080502 Конспект лекций Логика 2011
advertisement
ЛОГИКА Конспект лекций Лекция 1. Что такое логика. Мышление и язык Почти две с половиной тысячи лет назад один из интереснейших мыслителей Древней Греции Сократ – сделал девизом всей своей жизни слова древнего мудреца: «Познай самого себя!» Но чтобы понять, как и ради чего мы живем, необходимо понять и то, как мы мыслим. Только человек, способный к самостоятельному мышлению, может быть по-настоящему свободным. Логика – это наука о мышлении. Знание правил и законов логики помогает развить умение критически и самостоятельно мыслить; изучая логику, мы становимся более свободными. 1.1. Логика — наука о правильном мышлении Слово "логика" происходит от греческого logos – "мысль", "слово", "разум", "закономерность". Нужно учитывать, что в разных ситуациях это слово может иметь разный смысл. В таких выражениях, как "логика вещей", "логика игры", "логика конфликта", оно обозначает или законы природы, или определенную последовательность человеческих действий. Говоря о "логике мышления", имеют в виду некоторые особенности самого процесса мышления. Если же это слово используется в названии учебника или учебного курса, то оно обозначает науку, – это наука о человеческом мышлении. Однако мышление, как и любой другой объект, можно изучать с разными целями. Биология, например, это наука о жизни, но живые организмы исследуются не только биологами. Химики изучают происходящие в живом организме химические реакции, физические процессы в биологических объектах изучает биофизика. Каждая наука видит в живой природе то, что доступно для изучения ее средствами. То же самое можно сказать и об изучении мышления. На схеме (рис. 1) представлены некоторые области знания, имеющие отношение к его исследованию. логика психология \ лингвистика — / мышление / — социология \ философия наука о мозге Рис. 1 Чтобы лучше понять, чем задачи логики отличаются от задач других наук, сравним ее с психологией. Психологи смотрят на мышление прежде всего как на некоторое явление, особенности которого нужно изучить. Психология должна выяснить, как могут мыслить разные люди. Как возникает у ребенка сама способность мыслить, чем детское мышление отличается от мышления взрослого человека, как изменяется процесс мышления под влиянием стресса или в случае болезни? Всё это проблемы психологической науки. Логика смотрит на мышление иначе. Представим себе взрослого человека, который в спокойной обстановке ищет ответ на какой-то вопрос, используя свои мыслительные способности. По своему опыту мы хорошо знаем, что даже в самых благоприятных условиях не всегда удается найти верное решение. Решая задачу, человек должен выбрать правильный путь, а для этого нужно представлять себе, какие ходы мысли в принципе могут считаться правильными. Нужно научиться различать правильное мышление, которое позволяет достичь истины, и мышление неправильное, ошибочное. Как мыслить правильно – это и есть главная проблема логики как науки. Об этой отличительной черте логики хорошо писал известный российский логик Г. И. Челпанов: «Психология рассматривает мышление так, как оно есть; логика – так, как оно должно быть. Психология рассматривает безразлично всевозможные роды мыслительной деятельности: рассуждение гения, бред больного, мыслительный процесс ребенка, животного – для психологии представляют одинаковый интерес, потому что она рассматривает только, как осуществляется процесс мышления; логика же рассматривает условия, при которых мысль может быть истинной, достоверной». Г. И. Челпанов поясняет эту особенность логического подхода к изучению мышления, сравнивая логику с этикой, или наукой о нравственности, и с грамматикой: «Подобно тому, как этика указывает законы, которым должна подчиняться наша жизнь, чтобы быть добродетельной, и грамматика указывает законы, которым должна подчиняться речь, чтобы быть правильной, так логика указывает нам правила, законы или нормы, которым должно подчиняться наше мышление для того, чтобы быть истинным. (Норма от латинского слова norma – есть правило, которое показывает, как что-либо должно совершаться.) Психология есть наука описательная, потому что она описывает и объясняет, как совершаются в действительности умственные процессы; логика есть наука нормативная, потому что она указывает те нормы, которым мышление должно подчиняться»1. Таким образом, более полным ответом на вопрос, что изучает логика, будет такой: логика – это наука о законах правильного мышления. Сравните два следующих рассуждения. «Если покупатель заплатил за товар, то товар становится его собственностью. Петров заплатил за товар. Значит, этот товар стал его собственностью». «Если человек здоров, то у него нормальная температура. У Петрова нормальная температура. Значит, он здоров». По форме эти рассуждения кажутся очень похожими, однако, на самом деле это не так. Правильным является только первое из них. Интуитивно это не так сложно понять, но даже в этом простом случае нелегко точно объяснить, в чем тут дело, чем именно строение второго умозаключения отличается от первого. 1 Челпанов Г. И. Учебник логики. М., 1994. С. 3–4. Изучение логики помогает развить свою логическую интуицию. Логика как наука дает нам правила, которые показывают, какую форму должны иметь правильные умозаключения, по каким схемам они должны строиться и какие здесь возможны ошибки. 1.2. Мысль, слово, реальность Чтобы легко ориентироваться в логических характеристиках мышления, нужно хорошо представлять себе различие между 1) мыслями как одним из элементов человеческого сознания, 2) предметами, о которых мы размышляем, и 3) словами, с помощью которых мы выражаем наши мысли. Чтобы передать свою мысль другому человеку, нужно выразить ее в словах. Кроме слов естественного языка, используются искусственные языки — различные системы знаков. Язык — это система знаков, служащая для хранения, обработки и передачи информации. Слова, которые произнес или записал человек, уже не находятся в его сознании. Это реальные предметы. Как и любая вещь, они тоже состоят из какого-то материала: из мела на доске, из следов чернил или карандаша на бумаге; а если мы произносим слово, то оно существует в виде звуковых колебаний воздуха. Знак — это чувственный предмет, замещающий в нашем мышлении какойлибо другой объект. Взаимосвязи сознания, слов и объективной реальности схематически можно представить так (рис. 2): Мысли Слова Предметы Рис. 2 Эту схему можно назвать логическим треугольником. Иногда нам встречаются слова, с которыми мы не можем связать никакого образа, никакой мысли. В таких случаях говорят, что слово не имеет смысла. Пример: Что такое “экзистенциализм”? Возможно, что вы этого не знаете. Вы можете помнить это слово и произносить его, но оно не будет выражать никакой вашей мысли. Другими словами, в вашей речи оно не будет иметь смысла. Лекция 2. Понятие. Логические операции с понятиями 2.1. Общая характеристика понятия Понятие в ходе мышления решает три познавательные задачи: (1) отличает объекты интересующего нас множества от всех остальных объектов, (2) обобщает объекты интересующего нас множества, (3) выражает сущность объекта данного множества. Понятие как один из видов мысли 1) представляет объекты, объединяя их в множества, и 2) делает это при помощи признаков. П о н я т и е — это мысль, которая обобщает объекты некоторого множества и выделяет это множество по отличительному для него признаку. Содержание и объем понятий Рассмотрим еще раз определение понятия «понятие». В нем легко различить то, что выделяется и обобщается в понятии, и то, при помощи чего происходит такое выделение и обобщение. Первое — это интересующее нас множество объектов, второе — признаки, при помощи которых мы выделяем это множество. Они образуют две важнейшие логические характеристики понятия, объем и содержание. Множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии, называется объемом понятия. Признак, при помощи которого выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества, называется содержанием понятия. Признак — это характеристика объекта, указывающая на наличие или отсутствие у него свойства или отношения. Сложный признак — это соединение двух и более простых признаков при помощи союзов «и», «или», «если..., то...» и т. п. Положительным назовем признак, который говорит о наличии у объекта свойства или отношения. Отрицательным назовем