метрикой, а сами аксиомы называются аксиомами метрики. Теоретическое упражнение 3.1. Докажите, что для расстояния ρ1 выполняются аксиомы метрики. Теоретическое упражнение 3.2. Докажите, что для расстояния ρ0 выполняются аксиомы метрики. Теоретическое упражнение 3.3. Докажите, что для расстояния ρe аксиомы метрики выполняются не только на плоскости, но и в любом n− мерном евклидовом пространстве E n с размерностью n > 2. Теоретическое упражнение 3.4. Докажите, что для любых n точек плоскости X1 , X2 , . . . , Xn выполняется следующее неравенство: ρ(X1 , Xn ) ≤ ρ(X1 , X2 ) + ρ(X2 , X3 ) + · · · + ρ(Xn−1 , Xn ) . Замечание 3.1. Следует заметить, что не каждое придуманное расстояние, которое с некоторой точки зрения может показаться разумным, удовлетворяет аксиомам метрики. Рассмотрим такой пример. На некоторой карте местности изображены кривыми Г1 и Г2 две речки. Между ними нужно построить канал (отрезок). За расстояние r между речками можно взять длину самого короткого из возможных каналов. В этом случае его логично определить таким образом: r(Г1 , Г2 ) = min ρ(X, Y ) . X∈Г1 , Y ∈Г2 41 Определённое таким образом расстояние удовлетворяет первым трём аксиомам метрики, но неравенство треугольника при таком определении не выполняется. Для того чтобы это доказать, рассмотрим три реки Г1 , Г2 , и Г3 . Так как расстояние между Г1 и Г2 больше (что видно из рисунка), чем расстояния между Г1 и Г3 и между Г3 и Г2 , то r(Г1 , Г2 ) > r(Г1 , Г3 ) + r(Г3 , Г2 ) . Данное расстояние является примером расстояния, которое нельзя назвать метрикой, так как оно не удовлетворяет четвёртой аксиоме метрики. Во всех рассмотренных примерах плоскость играла только одну роль — роль множества точек, между которыми мы пытались определить расстояние разными способами. Если вместо плоскости выбрать произвольное множество элементов, то мы можем использовать данные аксиомы метрики, чтобы определить на этом множестве понятие метрического пространства. § 4. Метрическое пространство. Примеры метрических пространств Определение 4.1. Произвольное множество M некоторых элементов («точек») x, y, . . . называется метрическим пространством, если: 1) существует правило, которое для любых двух точек x и y позволяет построить число ρ(x, y); 2) это правило удовлетворяет аксиомам метрики: (1) ∀ x, y ∈ M ρ(x, y) ≥ 0 ; (2) ∀ x, y ∈ M ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ; (3) ∀ x, y ∈ M ρ(x, y) = ρ(y, x) ; (4) ∀ x, y, z ∈ M ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) . Замечание 4.1. Как видно из определения, задать метрическое пространство — это значит задать пару, состоящую из некоторого множества M и функции двух переменных ρ(x, y), определённой для элементов этого множества. Метрическое пространство, то есть пару (M, ρ), обозначают1 одной буквой: R = (M, ρ), а если понятно о какой метрике идет речь, то пространство обозначают той же буквой, что и само множество точек M . Рассмотренные выше примеры расстояний ρ, ρ1 , ρ0 позволяют заключить, что множества точек на плоскости, расстояние между которыми можно определить с помощью любого из этих чисел, являются метрическими пространствами2 . Точно также и n− мерное евклидово пространство E n , расстояние между точками которого определяется с помощью числа ρ, является метрическим пространством3 . 1 Если, конечно, это не влечёт непонимание текста. Конечно, если до этого выполнить теоретические упражнения 3.1 и 3.2 (или ознакомиться с их решением). 3 Чтобы в этом убедиться, необходимо выполнить теоретическое упражнение 3.3 (или быть знакомым с его решением). 2 42 Если дано какое-нибудь множество, то определение в этом множестве расстояния между элементами, удовлетворяющего аксиомам метрики, называется введением метрики в данном множестве (или его метризацией). Все приведённые примеры являются примерами метрических пространств, в которых понятие «точки» как элемента метрического пространства совпадает с понятием точки в геометрическом смысле. Более интересными для изучения являются множества, в которых «точками» являются функции. А так как функции можно отождествить с их графиками, то расстояние между функциями можно рассматривать как расстояние между кривыми, задаваемыми графиками этих функций. В рассмотренном выше примере с расстоянием между реками1 оказалось, что введённое таким образом расстояние не является метрикой. А значит и множество рек с данным расстоянием не является метрическим пространством. Рассмотрим пример, который, внешне являясь далёким от математики, позволит построить метрическое пространство функций. Пусть у нас есть две кривые Г1 и Г2 . Будем понимать под этими кривыми две дороги, по одной из которых едет поливальная машина, поливающая всё вокруг себя (то есть всю окрестность машины в определённом радиусе) водой. Возникает вопрос: если машина едет по дороге Г1 , то какой наименьший радиус полива ей надо установить, чтобы она полила всю дорогу Г2 ? Будем обозначать точки дороги (кривой) Г1 через x, а точки дороги Г2 через y. Зафиксируем точку y на кривой Г2 . Чтобы была полита точка y, машине нужно установить радиус полива не меньший, чем R(y) = min ρe (x, y) . x∈Г1 Так как при меньшем радиусе точка y может остаться неполитой. Но так как нам нужно полить все точки на кривой Г2 , то следует выбрать самый большой из радиусов R(y): R1 = max min ρe (x, y) . y∈Г2 x∈Г1 Меньше радиус взять нельзя, так как можно будет найти точку y ∈ Г2 , которая окажется неполитой. Возьмём за расстояние между кривыми Г1 и Г2 этот радиус. Но выбранное расстояние R1 не удовлетворяет аксиоме симметрии. Как видно из рисунка, если, проезжая по дороге Г1 , машина и польёт дорогу Г2 , то это еще не означает, что, проезжая по дороге Г2 , она сможет полить дорогу Г1 , не увеличивая при этом радиус полива. Так как, когда машина проезжает по второй дороге и пытается полить первую, то радиус 1 А реки тоже можно отождествить с кривыми. 43 полива не может быть меньше, чем R2 = max min ρe (x, y) . x∈Г1 y∈Г2 Для того чтобы выполнялась аксиома симметрии, за расстояние возьмём число ρH (Г1 , Г2 ) = max{max min ρe (x, y), max min ρe (x, y) }. y∈Г2 x∈Г1 x∈Г1 y∈Г2 Это расстояние называется хаусдорфовой метрикой в пространстве кривых1 . Замечание 4.2. Следует заметить, что кривые в данном пространстве должны содержать свои концевые точки, так как иначе может не выполняться вторая аксиома о том, что расстояние между двумя «точками» пространства равно нулю тогда и только тогда, когда эти «точки» совпадают. Если рассмотреть кривые Г1 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 и Г2 : y = 0, 0 < x ≤ 1, то расстояние между ними равно нулю, а сами кривые не совпадают. Теоретическое упражнение 4.1. Докажите, что хаусдорфова метрика удовлетворяет аксиомам метрики (1) − (4). Если выполнить упражнение 4.12 , то можно убедиться, что пространство замкнутых кривых с хаусдорфовой метрикой является метрическим пространством кривых. Если же в качестве кривых Г1 и Г1 рассмотреть графики функций f1 (x) и f2 (x), определённых на некотором отрезке [a, b], то данная метрика уже будет являться метрикой в пространстве функций, определённых на отрезке [a, b]. Таким образом, пространство функций, определённых на отрезке [a, b] с расстоянием ρH , является примером функционального метрического пространства. Замечание 4.3. В определении хаусдорфовой метрики в качестве расстояния ρ можно брать не только евклидово расстояние ρe . Можно также использовать ρ1 или ρ∞ . Так как в дальнейшем нас будут интересовать функции, непрерывные на отрезке, рассмотрим два примера метрических пространств непрерывных функций. В математическом анализе часто возникает необходимость считать непрерывные на отрезке [a, b] функции f1 (x) и f2 (x) , «близкими», если величина max |f1 (x) − f2 (x)| достаточно мала. Эту величину можно принять за расстояние a≤x≤b между функциями f1 (x) и f2 (x). Теоретическое упражнение 4.2. Докажите, что расстояние между непрерывными на отрезке [a, b] функциями f1 (x) и f2 (x), определённое по формуле ρ(f1 , f2 ) = max |f1 (x) − f2 (x)| , x∈[a, b] удовлетворяет аксиомам метрики (1) — (4). 1 2 Символ H в значке расстояния есть первая буква фамилии Hausdorf. Или познакомиться с его решением. 44 Из решения упражнения 4.21 вытекает, что любое множество M непрерывных функций, определённых на отрезке [a, b], с расстоянием, заданным данной формулой, является метрическим пространством. В дальнейшем это пространство мы будем обозначать C[a, b]. Теоретическое упражнение 4.3. Постройте схематический чертеж единичного шара в этой метрике. Расстояние, определяемое данной формулой, называется равномерной метрикой. Оно показывает, насколько значения функции f1 (x) отклоняются от значений функции f2 (x) (вспомните рассмотренный выше пример из физики кондиционирования воздуха). То, что данное расстояние, естественное для непрерывных функций, не применимо для разрывных функций, показывает следующий пример. Рассмотрим функцию   −1, если x < 0 , 0, если x = 0 , sign(x) =  1, если x > 0 . Эта функция разрывна в нуле. Допустим, что мы хотим её приблизить непрерывной функцией и вообще заменить её, пусть даже с небольшой ошибкой, на достаточно близкую непрерывную функцию. В некотором смысле функция   − 1, если x < −0, 01 , f (x) = 100x, если − 0, 01 ≤ x ≤ 0, 01 ,  1, если 0, 01 < x . «близка» к функции sign(x). Близость между графиками функций f (x) и sign(x) станет более наглядной с геометрической точки зрения, если график функции sign(x) дополнить, присоединив к нему «скачок» — отрезок x = 0, −1 ≤ y ≤ 12 . Однако эту близость графиков 1 Или знакомства с ним. Конечно, так рисовать график неправильно, так как он уже не является в этом случае графиком функции: ведь каждой точке должно соответствовать только одно значение функции. Но иногда в теории функций рассматривают так определённые дополнененные графики, то есть имеющийся «скачок» присоединяют к графику. 2 45 не замечает равномерная метрика. Если, например, 0 ≤ x ≤ 0, 001, то sign(x) = 1, а значение f (x) < 0, 1. То есть расстояние между рассматриваемыми функциями в рассматриваемой метрике1 равно 1. Теоретическое упражнение 4.4. Определите расстояние между графиком функции f (x) и дополненным графиком функции sign(x) в смысле хаусдорфовой метрики. Можно ли утверждать, что график функции f (x) и дополненный график функции sign(x) близки в смысле хаусдорфовой метрики? Иногда естественно считать функции f1 (x) и f2 (x) «близкими», если они близки в интегральном смысле, то есть если мала величина Zb |f2 (x) − f1 (x)| dx . a В данном случае расстояние вводится с помощью формулы Zb |f2 (x) − f1 (x)| dx . ρ(f1 , f2 ) = a Теоретическое упражнение 4.5. Докажите, что расстояние между непрерывными на отрезке [a, b] функциями f1 (x) и f2 (x), определённое по этой формуле, удовлетворяет аксиомам метрики (1) — (4). Из доказательства упражнения 4.52 вытекает, что множество M непрерывных функций, определённых на отрезке [a, b], с расстоянием, заданным данной формулой, является метрическим пространством. В дальнейшем это пространство мы будем обозначать C1 [a, b]. Замечание 4.4. Приведённое здесь определение метрического пространства является классическим, отличаясь от определений многих учебных пособий только тем, что в них аксиомы неотрицательности и невырожденности ( т.е. (1) — (2)) объединены в одну. Тем не менее, как задача интересно следующее Теоретическое упражнение 4.6. Можно ли дать такое определение метрического пространства: Произвольное множество M некоторых элементов («точек») x, y, . . . называется метрическим пространством, если существует правило, которое для любых двух точек x и y позволяет определить действительное число ρ(x, y), которое удовлетворяет двум аксиомам: (10 ) ∀ x, y ∈ M ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ; (20 ) ∀ x, y, z ∈ M ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(z, y) ? В дальнейшем нам понадобится неравенство, которое называют 1 Равномерную метрику можно распространить и на разрывные ограниченные функции, если определить её как ρ(f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)|. x∈[a, b] 2 Или его изучения. 46 Неравенство четырёхугольника. Для любых четырёх точек x, y, z, u метрического пространства M |ρ(x, z) − ρ(y, u)| ≤ ρ(x, y) + ρ(z, u). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из аксиомы треугольника (4) следует, что ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, u) + ρ(u, z). Если из левой и правой части данного двойного неравенства вычесть ρ(y, u), то получим ρ(x, z) − ρ(y, u) ≤ ρ(x, y) + ρ(u, z). (∗) Таким же образом с помощью аксиомы треугольника получаем неравенство ρ(y, u) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, u) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, z) + ρ(z, u). И, вычитая из левой и правой части последнего неравенства ρ(x, z), имеем ρ(y, u) − ρ(x, z) ≤ ρ(y, x) + ρ(z, u). (∗∗) В силу аксиомы симметрии (3) ρ(x, y) = ρ(y, x) и ρ(u, z) = ρ(z, u). Используя свойство модуля1 , из неравенств (*) и (**) вытекает доказываемое неравенство2 . Замечание 4.5. Большое количество примеров метрических пространств можно получить с помощью следующего определения. Пусть M = (X, ρ) — метрическое пространство, а X1 — произвольное подмножество X. Тогда X1 с функцией ρ(x, y), определённой для любых x и y из X, также является метрическим пространством M1 = (X1 , ρ). M1 называется подпространством метрического пространства M . Например, если M — метрическое пространство точек числовой прямой с евклидовой метрикой, то любой интервал (a, b) этой прямой является подпространством M при условии, что расстояние между его точками определяется в евклидовой метрике. § 5. Об «эквивалентности» метрических пространств В теории множеств большую роль играло понятие эквивалентности. Два множества с совершенно различными по своей природе элементами считались с точки зрения теории множеств равноправными, если между их элементами существовало взаимно однозначное соответствие. После того как установлено, например, что множество точек отрезка и множество непрерывных функций, заданных на этом отрезке, имеют одинаковую мощность, в теории множеств нет смысла считать их различными множествами. Но метрические пространства это ведь пары, определяемые множествами и соответствующими метриками. Поэтому одной эквивалентности с точки зрения 1 Для любого числа a верно одно и только одно из равенств: |a| = a или |a| = −a. С точки зрения геометрии неравенство утверждает, что модуль разности длин двух противоположных сторон четырёхугольника не больше, чем сумма длин другой пары его противоположных сторон. 2 47 теории множеств для равноправности пространств может не хватить, если метрики в этих пространствах будут различными. Так эквивалентные как множества метрические пространства точек отрезка [a, b] и непрерывных функций на этом отрезке неодинаковы по метрике, например, уже в том, что в первом пространстве взаимные расстояния ограничены числом b−a, а во втором — ничем неограничены. Поэтому нам для того, чтобы ввести понятие «эквивалентности» метрических пространств, понадобятся следующие определения. Пусть M1 = (X, ρ1 ) и M2 = (Y, ρ2 ) — метрические пространства. Предположим, что между их элементами установлено отображение f , которое ставит в соответствие каждому элементу x ∈ M1 1 некоторый элемент y = f (x) ∈ M2 . Определение 5.1. Отображение f называется непрерывным в точке x0 ∈ M1 , если для каждого ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0, что для всех x ∈ M1 таких, что ρ1 (x, x0 ) < δ , верно неравенство ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε . Если отображение f непрерывно во всех точках пространства M1 , то говорят, что f непрерывно на M1 2 . Замечание 5.1. Из неравенства четырёхугольника вытекает, что расстояние ρ(x, y) является непрерывной функцией от x и y. Действительно, допустим, что x0 и y0 — две произвольные точки метрического пространства M1 . Согласно неравенству четырёхугольника для всех точек x и y этого пространства имеем |ρ(x, y) − ρ(x0 , y0 )| ≤ ρ(x0 , x) + ρ(y0 , y) . Поэтому, если взять произвольное ε > 0, то при любом зависящем от него δ > 0 для всех точек x и y, удовлетворяющих неравенствам ρ(x0 , x) < δ, ρ(y0 , y) < δ , будет верно |ρ(x, y) − ρ(x0 , y0 )| < ε . В том случае, когда отображение f из метрического пространства M1 в метрическое пространство M2 является взаимно однозначным, существует и обратное отображение x = f −1 (y) пространства M2 на пространство M1 . Определение 5.2. Если отображение f взаимно однозначно и взаимно непрерывно3 , то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом. 1 В буквальном смысле, конечно, x ∈ X. Если X и Y — числовые множества, а f — числовая функция, определённая на множестве X, то данное определение совпадает с определением непрерывной функции в математическом анализе. Аналогично можно определить непрерывное отображение f от нескольких переменных x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 . . . , xn ∈ Mn (где M1 , M2 . . . , Mn — метрические пространства) со значениями в некотором метрическом пространстве M . 3 То есть f и f −1 — непрерывные отображения. 2 48 Пространства M1 и M2 в этом случае называются гомеоморфными между собой пространствами. Примером гомеоморфных метрических пространств могут сложить пространства M1 = (−1, 1) и M2 = (−∞, ∞). Гомеоморфизм между ними задаётся формулой πx y = tg . 2 Частным случаем гомеоморфизма является изометрическое отображение метрических пространств. Определение 5.3. Взаимно однозначное отображение f между метрическими пространствами M1 = (X, ρ1 ) и M2 = (Y, ρ2 ) называется изометрией, если для любых x1 , x2 ∈ X ρ1 (x1 , x2 ) = ρ2 (f (x1 ), f (x2 )). Примером изометричного отображения может служить преобразование сдвига (или паралелльного переноса). Пространства M1 и M2 , между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными пространствами. Изометрия пространств M1 и M2 означает, что расстояния между их элементами определяются одинаково. Различной может быть природа элементов, что с точки зрения теории метрических пространств не играет роли. § 6. Сходимость в метрическом пространстве Зная как определяется расстояние между точками, мы можем определить понятие предела последовательности в метрическом пространстве. Определение 6.1. Точка x метрического пространства M называется пределом бесконечной последовательности точек x1 , x2 , . . . , xn , . . . этого пространства, если lim ρ(xn , x) = 0 . n→∞ При этом сама последовательность точек называется сходящейся последовательностью1 . Наряду с классическим значком предела для обозначения сходящейся к x последовательности xn используется обозначение xn → x .2 Теорема 6.1 (Об единственности предела). Если последовательность точек в метрическом пространстве M имеет предел, то этот предел является единственным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность x1 , x2 , . . . , xn , . . . из метрического постранства M имеет два предела: точки x и y из этого пространства. Тогда имеют место соотношения lim ρ(xn , x) = 0 и lim ρ(xn , y) = 0 . n→∞ n→∞ 1 Определённая таким образом сходимость часто называется сходимостью по расстоянию или сходимостью по метрике пространства M . 2 Здесь по умолчанию понимается, что n → ∞ . 49 Из них следует, что для выбранного ε > 0 можно найти номер N = N (ε) такой, что для всех n ≥ N будут выполняться неравенства ρ(xn , x) < ε ε , ρ(xn , y) < . 2 2 Следовательно, в силу неравенства треугольника имеем ρ(x, y) ≤ ρ(x, xn ) + ρ(xn , y) < ε ε + = ε. 2 2 Так как в этом неравенстве ε произвольно мало, а ρ(x, y) ≥ 0, то ρ(x, y) = 0. Поэтому из аксиомы невырожденности следует, что x = y, что и требовалось доказать. Из данной теоремы вытекает Следствие 6.1. Если последовательность {xn } сходится к точке x, то любая её бесконечная подпоследовательность сходится к этой же самой точке x. Рассмотрим сходимость в пространствах C[a, b] и C1 [a, b]: В метрическом пространстве непрерывных функций C[a, b] сходимость последовательности функций fn (x) ∈ C[a, b] к функции f (x) означает, что при n → ∞ ρ(fn , f ) = max |fn (x) − f (x)| → 0 . a≤x≤b По названию метрики такая сходимость называется равномерной сходимостью. В метрическом пространстве C1 [a, b] сходимость последовательности функций fn (x) ∈ C1 [a, b] к функции f (x) означает, что при n → ∞ Zb |fn (x) − f (x)| dx → 0 . ρ(fn , f ) = a В математическом анализе такая сходимость называется сходимостью в среднем. Метрика C1 [a, b] позволяет определить среднее отклонение друг от друга функций f1 (x) и f2 (x) на отрезке [a, b]: 1 b−a Zb |f2 (x) − f1 (x)| dx . a Поэтому сходимость в C1 [a, b] равносильна стремлению к нулю последовательности соответствующих средних отклонений. Представление о сравнении сходимости в метрических пространствах C[a, b] и C1 [a, b] даёт следующая 50 Теорема 6.2. Если последовательность непрерывных функций сходится к пределу равномерно, то она сходится к тому же пределу и в среднем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) является пределом последовательности непрерывных функций {fn (x)} в пространстве C[a, b]. Это означает, что для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) такой, что для всех n ≥ N max |fn (x) − f (x)| < ε . a≤x≤b Оценим значение ρ(fn , f ) в пространстве C1 [a, b]: Zb Zb |fn (x) − f (x)| dx ≤ ρ(fn , f ) = a Zb max |fn (x) − f (x)| dx ≤ ε dx = ε(b − a). a≤x≤b a a Так как число b − a ограничено, а ε можно выбрать сколь угодно малым, то ρ(fn , f ) → 0, а это и означает, что последовательность непрерывных на отрезке [a, b] функций сходится в среднем к тому же пределу. Как видно из следующего примера, обратное утверждение неверно. Сходимость функций в C1 [a, b] накладывает меньшие ограничения на функции в том смысле, что последовательность может быть сходящейся по метрике данного пространства, но не иметь предела в одной точке или нескольких точках1 . Рассмотрим в качестве примера последовательность функций    nx, если 0 ≤ x ≤ 1 , n fn (x) = 1   1, если < x ≤ 1 . n Данные функции являются непрерывными на отрезке [0, 1]. Покажем, что их последовательность сходится к f (x) = 1 по метрике пространства C1 [a, b] при n → ∞: 1 Z1 Zn |fn (x) − f (x)| dx = ρ(fn , f ) = 0 0 1 2 n nx 1 (1 − nx) dx = x − → 0. = 2 2n 0 Но в то же время в точке x = 0 функции этой последовательности не стремятся к единице, так как fn (0) = n · 0 = 0. § 7. Открытые и замкнутые множества Ранее мы уже встречались с понятием шара, когда рассматривали примеры расстояний на координатной плоскости. Рассмотрим, что из себя представляет шар в метрическом пространстве. 1 Сходящаяся последовательность может даже не иметь предела ни в одной точке. 51 Определение 7.1. Открытым шаром в метрическом пространстве M c центром в точке x0 ∈ M и радиусом r > 0 называется множество S(x0 , r) всех точек x ∈ M , удовлетворяющих условию ρ(x0 , x) < r. Аналогично замкнутым шаром называется множество S[x0 , r] всех точек x ∈ M , удовлетворяющих условию ρ(x0 , x) ≤ r. На числовой прямой открытым шаром является интервал (x0 − r, x0 + r), а замкнутым шаром — отрезок [x0 − r, x0 + r]. В рассмотренных примерах единичных шаров на евклидовой плоскости с центром в точке O множества точек A, удовлетворяющих неравенствам ρe (O, A) < 1, ρ1 (O, A) < 1, ρ0 (O, A) < 1, являются открытыми шарами, а множества точек A, для которых верны неравенства ρe (O, A) ≤ 1, ρ1 (O, A) ≤ 1, ρ0 (O, A) ≤ 1, — замкнутыми шарами. В метрическом пространстве непрерывных функций C[a, b] открытый шар S(g, r) состоит из всех функций f (x), удовлетворяющих условию |f (x) − g(x)| < r на всём отрезке [a, b], т. е. графики которых умещаются в полоске «высотой» 2r, показанной на рисунке. Понятие открытого шара позволяет определить множества, играющие в теории метрических пространств большую роль, — открытые множества, с определением которых связано понятие внутренней точки множества. Определение 7.2. Точка x0 называется внутренней точкой множества U , если существует открытый шар S(x0 , r)1 с центром в этой точке, целиком лежащий в U. Определение 7.3. Множество U , каждая точка которого является внутренней точкой, называется открытым множеством. Примером открытого множества является открытый шар с центром в некоторой точке x1 и радиусом r S(x1 , r) = {x : ρ(x, x1 ) < r }. Допустим, что x0 ∈ S и расстояние ρ(x0 , x1 ) = r̄ < r . Рассмотрим шар S0 с центром в точке x0 и радиусом r0 < r − r̄. Покажем, что шар S0 целиком входит в шар S. Из неравенства треугольника для любого x из S0 имеет место ρ(x, x1 ) ≤ ρ(x, x0 ) + ρ(x0 , x1 ) < r0 + r̄ < r − r̄ + r̄ = r. Что и требовалось доказать. Свойства операций с открытыми множествами определяются в следующей теореме. 1 Радиус шара r, вообще говоря, зависит от точки x0 . 52 Теорема 7.1. Объединение любого числа открытых множеств и пересечение конечного числа открытых множеств являются [ открытыми множествами. Uα — объединение открытых Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U = α множеств Uα . Так как Uα — открытое множество, то каждая его точка x0 входит в Uα вместе с некоторым шаром S(x0 , r). Но каждое подмножество точек из Uα является подмножеством множества U . Поэтому любая точка из Uα является одновременно внутренней точкой U . Следовательно, объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество. Докажем вторую часть теоремы. Пусть точка x0 является внутренней точкой множеств U1 , U2 , . . . , U n и входит в первое из данных множеств с шаром S(x0 , r1 ), во второе — с шаром S(x0 , r2 ) и т. д. Выберем из всех радиусов наименьший r = min(r1 , r2 , . . . , rn ). Тогда шар S(x0 , r) содержится в каждом из множеств n \ U1 , U2 , . . . , U n, а значит и в их пересечении Ui . i=1 Для бесконечного числа открытых множеств пересечение не является открытым множеством, что демонстрирует следующий пример. Рассмотрим множества вида n 1o Un = x : ρ(x, x0 ) < , (n = 1, 2, . . . ). n ∞ T Их пересечение Un содержит только те точки x, для которых ρ(x, x0 ) = 0. n=1 Такой точкой может быть только сама точка x0 . Таким образом, данное пересечение не является открытым множеством. Структура открытых множеств в произвольном метрическом пространстве может быть достаточно сложной. Однако в случае их расположения на прямой полное описание даёт Теорема 7.2 (О с т р у к т у р е о т к р ы т ы х м н о ж е с т в на ч и сл о в о й п р я м о й). Каждое открытое множество U на числовой прямой является конечным или счётным объединением попарно непересекающихся интервалов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную точку x ∈ U . По определению открытого множества она входит в множество U вместе с некоторым открытым шаром, то есть с интервалом числовой прямой, содержащим эту точку x. Построим наибольший интервал, содержащий точку x и содержащийся целиком в множестве U . Обозначим через S множество точек, лежащих правее x и не принадлежащих множеству U . Если S пустое множество, то весь луч (x, ∞) входит в U . Если S не пусто, то оно имеет точную нижнюю грань β. Точка β не принадлежит множеству U , так как у любой точки множества U есть окрестность, целиком входящая в U и не содержащая ни одной точки из S. А точка β, как точная нижняя грань множества S, в любой своей окрестности содержит точки из S. Поэтому β не 53 может принадлежать U . Можно сделать вывод, что весь интервал (x, β) входит в U. Аналогично слева от x мы можем построить интервал (α, x)1 , левый конец которого α не входит в U 2 . Таким образом, по заданной точке x ∈ U мы построили интервал (α, β), входящий в U и такой, что его концы (из которых один или оба могут быть в бесконечности) не принадлежат множеству U . Интервалы такого вида называются составляющими интервалами открытого множества U . Докажем, что составляющие интервалы не имеют общих точек. Допустим, что два составляющих интервала (α1 , β1 ) и (α2 , β2 ) имеют общую точку x0 . Тогда имеет место одно из двух неравенств: β1 < β2 или β2 < β1 . Предположим, что β1 < β2 . Тогда β1 , как внутренняя точка интервала (x0 , β2 ), должна принадлежать множеству U . И она же, как концевая точка интервала (x0 , β1 ), не может входить в U . Поэтому составляющие интервалы не имеют общих точек. Объединение составляющих интервалов не может быть более, чем счётным множеством. Так как каждому из интервалов можно поставить во взаимно однозначное соответствие одну рациональную точку, которая ему принадлежит. А множество рациональных точек есть счётное множество. Следовательно, теорема доказана полностью. Далее нам понадобится понятие предельной точки множества. Определение 7.4. В метрическом пространстве M точка a ∈ M называется предельной точкой множества F ⊂ M , если любой открытый шар с центром в точке a содержал хотя бы одну точку множества F , отличную от точки a3 . Теоретическое упражнение 7.1. Является ли следующее определение предельной точки эквивалентным определению 7.4: в метрическом пространстве M точка a ∈ M называется предельной точкой множества F ⊂ M , если любой открытый шар с центром в точке a содержит бесконечно много точек множества F? Понятие предельной точки множества можно также определить через понятие предела последовательности. Определение 7.5. В метрическом пространстве M точка a ∈ M называется предельной точкой множества F ⊂ M , если существует последовательность различных точек x1 , x2 , . . . , xn , . . . множества F , сходящаяся к точке a. Предельная точка может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Так, например, если F — множество рациональных чисел отрезка [0, 1], то каждая его точка является для него предельной точкой. А, например, точка a = 0 является предельной точкой множества (0, 1], хотя самому множеству не принадлежит. Если в качестве радиуса открытых шаров с центром в точке 1 Здесь α — точная верхняя грань множества всех точек, лежащих левее точки x и не принадлежащих множеству U . 2 Возможно, что этот интервал является лучом (−∞, x). 3 Или на языке символов: S(a, r) ∩ (F \ a) 6= ∅ для любого r > 0. 54 1 , то при любом натуральном n найдется открытый шар n S(0, rn ), в котором есть точка из (0, 1], естественно, отличная от a = 0. В то же время любая точка данного полуотрезка также является его предельной точкой. Наряду с открытыми множествами важную роль в теории метрических пространств играют множества, которые называются замкнутыми. Определение 7.6. Множество F ⊂ M , содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым множеством. Любой отрезок числовой прямой [a, b] является замкнутым множеством. Примером замкнутого множества в любом метрическом пространстве может служить замкнутый шар a = 0 взять числа rn = S[x0 , r] = {x : ρ(x0 , x) ≤ r}. Докажем, что любая точка, не принадлежащая S[x0 , r], не является для него предельной точкой. Пусть точка x1 не принадлежит шару, то есть ρ(x0 , x1 ) = r1 > r . 1 Рассмотрим открытый шар с центром в точке x1 и радиусом (r1 −r). Предположим 2 противное: в этом шаре есть точка z ∈ S[x0 , r]. Тогда, согласно неравенству треугольника, 1 1 r1 = ρ(x0 , x1 ) ≤ ρ(x0 , z) + ρ(z, x1 ) < r + (r1 − r) = (r1 + r). 2 2 Из этого неравенства вытекает, что r1 < r, что противоречит предположению. Следовательно, точка x1 не является для множества S[x0 , r] предельной точкой, и S[x0 , r] содержит все свои предельные точки. В метрическом пространстве замкнутые и открытые множества связаны между собой следующей теоремой. Теорема 7.3. Для того чтобы множество U было открытым в метрическом пространстве M , необходимо и достаточно, чтобы его дополнение F = M \ U было замкнуто в M . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U — открытое множество, а F — его дополнение. Любая точка a, принадлежащая U , входит в него с некоторым открытым шаром, в котором нет ни одной точки из множества F . Поэтому точка a не является предельной точкой множества F . А так как она F не принадлежит, то F cодержит все свои предельные точки и, следовательно, является замкнутым множеством. Докажем достаточное условие теоремы. Пусть F есть замкнутое множество, а U — его дополнение. Рассмотрим произвольную точку x0 ∈ U . Нам нужно доказать, что существует открытый шар S(x0 , r), который полностью расположен в U. Допустим, что такой шар не существует, то есть в любом открытом шаре с центром в точке x0 имеются точки из множества F . Но тогда из определения 55 7.4, следует, что точка x0 является предельной точкой множества F . А так как по условию теоремы F содержит все свои предельные точки, то точка x0 принадлежит F , будучи одновременно точкой U по предположению. Из данного противоречия следует, что шар S(x0 , r) существует. Поэтому множество U является открытым. С помощью этой теоремы, а также теоремы 7.1 мы можем исследовать основные операции над замкнутыми множествами. Теорема 7.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств и пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся сформулированными во втором параграфе первой главы свойствами двойственности пересечения и объединения, из которых вытекает, что C N [ Fn = n=1 N \ CFn = n=1 N \ Un . n=1 Так как пересечение любого конечного числа открытых множеств есть множество N [ открытое, то множество C Fn является открытым, а значит его дополнение n=1 N [ Fn есть замкнутое множество. n=1 Из тех же свойств двойственности следует, что \ [ [ C Fα = CFα = Uα . α α α [ А так как множество Uα является открытым, если все его слагаемые Uα открыты, \ α то и множество C Fα есть открытое множество. Тогда из теоремы 7.3 следует, α что его дополнение, то есть пересечение произвольного числа замкнутых множеств, является замкнутым множеством. Из теоремы о структуре открытых множеств на прямой вытекает Следствие 7.1(О з а м к н у т ы х м н о ж е с т в а х на п р я м о й). Каждое замкнутое множество на прямой получается удалением конечной или счётной совокупности интервалов без общих точек. Выбрасываемые интервалы, являясь составляющими интервалами открытого множества-дополнения данного замкнутого множества, называются также смежными интервалами замкнутого множества. Самые простые из замкнутых множеств на прямой — это отдельные точки, отрезки и объединения конечного числа таких множеств. В шестом параграфе первой главы мы рассматривали предложенный Г. Кантором геометрический при- 56 мер несчётности множества точек 0 1 F0 отрезка. Используем его еще раз 2 1 1 F1 как пример образования замкнутого 0 3 3 множества на прямой. Пусть F0 — 1 2 0 1 3 3 F2 отрезок [0,1]. Выбросим из него 1 2 7 8 1 2 9 9 9 9 , , а оставшееся F3 интервал 3 3 F4 замкнутое мно 1 2 7 8 жество обозначим F1 . Затем выбросим из F1 интервалы , и , . А 9 9 9 9 оставшееся замкнутое множество из четырёх отрезков обозначим F2 . В каждом из этих четырёх 3 отрезков выбросим, как показано на рисунке, центральный интервал 1 длины . Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность 3 замкнутых множеств Fn . Обозначим F = ∞ \ Fn . n=0 Следуя Ф. Хаусдорфу, множество F называют канторовским множеством1 . Из теоремы 7.4 следует, что множество F — замкнутое. Оно получилось из отрезка [0, 1] выбрасыванием счётного числа интервалов. Рассмотрим структуру множества F . Очевидно, что оно содержит точки 1 2 1 2 7 8 0, 1, , , , , , , . . . 3 3 9 9 9 9 — концы выбрасываемых интервалов. Кроме них множество F содержит и другие точки, для характеристики которых понадобится представление действительных чисел x отрезка [0, 1] в троичной системе счисления an a1 a2 x= + 2 + ··· + n + ··· , 3 3 3 где числа an могут принимать значения 0, 1, 2. Точно также, как и в теоремах о двоичном разложении2 , можно доказать, что каждое действительное число x допускает не более двух представлений в троичной системе счисления. При этом множеству F принадлежат только те числа x отрезка [0, 1], которые можно записать в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности a1 , a2 , . . . , an , . . . ни разу не встретилась единица. То есть каждой точке x ∈ F можно поставить в соответствие последовательность a1 , a2 , . . . , an , . . . , в которой an = 0 или an = 2. Так как каждой такой последовательности можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность из нулей и единиц3 , то мы можем утверждать, 1 Сам Ф. Хаусдорф назвал его канторовским трихотомическим множеством. См. седьмой параграф первой главы. 3 Каждому нулю которой соответствует an = 0, а каждой единице — an = 2. 2 57 что множество F является множеством мощности континуума (что следует из теоремы 7.5 первой главы). При этом удивительным является то, что сумма длин 1 2 4 + + + · · · всех выброшенных интервалов равна единице! 3 9 27 § 8. Замыкание множества. Понятие плотного множества В дальнейшем нам понадобится операция замыкания множества A в метрическом пространстве M . Определение 8.1. Присоединение к множеству A всех его предельных точек называется замыканием множества A. Полученное таким образом множество обозначается Ā.1 Очевидно, что для любого множества A ⊂ Ā. Рассмотрим несколько примеров образования замыканий множеств: 1) если A = (a, b), то присоединение к нему его концов a и b создает его замыкание Ā = [a, b]; 2) если A − множество всех рациональных точек на действительной оси, то присоединение к нему множества всех иррациональных точек этой оси порождает его замыкание Ā; 3) в том случае, когда A − множество всех многочленов P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 с действительными коэффициентами, то его замыкание Ā в пространстве непрерывных функций C[a, b] совпадает с самим пространством2 C[a, b]. Рассмотрим несколько теорем о свойствах замыкания множества. Теорема 8.1. Для того чтобы множество A было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием Ā. