Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского

26
Высшая и прикладная математика
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
УДК 517.982.252
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Исчисление параметров выпуклости суммы
Минковского сильно и слабо выпуклых множеств
относительно неограниченного квазишара
Рассматриваются сильно и слабо выпуклые множества относительно неограниченного и несимметричного квазишара. Получены теоремы об исчислении параметров выпуклости и о замкнутости суммы Минковского сильно выпуклого и слабо выпуклого
множеств.
Ключевые слова: сильная и слабая выпуклость, метрическая проекция.
1.
Введение
Впервые понятие слабо выпуклого множества появилось в работах Н. В. Ефимова и
С. Б. Стечкина, где такие множества назывались 𝑎-выпуклыми, а в дальнейшем они стали
называться множествами, слабо выпуклыми по Ефимову–Стечкину. При некоторых условиях слабо выпуклое множество по Ефимову–Стечкину является слабо выпуклым с такой
же константой. Простые примеры показывают, что сумма (по Минковскому) множества,
слабо выпуклого по Ефимову–Стечкину, и сильно выпуклого множества может не быть
слабо выпуклым множеством по Ефимову–Стечкину. Поскольку одной из основных целей
нашей работы является разработка исчисления параметров выпуклости в связи с операциями Минковского, для наших задач определение Ефимова–Стечкина не подходит.
Другой подход к исследованию слабо выпуклых множеств представлен в работе [1], где в
гильбертовом пространстве рассматривается условие, эквивалентное слабой выпуклости, –
проксимальная гладкость. Множество 𝐴 является 𝑟-проксимально гладким в гильбертовом
пространстве 𝐻 , если функция 𝑥 ↦→ 𝜚(𝑥, 𝐴) (расстояние от точки 𝑥 до множества 𝐴) непрерывно дифференцируема на множестве 𝑈 𝑟 (𝐴) = {𝑥 ∈ 𝐻 | 0 < 𝜚(𝑥, 𝐴) < 𝑟}. В работе [2]
результаты для проксимально гладких множеств обобщены на банаховы пространства.
В работе [3] доказано, что при некотором соотношении параметров выпуклости сумма сильно выпуклого и слабо выпуклого множеств является замкнутым, слабо выпуклым
множеством. В работе [3] вместо термина слабо выпуклое множество используется термин
множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, а вместо термина
сильно выпуклое множество – термин слагаемое шара. В настоящей работе мы развиваем
методы, представленные в [3], заменяя шар неограниченным и несимметричным квазишаром. Это позволяет применить полученные результаты к надграфикам функций и доказать
существование, единственность и непрерывную зависимость от параметра точки минимума
в инфимальной конволюции этих функций.
2.
Определения и обозначения
Пусть 𝐸 – вещественное линейное нормированное пространство. Через int 𝐴, 𝜕𝐴 и 𝐴
будем обозначать соответственно внутренность, границу и замыкание множества 𝐴 ⊂ 𝐸 .
Значение функционала 𝑝 ∈ 𝐸 * на векторе 𝑥 ∈ 𝐸 будем обозначать ⟨𝑝, 𝑥⟩. Шаром радиуса
𝑑 > 0 с центром в точке 𝑎 называется множество 𝐵𝑑 (𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐸 : ‖𝑥 − 𝑎‖ ≤ 𝑑}.
Квазишаром 𝑀 в банаховом пространстве 𝐸 называется выпуклое замкнутое множество
𝑀 ⊂ 𝐸 , для которого 0 ∈ int 𝑀 .
Заметим, что квазишар 𝑀 является шаром относительно некоторой нормы, эквивалентной исходной норме пространства 𝐸 , тогда и только тогда, когда он ограничен относительно
исходной нормы 𝐸 и симметричен, т.е. −𝑀 = 𝑀 .
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
что
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
27
Функцией Минковского квазишара 𝑀 называется функция 𝜇𝑀 : 𝐸 → [0; +∞) такая,
⃒
{︀
}︀
𝜇𝑀 (𝑥) = inf 𝑡 > 0⃒ 𝑥 ∈ 𝑡𝑀
∀ 𝑥 ∈ 𝐸.
Функция 𝜇 : 𝐸 → R называется несимметричной полунормой, если она положительно
однородна :
𝜇(𝜆𝑥) = 𝜆𝜇(𝑥)
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∀ 𝜆 > 0
и субаддитивна :
𝜇(𝑥 + 𝑦) 6 𝜇(𝑥) + 𝜇(𝑦)
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸.
Замечание 2.1. Функция 𝜇 : 𝐸 → [0; +∞) является несимметричной полунормой тогда
и только тогда, когда она является функцией Минковского некоторого квазишара.
Пусть 𝑀 ⊂ 𝐸 – квазишар. 𝑀 -расстоянием от множества 𝐷 ⊂ 𝐸 до множества 𝐴 ⊂ 𝐸
называется величина
𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) = inf 𝜇𝑀 (𝑑 − 𝑎).
𝑑∈𝐷, 𝑎∈𝐴
В частности, 𝑀 -расстояние от точки 𝑥 ∈ 𝐸 до множества 𝐴 ⊂ 𝐸 определяется формулой
𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) = inf 𝜇𝑀 (𝑥 − 𝑎).
𝑎∈𝐴
Если 𝑀 = 𝐵1 (0), то 𝑀 -расстояние совпадает с обычным расстоянием
𝜚(𝑥, 𝐴) = inf ‖𝑥 − 𝑎‖.
𝑎∈𝐴
Напомним [4], что суммой и разностью Минковского множеств 𝐴 ⊂ 𝐸 и 𝐵 ⊂ 𝐸 называются соответственно множества
𝐴 + 𝐵 = {𝑎 + 𝑏 | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} ,
* 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸 | 𝑥 + 𝐵 ⊂ 𝐴} .
𝐴−
Замечание 2.2. Непосредственно из определений следует, что
}︁
{︁
⃒ ⋂︁
⃒
}︀
{︀
𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) = inf 𝑡 > 0⃒ 𝑥 ∈ 𝐴 + 𝑡𝑀 = inf 𝑡 > 0⃒ 𝐴 (𝑥 − 𝑡𝑀 ) ̸= ∅ .
Пусть 𝑀 ⊂ 𝐸 – квазишар. 𝑀 -проекцией точки 𝑥 ∈ 𝐸 на множество 𝐴 ⊂ 𝐸 называется
множество
⋂︁
𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴) = 𝐴 (𝑥 − 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴)𝑀 ).
Также при 𝜀 > 0 определим 𝜀-𝑀 -проекцию точки 𝑥 ∈ 𝐸 на множество 𝐴 ⊂ 𝐸 :
)︁
⋂︁(︁
𝜀
(𝑥, 𝐴) = 𝐴
𝑥 − (𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) + 𝜀)𝑀 .
𝑃𝑀
Множеством единичных проксимальных нормалей ко множеству 𝐴 ⊂ 𝐸 в точке 𝑎 ∈ 𝐴
относительно квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 называется
1
𝑁𝑀
(𝑎, 𝐴) = {𝑧 ∈ 𝐸 | 𝜇𝑀 (𝑧) = 1,
∃𝑡 > 0 : 𝑎 ∈ 𝑃𝑀 (𝑎 + 𝑡𝑧, 𝐴)}.
Множество 𝐶 ⊂ 𝐸 называется сильно выпуклым относительно квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 , если
𝐶 выпукло, замкнуто и
𝐶 −𝑐⊂𝑀 −𝑧
∀ 𝑐 ∈ 𝐶,
1
∀ 𝑧 ∈ 𝑁𝑀
(𝑐, 𝐶).
Множество 𝐴 ⊂ 𝐸 называется слабо выпуклым относительно квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 , если
𝑎 ∈ 𝑃𝑀 (𝑎 + 𝑧, 𝐴)
∀ 𝑎 ∈ 𝐴,
1
∀ 𝑧 ∈ 𝑁𝑀
(𝑎, 𝐴).
28
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Высшая и прикладная математика
Множество
(︀
)︀ 𝑀 ⊂ 𝐸 называется параболичным, если для любого вектора 𝑏 ∈ 𝐸 множество 𝑏 + 21 𝑀 ∖ 𝑀 ограничено. Множество 𝑀 ⊂ 𝐸 называется параболичным
в )︀усиленном
(︀
смысле, если для любого ограниченного множества 𝐵 ⊂ 𝐸 множество 𝐵 + 21 𝑀 ∖ 𝑀 ограничено. Заметим, что в работе [5] под параболичным множеством понималось множество,
параболичное в усиленном смысле.
