Document 2719595

ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ
В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ R1n И НА ГРАФАХ
Д. К. Замбицкий
На практике встречаются различного рода задачи, в которых
нахождение
оптимального варианта
размещения пунктов
обслуживания сводится к минимизации суммы взвешенных
расстояний до потребителей.
В данной работе рассматриваются некоторые задачи
размещения в различных метрических пространствах и
предлагаются эффективные алгоритмы их решения.
I. Пусть x1 , x2 ,, xm заданные точки на действительную ось,
где размещены потребители с соответствующими потребностями
p ( x1 ), p ( x2 ),, p ( xm ) .
Необходимо
производитель,
найти точку
чтобы
x∗ ,
где будет
транспортные
размещен
расходы
f1 ( x ) = ∑ p (x j ) ⋅ x − x j были минимальными.
m
j =1
Можно доказать, что функция f1 ( x ) , как кусочно-линейная
выпуклая вниз функция, достигнет минимума в точке x∗ = xq , тогда
и только тогда, когда выполняется двойное неравенство:
q −1
q
m
1
(
)
(
)
Q
=
p (x j ) .
p
x
≤
Q
≤
p
x
,
где
∑
∑
∑
j
j
2
j =1
j =1
j =1
(1)
Неравенство (1) стоит в основу алгоритма нахождения точке
x ∗ , где будет размещён производитель. Эффективность алгоритма
оценивается трудоемкостью O (m ⋅ log 2 m ) .
Следует отметить, что множество точек x ∗ состоит из одной
единственной точки x∗ = xq , или из множества всех точек отрезка
[x
q
]
, xq +1 .
( )
Допустим теперь, что потребности p x j , j = 1, m не являются
детерминированными величинами, а носят случайный характер с
357
известным законом распределения вероятностей. В данном случае,
местонахождения пункта обслуживания в оптимальном варианте
размещения будет меняться при различных реализациях случайных
событий.
В этих новых условиях, мы имеем дело с задачей
перспективного стохастического планирования, в которой решение
должно быть выбрано вполне конкретно (детерминировано).
При нахождении оптимального варианта размещения в задачи с
вероятностными потребностями используются [1,2] различные
критерии: минимизации математического ожидания суммарных
затрат, дисперсии (критерий минимального отклонения), а также
минимизации вероятности отклонения.
II. Пусть теперь R1n - линейное метрическое пространство с
n
метрикой
X = ∑ x (i ) ; S = {X 1 , X 2 ,, X m }
-
множество
i =1
заданных точек из R1n , а P : S → R + - некоторая положительная
(
)
функция. Требуется найти множество точек X ∗ = x∗(1) , x∗(2 ) ,, x∗(n ) ,
которые минимизируют функционал
F ( X ) = ∑ p (X j )⋅ X − X j = ∑ p (X j )⋅∑ x (i ) − x (ji )
m
m
n
j =1
j =1
i =1
Легко доказать, что решение поставленной задачи в
пространстве R1n сводится к решению n соответствующих задач на
X ∗ представляет собой
некоторый параллелипипед P пространства R1n , размерность
которого удовлетворяет неравенству 0 ≤ t ≤ n .
Итак, для решения поставленной задачи в пространстве R1n мы
осях координат. Множество решений
t
{ }
должны упорядочить числа x (ji ) , j = 1, m в порядке возрастания,
для каждой числовой оси, и применяя неравенство (1), получим
соответствующие координаты x∗(i ) , i = 1, n искомой точки X ∗ .
Эффективность
алгоритма
оценивается
трудоёмкостью
O (n m ⋅ log 2 m ) .
358
( )
Допустим теперь, что потребности p X j , j = 1, m являются
независимыми случайными величинами с
ожиданием M p X j и дисперсией D p X j .
[ ( )]
[ ( )]
математическим
Если в качестве критерия взять математическое ожидание
суммарных затрат, то задача заключается в нахождении элементов
X ∗ пространства R1n , которые минимизируют функционал
M [F ( X )] = ∑ M [ p (X j )]⋅ ∑
m
n
j =1
i =1
x (i ) − x (ji ) .
По критерию минимального отклонения, задача заключается в
нахождении элементов
пространства
X∗
R1n , которые
минимизируют
дисперсию
случайной
величины
∑ p(X j )⋅ ∑ x (i ) − x (ji ) , т. е., которые минимизируют функционал
m
n
j =1
i =1
[
2
]
 n

