СиСТемАТичеСкие и СлучАйные ошиБки оПРеделения Положения фоТоценТРоВ ЗВеЗд нА мАТРичных фоТоПРиемникАх

УДК 520.6.07
Систематические и случайные ошибки
определения положения фотоцентров звезд
на матричных фотоприемниках
А. И. Захаров, М. Г. Никифоров
Государственное научное учреждение Государственный астрономический
институт имени П. К. Штернберга Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова (ГАИШ), Москва
Работа посвящена исследованию поведения систематической и случайной
ошибки определения центра изображения звезды на матричных фотоприемниках в зависимости от параметров сигнала, физических характеристик матрицы и алгоритмов обработки изображения.
Ключевые слова: астрономические датчики, ПЗС-матрицы.
Введение
В современных астрометрических задачах возрастает необходимость совершенствования точности измерения координат звезд. Можно выделить множество
факторов, которые накладывают определенные ограничения на точность измерений. Это слабые потоки от большинства звезд, вибрация фотоприемника, которая
приводит к смазыванию изображения, аберрации объектива, дискретность (пикселизация) изображения, неравномерная чувствительность пиксела, шумы фотоприемника, погрешности, связанные с алгоритмами обработки изображения.
В каждом эксперименте может возникать множество систематических ошибок, имеющих самое различное происхождение. В настоящем исследовании мы
рассмотрим две систематические ошибки, которые являются наиболее общими и
присущи всем фотоприемникам, обладающим дискретностью: Δsys = Δ1 + Δ2.
Первая систематическая ошибка Δ1 связана с дискретностью ПЗС-матрицы.
Она обусловлена проецированием исходного непрерывного профиля сигнала на
сетку, которая образована пикселами матрицы ПЗС. При этом точная оценка центра изображения, определяемая отношением несобственных интегралов функции
¥
рассеяния точки (ФРТ) xц ( f ) =
¥
ò xò
f ( x, y) dy dx
ò ò
f ( x, y) dy dx
-¥ -¥
¥ ¥
-¥-¥
тегральных сумм по той же области, xц ( f ) =
, заменяется отношением ин¥
¥
i =0
j =0
å xi å Sij ( f )
¥ ¥
åå Sij ( f )
, где xi– координата
i =0 j =0
центра пиксела {i, j} по оси Х, d — линейный размер пиксела; f (x, y) — ФРТ сигнала;
Захаров Андрей Игоревич — научный сотрудник, E-mail: zakh@sai.msu.ru.
Никифоров Михаил Геннадьевич — научный сотрудник, кандидат физико-математических
наук, E-mail: michael.nickiforov@gmail.com.
281
Систематические и случайные ошибки определения положения фотоцентров звезд…
Sij — сигнал, накопленный в пикселе {i, j} за время экспозиции —
Sij ( f ) =
xi +0,5d yi +0,5d
ò
ò
f ( x, y) dx dy . Систематическая ошибка дискретизации пред-
xi -0,5d yi -0,5d
ставляет собой разность ∆1 = xц ( f ) - xц ( f ) . В отсутствие шумов эту ошибку можно точно вычислить для любой заданной ФРТ сигнала.
Систематическая ошибка Δ2 появляется при замене несобственных интегралов по неограниченной области считывания сигнала на определенные интегралы, область интегрирования которых ограничена размерами матрицы или заранее
определенным размером области считывания сигнала. Остаточная ошибка представляет собой разность этих интегралов:
¥
ò xò
∆2 =
dk 2
¥
ò ò
-¥-¥
ò
f ( x, y) dy dx
-¥ -¥
¥ ¥
-
f ( x, y) dy dx
dk 2
x
ò
f ( x, y) dy dx
-dk 2 -d k 2
dk 2 dk 2
ò ò
.
f ( x, y) dy dx
-dk 2 -d k 2
В отсутствие шумов при увеличении размера области считывания k величина
остаточной ошибки Δ2 уменьшается. Это приводит к уменьшению погрешности
определения положения центра изображения. Физический смысл этого состоит в
том, что дополнительная информация, пусть даже в виде слабого, но незашумленного сигнала, позволяет повысить точность. Общая ошибка определения центра
изображения при шуме может быть представлена в виде суммы случайной и систематических ошибок:
∆ = ∆ sys + ∆ rand = ∆1 + ∆ 2 + ∆ rand .
