Белоусов И.Н., Махнев А.А. Об автоморфизмах обобщенного

6
Труды 40 Молодежной школы-конференции
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ ОБОБЩЕННОГО
ШЕСТИУГОЛЬНИКА ПОРЯДКА (3, 27)
Белоусов И.Н., Махнев А.А. 1
e-mail: i_belousov@mail.ru
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины a графа Γ через Γi (a) обозначим i-окрестность вершины a, то есть, подграф, индуцированный Γ на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a. Положим
[a] = Γ1 (a), a⊥ = {a} ∪ [a].
Система инцидентности (X, L), где X — множество точек и L —
множество прямых, называется почти 2n-угольником порядка (s, t),
если каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на
t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке),
диаметр графа коллинеарности равен n, и для любой пары (a, L) ∈
(X, L) на прямой L найдется единственная точка, ближайшая к a в
графе коллинеарности. Почти 2n-угольник называется обобщенным
2n-угольником, если любые две точки u, w, находящиеся на расстоянии, меньшем n, лежат в единственном геодезическом пути, идущем
от u к w. Обобщенный 2n-угольник порядка (s, t) называется толстым, если s > 1 и t > 1.
Если вершины u, w находятся на расстоянии i в Γ, то через bi (u,w)
(через ci (u,w)) обозначим число вершин в пересечении Γi+1 (u)
(Γi−1 (u)) с Γ(w). Граф Γ диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {b0 , b1 , . . . , bd−1 ; c1 , . . . , cd }, если
значения bi (u, w) и ci (u, w) не зависят от выбора вершин u, w на расстоянии i в Γ для любого i = 0, ..., d. Заметим, что для дистанционно
регулярного графа b0 — это степень графа, c1 = 1. Для подмножества X автоморфизмов графа Γ через Fix(X) обозначается подграф,
индуцированный на множестве всех вершин графа Γ, неподвижных
относительно любого автоморфизма из X.
Для изучения возможных порядков и подграфов неподвижных
точек автоморфизмов дистанционно регулярных графов Г. Хигмен
предложил оригинальный метод, использующий теорию характеров
конечных групп. Этот метод изложен в монографии П. Камерона
[1], причем он применялся только к изучению инволютивных авто1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-01-00009) и
РФФИ-БРФФИ (грант 08-01-90006).
Алгебра и топология
7
морфизмов сильно регулярного графа с параметрами (3250,57,0,1).
Позднее, в работах [2], [3] изучались автоморфизмы сильно регулярных графов с малыми числами пересечений. В данной работе исследуются автоморфизмы дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)} на (q 3 + 1)(q 2 + q +
1)(q 4 − q 2 + 1) вершинах. Этот граф имеет собственные значения
{q(q 3 + 1), q 2 + q − 1, −(q 2 − q + 1), −(q 3 + 1)} кратностей {1, 12 q 3 (q 3 +
1)2 , 21 q 3 (q + 1)2 (q 4 − q 2 + 1), q 5 − q 3 + q} соответственно, является
точечным графом обобщенного шестиугольника GH(q, q 3 ) (см. [4])
и не содержит n-циклов для 4 ≤ n ≤ 5. Известно, что существует
единственный обобщенный шестиугольник порядка (2, 8) (с группой
автоморфизмов 3 D4 (2)). В работе изучаются автоморфизмы обобщенного шестиугольника GH(3, 27).
Теорема. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф, имеющий
массив пересечений {84, 81, 81; 1, 1, 28}, G = Aut(Γ), g — элемент из
G простого порядка p и Ω = Fix(g). Тогда верно одно из утверждений:
(1) p = 7, 13 или 73 и Ω — пустой граф;
(2) p = 7 и Ω состоит из 7ω вершин, попарно находящихся на
расстоянии 3 в Γ;
(3) p = 13 и Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(3, 1);
(4) p = 3, |Ω| сравнимо с 1 по модулю 3 и либо
(i) Ω является 1-кликой или 4-кликой, либо
(ii) Ω содержится в a⊥ для некоторой вершины a, либо
(iii) Ω — точечный граф обобщенного шестиугольника GH(3,3),
либо
(iv) в Ω найдется такая 4-клика L, что Ω содержится в объединении шаров радиуса 1 с центрами в L;
(5) p = 2, |Ω| четно и либо
(i) Ω является 54m + 28-кокликой, где 0 ≤ m ≤ 5, либо
(ii) Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника
GH(1, 9), либо
8
Труды 40 Молодежной школы-конференции
(iii) Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника
GH(3, 3), либо
(iv) |Ω| = 116, Ω содержит четыре вершины степени 28 и двадцать восемь 4-клик, вершины которых имеют степень 4 в Ω.
