задачи по теории вероятностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Южный Федеральный университет»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
А.И. Луценко
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЧАСТЬ II
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов
факультета математики, механики и компьютерных наук
Ростов-на-Дону
2011 г.
УДК 519.2
А.И. Луценко
Задачи по теории вероятностей. Учебное пособие для студентов всех
специальностей факультета математики, механики и компьютерных
наук ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2011г. 51 с.
Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального
анализа факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.
Протокол № 4 от 20 ноября 2011 г.
Редактор: В.А. Знаменский, кандидат физико-математических наук, доцент ЮФУ.
Цель пособия - обеспечить проведение практических занятий по курсу «теория
вероятностей и математическая статистика» на механико-математическом и
экономическом факультетах.
В пособии приведены задачи, посвященные случайным величинам и векторам, их
законам распределения и числовым характеристикам, а так же - предельным
теоремам теории вероятностей: закону больших чисел и центральной предельной
теореме. Постепенно усложняющиеся модели испытаний, описываемые в
условиях задач, позволяют студенту получить основные понятия и приобрести
навыки построения теоретико-вероятностных моделей и работе с ними.
Приводятся таблицы плотности вероятностей стандартного нормального
распределения и функции Лапласа.
2
§6. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
6.1. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Для
случайного числа выпавших очков на верхней грани построить: а) ряд
распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию
распределения. Определить математическое ожидание и дисперсию
числа выпавших очков.
6.2. Построить ряд распределения и функцию распределения
случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если
вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна p.
Определить математическое ожидание и дисперсию случайного числа
попаданий при одном броске. При каком значении p значение
дисперсии будет максимальным?
6.3. Из урны, содержащей пять белых и семь чёрных шаров, без
возвращения извлекаются три шара. Для случайного числа
появившихся белых шаров построить ряд распределения и
определить
его
математическое
ожидание.
Чему
равно
математическое ожидание случайного числа появившихся чёрных
шаров?
6.4. Из урны, содержащей пять белых и семь черных шаров, с
возвращениями извлекаются три шара. Для случайного числа
появившихся белых шаров построить ряд распределения и
определить
его
математическое
ожидание.
Чему
равно
математическое ожидание случайного числа появившихся чёрных
шаров?
6.5. Опыт состоит из трёх независимых подбрасываний монеты. Для
случайного числа появившихся гербов построить: а) ряд
распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию
распределения. Определить математическое ожидание и дисперсию
случайного числа появившихся гербов.
6.6. Производится n одинаковых, независимых опытов, в каждом из
которых событие A может наступить с вероятностью p. Постройте
ряды распределений а) случайной величины  - число появлений
случайного события A и б) случайной величины  - число появлений
случайного события A противоположного событию A. Найдите
математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.
3
6.7. Из коробки, содержащей 10 красных и 5 синих карандашей,
случайным образом извлекаются четыре карандаша. Постройте ряд
распределения и определите математическое ожидание случайного
числа красных карандашей появившихся в выборке, если: а)
карандаши извлекаются без возвращения; б) карандаши извлекаются с
возвращением. Постройте ряд распределения и определите
математическое ожидание случайного числа красных карандашей
оставшихся в коробке при первом варианте извлечения.
6.8. Производятся последовательные независимые испытания пяти
приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается
только в том случае, если предыдущий прибор оказался надёжным. а)
Построить ряд распределения случайного числа
приборов,
подвергшихся испытаниям, если вероятность выдержать испытание
для каждого из них равна p. б) Построить
ряды распределения
случайного числа приборов, успешно выдержавших испытания, и - в)
числа приборов, отказавших при испытании.
6.9. Стрелок имеет шесть патронов и стреляет до первого попадания
или пока у него есть патроны. Построить ряды распределения
случайных величин  и , где  - число сделанных выстрелов, а  число сделанных промахов, если вероятность попадания при одном
выстреле равна p=0,7. Чему будет равно математическое ожидание
случайной величины  - число попаданий в мишень?
6.10. Игральную кость подбрасывают n раз. Постройте ряд
распределения и определите математическое ожидание и дисперсию
случайного числа выпадений шестерки.
6.11. Монета подбрасывается наудачу пять раз. Составить ряд
распределения случайной величины  - отношение числа появлений
герба к числу появлений решётки, определить её математическое
ожидание.
6.12. Независимые опыты продолжаются до первого положительного
исхода, после чего они прекращаются. Вероятность положительного
исхода в каждом опыте равна p=0,6. Для случайного числа
проведенных опытов найти: ряд распределения, многоугольник
распределения, наивероятнейшее число проведённых опытов,
математическое ожидание. Чему равна вероятность того, что число
проведённых опытов будет: а) не более некоторого числа n; б)
чётным.
4
6.13. Из урны, содержащей m белых и n чёрных шаров, проводятся
извлечения по одному шару с возвращением до тех пор, пока не
появится белый шар. Найти M - математическое ожидание числа
проведенных извлечений и М - математическое ожидание числа
появившихся чёрных шаров.
6.14. Из урны, содержащей три белых и четыре чёрных шара, без
возвращения извлекаются пять шаров. Построить ряды распределения
случайных чисел появившихся белых и чёрных шаров. Определить их
математические ожидания.
6.15. Два баскетболиста поочерёдно бросают мяч в корзину до тех
пор, пока один из них не попадет. Построить ряды распределения
случайных величин  и  - количества бросков, произведённых
каждым баскетболистом, если вероятности попаданий при одном
броске для каждого из них равны соответственно p1  0,5 и p2  0,7 .
Чему равна вероятность того, что у них будет одинаковое количество
бросков?
6.16. Одновременно подбрасываются две игральных кости. Случайная
величина  - сумма очков, выпавших на верхних гранях костей.
Постройте ряд распределения случайной величины . Сделайте
геометрическую
иллюстрацию
этого
ряда
распределения
вероятностей. Определите математическое ожидание и дисперсию
случайной величины . Покажите, что  есть сумма двух независимых
случайных величин  1 и  2 - количеств очков выпавших на первой и
на второй костях.
6.17. Производится три одинаковых независимых опыта. В каждом
опыте с равными вероятностями может быть получено любое целое
число от 0 до 3. Пусть  i - число, полученное при проведении i-того
опыта ( i  1,2 ,3 ). Определить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины  i . Построить ряд распределения случайной
величины  - суммы чисел, полученных в результате проведения трёх
опытов   1   2   3 . Определите математическое ожидание и
дисперсию случайной величины . Чему равна вероятность того, что
полученная сумма будет: а) чётным числом; б) числом, кратным
трём?
6.18. В лотерее разыгрываются: мотоцикл стоимостью 25 тыс. руб.,
три велосипеда стоимостью по 5000 руб. и шесть штук часов
стоимостью по 500 руб. Найти математическое ожидание выигрыша
5
на один билет, если общее число билетов равно 250. Какой процент от
суммы, полученной от продажи билетов, останется у организаторов
лотереи, если цена одного билета будет равна 350 рублей?
6.19. При бросании трёх игральных костей игрок выигрывает: 50 тыс.
рублей, если на всех костях выпадут шестёрки; 5 тыс. рублей, если
шестёрки выпадут на двух костях; 1 тыс. рублей, если шестерка
выпадет только на одной кости. Какова должна быть ставка за участие
в игре, чтобы игра была безобидной? Какой процент вырученной
суммы от продажи билетов на участие в игре получат организаторы
игры, если один билет будет стоить 1000 рублей?
6.20. Сигналы на включение приборов подаются через каждые 5
секунд. Время от момента подачи сигнала до включения прибора
равно 16 секундам. Подача сигналов прекращается сразу после того
как
произойдет
включение
очередного
прибора.
Найти
математическое ожидание случайного числа поданных сигналов, если
вероятность включения для каждого прибора равна p. Чему равна
вероятность того, что сигналы будут подаваться не более 35 секунд?
Чему равна вероятность того, что сигналы будут подаваться в течение
35 секунд? Сколько за это время будет подано сигналов?
6.21. Автоматическая линия при нормальной настройке может
выпустить бракованное изделие с вероятностью p. Переналадка линии
производится после появления первого бракованного изделия. Найти:
а) среднее число всех изделий, изготовленных между двумя
переналадками, б) среднее число доброкачественных изделий,
изготовленных между двумя переналадками.
6.22. В условиях предыдущей задачи переналадка линии
производится после выпуска двух штук (k штук) бракованных
изделий. Найти: а) среднее число доброкачественных изделий,
изготовленных между двумя переналадками б) среднее число всех
изделий, изготовленных между двумя переналадками.
6.23. Доказать, что дисперсия числа появлений события при
однократном проведении опыта не превосходит 1 4 .
6.24. Случайная величина  может принимать целые положительные
значения с вероятностями, убывающими в геометрической
прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии q так,
чтобы M было равно 10. Найдите вероятность наступления
случайного события   10.
6
6.25. Случайная величина  может принимать любое целое
положительное значение n с вероятностью, пропорциональной
1
.
3n
Найти математическое ожидание . Определите вероятность того,
значение случайной величины  будет чётным числом.
6.26. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая,
независимо друг от друга, по одному выстрелу. Вероятности
попаданий в мишень для каждого из стрелков равны соответственно
p1 и p2 . Рассматриваются случайные величины:  - число попаданий
первого стрелка,  - число попаданий в мишень второго стрелка, и 
. Постройте ряд распределения случайной величины  и
определите её математическое ожидание M.
6.27. Производятся два независимых выстрела по мишени.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна p.
Рассматриваются случайные величины:  - разность между числом
попаданий и числом промахов;  - сумма числа попаданий и числа
промахов. Для каждой случайной величины постройте ряд
распределения.
Определите
их
числовые
характеристики
M , D , M , D .
6.28. Вероятность наступления события A в каждом испытании равна
p=1 2 . Найти математическое ожидание случайной величины  разность числа «появлений» и числа «непоявлений» события A в
серии из n одинаковых испытаний.
6.29. Имеются две урны. В первой урне находится a белых и b чёрных
шаров, а во второй - b белых и a чёрных шаров. Проводится два вида
испытаний.
1) Из каждой урны производится по n извлечений шаров с
возвращением каждый раз извлечённого шара обратно в урну. 2) Все
шары ссыпаются в одну урну и из этой урны производится 2n
извлечений с возвращением. Найти математические ожидания и
дисперсии случайных величин - количеств белых шаров, извлечённых
в первом и во втором испытаниях. В каком случае более вероятно,
что число вынутых белых шаров будет заключено в пределах от
n  k до n  k , где 0  k  n ?
6.30. Три (четыре) письма вложены в конверты, но адреса на
конвертах надписаны в случайном порядке. Пусть  - число писем,
которые будут получены теми адресатами, которым они
7
предназначены. Определить математическое ожидание случайной
величины .
6.31. В связке имеются восемь ключей, из которых только один
подходит к замку. Для открывания замка наудачу выбирается один
ключ из связки. Пусть  - число проб до открывания замка.
Определите математическое ожидание , если перед следующей
пробой: а) ключ, который не подошёл, в связку не возвращается; б)
ключ, который не подошёл, возвращается в связку.
6.32. Первый игрок бросает три, а второй - две одинаковых монеты.
Выигрывает и получает все пять монет тот, у которого выпадет
большее количество гербов. В случае ничьей игра повторяется до
получения определенного результата. Каково математическое
ожидание выигрыша для каждого из игроков?
6.33. Игрок подбрасывает игральную кость до тех пор, пока на
верхней грани не появится число очков кратное трём. При выпадении
k
числа очков кратного трём он получает выигрыш равный 3 2 , где k
- число сделанных подбрасываний. Определите математическое
ожидание выигрыша.
6.34. Игрок подбрасывает игральную кость до тех пор, пока на
верхней грани не появится число очков кратное трём. При выпадении
числа очков кратного трём он получает выигрыш равный c k , где k число сделанных подбрасываний. Определите значение параметра c ,
при котором математическое ожидание выигрыша будет равно 2c.
6.35. Множеством возможных значений случайной величины 
является счётная последовательность чисел x k , k  1,2 ,3,..., где
2k  1
x k  k 1 . Каждое своё возможное значение x k случайная величина
2
 принимает с вероятностью P   xk   pk  1  q   q k 1 . Каким
должно быть число q , при котором математическое ожидание
1
случайной величины  будет равно M  ? Постройте
q
геометрическую интерпретацию ряда распределения случайной
величины . Может ли математическое ожидание этой случайной
величины быть равным 1 или 2?
8
6.36. Множеством возможных значений случайной величины 
является счётная последовательность чисел x k , k  1,2 ,3,..., где
x k  2 k 1 . Каждое своё возможное значение x k случайная величина 
принимает с вероятностью P   xk   pk  p  1  p . При каком
значении вероятности p математическое ожидание M будет равно
2 k , где k 0 - любое, наперёд заданное натуральное число?
k 1
0
6.37. Считая, что вес некоторого предмета с одинаковой
вероятностью может быть равен любому целому числу граммов от 1
до 10. Определите: у какой из трёх систем разновесов: а) 1,2,2,5,10; б)
1,2,3,4,10; в) 1,1,2,5,10 – среднее число необходимых для взвешивания
гирь будет наименьшим? При взвешивании разрешается гири ставить
только на одну чашку весов, а подбор гирь при взвешивании предмета
осуществляется так, чтобы использовать наименьшее возможное
число гирь.
§7. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
7.1. Случайная величина  распределена равномерно на отрезке 0;1.
Найти: а) плотность вероятности p x  ; б) функцию распределения
F x ;
в) математическое ожидание M и дисперсию D. Чему равны
вероятности случайных событий   1 4 и   1 4? Постройте
графики функций p x  и F  x  . Отметьте на них полученные
значения вероятностей.
7.2. Случайное время  безотказной работы («жизни») электрических
лампочек подчиняется экспоненциальному закону распределения,
имеющему функцию распределения:
 0,
если t  0 ;
t
F t   