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если A — замкнутое множество, то оно содержит все свои предельные точки, а значит совпадает со своим замыканием, т. е. A = Ā. Если же A = Ā, то все его предельные точки ему принадлежат, а значит A = Ā — замкнутое множество. Теорема 8.2. Точка x метрического пространства M принадлежит множеству Ā тогда и только тогда, когда в любом шаре S(x, r) найдется точка a ∈ A.3 Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если x ∈ Ā, то x либо внутренняя точка A, либо присоединенная предельная точка A, ему не принадлежащая. Если она внутренняя, то любой шар с центром в этой точке содержит саму эту точку. А если x предельная точка, то существование шара S(x, r) вытекает из определения предельной точки. В обратном случае, если в любом открытом шаре с центром 1 Существует и другое обозначение [A]. Это вытекает из второй теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных функций (см.,например, Фихтенгольц Г. М. Т. 3, гл. XX, § 1, п. 734). 3 При этом точка a может совпадать с точкой x. 2 58 в точке x есть точка a ∈ A, то если x = a, тогда x является внутренней точкой A, а значит принадлежит и Ā. Если же x не является внутренней точкой A, то, являясь центром открытого шара, имеющего непустое пересечение с множеством A, она по определению есть предельная точка A, а значит также принадлежит его замыканию Ā. Теорема 8.3. Любая точка x из замыкания множества Ā является пределом некоторой последовательности {an } точек множества A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ Ā. Тогда x является либо внутренней, либо предельной точкой множества A. Если x — внутренняя точка A, то в качестве сходящейся к x последовательности возьмем стационарную последовательность, все точки которой an = x. Если же x — предельная точка множества A, то из всех открытых шаров S(x, r), содержащих точки множества A, мы можем выбрать 1 шары с радиусом r = , в каждом из которых возьмём одну точку an ∈ A. Тогда n для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно найти натуральное число 1 N = + 1 такое, что для всех n > N ρ(x, an ) < r < ε. Это и означает, что ε lim ρ(an , x) = 0, или lim an = x. n→∞ n→∞ Теорема 8.4. Замыкание любого множества является замкнутым множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в замыкании множества Ā последовательность точек {xn }, сходящуюся к некоторой точке x. Из предыдущей теоремы следует, что каждая точка из Ā является пределом последовательности точек из A. Поэтому для любого номера n можно найти точку yn ∈ A, для которой вы1 полняется неравенство ρ(xn , yn ) < . Оценим расстояние между точками yn и n x: 1 ρ(yn , x) ≤ ρ(yn , xn ) + ρ(xn , x) < + ρ(xn , x). n Так как с ростом n расстояние между точками xn и x стремится к нулю, то из оценки следует, что и для всех точек yn ∈ A точка x является предельной точкой множества A, а значит принадлежит Ā. Но так как при этом x — предельная точка и для последовательности {xn } ⊂ Ā, то x является предельной точкой и множества Ā. Следовательно, Ā — замкнутое множество. Теорема 8.5. Замыкание Ā есть наименьшее из замкнутых множеств, содержащих множество A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое замкнутое множество F , содержащее множество A, должно содержать и предельные точки A, так как они являются одновременно и предельными точками F , принадлежащими ему в силу его замкнутости. Поэтому множество Ā ⊂ F . А так как Ā само является замкнутым множеством, то оно и есть наименьшее из всех замкнутых множеств F̄ , содержащих A. С операцией замыкания множества связано понятие плотного множества. До59 пустим, что множество A является подмножеством некоторого множества B, т. е. A ⊆ B. Определение 8.2. Множество A называется плотным в множестве B, если каждая точка B является предельной точкой множества A. Иными словами, A плотно в B, если B является подмножеством замыкания Ā: B ⊆ Ā. Если вместо множества B мы возьмём всё метрическое пространство M , то определение плотности A в M будет таким: Определение 8.3. Множество A, расположенное в метрическом пространстве M , называется плотным в пространстве M , если замыкание A совпадает со всем пространством: Ā = M . Так, например, из рассмотренных выше второго и третьего примеров замыкания множество вытекает, что множество рациональных точек Q плотно на числовой оси R. А множество всех многочленов P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 с действительными коэффициентами плотно в пространстве непрерывных функций C[a, b]. Допустим, что множество A является подмножеством метрического пространства M , которое само вложено в более широкое пространство R, в котором A также является подмножеством. Покажем, что свойство «быть плотным множеством» является отношением транзитивности. Теорема 8.6. Если множество A плотно в пространстве M , а M является плотным в пространстве R, то A будет плотным в R. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем точку x ∈ R и некоторое число ε > 0. Так как M плотно вложено в R, то для этой точки и этого числа всегда можно найти ε в M такую точку y, что расстояние ρ(y, x) < . В силу плотности множества A 2 ε в пространстве M найдётся точка a ∈ A такая, что ρ(a, y) < . Из неравенства 2 треугольника получим, что ε ε ρ(a, x) ≤ ρ(a, y) + ρ(y, x) < + = ε . 2 2 Таким образом, в открытом шаре радиуса ε с центром в любой точке x ∈ R есть точки множества A, т. е. каждая точка R является предельной точкой A. Как иллюстрацию данной теоремы докажем, что множество Q многочленов с рациональными коэффициентами, определённых на отрезке [0, 1], плотно вложено в пространство C[0, 1]. Так как множество P многочленов с действительными коэффициентами, определённых на отрезке [0, 1], плотно вложено в C[0, 1], то достаточно показать, что множество Q плотно вложено в P . Пусть ε > 0, а P (x) — многочлен с действительными коэффициентами из P P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . 60 Выберем в Q многочлен Q(x) = bn xn + bn−1 bn−1 + · · · + b1 x + b0 , коэффициенты которого bi (i = 0, 1, . . . , n) являются рациональными числами, связанными с соответствующими коэффициентами ai многочлена P (x) неравенствами ε |bi − ai | < . n+1 Тогда для всех x ∈ P |Q(x) − P (x)| = |(bn − an )xn + (bn−1 − an−1 )xn−1 + · · · + (b1 − a1 )x + (b0 − a0 )| ≤ ε ≤ |bn − an | + |bn−1 − an−1 | + · · · + |b1 − a1 | + |b0 − a0 | < · (n + 1) = ε . n+1 Как следует из полученного неравенства, множество Q действительно плотно вложено в P , а значит, в силу доказанной теоремы, является плотно вложенным в C[0, 1]. § 9. Полные метрические пространства В математическом анализе важную роль играет тот факт, что на множестве действительных чисел признак сходимости Больцано-Коши является не только необходимым, но и достаточным условием1 . Однако в произвольном метрическом пространстве достаточное условие признака Больцано-Коши не является обязательным. Рассмотрим открытый интервал (0, 1). Он является метрическим пространством с метрикой точек числовой оси ρ(x, y) = |x − y|. Последовательность 1 1 1 точек , , . . . , . . . , удовлетворяет условию Больцано-Коши, но не является 2 3 n сходящейся в этом пространстве, так как точка 0 ему не принадлежит. В этом параграфе мы рассмотрим класс пространств, в которых признак Больцано-Коши выполняется. Для этого нам понадобится Определение 9.1. Последовательность точек xn метрического пространства M называется фундаментальной последовательностью2 , если для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) > 0 такой, что для всех n > N и m > N выполняется неравенство ρ(xn , xm ) < ε . Кратко это записывается так: lim ρ(xn , xm ) = 0 . n,m→∞ Как следует из следующей теоремы, необходимое условие признака БольцаноКоши выполняется в любом метрическом пространстве. 1 2 Признак определяет свойство полноты множества действительных чисел. У фундаментальной последовательности есть и другое название: сходящаяся в себе. 61 Теорема 9.1. Любая сходящаяся в метрическом пространстве последовательность является фундаментальной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в метрическом пространстве M последовательность {xn } сходится к точке x. Применим неравенство треугольника к точкам этой последовательности: ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(x, xm ). Так как из определения предела следует, что для любого ε > 0 при достаточно больших n и m ε ε ρ(xn , x) < и ρ(x, xm ) < , 2 2 то и ρ(xn , xm ) < ε. Что и требовалось доказать. Так как эта теорема не является обратимой, то интерес представляют пространства, для которых из фундаментальности последовательности следует её сходимость. Определение 9.2. Метрическое пространство называется полным пространством, если каждая его фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве. Также в дальнейшем нам понадобится еще одно определение: Определение 9.3. Множество точек метрического пространства называется ограниченным, если в пространстве есть шар, содержащий это множество. Из этого определения вытекает Теорема 9.2. Любая фундаментальная в метрическом пространстве последовательность является ограниченной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём ε > 0 и найдём зависящее от него число N такое, что ρ(xn , xm ) < ε при всех n, m ≥ N . Из этого неравенства вытекает, что верным будет и такое неравенство: ρ(xn , xN ) < ε при n ≥ N . Рассмотрим замкнутый шар с центром в точке xN , радиус r для которого выберем из условия r = max{ ε, ρ(x1 , xN ), ρ(x2 , xN ), . . . , ρ(xn−1 , xN )}. Тогда при всех натуральных n ρ(xn , xN ) ≤ r. То есть все xn ∈ S[xN , r]. Если заменить r на r1 > r, то можно всю последовательность {xn } заключить и в открытый шар S(xN , r1 ). Рассмотрим несколько теорем, исследующих отношение к полноте интересующих нас пространств. Теорема 9.3. Метрическое пространство C[a, b] является полным пространством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность {yn (x)} непрерывных функций из C[a, b] является фундаментальной. Поэтому при всех n→∞иm→∞ max |yn (x) − ym (x)| → 0 . (∗) a≤x≤b 62 Если мы зафиксируем x, то последовательность {yn (x)} превратится в числовую последовательность из пространства R. Из условия (∗) вытекает, что она является фундаментальной числовой последовательностью. А это значит, что в силу признака сходимости Больцано-Коши существует lim yn (x) = y(x) . n→∞ Возьмем теперь ε > 0 и выберем для него такое N = N (ε) > 0, при котором неравенство |yn (x) − ym (x)| < ε выполнялось бы при всех x ∈ [a, b] и всех n, m ≥ N . Переходя в этом неравенстве к пределу при m → ∞, получим max |yn (x) − y(x)| ≤ ε a≤x≤b (∗∗) для всех n ≥ N . Следовательно, функция y(x) является пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций {yn (x)}. Из курса математического анализа известно1 , что этот предел есть непрерывная функция. Это означает, что функция y(x) — непрерывная функция. Из неравенства (∗∗) следует, что в пространстве C[a, b] lim ρ(yn , y) = 0. n→∞ В силу этого можно сделать вывод о том, что в пространстве C[a, b] любая фундаментальная последовательность является сходящейся. Следовательно, пространство C[a, b] − полное. Для доказательства следующей теоремы убедимся в истинности следующего утверждения: Утверждение. Если последовательность функций {fn (x)} сходится в пространстве C1 [a, b] к непрерывной функции f (x), а на отрезке [c, d] ⊆ [a, b] равномерно сходится к функции ϕ(x), то на отрезке [c, d] выполняется тождество f (x) ≡ ϕ(x). Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве C1 [a, b] имеют место следующие неравенства: Zd Zb |fn (x) − f (x)| dx ≤ ρ(fn , f ) = c |fn (x) − f (x)| dx → 0 , a Zd |fn (x) − ϕ(x)| dx ≤ max |fn (x) − ϕ(x)| · (d − c) → 0 . ρ(fn , ϕ) = c≤x≤d c Поэтому в силу единственности предела, мы можем сделать вывод, что f (x) ≡ ϕ(x). Что и требовалось доказать. 1 См.,например, Фихтенгольц Г. М. Т. 2, гл. XII, § 2, п. 431,436. 63 Теорема 9.4. Метрическое пространство C1 [a, b] не является полным пространством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на отрезке [a, b] последовательность непрерывных функций {yn (x)} таких, что 0 ≤ yn (x) ≤ 1. Будем предполагать, что при n → ∞ последовательность равномерно сходится к 0 на каждом промежутке [a, c − ε), а на каждом промежутке (c + ε, b] — к 1 (здесь c — фиксированная точка из интервала (a, b). Покажем, что эта последовательность является фундаментальной в пространстве C1 [a, b]. Если взять число ε > 0, то для него можно выбрать число N = N (ε) > 0 такое, что при всех n, m ≥ N будет верно неравенство Zb Zc−ε Zc+ε |yn (x) − ym (x)| dx = |yn (x) − ym (x)| dx + |yn (x) − ym (x)| dx + a a Zb + c−ε |yn (x) − ym (x)| dx ≤ ε + 2ε + ε = 4ε 1 . c+ε Если предположить, что выбранная последовательность функций {yn (x)} сходится в пространстве C1 [a, b] к некоторой непрерывной функции f (x), то в силу доказанного утверждения f (x) должна на каждом промежутке [a, c − ε) быть равной ϕ(x) = 0, а на каждом промежутке (c + ε, b] совпадать с ϕ(x) = 1. Но каким бы ни было значение f (c), функция f (x) не будет непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Следовательно, в пространстве C1 [a, b] существует фундаментальная последовательность непрерывных функций, не имеющая предела в этом пространстве. Поэтому метрическое пространство C1 [a, b] не является полным. Большую роль в математическом анализе играет лемма о вложенных отрезках. Её доказательство построено на свойстве полноты множества действительных чисел. Аналогом этой леммы в метрических пространствах является Лемма о замкнутых шарах. В полном метрическом пространстве M последовательность вложенных в друг друга замкнутых шаров Fn = {x : ρ(x, xn ) ≤ rn }, (n = 1, 2, . . . ), радиусы которых rn стремятся к нулю при n → ∞, имеет общую точку.2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим шары Fn и Fn+m . Центр второго шара xn+m лежит, вместе со всем шаром, в шаре Fn , так что ρ(xn+m , xn ) ≤ rn . Поэтому последовательность центров вложенных шаров x1 , x2 , . . . , xn , . . . является фундаментальной. Так как пространство M полное, то эта последовательность имеет 1 Оценка первого и третьего интеграла вытекает из предположения о характере функций под интегралами и второго неравенства в доказательстве вышеуказанного утверждения. Во втором интеграле подынтегральная функция ограничена единицей, поэтому величина интеграла не больше чем длина отрезка интегрирования. 2 В книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина (см. библиографический список) рассматривается теорема о вложенных шарах, из которой следует справедливость и обратного утверждения: если в метрическом пространстве последовательность вложенных шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общую точку, то пространство является полным. 64 предел x̄. В силу того, что шар Fn является замкнутым множеством1 , а точки последовательности xn , xn+1 . . . содержатся в нём, то и предел x̄ = lim xn+m m→∞ принадлежит шару Fn . Поскольку номер шара n является произвольным, то x0 принадлежит всем шарам Fn . Что и требовалось доказать. В первой главе2 при доказательстве несчётности множества точек отрезка [0, 1] мы использовали лемму о вложенных отрезках. Теперь мы можем показать, что аналогичное утверждение имеет место и для класса полных метрических пространств. Для этого введём следующее определение: Определение 9.4. Точка x0 метрического пространства M называется изолированной, если существует некоторый открытый шар U = {x : ρ(x, x0 ) < r}, который не содержит ни одной точки из M , кроме самой точки x0 . Например, если M есть какое-то множество точек числовой оси (−∞, ∞) с евклидовой метрикой, то точка x0 ∈ M будет изолированной, если существует интервал, содержащий точку x0 и в котором нет больше ни одной другой точки из M . Теорема 9.5. Любое полное метрическое пространство M без изолированных точек несчётно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Множество всех точек пространства M счётно. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности x1 , x2 , . . . , xn , . . . Допустим, что точка y1 — точка из M , отличная от точки x1 . Обозначим через F1 замкнутый шар с центром в точке y1 , не содержащий (ни внутри, ни на границе) точки x1 . Так как y1 неизолированная точка, то внутри этого шара есть другие точки пространства M , отличные от неё. Пусть y2 — внутренняя точка шара F1 и она не совпадает с x2 . Обозначим через F2 замкнутый шар с центром в точке y2 , который целиком содержится в шаре F1 и не содержит точку x2 . Продолжая этот процесс далее, мы получим последовательность вложенных замкнутых шаров F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ . . . , радиусы которых будут стремиться к нулю. При этом шар Fn не содержит точку xn . Общая точка x̄ всех шаров Fn , существующая в силу вышедоказанной леммы, не совпадает ни с одной из точек x1 , x2 , . . . , xn , . . . по построению. Поэтому пространство M нельзя определить с помощью последовательности {xn }. А это и означает, что оно является несчётным. Замечание 9.1. Если отказаться от предположения, что в пространстве M нет изолированных точек, то данная теорема станет неверна. Например, множество точек последовательности рациональных чисел на числовой прямой, сходящейся к некоторому рациональному пределу, образует счётное замкнутое множество, которое можно рассматривать как метрическое пространство с изолированными точками. 1 2 См. пример после определения замкнутого множества (§ 7). См. § 6 этой главы, теорема 6.2. 65 § 10. Пополнение метрического пространства В канторовской теории действительных чисел действительные числа определяются с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел1 . Так как рациональные числа образуют в евклидовой метрике неполное метрическое пространство, то процесс построения Кантором множества действительных чисел можно рассматривать как процесс построения полного метрического пространства. Хаусдорф, обобщив метод Кантора, построил процесс, позволяющий любое неполное метрическое пространство M включить в некоторое полное пространство M ∗ .2 Определение 10.1. Пусть M — метрическое пространство3 . Полное метрическое пространство M ∗ называется пополнением пространства M , если в M ∗ существует подпространство M1 , которое изометрично пространству M и является плотно вложенным в M ∗ , т. е. M̄1 = M ∗ . Возможность построения пополнения метрического пространства даёт теорема Хаусдорфа, опубликованная им в 1914 году. Теорема 10.1. Любое метрическое пространство M имеет пополнение M ∗ , и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из M . Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что любые две фундаментальные последовательности {xn } и {yn } из M , для которых выполняется условие lim ρ(xn , yn ) = 0 , n→∞ находятся в отношении, которое является отношением эквивалентности. Оно рефлексивно, т.к. для любой фундаментальной последовательности4 {xn } очевидно, что lim ρ(xn , xn ) = 0 . Данное отношение симметрично, т.к. также очевидно, что n→∞ lim ρ(xn , yn ) = 0 и lim ρ(yn , xn ) = 0 . И, наконец, из того, что lim ρ(xn , yn ) = 0 n→∞ n→∞ n→∞ и lim ρ(yn , zn ) = 0, следует третье равенство lim ρ(xn , zn ) = 0 . То есть данное n→∞ n→∞ отношение является транзитивным. Поэтому все фундаментальные последовательности, которые можно построить из элементов пространства M , можно разбить на классы эквивалентных последовательностей. При этом если последовательность не входит в класс, то она не может быть эквивалентна ни одной последовательности из этого класса. Из таких классов, которые мы будем обозначать X, Y . . . , мы и будем строить новое пространство M ∗ . Для этого нам нужно определить расстояние r между классами. Выберем в качестве представителей классов фундаментальные последователь1 Cм. Кантор Г. Труды по теории множеств (с. 9 и с. 83). Ему это было легче сделать, чем Кантору, т.к. при определении новых объектов — иррациональных чисел — нужно было ещё определить арифметические операции над ними. 3 Вообще говоря, неполное. 4 И не только фундаментальной. 2 66 ности {xn } в классе X и {yn } в классе Y . Пусть r(X, Y ) = lim ρ(xn , yn ). n→∞ Докажем, что данное определение расстояния корректно, т. е. докажем, что данный предел существует и не зависит от выбора представителей {xn } ∈ X и {yn } ∈ Y . В силу того, что эти последовательности являются фундаментальными, с помощью неравенства четырёхугольника1 |ρ(xn , yn ) − ρ(xn+m , yn+m )| ≤ ρ(xn , xn+m ) + ρ(yn , yn+m ) получаем, что для любого сколь угодного малого положительного числа ε можно найти натуральное число N такое, что для всех n, m > N |ρ(xn , yn ) − ρ(xn+m , yn+m )| ≤ ε . Поэтому действительные числа ρn = ρ(xn , yn ) образуют последовательность, которая удовлетворяет критерию Коши, и, следовательно, имеет предел. Покажем, что этот выбор не зависит от выбора {xn } ∈ X и {yn } ∈ Y . Выберем в каждом из классов ещё по одной фундаментальной последовательности: {x0n } ∈ X и {yn0 } ∈ Y . Применим еще раз неравенство четырёхугольника |ρ(xn , yn ) − ρ(x0n , yn0 )| ≤ ρ(xn , x0n ) + ρ(yn , yn0 ) . Так как последовательности {xn } и {x0n }, а также {yn } и {yn0 } являются эквивалентными последовательностями, то из последнего неравенства вытекает, что lim ρ(xn , yn ) = lim ρ(x0n , yn0 ). n→∞ n→∞ Данное равенство показывает, что определение расстояния между классами не зависит от выбора фундаментальных последовательностей в этих классах. Далее следует проверить, что в M ∗ справедливы аксиомы метрического пространства. Аксиома 1. r(X, Y ) ≥ 0 выполнена по построению. Аксиома 2. r(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y . Очевидно, что если X = Y , то r(X, Y ) = r(Y, Y ) = lim ρ(yn , yn ) = 0 . n→∞ Предположим, что r(X, Y ) = 0. Это значит, что для любой фундаментальной последовательности {xn } ∈ X и любой фундаментальной последовательности {yn } ∈ Y имеет место равенство lim ρ(xn , yn ) = 0. Но тогда последовательности n→∞ {xn } ∈ X и {yn } ∈ Y являются эквивалентными и поэтому класс X должен совпадать с классом Y . Таким образом, если r(X, Y ) = 0, то X = Y . Аксиома 3. r(X, Y ) = r(Y, X) верна по построению. 1 См. § 4 этой главы. 67 Аксиома 4. r(X, Z) ≤ r(X, Y ) + r(Y, Z) . Пусть {xn }, {yn }, {zn } — фиксированные фундаментальные последовательности из классов X, Y, Z соответственно. Так как в метрическом пространстве M имеет место неравенство треугольника, то ρ(xn , zn ) ≤ ρ(xn , yn ) + ρ(yn , zn ). Используя предельный переход при n → ∞, получаем lim ρ(xn , zn ) ≤ lim ρ(xn , yn ) + lim ρ(yn , zn ). n→∞ n→∞ n→∞ Из последнего неравенства и следует, что r(X, Z) ≤ r(X, Y ) + r(Y, Z) . Покажем, что в M ∗ существует подпространство M1 , изометричное пространству M . Каждой точке x ∈ M соответствует некоторый класс эквивалентных последовательностей. В качестве такого класса можно рассматривать совокупность всех последовательностей, сходящихся к x. Если lim x0n = x и lim x00n = x, то n→∞ n→∞ ρ(x00n , x0 ) ≤ ρ(x00n , x) + ρ(x, x0 ). Откуда следует, что lim ρ(x00n , x0 ) = 0. Поэтому сходящиеся к одной точке поn→∞ следовательности эквивалентны. Класс таких последовательностей не является пустым, так как он содержит стационарную последовательность, все члены которой равны x. Если x = lim xn и y = lim yn , то n→∞ n→∞ ρ(x, y) = lim ρ(xn , yn ) . n→∞ Следовательно, сопоставив каждой точке x ∈ M класс x∗ сходящихся к ней фундаментальных последовательностей, мы изометрически отобразим M в пространство M ∗ , полагая r(x∗ , y ∗ ) = ρ(x, y) . Множество таких классов образует пространство M1 , изометричное пространству M и являющееся подпространством пространства M ∗ . Докажем, что M1 плотно в M ∗ . Для этого выберем в M ∗ некоторый класс X. Возьмём в качестве представителя этого класса фундаментальную последовательность x1 , x2 , . . . xn . . . . Рассмотрим в M1 последовательность классов X1 , X2 , . . . Xm . . . Xn . . . , в которой каждый класс Xm определяется стационарной последовательностью (xm , xm , . . . xm ..), т. е. взаимно однозначно соответствует элементу xm ∈ M . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое натуральное число N , что для всех 68 m > N и всех целых неотрицательных чисел p будет выполняться неравенство ρ(xm , xm+p ) < ε. Тогда будет верно и неравенство r(Xm , X) = lim ρ(xm , xn ) ≤ ε . n→∞ Но это означает, что класс X является пределом последовательности классов Xm . Так как классы Xm принадлежат по построению пространству M1 , то из определения следует, что M1 плотно вложено в M ∗ , то есть его замыкание в M ∗ совпадает со всем M ∗ . Далее следует показать, что M ∗ — полное пространство. Пусть X1 , X2 , . . . Xn . . . − фундаментальная последовательность классов из M ∗ . Для каждого класса Xn 1 найдём в пространстве M1 класс Yn такой, что r(Yn , Xn ) < . Представителем n Yn является некоторая стационарная последовательность (yn , yn , . . . yn . . . ), образующий элемент которой yn ∈ M взаимно однозначно соответствует классу Yn . Докажем, что последовательность {yn } является фундаментальной в пространстве M . Из неравенства треугольника и из предположений следует, что ρ(yn , ym ) = r(Yn , Ym ) ≤ r(Yn , Xn ) + r(Xn , Xm ) + r(Xm , Ym ) ≤ 1 1 + . n m Очевидно, что в силу фундаментальности последовательности {Xn } ≤ r(Xn , Xm ) + lim ρ(yn , ym ) = 0 . n, m→∞ Фундаментальная последовательность {yn } определяет в пространстве M ∗ некоторый класс Y . Покажем, что этот класс является в M ∗ пределом последовательности {Xn }. Пусть ε > 0 — некоторое заданное число. Найдём для него такое N > 0, что при всех n > N будет выполняться неравенство r(Y, Xn ) ≤ r(Y, Yn ) + r(Yn , Xn ) = lim ρ(ym , yn ) + m→∞ 1 < ε. n Следовательно, любая фундаментальная последовательность {Xn } ⊂ M ∗ имеет в M ∗ предел. А это и означает, что M ∗ является полным пространством. Нам осталось доказать, что для каждого метрического пространства M с точностью до изометрии существует единственное пополнение M ∗ . Это означает, что если M ∗ и M ∗∗ — два пополнения пространства M , то существует взаимно однозначное отображение f пространства M ∗ на M ∗∗ такое, что если X ∗∗ = f (X ∗ ) и Y ∗∗ = f (Y ∗ ), то r1 (X ∗ , Y ∗ ) = r2 (X ∗∗ , Y ∗∗ )1 . Отображение f определим следующим образом. Пусть X ∗ — произвольный класс из M ∗ . Тогда, по определению пополнения, для последовательности {xn } 1 Здесь r1 — расстояние в M ∗ , а r2 — расстояние в M ∗∗ . 69 элементов из M в изометричном M подпространстве M1 ⊂ M ∗ существует последовательность {Xn∗ }, сходящаяся к X ∗ . Аналогично для этой же последовательности {xn } элементов из M в изометричном M подпространстве M2 ⊂ M ∗∗ существует последовательность {Xn∗∗ }. Так как M ∗∗ − полное пространство, то {Xn∗∗ } сходится к некоторому классу X ∗∗ . При этом X ∗∗ не зависит от выбора последовательности {Xn∗ }, сходящейся к X ∗ . Допустим, что f (X ∗ ) = X ∗∗ . Докажем, что f и есть искомое изометрическое отображение. Выберем в M две последовательности {xn } и {yn }. В силу изометрии между M и M1 расстояние ρ(xn , yn ) совпадает с расстоянием r1 (Xn∗ , Yn∗ ) между их образами {Xn∗ } и {Yn∗ } в M1 . Точно также расстояние ρ(xn , yn ) = r2 (Xn∗∗ , Yn∗∗ ), где {Xn∗∗ } и {Yn∗∗ } — образы {xn } и {yn } в изометричном M пространстве M2 . Предположим, что {Xn∗ } → X ∗ в M ∗ и {Xn∗∗ } → X ∗∗ в M ∗∗ , {Yn∗ } → Y ∗ в M ∗ и {Yn∗∗ } → Y ∗∗ в M ∗∗ . Тогда в силу непрерывности расстояния r1 (X ∗ , Y ∗ ) = lim r1 (Xn∗ , Yn∗ ) = lim ρ( xn , yn ) n→∞ n→∞ и точно так же r2 (X ∗∗ , Y ∗∗ ) = lim r2 (Xn∗∗ , Yn∗∗ ) = lim ρ( xn , yn ). n→∞ n→∞ Следовательно, r1 (X ∗ , Y ∗ ) = r2 (X ∗∗ , Y ∗∗ ) . Что и требовалось доказать. Следствие 10.1. Допустим, что данное метрическое пространство M является частью другого полного метрического пространства M ∗ . Тогда в качестве пополнения M мы можем взять замыкание M̄ в пространстве M ∗ . Так как M̄ — замкнутое подмножество полного пространства M ∗ , то M̄ само является полным пространством. Поскольку оно содержит внутри себя M в качестве плотного подмножества, то оно удовлетворяет данной теореме. А значит, в силу теоремы может рассматриваться как пополнение пространства M . Так как пространство действительных чисел R содержит внутри себя пространство рациональных чисел Q и является его замыканием, то в силу данного следствия пространство R является пополнением пространства Q. § 11. Определение и свойства непрерывных функций в метрическом пространстве Точно так же, как и в классическом анализе, в метрических пространствах важную роль играют непрерывные функции, определение которых аналогично их определению в классическом анализе. 70 Определение 11.1. Функция f (x) с числовыми значениями, определённая на метрическом пространстве M , называется непрерывной в точке x0 , если для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что из условия ρ(x, x0 ) < δ следует |f (x) − f (x0 )| < ε . Возможно и второе определение, эквивалентное первому: функция f (x) непрерывна в точке x0 , если для любой последовательности {xn }, сходящейся к x0 , последовательность {f (xn )} сходится к f (x0 ). Если же функция непрерывна в каждой точке пространства M , то она называется непрерывной на M . Примером непрерывной функции в метрическом пространстве является расстояние от точки x до заданной точки x0 . Чтобы это показать, выберем положительное число ε. И возьмём δ = ε. Рассмотрим точки x1 и x2 такие, что ρ(x1 , x2 ) < δ. Тогда из неравенства треугольника1 |ρ(x1 , x0 ) − ρ(x2 , x0 )| ≤ ρ(x1 , x2 ) < δ = ε . Точно также, как и в классическом анализе, сумма, разность и произведение двух непрерывных функций являются непрерывными функциями. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где знаменатель отличен от нуля. Установим связь между открытыми и замкнутыми множествами и непрерывностью функции. Теорема 11.1. Функция f (x), определённая на метрическом пространстве M , является непрерывной тогда и только тогда, когда для любого числа A множества F1 = {x : f (x) ≤ A} и F2 = {x : f (x) ≥ A} — замкнуты, а множества U1 = {x : f (x) < A} и U2 = {x : f (x) > A} — открыты. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что функция f (x) является непрерывной функцией и докажем, что множество U1 является открытым. Предположим, что точка x0 ∈ U1 и поэтому f (x0 ) < A. Возьмём ε = A − f (x0 ). Так как функция f (x) непрерывна в точке x0 , то существует такой шар S(x0 , δ), для всех точек которого выполняется неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε. В пределах этого шара f (x) < f (x0 ) + ε = A . 1 Его иногда называют вторым неравенством треугольника: модуль разности длин любых двух сторон треугольника не превосходит длины третьей его стороны. 71 А это означает, что весь шар содержится в U1 . А так как x0 — произвольная точка множества U1 , то U1 — открытое множество. Дополнением множества U1 является множество F2 . Следовательно, F2 — замкнутое множество. Точно также можно показать открытость множества U2 . Выберем в U2 произвольную точку x1 . В этой точке значение функции f (x0 ) > A. Поэтому возьмём ε = f (x0 ) − A. Найдётся шар S(x1 , δ1 ), для всех точек которого будет верно неравенство f (x) > f (x0 ) − ε = A . То есть этот шар целиком входит в U2 . Что и доказывает открытость множества U2 . И одновременно подтверждает замкнутость множества F1 . Предположим теперь, что для любого числа A множества U1 = {x : f (x) < A} и U2 = {x : f (x) > A} являются открытыми. Тогда для любой точки x0 ∈ M и для любого числа ε > 0 можно построить множества U1 = {x : f (x) < f (x0 ) + ε} и U2 = {x : f (x) > f (x0 ) − ε}, которые являются открытыми в силу предположения. Так как пересечение двух открытых множеств есть множество открытое, то и пересечение выбранных множеств U1 ∩ U2 = {x : f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε} = {x : − ε < f (x) − f (x0 ) < ε} также открыто. Образованное пересечение содержит как точку x0 , так и некоторый шар S(x0 , δ). Внутри этого шара имеет место неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε , которое и доказывает непрерывность функции f (x) в точке x0 . К сожалению, в произвольном метрическом пространстве не существует аналогов теоремам Вейерштрасса и Кантора, которые имели место для непрерывных функций на отрезке [a, b] в классическом анализе. Чтобы потвердить это, рассмотрим следующий пример. Пусть E — множество непрерывных функций x(t), определённых на отрезке [0, 1] и таких, что x(0) = 1 и 0 ≤ x(t) ≤ 1 при t ∈ [0, 1]. Множество E является замкнутым и ограниченным в полном метрическом пространстве непрерывных 1 функций C[0, 1]. Поставим каждому элементу x ∈ E число f (x) = 1 . R x(t)dt 0 Функция1 f (x) непрерывна на E, так как Z1 x(t)dt непрерывно зависит от x в 0 1 Подобные функции, определенные на множестве функций со значениями в числовом множестве, называются функционалами. 72 C[0, 1] и не обращается в нуль на E. Но одновременно f (x) неограничена на E, так Z1 как интеграл x(t)dt можно сделать сколь угодно малым, если соответствующим 0 образом подобрать x(t) из E. Чтобы аналоги указанных теорем имели место в метрическом пространстве M , необходимо ограничить M с помощью следующих определений. Определение 11.2. Метрическое пространство M называется компактным, если любое бесконечное подмножество M1 ⊂ M содержит фундаментальную последовательность. Так, например, любое бесконечное подмножество M1 на интервале (a, b) согласно лемме Вейерштрасса об ограниченном множестве имеет предельную точку и поэтому содержит фундаментальную последовательность. То есть интервал M = (a, b) является компактным метрическим пространством. Но так как интервал (a, b) не является примером полного пространства, поскольку не содержит все свои предельные точки, то компактное метрическое пространство не может дать полной аналогии с отрезком. Поэтому нам понадобится еще одно ограничение. Определение 11.3. Компактное метрическое пространство, являющееся полным пространством, называется компактом. То есть компакт есть метрическое пространство, в котором каждое бесконечное подмножество содержит сходящуюся последовательность. Примером компакта в метрическом пространстве точек числовой оси с евклидовой метрикой является отрезок [a, b]. И поэтому имеет смысл надеется, что в метрическом пространстве, которое является компактом, будут иметь место свойства непрерывных функций, связанные с ограниченностью и равномерностью. Теорема 11.2. Любая непрерывная функция f (x), определённая на компакте M , является ограниченной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что функция f (x) не ограничена. Тогда для любого натурального числа n можно найти точку xn ∈ M , в которой |f (x)| > n. Последовательность точек {xn } в силу того, что M является компактом, должна содержать сходящуюся подпоследовательность. Если отбросить при необходимости часть точек, то можно предположить, что сама последовательность сходится к некоторой точке x0 ∈ M . Так как f (x) непрерывная функция, то существует открытый шар S(x0 , δ) с центром в x0 , для всех точек которого верно неравенство |f (x) − f (x0 )| ≤ 1. Из этого неравенства следует, что |f (x)| ≤ |f (x0 )| + 1. Одновременно в этом шаре имеются точки последовательности {xn } со сколь угодно большими номерами. И в этих точках функция f (x) принимает сколь угодно большие значения. Из этого противоречия вытекает, что предположение было неверно и функция f (x) не может быть неограниченной. То есть функция f (x) является ограниченной, что и требовалось доказать. 73 Теорема 11.3. Любая непрерывная функция f (x), определённая на компакте M , достигает на M точных верхней и нижней граней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что функция f (x) достигает на M своей точной верхней грани. Допустим, что B — точная верхняя грань значений f (x). Для любого натурального числа n можно найти такую точку xn , в которой верно неравенство 1 0 ≤ B − f (xn ) < . n Предположим, что функция f (x) ни в одной точке компакта M не принимает 1 значения B. Тогда функция ϕ(x) = непрерывна на компакте M и B − f (x) является ограниченной на нём согласно теореме 11.2. Но на множестве точек xn знаменатель функции ϕ(x) стремится к нулю. Поэтому функция ϕ(x) не может быть ограниченной. Данное противоречие показывает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, существует некоторая точка x̄ ∈ M такая, что f (x̄) = B. Теорема доказана1 . Теорема 11.4. Любая непрерывная функция f (x), определённая на компакте M , равномерно непрерывна на нём. То есть, иными словами, для любого ε > 0 cуществует δ = δ(ε) > 0 такое, что из ρ(x, y) < δ следует, что |f (x) − f (y)| < ε. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Найдём ε = ε0 , для которого можно указать две такие последовательности {xn } и {yn }, что расстояние между 1 их точками с одноимёнными номерами ρ(xn , yn ) < и одновременно с этим n |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε0 . Так как последовательность {xn } есть последовательность точек компакта, то она содержит сходящуюся к некоторой точке x0 подпоследовательность. Без ограничения общности рассуждений мы можем полагать, что и сама последовательность {xn } сходится2 к точке x0 . А так как ρ(yn , x0 ) ≤ ρ(yn , xn ) + ρ(xn , x0 ), то и последовательность {yn } также сходится к x0 . А значит, можно найти такой номер N , что для любого n > N точки xn и yn окажутся в такой окрестности точки x0 , в которой будут иметь место неравенства ε0 ε0 |f (xn ) − f (x0 )| < , |f (yn ) − f (x0 )| < . 2 2 Но тогда для этих n ε0 ε0 |f (xn ) − f (yn )| ≤ |f (xn ) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (yn )| < + = ε0 . 2 2 А это противоречит предположению. Теорема доказана. 