часть 1 - Кафедра технологии текстильных материалов

vs
tu.
by
/be
lsp
in.
УДК 677.03.001.5
к.т.н. Литовский С.М.
htt
p:/
к лабораторным работам по курсу
часть 1
vs
tu.
by
СОДЕРЖАНИЕ
Введение __________________________________________________________ 4
Определение основных числовых характеристик совокупности случайных
величин ___________________________________________________________ 4
Основные сведения_________________________________________________________ 4
Получение совокупности случайных величин___________________________________ 4
Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического
отклонения _______________________________________________________________ 5
Исключение резко выделяющихся экспериментальных данных ___________________ 5
Расчет относительных характеристик рассеяния случайной величины ______________ 5
Определение ошибки среднего и границ доверительного интервала ________________ 6
Доверительный объем испытаний ____________________________________________ 6
in.
Определение вида дифференциального закона распределения случайной
величины __________________________________________________________ 6
Основные сведения_________________________________________________________ 6
Формирование частотной таблицы ____________________________________________ 6
/be
lsp
Определение оценок математического ожидания, среднего квадратического
отклонения и квадратической неровноты ______________________________________ 7
Определение закона распределения исследуемой величины _______________________ 8
Построение графика функции распределения ___________________________________ 8
Определение статических корреляционных однофакторных моделей по
данным пассивного эксперимента ____________________________________ 9
Основные сведения_________________________________________________________ 9
Расчет основных статистических характеристик _______________________________ 10
Расчет коэффициента корреляции и определение его значимости _________________ 10
Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи ____________________ 10
Определение статических корреляционных многофакторных моделей по
данным пассивного эксперимента ___________________________________ 11
htt
p:/
Основные сведения________________________________________________________ 11
Расчет основных статистических характеристик _______________________________ 11
Расчет парных коэффициентов корреляции ___________________________________ 12
Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его значимости __ 12
Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи ____________________ 12
Определение регрессионной однофакторной модели (модели первого
порядка) по данным активного эксперимента _________________________ 13
Основные сведения________________________________________________________ 13
vs
tu.
by
Условия проведения активного эксперимента _________________________________ 13
Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 14
Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 14
Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах
матрицы _________________________________________________________________ 14
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий ________ 15
Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 15
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 16
Определение регрессионных многофакторных математических моделей
по данным активного эксперимента _________________________________ 17
Основные сведения________________________________________________________ 17
Разработка матрицы планирования __________________________________________ 17
in.
Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 18
Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 18
Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах
матрицы _________________________________________________________________ 19
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) ______________________ 19
/be
lsp
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 19
Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 19
Исследование полученной регрессионной многофакторной модели _______________ 20
Определение регрессионной многофакторной модели второго порядка по
D-оптимальным матрицам _________________________________________ 20
Основные сведения________________________________________________________ 20
Выбор матрицы планирования ______________________________________________ 21
Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 22
Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 22
Вычисление дисперсии воспроизводимости ___________________________________ 22
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий ________ 22
htt
p:/
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 23
Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 23
Исследование полученной регрессионной многофакторной модели _______________ 24
Литература______________________________________________________ 25
Приложения ______________________________________________________ 26
vs
tu.
by
Введение
Современный технический прогресс текстильной промышленности связан с развитием ее техники
и технологии. Для успешного управления технологическими процессами и их оптимизации с целью
повышения производительности оборудования и качества продукции уже недостаточно знать отдельные качественные стороны процесса.
Для анализа сложных технологических процессов широко применяются методы экспериментального математического моделирования. Использование методов планирования эксперимента позволяет получать математические модели исследуемого процесса в реализованном диапазоне изменения
многих факторов, влияющих на процесс, наиболее экономичным и эффективным способом.
Данные методические указания разработаны с целью освоения методов экспериментальных исследований и являются, по сути, кратким обобщением различных методик, изложенных в ряде специализированных изданий по математическому планированию экспериментов. Основное внимание
уделено корректной обработке данных активных и пассивных экспериментов.
Основные сведения
in.
Определение основных числовых характеристик
совокупности случайных величин
/be
lsp
При измерении свойств продуктов текстильных производств и технологических параметров, как
правило, получается совокупность случайных величин, которая может быть определена числовыми
характеристиками: средним (математическим ожиданием), дисперсией, коэффициентом вариации,
квадратической неровнотой. Известно, что числовые характеристики меняются от выборки к выборке и являются также случайными величинами, которые варьируют с заданной доверительной вероятностью в определенном интервале. Чем больше ошибка числовой характеристики, тем шире интервал. Точность каждой числовой характеристики определяется ее ошибкой, а надежность - доверительной вероятностью. Задаваясь точностью и надежностью при известной дисперсии случайной
величины, можно определить доверительный объем испытаний для оценки числовой характеристики.
Получение совокупности случайных величин
htt
p:/
Перед непосредственной реализацией опытов по анализу случайной величины исследователь
должен осуществить ряд организационных и технических мероприятий, от тщательности выполнения которых зависит в большой мере успех эксперимента, а именно:
 проверить свойства сырья и материалов и установить их соответствие задачам исследования;
 проверить состояние оборудования (стендов, приборов и т.д.);
 при необходимости провести тарировку и определить точность показаний измерительной техники;
 при использовании аналоговой характеристики исследуемого параметра (непрерывной регистрации в виде диаграммы, осциллограммы и т.п.) осуществить ее дискретизацию с целью получения совокупности случайных величин;
 проведение одной серии опытов поручать только одному исполнителю, т.к. замена исполнителей может привести к наложению субъективных погрешностей наблюдения.
Для ознакомления с методикой определения основных числовых характеристик совокупности
случайных величин необходимо получить данную совокупность. Она может быть получена на разрывной машине (прочность, удлинение), весах (масса отрезков пряжи, полосок ткани или трикотажа), круткомере (крутка пряжи) и других приборах. Можно воспользоваться совокупностями, приведенными в таблице (приложение 6).
vs
tu.
by
Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения
Математическое ожидание Y (среднее значение) определяет центр распределения случайных величин, около которого группируется большая их часть. Абсолютными характеристиками рассеяния
случайной величины Y около центра распределения Y является дисперсия S 2 {Y } и среднее квадратическое отклонение S {Y } .
Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для
анализируемой выборки осуществляется по следующим формулам:
Y 
S 2 {Y } 
1 m
Y i ;
m i 1
1 m
(Y i  Y ) 2 ;

m  1 i1
S{Y }  S 2{Y } .
in.
Исключение резко выделяющихся экспериментальных данных
/be
lsp
Совокупность полученных экспериментальных данных часто имеет значения, резко выделяющиеся относительно других, что приводит к постановке вопроса об их исключении из дальнейшей обработки. Причиной появления таких данных может быть изменение условий проведения опыта в момент наблюдения, ошибочная регистрация параметра (по вине оператора) и т.п. Независимо от причин получения резко выделяющихся данных они могут существенно исказить числовые характеристики. С другой стороны, при необоснованном исключении таких данных числовые характеристики
также будут искажены.
Самый надежный метод определения возможности исключения резко выделяющихся данных - это
анализ условий, при которых они были получены. Если условия существенно отличаются от стандартных (или установленных по плану эксперимента), то данные необходимо исключить из дальнейшей обработки независимо от их величины.
Если определение существенности изменения условий эксперимента невозможно или представляет большие трудности, то используют статистический метод исключения данных, сущность которого
заключается в следующем:
 находят в совокупности максимальную и минимальную величины и определяют расчетные
значения критерия Смирнова-Грабса
VR
max

VR
min

Y i max  Y
S {Y }
Y  Y i min
m
;
m 1
m
;
m 1
S {Y }
 сравнивают полученные значения с табличным V T (приложение 1); если VR
max
или VR
min
htt
p:/
больше V T , то соответствующее значение Yi необходимо исключить из совокупности, а затем
повторить расчет оценок Y , S 2 {Y } и S {Y } ;
 процедуру повторяют до полного исключения резко выделяющихся значений из совокупности.
Расчет относительных характеристик рассеяния случайной величины
Такой характеристикой является коэффициент вариации CV {Y} :
CV {Y } 
S {Y }
.
Y
Если данная величина выражается в процентах, то она называется квадратической неровнотой
C{Y } :
vs
tu.
by
C{Y } 
S {Y }
100 .
Y
Определение ошибки среднего и границ доверительного интервала
В результате измерений исследуемого параметра возникают ошибки (погрешности измерения),
для описания которых введены оценки абсолютной  i и относительной  i погрешности. Абсолютная и относительная доверительные ошибки, допущенные при оценке математического ожидания,
определяются по формулам:
{Y } 
 {Y } 
2S {Y }
m
2C {Y }
m
;
.
Двусторонним доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный
параметр распределения с заданной доверительной вероятностью p D :
Y   {Y}  Y  Y   {Y} .
in.
В практике текстильных исследований при статистической обработке обычно принимают
p D  0,95 . Величина, равная   1  p D , называется уровнем значимости и иногда выражается в
процентах.
Доверительный объем испытаний
/be
lsp
Анализируя точность оценки среднего значения, можно решить, является ли она достаточной или
требуется увеличение объема измерений. Задаваясь требуемой величиной относительной ошибки
(например,   3% ) и приняв квадратическую неровноту по данным предыдущих опытов или другой априорной информации, можно рассчитать доверительный объем выборки:
2
 u{ p D }  C{Y}
m{Y }  
 ,


