Введение. ЗАДАЧА Б.В. БУЛГАКОВА О НАКОПЛЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ (МАКСИМАЛЬНОМ ОТКЛОНЕНИИ).
Рассматривалась линейная стационарная устойчивая система
L(x) ≡ anx(t)(n)+an−1x(t)(n−1)+. . .+a0x(t) = v(t), x(i)(0) = 0,
где x(t) — выходной сигнал изучаемой системы, v(t) — заранее
неизвестное возмущение, о котором известно лишь, что это с кусочнонепрерывная ограниченная функция:
v(t) ∈ V = {v(t) : | v(t) |≤ v0}.
В этих условиях для фиксированного момента времени T требуется найти максимальное по всем возможным возмущениям v(t) ∈ V
значения модуля решения:
M (T ) =
sup
{v(t)}∈V
|x(v, T )|,
и функцию v ∗(t), на которой достигается максимальное возможное
отклонение M (T ).
Как известно, решение рассматриваемого уравнения можно представить в виде интеграла Дюамеля
x(v, T ) =
ZT
g(τ )v(T − τ )dτ =
0
ZT
g(T − τ )v(τ )dτ,
0
где g(τ ) — функция Коши, которая определяется как оригинал,
соответствующий изображению Лапласа:
1
1
g(τ ) : G(p) =
=
.
(n)
(n−1)
L(p)
anp
+ an−1p
+ . . . + a0x(t)
Следовательно, v ∗(t) = v0sign{g(T − τ )}, при этом
ZT
ZT
| g(T − τ ) | dτ = v0 |g(τ )|dτ,
M (T ) = v0
0
0
Z∞
M (∞) = sup M (T ) = v0 |g(τ )|dτ.
T >0
0
Как известно, для систем вида
ẏ = Ay + bv(t),
(1)
а также для систем
ẏ = Ay + bϕ(σ, t) ⇔ ẏ = Ay + bv(t)σ, σ = c⊤y = hc, yi,
(2)
где пара {A, b} управляема, v(t) ∈ V = {v(t) : |v(t)| ≤ v0} —
скалярная измеримая функция (управление, возмущение),
существует линейная замена переменых y = Lx, с помощью которой матрица A систем (1) и (2) приводится к фробениусовому виду,
а сами системы приводятся к канонической управляемой форме,
т.е. к одномерной системе (дифференциальному уравнению) того
же порядка. В частности для матриц второго порядка получим:
ẍ + 2αẋ + kx = v(t),
(1)
ẍ + 2(α + βv(t))ẋ + (ε + γv(t))x.
(2)
Постановка вспомогательной задачи Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным временем для колебательных систем второго порядка с внешними и параметрическими
возмущениями.
x
b0 = x(T ) → max
0
T : ẋ = 0
t
−a0
ẋ
ẋ
k=d
dx → max
−a0
0
Рис. 1.
b0 = x(T )
x
Если система не приводится к одномерной, как, например, двумерная билинейная система с параметрической интервальной неопределенностью вида
ẋ = A(t)x,
(3)
где элементы aij (t) (i, j = 1, 2) матрицы A(t) являются управлениями (или возмущениями), о которых известно лишь, что это
измеримые функции, удовлетворяющие ограничениям:
+
− ≤ A(t) ≤ A+,
≤
a
(t)
≤
a
⇔
A
(4)
a−
ij
ij
ij
то вспомогательная задача Булгакова с нефиксированным временем для колебательной системы формулируется аналогично, как
задача о максимальном отклонении при переводе изображающей
точки с одной поупрямой (например коодинатной) на другую. Критерий оптимальности соответствующего управления заключается в
выборе надлежащего крайнего вектора пучка допустимых фазовых
скоростей в каждой точке фазовой экстремальной траектории.
Рассматривается связанное с фазовой точкой x пространство {ẋ}
фазовых скоростей, т.е. с началом Ȯ(x) в точке x и осями Ȯ Ẋ1, Ȯ Ẋ2
сонаправленными с OX1, OX2.
Множеством допустимых фазовых скоростей билинейной системы (3), (4) является прямоугольник F (x) со сторонами, параллельными осям Ȯ Ẋ1, Ȯ Ẋ2, с которым связывается пучок допустимых
фазовых скоростей Π(x) = {ẋ : ẋ = Ax, A ∈ P } с началом в
точке Ȯ(x) и конечными точками в прямоугольнике F (x).
