Определенные интегралы

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
«ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
ВАРИАНТ № 1
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 + 1,
y = 9 − x2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4cos ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
4
ρ =2
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 2x − x2 ,
y=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x2
y= ,
4
x2
y=
+ 2,
4
5. Найти длину дуги кривой y =
сой x = 4 .
x = 1,
x = 4.
x от начала координат до точки с абсцис-
6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический
сегмент, если его основание равно 4 м и расположено на поверхности воды,
а самая низкая точка является вершиной параболы и находится на глубине
4 м.
ВАРИАНТ № 2
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 ,
y = 4x .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4sin 3ϕ ,
(внутри одной петли «трехлепестковой розы»).
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 2x 2 ,
y=2 x
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x + y = 6,
x = 0,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
x = t


1 2
 y = 2 t ,
если 0 ≤ t ≤ 1
6. Канат подъемного крана прикреплен к вершине круглого конуса, который
погружен в воду настолько, что его вершина находится на поверхности
воды. Какую работу затратит подъемный кран на извлечение конуса из воды?
ВАРИАНТ № 3
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = − x2 + x + 6 ,
y = 0,
x = −1 ,
x=2
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = a cos ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
xy = 64 ,
x = 8,
x = 16 ,
y=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x = 0,
x=
π
,
2
y = 0,
y = cos x .
5. Найти длину дуги кривой
y = ln cos x ,
0≤ x≤
π
.
4
6. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если от
нагрузки в 1 кг она растягивается на 1 см?
ВАРИАНТ № 4
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 − x − 6 ,
y = 4− x.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = a cos 2ϕ ,
−
π
4
≤ϕ ≤
π
4
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
9 x 2 − 25 y 2 = 225 ,
3x − 10 y = 0 ,
y=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = 9 − x2 ,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
x = t

2
 y = −t + 4,
если 0 ≤ t ≤ 2
6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание воды из корыта, имеющего
форму полуцилиндра, длина которого а = 2 м, радиус r = 0,25 м.
ВАРИАНТ № 5
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x + y = 6,
y = x2 − x − 3 .
y − x = 5,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4cos3ϕ ,
−
π
6
≤ϕ ≤
π
6
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 3,
y = 3 + 9 − x2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = 2x − x2 ,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y= x,
0 ≤ x ≤ 1.
6. Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной
надолбы со дна реки глубиной в 5 м, если надолба имеет форму прямого
параллелепипеда со сторонами 1, 2 и 3 м, удельный вес железобетона
2500 кг/м3?
ВАРИАНТ № 6
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
xy = 6 ,
x + y − 7 = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 2a cos ϕ .
ρ = a cos ϕ ,
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y=
1 2
x ,
4
1
y = x3
8
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = sin x ,
y = 0,
x=
π
.
2
5. Найти длину дуги кривой
y = ln x ,
3 ≤ x ≤ 8.
6. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см, один конец ее соединен с баком,
в котором уровень воды на 100 см выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти величину силы полного давления на заслонку.
ВАРИАНТ № 7
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=
1 2
x ,
2
x + 2y − 6 = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 3cos 4ϕ ,
−
π
8
≤ϕ ≤
π
8
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = − x2 + 5x − 6 ,
y=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: верхней половиной эллипса, опирающейся на большую ось.
5. Найти длину дуги кривой
y 2 = x3 ,
0 ≤ x ≤ 1.
6. Найти величину силы давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого равен 6 м и находится на поверхности воды.
ВАРИАНТ № 8
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = − x2 ,
x + y + 2 = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 2cos ϕ ,
ρ = 4cos ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
4
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 3 sin x ,
y = sin x ,
0≤ x≤π
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 + 1,
y = 9 − x2 .
5. Найти длину дуги кривой
 y = 5(1 − cos t )

 x = 5(t − sin t ),
0≤t ≤π
6. Найти величину силы давления бензина, находящегося в цилиндрическом
баке высотой h = 3,5 м и радиусом r = 1,5 м на его стенки, если удельный
вес бензина равен 900 кг/м3.
ВАРИАНТ № 9
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = sin x ,
y = cos x ,
x = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4,
ρ = 4cos ϕ ,
−
π
4
≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 2x − x2 ,
y = −x + 2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 ,
y = 4x ,
2x + y − 3 = 0 .
5. Найти длину дуги кривой
 x = 4(t − sin t )

