Задачи 4 тура 2011/2012 года Задача 1. Функция = ( )определена

Задачи 4 тура 2011/2012 года
Задача 1. Функция = ( )определена на промежутке (−5; 10). На рисунке изображен график ее
производной. Найдите количество точек максимума функции = ( ). (2 балла)
Решение
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, являются критическими. На рисунке
таких точек шесть: = −3, = −1, = 1, = 3, = 5, = 7. Согласно достаточному условию
существования максимума, производная до критической точки должна быть положительная, а
после критической точки — отрицательной. Т.е. нам подходят точки = 1, = 5.
Ответ: 2.
Задача 2. Вычислите 10 cos 2 arctg −
. (3 балла)
Решение
I способ
Выразим косинус двойного аргумента через тангенс.
1
cos 2 = 2cos
−1= 2
cos
Так как tg arctg −
= − , то cos 2 arctg −
II способ
Так как arctg (− ) = −arctg
прямоугольный треугольник.
Искомый косинус равен
(
− 1 = 2(1 +
=2
+1
)
− 1.
−1= .
и cos (− ) = cos , то «минус можно убрать». Рассмотрим
)
. По свойству биссектрисы имеем
(
)
= , откуда
получаем уравнение 8 − 2 − 10 = 0. Корень
= −1 является посторонним, второй корень
= является подходящим. Тогда искомый косинус равен = .
Ответ: 8.
Задача 3. Решите уравнение 2
⋅3
⋅7
= 504 . (5 баллов)
Решение
2
⋅3
⋅7
= 504
⇔2
⋅3
⋅7
= (2 ⋅ 3 ⋅ 7)
= 1 ⇔ 42
= 42 ⇔ 2 − 6 = 0 ⇔ = 3.
Ответ: 3.
⇔2
⋅3
⋅7
Задача 4. Найдите количество натуральных значений аргумента из промежутков убывания
функции
= log
,
. (5 баллов)
Решение
Построим последовательно эскизы графиков функций
= log
= log | |
= log
2
| |
5
= log
2
| |
5
= log
2
| − 4|
5
Промежутками убывания функции являются (−∞; 1,5) и (4; 6,5]. Натуральными числами из этих
промежутков являются 1, 5 и 6.
Ответ: 3.
Задача 5. Точки , , расположены соответственно на сторонах
так, что
:
= 3: 1,
:
= 5: 1,
:
= 3: 5. Отрезки
и
Найдите отношение . (9 баллов)
Решение
Обозначим через точку пересечения прямых
и
.
Применим к треугольнику
теорему Менелая:
⋅
Применим к треугольнику
⋅
=1⇒
=3⋅
,
,
треугольника
пересекаются в точке .
.
теорему Менелая:
⋅
⋅
=1⇒
=
Следовательно,
= 12 ⇒
=3⋅
5 8 +
⇒
3
5
= .
3
12 + 3 + 5
⇒ 4.
12 + 3
Ответ: 4.
Задача 6. Найдите значение параметра , при котором график функции
= (2 − ) + ( + 3 ) + − 4
симметричен относительно прямой = 10. (6 баллов)
Решение
Выделим
2
+
полный
+ 14
является прямая
Ответ: −20.
−
квадрат:
(2 − ) + ( + 3 ) +
−4= 2
+2
+ 14
−4=
− 4. Из свойства параболы вытекает, что осью симметрии параболы
= − . Таким образом,
= −20.