НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ
ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации,
могут быть различными факторами:
 рассеянием действующих нагрузок;
 отклонением от номинального значения механических
характеристик материалов;
 неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения
и т. п.
В расчетах надежности различные параметры
рассматривают как случайные величины.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Случайная величина – величина, которая при многократных
равноточных измерениях может принимать различные числовые
значения.
В основе обработки случайных величин лежат знания
вероятностных закономерностей массовых однородных случайных
событий, являющихся предметом теории вероятностей.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Данные знания позволяют построить закономерности изменения
численных характеристик, описывающих данные события.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных
отраслях науки, техники и технологии:
 теории автоматического управления,
 теории надежности,
 теории ошибок наблюдений,
 теории массового обслуживания
и т.д.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Случайная величина
Случайная величина
Многомерная
Дискретная
Одномерная
Непрерывная
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет
при соблюдении определенной совокупности условий.
Например, если в сосуде содержится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде
находится в жидком состоянии» – достоверное, а совокупность
условий – атмосферное давление и температура воды.
Невозможное событие – событие, которое заведомо не может
произойти при заданной совокупности условий.
Для совокупности условий предыдущего примера событие «вода в
сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Случайное событие – событие, которое при осуществлении
совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.
В случае подбрасывания монеты может выпасть либо «орел», либо
«решка». Каждое из данных событий («выпадение орла» либо
«выпадение решки») – случайное.
События называют несовместными, если появление одного из них
исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Примером может стать извлечение из ящика детали.
Извлечение не бракованной детали исключает извлечение
бракованной. События «извлечение не бракованной детали» и
«извлечение бракованной детали» — несовместные.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
События называют равновозможными, если появление одного
из них не является более возможным, чем появление другого.
В примере с подбрасыванием монеты, предполагая, что она
изготовлена из однородного материала, имеет правильную форму и
чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны
монеты, появление орла или решки – равновозможные события.
Несколько событий образуют полную группу событий, если в
результате испытания появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя
бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Например, при стрельбе по цели обязательно произойдет одно из двух
событий: попадание либо промах. Данные несовместные события
образуют полную группу.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Испытания и события
Испытанием (опытом) называется одно из сколь угодно большого
числа раз воспроизводимого определённого перечня условий.
Событие – совокупность явлений, происходящих в результате
испытания.
Событие
Достоверное
Невозможное
Случайное
несовместные
равновозможные
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Случайную величину принято называть одномерной или скалярной,
если в качестве результата эксперимента регистрируется одно число.
При регистрации набора характеристик случайную величину называют
многомерной или векторной.
Одномерную случайную величину называют дискретной или
непрерывной в зависимости от пространства элементарных событий, в
котором она определена (в дискретном или в непрерывном):
 дискретная случайная величина может принимать только
определенные числовые значения;
 непрерывная случайная величина принимает непрерывный ряд
значений.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Генеральная совокупность и выборка
Генеральная совокупность N – полный набор всех возможных
значений, которые может принимать случайная физическая величина.
Может быть конечной или бесконечной.
Выборкой объема называют набор n значений величин xi, полученный
из генеральной совокупности N.
Под выборкой можно понимать реально рассматриваемую
совокупность значений (x1, x2, …, xi) случайной величины Х, а под
генеральной совокупностью – гипотетически существующую
совокупность возможных значений.
Цель обработки набора величин xi выборки – определение
закономерностей, описывающих генеральную совокупность.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Абсолютная и относительная частота. Вероятность
Абсолютная частота случайной события А – количество m
проявления данного события, зафиксированного в объеме данных n.
Относительная частота случайного события А:
mk
W ( A) 
,
n
где mk – число появления данного события в серии испытаний;
n – общее число проведенных одинаковых испытаний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
При малом количестве испытаний в серии значения Wk для
разных серий испытаний различны.
При большом числе испытаний значения появления события Wk в
различных сериях отличаются друг от друга незначительно.
mk
W ( A) 

 p,
n
n
где р – вероятностью появления случайного события А.
W ( A)  p.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
 вероятность случайного события есть положительное число
0  Р( А)  1
 вероятность достоверного события
Р(А)=1.
 вероятность невозможного события
Р(А)=0.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Функция распределения и плотность вероятности случайной величины
В ходе прямых многократных равноточных измерений заданной
физической величины Х – набор значений (выборка) xi (x1, x2, …, xi).
При этом истинное значение измеряемой величины х0 – неизвестно.
Область значений разбивается на равные интервалы.
Определяется количество измерений, попавших в тот или интервал:
Обозначив через m1, m2, …, mk количество измерений, попавших,
соответственно в первый, второй, …, k-ый интервал, получим для
каждого интервала значения…
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
 абсолютной частоты – m1, m2, …, mk;
 относительной частоты:
mi
Wi  ,
n
где i – порядковый номер интервала;
 плотности относительной частоты
mi
fW ( x) 
.
x  n
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Откладывая по оси абсцисс интервалы Δx, а по оси ординат
значения mi, Wi или fW, строится гистограмма распределения
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной
величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х) того,
что Х не превышает значения х:
 Х – случайная величина,
 х – возможные значения случайной величины.
Вероятность этого события называют функцией распределения:
F(x)=P(X≤x).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Производную от функции распределения по текущей переменной
называют плотностью распределения:
f ( x) 
Т.е. число интервалов k→,
а длина интервала Δx →0.
P( x) F ( x )