T
1  e , если t  0.
Найдите: а) плотность вероятности pt  ; б) среднее время и
дисперсию времени безотказной работы («жизни») электрических
лампочек; в) вероятность безотказной работы лампочки в течение
времени T. г) Чему равна вероятность того, что время безотказной
работы лампочки будет не меньше, чем T  ln 2 ; не меньше, чем 2T?
Сделайте графики функций pt  и F t . Отметьте на графиках
вычисленные вероятности. Можно ли утверждать, что у половины
всей партии изготовленных лампочек время безотказной работы
9
будет меньше среднего времени, а у другой половины партии время
безотказной работы будет больше среднего времени?
7.3. Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется
функцией распределения Рэлея:
0,

если x  0 ;

 x2 
F x  
1  exp  2  , если x  0.

 2a 

Найдите: а) плотность вероятности p x  ; б) медиану и моду
распределения; в) среднее значение величины эксцентриситета.
Постройте графики функций p x  и F  x  .
7.4. Дана функция распределения случайной величины :
F  x   a  b  arctgx ,    x   .
Найдите: а) постоянные a и b; б) плотность вероятности p x  ;


в) вероятности P  1 3    3 и P   1; г) математическое
ожидание M . Постройте графики функций p x  и F  x  , отметьте
на них вычисленные вероятности.
7.5. При каком значении параметра a функция:
a
   x  .
,
p x  
1 x2
является плотностью вероятности случайной величины ?
Найдите: а) функцию распределения F  x  случайной величины ; б)
вероятность попадания случайной величины  в интервал  3;1 3 .
Постройте графики функций p x  и F  x  , отметьте на них
вычисленную вероятность.


7.6. Функция распределения случайной величины  имеет вид (закон
арксинуса):
0,
если
x  1;


F  x   a  b  arcsin x , если
 1  x  1;

1,
если
x  1.

Определите: а) постоянные a и b, б) плотность вероятности p x  ,
в) M и D, г) вероятности случайных событий   1 2, 1 2    1


и 2 2   1 .
Постройте графики функций
вычисленные вероятности.
p x  и
10
F  x  , отметьте на них
При каком значении параметра a функция:
a
 1  x  1 ,
p x  
,
1 x2
является плотностью вероятности? Найдите функцию F  x 
распределения, соответствующую этой плотности вероятности. Какое
случайное событие более вероятно: событие   1 2 или событие
  1 2? Постройте графики.
7.7.
вероятности случайной величины  задана
 0 , если x  0 ;

следующим образом: p x   ax , если 0  x  2 ;
 0 , если x  2.

Найдите значение коэффициента a и дисперсию случайной величины
. Вычислите вероятность того, что отклонение значения случайной
величины  от её математического ожидания, в ту или иную сторону,
не превысит . Сделайте график.
7.8.
Плотность
7.9. Плотность вероятности случайной величины , распределенной
по закону Симпсона, имеет график, приведённый на рисунке.
Запишите выражения плотности вероятности p x  и функции
распределения
этой случайной величины; найдите
F x 
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
y
x
-2
0
2
7.10. При каком значении параметра c график функции, приведённый
на рисунке, будет плотностью вероятности случайной величины ?
y
4c 2
y   x  2c 
y   x  2c 
2
-2с
2
0
2с
x
11
Запишите выражения плотности вероятности p x  и функции
распределения
этой случайной величины; найдите
F x 
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой
случайной величины. Определите вероятность случайного события
  c.
7.11. Случайная величина  имеет плотность вероятности:
a
,    x   .
p x    x
e  ex
Определите значение постоянной величины a и функцию
распределения F  x  . Сделайте графики и найдите вероятность
наступления случайного события B=   c, где c  ln 3 .
7.12. Плотность вероятности случайной величины  задана
следующим способом:
a  cos x , если x   2 ;
p x   
если x   2 .
 0,
Найдите: а) коэффициент а и функцию распределения F  x  ,
б) значения математического ожидания М и дисперсии D
случайной величины , в) вероятность случайного события


A=      . Сделайте графики функций p x  и F  x  . Отметьте
4
6
на графиках случайное событие A и его вероятность P  A.
7.13. Случайная величина  распределена равномерно. Известны
значения её числовых характеристик: M=4 и D=3. Запишите
уравнение плотности вероятности случайной величины .
7.14. Случайная величина  имеет функцию распределения:
если x  1;
 0,

F  x   ax  b , если 1  x  5 ;
 1,
если x  5.

Найдите: а) значения параметров a и b; б) постройте график
плотности вероятности; в) найдите медиану распределения и среднее
значение ; г) вычислите значение вероятности наступления
случайного события 2    5 .
5
2


12
7.15. Случайная величина  имеет плотностью вероятности функцию
(закон распределения вероятностей Лапласа):
x m
1  
, x    ;.
p x  
e
2
а) Постройте график плотности вероятности. б) Определите медиану,
моду, математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
в) При каком значении срединного отклонения E будет справедливо
1
равенство P   M  E   ?
2
7.16. Графиком плотности вероятности p x  , при x  2a , случайной
x2
y2
величины  является верхняя часть эллипса

 1.
4a 2 a 2
y
а
-2а
2а
x
-а
Определите значение параметра a и вероятность случайного события
  a, то есть: P   a .
7.17. Найти значения параметра а, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины , плотность вероятности которой
для x из интервала   ;  имеет вид:
2
2
p x   a  cos 2 x .
Сделайте схематический график. Какое случайное событие более




вероятно:     или     ?
6
6




7.18. Плотность вероятности случайной величины  задана в виде:
 0 ,
если x  0 ;
p x    x m  x
 m!  e , если x  0.
Определить математическое ожидание и дисперсию . Сделайте
схематические графики этой плотности вероятности, полагая, что
m=0;1;2.
7.19. Случайная величина  имеет следующую плотность вероятности
(« гамма - распределение »):
13
0,

если x  0 ;
x
p x   

ax  1  e  , если x  0.
где  и  ,   1 и   0 , числовые параметры распределения.
Определите величину параметра а, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины .
7.20. Случайная величина  подчиняется распределению Пирсона
(«  2  распределению ») с n степенями свободы, если плотность
распределения вероятностей её имеет вид:

если x  0 ;
 n 0, x
p x   
1

2
2

ax  e , если x  0.
Определить величину параметра а, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины . В чём заключается общность этого
распределения и «гамма-распределения», рассмотренного в задаче
7.19?
7.21. Случайная величина  подчиняется распределению Стьюдента
(«t - распределению») с n степенями свободы, плотность вероятности
которого имеет вид:

n1
2

x 

   x  .
p x   a1 
,

n


Определить значение постоянной а, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины .
2
7.22. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы двух
независимых случайных величин  и , равномерно распределенных,
соответственно, в промежутках (a ; b ) и ( c ; d ).
7.23. Мишень состоит из трех концентрических кругов с радиусами
1 ,  и 3  Попадание в центральный круг «стоит» 4 очка, в
3
среднее кольцо - 3 очка, в крайнее кольцо - 2 очка и вне кругов - 0
очков. Плотность вероятности случайной величины  - расстояние
1
от центра мишени до точки попадания, имеет вид: p x  
.
  1  x 2 
Чему равно математическое ожидание числа очков, выбитых при пяти
выстрелах?
14
7.24. Плотность вероятности случайных амплитуд  боковой качки
корабля определяется формулой (закон Рэлея):
p x  
x
2
e

x2
2 2
, (если x 0),
где  2 - дисперсия случайной величины  - угла крена корабля.
Найдите значения математического ожидания и дисперсии амплитуд
боковой качки. Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие
и большие средней?
 1