 {Y }
u{pD } - квантиль нормального распределения случайной величины (при pD  0,954
u{ p D }  2 ).
где
Определение вида дифференциального закона
распределения случайной величины
Основные сведения
htt
p:/
Наиболее полной характеристикой совокупности случайных величин является дифференциальная
или интегральная функции распределения. Для определения вида распределения в исследуемой совокупности используется критерий Пирсона.
Совокупность случайных величин может быть получена на разрывной машине (прочность, удлинение), весах (масса отрезков пряжи, полосок ткани или трикотажа), круткомере (крутка пряжи) и
других приборах (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в приложении 7).
Формирование частотной таблицы
Полученный ряд экспериментальных значений делят на классы (интервалы). Исходя из количества элементов совокупности m , число классов k определяют по формуле (с округлением до целого):
k  3,332  lg m  1 при 50  m  200 ;
vs
tu.
by
k  4  5 0,75  (m  1) 2 при m 200 .
Например, для m  50 принимаем k  7 .
Находим в анализируемой выборке максимальное Ymax и минимальное Ymin значения и определяем величину интервала:
Y 
Y max  Y min
.
k
Составляем таблицу (Таблица 1) и разносим все значения анализируемой совокупности по соответствующим классам.
Таблица 1
№ класса
Границы класса
1
Ymin (Ymin  Y )
2
(Ymin  Y ) (Ymin  2  Y )


k
(Ymin  (k  1)  Y ) -
Ymax
in.
Значения Yi
3
(Ymin  2  Y ) (Ymin  3  Y )
Частота mi
Среднее Yi 
Количество случайных величин в каждом классе mi называется частотой. После сортировки зна-
i
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

/be
lsp
чений определяем частоту mi и математическое ожидание (среднее) Yi  в каждом классе.
Дальнейшие расчеты сводим в таблицу (Таблица 2).
Границы
классов
-
mi
Yi 
yi
-
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
mi  y i
y i2
Таблица 2
mi  y i2
-
miT
(mi  miT ) 2
mi
-
Значение Yi  в том классе, где mi принимает максимальное значение, называется условным нулем
htt
p:/
выборки Y0 .
Значения y i находятся по формуле (и округляются до ближайшего целого):
yi 
Y i  Y 0
.
Y
Определение оценок математического ожидания, среднего
квадратического отклонения и квадратической неровноты
По способу отсчета от условного нуля находим среднее значение выборки:
vs
tu.
by
Y  Y 0 
Y
m
k
m
i
 yi .
i 1
Находим среднее квадратическое отклонение и квадратическую неровноту:
2

1  k
S{Y } 
m

y

   mi  y i  ;

i
m  i 1

m i 1
S {Y }
C{Y } 
 100% .
Y
Y
k
2
i
Определение закона распределения исследуемой величины
Задаемся видом предполагаемой дифференциальной или интегральной функции распределения.
Как правило, случайные величины, являющиеся предметом анализа при исследовании технологических процессов текстильной промышленности, отвечают нормальному закону распределения:
 {Y} 


 Y  Y 2 
i
.
 exp
 2  S 2 {Y} 
2


1
in.
Вычисляем теоретические частоты miT в каждом классе:
miT 
m  Y
  {Y } .
S {Y }
Полученные значения заносим в таблицу (Таблица 2) и определяем наблюдаемое значение критерия Пирсона:
k

m
i
 miT
/be
lsp

2
н аб . л
i 1
mi

2
.
Из таблицы (приложение 2) определяем критическое значение критерия Пирсона  2к р ит при условии, что доверительная вероятность p D  0,95 и число степеней свободы f  k  2 .
Если  2н аб . л   2к р ит , то анализируемую величину можно считать распределенной по нормальному
закону. Если  2н аб . л   2к р ит , то необходимо использовать другие функции (лог-нормальную, экспоненциальную, показательно-степенную и др. [1, стр.30]) до нахождения распределения, адекватного
исследуемой случайной величине.
Построение графика функции распределения
htt
p:/
Наглядное представление о различиях между экспериментальными значениями и теоретической
функцией распределения можно получить путем построения частотного полигона (Рисунок 1).
vs
tu.
by
График функции распределения (частотный полигон)
16
14
Частота
12
Теоретическая функция
10
8
Экспериментальные
значения
6
4
2
0
1
2
3
4
5
Классы (уровни)
6
7
in.
Рисунок 1
Определение статических корреляционных
однофакторных моделей по данным пассивного
эксперимента
/be
lsp
Основные сведения
При исследовании технологических процессов и объектов часто оказывается, что выходной параметр и фактор (входной параметр) оказываются случайными величинами. В результате дискретных
измерений фактора X (например, массы 500-миллиметрового отрезка пряжи) и выходного параметра Y (например, разрывной нагрузки вышеупомянутого отрезка) получают две последовательности
сопряженных случайных чисел:
X 1 , X 2 ,, X m ;
Y1 , Y2 ,, Ym .
Каждой паре полученных значений соответствует определенная точка в корреляционном поле точек. Для оценки степени взаимосвязи двух случайных величин X и Y рассчитывают числовую характеристику rY X , называемую коэффициентом корреляции. Для корреляционной взаимосвязи двух
htt
p:/
случайных величин характерно наличие двух зависимостей: Y (X ) и X (Y ) , которые в корреляционном поле точек изображаются в виде сопряженных прямых. Причем, чем меньше разброс точек в
корреляционном поле, тем сильнее теснота связи между случайными величинами и тем меньше угол
 (Рисунок 2) между сопряженными прямыми.
В практике текстильных исследований корреляционная связь между случайными величинами считается:
при
 слабой
0,3  r  0,4
YX
 средней
при
0,4  rY X  0,7
 сильной
при
0,7  rY X  0,9
 очень сильной
при
0,9  rY X
Для ознакомления с методикой коэффициента корреляции и построения однофакторной корреляционной модели необходимо получить две совокупности сопряженных случайных величин (т.е. со-
vs
tu.
by
вокупность пар случайных значений). Они могут быть получены на разрывной машине, весах, круткомере и других приборах (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в приложении 6).
Расчет основных статистических характеристик
Определяем средние значения ( X и Y ) и дисперсии ( S 2 {X } и S 2 {Y } ) для совокупностей:
X 
1 m
Xi ;
m i 1
Y 
1 m
Y i ;
m i 1
S 2 {X } 
S 2 {Y } 
1 m
(X i  X ) 2 ;

m  1 i 1
1 m
(Y i  Y ) 2 .

m  1 i1
in.
Расчет коэффициента корреляции и определение его значимости
Значение коэффициента корреляции рассчитываем по формуле:
m
rY X 
 (X
i
 X )  (Y i  Y )
i 1
( m  1)  S {X }  S {Y }
.
/be
lsp
По значению коэффициента делаем вывод о тесноте корреляционной взаимосвязи между X и Y .
Для определения значимости коэффициента корреляции определяем расчетное значение критерия
Стьюдента:
t R {rY X } 
rY X m  2
1  rY2X
Теоретическое значение критерия t T определяем по таблице (приложение 3) при условии, что
pD  0,95 и f  m  2 . Если t R {rY X }  tT , то гипотеза о наличии корреляционной взаимосвязи между X и Y не отвергается.
Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи
Рассчитываем значения коэффициентов линейных уравнений сопряженных прямых:
rY X  S {Y }
;
S {X }
r  S {X }
 YX
.
S {Y }
d0 X  Y ; d1X 
d0Y  X ; d1Y
htt
p:/
Подставляем полученные значения в соответствующие уравнения:
Y  d0X  d1X ( X  X ) ;
X  d0Y  d1Y (Y  Y ) .
Раскрываем скобки и получаем уравнения прямых. Строим оси координат, наносим корреляционное поле точек, а затем строим сопряженные прямые (показываем угол  между ними).
vs
tu.
by
Y
Y=f ( X)

X
X=f ( Y)
in.
X
Рисунок 2
/be
lsp
Определение статических корреляционных
многофакторных моделей по данным пассивного
эксперимента
Основные сведения
В том случае, если требуется проанализировать зависимость одной случайной величины ( Y ) от
нескольких случайных величин X 1 , X 2 ,  , X M , необходимо определить корреляционную многофакторную модель [1, стр.197]:
Y  a 0  a1 X 1  a 2 X 2 a M X M .
Методику рассмотрим на примере разработки двухфакторной корреляционной модели.
В результате дискретных измерений факторов X 1 , X 2 и выходного параметра Y получают совокупность сопряженных случайных чисел (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в
приложении 6).
Расчет основных статистических характеристик
htt
p:/
Определяем средние значения и дисперсии:
X1 
1 m
 X 1i ;
m i 1
X2 
1 m
 X 2i ;
m i 1
Y 
1 m
Y i ;
m i 1
S 2 {X 1 } 
1 m
( X 1i  X 1 ) 2 ;

m  1 i 1
S 2 {Y } 
vs
tu.
by
S 2 {X 2 } 
1 m
(X 2 i  X 2 ) 2 ;