признак, который говорит об отсутствии у объекта свойства или отношения. Объем понятия — это те мыслимые в понятии объекты, ради выделения которых из всех других объектов и образуется содержание понятия. Объем понятия представляет собой множество. Объект a будем называть элементом множества A, если он входит в множество A. Операции с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, и предполагается, что в этих кругах заключены все элементы данного множества. Такие круги называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонарда Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей. Например. Множество стульев мы изобразим следующим образом: Стул Рис. 3 Внутри круга, изображенного на рис. 1, находятся все возможные стулья. Отдельный элемент будем обозначать точкой в круге, единичное множество — кругом. Например. Множество русских царей изобразим при помощи круга, а отдельный элемент, например, Александра П – точкой в круге: Русский царь Александр II Рис. 4 Пересечение множеств студентов и отличников будет выглядеть таким образом: Студенты Отличники Рис. 5 Э л е м е н т о м о б ъ е м а понятия будем называть элемент множества, составляющего объем понятия. Чтобы эффективно оперировать в дальнейшем с объемами понятий, следует иметь в виду следующее правило объема: Каждый э л е м е н т объема понятия имеет в с е п р и з н а к и , перечисленные в содержании понятия. 2.2. Обобщение и ограничение понятий Действия с понятиями (и другими видами мысли) мы будем называть логическими операциями. О б о б щ е н и е — это логическая операция, состоящая в переходе от понятия A к понятию B, при котором объем понятия A оказывается частью объема понятия B. Если прибегнуть к кругам Эйлера, то получится следующая картинка: В А Рис. 6 Необходимо отличать обобщение от отношения части к целому. Цепочка: юридический факультет факультет представляет собой обобщение, потому что объем понятия «юридический факультет» представляет собой часть объема понятия «факультет». В то же время цепочка: факультет университет не представляет собой обобщения, так как объем понятия «факультет» не является частью объема понятия «университет». В них вообще выделяются разные предметы. Факультет является частью предмета «университет». О г р а н и ч е н и е — это логическая операция, состоящая в переходе от понятия A к другому понятию B, при котором объем понятия B оказывается частью объема понятия A. Род и вид Операции обобщения и ограничения связаны с важнейшими для правильного мышления понятиями рода и вида. Понятие A является р о д о м по отношению к понятию B, если A может быть получено в результате обобщения B. Понятие B является в и д о м понятия A, если B может быть получено в результате ограничения A. Если проиллюстрировать соотношение объемов понятий A и B при помощи кругов Эйлера, то мы получим следующую картинку: А В Рис. 7 Если объемы понятий А и В соотносятся таким образом, то А является родом для В, а В является видом для А. Понятие A назовем б л и ж а й ш и м р о д о м для понятия B, если не существует такого понятия C, которое является одновременно обобщением B и ограничением A. 2.3. Отношения между понятиями Рассмотрим произвольную пару понятий A и B. Понятия A и B назовем с р а в н и м ы м и , если в содержаниях этих понятий имеется хотя бы один общий признак.Понятия A и B назовем н е с р а в н и м ы м и , если в содержаниях этих понятий не встречается ни одного общего признака.Рассмотрим пару сравнимых понятий A и B. Понятия A и B назовем с о в м е с т и м ы м и , если объемы этих понятий имеют хотя бы один общий элементПонятия A и B назовем н е с о в м е с т и м ы м и , если в объемах этих понятий нет ни одного общего элемента. Виды совместимости Представим себе возможные случаи совместимости двух понятий A и B. Вопервых, может быть так, что объемы понятий A и B совпадают. Во-вторых, может быть так, что объем понятия B целиком входит в объем A, но в то же время имеются такие элементы A, которые не являются элементами объема понятия B. В-третьих, может быть так, что объемы понятий имеют общую часть, но есть такие элементы объема понятия B, которые не являьтся элементами объема понятия A и наоборот. Рассмотрим эти три случая подробнее. Понятия A и B назовем р а в н о з н а ч н ы м и , если объемы этих понятий состоят из одних и тех же элементов. Понятие B п о д ч и н я е т с я понятию A, если объем B является собственным подмножеством объема A. Понятия A и B находятся в отношении п е р е к р е щ и в а н и я, если они совместимы и имеются элементы объема понятия A, не являющиеся элементами объема понятия B, и элементы объема понятия B, не являющиеся элементами объема понятия A. Виды несовместимости Отношение несовместимости не менее практически важно для мышления, чем отношение совместимости. В нашем мышлении часто возникает задача показать несовместимость некоторых мыслей, например, в дискуссиях. Тогда нам необходимо знание отношений несовместимости между мыслями и умение его выявлять. Отношения между несовместимыми понятиями мы будем делить на два вида: соподчинение и противоречие. Понятия A и B называются с о п о д ч и н е н н ы м и , если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C, и существует элемент объема понятия С, который не входит ни в объем понятия А, ни в объем понятия B. П р о т и в о р е ч а щ и м и называются понятия A и B, если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C и не существует такого элемента объема понятия C, который бы не был элементом объема понятия A или элементом объема понятия B. Отношение противоречия — одно из самых важных в логике. Впоследствии мы будем изучать специальный закон (не)противоречия. На отношении противоречия основывается такая важная логическая операция, как дихотомическое деление«Tertium non datur» — «третьего не дано» — этой старинной формулой может быть описано отношение противоречия. Если же понятия находятся в отношении соподчинения, то «третье» дано, но дано оно может быть по-разному. Поэтому среди понятий, находящихся в отношении соподчинения, мы выделим простое соподчинение и противоположность. Понятия A и B находятся в отношении п р о т и в о п о л о ж н о с т и , если A и B соподчинены третьему понятию C и представляют собой крайние степени выраженности некоторого качества. 2.4. Определение понятий Определения и их виды О п р е д е л е н и е — логическая операция, раскрывающая основное содержание понятия путем перечисления входящих в него простых признаков. Любое определение должно решать следующие задачи: 1) отличать предметы, входящие в объем данного понятия, от всех остальных предметов; 2) указывать существенные признаки предмета. Явные и неявные определения Различение этих видов определений отвечает на вопрос: может ли данное определение быть приведено к форме равенства двух понятий? Это важный вопрос, потому что самые ясные определения возникают тогда, когда мы можем приравнять новое для нас понятие к совокупности других, нам уже известных. Я в н ы м называется определение, которое имеет форму равенства: A=dfB, или может быть приведено к ней. Явное определение имеет следующую структуру. а) Равенство A=dfB в целом называется определением, или дефиницией. б) Понятие, которому дается определение, называется определяемым понятием. В данном случае это — понятие A. в) Понятие, при помощи которого определяется другое понятие, называется определяющим. В данном случае это — B. Большая часть определений, которыми занимается логика, относятся к числу явных. Н е я в н о е определение — это определение, которое не имеет формы равенства A =df B, и не может быть приведено к ней. Среди явных определений мы специально рассмотрим родовидовые определения. Родовидовые определения Большинство явных определений принадлежит к числу родовидовых, т.е. определений через ближайший род и видовое отличие. Понятия ближайшего рода и вида были введены при обсуждении операций обобщения и ограничения. Осталось пояснить понятие видового отличия. В и д о в ы м отличием будем называть признак, при помощи которого из данного рода выделяется некоторый его вид. Р о д о в и д м в ы м назовем определение через род и видовое отличие. Родовидовое определение имеет следующую структуру: A = df B и C, где A — определяемое понятие, а B и C — определяющее понятие. B здесь обозначает род, а C — видовое отличие. Правила определения 1. Правило соразмерности. В правильном определении объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. С правилом соразмерности связаны две возможные ошибки: а) С л и ш к о м ш и р о к о е о п р е д е л е н и е . Определение называется с л и ш к о м ш и р о к и м , если объем определяемого понятия является частью объема определяющего понятия. б) С л и ш к о м у з к о е о п р е д е л е н и е . Определение называется с л и ш к о м у з к и м , если объем определяющего понятия (B) является частью объема определяемого понятия (A). 