Абстрактная формула Грина и задача Стокса. Копачевский Н.Д

Абстрактная формула Грина и задача Стокса.
Копачевский Н.Д.
(Симферополь, Украина).
Посвящается В. И. Юдовичу,
коллеге, старшему товарищу,
выдающемуся математику и механику.
Реферат.
Пусть для тройки гильбертовых пространств E, F , G и оператора γ (оператора
следа) выполнены следующие условия: а) F ограниченно вложено в E; б) оператор γ
ограниченно действует из F в пространство G+ , ограниченно вложенное в G. Тогда
существует однозначно определяемые операторы L и ∂ с D(L) = D(∂) = F такие,
что имеет место абстрактная формула Грина
h η, LuiE = (η, u)F − hγη, ∂uiG ,
∀ η, u ∈ F,
причем Lu ∈ F ∗ , ∂u ∈ (G+ )∗ .
Частными случаями этой формулы является первая формула Грина для оператора
Лапласа (в области с липшицевой границей), формула Грина для бигармонического
оператора, а также формула Грина для задачи Стокса, возникающей в известной
проблеме С. Г. Крейна малых движениях и нормальных колебаниях тяжелой вязкой
жидкости, частично заполняющей произвольный сосуд.
1. Введение.
1. Пусть Ω – произвольная область в Rm с достаточно гладкой границей Γ := ∂Ω.
Для произвольных функций η(x) ∈ C 1 (Ω) и u(x) ∈ C 2 (Ω) хорошо известна формула
Z
Z
Z
∂u
η(u − ∆u)dΩ = (ηu + ∇η · ∇u)dΩ = η
dΓ ,
(1)
∂n
Ω
Ω
Γ
которую называют первой формулой Грина для оператора Лапласа. Если ввести в
рассмотрение гильбертовы пространства L2 (Ω), H 1 (Ω) и L2 (Γ) с соответствующими
скаклярными произведениями и нормами, то формулу (1) можно переписать в виде
∂u
)L (Ω) , γη := η |Γ .
(2)
∂n 2
Формула (2) допускает обобщения, во-первых, на случай менее гладких функций
η(x) и u(x), во-вторых, на случай негладкой границы Γ = ∂Ω, а в третьих – на случай
произвольной тройки гильбертовых пространств E, F и G, связанных между собой
определенным образом.
Идея получения такой абстрактной формулы Грина принадлежит С. Г. Крейну.
При некоторых (достаточно ограничительных) условиях соответствующий результат был приведен в монографии [1], с.46-47. Затем появилась работа [2], где было
получено обобщение результата из [1] и были рассмотрены абстрактные краевые и
спектральные задачи.
(η, u − ∆u)L2 (Ω) = (η, u)H 1 (Ω) − (γη,
1
2
В данной работе приводится новый вывод абстрактной формулы Грина при условиях, менее ограничительных, чем в работе [2]. На этой основе удается рассмотреть
формулу Грина для задачи Стокса как частный случай абстрактной формулы Грина.
2. Напомним некоторые факты из функционального анализа, которые будут далее
использованы (см.,например, [1]).
Пусть гильбертово пространство F плотно вложено в гильбертово пространство E
(F ⊂→ E), т.е. F плотно в E и
k u kE 6 ak u kF ,
∀ u ∈ F,
a > 0.
(3)
В этом случае говорят, что пространства F и E образуют гильбертову пару (F ; E).
По паре (F ; E) однозначно определяется положительно определенный оператор
A (A 0), называемый порождающим оператором гильбертовой пары (F ; E). Для
этого оператора D(A) ⊂ F , D(A1/2 ) = F и
(u, v)F = (A1/2 u, A1/2 v)E ,
∀ u, v ∈ F.
(4)
Если v ∈ D(A), то
(u, Av)E = (u, v)F ,
∀ u ∈ F.
(5)
По оператору A можно построить шкалу гильбертовых пространств E α , α ∈ R, так,
что F = D(A1/2 ) = E 1/2 , AE α = E α−1 . По пространствам F и E можно построить
оснащение (см. [3])
F ⊂→ E⊂→ F ∗ ,
(6)
где F ∗ – совокупность линейных функционалов на F . При этом любой функционал
в F выражается через "скалярное"произведение в E:
v ∈ F ∗,
(7)
| lv (u) |=| hu, viE |6 k u kF · k v k∗F .