Ẋ2
l2+
m7
F2
ẋL
F1
Π(x)
m1
Ȯ
F3
F (x)
m8
l2−
m5
m6
m4
F4
ẋR
m2
l1−
m3
l1+
Рис. 2.
Ẋ1
Полученные при решении вспомогательной задачи Булгакова о
максимальном отклонении с нефиксированным временем результаты использовались для решения следующих задач теории управлния :
1) Задача анализа точности (задача Булгакова) и исследование
зависимости её решения от начальных условий для системы второго порядка вида
ẏ = Ay + bv(t),
(1)
где A — постоянная гурвицева матрица с комплексными собственными числами, b — постоянный столбец, пара {A, b} управляема,
v(t) ∈ V = {v(t) : |v(t)| ≤ v0} — скалярное возмущение.
Требуется найти максимальные возможные отклонения
Mi =
sup
v(·)∈V, t∈[0, ∞), y 0∈G
| yi(y 0, v, t)| (i = 1, 2)
и реализующее их наихудшее возмущение v ∗.
2.а) Задача о получении аналитической формы критерия абсолютной устойчивости системы управления второго порядка с секторной нестационарной нелинейностью
ẏ = Ay + bϕ(σ, t), σ = c⊤y = hc, yi, ϕ(0, t) ≡ 0,
где A — постоянная гурвицева матрица (2 × 2), b и c — постоянные
векторы (2×1), пара {A, b} управляема, пара {A, c} наблюдаема,
нелинейность ϕ(σ, t) удовлетворяет секторному условию
0 ≤ ϕ(σ, t) ≤ kσ 2, k < +∞
(N )
ẏ = Ay + bu(t)σ, σ = c⊤y = hc, yi,
(2)
u(t) ∈ U = {u(t) : 0 ≤ u(t) ≤ k},
(U )
Абсолютная устойчивость нелинейной системы в классе (N) эквивалентна абсолютной устойчивости линейной системы
в классе U измеримых функций, удовлетворяющих ограничению
2.б) Задача о получении конструктивного легкопроверяемого критерия абсолютной устойчивости систем третьего порядка вида (2).
3) Анализ колебательности, абсолютной устойчивости, полной
неустойчивости и полной управляемости двумерных билинейных
систем с параметрической интервальной неопределенностью
ẋ = A(t)x,
(3)
где элементы aij (t) (i, j = 1, 2) матрицы A(t) являются управлениями (или возмущениями), о которых известно лишь, что это
измеримые функции, удовлетворяющие ограничениям:
+
− ≤ A(t) ≤ A+.
a−
≤
a
(t)
≤
a
⇔
A
(4)
ij
ij
ij
Ставится цель синтезировать экстремальные матричные управления для ветвей границ траекторных воронок, выявить взаимосвязь
между перечисленными динамическими свойствами, получить аналитические, т.е. выраженных через a±
ij (i, j = 1, 2) критерии абсолютной неколебательности и различных типов колебательности,
абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости билинейных систем (3), (4), установить, как влияют на
характер решения сформулировнных задач виды особых множеств
на фазовом портрете билинейных систем (3), (4).
4) Задача Булгакова о нахождении наихудших возмущений и определения максимального возможного отклонения системы второго
порядка с внешним и параметрическим возмущениями
ẍ + 2hẋ + [k + av(t)]x = bv(t) + du(t),
(5)
где v(t), u(t) — возмущения разной природы принадлежащие множеству кусочно-непрерывных ограниченных функций:
v(t), u(t) ∈ V = {v(t), u(t) : | v(t) |≤ 1, | u(t) |≤ 1},
постоянные
√ h, k, a удовлетворяют ограничениям 0 < a < k,
0 < h < k − a, величины b, d можно считать неотрицательными.
Требуется найти максимальное возможное отклонение системы
M∗ =
sup
{v(t),u(t)}∈V, t∈R+, x0∈G
|x(x0, v, u, t)|
и осуществляющие его наихудшие возмущения v ∗, u∗.
5) Задача о робастной минимаксной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка с аддитивным ограниченным управлением, движение которой описывается дифференциальным уравнением с неполным описанием
ẍ + [ω 2 + v(t)]x = u(t).
(6)
Относительно управления u(t) и возмущения v(t) известно лишь,
что это кусочно-непрерывные ограниченные функции, ресурсы которых описываются параметрами λ и µ
u(t) ∈ U = {| u(t) |≤ λ}; v(t) ∈ V = {| v(t) |≤ µ}.