Множество 𝑀 ⊂ 𝐸 называется ограниченно равномерно выпуклым, если
𝑑
𝛿𝑀
(𝜀) > 0 ∀ 𝑑 > 0,
∀ 𝜀 > 0,
где
(︂
)︂
{︂
[︁ 𝜀 ]︁ ⃒
𝑥+𝑦
⃒
𝑑
𝐵
⊂𝑀
𝛿𝑀
(𝜀) = sup 𝛿 ∈ 0,
⃒ 𝛿
2
2
Функция 𝑓 : 𝐸 → R коэрцитивна, если
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 ∩ 𝐵𝑑 (0) :
𝑓 (𝑥)
‖𝑥‖→∞ ‖𝑥‖
lim
}︂
‖𝑥 − 𝑦‖ > 𝜀 .
= +∞.
Надграфиком и подграфиком функции 𝑓 : 𝐸 → R называются соответственно множества
epi 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 × R : 𝑦 > 𝑓 (𝑥)}
и
hypo 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 × R : 𝑦 ≤ 𝑓 (𝑥)}.
(1)
Будем считать, что в пространстве 𝐸 × R норма задана следующей формулой:
‖(𝑝, 𝑞)‖ = ‖𝑝‖ + |𝑞|, где 𝑝 ∈ 𝐸, 𝑞 ∈ R.
Множество 𝐴 ⊂ 𝐸 называется замкнутым относительно квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 (𝑀 замкнутым), если для любой точки 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴 справедливо неравенство 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) > 0.
Для произвольного множества 𝐴 ⊂ 𝐸 будем рассматривать условие
{︂
}︂
‖𝑥 − 𝑎‖
sup
: 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴, 𝑎 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴), ‖𝑎‖ 6 𝑑 < +∞
∀𝑑 > 0.
(a1)
𝜇𝑀 (𝑥 − 𝑎)
В частности, если 𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴) = ∅ для любого 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴, то считаем, что условие (a1) выполнено.
Замечание 2.3.
Если множество 𝐴 ⊂ 𝐸 является замкнутым относительно некото* 𝑀 ⊂𝐴−
* 𝐴.
рого квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 , то 𝐴 замкнуто и 𝑀 −
Доказательство.
Так как 𝑀 – квазишар, то существует число 𝜎 > 0 такое, что
𝐵𝜎 (0) ⊂ 𝑀 . Тогда для любого 𝑥 ∈ 𝐸 справедливо неравенство 𝜇𝑀 (𝑥) ≤ ‖𝑥‖
𝜎 , а зна𝜚(𝑥,𝐴)
чит, 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) ≤
𝜎 . Тогда если 𝜚(𝑥, 𝐴) = 0, то 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) = 0, а значит, 𝑥 ∈ 𝐴.
* 𝑀 ̸⊂ 𝐴 −
* 𝐴. Тогда сущеСледовательно, 𝐴 замкнуто. Теперь предположим, что 𝑀 −
*
*
ствуют 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 − 𝑀 такие, что 𝑎 + 𝑚 ∈
/ 𝐴. Так как 𝑚 ∈ 𝑀 − 𝑀 , 0 ∈ 𝑀 , то 𝑚 ∈ 𝑡𝑀
для любого 𝑡 > 0. Следовательно, 𝜚𝑀 (𝑎 + 𝑚, 𝐴) = 0. С другой стороны, так как 𝑎 + 𝑚 ∈
/𝐴
и 𝐴 является замкнутым относительно квазишара 𝑀 , то 𝜚𝑀 (𝑎 + 𝑚, 𝐴) > 0. Противоречие.
Замечание
2.4.
*
*
Замкнутое множество 𝐴 ⊂ 𝐸 , удовлетворяющее включению
𝑀 − 𝑀 ⊂ 𝐴 − 𝐴, может не быть замкнутым относительно квазишара 𝑀 .
Доказательство. Возьмем 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R
: 𝑦 > 𝑥2 −1, 𝑥 ∈ R} – надграфик параболы,
* 𝑀 = {(0, 𝜆), 𝜆 > 0} = 𝐴 −
* 𝐴.
а множество 𝐴 = {(0, 𝑦) ∈
: 𝑦 ∈ R} – прямая. Тогда 𝑀 −
* 𝑀 ⊂𝐴 −
* 𝐴, но для любого 𝑧 ∈ R2 ∖ 𝐴
Очевидно, что 𝐴 – замкнутое множество и 𝑀 −
выполнено равенство 𝜚𝑀 (𝑧, 𝐴) = 0.
2
R2
Замечание 2.5. Множество 𝐴 ⊂ 𝐸 , замкнутое относительно квазишара 𝑀 ⊂ 𝐸 , может не удовлетворять условию (a1).
Доказательство.
Возьмем 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 : 𝑦 > 𝑥2 − 1, 𝑥 ∈ R},
𝐴 = {(0, 𝑦) ∈
: 𝑦 > 0}. Проекцией любой точки 𝑧 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴 является точка 0 = (0, 0).
Рассмотрим последовательность точек вида 𝑧𝑘 = ( 𝑘1 , 1), где 𝑘 ∈ N, и точку 𝑧0 = (0, 1). Тогда
‖𝑧𝑘 −0‖
lim 𝜇𝑀 (𝑧𝑘 ) = 𝜇𝑀 (𝑧0 ) = 0, ‖𝑧𝑘 ‖ > 1. Следовательно, 𝜇𝑀
(𝑧𝑘 −0) → ∞ при 𝑘 → ∞.
R2
𝑘→∞
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
3.
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
29
Вспомогательные результаты
Лемма 3.1. Пусть 𝑀 ⊂ 𝐸 – квазишар, 𝐴 ⊂ 𝐸 . Тогда
(i) 𝜚𝑀 (𝑥1 , 𝐴) − 𝜚𝑀 (𝑥2 , 𝐴) 6 𝜇𝑀 (𝑥1 − 𝑥2 ) ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐸 ;
(ii) для любого вектора 𝑥 ∈ 𝐸 такого, что 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) > 0, справедливо соотношение
𝑥 ̸∈ 𝐴 + 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) int 𝑀,
если дополнительно для числа 𝜎 > 0 выполнено включение 𝐵𝜎 (0) ⊂ 𝑀 (такое 𝜎 существует, т.к. 0 ∈ int 𝑀 ), то
(iii) функция 𝜚𝑀 (·, 𝐴) удовлетворяет условию Липшица на 𝐸 с константой 𝜎1 и
(iv) для любых положительных чисел 𝜀1 , 𝜀2 и векторов 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐸 таких, что
𝜀1
𝜀1 +2𝜀2
‖𝑥1 − 𝑥2 ‖ 6 𝜎𝜀2 , справедливо включение 𝑃𝑀
(𝑥1 , 𝐴) ⊂ 𝑃𝑀
(𝑥2 , 𝐴).
Доказательство. Утверждение (𝑖) следует из определения 𝑀 -расстояния и субадди-
тивности функции Минковского. Если 𝐵𝜎 (0) ⊂ 𝑀 , то 𝜇𝑀 (𝑥) 6 ‖𝑥‖
𝜎 для любого вектора
𝑥 ∈ 𝐸.
Докажем
утверждение
(𝑖𝑖).
Предположим
противное:
существует
точка
𝑎 ∈ (𝑥 − 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) int 𝑀 ) ∩ 𝐴. Тогда 𝜚𝑀𝑥−𝑎
∈
int
𝑀
.
Следовательно,
существует
(𝑥,𝐴)
число 𝑡 ∈ (0, 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴)) такое, что 𝑥−𝑎
∈
𝑀
.
Поэтому
𝑥 ∈ 𝐴 + 𝑡𝑀 и 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) 6 𝑡 < 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴).
𝑡
Противоречие.
Применяя утверждение (𝑖), получаем утверждение (𝑖𝑖𝑖).
