Алгоритмы вычисления частоты в акустооптических

УДК 621.37/39
Б. Н. Вольфовский, С. С. Шибаев, В. В. Роздобудько
Технологический институт ЮФУ в г.Таганроге
Алгоритмы вычисления частоты в
акустооптических измерителях параметров
радиосигналов
Предложены и проанализированы два эвристических алгоритма вычисления
частоты как абсциссы оси симметрии видеоимпульса, считываемого с фотоприемника в
акустооптических измерителях параметров радиосигналов. Приведены теоретические и
экспериментальные оценки погрешностей. Экспериментально оцененная погрешность
измерения частоты в расширенном динамическом диапазоне уровней входных сигналов
не превышает 10% от шага сетки частот измерителя.
Алгоритм, погрешность, акустооптический измеритель, распределение интенсивности
Введение. Часто у различных по назначению измерителей параметров радиосигналов,
информация об измеряемой величине содержится в положении на оси абсцисс
видеоимпульса, формируемого на выходе измерителя. При этом алгоритм работы
устройства сводится к вычислению абсциссы оси симметрии видеоимпульса и постановке
ей в соответствие измеряемого параметра. Такие схемные и алгоритмические решения
используют, например, в измерителях, предназначенных для вычисления азимута или угла
места цели, положения импульса на оси времени, положения спектральной функции на
оси частот или положения светового сигнала на фотоприёмнике в акустооптических
измерителях частоты [1].
В настоящей работе рассмотрены два алгоритма решения подобных задач. Первый из
них, в котором искомая абсцисса оси симметрии видеоимпульса ищется как абсцисса
точки пересечения двух прямых, пригоден для линейного режима работы измерителя, а
второй, в котором используется свойство симметрии видеоимпульса, – для нелинейного
режима (режима ограничения) работы измерителя.
Алгоритмы апробированы в эксперименте при обработке выходной информации в
макете акустооптического измерителя частоты (АОИЧ) [2]. В связи с тем, что дальнейшее
изложение ведется применительно к АОИЧ, сделаем необходимые пояснения.
В АОИЧ выполняется прямое преобразование Фурье акустического аналога
анализируемого радиосигнала и его результат формируется на входе дискретного
фотоприемника (линейке ПЗС) в виде распределения интенсивности светового сигнала
(РИСС). Продетектированные значения РИСС, которые можно рассматривать как
ординаты видеоимпульса, считываются с фотоприемника и оцифровываются. Указанное
распределение интенсивности соответствует спектру мощности анализируемого
радиосигнала. Оно изменяет свое положение (местонахождение) на фотоприемнике в
зависимости от частоты, поэтому определение положения РИСС на фотоприемнике, в
частности, нахождение абсциссы его оси симметрии (в случае симметричного РИСС)
равносильно измерению частоты. При действии на входе АОИЧ гармонического сигнала
оцифрованное РИСС является аппаратной функцией АОИЧ, которой и определяются его
метрологические параметры [1,2].
Вычисление частоты как абсциссы точки пересечения двух прямых.
Для реализации алгоритма должны быть известны частоты точной настройки четырех
фотодиодов (ФД), расположенных вблизи оси симметрии РИСС, и уровни сигналов на
этих ФД.
На рис. 1 в координатах частота-уровень показаны положения РИСС на
фотоприёмнике. Абсциссы точек A, B, C, D соответствуют частотам точной настройки ФД
фотоприемника, а ординаты этих точек равны уровням сигналов на ФД. Частотный
интервал ∆F между абсциссами точек B и A, A и C, C и D одинаков. BACD –
аппроксимация РИСС линейно-ломанной.
y(f)
C
yD<yA
0,95
0,85
0,75
0,65
A
0,55
F
D
0,45
0,35
∆f
0,25
0,15
B
FC
0,76
0,9
0,49
0,62
-0,21
-0,069
0,069
0,21
0,35
-0,49
-0,35
-1,18
-1,04
-0,9
-0,76
-0,62
0,05
f, МГц
Рис. 1б
Считается, что РИСС, формируемые на фотоприемнике, симметричны относительно
оси F . Абсцисса этой оси равна частоте FC сигнала. Для удобства рассмотрения FC
выбрана равной нулю. При таком выборе абсцисса точки A (частота f A на рис. 1,а) может
быть представлена в виде f A = − ∆f , где ∆f – частотный интервал между абсциссами оси
F и точки A.