Под робастной стабилизацией понимается построение такого закона управления u0(t) и области притяжения начала координат,
инвариантной по отношению к множеству параметрических возмущений v(·) ∈ V . Другими словами, все решения системы (6),
начинающиеся в произвольных точках этой области притяжения,
должны асимптотически стремиться в начало координат при любом (в том числе и наихудшем) возмущении v ∗(·) ∈ V .
1) Задача Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка с внешним возмущением
ẏ = Ay + bv(t),
(1)
где A — постоянная гурвицева матрица с комплексными собственными числами, b — постоянный столбец, пара {A, b} управляема,
v(t) ∈ V = {v(t) : |v(t)| ≤ v0} — скалярное возмущение.
Требуется найти максимальные возможные отклонения
Mi =
sup
v(·)∈V, t∈[0, ∞), y 0∈G
| yi(y 0, v, t)| (i = 1, 2),
(2)
и реализующее их наихудшее возмущение v ∗.
Решим сначала сформулированную задачу для канонической формы системы (1). Матрица линейного преобразования y = Lx, приводящего систему (1) к каноническому виду имеет вид
¶
µ
q1 b1
,
L = (Ab + b trA, b) =
q2 b2
q1 = a12b2 − a22b1, q2 = a21b1 − a11b2, det L = ∆ = q1b2 − q2b1.
Каноническая управляемая форма системы (1)
ẋ1 = x2,
ẋ2 = −kx1 − 2αx2 + v(t),
(3)
где k = det A, α = −0.5 trA — постоянные коэффициенты,
при этом k > α2, α > 0.
Рассмотрим вспомогательную задачу Булгакова о максимальном
отклонении с нефиксированным временем
x1(x0, v, T ) → max
v(·)∈V
(4)
x1(0) = −a0 < 0, x2(0) = 0, x1(T ) = b0 > 0, x2(T ) = 0,
x2(t) 6= 0 при t ∈ (0, T ).
Решение ей доставляет функция v ∗, которая максимизирует угловой коэффициент
dx2
kx1
v
= −2α −
+
dx1
x2
x2
касательной в каждой точке экстремальной траектории, т.е. наихудшим является возмущение v ∗(x) = v 0sign {x2}.
Эта же функция v ∗(x) доставляет решение аналогичной задаче
x1(x0, v, T ) → min
v(·)∈V
(4̃)
x1(0) = b0 > 0, x2(0) = 0, x1(T ) = −a1 < 0, x2(T ) = 0,
x2(t) 6= 0 при t ∈ (0, T ).
Наихудшее возмущение v ∗ представляет собой кусочно-постоянную
периодическую
по времени функцию, циклическая частота которой
p
ω = k − α2 совпадает с частотой собственных колебаний, т.е. является резонансной.
Решая последовательно вспомогательные экстремальные задачи
(4), (4̃) и соединяя методом припасовывания их экстремали, получим в результате экстремальную траекторию x(x0, v ∗, t) с максимальными амплитудами {ai}, {bi} (i = 0, 1, 2, ...) координаты
x1(x0, w∗, t).
Между {ai}, {bi} имеют место зависимости:
ai+1p= λbi + v 0(1 − λ)/k,
bi = λai + v 0(1 + λ)/k,
где λ = exp(−πα/ω), ω = k − α2.
Рассматривая полученые соотношения как формулы точечного
отображения Пуанкаре полуоси OX1− (OX1+) в себя, найдём, что
график функции последования a = f (a) (b = f (b)) представляет
собой полупрямую с угловым коэффициентом
0 < exp(−2πα/ω) < 1.
Неподвижные точки отображения найдём с помощью диаграмммы Ламерея (графика функции последования a = f (a) (b = f (b))
построенного совместно с биссектрисой a = a (b = b)).
Неподвижными точками являются проекции на полуось OX1−
(OX1+) точек пересечения графика a = f (a) (b = f (b)) с биссектрисой a = a (b = b). Нетрудно получить, что неподвижными
на оси OX1 (т.е. на прямой переключения x2 = 0) являются точки:
(−a∗, 0), (b∗, 0) где
µ
¶
0
0
1
+
exp(−πα/ω)
w
πα
v
∗
∗
a =b =
=
cth
.
k 1 − exp(−πh/ω)
k
2ω
Экстремальная траектория x(x0, v ∗, t), проходящая через неподвижные точки — замкнута, т.е. является предельным циклом. Согласно теореме Кёнигса, неподвижные точки (±a∗, 0) и предельный цикл Cx — устойчивы.