m  1 i 1
1 m
 (Y i  Y ) 2 .
m  1 i1
Расчет парных коэффициентов корреляции
Значения парных коэффициентов корреляции отражают тесноту взаимосвязи двух параметров и
определяются для каждых двух переменных:
m
rY X 1 
 (X
 X 1 )  (Y i  Y )
1i
i 1
( m  1)  S {X 1}  S {Y }
m
rY X 2 
 (X
2i
i 1
 X 2 )  (Y i  Y )
( m  1)  S {X 2 }  S {Y }
m
;
 X 1 )  (X 2 i  X 2 )
in.
 (X
;
rX 1X 2 
1i
i 1
( m  1)  S {X 1}  S {X 2 }
.
Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его
значимости
/be
lsp
Теснота линейной связи между случайными величинами X 1 , X 2 и Y определяется полным (совокупным) или множественным коэффициентом корреляции. Этот коэффициент определяет силу
совместного влияния всех факторов на выходной параметр и для двухфакторной модели имеет вид:
RYX1 X 2 
rYX2 1  rYX2 2  2rYX1 rYX 2 rX1 X 2
1  rX21 X 2
.
Используя критерий Стьюдента, определяем значимость найденного коэффициента:
t R {RY X 1X 2 } 
RY X 1X 2
S {RY X 1X 2 }
.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
S {RY X 1X 2 } 
(1  RY2X 1X 2 )
m  M 1
,
где M  2 (число факторов) и m 10 (количество испытаний).
Теоретическое значение критерия Стьюдента t T определяется из таблицы (приложение 3) при ус-
htt
p:/
ловии, что pD  0,95 и f  m  M  2 . Если t R {R Y X 1X 2 }  t T , то множественный коэффициент корреляции значим.
Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи
Искомая модель имеет вид:
Y  a 0  a1 X 1  a 2 X 2 ,
или в стандартизированной форме:
t  q1t1  q2 t 2 , где
a0 , a1 , a2 - коэффициенты с натуральными значениями факторов;
vs
tu.
by
q1 , q2 - стандартизированные значения коэффициентов. Они определяются по следующим формулам:
q1 
q2 
rY X 1  rY X 2  rX 1X 2
1  rX21X 2
rY X 2  rY X 1  rX 1X 2
1  rX21X 2
;
.
Натуральные значения определяются по формулам:
a1  q1
S {Y }
;
S {X 1}
a2  q2
S {Y }
;
S {X 2 }
M
a0  Y   ai  X i  Y  a1X 1  a2X 2
i 1
in.
Подставляем значения полученных коэффициентов в уравнение и получаем корреляционную модель в натуральных значениях.
/be
lsp
Определение регрессионной однофакторной модели
(модели первого порядка) по данным активного
эксперимента
Основные сведения
htt
p:/
При решении многих инженерных задач возникает необходимость в установлении связи между
независимыми переменными X1, X2,  Xk и зависящей от них величиной Y. В случае если Y является
случайной величиной, а X1, X2,  Xk - величины неслучайные, для разработки искомой математической модели вида Y  f ( X 1 , X 2 ,, X k ) используется метод регрессионного анализа (метод наименьших квадратов).
Применение регрессионного анализа правомерно при выполнении следующих условий:
Значения выходного параметра Y в каждом опыте матрицы планирования эксперимента представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.
Дисперсии выходного параметра в различных опытах матрицы однородны.
Значения уровней факторов не являются линейной комбинацией от уровней остальных факторов.
Точность определения значений выходного параметра значительно ниже точности определения
величины уровня фактора.
Если одно из приведенных выше условий не будут выполняться, эффективность анализа значительно снижается и по найденной модели могут быть получены неверные технологические выводы.
В данной работе метод регрессионного анализа рассмотрен на примере построения линейной однофакторной модели (модели первого порядка).
Условия проведения активного эксперимента
Цель данной работы - получить модель вида:
YR  a0  a1 X .
(1)
Для получения данной модели проводят активный эксперимент в широком диапазоне изменения
фактора X. Обычно применяют число уровней фактора, т.е. число опытов в матрице планирования
vs
tu.
by
N5. Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется несколько раз (m2).
По результатам эксперимента заполняем таблицу (Таблица 3). Можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 8.
Таблица 3
Xu
u
Yui
m
Y
Yu
ui
i 1
i=1
i=2
i=3
1
2
3
4
5
i=4
Su2 { Y}
i=5
Итого:
Нахождение статистических характеристик
Yu 
in.
Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по
формулам:
1 m
 Yu ,
m i 1 i
m - число повторностей опыта.
Su2{ Yu } 
1
m  1
m
 (Y
i 1
ui
 Yu) 2 , где
/be
lsp
Проверка гипотезы об однородности дисперсий
Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле:
GR 
Su2
max
{ Y}
N
 S { Y}
2
u
u 1
htt
p:/
Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют по таблице
(приложение 5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии
f { Su2 }  m  1 для заданной доверительной вероятности.
Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить
методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой
дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы.
Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы
об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55].
Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах
матрицы
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя
дисперсия определяется по формуле:
2
S âî

ñï { Y}
1
N
N
S
2
u
u 1
{ Y} .
vs
tu.
by
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий
Для получения искомого уравнения (1) предварительно находят коэффициенты уравнения:
YR  d 0  d 1( X  X) ,
где
X 
d0 
1
N
1
N
N
X
u
;
u 1
N
Y
 Y;
u
u 1
N
 (X
u 1
N
d1 
(2)
u
 (X
u 1
 X)Yu
.
u
 X)
2
1
2
3
4
5
N

u 1
Xu
Xu  X
( X u  X) 2
/be
lsp
u
in.
Расчеты необходимых сумм сводим в таблицу (Таблица 4).
Yu
Таблица 4
( Xu  X)Yu
Преобразуем уравнение (2) в уравнение (1).
Проверка адекватности полученной модели
Вначале определяется дисперсия неадекватности:
N
S н2 ад 
m (Y u  Y R u ) 2
u 1
N 2
, где
htt
p:/
YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для
каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров.
Расчеты необходимых сумм сводим в таблицу (Таблица 5).
vs
tu.
by
Таблица 5
u
Xu
d 1Xu
YRu
Yu  YRu
Yu
1
2
3
4
5
N

u 1
(Yu  YRu) 2
Определяют расчетное значение критерия Фишера:
FR 
Sí2àä { Y}
S
или F R 
2
âî ñï
2
âî ñï
2
í àä
{Y}
S
S
2
, если Sí2àä { Y}  Sâî
ñï { Y } ;
{Y}
2
2
, если Sâî
ñï { Y }  Sí àä { Y} .
{ Y}
in.
Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице
2
 N( m  1) , f { Sí2àä }  N  2 .
(приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { S âî
ñï }
Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается.
Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса моделью более высокого порядка на базе другого вида эксперимента.
/be
lsp
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии
Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное
значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле:
di
t R{ d i } 
где
S2 { d i }
S 2 { Y}
;
mN
S2 { Y}
S2 { d 0 } 
S2 { d 1 } 
S 2 { Y} 
,
;
N
m ( X u  X)
2
u 1
2
âî ñï
( m  1) NS
{ Y}  ( N  2) Sí2 àä { Y}
mN  2
htt
p:/
Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице
(приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { S2 }  Nm  2 .
Если tR{di} > tT выполняется для обоих коэффициентов разработанной модели, то линейная связь
между X и Y значима.
vs
tu.
by
Определение регрессионных многофакторных
математических моделей по данным активного
эксперимента
Основные сведения
/be
lsp
in.
В настоящее время в научных исследованиях широкое применение получили математикостатистические методы планирования экспериментов, в которых математический аппарат играет
активную роль, диктуя исследователю определенную схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов.
В задачу планирования эксперимента входит:
 выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования;
 выбор методов математической обработки результатов эксперимента.
Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения
уровней факторов в различных сериях опытов. Матрицы планирования должны удовлетворять ряду
требований:
 ортогональность - независимость получаемых коэффициентов регрессии и возможность исключения членов модели с незначимыми коэффициентами без последующего пересчета значимых коэффициентов;
 ротатабельность - постоянство дисперсии выходного параметра на равных расстояниях от
центра эксперимента;
 униформность - постоянство дисперсии выходного параметра в некоторой области вокруг центра эксперимента.
Эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых
факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Он применяется для получения
регрессионной многофакторной модели (РМФМ) при исследовании локального участка факторного
пространства, не соответствующего его экстремальной части. РМФМ, получаемая по результатам
ПФЭ, имеет вид линейного полинома
(1)
YR  b0  b1 x1 bi xi bM x M
или неполного полинома второго порядка
YR  b0  b1 x1 bi xi b M x M  b12 x1 x 2 bij xi x j b M 1, M x M 1 x M , (2)
где YR - расчетное значение выходного параметра; x i - кодированные значения уровней факторов;
b i , b i j - значения коэффициентов регрессии; i  1,, M , j  1,, M - номер фактора.
При факторном планировании в отличие от традиционного (однофакторного) по величине коэффициентов регрессии b i , b i j в РМФМ можно судить о влиянии на выходной параметр не только
каждого фактора x i , но и их взаимодействия x i x j , т.е. изменения влияния одного фактора при
переходе второго фактора на другой уровень.
Разработка матрицы планирования
htt
p:/
Для составления матрицы планирования необходимо определить требуемое количество опытов:
N  k M,
где k - число уровней варьирования каждого фактора, изменяя которое можно уменьшать или увеличивать N.
Необходимо учесть, что для вычисления коэффициентов регрессии искомого уравнения (2) должно соблюдаться условие N  N k ( N k - число коэффициентов регрессии в РМФМ), а для оценки
адекватности полученной модели это условие усиливается, т.е. N  N k .
В матрице планирования используются кодированные значения уровней фактора:
(-) - нижний уровень фактора (равен -1);
(+) - верхний уровень фактора (равен +1);
vs
tu.
by
Например, для двухуровневого трехфакторного эксперимента (23) матрица ПФЭ содержит восемь
опытов (Таблица 6). Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 9.
Таблица 6
Факторы
u
1
2
3
4
5
6
7
8
ki
x0
+
+
+
+
+
+
+
+
x1
+
+
+
+
x2
+
+
+
+
Сочетания
x3
+
+
+
+
x1 x2
x1 x3
x2 x3
Yui
x1 x2 x3
Yu1
Yu2
-
-
Yu
Su2 { Y}


in.
Зная квадратическую неровноту выходного параметра C{Y} по данным предварительного эксперимента или на основании другой априорной информации, а также задаваясь величиной относительной ошибки { Y } и доверительной вероятностью u(PD), можно рассчитать требуемое число повторностей каждого опыта:
 u{ PD} C{ Y} 
mY
( )  