Докажем утверждение (𝑖𝑣). Так как ±(𝑥2 − 𝑥1 ) ∈ 𝜀2 𝐵𝜎 (0) ⊂ 𝜀2 𝑀 , то справедливо неравенство max{𝜇𝑀 (𝑥2 − 𝑥1 ), 𝜇𝑀 (𝑥1 − 𝑥2 )} 6 𝜀2 . Отсюда и из утверждения (𝑖) следует, что
𝜀1
𝜚𝑀 (𝑥1 , 𝐴) 6 𝜚𝑀 (𝑥2 , 𝐴) + 𝜀2 . Поэтому для любого вектора 𝑎 ∈ 𝑃𝑀
(𝑥1 , 𝐴) справедливы
неравенства 𝜇𝑀 (𝑥2 − 𝑎) 6 𝜀2 + 𝜇𝑀 (𝑥1 − 𝑎) 6 𝜀2 + 𝜚𝑀 (𝑥1 , 𝐴) + 𝜀1 6 𝜚𝑀 (𝑥2 , 𝐴) + 𝜀1 + 2𝜀2 .
𝜀1 +2𝜀2
Следовательно, 𝑎 ∈ 𝑃𝑀
(𝑥2 , 𝐴).
Лемма 3.2. Если квазишар 𝑀 является надграфиком выпуклой коэрцитивной функции
𝑓 : 𝐸 → R, то для любой бесконечно малой последовательности положительных чисел
𝜀𝑘 и любой ограниченной последовательности векторов 𝑥𝑘 ∈ 𝐸 таких, что 𝑥𝑘 ∈ 𝜀𝑘 𝑀 для
любого 𝑘 ∈ N, справедливо соотношение lim
inf ‖𝑥𝑘 − 𝑦‖ = 0.
𝑘→∞ 𝑦∈𝑀 −
*𝑀
Доказательство. Обозначим 𝑀
= epi 𝑓 . Предположим противное: пусть существуют 𝜀 > 0, бесконечно малая последовательность положительных чисел 𝜀𝑘 и ограниченная
последовательность векторов 𝑥𝑘 ∈ 𝐸 × R такие, что 𝑥𝑘 ∈ 𝜀𝑘 𝑀 и ‖𝑥𝑘 − 𝑦‖ > 𝜀 для лю* 𝑀 . Векторы 𝑥 представим в виде 𝑥 = (𝑝 , 𝑞 ), где
бого 𝑘 ∈ N и для любого 𝑦 ∈ 𝑀 −
𝑘
𝑘
𝑘 𝑘
𝑝𝑘 ∈ 𝐸, 𝑞𝑘 ∈ R. Так как последовательность {𝑥𝑘 } ограничена и |𝑞𝑘 | ≤ ‖𝑥𝑘 ‖, то существует
некоторая константа 𝐶 такая, что 𝑞𝑘 6 𝐶 при всех 𝑘 ∈ N. Так как функция 𝑓 коэрцитивна,
* 𝑀 = {(0, 𝜆), 𝜆 > 0}. Получаем, что ‖(𝑝 , 𝑞 ) − (0, 𝜆)‖ > 𝜀 для любого 𝑘 ∈ N и
то 𝑀 −
𝑘 𝑘
𝜆 ∈ R, в частности для 𝜆 = 𝑞𝑘 . Следовательно, ‖𝑝𝑘 ‖ > 𝜀 для любого 𝑘 ∈ N.
Без ограничения общности считаем
(︁ )︁ последовательность {𝜀𝑘 } монотонной.
𝑥𝑘
Так как 𝜀𝑘 ∈ epi 𝑓 , то 𝑓 𝑝𝜀𝑘𝑘
≤ 𝜀𝑞𝑘𝑘 . Из того, что 𝑓 коэрцитивна, следует, что
(︁ )︁
lim ‖𝑝𝜀𝑘𝑘 ‖ 𝑓 𝑝𝜀𝑘𝑘 = +∞. С другой стороны, при всех 𝑘 ∈ N имеем
𝜆→+∞
𝜀𝑘
𝑓
‖𝑝𝑘 ‖
Противоречие.
(︂
𝑝𝑘
𝜀𝑘
)︂
≤
𝜀𝑘 𝑞 𝑘
𝑞𝑘
𝐶
=
≤ .
‖𝑝𝑘 ‖ 𝜀𝑘
‖𝑝𝑘 ‖
𝜀
Лемма 3.3. Пусть функция 𝛼 : 𝐸 → R∪{+∞} полунепрерывна снизу, функция 𝜇 : 𝐸 → R
выпукла, непрерывна, коэрцитивна, 𝜇(0) < 0, 𝑀 = epi 𝜇 и существует точка 𝑤 ∈ 𝐸 × R
такая, что 𝜚𝑀 (𝑤, epi 𝛼) > 0. Тогда множество epi 𝛼 является замкнутым относительно
квазишара 𝑀 .
30
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Высшая и прикладная математика
Доказательство.
Обозначим 𝐴 = epi 𝛼, 𝜀 = 𝜚𝑀 (𝑤, 𝐴). Предположим противное. Тогда
существует точка 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴 такая, что 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) = 0. Зафиксируем число 𝜀0 ∈ (0, 𝜀) и
произвольную бесконечно малую последовательность
чисел 𝜀𝑘 ∈ (0, 𝜀0 ). Тогда для любо⋂︀
го 𝑘 ∈ N множество 𝑋𝑘 = (𝑥 − 𝜀𝑘 𝑀 ) 𝐴 не пусто, а значит, содержит некоторую точку 𝑥𝑘 . Из параболичности множества 𝑀 и неравенства 𝜀0 < 𝜀 следует, что множество
𝑋0 = (𝑥 − 𝜀0 𝑀 ) ∖ (𝑤 − 𝜀 int 𝑀 ) ограничено. Так как 𝜀𝑘 ∈ (0, 𝜀0 ), то 𝑥 − 𝜀𝑘 𝑀 ⊂ 𝑥 − 𝜀0 𝑀 .
Поскольку 𝜀 = 𝜚𝑀 (𝑤, 𝐴) > 0, то 𝐴 ⊂ 𝐸 ∖ (𝑤 − 𝜀 int 𝑀 ). Поэтому 𝑥𝑘 ∈ 𝑋𝑘 ⊂ 𝑋0 для любого
𝑘 ∈ N. Следовательно, последовательность {𝑥𝑘 } ограничена.
Так как 𝑥−𝑥𝑘 ∈ 𝜀𝑘 𝑀 , то из леммы 3.2 следует, что lim
inf ‖𝑥−𝑥𝑘 −𝑦‖ = 0. Векторы
𝑘→∞ 𝑦∈𝑀 −
*𝑀
𝑥𝑘 и 𝑥 представим в виде 𝑥𝑘 = (𝑝𝑘 , 𝑞𝑘 ), 𝑥 = (𝑝, 𝑞), где 𝑝𝑘 , 𝑝 ∈ 𝐸 и 𝑞𝑘 , 𝑞 ∈ R. Так как множество
* 𝑀 = {(0, 𝜆) : 0 ∈ 𝐸, 𝜆 > 0}.
𝑀 является надграфиком коэрцитивной функции, то 𝑀 −
Тогда
(︂
)︂
lim
inf
𝑘→∞ 𝑦∈𝑀 −
*𝑀
‖𝑥 − 𝑥𝑘 − 𝑦‖ = lim
𝑘→∞
‖𝑝 − 𝑝𝑘 ‖ + inf |𝑞 − 𝑞𝑘 − 𝜆|
𝜆>0
= 0.
Отсюда получаем, что 𝑝𝑘 → 𝑝 при 𝑘 → ∞ и lim sup 𝑞𝑘 6 𝑞 . Из ограниченности последо𝑘→∞
вательности {𝑥𝑘 } следует ограниченность последовательности {𝑞𝑘 }. По теореме Больцано–
Вейерштрасса из последовательности {𝑞𝑘 } можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а значит, без ограничения общности можно считать, что 𝑞𝑘 → 𝑞 ′ при 𝑘 → ∞. Так
как 𝑥𝑘 = (𝑝𝑘 , 𝑞𝑘 ) ∈ 𝐴, 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̸∈ 𝐴, то 𝛼(𝑝𝑘 ) 6 𝑞𝑘 , 𝛼(𝑝) > 𝑞 . Используя полунепрерывность снизу функции 𝛼 и соотношения 𝑝𝑘 → 𝑝, 𝑞𝑘 → 𝑞 ′ при 𝑘 → ∞, получаем неравенство
𝛼(𝑝) 6 𝑞 ′ . Следовательно, 𝑞 ′ > 𝑞 . Это неравенство противоречит равенству lim sup 𝑞𝑘 6 𝑞 .
𝑘→∞
Замечание 3.1.