Алгоритм, с помощью которого обрабатывается изображение, оказывает влияние на точность определения координат. Поэтому возникает необходимость анализа точности применяемых алгоритмов.
Постановка задачи
Исходная проблема математической обработки изображения с целью определения
положения фотоцентров разделяется на две задачи:
• создание оптимальных алгоритмов обработки сигнала и определение условий их применимости;
• исследование поведения погрешностей алгоритмов.
Алгоритмы
определения координат
Наиболее часто используемым алгоритмом определения координат центра изображения является метод нахождения фотометрического центра (метод средневзвешенного центра):
282 А. И. Захаров, М. Г. Никифоров
k
k
k
åå Sij xi
xц,(1) =
i =1 j =1
k
, yц,(1) =
k
åå Sij
k
åå Sij y j
i =1 j =1
j =1 i =1
k
k
åå Sij
,(1)
j =1 i =1
где Sij — сигнал (например, число зарегистрированных фотоэлектронов) в пикселе
{i, j}; xi– координата центра пиксела {i, j} по оси x; yj – координата центра пиксела
{i, j} по оси y; k — нечетное число, выражающее в пикселах длину стороны квадратной области считывания изображения,
k
k
åå Sij = S , где S– общий сигнал от
i =1 j =1
звезды.
Метод средневзвешенного центра получил широкое распространение в задачах определения центра изображения. Его особенность состоит в том, что каждому пикселу приписывается одинаковый вес независимо от интенсивности сигнала в этом пикселе. В случае, когда сигнал во всех пикселах области считывания
значительно превышает шум, метод позволяет получить довольно точные оценки
центра изображения.
В случае, когда сигнал в большинстве пикселов близок к шуму, точность оценок ухудшается. Для повышения точности оценок нахождения фотоцентра при
наличии шумов рассмотрим условия применения другого метода — квадратичного. Для этого составим форму, в которой координате каждого пиксела приписывается свой весовой коэффициент, пропорциональный квадрату сигнала в пикселе:
k
k
k
å xi å Sij2
xц,(2) =
i =1
j =1
k
k
åå Sij2
k
å y j å Sij2
, yц,(2) =
i =1 j =1
j =1
i =1
k
k
åå Sij2
.(2)
j =1 i =1
Параметры задачи
Критерии, по которым выбирался оптимальный алгоритм, определяются не
только методом обработки изображения, но и существенно зависят от постановки задачи. К параметрам задачи относятся технические характеристики матрицы,
ФРТ и интенсивность сигнала, методы наблюдения. Поэтому необходимо независимо определить набор алгоритмов, набор ФРТ и параметры матрицы.
Пусть bij– сумма величин темнового сигнала матрицы и сигнала от фона
в пикселе {i, j}; σ2 — дисперсия шума чтения пиксела; область считывания имеет размер k×k; α = r/d — отношение полуширины ФРТ на половине интенсивности сигнала к размеру пиксела. Для простоты будем считать, что темновой ток и
сигнал фона во всех пикселах матрицы одинаковы, т .е. bij = b. Из геометрических
характеристик матрицы и суммарной величины шума в каждом пикселе общее отношение сигнала к шуму S/N может быть определено, как
S N=
S2
S + k 2 (b + σ 2 )
.
283
Систематические и случайные ошибки определения положения фотоцентров звезд…
Метод решения
Пусть определены параметры задачи S /N, α, k, d. Будем случайным образом проецировать сигнал с заданной ФРТ на матрицу ПЗС, таким образом, чтобы центр
изображения всегда располагался в одном и том же пикселе. При этом центр изображения попадает случайным образом куда-либо внутри пиксела с известными
точными координатами xц,l, yц,l. Зная вид ФРТ, рассчитаем сигнал в каждом пикселе, а затем при помощи алгоритмов (1) и (2) получим расчетные координаты фотоцентра изображения xц,l и yц,l . Проведя этот эксперимент L раз, построим
оценки погрешностей, вносимых систематическими ошибками для заданной ФРТ
в виде:
L
∆x ( f ) =
L
å ( xц,l - xц,l )2
l =1
и ∆y( f )=
L
å ( yц,l - yц,l )2
l =1
L
.
