Вычислить и обосновать

1) Вычислить предел последовательности и обосновать результат, исходя из определения предела (по
ε >0
найти соответствующее M
( ε ) ):
4n 2 + 1
lim
n →∞ 3n 2
+2
Вычислим предел:
1
4n + 1 ⎡ ∞ ⎤
n2 = 4 + 0 = 4
=
=
lim
lim
⎢ ∞ ⎦⎥ n →∞
2
n →∞ 3n 2 + 2 ⎣
3+ 2 3+0 3
n
4+
2
Обоснуем полученный результат. По определению предела по Гейне
⎧
⎫
⎨ lim x n = a ⎬
⎩ n →∞
⎭
⇔
∀ε > 0 ∃ M ( ε ) : ∀n > M ( ε ) ⇒ x n − a < ε .
Т.е. в соответствии с определением число 4 3 будет пределом последовательности x n =
если ∀ε > 0 найдётся натуральное число
4n 2 + 1
3n 2 + 2
, n∈ N ,
M такое, что для всех n > M выполняется неравенство
2
4n + 1 4
− <ε
3n 2 + 2 3
(1)
Это неравенство справедливо для всех n , удовлетворяющих условию
(
−5
3 ⋅ 3n 2 + 2
(
5
3 ⋅ 3n 2 + 2
)
)
<ε
<ε
5
3⋅ε
5 2
−
n>
9 ⋅ε 3
3n 2 + 2 >
т.е. для всех n > M
⎡
⎡ 5 2⎤
5 2⎤
− ⎥ , где ⎢
− ⎥ - целая часть числа
⎣ 9 ⋅ε 3 ⎦
⎣ 9 ⋅ε 3 ⎦
(ε ) = ⎢
неравенство (1). Следовательно lim
4n 2 + 1
n →∞ 3n 2
+2
=
5 2
− , справедливо
9 ⋅ε 3
4
.
3
1 2) Вычислить предел функции и обосновать результат, исходя из определения предела (по
соответствующее
δ ( ε ) ):
ε >0
найти
6x 2 − x − 1
lim
1
1
x→
x−
2
2
Вычислим предел:
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
6⋅⎜ x − ⎟⋅⎜ x + ⎟
6x − x − 1 ⎡ 0 ⎤
1⎞
2⎠ ⎝
3⎠
⎛
⎛1 1⎞
lim
= ⎢ ⎥ = lim ⎝
= lim 6 ⋅ ⎜ x + ⎟ = 6 ⋅ ⎜ + ⎟ = 5
1
1 ⎝
1
1⎞
3⎠
⎛
⎣0 ⎦ x→1
⎝2 3⎠
x→
x→
x−
x− ⎟
⎜
2
2
2
2
2⎠
⎝
2
Обоснуем полученный результат. По определению предела по Коши
⎧
⎫
f ( x) − A < ε .
⎨ lim f ( x ) = A⎬ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : x − a < δ ⇒
⎩x →a
⎭
Возьмём произвольное ε > 0 и найдём δ = δ ( ε ) > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству
x−
1
< δ , выполняется неравенство
2
⎛
⎞
⎜ 6x 2 − x − 1 ⎟
−5 <ε
⎜
1 ⎟
⎜ x−
⎟
⎝
2 ⎠
(1)
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
6 ⋅⎜ x − ⎟ ⋅⎜ x + ⎟
2⎠ ⎝
3⎠
⎝
−5 <ε
1⎞
⎛
⎜x− ⎟
2⎠
⎝
6x + 2 − 5 < ε
6x − 3 < ε
x−
Итак, взяв
δ=
ε
6
1 ε
<
2 6
, видим,что для всех x , удовлетворяющих неравенству x −
1
⎛ ε⎞
< δ ⎜ = ⎟ , выполняется
2
⎝ 6⎠
6x 2 − x − 1
неравенство (1). Следовательно lim
= 5.
1
1
x→
x
−
2
2
2 4n + 2 4
= .
n →∞ 3n − 7
3
3) Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim
По определению, число 4 3 является пределом числовой последовательности
xn =
4n + 2
, n ∈ N , если
3n − 7
∀ε > 0 найдётся натуральное число N ( ε ) , такое, что ∀n > N ( ε ) выполняется неравенство
4n + 2 4
− <ε .
3n − 7 3
Решим последнее неравенство относительно n :
12n + 6 − 12n + 28
<ε
3 ⋅ ( 3n − 7 )
34
<ε
3 ⋅ 3n − 7
34
3ε
34
3n − 7 >
3ε
34
3n >
+7
3ε
7 34
n> +
3 9ε
3n − 7 >
(начиная с n > 2 )
⎡ 7 34 ⎤
⎡ 7 34 ⎤
⎛ 7 34 ⎞
, где ⎢ +
- целая часть числа ⎜ +
⎟.
⎥
⎥
⎣ 3 9ε ⎦
⎣ 3 9ε ⎦
⎝ 3 9ε ⎠
Например, если ε = 0, 1 , то N ( ε ) = 41 ; если ε = 0, 01 , то N ( ε ) = 381 , и т.д.
Следовательно, N ( ε ) = ⎢ +
4n + 2 4
= .
n →∞ 3n − 7
3
Итак, ∀ε > 0 указано соответствующее значение N ( ε ) . Этим доказано, что lim
Литература:
1) Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. "Математический анализ в вопросах и задачах", 2001, стр. 18 (примеры
3, 4).
3