Условие существования точки 𝑤 ∈ 𝐸 × R такой, что 𝜚𝑀 (𝑤, epi 𝛼) > 0,
существенно в лемме 3.3.
Доказательство. Пусть, например, 𝐸 = R, 𝜇(𝑥) = 𝑥 −1, 𝛼(𝑥) = −𝑥
для любого 𝑥 ∈ R,
𝑀 = epi 𝜇. Тогда для любой точки 𝑤 ∈ 𝐸 × R =
выполнено равенство 𝜚𝑀 (𝑤, epi 𝛼) = 0
и множество epi 𝛼 не является замкнутым относительно квазишара 𝑀 .
2
4
R2
Лемма 3.4.
Пусть функция 𝛼 : 𝐸 → R удовлетворяет условию Липшица на любом
ограниченном подмножестве пространства 𝐸 , функция 𝜇 : 𝐸 → R выпукла, непрерывна, коэрцитивна, 𝜇(0) < 0, 𝑀 = epi 𝜇 и существует точка 𝑤 ∈ 𝐸 × R такая, что
𝜚𝑀 (𝑤, epi 𝛼) > 0. Тогда множество epi 𝛼 удовлетворяет условию (a1).
Доказательство.
Предположим, что множество 𝐴 не удовлетворяет условию (a1).
Тогда существуют число 𝑑 > 0, а также последовательности {𝑥𝑘 } ⊂ (𝐸 × R) ∖ 𝐴 и {𝑎𝑘 } ⊂ 𝐴
такие, что ‖𝑎𝑘 ‖ ≤ 𝑑 и 𝑎𝑘 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥𝑘 , 𝐴) для любого 𝑘 ∈ N и
‖𝑥𝑘 − 𝑎𝑘 ‖
= +∞.
𝑘→∞ 𝜇𝑀 (𝑥𝑘 − 𝑎𝑘 )
lim
(2)
Покажем, что последовательность {𝑥𝑘 } можно считать ограниченной. Если это не
так, то заменим {𝑥𝑘 } последовательностью {𝑥’𝑘 }, где 𝑥’𝑘 = 𝑥𝑘 при ‖𝑥𝑘 − 𝑎𝑘 ‖ ≤ 1
−𝑎𝑘
и 𝑥′𝑘 = 𝑎𝑘 + ‖𝑥𝑥𝑘𝑘 −𝑎
при ‖𝑥𝑘 − 𝑎𝑘 ‖ > 1. Тогда 𝑎𝑘 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥′𝑘 , 𝐴), ‖𝑥’𝑘 − 𝑎𝑘 ‖ ≤ 1 и
𝑘‖
‖𝑥′𝑘 −𝑎𝑘 ‖
𝜇𝑀 (𝑥′𝑘 −𝑎𝑘 )
‖𝑥𝑘 −𝑎𝑘 ‖
= 𝜇𝑀
(𝑥𝑘 −𝑎𝑘 ) при всех 𝑘 ∈ N. Используя ограниченность последовательности
{𝑎𝑘 }, получаем ограниченность последовательности {𝑥’𝑘 }.
Векторы 𝑥𝑘 и 𝑎𝑘 представим в виде 𝑥𝑘 = (𝑝𝑘 , 𝑞𝑘 ), 𝑎𝑘 = (𝑟𝑘 , 𝑠𝑘 ), где 𝑝𝑘 , 𝑟𝑘 ∈ 𝐸 и 𝑞𝑘 , 𝑠𝑘 ∈ R.
Для любого 𝑘 ∈ N обозначим 𝜀𝑘 = 𝜇𝑀 (𝑥𝑘 − 𝑎𝑘 ). В силу леммы 3.3 множество 𝐴 = epi 𝛼
замкнуто относительно квазишара 𝑀 , следовательно, 𝜀𝑘 > 0 для любого 𝑘 ∈ N.
Из того, что 𝑎𝑘 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥𝑘 , 𝐴), следует, что 𝑎𝑘 ∈ 𝜕𝐴, а значит, 𝛼(𝑟𝑘 ) = 𝑠𝑘 .
По определению множества 𝑀 для любого 𝜎 > 0 и для любого 𝛿 ∈ [0, 1)
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
31
(︁
(︁
)︁
)︁
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
выполнено включение
(1
−
𝛿),
𝜇
(1
−
𝛿)
+
𝜎
∈ int 𝑀 . Следовательно,
𝜀𝑘
)︁
(︁
(︁
)︁ 𝜀𝑘
𝑘
(1 − 𝛿) + 𝜎𝜀𝑘 ∈ 𝜀𝑘 𝑀 . Так как (𝑥𝑘 − 𝜀𝑘 int 𝑀 ) ∩ 𝐴 = ∅, то
(𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 )(1 − 𝛿), 𝜀𝑘 𝜇 𝑝𝑘𝜀−𝑟
𝑘
(︁
(︁
)︁
)︁
𝑘
(1 − 𝛿)𝑟𝑘 + 𝛿𝑝𝑘 , 𝑞𝑘 − 𝜀𝑘 𝜇 (1 − 𝛿) 𝑝𝑘𝜀−𝑟
−
𝜎𝜀
/ 𝐴. Переходя к пределу при 𝜎 → 0, полу𝑘 ∈
𝑘
чаем неравенство
(︂
)︂
𝑝𝑘 − 𝑟𝑘
𝛼((1 − 𝛿)𝑟𝑘 + 𝛿𝑝𝑘 ) > 𝑞𝑘 − 𝜀𝑘 𝜇 (1 − 𝛿)
.
(3)
𝜀𝑘
(︁
)︁
(︁
)︁
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
𝑘
Из выпуклости функции 𝜇 следует неравенство 𝜇 (1 − 𝛿) 𝑝𝑘𝜀−𝑟
≤
(1
−
𝛿)𝜇
+ 𝛿𝜇(0).
𝜀𝑘
𝑘
Подставляя это в неравенство (3), получаем
)︂
(︂
𝑝𝑘 − 𝑟𝑘
+ 𝜀𝑘 𝛿𝜇(0) ∀ 𝑘 ∈ N.
(4)
𝑞𝑘 − 𝛼((1 − 𝛿)𝑟𝑘 + 𝛿𝑝𝑘 ) ≤ 𝜀𝑘 (1 − 𝛿)𝜇
𝜀𝑘
(︁
)︁
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
𝑘)
𝑘
Из того, что 𝑥𝑘𝜀−𝑎
∈
𝜕𝑀,
следует,
что
𝜇
= 𝑞𝑘 −𝛼(𝑟
. Из липшицевости функ𝜀𝑘
𝜀𝑘
𝑘
ции 𝛼 на любом ограниченом множестве и ограниченности 𝑎𝑘 следует, что существует
некоторая константа 𝐿 такая, что |𝛼(𝑟𝑘 ) − 𝛼((1 − 𝛿)𝑟𝑘 + 𝛿𝑝𝑘 )| ≤ 𝐿𝛿‖𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 ‖. Поэтому
−𝛼((1 − 𝛿)𝑟𝑘 +(︁𝛿𝑝𝑘 ) >)︁ −𝐿𝛿‖𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 ‖ − 𝛼(𝑟𝑘 ). Подставляя это в неравенство
(︁
)︁ (4), получаем,
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
что 𝜀𝑘 (1 − 𝛿)𝜇
+ 𝜀𝑘 𝛿𝜇(0) > 𝑞𝑘 − 𝛼(𝑟𝑘 ) − 𝐿𝛿‖𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 ‖ = 𝜀𝑘 𝜇
− 𝐿𝛿‖𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 ‖.
𝜀𝑘
𝜀𝑘
Следовательно,
(︂
)︂
𝑝𝑘 − 𝑟𝑘
‖𝑝𝑘 − 𝑟𝑘 ‖
∀ 𝑘 ∈ N.
𝜇𝑀
≤ 𝜇(0) + 𝐿
𝜀𝑘
𝜀𝑘
Отсюда и из коэрцитивности функции 𝜇 следует существование (︁числа )︁𝐶 ∈ R такого,
𝑘‖
𝑘)
𝑘
что ‖𝑝𝑘𝜀−𝑟
≤ 𝐶 при всех 𝑘 ∈ N. Следовательно, 𝑞𝑘 −𝛼(𝑟
= 𝜇 𝑝𝑘𝜀−𝑟
≤ 𝐶𝐿 + 𝜇(0)
𝜀𝑘
𝑘
𝑘
при всех 𝑘 ∈ N. С другой стороны, выпуклая, непрерывная, коэрцитивная
(︁
)︁ функция
𝑝𝑘 −𝑟𝑘
𝜇 ограничена снизу. Поэтому существует число 𝐶1 > 0 такое, что 𝜇
> −𝐶1 .