 y = 4(1 − cos t ),
π
2
≤t ≤
2π
.
3
6. Найти величину силы давления на пластинку, имеющую форму равнобочной
трапеции с основаниями а = 24 см, b = 20 см и высотой h = 15 см, погруженную вертикально в жидкость на глубину с = 18 см. Нижнее основание
трапеции меньше верхнего.
ВАРИАНТ № 10
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x,
y = 1 − x2 .
y = 0,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 2,
π
ρ = 4sin ϕ ,
4
≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = x2 ,
y2 − x = 0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = sin x ,
y = 0,
x=
π
.
4
5. Найти длину дуги кривой
x 2 ln x
y=
−
,
4
2
1≤ x ≤ 2.
6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание воды из конического сосуда,
основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания r = 8 см и высота h = 20 см.
ВАРИАНТ № 11
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 2 x − x2 ,
y = 4 x − x2 ,
x = y.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 1,
ρ = 2 + cos ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
3
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси 0х:
y = x3 ,
y= x.
4. Найти координаты центра тяжести
y = − x2 + x + 6 ,
x = −1 ,
x = 2,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y = 1 − x 2 + arcsin x ,
7
0≤ x≤ .
9
6. Найти величину силы давления на пластинку, имеющую форму равнобочной
трапеции с основаниями а = 24 см, b = 20 см, h = 15 см, погруженную вертикально в жидкость на глубину с = 18 см. Нижнее основание трапеции
меньше верхнего.
ВАРИАНТ № 12
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y2 = 4x ,
x + y = 3.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 2,
ρ = 3 + sin ϕ ,
π
6
≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
2 x − x2 − y = 0 ,
2 x2 − 4 x + y = 0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
xy = 6 ,
x + y − 7 = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y = − ln cos x ,
0≤ x≤
π
.
6
6. Подъемным краном при помощи каната, прикрепленного к вершине, поднимается конической формы камень из воды. Какую работу затратит подъемный кран на полное извлечение камня из воды, если вершина конуса находилась на поверхности воды? Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м,
удельный вес 2,5 г/см3.
ВАРИАНТ № 13
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x 2 + 1,
y = 9 − x2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4cos ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
4
,
ρ = 2.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 2x − x2 ,
y=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x2
y= ,
4
x2
y=
+ 2,
4
x = 1,
x = 4.
1
8
5. Найти длину дуги кривой y = ⋅ x 2 от начала координат до точки с абсцис-
сой x = 4 .
6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический
сегмент, если его основание равно 4 м и расположено на поверхности воды,
а самая низкая точка является вершиной параболы и находится на глубине
4 м.
ВАРИАНТ № 14
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x + y = 1,
x + y = 2,
y = 0,5 ,
x = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4cos3ϕ ,
ρ = 2,
0 ≤ϕ ≤
π
6
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
x =3 y−2,
x = 1,
y =1
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = − x2 ,
5. Найти длину дуги кривой
(
x + y + 2 = 0.
)
y = ln x 2 − 1 ,
2 ≤ x ≤ 3.
6. Пластина имеющая форму параболического сегмента с основанием 6 м и
высотой 2 м, погружена в воду так, что ее вершина расположена на поверхности воды. Определить величину силы давления воды на пластину.
ВАРИАНТ № 15
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 .
y = x,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 3 cosϕ ,
ρ = sin ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = 2x − x2 ,
y = −x + 2 , 1 ≤ x ≤ 2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = x,
y = 2 x − x2 .
5. Найти длину дуги кривой
(
)
y = ln 1 − x 2 ,
1
0≤ x≤ .
4
6. Вычислить работу, которую надо затратить на постройку пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды 50 м, сторона основания 50 м,
удельный вес материала 2,5 г/см3.
ВАРИАНТ № 16
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x − y + 2 = 0,
y = x2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 2cos ϕ ,
ρ = 2 3 sin ϕ ,
0 ≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
x 2 + ( y − 2) 2 = 1
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
xy = 4 ,
x2 = 2 y ,
y = 4,
x = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y = 1 − ln cos x ,
0≤ x≤
π
.
6
6. Найти массу стержня длиной l = 4 м, если линейная плотность стержня меняется по закону γ = 1 + 0,2х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из концов
стержня.
ВАРИАНТ № 17
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y 2 − 10 x = 25 ,
9 − 6x = y2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = cos ϕ ,
ρ = sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = x2 ,
y = 1,
x=2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y= x,
x + y = 2,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y = 1 − ln sin x ,
π
π
≤x≤ .
3
2
6. Найти массу стержня, длина которого l = 5 м. Линейная плотность стержня
меняется по закону γ = 2 + 1,3х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из
концов стержня.
ВАРИАНТ № 18
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x + y − 2 = 0,
y = x2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
π
3
≤ϕ ≤ π .
4
4
ρ = 0,5 + sin ϕ ,
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = x 2 + 1,
y = 9 − x2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x = 2 y − y2 ,
5. Найти длину дуги кривой
(
x = y,
)
y = 1 − ln x 2 − 1 ,
x = 0.
3≤ x ≤ 4.
6. Найти величину силы давления воды, находящейся в цилиндрическом баке
высотой h = 4 м и радиусом r = 1 м, на его стенки.
ВАРИАНТ № 19
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y= x,
y = 2,
x=0
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 4sin 3ϕ ,
ρ = 2,
0 ≤ϕ ≤
π
.
6
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = − x2 + x + 6 ,
y = 0,
x = −1 ,
x=2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y 2 − 10 x = 25 ,
9 − 6x = y2 .
5. Найти длину дуги кривой
t
 x = e (cos t + sin t )