2. Правило запрета круга. Определение не должно порождать круга или тавтологии. К р у г о м в о п р е д е л е н и и называется логическая ошибка, заключающаяся в том, что понятие A определяется при помощи понятия B, а понятие B, в свою очередь, определяется при помощи понятия A. Тавтология — логическая ошибка, заключающаяся в том, что определяемое понятие встречается в определяющем понятии. 3. Правило неотрицательности. Определение по возможности не должно содержать в определяющем понятии отрицательных признаков. 4. Правило ясности. Определение должно быть как можно более ясным. Это правило включает в себя два положения: а) слова, встречающиеся в определяющей части, должны иметь как можно более ясный смысл, среди них не должно быть метафор и прочих образных выражений; б) понятия, которые мы используем в определяющей части, должны быть нам лучше известны, чем определяемое понятие. Нарушение части а) этого правила ведет к логической ошибке, которая называется «неясное определение». Нарушение части б) этого правила ведет к логической ошибке «определение неизвестного через еще более неизвестное». 2.5. Деление понятий Операция деления понятий решает следующие задачи: составить полный обзор видов понятия в соответствии с некоторым признаком, привести рассмарриваемое понятие к форме, при которой объем этого понятия легко держать в памяти, обеспечить быстрый доступ в памяти к любому интересующему нас виду предметов, содержащемуся в объеме данного понятия. Структура деления При совершении операции деления различаются три составные части: делимое понятие, члены деления, основание деления. Д е л и м ы м называется понятие, в объеме которого различаются возможные виды. Ч л е н а м и д е л е н и я называются понятия видов, различаемые в объеме делимого понятия. О с н о в а н и е м деления называется признак, в соответствии с которым различаются члены деления. Некоторые особенности деления (1) Наибольшая трудность при делении — это выбор признака, по которому будет осуществляться деление. Признак должен мыслиться очень ясно для того, чтобы деление было строгим. (2) Вторая проблема связана с естественной склонностью человеческого рассудка путать логическое деление с выделением в некотором целом предмете его частей. Мы уже сталкивались с этой склонностью, когда обсуждали операции обобщения и ограничения. Деление второго типа мы будем называть физическим делением. Ф и з и ч е с к о е д е л е н и е — это мысленное расчленение целого предмета на части. Пример. Речь делится на вступление, главную часть и заключение.Правила деления и возможные ошибки. Правила деления 1. Правило соразмерности. Объединение объемов членов деления должно совпадать с объемом делимого понятия. Это правило говорит о том, что при делении а) не должно быть пропущено ни одного предмета из объема делимого понятия и б) не должно появиться ни одного лишнего предмета. В соответствии с этим различаются два типа возможных ошибок, возникающих при нарушении требования соразмерности: а) Неполное деление. Деление называется н е п о л н ы м , если объединение членов деления является частью объема делимого понятия. б) Обширное деление. О б ш и р н ы м называется деление, при котором объем делимого понятия является частью объединения объемов членов деления. 2. Правило исключения. Члены деления должны исключать друг друга. Это означает, что каждый элемент объема делимого понятия должен входить ровно в один член деления. Нарушение правила исключения приводит к ошибке «неисключающее деление»: Члены деления не исключают друг друга. Эта ошибка встречается, если какой-нибудь элемент из объема делимого понятия входит одновременно, по крайней мере, в два члена деления. 3. Правило одного основания. Это правило относится только к делению по видоизменению признака. Деление должно проводиться по одному основанию. Нарушение этого правила приводит к ошибке: «не по одному основанию». Эта ошибка встречается тогда, когда в основание деления положен более, чем один признак. Пример. Треугольники бывают остроугольные, тупоугольные и равнобедренные. 4. Правило непрерывности. Это правило относится к многоступенчатому, последовательному делению. В процессе деления всегда следует переходить к ближайшим видам. Вид B понятия A называется б л и ж а й ш и м , если не существует такого понятия C, которое было бы видом для A и родом для B. Понятие о классификации В научном исследовании, педагогической и учебной практике часто возникают задачи, в ходе решения которых требуется хранить в памяти большие объемы информации о предметах некоторого класса (множества). При этом все множество предметов этого класса должно быть легко обозримым. Именно для этого предназначен вид деления, который называется классификацией. Если дано некоторое понятие и соответствующее ему множество объектов (объем этого понятия), то можно сказать, что классификация решает тройственную задачу: а) упорядочить это множество; б) сделать его хорошо обозримым; в) облегчить доступ в памяти к любому виду предметов данного множества. Классификация возникает в результате последовательного многоступенчатого применения операции деления. Виды, охарактеризованные множеством признаков, служащих основаниями последовательного деления, будем называть к л а с с а м и . К л а с с и ф и к а ц и я — систематическое распределение элементов объема понятия по классам, возникающее в результате последовательного многоступенчатого применения операции деления. Лекция 3. Простое суждение 3.1. Общая характеристика суждения. С у ж д е н и е — это мысль, в которой утверждается или отрицается связь между объектами и признаками. Суждение выражается в языке при помощи п о в е с т в о в а т е л ь н ы х предложений. Суждение и понятием сходны в том, что и то, и другое есть мысль, в том и другом идет речь об объектах и признаках. Отличаются они тем, что понятие выделяет и обобщает объекты при помощи признаков. Суждение не выделяет и не обобщает. Правда, в суждении используются понятия, но используются для того, чтобы утверждать или отрицать связь между ними. Суждение говорит, что состояние мира таково, что данный признак присущ данному объекту или, наоборот, не присущ данному объекту. Однако мир не всегда отвечает нашим ожиданиям. Ситуация, описываемая в суждении, может иметь место в мире, а может и не иметь, а это означает, что суждение может быть истинным или ложным. Виды суждений П р о с т ы м называется суждение, которое содержит не более одного утверждения или отрицания. С л о ж н ы м называется суждение, которое содержит более одного утверждения или отрицания. Виды простых суждений по виду признака суждения делятся на: (а) атрибутивные, если признак связан с наличием или отсутствием свойства; (б) реляционные, или с отношением, если признак связан с наличием или отсутствием отношения. Рассмотрим атрибутивные суждения. Их название связано с лат. словом attribuo — придаю, наделяю. Под атрибутом обычно понимается какое-либо свойство предмета. Структура атрибутивного суждения: (1) То, о чем говорится в суждении, объект, о котором идет речь («Великобритания»); его мы будем называть субъектом суждения. (2) То, что говорится о субъекте суждения, признак, наличие которого утверждается или отрицается в суждении («быть конституционной монархией»); его мы назовем предикатом суждения. (3) То, что связывает субъект и предикат в единое суждение — связка суждения. Связка обычно выражается словами «есть» или «не есть». Если обозначить субъект буквой S, а предикат — буквой P, то структуру атрибутивного суждения можно выразить следующим образом: S (не) есть P. В логике принято среди всех атрибутивных суждений выделять некоторый специальный вид — экзистенциальные суждения, или суждения существования. Рассмотрим следующие суждения: (а) Иван — веселый. (б) Иван — находчивый. (в) Иван существует. Суждения (a) и (б) характеризуют отдельные свойства предмета «Иван», а суждение (в) говорит нечто о предмете в целом. Оно не добавляет ничего особенного к нашему познанию предмета, а характеризует положение предмета в бытии, определяет, существует весь этот предмет или не существует. Это служит основанием для того, чтобы рассматривать суждения существования отдельно. Реляционные суждения Второй вид простых суждений — это реляционные суждения, или суждения с отношением. Пример. «Петр — отец Ивана». В структуре этого суждения явно выделяется отношение «быть отцом» и два объекта: «Петр» и «Иван», которым приписывается отношение.