1 Достижение функцией f (x) точной нижней грани доказывается аналогично. Для этого достаточно (если, конечно, это нужно) выбросить из последовательности некоторое количество точек. 2 74 § 12. Понятие линейного пространства В математическом анализе операция предельного перехода встречается в комбинациях с линейными операциями — сложением элементов и умножением на число. Сами эти операции изучаются в линейной алгебре. Нам понадобится связанное с этими операциями определение линейного пространства 1 . Пусть R — множество действительных чисел, а V — некоторое множество элементов. Для всех элементов u, v, w, . . . этого множества определены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие двум группам аксиом. Первая группа аксиом описывает свойства сложения: (I) u + v = v + u (коммутативность сложения). (II) (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность сложения). (III) Существует нейтральный элемент 0 такой, что u + 0 = u для всех u ∈ V . (IV) Для каждого элемента u ∈ V существует противоположный элемент (−u) такой, что u + (−u) = 02 . В линейной алгебре доказывается, что нейтральный и противоположный элементы определяются единственным образом. Вторая группа аксиом связывает операции сложения и умножения на число: (V) 1 · u = u. (VI) α(βu) = (αβ)u (для всех α, β ∈ R, u ∈ V ). (VII) (α + β)u = αu + βu (для всех α, β ∈ R, u ∈ V ). (VIII) α(u + v) = αu + αv (для всех α ∈ R, u, v ∈ V ). Определение 12.1. Множество элементов V , для любых элементов которого определены операции сложение и умножение на действительное число, удовлетворяющие аксиомам (I) - (VIII), называется линейным пространством. Определение 12.2. Подмножество L элементов линейного пространства V называется линейным подпространством в V , если операции сложения элементов L и умножения их на действительные числа приводят всегда к элементам из L. Примером линейного пространства является множество Rn наборов из n чисел u = (u1 , u2 , . . . , un ) c операциями, определёнными в координатной форме: если u = (u1 , u2 , . . . , un ) и v = (v1 , v2 , . . . , vn ) , то по определению u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) , αu = (αu1 , αu2 , . . . , αun ) . 1 Подробнее изложение этого вопроса вы можете найти в книге Головиной Л. И. «Линейная алгебра и ее приложения». 2 На языке алгебры выполнение аксиом (I)—(IV) для элементов V означает, что множество V является коммутативной группой относительно операции сложения. 75 В Rn всегда можно найти n элементов e(1) , e(2) , . . . , e(n) , для которых линейная комбинация C1 e(1) + C2 e(2) + · · · + Cn e(n) равна нулю только тогда, когда все коэффициенты C1 , C2 , . . . , Cn одновременно равны нулю и в то же время для любых n + 1 элементов e(1) , e(2) , . . . , e(n) , e(n+1) существуют коэффициенты, не равные нулю одновременно и такие, что C1 e(1) + C2 e(2) + · · · + Cn e(n) + Cn+1 e(n+1) = 0 . В силу этого свойства линейное пространство Rn называется n-мерным пространством. Функциональные пространства непрерывных функций C[a, b] и C1 [a, b] также являются линейными пространствами с естественными операциями сложения и умножения на число. Но в отличие от Rn , эти пространства бесконечномерные. При исследовании соответствия между двумя линейными пространствами важную роль играет понятие изоморфизма. Определение 12.3. Два линейных пространства V1 и V2 называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения и умножения на число. То есть, если элементу u1 ∈ V1 соответствует элемент u2 ∈ V2 , а элементу v1 ∈ V1 соответствует элемент v2 ∈ V2 , то элементу u1 + v1 ∈ V1 соответствует элемент u2 + v2 ∈ V2 . И для любого действительного числа α элементу αu1 ∈ V1 соответствует элемент αu2 ∈ V2 . Любые два n-мерных пространства являются изоморфными, причём каждое из них изоморфно рассмотренному выше пространству Rn . § 13. Линейные нормированные пространства Совмещение идей линейной алгебры с метрическими свойствами пространств привело С. Банаха1 к определению нового класса пространств. Определение 13.1. Множество E элементов x, y, . . . называется линейным нормированным пространством, если: 1. E является линейным пространством; 2. E является метрическим пространством, в котором расстояние ρ(x, y) и линейные свойства связаны условиями: (2.1) расстояние ρ(x, y) не меняется при сдвиге, то есть ∀ x, y, z ∈ E ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) ; (2.2) расстояние ρ(x, y) подчинено «условию однородности»: ∀ α ∈ R, x ∈ E ρ(αx, 0) = |α|ρ(x, 0) . Из свойства (2.1) вытекает, что расстояние между двумя элементами равно расстоянию от их разности до нуля: ρ(x, y) = ρ(x − y, y − y) = ρ(x − y, 0) . 1 Стефан Банах (Stefan Banach, 1892-1945) — польский математик. Один из создателей математической школы современного функционального анализа. 76 Поэтому метрические свойства каждого элемента в линейном нормированном пространстве определяются его расстоянием до нуля. Это расстояние имеет собственное имя. Определение 13.2. Расстояние ρ(x, 0) называется нормой элемента x и обозначается kxk . Докажем следующую теорему о свойствах нормы. Теорема 13.1. Если x является элементом линейного нормированного пространства E, то его норма kxk удовлетворяет следующим свойствам: (a) если x 6= 0, то kxk > 0, k0k = 0 ; (б) kαxk = |α| · kxk ; (в) kx + yk ≤ kxk + kyk . Здесь y ∈ E, а α — действительное число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения нормы, а также первой и второй аксиом метрики вытекает, что если x 6= 0, то kxk = ρ(x, 0) > 0 . Если же x = 0, то k0k = ρ(0, 0) = 0 . Из свойства (2.2) следует, что kαxk = ρ(αx, 0) = |α|ρ(x, 0) = |α| · kxk . Для того чтобы доказать свойство (в), воспользуемся свойством (2.1) и четвёртой аксиомой метрики kx + yk = ρ(x + y, 0) ≤ ρ(x + y, y) + ρ(y, 0) = ρ(x, 0) + ρ(y, 0) = kxk + kyk . Справедливо и обратное утверждение: Теорема 13.2. Если каждому элементу x линейного пространства E соответствует число kxk, которое удовлетворяет свойствам: (a) если x 6= 0, то kxk > 0, k0k = 0 ; (б) kαxk = |α| · kxk ; (в) kx + yk ≤ kxk + kyk , то в пространстве E можно ввести метрику по формуле ρ(x, y) = kx − yk и, следовательно, пространство E является линейным нормированным пространством. Здесь, как и выше, y ∈ E, а α — действительное число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале, что формула ρ(x, y) = kx − yk превращает пространство E в метрическое пространство. Для этого надо проверить выполнение аксиом метрики. Если элементы x, y ∈ E и x 6= y, то x − y 6= 0 и из свойства (а) следует, что kx − yk > 0. Поэтому ρ(x, y) = kx − yk > 0 77 что доказывает истинность первой аксиомы метрики. В случае же равенства x = y из того же свойства (а) вытекает ρ(x, y) = ρ(x, x) = kx − xk = k0k = 0 . Из свойства (б) следует истинность третьей аксиомы метрики: ρ(x, y) = kx − yk = k(−1)(y − x)k = | − 1| · ky − xk = ρ(y, x) . Свойство нормы (в) позволяет доказать справедливость четвёртой аксиомы метрики: ρ(x, y) = kx − yk = kx − z + z − yk ≤ kx − zk + kz − yk = ρ(x, z) + ρ(z, y) . Покажем, что данная метрика обладает свойствами (2.1) и (2.2): ρ(x + z, y + z) = kx + z − (y + z)k = kx − yk = ρ(x, y) , ρ(αx, 0) = kαx − 0)k = kαxk = |α| · kx − 0k = |α|ρ(x, 0) . Замечание 13.1. Следует заметить, что именно эти свойства нормы приняты в большинстве учебников за определение линейного нормированного пространства: линейное пространство с нормой, удовлетворяющей условиям (а) − (в), называется линейным нормированным пространством. Замечание 13.2. Вводя в линейном пространстве для двух векторов понятие нормы как расстояния между этими векторами, мы должны быть уверены, что это расстояние будет равно длине вектора разности между этими векторами. Так как это равенство соответствует еще и нашим житейским представлениям о расстоянии. Для этого разность между векторами не должна зависеть от самих векторов. Именно поэтому так важно выполнение приведённого выше условия ρ(x, y) = ρ(x − y, 0) . Рассмотрим пример, который показывает, что несоблюдение этого условия не даёт превратить линейное метрическое пространство в нормированное. Пусть X есть некоторое множество точек плоскости, а P — фиксированная выбранная точка. Определим на X метрику d : X × X → R следующим образом: kx − yk, x − P = λ(y − P ) ; d(x, y) = kx − P k + kP − yk, x − P 6= λ(y − P ) . Здесь kx − yk — евклидова метрика на плоскости. Эта метрика называется французской железнодорожной метрикой1 . Своё название эта метрика получила из-за очень централизованно проложенной железнодорожной сети Франции (особенно в начальный период создания), которая послужила прообразом данной метрики. 1 См. сайт энциклопедии Википедия ru.wikipedia.org/wiki. 78 Если воспринимать множество X за множество городов x и y, связанных с P — Парижем железнодорожными путями, то метрика d(x, y) задаёт расстояние между этими городами. Если эти города лежат с Парижем на одной прямой, то расстояние между городами определяется естественным образом, иначе оно равно сумме расстояний от этих городов до Парижа. Данная метрика превращает множество X в метрическое пространство, которое одновременно является и линейным пространством. Покажем, что в этом пространстве нельзя ввести норму. Рассмотрим в «сети дорог» два «города» x (1, 2) и y (2, 1), не лежащие с «Парижем» P (0, 0) на одной прямой. Согласно метрике расстояние между ними p p √ d(x, y) = (1 − 0)2 + (2 − 0)2 + (0 − 2)2 + (0 − 1)2 = 2 5. В то же время d(x − y, P ) = p √ (−1 − 0)2 + (1 − 0)2 = 2. Получаем, что d(x, y) 6= d(x − y, P ) . Из этого примера видно, что не каждое линейное метрическое пространство является линейным нормированным пространством. Однако интересующие нас метрические пространства C[a, b] и C1 [a, b] являются примерами линейных нормированных пространств. В пространстве C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] расстояние вводилось по формуле ρ(f1 , f2 ) = max |f1 (x) − f2 (x)| . a≤x≤b Очевидно, что свойства (2.1) и (2.2) выполняются при данном определении1 . Норма элемента kf k в пространстве C[a, b] определяется с помощью формулы kf k = ρ(f, 0) = max |f (x)| . a≤x≤b В пространстве C1 [a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] с расстоянием, опредёленным формулой Zb |f1 (x) − f2 (x)| dx , ρ(f1 , f2 ) = a также имеют место свойства (2.1)— (2.2). А норма элемента kf k в пространстве C1 [a, b] определяется по формуле Zb kf k = ρ(f, 0) = |f (x)| dx . a 1 Доказательство этого факта полностью повторяет две последние строчки в доказательстве теоремы 2.2. 79 Рассмотрим некоторые общие свойства линейных нормированных пространств, связанные с понятием сходимости. Определение 13.3. Последовательность {xn } называется сходящейся1 в линейном нормированном пространстве к элементу x, если lim kxn − xk = 0 . n→∞ Покажем, что операции сложения и умножения на число являются замкнутыми относительно операции предельного перехода. Лемма 13.1. Если при n → ∞ xn → x и yn → x, то xn + yn → x + y. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидность этого полностью вытекает из свойства нормы (в) kxn + yn − (x + y)k = k(xn − x) + (yn − y)k ≤ kxn − xk + kyn − yk → 0 . Лемма 13.2. Если при n → ∞ xn → x и αn → α, то αn xn → αx. Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное утверждение является истинным в силу свойств нормы (б) и (в) kαn xn − αxk = kαn xn − αn x + αn x − αxk = kαn (xn − x) + (αn − α)xk ≤ ≤ |αn |kxn − xk + |αn − α|kxk → 0 . Следует заметить, что два изоморфных линейных пространства могут иметь разные нормировки. Например, C[a, b] и C1 [a, b]. При этом если линейные пространства как линейные изоморфны и как метрические пространства изометричны, то они называются линейно изометричными. Например, если f (x) ∈ C[0, 1], а f (3x) ∈ C[0, 3], то формула f (x) ←→ f (2x), устанавливая взаимно однозначное соответствие между пространствами C[0, 1] и C[0, 0, 5], доказывает их линейную изометричность. Если же f (x) ∈ C1 [0, 2], а f (2x) ∈ C1 [0, 1], то для того чтобы доказать, что пространства C1 [0, 2] и ∈ C1 [0, 1] линейно изометричны, достаточно установить взаимно однозначное соответствие с помощью правила2 f (x) ←→ 2f (2x). § 14. Пополнение линейного нормированного пространства Так как линейное нормированное пространство E является метрическим пространством, то оно может быть полным или неполным. Если E неполное, то его можно пополнить, включив в более широкое полное метрическое пространство Ē. Но так как пополнение линейного нормированного пространства должно само быть линейным нормированным пространством, то в пополнении должны быть определены линейные операции, удовлетворяющие свойствам линейного пространства и связанные с расстоянием свойствами (2.1)-(2.2). 1 Данное определение естественным образом связано с определением сходимости в метрическом пространстве, так как расстояние от точки x до точки y ρ(x, y) = kx − yk. 2 Часто вместо термина «линейная изометрия» используют менее точный, но короткий — «изоморфизм». 80 Предположим, что E — линейное нормированное пространство. Определим в нём понятие фундаментальной последовательности. Определение 14.1. Последовательность {xn } называется фундаментальной последовательностью в нормированном пространстве, если для любого числа ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что при всех n > N, m > N выполняется неравенство kxn − xm k < ε. Из построения пополнения метрического пространства1 следует, что две фундаментальные последовательности {xn } и {x0n }, для которых lim kxn − x0n k = 0, n→∞ являются эквивалентными. А множество классов X, эквивалентных фундаментальных последовательностей {xn }, порождает пространство Ē. Если мы сложим почленно две фундаментальные последовательности x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . и y1 , y 2 , . . . , y n , . . . , то полученная последовательность x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn , . . . также будет фундаментальной, так как k(xn + yn ) − (xm + ym )k ≤ kxn − xm k + kyn − ym k . Если при этом мы заменим последовательность {xn } на эквивалентную ей последовательность {x0n }, а вместо последовательности {yn } возьмём эквивалентную ей последовательность {yn0 }, то мы получим последовательность {x0n + yn0 }. Эта последовательность, как следует из неравенства k(x0n + yn0 ) − (xn + yn )k ≤ kx0n − xn k + kyn0 − yn k , будет эквивалентна последовательности {xn + yn }. Точно также можно утверждать, что если фундаментальная последовательность {x0n } эквивалентна фундаментальной последовательности {xn }, то последовательность {λx0n } будет также фундаментальной последовательностью, эквивалентной фундаментальной последовательности {xn }, что следует из равенства kλx0n − λxn k = kλ(x0n − xn )k = |λ| · kx0n − xn k . Учитывая вышесказанное, мы можем ввести линейные операции над элементами пространства Ē. Выберем в классе X фундаментальную последовательность {xn }, а в классе Y фундаментальную последовательность {yn }. Суммой классов X и Y назовём класс, который содержит фундаментальную последовательность {xn }+{yn }. Обозначим этот класс как X +Y . Как следует из вышесказанного, данное определение 1 См. § 10 данной главы. 81 корректно, так как результат операции не зависит от выбора последовательностей {xn } и {yn } в соответствующих классах. Аналогично определяется умножение класса X на действительное число λ: под классом λX понимают тот класс, который содержит фундаментальную последовательность {λxn }. Как следует из предыдущих рассуждений, результат операции не зависит от выбора последовательности {xn } в классе X. Так как линейные операции сложения классов и умножения класса на число сводятся к линейным операциям над элементами исходного линейного пространства E, то введённые операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. Так, например, класс 0 состоит из всех фундаментальных последовательностей пространства E, сходящихся к нулю. Далее нам следует определить расстояние между классами и проверить его соответствие свойствам (2.1)−(2.2). Если {xn } — произвольная фундаментальная последовательность из класса X, а {yn } — некоторая фундаментальная последовательность из класса Y , то расстояние между классами X и Y логично определить с помощью формулы r(X, Y ) = lim ρ(xn , yn ) . n→∞ Зафиксируем в классах X, Y, Z соответствующие фундаментальные последовательности {xn }, {yn }, {zn }. Рассмотрим влияние сдвига между классами на расстояние r(X + Z, Y + Z) = lim ρ(xn + zn , yn + zn ) = lim ρ(xn , yn ) = r(X, Y ). n→∞ n→∞ Таким образом, расстояние между классами удовлетворяет свойству (2.1). Точно также r(λX, 0) = lim ρ(λxn , 0) = |λ| · lim ρ(xn , 0) = |λ|r(X, 0). n→∞ n→∞ Поэтому имеет место и свойство (2.2). Следовательно, построенное пространство Ē является линейным нормированным пространством и как полное метрическое пространство является пополнением исходного линейного нормированного пространства E. § 15. Понятие фактор-пространства данного пространства Одним из способов построения пополнения линейного нормированного пространства является построение так называемого фактор-пространства, о котором и будет рассказано в этом параграфе. Пусть L — подпространство линейного пространства V . Элементы x и y будем называть эквивалентными относительно L, если их разность x−y принадлежит L. То, что данное отношение является отношением эквивалентности, следует из проверки свойств отношения эквивалентности. Так как L — подпространство, 82 то оно содержит элемент 0. Поэтому данное отношение обладает свойством рефлексивности, так как для любого элемента x ∈ E разность x − x ∈ L. Если разность x − y принадлежит L, то ему принадлежит и разность y − x, поскольку линейное подпространство содержит противоположный элемент к данному. А значит, отношение является и симметричным. Если же элементы x и y порознь эквивалентны третьему элементу z ∈ E, то x − y = (x − z) − (y − z) ∈ L. Таким образом, x и y эквивалентны между собой. Следовательно, данное отношение обладает и свойством транзитивности. Поэтому всё пространство V можно разбить на классы взаимно эквивалентных элементов так, что два элемента x и y попадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Подпространство L само образует один из классов. Если класс содержит элемент x0 , то он содержит и все суммы вида x0 + l, где l пробегает всё подпространство L. Классы эквивалентных элементов будем обозначать X, Y, . . . Покажем, что множество классов эквивалентности образует линейное пространство. Для этого нам понадобится определить линейные операции над классами. Определим сумму классов X и Y . Выберем в классе X произвольный элемент x, а в классе Y произвольный элемент y. Так как сумма z = x + y лежит в некотором классе Z, то его логично назвать суммой классов X и Y . Данное определение является корректным в силу своей однозначности: если мы заменим элемент x на эквивалентный ему элемент x + l (l ∈ L), а элемент y на эквивалентный ему элемент y +l0 (l0 ∈ L), то сумма x+y заменится элементом (x+y)+(l+l0 ), эквивалентным элементу x + y. Умножение класса X на действительное число λ определяется аналогично: класс λX состоит из всех элементов, эквивалентных элементу λx, где x — любой фиксированный элемент класса X. Единственность этой операции вытекает из того, что, меняя элемент x на эквивалентный ему элемент x + l (l ∈ L), мы получаем элемент λ(x + l) = λx + λl, эквивалентный элементу λx, так как λl ∈ L. Поскольку обе линейные операции над классами сводятся к линейным операциям над элементами пространства V , то введённые операции автоматически удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. В частности, само подпространство L является нулём в полученном пространстве классов. Построенное из данных классов линейное пространство и является тем самым фактор-пространством пространства V по его подпространству L и обозначается V /L. Сформулируем и докажем две теоремы о свойствах фактор-пространства. Теорема 15.1. Если V — линейное нормированное пространство, а L — его замкнутое подпространство, то фактор-пространство V /L также является линейным нормированным пространством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства утверждения данной теоремы 83 достаточно вести норму в фактор-пространстве V /L и проверить, что она удовлетворяет свойствам нормы (а)-(в). Пусть X ∈ V /L. Выберем в качестве его нормы kXk = inf kxk . x∈X Проверим, что этот выбор удовлетворяет свойствам нормы. (а) Так как 0 ∈ L, то kLk = 0. Докажем, что kXk > 0, если X 6= L. Если kXk = 0, то в классе X существует последовательность {xn }, для которой при n → ∞ kxn k → 0. Рассмотрим произвольный элемент x класса X. Разность x−xn = ln ∈ L и при n → ∞ x−xn → x. А так как L — замкнутое подпространство, то x ∈ L, а значит, X = L, что противоречит предположению. Следовательно, если X 6= L, то kXk > 0. (б) kλXk = inf kzk = inf kλxk = |λ| inf kxk = |λ|kXk . z∈λX x∈X (в) kX + Y k = inf kzk = z∈X+Y x∈X inf x∈X, y∈Y kx + yk ≤ inf x∈X, y∈Y {kxk + kyk} = = inf kxk + inf kyk = kXk + kY k . x∈X y∈Y Таким образом, теорема доказана. Теорема 15.2. Если V — полное линейное нормированное пространство, а L — его замкнутое подпространство, то фактор-пространство V /L также является полным линейным нормированным пространством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в V /L фундаментальную последовательность классов X1 , X2 , . . . , Xn , . . . Для фиксированного числа k найдём номер nk такой, чтобы при любом натуральном m выполнялось неравенство 1 kXnk+m − Xnk k < k . 2 Рассмотрим данное неравенство при m = 1: 1 kXnk+1 − Xnk k < k . 2 Выберем в классе Xn1 произвольный элемент x1 . Так как класс Xn2 − Xn1 состоит из всевозможных разностей x − x1 , где x пробегает класс Xn2 , то мы можем найти элемент x2 ∈ Xn2 такой, чтобы выполнялось неравенство kx2 − x1 k < 1. Далее точно также найдем элемент x3 ∈ Xn3 , для которого норма разности 1 kx3 − x2 k < . 2 Продолжая процесс подобным образом, мы выберем элемент xk+1 из класса Xnk+1 1 такой, что kxk+1 −xk k < k−1 . В силу построения последовательность {xk } является 2 фундаментальной. А так как по условию пространство V является полным, то полученная последовательность сходится к некоторому элементу x. Предположим, что X является тем классом, который содержит элемент x. Тогда при k → ∞ kXnk − Xk = inf xk ∈Xnk , x∈X kxk − xk ≤ kxk − xk → 0 . 84 Следовательно, последовательность классов Xnk сходится к классу X. Но тогда и вся последовательность Xn в силу её фундаментальности сходится к классу X. Что и означает, что фактор-пространство V /L является полным нормированным пространством. Для того чтобы показать, как построить пополнение линейного нормированного пространства, нам понадобится следующее определение. Определение 15.1. Число kxk, соответствующее каждому элементу x из линейного пространства V и удовлетворяющее свойствам нормы (б) kαxk = |α| · kαxk и (в) kx + yk ≤ kxk + kyk, но для которого свойство (а) не выполняется1 , называется полунормой элемента x. При этом само пространство V называется линейным полунормированным пространством. В качестве примера рассмотрим пространство R[a, b] функций f , определённых на конечном отрезке [a, b], для каждой из которых интеграл Zb |f (x)| dx сходится. Данное пространство является линейным, т.к. и сумма двух a любых функций, и произведение любой из функций на произвольное действительное число являются функциями из этого пространства. Выберем Zb kf k = |f (x)| dx . a Покажем, что kf k является полунормой этого пространства. Рассмотрим функцию 1, если x = a ; f (x) = 0, если x ∈ (a, b] . Данная функция не равна тождественно нулю на отрезке [a, b]. А число Zb kf k = |f (x)| dx = 0 2 . a Проверим свойство однородности (б): для всех f ∈ R[a, b] и для всех α ∈ R получаем Zb Zb kαf k = |αf (x)| dx = |α| |f (x)| dx = |α|kf k . a 1 2 a То есть существуют элементы x 6= 0, для которых kxk = 0. Данный результат вытекает из определения интеграла. 85 Осталось показать, что и неравенство треугольника также имеет место: Zb kf + gk = Zb |f (x) + g(x)| dx ≤ a a Zb Zb |f (x)| dx + = a (|f (x)| + |g(x)|) dx = |g(x)| dx = kf k + kgk . a Таким образом, число kf k является полунормой, а не нормой в рассмотренном пространстве и поэтому само пространство является полунормированным. Замечание 15.1. Заметим, что если вместо пространства R[a, b] рассмотреть пространство непрерывных функций C1 [a, b], то введённая в примере полунорма Zb kf k будет нормой для всех f ∈ C1 [a, b]. Так как если kf k = 0, то |f (x)| dx = 0. a Но |f (x)| есть неотрицательная и непрерывная функция на отрезке [a, b]. Поэтому f (x) ≡ 0 для всех x ∈ [a, b]1 . Покажем, как можно «исправить» полунормированное пространство, перейдя от него к нормированному. Предположим, что V — линейное полунормированное пространство. Рассмотрим совокупность всех отличных от нуля элементов x ∈ V , для которых полунорма kxk = 0. Эта совокупность элементов образует замкнутое подпространство L. Образуем фактор-пространство V /L, элементами которого будут классы из элементов исходного пространства V , эквивалентные относительно L. Все элементы одного класса X имеют одну и ту же полунорму, так как kx + lk ≤ kxk + klk = kxk , kxk = kx + l − lk ≤ kx + lk + klk = kx + lk . Определим норму класса X как общее значение полунорм всех элементов этого класса. Свойства нормы (б) и (в) имеют место по построению, так как они являются свойствами полунормы для каждого элемента x ∈ X. Норма подпространства L как класса равна 0. Поэтому, если kXk = 0, то это означает, что все элементы x ∈ X имеют полунорму, равную нулю, то есть X совпадает с L. Следовательно, свойство нормы (а) также выполняется для введённой нормы. Поэтому построенное фактор-пространство V по замкнутому подпространству L элементов с нулевой полунормой является линейным нормированным пространством V /L. Из этого построения следует, что если мы хотим построить пополнение линейного нормированного пространства V , то нам нужно рассмотреть в V пространство Ф 1 Так как если хотя бы в одной точке x0 ∈ [a, b] неотрицательная функция f (x) непрерывна и f (x0 ) > 0, то Zb |f (x)| dx > 0. (См., например, Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1, п. 28.1.) a 86 всех фундаментальных последовательностей из элементов пространства V . Так как в пространстве Ф существуют фундаментальные последовательности {xn }, сходящиеся к нулю (но сами отличные от нуля), то пространство Ф обладает полунормой k{xn }k = lim xn = 0 . n→∞ Выделим в Ф подпространство L тех подпоследовательностей, которые сходятся к нулю. Рассмотрим в качестве классов взаимно эквивалентных элементов классы эквивалентных фундаментальных последовательностей. Они и образуют факторпространство Ф/L, которое уже будет полным нормированным пространством. Его-то и можно взять в качестве пополнения исходного линейного нормированного пространства V . § 16. Комментарии ко второй главе 1. Включение в данное пособие элементов метрических и нормированных пространств, традиционно излагающихся в курсах функционального анализа, имеет несколько причин: ? Понятия, которые используются в последующих главах, невозможно было бы ввести без использования определённых в этой главе понятий и терминологии. ? Дать возможность читателю познакомиться с иной трактовкой основных понятий теории метрических и нормированных пространств, взятой из ставшего библиографической редкостью учебника Г. Е. Шилова1 «Математический анализ. Специальный курс» и несколько отличной от изложения, принятого в классических пособиях2 . Поскольку автор надеется, что его читатели продолжат самостоятельно изучение теории функций действительного переменного и функционального анализа, то они в дальнейшем познакомятся с этими книгами. ? Создать читателю минимальный комфорт, не отсылая его за изучением данных понятий к списку литературы. 2. При написании данной главы были использованы следующие работы: ? Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. ? Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. ? Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. ? Скворцов В. А. Примеры метрических пространств. ? Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. 3. Рисунки в данной главе взяты из работ: ? Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. 1 Шилов Г. Е. (1917-1975) — советский математик. Основные работы в области теории функций действительного переменного и функционального анализа, а также теории обобщенных функций и теории дифференциальных уравнений в частных производных. 2 Cм., например, Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа; Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. 87 ? Скворцов В. А. Примеры метрических пространств. ? Хаусдорф Ф. Теория множеств. 4. Теоретические упражнения, а также их решения1 , взяты из работ: ? Скворцов В. А. Примеры метрических пространств. ? Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? 5. Пример метрического пространства, не являющегося нормированным, взят из статьи о французской железнодорожной метрике на сайте Wikipedia. Глава 3 Введение в теорию интеграла Классическое определение интеграла, введённое Коши и Риманом2 в девятнадцатом столетии, является достаточным, если его применять только к непрерывным или кусочно-непрерывным функциям. А следовательно, его вполне хватает для решения достаточно большого числа задач математики и физики. Но для развития таких областей математики и физики, как теория вероятностей, уравнения математической физики, аэро- и гидродинамика, квантовая физика (а также многих других) это определение оказывается недостаточным. Мы рассмотрим только одну из проблем классического определения интеграла. Во второй главе было показано, что пространство C1 [a; b] функций, непрерывных на отрезке [a; b] с метрикой Zb |f (x) − g(x)| dx, ρ(f, g) = a не является полным. То есть существуют фундаментальные последовательности, не имеющие предела в данном пространстве. Данное определение интеграла не позволяет интегрировать большинство классов разрывных функций. Поэтому только построение новой конструкции интеграла, более широкой, чем интеграл Римана, даёт возможность найти такой класс функций, который будет пополнением пространства C1 [a; b] в указанной метрике3 . § 1. Множества меры нуль и множества полной меры Нам понадобится изучить некоторый класс множеств, расположенных на отрезке [a; b]. Для этого определим понятие покрытия множеств интервалами. 1 См. в конце пособия. Коши Огюст (Cauchi Augustin Louis, 1789-1857) — французский математик. Один из основоположников классического математического анализа. Риман Бернгард (Georg Friedrich-Bernhard Riemann, 1826-1866) — немецкий математик. Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана. Основоположник большого числа разделов в таких математических дисциплинах, как теория функций комплексного переменного, топология, аналитическая теория чисел, тригонометрические ряды. 3 Помимо проблемы полноты естественно существуют и другие проблемы, решение которых привело к интегралу нового типа. О них можно прочесть, в частности, в введении книги, написанной Гуревичем Б. Л. и Шиловым Г. Е. (см. библиографический список). 2 88 Определение 1.1. Множество A, лежащее на отрезке [a; b], покрыто системой интервалов {Bα }, если каждая точка множества A является внутренней точкой хотя бы одного из интервалов Bα . Для замкнутого множества A имеет место лемма Бореля1 о конечном покрытии: из любого покрытия множества A системой интервалов {Bα } можно выделить покрытие из конечного числа интервалов данной системы2 . Введём теперь определение интересующих нас множеств. Определение 1.2. Множество A, лежащее на отрезке [a; b], называется множеством меры нуль, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 его можно покрыть конечной или счётной системой интервалов B1 , B2 , . . . , сумма длин которых не превосходит ε. Примером существования таких множеств является доказательство следующей теоремы. Теорема 1.1. Любое счётное множество точек является множеством меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество X = {x1 , x2 , . . . } — счётное ε множество и задано число ε > 0. Покроем точку x1 интервалом, длина которого , 2 ε точку x2 — интервалом длиной , продолжая этот процесс, точку xn — интервалом 4 ε ε ε ε длиной n , и так далее. В результате система интервалов с длинами , . . . , n , . . . 2 2 4 2 покрывает всё множество X. Общая же сумма длин интервалов этой системы не больше, чем ε ε ε ε 2 + + ··· + n + ··· = = ε. 2 4 2 1 − 12 В частности, множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел являются примерами множеств меры нуль. В то же время отрезок [a; b] есть пример множества, которое не есть множество меры нуль. Если, пользуясь определением, покрыть отрезок счётной системой интервалов, то согласно лемме Бореля из этого покрытия можно будет выделить конечную систему интервалов, покрывающую отрезок и имеющую сумму длин этих интервалов, бóльшую, чем длина отрезка b − a. Замечание 1.1. В данном определении множества меры нуль покрытие множества интервалами можно было заменить на покрытие множества отрезками или любыми промежутками, с включенными или исключенными концами. Это можно объяснить следующим образом. Предположим, что есть покрытие множества X системой промежутков с общей длиной, меньшей чем ε. Мы можем заменить каждый промежуток системы с номером n на содержащий его интервал, длина ε которого не больше чем на n превышает длину n−го промежутка. При этом 2 1 Борель Эмиль (Felix Edouard Justin Emile Borel, 1871 — 1956) — французский математик. Один из создателей математической теории меры и её приложений в теории вероятностей. 2 См., например, Фихтенгольц Г. М. Т. 1, гл. II, § 5, п. 88. 89 мы получим покрытие множества X системой интервалов с общей суммой длин, не превосходящей 2ε. Поэтому, если множество X можно покрыть системой промежутков со сколь угодно малой общей длиной, то это множество также можно покрыть и системой интервалов с общей длиной также сколь угодно малой. А это и означает, что множество X является множеством меры нуль. Приведём пример существования замкнутого множества, имеющего меру нуль. Для этого рассмотрим множество A всех точек отрезка [0; 1], десятичное разложение которых не содержит цифру 5. Это множество строится следующим образом: разделим отрезок [0; 1] на 10 равных частей и выбросим из него интервал (0, 4; 0, 6). Затем каждый из оставшихся отрезков первого ранга: [0; 0, 1], . . . , [0, 3; 0, 4], [0, 6; 0, 7], . . . , [0, 9; 1] делим на 10 равных частей и выбрасываем на каждом из них два средних интервала вместе с разделяющей их точкой, т. е. из отрезка [0; 0, 1] — интервал (0, 04; 0, 06), из отрезка [0, 1; 0, 2] — интервал (0, 14; 0, 16) и т. д. Далее каждый из оставшихся отрезков второго ранга делим на 10 равных частей и выбрасываем на каждом из них два средних интервала с разделяющей их точкой и т. д. То, что получившееся после выбрасывания интервалов множество A является замкнутым множеством, доказывается точно также, как и в случае канторова множества1 . Покажем, что множество A является множеством меры нуль. Для этого найдем общую сумму длин выброшенных интервалов: 0, 2 + 0, 16 + 0, 128 + · · · + 0, 2 · (0, 8)n + · · · = 0, 2 = 1. 1 − 0, 8 Из сходимости данного числового ряда следует, что мы можем для любого достаточно малого числа ε найти такой номер n, что после выбрасывания n указанных интервалов с общей длиной 1 − ε общая сумма длин оставшихся интервалов, покрывающих множество A, окажется меньше, чем выбранное число ε. Следовательно, данное замкнутое множество является множеством меры нуль. Одновременно данный пример, в котором существенную роль играла схема построения канторова множества и его замкнутости, доказывает, что канторово множество также имеет меру нуль. Это означает, что множество, эквивалентное по мощности отрезку, может иметь меру нуль. В дальнейшем нам понадобится следующее свойство множеств меры нуль: Лемма 1.1. Объединение конечной или счётной совокупности множеств меры нуль является множеством меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай счётной совокупности множеств X1 , X2 , . . . , Xn , . . . меры нуль. Выберем положительное число ε. Покроем мноε жество X1 интервалом, длина которого меньше, чем . Аналогично покроем мно2 ε жество X2 интервалом, длина которого меньше, чем 2 . Продолжая этот процесс, 2 покроем каждое множество с номером n интервалом, длина которого не прево1 См. выше параграф о замкнутых и открытых множествах второй главы. 90 ε . Тогда все множество X = X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ∪ . . . окажется покрытым 2n счётной системой интервалов с общей суммой длин, меньшей чем ε. Следовательно, объединение счётной совокупности множеств меры нуль само имеет меру нуль. Связь между множествами меры нуль и интегрированием функций заключается в следующей лемме. Лемма 1.2. Интеграл от любой функции, определённой на множестве меры нуль, равен нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество X имеет меру нуль. Рассмотрим его характеристическую функцию χX (x).1 Выберем некоторое положительное число ε и покроем множество X системой интервалов с общей длиной меньшей, чем ε. С точки зрения геометрии значение интеграла от χX (x) не превосходит суммы площадей прямоугольников, построенных на этих интервалах с высотой, равной 1. А так как эта сумма равна сумме длин выбранных интервалов и по условию меньше ε, то и значение интеграла от χX (x) можно определить сколь угодно малым числом. Следовательно, интеграл и от любой другой функции, определённой на множестве меры нуль, равен нулю2 . Прежде, чем ввести новое определение, сформулируем Теоретическое упражнение 1.1. Верно ли, что, если множество является множеством меры нуль, то существует такое его покрытие счётной системой отрезков с конечной общей суммой длин, при котором каждая его точка будет покрыта бесконечным множеством отрезков этой системы? Теоретическое упражнение 1.2. Верно ли, что если множество можно покрыть счётной системой отрезков с конечной общей суммой длин таким образом, что каждая его точка будет покрыта бесконечным множеством отрезков этой системы, то это множество является множеством меры нуль? С множествами меры нуль на отрезке связано определение другого класса множеств. Определение 1.3. Множество на отрезке [a; b], дополнительное к множеству меры нуль, называется множеством полной меры. Примером такого множества является множество иррациональных чисел, являющееся дополнением на любом отрезке множества рациональных чисел, имеющего меру нуль. Из данного определения и леммы 4.1 следует Лемма 1.3. Пересечение конечной или счётной совокупности множеств полной меры является множеством полной меры. