алгоритмы тестирования

Оценка эконометрических моделей в условиях
нарушения основных предпосылок МНК:
алгоритмы тестирования
� Основные предпосылки МНК ассоциируются с теоремой Гаусса-Маркова и
представляют собой перечень условий для случайных отклонений эконометрической
модели, выполнение которых обеспечивает эффективную статистическую проверку
значимости параметров регрессии
� Часть предпосылок выполняется априори, невыполнение другой части не
приводит к существенным нарушениям желаемых свойств оценок, получаемых с
помощью МНК
� Нарушение двух из пяти предпосылок относительно метода наименьших
квадратов может привести к тому, что полученные оценки не будут обладать
необходимыми свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности
� Предпосылки для случайных отклонений модели дополняются условиями
относительно ошибок спецификации
� предпосылка о гомоскедастичности случайных отклонений
�
гомоскедастичность – однородность наблюдений или постоянство
дисперсии отклонений, т.е. дисперсия каждого отклонения  t одинакова для
всех значений x t , не зависит от момента времени t , в ее изменениях нет
закономерности
�
гетероскедастичность, в противоположность гомоскедастичности -
неоднородность наблюдений или непостоянство дисперсии отклонений
�
гетероскедастичность
неэффективности
оценок,
случайных
полученных
отклонений
с
помощью
приводит
МНК
(речь
к
о
коэффициентах, свойство несмещенности и состоятельности сохраняется,
что позволяет, не смотря ни на что использовать МНК), а также к смещенной
и несостоятельной оценке дисперсионно-ковариационной матрицы МНК
(речь о значениях дисперсий коэффициентов, т.е. стандартных ошибках)
�
в общем случае неизвестными являются как величины случайных
отклонений модели  t , так и значения дисперсии случайных отклонений:
для выборочной оценки первых используются эмпирические значения
отклонений et , для дисперсии соответственно – et 2
�
условие гомоскедастичности, т.е. однородности или постоянства
дисперсии отклонений, может быть записано, как нулевая гипотеза
H 0 : D t    2 для t  H 0 : D i   D j    2 для i, j 
 H 0 : D1   D 2   ...  D n    2 ;  2  const
�
альтернативная
гипотеза
представляет
собою
гетероскедастичности
H1 : D t    2 для t  H1 : D1   D 2   ...  D n    2
условие
� тестирование гомоскедастичности случайных отклонений на практике
�
истинная гетероскедастичность возникает в пространственных выборках
при зависимости масштаба изменений эндогенной переменной от одной из
экзогенных
переменных,
называемой
иногда
фактором
пропорциональности (классический пример – доходы и расходы)
�
истинная гетероскедастичность возникает также и во временных рядах,
когда эндогенная переменная имеет большой интервал качественно
неоднородных значений или высокий темп изменения
�
истинная гетероскедастичность возникает в любой модели, в случае
если качество данных варьирует внутри выборки
�
ложная
гетероскедастичность
всегда
вызывается
спецификацией модели
�
альтернативная гипотеза принимает вид H1 : D t    2  xt k
ошибочной
� Тест Парка
Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на
основе теста Парка строится зависимость дисперсии случайных отклонений от
степенной
функции
экзогенной
переменной,
по
которой
предполагается
гетероскедастичность
yt  b0  b1  x1t  b2  x2 t  et
H1 : D t    2  xt k  D t   et 2  H1 : et 2   2  xt k
  

 
 
ln et 2  ln  2  xt k  ln et 2  ln  2  k  ln xt  ln et 2  0  1  ln xt
Оценки параметров 0 , 1 возможно получить с помощью МНК, а гипотезы
относительно выполнения предпосылки переформулировать
H 0 : гомоскедастичность  et 2   2  1  0
H 0 : гетероскедастичность  et 2   2  xt k  1  0
� Пример.
Выполните следующую последовательность действий в командном поле для
проведения теста Парка в пакете Eviews
LS Y C X1
(оценка исходной модели регрессии)
GENR E=RESID
(создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object)
GENR LNE=LOG(E^2)
(создание переменной логарифма оценки дисперсии отклонений модели регрессии)
GENR LNX1=LOG(X1)
(создание переменной логарифма экзогенной переменной модели регрессии)
LS LNE C LNX1
(построение вспомогательной модели регрессии для теста Парка)
� Пример.
Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики t-статистики
коэффициента 1 при экзогенной переменной вспомогательной модели. Используем
критическую точку распределения Стьюдента при уровне значимости   0,05 и
значении степеней свободы   n  m  1  44  1  1  42 : t крит  t
Поскольку значение статистики t  3,027695  2,018  tкрит  t