в структуру реляционного суждения, или суждения с отношением, входят два или более субъектов, и предикат, роль которого играет отношение. С у б ъ е к т ы реляционного суждения — это понятия объектов, между которыми утверждается или отрицается наличие отношения. П р е д и к а т суждения с отношением — это связь, которая утверждается или отрицается в суждении. 3.2. Категорические суждения В логике принято делить атрибутивные суждения на виды по двум основаниям: а) качеству и б) количеству. а) Деление атрибутивных суждений по качеству В атрибутивном суждении наличие признака у субъекта может утверждаться, а может отрицаться. У т в е р д и т е л ь н ы м и называются суждения, говорящие о принадлежности предиката субъекту суждения. О т р и ц а т е л ь н ы м и называются суждения, говорящие об отсутствии у субъекта данного предиката. б) Деление атрибутивных суждений по количеству К о л и ч е с т в о суждения — характеристика суждения, определяющая, в каком объеме рассматривается субъект суждения. Не зная количества суждения, нельзя ни опровергать исходное суждение, ни доказывать его, ибо в зависимости от количества суддения, изменяются способы его доказательства и опровержения. Е д и н и ч н ы е суждения – это суждения, субъектом иоторых является единичное понятие. О б щ и е суждения — это суждения, в которых предикат высказывается обо всем объеме субъекта. Ч а с т н ы е суждения — это суждения, в которых предикат высказывается о некоторых элементах объема субъекта. Пояснение. В пояснении нуждается смысл слов «все» и «некоторые». Мы будем считать, что слово «все» относит предикат к каждому предмету, входящему в объем субъекта. Со словом «некоторые» также связаны определенные проблемы. Действительно, в нашем естественном языке есть два смысла слова «некоторые»: 1) «только некоторые, но не все», 2) «некоторые, а может быть, и все», или, что то же самое, «по крайней мере один». В логике принято употреблять слово «некоторые» во втором смысле. Теперь мы можем дать определение категорических суждений. К а т е г о р и ч е с к и м называется суждение, у которого точно выяснено качество и количество. Все атрибутивные суждения делятся по количеству на общие и частные, а по качеству — на утвердительные и отрицательные. В результате получается, что суждения могут быть: (1) общими и утвердительными — о б щ е у т в е р д и т е л ь н ы м и ; (2) общими и отрицательными — о б щ е о т р и ц а т е л ь н ы м и ; (3) частными и утвердительными — ч а с т н о у т в е р д и т е л ь н ы м и ; (4) частными и отрицательными — ч а с т н о о т р и ц а т е л ь н ы м и . Это четыре вида категорических суждений. Еще в Средневековье были изобретены буквенные обозначения этих четырех видов суждений. Они происходят от названий гласных букв, входящих в латинские слова affirmo — утверждаю, и nego — отрицаю. Общеутвердительные суждения получили обозначение от первой гласной буквы слова affirmo — A, частноутвердительные — от второй гласной буквы этого слова I; общеотрицательные — от первой гласной буквы слова nego — E, частноотрицательные — от второй — O. Существует каноническая форма категорических суждений: A: Все S есть P. E: Ни один S не есть P. I: Некоторые S есть P. O: Некоторые S не есть P. То обстоятельство, что в категорических суждениях точно выяснено качество и количество, позволяет более определенно сформулировать условия их истинности. вопрос: при каких отношениях между понятиями, играющими роль субъекта и предиката суждения, данное суждение истинно? Предпосылкой такого определения условий истинности служит тот факт, что субъектом и предикатом категорических суждений выступают понятия, которые вступают друг с другом в отношения определенного вида Рассмотрим суждение типа A: Все S есть P. Это суждение истинно при следующих взаимоотношениях между понятиями S и P: P S, P S Лекция 4. Виды умозаключений. Умозаключение — это последовательность суждений, в которой последнее суждение выводится из предыдущих. 4.1. Истинность и правильность. Форма мысли В повседневной жизни мы часто не различаем такие характеристики мышления, как правильность и истинность мысли. Чтобы разобраться в этом вопросе, различим сначала содержание мысли и ее логическую форму. Под логической формой в логике понимают строение мысли, которое можно определить как способ связи ее составных частей, или элементов. Сравним между собой три разных суждения: «Все караси – рыбы»; «Все экономисты – образованные люди»; «Все бабочки – насекомые». Эти суждения отличаются друг от друга по своему содержанию: в них говорится о разных предметах и об их свойствах. Однако логическая форма этих суждений одна и та же, то есть эти мысли имеют одно и то же строение. Другими словами, эти три разных мысли включают в себя однотипные составные части, и связаны эти части между собой одинаковым образом. Это легко увидеть, если применить часто используемый в логике прием: он позволяет наглядно и в то же время точно охарактеризовать логическую форму мысли с помощью символов. Строение мысли при этом изображается в виде формулы, напоминающей алгебраическое выражение. В нашем случае нужно заменить символами каждое из понятий, входящих в состав суждений, в результате мы получим общую схему, по которой они все построены: «Все S есть P». Эта схема показывает, что во всех трех случаях мысль состоит из двух основных элементов: 1) S («субъект»), т. е. понятие о предмете суждения («карась», «экономист», «бабочка»); 2) P («предикат»), т.е. понятие о признаке предмета («рыба», «образованный человек», «насекомое»). Эти элементы соединены логической связкой (она выражена в схеме словом «есть»). Связка показывает, что у предмета, о котором идет речь в суждении (например, у карася) имеется именно такой признак (т. е. это рыба). Кроме того, данные суждения содержат особое уточняющее слово «все» (в логике такие слова называются кванторными). Различив содержание и форму мысли, можно перейти к вопросу об истинности и правильности. Мысль называется истинной, если она соответствует своему предмету. Говоря об истине, имеют в виду содержание мысли. Если бы содержание мысли было бы выражено неясно, невозможно было бы определить, является ли эта мысль истинной. Только если мы понимаем, что означает предложение «Идет дождь», мы сможем сопоставить его содержание с тем, что происходит в действительности. Если на самом деле идет дождь, то эта мысль истинна. Если дождя нет, она ложна. Теперь попробуйте оценить истинность такого суждения: «В Гуаякиле не бывает снега». В этом случае у нас нет способа непосредственно проверить, соответствует ли это действительности. Но предположим, что нам объясняют: «Гуаякиль – это город, расположенный у экватора и вдали от гор. Известно, что климат в таких местах тропический и снега там не бывает. Значит и в Гуаякиле не может быть снега». Вопрос о правильности мышления возникает, когда нам нужно оценить ход мысли, когда мы хотим проверить сам процесс рассуждения, который приводит к некоторому заключению. Рассуждение – это мысль, более сложная, чем отдельные суждения Рассуждая, мы связываем определенным способом разные мысли друг с другом для того, чтобы обосновать важную для нас мысль или вывести новую мысль из известной нам информации. В логике такую мысль, в которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение, называют умозаключением. Умозаключением является и рассуждение, которое заканчивается выводом о том, что в Гуаякиле не может быть снега. Оно включает в себя три разных суждения. (1) Гуаякиль – это город, расположенный у экватора и вдали от гор. (2) В местах, расположенных у экватора и вдали от гор, не бывает снега. (3) В Гуаякиле не бывает снега. Можно ли оценить умозаключение как истинное или ложное? Нет. Так можно оценивать только каждое суждение