3 1 1
(Указание: использовать  t 2 e t dt         
.)
0
 2 2  2 2
7.25. Функция распределения случайной величины  - времени
обнаружения затонувшего судна задается формулой:
F t   1  e  t ,   0.
Определить среднее время поиска M , необходимое для
обнаружения судна. Чему равна вероятность того, что время
некоторого конкретного поиска будет больше этого среднего?
7.26. Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 сек. Чему равна
вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой
более 0,05 сек. в ту или иную сторону, если отсчет делается с
точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону?
7.27. Азимутальный лимб имеет цену деления . Какова вероятность
при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах ,
если отчет округляется до ближайшего целого числа градусов?
7.28. Обработка результатов одной переписи показала, что плотность
вероятности возраста лиц, занимающихся научной работой, может
быть представлена формулой:
5
p( x )  k  x  22 ,597 ,4  x 
(x - время в годах, 22 ,5  x  97 ,5 ). Определить, во сколько раз число
научных работников в возрасте ниже среднего превышает число
научных работников в возрасте выше среднего?
7.29. Автобусы некоторого маршрута подходят к остановке с
интервалом в 10 минут. Определить вероятность того, что время
ожидания автобуса  пассажиром, подошедшим к остановке, не
превысит трех минут. Сравните эту вероятность с вероятностью того,
что время ожидания автобуса  будет в диапазоне 3    9 и с
2
2
15
вероятностью того, что время  будет находиться в диапазоне
6   9.
7.30. Функция распределения случайной величины  имеет вид:
1
,    x  .
F x  
1  ex
Показать, что случайная величина  будет симметрично распределена
относительно начала координат. Найдите плотность вероятности
p x  . Сделайте схематические чертежи.
(Распределение вероятностей называется симметричным, если
для любого x из области определения функции распределения F  x 
будет справедливо равенство: F  x   F  x   1.)
7.31. График плотности вероятности случайной величины  имеет
следующий вид:
y
0
1
2
3
4
5
x
Написать выражение плотности вероятности и функции
распределения этой случайной величины. Сделайте график функции
распределения.
7.32. Срединным отклонением случайной величины  называется
числовая характеристика E распределения вероятностей такая, что
будет справедливо: P   M  E   1 . Для симметричного
2
распределения срединное отклонение E может служить мерой
рассеивания значений случайной величины . Сравните величины
срединных отклонений трех случайных величин, имеющих
следующие плотности вероятностей:
2
1
ex
p1 ( x ) 
;
p2 
;
p3  x
.
 e x  e  x 
 1  x 2 
e  12
§8. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН
8.1. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5м и
среднюю квадратическую ошибку 75м. Определите вероятность того,
что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5м?
16
8.2. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих
среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150мг. Номинальный
вес порохового заряда 2,3г. Определите вероятность повреждения
ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5г. Как
изменится эта вероятность, если средняя квадратическая ошибка
взвешивания будет уменьшена вдвое?
8.3. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом равна
+20м, а случайная ошибка имеет среднее квадратическое отклонение
равное 25м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100м.
Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже, внутри и выше
коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине
коридора?
8.4. Систематическая ошибка высотомера равна +20м, а случайные
ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднюю
квадратическую ошибку должен иметь высотомер, чтобы с
вероятностью а)0,9756; б)0,9986 абсолютная величина ошибки
измерения высоты была меньше 100м?
8.5. Нормальное распределение N m ,  усечено значением x  b , то
есть – значения случайной величины, меньшие числа b, отброшены.
Найдите плотность вероятности и математическое ожидание этого
усечённого распределения.
8.6. Средняя квадратическая ошибка измерения дальности
радиолокатором равна 20м, а систематическая ошибка отсутствует.
Определите вероятность получения ошибки измерения дальности, по
абсолютной величине не превосходящей 35м.
8.7. Определите для нормально распределенной случайной величины
, имеющей M=0 и D   2 , вероятности: а) P   k  и б)
P   k  , где k  1,2 ,3 . Основываясь на ответе, полученном при
вычислении вероятности P   3 , сформулируйте «правило трёх
сигм».
8.8. Производятся два независимых измерения прибором, имеющим
среднюю квадратическую ошибку 30м и систематическую ошибку
+10м. Какова вероятность того, что обе ошибки измерений, имея
разные знаки, по абсолютной величине превзойдут 10м?
17
8.9. Случайная величина  распределена по нормальному закону
N 0 , . При каком значении дисперсии D вероятность события
   ;   будет наибольшей?
8.10. Случайная величина  - ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону с дисперсией 16мк2.
Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность
того, что в пяти независимых измерениях ошибка : а) превзойдет по
модулю 6мк не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в
интервале 0,5мк 3,5мк.
8.11. На плоскости проведены две параллельные прямые, расстояние
между ними равно L. На эту же плоскость бросается круг радиуса R.
Центр рассеивания расположен на расстоянии b от одной из линий во
внешнюю сторону. Среднее квадратическое отклонение центра круга
в направлении, перпендикулярном параллельным линиям, равно .
Определите вероятность того, что при одном бросании: а) круг
накроет хотя бы одну прямую; б) круг накроет обе прямые, если
L=10м, R=8м, b=5м, =14м.
8.12. Изделие считается высшего качества, если отклонение его
размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине
3,45мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала
подчиняются нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 3мм, а систематические отклонения
отсутствуют. Определите среднее число изделий высшего сорта, если
изготовляются: а) четыре изделия, б) n изделий.
8.13. Случайное отклонение размера детали от номинала при
изготовлении её на данном станке имеет нулевое математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение, равное 5мк. Деталь
признаётся годной, если отклонение её размера от номинала не
превышает 2мк. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с
вероятностью не менее 0,95 можно было бы утверждать, что среди
них есть хотя бы одна годная?
8.14. Какой ширины должно быть поле допуска для размеров детали,
чтобы вероятность получения детали с размером вне поля допуска
была не более 0,0027? Случайные отклонения размера от середины
поля допуска подчиняются закону нормального распределения с
параметрами m = 0 и  = 5мк.
18
8.15. Размер диаметра втулок, изготовляемых токарным цехом, можно
считать нормально распределенной случайной величиной  с
математическим ожиданием М=2,5см и дисперсией D=0,0001см. В
каких границах можно практически достоверно гарантировать размер
диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности
принимается 0,9973? Сборочный цех принимает к сборке втулки,
диаметр которых отличается от требуемого нормативными
документами размера 2,5см не более чем на 0,02см. Какой процент
изготовленных токарным цехом втулок будет забракован
контролёрами сборочного цеха? Для выполнения плана выпуска
продукции сборочному цеху ежедневно требуется n штук втулок.
Сколько штук втулок ежедневно должен изготавливать токарных цех,
чтобы обеспечивать потребности сборочного цеха?
8.16. Какое наибольшее расстояние допустимо между двумя
рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами в
противоположном направлении, чтобы вероятность обнаружения
косяка рыбы, находящегося посередине между ними, была не менее
0,5? Дальность обнаружения косяка для каждого из судов является
независимой нормально распределенной случайной величиной с
m=3,7км и средним квадратическим отклонением  =1,1км.
8.17. При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок а)
не превосходят +1,25мм; б) не превосходят по абсолютной величине
1,25мм. Заменяя относительные частоты появления ошибок их
вероятностями, определите в обоих случаях среднее квадратическое
отклонение
ошибок
измерения,
считая
их
нормально
распределенными с нулевым математическим ожиданием.
8.18. Случайное отклонение  размера детали от номинала
распределено по нормальному закону с математическим ожиданием
m и средним квадратическим отклонением . Годными деталями
являются те, для которых a    b . Деталями, подлежащими
переделке, являются те, у которых отклонение размера от номинала
превышает b, то есть, если b. Найти: а) функцию распределения
случайного отклонения  размера детали, подлежащей переделке; б)
функцию распределения случайного отклонения  размера детали от
номинала, если деталь признана годной.
8.19. Производится стрельба с самолёта по цели, имеющей форму
прямоугольника размером 12м9м. Среднее квадратическое
отклонение  1 в продольном направлении равно 14,8м, а в боковом
19
направлении -  2  7,4м. Боевой заход самолёта для стрельбы
производится вдоль мишени, а прицеливание - по центру мишени.
Средняя точка попадания смещается в сторону недолёта на 4м
m1  4,боковых отклонений нет m2  0 . Считая, что продольное и
боковое отклонения точки попадания от цели – независимые
случайные величины, найдите вероятность одного попадания в
мишень: а) при одном выстреле; б) при трёх выстрелах.
8.20. Пусть   1 ; 2  - двумерная случайная величина, имеющая
двумерное нормальное распределение:
p x , y  

1

1
2 1 
2
  x  m1 2
 x m1  y m2   y m2 2 
2 


2
 1 2
 22 
  1

.
2 1 2 1  
Если случайные значения компонент  1 и  2 рассматривать как
координаты точки попадания при стрельбе, то вероятность попадания
точки в эллипс рассеивания:
2
2



x  m1  y  m 2   y  m 2 

2  x  m1 
2
S     x , y  R :

2





 1 2
 12
 22




2
e
2
2 1  2
равна: P   S    1  e   . Считая, что продольное и боковое
отклонения точки попадания от цели – независимые случайные
величины  1 и  2 , то есть, что коэффициент линейной корреляции 
равен нулю, найти вероятности P   S   при  =1,2,3. (Сравнить
результаты с ответами задачи 8.7.б).