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что P1 , P2 , . . . − множества полной меры. Рассмотрим их дополнения Q1 = CP1 , Q2 = CP2 , . . . , являющиеся в силу определения множествами меры нуль. Из леммы 4.1 следует, что множество сходит 1 См. определение в доказательстве теоремы 8.3 первой главы. Так как в этом случае высота прямоугольников будет не превышать супремум функции на множестве, то общую сумму длин интервалов надо будет сравнить не с самим числом ε, а с его отношением к величине супремума. 2 91 Q = ∞ [ Qn имеет меру нуль. А так как Q = n=1 множество ∞ \ ∞ [ n=1 Qn = ∞ [ CPn = C n=1 ∞ \ Pn , то n=1 Pn является множеством полной меры. Что и требовалось доказать. n=1 С понятием множества полной меры связано используемое в дальнейшем определение. Определение 1.4. Если все точки множества полной меры на отрезке [a; b] обладают некоторым свойством, то это свойство выполняется почти для всех точек отрезка [a; b] или почти всюду на отрезке [a; b]. Например, почти все точки отрезка являются иррациональными. Про функции, разрывные только на множестве меры нуль, говорят, что они почти всюду непрерывны на рассматриваемом множестве. Фраза «конечная почти всюду функция» означает, что множество, на котором функция бесконечна, имеет меру нуль. § 2. Интеграл Римана. Схема построения Прежде, чем приступить к построению нового класса интегралов, восстановим схему построения интеграла Римана, начиная с его определения. Выберем на отрезке [a; b] множество точек x0 , x1 , . . . , xn , обладающее следующим свойством: a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ xn = b. Данное множество точек назовём разбиением п отрезка и будем обозначать п = {x0 , x1 , . . . , xn } . Далее вычислим разности d1 = x1 − x0 , d2 = x2 − x1 , . . . , dk = xk − xk−1 , . . . , dn = xn − xn−1 . Наибольшую из разностей dk назовём диаметром разбиения п и обозначим d( п) = max dk . 1≤k≤n Рассмотрим на отрезке [a; b] действительную функцию f (x) такую, что для всех точек отрезка m ≤ f (x) ≤ M , где m и M — заданные числа. Возьмём в каждом из отрезков [xk−1 ; xk ] по одной точке αk . Определим для выбранной функции на данном разбиении п число Rп (f ) = n X f (αk )dk , k=1 которое мы назовём интегральной суммой. Допустим, что у нас есть последовательность разбиений п1 , п2 , . . . , пn , . . . , для которой при n → ∞ d(пn ) → 0. Если при n → ∞ последовательность чисел {Rпn (f )} имеет предел, не зависящий 92 от последовательности разбиений {пn }1 и выбора точек αk ∈ [xk−1 ; xk ], то этот предел называется интегралом Римана от функции f (x) на отрезке [a; b]. То есть Zb f (x) dx = lim Rпn (f ) . d(пn )→0 a Поскольку данный предел предполагает несколько условий, то возникает вопрос, для каких функций f (x) он существует. В 1821 году О. Коши доказал2 существование данного предела в случае непрерывной функции. В 1837 году П. Дирихле3 указал функцию 0, x ∈ [0; 1] ∩ R \ Q , χ(x) = 1, x ∈ [0; 1] ∩ Q , для которой данный предел не существует. Если мы в качестве точек αk внутри разбиений будем выбирать только иррациональные числа, то предел будет равен 0. И наоборот, выбирая в качестве αk только рациональные числа, мы получим, что предел равен 1. Тем самым нарушается условие единственности существования предела. В дальнейшем Б. Риман, П. Дю Буа-Реймонд, А. Лебег4 получили необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана. Все эти условия объединяло то, что интегрируемая по Риману функция должна иметь не более чем конечное число точек разрыва первого рода. Используя определение, рассмотрим построение интеграла Римана по схеме Г. Дарбу5 . Выберем разбиение п1 = {x0 , x1 , . . . , xn } . Определим для рассматриваемой функции f (x) на каждом из промежутков разбиения [xk−1 ; xk ] два числа mk = inf x∈[xk−1 ; xk ] f (x), Mk = sup f (x) (здесь k = 1, n). x∈[xk−1 ; xk ] Вычислив длины промежутков разбиения п1 d1 = x1 − x0 , d2 = x2 − x1 , . . . , dk = xk − xk−1 , . . . , dn = xn − xn−1 , составим две суммы, зависящие от данного разбиения sп1 (f ) = n X mk dk и Sп1 (f ) = k=1 n X Mk dk . k=1 1 С условием, что d(пn ) → 0. Доказательство Коши не могло быть строгим, так как он не мог использовать понятие равномерной непрерывности, которое Г. Э. Гейне дал в 1870 году. Поэтому строгое доказательство существования предела для непрерывных функций получил Ж. Г. Дарбу в 1875 году. 3 Дирихлe Пeтер (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) — немецкий математик, внесший существенный вклад в классический математический анализ и теорию функций. 4 Дю Буа-Реймонд Поль (Paul David Gustav du Bois-Reymond, 1831-1889) — немецкий математик. Внес существенный вклад в теорию множеств и теорию функций. Лебег Анри (Henri Leon Lebesgue, 1875-1941) — французский математик. Один из основоположников математической теории меры. Создатель теории интеграла Лебега. 5 Дарбy Гастoн (Jean Gaston Darboux, 1842-1917) — французский математик. Основные работы в области дифференциальной геометрии и теории интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. 2 93 Первая из сумм называется нижней суммой Дарбу, а вторая из сумм — верхней суммой Дарбу. Добавляя к точкам разбиения п1 новые точки деления отрезка [a; b], мы можем построить новое разбиение п2 . Рассматривая построенные для них суммы Дарбу, можно установить, что sп2 (f ) ≥ sп1 (f ), а Sп2 (f ) ≤ Sп1 (f ). Также можно заметить1 , что нижняя сумма одного разбиения не превосходит верхнюю сумму другого разбиения. Далее, добавляя к каждому последующему разбиению новые точки деления, рассмотрим произвольную последовательность разбиений п1 , п2 . . . , пn . . . Мы увидим, что нижние и верхние суммы Дарбу образуют монотонные последовательности, движущиеся навстречу друг другу: sп1 (f ) ≤ sп2 (f ) ≤ · · · ≤ sпn (f ) · · · ≤ Sпn (f ) ≤ · · · ≤ Sп2 (f ) ≤ Sп1 (f ) . Поскольку каждая из последовательностей сумм ограничена любым членом другой суммы (сверху или снизу), то каждая из последовательностей имеет предел lim sпn (f ) = I∗ , lim Sпn (f ) = I ∗ . n→∞ n→∞ Числа I∗ и I ∗ называются нижним и верхним интегралами Дарбу соответственно. При условии, что диаметр разбиения пn стремится к нулю с ростом n, можно показать2 , что нижний и верхний интегралы Дарбу не зависят от выбора последовательности разбиений. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману, если I∗ = I ∗ . Общее значение интегралов Дарбу и считают равным значению интеграла от f (x) на отрезке [a; b]. Для того, чтобы построить понятие интеграла, который имеет смысл не только для функций, интегрируемых по Риману, но и некоторых из тех, которые не интегрируемы по Риману, нам понадобится класс новых функций. § 3. Ступенчатые функции Пусть п есть некоторое разбиение отрезка [a; b] с помощью точек x0 , x1 , . . . , xn , в котором a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b . Для краткости обозначим промежутки ∆1 = (x0 ; x1 ); ∆2 = (x1 ; x2 ); . . . , ∆k = (xk−1 ; xk ); . . . , ∆n = (xn−1 ; xn ), а их длины d(∆1 ) = x1 − x0 , d(∆2 ) = x2 − x1 , . . . , d(∆k ) = xk − xk−1 , . . . , d(∆n ) = xn − xn−1 . Определение 3.1. Функция h(x), принимающая постоянные значения в каждом из промежутков ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n  h1 , если x ∈ ∆1 ,    h2 , если x ∈ ∆2 , h(x) = ...............    hn , если x ∈ ∆n , 1 2 Подробнее о свойствах сумм Дарбу см., например, Фихтенгольц Г. М. Т. 2, гл. IX, § 1, п. 296. См. там же. 94 называется ступенчатой функцией. На границах промежутков ∆k , являющихся точками разрыва функции h(x), функцию можно определять разными способами или не определять вообще: значения h(x) в этих точках не играют роли в дальнейшем, так как число этих точек есть число конечное. Обозначим множество ступенчатых функций, определённых на отрезке [a; b] через H. Лемма 3.1. Множество ступенчатых функций H является линейным пространством относительно операций «сложение» и «умножение на действительное число». Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h(x) и k(x) — ступенчатые функции. Рассмотрим их линейную комбинацию l(x) = αh(x) + βk(x) с действительными коэффициентами α и β. Если ∆1 , ∆2 , . . . , ∆p — система промежутков, на которых функция h(x) является постоянной, а ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0q — система промежутков, на которых постоянна функция k(x), то пересечения ∆1 ∩ ∆01 , ∆1 ∩ ∆02 , ∆01 ∩ ∆2 , . . . , ∆p ∩ ∆0q образуют систему промежутков, на каждом из которых функция l(x) является постоянной1 . Следовательно, функция l(x) также является ступенчатой функцией. Поэтому множество H является линейным пространством. Выделим некоторые из операций, которые можно выполнять над функциями из пространства H: Лемма 3.2. Произведение двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией. Доказательство этой леммы проводится точно так же, как и предыдущей. Лемма 3.3. Частное от деления двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, если функция-делитель отлична от нуля. Доказательство этой леммы проводится точно также, как и двух предыдущих. Лемма 3.4. Абсолютная величина |h(x)| ступенчатой функции h(x) является ступенчатой функцией. В данном случае доказательство вытекает из определений абсолютной величины и ступенчатой функции. Лемма 3.5. Если h(x) и k(x) — заданные ступенчатые функции, то h1 (x) = max{h(x), k(x)}, k1 (x) = min{h(x), k(x)} также являются ступенчатыми функциями. Предположим, что {∆n } — система промежутков, на которых определены ступенчатые функции h(x) и k(x). Независимо от истинности отношений h(x) ≤ k(x) и k(x) ≤ h(x) для всех точек данной системы имеет место равенство max(h(x), k(x)) + min(h(x), k(x)) = h(x) + k(x) . (∗) Рассмотрим разность max(h(x), k(x)) − min(h(x), k(x)). Если h(x) ≥ k(x), то разность равна h(x) − k(x); если же h(x) < k(x), то k(x) − h(x). Используя знак 1 Среди данных пересечений могут быть и пустые. Их мы просто не будем принимать во внимание. 95 модуля, получаем max(h(x), k(x)) − min(h(x), k(x)) = |h(x) − k(x)|. (∗∗) Решив систему уравнений (∗)−(∗∗), получаем изучаемые функции max(h(x), k(x)) и min(h(x), k(x)) в виде линейных комбинаций суммируемых функций 1 max(h(x), k(x)) = (h(x) + k(x) + |h(x) − k(x)|); 2 1 min(h(x), k(x)) = (h(x) + k(x) − |h(x) − k(x)|), 2 из которых на основании лемм 3.1 и 3.4 и следует, что функции h1 (x) и k1 (x) являются ступенчатыми функциями. Определим для функции h(x) две функции, свойства которых нам понадобятся дальше1 . Определение 3.2. Функция h+ (x) = max{h(x), 0} называется положительной частью функции h(x). Определение 3.3. Функция h− (x) = max{0, −h(x)} называется отрицательной частью функции h(x). Лемма 3.6. Если h(x) — заданная ступенчатая функция, то функции h+ (x) и h− (x) также являются ступенчатыми функциями.. Доказательство этого факта вытекает из определения максимума ступенчатых функций. Теоретическое упражнение 3.1. Докажите, что для положительной и отрицательной частей функции h(x) справедливы представления 1 1 h+ (x) = (h(x) + |h(x)|), h− (x) = (|h(x)| − h(x)). 2 2 1 Заметим, части функции h(x) можно задать по-другому: что положительную и отрицательную h(x), если h(x) ≥ 0, 0, если h(x) ≥ 0, h+ (x) = ; h− (x) = 0, если h(x) < 0 −h(x), если h(x) < 0. 96 § 4. Интеграл от ступенчатой функции и его свойства Введём следующее Определение 4.1. Интегралом от ступенчатой функции h(x) на отрезке [a; b] называется число1 n X hk (x)d(∆k ). I(h) = k=1 Сформулируем в виде лемм и докажем следующие свойства интеграла от ступенчатой функции. Лемма 4.1 (С в о й с т в о а д д и т и в н о с т и). Для любых двух ступенчатых функций h(x) и k(x) интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов, т.е. I(h + k) = I(h) + I(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n — система промежутков, на которых функция h(x) является постоянной, а ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0m — система промежутков, на которых постоянна функция k(x). Рассмотрим систему пересечений этих промежутков ∆1 ∩ ∆01 , ∆1 ∩ ∆02 , ∆01 ∩ ∆2 , . . . , ∆n ∩ ∆0m , на каждом из которых обе функции являются постоянными. Определим длину промежутка ∆0j (1 ≤ j ≤ m) как сумму длин всех пересечений этого промежутка с промежутками ∆i , где 1 ≤ i ≤ n: d(∆0j ) = n X d(∆0j ∩ ∆i ). i=1 Аналогично определим длину промежутка ∆i : d(∆i ) = m X d(∆i ∩ ∆0j ). j=1 Используя определение интеграла от ступенчатой функции, получим I(h) = n X hi (x)d(∆i ) = i=1 I(k) = m X n X m X hi (x)d(∆i ∩ ∆0j ), i=1 j=1 kj (x)d(∆0j ) j=1 = m X n X kj (x)d(∆0j ∩ ∆i ). j=1 i=1 Откуда и следует, что I(h + k) = n X m X (hi (x) + kj (x))d(∆i ∩ ∆0j ) = i=1 j=1 1 Так как данное определение не связано с интегралом Римана, то мы используем другое обозначение. 97 = n X m X hi (x)d(∆i ∩ ∆0j ) + i=1 j=1 = n X m X n X kj (x)d(∆0j ∩ ∆i ) = j=1 i=1 hi (x)d(∆i ) + i=1 m X kj (x)d(∆0j ) = I(h) + I(k). j=1 Что и требовалось доказать. Лемма 4.2 (С в о й с т в о о д н о р о д н о с т и). Для любой постоянной α её можно выносить из под знака интеграла от ступенчатой функции, т.е. I(αh) = αI(h). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как постоянная α не зависит от индекса суммирования, то I(αh) = n X αhi (x)d(∆i ) = α n X i=1 hi (x)d(∆i ) = αI(h). i=1 Следовательно, лемма доказана. Лемма 4.3 (С в о й с т в о м о н о т о н н о с т и). Если при каждом x ∈ [a; b] h(x) ≤ k(x), то I(h) ≤ I(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно также, как и при доказательстве свойства аддитивности, рассмотрим системы промежутков ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n и ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0m , а также систему ∆1 ∩ ∆01 , ∆1 ∩ ∆02 , ∆01 ∩ ∆2 , . . . , ∆n ∩ ∆0m , являющуюся их пересечением. Так как неравенство h(x) ≤ k(x) выполняется в каждой точке отрезка [a; b], то оно верно и на каждом из промежутков последней системы. Поэтому I(h) = n X hi (x)d(∆i ) = i=1 ≤ m X n X kj (x)d(∆0j m n X X hi (x)d(∆i ∩ ∆0j ) ≤ i=1 j=1 ∩ ∆i ) = j=1 i=1 m X kj (x)d(∆0j ) = I(k). j=1 Следствие 4.1. Интеграл от неотрицательной ступенчатой функции не может быть отрицательным числом, т.е. Если ∀ x ∈ [a; b] h(x) ≥ 0, то I(h) ≥ 0. Прежде чем сформулировать следующие свойства интегралов от ступенчатых функций, введём обозначения, которые мы будем использовать в дальнейшем при 98 изучении монотонных последовательностей. Значком & мы будем обозначать предельный переход при монотонном убывании последовательности. Например, запись fn & f означает, что последовательность функций {fn (x)}, монотонно убывая, сходится к функции f (x). Точно также значок % далее будет обозначать предельный переход при монотонном возрастании последовательности. Лемма 4.4. Если последовательность неотрицательных ступенчатых функций {hn (x)} не возрастает1 и стремится к нулю почти всюду, то lim I(hn ) = 0. n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность ступенчатых функций hn (x) & 0 почти всюду, то существует множество A меры нуль, на котором последовательность {hn (x)} не сходится к нулю. Кроме точек множества A существует еще одно множество меры нуль − это счётное множество B, множество точек разрыва на отрезке [a; b] всех функций hn (x). Из леммы 1.1 следует, что множество A∪B имеет меру нуль. А это означает, что существует система интервалов ∆1 , ∆2 , . . . с общей длиной, меньшей выбранного ε > 0, которой можно покрыть множество A ∪ B. Рассмотрим множество точек {x0 } отрезка [a; b], не принадлежащих этому покрытию. Каждой такой точке x0 поставим в соответствие номер m = m(x0 ), для которого выполняется неравенство hm (x0 ) < ε. Кроме номера сопоставим каждой точке x0 интервал ∆0 = ∆(x0 ), который содержит эту точку и на котором функция hm (x0 ) сохраняет своё значение. Интервалы ∆1 , ∆2 , . . . вместе с интервалами {∆0 } образуют покрытие отрезка [a; b]. Выберем согласно лемме Бореля из данного покрытия конечное покрытие и обозначим его интервалы через ∆1 , ∆2 , . . . , ∆k , ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0l . Допустим, что p − наибольший из номеров m(x0 ), соответствующих точкам x01 , x02 , . . . , x0l . В силу условия леммы hn (x) & 0, поэтому не только функция hp (x), но и все последующие на интервалах ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0l не превосходят число ε. Будем считать, что интервалы ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0l попарно не имеют общих точек2 . Поэтому сумму длин интервалов ∆01 , ∆02 , . . . , ∆0l можно считать не большей, чем длина всего отрезка [a; b]. В то же время на интервалах ∆1 , ∆2 , . . . , ∆l , сумма длин которых не больше ε, ни одна из функций hn (x) не может быть больше, чем число M = max h1 (x). Таким образом, интеграл от функции hp (x) I(hp ) < M ε + ε(b − a). Это же неравенство справедливо и для интегралов от всех последующих функций. А так как число ε можно выбрать сколь угодно малым, то lim I(hn ) = 0. n→∞ 1 То есть h1 (x) ≥ h2 (x) ≥ . . . . Этого можно добиться, если рассмотреть более мелкое разбиение на интервалы, исключая при этом общие части интервалов. 2 99 Именно это и требовалось доказать. Следующая лемма является обратной по отношению к доказанной лемме. Лемма 4.5. Если последовательность неотрицательных ступенчатых функций {hn (x)} не возрастает и lim I(hn ) = 0, то lim hn (x) = 0 почти всюду. n→∞ n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции последовательности {hn (x)} неотрицательны, то в силу следствия 4.1 для любого n интегралы I(hn ) ≥ 0. Кроме того, в силу леммы о монотонности, I(hn ) & 0. Так как функции {hn (x)}, монотонно убывая, ограничены в силу своей неотрицательности, то существует некоторая функция g(x) ≥ 0, которая является для них пределом при n → ∞. Докажем, что функция g(x) почти всюду равна нулю. Рассмотрим множество точек 1 Gk = x ∈ [a; b] : g(x) ≥ . k Покажем, что данное множество является множеством меры нуль. Для этого исследуем ту часть G0k множества Gk , в точках которой функции {hn (x)} непрерывны1 . Так как hn (x) ≥ g(x) в каждой точке G0k , то в каждой из этих точек 1 G0k верно и то, что hn (x) ≥ . Зафиксируем номер n. Тогда участки, на которых k 1 функция hn (x) постоянна и принимает значения, большие или равные , образуют k покрытие множества G0k . Обозначим через δn сумму длин этих участков. Тогда из определения интеграла от ступенчатой функции следует, что 1 I(hn ) ≥ δn . k Умножая обе части неравенства на k, получаем, что при n → ∞ δn ≤ kI(hn ) → 0. Следовательно, при достаточно большом n множество G0k можно покрыть системой интервалов, общая длина которых может быть выбрана меньше любого заранее выбранного числа. То есть, множество G0k является множеством меры нуль. А значит и множество Gk также является множеством меры нуль. Для любой неотрицательной функции g(x) множество всех точек, где она отлична от нуля G = {x ∈ [a; b] : g(x) > 0} , является объединением последовательности множеств 1 Gk = x ∈ [a; b] : g(x) ≥ . k Нерассмотренное множество Gk \ G0k представляет не более чем счётное множество точек разрыва первого рода. 1 100 И поэтому является не более чем счётным множеством. А это и означает, что почти всюду lim hn (x) = g(x) = 0. n→∞ В заключение параграфа рассмотрим возможность дать новое определение множества меры нуль с помощью интегралов от ступенчатых функций и доказать его эквивалентность существующему определению. Определение 4.2. Множество A ⊂ [a; b] является множеством меры нуль, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует монотонно неубывающая последовательность неотрицательных ступенчатых функций (ε) (ε) (ε) h1 (x) ≤ h2 (x) ≤ · · · ≤ hk (x) ≤ . . . (ε) (ε) таких, что sup hk (x) ≥ 1 всюду на множестве A и I(hk ) < ε для любого k k = 1, 2, . . . . Лемма 4.6. Определения 1.2 и 4.2 эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что из определения 1.2 следует определение 4.2. Пусть A ⊂ [a; b] является множеством меры нуль в смысле первого определения. То есть для любого ε > 0 существует система интервалов ∆1 , ∆2 , . . . , сумма (ε) длин которых меньше, чем ε. Предположим, что ступенчатая функция h1 (x) = 1 (ε) при x ∈ ∆1 и равна нулю вне ∆1 . Допустим, что ступенчатая функция h2 (x) = 1 для x ∈ ∆1 и x ∈ ∆2 и равна нулю вне этих интервалов. Далее, продолжая этот (ε) процесс, получим, что hk (x) = 1 на всех интервалах ∆1 , ∆2 , . . . , ∆k и равна нулю вне этих интервалов. Построенная таким образом последовательность является неубывающей (ε) (ε) (ε) h1 (x) ≤ h2 (x) ≤ · · · ≤ hk (x) ≤ . . . (ε) и по определению интеграла от ступенчатой функции I(hk ) < ε. А так как любая (ε) точка x0 из множества A принадлежит некоторому интервалу ∆k , то hk (x0 ) = 1. (ε) Это означает, что sup hk (x0 ) ≥ 1 на множестве A, что и нужно доказать. Следоk вательно, из первого определения множества меры нуль второе вытекает. Допустим обратное, множество A является множеством меры нуль в смысле нового определения. То есть для любого ε > 0 можно найти последовательность неотрицательных ступенчатых функций (ε) (ε) h1 (x) ≤ h2 (x) ≤ · · · ≤ h(ε) m (x) ≤ . . . (ε) такую, что каждая из ее функций имеет интеграл I(h(ε) m ) < ε и sup hm (x0 ) ≥ 1 k на множестве A. Рассмотрим систему интервалов ∆1 , ∆2 , . . . , ∆p1 , на каждом из 1 (ε) (ε) которых функция h1 (x) ≥ . Функция h2 (x) на этих же интервалах принимает 2 1 (ε) значения также бóльшие, чем . И кроме них h2 (x) принимает значения, бóльшие, 2 101 1 (ε) , еще и на некоторых интервалах ∆p1 +1 , ∆p1 +2 , . . . , ∆p2 . Функция h3 (x) 2 1 принимает значения, бóльшие, чем , на интервалах ∆1 , ∆2 , . . . , ∆p2 , а также на 2 некоторых интервалах ∆p2 +1 , ∆p2 +2 , . . . , ∆p3 . Рассматривая далее этот процесс, мы получим бесконечную систему интервалов чем ∆1 , ∆2 , . . . , ∆pq , . . . без общих внутренних точек. Множество A содержится в объединении всех интервалов ∆j , так как в каждой точке x0 ∈ A согласно предположению sup h(ε) m (x0 ) ≥ 1. m Оценим сумму длин интервалов ∆j . Ограничимся интервалами ∆1 , ∆2 , . . . , ∆pm . 1 (ε) На этих интервалах функция hm (x) ≥ . А так как ε ≥ I(h(ε) m ), то 2 pm pm X 1X (ε) (ε) I(hm ) = hm (x)d(∆j ) ≥ d(∆j ) ≤ ε . 2 j=1 j=1 И поэтому pm X d(∆j ) ≤ 2ε . j=1 Заставляя m стремиться к бесконечности, получаем, что ∞ X d(∆j ) ≤ 2ε . j=1 Заметим, что интервалы ∆j могут не образовать покрытие множества, так как точки множества A могут и не являться внутренними точками интервалов ∆j . Но если каждый интервал ∆j заменить интервалом ∆0j , вдвое большим по длине, то мы получим покрытие множества A системой интервалов ∆0j , общая длина которых не превышает 4ε. А поскольку число ε можно выбрать сколь угодно малым, то это означает, что множество A является множеством меры нуль в смысле определения 1.2. Что и требовалось доказать. Из определения 4.2 вытекает следующее Следствие 4.2. Если множество A ⊂ [a; b] удовлетворяет условию, при котором для любого ε > 0 существует неотрицательная ступенчатая функция h(ε) (x) такая, что I(h(ε) ) < ε и h(ε) (x) ≥ 1 на A, то множество A является множеством меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы это доказать, достаточно в качестве системы ступенчатых функций выбрать (ε) (ε) (ε) h1 (x) ≡ h2 (x) ≡ · · · ≡ h(ε) m (x) ≡ · · · ≡ h (x). А затем использовать вторую часть доказанного выше критерия эквивалентности определений. 102 § 5. Построение интеграла Римана с помощью ступенчатых функций Попробуем построить интеграл Римана от функции f (x) на отрезке [a; b] с помощью ступенчатых функций. Рассмотрим разбиение п отрезка [a; b] с точками деления a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b и промежутками ∆j = (xj−1 ; xj )1 . Каждому такому разбиению соответствуют две ступенчатые функции: hп (x), которую логично назвать нижней ступенчатой функцией, и Hп (x) — верхняя ступенчатая функция, имеющие следующий вид   M1 , если x ∈ ∆1 , m , если x ∈ ∆ ,   1 1     m2 , если x ∈ ∆2 , M2 , если x ∈ ∆2 , Hп (x) = hп (x) = ..............., ...............,       Mn , если x ∈ ∆n .2 mn , если x ∈ ∆n . Нижнюю интегральную сумму Дарбу sп (f ) = n X mj d(∆j ) j=1 можно считать интегралом от нижней ступенчатой функции hп (x). Точно также верхняя интегральная сумма Дарбу Sп (f ) = n X Mj d(∆j ) j=1 является интегралом от верхней ступенчатой функции Hп (x). Каждой последовательности разбиений п1 , п2 , . . . , пm , . . . отрезка [a; b] соответствуют последовательности нижних ступенчатых функций hп1 (x), hп2 (x), . . . , hпm (x), . . . и верхних ступенчатых функций Hп1 (x), Hп2 (x), . . . , Hпm (x), . . . Если при этом каждое разбиение пm+1 является измельчением разбиения пm , то, как следует из свойств разбиений, последовательность нижних ступенчатых функций {hпm (x)} является неубывающей, а последовательность верхних ступенчатых функций {Hпm (x)} — невозрастающей. Допустим, что последовательность разбиений {пm } выбрана таким образом, что для диаметров разбиений верно равенство lim d(пm ) = 0. m→∞ Поскольку каждая из последовательностей {hпm (x)} и {Hпm (x)} является ограниченной членами другой последовательности, то обе последовательности имеют предельные функции. При m → ∞ {hпm (x)} % s(x), а {Hпm (x)} & S(x). 1 2 Здесь j = 1, n. Напоминаем, что mj = min f (x), а Mj = max f (x). x∈∆j x∈∆j 103 Функцию s(x) будем называть нижней функцией, а функцию S(x) — верхней функцией. Так как для нижних и верхних ступенчатых функций при любом m имеет место hпm (x) ≤ f (x) ≤ Hпm (x), то в силу свойств пределов справедливо неравенство s(x) ≤ f (x) ≤ S(x). С помощью определённых выше понятий сформулируем и докажем критерий интегрируемости функции f (x) по Риману. Теорема 5.1. Функция f (x) является интегрируемой по Риману тогда и только тогда, когда нижняя s(x) и верхняя S(x) функции совпадают почти всюду1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b]. Так как lim I(hпm (x)) = m→∞ lim sпm (f ) = I∗ , lim Sпm (f ) = I ∗ , d(пm )→0 а lim I(Hпm (x)) = m→∞ d(пm )→0 то, в силу критерия существования интеграла Римана2 , получаем lim I(Hпm (x) − hпm (x)) = lim I(Hпm (x)) − lim I(hпm (x)) = I ∗ − I∗ = 0. m→∞ m→∞ m→∞ Ввиду того, что ступенчатые функции последовательности {Hпm (x) − hпm (x)} являются неотрицательными, а сама последовательность не возрастает, то из леммы 4.5 следует, что почти всюду 0 = lim (Hпm (x) − hпm (x)) = lim Hпm (x) − lim hпm (x) = S(x) − s(x). m→∞ m→∞ m→∞ Откуда вытекает, что нижняя s(x) и верхняя S(x) функции почти всюду совпадают друг с другом, а значит и с функцией f (x). Допустим теперь обратное: нижняя s(x) и верхняя S(x) функции почти всюду на отрезке [a; b] совпадают друг с другом. Тогда почти всюду 0 = S(x) − s(x) = lim Hпm (x) − lim hпm (x) = lim (Hпm (x) − hпm (x)). m→∞ m→∞ m→∞ Точно также, как и выше, ступенчатые функции {Hпm (x) − hпm (x)} являются неотрицательными, а их последовательность не возрастает. Поэтому, согласно лемме 4.4, можно утверждать, что lim I(Hпm (x) − hпm (x)) = 0. m→∞ 1 2 А значит, почти всюду совпадают и с f (x). См. § 2 этой главы. 104 Следовательно, I∗ = lim I(hпm (x)) = lim I(Hпm (x)) = I ∗ . m→∞ m→∞ Из последнего равенства, согласно критерия существования интеграла Римана, следует, что функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b]. В силу этого из теоремы 5.1 вытекает, что функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда она почти всюду является пределом некоторой возрастающей последовательности ступенчатых функций {hn (x)} таких, что каждая из hn (x) ≤ f (x) и одновременно является пределом некоторой убывающей последовательности ступенчатых функций {Hn (x)} таких, что каждая из Hn (x) ≥ f (x). При этом Zb lim I(hn ) = f (x) dx = lim I(Hn ). n→∞ n→∞ a На основании этого факта попытаемся построить более широкий класс интегрируемых функций. § 6. Класс функций D+ и интегрирование в этом классе Определим новый класс функций D+ ([a; b]) или более кратко D+ . Определение 6.1. Функция f (x) принадлежит классу D+ , если существует монотонно возрастающая последовательность ступенчатых функций {hn (x)}, которые с ростом n почти всюду hn (x) % f (x), причём интегралы от этих функций ограничены в совокупности: I(hn ) ≤ C (n = 1, 2, . . . ). Из этого определения вытекает следующее свойство. Лемма 6.1. Каждая функция f (x) ∈ D+ является почти всюду конечной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что множество A ⊂ [a; b] — множество тех точек, для которых f (x) = +∞. Пусть {hn (x)} есть последовательность тех самых ступенчатых функций, которая, монотонно возрастая, сходится к f (x). Будем считать, что функции hn (x) неотрицательны. Иначе мы просто заменим hn (x) на hn (x) − h1 (x). Также будем предполагать, что в каждой точке x ∈ A все функции hn (x) непрерывны и lim hn (x) = +∞1 . Выберем некоторое число n→∞ ε > 0. Из последнего предположения следует, что в каждой точке x ∈ A, начиная с некоторого номера N = N (ε), выполняется неравенство2 C hn (x) > . ε А значит, множество A можно покрыть счётной системой множеств вида C x : hn (x) > (n = 1, 2, . . . ). ε 1 Для этого достаточно выбросить из множества A множество меры нуль тех точек, для которых эти условия нарушаются. 2 Здесь C — произвольная положительная константа. 105 Следовательно, на множестве A выполняется неравенство sup n εhn (x) ≥ 1. C И одновременно, в силу свойств функции f (x), εhn ε I = I(hn ) ≤ ε . C C Поэтому, согласно определению 4.2 данной главы, множество A является множеством меры нуль. Что и означает, что каждая функция f (x) ∈ D+ почти всюду конечна. Замечание 6.1. Заметим, что из определения класса D+ следует, что если функция f (x) ∈ D+ , то этому классу принадлежит любая функция f1 (x), которая отличается от f (x) только на множестве меры нуль. Ступенчатые функции также входят в класс D+ . А это означает, что если h(x) ∈ D+ , то и любая ступенчатая функция h1 (x), отличающаяся от h(x) только на множестве меры нуль, также является функцией класса D+ . В частности, любая функция, отличная от нуля только на множестве меры нуль, есть функция класса D+ . Сформулируем в виде лемм некоторые свойства функций из класса D+ . Лемма 6.2. Если функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+ , то их сумма f (x) + g(x) также является функцией класса D+ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что последовательности ступенчатых функций {hn (x)} и {kn (x)} таковы, что почти всюду hn (x) % f (x) и I(hn ) ≤ C1 , а kn (x) % g(x) и I(kn ) ≤ C2 .1 Тогда последовательность ступенчатых функций hn (x)+kn (x) % f (x)+g(x) почти всюду и I(hn + kn ) = I(hn ) + I(kn ) ≤ C1 + C2 . Поэтому функция f (x) + g(x) ∈ D+ , что и нужно было доказать. Лемма 6.3. Если функция f (x) ∈ D+ , а α — неотрицательное действительное число, то произведение αf (x) является функцией из класса D+ . Доказательство данной леммы аналогично доказательству леммы 6.2. Лемма 6.4. Если функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+ , то функции min(f (x), g(x)) и max(f (x), g(x)) тоже являются функциями класса D+ . Это вытекает из определения рассматриваемых функций. Замечание 6.2. Обратите внимание, что в классе D+ невозможно вычитание функций и умножение их на отрицательные числа, так как последовательности ступенчатых функций, соответствующие функциям данного класса, должны быть 1 Здесь n = 1, 2, . . . , C1 , C2 — произвольные константы. 106 возрастающими. Например, если вместе с функцией f (x) класс D+ как следствие содержит и её положительную часть f + (x) = max(f (x), 0), то отрицательную часть f − (x) = max(0, −f (x)) не содержит. А так как функция |f (x)| = f + (x) + f − (x), 1 то и она не определена в классе D+ . Прежде чем дать определение интеграла от функции f (x) из класса D+ , докажем следующую лемму. Лемма 6.5. Пусть последовательности ступенчатых функций {hm (x)} и {kn (x)} имеют ограниченные в совокупности интегралы и, монотонно возрастая, почти всюду сходятся к функциям f (x) и g(x) из класса D+ hm (x) % f (x), kn (x) % g(x). Если при этом почти всюду f (x) ≤ g(x), то lim I(hm ) ≤ lim I(kn ). m→∞ n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем номер m и рассмотрим убывающую последовательность ступенчатых функций {hm (x) − kn (x)}. Оценим её предел lim (hm (x) − kn (x)) = hm (x) − g(x) ≤ f (x) − g(x). n→∞ Но тогда положительная часть рассматриваемой последовательности почти всюду (hm (x) − kn (x))+ & 0 . И поэтому из леммы 4.4 следует, что lim I(hm (x) − kn (x))+ = 0. n→∞ А так как I(hm − kn ) ≤ I(hm − kn )+ , то lim I(hm − kn ) = I(hm ) − lim I(kn ) < 0. n→∞ n→∞ Следовательно, I(hm ) ≤ lim I(kn ). А так как это неравенство верно при любом n→∞ m, то, переходя к пределу при m → ∞ lim I(hm ) ≤ lim I(kn ), m→∞ n→∞ убеждаемся в истинности доказываемого неравенства. 1 См. решение упражения 3.1. этой главы. 107 Определение 6.2. Пусть f (x) — функция из класса D+ , а {hn (x)} — связанная с её определением последовательность ступенчатых функций. Интегралом от функции f (x) в классе D+ называется предел I(f ) = lim I(hn ). n→∞ Покажем корректность данного определения. Для этого нам нужно доказать, что предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности {hn (x)}. Из определения класса D+ следует, что числовая последовательность {I(hn )} ограничена. А из леммы 4.3 о монотонности последовательности интегралов от ступенчатых функций вытекает, что она не убывает. Поэтому данный предел существует. Покажем, что данное определение однозначно. Пусть функции f (x) и g(x) принадлежат D+ и почти всюду f (x) = g(x). Тогда в силу леммы 6.5 I(f ) ≤ I(g). Но так как функции f (x) и g(x) равноправны, то верно и другое неравенство I(g) ≤ I(f ). И поэтому I(f ) = I(g). А это и означает, что данное определение интеграла от функции f (x) ∈ D+ однозначно. Следствие 6.1. Если f (x) ∈ D+ , g(x) ∈ D+ и при этом f (x) ≤ g(x), то I(f ) ≤ I(g). Замечание 6.3. Любая функция f (x), интегрируемая на отрезке [a; b] по Риману, принадлежит классу D+ , а её интеграл Римана, как предел нижних сумм Дарбу, совпадает с определённым выше интегралом I(f ), как пределом последовательности интегралов от ступенчатых функций hn (x), соответствующих тем же нижним суммам Дарбу. Но определение 6.2 более широкое определение, чем определение интеграла Римана. Например, уже упомянутая в §2 этой главы функция Дирихле, равная 0 при иррациональных x ∈ [0; 1] и 1 при рациональных x ∈ [0; 1], не интегрируема по Риману. Но так как она на [0; 1] почти всюду равна нулю, то интеграл от неё в классе D+ существует и равен нулю. § 7. Свойства интеграла в классе функций D+ Используя предельный переход, мы можем некоторые свойства интегралов от ступенчатых функций распространить на интегралы от функций класса D+ . Лемма 7.1. Если функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+ , то I(f + g) = I(f ) + I(g). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 6.2 сумма функций f (x) + g(x) является функцией класса D+ . Поэтому последовательность сумм ступенчатых функций, соответствующих функциям f (x) и g(x), почти всюду hn (x) + kn (x) % f (x) + g(x) 108 и существует постоянная C такая, что I(hn + kn ) = I(hn ) + I(kn ) ≤ C. Следовательно, I(f + g) = lim I(hn + kn ) = lim I(hn ) + lim I(kn ) = I(f ) + I(g). n→∞ n→∞ n→∞ Лемма 7.2. Если функция f (x) принадлежит классу D+ , а α — неотрицательное действительное число, то I(αf ) = αI(f ). Доказательство проводится точно так же, как и в предыдущей лемме. Следующее свойство говорит о замкнутости класса функций D+ относительно операции предельного перехода для возрастающих последовательностей функций с ограниченными интегралами: Теорема 7.1. Если fn (x) ∈ D+ таковы, что fn (x) % f (x) и I(fn ) ≤ C, то1 f (x) ∈ D+ и I(f ) = lim I(fn ). n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой из функций fn (x) построим определяющую её последовательность ступенчатых функций: h11 (x) ≤ h12 (x) ≤ · · · ≤ h1n (x) ≤ . . . , h1n (x) % f1 (x) , h21 (x) ≤ h22 (x) ≤ · · · ≤ h2n (x) ≤ . . . , h2n (x) % f2 (x) , ................................................... hk1 (x) ≤ hk2 (x) ≤ · · · ≤ hkn (x) ≤ . . . , hkn (x) % fk (x) , ................................................... Обозначим через hn (x) = max(h1n (x), h2n (x), . . . , hnn (x)). Из свойств ступенчатых функций2 вытекает, что hn (x) — ступенчатая функция и последовательность {hn (x)} монотонно возрастает. Из построения видно, что hn (x) ≤ max(f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) = fn (x) . Далее, из лемм 4.3 и 6.5 о монотонности ступенчатых функций и их пределов следует, что I(hn ) ≤ I(fn ) ≤ C. Пусть f ∗ (x) = lim hn (x). Из определения класса функций D+ имеем, что ∗ + n→∞ ∗ f (x) ∈ D и I(f ) = lim I(hn ). Из построения последовательностей ступенчатых n→∞ 1 2 Здесь, как и выше, n = 1, 2, . . . , а C — некоторая постоянная. См. § 3 этой главы. 