по отдельности. Умозаключение может быть только правильным или неправильным. Оценивая умозаключение, мы проверяем, правильно ли соединены в нем отдельные суждения, действительно ли последнее суждение логически следует из предыдущих. Строение мысли (способ связи ее составных частей) в логике называют формой. Поэтому о правильном умозаключении можно сказать, что оно правильно построено, или что оно имеет правильную форму. В данном случае интуиция подсказывает, что рассуждение о Гуаякиле правильное. Три суждения связаны здесь так: суждения (1) и (2) взяты в качестве исходной информации, а суждение (3) является логическим выводом из (1) и (2). В логике суждения, которые играют роль исходной информации, называют посылками, а суждение, которое логически следует из посылок, – умозаключением. Связь между посылками и заключением – это связь логического следования. В логике принято записывать умозаключения, отделяя посылки от заключения чертой: Гуаякиль – это город, расположенный у экватора и вдали от гор. В местах, расположенных у экватора и вдали от гор, не бывает снега. ____________________________________________________________ В Гуаякиле не бывает снега. Однако правильность умозаключения еще не гарантирует, что мысль «В Гуаякиле не бывает снега» должна быть истинной. Надо еще проверить, действительно ли этот город находится в таком месте. В более сложных случаях логическая интуиция может нас подвести. Главная задача логики как раз и состоит в том, чтобы дать теорию правильных рассуждений, – чтобы отделить хорошие, или правильные, способы рассуждения от неправильных. Правильным будет, например, такое рассуждение: Всякий человек – живое существо. Сократ – человек. _______________________________ Сократ – живое существо. Если мы признаем истинность первых двух суждений, новое суждение, которое получено на их основе, мы тоже будем считать истинным, даже если мы не знаем, кто такой Сократ. Отличительная особенность правильного рассуждения как раз и заключается в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению. Этим объясняется тот огромный интерес, который логика проявляет к правильности мышления. Правильно построенное рассуждение позволяет из уже имеющихся истин получать новые истины, и притом без всякого обращения к опыту. Логика формулирует правила построения умозаключений, с помощью которых можно даже в самых сложных случаях отличить правильное умозаключение от неправильного и разобраться в сути допущенной ошибки. Сравните два следующих рассуждения. «Если покупатель заплатил за товар, то товар становится его собственностью. Петров заплатил за товар. Значит, этот товар стал его собственностью». «Если человек здоров, то у него нормальная температура. У Петрова нормальная температура. Значит, он здоров». По форме эти рассуждения кажутся очень похожими, однако, на самом деле это не так. И правильным является только первое из них. Интуитивно это не так сложно понять, но даже в этом простом случае нелегко точно объяснить, в чем тут дело, чем именно строение второго умозаключения отличается от первого. Изучение логики помогает развить логическую интуицию. Логика показывает, какую форму должны иметь правильные умозаключения, по каким схемам они должны строиться и какие здесь возможны ошибки. Логика показывает, что истинность мысли, которая появляется в результате логического вывода, зависит от двух условий: 1) рассуждая, необходимо исходить из истинных данных (истинных посылок); 2) должна быть правильной форма умозаключения. 4.2. Структура умозаключения Мы можем различить в умозаключении: 1. Суждения, из которых выводится последнее суждение. 2. Суждение, которое выводится из предыдущих суждений. 3. Логическую связь между 1 и 2. Если первые два элемента умозаключения явно фигурируют в нашей речи, то третий элемент в речи явно не выражается, но соединяет в мышлении все суждения в единое целое, яаляется как бы "цементом" умозаключения. Суждения, из которых выводится последнее суждение, называются посылками. Суждение, которое выводится из предыдущих суждений, называется заключением. Третий элемент умозаключения в его внешней структуре представлен обычно словами "следовательно", "поэтому", "значит", "так как", "ибо" и др. Эти слова, указывающие на наличие логической связи между соединяемыми ими суждениями, мы будем называть логической связкой умозаключения. Слова "следовательно", "значит" и т.п, являются для нас знаками, сигнализирующими о наличии в тексте или речи умозаключения. Они нам как бы говорят: "Смотри, здесь умозаключение, следовательно, ты можешь применить все, что ты знаешь об умозаключениях, если хочешь согласиться с текстом или собеседником или, наоборот, хочешь его критиковать". 4.3. Классификация умозаключений Сейчас мы займемся последовательным многоступенчатым делением объема понятия "умозаключение", результатом которого, как мы знаем, и является классификация. Умозаключения делятся на дедуктивные и недедуктивные. Д е д у к т и в н ы м называется умозаключение, в котором истинность посылок должна гарантировать истинность заключения. Н е д е д у к т и в н ы м называется умозаключение, в котором истинность посылок не должна гарантировать истинности заключения. Пояснение. Практически все рассмотренные нами примеры умозаключений относились к области дедуктивных умозаключений. Определение дедуктивных умозаключений при помощи понятия истинности сразу напоминает нам отношения между суждениями, а именно, отношение логического следования, которое требует, чтобы невозможен был случай, когда при истинности первого суждения второе суждение было ложным. Иначе говоря, наличие между двумя суждениями отношения логического следования означает, что истинность первого гарантирует истинность второго. Но это именно то требование, которое предъявляется к правильным дедуктивным умозаключениям. Будем различать два вида дедуктивных умозаключений: 1. Дедуктивные умозаключения, основанные на связях между суждениями, или умозаключения логики суждений. 2. Дедуктивные умозаключения, основанные на структуре простых категорических суждений, или силлогизмы. Среди недедуктивных умозаключений мы также будем выделять два вида: индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии. Таким образом, мы получаем следующую классификацию умозаключений: Умозаключения Дедуктивные Умозаключения логики суждений Силлогизмы Недедуктивные Индуктивные умозаключения Умозаключения по аналогии Лекция 5. Категорический силлогизм С и л л о г и з м - это дедуктивное умозаключение, в котором вывод соаершается на основе соотношения терминов в одном или более категорических суждениях. Силлогизмы делятся на непосредственные и опосредованные. Н е п о с р е д с т в е н н ы е силлогизмы - это силлогизмы, в которых вывод совершается из одной посылки. О п о с р е д о в а н н ы е силлогизмы - это силлогизмы, в которых вывод совершается из двух или более посылок. Превращение Рассмотрим суждение “Все хорошее дается нам недешево”. Поставим вопрос: что на основе этого суждения можно сказать о хорошем и дешевом? Нетрудно заметить, что получится следующее суждение: “Ничто хорошее не дается нам дешево”. Таким образом, мы совершили непосредственное умозаключение, которое называется превращением. Частноутвердительное суждение будет составлять законный вывод из общеутвердительного суждения. Рассмотрим теперь частноотрицательное суждение. Мы не можем обратить частноотрицательное суждение в частноотрицательное, но мы не можем обратить его и в общее суждение, поскольку произошло бы незаконное расширение количества суждения, и не можем превратить его в утвердительное, поскольку произошло бы незаконное изменение качества суждения. Следовательно, частноотрицательное суждение вообще не обращается. Противопоставление предикату Для выявления смысла категорического суждения можно еще выяснить отношение понятия, противоречащего предикату исходного суждения, к субъекту исхожного суждения, т.