 { Y }

2
Обработку результатов ПФЭ проводят в следующем порядке.
/be
lsp
Нахождение статистических характеристик
Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по
формулам:
Yu 
1 m
 Yu ,
m i 1 i
Su2{ Yu } 
1
m  1
m
 (Y
i 1
ui
 Yu) 2 , где
m - число повторностей опыта.
Проверка гипотезы об однородности дисперсий
Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле:
GR 
Su2
max
{ Y}
N
S
2
u
{ Y}
u 1
htt
p:/
Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют (приложение
5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии
f { Su2 }  m  1 для заданной доверительной вероятности.
Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить
методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой
дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы.
Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы
об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55].
vs
tu.
by
Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах
матрицы
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя
дисперсия определяется по формуле:
2
S âî

ñï { Y}
1
N
N
S
2
u
{ Y} .
u 1
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели)
Коэффициенты регрессии определяются по следующим формулам:
1
bi 
N
bi j
bi j l

1

N
N
x
1
N
Y (i  0,1,  , M ) ;
iu u
u 1
N
x
u 1
N
x
i u
i u
x j uYu ( i
x j u x l uYu ( i
u 1
 j);
 j
 l) .
in.
В результате подстановки найденных коэффициентов в уравнение (2) получается регрессионную
многофакторную модель, которая, однако, не является окончательной моделью изучаемого процесса.
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии
Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное
значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле:
где
bi
/be
lsp
t R{ b i } 
S 2{ b i } 
S2{ b i }
1 2
S {Y} ,
N
в свою очередь
S 2{ Y } 
1 2
S âî ñï { Y} .
m
htt
p:/
Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице
(приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { Su2 }  N( m  1) .
Если tR{bi} > tT, то коэффициент bi значим. Если tR{bi} < tT, то коэффициент bi незначим, и его необходимо приравнять нулю, т.е. исключить член biXi из модели.
Необходимо учитывать, что значимость коэффициентов зависит не только от удельного влияния
данного фактора на выходной параметр, но и от интервала варьирования уровней фактора. Незначимость может быть обусловлена малым интервалом варьирования фактора, большой дисперсией воспроизводимости вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых факторов, а также расположением основного уровня фактора близко к точке частного экстремума выходного параметра по
этому фактору. После исключения незначимых коэффициентов записывается искомая модель.
Проверка адекватности полученной модели
Проверку адекватности модели можно проводить только при условии, что число проведенных
опытов больше числа коэффициентов модели.
Вначале определяется дисперсия неадекватности:
vs
tu.
by
N
 (Y
u
Sí2àä 
u 1
 YRu ) 2
N  Nç í . êî ý ô .
, где
Nзн.коэф. - число значимых (оставшихся) коэффициентов в модели.
YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для
каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров.
Определяют расчетное значение критерия Фишера:
FR 
или FR
Sí2àä { Y}
2
, если Sí2àä { Y}  S 2 { Y } ;
S { Y}
S2{ Y }
, если S 2 { Y }  S í2à ä { Y} .

Sí2àä { Y}
Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице
(приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { Su2 }  N( m  1) , f { Sí2àä }  N  Nç í . êî ý ô. .
in.
Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается.
Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса полиномом второго порядка на базе другого вида эксперимента или, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования уровней факторов. Однако неоправданное уменьшение
интервала варьирования может обусловить статистическую незначимость коэффициентов регрессии.
Исследование полученной регрессионной многофакторной модели
/be
lsp
Получив математическую модель, исследователь проводит ее анализ. Вклад фактора в величину
выходного параметра при переходе от нижнего к верхнему уровню называется эффектом фактора.
Чем больше коэффициент регрессии, тем выше эффект этого фактора, т.е. тем сильнее влияние фактора на выходной параметр. Таким образом, по величине коэффициентов регрессии в модели можно
осуществить ранжирование факторов по силе их влияния на Y.
Наиболее наглядным является графическое построение (например, с помощью
“STATGRAPHICS”) поверхности отклика для двухфакторной регрессионной модели путем изображения линий одинакового уровня выходного параметра (изолиний). Каждая линия представляет собой проекцию сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа.
Анализируя вид полученной поверхности легко определить влияние каждого фактора на выходной параметр.
Для трехфакторной модели строят три семейства изолиний для двух факторов, используя три стабилизации третьего фактора (на нижнем, основном и верхнем уровне).
При M > 3 наглядное представление о геометрическом образе поверхности отклика становится невозможным из-за отсутствия у человека интуиции в многомерных пространствах.
htt
p:/
Определение регрессионной многофакторной модели
второго порядка по D-оптимальным матрицам
Основные сведения
В последнее время появились матрицы, которые удовлетворяют требованиям оптимальности оценок коэффициентов модели и выходного параметра при уменьшенном числе опытов. Матрицу, которая обеспечивает получение минимума обобщенной дисперсии, т.е. минимума дисперсии всех коэффициентов регрессии (S2{b}min) называют D-оптимальной. Одним из достоинств данных матриц
является то, что факторы варьируются только на трех уровнях.
vs
tu.
by
Выбор матрицы планирования
Описываемая методика позволяет получить модель вида:
YR  b 0 
M

i 1
bi x i 
M

M
b i j x i x j   b i i x i2
i j 1
j #i
i 1
Ниже приведены некоторые наиболее известные матрицы, имеющие хорошие статистические характеристики и включающие небольшое число опытов. При этом используются следующие обозначения:
M - число факторов (входных параметров);
N - общее число опытов в матрице;
Nц - число опытов в центре эксперимента;
В условном обозначении строк в матрице используются следующие сокращения:
a, b, c, d, e - факторы (соответственно X1, X2, X3, X4, X5) на верхнем уровне;
a(0),b(0),c(0),d(0),e(0) - факторы (соответственно X1, X2, X3, X4, X5) на основном уровне;
(1) - все факторы в данной строке на нижнем уровне.
in.







/be
lsp
Матрица Коно (Ко2):
M
N
Nц
Условное обозначение строк в матрице
2
9
1 ab,b,a,(1),ab(0),b(0),a(0)b,a(0),a(0)b(0)
Матрица Бокса (B3):
M
N
Nц
Условное обозначение строк в матрице
3
14
0 abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0),b(0)c(0),a(0)bc(0),a(0)c(0),a(0)b(0)c,a(0)b(0)
Матрица Бокса (B4):
M
N
Nц
Условное обозначение строк в матрице
4
24
0 abcd,bcd,acd,cd,abd,bd,ad,d,abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0)d(0),b(0)c(0)d(0),a(0)bc(0)
d(0),a(0)c(0)d(0),a(0)b(0)cd(0),a(0)b(0)d(0),a(0)b(0)c(0)d,a(0)b(0)c(0)
htt
p:/
Матрица Бокса (B5):
M
N
Nц
Условное обозначение строк в матрице
5
42
0 abcde,bcde,acde,cde,abde,bde,ade,de,abce,bce,ace,ce,abe,be,ace,abcd,bcd,acd,cd,abd,b
d,ad,d,abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0)d(0)e(0),b(0)c(0)d(0)e(0),a(0)bc(0)d(0)e(0),a(0)c
(0)d(0)e(0),a(0)b(0)cd(0)e(0),a(0)b(0)d(0)e(0),a(0)b(0)c(0)de(0),a(0)b(0)c(0)e(0),a(0)
b(0)c(0)d(0)e,a(0)b(0)c(0)d(0)
Матрица Хартли (Ha5):
M
N
Nц
Условное обозначение строк в матрице
5
27
1 abcde,bcd,acd,cde,abd,bde,ade,d,abc,bce,ace,c,abe,b,a,e,ab(0)c(0)d(0)e(0),b(0)c(0)d(0)
e(0),a(0)bc(0)d(0)e(0),a(0)c(0)d(0)e(0),a(0)c(0)d(0)e(0),a(0)b(0)cd(0)e(0),a(0)b(0)d(0)
e(0),a(0)b(0)c(0)de(0),a(0)b(0)c(0)e(0),a(0)b(0)c(0)d(0)e,a(0)b(0)c(0)d(0),a(0)d(0)c(0)
d(0)e(0)
При проведения эксперимента по одной из вышеперечисленных матриц необходимо прибегать к
рандомизации опытов.
vs
tu.
by
Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 10.
Зная квадратическую неровноту выходного параметра C{Y} по данным предварительного эксперимента или на основании другой априорной информации, а также задаваясь величиной относительной ошибки { Y } и доверительной вероятностью u(PD), можно рассчитать требуемое число повторностей каждого опыта:
 u{ PD} C{ Y} 
mY
( )  