109 функций для функций последовательности {fn (x)} при любом фиксированном k и n ≥ k вытекает неравенство hkn (x) ≤ hn (x) ≤ fn (x). Поэтому, переходя к пределу при n → ∞, получаем неравенство fk (x) ≤ f ∗ (x) ≤ f (x). А так как по условию fk (x) % f (x), то почти всюду f ∗ (x) = f (x). Следовательно, f (x) ∈ D+ . Далее, интегрируя оба неравенства, получаем I(hn ) ≤ I(fn ) ≤ I(f ). А поскольку I(hn ) % I(f ∗ ) = I(f ), то lim I(fn ) = I(f ), что и следовало доказать. n→∞ ∞ X gk (x) являются Следствие 7.1. Пусть члены функционального ряда + k=1 неотрицательными функциями из класса D , а интегралы от его частичных сумм ограничены в совокупности: ! n X I gk (x) ≤ C . k=1 Тогда сумма данного ряда f (x) является функцией из класса D+ , а ряд можно почленно интегрировать: ∞ X I(f ) = I(gk ). k=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим частичные суммы данного функционального ряда через n X fn (x) = gk (x). k=1 Функции fn (x) являются неотрицательными, а их последовательность монотонно возрастает. И так как они ограничены суммой ряда f (x), то эта последовательность является сходящейся. В силу конечности числа слагаемых каждой частичной суммы fn (x) из леммы 6.2 следует, что fn (x) ∈ D+ . А так как ! n X I(fn ) = I gk (x) ≤ C, k=1 то выполнены все условия теоремы 7.1, из которых и следует истинность доказываемого следствия. 110 § 8. Класс суммируемых по Риссу1 функций Построив линейное пространство ступенчатых функций и класс функций D+ , мы проделали первую часть работы по построению более широкого класса функций, в котором будут определены все естественные для функций операции. И именно для функций этого класса мы построим интеграл, который является нашей целью. Определение 8.1. Функция ϕ(x), определённая на отрезке [a; b], называется суммируемой (или интегрируемой) по Риссу2 функцией, если её можно представить в виде разности ϕ(x) = f (x) − g(x) двух функций из класса D+ . Обозначим множество всех суммируемых функций через D и рассмотрим свойства суммируемых функций. Лемма 8.1. Сумма двух суммируемых функций является суммируемой функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — суммируемые функции. Тогда в классе D+ существуют функции f1 (x), g1 (x), f2 (x), g2 (x) такие, что ϕ1 (x) = f1 (x) − g1 (x), ϕ2 (x) = f2 (x) − g2 (x) . Тогда ϕ1 (x) + ϕ2 (x) = (f1 (x) − g1 (x)) + (f2 (x) − g2 (x)) = (f1 (x) + f2 (x)) − (g1 (x) + g2 (x)). А так как суммы функций f1 (x) + f2 (x) и g1 (x) + g2 (x) принадлежат D+ , то функция ϕ1 (x) + ϕ2 (x) есть функция класса D. Лемма 8.2. Если функция ϕ(x) есть суммируемая функция, а α — произвольное действительное число, то их произведение — функция αϕ(x) — тоже является суммируемой функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два случая: 1. Пусть α ≥ 0. Тогда из того, что ϕ(x) ∈ D, следует, что существуют f (x) ∈ D+ и g(x) ∈ D+ такие, что ϕ(x) = f (x) − g(x). Из леммы 6.3 вытекает, что αf (x) ∈ D+ и αg(x) ∈ D+ . А так как αϕ(x) = α(f (x) − g(x)) = αf (x) − αg(x), то согласно определению αϕ(x) ∈ D. 2. Предположим теперь, что α < 0. Тогда −α > 0. Поэтому из равенства αϕ(x) = α(f (x) − g(x)) = (−α)(f (x) − g(x)) = (−α)g(x) − (−α)f (x) следует, что и в этом случае αϕ(x) ∈ D. 1 Рисс Фридьеш (Riesz Frigyes)(1880 – 1956) — венгерский математик, один из основателей теории топологических пространств. 2 См. комментарии в конце главы. 111 Из лемм 8.1 и 8.2 получаем, что любые линейные комбинации функций из класса D сами являются функциями класса D. Поэтому имеет место следующее Следствие 8.1. Класс функций D является линейным пространством. Лемма 8.3. Если функция ϕ(x) есть суммируемая функция, то и модуль этой функции |ϕ(x)| тоже является суммируемой функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ϕ(x) = f (x) − g(x), где f (x) ∈ D+ и g(x) ∈ D+ . Если ϕ(x) ≥ 0, то f (x) ≥ g(x), поэтому max(f (x), g(x)) = f (x), а min(f (x), g(x)) = g(x). Откуда следует, что |ϕ(x)| = ϕ(x) = f (x) − g(x) = max(f (x), g(x)) − min(f (x), g(x)). Если же ϕ(x) < 0, то f (x) < g(x), следовательно, max(f (x), g(x)) = g(x), а min(f (x), g(x)) = f (x). Раскрывая модуль, получаем |ϕ(x)| = −ϕ(x) = g(x) − f (x) = max(f (x), g(x)) − min(f (x), g(x)). Таким образом, |ϕ(x)| = max(f (x), g(x)) − min(f (x), g(x)). Из леммы 6.4 следует, что и max(f (x), g(x)), и min(f (x), g(x)) в данном случае являются функциями класса D+ . И поэтому |ϕ(x)| ∈ D. Лемма 8.4. Если функция ϕ(x) есть суммируемая функция, то её положительная ϕ+ (x) и отрицательная ϕ− (x) части есть суммируемые функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично теоретическому упражнению 3.1 из этой главы попробуем определить положительную ϕ+ (x) и отрицательную ϕ− (x) части суммируемой функции ϕ(x) как линейные комбинации самой функции и её модуля. 1. Допустим, что ϕ(x) ≥ 0. Тогда если ϕ(x) = f (x) − g(x) (здесь f (x) ∈ D+ и g(x) ∈ D+ ), то f (x) − g(x) ≥ 0 и поэтому ϕ+ (x) = max(ϕ(x), 0) = max(f (x) − g(x), 0) = f (x) − g(x) = ϕ(x), а ϕ− (x) = max(0, −ϕ(x)) = max(0, g(x) − f (x)) = 0. Что же касается модуля |ϕ(x)|, то в данном случае |ϕ(x)| = ϕ(x). 2. В том случае, когда ϕ(x) < 0, получаем, что ϕ+ (x) = max(ϕ(x), 0) = max(f (x) − g(x), 0) = 0, а ϕ− (x) = max(0, −ϕ(x)) = max(0, −(f (x) − g(x))) = g(x) − f (x) = −ϕ(x). А модуль |ϕ(x)| = −ϕ(x). Рассматривая полученные в первом и втором случаях соотношения, заметим, что их объединяет следующая система уравнений ϕ(x) = ϕ+ (x) − ϕ− (x), |ϕ(x)| = ϕ+ (x) + ϕ− (x). 112 Решая данную систему относительно ϕ+ (x) и ϕ− (x), находим 1 1 ϕ+ (x) = (ϕ(x) + |ϕ(x)|), ϕ− (x) = (|ϕ(x)| − ϕ(x)). 2 2 Следовательно, на основании следствия 8.1 и леммы 8.4 можно утверждать, что положительная ϕ+ (x) и отрицательная ϕ− (x) части функции ϕ(x) являются суммируемыми функциями. Лемма 8.5. Если функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) являются суммируемыми функциями, то их max(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) и min(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) тоже суммируемые функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из доказательства леммы 3.5 данной главы следует, что рассматриваемые функции max(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) и min(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) можно представить в виде линейных комбинаций суммируемых функций 1 max(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) = (ϕ1 (x) + ϕ2 (x) + |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)|); 2 1 min(ϕ1 (x), ϕ2 (x)) = (ϕ1 (x) + ϕ2 (x) − |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)|). 2 А это, в силу следствия 8.1, и означает, что они являются суммируемыми функциями. § 9. Интеграл в классе суммируемых функций Введём понятие интеграла в классе D. Пусть функция ϕ(x) является суммируемой и имеет разложение ϕ(x) = f (x) − g(x), где f (x) ∈ D+ , g(x) ∈ D+ . Определение 9.1. Величина I(ϕ) = I(f ) − I(g) называется интегралом Даниэля1 функции ϕ(x) и обозначается Zb I(ϕ) = (D) ϕ(x) dx . a Чтобы установить корректность данного определения, докажем следующую лемму. Лемма 9.1 (О е д и н с т в е н н о с т и и н т е г р а л а Д а н и э л я). Формула I(ϕ) = I(f ) − I(g) определяет интеграл Даниэля единственным образом. 1 См. комментарии в конце главы. 113 Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что одновременно с разложением ϕ(x) = f (x) − g(x) существует второе разложение ϕ(x) = f1 (x) − g1 (x), где f1 (x) ∈ D+ , g1 (x) ∈ D+ . Тогда f (x) − g(x) = f1 (x) − g1 (x), а значит, f (x) + g1 (x) = f1 (x) + g(x). Откуда, в силу единственности интеграла в классе D+ , следует, что I(f + g1 ) = I(f1 + g). А из свойства линейности интеграла в классе D+ вытекает, что I(f ) + I(g1 ) = I(f1 ) + I(g). Поэтому I(f ) − I(g) = I(f1 ) − I(g1 ), что и требовалось доказать. Рассмотрим свойства, которыми обладает интеграл Даниэля. Лемма 9.2 (С в о й с т в о а д д и т и в н о с т и). Если функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — суммируемые функции, то I(ϕ1 + ϕ2 ) = I(ϕ1 ) + I(ϕ2 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ϕ1 (x) = f1 (x) − g1 (x), а ϕ2 (x) = f2 (x) − g2 (x), где функции f1 (x), g1 (x), f2 (x), g2 (x) принадлежат классу D+ . Тогда из свойств функций в этом классе следует, что ϕ1 (x) + ϕ2 (x) = (f1 (x) − g1 (x)) + (f2 (x) − g2 (x)) = (f1 (x) + f2 (x)) − (g1 (x) + g2 (x)). Согласно определению интеграла Даниэля получаем I(ϕ1 + ϕ2 ) = I(f1 + f2 ) − I(g1 + g2 ). В силу аддитивности интеграла в классе D+ из последнего равенства вытекает, что I(ϕ1 +ϕ2 ) = I(f1 )+I(f2 )−I(g1 +g2 ) = (I(f1 )−I(g1 ))+(I(f2 −I(g2 )) = I(ϕ1 )+I(ϕ2 ). Что и доказывает, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций. Лемма 9.3 (С в о й с т в о о д н о р о д н о с т и). Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла Даниэля, то есть, если α — произвольное действительное число, то I(αϕ) = αI(ϕ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два случая: 1. Предположим, что α ≥ 0. Используя свойства линейности интеграла в классе + D , имеем I(αϕ) = I(α(f − g)) = I(αf − αg) = I(αf ) − I(αg) = 114 = αI(f ) − αI(g) = α(I(f ) − I(g)) = αI(f − g) = αI(ϕ). 2. Пусть теперь α < 0. Рассмотрим сначала вариант α = −1. I(−ϕ) = I(−(f − g)) = I(g − f ) = I(g) − I(f ) = −(I(f ) − I(g)) = −I(ϕ). Используя это при всех остальных α < 0, получим I(αϕ) = I(−|α|ϕ) = −I(|α|ϕ) = −|α|I(ϕ) = αI(ϕ). Таким образом, постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла всегда. Лемма 9.4. Интеграл Даниэля от суммируемой неотрицательной функции является неотрицательным числом, то есть если ϕ(x) ∈ D и ϕ ≥ 0, то I(ϕ) ≥ 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что суммируемая функция ϕ(x) = f (x) − g(x), где функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+ . И ϕ(x) ≥ 0. Тогда f (x) − g(x) ≥ 0. А значит, f (x) ≥ g(x). Поэтому в силу монотонности интеграла в классе D+ I(f ) ≥ I(g). Cледовательно, I(ϕ) = I(f − g) = I(f ) − I(g) ≥ 0. Что и требовалось доказать. Лемма 9.5 (С в о й с т в о м о н о т о н н о с т и). Если для двух суммируемых функций выполняется неравенство ϕ1 (x) ≥ ϕ2 (x), то I(ϕ1 ) ≥ I(ϕ2 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ϕ1 (x) ≥ ϕ2 (x), то ϕ1 (x) − ϕ2 (x) ≥ 0. Тогда из предыдущей леммы вытекает, что I(ϕ1 − ϕ2 ) ≥ 0. Поэтому I(ϕ1 ) − I(ϕ2 ) ≥ 0 и I(ϕ1 ) ≥ I(ϕ2 ). Так как для любой суммируемой функции ϕ(x) ≤ |ϕ(x)|, то следующая лемма является очевидным следствием предыдущей. Лемма 9.6. Для любой суммируемой функции ϕ(x) I(ϕ) ≤ I(|ϕ|). В заключение параграфа рассмотрим один нюанс в разложении суммируемой функции в виде разности функций из класса D+ , который нам понадобится далее. Лемма 9.7. Для любого положительного числа ε в представлении суммируемой функции ϕ(x) = f (x) − g(x) можно выбрать функцию g(x) ∈ D+ таким образом, чтобы она была неотрицательной и I(g) < ε. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность ступенчатых функций {hn (x)} такую что, hn (x) % g(x) и lim I(hn ) = I(g). n→∞ 115 Перепишем разложение функции ϕ(x) в виде ϕ(x) = f (x) − g(x) = (f (x) − hn (x)) − (g(x) − hn (x)) = fn (x) − gn (x). Заметим, что функции fn (x) = f (x) − hn (x) = f (x) + (−hn (x)) как суммы двух функций из D+ сами принадлежат D+ . Точно также это верно и для функций gn (x). Из условия леммы вытекает, что при любом n функции gn (x) = g(x) − hn (x) ≥ 0 и при любом ε > 0 можно найти номер N = N (ε) такой, что для всех n > N будет иметь место неравенство I(gn ) < ε. Замечание 9.1. Обратите внимание, что в случае неотрицательности суммируемой функции ϕ(x), функции fn (x) = f (x) − hn (x) ≥ f (x) − g(x) = ϕ(x) также являются неотрицательными. Следующая теорема определяет отношение между суммируемыми функциями и функциями, интегрируемыми по Риману. Теорема 9.1. Для того чтобы функция f (x) была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы f (x) и −f (x) одновременно принадлежали классу D+ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что функция f (x) является интегрируемой по Риману на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок [a; b] на 2n равных промежутков. Рассмотрим функцию hn (x), соответствующую данному разбиению: её значения на каждом из промежутков являются постоянными, совпадающими с точными нижними гранями функции f (x) на этих промежутках. Заставив n → ∞, определим последовательность функций {hn (x)}. Так как каждое новое разбиение является измельчением предшествующего, то построенная последовательность является неубывающей. В силу интегрируемости f (x) является почти всюду непрерывной функцией. Поэтому {hn (x)} почти всюду к ней сходится. При этом предел последовательности интегралов от ступенчатых функций hn (x) является интегралом от функции f (x) (как функции класса D+ ), и он же является её нижним интегралом Дарбу, то есть интегралом Римана. То есть в данном случае оба интеграла совпадают. Точно также можно доказать, что и функция −f (x) ∈ D+ . Допустим теперь обратное. Пусть функции f (x) и −f (x) одновременно принадлежат классу D+ . В этом случае оба интеграла Дарбу функции f (x) совпадают с интегралом от этой функции в классе D+ . Поэтому f (x) оказывается интегрируемой по Риману. Что и требовалось доказать. 116 § 10. Теорема Беппо Леви и её следствия Далее рассмотрим одну из важнейших теорем о предельном переходе под знаком интеграла для суммируемых положительных функций1 . Теорема 10.1 (Т е о р е м а Л е в и). Пусть члены функционального ряда ∞ X ϕk (x) являются суммируемыми положительными функциями, а интегралы k=1 от его частичных сумм ограничены в совокупности: ! n X ϕk (x) ≤ C . I k=1 Тогда сумма данного ряда ϕ(x) является суммируемой функцией, а ряд можно почленно интегрировать: ∞ X I(ϕk ). I(ϕ) = k=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя лемму 9.7 с учётом замечания 9.1, для каждой из функций ϕk (x), являющихся членами изучаемого ряда, построим такое разложение ϕk (x) = fk (x) − gk (x), fk (x) ∈ D+ , gk (x) ∈ D+ , в котором для каждого натурального k имеют место следующие ограничения: gk (x) ≥ 0, I(gk ) < 1 . 2k Эти ограничения позволяют заметить, что функциональный ряд ∞ X gk (x) удов- k=1 летворяет условиям следствия 7.1, а именно: gk (x) ≥ 0, а ! n n n X X X 1 1 I gk (x) = I(gk ) ≤ = 1 − < 1 .1 k n 2 2 k=1 k=1 k=1 Следовательно, если функция g(x) есть сумма ряда ∞ X gk (x), то она принадлежит k=1 + классу D , и данный ряд можно почленно интегрировать, т. е. I(g) = Докажем, что и ряд ∞ X ∞ X I(gk ). k=1 fk (x) сходится к функции из класса D+ и его можно k=1 1 Лéви Бéппо (Levi Beppo, 1875-1961) — итальянский математик. Основные работы в области теории функций, высшей геометрии и квантовой механики. Эту теорему опубликовал в 1906 году. n 1 1 X 1 1 2 1 − 2n 2 = 1 − n. Так как сумма первых n членов геометрической прогрессии = 1 k 2 2 1− 2 k=1 117 почленно интегрировать. Во-первых, из построенного разложения функции ϕk (x) следует, что fk (x) ≥ 0. Во-вторых, ! ! ! n n n X X X gk (x) < C + 1. ϕk (x) + I fk (x) = I I k=1 k=1 k=1 Таким образом, если функция f (x) является суммой ряда ∞ X fk (x), то она является k=1 + функцией класса D . А сходящийся к ней ряд допускает почленное интегрирование ∞ X I(fk ). Поэтому I(f ) = k=1 ϕ(x) = ∞ X k=1 ϕk (x) = ∞ X (fk (x) − gk (x)) = ∞ X fk (x) − gk (x) = f (x) − g(x) k=1 k=1 k=1 ∞ X является суммируемой функцией, а I(ϕ) = I(f ) − I(g) = ∞ X k=1 I(fk ) − ∞ X I(gk ) = k=1 ∞ X k=1 I(fk − gk ) = ∞ X I(ϕk ) . k=1 Что и требовалось доказать. Следствие 10.1. Если последовательность положительных суммируемых функций {ψn (x)}, монотонно возрастая, сходится к функции ψ(x) и при этом для любого натурального n I(ψn ) ≤ C, то ψ(x) — суммируемая функция, интеграл от которой I(ψ) = lim I(ψn ).1 n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы это доказать, построим новую последовательность ϕ1 (x) = ψ1 (x), ϕ2 (x) = ψ2 (x) − ψ1 (x), . . . , ϕn (x) = ψn (x) − ψn−1 (x), . . . и составим из её членов функциональный ряд ϕk (x). Если подробно расписать k=1 его n-ю частичную сумму Sn (x) = ψ1 (x) + ∞ X n X ϕk (x) = ψ1 (x) + k=2 n X (ψk (x) − ψk−1 (x)) = k=2 = ψ1 (x) + (ψ2 (x) − ψ1 (x)) + (ψ3 (x) − ψ2 (x)) + · · · + (ψn (x) − ψn−1 (x)), 1 Заметим, что в некоторых учебниках (см., например, Натансон И. П. или Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б.) именно эта формулировка называется теоремой Беппо Леви. 118 то можно увидеть, что Sn (x) = ψn (x). Поэтому из условия вытекает, что функция ψ(x) является суммой построенного ряда. Так как функции ψn (x) являются суммируемыми, то в силу лемм 8.1 и 8.2 функции ϕn (x) и Sn (x) также являются суммируемыми. Кроме того, из свойств линейности интеграла Даниэля вытекает, что ! n X ϕk = I(ψn ) ≤ C. I(Sn ) = I k=1 Следовательно, из предыдущей теоремы вытекает, что ряд n X ϕk (x) почленно k=1 интегрируем. Таким образом, I(ψ) = lim I(Sn ) = lim I(ψn ). Что и доказывает n→∞ n→∞ истинность данного следствия1 . Уже известно, что если функция ϕ(x) отлична от нуля только на множестве меры нуль, то интеграл от неё равен нулю. Возникает вопрос: а если интеграл I(ϕ) = 0, то можно ли утверждать, что ϕ(x) = 0 почти всюду? Ответ на это даёт следующая теорема, которую можно рассматривать как еще одно следствие из теоремы Беппо Леви. Теорема 10.2. Если интеграл от неотрицательной суммируемой функции ϕ(x) равен нулю, то интегрируемая функция ϕ(x) почти всюду равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция ϕ(x) есть неотрицательная суммируемая функция, интеграл от которой I(ϕ) = 0. Рассмотрим последовательность функций {ϕn (x)} таких, что ϕn (x) = nϕ(x). Рассмотрим предел ψ(x) функций этой последовательности при n → ∞: 0, если ϕ(x) = 0, ψ(x) = +∞, если ϕ(x) > 0. Функция ψ(x) как предел последовательности {ϕn (x)} должна удовлетворять утверждению следствия 10.1, то есть быть суммируемой, так как каждая из функций последовательности {ϕn (x)} удовлетворяет условию этого следствия. Но суммируемая функция должна почти всюду быть ограниченной. Поэтому множество тех x, в которых ψ(x) = +∞, является множеством меры нуль. А это означает, что множество тех x, в которых функция ϕ(x) = 0, является множеством полной меры. Что и требовалось доказать. В заключение рассмотрим в виде леммы утверждение, которое можно считать пересказом определения 4.2 множества меры нуль на языке суммируемых функций. Лемма 10.1. Пусть множество A является подмножеством отрезка [a; b]. Предположим, что для любого числа ε > 0 можно построить возрастающую последовательность неотрицательных суммируемых функций (ε) (ε) ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ≤ . . . ϕ(ε) n (x) ≤ . . . 1 Это следствие также верно и для убывающих последовательностей суммируемых функций {ψn (x)}, для которых lim ψn (x) = ψ(x) и таких, что I(ψn ) ≥ C. n→∞ 119 таких, что для любого n I(ϕn(ε) ) < ε и sup ϕ(ε) n (x) ≥ 1 для всех x ∈ X. Тогда n множество A есть множество меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что если бы функции ϕ(ε) n (x) были ступенчатыми функциями, то данное утверждение просто бы вытекало из определения множества меры нуль. В данном случае определим функцию ϕ(ε) (x) = lim ϕ(ε) n (x). n→∞ Так как рассматриваемая последовательность {ϕ(ε) n (x)} является неубывающей, то её предел ϕ(ε) (x) ≥ sup ϕ(ε) n (x) ≥ 1 . n Из следствия 10.1 вытекает, что функция ϕ(ε) (x) является суммируемой, а I(ϕ(ε) ) = lim I(ϕ(ε) n ) ≤ ε. n→∞ 1 1 Построим с помощью последовательности значений ε = 1, , . . . , , . . . последо2 n (1) (1) (1/2) вательность функций ψ1 (x) = ϕ (x), ψ2 (x) = min ϕ (x), ϕ (x) , . . . , (1) ψn (x) = min ϕ (x), ϕ (1/2) (x), . . . , ϕ (1/n) (x) , . . . Каждая из функций ψn (x) новой последовательности является неотрицательной и на множестве A принимает значения бóльшие, чем 1. Из построения следует, что последовательность является невозрастающей 1 (1/n) ψ1 (x) ≥ ψ2 (x) ≥ · · · ≥ ψn (x) ≥ . . . и I(ψn ) ≤ I ϕ ≤ . n Допустим, что ψ(x) = lim ψn (x). n→∞ Из следствия 10.1 видно, что ψ(x) — суммируемая функция и I(ψ) = lim I(ψn ) = 0 . n→∞ Кроме этого, ψ(x) есть функция неотрицательная и на множестве A имеет значения бóльшие, чем 1. Рассмотрим множество точек A1 = {x : ψ(x) > 0}. Из построения последовательности {ψn (x)} вытекает, что A ⊆ A1 . Так как интеграл от неотрицательной суммируемой функции ψ(x) равен нулю, то почти всюду ψ(x) = 0, что следует из теоремы 10.2. Поэтому множество A1 может быть только множеством меры нуль. А значит, и его подмножество A тоже является множеством меры нуль. Что и нужно было доказать. 120 § 11. Теорема Лебега и её следствия Предельный переход под знаком интеграла, рассмотренный в следствии 10.1, был бы невозможен без условия монотонности исследуемой последовательности. В общем же случае попытка сформулировать утверждение о том, что если lim ϕn (x) = ϕ(x), то lim I(ϕn ) = I(ϕ), n→∞ n→∞ окажется неудачной. Потверждением этому может служить такой пример. Рассмотрим последовательность функций {ϕn (x)}, определяемых следующим образом:  1     n, если x ∈ 0; n , ϕn (x) =  1   ;1 .  0, если x ∈ n Для данной последовательности почти всюду на отрезке [0; 1] lim ϕn (x) = 0 . n→∞ Естественно, что и интеграл от предельной функции ϕ(x) = 0 равен нулю. А вот предел от последовательности интегралов 1 Z1 Zn 0 · dx = 1 . n dx + lim lim I(ϕn ) = lim n→∞ n→∞ n→∞ 0 1 n То есть lim I(ϕn ) 6= I(ϕ). n→∞ Таким образом, снятие ограничения на характер предельного перехода приводит к невозможности организовать предельный переход под знаком интеграла. Попытка заменить условие монотонности была предпринята Анри Лебегом и привела его к доказанной в 1902 году теореме о предельном переходе под знаком интеграла для сходящейся последовательности суммируемых ограниченных функций. Теорема 11.1 (Т е о р е м а Л е б е г а). Предположим, что ϕ0 (x) — неотрицательная суммируемая функция из класса D. Если последовательность суммируемых функций {ϕn (x)} сходится на отрезке [a; b] почти всюду к функции ϕ(x) и удовлетворяет условию |ϕn (x)| ≤ ϕ0 (x) для любого натурального числа n, то ϕ(x) — суммируемая функция такая, что I(ϕ) = lim I(ϕn ) . n→∞ 121 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество всех суммируемых функций f (x), удовлетворяющих почти всюду на отрезке [a; b] неравенству −ϕ0 (x) ≤ f (x) ≤ ϕ0 (x). (∗) Обозначим это множество через D(ϕ0 ). Из свойства монотонности интеграла Даниэля (лемма 9.5) следует, что для каждой функции f (x) ∈ D(ϕ0 ) справедливо неравенство −I(ϕ0 ) ≤ I(f ) ≤ I(ϕ). Докажем, что множество D(ϕ0 ) замкнуто относительно операции предельного перехода для монотонных последовательностей. Пусть {fn (x)} — монотонно возрастающая (или убывающая) последовательность функций из множества D(ϕ0 ). Если f (x) = lim fn (x), то f (x) почти всюду вместе с функциями fn (x) удовлеn→∞ творяет неравенству (∗). Согласно следствию 10.1 функция f (x) является суммируемой функцией. Что и доказывает замкнутость множества D(ϕ0 ) относительно операции предельного перехода. Предположим, что {ϕn (x)} ⊂ D(ϕ0 ) — произвольная последовательность, сходящаяся почти всюду на отрезке [a; b] к некоторой функции ϕ(x). Построим две монотонные последовательности {ψn (x)} и {χn (x)} такие, чтобы для любого натурального n выполнялись условия χn (x) % ϕ(x) и ψn (x) & ϕ(x), и при этом обе последовательности содержались бы в D(ϕ0 ). Для этого рассмотрим последовательность функций ϕn (x) = max{ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x)}. Каждая из функций ϕn (x) этой последовательности принадлежит множеству D(ϕ0 ), а сама последовательность {ϕn (x)} является возрастающей. При этом lim ϕn (x) = sup{ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), . . . } ∈ D(ϕ0 ). n→∞ n Аналогично рассмотрим последовательность функций ϕ n (x) = min{ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x)}, функции которой ϕ n (x) ∈ D(ϕ0 ). Сама же последовательность {ϕ n (x)} является убывающей. Причём lim ϕ n (x) = inf {ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), . . . } ∈ D(ϕ0 ). n→∞ n Определим искомые последовательности следующим образом: ψn (x) = sup{ϕn (x), ϕn+1 (x), . . . }, 122 χn (x) = inf{ϕn (x), ϕn+1 (x), . . . }. Рассмотрим только те точки отрезка [a; b], в которых функции ϕn (x) имеют предел ϕ(x). По определению точной верхней грани множества каждая из функций ψn (x) не меньше любого из элементов множества функций, на котором она определена. Поэтому ψn (x) ≥ lim ϕn+p (x) = ϕ( x). p→∞ Точно также, по определению точной нижней грани множества, каждая из функций χn (x) не превосходит ни одного из элементов множества функций, на котором она задана. А значит χn (x) ≤ lim ϕn+p (x) = ϕ( x). p→∞ Если из совокупности функций ϕn (x), ϕn+1 (x), . . . удалить функцию ϕn (x), то нижняя точная грань может только увеличиться, а точная верхня грань — только уменьшиться. Следовательно, ψn+1 (x) ≤ ψn (x), χn+1 (x) ≥ χn (x). Поэтому функции ψn (x) образуют убывающую последовательность, а функции χn (x) — возрастающую последовательность. Таким образом, мы получили две монотонные последовательности из множества D(ϕ0 ), для которых функция ϕ(x) является пределом. А значит, в силу замкнутости D(ϕ0 ) относительно операции предельного перехода можно сделать вывод о суммируемости функции ϕ(x). Одновременно мы получаем I(χn ) % I(ϕ), I(ψn ) & I(ϕ) и I(χn ) ≤ I(ϕn ) ≤ I(ψn ). Откуда следует, что lim I(ϕn ) = I(ϕ). n→∞ Существуют отдельные случаи, когда из условия lim ϕn (x) = ϕ(x) не следует n→∞ вывод о том, что lim I(ϕn ) = I(ϕ), но тем не менее, есть возможность установить n→∞ суммируемость предельной функции ϕ(x). А для интеграла от этой функции хоть и нельзя найти точное значение, но возможно получить его некоторую оценку. Следствие 11.1. Предположим, что ϕ0 (x) — неотрицательная суммируемая функция. Если последовательность суммируемых функций {ϕn (x)} сходится на отрезке [a; b] почти всюду к функции ϕ(x), которая удовлетворяет условию |ϕ(x)| ≤ ϕ0 (x), то ϕ(x) является суммируемой функцией, а интеграл Даниэля от неё можно оценить с помощью неравенства |I(ϕ)| ≤ I(ϕ0 ) . 123 Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы доказать это, рассмотрим следующую последовательность функций1  ϕn (x) ≤ −ϕ0 (x),  −ϕ0 (x), если ψn (x) = ϕn (x), если − ϕ0 (x) < ϕn (x) < ϕ0 (x),  ϕ0 (x), если ϕn (x) ≥ ϕ0 (x). Так как согласно условию функция ϕ(x) удовлетворяет неравенству −ϕ0 (x) < ϕ(x) < ϕ0 (x), то lim ψn (x) = lim ϕn (x) = ϕ(x) . n→∞ n→∞ Из леммы 8.5 о суммируемости максимума и минимума суммируемых функций вытекает суммируемость функций ψn (x). А из определения функций ψn (x) следует, что |ψn (x)| ≤ ϕ0 (x). Поэтому из теоремы Лебега следует, что функция ϕ(x) является суммируемой функцией. Второе утверждение леммы о том, что |I(ϕ)| ≤ I(ϕ0 ), вытекает из свойства монотонности интеграла Даниэля (см. лемму 9.5). Еще одно следствие из теоремы Лебега связано с заменой условия |ϕn (x)| ≤ ϕ0 (x) на более слабое ограничение2 I(|ϕn |) ≤ C. Прежде чем его сформулировать, рассмотрим еще одну теорему о суммируемости предела последовательности неотрицательных суммируемых функций, доказанную П. Фатý3 в 1906 году и известную как Теорема 11.2 (Л е м м а Ф а т у). Пусть {ϕn (x)} — последовательность неотрицательных суммируемых функций, сходящихся почти всюду на отрезке [a; b] к функции ϕ(x). Если C — некоторая неотрицательная постоянная такая, что для любого натурального n I(ϕn ) ≤ C, то ϕ(x) является суммируемой функцией, интеграл от которой можно оценить с помощью неравенства 0 ≤ I(ϕ) ≤ C . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность функций вида χn (x) = inf{ϕn (x), ϕn+1 (x), . . . }. 1 Такое задание функций ψn (x) называется срезкой функций ϕn (x) сверху и снизу по уровням ϕ0 (x) и −ϕ0 (x) соответственно. Эту срезку можно также определить следующим образом: ψn (x) = max{min{ϕn (x), ϕ0 (x)}, −ϕ0 (x)}. 2 Здесь C — некоторая неотрицательная постоянная. 3 Фату Пьер (Pierre Joseph Louis Fatou, 1878-1929) — французский математик. Основные работы в области теории функций. 124 Так как функции ϕn (x) являются неотрицательными по условию, то χn (x) ≥ 0. Из определения χn (x) следует, что χn (x) = inf{ϕn (x), ϕn+1 (x), . . . } ≤ inf{ϕn+1 (x), ϕn+2 (x), . . . } = χn+1 (x). То есть последовательность {χn (x)} является возрастающей последовательностью суммируемых функций и почти всюду lim χn (x) = lim ϕn (x) = ϕ(x). n→∞ n→∞ Из определения точной нижней грани видно, что χn (x) ≤ ϕn (x), и поэтому в силу свойства монотонности интеграла Даниэля (лемма 9.5) I(χn ) ≤ I(ϕn ) ≤ C . Таким образом, для последовательности {χn (x)} выполняются условия следствия 10.1 из теоремы Беппо Леви. Поэтому её предельная функция ϕ(x) является суммируемой и 0 ≤ I(ϕ) = lim I(χn ) ≤ lim I(ϕn ) ≤ C . n→∞ n→∞ Что и требовалось доказать. Используя лемму Фату, перейдем к следующему следствию из теоремы Лебега. Следствие 11.2. Предположим, что {ϕn (x)} — последовательность суммируемых функций, сходящихся почти всюду на отрезке [a; b] к функции ϕ(x). Если C — некоторая неотрицательная постоянная такая, что для любого натурального n I(|ϕn |) ≤ C, то ϕ(x) — суммируемая функция и 0 ≤ I(|ϕ|) ≤ C . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции |ϕn (x)| − неотрицательные, то из леммы Фату вытекает, что функция |ϕ(x)| − суммируемая функция. Поэтому из следствия 11.1 видно, что ϕ(x) − суммируемая функция1 и имеет место I(|ϕ|) ≤ C. Именно это и требовалось доказать. § 12. Функции, измеримые по Риссу Из данного в § 8 определения суммируемой функции следует существование сходящихся почти всюду последовательностей ступенчатых функций, имеющих 1 В силу очевидности неравенства ϕ(x) ≤ |ϕ(x)|. 125 суммируемые пределы. Но очевидно также, что существуют и такие последовательности ступенчатых функций, которые сходятся почти всюду, но не имеют суммируемых пределов. Поэтому возникает вопрос о том месте, которое суммируемые функции занимают в «мире» функций. Определение 12.1. Функция, определённая почти всюду на отрезке [a; b], называется измеримой по Риссу, если на этом отрезке существует почти всюду сходящаяся к ней последовательность ступенчатых функций. Из этого определения вытекает, что любая функция, которая отличается от измеримой только на множестве меры нуль, сама является измеримой функцией. Из леммы 6.1 следует, что каждая функция из класса D+ является измеримой функцией. Рассмотрим простейшие свойства измеримых функций. Лемма 12.1. Измеримые функции образуют линейное пространство. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функции f (x) и g(x) — измеримые функции. Тогда почти всюду на отрезке [a; b] существуют две последовательности ступенчатых функций {hn (x)} и {khn (x)} такие, что f (x) = lim hn (x), а g(x) = lim kn (x) . n→∞ n→∞ Согласно лемме 3.1 ступенчатые функции образуют линейное пространство. Поэтому функции αhn (x) + βkn (x) являются ступенчатыми. При этом они сходятся к функции αf (x) + βg(x) всюду, кроме множества меры нуль1 . Следовательно, функция αf (x) + βg(x) является измеримой. Что и требовалось доказать. Следствие 12.1. Каждая суммируемая функция является измеримой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждая функция f (x) ∈ D+ является по определению пределом возрастающей последовательности ступенчатых функций, то она является и измеримой функцией. Поэтому любая суммируемая функция как разность двух измеримых функций из класса f (x) ∈ D+ является измеримой. Лемма 12.2. Произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Исходя из утверждения леммы 3.2, доказательство данной леммы проводится точно так же, как и доказательство предыдущей леммы. Лемма 12.3. Частное от деления двух измеримых функций есть функция измеримая, если функция-делитель почти всюду отлична от нуля. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность ступенчатых функций {hn (x)} сходится к измеримой функции f (x) всюду на отрезке [a; b] за исключением точек множества X, мера которого равна нулю. И, точно также, последовательность ступенчатых функций {kn (x)} сходится к измеримой функции g(x) всюду на отрезке [a; b] за исключением точек множества Y , мера которого тоже равна нулю. Заменим значения ступенчатых функций {kn (x)} в тех случаях, 1 Данное множество является объединением двух множеств меры нуль, на которых последовательности ступенчатых функций {hn (x)} и {khn (x)} не сходятся к соответствующим измеримым функциям f (x) и g(x). 126 1 . В результате мы получим новую последоn вательность ступенчатых функций {kn0 (x)}, не обращающихся в нуль, и также сходящихся к функции g(x) всюду, кроме точек множества Y . Пусть Z — множество меры нуль тех точек, в которых функции kn (x) = 0. Тогда последовательность hn (x) f (x) 1 всюду, кроме точек ступенчатых функций сходится к функции kn (x) g(x) f (x) множества X ∪Y ∪Z, мера которого равна нулю. Поэтому функция является g(x) измеримой функцией. когда они равны нулю, на числа Лемма 12.4. Абсолютная величина измеримой функции является функцией измеримой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) измерима. Тогда существует {hn (x)} такая, что lim hn (x) = f (x). Следовательно, существует и предел n→∞ lim |hn (x)| = |f (x)|. А это означает, что функция |f (x)| также является измеримой. Из данной леммы и доказательства леммы 8.4 этой главы вытекает Лемма 12.5. Положительная f + (x) и отрицательная f − (x) части измеримой функции f (x) являются измеримыми функциями. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как n→∞ 1 1 f + (x) = (f (x) + |f (x)|); f − (x) = (|f (x)| − f (x)), 2 2 то из леммы 12.1 следует, что линейные комбинации измеримых функций f (x) и |f (x)| являются измеримыми функциями. Что и требовалось доказать. Лемма 12.6. Если f (x) и g(x) — измеримые функции, то max{f (x), g(x)} и min{f (x), g(x)} есть тоже измеримые функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем измеримость функции max{f (x), g(x)}. Для этого покажем истинность следующего равенства: max{f (x), g(x)} = (f (x) − g(x))+ + g(x). Допустим, что f (x) ≥ g(x). Тогда max{f (x), g(x)} = f (x) и (f (x) − g(x))+ + g(x) = f (x) − g(x) + g(x) = f (x). Если же f (x) < g(x), то, с одной стороны max{f (x), g(x)} = g(x), 1 То, что они ступенчатые, вытекает из леммы 3.3. 127 а с другой стороны — (f (x) − g(x))+ + g(x) = 0 + g(x) = g(x). Так как доказываемое равенство истинно, то функция max{f (x), g(x)} является линейной комбинацией измеримых функций. Значит и сама является измеримой функцией. Чтобы доказать измеримость функции min{f (x), g(x)}, достаточно доказать истинность следующего равенства min{f (x), g(x)} = − max{−f (x); −g(x)}. В силу того, что max{−f (x); −g(x)} = (−f (x) + g(x))+ − g(x), получаем − max{−f (x); −g(x)} = g(x) − (−f (x) + g(x))+ . Поэтому, если f (x) ≥ g(x), то min{f (x), g(x)} = g(x) ≡ g(x) − 0 = g(x). Если же f (x) < g(x), то min{f (x), g(x)} = f (x) ≡ g(x) − (−f (x) + g(x)) = f (x). Поэтому и min{f (x), g(x)} является измеримой функцией. Из следствия 12.1 мы знаем, что каждая суммируемая функция является измеримой. Но для того чтобы последовательность суммируемых функций сходилась к измеримой функции, она должна удовлетворять следующей лемме. Лемма 12.7. Если возрастающая последовательность суммируемых функций {ϕn (x)} сходится почти всюду к функции ϕ(x), то функция ϕ(x) является измеримой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства леммы воспользуемся идеей, примененной при доказательстве теоремы 7.1 этой главы. Допустим, что функции ϕn (x) ∈ D+ . При каждом n существует последовательность ступенчатых функций {hnk (x)} такая, что при k → ∞ hnk (x) % ϕn (x). Предположим, что hn (x) = max{h1n (x), h2n (x), . . . , hnn (x)}. Последовательность ступенчатых функций {hn (x)} является возрастающей, при этом из её определения следует, что существует измеримая функция ϕ∗ (x) такая, что lim hn (x) = ϕ∗ (x). n→∞ 128 Так как при n ≥ k имеет место неравенство hkn (x) ≤ hn (x) ≤ ϕn (x), то верно и неравенство lim hkn (x) ≤ lim hn (x) ≤ lim ϕn (x). n→∞ n→∞ n→∞ Следовательно, ϕk (x) ≤ ϕ∗ (x) ≤ ϕ(x). Но в силу того, что при k → ∞ ϕk (x) % ϕ(x), то ϕ(x) = ϕ∗ (x). Поэтому ϕ(x) является измеримой функцией. Предположим теперь, что fn (x) — произвольные суммируемые функции. Построим с их помощью новую последовательность неотрицательных суммируемых функций ϕ0 (x) = f1 (x), ϕn (x) = fn+1 (x) − fn (x) (n = 1, 2, . . . ). С её помощью функцию f (x) можно представить как f (x) = lim fn (x) = n→∞ ∞ X ϕn (x). n=0 С помощью леммы 9.7 этой главы, точно так же как при доказательстве теоремы Беппо Леви, выберем в классе D+ положительные функции gn (x) и gn0 (x) таким 1 образом, чтобы ϕn (x) = gn (x) − gn0 (x) при условии, что I(gn0 ) < n . Суммой ряда 2 ∞ X gn0 (x) является функция g 0 (x) ∈ D+ . Ряд n=0 ∞ X gn (x) = ∞ X n=0 ϕn (x) + n=0 ∞ X gn0 (x) n=0 сходится почти всюду к конечному пределу g(x), который является по доказанному измеримой функцией. Поэтому функция f (x) = ∞ X ϕn (x) = n=0 ∞ X gn (x) − n=0 ∞ X gn0 (x) = g(x) − g 0 (x) n=0 есть измеримая функция. Что и требовалось доказать. Так как не каждая измеримая функция является суммируемой1 , то естественно рассмотреть условия, при которых измеримая функция является суммируемой. Теорема 12.1. Пусть ϕ(x) — некоторая неотрицательная суммируемая функция. Если f (x) — измеримая функция такая, что −ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ϕ(x), 1 Например, ϕ(x) = 1 на отрезке [0; 1]. x 129 то f (x) является суммируемой функцией2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что {hn (x)} — последовательность ступенчатых функций, сходящаяся к функции f (x). Точно также, как в доказательстве следствия 11.1, построим срезку функций {hn (x)}.  