8.21. Ошибка измерений  некоторой величины при одном методе
равна =2, где  - нормально распределенная случайная величина с
М=0,D=  2 ; при другом методе измерений ошибка  есть сумма
двух независимых нормально распределенных случайных величин: =
, у которых математические ожидания равны нулю, а дисперсии
равны  2 . Какой метод измерений предпочтительнее?
§9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОВТОРНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ
9.1. В цехе находится 100 станков одинаковой мощности,
работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при
котором их привод оказывается включенным в течение 80% всего
рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый
20
момент времени окажутся включенными: а) 70 станков, 80 станков,
86 станков; б) от 70 до 80 станков?
9.2. На факультете 548 студентов. Вероятность того, что день
рождения студента приходится на некоторой конкретный день года
равна 1365 . Найти вероятность того, что на факультете найдутся
только три студента с одним и тем же днём рождения - 1 января.
Оцените эти вероятности, пользуясь теоремами Муавра-Лапласа и
Пуассона.
9.3. Если в среднем левши составляют 1% населения, то каковы
шансы на то, что среди 200 человек: а) окажется ровно четверо
левшей; б) найдется не более чем четверо левшей? Оцените эти
вероятности, пользуясь теоремами Муавра-Лапласа и Пуассона.
Каковы шансы на то, что среди 400 человек: а) окажется ровно восемь
левшей; б) найдется не более чем восемь левшей?
9.4. В некоторой местности имеется 3% больных малярией.
Производится обследование 500 человек. С какой вероятностью среди
обследованных окажется (3 ± 1,5)% больных малярией?
9.5. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна
0,02. Свёрла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность
того, что:
а) в коробке не окажется бракованных свёрл;
б) число бракованных свёрл не будет превышать трех.
в) Сколько нужно класть в коробку свёрл, чтобы с вероятностью не
меньшей чем 0,9 в ней было не менее 100 штук хороших?
9.6. Вероятность некоторого события равна p=0,4 в каждом из n=1500
испытаний. Найдите вероятности того, что число появлений этого
события будет заключено между: а) 570 и 630; б) 600 и 660; в) 630 и
690. Сделайте геометрическую интерпретацию биномиального
распределения вероятностей и вычисленных значений вероятностей.
9.7. При 14000 подбрасываниях монеты герб выпал 7228 раз. Какова
вероятность такого или еще большего уклонения числа выпадений
герба от ожидаемого числа np = 7000?
9.8. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна
0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в
большинстве из 60 опытов?
21
9.9. Линия связи, имеющая 130 каналов, связывает пункт A с пунктом
B, в котором имеется 1000 абонентов. Каждый абонент пользуется
телефоном в среднем 6 мин. в час. Найти вероятность безотказного
обслуживания абонентов.
9.10. В страховом обществе застраховано на один год 10 000 лиц
одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в
течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный
при заключении договора вносит 120 руб. «страховых» и, в случае его
смерти, его родственники получают от общества 10000 руб. Найти
вероятность того, что страховое общество: а) потерпит убыток; б)
получит прибыль, не меньшую 400 000 руб., 600 000 руб. Как
изменятся эти вероятности, если а) сумму страхового взноса
уменьшить на 20%, б) сумму выплаты в каждом страховом случае
увеличить на 10%?
9.11. В одном из экспериментов с извлечением шаров из урны,
содержащей поровну чёрных и белых шаров, было получено при
10000 извлечений 5011 белых и 4989 чёрных шаров. Если повторить
этот эксперимент, то какова вероятность того, что будет получено
такое же, или меньшее по абсолютной величине, отклонение числа
появившихся белых шаров от наивероятнейшего числа их появления?
9.12. Монета брошена 2N раз (число N - велико). Найдите
вероятности того, что число выпадений герба будет заключено между
числами: а) N  N
и N  N ; б) N  2N
и N  2N .
2
2
2
2
Сделайте геометрическую интерпретацию этого биномиального
распределения и вычисленных вероятностей.
9.13. Вероятность появления события в каждом из независимых
испытаний равна p  0,8 . Сколько нужно произвести испытаний
n  ?  , чтобы с вероятностью P  0,9 можно было ожидать, что это
событие появится не менее 75 раз?
9.14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
p  0,9 . Сколько нужно произвести выстрелов n  ?  , чтобы с
вероятностью P  0,98 можно было ожидать, что будет не менее 150
попаданий?
9.15. При изготовлении отливок получается 20% дефектных. Сколько
необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с
вероятностью не менее 0,95 была обеспечена программа выпуска
22
изделий, для выполнения которой необходимо 50 бездефектных
деталей?
9.16. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная
частота появления события отклонится от вероятности его появления
в одном испытании по абсолютной величине не более чем на 0,04.
9.17. С какой уверенностью можно ожидать, что при 800
подбрасываниях игральной кости относительная частота выпадений
числа очков кратного трём отклонится от вероятности p  1 менее
3
чем на: а) 0,02; б) 0,01?
9.18. Французский ученый Бюффон (XVIII век) бросил монету 4040
раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что
при повторении опыта Бюффона относительная частота появлений
«герба» отклонится от вероятности появления «герба» в одном
бросании по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.
9.19. В урне содержатся белые и чёрные шары в отношении 4 : 1.
После извлечения шара регистрируется его цвет, и шар возвращается
в урну. Каким должно быть наименьшее число извлечений n, при
котором с вероятностью P  0,95 можно ожидать, что абсолютная
величина отклонения относительной частоты появления белого шара
от его вероятности будет не более чем 0,01?
9.20. Вероятность появления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,4. Определите число испытаний n, при котором с
вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота
появления события отклонится от его вероятности по абсолютной
величине не более чем на: а) 0,02; б) 0,015; в) 0,025.
9.21. Решено оценить вероятность p появления некоторого события,
определив в n испытаниях значение относительной частоты его
появления. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с
вероятностью не меньшей чем 0,9198 можно было утверждать, что
полученное значение относительной частоты отличается от
предполагаемой вероятности p=0,3 в ту или иную сторону меньше,
чем на: а) 0,03; б) 0,003?
9.22. Вероятность появления события в одном испытании равна
p  0,75 . Проводятся n=10000 независимых испытаний, и
подсчитывается относительная частота появлений события. Каким
23
должно быть положительное число  , при котором с уверенностью
  0,95 можно было бы утверждать, что абсолютная величина
отклонения относительной частоты появления события от
вероятности его появления p не превысит  ?
9.23. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900
деталей. Вероятность того, что деталь стандартная равна 0,9. Найти с
вероятностью 0,966 границы, в которых будет заключено полученное
число стандартных деталей m.
9.24. Игральную кость бросают 180 раз. Найти границы, в которых с
вероятностью 0,99 будет заключено число выпадений шестёрки m.
Как будет изменяться величина отклонения относительной частоты
1
выпадений шестёрки от вероятности
p  , если число
6
подбрасываний увеличить до 245, до 320?
9.25. Английский математик Пирсон бросил монету 12000 раз, при
этом «герб» у него появился 6019 раз. Затем число подбрасываний
было увеличено до 24000 раз, в результате которых «герб» появился
12012 раз. Найти вероятности того, что при повторении таких опытов
относительные частоты появлений «герба» отклонятся от вероятности
появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опытах
Пирсона. Дайте объяснение полученным результатам.
9.26. В опытах Пирсона отклонения относительной частоты
выпадений «герба» от вероятности p  0,5 составили  1  0 ,00158 и
 2  0 ,0005 (см. задачу 9.25). Сколько раз нужно подбросить монету,
чтобы с уверенностью не меньшей, чем   0,9 ожидать такие же
отклонения относительной частоты выпадения «герба» от
вероятности его выпадения при одном бросании?
9.27. Повторяя опыты Пирсона, подбросили монету 12000 и 24000
раз. Какими будут положительные числа  1 и  2 , про которые можно
было бы утверждать, что с уверенностью не меньшей, чем   0,9
величина отклонения относительной частоты выпадений «герба» от
его вероятности p  0,5 не превысит эти числа  1 и  2 ?
§10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
10.1. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равно
16 км/час. Оцените с помощью первой формы неравенства Чебышева
24
вероятность того, что в этом пункте скорость ветра (при одном
наблюдении) не превысит 80 км/час.
10.2. Средний расход воды в населенном пункте составляет 50000л в
день. Оцените вероятность того, что в этом населенном пункте в
данный день расход воды не превысит 150000 л.
10.3. Число солнечных дней в году для данной местности является
случайной величиной с математическим ожиданием, равным 175
дням. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности
будет не более 200 солнечных дней.
10.4. Известны математическое ожидание M  1 и среднее
квадратическое отклонение   0,2 некоторой случайной величины .
С помощью второй формы неравенства Чебышева оценить
вероятность выполнения неравенства 0 ,5    1,5 .
10.5. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
что отклонение любой случайной величины от ее математического
ожидания будет по абсолютной величине не более трех средних
квадратических отклонений этой величины (правило «трёх сигм»).
Как изменится эта вероятность, если будет известно, что случайная
величина распределена по нормальному закону?
10.6. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что
относительная частота появлений «герба» при ста подбрасываниях
монеты отклонится от вероятности его появления в одном испытании
не более чем на 0,1; сравнить результат с вероятностью, полученной
с помощью применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
10.7. Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте
равно 25 км/час, а среднее квадратическое отклонение скорости равно
4,5 км/час. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с
вероятностью, не меньшей чем 0,9?
10.8. Вероятность наступления некоторого события A в каждом из п
независимых испытаний равна p  1 . Используя неравенство
3
Чебышева, оценить вероятность того, что относительная частота
этого события отклонится от его вероятности по абсолютной
величине не более чем на 0,01, если будет проведено: а) п=9000
испытаний; б) п=75000 испытаний. Сравнить полученные результаты
25
с вероятностями, получаемыми при применении интегральной
теоремы Муавра-Лапласа.
10.9. В условиях предыдущей задачи найти границу абсолютной
величины отклонения частоты появлений события А от его
вероятности, которую можно ожидать с уверенностью, не меньшей
0,99, произведя 12100 испытаний, а) при помощи неравенства
Чебышева; б) применив интегральную теорему Муавра-Лапласа.
10.10. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не
превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего
арифметического
этих
случайных
величин
от
среднего
арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0,4.
10.11. Для определения средней продолжительности горения
электролампочек в партии, состоящей из 100 одинаковых ящиков,
было взято в выборку по одной электролампочке из каждого ящика.
Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического
продолжительности горения лампочек выбранной совокупности от
средней продолжительности горения лампочек всей партии не
превзойдет 8 часов, если среднее квадратическое отклонение
продолжительности горения электролампочки в партии не превышает
10 часов. Как изменится эта вероятность, если для определения
средней продолжительности горения из каждого ящика взять по две
лампочки?
10.12. За значение некоторой величины a принимают значение
среднего арифметического x результатов достаточно большого числа
измерений этой величины. Вероятность того, что отклонение
среднего арифметического результатов измерений от этой величины
не превосходит 1, равна 0,9973: P  x  a  1  09973 . Оценить
вероятность того, что при проведении 1000 измерений этой величины
отклонение найденного значения её оценки x от истинного значения
a не превосходит 0,1.
10.13. Дана последовательность независимых случайных величин
1 , 2 , 3 ,..., n ,.... Случайная величина  n имеет ряд распределения:
n
 n
0
pk ,n
1
n
1  n2
n
1
n
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
26
10.14. Дана последовательность независимых случайных величин
1 , 2 , 3 ,..., n ,.... Случайная величина  n имеет ряд распределения:
а)
n
 n
pk ,n
1
2n2
0
1  n1
2
n
б)
1
2n2
n
 n
pk ,n
1
2n
n
0
1  21
n 1
1
2n
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
10.15. Дана последовательность независимых случайных величин
1 , 2 , 3 ,..., n ,.... Случайная величина  n может принимать только
два значения:  ln n
или  ln n с вероятностями, равными 12 .
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
10.16. Дана последовательность независимых случайных величин
1 , 2 , 3 ,..., n ,... непрерывного типа. Случайная величина  n имеет
«треугольное распределение», то есть ее плотность вероятности имеет
вид:
 0,
если x  a n ;

p x    a n  x
, если x  a n .
 a n2
Здесь: a n  n , где а)   12 ; б)   12 ; в)   12 . Применим ли к этой
последовательности закон больших чисел для таких значений  ?
Замечание:
Из
неравенства
Чебышева
следует,
к
последовательности
независимых
случайных
величин
1 , 2 , 3 ,..., n ,... применим закон больших чисел, если D   1 при
1 n
n   , где     k .
n k 1
10.17. Дисперсия каждой из 4500 независимых одинаково
распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность того,
что среднее арифметическое значений этих случайных величин
отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,04.
10.18. Случайная величина  является средней арифметической 3200
независимых и одинаково распределенных случайных величин  i ,
i=1,2,...,3200, с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией,
равной 2. Найти вероятность того, что  примет значение в
промежутке (2,95; 3,075).
27
10.19. Каждая случайная величина  n из последовательности
независимых случайных величин 1 , 2 , 3 ,..., n ,...имеет плотность
вероятности:
 0 ,
если x  1;  ;
p x    a
,
если x  1;  .
 x 3
Подчиняется ли эта последовательность случайных величин: а)
закону больших чисел; б) центральной предельной теореме?
10.20. В результате медицинского осмотра 900 призывников
установлено, что средний вес призывников на 1,2 кг больше, чем
средний вес призывников за один из предшествующих периодов.
Можно ли это отклонение среднего веса призывников от
сравниваемой величины объяснить случайностью, если среднее
квадратическое отклонение веса призывников равно 8 кг?
10.21. Случайная величина  является средней арифметической
независимых и одинаково распределенных случайных величин,
дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно взять таких
величин случайных величин, чтобы случайная величина  с
вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего
математического ожидания, не превосходящее 0,01?
10.22. Случайная величина  является средней арифметической 10000
независимых одинаково распределенных случайных величин, среднее
квадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Какое
максимальное отклонение случайной величины  от её среднего
значения можно ожидать с вероятностью не меньшей, чем 0,9544?
10.23. Производится выборочное обследование партии электрических
лампочек для определения средней продолжительности их горения.
Каков должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью не
меньшей чем   0,9876, утверждать, что средняя продолжительность
горения лампочек этой партии отличается от средней, полученной по
результатам эксперимента, не более чем на 10ч? Известно, что
среднее квадратическое отклонение продолжительности горения
лампочки равно 80 ч.
10.24. В условиях предыдущей задачи найти наименьшее число
электрических лампочек, которые нужно взять для проведения
эксперимента по определению средней продолжительности горения
лампочки данной партии, чтобы с уверенностью не меньшей чем
а)   0,9876; б)   0,9973 можно было утверждать, что средняя
28
продолжительность горения лампочек данной партии отклоняется от
средней продолжительности горения, полученной в выборке, не более
чем на 5 ч?
1
10.25. Вычисление интеграла I   x 2 dx произведено методом Монте0
Карло на основании 1000 независимых опытов. Вычислить
вероятность того, что абсолютная погрешность в определении
величины I не превзойдет 0,01.
10.26. Сколько опытов надо произвести при вычислении интеграла