Параметрические уравнения устойчивого предельного цикла Cx
имеют вид
·
µ
¶¸
0
2 exp(−αt)
α
v
1−
sin ωt + cos ωt ,
x1(t) = ±
k
1 − exp(−αt) ω
µ
¶
0
v
2 exp(−αt)
π
x2(t) = ±
sin ωt, 0 ≤ t ≤ .
k 1 − exp(−αt)
ω
Предельный цикл Cx является наибольшим из возможных у системы (1). Так, при гармоническом воздействии v(t) = v 0 sin(Ωt+ ϕ)
амплитуда установившихся
вынужденных колебаний достигает макp
симумаp
ar = v 0/(2α k − 2α2) на резонансной частоте
k − 2α2. Если коэффициент демпфирования α мал, то
Ωr =
можно получить, что a∗/ar → 4/π ≈ 1.28.
x2
Φ+
−a∗
0
a∗ x1
Φ−
Рис. 1.
Если начальная точка x0 не принадлежит особому отрезку Z :
v0 v0
[− k , k ] на оси OX1 (прямой переключения x2 = 0), который
представляет собой множество состояний относительного равновесия системы (3), то корректной является задача о построении экстремальной траектории с минимальными последовательными амплитудами и синтезе соответствующей функции v∗(x). Её решение
аналогично тому, как была получена экстремальная траектория
x(x0, v ∗, t) с максимальными амплитудами и получается с помощью двух вспомогательных экстремальных задач, геометрическая
интерпретация которых состоит в том, что отыскивается движение
системы (1) с минимально возможной амплитудой колебаний координаты x1 на “полупериоде” [0, T ] между двумя её соседними
экстремумами. Экстремальное возмущение v∗, которому соответствует траектория с минимальным размахом колебаний, имеет вид
v∗(x) = −v ∗(x) = −v 0sign {x2}. При этом сама экстремальная
траектория x(x0, v∗, t) с минимальными амплитудами через конечное число полувитков заканчивается на особом отрезке Z, который
является для неё так называемой “зоной залипания”. Количество
полувитков траектории x(x0, w∗, t) зависит от x0.
Экстремальные траектории x(x0, v ∗, t) и x(x0, v∗, t) является соответственно максимум- и минимум-оптимальной ветвями границы
траекторной воронки Xv (x0), x0 ∈
/ Z. Движение изображающей
точки системы (1) на фазовой плоскости происходит по часовой
стрелке, поэтому максимум (минимум)-оптимальной является левая (правая) ветвь границы траекторной воронки Xv (x0).
Если начальная точка x0 находится внутри предельного цикла
Cx (на предельном цикле Cx), то внешняя ветвь границы траекторной воронки Xv (x0), асимптотически наматывается изнутри на
Cx (совпадает с Cx).
Область Qx, ограниченная предельным циклом Cx, является
областью достижимости системы (1) из любой точки x ∈ Qx.
Таким образом, решение задачи анализа точности для любой области начальных состояний G ⊂ Qx имеет вид
M =
sup
x0∈G, t∈[0, ∞), v(·)∈V
| x1(x0, v, t)| = a∗ =
v0
k
cth
πα
2ω
.
(4)
Эта оценка является гарантированной и неулучшаемой. Если область G касается предельного цикла Cx, то оценка (4) достижима.
Если начальная точка x0 лежит снаружи замкнутой области Qx,
то последовательные максимальные (и минимальные) амплитуды
монотонно убывают. При этом максимум-оптимальная (внешняя)
ветвь x(x0, v ∗, t) границы траекторной воронки Xv (x0) асимптотически наматывается снаружи на устойчивый предельный цикл Cx,
а минимум-оптимальная (внутренняя) ветвь x(x0, v∗, t) через конечное число полувитков входит внутрь области Qx и заканчиваx2
ется в “зоне залипания” Z.
Φ+
x0
Xv (x0)
Cx
Z
Qx
x1
Φ−
Рис. 2.