2

; n  m 1,
2
; n m 1
 2,018 .
то H 0 должна
быть отклонена в пользу H1 при выбранном уровне значимости. Следовательно,
предпосылка Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных отклонений модели
нарушается. Р-вероятность для t-статистики также показывает, что гипотеза H 0
отклоняется и при уровне значимости   0,01.
� Тест Глейзера
Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на
основе теста Глейзера строится зависимость модуля случайных отклонений от
степенной
функции
экзогенной
переменной,
по
которой
предполагается
гетероскедастичность
yt  b0  b1  x1t  b2  x2 t  et
H1 : D t    2  xt k  D t   et 2  H1 : et   2  xt k
2
Значение k определяется следующим образом: вспомогательная модель вида
et  0  1  xt p
строится для нескольких значений
некоторого интервала
 p1; p2 
p , выбираемых из
с заданным шагом h  выбирается модель с
наибольшим значением R 2 , по которой проверяется гипотеза
H 0 : гомоскедас тичность  et   2  1  0
H 0 : гетерос кедастичность  et   2  et   2  xt k
2
 1  0
� Пример.
Выполните следующую последовательность действий в командном поле для
проведения теста Глейзера в пакете Eviews
LS Y C X1
(оценка исходной модели регрессии)
GENR E=RESID
(создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object)
GENR ABSE=ABS(E)
(создание переменной логарифма оценки дисперсии отклонений модели регрессии)
LS ABSE C X1^P
(построение вспомогательной модели регрессии для теста Глейзера)
После определения вспомогательного уравнения с наибольшим значением
коэффициента детерминации проверка нулевой гипотезы проводится аналогично
тесту Парка.
� Пример.
Модель с оптимальным коэффициентом детерминации R 2  0,225355 получена
при p  4,5 k  2  p  9. Для проверки нулевой гипотезы
статистики
t-статистики
коэффициента
1
при
используем значение
экзогенной
переменной
вспомогательной модели. Используем критическую точку распределения Стьюдента
при
уровне
значимости
  0,05
  n  m  1  44  1  1  42 : tкрит  t
t  3,495484  2,018  t крит  t 