2
I   cos xdx методом Монте-Карло для того, чтобы с вероятностью
0
0,9 можно было считать, что относительная погрешность в
вычисленном значении интеграла составляет менее 5%?
10.27. Сколько опытов надо произвести при вычислении интеграла

I   sin xdx методом Монте-Карло для того, чтобы с уверенностью
0
не меньшей 0,99 можно было считать, что а) абсолютная; б)
относительная погрешность вычисленного значения интеграла не
превосходит 0,1% значения I?
10.28. Вероятность р некоторого события определяется методом
Монте-Карло.
Определить
число
независимых
опытов,
обеспечивающих с вероятностью не менее 0,99 отклонение
полученного значения p   m
от искомой вероятности р не
n
превосходящее 0,01. Оценку произвести, применяя теорему
Чебышева и теорему Муавра-Лапласа.
3
10.29. Интеграл I    x  1dx вычисляется методом Монте-Карло.
1
Найти n минимальное число испытаний, при котором с
надежностью   0,95 верхняя граница ошибки  будет равна 0,1.
1
10.30. Интеграл I   e x dx  e1  1 1,71828183 вычисляется методом
0
Монте-Карло. С какой уверенностью  можно утверждать, что
вычисленное статистическим методом значение интеграла отклонится
от его значения I меньше чем на   0,01, если будет проведено а)
1000; б) 5000; в) 10000 испытаний?
29
§11. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
11.1. Определить математическое ожидание длины дуги,
соединяющей заданную точку A окружности радиуса r с другой
точкой B, все положения которой на окружности равновозможные.
(Длина дуги определяется по формуле l  r   , где  - центральный
угол, величина которого отсчитывается
в положительном
направлении от радиуса OA до радиуса OB.) Определить
математическое ожидание площади кругового сектора, ограниченного
этой дугой.
11.2. Найти математическое ожидание длины хорды, проведенной в
круге радиуса r перпендикулярно выбранному диаметру и
пересекающей этот диаметр в произвольной точке, все положения
которой равновозможные на выбранном диаметре.
11.3. Из точки, все положения которой на окружности –
равновозможные, перпендикулярно выбранному диаметру проводится
хорда. Найти математическое ожидание длины хорды, если длина
радиуса окружности равна r.
11.4. При сортировке стальных шариков по их размеру в группу с
номинальным размером шарика 10 мм попадают шарики, проходящие
через круглое отверстие диаметром 10,1 мм и не проходящие через
отверстие диаметром 9,9 мм. Шарики изготовлены из стали с
удельным весом 7,8 г 3 . Найдите математическое ожидание и
см
дисперсию веса шарика данной группы, считая распределение радиуса
шарика в поле допуска 9 ,9;10 ,1 равномерным.
11.5. Неподвижная точка O находится на высоте h над концом A
горизонтального отрезка AK длины l. На отрезке AK наудачу выбрана
точка В. Определите математическое ожидание угла  между
линиями ОА и ОВ.
11.6. Ножки циркуля, каждая длиной 10 см, раздвинуты на
случайный угол , все возможные значения которого равномерно
распределены в интервале 0 ;  . Определите математическое
ожидание расстояния между остриями ножек.
11.7. Случайная величина  подчиняется нормальному закону
распределения с параметрами m и , то есть N m ,  . Определите
30
математическое ожидание случайной величины , если   g , где
 m 2  2m  
g    exp 
.
2
2



11.8. Вершина C прямого угла прямоугольного равнобедренного
треугольника соединяется отрезком прямой с произвольной точкой M
гипотенузы. Длина гипотенузы равна 2м. Найти математическое
ожидание длины отрезка CM.
11.9. На полуокружности радиуса r наудачу выбраны две точки,
которые соединены отрезками между собой и с одним из концов
ограничивающего диаметра. Определите математическое ожидание
площади получившегося треугольника.
11.10. На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки,
которые затем соединятся хордами. Найдите математическое
ожидание площади получившегося треугольника.
11.11. Радиоэлектронный комплекс содержит п элементов.
Вероятность выхода из строя k-го элемента за время одного цикла
работы равна pk , k  1,2 ,...,n . Очевидно, что среднее число элементов,
исправно работающих в течение одного цикла работы комплекса,
определяет надёжность его работы. Определите математическое
ожидание числа элементов, которые будут исправно работать в
течение одного цикла работы комплекса.
11.12. Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах
прямоугольника, длины сторон которого равны a и b. Найдите
математические ожидания: а) площадей получившихся треугольника
и пятиугольника; б) площади квадрата, длина стороны которого равна
длине отрезка, соединяющего эти точки.
11.13. Две точки выбраны наудачу на противоположных сторонах
прямоугольника, длины сторон которого равны a и b. Найдите
математические
ожидания
площадей
получившихся
четырехугольников, если вероятности выбора сторон, на которых
ставятся точки, пропорциональны длинам этих сторон.
11.14. На отрезке, длина которого равна l, наудачу поставлены две
точки. Найдите математическое ожидание и дисперсию расстояния
между ними.
31
11.15. Случайная величина  подчиняется нормальному закону
распределения, то есть N 0 ;  . Определите математическое
ожидание случайной величины    .
11.16. Нормальное распределение N m ,  усечено значением x  b ,
то есть значения, меньшие b, отброшены. Найдите плотность
вероятности и математическое ожидание этого усеченного
распределения.
11.17. Случайная величина  распределена равномерно на отрезке
 ;  . Найти функцию распределения, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины   a  b , где a и b - постоянные.
11.18. Случайная величина  имеет функцию распределения F ( x ) .
Найти функцию распределения, математическое ожидание и
дисперсию случайной величины   a  b , где a и b - постоянные.
11.19. Найти плотность вероятности случайной величины    , если
 - нормально распределенная случайная величина, у которой
M  0 и D   2 .
11.20. Найти плотности вероятности площади грани и объема куба,
длина ребра которого есть случайная величина , равномерно
распределенная в интервале 0 ; a .
11.21. Через точку на плоскости с координатами 0 ; l  проведена
наугад прямая. Найти плотность вероятности абсциссы точки
пересечения этой прямой с осью абсцисс.
11.22. Случайная величина  равномерно распределена в интервале
  
  ;  . Найти плотность вероятности случайной величины
 2 2
  sin  .
11.23. Случайная величина  распределена по нормальному закону:
  N m ,  . Доказать, что линейная функция   a  b тоже
распределена по нормальному закону. Найдите числовые
характеристики случайной величины .
11.24. Дискретная случайная величина  задана следующим законом
распределения:
32

pk


3
4
2
4
0 ,2 0 ,7 0 ,1
Найти законы распределения случайных величин   sin 
  cos  .
и
§12. ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
12.1. В урне находятся по три шара белого, красного и чёрного
цветов. Наудачу с возвращением извлекаются три шара. Построить
закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
(), где  - число появившихся шаров белого, а  - число
появившихся шаров красного цвета. Найти частные распределения и
числовые характеристики компонент  и . Можно ли по частным
распределениям компонент  и  восстановить закон распределения
вероятностей двумерной случайной величины ()?
12.2. В урне находятся по три шара белого, красного и чёрного
цветов. Наудачу без возвращения извлекаются три шара. Построить
закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
(), где  - число появившихся шаров белого, а  - число
появившихся шаров красного цвета. Найти частные распределения и
числовые характеристики компонент  и . Можно ли по частным
распределениям компонент  и  восстановить закон распределения
вероятностей двумерной случайной величины ()?
12.3. В урне находятся семь шаров белого и три шара чёрного цвета.
Наудачу с возвращением извлекаются четыре шара. Построить закон
распределения вероятностей двумерной случайной величины (),
где  - число появившихся шаров белого, а  - число появившихся
шаров чёрного цвета. Найти математические ожидания и дисперсии
случайных величин  и . Найти значение коэффициента линейной
корреляции этих случайных величин.
12.4. В урне находятся семь шаров белого и три шара чёрного цвета.
Наудачу без возвращения извлекаются четыре шара. Построить закон
распределения вероятностей двумерной случайной величины (),
где  - число появившихся шаров белого, а  - число появившихся
шаров чёрного цвета. Найти математические ожидания и дисперсии
33
случайных величин  и . Найти значение коэффициента линейной
корреляции этих случайных величин.
12.5. Производится один выстрел в мишень. Вероятность попадания
в мишень равна p. Пусть  - число попаданий в мишень, а  - число
промахов. Построить
таблицу распределения вероятностей и
функцию распределения F  x , y  двумерной случайной величины
().
12.6. Законы распределения вероятностей независимых случайных
 0
1
2

0
1
2
величин  и  имеют вид:
и
.
pi 0 ,1 0 ,6 0 ,3
pk 0 ,2 0 ,5 0 ,3
Найти законы распределения двумерной случайной величины ()
и случайной величины      .
12.7. Случайная величина  подчиняется бернуллиевскому
распределению B1  p  , а случайная величина  подчиняется
биномиальному распределению Bn  p  . Найти законы распределения
двумерной случайной величины () и случайной величины
    .
12.8. Независимые случайные величины  и  подчиняются
биномиальному распределению Bn  p  и Bm  p  . Используя результат
решения задачи 12.7, найти закон распределения случайной величины
   .
12.9. Случайные величины  и  независимы и распределены по
закону Пуассона: P   k  
k
e

k!
распределения их суммы      .
и P   l  
l
l!
e   . Найти закон
12.10. Изготавливаемые в цехе втулки сортируются по отклонению
их внутреннего диаметра от номинального размера на четыре группы
со значениями 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04 мм и по овальности на четыре
группы со значениями 0,002; 0,004; 0,006 и 0,008 мм. Совместное
распределение отклонений диаметра () и овальности () втулок
задано таблицей:
34
  0 ,02 0 ,004 0 ,006 0 ,008
0 ,01
0 ,01
0 ,03
0 ,04
0 ,02
0 ,02
0 ,02
0 ,24
0 ,10
0 ,04 .
0 ,03
0 ,04
0 ,15
0 ,08
0 ,03
0 ,04
0 ,04
0 ,06
0 ,08
0 ,02
Найти
математические
ожидания,
средние
квадратические
отклонения случайных величин  и , коэффициент линейной
корреляции между ними. Найти частные законы распределения
каждой из величин  и .
12.11. Двумерная случайная величина () имеет плотность
вероятности:
a
,    x , y   .
p x , y   2
2
 16  x  25  y 2
Требуется: а) определить величину параметра a; б) найти функцию
распределения F ( x , y ) ; в) найти частные плотности вероятности
p1  x  и p2  y  компонент  и ; г) определить вероятность попадания
значения
случайной
величины

в
прямоугольник
Q   x , y  R 2 : x  4 , y  5 .