Траекторная воронка Xv (x0), x0 ∈
/ Qx (область достижимости)
представляет собой конечную спиралевидную полосу, образованную пересекающимися экстремальными траекториями x(x0, v ∗, t)
и x(x0, v∗, t) с последовательными максимальными и минимальными амплитудами, и содержащую внутри себя область Qx.
Поэтому решением задачи анализа точности системы (3) с началь/ Qx является либо начальное отклонение | x01|,
ным условием x0 ∈
либо — амплитуда первого экстремума координаты x1(x0, v ∗, t),
0
0
0
αx2+kx1−v
1
0
который достигается в момент t1 = ω arcctg
.
0
ωx
2
Если область начальных условий G представляет собой выступаb1, | x02| ≤ x
b2}, то
ющий за пределы Qx прямоугольник {| x01| ≤ x
нетрудно установить, что наихудшми в смысле функционала задачи начальными условиями x∗ системы (3) являются вершины
b2), (−b
(b
x1 , x
x1, −b
x2) прямоугольника G.
Аналогично решается задача анализа точности (задача Булгакова) о максимуме максиморуме линейного и квадратичного функционалов J1(x) = hc, xi, J2(x) = hx, xi.
Линейное невырожденное преобразование переменных y = Lx
осуществляет поворот и растяжение (сжатие) любого вектора на
фазовой плоскости {x} канонической системы (3). При этом прямая преобразуется в прямую, а замкнутая кривая — в замкнутую
кривую. Поэтому между решениями систем (3) и (1) существует
взаимно-однозначное соответствие, т.е. их фазовые портреты подобны. Это даёт возможность воспроизвести для системы (1) все
результаты, полученные для канонической системы (3).
Прямая x2 = 0 переключения функций v ∗(x) и v∗(x) = −v ∗(x)
обратным преобразованием x = L−1y переводится в прямую переключения s(y) = 0, где s(y) = (q1y2 − q2y1)/ det L, экстремальных возмущений v ∗(y) = v 0sign{s(y)} и v∗(y) = −v ∗(y).
Функции v ∗(y) и v∗(y) задают фазовые траектории системы (1) с
теми же экстремальными свойствами, что и функции v ∗(x) и v∗(x)
в системе (3), т.е. максимум- и минимум-оптимальные (внешние и
внутренние) ветви границ траекторных воронок Yv (y 0), ∀y 0.
Устойчивым неподвижным точкам (±a∗, 0) прямой переключения x2 = 0 соответствуют устойчивые инвариантные точки
(∓a∗q1, ∓a∗q2) прямой переключения s(y) = 0.
На фазовой плоскости {y} также имеется устойчивый предельный цикл Cy системы (1), находящейся под воздействием наихудшего возмущения v ∗(y). Проходит он через инвариантные точки
(∓a∗q1, ∓a∗q2). Параметрические уравнения предельного цикла
Cy имеют вид
n
o
2 exp(−αt)
v0
1
(αq1 − kb1) sin ωt] ,
y1(t) = ± k q1 − 1−exp(−αt) [q1 cos ωt + ω
o
n
0
2
exp(−αt)
1
(αq2 − kb2) sin ωt] .(5)
y2(t) = ± vk q2 − 1−exp(−ht) [q1 cos ωt + ω
Знак “+” (-) соответствует половине Cy+ (Cy−) предельного цикла
Cy , расположенной в полуплоскости s(y) > 0 (s(y) > 0).
Область Qy , ограниченная предельным циклом Cy , является областью достижимости системы (1) из любой точки y ∈ Qy .
Экстремум функции yi(t) (i ∈ {1, 2}) в параметрических уравнениях (5) дуги Cy+ предельного цикла Cy является максимумом (минимумом), если bi > 0 (bi < 0). Если bi = 0, то экстремумы достигаются в инвариантных точках (∓a∗q1, ∓a∗q2).
Вычислив обычным способом экстремальные значения функции
yi(t) в параметрических уравнениях дуги Cy+, получим решение
задачи анализа
точности (2) для случая G ⊂ Qx:
"
#
αbi−qi
α
2 exp(− ω arcctg ωb ) p
v0
i
2 + (αb − q )2 + q sign b ,
(ωb
Mi = k
)
πα
i
i
i
i
i
1−exp(− )
ω
если bi 6= 0,
v0
Mi = qi k cth πα
ω , если bi = 0 (i = 1, 2).