Наложим ряд ограничений на рассматриваемые ФРТ.
Во-первых, потребуем монотонного убывания сигнала при x → ∞, y → ∞, не
медленнее, чем f(x, y) ∝ (x2 + y2)–1. С физической точки зрения это соответствует
¥ ¥
ограниченности сигнала S
ò ò f ( x, y) dy dx = S < ¥ .
-¥-¥
Во-вторых, потребуем единственности максимума интенсивности сигнала,
т. е. ФРТ, которые имеют помимо основного максимума локальные максимумы,
рассматриваться не будут.
В-третьих, для упрощения интерпретации результатов потребуем центральной симметрии сигнала. В этом случае будет достаточно рассмотреть поведение
ошибки только в одной проекции ФРТ, например, в проекции на ось x.
В результате серии расчетов будет получена среднеквадратическая оценка
систематических погрешностей Δsys(S/N, α, k, f), поведение которой необходимо
проанализировать.
Результаты
Исследование систематических ошибок
В качестве примера рассмотрим ФРТ в виде функции Гаусса
f ( x, y ) = S
ln 2
πr
2
-
2
x 2 + y2
r2
;
или в одномерной проекции
f ( x) = S
ln 2
πr
2
¥
ò
-¥
-
2
x 2 + y2
r
2
dy = S
ln 2
πr
2
-
2
x2
r2
.
Смоделируем систематическую ошибку дискретизации Δ1. Чтобы исключить
ошибку Δ2, которая связана с обрезанием сигнала (ограниченностью области
284 А. И. Захаров, М. Г. Никифоров
считывания), возьмем матрицу таких геометрических размеров, чтобы в нее попадал практически весь сигнал.
На рис. 1 представлен результат расчета зависимости систематической ошибки Δ1(α) для алгоритмов, определенных формулами (1) и (2).
Систематическая погрешность определения центра изображения звезды —
Δ2 связана с ограниченным размером области считывания и определяется долей
сигнала, попадающей в эту область. Поэтому для заданного метода обработки сигнала и известной ФРТ можно рассчитать среднеквадратичную систематическую
погрешность, которая зависит только от параметров k и α. На рис. 2 показаны зависимости относительной систематической погрешности Δ2 от размеров области
считывания k при фиксированных значениях α.
Рис. 1. Зависимость среднеквадратической систематической относительной (в долях пиксела) погрешности определения центра изображения звезды — Δ1 от параметра α — отношения полуширины пучка к размеру пиксела. Ромбы (n = 1) соответствуют расчету по формуле (1), кружки (n = 2) — по формуле (2). ФРТ — гауссов профиль
Рис. 2. Зависимость среднеквадратичной систематической относительной (в долях пиксела) погрешности определения центра изображения звезды — Δ2 от размера области считывания — k. ФРТ — профиль Гаусса. Полым символам соответствует расчет по формуле (1),
закрашенным — по формуле (2)
285
Систематические и случайные ошибки определения положения фотоцентров звезд…
Рис. 3. Зависимость среднеквадратического отклонения относительной (в долях пиксела) суммарной систематической погрешности определения центра изображения звезды —
Δ1 + Δ2 от отношения полуширины пучка к размеру пиксела — α. ФРТ — профиль Гаусса.
Ромбы (n = 1) соответствуют расчету по формуле (1), кружки (n = 2) — расчету по формуле (2). Расчет выполнен для размера области считывания сигнала k = 7
Совместное действие систематических ошибок Δ1 и Δ2 приводит к тому, что
суммарная систематическая погрешность имеет выраженный экстремум. Поскольку систематическая ошибка Δ1 для алгоритма (2) смещена в сторону больших
α, положение экстремумов для алгоритмов (1) и (2) будет отличаться. Из поведения систематических ошибок несложно заметить, что их величину можно свести к
сколь угодно малому заранее заданному значению, если взять достаточно большие
α и k. Например, при α = 2 и k = 17 среднеквадратическая суммарная систематическая ошибка координат центров изображений, определенных по формуле (2),
окажется менее Δ1 + Δ2 < 10–7.