(8)
lv (u) := hu, viE ,
u ∈ F,
причем
Пусть A – порождающий оператор гильбертовой пары (F, E). Решения уравнения
Au = f,
u ∈ D(A) ⊂ F,
(9)
при f ∈ E называются обобщенными решениями. Для таких решений выполнено
тождество
(v, u)F = (v, f )E ,
∀v ∈ F.
(10)
Если f ∈ F ∗ , то соответствующие решения задачи (9) называются слабыми решениями. Для них выполнено тождество
(v, u)F =< v, f >E ,
∀ v ∈ F , f ∈ F ∗;
(11)
R(A) = F ∗ = E −1/2 .
(12)
при этом
D(A) = F = E 1/2 ,
3
2. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств.
1. Пусть для тройки гильбертовых пространств E, F и G выполнены следующие
условия:
а) пространство F плотно вложено в E: F ⊂→ E;
б) на пространстве F определен оператор γ (оператор следа), ограниченно действующий из F в G, причем γ отображает F на плотное множество R(γ) =: G+
пространства G: G+ ⊂→ G.
Обозначим через N ядро оператора γ:
N := Ker γ = {u ∈ F : γu = 0}.
(13)
В силу свойства G+ ⊂→ G и неравенства
k γu kG 6 bk u kF ,
b > 0,
∀ u ∈ F,
(14)
N есть подпространство F . Обозначим через M ортогональное дополнение к N в F :
F = N ⊕ M.
(15)
Согласно свойству б) оператор γM := γ |M осуществляет взаимно однозначное отображение M на G+ . Это позволяет ввести на G+ структуру гильбертова пространства,
полагая
(ϕ, ψ)G+ := (u, v)F , u, v ∈ M, γM u = ϕ, γM v = ψ.
(16)
Можно показать, что
k ϕ kG+ = min k u kF .
(17)
γM u=ϕ
Из (14) при u ∈ M , γM u = ϕ ∈ G+ имеем
k ϕ kG = k γu kG 6 bk u kF = bk ϕ kG+ ,
(18)
откуда следует, что (G+ ; G) – гильбертова пара пространств. Построим по этой паре
шкалу пространств так, чтобы G+ = G1/2 , G = G0 ; тогда (G+ )∗ = G−1/2 .
Обозначим через TM оператор, сопряженный к γM в смысле скалярного произведения в G. Так как γM изометрически отображает M на G+ = G+1/2 , то TM изометрически отображает (G+ )∗ = G−1/2 на M . Тогда
(η, TM ψ)F = hγM η, ψiG ,
∀ η ∈ M,
∀ ψ ∈ (G+ )∗ .
(19)
Обозначим через ∂M оператор, обратный к TM . Тогда из (19) имеем
(η, w)F = hγM η, ∂M wiG ,
∀ η, w ∈ M,
∀ γM η ∈ G+ ,
∂M w ∈ (G+ )∗ .
(20)
2. Построим по гильбертовой паре (F ; E) порождающий оператор A и по нему
шкалу пространств E α так, чтобы F = E 1/2 , E = E 0 , F ∗ = E −1/2 . Далее под A будем
понимать оператор, заданный на F = E 1/2 и имеющий область значений R(A) =
E −1/2 = F ∗ . Тогда A1/2 ограниченно действует из F на E и из E на E −1/2 = F ∗ и
имеет место тождество
(A1/2 η, A1/2 u)E = (η, u)F = hη, AuiE ,
∀ η, u ∈ F.
(21)
Пусть PN и PM – ортопроекторы на подпространства N и M из ортогонального
разложения (15). Введем оператор
L := APN ,
D(L) = F,
(22)
4
ограниченно действующий из F в F ∗ . Очевидно,
Lw = 0 ,
∀ w ∈ M.
(23)
Введем оператор ∂, являющийся расширением оператора ∂M с M на F . Рассмотрим
неравенство
| hη, LuiE |6 k Lu kF ∗ · k η kF = k Lu kF ∗ · k γM η kG+ ,
∀ η ∈ M,
∀ u ∈ N.
(24)
Из него следует, что величину lu (η) := hη, LuiE можно рассматривать как линейный ограниченный функционал на G+ . Обозначим через – ∂N u элемент из (G+ )∗ ,
представляющий этот функционал через скалярное произведение в G. Тогда
hη, LuiE = −hγM η, ∂N uiG ,
∀ η ∈ M,
∀ u ∈ N,
(25)
причем
k ∂N u kG∗ 6 k Lu kF ∗ .
(26)
+
По операторам ∂M и ∂N построим оператор ∂ : F −→ (G+ )∗ по правилу
∂u := ∂N PN u + ∂M PM u ,
∀ u ∈ F.