 { Y }

2
Обработку полученных данных проводят в следующем порядке.
Нахождение статистических характеристик
Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по
формулам:
Yu 
1 m
 Yu ,
m i 1 i
1
m  1
Su2{ Yu } 
ui
i 1
 Yu) 2 , где
in.
m - число повторностей опыта.
m
 (Y
Проверка гипотезы об однородности дисперсий
Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле:
Su2
max
{ Y}
/be
lsp
GR 
N
S
2
u
{ Y}
u 1
Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют (приложение
5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии
f { Su2 }  m  1 для заданной доверительной вероятности.
Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить
методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой
дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы.
Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы
об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55].
Вычисление дисперсии воспроизводимости
Вычисляют дисперсию воспроизводимости по формуле:
htt
p:/
N
 S { Y}
2
u
S2{ Y} 
u 1
m( N  N ö  1)
Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий
N
M
b 0  g 1  Yu  g 2 
u 1
N
x
i 1 u 1
2
i u
Yu ;
vs
tu.
by
N
bi
 g 3  x i uYu ;
u 1
N
bi j
 g 4  x i u x j uYu ;
u 1
M
N
bi i
 g 5  x i2uYu  g 6 
u 1
N

i 1 u 1
N
x i2uYu  g 2  Yu ;
u 1
S2{ b 0}  g 1 S2{ Y} ;
S2{ b i }  g 3 S2{ Y } ;
S2 { b i j }  g 4 S2 { Y } ;
S2{ b i i }  g 7 S2{ Y } ;
Значения постоянных коэффициентов gi приведены в таблице (Таблица 7)
Таблица 7
M
g1
g2
Ко2
B3
B4
B5
Ha5
2
3
4
5
5
0,55556
0,40625
0,22917
0,15821
0,13804
0,33333
0,15625
0,06250
0,03320
0,03030
g3
g4
g5
0,25000
0,12500
0,06250
0,03125
0,06250
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
in.
Матрица
0,16666
0,10000
0,05556
0,02941
0,55560
g1
0,00000
-0,09375
-0,10417
-0,09180
-0,09091
0,50000
0,40625
0,39583
0,40820
0,40909
/be
lsp
Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии
Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное
значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле:
t R{ b i } 
bi
S2{ b i }
htt
p:/
Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице
(приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { Su2 }  N( m  1) .
Если tR{bi} > tT, то коэффициент bi значим. Если tR{bi} < tT, то коэффициент bi незначим, и его необходимо приравнять нулю, т.е. исключить член biXi из модели.
Необходимо учитывать, что значимость коэффициентов зависит не только от удельного влияния
данного фактора на выходной параметр, но и от интервала варьирования уровней фактора. Незначимость может быть обусловлена малым интервалом варьирования фактора, большой дисперсией воспроизводимости вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых факторов, а также расположением основного уровня фактора близко к точке частного экстремума выходного параметра по
этому фактору.
Следует отметить, что исключение членов модели с коэффициентами bii в случае их незначимости
без пересчета значимых коэффициентов bjj и b0 является некорректным приемом, хотя его часто применяют.
При числе факторов более трех (M > 3) с целью повышения адекватности модели рекомендуется
проводить последовательное исключение членов модели с незначимыми коэффициентами bii (начиная с минимального) с пересчетом оставшихся коэффициентов [1, стр.178].
Проверка адекватности полученной модели
Проверку адекватности модели можно проводить только при условии, что число проведенных
опытов больше числа коэффициентов модели.
Вначале определяется дисперсия неадекватности:
vs
tu.
by
N
 (Y
u
Sí2àä 
u 1
 YRu) 2
N  Nç í . êî ý ô .  ( N ö  1) 2
, где
Nзн.коэф. - число значимых (оставшихся) коэффициентов в модели.
YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для
каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров.
Определяют расчетное значение критерия Фишера:
FR 
или FR
Sí2àä { Y}
2
, если Sí2àä { Y}  S 2 { Y } ;
S { Y}
S2{ Y }
, если S 2 { Y }  S í2à ä { Y} .

Sí2àä { Y}
Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице
(приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { Su2 }  N( m  1) , f { Sí2àä }  N  Nç í . êî ý ô. .
in.
Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается.
Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса полиномом второго порядка на базе другого вида эксперимента или, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования уровней факторов. Однако неоправданное уменьшение
интервала варьирования может обусловить статистическую незначимость коэффициентов регрессии.
Исследование полученной регрессионной многофакторной модели
htt
p:/
/be
lsp
Используя полученную модель необходимо определить характер изменения поверхности отклика
в экстремальном участке и определить комбинацию уровней факторов, обеспечивающих экстремальное значение выходного параметра, т.е. оптимальные условия исследуемого процесса.
Наиболее наглядным является графическое построение (например, с помощью «STATISTICA FOR
WINDOWS») поверхности отклика для двухфакторной регрессионной модели путем изображения
линий одинакового уровня выходного параметра (изолиний). Каждая линия представляет собой проекцию сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа.
Анализируя вид полученной поверхности легко определить влияние каждого фактора на выходной параметр.
Для трехфакторной модели строят три семейства изолиний для двух факторов, используя три стабилизации третьего фактора (на нижнем, основном и верхнем уровне).
При M > 3 наглядное представление о геометрическом образе поверхности отклика становится невозможным из-за отсутствия у человека интуиции в многомерных пространствах.
Для нахождения координат точки оптимума (оптимальных значений факторов) можно воспользоваться одним из множества методов, реализованных на ЭВМ (например, «STATISTICA FOR WINDOWS»).
vs
tu.
by
Литература
htt
p:/
/be
lsp
in.
Севостьянов А.Г. Методы и средства исследований механико-технологических процессов текстильной промышленности. М., «Легкая индустрия», 1980.
Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. М.,
«Машиностроение», 1981.
Тойберг П. Оценка точности результатов измерений. Пер. с немецк. М., «Энергоатомиздат»,
1988.
Севостьянов А.Г., Кудинов А.В., Литвинов М.С. и др. Методы и средства исследований механико-технологических процессов текстильной промышленности. Лабораторный практикум. М.,
«Легкая промышленность и бытовое обслуживание», 1986.
Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и
первичная обработка данных. М., «Финансы и статистика», 1983.
Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.
М., «Финансы и статистика», 1985.
Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика: Принципы и примеры. М., «Мир», 1984.
Ким Дж.-О., Мьюллер Ч.У., Клекка У.Р., Олдендерфер М.С., Блэшфилд Р.К. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: Пер. С англ. Под ред. И.С.Енюкова. М., «Финансы и статистика», 1989.
Григорьев С.Г., Перфилов А.М., Левандовский В.В., Юнкеров В.И. STATGRAPHICS на персональном компьютере. Санкт-Петербург., «ПО-3», 1992.
vs
tu.
by
in.
/be
lsp
htt
p:/
Приложения
vs
tu.
by
Приложение 1
Критические значения критерия Смирнова-Граббса V T
Количество элементов
совокупности
htt
p:/
/be
lsp
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.99
1.414
1.723
1.955
2.130
2.265
2.374
2.464
2.540
2.606
2.663
2.714
2.759
2.800
2.837
2.871
2.903
2.932
2.959
2.984
3.008
3.030
3.051
3.071
in.
m
Уровень доверительной вероятности pD
0.95
1.412
1.689
1.869
1.996
2.093
2.172
2.237
2.294
2.343
2.387
2.426
2.461
2.493
2.523
2.551
2.577
2.600
2.623
2.644
2.664
2.683
2.701
2.717
0.90
1.406
1.645
1.791
1.894
1.974
2.041
2.097
2.146
2.190
2.229
2.664
2.297
2.326
2.354
2.380
2.404
2.426
2.447
2.467
2.486
2.504
2.502
2.537
Критические значения критерия Пирсона  T2
Число степеней
свободы
vs
tu.
by
Приложение 2
Уровень доверительной вероятности pD
0.9
0.95
0.99
0.999
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2.705
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.361
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.591
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.143
31.410
32.670
33.924
35.172
36.415
37.652
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
31.999
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
10.828
13.816
16.266
18.467
20.515
22.458
24.322
26.125
27.877
29.588
31.264
32.909
34.528
36.123
37.697
39.252
40.790
42.312
43.820
45.315
46.797
48.268
49.728
51.179
52.620
htt
p:/
/be
lsp
in.
f
Значения критерия Стьюдента t T
Число степеней
свободы
vs
tu.
by
Приложение 3
Уровень доверительной вероятности pD
0.8
0.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
3.078
1.866
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.296
1.289
1.282
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.684
1.671
1.658
1.645
0.95
0.99
0.999
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.000
1.980
1.960
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.660
2.617
2.576
636.62
31.598
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.767
3.745
3.725
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
3.551
3.460
3.373
3.291
/be
lsp
in.
f
htt
p:/

vs
tu.
by
Приложение 4
Значения критерия Фишера FT ( f1 - степень свободы для меньшей дисперсии, f 2 - степень свободы для большей дисперсии)
3
4
5
6
7
8
9
161.4
18.51
10.13
7.71
6.61
5.99
5.59
5.32
5.12
4.96
4.84
4.75
4.67
4.60
4.54
4.49
4.45
4.41
4.38
4.35
4.32
4.30
4.28
4.26
4.24
4.23
4.21
4.20
4.18
4.17
4.08
4.00
3.922
3.84
199.5
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.26
4.10
3.98
3.89
3.81
3.74
3.68
3.63
3.59
3.55
3.52
3.49
3.47
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.95
3.34
3.33
3.32
3.23
3.15
3.07
3.00
215.7
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.86
3.71
3.59
3.49
3.41
3.34
3.29
3.24
3.20
3.16
3.13
3.10
3.07
3.05
3.03
3.01
2.99
2.98
2.96
2.95
2.93
2.92
2.84
2.76
2.68
2.60
224.6
19.25
9.12
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.63
3.48
3.36
3.26
3.18
3.11
3.06
3.01
2.96
2.93
2.90
2.87
2.84
2.82
2.80
2.78
2.76
2.74
2.73
2.71
2.70
2.69
2.61
2.53
2.45
2.37
230.2
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
3.20
3.11
3.03
2.96
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.68
2.66
2.64
2.62
2.60
2.59
2.57
2.56
2.55
2.53
2.45
2.37
2.29
2.21
234.0
19.33
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
3.09
3.00
2.92
2.85
2.79
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.53
2.51
2.49
2.47
2.46
2.45
2.43
2.42
2.34
2.25
2.17
2.10
236.8
19.35
8.89
6.09
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
3.01
2.91
2.83
2.76
2.71
2.66
2.61
2.58
2.54
2.51
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.25
2.17
2.09
2.01
238.9
19.37
8.85
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
2.95
2.85
2.77
2.70
2.64
2.59
2.55
2.51
2.48
2.45
2.42
2.40
2.37
2.36
2.34
2.32
2.31
2.29
2.28
2.27
2.18
2.10
2.02
1.94
240.5
19.38
8.81
6.00
4.77
4.10
3.68
3.39
3.18
3.02
2.90
2.80
2.71
2.65
2.59
2.54
2.49
2.46
2.42
2.39
2.37
2.34
2.32
2.30
2.28
2.27
2.25
2.24
2.22
2.21
2.12
2.04
1.96
1.88
10
12
15
20
24
30
40
60
120

