вопросы к 3-й части коллоквиума

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Определение сходимостей «почти наверное» и по вероятности.
Определение предела числовой последовательности.
Привести пример сходящейся по вероятности последовательности.
Сходится ли по вероятности сходящаяся числовая последовательность?
p
Верно ли, что если P(|ξn − ξ| ≥ 0, 001) → 0 при n → ∞, то ξn → ξ?
Куда сходится по вероятности последовательность ξn ⊂
= B1− n1 ?
Какими свойствами обладает сходимость по вероятности?
Пусть E |ξ| = 1. Оценить по нер. Маркова вероятность P(|ξ| > 3).
Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва?
Как по неравенству Чебышёва оценить вероятность P(|ξ − E ξ| < x), если x > 0
и D ξ существует? Будет ли это оценка сверху или снизу?
Чем можно оценить вероятность с.в. отличаться от своего математического
ожидания более чем на 3 корня из дисперсии? Более, чем на 4? На 5?
Что означают слова «последовательность удовлетворяет ЗБЧ»?
Каков смысл закона больших чисел?
Куда сходятся средние арифметические независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией?
Как себя ведёт отношение числа успехов в схеме Бернулли к числу испытаний
с ростом последнего?
Можно ли при каком-нибудь большом числе бросаний монеты гарантировать,
что частота выпадения орла отклонится от 0,5 не более, чем на 0,05?
Сформулировать ЗБЧ в формах Чебышёва, Маркова, Хинчина.
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые и одинаково распределённые случайные величины. При каком условии существует и чему равен предел последовательности
ξ13 + . . . + ξn3
при n → ∞ ?
n
19.
20.
21.
22.
Сформулировать усиленный ЗБЧ Колмогорова.
Может ли последовательность зависимых сл. величин удовлетворять ЗБЧ?
Может ли последовательность разнораспределённых с.в. удовлетворять ЗБЧ?
Опр. слабой сходимости. Расшифровать по определению запись ξn ⇒ 0.
1
n
23. Доказать по определению, что ξn = − ⇒ 0 и ξn =
24.
25.
26.
27.
28.
1
⇒ 0.
n
Как связаны слабая сходимость и сходимость по вероятности?
Теорема о двойном пределе, свойства слабой сходимости.
Сформулировать ЦПТ.
S n − E Sn
?
Чему равно математическое ожидание и дисперсия p
D Sn
В условиях ЦПТ как себя ведут при n → ∞
Sn − nEξ1
Sn − nEξ1
P p
< 1/n
и P p
<n ?
nDξ1
nDξ1
29. Выполнено ли утверждение ЦПТ для независимых с.в. ξi ⊂
= Πλ ?
30. В условиях ЦПТ каков предел при n → ∞ последовательности вероятностей
P(Sn /n < E ξ1 )?