2
2 ;n  m 1
; n m 1
и
значении
степеней
свободы
 2,018 . Поскольку значение статистики
, то H 0 должна быть отклонена в пользу H1
при выбранном уровне значимости. Следовательно, предпосылка Гаусса-Маркова о
гомоскедастичности случайных отклонений модели нарушается. Р-вероятность для tстатистики также показывает, что гипотеза H 0 отклоняется и при уровне значимости
  0,01.
� Тест Вайта
Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на
основе теста Вайта строится зависимость квадрата случайных отклонений от всех
экзогенных переменных, их квадратов, а также перекрестных произведений
yt  b0  b1  x1t  b2  x2 t  et
 et 2  0  1  x1t  2  x 2 t  3  x1t 2   4  x 2 t 2  5  x1t  x 2 t  u t
Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики n  R 2 , где n число наблюдений, R 2 - коэффициент детерминации вспомогательной модели. С
помощью таблицы критических значений  2 -распределения находим критическую
 20,05 2  5,99 .
точку
Поскольку
значение
статистики
n  R 2  44  0,166652  7,332688  5,99   2 0,05 (2) , то H 0 должна быть отклонена в
пользу
H1
при
этом
уровне
значимости.
Р-вероятность
для
статистики
n  R 2 показывает, что гипотеза H 0 не отклоняется при уровне значимости   0,02 .
Тест
Вайта
допускает
использование
при
проверке
гипотезы
о
гомоскедастичности распределения Фишера.
При использовании F-статистики нулевая гипотеза также отклоняется в пользу
альтернативной о гетероскедастичности отклонений модели: находим значение
критической точки в таблице распределения Фишера для уровня значимости
  0,05 и значений степеней свободы  1  m  2,  2  n  m  1  41: Fкрит  3,226.
Поскольку Fнабл  Fкрит , то
нулевая (основная) гипотеза отклоняется, т.е.
коэффициент вспомогательной модели регрессии в тесте Вайта статистически
значим Rвспм2  0 , следовательно, существует статистически значимая зависимость
между дисперсией отклонений модели и значениями экзогенной переменной и
случайные отклонения исходной модели не обладают желаемым свойством
постоянства дисперсии, т.е. гомоскедастичностью
� предпосылка об отсутствии автокорреляции случайных отклонений
�
автокорреляция – «корреляция внутри себя», корреляционная связь
между значениями одного и того же случайного процесса x t в моменты
времени t1 и t 2
�
автокорреляция
–
это
статистическая
взаимосвязь
между
последовательностями величин одного ряда, взятых со сдвигом, для
временных рядов, очевидно, со сдвигом по времени
�
автокорреляция случайных отклонений приводит к неэффективности
оценок, полученных с помощью МНК (речь о коэффициентах, свойство
несмещенности и состоятельности сохраняется, что позволяет, не смотря ни
на что использовать МНК), а также к смещенной и несостоятельной оценке
дисперсионно-ковариационной матрицы МНК (речь о значениях дисперсий
коэффициентов, т.е. стандартных ошибках)
� тестирование автокорреляции случайных отклонений на практике
�
истинная или чистая автокорреляция возникает во временных выборках
и вызывается зависимостью случайного члена от прошлых значений
�
ложная автокорреляция всегда вызывается ошибочной спецификацией
модели
�
автокорреляция также отличается направлением (знаком) и порядком
H 0 : отсутствие автокоррел яции  covei ; e j   0
H 0 : автокоррел яция  covei ; e j   0
�
автокорреляция первого порядка et    et 1  ut
�
автокорреляция второго порядка et  1  et 1   2  et 2  ut
�
сезонная автокорреляция et    et 4   t (для кварталов)
� Тест Бреуша-Годфри
Для проверки гипотезы об автокорреляции случайных отклонений модели
порядка k на основе теста Бреуша-Годфри строится зависимость переменной
случайных отклонений от всех экзогенных переменных, а также лаговых переменных
отклонений до порядка k включительно
yt  b0  b1  x1t  b2  x2 t  et
 et  0  1  x1t  2  x2 t  1  et 1   2  et 2  ...   k  et k  ut
Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики (n  k )  R 2 , где n число наблюдений для исходной модели. Фактически из объема исходной выборки
вычитается наблюдения, на которые сократилась наша выборка вследствие
построения вспомогательной регрессии теста Бреуша-Годфри с лаговыми
переменными, R 2 - коэффициент детерминации вспомогательной модели. С
помощью таблицы критических значений  2 -распределения находим критическую
точку  2 0,05 k . Если значение наблюдаемой статистики будет превышать значение
критической точки – H 0 отклоняется при этом уровне значимости.
� Пример.
Выполните следующую последовательность действий в командном поле для
проведения
теста
Бреуша-Годфри
для
проверки
гипотезы
об
отсутствии
автокорреляции первого порядка в пакете Eviews
LS Y C X1 X2
(оценка исходной модели регрессии)
GENR E=RESID
(создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object)
LS E C X1 X2 Е(-1)
(построение вспомогательной модели регрессии для теста Бреуша-Годфри при k  1)
LS E C X1 X2 Е(-1) Е(-2)
(построение вспомогательной модели регрессии для теста Бреуша-Годфри при k  2 )
С помощью таблицы критических значений
критическую
точку
 2 0,05 1  3.84 .
 2 -распределения находим
Поскольку
значение
(n  1)  R 2  43  1  0,083484  3,50633  3,84   2 0,05 (1) , то H 0 не отклоняется при
этом
уровне
значимости.
Следовательно,
предпосылка
Гаусса-Маркова
о
гомоскедастичности случайных отклонений модели выполняется. Р-вероятность для
статистики (n  1)  R 2 показывает, что гипотеза
H 0 отклоняется при уровне
значимости   0,10 .
Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции второго порядка находим
критическую
точку
 2 0,05 2  5.99 .
Поскольку
значение
(n  2)  R 2  (43  2)  0,137694  5,645  5,99   2 0,05 (2) , то H 0 не отклоняется при
этом
уровне
значимости.
Следовательно,
предпосылка
Гаусса-Маркова
о
гомоскедастичности случайных отклонений модели выполняется. Р-вероятность для
статистики (n  2)  R 2 показывает, что гипотеза
значимости   0,06 .
H 0 отклоняется при уровне
Для проверки гипотезы можно использовать так же F-статистику, сравнивающую
между
собой
коэффициенты
eˆt   0  1 x1t   2 x 2 t   1et 1
детерминации
и модели
вспомогательной
модели
eˆt   0  1 x1t   2 x 2 t , коэффициент
детерминации которой предполагается равным нулю
Fнабл
R12  R2 2 n  m  1 0,083484  0 42  3  1




 3,46136
2
k
1  0,083484
1
1  R1
Находим значение критической точки в таблице распределения Фишера для
уровня
значимости
  0,05
и
значений
степеней
свободы
 1  k  1,  2  n  m  1  38 : Fкрит  4,098. Поскольку Fнабл  Fкрит , то
нет
оснований для отклонения нулевой (основной) гипотезы, согласно которой
R12  R2 2 , т.е. введение лага et 1 не улучшает качество вспомогательной модели =>
автокорреляция первого порядка случайных отклонений исходной модели
отсутствует.