Рассмотрим, в качестве примера, гауссово РИСС вида
(
)
y ( f ) = exp − αf 2 ,
(1)
где α – коэффициент формы гауссоиды.
Для РИСС (1) координаты точек A, B, C и D могут быть записаны в форме: A( f A , y A ) ,
(
)
B( f B , y B ) , C ( f C , yC ) , D( f D , y D ) , где: f A = −∆f , y A = exp − αf A2 , f B = −(∆f + ∆F ) ,
(
)
(
)
(
)
y B = exp − αf B2 , f C = ∆F − ∆f , yC = exp − αf C2 , f D = 2∆F − ∆f , y D = exp − αf D2 .
Найдём абсциссу f 0 точки пересечения прямых BА и DС. Она вычисляется [3] по
формуле
f 0 = (c1 − c2 ) ( g 2 − g1 ) ,
(2)
где g1 и g 2 , - угловые коэффициенты, а c1 , и c2 – свободные члены в уравнениях
упомянутых прямых:
y = g1 f + c1 ;
y = g 2 f + c2 .
(3)
Угловые коэффициенты и свободные члены, входящие в (3) вычисляются по
формулам:
g1 = ( y A − y B ) ( f A − f B ) = ( y A − yB ) ∆F ,
(4)
g 2 = ( y D − yC ) ( f D − f C ) = ( y D − yC ) ∆F ,
c1 = ( y B f A − y A f B ) ( f A − f B ) = ( y B f A − y A f B ) ∆F ,
(5)
(6)
c2 = ( yC f D − y D f C ) ( f D − f C ) = ( yC f D − y D f C ) ∆F .
(7)
где: ∆F = f A − f B = f D − f C .
Можно показать, что после подстановки всех входящих в (2) величин выражение для
f 0 примет вид:
(
(
)
(
) )
f 0 = − ∆f − ∆F 2 exp(2α∆f∆F )exp − α∆F 2 − exp(4α∆f∆F )exp − 4α∆F 2 − 1 Z , (8)
где
(
)
(
)
Z = exp(4α∆f∆F )exp − 4α∆F 2 − exp − α∆F 2 [exp(2α∆f∆F ) − exp(− 2α∆f∆F )] − 1 . (9)
Абсцисса f 0 может быть принята за оценку частоты FC сигнала. Методическая
погрешность вычисления частоты δf составит величину δf = FC − f 0 . Поскольку, как
уже отмечалось, FC выбрано равным нулю, то δf = − f 0 . Из (8) и (9) следует, что δf
является функцией трех величин: ∆f , α и ∆F . При этом две последние – коэффициент
формы α и частотный интервал между диодами ∆F постоянны и являются параметрами
измерителя частоты. В отличие от них, частотный интервал ∆f меняется с изменением
частоты FC входного радиосигнала; он определяет ориентацию РИСС относительно ФД и
от него зависят, для каждой частоты FC , уровни сигналов на ФД.
Математическое моделирование показывает, что параметры α и ∆F влияют на
параметры измерителя частоты и погрешность δf не порознь, а совместно. Этот
результат согласуется с теоретическими ожиданиями, поскольку и от α , и от ∆F зависит
конкретная картина распределения уровней сигналов на ФД. На рис. 2 показана расчетная
зависимость максимальной относительной погрешности измерения частоты δf max ∆F
от произведения α∆F 2 .