12.12. Случайный вектор () распределен равномерно в круге,
длина радиуса которого равна R, центр круга находится в начале
координат.
а) Напишите выражение плотности вероятности этого вектора.
б) Найдите частные плотности вероятности его компонент.
в) Найдите условные плотности вероятности его компонент.
г) Вычислите коэффициент линейной корреляции компонент.
12.13. Случайный вектор () распределен
прямоугольнике Q   x , y   R 2 : x  a , y  b .


равномерно
в
а) Напишите выражение плотности вероятности этого вектора.
б) Найдите частные плотности вероятности его компонент.
в) Найдите условные плотности вероятности его компонент.
г) Вычислите коэффициент линейной корреляции компонент.
д) Постройте функцию распределения случайного вектора.
12.14. Плотность вероятности случайного вектора ()
представляет собой прямой круговой конус, основанием которого
является круг радиуса R с центром в начале координат. Напишите
выражение плотности вероятности случайного вектора () и
35
определите вероятность того, что значение этого вектора попадёт в
круг радиуса r (r  R), центр которого так же находится в начале
координат.
12.15. Случайный вектор () распределен с постоянной
плотностью внутри квадрата Q   x , y  R 2 : x  y  1 . Запишите
выражение плотности вероятности этого вектора. Найдите частные
плотности вероятности компонент вектора. Запишите выражения
условных плотностей вероятности. Зависимы или независимы
случайные величины  и ? Коррелированны они, или - нет?


12.16. Плотность вероятности случайного вектора (,),
распределённого в квадрате Q   x , y  R 2 : x  y  1, имеет вид:
3
p x , y   1  x  y , если  x , y  Q . Постройте график этой
2
плотности вероятности. Определите частные плотности вероятностей
p1  x  и p2  y  компонент  и . Определите значение коэффициента
линейной корреляции компонент вектора. Запишите плотность
~
вероятности ~
p x , y   p1  x   p2  y  составного вектора    ,  и
постройте его график.
12.17. Плотность вероятности случайного вектора (),
распределённого в квадрате Q   x , y  R 2 : x  1, y  1, имеет вид:
3 1

p x , y   1   x  y  x  y  , если  x , y  Q . Постройте график
4 2

этой плотности вероятности. Определите частные плотности
вероятностей p1  x  и p2  y  компонент  и . Определите закон
~
распределения составной случайной величины     ,  и постройте
её график.
Определите значение коэффициента линейной корреляции компонент
вектора.
12.18. Определить плотность вероятности случайного вектора
(), имеющего функцию распределения:
F ( x , y )  1  e x  1  e y , где x ; y  0 .
Определите математическое ожидание случайного вектора ().



12.18. Случайный вектор () распределен с постоянной
плотностью внутри квадрата Q   x , y  R 2 : x  y  1 . Запишите
выражение плотности вероятности этого вектора. Найдите частные

36

плотности вероятности компонент вектора. Запишите выражения
условных плотностей вероятности. Зависимы или независимы
случайные величины  и ? Коррелированны они, или - нет?
12.19. Случайный вектор () с независимыми компонентами  и
 распределен по нормальному закону с параметрами М=2, М= -3,
D=1, D =4. Вычислить вероятности следующих событий:
а)   M ;  M; б)   2; в)   M  1; г)   1,   2.
12.20. Двумерная случайная величина () подчинена закону
x 
 0,
распределения с плотностью
,
где
p x , y   
a  xy , x  
   x , y  R 2 : x  0 , y  0 , x  y  1. Найти величину: а) параметра
a, б) математические ожидания M и M , дисперсии D и D , в)
коэффициент линейной корреляции  .
ОТВЕТЫ
§6. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
7
35
1
,k  1  6. ; F x    pk . M  , D  .
12
2
6
kx
x0
0 ,

6.2. P  0  q , P  1  p ; F  x   q , 0  x  1 ; M  p , D  pq.
1,
1 x

6.1. P  k   pk 
5
5
C5k C73k
7
6.3. P  k  
, k  0,1,2,3. M   3  . M  3  M  .
3
4
12
4
C12
5
5
k
k 3k
. M  3  M .
6.4. P  k   C3 p q , r  0,1,2,3. p  , M  3 
12
12
3
3
3
k1
6.5. P  k   C3   , k  0 ,1,2 ,3. M  , D  .
2
4
2
k
k nk
nk
nk k
6.6. P  k   Cn p q ; P  i   P  n  k   Cn p q ; M  np;
M  nq; D  D  npq.
C10k C54k
 2 1
6.7.а P  k  
; б P  k   C4k    
4
C15
 3   3
4  i 1
i 1
C
C
в) P  i   10 4 5 ,i  1  5; M  M  4 .
C15
k
37
4 k
8
, k  0  4. M  .
3
6.8.а) P  k   qp
, k  1,2,3,4; P  5  p 4 ;
k
5
5
5
б) P  k   qp ,k  0  4; P  5  p ;в) P  0  p ; P  1  1  p .
k 1
5
6
6.9. P  k   pq ,k  1  5; P  6  q p  q ;
P  k   pq k ,k  0  5. P  6  q 6 . P  0  q 6 ; P  1  1  q 6 .
k 1
k
nk
n
5n
1 5
6.10. P  k   C     ,k  0  n; M  np  , D  npq 
.
6
36
6 6
k 
1

k
6.11. P  
  C5  , k  0  5; M  не существует.
5k 
32

1
k 1
n
6.12. P  k   pq , k  1,2,...; M  ; а) P  n  1  q ;
p
q
mn
n
.
б) P  чётное число 
6.13. M 
; M  .
1 q
m
m
k
5 k
k
5 k
C C
CC
6.14. P  k   3 54 , k  1,2,3; P  k   4 53 , k  2,3,4;
C7
C7
20
15
k 1
6.15. P  k    p1  q1 p2 q1q2  , k  1,2,...;
M  ; M  .
7
7
k 1
P  0  p1 , P  k  q1  p2  q2 p1 q1 q2  , k  1,2,...;
1
1
. Одинаковым число бросков будет в том
M 
. M 
p1  q1 p2
q1 p2  q1q2 p1
k
n
случае, если бросания мяча закончатся после попадания в корзину вторым
баскетболистом. Вероятность наступления такого события равна
q1 p2
1
2
. 6.16. P  2  P  12  2 ; P  3  P  11  2 ;
6
6
1  q1q2
3
4
P  4  P  10  2 ; P  5  P  9  2 ;
6
6
6
5
P  6  P  8  2 ;
P  7   2 . Если s  2,3,...,12 , то
6
6
P  s   P1  i   2  k ;i  k  s , где i и k любые числа от 1 до 6, у
1
которых сумма равна s. То есть: P  s    pi  pk , где pi  P1  i  
6
i k s
1
и pk  P 2  k  
для i , k  1,2,...,6 . Так как  1 и  2 - независимые, то
6
7
35 35
M  M1  M 2  2   7 и D  D1  D 2  2   .
2
12 6
3
5
6.17. M i  ; D i  ; Случайные величины-слагаемые независимые, а
2
4
поэтому P  s   P1  i   2  j   3  k    pi  p j  pk , где
P
i j k s
38
1
3
; P  1  P  8  3 ;
3
4
4
6
10
P  2  P  7   3 ; P  3  P  6  3 ;
4
4
12
9
15
P  4  P  5  3 ;
M  3  M i  ; D  3  D i  .
4
2
4
Pзначение - число, кратное двум  0,5 ;
11
Pзначение - число, кратное трём  .
32
200
6.18. M  280 руб . ; 20% .
6.19.
 925,925 руб .  7 ,99% .
216
1
5
4
6.20. M  3  . Pt  36  1  q ; Pt  36  q p; 8 сигналов .
p
q
k
q
1
1
6.21. M  ; M  M   1  .
6.22. M  k ; M   k  k .
p
p
p
p
p
6.23. D  p  q  p  1  p  . Функция y  p1  p  , где 0  p  1 , имеет
1
9
1
максимум при p  . 6.24. a1  p 
; q  . P  10  1  q10  0,651.
2
10
10
1
3
1
6.25. P  n   a  n , n  1,2,3,...; M  ; P  2k   .
2
4
3
6.26. M  p1 , M  p2 ; M  p1q2  q1 p2 или M  M  M  p1  p2 .
s  0  9 . P  0  P  9 
6.27.

2
0
2

2
pk
q2
2qp
p2
pk
q 2  2 pq  p 2
M  2 p 2  q 2   2 p  q ; D  8 pq; M  2; D  0.
k
nk
k
6.28. P  n  2k   Cn  q  p ,k  0  n.
M    n  2k   Cnk q nk p k  n2q  1.
n
6.29. M  M  n;
k 0
D  2n
n
ab
; D  .
2
2
a  b 
Т.к. при a  b D  D , то
P  n  k   P  n  k  . 6.30. Если n=3, то
M  1 при любом значении n. 6.31. M 

pk
0
2
3!
1
3
3!
2
0
3!
9
; M  8.
2
7
7
; M   .
6.33. M  не существует.
11
11
5
2
2
5
6.34. При c  будет M  2c  . 6.35. Так как M 
, то q  .
2
2q
4
3
6.32. M 
39
3
1 .
3!
6.36. Так как M 
1
p
, то p 
.
2  2 k
2 p 1
0
6.37. Составим таблицы величин необходимого количества гирь для взвешивания
при использовании каждого из трёх наборов разновесов.
вес ( гр)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
набор I 1 1 2 2 1 2 2 3 3
набор II 1 1 1 1 2 2 2 3 3
набор III 1 1 2 3 1 2 2 3 4
1
1
1
Построим ряды распределения случайных величин – количество
используемых при единичном взвешивании:
1 1
2
3
2 1
2
3
3 1
2
3
4
pk 0 ,4 0 ,4 0 ,2
pk 0 ,5 0 ,3 0 ,2
pk 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1
Вычислим
гирь,
значения
математических
ожиданий
случайных
величин.
M1  1,8 M 2  1,7 M 3  2,0 . В среднем минимальное число используемых
гирь будет равно 1,7. Значит, наиболее хорошим будет второй набор гирь.
§7. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
x  0;
0,

F( x )  x,
0  x  1;
x  0;1.
1,
1  x.

1
1 1
1
1


M  ; D  . P     P     .
2
12
4
4 4


0,
если t  0,

 t
2
7.2. а) pt    1 T
б) M  T , D  T ;
e
,
если
t

0.