.
dx
dx
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Плотность распределения позволяет вычислить, как площадь под
кривой, ограниченной интервалом х[xi, xi+dx], вероятность
попадания случайной величины в данный интервал
F ( x) 
xi  dx

f ( x)dx
xi
и, в конечном итоге,
определить какие
значения случайной
величины наиболее
вероятны.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Для интервала бесконечной длины х[–∞, +∞] вероятность
того, что фиксируемая случайная величина примет какое-либо
значение равна 1

F ( x) 

f ( x)dx  1.

В качестве характеристик распределения случайных величин
используют числовые характеристики – прогнозирование
надежности.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Числовые характеристики
В теории надежности наиболее применимы:
 среднеарифметическое значение;
 математическое ожидание;
 мода;
 медиана;
 дисперсия;
 среднеквадратичное отклонение;
 коэффициент вариации.
Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или
эксплуатации, называют статистическими оценками.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Среднее арифметическое значение фиксируемых величин в
результате n измерений, если получены значения х1, х2, …, хn:
1
1 n
x   x1  x2  ...  xn    xi .
n
n i 1
Математическое ожидание – характеристика центра группирования
случайных величин.
 для дискретных случайных величин
n
M ( x)   xi pi ;
i 1

 для непрерывных случайных величин
M ( x) 
 xf ( x)dx.

В большинстве случаев математическое ожидание характеризует
наиболее вероятное расположение значений случайной величины.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Модой непрерывной случайной величины называется то её
значение, в котором плотность вероятности наибольшая.
Мода дискретной случайной величины – наиболее часто
встречающееся значение.
Медиана случайной величины – такое ее значение, при котором
площади под кривой справа и слева от медианы равны.
Характеризуют положение центров группирования случайных
величин на числовой оси
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Дисперсией называют меру отклонения случайной величины Х
от ее математического ожидания М(х):
 для дискретных случайных величин
n
D( x)   ( xi  М ( х))  pi ;
2
i 1
 для непрерывных случайных величин

D( x) 
2
(
x

M
(
x
))
f ( x)dx.


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеяние
( x)  D( x).
случайной величины:
Размахом
называют
разницу
между
максимальным
минимальным значениями выборки
R=xmax – xmin.
Квантиль – значение случайной величины, соответствующее
заданной вероятности.
Коэффициент вариации характеризует относительную меру
отклонения измеренных значений от среднего
( x) 
( x )
.
M ( x)
и
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность появления какого-либо из нескольких несовместных
событий равна сумме вероятностей каждого из этих событий:
m1  m2  ...  mk
P A1  A2  ...  Ak  
 P A1   P A2   ...  P Ak 
n
Сумма вероятностей всех возможных событий, составляющих данное
событие, равна единице.
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.
Р А  Р А   1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Условная вероятность события А при наступлении события
В – вероятность события А, вычисленная в предположении,
что событие В произошло
P A / B   P AB  / PB 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Теорема умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
P AB   PB   P A / B 
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
P AB   P A  PB 
Общее правило сложения вероятностей: вероятность суммы двух
событий (совместных или несовместных) равна сумме вероятностей
этих событий без вероятности совместного их наступления:
P A  B   P A  PB   P AB 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Теорема о повторении опытов
Теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются
независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого
из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.
Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а
вероятность того, что оно не произойдет, P(Ā) = q, причём
P  A  P  A  p  q  1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых
событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что
в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз,
определяется по выражению
Pn  m   C p q
m
n
C nm 
n!
m! n  m 
m
nm
– биномиальный коэффициент
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Формула полной вероятности отказа
.
Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга
предположений (гипотез) H1, H2, …, Hn, представляющих полную
группу несовместных событий, то вероятность события А, которое
может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:
P  A  P  H i   P  A / H i 
где P(Нi) – вероятность гипотезы Hi;
P(A/Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi
Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез Н1, Н2, …Нi, то
n
P A   PH i P A / H i 
i 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Формула гипотез в оценке показателей надежности
Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1),
P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые
(условные) вероятности гипотез вычисляются:
P( A H i ) 
P( H i ) P( А / H i )
n
 P( H i )  P( А / H i )

P( H i )  P( А / H i )
.
P( A)
i 1
Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …,
P(Hn) называются априорными,
послеопытные – P(H1/А), Р(Н2/А), …, P(Hn / А) – апостериорными.