Анализ этой зависимости показывает, что наименьшая максимальная погрешность
вычисления частоты δf max 0 описанным методом достигается при выборе α и ∆F из
условия:
α∆F 2 = 0,624 ,
(10)
где ∆F − в мегагерцах. При выполнении (10) максимальная погрешность вычисления
частоты составляет 1,18 % от ∆F . В качестве иллюстрации на рис. 3 представлена
методическая погрешность алгоритма δf (∆f ) для коэффициента формы α = 2,32 МГц -2 и
частотного интервала между ФД ∆F = 518,2 кГц.
На этом рисунке частота ∆f измеряемого сигнала варьируется в пределах ∆F . Как
следует из рис. 3 в абсолютном отношении при α∆F 2 = 0,624 погрешность δf внутри
частотной дискреты ∆F изменяется в пределах ±6,1 кГц.
Для использования описанного алгоритма предварительно необходимо (см. рис. 1):
– определить номер ФД k , соответствующий максимальному сигналу и его частоту;
– измерить уровни сигналов yk −1 , y k , yk +1 на ФД с соответствующими номерами;
– при выполнении неравенства yk +1 > yk −1 обозначить (рис. 1,а): y A = y k ; y B = y k −1 ;
yC = y k +1 ; измерить y k + 2 и обозначить y D = y k + 2 ; а при выполнении неравенства
yk +1 < yk −1 обозначить (рис. 1,б): yC = y k ; y A = y k −1 ; y D = yk +1 ; измерить y k − 2 и
обозначить y B = yk − 2 .
После выполнения этих действий вычисляются угловые коэффициенты и свободные
члены по формулам (4)–(7), а оценка частоты f 0 производится по формуле (2).
Отметим, что вычисления по формулам (6), (7) и (2) можно упростить, переместив их
в область нулевых частот. Для этого следует:
− обозначить частоту ФД, соответствующую максимальному сигналу, равной нулю
( f A = 0 для рис. 1,а или f C = 0 для рис. 1,б);
− обозначить (для рис. 1,а):
f B = −∆F ,
f C = ∆F ,
f D = 2∆F , или
f B = −2∆F ,
f A = −∆F , f D = ∆F (для рис. 1,б);
− вычислить, с учётом этих обозначений, угловые коэффициенты g1 , g 2 и свободные
члены c1 , c2 по формулам (4)-(7);
− вычислить значение частоты в области нулевых частот ( f 00 ) по формуле (2);
− вернуться к истинным значениям f A (или f C ) и вычислить абсолютное значение
частоты по формуле: f 0 = f 00 + f A (для рис. 1,а) или f 0 = f 00 + f C (для рис. 1,б).
Экспериментальная оценка точности вычисления частоты описанным способом
выполнялась в макете АОИЧ с гауссовым РИСС на фотоприёмнике и частотным
интервалом между ФД ∆F = 518,2 кГц; АОИЧ функционировал в диапазоне частот
(1,5–2,0) ГГц. Измерения выполнялись на 50 частотах в полосе частот ∆FA ≈ 6∆F .
Частота сигнала FC в указанной полосе увеличивалась с дискретностью ∆F 8 ≈ 65 кГц.
Результаты оценивания в координатах частота сигнала – погрешность для средней и
верхней частей динамического диапазона входных сигналов приведены на рис. 4 и рис. 5
соответственно.
Из рассмотрения экспериментальных зависимостей δf = ϕ(FC ) можно отметить
ожидаемую периодичность погрешностей, а также то, что они смещены в область
отрицательных значений. Это смещение (систематическая составляющая) связано с
имевшим место во время измерений дрейфом частотной шкалы. Скорость дрейфа
составляла 2÷3 кГц/мин, а время измерений для рис. 4 составило ~5 мин, а для рис. 5 –
3 мин.
После центрирования графиков приблизительное значение погрешности составляет:
±60 кГц для рис. 4 и ±28 кГц для рис. 5. Эти погрешности включают в себя
представленные на рис. 3 погрешности метода и погрешности, связанные с имевшей
место в экспериментах асимметрией РИСС.