е. не-Р к S. Преобразование суждения, в результате которого субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом субъект исходного суждения, называется противопоставлением предикату. Простой категорический силлогизм П р о с т о й к а т е г о р и ч е с к и й с и л л о г и з м - дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение. Структура силлогизма Рассмотрим простой пример простого категорического силлогизма (1) Все люди разумны. Все студенты - люди. Следовательно, все студенты разумны. Из чего состоит этот силлогизм? Сразу дадим определение: Суждения, из которых выводится новое суждение, называются п о с ы л к а м и силлогизма. В нашем примере (1) это – суждение «Все люди разумны», «Все студенты – люди». Суждение, которое выводится из посылок, назовем з а к л ю ч е н и е м силлогизма. В нашем примере это – «Все студенты разумны». “Следовательно” - это слово, обозначающее связку силлогизма. От всех других умозаключений силлогизм в данном случае отличается только тем, что в него входят суждения особого типа - категорические суждения, и что логическая связь между посылками и заключениями основывается именно на структуре категорических суждений. Аксиома силлогизма В силлогизме, как и в любом другом правильном дедуктивном умозаключении, имеется определенная принудительность: если посылки истинны, то нам ничего не остается, как признать истинность заключения, хотя бы это заключение и не было бы нам приятно. Откуда берется принудительный, необходимый характер силлогизмов? В логике в качестве основания этого принудительного характера силлогизмов была сформулирована так называемая аксиома силлогизма, раскрывающая два главных типа отношений между терминами силлогизма, на которых основывается убедительная сила всех правильных силлогизмов. Аксиома силлогизма: все, что утверждается относительно всего множества, утверждается и относительно каждого его подмножества, и все, что отрицается относительно всего множества, отрицается и относительно каждого его подмножества. Аксиомой этот принцип называется потому, что он позволяет обосновать целый класс силлогизмов, к которым сводимы все остальные силлогизмы, и поэтому может считаться основанием всех вообще силлогизмов. Способы проверки правильности силлогизмов Задача логики - отделять правильные рассуждения от неправильнщх. Естественно, эту же задачу приходится решать и по отношению к силлогизмам.Эту задачу решают способы проверки правильности силлогизмов. Всего таких способов три: 1) построение круговых схем для посылок и заключения силлогизмов; 2) предъявление контрпримера; 3) проверка на соответствие общим правилам силлогизмов и правилам фигур. Лекция 6. Сложное суждение, его виды Мы определили сложные суждения как суждения, в которых встречается более одного утверждения или отрицания. Это – логическое понятие сложного суждения. В грамматике русского языка сложными считаются предложения, в которых два или более других предложений связаны союзами. Из грамматики мы и возьмем идею союза. Но в применении к суждениям несколько модифицируем это понимание. В логике сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов. Мы рассмотрим пять таких логических союзов, или логических связок: ... и ... — соединительный союз или конъюнкция; ... или ... — разделительный союз или дизъюнкция; либо ..., либо... — строго разделительный союз или строгая дизъюнкция; если..., то ... — условный союз или импликация; ... тогда и только тогда, когда ... — равносильность или эквивалентность; неверно, что... — отрицание. Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому вместо термина “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто используют термин “высказывание”, обозначающий мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками. Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание часто обозначают чертой, стоящей над символами, представляющими некоторое суждение: “ā” читается “Неверно, что а”. _____________________ а Λ b читается “Неверно, что а Λ b”. Другой способ обозначить отрицание: “¬(а Λ b)”. Это выражение тоже читается как “Неверно, что а Λ b”. Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания — внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: “Неверно, что Земля— шар”, то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное. Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п. Конъюнкция обозначается значком “Λ” или “&” . Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом: а Λ b. Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: а v b. Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или”— когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., либо...”)— когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции— строгую и нестрогую. Импликация. В естественном языке ей соответствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “—>”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а —> b. Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной. Сложные суждения образуются из простых при помощи указанных союзов. Мы введем специальные названия для различных видов сложных суждений. Суждения с союзом «и» назовем соединительными (конъюнктивными) суждениями, суждения с союзом «или» – разделительными (дизъюнктивными) суждениями, суждения с союзом «если…, то»— условными суждениями или импликацией, суждения с союзом «тогда и только тогда, когда» – суждениями эквивалентности, суждения с отрицанием – отрицательными суждениями. Главный вопрос: каким образом истинность или ложность сложных суждений зависит от истинности или ложности простых суждений? Ответ на этот вопрос дают при помощи так называемых таблиц истинности. Строятся эти таблицы следующим образом: 1. Каждая таблица имеет вход и выход. 2. На входе выписываются все возможные комбинации истинностных значений суждений, из которых составлено рассматриваемое сложное суждение. 3. На выходе выписывается значение сложного суждения. Пример таблицы для соединительного суждения — конъюнкции — p & q. p q p& q И И И И Л Л Л И Л Л Л Л ЗАКОНЫ ЛОГИКИ З а к о н ы л о г и к и — это такие суждения, которые являются истинными только в силу своей логической формы, т.е. только на основании связи составляющих их суждений. Основные требования к мышлению, которые предъявляются логическими законами 1. Непротиворечивость. 2. Последовательность. 2. Определенность. 3. Обоснованность. Пусть суждения A и B находятся в отношении противоречия. Тогда суждение A&B будем называть п р о т и в о р е ч и в ы м или п р о т и в о р е ч и е м . Собственно говоря, противоречие заключается в том, что одному и тому же объекту в одно и то же время приписывается некоторый признак и его отрицание. Отсюда формула противоречия: A& A Устранение противоречия из нашего мышления, рассуждений, теорий основывается на логическом законе. И раз противоречие недопустимо в нашем мышлении, то это должен быть закон непротиворечия: Суждение и его отрицание не мобут быть вместе истинными. Формула закона непротиворечия такова: ________________ A& A (читается: неверно, что A и не-A). Последовательность Основанием последовательности мышления является логический закон тождества: Каждая мысль должна оставаться п о с т о я н н о й на протяжении всего рассуждения. Закон тождества по отношению к понятиям. У понятия есть две логические характеристики: содержание и объем. Следовательно, закон тождества по отношению к понятиям можно проинтерпретировать следующим образом: Используемые в данном рассуждении понятия должны оставаться п о с т о я н н ы м и п о с в о е м у с о д е р ж а н и ю и о б ъ е м у на протяжении всего рассуждения. Закон тождества по отношению к суждениям. Суждение обладает двумя характеристиками: логической формой и истинностным значением. Закон тождества, следовательно, распространяется на эти характеристики суждений. Количество и качество принятого суждения должно оставаться неизменным на протяжении всего рассуждения. По отношению к сложным суждениям закон тождества будет выглядеть следующим образом: Логические связи в принятом суждении должны оставаться постоянными на протяжении всего рассуждения. закон тождества обычно выражается краткой формулой: A A или A A Эти формулы читаются: «Если A, то A» и «A эквивалентно A», соответственно. 