Для случая y 0 ∈
/ Qy область достижимости Yw (y 0) из точки
подобна области достижимости Xw (x0), x0 ∈
/ Qx канонической
системы (3), т.е. представляет собой конечную спиралевидную полосу, образованную пересекающимися экстремальными траекториями y(y 0, w∗, t) и y(y 0, w∗, t) с последовательными максимальными и минимальными амплитудами, и содержащую внутри себя область Qy . Решение задачи анализа точности (2) для случая
/ Qy , как и в канонической системе (3), достигается либо в
y0 ∈
начальной точке y 0, либо в точке первого экстремума функции
yi(y 0, v ∗, t) (i = 1, 2). Её геометрическая трактовка та же, что
и для экстремальных точек предельного цикла Cy .
2. Критерий абсолютной устойчивости системы управления
второго порядка с секторной нестационарной нелинейностью
ẏ = Ay + bϕ(σ, t), σ = c⊤y = hc, yi, ϕ(0, t) ≡ 0,
(1)
где A — постоянная гурвицева матрица (2 × 2), b и c — постоянные
векторы (2×1), пара {A, b} управляема, пара {A, c} наблюдаема.
Нелинейность ϕ(σ, t) удовлетворяет условиям существования абсолютно непрерывного решения системы (1) и секторному условию
0 ≤ ϕ(σ, t) ≤ kσ 2, k < +∞
(2)
Совокупность нелинейностей (2) обозначается через N . Абсолютная устойчивость системы (1) понимается как асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения y(t) ≡ 0 системы (1) в классе N .
Абсолютная устойчивость нелинейной системы (1) в классе N эквивалентна абсолютной устойчивости линейной системы
ẏ = Ay + bu(t)σ, σ = c⊤y = hc, yi,
(3)
в классе U измеримых функций, удовлетворяющих ограничению
0 ≤ u(t) ≤ k,
(4)
В предположении управляемости пары {A, b} и наблюдаемости
пары {A, c} система (1) будет абсолютно устойчива в классе U в
том и только в том случае, если положение равновесия y = p = 0
предельной системы
ẏ = (A + u(k, y, p)bc⊤)y,
(5)
ṗ = (A + u(k, y, p)bc⊤)p,
k
u(k, y, p) = [1 − signhb, pihc, yi],
2
будет асимптотически устойчивым по части переменных y.
Предельная система (5) получена из решения вариационной задачи Булгакова о максимальном отклонении квадрата нормы решения системы (1) в произвольный фиксированный момент времени
как наихудшая система, из асимптотической устойчивости которой
по переменным y вытекает абсолютная устойчивость билинейной
системы (1) в классе U .
Для систем второго порядка (1) в [Пятн] показано, что наихудшая
с точки зрения близости к границе области абсолютной устойчивости функция u(k, y, p) = k2 [1 − signhb, pihc, yi] на траекториях
предельной системы (5) является кусочно-постоянной периодической функцией с периодом T (0 ≤ T0 ≤ T ≤ ∞) и переключением
в момент τ (0 ≤ τ ≤ T ). Установлены два критерия абсолютной
устойчивости, использующие этот факт. Первый критерий основан
на периодичности функции u(k, y, p) и теореме об устойчивости
систем с периодическими коэффициентами и формулируется так:
max {max(λi(T, τ ))} = λ0 < 1,
1≤i≤2 T, τ
где λi(T, τ ) — корни характеристического уравнения
⊤)(T −τ )
Aτ
(A+kbc
det(e e
− λE) = 0.
Проверка критерия может быть запрограммирована на ЭВМ.
Второй критерий основан на методе точечных преобразовений и
сформулирован в алгоритмической форме в терминах требований,
предъявляемых к конкретной системе второго порядка.
Рассмотрим применение метода экстремальных отклонений к анализу абсолютной устойчивости систем второго порядка (3) и получим с его помощью критерий устойчивости в аналитической форме.
В cилу управляемости пары {A, b} линейное преобразование переменых y = Lx, L = (Ab + b trA, b), совместно с заменой
u(t) = k2 (1 + v(t)), |v(t)| ≤ 1 приводит систему вида (3) к канонической управляемой форме:
ẋ1 = x2,
ẋ2 = −(ε + γv(t))x1 − 2(α + βv(t))x2,
(6)
α = − 12 trA + β, β = − k4 b⊤c = − k4 hb, ci = k4 (b1c1 + b2c2),
γ = − k2 hAb−(trA)b, ci = − k2 (a11b2c2+a22b1c1−a12b2c1− a21b1c2),
ε = det A + γ,
причём 2(α − β) = −trA, 2(α + β) = −trB, B = (A + kbc⊤),
ε + γ = det A, ε − γ = det B.