D [F ( X )] = ∑ M p (X j ) ⋅  ∑ x (i ) − x (ji )  .
j =1
 i =1

m
По критерию минимизации вероятности отклонения, задача
размещения пункта обслуживания потребителей с вероятностными
потребностями, формулируется [1] следующим образом: при
заданном пороге  , найти вариант размещения минимизирующий
величину P {F ( X ) >  } . Точка X ∗ пространства R1n , является с
максимальной вероятности 
- оптимальным вариантом
размещения
пункта
обслуживания,
если
имеет
место
P {F ( X ∗ ) >  } ≤ P {F ( X ) >  }.
III. Задача о нахождении медиан графа. Если метрическое
пространства
определяется
некоторым
неориентированным
конечным графом, то получаем известную задачу о нахождении
медиан графа [1].
Пусть задача транспортная сеть G = ( X , U ) , представляющая
собой обыкновенный связный граф порядка n, для каждой вершины
y ∈ X известен спрос p ( y ) ≥ 0 , а каждому ребру u ∈ U приписано
«длина» l (u ) > 0 .
359
Необходимо найти такую вершину x ∗ графа G для размещения
пункта
обслуживания,
чтобы
транспортные
расходы
f (x ) =
p ( y ) ⋅ d ( x , y ) были минимальными, где d (x , y ) -
∑
y∈X
кратчайшее расстояние между вершинами x и y.
Разработаны эффективные алгоритмы решения задачи для
случаев, когда граф является деревом, а также, когда граф обладает
ребрами сочленения и точками сочленения.
Если спрос p ( y ) является случайной величиной с известным
законом распределения, то и в этом случае, мы сможем свести
задачу к детерминированному виду (нахождение дисперсионной
медианы и  - медианы).
IV. Задача Вебера на графах. Характерным для некоторых
задач размещения [3] является тот факт, что выбор оптимального
варианта связан с минимизацией суммы взвешенных расстояний как
между искомыми пунктами, так и между искомыми и заданными
пунктами. Типичной среди них является задача Вебера на графах.
Итак, пусть n существующих объектов (потребителей)
размещены в вершинах x j , j = 1, n обыкновенного связного графа
G = ( X , U ) и в определённом периоде нуждаются в m видах услуг
( )
в объёме pi x j ≥ 0 , i = 1, m, j = 1, n .
Требуется разместить в вершинах графа G новых объектов
(центров обслуживания) z i , i = 1, m , каждый из которых будет
обеспечивать соответствующий объем i - ых услуг. Отметим, что в
задаче Вебера каждый центр обслуживания zi отправляет
потребителям для удовлетворения их потребностей поток величины
 i j = pi x j и одновременно центром обслуживания z k , i < k
( )
дополнительный поток  i k ≥ 0 .
Задача заключается
в выборе такого варианта размещения
центров обслуживания z i , i = 1, m ,чтобы функция
360
m −1
F ( z1 , z 2 ,, z m ) = ∑∑ i j ⋅ d (zi , x j ) + ∑ ∑  i k ⋅ d ( zi , z k )
m
n
i =1 j =1
m
i =1 k =i +1
достигала наименьшего значения.
Разработан эффективный алгоритм решения задачеи Вебера в
пространстве R1n , на сетях в виде дерева и на медианных графах.
Литература
1.
2.
3.
Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки. Москва, 1978.
Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И.
Математические методы исследования операций. Киев,
1979.
Трубин В. А. Эффективный алгоритм решения задачи
Вебера в прямоугольной метрикой. Кибернетика, N 6, Киев,
1978.
361