Как уже отмечалось (см. формулу 10) минимизация методических погрешностей
происходит при выполнении условия: α∆F 2 = 0,624 . Расчеты показывают, что в нашем
случае, для конкретных параметров макета и экспериментально полученных с его
помощью РИСС, значение α∆F 2 изменяется в пределах 0,58÷0,7. При этом сигналу в
середине динамического диапазона (рис. 4) соответствует изменение α в пределах
2,3÷2,607 МГц -2 и изменение параметра α∆F 2 в диапазоне 0,618÷0,7, а сильному сигналу
(рис. 5) − изменение α в пределах: 2,16÷2,403 МГц -2 и изменение параметра α∆F 2 в
диапазоне значений: 0,58÷0,645.
Расчетные графики методических погрешностей вычисления частоты для крайних
значений параметра α∆F 2 (0,58 и 0,7, соответственно) представлены на рис. 6 и рис. 7.
δf,
кГц
(α∆F2)=0,58
10,56
3,52
-3,52
-10,56
-17,6
0
50
100
150 200
250 300
350 400
450 ∆f, кГц
Рис. 6
Анализ этих графиков и сопоставление их с приведенными выше
экспериментальными оценками погрешностей позволяет утверждать, что при работе в
середине динамического диапазона из полученной погрешности ±60 кГц методические
погрешности составляют ±37,34 кГц, а при работе в верхней его части они составляют
±17,2 кГц из общих ±28 кГц.
Вычисление частоты в режиме сильного сигнала.
На рис. 8 в координатах частота-уровень показаны РИСС на ФД в режиме
ограничения (насыщения ФД). Частотный интервал RS соответствует насыщению,
регистрируемому фотодиодами.
Как и в предыдущем случае, абсциссы точек A, B, C, D соответствуют известным
частотам настройки ФД ( f A , f B , f C , f D ), а ординаты этих точек равны измеренным
уровням сигналов на ФД ( y A , y B , yC , y D ). Частотный интервал между ФД одинаков и
равен ∆F . На выходах ФД в интервале RS, находящихся в насыщении, сигнал
максимален (ограничен).
Считается, что РИСС – симметрично относительно оси F ; её абсцисса равна частоте
FC , которую, как и прежде, примем равной нулю.
Идея метода вычисления частоты состоит (рис. 8,а) в определении положения на оси
частот абсцисс точек C и G (т.е. f C и f G ). При этом оценка f 0 частоты FC будет
определяться выражением
f 0 = ( fC + fG ) 2 .
(11)
Будем полагать также, что частота f C известна, а точка G лежит на прямой АВ.
Абсциссу f G можно вычислить как
f G = f A − ∆f ,
(12)
где ∆f – частотный интервал между точками G и E. Для его поиска воспользуемся
свойствами подобных треугольников BAH и GAE. Составим пропорцию
AH BH = AE GE ,
(13)
откуда искомый отрезок GE (интервал ∆f ) определится по формуле:
GE = BH ( AE AH ) .
(14)
Но частотный интервал между точками BH равен ∆F , а величины AE и AH
вычисляются в соответствии:
AE = y A − yC ,
(15)
Таким образом,
AH = y A − y B .
(16)
∆f = ∆F ( y A − yC ) ( y A − y B ) .
(17)
После подстановки вычисленного ∆f в (12), а f G – в (11) получим искомую оценку
положения оси симметрии РИСС:
f 0 = ( f C + f A − ∆f ) 2 .
(18)
Формула (11) справедлива для случая, когда y A > yC > y B (рис. 8,а). Можно показать,
что для альтернативной ситуации, показанной на рис. 8,б, для которой yC > y A > y D ,
формулы для вычисления частоты будут иметь вид:
∆f = ∆F ( yC − y A ) ( yC − y D ) ,
(19)
f 0 = ( f C + f A + ∆f ) 2 .