hn (x) ≤ −ϕ(x),  −ϕ (x), если hn (x), если − ϕ (x) < hn (x) < ϕ(x), fn (x) =  ϕ (x), если hn (x) ≥ ϕ(x). Функции полученной последовательности {fn (x)} являются суммируемыми функциями и принадлежат классу D(ϕ). Следовательно, они почти всюду сходятся к функции f (x). Поэтому из теоремы Лебега следует, что функция f (x) − суммируемая функция. Что и требовалось доказать. Из данной теоремы вытекают два следствия. Следствие 12.2Любая ограниченная измеримая функция является суммируемой.. Следствие 12.3. Каждая неотрицательная измеримая функция является пределом возрастающей последовательности суммируемых функций. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f (x) — неотрицательная измеримая функция. В этом случае существует последовательность неотрицательных ступенчатых функций {hn (x)} такая, что f (x) = lim hn (x). n→∞ Рассмотрим функцию max{h1 (x), h2 (x), . . . , hn (x)}. Данная ступенчатая функция является суммируемой. Построим с её помощью функции fn (x) = min{f (x), max{h1 (x), h2 (x), . . . , hn (x)}}. Так как при каждом n fn (x) являются измеримыми и неотрицательными функциями, ограниченными сверху суммируемой функцией max{h1 (x), h2 (x), . . . , hn (x)}, то они являются суммируемыми функциями. При этом с ростом n они образуют неубывающую последовательность. Но поскольку функцию f (x) можно представить в виде f (x) = lim min{f (x), max{h1 (x), h2 (x), . . . , hn (x)}}, n→∞ то утверждение доказано. В заключение данного введения в теорию измеримых функций рассмотрим теорему о замкнутости операции предельного перехода в классе измеримых функций. 2 И принадлежит классу D(ϕ). 130 Теорема 12.2. Пусть почти всюду на отрезке [a; b] последовательность измеримых функций ϕn (x) сходится к функции ϕ(x). Если функция ϕ(x) конечна почти всюду на заданном отрезке, то она является измеримой функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай, когда функции ϕn (x) ≥ 01 . Так 1 как почти всюду lim ϕn (x) = ϕ(x), то функции ψn (x) = почти всюду n→∞ 1 + ϕn (x) 1 . Согласно леммам 12.1 и 12.3 функции ψn (x) сходятся к функции ψ(x) = 1 + ϕ(x) являются измеримыми. А так как почти всюду 0 ≤ ψn (x) ≤ 1, то, в силу следствия 12.1, они же являются суммируемыми. Следовательно, предельная функция ψ(x) также является суммируемой функцией, значит, и измеримой функцией. Очевидно, что ψ(x) = 0 только там, где ϕ(x) = ∞, то есть на множестве меры нуль. Поэтому функция 1 − ψ(x) ϕ(x) = ψ(x) имеет знаменатель, почти всюду отличный от нуля. А так как её числитель и знаменатель являются измеримыми функциями, то из леммы 12.3 следует, что функция ϕ(x) есть измеримая функция. Что и нужно было доказать. § 13. Теорема о полноте пространства D В этом параграфе мы попытаемся определить линейное нормированное пространство суммируемых функций. Но решить эту задачу непосредственно на множестве суммируемых функций D невозможно, так как естественная попытка определить в пространстве D норму как kϕk = I(|ϕ|), является неудачной. Как следует из примера, приведённого после определения 15.1 предыдущей главы, из того, что I(|ϕ|) = 0, не следует, что функция ϕ(x) ≡ 0. Поэтому данное определение было бы только определением полунормы в D2 . Но если учесть, что при I(|ϕ|) = 0 ϕ(x) = 0 почти всюду3 , то можно воспользоваться алгоритмом построения нормированного пространства, приведённым в пятнадцатом параграфе предыдущей главы. Мы будем рассматривать не сами суммируемые функции из класса D, а составленные из них классы эквивалентных функций: будем считать две функции эквивалентными4 , если они отличаются друг от друга только на множестве меры нуль. Например, функция f (x) эквивалентна нулю, если она совпадает с ним на множестве полной меры. Пусть множество D0 есть множество всех суммируемых − Если ϕn (x) < 0, то нужно будеть по отдельности рассмотреть положительную ϕ+ n (x) и отрицательную ϕn (x) части рассматриваемых функций. 2 См. определение 15.1 во второй главе. 3 См. пример после определения 15.1 второй главы. 4 Данное отношение полностью удовлетворяет всем свойствам отношения эквивалентности. См. § 9 первой главы. 1 131 функций, эквивалентных нулю. D0 является подпространством в линейном пространстве D всех суммируемых функций. Рассмотрим фактор-пространство5 D/D0 . Оно является множеством классов эквивалентных суммируемых функций. И данное множество является уже линейным нормированным пространством с нормой I(|ϕ|), где ϕ — любая из функций класса, для которого определяется норма. Полученное пространство классов эквивалентных суммируемых функций мы будем обозначать D1 [a; b], при этом для краткости мы по-прежнему будем его называть пространством суммируемых функций. Рассмотрим две леммы, которые нам понадобятся далее. Лемма 13.1. В нормированном пространстве элементы любой фундаментальной последовательности ограничены по норме. Доказательство этого утверждения полностью совпадает с доказательством теоремы 9.2 из второй главы. Лемма 13.2. Если подпоследовательность {ϕnk } фундаментальной последовательности {ϕn } сходится к элементу ϕ, то и сама фундаментальная последовательность сходится к этому элементу. Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное утверждение верно в силу следующего неравенства k ϕn − ϕk ≤ kϕn − ϕnk k + kϕnk − ϕk. С ростом n и k первое слагаемое из правой части стремится к нулю в силу фундаментальности последовательности. А для второго слагаемого стремление к нулю вытекает из условия леммы. В 1907 году Ф. Рисс и Э. Фишер1 доказали следующую теорему о полноте пространства D1 [a; b]. Теорема 13.1. Пространство D1 [a; b] является полным нормированным пространством: любая фундаментальная по норме kϕk = I(|ϕ|) последовательность функций {ϕn (x)} имеет предел в пространстве D1 [a; b]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), . . . — некоторая фундаментальная последовательность в пространстве D1 [a; b]. Выберем последовательность возрастающих индексов n1 < n2 < . . . такую, чтобы при n > nk выполнялись неравенства kϕn (x) − ϕnk (x)k ≤ 1 (k = 1, 2, . . . ). 2k В этом случае при n = nk + 1 kϕnk +1 (x) − ϕnk (x)k ≤ 5 1 . 2k См. § 15 предыдущей главы. Фишер Е. (Fischer E., 1875-1959) — немецкий математик. Работы в области теории функций и функционального анализа. 1 132 А это по определению нормы в D1 [a; b] означает, что I(|ϕnk +1 − ϕnk |) ≤ 1 . 2k Следовательно, согласно теореме Беппо Леви, ряд всюду. А это значит, что и ряд ∞ X ∞ X |ϕnk +1 −ϕnk | сходится почти k=1 (ϕnk +1 − ϕnk ) также сходится почти всюду. k=1 Рассмотрим частные суммы последнего ряда N X (ϕnk +1 − ϕnk ) = ϕnN +1 − ϕn1 . k=1 Если заставить k → ∞, то видно, что последовательность функций {ϕnk (x)} почти всюду имеет предел. Обозначим этот предел через ϕ(x). Из леммы 12.12 следует, что функции ϕnk (x) являются измеримыми. Поэтому, согласно теореме 12.2, их конечный предел функция ϕ(x) является измеримой. Так как функции {ϕnk (x)} являются членами фундаментальной последовательности, то из леммы 13.1 следует, что их нормы kϕnk k, а следовательно, и числа I(|ϕnk |) являются ограниченными. Поэтому из следствия 11.2 теоремы Лебега вытекает, что функция |ϕ(x)| является суммируемой функцией. Следовательно, суммируемой является и измеримая функция ϕ(x). Из того же следствия имеем kϕnk − ϕk = I(|ϕnk − ϕ|) ≤ sup I(|ϕnk − ϕnp |) = sup kϕnk − ϕnp k. p>k p>k С ростом k в силу фундаментальности последовательности интеграл в правой части неравенства можно сделать сколь угодно малым. Поэтому последовательность функций ϕnk (x) сходится к ϕ(x) по норме рассматриваемого пространства. Что, в силу леммы 13.2, означает, что и последовательность {ϕn (x)} сходится к той же самой функции. Таким образом, теорема доказана. В заключение вспомним с чего всё начиналось: неудовлетворенность интегралом Римана была связана с тем, что пространство C1 [a; b] непрерывных функций f (x) на отрезке [a; b] с нормой Zb kf k = f (x) dx a являлось неполным пространством. Следующая теорема показывает, что интеграл нового типа позволяет решить задачу о пополнении пространства C1 [a; b]. Теорема 13.2. Пространство D1 [a; b] является пополнением пространства C1 [a; b]. 2 Точнее, её следствия. 133 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство C1 [a; b] вложено в пространство D1 [a; b] как пространство с такой же метрикой. Покажем, что это вложение является плотным, то есть каждую функцию ϕ(x) ∈ D1 [a; b] можно представить как предел последовательности функций f (x) ∈ C1 [a; b]. Во-первых, каждая ступенчатая функция h(x) ∈ C1 [a; b]. Во-вторых, поскольку каждая функция ϕ(x) ∈ D1 [a; b] является разностью двух функций из пространства D+ [a; b], то достаточно проверить, что каждая функция g(x) ∈ D+ [a; b] является пределом по норме D1 [a; b] некоторой последовательности ступенчатых функций {hn (x)}. Пусть функция g(x) ∈ D+ [a; b]. Выберем ту последовательность ступенчатых функций hn (x), которая её определяет: hn (x) % g(x), I(hn ) % I(g). Тогда khn (x) − g(x)k = I(hn − g) = I(hn ) − I(g) → 0. Что и требовалось доказать. § 14. Понятие меры множества по Риссу В §12 было введено понятие функции, измеримой по Риссу. Оно позволит ввести еще несколько необходимых определений. Определение 14.1. Множество A ∈ [a; b] называется измеримым по Риссу множеством, если его характеристическая функция χA (x) является измеримой. Определение 14.2. Если характеристическая функция χA (x) является не только измеримой, но и суммируемой, то множество A называется суммируемым по Риссу множеством, а число µ(A) = I(χA ) называется мерой множества A. Если множество измеримо, но не является суммируемым, то его мера считается равной +∞. Неизмеримое множество не имеет меры — ни конечной, ни бесконечной. Если про подмножество суммируемого множества известно, что оно измеримо, то его характеристическая функция также измерима. А так как она ограничена сверху суммируемой функцией, поэтому и сама является суммируемой. Следовательно, измеримое подмножество суммируемого множества является суммируемым. Любое подмножество множества меры нуль является измеримым и имеет меру нуль. Пустое множество по определению считается измеримым и суммируемым и µ∅ = 0. В первом параграфе данной главы уже давалось определение множества меры нуль. Логично было бы выяснить, совпадают ли новое и старое определения. Лемма 14.1. Для множества меры нуль определения 1.2 и 14.2 эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что множество A есть множество меры нуль в смысле определения 1.2. Тогда из леммы 1.2 следует, что интеграл от функции χA (x) равен нулю. Поэтому множество A является множеством меры нуль и по определению 14.2: µA = 0. 134 Допустим обратное: µA = I(χA ) = 0. В этом случае из следствия теоремы Беппо Леви1 вытекает, что характеристическая функция множества A отлична от нуля только на множестве меры нуль в смысле определения 1.2. Таким образом, по отношению к множеству меры нуль исследуемые определения эквивалентны. Рассмотрим далее свойства измеримых и суммируемых множеств. Лемма 14.2. Объединение, пересечение и разность измеримых множеств являются измеримыми множествами. Доказательство этой леммы вытекает из следующих равенств: χA∪B = max{χA ; χB }, (14.1) χA∩B = min{χA ; χB }, (14.2) χA\B = χA − χB (B ⊂ A). (14.3) Теоретическое упражнение 14.1. Используя свойства измеримых функций, докажите равенства (14.1)—(14.3). Лемма 14.3. Объединение, пересечение и разность суммируемых множеств есть суммируемые множества, для которых справедливы формулы: если A ⊂ B, то µ(A) ≤ µ(B), (14.4) для любых A и B µ(A ∩ B) ≤ µ(A) + µ(B), (14.5) если A ∩ B = ∅, то µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B), (14.6) если B ⊂ A, то µ(A \ B) = µ(A) − µ(B). (14.7) Доказательство этой леммы полностью вытекает из свойств интеграла Даниэля2 . Теоретическое упражнение 14.2. Докажите формулы (14.4) — (14.7). В теории меры большую роль играет следующая теорема. Теорема 14.1. (о с ч ё т н о й а д д и т и в н о с т и м е р ы) Пусть измеримые множества A1 , A2 , . . . An , . . . являются подмножествами отрезка [a; b]. Объединение ∞ [ A= An n=1 является также измеримым множеством. Если же при этом множества A1 , A2 , . . . An , . . . попарно не пересекаются, то µ(A) = ∞ X n=1 1 2 См. теорему 10.2 этой главы. См. § 9 данной главы. 135 µ(An ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно условию теоремы характеристическая функция χAn (x) множества An является измеримой. Характеристическая функция множества A χA (x) = sup{χA1 (x), χA2 (x), . . . , χAn (x), . . . } = lim max{χA1 (x), χA2 (x), . . . , χAn (x)}, n→∞ n как следует из свойств измеримых функций, также является измеримой. Следовательно, множество A является измеримым. Предположим далее, что все An суммируемы1 . По определению µ(An ) = I(χAn ). Если множества An не пересекаются, то функциональный ряд ∞ X χAn (x) n=1 определяет характеристическую функцию χA (x) множества A. Предположим, что числовой ряд ∞ X I(χAn ) (∗) n=1 сходится, тогда по теореме Беппо Леви функция χA (x) является суммируемой и I(χA ) = ∞ X I(χAn ). n=1 Если же функция χA (x) является суммируемой, то N X I(χAn ) ≤ I(χA ) n=1 для любого N . Поэтому ряд (∗) сходится. В случае расходимости этого ряда функция χA (x) не суммируема. То есть в каждом из случаев требуемое равенство выполнено. Что и доказывает данную теорему. Следствие 14.1. Если множества A и A1 измеримы, и A1 ⊂ A, то множество A \ A1 также измеримо. При этом в случае суммируемости данных множеств µ(A \ A1 ) = µ(A) − µ(A1 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как множества A1 и A \ A1 не пересекаются, то согласно доказанной теореме χA1 (x) + χA\A1 (x) = χA (x). 1 Если хотя бы одно из чисел µ(An ) бесконечно, то в силу формулы (14.4) µ(A) ≥ µ(An ), так как An ⊂ A. А значит, требуемое равенство выполнено. 136 Откуда следует, что χA\A1 (x) = χA (x) − χA1 (x). Что доказывает измеримость множества A\A1 . Второе утверждение также очевидно в силу свойств интегралов от суммируемых функций, так как µ(A1 ) + µ(A \ A1 ) = µ(A), то µ(A \ A1 ) = µ(A) − µ(A1 ). Поскольку отрезок [a; b] измерим, то измеримо дополнение любого измеримого множества A ⊂ [a; b]. Из этого факта вытекает следующее Следствие 14.2. Последовательность измеримых множеств {An } имеет измеримое пересечение. ∞ \ Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = An . Его дополнение n=1 CF = C ∞ \ ! An = n=1 ∞ [ (CAn ) n=1 является объединением измеримых множеств и поэтому измеримо в силу теоремы о счётной аддитивности. Следствие 14.3. Если A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ . . . — измеримые множества, ∞ [ то их объединение A = An измеримо и n=1 µ(A) = lim µ(An ). n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства представим множество A в виде объединения непересекающихся измеримых множеств A = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ · · · ∪ (An \ An−1 ) ∪ . . . . Затем воспользуемся доказанной теоремой: µ(A) = µ(A1 ) + µ(A2 \ A1 ) + µ(A3 \ A2 ) + · · · = = lim n→∞ n X µ(Ak \ Ak−1 ) = lim k=1 n→∞ n X (µ(Ak ) − µ(Ak−1 )) = lim µ(An ).1 n→∞ k=1 Что и требовалось доказать. Следствие 14.4. Если A1 , A2 , . . . , An , . . . есть произвольная система сум∞ [ мируемых множеств, то для их объединения A = An верно неравенство n=1 µ(A) ≤ ∞ X n=1 1 A0 — пустое множество. 137 µ(An ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное объединение A = ∞ [ An можно представить n=1 в виде системы вложенных суммируемых множеств следующим образом: ∞ [ A= A0n , n=1 где A01 = A1 , A02 = A1 ∪ A2 , . . . , A0n = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An . Так как построенные множества удовлетворяют условиям следствия 14.3, то µ(A) = lim µ(A0n ) = lim µ(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ). n→∞ n→∞ Известно, что для любых двух множеств верно равенство A1 ∪ A2 = A1 ∪ (A2 \ (A1 ∩ A2 )), поэтому, в случае их суммируемости, истинно неравенство µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ∪ (A2 \ (A1 ∩ A2 ))) = µ(A1 ) + µ(A2 \ (A1 ∩ A2 )) ≤ µ(A1 ) + µ(A2 ). Следовательно, в общем случае имеем µ(A) = lim µ(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) ≤ lim (µ(A1 ) + µ(A2 ) + · · · + µ(An )) ≤ n→∞ n→∞ ∞ X µ(An ). n=1 Что и нужно было доказать. Следствие 14.5. Если A1 , A2 , . . . , An , . . . — измеримые множества такие, что A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . и ∃ m : µ(Am ) < ∞, то для меры их пересечения ∞ \ F = An верно утверждение n=1 µ(F ) = lim µ(An ). n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя следствия 14.2 и 14.3, получаем ! ∞ ∞ \ [ An = (CAn ) . CF = C n=1 n=1 µ(CF ) = lim µ(CAn ). n→∞ Применяя операцию дополнения к обеим частям равенства, получаем требуемое утверждение. Заметим, что по определению любой промежуток (отрезок или интервал, или т.п.) является измеримым множеством, мера которого равна его длине. Формулы, 138 приведённые в вышедоказанных следствиях, показывают, что любое открытое множество, как не более чем счётное объединение непересекающихся интервалов, измеримо и его мера равна сумме длин составляющих его интервалов. А всякое замкнутое множество измеримо как дополнение к соответствующему открытому множеству. Точно также любое множество, которое получается из интервалов с помощью не более чем счётного числа операций объединения и пересечения, а также операции дополнения, является измеримым множеством. В заключение параграфа, используя введённое определение измеримого множества, рассмотрим следующую задачу. Задача. Доказать, что из того, что функция f 2 (x) измерима на отрезке, не следует измеримость функции f (x) на этом отрезке. Выберем в качестве отрезка отрезок [0; 1]. Предположим, что множество E ⊂ [0; 1] является неизмеримым множеством, а CE его дополнение. Рассмотрим функцию 1, если x ∈ E, f (x) = −1, если x ∈ CE. Допустим, что f (x) измеримая функция. Тогда на отрезке [0; 1] существует последовательность ступенчатых функций hn (x), почти всюду сходящаяся к ней. hn (x) + 1 Рассмотрим последовательность ступенчатых функций kn (x) = . Так 2 как функции последовательности {hn (x)} сходятся почти всюду к функции, принимающей на множестве E значения -1 и 1, то функции последовательности {kn (x)} сходятся почти всюду к функции, принимающей на множестве E значения 0 и 1, то есть являющейся характеристической функцией множества E. Но множество E по предположению является неизмеримым. Поэтому его характеристическая функция не может быть измеримой, а значит не существует последовательность ступенчатых функций, которая бы почти всюду сходилась к ней. Следовательно, не может существовать и последовательность ступенчатых функций, которая бы почти всюду сходилась к функции f (x). Таким образом, функция f (x) является неизмеримой на отрезке [0; 1]. В то же время функция f 2 (x) = 1 во всех точках отрезка является измеримой, как постоянная функция. § 15. Понятие сходимости функций по мере Прежде, чем ввести новое определение, рассмотрим несколько утверждений. Лемма 15.1. Если f (x) — конечная измеримая функция, то для любого действительного числа c множество E = {x : f (x) ≥ c} является измеримым. Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы это доказать, построим последовательность ступенчатых функций, сходящуюся к характеристической функции этого множества. Пусть hk (x) — последовательность ступенчатых функций, сходящихся к f (x). Рассмотрим новую последовательность функций gk (x) таких, что 1, если hk (x) ≥ c − 1/k, gk (x) = 0, если hk (x) < c − 1/k. 139 Эти функции ступенчатые, потому что абсолютно любая функция от ступенчатой функции является ступенчатой (а ведь наши gk построены именно как функции от hk ). Так как lim hk (x) = f (x) по условию, то неравенство k→∞ 1 lim hk (x) > lim c − k→∞ k→∞ k эквивалентно неравенству f (x) > c. А это, в свою очередь, означает, что 1, если f (x) > c, lim gk (x) = g(x) = 0, если f (x) ≤ c − 1/k. k→∞ Таким образом, функция g(x) является характеристической функцией множества E = {x : f (x) ≥ c}. А так как она является пределом последовательности ступенчатых функций, то она измерима. Поэтому и само множество E также является измеримым, что и требовалось доказать. Следующая теорема принадлежит Лебегу. Теорема 15.1. Если последовательность измеримых и почти всюду конечных функций fn (x) сходится почти всюду к почти везде конечной функции f (x), то для любого c > 0 lim µ ({x : |f (x) − fn (x)| ≥ c}) = 0. n→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как fn (x) → f (x) почти всюду, а функция f (x) является почти всюду конечной, то из теоремы 12.2 следует, что f (x) является измеримой функцией. Из условия сходимости почти всюду также вытекает, что существуют некоторые множества меры нуль: A = {x : fn (x) 9 f (x)}, B = {x : |fn (x)| = +∞}, C = {x : |f (x)| = +∞}. Объединение этих множеств D = A ∪ B ∪ C имеет меру нуль. Обозначим через ∞ ∞ [ ∞ \ [ {x : |f (x) − fm (x)| ≥ c}. En (c) = {x : |f (x) − fm (x)| ≥ c}, а через L = n=1 m=n m=n Как следует из предыдущей леммы 15.1, каждое из множеств En (c) измеримо. Так как E1 (c) ⊃ E2 (c) ⊃ E3 (c) ⊃ . . . , то в силу следствия 14.5 ! ∞ \ lim µ(En (c)) = µ En (c) = µ(L). (∗) n→∞ n=1 Покажем, что L ⊂ D. Допустим, что x0 ∈ / D. Тогда lim fm (x0 ) = f (x0 ). При этом m→∞ все числа f1 (x0 ), f2 (x0 ), . . . и их предел f (x0 ) — конечны. То есть существует такое n, что для всех m ≥ n |f (x0 ) − fm (x0 )| < c. Поэтому x0 ∈ / En (c), а значит, x0 ∈ / L. Таким образом, мы показали, что L ⊂ D. Откуда следует, что µ(L) = 0. А это в силу (∗) означает, что µ(En (c)) → 0. Но так как каждое из множеств {x : |f (x) − fn (x)| ≥ c} является подмножеством En (c), то мы получаем lim µ ({x : |f (x) − fn (x)| ≥ c}) = 0. n→∞ 140 Данная теорема позволила сформулировать следующее Определение 15.1. Последовательность измеримых и почти всюду конечных функций {fn (x)} называется сходящейся по мере к почти всюду конечной измеримой функции f (x), если для любого положительного числа c имеет место равенство lim µ ({x : |f (x) − fn (x)| ≥ c}) = 0. n→∞ Сходимость по мере обозначается символом1 fn (x) ⇒ f (x). С помощью этого определения теорему Лебега можно переформулировать так Теорема 15.1.∗ Если последовательность функций сходится почти всюду к данной функции, то она сходится к этой функции и по мере. Следующий пример показывает, что противоположное утверждение было бы неверно. Построим на промежутке [0; 1) для каждого натурального k систему, содер(k) (k) (k) жащую k ступенчатых функций f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x), определив их следующим образом:  i − 1 i   , ,  1, если x ∈ (k) k k fi (x) = i − 1 i   / , .  0, если x ∈ k k (1) Так, например, f1 (x) = 1. Перепишем полученные функции в виде треугольной таблицы (1) f1 (2) f2 (3) f2 f1 f1 (2) (3) (3) f3 ... ... ... и перенумеруем «сверху вниз» и «слева направо»: (1) (2) (2) (3) ϕ1 (x) = f1 (x), ϕ2 (x) = f1 (x), ϕ3 (x) = f2 (x), ϕ4 (x) = f1 (x), . . . Таким образом, мы получили новую последовательность измеримых функций {ϕn (x)}, которая сходится по мере к нулю. Так как для любого c > 0 µ ({x : |fn (x) − 0| > c}) = µ ({x : |fn (x)| > c}) = µ ({x : |fn (x)| = 1}) = i − 1 i 1 = ; = → 0 (n → ∞ ⇔ k → ∞). k k k При этом построенная последовательность не сходится к нулю ни в одной точке промежутка [0; 1). Чтобы это показать, выберем произвольное x0 ∈ [0; 1). Для 1 Данное обозначение ввёл Г. М. Фихтенгольц. 141 i−1 i каждого числа k можно найти такое число i, при котором x0 ∈ ; . И k k (k) поэтому, в силу построения, fi (x0 ) = 1. Следовательно, lim ϕn (x0 ) 6= 0. n→∞ Таким образом, можно сделать вывод о том, что сходимость по мере есть понятие более общее, чем понятие сходимости почти всюду. Тем не менее, функций, сходящихся почти всюду, не так уж и «мало». Об этом свидетельствует теорема, автором которой является Ф. Рисс. Теорема 15.2. Из каждой последовательности измеримых на множестве A функций {fn (x)}, сходящихся по мере к измеримой функции f (x), можно извлечь подпоследовательность функций {fnk (x)}, сходящуюся к f (x) почти всюду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем последовательность положительных чисел c1 > c2 > c3 > . . . , для которой lim ck = 0. k→∞ Далее выберем положительные числа dk таким образом, чтобы они образовали сходящийся ряд d1 + d2 + d3 + . . . С помощью этих чисел определим последовательность возрастающих индексов n1 < n2 < n3 < . . . по следующему правилу: обозначим через n1 такое натуральное число, для которого µ({x : |f (x) − fn1 (x)| ≥ c1 }) < d1 . Такое число существует ввиду того, что lim µ({x : |f (x) − fn (x)| ≥ c1 }) = 0. n→∞ Далее, через n2 обозначим такое натуральное число, которое больше n1 , и для которого µ({x : |f (x) − fn2 (x)| ≥ c2 }) < d2 . Продолжая этот процесс, выберем в качестве nk число такое, что nk > nk−1 > · · · > n2 > n1 , и для которого µ({x : |f (x) − fnk (x)| ≥ ck }) < dk . Покажем, что при таком выборе последовательности индексов {nk } почти всюду будет верно равенство lim fnk (x) = f (x). (∗∗) k→∞ Введём обозначения, аналогичные обозначениям в теореме 15.1: En (ck ) = ∞ [ {x : |f (x) − fk (x)| ≥ ck }, L = ∞ \ n=1 k=n 142 En (ck ). Из построения последовательности индексов следует, что µ(En ) ≤ ∞ X µ{x : |f (x) − fk (x)| ≥ ck } < ∞ X dk → 0 при n → ∞, k=n k=n как остаток сходящегося ряда. А так как E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ . . . , то из следствия 14.5 этой главы следует, что lim µ(En (ck )) = µ(L). n→∞ Поэтому µ(L) = 0. Проверим, что равенство (∗∗) имеет место для всех x на множестве A \ L. Выберем произвольным образом x0 ∈ A \ L. Тогда существует такой номер n0 , что x0 ∈ / A \ L. То есть при всех k ≥ n0 x0 ∈ / {x : |f (x) − fk (x)| ≥ ck }. В силу этого |f (x) − fk (x)| < ck . А так как для всех k ≥ n0 ck → 0, то lim fnk (x0 ) = f (x0 ). k→∞ Из произвольного характера выбора x0 следует, что теорема доказана. § 16. О связи между измеримыми и непрерывными функциями Следует заметить, что множество функций, непрерывных на отрезке, является подмножеством множества функций, измеримых на этом отрезке. Это доказывает следующая Теорема 16.1. Функция, непрерывная на отрезке, является измеримой на этом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b]. В силу теоремы Кантора она является равномерно непрерывной на этом отрезке. Это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно выбрать такое число δ > 0, что для любых точек x1 и x2 , принадлежащих [a; b], из того, что |x2 − x1 | < δ, следует, что |f (x2 ) − f (x1 )| < ε. Выберем в 1 качестве ε последовательность чисел εn = n (n = 1, 2, . . . ). Обозначим через 2 П1 разбиение отрезка [a; b] с диаметром разбиения δ1 = δ(ε1 ). Пусть данное разбиение состоит из произвольных промежутков I1 . Определим ступенчатую функцию h1 (x) = min f (x). В каждом из промежутков I1 построенная функция x∈I1 удовлетворяет неравенству 1 |h1 (x) − f (x)| < . 2 1 , построим разбиение отрезка [a; b] П2 , которое имеет 22 диаметр δ2 = δ(ε2 ) < δ1 и является измельчением разбиения δ1 = δ(ε1 ). Предполагая, Далее, выбрав ε2 = 143 что разбиение П2 состоит из произвольных промежутков I2 , построим ступенчатую функцию h2 (x) = min f (x), которая удовлетворяет неравенству x∈I2 |h2 (x) − f (x)| < 1 . 22 Продолжая процесс, мы получим последовательность ступенчатых функций {hn (x)}, соответствующих разбиениям Пn , диаметры которых стремятся к нулю, и таких, что в каждой точке отрезка [a; b] |hn (x) − f (x)| < 1 . 2n Следовательно, всюду на отрезке [a; b] существует предел lim |hn (x) − f (x)| = 0. n→∞ Это означает, что всюду на [a; b] последовательность ступенчатых функций сходится к функции f (x). Поэтому непрерывная функция f (x) является измеримой функцией на отрезке [a; b]. В теории меры одной из важных теорем является доказанная московским математиком Д.Ф. Егоровым в 1911 году Теорема 16.2. Пусть ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), . . . есть последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на [a; b] к некоторой конечной функции ϕ(x). Для любого ε > 0 существует измеримое множество A меры µ(A) > b − a − ε, на котором данная последовательность сходится к своему пределу равномерно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 12.2 предельная функция ϕ(x) является измеримой. Если рассматривать вместо функций ϕn (x) функции ϕ(x) − ϕn (x), то можно свести доказательство к случаю последовательности, сходящейся к нулю. Поэтому мы можем с самого начала считать, что ϕ(x) ≡ 0. Предположим, что функции ϕn (x) являются неотрицательными функциями, монотонно стремящимися к нулю1 . Обозначим через Am n множество точек, на котором выполняется неравенство 1 . При заданном m множество Am 0 ≤ ϕn (x) ≤ n расширяется с увеличением m номера n. Поэтому система этих множеств покрывает весь отрезок [a; b]. Следовательно, lim µ (Am n ) = b − a. Это означает, что для любого положительного n→∞ числа ε можно найти такой номер n = n(m, ε), что ε m µ An(m, ε) > b − a − m . 2 1 Если бы это условие не выполнялось, то мы могли бы каждую из функций ϕn (x) заменить функцией sup{|ϕn (x)|, |ϕn+1 (x)|, . . . }. 144 Рассмотрим теперь пересечение A всех множеств Am n(m, ε) (m = 1, 2, . . . ). Так как дополнение к A имеет меру ( ∞ )! ! ∞ ∞ \ [ X ε m m µ(CA) = µ C An(m, ε) = ε, =µ CAn(m, ε) ≤ m 2 m=1 m=1 m=1 то мера самого множества A не меньше, чем b − a − ε. Докажем, что на множестве A в каждой его точке x lim ψ n (x) = 0, то есть n→∞ сходимость является равномерной. Нам надо показать, что для выбранного числа 1 существует номер N такой, что для всех n > N всюду на A выполняется m 1 неравенство ϕn (x) < . Возьмём N = n(m, ε). Так как A ⊂ Am n(m, ε) , то при m условии, что n > n(m, ε) мы имеем 1 m во всех точках A. Таким образом, теорема доказана. Замечание 16.1. Следует заметить, что найденное в теореме измеримое множество A можно заменить замкнутым множеством F сколь угодно близкой меры, если учесть, что µ(A) = sup µ(F ). ϕn (x) ≤ ϕn(m, ε) (x) ≤ F ⊂A Кроме этого видно, что в формулировке теоремы отрезок [a; b] можно заменить любым измеримым множеством. Следствием теоремы Егорова является опубликованная в 1912 году в «Математическом сборнике»1 Н. Н. Лузиным2 Теорема 16.3 (с - с в о й с т в о Л у з и н а). Если функция ϕ(x), определённая на отрезке [a; b], измерима, то при любом ε > 0 существует замкнутое подмножество F ⊂ [a; b] c мерой µ(F ) > b − a − ε, на котором ϕ(x) является непрерывной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что последовательность ступенчатых функций {hn (x)} определяет измеримую функцию ϕ(x). Поэтому из определения 12.1 следует, что почти всюду lim hn (x) = ϕ(x). Это означает, что множество, n→∞ состоящее из точек расходимости {hn (x)} и точек разрыва каждой из функций hn (x) является множеством меры нуль и его можно покрыть системой интервалов ε с общей длиной < . Мы можем, в силу теоремы Егорова, из остающегося множе2 ε ства точек сходимости удалить еще часть, также меры < таким образом, чтобы 2 на оставшемся множестве {hn (x)} равномерно сходилась к ϕ(x). При этом можно считать, что вновь удалённая часть представляет собой систему интервалов. 1 См., например, Математическая энциклопедия. Т. 3, с. 458. Егоров Д. Ф.(1869-1931) и Лузин Н. Н.(1883-1950) — московские математики, основатели московской математической школы теории функций действительного переменного. 2 145 Оставшееся замкнутое подмножество F отрезка [a; b] имеет меру µ(F ) > b−a−ε. При этом на этом множестве ступенчатые функции hn (x) непрерывны и сходятся к своему пределу ϕ(x) равномерно. Следовательно, функция ϕ(x) непрерывна на множестве F . § 17. Интегрирование по измеримому множеству До сих пор областью интегрирования у нас был отрезок [a; b]. Введём определение интеграла по любому измеримому множеству A ⊂ [a; b]. Достаточно очевидно, что произведение двух измеримых функций есть функция измеримая. Покажем это, ограничивая рассмотрение неотрицательными функциями1 . При c > 0 имеем2 n [ c o {x : f (x)g(x) ≤ c} = {x : f (x) ≤ r} ∩ x : g(x) ≤ . r r Так, например, произведение произвольной измеримой функции f (x) на характеристическую функцию χA (x) измеримого множества A является измеримой функцией3 . Срезка суммируемой функции f (x) по измеримому множеству A также является суммируемой функцией. Предположим, что ϕ(x) — произвольная функция, определённая на отрезке [a; b]. А χA (x) — характеристическая функция множества A ⊂ [a; b]. Определение 17.1. Функция ϕ(x) называется суммируемой (измеримой) на множестве A, если произведение χA (x)ϕ(x) является суммируемым (измеримым) на A. И будем полагать, по определению Zb Z ϕ dx = χA ϕ dx = I(χA ϕ). a A Очевидно, что интеграл по множеству A обладает обычными свойствами линейности и монотонности. Рассмотрим некоторые особые свойства интеграла по множеству A. Теорема 17.1. Если функция ϕ(x) такова, что для всех x ∈ A верно неравенство |ϕ(x)| ≤ M, то Z |ϕ| dx ≤ M µ(A). A 1 В случае отрицательных функций их всегда можно представить через их положительную и отрицательную части. 2 Здесь r — произвольное неотрицательное рациональное число. 3 Данное произведение представляет из себя срезку функции f (x) по множеству A. 146 Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как χA (x)|ϕ(x)| ≤ M χA (x), то Z |ϕ| dx = I(χA |ϕ|) ≤ M I(χA ) = M µ(A). A Предположим, что множество A является объединением счётного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств A1 , A2 , . . . . Тогда имеет место Теорема 17.2 ( О с ч ё т н о й а д д и т и в н о с т и и н т е г р а л а). Если функция ϕ(x) суммируема на множестве A, то она суммируема на каждом из An и Z Z Z (∗) ϕ dx = ϕ dx + ϕ dx + . . . . A A2 A1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как χAn (x)χA (x) = χAn (x), то χAn (x)ϕ(x) = χAn (x)(χA (x)ϕ(x)) является суммируемой функцией на каждом из множеств An . Поскольку для попарно непересекающихся множеств χA1 (x) + χA2 (x) + · · · + χAn (x) + · · · = χA (x), то χA (x)ϕ(x) = χA1 (x)ϕ(x) + χA2 (x)ϕ(x) + · · · + χAn (x)ϕ(x) + . . . В силу того, что частичные суммы ряда в правой части равенства ограничены суммируемой функцией χAn (x)|ϕ(x)|, мы можем проинтегрировать данный ряд почленно. Поэтому Z Z Z χA ϕ dx = χA1 ϕ dx + χA2 ϕ dx + . . . A A1 A2 Что и приводит согласно определению 15.1 к доказываемой формуле. Следующий пример показывает, что в случае счётного числа слагаемых попарно не пересекающихся множеств из суммируемости функции ϕ(x) на каждом из слагаемых множеств не следует суммируемость данной функции на их объединении. Пусть функция ϕ(x) задана на промежутке (0; 1] следующим образом  3n + 1 1  <x≤ ,  n, если 3n(n + 1) n ϕ(x) = (n = 1, 2, . . . ). 1 3n + 1   −n, если <x≤ n+1 3n(n + 1) 1 1 На каждом из полуотрезков ; функция ϕ(x) суммируема, причём n+1 n 1 Zn ϕ(x)dx = 0. 1 n+1 147 В то же время 1 Z1 |ϕ(x)|dx = 0 Zn ∞ X n=1 |ϕ(x)|dx = ∞ X n=1 1 n+1 1 = +∞. n+1 Поэтому функция ϕ(x) не суммируема на объединении полусегментов (0; 1]. Чтобы теорема 15.2 была обратимой, нам понадобится следующая Лемма 17.1. Если функция ϕ(x) ≥ 0 суммируема на каждом из попарно не пересекающихся измеримых множеств An , то она суммируема и на счётном объединении этих множеств A и имеет место равенство (∗). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функциональный ряд ∞ X χAn ϕ. n=1 Его частичные суммы образуют неубывающую последовательность такую, что lim N X N →∞ χAn ϕ = χA ϕ. n=1 По условию леммы существует константа C такая, что ! N X I χAn ϕ ≤ C. n=1 Поэтому из теоремы Беппо Леви следует, что функция χA (x)ϕ(x) суммируема и равенство (∗) справедливо. Замечание 17.1. Доказанная лемма имеет и другую эквивалентную формулировку: если неотрицательная функция ϕ(x) суммируема на каждом из Z множеств A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ . . . и интегралы ϕdx ограничены фиксироAn ванной постоянной, то ϕ(x) суммируема на A = ∞ [ n=1 Z An и Z ϕdx = lim A n→∞ An ϕdx. В заключение введения в интегрирование по измеримому множеству приведём еще одно важное свойство. Теорема 17.3 (А б с о л ю т н а я н е п р е р ы в н о с т ь и н т е г р ал а п о м н о ж е с т в у). Интеграл от суммируемой на отрезке [a; b] функции ϕ(x), взятый по измеримому множеству A, стремится к нулю вместе с мерой этого множества. Д о к а з а т е л ь с т в о. То есть нам надо Zдоказать, что для любого ε > 0 |ϕ|dx < ε. Для этого выберем существует такое δ > 0, что если µ(A) < δ, то A 148 ε > 0 и найдём ограниченную измеримую функцию h(x) такую, что Zb ε ||ϕ(x)| − h(x)|dx < . 2 a Допустим, например, что h(x) ограничена числом M : 0 ≤ h(x) ≤ M . Тогда на ε каждом измеримом множестве A мера меньше δ = 2M Z Z Z ε |ϕ|dx ≤ ||ϕ(x)| − h(x)|dx + |h(x)|dx < + δM = ε. 2 A A A Используя свойства интеграла, построим пример неизмеримого множества. Для этого рассмотрим на прямой отрезок [0; 1]. Если две точки его отстоят друг от друга на рациональное расстояние, то будем считать, что они принадлежат одному классу эквивалентности. Разобъем весь отрезок на такие классы эквивалентности. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю − одной точке. Докажем, что полученное множество представителей E будет неизмеримым. ∞ [ 1 Сдвинем E счётное число раз и рассмотрим множество Ē = En , где En − n=1 образы E при сдвиге, непересекающиеся между собой. Ē заполняет весь отрезок. Поэтому его мера совпадает с длиной отрезка [0; 1] и равна 1. Если построенное множество E измеримо, то его мера Z µ(E) = χE (x) dx. E Естественно, что эта мера µ(E) либо нуль, либо больше нуля. Из счётной аддитивности интеграла следует, что Z ∞ Z ∞ Z X X µ(Ē) = χĒ (x) dx = χEn (x) dx = χE (x) dx. Ē n=−∞ Ēn n=−∞ Ē Если µ(E) = 0, то и µ(Ē) = 0 6= 1. Если µ(E) > 0, то числовой ряд расходится, а значит µ(Ē) = ∞ = 6 1. Таким образом, µ(E) не существует, а значит, множество неизмеримо. 