𝜀𝑘
Тогда по определению нормы в пространстве 𝐸 × R для любого 𝑘 ∈ N получаем
‖𝑝𝑘 −𝑟𝑘 ‖
‖𝑥𝑘 −𝑎𝑘 ‖
𝑘 )|
+ |𝑞𝑘 −𝛼(𝑟
≤ 𝐶 + 𝐶1 + 𝐶𝐿 + 𝜇(0), что противоречит (2).
𝜀𝑘
𝜀𝑘
𝜇𝑀 (𝑥𝑘 −𝑎𝑘 ) =
Лемма 3.5. Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квазишар 𝑀 параболичен и*ограниченно
равномерно выпукл. Пусть множество 𝐷 ⊂ 𝐸 выпукло, замкнуто и 𝑟𝑀 − (−𝐷) ̸= ∅.
Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 замкнуто и 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 , где 0 < 𝑟 < 𝑅 и 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) < 𝑅 − 𝑟.
Пусть даны последовательности {𝑑𝑘 } ⊂ 𝐷 и {𝑎𝑘 } ⊂ 𝐴 такие, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 −𝑎𝑘 ) → 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴)
при 𝑘 → ∞. Тогда последовательности {𝑑𝑘 } и {𝑎𝑘 } ограничены.
Доказательство. Обозначим 𝜚
= 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴), 𝜀0 = 12 (𝑅 − 𝑟 − 𝜚0 ) и 𝜀𝑘 = 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ) − 𝜚0 .
Поскольку 𝜀0 > 0 и 𝜀𝑘 → 0 при 𝑘 → ∞, то без ограничения общности считаем 𝜀𝑘 ≤ 𝜀0
для
⋂︀ любого 𝑘 ∈ N. Так как 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 , то существует вектор 𝑏 ∈ *𝐸 такой, что
𝐴 (−𝑅 int 𝑀 + 𝑏) = ∅, а значит, −𝑎𝑘 ∈ 𝐸 ∖ (𝑅 int 𝑀 − 𝑏). Так как 𝑟𝑀 − (−𝐷) ̸= ∅,
то существует вектор 𝑐 ∈ 𝐸 такой, что −𝐷 ⊂ 𝑟𝑀 − 𝑐, а значит, −𝑑𝑘 ∈ 𝑟𝑀 − 𝑐.
Поскольку
𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ) =
(︁
)︁ 𝜚0 + 𝜀𝑘 ≤ 𝜚0 + 𝜀0 , то 𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ∈ (𝜚0 + 𝜀0 )𝑀 . Следовательно,
−𝑑𝑘 ∈ 𝐸 ∖ (𝑅 int 𝑀 − 𝑏) − (𝜚0 + 𝜀0 )𝑀 , а −𝑎𝑘 ∈ 𝑟𝑀 − 𝑐 + (𝜚0 + 𝜀0 )𝑀 . Тогда для любого
𝑘 ∈ N выполнены включения
(︁
)︁
−𝑑𝑘 ∈ (𝑟𝑀 − 𝑐) ∖ (𝑅 − 𝜚0 − 𝜀0 ) int 𝑀 − 𝑏 ,
(︁
)︁
−𝑎𝑘 ∈ (𝑟 + 𝜚0 + 𝜀0 )𝑀 − 𝑐 ∖ (𝑅 int 𝑀 − 𝑏).
0
Учитывая, что 𝑅 > 𝑟 + 𝜚0 + 𝜀0 , из параболичности 𝑀 получаем, что последовательности
{𝑑𝑘 } и {𝑎𝑘 } ограничены.
Лемма 3.6. Для любых множеств 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐸 выполнено неравенство
𝜚𝑀 (𝐴, 𝐵) ≤ sup inf 𝜇𝑀 (𝑎 − 𝑐) + 𝜚𝑀 (𝐶, 𝐵).
𝑐∈𝐶 𝑎∈𝐴
32
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Высшая и прикладная математика
Доказательство.
Из определения 𝑀 -расстояния между множествами, свойств инфимума и субаддитивности функции Минковского получаем
(︁
)︁
𝜚𝑀 (𝐴, 𝐵) = inf 𝜇𝑀 (𝑎 − 𝑏) ≤ inf 𝜇𝑀 (𝑎 − 𝑐0 ) + 𝜇𝑀 (𝑐0 − 𝑏) ≤
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
≤ sup inf
𝑐∈𝐶
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
𝑐0 ∈𝐶
(︁
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
𝑐0 ∈𝐶
)︁
𝜇𝑀 (𝑎 − 𝑐) + 𝜇𝑀 (𝑐0 − 𝑏) = sup inf 𝜇𝑀 (𝑎 − 𝑐) + 𝜚𝑀 (𝐶, 𝐵).
𝑐∈𝐶 𝑎∈𝐴
Теорема 3.1.
(О чебышевском слое, [6]). Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квазишар
𝑀 параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 замкнуто
и слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 . Пусть задана точка 𝑥 ∈ 𝐸 такая, что
0 < 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) < 𝑅. Тогда множество 𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴) одноэлементно.
Теорема 3.2. (О ближайших точках, [6]). Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квази-
шар 𝑀 параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество 𝐷 ⊂ 𝐸 сильно
выпукло относительно квазишара −𝑟𝑀 , a множество 𝐴 ⊂ 𝐸 замкнуто и слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 , где 0 < 𝑟 < 𝑅. Пусть 0 < 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) < 𝑅 − 𝑟. Тогда
min 𝜇𝑀 (𝑑 − 𝑎) достигается в единственной паре точек.
𝑑∈𝐷, 𝑎∈𝐴
Лемма 3.7.
[6]. Пусть в банаховом пространстве 𝐸 заданы ограниченно равномерно
выпуклый квазишар 𝑀 и ограниченные последовательности {𝑥𝑘 }, {𝑦𝑘 } такие, что
lim sup 𝜇𝑀 (𝑥𝑘 ) 6 𝜇1 ,
𝑘→∞
где 𝜇1 > 0 и 𝜇2 > 0. Тогда
lim sup 𝜇𝑀 (𝑦𝑘 ) 6 𝜇2 ,
𝑘→∞
lim inf 𝜇𝑀 (𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 ) > 𝜇1 + 𝜇2 ,
𝑘→∞
⃦
⃦
⃦ 𝑥𝑘
𝑦𝑘 ⃦
⃦
− ⃦
= 0.
lim
𝑘→∞ ⃦ 𝜇1
𝜇2 ⃦
Лемма 3.8. Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квазишар 𝑀 параболичен и ограниченно
равномерно выпукл. Пусть множество 𝐷 ⊂ 𝐸 сильно выпукло относительно квазишара
* (−𝐷) ̸= ∅. Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 является 𝑀 -замкнутым, удовлетво−𝑟𝑀 и 𝑟𝑀 −
ряет условию (a1), слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 и 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 , где
0 < 𝑟 < 𝑅. Пусть
inf ‖𝑎 − 𝑑‖ > 0.
(5)
𝑎∈𝐴
𝑑∈𝐷
Тогда 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) > 0.