Следствие. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф, имеющий
массив пересечений {84, 81, 81; 1, 1, 28} и группа G = Aut(Γ) действует транзитивно на множестве вершин графа Γ. Тогда Γ —
точечный граф классического обобщенного шестиугольника группы
Стейнберга 3 D4 (3).
Приведем две леммы, имеющие независимый интерес.
Лемма 1. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф с массивом
пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)}. Если Γ содержит собственный подграф ∆, являющийся точечным графом обобщенного
шестиугольника порядка (q, t), то t ≤ q.
Доказательство. Пусть Γ содержит собственный подграф ∆, являющийся точечным графом обобщенного шестиугольника порядка
(q, t). Тогда число вершин в ∆ равно v 0 = (q + 1)(q 2 t2 + qt + 1), степень графа ∆ равна k 0 = q(t + 1) и число ребер между ∆ и Γ − ∆
равно v 0 (k − k 0 ) = (q + 1)(q 2 t2 + qt + 1)q(q 3 − t). Так как каждая
вершина из Γ − ∆ смежна не более чем с одной вершиной из ∆,
то v = (q + 1)(q 8 + q 4 + 1) и не меньше v 0 + v 0 (k − k 0 ), поэтому
t3 − q 3 t2 − q 2 t + q 5 = (t − q)(t + q)(t − q 3 ) ≥ 0. Отсюда t ≤ q.
Лемма 2. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф с массивом
пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)}. Если g — автоморфизм
простого порядка p и Ω = Fix(g) — непустой граф, то выполняются
следующие утверждения:
(1) если граф Ω не связен, то он является кокликой, и в случае
p > q число p делит q 3 + 1;
(2) если граф Ω связен и p > q, то он является точечным графом
обобщенного шестиугольника порядка (q, t), и либо t = 1, либо число
qt является квадратом, q ≤ t3 и t ≤ q.
Доказательство. Допустим, что граф Ω не связен. Тогда вершины
из разных компонент связности находятся на расстоянии 3 в Γ. Допустим, что a, b — смежные вершины из Ω, и выберем вершину c из
Алгебра и топология
9
другой связной компоненты графа Ω. По определению обобщенного
многоугольника клика a⊥ ∩ b⊥ содержит единственную вершину d,
находящуюся на расстоянии 2 от c. Противоречие с тем, что d ∈ Ω.
Значит, Ω — коклика.
Если p > q, то с учетом равенства k = q(q 3 + 1) получим, что p
делит q 3 + 1. Утверждение (1) доказано.
Пусть граф Ω связен и p > q. Рассмотрим смежные вершины a, b.
Тогда клика L = a⊥ ∩ b⊥ содержится в Ω. Далее, g действует на
множестве из q 3 максимальных клик, отличных от L и лежащих в
[b], и фиксирует еще одну клику L1 . Выбрав c ∈ L1 − {b} найдем еще
одну максимальную клику L2 из [c], фиксируемую g.
Покажем, что любые две вершины a, d ∈ Ω, находящиеся на расстоянии 3 в Γ имеют одинаковые степени в Ω. Ввиду связности Ω
найдется вершина b ∈ Ω(a) ∩ Γ2 (d), клика a⊥ ∩ b⊥ содержится в Ω
и содержит единственную вершину, находящуюся на расстоянии 2
от d. Далее, каждой вершине b ∈ Ω(a) ∩ Γ2 (d) отвечает единственна
смежная с b вершина c из Ω(d) ∩ Γ2 (a) и клика c⊥ ∩ d⊥ из Ω. Так
как µ = 1, то различным вершинам b, b0 из Ω(a) ∩ Γ2 (d) отвечают
различные вершины c, c0 и |Ω(a)| = |Ω(d)|.
Напомним, что p133 = q 8 (q − 1), поэтому для смежных вершин a, b
из Ω найдется вершина d ∈ Ω, находящаяся на расстоянии 3 от a и от
b. Отсюда Ω — регулярный граф. Теперь Ω — точечный граф почти
2d-угольник с d = 3, причем c2 (Ω) = 1. Поэтому Ω — точечный граф
обобщенного шестиугольника порядка (q, t) и по теореме 6.5.1 из [4]
либо t = 1, либо число qt является квадратом, q ≤ t3 и t < q 3 . По
лемме 1 получим t ≤ q. Лемма доказана.
Список литературы
[1]. Cameron P. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts
№45, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.
[2]. Махнев А.А., Падучих Д.В. Об автоморфизмах графа Ашбахера // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 2. С. 125–134.
[3]. Махнев А.А., Носов В.В. Об автоморфизмах сильно регулярных
графов с λ = 0, µ = 2 // Матем. сборник 2004. Т. 185, №3. С.
47–68.
[4]. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular
Graphs, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1989.