T
1
1
1
в) P  T    0,3679;
г) P  T  ln 2  , P  2T   2  0,1353 .
e
2
e
Так как P  M   0,6321 , то примерно у 63,21% лампочек время их «жизни»
x  0;1;
0,
7.1. p( x )  
1,
будет меньше среднего времени жизни T.

x  2xa
7.3. p x   2  e
, если x>0; x 1  2 ln 2  a ; x0  a ; M 
a;
a
2
2
4  2
1
1
D 
a .
7.4. a  ,b  ; P  1 3    3  P  1  0,5.
2
2

1 1
1
7.5. a  ; F  x    arctgx ;
M - не существует.
2 

2
2

40

1
1
1
1
P  3    1   . 7.6. a  ,b  ; px  
, M  0,
3 2

2

 1  x2
 2
 1
1
1 1

1
 1
D  ; P     ; P    1  ; P
   1  .
2
2 3

2
 3
 2
 2


0,
x  1

1 1
1
2
7.7. a  ; F  x     arcsin x ,
x  .P   1   P   1  .
2 3
2 3

2 
1
x 1

1 2
1
2

7.8. a  ; D  ; P   M    .
2
2 3
9

x  2;
0,
1
2

x  2 ,
 2  x  0;
x  2;
0,

8

7.9. p( x )   1 1
F( x )  
1
2

x
,
x

2
.

1   x  2 , 0  x  2;
2 4
 8
1,
x  2.
0,
x  2c;

3
2
7.10. p x   
c3
M  0; D  .
2
16 ,
3
 x  2c  , x  2c.

1



0, x  2c ,

  x  2c 3
,  2c  x  0,
2

3
7
3
M  0,   6 3 5 , P  c   . F  x   
3
5 2
8
1  2c  x  , 0  x  2c ,

3

1, x  2c.
2
2
2
1  1
x
7.11. a  ; F  x   arctg e ; P  c    arctg 3  arctg
 .



3 3


0
,
x


;

2
2
 1
1

 
7.12. a  ; F ( x )   1  sin x , x  ; M  0; D     2.
2
2
2
2

1,
x .

2
0,
x  a;b;


1
7.13. a  1; b  7. p( x )   1

, x  a;b.

b  a 6
1
1
7.14. a  ,b   ; x 1  3, M  3; P  0,4;2,5  0,375 .
4
4
2
2
7.15. x 1  x0  M  m; D   ; E    ln 2 .
2
41
1
7.16. a 
7.17. a 

2

; P

 a 
a
 1
3

 0,609 .
. P     
6  3 2
12

1
, M   , D   2 .
7.19. a 

, M  0, D 
7.18. M  D  m  1.
7.20.
1
3

 0,60899778  0,609 .
3 2
1
  n2   2
n
2
2
  
, M  n, D  2n.
 n  1

n
2 

7.21. a 
, M  0, D 
, n  2.
n2
n
n  
2

Указание: использовать замену
1
B ,     x 1 1  x  d x 
0
 1
x2
y

, приводящую к бета-функции:
n 1 y
      
1
;   .
    
2
abcd
;
2
a 2  b 2  c 2  d 2  2ab  2cd
D     D  D 
.
12

P   M  1  e
13
65
7.23. M1 
; M 5  . 7.24.
   e  1  1,193.
6
6
P   M 
e
1
1
1
7.25. M  ; PM       . 7.26. P  0,05  .

e
2
P  M 
1
42
 1,2477.
7.27. P  10  .
7.28. k 
;
M


41
,
25
.
P  M 
3
757
7.29. P( 0    3 )  P( 3    9 )  P( 6    9 )  0,3.
2
2
e x
ex
7.30. F ( x )  1  F (  x ); p( x ) 

.
1  e  x 2 e x  12
x  0;1  2;3  4;5;

0,
7.31. p( x )   1
, x  0;1  2;3  4;5.

 3
1
1
F x   0, x   ;0; F x   x , x  0;1; F x   , x  1;2;
3
3
1
1
2
1
2
F x   x  , x  2;3; F x   , x  3;4; F x   x  , x  4;5;
3
3
3
3
3
7.22. M      M  M 

4

4

4
42
F x   1, x  5; .
7.32. E1  ln( 1 
2 ); E2  1; E3  ln 3.
§8. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН
8.1.   N m;  P(   5 )   (
5m

)  (
5m

)   ( 0,13 )  0,053.
 2,5  2,3 
8.3. 0,0026; 0,8823; 0,1151.
  0,09123; 0,00393.
 0,15 
8.4. а)   40,4 ; б)   26,7 . (Полагаем: ( 120 )  0,5 ).
8.2.      

x  b;
0,

p
(
x
)
8.5. Если p( x ) - плотность N(m,), то p ус .  x   
; x  b.
bm

0
,
5


(
)


( bm )
  exp  2
M ус .  m 
. 8.6. 2 1,75  0,920 . 8.7. а) 0,159; 0б023;
2 ( 0,5   ( bm ))
0,0014; б)0,3174;0,0456;0,0028. 8.8. P  2P(   10 )  P(   10 )  0,2525.
 2  2
2
8.9. D   
8.10. а) P(   6 )  0,1336  p;
.
2(ln   ln  )
1  P(  3 )  1  ( C54 p 4 q  p 5 )  0,9986; б) P( 0,5    3,5 )  0,2594  p;
P(  1 )  1  q 5  0,7772. 8.11. а)0,5334; б)0,1317.
ln( 1  P )
 8,045. 8.14. (-15мк; 15мк).
8.12. а) 3 изд. б) 0,75n изделий 8.13. n 
ln( 1  p )
8.15. P(   m   )  0,9973;   3 ; 2,47    2,53. 4,66%.

2
2

 L  2m 
  0,25, L  8,885км.
 2 
8.16.  
8.18. Fa ( x ) 
величины

F ( x )  F (b)
F ( x )  F ( a)
; Fб ( x ) 
.
P (  b )
P (a    b)
и  независимые, то
8.17. а)1,852; б)1,087.
8.19. Если случайные
 6  4
  6  4    4,5 
  4,5 
P(  ,  Q )   
  
   
 
  0,14045.
 14,8    7 ,4 
 7 ,4 
  14,8 
Здесь: Сл. событие {  ,  Q } - «попал один раз»; Сл. событие A - «при трёх
1 1 2
выстрелах попал один раз», P A  C3 p q , где p  0,14045 . 8.20. 0,39347
2
(0,6826); 0,86466 (0,9544); 0,98889 (0,9972).
8.21. D  D2   4 ,
 
D  D     2 2 . P( 2   )  2 
  P1 ;
 2 
P(      )  2 (

)  P2 . Т.к. P1  P2 , то первый метод
2
предпочтительней.
43
§9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОВТОРНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.
9.1. а) 0,004375, 0,099725, 0,032375; б) 0,4938.
9.2.
3
P  3  C548
p 3 q 545  0,1258 ;
P  3 
 3  np 
1
  0,1540 ;
 
npq  npq 
P  3 
3e  
 0,1257 , где np    1,5 .
3!
9.3. P X  4  0,1033; P0  X  4  0,8446.
P X  8  0,0266; P0  X  8  0,9556.
P X  4  0,0902; P0  X  4  0,9474.
P X  8  0,0298; P0  X  8  0,9786.
9.4. P7,5    22,5  2   1,966  0,95072 .
100
9.5. а) P  0  0,98  0,1326 ; б) P0    3  0,6858 в) n  105 .
Указание: Если   число хороших сверл, а число бракованных, то     n .
 100  0,98n 
P100    n   P0    n  100   n  0,143   
  0,9 .
 n  0,14 
При n=104 получаем P100    104  0,8382 . При n=105 получаем
9.6. а) 0,8862; б) 0,4992; в) 0,0569.
P100    105  0,90677 .
9.7. P  7000  228  0,00002 .
9.8. P30    60  0,9431.
9.9. P0    130  0,9992 9.10. а) 0; б) 0,9952; 0,5. Если взнос уменьшить, то:


а) 0,000003; б) 0,3022; 0,00092. Если выплату увеличить, то: а) 0; б) 0,9499; 0,24.
9.11. 0,1742.
9.12. а) 0,52054; б) 0,6826.
9.13. n  100 .
9.14. n  176 .
9.15. n  70 . 9.16. 0,9876. 9.17. а) 0,7698; б) 0,4516. 9.18. 0,6218. 9.19. 6147.
9.20. а) 864; б) 1536; в) 553. 9.21. а) 715; б) 71 458.
9.22. 0,0085.
9.23.
791 m 829.
9.24. 17  m  43;  1  0 ,072;  2  0 ,061;  3  0 ,054.
9.25. 0,2714; 0,1232. 9.26. 539706; 5412050. 9.27. 0,0075; 0,0053.
§10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.
10.1 4 . 10.2. 2 . 10.3. 0,625. 10.4. 0,84. 10.5. 0,889; 0,9973. 10.6. 0,75; 0,9545. 10.7.
5
3
10,2    39,2. 10.8. a)0,9945, б)0,9998; a)0,9558,б)1,0000. 10.9. =0,043; =0,011.
10.10. 0,9875. 10.11. 0,6826; 0,8426. 10.12. Из того, что P (
x m

n  1)  0,9972
x m
1
n  0,1)  0,2358. 10.13.Т.к. D k  2 для
 . Тогда P (

n 3
любого k, то, согласно теореме Чебышева, З.Б.Ч. - применим. 10.14. a)Т.к.
n 2 2
2
D k   , то З.Б.Ч. применим для любого фиксированного ; б)Т.к. D  k  n 1 ,
2
получаем

44
то для выполнения условия D k  c достаточно положить c  49  2 . 10.15. Т.к.
D k  ln n, то З.Б.Ч. - неприменим. 10.16. D n  16 n 2 , а)неприменим,
б)применим, достаточно принять c  38 . 10.17. 0,7699. 10.18. 0,97585. 10.19. а)
да (теорема Хинчина); б) нет (теорема Леви). 10.20. 0,000003, т.к. эта
вероятность мала, то объяснить такую величину отклонения случайностью нельзя. 10.21. n450000. 10.22. 0,04. 10.23. n397. 10.24. n2304. 10.25. 0,7108.
10.26.
n253.
10.27.
n1547536.
10.28.
n  1pq
 250000;
  2
n
pq
2
  
1 
2
2
 16554,7.
10.30. a)0,4796; б)0,8494; в)0,9598.
10.29. n512.
§11. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
a
4r
l h
2
2
. 11.3.
. 11.4. 4,084г,0,00892г 2 . 11.5. arctg  lnl  h 
2

h 2

40
2 1
2 1
11.6.
;
Указание:
см . 11.7. 1. 11.8.
 ln

2 4
2 1
x 2
a2
2r 2
r2
2
2
2
2
2
 x  a dx  2 x  a  2 ln x  x  a . 11.9.  . 11.10.  .
n
ab 3
ab
a2  b2
11.11. M   M k ; M k  pk . 11.12. а)
, ab ; б)
. 11.13.
.
4 4
2
3
k 1
xb
 0,
2
l l2
 . 11.16. px    p0 x 
11.14. ; . 11.15.
,
,
x

b

3 18
 A
11.1.
4a
. 11.2.

b  m 2
1
 e 
b  m
где A    
.
.
M


m


усеч.
2
2  A
  

0,
y  a  

 y  b   y  a  b 
11.17. F  y   F 
, a    y  a  b ;

 a   a    

1,
y  a  b
2
a   
a 2    
 y b
M 
 b ; D 
.
11.18. F  y   F 
.
2
a
12


2
2
M  M a  b  am  b ; D  Da  b  a  .
y  0;
0,

2
y
11.19. p( x )  
11.20. Если    , то
2 1  2
2 p 
  e , y  0.