Доказательство. Если 𝜚
> 𝑅−𝑟
2 , то требуемое неравенство доказано. Пусть
𝑅−𝑟
𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) < 2 . По определению 𝑀 -расстояния существует последовательность {𝑑𝑛 } ⊂ 𝐷
такая, что 𝜚𝑀 (𝑑𝑛 , 𝐴) → 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) при 𝑛 → ∞. Поскольку 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) < 𝑅−𝑟
2 , то без ограни𝑅−𝑟
чения общности считаем, что 𝜚𝑀 (𝑑𝑛 , 𝐴) < 2 для любого 𝑛 ∈ N. Из неравенства (5) и 𝑀 замкнутости 𝐴 следует, что 𝜚𝑀 (𝑑𝑛 , 𝐴) > 0. Тогда по теореме 3.1 для любого 𝑛 ∈ N найдется
точка 𝑎𝑛 ∈ 𝐴 такая, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 ) = 𝜚𝑀 (𝑑𝑛 , 𝐴). Из леммы 3.5 следует ограниченность
последовательности {𝑎𝑛 }. Поэтому в силу того, что множество 𝐴 удовлетворяет условию
𝑛‖
(a1), найдется число 𝐶 > 0 такое, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 ) > ‖𝑑𝑛 −𝑎
. Тогда 𝜇𝑀 (𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 ) > 𝐶𝜀 , где
𝐶
𝜀 = inf ‖𝑑 − 𝑎‖. В силу неравенства (5) имеем 𝜀 > 0. Следовательно, 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) > 𝐶𝜀 > 0. 𝑀 (𝐷, 𝐴)
𝑑∈𝐷
𝑎∈𝐴
Лемма 3.9. Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квазишар 𝑀 параболичен и ограниченно
равномерно выпукл. Пусть множество 𝐷 ⊂ 𝐸 сильно выпукло относительно квазишара
* (−𝐷) ̸= ∅. Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 является 𝑀 -замкнутым, удовлетво−𝑟𝑀 и 𝑟𝑀 −
ряет условию (a1), слабо выпукло относительно
квазишара 𝑅𝑀 и 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 ,⋂︀где
⋂︀
0 < 𝑟 < 𝑅. Пусть 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) = 0, 𝐴 int 𝐷 = ∅ и int 𝐷 ̸= ∅. Тогда множество 𝐴 𝐷
одноэлементно.
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
33
Доказательство.
Без ограничения общности считаем, что 0 ∈ int 𝐷. Поэтому существует 𝜀 > 0 такое, что 𝐵𝜀 (0) ⊂ int 𝐷. Рассмотрим множества 𝐷𝑘 = (1 − 𝑘1 )𝐷.
* (−𝐷) ̸= ∅, то существует вектор 𝑤 ∈ 𝐸 такой, что −𝐷 ⊂ 𝑟𝑀 − 𝑤.
Так как 𝑟𝑀 −
Следовательно, 𝜇𝑀 (−𝑑) ≤ 𝜇𝑀 (𝑤) + 𝑟 для любого 𝑑 ∈ 𝐷. Обозначим 𝐶0 = 𝜇𝑀 (𝑤). Тогда
𝜇𝑀 (−𝑑) ≤ 𝐶0 + 𝑟
(6)
∀ 𝑑 ∈ 𝐷.
Из выпуклости⋂︀𝐷 следует, что 𝐷𝑘 + 𝑘1 𝐷 = 𝐷. Тогда 𝐷𝑘 + 𝑘1 𝐵𝜀 (0) ⊂ int 𝐷. Получаем, что
(𝐷𝑘 + 𝑘1 𝐵𝜀 (0)) 𝐴 = ∅. Следовательно, для любых 𝑑 ∈ 𝐷𝑘 , 𝑎 ∈ 𝐴 имеем 𝑎 − 𝑑 ∈
/ 𝑘1 𝐵𝜀 (0).
Поэтому
𝜀
inf ‖𝑎 − 𝑑‖ >
∀ 𝑘 ∈ N.
(7)
𝑎∈𝐴,
𝑘
𝑑∈𝐷
𝑘
Из 𝑀 -замкнутости 𝐴 следует, что
𝜚𝑀 (𝑑, 𝐴) > 0 ∀ 𝑑 ∈ 𝐷𝑘 ,
Отсюда 𝜚𝑀 (𝑑, 𝑎) > 0 для любых 𝑎 ∈ 𝐴,
(8)
∀ 𝑘 ∈ N.
𝑘 ∈ N. Из леммы 3.6 получаем, что
𝑑 ∈ 𝐷𝑘 ,
𝜚𝑀 (𝐷𝑘 , 𝐴) ≤ sup ′inf 𝜇𝑀 (𝑑′ − 𝑑) + 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) = sup ′inf 𝜇𝑀 (𝑑′ − 𝑑).
𝑑∈𝐷 𝑑 ∈𝐷𝑘
𝑑∈𝐷 𝑑 ∈𝐷𝑘
(9)
Для любого 𝑑 ∈ 𝐷 выберем 𝑑𝑘 = (1− 𝑘1 )𝑑. Тогда, учитывая положительную однородность
функции Минковского и неравенство (6), получаем, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 −𝑑) = 𝑘1 𝜇𝑀 (−𝑑) ≤ 𝑘1 (𝐶0 +𝑟).
Следовательно, для любого 𝑑 ∈ 𝐷 выполнено неравенство ′inf 𝜇𝑀 (𝑑′ − 𝑑) ≤ 𝐶0𝑘+𝑟 . Отсюда
𝑑 ∈𝐷𝑘
следует, что sup ′inf 𝜇𝑀
𝑑∈𝐷 𝑑 ∈𝐷𝑘
(𝑑′
− 𝑑) ≤
𝐶0 +𝑟
𝑘
→ 0 при 𝑘 → ∞. Обозначим 𝜚𝑘 = 𝜚𝑀 (𝐷𝑘 , 𝐴).
Используя (9), получаем, что
(10)
lim 𝜚𝑘 = 0.
𝑘→∞
Поэтому без ограничения общности считаем, что
𝜚𝑘 < 𝑅 − 𝑟
∀ 𝑘 ∈ N.
С другой стороны, в силу неравенства (7) из леммы 3.8 следует, что 𝜚𝑘 = 𝜚𝑀 (𝐷𝑘 , 𝐴) > 0
для любого 𝑘 ∈ N. Поэтому по теореме 3.2 о ближайших точках для любого 𝑘 ∈ N
существуют 𝑎𝑘 ∈ 𝐴, 𝑑𝑘 ∈ 𝐷𝑘 такие, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ) = 𝜚𝑀 (𝐷𝑘 , 𝐴) = 𝜚𝑘 . Тогда
𝜚𝑘 =(︁ 𝜚𝑀 (𝑑𝑘 , 𝐴). Так как множество
𝐴 слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 , то
)︁
⋂︀
𝑑𝑘 −𝑎𝑘
𝐴
𝑎𝑘 + 𝜚𝑘 𝑅 − 𝑅 int 𝑀 = ∅ для любого 𝑘 ∈ N. Следовательно,
−𝑎𝑛 + 𝑎𝑘 +
𝑑𝑘 − 𝑎𝑘
𝑅∈
/ 𝑅 int 𝑀
𝜚𝑘
(11)
∀ 𝑛, 𝑘 ∈ N.
𝑘
𝑟 − 𝑟𝑀 .
Так как 𝐷 сильно выпукло относительно квазишара −𝑟𝑀 , то 𝐷𝑘 ⊂ 𝑑𝑘 − 𝑎𝑘𝜚−𝑑
𝑘
Из определения 𝐷𝑘 следует, что для любого 𝑛 6 𝑘 выполнено включение 𝐷𝑛 ⊂ 𝐷𝑘 .
Следовательно,
𝑎𝑘 − 𝑑𝑘
𝑑𝑛 ∈ 𝐷𝑛 ⊂ 𝐷𝑘 ⊂ 𝑑𝑘 −
𝑟 − 𝑟𝑀 ∀ 𝑛 ≤ 𝑘.
(12)
𝜚𝑘
При всех 𝑘, 𝑛 ∈ N обозначим
𝑥𝑛𝑘 = −𝑑𝑛 + 𝑑𝑘 −
𝑟
(𝑎𝑘 − 𝑑𝑘 ),
𝜚𝑘
𝑦𝑛𝑘 = 𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 +
𝑅 − 𝑟 − 𝜚𝑘
(𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ).
𝜚𝑘
(13)
Тогда
𝜇𝑀 (𝑦𝑛𝑘 ) ≤ 𝜇𝑀 (𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 ) +
𝑅 − 𝑟 − 𝜚𝑘
𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ) = 𝜚𝑛 + 𝑅 − 𝑟 − 𝜚𝑘
𝜚𝑘
∀ 𝑘 > 𝑛.
(14)
34
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Высшая и прикладная математика
Из соотношений (11) – (13) следует, что
𝜇𝑀 (𝑥𝑛𝑘 + 𝑦𝑛𝑘 ) > 𝑅,
𝜇𝑀 (𝑥𝑛𝑘 ) ≤ 𝑟
(15)
∀ 𝑘 > 𝑛.