t
 y = e (cos t − sin t ),
π
6
≤t ≤
π
4
.
6. Из цилиндрического бака выкачивается вода. Какую работу надо затратить
на это, если высота бака 1,5 м, диаметр 1,2 м.
ВАРИАНТ № 20
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = e− x ,
y = ex ,
x = 1.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 1 + 2 cos ϕ ,
ρ = 1,
π
6
≤ϕ ≤
π
3
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
xy = 6 ,
x+ y−7 =0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x + y − 2 = 0,
y = x2 ,
x = 0.
5. Найти длину дуги кривой
 x = 2cos3 t

3
 y = 2sin t ,
0≤t ≤
π
4
.
6. Сосуд имеет форму параболоида вращения, обращенного вершиной вниз.
Радиус основания равен 2 см, высота 50 см. Он наполнен жидкостью с
удельным весом 2,5 г/см3. Определить работу, которую нужно затратить,
чтобы выкачать всю жидкость.
ВАРИАНТ № 21
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x,
y = 2 − x2 ,
y ≥ 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 3sin ϕ ,
π
2
≤ϕ ≤ π .
3
3
ρ = 5sin ϕ
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = − x2 ,
x+ y+2=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = 5 cos x ,
y = cos x ,
−
π
π
≤x≤ .
2
2
5. Найти длину дуги кривой
3
φ
4
ρ = 3e ,
−
π
2
≤ϕ ≤
π
2
.
6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический
сегмент, если его вершина лежит на поверхности воды, а основание равно
4 м и находится на глубине 4 м.
ВАРИАНТ № 22
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 − 1,
y = x + 1.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 6sin ϕ ,
π
ρ = 4sin ϕ ,
6
≤ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y2 = 4x ,
x + y = 3,
x=0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y=2 x,
y=
1 2
x .
4
5. Найти длину дуги кривой
ρ = 1 − sin ϕ ,
−
π
2
≤ϕ ≤ −
π
6
.
6. Определить величину силы давления воды на вертикальную пластину,
имеющую форму равнобедренного прямоугольного треугольника, если его
катет равен 4 м и расположен на поверхности воды.
ВАРИАНТ № 23
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y 2 − 10 x = 25 ,
9 − 6x = y2 .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = cos ϕ ,
ρ = sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
2
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = x2 ,
y = 1,
x=2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y= x,
x + y = 2,
y = 0.
5. Найти длину дуги кривой
y = 1 − ln sin x ,
π
π
≤x≤ .
3
2
6. Найти массу стержня, длина которого l = 5 м. Линейная плотность стержня
меняется по закону γ = 2 + 1,3х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из
концов стержня.
ВАРИАНТ № 24
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2 .
x + y − 2 = 0,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 0,5 + sin ϕ ,
π
3
≤ϕ ≤ π .
4
4
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
y = x 2 + 1,
y = 9 − x2
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x = 2 y − y2 ,
5. Найти длину дуги кривой
(
x = y,
)
y = 1 − ln x 2 − 1 ,
x = 0.
3≤ x ≤ 4.
6. Найти величину силы давления воды, находящейся в цилиндрическом баке
высотой h = 4 м и радиусом r = 1 м, на его стенки.
ВАРИАНТ № 25
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = e− x ,
y = ex ,
x = 1.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 1 + 2 cos ϕ ,
ρ = 1,
π
6
≤ϕ ≤
π
3
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
xy = 6 ,
x+ y−7 =0
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
x + y − 2 = 0,
y = x2 ,
x = 0.
5. Найти длину дуги кривой
 x = 2cos3 t

3
 y = 2sin t ,
0≤t ≤
π
4
.
6. Сосуд имеет форму параболоида вращения, обращенного вершиной вниз.
Радиус основания равен 2 см, высота 50 см. Он наполнен жидкостью с
удельным весом 2,5 г/см3. Определить работу, которую нужно затратить,
чтобы выкачать всю жидкость.
ВАРИАНТ № 26
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x= y,
x + 2y = 3,
y = 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
ρ = 1 + 2 sin ϕ ,
ρ = 1,
π
4
≤ϕ ≤
π
3
.
3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры:
x2
y= ,
2
x + 2y − 6 = 0.
вокруг оси 0х.
4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
y = e− x ,
y = ex ,
x = 2.
5. Найти длину дуги кривой
y = 1 + arcsin x − 1 − x 2 ,
3
0≤ x≤ .
4
6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости с удельным весом
γ = 1,8 г/см3 из сосуда, имеющего форму конуса, вершина которого расположена выше основания. Радиус основания равен R = 1,2 м, высота
H = 4 м.