1 Сдвигая множество E вправо, нам придется выходить за пределы отрезка [0; 1]. В этом случае выходящую за пределы отрезка часть мы будем возвращать в начало отрезка, т.е. каждый раз отображая точки отрезка во внутрь этого отрезка. 149 § 18. Об интегрировании по бесконечному промежутку Этот параграф является обобщением вышеизложенного и предисловием к более серьёзному изучению теории интеграла. Поэтому он не содержит доказательств излагаемых в нём утверждений. Всё, что рассказывалось в первых пятнадцати параграфах этой главы, относилось к функциям, определённым на отрезке [a; b]. Но в принципе эти вопросы можно было бы рассмотреть и на бесконечных промежутках (a; ∞), (−∞; b) или (−∞; ∞). Для этого достаточно ввести следующие определения: Рассмотрим конечное число n конечных интервалов ∆i = (xi−1 ; xi ), расположенных на (−∞; ∞) и соответствующий им набор чисел ci . Определение 18.1. Функция вида    ci , если x ∈ ∆i , n [ h(x) = ∆i   0, если x ∈ (−∞; ∞) \ i=1 называется ступенчатой функцией. Определение 18.2. Функция ϕ(x), являющаяся на бесконечном промежутке пределом почти всюду сходящейся последовательности ступенчатых функций, называется измеримой функцией. Как и ранее, обозначим длину интервала ∆i через d(∆i ). Используя определение 16.1, сформулируем Определение 18.3. Интегралом от ступенчатой функции h(x) на бесконечном промежутке называется число I(h) = n X ci d(∆i ). i=1 Классом D+ назовём множество функций f (x), определённых на бесконечном промежутке, каждая из которых является пределом возрастающей последовательности ступенчатых функций с ограниченными интегралами. Следующее определение является копией определения 9.1. Определение 18.4. Рассмотрим на бесконечном промежутке функции f (x), g(x) ∈ D+ . Число I(ϕ) = I(f ) − I(g), называется интегралом Даниэля от функции ϕ(x) на бесконечном промежутке. Если это число конечное, то функция ϕ(x) называется суммируемой на бесконечном промежутке. При этом суммируемые функции образуют класс D. Практически все утверждения, доказанные в параграфах 6-12, сохраняются без изменений. Исключением является утверждение следствия 12.2 о том, что любая измеримая и ограниченная функция является суммируемой. На бесконечном промежутке это утверждение не является верным. По этой причине, если суммируемые 150 функции ϕn (x) сходятся почти всюду к функции ϕ(x), оставаясь ограниченными в совокупности, то это совсем не означает, что верно равенство I(ϕ) = lim I(ϕ). n→∞ В то же время теорема Лебега остаётся верной. В связи с этим в доказательстве 1 теоремы 12.2 придётся заменить функцию ψn (x) = на функцию 1 + ϕn (x) r(x) ψn (x) = , где r(x) — положительная суммируемая функция. Остальr(x) + ϕn (x) ные результаты переносятся на бесконечный промежуток без изменений. В частности, на бесконечном промежутке ∆ можно определить линейное нормированное пространство D1 (∆), состоящее из всех суммируемых функций, норма в котором определяется формулой Z kϕk = ϕ(x)dx. ∆ Точно также, как и на конечном промежутке, можно доказать, что на бесконечном промежутке ∆ пространство D1 (∆) является полным и ступенчатые функции образуют в нём всюду плотное подмножество. § 19. Комментарии к третьей главе 1. Классическое изложение теории интеграла Лебега предполагает предварительное изучение элементов теории меры, что создаёт большие проблемы в рамках краткого по количеству часов курса. Известно, что в 1917 году английский математик П. Даниэль1 предложил свой подход к введению интеграла Лебега, который получил название схемы Даниэля2 . Схема Даниэля даёт возможность введения интеграла Лебега, не используя понятие меры. В дальнейшем этот подход нашёл отражение в работах: Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс, Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная, из которых и взято основное содержание этой главы. Так как в следующей главе рассказывается об определении интеграла самим А. Лебегом и об эквивалентности данных подходов, то, чтобы не сбить читателя с толку, в данной главе интеграл называется интегралом Даниэля. 2. По этой же причине измеримые функции и суммируемые функции в данной главе называются измеримыми и суммируемыми по Риссу. Так как в следующей главе речь идет об эквивалентности определений измеримости и суммируемости по Лебегу и по Риссу, то, с точки зрения изложения, есть смысл разъединить эти понятия. 3. Помимо указанных выше работ при написании данной главы были использованы: ? Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу. ? Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения. 1 Даниэль Перси (Daniell Percy John, 1889-1946) − английский математик. Основные работы связаны с общей теорией интеграла. Автор схемы Даниэля. 2 См. введение к работе Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная 151 ? Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. ? Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. ? Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. Глава 4 Мера множества по Лебегу и интеграл Лебега § 1. Понятие внешней меры множества Следующая теорема позволит дать более конструктивное определение измеримого множества. Теорема 1.1 (О с т р у к т у р е и з м е р и м о г о м н о ж е с т в а п о л о ж и т е л ь н о й м е р ы). Любое измеримое множество A положительной меры отличается от объединения конечного числа отрезков на множестве меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что ε > 0 — некоторое фиксированное число. Построим конечную систему отрезков Bn таких, что множество A будет получаться из Bn добавлением точек множества an и удалением точек множества bn , мера каждого из которых меньше ε. Так как характеристическая функция χA (x) множества A измерима, то существует последовательность ступенчатых функций {hn (x)} такая, что χA (x) = lim hn (x). n→∞ С помощью функций этой последовательности определим новую последовательность ступенчатых функций  1   0, если hn (x) < , 2 h0n (x) =   1, если hn (x) ≥ 1 . 2 При этом lim h0n (x) = lim hn (x) = χA (x). n→∞ n→∞ 0 hn (x) является Каждая из построенных функций характеристической функцией для некоторого множества Bn , которое представляет собой объединение конечного числа отрезков. Покажем, что множество Bn есть требуемое множество. Для этого рассмотрим функции (h0n (x) − χA (x))+ и (h0n (x) − χA (x))− . Функция (h0n (x) − χA (x))+ является характеристической функцией множества bn тех точек, которые принадлежат множеству Bn и не принадлежат множеству 152 A. В свою очередь, функция (h0n (x) − χA (x))− есть характеристическая функция множества an тех точек, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству Bn . Таким образом, множество A можно получить из множества Bn , если добавить к множеству Bn точки множества an и удалить из него точки множества bn . Нам осталось сравнить множества A и Bn количественно: µ(bn ) + µ(an ) = I (h0n (x) − χA (x))+ + I (h0n (x) − χA (x))− = = I (|h0n (x) − χA (x)|) → 0. Следовательно, теорема доказана. Введём следующее определение. Для этого покроем произвольное множество A на отрезке [a; b] конечной или счётной системой интервалов и найдём сумму S длин этих интервалов. Определение 1.1. Точная нижняя грань всех получающихся чисел S при всевозможных покрытиях множества системами интервалов называется верхней или внешней мерой множества A и обозначается µ∗ (A). Например, множество меры нуль по своему определению имеет и внешнюю меру нуль. Теорема 1.2. Для каждого измеримого множества A µ∗ (A) = µ(A). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B есть система неперекрывающихся интервалов, покрывающая множество A. Из параграфа 14 предыдущей главы следует, что B — измеримое множество. А его мера равна сумме длин входящих в него интервалов. Так как A ⊆ B, то µ(A) ≤ µ(B). Поэтому внешняя мера множества A µ∗ (A) = inf µ(B) ≥ µ(A). B⊇A (∗) Для построения B воспользуемся предыдущей теоремой. Выберем число ε > 0 и для каждого числа n построим конечную систему интервалов Bn такую, что A ∪ bn = Bn ∪ an , (∗∗) где каждое из измеримых множеств an и bn имеет меру, которая меньше числа ε . Обозначим через 2n+1 ∞ ∞ ∞ [ \ [ B= Bn , a = Bn , b = bn . n=1 n=1 n=1 Из определения a и следствия 14.5 третьей главы следует, что µ(a) = lim µ(an ) = 0. n→∞ А из следствия 14.4 той же главы и определения b получаем µ(b) ≤ ∞ X µ(bn ) < ε n=1 153 1 4 1− 1 2 ε = . 2 Покажем, что A ⊂ B ∪ a. Допустим, что точка x ∈ A, но x ∈ / B. Тогда ∀ x ∈ / Bn . А так как из условия (∗∗) A ⊂ Bn ∪ an , то при любом n x ∈ an и поэтому x ∈ a, а следовательно, x ∈ B ∪ a. Рассмотрим далее точку y ∈ B. По определению B существует такой номер n, при котором y ∈ Bn . Если же при этом y ∈ / A, то из условия (∗∗) видно, что y ∈ bn , а значит, и b. В силу этого, B ⊂ A ∪ b. Из последнего включения следует, что ε µ(B) ≤ µ(A) + µ(b) < µ(A) + . 2 По условию множество B является конечной или счётной системой интервалов, а множество a, как множество меры нуль, можно покрыть системой интервалов ε с общей длиной меньше, чем . Поэтому из включения A ⊂ B ∪ a следует, что 2 множество A оказывается покрытым конечной или счётной системой интервалов ε с общей длиной не большей, чем µ(B)+ ≤ µ(A)+ε. Так как ε есть произвольное 2 сколь угодно малое число, то µ∗ (A) ≤ µ(A). Вспоминая условие (∗∗), получаем, что для любого измеримого множества µ∗ (A) = µ(A). Данное равенство фактически является конструктивным определением меры измеримого множества как его внешней меры. Выше мы определили понятие измеримого множества и его меры с помощью интеграла. Но возможен и другой подход, который заключается в введении понятия измеримого множества с помощью внешней меры. Теорема 1.3. Множество A на отрезке [a; b] измеримо тогда и только тогда, когда когда сумма внешних мер множества A и его дополнения CA равна длине отрезка [a; b]: µ∗ (A) + µ∗ (CA) = b − a . Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что множество A измеримо. Тогда его дополнение CA до всего отрезка [a; b] также измеримо1 . Пользуясь далее выводом теоремы 1.2, получим µ∗ (A) + µ∗ (CA) = µ∗ (A) + µ(C)A = b − a . Докажем достаточность данного условия. Пусть A ⊂ [a; b] и верно равенство µ∗ (A) + µ∗ (CA) = b − a . Это означает, что для любого ε > 0 существуют покрытия множеств A и CA системами неперекрывающихся интервалов U и V такими, что их общая сумма длин µ(U ) + µ(V ) < b − a + ε. 1 См. следствие 14.1 предыдущей главы. 154 Обозначим через hU (x) и hV (x) характеристические функции множеств U и V . Функция 1 − hV (x) отличается от нуля только в точках множества A. Поэтому 0 ≤ 1 − hV (x) ≤ χA (x) ≤ hU (x), где χA (x) — характеристическая функция множества A. Интегрируя это неравенство, получаем 0 ≤ I(1 − hV ) ≤ I(hU ). В то же время по условию I(hU ) − I(1 − hV ) = I(hU ) + I(hV ) − (b − a) = = µ(U ) + µ(V ) − (b − a) < ε. Если заставить ε → 0, то последовательность функций2 hU (x) будет монотонно убывать, а последовательность функций 1 − hV (x) при этом будет монотонно возрастать. Следовательно, последовательность hU (x) − (1 − hV (x)) также будет монотонно убывать. Обозначим через f (x) = lim(hU (x) − (1 − hV (x))). ε→0 Мы видим, что f (x) является неотрицательной измеримой и ограниченной функцией. Поэтому, согласно теореме Беппо Леви, интеграл от нее равен нулю. А это означает, что и сама f (x) почти всюду равна нулю. А так как hU (x) − (1 − hV (x)) ≥ hU (x) − χA (x) ≥ 0, то χA (x) = lim hU (x). ε→0 Следовательно, χA (x) есть измеримая и суммируемая функция, что эквивалентно измеримости множества A. § 2. Понятие меры множества по Лебегу Создатель теории меры А. Лебег своё определение измеримого множества дал, опираясь на соотношение, полученное в теореме 1.3. Определение 2.1. Множество A ⊂ [a; b] называется множеством, измеримым по Лебегу, если верно равенство µ∗ (A) + µ∗ (CA) = b − a . В некоторых учебниках1 вместо данного равенства вводится понятие внутренней или нижней меры множества. Для этого предварительно определяется мера замкнутого множества F ⊂ A ⊂ [a; b]. 2 Так как множества U и V определяются числом ε, то и функции hU (x) на самом деле представляют последовательность функций, зависящих от ε: hU (ε) (x) . 1 См., например, Натансон И. П., гл. III, § 3. 155 Определение 2.2. Мерой замкнутого множества F называется число µ(F ) = b − a − µ(CF ), где CF — дополнительное к F открытое множество. Затем рассматриваются все замкнутые множества F , содержащиеся в A. На основании их меры вводится следующее Определение 2.3. Внутренней мерой множества A называется число µ∗ (A) = sup µ(F ). F ⊂A Используя это определение, формулируется другое определение меры по Лебегу. Определение 2.4. Множество A ⊂ [a; b] называется множеством, измеримым по Лебегу, если µ∗ (A) = µ∗ (A). При этом число µ(A) = µ∗ (A) = µ∗ (A) называется мерой множества A по Лебегу. Докажем следующее утверждение. Теорема 2.1. Определения 2.1 и 2.4 эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения внутренней меры A следует µ∗ A = sup µ(F ) = sup {b − a − µ(CF )} = b − a − inf {µ(CF )}. F ⊂A F ⊂A F ⊂A Но так как множество F ⊂ A, то его дополнение CF покрывает множество CA. Следовательно, µ∗ A = b − a − µ∗ (CA). Из полученного равенства вытекает, что равенства µ∗ (A) + µ∗ (CA) = b − a и µ∗ (A) + µ∗ (CA) = b − a эквивалентны если µ∗ (A) = µ∗ (A). Пользуясь определением 2.1 или 2.4, можно вывести все свойства меры, рассмотренные в §14 предыдущей главы. § 3. Функции, измеримые по Лебегу Опираясь на понятие измеримого множества, А. Лебег даёт другое определение измеримой функции. Определение 3.1. Функция ϕ(x) называется измеримой по Лебегу, если для любого действительного числа c множество E(ϕ; c) = {x : ϕ(x) ≤ c} является измеримым1 . 1 Так как множества E(ϕ; c) = {x : ϕ(x) ≤ c} и Ē(ϕ; c) = {x : ϕ(x) > c}, дополняя друг друга, измеримы одновременно, то возможно определение измеримой функции с помощью множеств Ē(ϕ; c). См., например, Гуревич Б. Л., Шилов Г. Е. Гл. 5. 156 Ранее, в § 12 третьей главы, было введено понятие функции, измеримой по Риссу. Теорема 3.1. Определения функций, измеримых по Риссу и Лебегу, эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция ϕ(x) измерима по Риссу. Определим с её помощью новую функцию ϕc (x) = max{ϕ(x); c}. Рассмотрим отношение ϕc+ε (x) − ϕc (x) . ε Если ϕ(x) ≥ c + ε, то ϕcε (x) = 0. А если ϕ(x) ≤ c, то ϕcε (x) = 1. В остальных же точках 0 < ϕcε (x) < 1. Допустим, что ε → 0. Тогда 1, если ϕ(x) ≤ c, lim ϕcε (x) = ε→0 0, если ϕ(x) ≥ c + ε. ϕcε (x) = А это означает, что полученный предел является характеристической функцией χE(ϕ; c) (x) множества E(ϕ; c). Так как отношение ϕcε (x) задаёт функции, измеримые по Риссу, то и их предел χE(ϕ; c) (x) также является измеримой по Риссу функцией. Поэтому множество E(ϕ; c) является измеримым по Риссу, а значит, и его дополнение также измеримо по Риссу. А так как внешняя мера каждого из этих множеств совпадает с мерой множества по Риссу1 , то множество E(ϕ; c) измеримо и по Лебегу. Следовательно, функция ϕ(x) измерима по Лебегу. Предположим обратное: функция ϕ(x) измерима по Лебегу. Это означает, что любое из множеств E(ϕ; c) измеримо. Следовательно, для любых c1 и c2 измеримыми будут и множества E(ϕ; c1 c2 ) = {x : c1 < ϕ(x) ≤ c2 } = {x : ϕ(x) ≤ c2 } \ {x : ϕ(x) ≤ c1 }. Обозначим через χc1 , c2 (x) характеристическую функцию множества E(ϕ; c1 c2 ). m на изДля каждого заданного n рассмотрим функцию ϕn (x), которая равна n меримом множестве m m+1 Em, n (ϕ) = x : < ϕ(x) ≤ (m = 0, ±1, ±2, . . . ). n n Функцию ϕn (x) можно представить как сумму всюду сходящегося ряда измеримых по Риссу функций ∞ X m ϕn (x) = χ m , m+1 (x). n n n m=−∞ 1 См. теорему 1.2. этой главы. 157 Поэтому она сама также измерима по Риссу. Функция ϕn (x) определена почти 1 при всех x и отличается от функции ϕ(x) не более, чем на , т. е. n |ϕn (x) − ϕ(x)| ≤ 1 . n А это значит, что функция ϕ(x) при n → ∞ является пределом последовательности измеримых по Риссу функций. Следовательно, она сама также является измеримой по Риссу. Что и требовалось доказать. § 4. Определение интеграла Лебега по Лебегу Рассмотрим построение интеграла способом, который предложил А. Лебег. В данном способе точки x объединяются в множества не по случайному признаку своей близости на оси Ox, а по признаку близости соответствующих значений функции. Поэтому Лебег разбивает на части не отрезок [a; b], расположенный на оси абцисс, а отрезок области изменения функции [m; M ], лежащий на оси ординат. Предположим, что ϕ(x) есть измеримая ограниченная функция с областью изменения [m; M ]. Выберем число n и разделим отрезок [m; M ] на n частей точками деления m = y0 < y1 < · · · < yn−1 < yn = M. Поставим в соответствие каждому множеству точек (yi ; yi+1 ] множество Ei = {x : yi < ϕ(x) ≤ yi+1 } (i = 0, 1, 2, . . . , n − 1). Очевидно, что множества Ei попарно не пересекаются, а их объединение составляет [a; b]. Так как функция ϕ(x) является измеримой, то множества Ei являются измеримыми, поскольку каждое из них можно представить в виде разности измеримых множеств: Ei = {x : ϕ(x) ≤ yi+1 } \ {x : ϕ(x) ≤ yi }. Поэтому n−1 X µ(Ei ) = b − a. i=0 По аналогии с построением интеграла Римана введём понятие сумм Лебега. Определение 4.1. Суммы вида s= n−1 X yi µ(Ei ) и S = i=0 n−1 X yi+1 µ(Ei ) i=0 будем называть соответственно нижней и верхней суммами Лебега. 158 Определение 4.2. Число λ = max(yi+1 −yi ) называется диаметром разбиения i отрезка [m; M ]. Из определения сумм Лебега вытекает, что 0 ≤ S − s ≤ λ(b − a). Точно так же, как в случае сумм Дарбу1 , можно определить основные свойства сумм Лебега: 1. От добавления новых точек деления к данному разбиению отрезка [m; M ] нижняя сумма Лебега s не уменьшается, а верхняя сумма Лебега S не увеличивается. 2. Для любых разбиений отрезка [m; M ] нижняя сумма Лебега одного разбиения не больше верхней суммы Лебега любого другого разбиения2 . Из свойств сумм Лебега вытекает, что множество всех нижних сумм Лебега ограничено сверху, а множество всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Допустим, что U = sup{s}, а V = inf {S}. λ λ При любом способе разбиения отрезка [m; M ] s ≤ U ≤ V ≤ S. Но так как S − s ≤ λ(b − a), а диаметр разбиения λ → 0, то U = V. Данное равенство позволяет дать следующее Определение 4.3. Общее значение чисел U и V называется интегралом Лебега от измеримой ограниченной функции ϕ(x) на отрезке [a; b] и обозначается символом Zb (L) ϕ(x) dx. a Покажем, что определение интеграла Лебега, данное Лебегом, совпадает с определением интеграла Даниэля, данным выше. Функция ϕп (x), равная yi на множестве Ei = {x : yi < ϕ(x) ≤ yi+1 }, является ограниченной и измеримой, а n−1 X интеграл от неё I(ϕп ) = yi µ(Ei ). Так как |ϕп (x) − ϕ(x)| ≤ max(yi+1 − yi ) = λ, i=0 то при λ → 0 функция ϕп (x) равномерно стремится к ϕ(x). Таким образом, Zb lim I(ϕп ) = (L) ϕ(x) dx. λ→0 a Это означает, что интеграл Лебега от измеримой и ограниченной функции на отрезке [a; b] существует и совпадает с интегралом Даниэля. 1 2 См. § 2 третьей главы. Полное доказательство см., например, Натансон И.П. Гл. V, § 1. 159 § 5. Определение интеграла Лебега от неограниченной измеримой функции Если функция ϕ(x) является измеримой, но неограниченной на отрезке [a; b], то Лебег рассматривает два случая. В первом из них предполагается, что измеримая и неограниченная функция ϕ(x) является неотрицательной. Аналогично случаям, рассмотренным в §11 и §12 третьей главы, определяется срезка функции ϕ(x) натуральным числом N ϕ(x), если ϕ(x) ≤ N, ϕN (x) = N, если ϕ(x) > N. Для которой можно доказать следующее утверждение. Лемма 5.1. Если функция ϕ(x) является измеримой, то её срезка числом N ϕN (x) также измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество точек отрезка [a; b] E(ϕ, c), если c ≥ 0, E(ϕN , c) = {x : ϕN (x) ≤ c} = ∅, если c < 0. Так как функция ϕ(x) измерима по условию, то измеримо и множество E(ϕ, c)1 . Поэтому множество E(ϕN , c) также измеримо. Что и доказывает данное утверждение. Так как функция ϕN (x) ограничена, то она интегрируема по Лебегу. Очевидно также, что ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ≤ · · · ≤ ϕN (x) ≤ . . . . Поэтому Zb Zb ϕ1 (x)dx ≤ (L) (L) a Zb ϕ2 (x)dx ≤ · · · ≤ (L) a ϕN (x)dx ≤ . . . . a Следовательно, существует конечный (или бесконечный) предел Zb lim (L) ϕN (x)dx. N →∞ a Данный предел и позволяет дать следующее Определение 5.1. Число Zb (L) Zb ϕ(x)dx = lim (L) a 1 ϕN (x)dx N →∞ a См. определение 14.1 предыдущей главы. 160 называется интегралом Лебега от неотрицательной измеримой неограниченной функции на отрезке [a; b]. Если этот интеграл конечен, то функция ϕ(x) называется интегрируемой (L) или суммируемой по Лебегу на отрезке [a; b]. Естественно, что для ограниченной неотрицательной и измеримой функции данное определение совпадает с определением 4.3 этой главы, так как при достаточно больших N ϕN (x) ≡ ϕ(x). Поэтому любая ограниченная измеримая неотрицательная функция является суммируемой по Лебегу. Рассмотрим второй случай, когда измеримая и неограниченная функция ϕ(x) является функцией произвольного знака. Так как функция ϕ(x) является измеримой, то измеримыми являются её положительная ϕ+ (x) и отрицательная части ϕ− (x). Кроме этого, ϕ+ (x) и ϕ− (x) неотрицательны, поэтому существуют интегралы Zb Zb (L) ϕ+ (x)dx и (L) ϕ− (x)dx. a a − + Так как ϕ(x) = ϕ (x) − ϕ (x), то при условии, что хотя бы одна из компонент разности является суммируемой по Лебегу на отрезке [a; b], имеет место Определение 5.2. Число Zb Zb ϕ(x)dx = (L) (L) a ϕ+ (x)dx − (L) a Zb ϕ− (x)dx a называется интегралом Лебега от измеримой функции ϕ(x) на отрезке [a; b]. Если измеримая функция ϕ(x) ограничена, то ограниченными являются ϕ+ (x) и ϕ− (x). Поэтому новое определение совпадает с определением 4.3. Если же неотрицательная измеримая функция ϕ(x) будет неограниченной, то новое определение совпадёт с определением 5.1. Так как в этом случае ϕ+ (x) = ϕ(x), а ϕ− (x) = 0. Для того чтобы интеграл Zb (L) ϕ(x)dx a существовал и был конечен, необходимо и достаточно, чтобы функции ϕ+ (x) и ϕ− (x) были суммируемы по Лебегу на отрезке [a; b]. Определение 5.3. Произвольная измеримая функция ϕ(x) называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой на отрезке [a; b], если интеграл Лебега от этой функции существует и является конечным числом. Из этого определения вытекает, что любая ограниченная измеримая функция является суммируемой. Для неотрицательной функции последнее определение совпадает с определением 5.1. 161 Класс функций, определённых и суммируемых по Лебегу на отрезке [a; b], обычно обозначают L([a; b]). Докажем, что справедливо следующее утверждение. Теорема 5.1. Классы D([a; b]) и L([a; b]) совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение достаточно проверить для неотрицательных функций. Если функция ϕ(x) ≥ 0 и суммируема по Лебегу на [a; b], то её можно представить в виде предела возрастающей последовательности ограниченных суммируемых по Лебегу функций ϕN (x). Поэтому, по теореме Беппо Леви, функция ϕ(x) суммируема по Риссу и I(ϕ) = lim I(ϕN ). Таким образом, N →∞ её интеграл Даниэля совпадает с интегралом Лебега. Предположим обратное: пусть функция ϕ(x) ≥ 0 суммируема по Риссу. Тогда все функции ϕN (x) ограничены и измеримы и I(ϕN ) ≤ I(ϕ). Так как I(ϕN ) ограничены, то они имеют конечный предел. А это означает, что функция ϕ(x) суммируема по Лебегу. Из первой части доказательства вытекает, что её интеграл Лебега совпадает с числом I(ϕ). Таким образом, результат построения интеграла Лебега А. Лебегом совпадает с построением интеграла по схеме Даниэля, предложенным Ф. Риссом. Исторически за интегралом сохранилось имя его создателя А. Лебега, поэтому далее он и будет называться интеграл Лебега. § 6. Комментарии к четвертой главе Содержание данной главы взято из работ: ? Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. ? Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. ? Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. 162 ДОПОЛНЕНИЯ Дополнение 1. Интегрирование функции двух переменных Рассмотрим на координатной плоскости прямоугольник D = {(x; y) : a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}. Далее нам понадобятся несколько нижеследующих определений, аналогичных определениям третьей главы. Определение D1.1. Множеством меры нуль в прямоугольнике D называется множество точек, которое при любом ε > 0 можно покрыть конечной или счётной системой прямоугольников Di = {(x; y) : a(i) ≤ x ≤ b(i) ; c(i) ≤ y ≤ d(i) }, сумма площадей которых не превосходит ε. Например, любой отрезок или ломаная являются в прямоугольнике множествами меры нуль. Разобъём прямоугольник D на конечное число прямоугольников D1 , D2 , . . . , Dn . Определение D1.2. Функция вида  b1 , если (x; y) ∈ D1 ,    b2 , если (x; y) ∈ D2 , h(x; y) = ..................,    bn , если (x; y) ∈ Dn называется ступенчатой функцией. Аналогично третьей главе определяется класс измеримых функций, каждая из которых почти всюду в D является конечным пределом последовательности ступенчатых функций. Обозначим площадь прямоугольника D через s(D). С помощью этого обозначения введём следующее Определение D1.3. Интегралом от ступенчатой функции h(x; y) в прямоугольнике D называется число I(h) = n X bi s(Di ). i=1 Точно так же, как и в третьей главе, под классом D+ мы будем понимать множество функций f (x; y), определённых в прямоугольнике D, каждая из которых является пределом возрастающей последовательности {hm (x; y)} ступенчатых функций c ограниченными интегралами I(hm ). А класс L — пространство Лебега — есть класс разностей ϕ(x; y) = f (x; y) − g(x; y), в котором функции f (x; y) и g(x; y) принадлежат классу D+ . Функции, входящие в класс L, называются суммируемыми функциями. Все теоремы §§ 6-12 третьей главы переносятся 163 на случай функций двух переменных без изменений за исключением обозначений: отрезок, естественно, заменяется прямоугольником, а функция f (x) функцией f (x; y). Но вполне логично, что появляется новая проблема — проблема повторного интегрирования. В классическом математическом анализе двойной интеграл от непрерывной функции f (x; y) определяется как предел римановых интегральных сумм. Его вычисление сводится к двум определённым интегралам от функций одной переменной с помощью формулы   Zb Zd Zb Zd  f (x; y)dxdy = f (x; y)dy dx.   a c a c В теории интеграла Лебега также существует аналогичная формула, найденная в 1907 году Г. Фубини1 . Связанная с ней теорема получила его имя. Прежде, чем сформулировать теорему, введём следующие обозначения: обозначим через Ix (ϕ(x; y)) интеграл от ϕ(x; y) по отрезку [a; b] и точно так же через Iy (ϕ(x; y)) интеграл от ϕ(x; y) по отрезку [c; d]. Теорема D1.1. Пусть функция ϕ(x; y) — суммируемая функция в прямоугольнике D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}. Тогда имеют место следующие условия: 1) рассматриваемая как функция аргумента x при фиксированном y, эта функция является суммируемой функцией по x почти при всех значениях y; 2) её интеграл Ix (ϕ(x; y)) как функция от y является суммируемой функцией на отрезке [c; d]; 3) выполняется равенство Iy (Ix (ϕ(x; y))) = I(ϕ). Если в условиях 1)—3) поменять x и y местами, то получится аналогичная формула: Ix (Iy (ϕ(x; y))) = I(ϕ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что для ступенчатых функций формула повторного интегрирования имеет место, поскольку процесс построения интегральных сумм в данном случае ни чем не отличается от такого же процесса в классическом анализе. Поэтому достаточно будет доказать существование формулы для функции из класса D+ . Предположим, что {hm (x; y)} — монотонно возрастающая последовательность ступенчатых функций, которая сходится к функции 1 Фубини Гвидо (Fubini Guido, 1879-1943) — итальянский математик. Его основные работы относятся к теории функций и геометрии. 164 ϕ(x; y) на множестве плоской полной меры A ⊂ D. Построим функции gm (y) = Ix (hm (x; y)). Функции gm (y), по крайней мере, определены при всех y, которые не соответствуют линиям разрыва {hm (x; y)}. Последовательность функций {gm (y)} монотонно возрастает при m → ∞. Также можно увидеть, что интегралы от gm (y) ограничены в совокупности. В силу их определения Iy (gm (y)) = Iy (Ix (hm (x; y))) = I(hm ) % I(ϕ). Из теоремы Беппо Леви следует, что функции gm (y) сходятся почти при всех y ∈ [c; d] к некоторой суммируемой функции g(y). Причём Iy (g) = lim Iy (gm (y)) = I(ϕ). N→∞ Допустим, что y — произвольно выбранная точка того множества Ay ⊂ [c; d] полной меры, на котором функция g(y) определена и конечна. При этом значении y функции hm (x; y) как функции от x образуют монотонно возрастающую последовательность: Ix (hm (x; y)) = gm (y) % g(y). Очевидно,что интегралы от этих функций ограничены. Поэтому, в силу теоремы Беппо Леви, функции hm (x; y) почти при всех x, то есть на некотором множестве Ayx ⊂ [a; b] полной меры по x, сходятся к некоторой функции ϕ0 (x; y). А это означает, что lim Ix (hm (x; y)) = g(y) = Ix (ϕ0 (x; y)). m→∞ В результате получаем формулу I(ϕ) = Iy (g(y)) = Iy (Ix (ϕ0 (x; y))) . (∗) Функция ϕ0 (x; y) совпадает с функцией ϕ(x; y) во всех точках (x; y), которые одновременно принадлежат множествам A и Ayx . Это следует из того, что на первом из этих множеств lim hm (x; y) = ϕ(x; y), m→∞ а на втором lim hm (x; y) = ϕ0 (x; y). m→∞ Следует заметить, что если hm (x; y) всюду сходится к функции ϕ(x; y), то на множестве Ayx справедливо равенство ϕ0 (x; y) = ϕ(x; y). Поэтому утверждение доказываемой теоремы оказывается верным. Так, например, это имеет место, когда функции hn+1 (x; y)−hn (x; y) = en (x; y) являются характеристическими функциями непересекающихся прямоугольников 165 Dn (n = 1, 2, . . . ). В этом случае интеграл I(ϕ) является счётной суммой площадей этих прямоугольников. Каждая из функций gm (y) = Ix (hm (x; y)) определяет сумму длин интервалов, полученных в пересечении соответствующей горизонтальной прямой с первыми m прямоугольниками. А функция g(y) = lim gm (y) m→∞ есть счётная сумма длин всех аналогичных интервалов. Далее нам придётся прервать доказательство теоремы, чтобы с помощью формулы (∗) установить связь между множествами элементов x и элементов y на любом плоском множестве полной меры. Лемма D1.1. Каждое плоское множество Z полной меры пересекается почти всеми горизонтальными прямыми1 y = y0 по множеству элементов x полной линейной меры. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем положительное число ε. Образуем покрытие дополнения CZ множества Z системой непересекающихся прямоугольников D1 , D2 , . . . , Dn , . . . с общей площадью, меньшей, чем ε. Рассмотрим характеристические функции ϕε (x; y) этой системы прямоугольников. Из формулы (∗) следует, что I(ϕε ) = Iy (Ix (ϕε (x; y))) = Iy (gε (y)). Заставим ε стремиться к нулю. При этом предположении характеристические функции ϕε (x; y) образуют убывающую последовательность. А это означает, что и функции gε (y) = Ix (ϕε (x; y)) также образуют убывающую последовательность. Так как I(ϕε ) → 0, то и Iy (gε (y)) → 0. Откуда почти для всех y следует, что gε (y) → 0. Обозначим множество всех y, для которых gε (y) → 0, через A0 . Данное множество имеет полную меру. Выше, при доказательстве теоремы, было показано, что каждое значение gε (y) есть сумма длин интервалов, получающихся в пересечении соответствующей горизонтальной прямой y = y0 с прямоугольниками D1 , D2 , . . . , Dn , . . . , покрывающими множество CZ. Из этого видно, что пересечение множества CZ с прямой y = y0 ∈ A0 может быть покрыто счётной системой интервалов, общая длина которых может быть сколь угодно мала. Следовательно, рассмотренное пересечение имеет меру нуль. А пересечение множества Z с этой же прямой имеет полную меру. Что и требовалось доказать. Вернёмся к прерванному доказательству теоремы. Последовательность {hm (x; y)} сходится к функции ϕ(x; y) на множестве A плоской полной меры. На оси Oy можно найти множество A0y линейной полной меры такое, что для y0 ∈ A0y функции hm (x, y0 ) сходятся к функции ϕ(x; y0 ) на множестве A0yx линейной полной меры по x. При построении множества Ay , на котором сходится последовательность gm (y), можно заранее исключить точки множества меры нуль, не входящие в A0y . Поэтому мы можем считать, что Ay ⊂ A0y . Далее мы зафиксируем y0 и рассмотрим множество точек Ay0 x , на котором 1 То есть всеми, кроме множества элементов y меры нуль. 166 последовательность hm (x; y0 ) сходится к функции ϕ0 (x; y0 ). Если исключить точки множества меры нуль, которые не входят в множество A0y0 x , то, как и выше, можно считать, что Ay0 x ⊂ A0y0 x . Так как на множестве A0y0 x мы имеем hm (x; y0 ) % ϕ(x, ; y0 ), то всюду на множестве Ay0 x верно равенство ϕ(x; y0 ) = ϕ0 (x; y0 ). Таким образом, мы получаем, что при y ∈ Ay функция ϕ(x; y) суммируема по x. А её интеграл Ix (ϕ(x; y)) = g(y) — суммируемая функция от y. При этом Iy (Ix (ϕ(x; y))) = I(ϕ). Следовательно, теорема Фубини доказана. Следует заметить, что из существования интегралов Iy (Ix (ϕ(x; y))) и Ix (Iy (ϕ(x; y))) (∗∗) на множестве не следует их равенство, а также суммируемость функции ϕ(x; y) на этом множестве. Для этого должны иметь место условия следующей леммы. Лемма D1.2. Если на множестве A функция ϕ(x; y) измерима и неотрицательна, то из существования хотя бы одного из интегралов (∗∗) следует суммируемость функции ϕ(x; y) на A и равенство I(ϕ) = Iy (Ix (ϕ(x; y))) = Ix (Iy (ϕ(x; y))). (∗ ∗ ∗) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует Iy (Ix (ϕ(x; y))) = I. Рассмотрим на множестве A последовательность функций ϕn (x; y) = min{ϕ(x; y); n}. При каждом n функции ϕn (x; y) измеримы и ограничены, поэтому они суммируемы на A. По теореме Фубини I(ϕn ) = Iy (Ix (ϕn (x; y))) ≤ I. С ростом n функции ϕn (x; y) монотонно возрастают и стремятся к функции ϕ(x; y). Так как для каждого n I(ϕn ) ≤ I, то из теоремы Беппо Леви следует, что функция ϕ(x; y) суммируема. Тогда к ней применима теорема Фубини, и мы получаем требуемое равенство. В качестве приложения теоремы рассмотрим следующее Теоретическое упражнение D1.1. Доказать, что если функции ϕ(x) и ψ(y) суммируемы при x, y ∈ [a; b], то функция ϕ(x)ψ(y) суммируема на квадрате A = {(x; y) : a ≤ x ≤ b; a ≤ y ≤ b} и I(ϕψ) = I(ϕ)I(ψ). 167 Так как функции ϕ(x) и ψ(y) суммируемы, то они измеримы. Поэтому их модули, а также их произведение являются измеримыми функциями. В силу независимости переменных Iy (Ix (|ϕ(x)||ψ(y)|) = Iy (|ψ|)Ix (|ϕ|). Поэтому функция |ϕ(x)ψ(y)| суммируема на квадрате A, а значит, и ϕ(x)ψ(y) также суммируема на A. При этом она не только суммируема, но и измерима. Из равенства (∗ ∗ ∗) следует, что I(ϕψ) = Iy (Ix (ϕ(x)ψ(y))) = Iy (ψ)Ix (ϕ). Что и требовалось доказать. Дополнение 2. Схема Даниэля построения интеграла Лебега Как уже отмечалось выше, рассмотренное в третьей главе построение интеграла Лебега связано с именем Даниэля. Но приведенное построение является частным случаем схемы Даниэля. Поэтому есть смысл привести кратко схему Даниэля в общем виде. При этом можно будет увидеть сжатое изложение третьей главы на примере ступенчатых функций и понять, что эти функции могут быть заменены другими, обладающими такими же свойствами. Пусть X — некоторое непустое множество. Определим на X семейство H = H(X) действительных функций h(x), x ∈ X, которые назовём элементарными функциями. Предположим, что семейство H состоит из функций, удовлетворяющих следующим свойствам: 1) если функции h1 (x) и h2 (x) при любом x ∈ X являются функциями из H, то их линейная комбинация αh1 (x)+βh2 (x) принадлежит H при любых действительных α и β; 2) если функция h(x) ∈ H при x ∈ X, то её модуль |h(x)| также принадлежит H; 3) функция h(x) = 1 является функцией из H при x ∈ X. Из свойства 1) следует, что семейство H есть линейное пространство. На основании свойства 2) можно заключить, что если h(x) ∈ H при x ∈ X, то её положительная часть 1 h+ (x) = (|h(x)| + h(x)) 2 и её отрицательная часть 1 h+ (x) = (|h(x)| − h(x)) 2 также являются функциями из H. Одновременно с ними для любых h1 (x) и h2 (x), принадлежащих H, функции max{h1 (x), h2 (x)} и min{h1 (x), h2 (x)} тоже входят в H при x ∈ X. Предположим Z также, что каждой элементарной функции h(x), x ∈ X соответствует число h(x)dµ, которое обладает следующими свойствами: X 168 а) для любых h1 (x) ∈ H, h2 (x) ∈ H и всех действительных α и β Z Z Z (αh1 (x) + βh2 (x))dµ = α h1 (x)dµ + β h2 (x)dµ ; X X X б) если для каждого x ∈ X h(x) ∈ H и h(x) ≥ 0, то Z h(x)dµ ≥ 0 ; X в) если последовательность элементарных функций {hn (x)} при n → ∞ стремится к нулю в каждой точке x ∈ X, то Z hn (x)dµ = 0. lim n→∞ X Это число будем называть элементарным интегралом функции h(x) по множеству X. При выполнении условий а)— в) совокупность H можно расширить до некоторого класса функций L(X)1 , определённых на X. При этом элементарный интеграл распространяется из HZ на L(X), то есть для каждой функции ϕ(x) ∈ L(X) вводится интеграл ϕ(x)dµ. Расширение L(X) называется классом X интегрируемых или суммируемых по Лебегу на множестве X функций. А интеZ грал ϕ(x)dµ называется интегралом Лебега функции ϕ(x) по X. Рассмотрим X кратко, как строится это расширение. Введём понятие множества меры нуль. Определение D2.1. Пусть множество A ⊂ X. Если для каждого ε > 0 существует монотоннно возрастающая последовательность элементарных функций 0 ≤ h1 (x) ≤ h2 (x) ≤ . . . Z таких, что для любого x ∈ A sup hn (x) ≥ 1, а интеграл hn (x)dµ < ε, то n X множество A называется множеством меры нуль. Используя это определение, можно ввести понятия сходимость почти всюду и функция почти всюду конечна. Далее можно ввести понятие измеримой по Лебегу функции. Определение D2.2. Если действительная функция f (x), x ∈ X, почти всюду конечна и является пределом почти всюду сходящейся последовательности элементарных функций, то она называется функцией, измеримой по Лебегу. 