(20)
Отметим, что описанная методика вычисления частоты справедлива и для гауссового,
и для негауссового РИСС. Перед использованием формул (18) или (20) необходимо
осуществить:
1. Выбор уровня порога U p для нахождения точек A, B, C, D и соответствующих им
уровней сигналов y A , y B , yC , y D . Желательно U p выбирать в верхней части линейного
участка амплитудной характеристики АОИЧ, причем сигналы y A , y B , yC , y D должны
быть ниже U p . При этом один из уровней сигналов y A или yC должен быть ближайшим
к порогу U p .
2. Сравнение сигналов y A и yC . В случае y A > yC для вычислений применяют
формулу (18), в альтернативном случае ( yC > y A ) – формулу (18). В случае равенства y A
и yC частоту f 0 определяют по формуле:
f 0 = ( fC + f A ) 2 .
(21)
Поскольку погрешность δf = FC − f 0 вычисления частоты описанным методом
зависит от точности аппроксимации прямыми АВ (рис. 8,а) или CD (рис. 8,б)
соответствующих участков РИСС, то желательно выполнять вычисления на участках
РИСС с большой крутизной. Этим участкам будут соответствовать минимальные
погрешности аппроксимации. Для более точного вычисления f 0 нужно знать форму
РИСС и, в частности, его коэффициент формы (для гауссовой РИСС коэффициент α ). В
этом случае для вычисления частотного интервала GE можно воспользоваться
формулами, описывающими участок РИСС между точками АВ.
На рис. 9 в качестве иллюстрации показан график зависимости методической
погрешности δf от частотного интервала ∆f , рассчитанный для коэффициента формы
гауссоиды α = 0,51 МГц -2 и частотного интервала между ФД ∆F = 518 кГц.
В случае асимметрии РИСС погрешность δf
будет содержать систематическую
составляющую, которую можно оценить и учесть в последующих вычислениях. Для
получения систематической составляющей погрешности можно использовать
калибровочный сигнал известной частоты.
Описанный алгоритм вычисления частоты, также как и предыдущий, был
экспериментально апробирован при обработке информации на выходе макета АОИЧ [2].
Экспериментальные формы РИСС на выходе макета исследуемого АОИЧ отличались
от РИСС, использованных при математическом моделировании (рис. 8). Реальные РИСС в
режиме насыщения ФД представлены на рис. 10, на котором цифрой 1 обозначено РИСС,
соответствующее начальному участку насыщения ФД, цифрой 2 − РИСС при среднем
уровне насыщения и, наконец, цифрой 3 обозначено РИСС при глубоком насыщении ФД.
3500
3
3000
P
2500
2
2000
1
1500
1000
500
0
1744
FC
1746
1748
1750
1752
1754
f, МГц
Рис. 10
Они отличаются от теоретических РИСС главным образом тем, что в них наблюдается
асимметрия относительно оси, абсцисса которой FC соответствует частоте радиосигнала,
причем асимметрия увеличивается с возрастанием его уровня. Кроме того, ФД,
приходящиеся на участок насыщения РИСС, насыщаются различным образом, из-за чего
сам упомянутый участок насыщения не является ярко выраженным.
С учётом указанных особенностей, вышеописанный алгоритм вычисления частоты,
для данного конкретного случая включил в себя дополнительный шаг, а именно
искусственное формирование участка ограничения, с уровнем ограничения, равным
уровню порога Р.
Погрешности вычисления частоты для этого алгоритма, также как и для предыдущего,
оценивались по 50 реализациям РИСС в полосе частот ∆FA ≈ 6∆F . Частота сигнала от
реализации к реализации увеличивалась с дискретностью 65 кГц. Графики погрешностей
(в координатах частота сигнала – погрешность) для режимов ограничения, показанных на
рис. 10 (кривые 1, 2, 3), представлены на рис. 11.
Видно, что все графики погрешностей включают в себя систематическую
составляющую. На графиках 1 и 3 дополнительно наблюдается влияние на погрешность
дрейфа частотной шкалы.
Систематическая погрешность объясняется асимметрией РИСС и разной (из-за
асимметрии) крутизной РИСС на её фронте и срезе. Различие в крутизне фронта и среза
РИСС приводит к дополнительной погрешности вычисления частоты. После исключения
систематической составляющей погрешность составит приблизительно ±110 кГц (для
кривой 1), ±70 кГц (для кривой 2) и ±55 кГц (для кривой 3).