241.9
19.40
8.79
5.96
4.74
4.06
3.64
3.35
3.14
2.98
2.85
2.75
2.67
2.60
2.54
2.49
2.45
2.41
2.38
2.35
2.32
2.30
2.27
2.25
2.24
2.22
2.20
2.19
2.18
2.16
2.08
1.99
1.91
1.83
243.9
19.41
8.74
5.91
4.68
4.00
3.57
3.28
3.07
2.91
2.79
2.69
2.60
2.53
2.48
2.42
2.38
2.34
2.31
2.28
2.25
2.23
2.20
2.18
2.16
2.15
2.13
2.12
2.10
2.09
2.00
1.92
1.83
1.75
245.9
19.43
8.70
5.86
4.62
3.94
3.51
3.22
3.01
2.85
2.72
2.62
2.53
2.46
2.40
2.35
2.31
2.27
2.23
2.20
2.18
2.15
2.13
2.11
2.09
2.07
2.06
2.04
2.03
2.01
1.92
1.84
1.75
1.67
248.0
19.45
8.66
5.80
4.56
3.87
3.44
3.15
2.94
2.77
2.65
2.54
2.46
2.39
2.33
2.28
2.23
2.19
2.16
2.12
2.10
2.07
2.05
2.03
2.01
1.99
1.97
1.96
1.94
1.93
1.84
1.75
1.66
1.57
249.1
19.45
8.64
5.77
4.53
3.84
3.41
3.12
2.90
2.74
2.61
2.51
2.42
2.35
2.29
2.24
2.19
2.15
2.11
2.08
2.05
2.03
2.01
1.98
1.96
1.95
1.93
1.91
1.90
1.89
1.79
1.70
1.61
1.52
250.1
19.46
8.62
5.75
4.50
3.81
3.38
3.08
2.86
2.70
2.57
2.47
2.38
2.31
2.25
2.19
2.15
2.11
2.07
2.04
2.01
1.98
1.96
1.94
1.92
1.90
1.88
1.87
1.85
1.84
1.74
1.65
1.55
1.46
251.1
19.47
8.59
5.72
4.46
3.77
3.34
3.04
2.83
2.66
2.53
2.43
2.34
2.27
2.20
2.15
2.10
2.06
2.03
1.99
1.96
1.94
1.91
1.89
1.87
1.85
1.84
1.82
1.81
1.79
1.69
1.59
1.50
1.39
252.2
19.48
8.57
5.69
4.43
3.74
3.30
3.01
2.79
2.62
2.49
2.38
2.30
2.22
2.16
2.11
2.06
2.02
1.98
1.95
1.92
1.89
1.86
1.84
1.82
1.80
1.79
1.77
1.75
1.74
1.64
1.53
1.43
1.32
253.3
19.49
8.55
5.66
4.40
3.70
3.27
2.97
2.75
2.58
2.45
2.34
2.225
2.18
2.12
2.06
2.01
1.97
1.93
1.90
1.87
1.84
1.81
1.79
1.77
1.75
1.73
1.71
1.70
1.68
1.58
1.47
1.35
1.22
254.3
19.50
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.71
2.54
2.40
2.30
2.21
2.13
2.07
2.01
1.96
1.92
1.88
1.84
1.81
1.78
1.76
1.73
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.51
1.39
1.25
1.00
1.71
lsp
in.
2
/be

1
p:/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
f2
htt
f1
Значения критерия Кочрена GT при pD  0,95
vs
tu.
by
Приложение 5
f  m 1
3
0.9392
0.7977
0.6841
0.5981
0.5321
0.4800
0.4377
0.4027
0.3733
0.3264
0.2758
0.2205
0.1907
0.1593
0.1259
0.0865
0.0495
0
4
0.9057
0.7457
0.6287
0.5441
0.4803
0.4307
0.3910
0.3584
0.3311
0.2880
0.2419
0.1921
0.1656
0.1377
0.1082
0.0765
0.0419
0
5
0.8772
0.7071
0.5859
0.5065
0.4447
0.3974
0.3595
0.3286
0.3029
0.2624
0.2195
0.1935
0.1493
0.1237
0.0968
0.0682
0.0371
0
6
0.8534
0.6771
0.5598
0.4783
0.4184
0.3726
0.3362
0.3067
0.2823
0.2439
0.2034
0.1602
0.1304
0.1137
0.0887
0.0623
0.0337
0
7
0.8332
0.6530
0.5365
0.4564
0.9880
0.3535
0.3185
0.2901
0.2666
0.2299
0.1911
0.1501
0.1286
0.1061
0.0827
0.0583
0.0312
0
8
0.8159
0.6333
0.5175
0.4387
0.3817
0.3384
0.3043
0.2768
0.2541
0.2187
0.1815
0.1422
0.1216
0.1002
0.0780
0.0552
0.0292
0
9
0.8010
0.6167
0.5017
0.4241
0.3682
0.3259
0.2926
0.2659
0.2439
0.2098
0.1736
0.1357
0.1160
0.0958
0.0745
0.0520
0.0279
0
lsp
in.
2
0.9750
0.8709
0.7679
0.6838
0.6161
0.5612
0.5157
0.4775
0.4450
0.3924
0.3346
0.2705
0.2354
0.1908
0.1576
0.1131
0.0632
0
/be

1
0.9985
0.9669
0.9065
0.8412
0.7808
0.7271
0.6798
0.6385
0.6020
0.5410
0.4709
0.3894
0.3434
0.2929
0.2370
0.1737
0.0998
0
p:/
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
htt
N
10
0.7880
0.6025
0.4884
0.4118
0.3568
0.3154
0.2829
0.2568
0.2353
0.2020
0.1671
0.1303
0.1113
0.0921
0.0713
0.0497
0.0266
0
16
0.7341
0.5466
0.4366
0.3645
0.3135
0.2756
0.2462
0.2226
0.2032
0.1737
0.1429
0.1108
0.0940
0.0771
0.0595
0.0411
0.0218
0
36
0.6602
0.4748
0.3720
0.3066
0.2612
0.2278
0.2022
0.1820
0.1655
0.1403
0.1144
0.0879
0.0743
0.0604
0.0462
0.0316
0.0165
0
144
0.5813
0.4031
0.3093
0.2513
0.2119
0.1833
0.1616
0.1446
0.1308
0.1100
0.0889
0.0675
0.0567
0.0457
0.0347
0.0234
0.0120
0