(27)
Теорема 1. Если для гильбертовых пространств E,F и G и оператора γ выполнены
условия а) и б), то имеет место следующая абстрактная формула Грина
hη, LuiE = (η, u)F − hγη, ∂uiG ,
∀ η, u ∈ F,
(28)
причем операторы L и ∂ заданы на F и определяются (по E,F и G и γ) единственным образом (формулами (20), (22), (25), (27)).
Доказательство теоремы основано на непосредственной проверке формулы (28) с
учетом соотношений (15), (20) – (22), (25), (27).2
3. Рассмотрим абстрактную краевую задачу Неймана для уравнения Пуассона:
Lu = f ,
∂u = ψ.
(29)
Теорема 2. Задача (29) имеет единственное слабое решение u ∈ F тогда и только
тогда, когда
f ∈ F∗ ,
ψ ∈ (G+ )∗ .
(30)
Это решение имеет вид
u = A−1 f + TM ψ,
(31)
где A и TM – введенные выше операторы. 2
Замечание 1. Из теоремы 2 следует, что для любого элемента u ∈ F имеет
место его единственное представление в виде u = v + w, где v – слабое решение
задачи
Lv = f ,
∂v = 0,
(32)
а w – слабое решение задачи
Lw = 0 ,
∂w = ψ.2
(33)
Замечание 2. В работе [2] формула (28) доказана при условиях а) и б), а также
условии, что N = Kerγ плотно в E. При этом утверждалось, что D(L) = D(∂) ⊂
F , а формула (28) верна при u ∈ D(L).2
5
3. Классические примеры.
1. Пусть Ω ⊂ Rm – произвольная область в Rm с липшицевой границей Γ = ∂Ω.
Введем пространтва E = L2 (Ω) с обычной нормой, F = H 1 (Ω) со стандартной нормой
Z
2
(34)
k u kH 1 (Ω) := [| u |2 + | ∇u |2 ]dΩ,
Ω
а также пространство G = L2 (Γ).
Нетрудно видеть, что для указанной тройки пространств выполнены условия а)
и б) из параграфа 2, если оператор следа γ ввести по закону γu := u |Γ . Поэтому в
качестве следствия из теоремы 1 приходим к такому выводу.
Теорема 3. Для тройки пространств L2 (Ω), H 1 (Ω) и L2 (Γ), определенных для области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ = ∂Ω, имеет место следующая формула
Грина
∂u
hη, u − ∆uiL2 (Ω) = (η, u)H 1 (Ω) − hγη,
i
, ∀ η, u ∈ H 1 (Ω),
(35)
∂n L2 (Γ)
причем
∂u
∆u ∈ (H 1 (Ω))∗ ,
∈ (H 1/2 (Γ))∗ .2
(36)
∂n
Формула (35), очевидно, обобщает формулу (1) на случай негладкой области Ω и
менее гладких,чем в (1), функций η(x) и u(x).
2. Пусть снова Ω – произвольная область в Rm , однако теперь будем считать, что
Γ = ∂Ω – достаточно гладкая, для простоты – бесконечно гладкая граница. Для
произвольных η(x) ∈ C 2 (Ω) и u(x) ∈ C 4 (Ω) хорошо известна формула Грина для
бигармонического оператора
Z
Z
Z
∂∆u ∂η
2
−
∆u)dΓ.
(37)
η(∆ u + u)dΩ = (∆η · ∆u + ηu)dΩ + (η
∂n
∂n
Ω
Ω
Γ
2
Введем пространства E = L2 (Ω), F = H (Ω) с нормой
Z
2
2
k u kF = k u kH 2 (Ω) := [| u |2 + | ∆u |2 ]dΩ,
(38)
Ω
эквивалентной стандартной норме протранства H 2 (Ω), а также пространства
G := L2 (Γ) ⊕ L2 (Γ). Далее, введем оператор γ по закону
∂u
γu := {−u |Γ ;
|Γ }, ∀ u ∈ F = H 2 (Ω).
(39)
∂n
Теорема 4. Для тройки пространств E = L2 (Ω), F = H 2 (Ω), G = (L2 (Γ))2 и
оператором следа (39) имеет место следующая формула Грина
∂
∂η
hη, ∆2 u + uiL2 (Ω) = (η, u)H 2 (Ω) + hη,
∆ui
− h , ∆ui
, ∀ η, u ∈ H 2 (Ω), (40)
∂n
∂n
L2 (Ω)
L2 (Γ)
где
∂
∆2 u ∈ (H 2 (Ω))∗ , η |Γ ∈ H 3/2 (Γ),
∆u ∈ (H 3/2 (Γ))∗ ,
∂n
6
∂η
∈ H 1/2 (Γ),
∂n
∆u ∈ (H 1/2 (Γ))∗ .2
4. О формуле Грина для задачи Стокса.