3. Определенность закон исключенного третьего: В каждом данном рассуждении из двух противоречащих друг другу суждений следует считать истинным только одно. A A 4. Обоснованность Для каждого производного суждения, встречающегося в рассуждении, должны быть предъявлены основания, позволяющие считать его истинным или ложным. В связи с законом достаточного основания введем понятия необходимого и достаточного условия. Рассмотрим условное суждение. Если A, то B, или А→В. Если предположить, что это условное суждение истинно, то будем говорить, что A является достаточным условием истинности B, а B является необходимым условием истинности A. О нарушениях законов логики. С о ф и з м — это нарушение законов логики, сознательно спланированное с целью введения собеседника в заблуждение. П а р а л о г и з м — нарушение законов логики, допускаемое невольно. Лекция 7. Умозаключения логики суждений Умозаключения логики суждений основаны на структуре сложных суждений. Логические союзы имеют определенный смысл, выражаемый их таблицами истинности. Поэтому можно сказать, что умозаключения логики суждений— это умозаключения, основанные на смысле логических союзов. Силлогизм, в котором хотя бы одна из посылок — суждение условное, является условным силлогизмом. Когда в умозаключении обе посылки суждения условные, тогда силлогизм называется чисто условным. Когда одна из посылок — суждение условное, а другая — суждение категорическое, тогда силлогизм называется условно-категорическим. Когда же одна из посылок — суждение условное, а другая — суждение разделительное, тогда силлогизм называется условно-разделительным. чисто условный силлогизм можно представить такой схемой: Если В, то С Если С, то Д Если В, то Д В —>С С —>Д В —>Д Условно-категорический силлогизм состоит из условной (будем считать ее большей, ибо она сложное суждение) и категорической (будем называть ее меньшей, ибо она— простое суждение) посылок. Структура этого умозаключения допускает четыре разновидности, четыре ее модуса, определяемых законами связи элементов в условном суждении. Если В, то С В —>С В В С С Это умозаключение представляет собой утверждающий модус (modus роnеns) Если в условно-категорическом силлогизме мысль переходит от отрицания следствия условного суждения в меньшей посылке, то необходимо в заключении силлогизма отрицать само основание условного суждения: Если В, то С не-С Не-В В —>С не-С не-В Это умозаключение представляет собой отрицающий модус (modus tollеns) Два остальных модуса этого вида силлогизма не дают необходимо истинного вывода, они стрятся по неправильными схемам. Они дают знание, которое в одном случае (что определяется содержанием посылок) может быть ложным, в другом истинным. Формулы этих модусов записываются так: В —>С не-В (возможно, не-С) В —>С С (возможно, В) Разделительно-категорическими умозаключен иями называются умозаключения, в которых одна посылка — разделительное суждение, а другая посылка и заключение — суждения категорические. Первый модус называется утверждающе-отрицающим: AB A Не-B Здесь разделительная посылка должна быть строго разделительной, т.е. альтернативы должны исключать друг друга. Если это требование не соблюдено, вывод может оказаться ошибочным. Второй модус — отрицающе-утверждающий: A B Не-A Не-B Для отрицающе-утверждающего модуса требование таково: разделительная посылка должна быть исчерпывающей, т.е. должна охватывать все воз- можности, существующие в данной области рассуждений. В противном случае вывод может оказаться неверным. Лекция 8. Индуктивные умозаключения Индуктивными называют умозаключения, расширяющие наше знание и дающие не достоверный, а лишь вероятный вывод. Посылки индуктивного рассуждения лишь в той или иной степени подтверждают или делают вероятным заключение, но отнюдь не обеспечивают его достоверности. Наиболее типичным индуктивным заключением является вывод от частных случаев к общему утверждению. Индуктивные умозаключения делятся на полную и неполную индукцию. П о л н а я и н д у к ц и я - это индуктивное умозаключение, в котором устанавливается присущность некоторого признака каждому предмету некоторого множества и на этом основании делается заключение о присущности этого признака всем предметам данного множества. Поскольку полная индукция предполагает исследование каждого элемента исследуемого множества, заключение полной индукции дает нам достоверное знание о предметах данного множества. В этом отношении полная индукция сходна, скорее, с дедуктивными умозаключениями. Специальным видом индукции является математическая индукция, которую математики также иногда называют полной. Она отличается от ранее рассмотренной полной индукции тем, что имеет дело с бесконечным множеством предметов, но похожа на нее тем, что также дает достоверный результат. Именно поэтому она применяется в математике для доказательства теорем в математических теориях.Математическая индукция является по характеру своего заключения дедуктивным умозаключением. Однако по своему строению она похожа на индуктивные умозаключения, поскольку в ней совершается переход от единичных суждений к общему. Н е п о л н а я и н д у к ц и я – это индуктивное умозаключение, заключением которого является общее суждение об объектах данного множества, полученное на основании знания только некоторых объектов, принадлежащих к данному множеству. Различают популярную и научную индукцию. При популярной индукции мы спешим сделать обобщение, опираясь на первые попавшиеся частные случаи. Достоверность вывода при популярной индукции весьма невысока. Если же мы сознательно стремимся повысить достоверность индуктивного вывода и принимаем для этого некоторые меры, то такая индукция называется научной. В частности, желательно исследовать как можно больше представителей того класса предметов, к которому относится обобщение. Далее, изучаемые факты должны быть как можно более разнообразными. Наконец, эти факты должны быть типичными для данного класса явлений. При соблюдении этих условий достоверность индуктивного вывода существенно повышается. Однако следует помнить о том, что и при соблюдении указанных правил мы можем приходить к ошибочным заключениям. Умозаключения по аналогии Основанием таких умозаключений может служить сходство предметов, их свойств или отношений, т.е. всего того, что может служить объектами нашего познания. Ан а ло г и я - это недедуктивное умозаключение, в котором суждение о присущности признака некоторому объекту выводится на основании его сходства с другим объектом. В основании аналогии лежит понятие сходства. С х о д с т во - это отношение между объектами, состоящее в наличии у рассматриваемых объектов общих признаков. Сходство предметов определяется двумя факторами: 1) числом признаков, общих этим предметам; 2) степенью существенности этих признаков. Поэтому, чем больше у объектов общих признаков и чем более существенны эти признаки, тем более сходны эти объекты. Вероятность заключений выводов по аналогии низка даже по сравнению с популярной индукцией. Поэтому в науке аналогия редко используется как средство обоснования или доказательства суждений. Роль аналогии в науке это роль источника плодотворных догадок, предположений и гипотез, которые затем проходят проверку более строгими дедуктивными и индуктивными методами. В структуру аналогии входят следующие суждения: 1) суждение о наличии основания аналогии у образца; 2) суждение о наличии основания аналобии у субъекта аналогии; 3) суждение о наличии переносимого признака у образца аналогии; 4) суждение о наличии переносимого признака у субъекта аналогии. Первые три суждения являются посылками умозаключения по аналогии, а четвертое суждение - его заключением. Лекция 9. Доказательство и опровержение Понятие доказательства Д о к а з а т е л ь с т в о - это рассуждение, обосновывающее истинность некоторого суждения путем выведения его из других суждений, принимаемых за истинные. Пояснение. Доказательство отличается от других рассуждений, и, в частности, умозаключений тем, что его целью является обоснование истинности доказываемого суждения, и поэтому от суждений, из которых выводится в конечном счете доказываемое суждение, также требуется, чтобы они были истинными. В структуру доказательства входят: тезис, аргументы и демонстрация. Тезис - суждение, истинность которого обосновывается в доказательстве. В математическом доказательстве тезисом является доказываемая теорема. А р г у м е н т ы , или д о в о д ы , - суждения, с помощью которых обосновывается тезис. Аргументы, используемые в доказательствах, бывают следующих видов: 1. Установленные общие положения. К числу этих аргументов относятся: - философские принципы; - принципы рассматриваемой области науки; - правила нравственности; - нормы права. 2. Суждения, принимаемые в качестве очевидных. К их числу относятся: - аксиомы научной теории; - знания о психологии человека, зафиксированные, например, в пословицах, изречениях и т.п.; - в юридической практике - презумпции, например, презумпция невиновности. 