0.5000
0.3333
0.2500
0.2000
0.1667
0.1429
0.1250
0.1111
0.1000
0.0833
0.0667
0.0500
0.0417
0.0333
0.0250
0.0167
0.0083
0
vs
tu.
by
Приложение 6
X 1 , X 2 и Y - соответственно прочность, удлинение и масса полуметрового отрезка пряжи, полученной пневматическим способом;
m - количество испытаний
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
960
965
985
930
935
950
985
940
960
960
17.2
17.2
18.2
14.0
14.4
14.6
17.2
15.6
17.0
16.6
99
87
112
74
81
99
105
87
112
93
935
925
965
950
930
950
950
965
965
905
14.0
17.4
16.4
16.0
13.8
15.4
16.4
17.4
16.6
12.8
84
108
114
90
108
102
114
120
102
84
985
980
960
960
945
985
930
975
955
945
18.6
18.0
15.2
15.4
15.0
17.2
14.4
17.2
16.0
15.6
115
122
109
115
109
115
83
122
122
90
985
1135
940
960
1055
865
1175
865
1175
1050
13.8
16.6
11.5
13.1
14.4
11.3
14.1
15.0
16.8
14.0
92
122
85
104
98
85
104
116
116
104
980
840
1155
1105
935
890
965
950
965
1175
11.9
9.2
15.8
13.0
11.3
10.8
13.0
13.1
13.9
15.1
106
94
112
94
94
83
106
100
94
112
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
m
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
1
2
3
4
1120
1170
935
1120
15.7
16.9
13.3
16.2
95
113
77
119
1135
995
945
900
16.0
14.2
12.6
11.4
119
106
88
106
965
1135
1270
1055
10.8
14.8
16.6
13.6
84
90
120
96
9.1
15.6
12.3
17.6
5
6
7
8
9
1060
1120
1055
1000
1230
16.5
15.7
15.3
13.2
15.9
113
95
101
113
89
1160
1265
1060
855
850
16.2
17.0
13.7
11.6
13.1
119
125
113
94
94
1055
1075
965
910
855
13.8
18.5
12.1
12.6
13.3
102
114
90
102
108
750
965
850
12.3
0
1175
1000
1075
1105
970
10
875
11.7
83
1215
15.8
119
1020
14.0
108
1055
Вариант 7
Вариант 15
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
835
1075
1195
1015
1025
1035
995
885
965
1175
9.8
14.8
13.7
13.0
13.9
15.6
13.9
12.2
11.6
15.2
101
107
101
107
113
101
107
95
88
120
1060
1040
850
1155
1170
1365
1100
945
1190
1050
15.7
12.4
11.5
15.6
16.1
17.4
14.0
14.6
16.5
14.8
93
87
93
105
124
112
105
93
99
105
1055
1190
1175
1050
1020
1075
1095
1075
795
1050
14.0
15.0
15.4
15.0
13.7
14.7
15.4
14.4
9.4
14.4
90
102
114
96
84
90
108
96
78
102
965
1175
1080
1275
970
1075
1175
1075
1105
1190
11.8
16.7
15.0
17.0
12.0
13.9
15.0
14.4
16.3
16.5
91
109
91
127
103
97
103
91
109
121
1050
1075
1175
1000
900
795
875
965
1065
1120
12.6
15.4
16.5
14.8
12.1
10.3
13.2
15.2
15.0
15.4
96
90
114
102
84
90
108
114
90
102
lsp
in.
m
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18
Вариант 19
Вариант 20
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
X1
X2
Y
1175
905
1110
1135
15.4
11.2
13.6
15.3
111
86
105
105
980
840
1155
1105
11.9
9.2
15.8
13.0
106
94
112
94
985
930
975
955
17.2
14.4
17.2
16.0
115
83
122
122
1075
1095
1075
795
14.7
15.4
14.4
9.4
90
108
96
78
1075
965
910
855
18.5
12.1
12.6
13.3
114
90
102
108
1265
1060
855
850
17.0
13.7
11.6
13.1
125
113
94
94
15.6
13.1
14.6
16.5
13.2
100
94
113
125
94
1135
970
1040
1020
835
16.0
11.7
16.0
15.3
10.6
117
92
123
117
92
935
950
985
940
960
11.3
14.6
17.2
15.6
17.0
94
99
105
87
112
945
985
1135
940
960
15.6
13.8
16.6
11.5
13.1
90
92
122
85
104
1050
1055
1190
1175
1050
14.4
14.0
15.0
15.4
15.0
102
90
102
114
96
14.0
9.1
15.6
12.3
17.6
108
88
119
106
119
1215
1120
1055
1000
1230
15.8
15.7
15.3
13.2
15.9
119
95
101
113
89
14.8
100
950
13.7
99
960
16.6
93
1055
14.4
98
1020
13.7
84
1020
750
965
850
12.3
0
1175
15.6
100
875
11.7
83
htt
p:/
/be
Y
88
119
106
119
4
760
740
745
800
850
775
750
650
675
650
715
590
825
860
815
805
770
610
780
650
750
730
830
740
790
780
775
710
660
700
775
780
835
835
5
720
620
635
770
645
735
620
870
750
745
805
725
750
705
730
690
750
650
810
705
765
775
650
670
905
715
520
765
845
850
670
800
555
740
6
930
800
850
950
1200
1260
1030
1160
1130
920
1150
920
1020
1060
1000
1100
1170
980
1085
950
1000
920
850
800
880
850
950
950
1070
1050
1350
1270
1350
1130
7
900
875
970
980
510
905
785
950
940
670
980
960
740
805
855
680
620
830
760
730
540
990
955
805
795
970
810
515
785
715
925
480
830
725
8
465
450
500
460
485
530
515
480
560
515
560
490
470
540
480
525
505
560
580
480
500
440
505
600
475
540
530
515
490
480
505
480
540
490
9
620
500
570
530
580
550
480
515
525
630
570
550
570
550
570
450
580
560
490
615
540
490
605
520
650
670
490
560
580
545
540
595
615
540
№ варианта
10
11
630
825
620
685
615
790
740
825
760
880
735
790
800
880
770
560
880
680
550
785
810
620
680
805
600
730
795
700
740
640
700
820
710
830
740
755
705
655
790
750
760
860
700
690
730
755
720
740
750
590
760
520
735
905
730
845
750
720
630
940
815
610
800
820
620
585
740
600
12
800
810
760
540
860
1050
500
850
760
870
820
820
860
700
710
870
800
860
640
700
700
740
650
760
1050
1000
920
930
980
450
500
640
580
820
lsp
in.
3
1100
980
930
1040
740
930
950
820
680
790
1050
750
1210
930
1030
810
1100
1100
580
980
1050
930
700
640
630
920
980
810
690
750
930
930
1150
1100
/be
2
950
1400
1170
1350
1450
1250
1270
1480
900
1270
1460
1250
1100
1150
1150
1150
1030
1000
950
1200
1200
1300
1350
1200
1300
1050
1350
1300
940
1330
1050
1400
1500
1250
p:/
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
1
480
540
555
480
520
520
595
510
570
520
560
520
583
545
500
540
530
540
480
550
545
520
525
585
500
480
515
530
540
515
510
435
505
410
htt
m
vs
tu.
by
Приложение 7
13
1025
1050
1080
900
955
965
950
945
965
950
780
1030
1075
895
950
790
850
865
1175
1020
900
920
840
1025
1105
1045
890
1065
900
670
1115
850
1070
1135
14
860
1260
1070
1030
980
940
1170
960
1220
1300
1100
1340
1050
1200
1080
1120
980
1320
1380
1080
1200
900
970
1230
1120
1180
900
840
1220
1200
1450
1500
1160
1250
15
790
655
850
735
830
730
610
750
690
860
635
720
630
810
610
860
760
800
605
735
835
635
580
805
975
675
740
615
910
530
655
620
695
705
16
510
435
505
410
450
480
530
485
450
485
495
450
480
500
455
510
480
455
485
465
480
540
555
480
520
520
595
510
570
520
560
520
583
545
17
1050
1400
1500
1250
1150
1200
1250
1400
1150
1200
1120
1350
1300
1200
1100
1200
1300
1050
1170
1280
950
1400
1170
1350
1450
1250
1270
1480
900
1270
1460
1250
1100
1150
18
930
930
1150
1100
780
1100
1040
1270
1100
640
700
1000
520
1030
930
980
930
980
930
980
1100
980
930
1040
740
930
950
820
680
790
1050
750
1210
930
19
775
780
835
835
720
630
700
615
680
640
570
715
830
815
870
820
925
770
710
690
760
740
745
800
850
775
750
650
675
650
715
590
825
860
20
670
800
555
740
725
835
720
710
740
825
790
770
570
705
815
885
835
540
615
770
720
620
635
770
645
735
620
870
750
745
805
725
750
705
5
725
835
720
710
740
825
790
770
570
705
815
885
835
540
615
770
6
1380
1400
1050
1200
1120
1100
1200
1200
1330
1550
1350
1200
1200
1200
1200
1300
7
985
655
740
820
895
780
870
830
785
720
790
785
905
780
980
725
8
500
520
480
485
480
490
505
480
530
515
510
550
480
500
500
505
9
575
500
575
520
470
615
540
450
560
610
530
520
540
620
520
515
vs
tu.
by
4
720
630
700
615
680
640
570
715
830
815
870
820
925
770
710
690
№ варианта
10
11
570
710
660
720
760
685
880
780
780
670
775
815
915
770
765
880
840
765
745
675
710
750
720
850
755
715
815
645
785
610
680
720
12
810
820
780
810
940
820
620
590
540
530
560
930
750
740
700
850
lsp
in.
3
780
1100
1040
1270
1100
640
700
1000
520
1030
930
980
930
980
930
980
/be
2
1150
1200
1250
1400
1150
1200
1120
1350
1300
1200
1100
1200
1300
1050
1170
1280
p:/
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
1
450
480
530
485
450
485
495
450
480
500
455
510
480
455
485
465
htt
m
13
925
1105
1190
1045
1120
1060
775
1035
980
850
815
1020
1060
825
925
980
14
1280
1450
1550
1420
1600
1070
1200
1200
1120
1020
1480
1550
1430
1430
1410
1220
15
810
725
980
630
680
670
830
615
620
835
715
650
690
650
875
910
16
500
540
530
540
480
550
545
520
525
585
500
480
515
530
540
515
17
1150
1150
1030
1000
950
1200
1200
1300
1350
1200
1300
1050