Из леммы 3.5 следует, что существует константа 𝐶𝑑 > 0 такая, что ‖𝑑𝑘 ‖ ≤ 𝐶𝑑 для любого
𝑘 ∈ N. Так как 𝜚𝑀 (𝑑𝑘 , 𝐴) = 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ), то 𝑎𝑘 ∈ 𝑃𝑀 (𝑑𝑘 , 𝐴). Из того, что множество 𝐴
удовлетворяет условию (a1), получаем, что существует константа 𝐶 > 0 такая, что
‖𝑎𝑘 − 𝑑𝑘 ‖ ≤ 𝐶𝜚𝑘
(16)
∀ 𝑘 ∈ N.
Тогда
‖𝑥𝑛𝑘 ‖ ≤ 2𝐶𝑑 + 𝑟𝐶,
‖𝑦𝑛𝑘 ‖ ≤ 𝐶𝜚𝑛 + 𝐶(𝑅 − 𝑟) ≤ 2(𝑅 − 𝑟)𝐶
∀ 𝑘 > 𝑛.
Применяя лемму 3.7 и используя неравенства (14), (15), получаем, что
⃦
⃦
⃦ 𝑥𝑛𝑘
𝑦𝑛𝑘 ⃦
⃦
⃦ = 0,
lim
−
𝑘,𝑛→∞ ⃦ 𝑟
𝑅 − 𝑟⃦
то есть согласно (13) имеем
‖𝑅(𝑑𝑘 − 𝑑𝑛 ) + 𝑟(𝑎𝑛 − 𝑎𝑘 )‖
= 0.
𝑘,𝑛→∞
𝑟(𝑅 − 𝑟)
(17)
lim ‖𝑎𝑘 − 𝑑𝑘 ‖ = 0.
(18)
lim
Из (10) и (16) следует, что
𝑘→∞
Тогда в силу (17) имеем ‖𝑑𝑘 − 𝑑𝑛 ‖ → 0 при 𝑘, 𝑛 → ∞, то есть последовательность {𝑑𝑘 }
фундаментальна, а значит, сходится к некоторому 𝑑0 ∈ 𝐸 . Из (18) следует, что 𝑎𝑘 → 𝑑0 при
𝑘 → ∞. Отсюда и из замкнутости множеств 𝐴 и 𝐷 следует, что 𝑑0 ∈ 𝐴 ∩ 𝐷. Докажем, что
множество 𝐴∩𝐷 не содержит других элементов. Предположим, что 𝑑′0 ∈ 𝐴∩𝐷. Рассмотрим
последовательность
{︂
𝑑0 , 𝑘 четно,
𝑑𝑘 =
𝑑′0 , 𝑘 нечетно.
Так как в силу доказанного последовательность {𝑑𝑘 } сходится, то 𝑑0 = 𝑑′0 .
Лемма 3.10.
Пусть пространство 𝐸 банахово, квазишар 𝑀 параболичен и ограниченно
равномерно выпукл; множество 𝐴 ⊂ 𝐸 замкнуто и слабо выпукло с константой 𝑅 > 0 и
существует точка 𝑥0 ∈ 𝐸 такая, что 𝜚𝑀 (𝑥0 , 𝐴) > 0. Тогда
𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸.
Доказательство.
Из пункта (iii) леммы 3.1 следует, что функция 𝜚𝑀 (·, 𝐴) непрерывна
на 𝐸 . Так как 𝜚𝑀 (𝑥0 , 𝐴) > 0 и 𝜚𝑀 (𝑎, 𝐴) = 0, где 𝑎 ∈ 𝐴, то существует точка 𝑥 ∈ 𝐸
такая, что 0 < 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) < 𝑅. Следовательно, по теореме 3.1 существует 𝑎 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴).
𝑅
Полагая 𝑦 = 𝑎+ 𝜇𝑀 (𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑎), в силу слабой выпуклости множества 𝐴 получаем равенство
𝜚𝑀 (𝑦, 𝐴) = 𝑅. Отсюда согласно лемме 3.1(ii) имеем 𝑦 ̸∈ 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 .
4.
Основные результаты
Теорема 4.1. Пусть 𝑀 – квазишар в банаховом пространстве 𝐸 , множество 𝐶 ⊂ 𝐸
сильно выпукло относительно квазишара 𝑟𝑀 , множество 𝐴 ⊂ 𝐸 слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 и 0 < 𝑟 < 𝑅. Тогда множество 𝐴 + 𝐶 слабо выпукло относительно
квазишара (𝑅 − 𝑟)𝑀 .
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
35
Доказательство.
Пусть 𝑦 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥, 𝐴 + 𝐶). Тогда 𝑦 = 𝑎 + 𝑐, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐶 . При
этом 𝑎 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥 − 𝑐, 𝐴), 𝑐 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥 − 𝑎, 𝐶). Используя то, что множество 𝐴 слабо выпукло
относительно квазишара 𝑅𝑀 , а множество 𝐶 сильно выпукло относительно квазишара
𝑟𝑀 , получаем включения
)︂
⋂︁ (︂
𝑥−𝑦
𝑥−𝑦
𝑎+𝑅
𝐶 − 𝑐 ⊂ 𝑟𝑀 − 𝑟
,
𝐴
− 𝑅 int 𝑀 = ∅.
𝜇𝑀 (𝑥 − 𝑦)
𝜇𝑀 (𝑥 − 𝑦)
Отсюда следует, что
⋂︁ (︂
𝑦 + (𝑅 − 𝑟)
(𝐴 + 𝐶)
𝑥−𝑦
− (𝑅 − 𝑟) int 𝑀
𝜇𝑀 (𝑥 − 𝑦)
)︂
= ∅.
Теорема 4.2. Пусть в банаховом пространстве 𝐸 квазишар 𝑀 параболичен и ограниченно
равномерно выпукл. Пусть множество 𝐶 ⊂ 𝐸 сильно выпукло относительно квазишара
* 𝐶 ̸= ∅ и int 𝐶 ̸= ∅. Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 является 𝑀 -замкнутым, удовле𝑟𝑀 , 𝑟𝑀 −
творяет условию (a1) и слабо выпукло относительно квазишара 𝑅𝑀 , где 0 < 𝑟 < 𝑅. Тогда
множество 𝐴 + 𝐶 является 𝑀 -замкнутым и слабо выпуклым относительно квазишара
(𝑅 − 𝑟)𝑀 . Если квазишар 𝑀 является параболичным в усиленном смысле, то множество
𝐴 + 𝐶 удовлетворяет условию (a1).
Доказательство.
В силу теоремы 4.1 множество 𝐴 + 𝐶 слабо выпукло относительно
квазишара (𝑅 − 𝑟)𝑀 . Покажем, что множество 𝐴 + 𝐶 является 𝑀 -замкнутым. Если 𝐴 = 𝐸 ,
то утверждение теоремы тривиально. Пусть теперь 𝐴 ̸= 𝐸 . Тогда из 𝑀 -замкнутости 𝐴
следует, что для любой точки 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ 𝐴 выполнено 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴) > 0. Следовательно, по лемме
3.10 имеем 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 . Предположим, что существует точка 𝑥 ∈ 𝐸 ∖ (𝐴
⋂︀ + 𝐶) такая,
что 𝜚𝑀 (𝑥, 𝐴 + 𝐶) = 0. Определим 𝐷 = 𝑥 − 𝐶 . Тогда 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) = 0 и 𝐷 𝐴 = ∅. Это
противоречит лемме 3.9. Следовательно, множество 𝐴 + 𝐶 является 𝑀 -замкнутым.
Пусть теперь квазишар 𝑀 является параболичным в усиленном смысле. Предположим,
что множество 𝐴+𝐶 не удовлетворяет условию (a1). Тогда существуют последовательность
{𝑥𝑛 } ⊂ 𝐸∖(𝐴+𝐶) и ограниченная последовательность {𝑓𝑛 }, где 𝑓𝑛 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥𝑛 , 𝐴+𝐶) ∀ 𝑛 ∈ N
такие, что
‖𝑥𝑛 − 𝑓𝑛 ‖
lim
= +∞.
(19)
𝑛→∞ 𝜇𝑀 (𝑥𝑛 − 𝑓𝑛 )
Так как 𝑓𝑛 ∈ 𝐴 + 𝐶 , то существуют последовательности {𝑎𝑛 } ⊂ 𝐴, {𝑐𝑛 } ⊂ 𝐶 такие, что
𝑓𝑛 = 𝑎𝑛 +𝑐𝑛 ∀ 𝑛 ∈ N. Из ограниченности последовательности {𝑓𝑛 } следует, что существует
константа 𝜚0 > 0 такая, что
𝑎𝑛 + 𝑐𝑛 ∈ 𝜚0 𝐵1 (0) ∀ 𝑛 ∈ N.