1. При исследовании малых движений идеальной несжимаемой жидкости в частично заполненном сосуде Ω, ограниченном твердой стенкой S и горизонтальной
→
поверхностью Γ, поле скоростей жидкости −
u считают элементом гильбертова про→
−
странства L 2 (Ω) и используют ортогональное разложение
→
−
→
−
→
−
→
−
L 2 (Ω) = J 0 (Ω) ⊕ G h,S (Ω) ⊕ G 0,Γ (Ω),
(41)
−
→
→
−
→
→
→
→
J 0 (Ω) := {−
v ∈ L 2 (Ω) : div−
v = 0 ( в Ω ), vn := −
v ·−
n = 0 ( на ∂Ω = S ∪ Γ )}, (42)
−
→
∂Φ
→
= 0 ( на S ),
G h,S (Ω) := {−
w = ∇Φ : ∆Φ = 0 ( в Ω ),
∂n
Z
ΦdΓ = 0},
(43)
Γ
−
→
→
−
G 0,Γ (Ω) := {∇ϕ ∈ L 2 (Ω) : ϕ = 0 ( на Γ )},
где все операции определены как обобщенные функции [1]. При этом
→
−
→
−
→
−
→
−
u ∈ E := J (Ω) = J (Ω) ⊕ G (Ω).
0,S
0
h,S
(44)
(45)
Для вязкой жидкости должна быть конечна скорость диссипации энергии, и тогда
→1
−
→1
−
→
−
→
−
−
→
→
u ∈ F := J 0,S (Ω) := {→
u ∈ H (Ω) : div−
u = 0 ( в Ω ), −
u = 0 ( на S )}.
(46)
→1
−
Норма в J 0,S (Ω) задается по формуле
Z X
3
1
∂ui ∂uj
2
2
→
−
→
−
→
−
→
→
k u kF = E( u , u ) :=
+
,
(47)
| τi j (−
u ) | dΩ, τi j (−
u ) :=
2 i,k=1
∂xj
∂xi
Ω
→
−
и эта норма эквивалентна стандартной норме в H 1 (Ω).
→1
−
→
−
Пространство J 0,S (Ω) плотно вложено в J 0,S (Ω) и потому (F ; E)
→1
−
→
−
( J 0,S (Ω); J 0,S (Ω)) – гильбертова пара пространств.
=
→1
−
→
−
Теорема 5. Оператор A гильбертовой пары пространств ( J 0,S (Ω); J 0,S (Ω)) для
области Ω ∈ R3 с липшицевой границей ∂Ω = S ∪ Γ является оператором краевой
задачи
→
−
→
−
→
→
→
→
A−
v := −P ∆−
v + ∇p = f , div−
v = 0 (в Ω) , −
v = 0 ( на S ),
(48)
0,S
v
→
τi 3 (−
v ) − pv δi 3 = 0 ( на S ), i = 1, 2, 3,
где P0,S
∆pv = 0 ( в Ω ),
→
−
– ортопроектор на J 0,S (Ω).
∂pv
= 0 ( на Γ ),
∂n
7
T−
→2
−
→1
→
−
→
Если эта задача имеет решение −
v ∈ H (Ω) J 0,S (Ω), то ∇pv ∈ G h,S (Ω). При
→
−
→1
−
любой f ∈ ( J 0,S (Ω))∗ задача (48) имеет единственное слабое решение; обратно,
→1
−
→
любой элемент −
v ∈ J 0,S (Ω) является слабым решением этой задачи при некото−
→
→1
−
ром f ∈ ( J 0,S (Ω))∗ .2
→1
−
2. Введем в пространстве J 0,S (Ω) оператор следа по закону
→1
−
→
→
→
γ−
u := −
u |Γ , ∀ −
u ∈ J 0,S (Ω).
(49)
Этот оператор (для области Ω c липшицевой границей ∂Ω) ограниченно действует
→1
−
из J 0,S (Ω) в пространство
1/2
1/2
G+ := H 1/2 (Γ) × H 1/2 (Γ) × HΓ , HΓ
:= H 1/2 (Γ) ∩ L2,Γ ,
(50)
где L2,Γ = L2 (Γ) {1}. Пространство G+ плотно (и компактно) вложено в
→
−
G := L2 (Γ) ⊕ L2 (Γ) ⊕ L2,Γ =: L 2 (Γ).