1350
1300
940
1330
18
1030
810
1100
1100
580
980
1050
930
700
640
630
920
980
810
690
750
19
815
805
770
610
780
650
750
730
830
740
790
780
775
710
660
700
20
730
690
750
650
810
705
765
775
650
670
905
715
520
765
845
850
vs
tu.
by
Приложение 8
Значения Xu и Yui для различных вариантов
Xu
50
100
150
200
250
u
1
2
3
4
5
Вариант № 11
Xu
Yu1 Yu2 Yu3 Yu4
50 1150 1090 1100 1210
100 980 810 950 980
150 880 810 870 840
200 680 620 680 640
250 710 760 750 820
Yu5
1070
850
830
630
790
u
1
2
3
4
5
Вариант № 16
Xu
Yu1 Yu2 Yu3 Yu4
50 1100 1050 980 1150
100 930 980 930 990
150 710 740 780 790
200 810 910 920 870
250 520 510 540 580
Вариант № 7
Yu5 Yu1 Yu2 Yu3 Yu4
970 1100 1030 1080 1030
830 930 980 950 950
770 850 810 870 820
630 740 700 760 730
550 640 690 640 610
Yu5
1040
910
880
780
670
Вариант № 12
Yu2 Yu3 Yu4
1140 1100 1040
980 950 950
800 820 830
700 760 730
740 660 650
Вариант № 17
Yu5 Yu1 Yu2 Yu3 Yu4
980 1100 1030 1080 1030
970 980 970 1000 1020
770 850 810 870 820
860 820 770 760 770
550 640 690 640 610
Yu1
1210
930
860
740
650
htt
Вариант № 6
Yu2 Yu3 Yu4
980 930 990
810 870 840
740 780 790
620 680 640
510 540 580
Yu5
1090
1050
890
810
700
Yu1
1210
980
860
820
650
Вариант № 3
Yu2 Yu3 Yu4
1210 1200 1165
1050 1040 1050
915 930 990
820 830 840
460 400 440
Yu5
1110
960
950
800
460
Yu1
1150
1010
860
820
650
Вариант № 8
Yu2 Yu3 Yu4
1090 1100 1210
1000 1000 980
800 820 830
770 760 770
740 660 650
Yu5
1090
910
890
780
700
Yu1
1200
1010
870
820
450
Yu5
1040
1050
880
810
670
Yu1
1150
930
860
760
650
Yu1
1200
930
870
760
450
Yu1
1110
1100
900
860
820
Вариант № 4
Yu2 Yu3 Yu4
1060 1110 1090
1050 1040 1010
910 950 890
900 890 870
760 770 750
Yu5
1150
1110
920
850
740
Yu1
1160
1010
930
800
770
Вариант № 5
Yu2 Yu3 Yu4 Yu5
1150 1100 1120 1170
1000 1000 980 950
910 900 940 900
830 850 820 850
750 740 720 730
Yu5
1070
950
890
810
700
Yu1
1210
1100
900
860
770
Вариант № 9
Yu2 Yu3 Yu4
1140 1100 1040
1050 1040 1010
910 950 890
900 890 870
750 740 720
Yu5
1090
1110
920
850
730
Yu1
1110
930
980
800
650
Вариант № 10
Yu2 Yu3 Yu4 Yu5
1060 1110 1090 1150
1050 1040 1050 960
810 950 980 850
830 850 820 850
740 660 650 700
Вариант № 13
Yu2 Yu3 Yu4
1210 1200 1165
1000 1000 980
915 930 990
770 760 770
460 400 440
Yu5
1110
950
950
810
460
Yu1
1110
1100
900
860
820
Вариант № 14
Yu2 Yu3 Yu4
1060 1110 1090
1050 1040 1010
910 950 890
900 890 870
760 770 750
Yu5
1150
1110
920
850
740
Yu1
1160
930
930
800
770
Вариант № 15
Yu2 Yu3 Yu4 Yu5
1150 1100 1120 1170
1050 1040 1050 960
910 900 940 900
830 850 820 850
750 740 720 730
Вариант № 18
Yu2 Yu3 Yu4
1090 1100 1210
1050 1040 1050
800 820 830
820 830 840
740 660 650
Yu5
1070
960
890
800
700
Yu1
1210
1100
900
860
770
Вариант № 19
Yu2 Yu3 Yu4
1140 1100 1040
1050 1040 1010
910 950 890
900 890 870
750 740 720
Yu5
1090
1110
920
850
730
Yu1
1110
1010
980
800
650
Вариант № 20
Yu2 Yu3 Yu4 Yu5
1060 1110 1090 1150
1000 1000 980 950
810 950 980 850
830 850 820 850
740 660 650 700
lsp
in.
u
1
2
3
4
5
Yu1
930
880
710
680
520
Вариант № 2
Yu2 Yu3 Yu4
1140 1100 1040
970 1000 1020
800 820 830
770 760 770
740 660 650
Yu5
1070
980
850
860
790
/be
Вариант № 1
Xu
Yu1 Yu2 Yu3 Yu4
50 1150 1090 1100 1210
100 1100 1050 980 1150
150 980 810 950 980
200 810 910 920 870
250 710 760 750 820
p:/
u
1
2
3
4
5
vs
tu.
by
Приложение 9
Значения Xi для всех вариантов
Факторы
Уровни
факторов
нижний
верхний
Натуральные
значения
X1
X2
50
10
100
15
X3
3
4
X1 - скорость формирования пряжи, м/с;
X2 - вытяжка;
X3 - давление в форсунке, Мпа.
Кодированные
значения
X1
X2
X3
+
+
+
Значения Yui для различных вариантов
Вар. № 2
1-я
2-я
пов.
пов.
730
740
765
753
805
780
780
800
830
825
810
820
850
825
890
910
Вар. № 3
1-я
2-я
пов.
пов.
845
855
880
860
920
900
900
915
945
935
925
935
965
940
1005
1020
Вар. № 4
1-я
2-я
пов.
пов.
545
555
580
560
620
600
600
615
645
635
625
635
665
640
705
720
Вар. № 5
1-я
2-я
пов.
пов.
435
445
480
460
510
500
510
500
535
525
515
525
555
530
605
625
Вар. № 11
1-я
2-я
пов.
пов.
635
650
665
635
710
690
705
685
720
705
685
710
710
715
785
805
Вар. № 12
1-я
2-я
пов.
пов.
635
640
645
635
715
690
705
685
720
705
695
720
720
725
795
805
Вар. № 13
1-я
2-я
пов.
пов.
525
540
555
535
615
595
600
585
615
605
595
620
625
605
685
705
Вар. № 14
1-я
2-я
пов.
пов.
415
440
465
435
515
485
505
495
510
505
495
525
525
500
580
605
Вар. № 15
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
655
643
695
670
670
695
720
715
700
697
740
714
780
796
Вар. № 6
1-я
2-я
пов.
пов.
325
335
370
350
400
390
400
385
425
415
405
415
445
420
495
515
Вар. № 7
1-я
2-я
пов.
пов.
425
435
470
450
500
490
500
485
525
515
505
515
545
520
595
615
Вар. № 8
1-я
2-я
пов.
пов.
520
530
560
545
605
595
605
590
620
610
600
620
640
615
695
715
Вар. № 9
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
670
645
705
695
705
690
720
710
700
720
740
715
795
815
Вар. № 10
1-я
2-я
пов.
пов.
725
735
775
740
800
790
805
790
820
805
795
820
840
815
895
910
Вар. № 16
1-я
2-я
пов.
пов.
730
740
765
753
805
780
780
800
830
825
810
820
850
825
890
910
Вар. № 17
1-я
2-я
пов.
пов.
845
855
880
860
920
900
900
915
945
935
925
935
965
940
1005
1020
Вар. № 18
1-я
2-я
пов.
пов.
545
555
580
560
620
600
600
615
645
635
625
635
665
640
705
720
Вар. № 19
1-я
2-я
пов.
пов.
435
445
480
460
510
500
510
500
535
525
515
525
555
530
605
625
Вар. № 20
1-я
2-я
пов.
пов.
325
335
370
350
400
390
400
385
425
415
405
415
445
420
495
515
htt
p:/
/be
lsp
in.
Вар. № 1
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
655
643
695
670
670
695
720
715
700
697
740
714
780
796
vs
tu.
by
Приложение 10
Значения Yui для различных вариантов
Вар. № 2
1-я
2-я
пов.
пов.
730
740
765
753
805
780
780
800
830
825
810
820
850
825
890
910
920
910
Вар. № 3
1-я
2-я
пов.
пов.
845
855
880
860
920
900
900
915
945
935
925
935
965
940
1005 1020
1035 1025
Вар. № 4
1-я
2-я
пов.
пов.
545
555
580
560
620
600
600
615
645
635
625
635
665
640
705
720
735
720
Вар. № 5
1-я
2-я
пов.
пов.
435
445
480
460
510
500
510
500
535
525
515
525
555
530
605
625
635
615
Вар. № 11
1-я
2-я
пов.
пов.
635
650
665
635
710
690
705
685
720
705
685
710
710
715
785
805
825
805
Вар. № 12
1-я
2-я
пов.
пов.
635
640
645
635
715
690
705
685
720
705
695
720
720
725
795
805
815
805
Вар. № 13
1-я
2-я
пов.
пов.
525
540
555
535
615
595
600
585
615
605
595
620
625
605
685
705
710
705
Вар. № 14
1-я
2-я
пов.
пов.
415
440
465
435
515
485
505
495
510
505
495
525
525
500
580
605
615
600
Вар. № 15
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
655
643
695
670
670
695
720
715
700
697
740
714
780
796
810
800
Вар. № 6
1-я
2-я
пов.
пов.
325
335
370
350
400
390
400
385
425
415
405
415
445
420
495
515
525
505
Вар. № 7
1-я
2-я
пов.
пов.
425
435
470
450
500
490
500
485
525
515
505
515
545
520
595
615
625
605
Вар. № 8
1-я
2-я
пов.
пов.
520
530
560
545
605
595
605
590
620
610
600
620
640
615
695
715
725
705
Вар. № 9
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
670
645
705
695
705
690
720
710
700
720
740
715
795
815
825
805
Вар. № 10
1-я
2-я
пов.
пов.
725
735
775
740
800
790
805
790
820
805
795
820
840
815
895
910
925
910
Вар. № 16
1-я
2-я
пов.
пов.
730
740
765
753
805
780
780
800
830
825
810
820
850
825
890
910
920
910
Вар. № 17
1-я
2-я
пов.
пов.
845
855
880
860
920
900
900
915
945
935
925
935
965
940
1005 1020
1035 1025
Вар. № 18
1-я
2-я
пов.
пов.
545
555
580
560
620
600
600
615
645
635
625
635
665
640
705
720
735
720
Вар. № 19
1-я
2-я
пов.
пов.
435
445
480
460
510
500
510
500
535
525
515
525
555
530
605
625
635
615
Вар. № 20
1-я
2-я
пов.
пов.
325
335
370
350
400
390
400
385
425
415
405
415
445
420
495
515
525
505
htt
p:/
/be
lsp
in.
Вар. № 1
1-я
2-я
пов.
пов.
620
630
655
643
695
670
670
695
720
715
700
697
740
714
780
796
810
800
vs
tu.
by
in.
/be
lsp
htt
p:/