(20)
* 𝐶 ̸= ∅, то существует вектор 𝑐 ∈ 𝐸 такой, что 𝑐 ∈ 𝑐 + 𝑟𝑀
Поскольку {𝑐𝑛 } ⊂ 𝐶 и 𝑟𝑀 −
𝑛
для любого 𝑛 ∈ N. Отсюда и из включения (20) получаем, что
𝑎𝑛 ∈ 𝜚0 𝐵1 (0) − 𝑐 − 𝑟𝑀
∀ 𝑛 ∈ N.
(21)
Так как {𝑎𝑛 } ⊂ 𝐴 и 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 , то существует вектор 𝑎 ∈ 𝐸 такой, что 𝑎𝑛 ∈ 𝐸 ∖ (𝑎 − 𝑅 int 𝑀 ) для любого 𝑛 ∈ N. Тогда согласно (21) имеем
𝑎𝑛 ∈ (𝜚0 𝐵1 (0) − 𝑐 − 𝑟𝑀 ) ∖ (𝑎 − 𝑅 int 𝑀 ) для любого 𝑛 ∈ N. Так как множество 𝑀 параболично в усиленном смысле, то последовательность {𝑎𝑛 } ограничена.
Поскольку
𝜇𝑀 (𝑥𝑛 −𝑎𝑛 −𝑐𝑛 ) = 𝜚𝑀 (𝑥𝑛 , 𝐴+𝐶) = inf
𝑎∈𝐴,𝑐∈𝐶
𝜇𝑀 (𝑥𝑛 −𝑐−𝑎) = inf 𝜇𝑀 (𝑥𝑛 −𝑐𝑛 −𝑎) = 𝜚𝑀 (𝑥𝑛 −𝑐𝑛 , 𝐴),
𝑎∈𝐴
36
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Высшая и прикладная математика
то 𝑎𝑛 ∈ 𝑃𝑀 (𝑥𝑛 − 𝑐𝑛 , 𝐴). Из того, что множество 𝐴 удовлетворяет условию (a1), получаем,
что существует константа 𝐿 > 0 такая, что
‖𝑥𝑛 − 𝑐𝑛 − 𝑎𝑛 ‖
≤ 𝐿 ∀ 𝑛 ∈ N,
𝜇𝑀 (𝑥𝑛 − 𝑐𝑛 − 𝑎𝑛 )
что противоречит соотношению (19).
Замечание 4.1. В теореме 4.2 условие 𝑀 -замкнутости множества 𝐴 существенно.
Доказательство. Пусть функция 𝑚 : R → R определена формулой 𝑚(𝑥) = 𝑥 − 1, а
2
множество 𝑀 = epi 𝑚. Пусть задана функция 𝛼 : R → R такая, что
{︂
𝛼(𝑥) =
− 𝑥1 , 𝑥 > 0
−∞, 𝑥 ≤ 0.
{︀
}︀
Множество 𝐴 = hypo 𝛼 (см. (1)), а множество 𝐶 = (𝑥, 𝑦) ∈ R × R : 𝑥 ∈ [−1, 1] , 𝑦 > 𝑥2 .
Тогда множество 𝐴 выпукло, а значит, согласно лемме 3.2 из работы [6], слабо выпукло относительно квазишара 2𝑀 . Множество 𝐴 тривиально удовлетворяет условию (a1).
* 𝐶 ̸= ∅ и int 𝐶 ̸= ∅. Однако
Множество 𝐶 сильно выпукло относительно квазишара 𝑀 , 𝑀 −
(−1, 0) ∈ 𝐴 + 𝐶 , но (−1, 0) ∈
/ 𝐴 + 𝐶 . Поэтому множество 𝐴 + 𝐶 не замкнуто и тем более не
является 𝑀 -замкнутым.
Следующая лемма показывает, что если в теореме 4.2 множества 𝐴, 𝐶, 𝑀 являются надграфиками функций, заданных в конечномерном пространстве, то для замкнутости суммы
𝐴 + 𝐶 условие (a1) не является существенным. Является ли это условие существенным в
случае, когда множества 𝐴, 𝐶, 𝑀 являются надграфиками функций, заданных в бесконечномерном банаховом (или гильбертовом) пространстве – открытый вопрос.
Лемма 4.1. Пусть в пространстве 𝐸 = R
квазишар 𝑀 является надграфиком коэрцитивной функции 𝑚 :
→ R. Пусть множество 𝐶 ⊂ 𝐸 является надграфиком
выпуклой полунепрерывной снизу функции 𝛾 : R𝑛−1 → R и сильно выпукло относительно
* 𝐶 ̸= ∅ и int 𝐶 ̸= ∅. Пусть множество 𝐴 ⊂ 𝐸 является надграфиком
квазишара 𝑟𝑀 , 𝑟𝑀 −
полунепрерывной снизу функции 𝛼 : R𝑛−1 → R, слабо выпукло относительно квазишара
𝑅𝑀 , где 0 < 𝑟 < 𝑅 и 𝐴 + 𝑅 int 𝑀 ̸= 𝐸 . Тогда множество 𝐴 + 𝐶 замкнуто.
𝑛
R𝑛−1
Доказательство. Предположим, что множество 𝐴 + 𝐶 не замкнуто. Тогда существует
точка 𝑥0 ∈
/ 𝐴 + 𝐶 такая, что 𝑥0 ∈ 𝐴 + 𝐶 . Определим 𝐷 = 𝑥0 − 𝐶 . Тогда 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) = 0 и
𝐴
⋂︁
𝐷 = ∅.
(22)
По определению 𝑀 -расстояния между множествами существуют последовательности
{𝑎𝑘 } ⊂ 𝐴 и {𝑑𝑘 } ⊂ 𝐷 такие, что 𝜇𝑀 (𝑑𝑘 − 𝑎𝑘 ) → 𝜚𝑀 (𝐷, 𝐴) при 𝑘 → ∞. Из леммы 3.5 следует,
что эти последовательности ограничены. Тогда по теореме Больцано–Вейерштрасса из них
можно выделить сходящиеся подпоследовательности. Поэтому без ограничения общности
считаем, что существуют 𝑎 = (𝑥, 𝑦), 𝑑 = (𝑥′ , 𝑦 ′ ) такие, что 𝑥, 𝑥′ ∈ R𝑛−1 , 𝑦, 𝑦 ′ ∈ R и 𝑎𝑘 → 𝑎,
𝑑𝑘 → 𝑑 при 𝑘 → ∞.
Так как 𝐴 и 𝐶 – замкнуты, то 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑑 ∈ 𝐷 и 𝜇𝑀 (𝑑 − 𝑎) = 0.
* 𝑀 . Так как 𝑀 – надграфик коэрцитивной функции, то
Следовательно, 𝑑 − 𝑎 ∈ 𝑀 −
* 𝑀 = {(0, 𝜆)| 0 ∈ R𝑛−1 , 𝜆 > 0}. Отсюда получаем, что 𝑥 = 𝑥′ и 𝑦 ′ > 𝑦 . Следовательно,
𝑀 −
𝑑 ∈ 𝐴, что противоречит (22).
Работа поддержана РФФИ, проект 13-01-00295-а.
ТРУДЫ МФТИ. — 2014. — Том 6, № 2
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
37
Литература
1. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower–𝐶
// Journal of Convex Analysis. — 1995. — V. 2, N 1, 2. — P. 117–144.
2
Propoerty
2. Bernard F., Thibault L., Zlateva N. Characterization of proximal regular sets in super
reflexive Banach spaces // Journal of Convex Analysis. — 2006. — V. 13, N 3, 4. — P. 525–
559.
3. Иванов Г.Е. Перестановочность операций суммы и разности Минковского для множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве // Современные проблемы
фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. тр. — М. : МФТИ, 2008. —
С. 32–55.
4. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. —
М. : Физматлит, 2007.
5. Иванов
Г. Е. Аппроксимативные свойства множеств относительно функции
Минковского // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. — М. :
МФТИ, 2009. — С. 76–105.
6. Иванов Г. Е., Лопушански М. С. Аппроксимативные свойства слабо выпуклых мно-
жеств в пространствах с несимметричной полунормой // Труды МФТИ. — 2012. —
Т. 4, N 4. — С. 94–104.
Поступила в редакцию 24.05.2013.