Поэтому в каждом эксперименте (или в конструкции прибора) оптимальные
значения α и k определяются априорным максимальным значением полной систематической ошибки Δ1 + Δ2. Если в астрометрических экспериментах ограничить
систематическую погрешность величиной Δ1 + Δ2 ≈ 10–4, то для ФРТ в виде функции Гаусса оптимум для формулы (1) будет достигаться вблизи α = 0,7, для формулы (2) — вблизи α = 1, при размерах области считывания k ≥ 7 (рис. 3).
Исследование точности алгоритмов
Одной из задач настоящего исследования является оценка точности математических алгоритмов, с помощью которых вычисляются фотоцентры звезд. Часть систематических ошибок возникает именно в алгоритме обработки изображения и
не связана с другими параметрами задачи. Предполагая, что все внешние шумы
(тепловые, шумы считывания и т. д.) отсутствуют, и рассматривая только шум
сигнала, можно получить оценки математического ожидания для алгоритмов, использующих формулы (1) и (2) соответственно:
xц,1
xi Si2 5å xi Si2
å
é
ù
1
3 ú
» xц,1 ê1 +
- i
+ i
,(3)
2
3ú
4
ê
S
4S û
2S
12S 5
ë
286 А. И. Захаров, М. Г. Никифоров
xц,2
é
å Si3 ùú å xi Si3
ê
S
ê
ú -4 i
» xц,2 ê1 +4 i
,(4)
ú
2
2
2
ê å Si
2 ÷ö÷ ú
2 ÷ö÷
çæç
çæç
S
S
÷
÷
ê
ççç å i ÷÷÷ ú
ççç å i ÷÷÷
i
êë
è i
ø úû
è i
ø
где Si — математическое ожидание значения сигнала в i-м пикселе при равномерном распределении положения центра сигнала в центральном пикселе,
( k -1) 2
S=
( k -1) 2
å
i =-( k -1) 2
å
Si , xц,1 =
i =-( k -1) 2
S
( k -1) 2
å
xi S i
, xц,2 =
i =-( k -1) 2
xi Si2
( k -1) 2
å
i =-( k -1) 2
.
Si2
Следовательно, математическое ожидание положений фотоцентров, определенных с помощью алгоритмов (1) и (2), оказывается смещенным. Величина смещения нелинейно возрастает с уменьшением интенсивности сигнала. Это означает, что при обработке изображения с помощью линейной и квадратичной формы
фотоцентры слабых звезд окажутся систематически смещенными относительно
ярких звезд, причем величина смещения будет обратно пропорциональна потоку
излучения от звезды. Если задана точность, с которой необходимо провести измерение, можно дать оценку, когда эффект смещения становится существенным.
Например, если ставится задача провести измерение положения фотоцентра с
точностью до сотой пиксела, то смещение будет не значимым для звезд с сигналом S ≈ 100 и выше. Предложенные выражения (3) и (4) дают теоретические оценки для учета смещений, связанных с вышеописанными алгоритмами определения
фотоцентра.
Рис. 4. Зависимости при двух значениях α среднеквадратического отклонения относительной (в долях пиксела) случайной погрешности определения центра изображения звезды
Δrand от отношения сигнала к шуму S/N. Формула (1) — полые символы; формула (2) — закрашенные символы. В приведенном примере: размер области считывания k = 5; дисперсия шума чтения матрицы в пикселе σ2 = 144; ФРТ — функция Гаусса
287
Систематические и случайные ошибки определения положения фотоцентров звезд…
Исследование случайных ошибок
Найдем зависимость случайной ошибки от отношения S /N. Для этого, используя
формулы (1) и (2), рассчитаем зависимость Δtotal (S /N, α) для различных значений
α. Поскольку в каждом испытании систематическая ошибка Δ1,l + Δ2,l известна,
ее можно вычесть из полной ошибки Δtotal,l , которая характеризует данное испытание, и определить значение случайной ошибки Δrand,l (S /N, α). На рис. 4 (см.
с. 286) видно, что относительная случайная погрешность определения центра изображения звезды обратно пропорциональна отношению сигнала к шуму — S /N.