3. Удостоверенные суждения о фактах - в науке - это данные наблюдения и эксперимента; - в юридических доказательствах - проверенные показания свидетелей или протокол осмотра места преступления. Д е м о н с т р а ц и я - это логическая связь между аргументами и тезисом. различаются три вида демонстрации: 1) дедуктивная; 2) индуктивная; 3) по аналогии. Доказательства делятся на прямые и косвенные по типу отношений аргументов и тезиса. Прямое доказательство - это доказательство, в котором истинность тезиса выводится из истинности аргументов без введения дополнительных предположений. Наглядно структуру прямого доказательства можно представить следующим образом: где а1, а2, ..., аn - аргументы, а Т — тезис. К о с в е н н о е д о к а з а т е л ь с т в о - это доказательство, в котором тезис обосновывается при помощи введения дополнительных суждений, несовместимых с тезисом. Косвенные доказательства можно разделить на два вида в зависимости от отношений тезиса к вводимому дополнительному суждению, которое мы будем называть допущением косвенного доказательства: 1) рассуждение от противного и 2) разделительное доказательство. Доказательство от противного. Доказательство от противного начинается с того, что: а) мы временно предполагаем истинность суждения, противоречащего тезису. Суждение, противоречащее тезису доказательства, называется антитезисом. б) из антитезиса при помощи обычных средств дедукции выводится противоречие, т.е. суждение вида А и одновременно суждение A ; в) по схеме сведения к абсурду выводится заключение о ложности антитезиса. Отсюда: доказано, что Т. Разделительное доказательство Разделительное доказательство по своей формальной структуре совпадает с разделительно-категорическим умозаключением, способ отрицающеутверждающий. Единственное отличие связано с тем, что в разделительном доказательстве мы заранее выделяем тезис суждение, истинность которого стремимся обосновать. В таком случае разделительное доказательство подсказывает нам стратегию доказательства: чтобы доказать некоторый тезис Т, который мы не можем вывести из аргументов впрямую, следует построить такое разделительное суждение р1 ... рn Т, в котором тезис будет одним из составляющих суждений, а затем попытаться доказать ложность всех суждений р1,..., рn. Тогда по схеме разделительно-категорического умозаключения будет следовать истинность нашего тезиса Т. Возможная ошибка - неполный перечень альтернатив. Опровержение 1. Возражения против тезиса: а) тезис опровергается при помощи прямого доказательства антитезиса. б) Можно показать, что из тезиса выводятся противоречивые следствия. Таким образом, мы опровергнем тезис при помощи сведения к абсурду. 2. Возражения против аргументов Опровержение аргументов происходит путем обоснования их ложности, поскольку из ложных посылок даже при правильном дедуктивном выводе может следовать ложное заключение. 3. Возражения против демонстрации: Если не удается спорить с суждениями, служащими аргументами в доказательстве то остается единственная возможность - возражать против способов демонстрации, т.е. оспаривать правильность выведения тезиса из аргументов. Правила доказательства и возможные ошибки Логика формулирует правила, которым должны подчиняться доказательства и опровержения для того, чтобы выполнить свою задачу - обосновать истинность или ложность тезиса или установить его необоснованность. Подобные правила формулируются отдельно для каждой компоненты доказательства в отдельности. Правила по отношению к тезису 1. Тезис должен быть сформулирован ясно и точно. Это правило предохраняет нас от неопределенности и двусмысленности выражения главной мысли в доказательстве. достаточно обычно выяснить три вопроса относительно этого тезиса: а) Все ли слова и выражения тезиса вполне понятны? Если нет, то надо попытаться дать определение неотчетливо мыслимых понятий. б) Отчетливо ли сформулировано суждение, выражающее тезис? Если тезис можно выразить при помощи простого суждения, то лучше всего использовать для этого категорическое суждение, поскольку у него наиболее точно выяснено качество и количество. в) Считается ли тезис достоверно истинным суждением или истинным только вероятно, и если вероятным, то в какой степени: очень вероятный, просто вероятный или маловероятный? От этого зависит то, какие средства мы можем употреблять при доказательстве тезиса: только дедукцию, или также индукцию и аналогию. 2. Тезис должен оставаться постоянным на протяжении всего доказательства. Это требование является частным случаем закона тождества в применении к доказательствам. Ошибки, возможные по отношению к тезису Главной ошибкой по отношению к тезису является ошибка, связанная с нарушением второго правила. Эта ошибка называется подмена тезиса. П о д м е н о й т е з и с а называется логическая ошибка, совершаемая в ходе доказательства и состоящая в сознательной замене тезиса на другое похожее суждение, которое легче поддается доказательству, и доказательство которого выдается за доказательство первоначального тезиса. Правила по отношению к аргументам 1. Аргументы должны быть истинными суждениями. 2. Аргументы должны быть достаточным основанием для признания истинности тезиса. 3. Аргументы должны представлять собой суждения, истинность которых обосновывается независимо от тезиса. 4. Аргументы не должны противоречить друг другу. Ошибки, возможные по отношению к аргументам а) Аргумент к авторитету А р г у м е н т к а в т о р и т е т у - использование в качестве аргумента суждений великих или знаменитых людей, специалистов в какой-либо области. Этим аргументом, который является вполне законным способом аргументации и используется, в частности, для ее сокращения, можно легко злоупотребить, Не все высказывания авторитетов истинны даже в их собственной области, а тем более за пределами их профессиональной активности. б) Аргумент к публике А р г у м е н т к п у б л и к е - это рассуждение, направленное на подмену вопроса об истинности вопросом о соответствии тезиса чувствам, психологическим установкам и интересам аудитории. в) Аргумент к личности. Это одна из самых распространенных ошибок по отношению к аргументам. А р г у м е н т к л и ч н о с т и - рассуждение, направленное на подмену доказательства истинности или ложности тезиса анализом личности человека, высказавшего этот тезис. г) Аргумент к силе, или "палочный аргумент" А р г у м е н т к с и л е - это использование в рассуждении угрозы применения насилия или иной формы принуждения, если тот, к кому обращено доказательство, не поверит в истинность аргументов. д) Аргумент к невежеству А р г у м е н т к н е в е ж е с т в у - использование в доказательстве суждений, основания истинности которых заведомо не известнщ лицу, к которому обращено доказательство. Это могут быть ссылки на сочинения, которых аудитория явно не знает, на якобы общеизвестные факты и законы, в незнании которых обычно боятся признаться. Логические и фактические ошибки по отношению к аргументам Логические и фактические ошибки связаны с нарушением правил по отношению к аргументам. 1. Основная ошибка - ложность используемого аргумента - представляет собой нарушение первого правила. 2. Предвосхищение основания - это нарушение второго правила. П р е д в о с х и щ е н и е о с н о в а н и я (по латыни petitio principii) ошибка в доказательстве, при которой в качестве аргумента приводится суждение, которое само нуждается в обосновании. 3. Ошибка "круг в доказательстве" (circulus in demonstrando) - это нарушение третьего правила. К р у г в д о к а з а т е л ь с т в е - это логическая ошибка, состоящая в том, что истинность тезиса обосновывается с помощью аргумента, истинность которого требует обоснования с помощью самого тезиса. 4. Ошибка "противоречие в аргументах" - нарушение четвертого правила. Противоречие в аргументах - логическая ошибка, при которой аргументы, приводимые для доказательства тезиса, противоречат друг другу. Правила по отношению к демонстрации Существует всего одно правило по отношению к демонстрации, в которое, правда, вмещается вся теория умозаключений. Используемые в демонстрации умозаключения должны быть правильными и должны быть соблюдены условия их применимости. Нарушение этого правила называется "ошибка ложного следования" (fallacia consequentis). Эта ошибка связана с использованием неправильных умозаключений.