(51)
1
→
−
→
−
→
−
Поэтому для пространств J 0,S (Ω), J 0,S (Ω), G = L 2 (Γ) и оператора γ выполнены
условия а) и б) параграфа 2.
В частности
→
−
→1
−
→1
−
→
−
→
→
N (Ω) := Kerγ = {−
u ∈ J (Ω) : −
u = 0 ( на Γ )} = J (Ω),
(52)
0,S
0
−
→
→
−
→
−
причем N (Ω) плотно в J 0 (Ω) и в силу (45) не плотно в J 0,S (Ω).(В этом состоит
отличие гидродинамического случая от первого классического примера параграфа
3.)
3. При исследовании С.Г.Крейном проблемы малых движений жидкости в частично заполненном сосуде возникла следующая задача Стокса:
→
−
→
−
→
→
→
−P0,S ∆−
u + ∇pu = f , div−
u = 0 (в Ω) , −
u = 0 ( на S ),
(53)
3
X
→
−
→
→
(τi 3 (−
u ) − pu δi 3 )−
ei = ψ ( на Γ ), ∆pu = 0 ( в Ω ),
i=1
∂pu
= 0 ( на S ).
∂n
Теорема 6. Если выполнены условия
→
−
→
−
→1
−
→1/2
−
1/2
f ∈ ( J 0,S (Ω))∗ , ψ ∈ ( H (Γ)∗ := (H 1/2 (Γ))∗ × (H 1/2 (Γ))∗ × (HΓ )∗ ,
(54)
→1
−
→
то задача (53) имеет единственное слабое решение −
u ∈ J 0,S (Ω), представимое в
→
виде ~u = ~v + w,
~ где функция −
v является слабым решением задачи (48), а функция
1
−
→
→
−
→
−
→
−
w ∈ M (Ω) = J (Ω) N (Ω) является слабым решением задачи
0,S
→
−
→
−P0,S ∆−
w + ∇pw = 0 ,
3
X
i=1
→
div−
w = 0 (в Ω) ,
→
−
−
→
w = 0 ( на S ),
→
−
→
→
(τi 3 (−
w ) − pw δi 3 )−
ei = ψ ( на Γ ), ∆pw = 0 ( в Ω ),
∂pw
= 0 ( на S ).
∂n
(55)
8
→1
−
−
→
→
→
Обратно, любое поле →
u ∈ J 0,S (Ω) представимо в виде суммы −
v +−
w , где −
v и
→
−
→
−
→
−
w – слабые решения задач (48) и (55) при некоторых f и ψ , удовлетворяющих
условиям (54).2
4. Пусть выполнены условия
→1
−
→
−
→1
−
→
−
−
→
−
u (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ J 0,S (Ω).
η (x) ∈ C 1 (Ω) ∩ J 0,S (Ω), →
(56)
Тогда, как известно (см., например, [1]), для области Ω с горизонтальной (т. е. пер→
пендикулярной орту −
e3 ) свободной границей Γ имеет место формула Грина
Z
Z X
3
→
−
→
−
→
−
→
−
→
η · (∇p − ∆ u )dΩ = E( η , u ) − (
ηi (τi 3 (−
u ) − pδi 3 )dΓ,
(57)
Ω
Γ
i=1
→
→
где E(−
η ,−
u ) – билинейный функционал, отвечающий (47).
→1
−
→
→
Теорема 7. Для любых функций −
η и−
u из J 0,S (Ω) имеет место следующая формула Грина для задачи Стокса (в области Ω с липшицевой границей ∂Ω = Γ ∪ S):
−
→
→
→
→
→
h→
η , −P0,S ∆−
u + ∇pu + ∇pi−
= E(−
η ,−
u ) − hγ −
η,
L 2 (Ω)
3
X
→
−
→
(τi 3 (−
u ) − (pu + p)δi 3 )→
ei i−
,
L 2 (Γ)
i=1
(58)
где pu = pv + pw – сответствующие поля давлений, возникающие в задачах (48) и
→1
−
(55), а ∇p ∈ ( J 0,S (Ω))∗ .2
Список литературы
[1] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике:
Эволюционные и спектральные задачи. – М.: Наука, 1989. – 416 с.
[2] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи// Украинский матем. вестник, Т.1, №1
(2004).– с.69-97.
[3] Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. –
Киев: Наукова думка, 1965. – 800 с.