 

y  0; a 2 
 0,
z  0; a 3 
 0,


p y    1 , y  0; a 2  . Если    3 , то p z    1
.
, z  0; a 3 
2
3
 3a z
 2a y
2
2
45
2
11.21.

l
 ctg , p  y  
l
  l  y 2 
2
0;
y 1

1
1
.
p  y   F  y   

;
y

1
 1  y 2

2
2

1 ;  
0
11.24.
2
2
pk 0,3 0,7
pk
0,1 0,7
,    y  . 11.22.
  sin  ,


11.23.   N am  b; a  .
2
2 .
0,2
§12. ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
i
3  i  k 
k
3!
1 1 1
, где
12.1. P(   i ;  k )  pik 
     
i!k!3  i  k !  3   3   3 
i
3i
k
3 k
0  i  k  3 . P(   i )  pi  C3i 13  13  ; P(  k )  pk  C3k 13  13  ;
C i  C k  C 3i k 
, где 0  i  k  3 .
pik  pi  pk . 12.2. P(   i;  k )  pik  3 3 3 3
C9
C k  C 3 k
C i  C 3i
P  i   pi  3 3 6 , P  k   pk  3 3 6 .
C9
C9
i
i
4i
12.3. P  i ,  4  i   C4  0,7  0,3 , i  0  4 . M  2,8 , M  1,2 .
D  D  0,84 .   1.
C7i  C34i
12.4. P  i ,  4  i  
, i  1  4 . M  2,8 , M  1,2 .
C104
D  D  0,56 .   1.
 0 , x  1; y  1
 / 0
1
 p , x  1; y  1
0,1

F x , y   
12.5. 0
.
q
,
x

1
;
y

1
q

1,0
 1, x  1; y  1
1
p
12.6. P  i ,k   pik  P  i   P  k   pi  pk , где i , k  0,1,2 .

0
1
2
3
4
k
k n  k 1
.
12.7. P  0,k   Cn p q
,
p j 0 ,02 0 ,17 0 ,39 0 ,33 0 ,09
P  1,k   Cnk p k 1q nk ;       Bn1  p  , ( Cnk 1  Cnk  Cnk1 ).
12.8.
      B2 n  p  .
   
12.9. P  m  
m
1
2
 e      .
1
2
m!
12.10. M  0,026; M  0,005.    0,009;    0,0016.   0,074.
46

pk
0,01 0,02 0,03 0,04
0,1
0,4
0,3
0,2

0,002 0,004 0,006 0,008
pk
0,11
0,48
0,30
0,11
.
x 1 1
y
1 1
 arctg     arctg ;
4 2 
5
2 
1
4
5


p
(
x
)

в) p1 ( x ) 
;
;
г)
.
P


4
,


5

2
 16  x 2 
 25  x 2 
4
0,
x R

x2  y2  R2
 0,


12.12. a) p x , y    1
2
2
2 ; б) p1 ( x )   2
,
x

y

R
R2  x2 , x  R
2
2


R
R

0,
x  R 2  y02
0,
y R



1
p2 ( y )   2
. p1  x   
2
2
y
, x  R 2  y02
R

y
y

R

0 
2
2
2
R
2 R  y
o


0,
y  R 2  x02

1
p2  y   
2
2 . Т.к. M  M  0, то
,
y

R

x
 x0  
0
2
2
 2 R  xo
12.11. а) а=20; б) F  x , y   
11  11  M     
 xy  p( x , y )dxdy  0 и   0 .
x2  y 2 R2
 0,
12.13. а) p x , y    1
 4ab ,
x , y  Q
x , y  Q
в) p1  x   p1  x
 
 0,
   1
y  ,

 2a
x a
x a
;
 0, y  b

y
2
2
2


p2  y   p2 
; г)   0 . 12.14. Если x  y  R , то
 1


x

  , y b
 2b
2
3
3
r
r
2
2
2
2
2
p( x , y )  3 R  x  y . P(     r )  3   2  .
R
R
R
 0,  x , y  Q
x 1
 0,
12.15. p x , y    1
; p1  x   
;


,
x
,
y

Q
1

x
,
x

1

 2
x 1 y
 0,
y 1  x  
 0,
1
p2  y   

; p
;
y  
, x 1 y

1

y
,
y

1

 21  y 



y 1 x
 0,

y


;  и  - зависимы, но не коррелированны.
p
 1
, y 1 x
 x 
 21  x 
3
3
2
2
12.16. p1  x   1  x  , где x  1; p2  y   1  y  , где y  1 ;   0 .
2
2
47
3
1  x 2 , где x  1 ; p2  y   3 1  y 2 , где y  1;   0 .
4
2
1
 

 x  y
12.18. p( x , y )    e
; x  y  ln
; M     .
c
1

 
1
12.19. а) P  M ;  M   ; б) P  3  0,8413 ; в) P  1  0,1573 ;
4
г) P  1;   2  P  1  P  2  0,0476 .
2
1
2
12.20. a=24; M  M  ; D  D 
;   .
5
25
3
12.17. p1  x  
2
1  x2
e 
Таблица значений функции x
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
.,.0
0,3989
3970
3910
3814
3683
.,.1
3989
3965
3902
3802
3668
.,.2
3989
3961
3894
3790
3652
.,.3
3988
3956
3885
3778
3637
.,.4
3986
3951
3876
3765
3621
.,.5
3984
3945
3867
3752
3605
.,.6
3982
3939
3857
3739
3589
.,.7
3980
3932
3847
3726
3572
.,.8
3977
3925
3836
3712
3555
.,.9
3973
3918
3825
3697
3538
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3521
3332
3123
2897
2661
3503
3312
3101
2874
2637
3485
3292
3079
2850
2613
3467
3271
3056
2827
2589
3448
3251
3034
2803
2565
3429
3230
3011
2780
2541
3410
3209
2989
2756
2516
3391
3187
2966
2732
2492
3372
3166
2943
2709
2468
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,2420
2179
1942
1714
1497
2396
2155
1919
1691
1476
2371
2131
1895
1669
1456
2347
2107
1872
1647
1435
2323
2083
1849
1626
1415
2299
2059
1826
1604
1394
2275
2036
1804
1582
1374
2251
2012
1781
1561
1354
2227
1989
1758
1539
1334
2203
1965
1736
1518
1315
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,1295
1109
0940
0790
0656
1276
1092
0925
0775
0644
1257
1074
0909
0761
0632
1238
1057
0893
0748
0620
1219
1040
0878
0734
0608
1200
1023
0863
0721
0596
1182
1006
0848
0707
0584
1163
0989
0833
0694
0573
1145
0973
0818
0681
0562
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,0540
0440
0355
0283
0224
0529
0431
0347
0277
0219
0519
0422
0339
0270
0213
0508
0413
0332
0264
0208
0498
0404
0325
0258
0203
0488
0396
0317
0252
0198
0478
0387
0310
0246
0194
0468
0379
0303
0241
0189
0459
0371
0297
0235
0184
0449
0363
0290
0229
0180
48
. .,...0
...,...1
...,...2
...,...3
...,...4 ...,...5
...,...6
..,...7
...,...8
...,...9
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0175
0136
0104
0079
0060
0171
0132
0101
0077
0058
0167
0129
0099
0075
0056
0163
0126
0096
0073
0055
0158
0122
0093
0071
0053
0154
0119
0091
0069
0051
0151
0116
0088
0067
0050
0147
0113
0086
0065
0048
0143
0110
0084
0063
0047
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,0044
0033
0024
0017
0012
0043
0032
0023
0017
0012
0042
0031
0022
0016
0012
0040
0030
0022
0016
0011
0039
0029
0021
0015
0011
0038
0028
0020
0015
0010
0037
0027
0020
0014
0010
0036
0026
0019
0014
0010
0035
0025
0018
0013
0009
0034
0025
0018
0013
0009
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,0009
0006
0004
0003
0002
0008
0006
0004
0003
0002
0008
0006
0004
0003
0002
0008
0005
0004
0003
0002
0008
0005
0004
0003
0002
0007
0005
0004
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0001
0006
0004
0003
0002
0001
2
1 x  z2
Таблица значений функции (x)=
 e dz
2 0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
...,...0 ...,...1 ...,...2 ...,...3 ...,...4 ...,...5 ...,...6 ...,...7 ...,...8 ...,...9
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0398
0438
0478
0517
0557
0596
0636
0675
0714
0754
0793
0832
0871
0910
0948
0987
1026
1064
1103
1141
1179
1217
1255
1293
1331
1368
1406
1443
1480
1517
1554
1591
1628
1664
1700
1736
1772
1808
1844
1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985
0,6
2258
2291
2324
0,7 2580
2612
2642
0,8
2881
2910
2939
0,9
3159
3186
3212
0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
2356
2389
2422
2454
2486
2518
2549
2673
2704
2734
2764
2794
2823
2852
2967
2996
3023
3051
3078
3106
3133
3238
3264
3289
3315
3340
3365
3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531
1,1
3643
3665
3686
3708
3729
3749
1,2
3849
3869
3888
3906
3925
3944
1,3
4032
4049
4066
4082
4099
4115
1,4
4192
4207
4222
4236
4251
4265
0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
3770
3790
3810
3830
3962
3980
3997
4015
4131
4147
4162
4177
4279
4292
4306
4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441
1,6
4452
4463
4474
4484
4495
4505
4515
4525
4535
4545
1,7
4554
4564
4573
4582
4591
4599
4608
4616
4625
4633
1,8
4641
4648
4656
4664
4671
4678
4686
4693
4700
4606
1,9
4713
4719
4726
4732
4738
4744
4750
4756
4762
4767
49
...,...0
...,...1
...,...2
...,...3
...,...4
...,...5
...,...6
...,...7
...,...8
...,...9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
4821
4826
4830
4834 4838
4842
4846
4850
4854
4857
4861
4864
4868
4871 4874
4878
4881
4884
4887
4890
4893
4896
4898
4901 4904
4906
4909
4911
4913
4916
4918
4920
4922
4924 4927
4929
4930
4932
4934
4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
4953
4955
4956
4957
4958 4960
4961
4962
4963
4964
4965
4966
4967
4968
4969 4970
4971
4972
4973
4974
4974
4975
4976
4977
4977 4978
4979
4980
4980
4981
4981
4982
4982
4983
4984 4984
4985
4985
4986
4986
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,4986 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
4990
4991
4991
4991
4992
4992
4992
4992 4993
4993
4993
4993
4994
4994
4994
4994
4994
4995 4995
4995
4995
4995
4996
4996
4996
4996
4996
4996 4996
4996
4997
4997
4997
4997
4997
4997
4997
4997 4998
4998
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983
49984 49985 49985 49986 49986 49987 49987 49988 49988 49989
49989 49990 49990 49990 49991 49991 49992 49992 49992 49992
49993 49993 49993 49994 49994 49994 49994 49995 49995 49995
49995 49995 49996 49996 49996 49996 49996 49996 49997 49997
4,0
0,49997
4,5
0,499997
5,0
Оглавление
§6
§7
§8
§9
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Нормальный закон
Предельные теоремы для повторных независимых
испытаний
§10 Закон больших чисел. Центральная предельная
теорема
§11 Функции случайных величин. Числовые
характеристики. Законы распределения.
§12 Двумерная случайная величина. Законы
распределения. Числовые характеристики
Ответы
50
3
9
16
20
24
30
33
37
0,499997