Коэффициент наклона каждой функции Δrand (S /N) зависит от параметра α, причем для заданного значения S/N зависимость от α практически линейная.
Поведение случайной ошибки в общем виде
Можно показать, что для ФРТ общего вида приближенная зависимость дисперсии относительной случайной погрешности определения центра изображения
звезды от отношения сигнала к шуму имеет вид
σ 2rand »
где fi =
1
d
1
d
2
1
xi + d
2
ò ò
d2
( k -1) 2
å
(S N )2 + 1 i =-( k -1) 2
i 2 fi ,(5)
f ( x - xц ) dx dxц ; d — размер пиксела.
1
1
- d xi - d
2
2
Зависимость случайной ошибки от интенсивности сигнала приобретает обратно пропорциональный характер, что было показано на расчетах с ФРТ в виде
функции Гаусса. Формула (5) не применима при условии, когда в выражение
центрированной случайной ошибки отброшенные члены ряда начинают вносить
существенный вклад. Поэтому рабочий диапазон формулы (5) зависит от ФРТ и
интенсивности сигнала. Если ФРТ-сигнал имеет вид функции Гаусса, то отброшенными членами ряда можно пренебречь при α > 0,3 и S > 100.
Зависимость дисперсии ошибки от алгоритма
обработки сигнала
Дисперсия случайной ошибки также зависит от способа определения фотоцентра сигнала, однако характер зависимости сложный. Если исключить шум
считывания, случайная ошибка будет зависеть только от отношения сигнала к
шуму и вида ФРТ. При значениях S/N > 100 меньшую погрешность обеспечивает линейная форма, а при более низких величинах — S/N < 100 — точнее квадратичная форма. Добавление шума считывания ухудшает точность линейной формы
при малых значениях α вне зависимости от величины S/N. При малых значениях
α сигнал настолько концентрирован, что почти во всех пикселах области считывания его интенсивность оказывается существенно ниже уровня шума. Поэтому при
расчете координат центра изображения по линейной форме шум считывания дает
значительно больший вклад по сравнению с квадратичной формой, где он отсекается с помощью весового коэффициента.
288 А. И. Захаров, М. Г. Никифоров
Заключение
• Исследование алгоритмов нахождения фотоцентров изображения показывает, что все оценки, сделанные с помощью линейной и квадратичной формы, оказываются смещенными. Смещение имеет нелинейный характер и
наиболее сильно проявляется на малых сигналах. Предложены теоретические оценки смещений для каждого алгоритма.
• Показано, что независимо от ФРТ-сигнала систематическая ошибка определения центра изображения складывается из двух компонент. Первая составляющая систематической ошибки связана с дискретностью матрицы,
вторая компонента — с ограниченностью области считывания сигнала (или
обрезанием сигнала).
• Суммарная систематическая ошибка имеет выраженный минимум. Для достижения оптимальной точности предпочтительнее проведение измерений
в минимуме систематической ошибки.
• Установлено, что случайная ошибка измерения прямо пропорциональна
отношению полуширины сигнала к размеру пиксела и обратно пропорциональна отношению сигнала к шуму независимо от ФРТ и способа обработки сигнала.
• При высоком отношении сигнала к шуму S/N > 100 наиболее точный результат обеспечивает линейная форма, а при S/N < 100 более эффективна
квадратичная форма. Приведенные оптимальные параметры алгоритмов
зависят от ФРТ и могут изменяться. Поэтому при обработке информации
в астрономических измерениях представляется целесообразной реализация
обоих алгоритмов определения центра сигнала.
Systematic and Random Errors of Stellar Photocenters
Location on Matrix Photodetectors
A. I. Zakharov, M. G. Nickiforov
Sternberg Astronomical Institute of Moscow State University (SAI)
The present article is devoted to research of behavior systematic and random error of
position of stellar image photocenter on matrix photodetectors depending on parameters of a signal, physical characteristics of a matrix and algorithms of processing of
the image.
Keywords: astronomical detectors, CCD matrix.
Zakharov Andrey Igorevich — research scientist, E-mail: zakh@sai.msu.ru.
Nickiforov Mikhail Gennad’evich — research scientist, E-mail: michael.nickiforov@gmail.com.