Всё множество системы (6) делятся на два подмножества: абсолютно неколебательные и колебательные.
Для абсолютной неколебательности систем (6) необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
min {D(v) = (α + βv)2 − (ε + γv)} = D− ≥ 0,
v∈[−1,1]

γ−2αβ

=
≤ −1,
D(−1),
если
v

m

2β 2
γ−2αβ
где D− = D(1),
если
v
=
≥ 1,
m
2

2β

 D(v ), если − 1 < v < 1.
m
m
Cистемы (6) со знакопеременным на отрезке [-1, 1] дискриминантом D(v) являются колебательными.
Далее будем рассматривать системы (6), удовлетворяющие условиям Гурвица
α > |β|, ε > γ,
(7)
которые необходимы для абсолютной устойчивости. Выполняются
они в том и только в том случае, если матрицы A и B = A + kbc⊤
гурвицевы.
Для колебательных систем (6) рассмотрим вспомогательную задачу Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным
временем:
x1(x0, v, T ) → max
(8)
v(·)∈V
x1(0) = −1, x2(0) = 0, x1(T ) = xmax
> 0, x2(T ) = 0,
1
x2(t) 6= 0 при t ∈ (0, T ).
Решение ей доставляет функция v ∗, которая максимизирует уг-
ловой коэффициент
¶
µ
dx2
εx1 + αx2
γx1 + βx2
=−
−v
dx1
x2
x2
касательной в каждой точке экстремальной траектории, т.е. наихудшим является возмущение
v ∗(x) = −sign[x2(γx1 + βx2).
(9)
Для абсолютной устойчивости абсолютно неколебательных
систем (6) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица (7).
Для колебательных систем (6) помимо условий Гурвица (7) требуется выполнение дополнительного условия, которое названо услоmax — координата решения эксвием Булгакова: xmax
<
1,
где
x
1
1
тремальной системы
ẋ1 = x2,
ẋ2 = −(ε + γv ∗(x))x1 − 2(α + βv ∗(x))x2,
(10)
v ∗(x) = −sign[x2(γx1 + βx2)],
с начальным условием x(0) = (−1, 0) в момент первого после t = 0
пересечения с полуосью OX1+.
Наихудшее возмущение v ∗(x) на траекториях экстремальной системы (10) в соответствии с [Пятн] является кусочно-постоянной
периодической функцией с периодом T и одним одним переключением в момент τ (0 < τ < T ), рис 1.
1
0
-1
x1
v ∗(x)
x1(T ) = xmax
1
τ
T
t
v ∗(x)
Рис. 1
Для абсолютной устойчивости колебательных систем (6) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица(7) и условия
< 1.
Булгакова xmax
1
Условие Булгакова xmax
< 1 для колебательных систем (6), (7)
1
нетрудно получить в аналитическом виде, т.е. в форме неравенства
относительно параметров k, α, β, ε, γ.
< 1 в аналитической
Чтобы представить условие Булгакова xmax
1
форме требуется решить экстремальную систему (10) при x(0) =
(−1, 0).
В результате получим, что условие Булгакова имеет вид
s
ψ1
ψ2
ε+γ
max
x1
= exp{−[(α + β)
+ (α − β) ]}
< 1,
(11)
ω1
ω2
ε−γ

 arcctg γ(β−α)+2βε если D(1) < 0,
p
γω1
ω1 = |D(1)|, ψ1 = 1 γ(β−α)+2βε+γω
1
 ln
если D(1) > 0,
2
γ(β−α)+2βε−γω1
ψ1
= γ если D(1) = 0,
ω1

 arcctg γ(β−α)+2βε если D(−1) < 0,
p
γω2
ω2 = |D(−1)|, ψ2 = 1 γ(β−α)+2βε+γω
2
 ln
если D(−1) > 0,
2
γ(β−α)+2βε−γω
2
ψ2
ω2
τ =
= γ если D(−1) = 0,
ψ1
ω1
, T =τ+
ψ2
ω2
=
ψ1
ω1
+
ψ2
ω2
.
Скачать

Введение. ЗАДАЧА Б.В. БУЛГАКОВА О НАКОПЛЕНИИ ВОЗ