Заключение.
При использовании в АОИЧ простейшего алгоритма вычисления несущей частоты,
когда в РИСС определяются номера m и n – первого и последнего ФД из группы
«засвеченных»
и
который
задается
соотношением
вида
f 0 = f1 + ∆F (m + n ) 2 = f1 + ∆f Σ (m + n ) 2 N Σ , где f1 – нижняя граничная частота полосы
пропускания ∆f Σ АОИЧ, N Σ – число ФД в ПЗС фотолинейке, его погрешность
единичного измерения не превышает половины частотной дискреты ∆F [4,5].
При использовании в АОИЧ более сложных алгоритмов, например, алгоритма, в
соответствии с которым совокупность N k сигналов РИСС, снимаемых с k фотодиодов,
«приближают» к некоторой известной кривой и координаты ее экстремума
отождествляют со значением измеряемой частоты, то теоретически может быть
реализована погрешность, равная ~ 0,005∆F . Упомянутые и другие известные алгоритмы
обеспечивают возможность измерения амплитуды радиосигналов, если АОИЧ
функционирует в линейном режиме.
В предложенном алгоритме информация о местоположении РИСС обрабатывается с
четырех ФД; алгоритм обеспечивает возможность измерения частоты и амплитуды
сигнала при работе АОИЧ как в линейном, так и в нелинейном режимах; при этом
минимальная теоретическая погрешность измерения частоты составляет величину
порядка 0,01∆F , которую можно считать предельно достижимой. Однако, как показывают
экспериментальные исследования, большое число факторов, влияющих на форму
аппаратной функции АОИЧ, не позволяют реализовать потенциальные возможности
предложенного алгоритма обработки РИСС, а если и позволяют, то требуют для своей
реализации дополнительных структурных (путем усложнения схемы АОИЧ),
вычислительных (связанных с усложнением алгоритма за счет вовлечения в его процесс
дополнительных параметров РИСС), а также временных затрат.
Вместе с тем, поскольку, как показывает эксперимент, предложенный алгоритм
обеспечивает реальную возможность измерения несущей частоты радиосигналов с
погрешностью ≤ 10 % от величины частотной дискреты при работе АОИЧ в линейном и
≤ 20 % при работе в нелинейном режимах, то он может быть рекомендован для
практического использования, причем как в АОИЧ, так и, по-видимому, в других
упоминаемых во введении измерителях.
Библиографический список
1. Роздобудько В. В. Широкополосные акустооптические измерители частотных и фазовых параметров
радиосигналов // Радиотехника. 2001. № 1. С. 79–92.
2. Роздобудько В. В., Пелипенко М. И. Быстродействующий измеритель параметров СВЧ
радиосигналов // Специальная техника. 2006. № 1. С. 28–36.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978.
832 с.
4. Роздобудько В. В., Дикарев Б. Д. Высокоточный акустооптический приемник-частотомер
комбинированного типа // Радиотехника. 2003. № 9. С. 31–36.
5. Grossman S. B., Emmons R. B. Performance analysis and size optimization of focal planes for point-source
tracking algorithm applications // Opt. Engineering. 1984. Vol. 3. № 2.
B. N. Wolfovsky, S. S. Shibaev, V. V. Rozdobudko
Taganrog Institute of Technology of Southern Federal University
The algorithms of frequency computation in acousto-optic measurers of radiosignals parameters
Two heuristic algorithms of frequency computation, as abscissa of symmetry axis of
videopulse, that is pickupped with photoreceiver in acousto-optic measurers of radiosignals
parameters are offered and analyzed. Theoretical and experimental errors estimations are
given. Experimentally evaluated error of frequency computation in enlarged dynamic range of
input signals does not exceed 10 % of frequency grid step.
Algorithm, error, acousto-optic measurer, intensity distribution