1 Как пример, см. построение класса D в третьей главе. 169 Для построения расширения определим вспомогательный класс функций L+ (X). Определение D2.3. Функция f (x), x ∈ X, принадлежит классу L+ (X), если почти всюду является пределом некоторой монотонно возрастающей на X последовательности элементарных функций {hn (x)}, интегралы от которых ограничены в совокупности: Z ∃C ∈ R : hn (x)dµ ≤ C (∀ n ∈ N). X Если функция f (x) ∈ L+ (X), то логично определить Z Z f (x)dµ = lim hn (x)dµ. n→∞ X X С помощью функций f (x) и g(x) из класса L+ (X) можно определить и требуемый класс L(X) интегрируемых по Лебегу на X функций. Определение D2.4. Функция ϕ(x) называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу, если её можно представить в виде разности ϕ(x) = f (x) − g(x), x ∈ X. А число Z Z f (x)dµ − ϕ(x)dµ = X Z X g(x)dµ X называется интегралом Лебега от ϕ(x) на X. Введём понятие измеримого множества. Определение D2.5. Множество A ⊂ X называется измеримым по Лебегу, если измерима его характеристическая функция χA (x), x ∈ A. При этом мерой Лебега множества A называется число Z µ(A) = χA (x)dµ. X Так, например, всё множество X измеримо, так какZ его характеристическая функ1 · dµ. ция χX (x) = 1 является элементарной. И µ(X) = X Таким образом, мы расмотрели схему Даниэля для случая, когда µ(X) конечна. Эта конечность обусловлена тем, что для всех x ∈ X функция h(x) ≡ 1 ∈ H(X). Рассмотрим несколько примеров применения схемы Даниэля. 1. Предположим, что X = [a; b] ∈ R. Выбирая в качестве пространства H([a; b]) элементарных функций класс ступенчатых функций, определённых на [a; b], мы получим класс D([a; b]), построенный в третьей главе. 170 2. Допустим, что X = [a; b] ∈ R. Определим в качестве класса H([a; b]) элементарных функций множество действительных непрерывных функций, заданных Z на [a; b] 1 . Тогда элементарным интегралом h(x)dµ непрерывной функции [a; b] h(x), x ∈ [a; b] будем называть её интеграл Римана Zb Z h(x)dµ = h(x)dx. a [a; b] Можно проверить, что условия 1)–3) и а)–в), наложенные на элементарные функции и элементарный интеграл, имеют место и в этом случае. Поэтому по схеме Даниэля можно построить класс интегрируемых по Лебегу функций L([a; b]), совпадающий с построенным в третьей главе классом D([a; b]). 3. Допустим, что X является некоторым бесконечным интервалом (a; b). В этом случае в качестве совокупности H ((a; b)) элементарных функций можно выбрать класс ступенчатых функций, или класс непрерывных функций, или класс функций, интегрируемых по Риману. При этом каждая из функций выбранного класса должна быть равна нулю вне некоторого конечного интервала, своего для каждой функции2 . Пример такого построения, когда в качестве элементарных функций выбраны ступенчатые функции, рассмотрен в §16 третьей главы. В заключение заметим, что в пространстве бóльшей размерности на множестве X аналогично можно определить пространство H(X) элементарных функций подобно тому как это описано в Дополнении 1, где в качестве множества X выбран прямоугольник D, а роль элементарных функций играют ступенчатые функции3 . Дополнение 3. Примеры вычисления интеграла Лебега Z1 1. Вычислить интеграл (L) f (x) dx, если 0 f (x) = x3 , если x − иррациональное число, 1, если x − рациональное число. Решение. Функция f (x) почти всюду может быть определена как предел последовательности k k k + 1 ступенчатых функций hn (x) = , где x ∈ x : ≤ x3 ≤ . Поэтому она n n n является измеримой. А так как она ограничена на отрезке [0; 1], то она суммируема 1 В качестве H([a; b]) можно выбрать и более широкий класс функций, интегрируемых по Риману на отрезке [a; b]. 2 Такие функции называются финитными функциями. 3 Более подробно см. в библиографическом списке Городецкий В. В. и др. 171 по Лебегу. Для вычисления интеграла Лебега от f (x) рассмотрим функцию g(x) = x3 , эквивалентную функции f (x) на отрезке [0; 1] (значения этих функций отличаются только на множестве меры нуль). Интеграл Лебега от g(x) cовпадает с её интегралом Римана. Z1 (L) Z1 f (x) dx = (L) 0 Z1 g(x) dx = (L) 0 0 x3 dx = Z1 x3 dx = 0, 25. 0 2. Если D ⊂ [0; 1] — канторово множество, а χD (x) его характеристическая Z функция, то чему равен (L) χD (x)dx? D Решение. Согласно определению канторова множества, оно может быть получено выбрасыванием из отрезка системы интервалов, общая длина которых совпадает с длиной отрезка. Следовательно, в силу аддитивности интеграла Лебега, Z (L) χD (x)dx = 0. D 3. Пусть D — канторово множество, лежащее на отрезке [0; 1], а функция 1, если x ∈ D, f (x) = 2, если x ∈ [0; 1] \ D. Z1 f (x) dx. Вычислить интеграл (L) 0 Решение. Из примера 2 следует, что мера множества D равна нулю. Поэтому интегрируемая функция f (x) на отрезке [0; 1] эквивалентна функции g(x) = 2. Следовательно, Z1 Z1 (L) f (x) dx = 2 dx = 2. 0 0 Z1 4. Вычислить интеграл (L) f (x) dx, если 0  1   ; x, если x − иррациональное число и x ∈   2   f (x) = 2  x , если x − иррациональное число и x ∈ 0;      0, если x − рациональное число. 172 1 , 1 , 2 Решение. 1 1 Разобъём отрезок [0; 1] на два отрезка: 0; и ; 1 . На первом из отрезков 2 2 интегрируемая функция f (x) эквивалентна x, а на втором — x2 . Поэтому 1 Z1 (L) f (x) dx + (L) f (x) dx = (L) 0 0 1 Z1 x dx + 0 Z1 Z2 f (x) dx = (L) 1 x2 dx = + 8 x dx + (L) 0 1 2 Z2 = 1 Z1 Z2 1 1 − 3 3 · 23 = x2 dx = 1 2 10 5 = . 24 12 1 2 Z2 5. Вычислить интеграл (L) √ 3 1 dx. x−1 1 Решение. Чтобы вычислить интеграл построим срезку функции 1 f (x) = √ числом t > 1: 3 x−1  1    t, если x ∈ 1; 1 + 3 ,  t ft (x) =  1 1   , если x ∈ 1 + 3 ; 2 .  √ 3 t x−1 Вычислим интеграл от срезки: 1+ t13 Z2 (L) Z2 Z ft (x) dx = 1 t dx + 1 3 1 3 1 dx 1 √ = t 1 + − 1 + 1 − = − . 3 t3 2 t2 2 2t2 x−1 1+ t13 Так как Z2 (L) Z2 f (x) dx = lim (L) ft (x) dx, то (L) t→∞ 1 Z2 1 1 1 3 1 3 √ dx = lim − = = 1 . 3 t→∞ 2 2t2 2 2 x−1 1 Z2 6. Вычислить интеграл (L) sgn(cos πx) dx. −2 Решение. Функция f (x) = sgn(cos πx) является ступенчатой функцией, принимающей зна173 чения −1, 0 и 1 соответственно на множествах A−1 , A0 и A1 , где 3 1 1 3 3 1 A−1 = − ; − ∪ ; , µ(A−1 ) = 2 · − = 2. 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 A0 = − ; − ; ; , µ(A0 ) = 0. 2 2 2 2 1 1 3 3 3 1 ∪ − ;− ∪ ; 2 , µ(A1 ) = 2 · − = 2. A1 = −2; − 2 2 2 2 2 2 Z2 sgn(cos πx) dx = −1 · 2 + 0 · 0 + 1 · 2 = 0. (L) −2 Z1 7. Вычислить интеграл (L) xχR\Q (x)dx, где χR\Q (x) — характеристическая функ0 ция множества R \ Q. Решение 1. Покажем, что функция f (x) = xχR\Q (x) является измеримой. Для этого построим k последовательность ступенчатых функций hn (x) = , определенных на множестве n k k+1 Ak = x ∈ [0; 1]; ≤ f (x) ≤ , n n где k = 0, 1, . . . , n − 1. Так как ∞ [ Ak = [0; 1], то для каждого x ∈ [0; 1] k=1 |f (x) − hn (x)| ≤ 1 . n То есть построенная последовательность равномерно сходится к f (x). Что и доказывает измеримость f (x). Кроме этого, данная функция является ограниченной. Следовательно, она интегрируема по Лебегу на отрезке [0; 1]: Z1 (L) Z1 f (x)dx = lim (L) hn (x)dx = lim n→∞ 0 n→∞ 0 Так как длина каждого интервала Ak равна Z1 (L) 0 n−1 n−1 X k k=0 n µ(Ak ). 1 , то n 1 X n(n − 1) 1 f (x)dx = lim 2 k = lim = . n→∞ n n→∞ 2n2 2 k=0 174 Решение 2. Так как функция f (x) измерима и ограничена, то она интегрируема по Лебегу. Кроме этого, она почти всюду совпадает с функцией g(x) = x. Поэтому Z1 (L) Z1 f (x)dx = (L) 0 xdx. 0 В силу того, что функция g(x) = x непрерывна на [0; 1], она интегрируема по Риману, а значит Z1 Z1 x2 1 1 (L) f (x)dx = xdx = = . 2 0 2 0 0 Z2 8. Докажите неравенство 4e ≤ (L) ex 2 +χR/Q (x) dx ≤ 4e5 . −2 Решение. Так как χR/Q (x) = 1 почти всюду, то на отрезке [−2; 2] интегрируемая функция 2 эквивалентна функции f (x) = ex +1 . Из этого следует, что Z2 (L) ex 2 +χR/Q (x) Z2 dx = −2 ex 2 +1 (x) dx. −2 Для всех x ∈ [−2; 2] имеет место неравенство e ≤ ex Z2 Z2 e dx ≤ 4e = −2 ex 2 +1 Z2 (x) dx ≤ −2 2 +1 ≤ e5 . Следовательно, e5 dx = 4e5 . −2 Что и требовалось доказать. 9. Вычислить предел Z lim (L) n sin n→∞ |x| · (1 + x4 )−1 dx. n R Рассмотрим на множестве R последовательность функций fn (x) = sin |x| · (1 + x4 )−1 n ∈ N. n Для каждого x ∈ R n sin |x| |x| n lim fn (x) = lim = = g(x). n→∞ n→∞ 1 + x4 1 + x4 175 Данная функциональная последовательность ограничена неотрицательной функцией g(x) |x| |fn (x)| ≤ = g(x), 1 + x4 которая интегрируема на R по Риману, а значит, интегрируема и по Лебегу на R. Следовательно, Z lim (L) n→∞ |x| n sin · (1 + x4 )−1 dx = n =2 |x|dx = 1 + x4 −∞ R Z∞ Z∞ 1 xdx = 2 · 1 + x4 2 0 Z∞ 0 d x2 ∞ π = arctg x = . 0 2 1 + (x2 )2 2 В заключение рассмотрим пример о возможности сведения вычисления интеграла Лебега к вычислению несобственного интеграла от неограниченной функции. 10. Пусть на полуинтервале [0; 1) задана непрерывная функция f (x) так, что lim f (x) = ∞. Докажите, что функция интегрируема на отрезке [0; 1] по Лебегу x→1 Z1 |f (x)|dx. тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл 0 Предположим, что функция f (x) интегрируема по Лебегу на [0; 1]. Тогда на [0; 1] интегрируема и g(x) = |f (x)|. Построим последовательность функций  1   ,  |f (x)|, если x ∈ 0; 1 − n gn (x) = 1   / 0; 1 − .  0, если x ∈ n Данная последовательность почти всюду сходится к g(x). Каждая из функций gn (x) почти всюду является непрерывной и поэтому интегрируема на [0; 1] по Риману и по Лебегу. И справедливо равенство Z1 (L) 1 1− n Z Z1 gn (x)dx = 0 |f (x)|dx. gn (x)dx = 0 0 Так как |gn (x)| ≤ |f (x)| для всех x ∈ [0; 1], то |f (x)| интегрируемая мажоранта для последовательности {gn (x)}. Поэтому на основании теоремы Лебега Z1 |f (x)|dx = lim (L) (L) n→∞ 0 0 176 Z1 |f (x)|dx = gn (x)dx = lim n→∞ 0 1 1− n Z Z1 |f (x)|dx. 0 Допустим теперь, что функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке [0; 1], т. е. сходится интеграл Z1 |f (x)|dx. 0 (Напомним, что функция f (x) будет абсолютно интегрируемой в смысле несобственного интеграла второго рода на промежутке [0; 1], если вместе с интегралом Z1 Z1 f (x)dx одновременно сходится интеграл |f (x)|dx (см., например, Фихтен0 0 гольц Г. М. Т. 2, гл. XIII, § 2, п. 482)). Рассмотрим ту же последовательность функций {gn (x)}, каждая из которых интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу на [0; 1]. Данная последовательность является монотонно неубывающей в каждой точке отрезка [0; 1]. При этом lim gn (x) = |f (x)|, x ∈ [0; 1]. А n→∞ 1 1− n Z Z1 lim (L) |f (x)|dx ≤ gn (x)dx = lim n→∞ n→∞ 0 Z1 0 |f (x)|dx . 0 Поэтому, на основании следствия 10.1, функция |f (x)| интегрируема на отрезке [0; 1]. Это означает, что и функция f (x) является интегрируемой по Лебегу на [0; 1]. Рассмотрим для каждого натурального n функцию  1   ,  f (x), если x ∈ 0; 1 − n fn (x) = 1   / 0; 1 − .  0, если x ∈ n Из неравенства |fn (x)| ≤ |f (x)|, справедливого для всех x ∈ [0; 1], следует интегрируемость любой функции последовательности {fn (x)}. Так как lim fn (x) = f (x), x ∈ [0; 1], n→∞ то из теоремы Лебега получаем 1 1− n Z Z1 f (x)dx = lim f (x)dx = lim (L) n→∞ 0 Z1 fn (x)dx = (L) n→∞ 0 Z1 0 Комментарии к дополнениям 1. Дополнение 1 написано с помощью работ: ? Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. 177 f (x)dx. 0 ? Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. 2. Содержание Дополнения 2 взято из книги ? Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу. 3. При составлении Дополнения 3 были использованы: ? Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу. ? Действительный анализ в задачах. ? Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. ? Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. Ответы к теоретическим упражнениям Глава 1 3.1 Если x ∈ [0; 1], то функция y(x) = (b − a)x + a определяет взаимно однозначное отображение. 3.2 Если x ∈ [0; 1], то функция y(x) = ctg(π x) определяет взаимно однозначное отображение. 3.3 Построим на интервале (0; 1) последовательность попарно различных точек 1 1 1 1 x1 = , x2 = , x3 = , . . . , xn = , .... 2 3 4 n+1 Установим следующее отображение: точку 0 отрезка отобразим в точку x1 интер1 вала; точку 1 ∈ [0; 1] — в точку x2 ∈ (0; 1); точку x1 = ∈ [0; 1] — в точку 2 1 x3 ∈ (0; 1); точку x2 = ∈ [0; 1] — в точку x4 ∈ (0; 1). То есть каждую точку 3 xn ∈ [0; 1] отобразим в точку xn+2 ∈ (0; 1). Все остальные точки отрезка [0; 1] отобразим в самих себя. Построенное отображение задаёт взаимно однозначное соответствие (см. приведённый рисунок). 4.1 Нет, не является. Если имеются общие элементы, то можно воспользоваться схемой доказательства теоремы 4.3. 4.2 Пусть точка x0 — произвольная точка отрезка [a; b]. Так как функция f (x) является 178 монотонной и ограниченной на каждом из промежутков [a; x0 ) и (x0 ; b], то в выбранной точке существуют конечные односторонние пределы lim f (x) = A x→x0 −0 и lim f (x) = B. Поэтому точки разрыва являются точками разрыва первого x→x0 +0 рода. В каждой такой точке существует скачок функции s = B − A > 0. Если α — некоторое положительное число, то множество точек разрыва, в которых s > α, f (b) − f (a) конечно. Число же таких точек не больше, чем . Обозначим через Rn b−a 1 множество тех точек разрыва, в которых s > . Тогда множество всех точек n разрыва R = R1 ∪ R2 ∪ R3 ∪ · · · ∪ Rn ∪ . . . Так как все множества Rn конечны, то согласно теореме 4.5 множество R является конечным или счётным множеством. 7.1 Рассмотрим множество A тех пятёрок, у которых нижние части представляют правые полуокружности радиуса 1 $ $ с центрами в точках отрезка [−1; 0], а верхние части s−1 s0 s1 - x образованы ломаными из двух отрезков, расположенных под прямым углом друг к другу. При этом первое из звеньев % % расположено перпендикулярно оси x. Общие длины этих ломаных определяются зависимостью ϕ(x) = 2 − x, где x — координата точки пересечения полуокружностью оси x. При таком построении пятёрки не пересекаются между собой, а образованное ими множество A эквивалентно множеству точек отрезка [0; 1]. Таким образом, мощность множества всех пятёрок на плоскости не может быть меньше, чем мощность его подмножества A, т. е. меньше, чем континуум. В то же время каждая из непересекающихся пятёрок на плоскости является подмножеством некоторой плоской кривой из множества плоских кривых, заполняющих плоскость и взаимно непересекающихся между собой. А так как мощность множества таких кривых, согласно теореме 7.9, равна мощности континуума, то и мощность множества всех взаимно непересекающихся пятёрок на плоскости не больше, чем мощность континуума. Учитывая вышесказанное, получаем, что это множество имеет мощность континуума. Глава 2 3.1 Аксиома 1 выполняется, т. к. для любых x1 , x2 , y1 , y2 |x2 − x1 | + |y2 − y1 | ≥ 0. Если точки (x1 ; y1 ) и (x2 ; y2 ) совпадают, то |x2 − x1 | = 0 и |y2 − y1 | = 0, а значит расстояние между ними равно нулю. Если же не совпадают, то или |x2 − x1 | > 0, или |y2 − y1 | > 0. Следовательно, выполняется и аксиома 2. Так как в силу симметрии модуля |x2 − x1 | = |x1 − x2 | и |y2 − y1 | = |y1 − y2 |, то имеет место и аксиома 3. Остаётся проверить неравенство треугольника. Предположим, что 179 точки A, B, C имеют соответственно координаты (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ). Тогда ρ1 (A, B) = |x2 − x1 | + |y2 − y1 | = |x2 − x3 + x3 − x1 | + |y2 − y3 + y3 − y1 | ≤ ≤ |x2 − x3 | + |x3 − x1 | + |y2 − y3 | + |y3 − y1 | = ρ1 (A, C) + ρ1 (C, B). 3.2 Так как расстояние ρ0 определяется с помощью операции модуля, то первые три аксиомы проверяются точно так же, как и в предыдущем упражнении. Поэтому в проверке нуждается только аксиома 4. Предположим, что точки A, B, C имеют соответственно координаты (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) и допустим, что max{|x2 − x1 |; |y2 − y1 |} = |x2 − x1 |. Тогда ρ0 (A, B) = max{|x2 − x1 |; |y2 − y1 |} = |x2 − x1 | ≤ |x2 − x3 | + |x3 − x1 | ≤ ≤ max{|x2 − x3 |; |y2 − y3 |} + max{|x3 − x1 |; |y3 − y1 |} = ρ0 (A, C) + ρ0 (C, B). 3.3 Точно так же, как и в упражнении 3.1, справедливость аксиом 1 — 3 следует из симметрии операций возведение в квадрат и взятие модуля. Поэтому и при n = 2 и при n > 2 достаточно проверить только выполнение неравенства треугольника. Предположим, что n = 2, а точки A, B, C имеют соответственно координаты (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ). Нам нужно показать, что p ρe (A; C) = (x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2 ≤ p p ≤ (x3 − x2 )2 + (y3 − y2 )2 + (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Введём следующие обозначения: a1 = x 2 − x 1 , a 2 = y 2 − y 1 , b 1 = x 3 − x 2 , b 2 = y 3 − y 2 . В силу этих обозначений x3 −x1 = a1 +b1 , а y3 −y1 = a2 +b2 . При этих обозначениях исследуемое неравенство примет вид: q q p 2 2 2 2 (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) ≤ a1 + a2 + b21 + b22 . Если возвести в квадрат обе части полученного неравенства и привести подобные члены, то мы получим следующее неравенство q q 2 2 a1 b1 + a2 b2 ≤ a1 + a2 · b21 + b22 , которое является координатной формой векторного неравенства Коши-Буняковского: |~a~b| ≤ |~a| · |~b| . 180 Здесь ~a = {a1 ; a2 }, а ~b = {b1 ; b2 }. Таким образом, в случае n = 2 расстояние ρe является метрикой. Если же n > 2, то выберем в пространстве Rn три точки: x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) и z = (z1 , z2 , . . . , zn ). Для этих точек аксиома треугольника примет вид v v v u n u n u n uX uX uX ρe (x; z) = t (zk − xk )2 ≤ t (yk − xk )2 +t (zk − yk )2 = ρe (x; y)+ρe (y; z). k=1 k=1 k=1 С помощью обозначений ak = yk − xk и bk = zk − yk получим, что zk − xk = ak + bk . Поэтому рассматриваемое неравенство примет вид v v v u n u n u n uX uX uX 2 t (ak + bk )2 ≤ t ak + t b2k . k=1 k=1 k=1 Но это неравенство также вытекает из неравенства Коши-Буняковского в координатной форме1 v v u n u n n X uX uX 2 t ak bk ≤ ak · t b2k . k=1 k=1 k=1 На основании этого неравенства получаем n X k=1 (ak + bk )2 = n X k=1 a2k + 2 n X k=1 ak b k + n X b2k ≤ k=1 n X v u n n n X X uX 2 2 2 t ak · bk + b2k = ak + 2 k=1 k=1 k=1 k=1 v v 2 u n u n uX uX = t a2 + t b2  . k k=1 k k=1 Следовательно, и при n > 2 выполняется аксиома треугольника, а значит, расстояние ρe также является метрикой. 4.1 Если кривые совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Если же они не совпадают, то выберем на кривой Γ1 точку a, не лежащую на кривой Γ2 . Найдём min ρ(a, y). Это число больше y∈Γ2 нуля, т. к. точка a не лежит на кривой Γ2 . А это означает, что ρH (Γ1 , Γ2 ) > 0. Свойство симметрии для ρH следует из свойства симметрии для метрики ρ. 1 Здесь ~a = {a1 ; a2 , . . . , an }, а ~b = {b1 ; b2 , . . . , bn }. . 181 Проверим неравенство треугольника. По определению ρH (Γ1 , Γ2 ) = max max min ρ(x, y) , max max min ρ(x, y) . y∈Γ2 x∈Γ1 x∈Γ1 y∈Γ2 Оценим каждое из выражений, стоящих в фигурных скобках. Пусть x0 и y0 — точки, лежащие на кривых Γ1 и Γ2 соответственно, в которых достигается max min ρ(x, y). y∈Γ2 x∈Γ1 Предположим, что точка z0 — точка кривой Γ3 , в которой достигается min ρ(z, y0 ), z∈Γ3 а x1 — точка кривой Γ1 , в которой достигается min ρ(x, z0 ). На основании данных x∈Γ1 предположений получаем, что max min ρ(x, y) = ρ(x0 , y0 ) ≤ ρ(x1 , y0 ) ≤ ρ(x1 , z0 ) + ρ(z0 , y0 ) ≤ y∈Γ2 x∈Γ1 ≤ max min ρ(x, z) + max min ρ(z, y). z∈Γ3 x∈Γ1 y∈Γ2 z∈Γ3 Аналогично получаем неравенство max min ρ(x, y) ≤ max min ρ(x, z) + max min ρ(z, y). x∈Γ1 y∈Γ2 x∈Γ1 z∈Γ3 z∈Γ3 y∈Γ2 Таким образом, ρH (Γ1 , Γ2 ) ≤ max max min ρ(x, z), max min ρ(x, z) + x∈Γ1 z∈Γ3 z∈Γ3 x∈Γ1 + max max min ρ(z, y), max min ρ(z, y) = ρH (Γ1 , Γ3 ) + ρH (Γ3 , Γ2 ). y∈Γ2 z∈Γ3 z∈Γ3 y∈Γ2 4.2 Точно так же, как и в предыдущих упражнениях, аксиомы 1-3 имеют место в силу свойств модуля. Поэтому остаётся проверить только аксиому 4. Предположим, что функции f1 (x), f2 (x) и f3 (x) непрерывны на отрезке [a; b]. Тогда ρ(f1 , f3 ) = max |f3 (x) − f1 (x)| = max |f3 (x) − f2 (x) + f2 (x) − f1 (x)| ≤ x∈[a, b] x∈[a, b] ≤ max (|f3 (x) − f2 (x)| + |f2 (x) − f1 (x)|) = max |f3 (x) − f2 (x)| + x∈[a, b] x∈[a, b] + max |f2 (x) − f1 (x)| = ρ(f1 , f2 ) + ρ(f2 , f3 ). x∈[a, b] 4.3 Допустим, что отрезок [a; b] совпадает с отрезком [0; 1]. А центр единичного шара расположен в нуле метрического пространства. В качестве нуля мы можем взять непрерывную тождественно равную нулю функцию, которая является точкой данного метрического пространства. Представим множество непрерывных функций, определённых на отрезке [0; 1] и удалённых от тождественно нулевой функции на расстояние, не большее чем 1. Эти функции можно представить с помощью их графиков, которые лежат в по182 лосе, ограниченной пунктирными линиями на рисунке. Ведь расстояние от каждой точки графика такой функции по вертикали до оси Ox не больше единицы. А теперь попробуем представить единичный шар с центром в какой-нибудь фиксированной точке f0 рассматриваемого метрического пространства. По аналогии это должны быть все непрерывные функции, определённые на отрезке [0; 1], которые ограничены сверху функцией f0 (x) + 1, а снизу функцией f0 (x)−1. Множество этих функций лежит внутри криволинейной полосы, ограниченной пунктирными линиями. 4.4 Обозначим точку (0; 1) через A, точку (0, 01; 1) — через B. Построим в треугольнике OAB биссектрису AC и высоту AH. Опустим из точки C на прямые OA и AB перпендикуляры CD и CE соответственно. Докажем, что искомое хаусдорофово расстояние равно AH. Если установить на поливальной машине радиус полива CD и проехать по дополненному графику функции sign(x) (ломанная . . . OAB . . . ), то график функции f (x) (прямая . . . OB . . . ) будет полностью полит. А если установить меньший радиус полива, то точка C графика f (x) останется неполитой. Если установить радиус полива AH и проехать по графику функции f (x), то дополненный график функции sign(x) будет полностью полит, а при меньшем радиусе полива точка A останется не политой. Отсюда видно, что хаусдорофово расстояние между этими графиками равно большей из длин AH и CD = CE. Рассмотрим треугольник AOH. Длина его высоты, опущенной из вершины H, больше CD и меньше AH. Следовательно, AH > CD. Поэтому хаусдорфово расстояние между графиками равно AH = 1 · 0, 01 1 OA · AB . =p =√ OB 10001 12 + (0, 01)2 4.5 Решение данного упражения полностью повторяет решение упражнения 4.2, за одним исключением, связанным с определениями метрик: Zb Zb |f3 (x) − f1 (x)| dx = ρ(f1 , f3 ) = a |f3 (x) − f2 (x) + f2 (x) − f1 (x)| dx ≤ a Zb ≤ Zb (|f3 (x) − f2 (x)| + |f2 (x) − f1 (x)|) dx = a |f3 (x) − f2 (x)| dx + a 183 Zb |f2 (x) − f1 (x)| dx = ρ(f1 , f2 ) + ρ(f2 , f3 ). + a 4.6 Так как свойство (10 ) совпадает со свойством (2), а свойство (20 ) следует из неравенства треугольника (4) и аксиомы симметрии (3), то свойства (10 )-(20 ) вытекают из аксиом метрики (1)-(4). Покажем, что из свойств (10 )-(20 ) можно вывести аксиомы метрики. Допустим, что в свойстве (20 ) y = x. Тогда ρ(x, z) ≤ ρ(x, x) + ρ(z, x). Из свойства (10 ) следует, что ρ(x, x) = 0. Поэтому ρ(x, z) ≤ ρ(z, x). (∗) А теперь в свойстве (20 ) поменяем x и z местами. В этом случае неравенство примет вид ρ(z, x) ≤ ρ(z, y) + ρ(x, y). Предположим теперь, что y = z: ρ(z, x) ≤ ρ(z, z) + ρ(x, z). В результате получаем, что ρ(z, x) ≤ ρ(x, z). (∗∗) Из неравенств (∗) − (∗∗) следует аксиома симметрии ρ(x, z) ≤ ρ(z, x). Далее заменим в свойстве (20 ) x на z: ρ(z, z) ≤ ρ(z, y) + ρ(z, y). В результате имеем аксиому неотрицательности ρ(z, y) ≥ 0. А теперь, используя доказанное условие симметрии, поменяем во втором слагаемом правой части условия (20 ) z и y местами и получим неравенство треугольника: ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z). Следовательно, используя свойства (10 )-(20 ), действительно, можно дать корректное определение метрического пространства. 7.1 Пусть каждый открытый шар с центром в точке a содержит хотя бы одну точку 184 множества F , отличную от точки a. Допустим, что найдется открытый шар S(a; r), который содержит конечное число k точек множества F . Определим наименьшее расстояние d из расстояний dk от этих точек до точки a. Тогда для любого сколь угодного малого числа ε > 0 открытый шар S(a; d − ε) не будет содержать ни одной точки множества F , отличной от точки a. Так как это противоречит условию, то любой открытый шар с центром в точке a должен содержать бесконечное множество точек множества F . Предположим теперь, что любой открытый шар с центром в точке a содержит бесконечное множество точек множества F . Тогда в каждом таком шаре обязательно существует хотя бы одна точка множества F , отличная от точки a. Таким образом, рассматриваемое определение эквивалентно определению 7.4. Глава 3 1.1 Предположим, что A — множество меры нуль, тогда его по определению можно покрыть счетной системой отрезков Ek , общая длина которых может быть выбрана ∞ [ 1 меньшей, чем k для любого k ≥ 1. Объединение таких систем отрезков Ek 2 k=1 является искомым покрытием для каждой точки множества A. 1.2 Допустим, что для рассматриваемого множества существует требуемое покрытие. Будем выбрасывать из него отрезки с максимальной длиной до тех пор, пока не получим, что общая сумма длин оставшихся отрезков покрытия станет меньше любого заранее выбранного малого числа ε > 0. Но это и означает, что рассматриваемое множество является множеством меры нуль. 3.1 Предположим, что h(x) ≥ 0. Тогда h+ (x) = max{h(x), 0} = h(x). А так как |h(x)| = h(x), то h+ (x) = |h(x)|. При этом h− (x) = max{0, −h(x)} = 0. Таким образом, получаем, что при h(x) ≥ 0 h(x) = h+ (x) − h− (x), |h(x)| = h+ (x) + h− (x). Если же h(x) < 0, то h+ (x) = max{h(x), 0} = 0, а h− (x) = max{0, −h(x)} = −h(x). Следовательно, и при h(x) < 0 h(x) = h+ (x) − h− (x), |h(x)| = h+ (x) + h− (x). Решая полученную систему уравнений, имеем  1   h+ (x) = (|h(x)| + h(x)) , 2   h− (x) = 1 (|h(x)| − h(x)) . 2 185 14.1 Рассмотрим в виде таблиц четыре существующих случая принадлежности элемента x множествам A и B: A B A∪B A∩B x∈ /A x∈ /B x∈ / A∪B x∈ / A∩B χA (x) χB (x) χA∪B (x) χA∩B (x) 0 0 0 = max{0; 0} 0 = min{0; 0} A B A∪B A∩B x∈A x∈ /B x∈A∪B x∈ / A∩B χA (x) χB (x) χA∪B (x) χA∩B (x) 1 0 1 = max{1; 0} 0 = min{1; 0} A B A∪B A∩B x∈ /A x∈B x∈A∪B x∈ / A∩B χA (x) χB (x) χA∪B (x) χA∩B (x) 0 1 1 = max{0; 1} 0 = min{0; 1} A B A∪B A∩B x∈A x∈B x∈A∪B x∈A∩B χA (x) χB (x) χA∪B (x) χA∩B (x) 1 1 1 = max{1; 1} 1 = min{1; 1} Из третьего и четвёртого столбцов приведённых таблиц следует, что χA∪B (x) = max{χA (x); χB (x)}, а χA∩B (x) = min{χA (x); χB (x)}. Аналогично, в случае B ⊂ A из таблиц B A A\B χB (x) χA (x) χA\B (x) x∈ /B x∈ /A x∈ / A\B 0 0 0=0−0 B A A\B χB (x) χA (x) χA\B (x) x∈B x∈A x∈ / A\B 1 1 0=1−1 B A A\B χB (x) χA (x) χA\B (x) x∈ / B x∈A x∈A\B 0 1 1=1−0 вытекает, что χA\B (x) = χA (x) − χB (x). 14.2 Доказательство следует из свойств характеристических функций множеств, рассмотренных в предыдущем упражнении, а также из свойств интеграла. 186 Комментарии Решения теоретических упражнений, как и сами упражнения, были взяты из работ: ? Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу. ? Макаров Б. М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу. ? Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. ? Скворцов В. А. Примеры метрических пространств. ? Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. ? Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? Упражнения для самостоятельной работы 1. Можно ли на интервале (0; 1) построить функцию, имеющую в каждой точке интервала локальный максимум? 2. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [a; b] и всей числовой прямой? 3. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [a; b] и точками интервала (c; d)? 4. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [2; 5] и точками объединения отрезков [0; 1] и [6; 8]? 5. Существует ли функция, разрывная во всех точках отрезка [0; 1] такая, что её модуль является непрерывной функцией на этом отрезке? 6. Определите мощность множества всех конечных и счётных подмножеств множества, имеющего мощность континуума. 7. Определите мощность множества точек разрыва монотонно возрастающей функции, заданной на множестве (−∞; ∞). 8. Определите мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, определённых на отрезке [a; b]. 9. Определите мощность множества всех монотонно возрастающих функций, определённых на отрезке [a; b] (включая разрывные функции). 10. Существует ли непрерывная функция f : R → R такая, что при рациональном x значение функции f (x) иррационально, а при иррациональном x её значение является рациональным числом? 11. Какую мощность имеет множество экстремальных значений непрерывной функции f : R → R? 12. Является ли верным определение: множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки? 13. Докажите, что множество внутренних точек любого множества является открытым множеством. 187 14. Докажите, что множество внутренних точек любого множества является объединением всех его открытых множеств. 15. Может ли равняться нулю мера множества A ⊂ [a; b], если это множество содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 16. Можно ли на отрезке [a; b] построить замкнутое множество, мера которого была бы равна b − a? 17. Пусть множество A имеет на отрезке [a; b] меру нуль. Является ли его замыкание множеством меры нуль? 18. Существует ли функция, имеющая производную во всех точках числовой прямой, производная которой совпадает с функцией Дирихле? 19. Может ли произведение двух возрастающих монотонных функций быть немонотонной функцией? 20. Можно ли построить функцию, которая будет разрывной во всех точках числовой прямой, кроме точек 0, ±1, ±2, . . . ? 21. Можно ли построить непрерывную функцию на числовой прямой, отображающую числовую прямую в незамкнутое множество? Z1 x2 , x ∈ Q, 22. Вычислите интеграл (L) f (x) dx, если f (x) = −x2 , x ∈ R/Q. 0 π Z2 23. Вычислите интеграл (L) f (x) dx, если f (x) = sin x, cos x ∈ Q, sin2 x, cos x ∈ R/Q. 0 24. Множество D — канторово множество, а множество A ⊂ [0; 1] — неизмеримо по Лебегу. Вычислите интеграл Z1 (L) f (x) dx, если f (x) = x2 , x ∈ D ∩ A, −x2 , x ∈ [0; 1]/(D ∩ A). 0  1  2  x , x ∈ (R/Q) ∩ 0; ,   Z1  3 1 25. Вычислите интеграл (L) f (x) dx, если f (x) = ln x, x ∈ (R/Q) ∩ ;1 ,    3 0   0, x ∈ Q. Комментарии к упражнениям ? ? ? ? Упражнения для самостоятельной работы были взяты из книг: Избранные задачи по вещественному анализу. Действительный анализ в задачах. Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. 188 Библиографический список 1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров. — М.: Наука, 1977. — 368 с. 2. Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного / А. Л. Брудно. — М.: Наука, 1971. — 120 с. 3. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах / Н. Я. Виленкин. — М.: Наука, 1965. — 128 с. 4. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ / Б. З. Вулих. — М.: Наука, 1967. — 416 с. 5. Методы решения задач по функциональному анализу / В. В. Городецкий [и др.]. — К.: Выща шк., 1990. — 479 с. 6. Действительный анализ в задачах / П. Л. Ульянов [и др.]. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 416 c. 7. Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения / В. Я. Дерр. — М.: Высш.шк., 2008. — 384 с. 8. Кантор Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. — М.: Наука, 1985. — 431 с. 9. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров. — М.: Наука, 1989. — 624 с. 10. Избранные задачи по вещественному анализу / Б. М. Макаров [и др.]. — СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. — 624 с. 11. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного / Ф. А. Медведев. — М.: КомКнига, 2006. — 248 с. 12. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. — М.: Наука, 1976. — 392 с. 13. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. — М.: Наука, 1974. — 480 с. 14. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу / Ю. С. Очан. — М.: Просвещение, 1981. — 271 c. 15. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс. — М.: Мир, 1979. — 587 с. 189 16. Скворцов В. А. Примеры метрических пространств / В. А. Скворцов. — М.: МЦНМО, 2002. — 24 c. 17. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч.1. — М.: Просвещение, 1982. — 208 с. 18. Хаусдорф Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. — М.-Л.: ОНТИ, 1937. — 304 с. 19. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс / Г. Е. Шилов. — М.: Физматгиз, 1961. — 436 с. 20. Шилов Г. Е. Интеграл, мера и производная / Г. Е. Шилов. — М.: Наука, 1967. — 220 c. 21. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? / Ю. А. Шрейдер. — М.: Физматгиз, 1963. — 76 с. 190 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Александров 37 Канторова диагональ 23, 24 Аксиома, Колмогоров 37 Компакт 73 — невырожденности 41 — неотрицательности 40 Коши 88 — симметрии 41 Критерий интегрируемости Аксиомы, по Риману 104 Лебег 93 — линейного пространства 75 — метрики 40 — 42 Леви 117 — эквивалентности 34, 35 Лемма, Банах 76 — о замкнутых шарах 64 — Фату 124 Бернштейн 15 Борель 89 Лузин 145 Введение метрики 43 Мера, Внешняя мера множества 153 — замкнутого множества 156 — множества по Лебегу 156, 171 Внутренняя мера множества 156 Даниэль 151 — множества по Риссу 134 Дарбу 93 Метрика, Диаметр разбиения по Риману 92 — равномерная 45 — французская железнодорожная 78 Диаметр разбиения по Лебегу 159 Дирихле 93 — хаусдорфова 43, 44 Дедекинд 21 Метризация 43 Дополнение множества 12 Множества, — равные 9 Дю Буа-Реймонд 93 Егоров 145 — эквивалентные 14 Замкнутые множества Множество, на прямой 56 — бесконечное 21 — замкнутое 55 Замыкание множества 58 Изометрия 49 — измеримое по Лебегу 156, 171 Интеграл, — измеримое по Риссу 134 + — в классе D 108 — канторовское 57 — конечное 7 — Даниэля 113, 151 — Дарбу 94 — меры нуль 89, 101, 164, 170 — Лебега 160 — 162, 171 — мощности континуума 24 — Римана 93 — мощности M = 2m 32 — от ступенчатой функции 97, 150, 164 — несчётное 17 — элементарный 170 — ограниченное 62 Интегральная сумма 92 — открытое 52 Кантор 7 — плотное 60 191 — плотное в пространстве 60 — полной меры 91 — пустое 8 — суммируемое по Лебегу 156 — суммируемое по Риссу 134 — счётное 17 Мощность множества 15, 32, 36, 37 Неравенство, — треугольника 41 — четырёхугольника 47 Норма элемента 77 Объединение множеств 9 Отображение, — гомеоморфное 48 — непрерывное 48 Отрицательная часть функции 96 Пересечение множеств 10 Подмножество множества 9 — несобственное 8 — собственное 9 Подпространство, — линейного пространства 75 — метрического пространства 47 Покрытие множеств интервалами 89 Положительная часть функции 96 Полунорма элемента 85 Пополнение пространства 66 Последовательность двоичных знаков 26 — сходящаяся в метрическом пространстве 49 — сходящаяся в линейном нормированном пространстве 80 — фундаментальная в метрическом пространстве 61 — фундаментальная в нормированном пространстве 81 Почти всюду 92 Правильная часть множества 9 Предел последовательности в метрическом пространстве 49 Произведение множеств 10 Пространства, — гомеоморфные 49 — изометричные 49 — изоморфные 76 — линейно изометричные 80 Пространство, — линейное 75 — линейное нормированное 76 — метрическое 42, 46 — метрическое компактное 73 — метрическое полное 62 Разбиение множества на классы 33, 34 Разложение числа в двоичную дробь 26 Разность множеств 11 Риман 88 Рисс 111 Смежные интервалы замкнутого множества 56 Соответствие взаимно однозначное 12 Составляющие интервалы открытого множества 54 Среднее отклонение функций 50 Срезка функций 124 с-свойство Лузина 145 Сумма множеств 9 Суммы, — Дарбу 94 — Лебега 159 Схема Даниэля 169 Сходимость, — в среднем 50 — равномерная 50 — по расстоянию 49 — по мере 141 — по метрике 49 Теорема, — Бернштейна 15 — Егорова 144 192 — — — — — Кантора 24 Лебега 121 Леви 117 Хаусдорфа 66 об абсолютной непрерывности интеграла 149 — о двоичном представлении действительных чисел 26 — о разбиении 35 — о структуре открытых множеств на числовой прямой 53 — о структуре измеримого множества положительной меры 152 — о счётной аддитивности интеграла 147 — о счётной аддитивности меры 135 — Рисса-Фишера о полноте пространства 132 — Фубини 165 Точка, — внутренняя 52 — предельная 54 — изолированная 65 — рациональная 22 Фактор-пространство 82 Фату 124 Фишер 132 Фубини 165 Функция, — измеримая по Лебегу 157, 170 — измеримая по Риссу 126, 150 — интегрируемая на измеримом множестве 146 — интегрируемая по Лебегу 161, 162, 171 — интегрируемая по Риману 94 — интегрируемая по Риссу 111, 150 — непрерывная в точке 71 — непрерывная в метрическом пространстве 71 — верхняя ступенчатая 103 — нижняя ступенчатая 103 — ступенчатая 95, 150, 164 — суммируемая на измеримом множестве 146 — суммируемая по Лебегу 161, 162, 164, 171 — суммируемая по Риссу 111 — характеристическая множества 33 — элементарная 169 Хаусдорф 7 Число, — алгебраическое 23 — двоично-рациональное 27 — трансцендентное 26 Шар, — единичный 39 — замкнутый 52 — открытый 52 Шилов 87 Шрёдер 15 Штейнер 37 Элементы множества 7 Элементы разбиения множества 33 Элементы, эквивалентные по отношению 34, 82 A \ B 11 CB 11 ℵ0 17 c 32 a ∼ b 34 E n 38 ρe 38, 40 ρ1 39 ρ0 39 ρp 40 ρ∞ 40 C([a; b]) 45 C1 ([a; b]) 46 Ā 58 H 95 h+ (x), h− (x) 96 %, & 99 193 D+ ([a; b]) или D+ 105 D1 ([a; b]) 132 =⇒ 141 µ∗ (A) 153 L([a; b]) 162 194

(1.4 MБ) - Тихоокеанский государственный университет

Related documents

Products

Support

(1.4 MБ) - Тихоокеанский государственный университет

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib