ЛЕКЦИЯ 11 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. КЛАСС BPP

ЛЕКЦИЯ 11
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ. КЛАСС BPP
Многие задачи решаются быстрее, если есть источник случайной величины. Например,
существует метод Монте – Карло, суть которого состоит в случайном размещении
точек внутри некоторого объема, который в свою очередь содержит малый объем. Отношение точек, которые попали в малый объем, к отношению точек внутри всего объема
приближает отношение самих объемов.
1. Вероятностная машина Тьюринга
Существует два эквивалентных определения вероятностной машины Тьюринга.
Определение 37: Вероятностная машина Тьюринга — это машина, имеющая
специальное состояние «получить случайный бит». Придя в это состояние, машина
получает случайный бит. Она может его запомнить (или обработать).
♣
Определение 38: Вероятностная машина Тьюринга — это машина, использующая дополнительный случайный аргумент.
♣
На ответах «0» и «1» возникает какое-то распределение. Также иногда возникают
ошибки (0 → 1, 1 → 0).
2. Класс BPP
Сначала рассмотрим класс BPTIME.
Определение 39: BPTIME = BPTIME (𝑇 (|𝑥|)) — это класс таких языков 𝐿, что
существует вероятностная машина Тьюринга 𝑀 , такая что
2
𝑥 ∈ 𝐿 ⇒ Pr{𝑀 (𝑥) = 1} > ,
3
1
𝑥 ∉ 𝐿 ⇒ Pr{𝑀 (𝑥) = 1} < .
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2
Число шагов, на протяжении которых работает 𝑀 (𝑥), оценивается следующим образом:
timeu� < O((𝑇 (|𝑥|)).
Определение 40: Класс BPP:
∞
BPP = ⋃ BPTIME (𝑛u� ).
u�=1
Детерминированное вычисление — подмножество вероятностного (случайный бит
можно и не использовать). Поскольку машина 𝑀 работает в течение полиномиального
времени, то она может считать не более чем полиномиальное число битов. Поэтому можно перебирать все комбинации случайных битов, и этих комбинаций будет экспоненциальное число. Перебирая эти комбинации, можно посчтитать вероятности Pr{𝑀 (𝑥) = 1}.
Значит, верно следующее соотношение:
P ⊂ BPP ⊂ EXP.
Многие находят основания верить, что P = BPP (т. е. все вероятностные алгоритмы
можно рандомизировать). Принцип Hardness vs Randomness устанавливает, что это
утверждение можно доказать, отталкиваясь от рассмотрения сложной NP-полной задачи.
Теорема 21 (О вложенности BPP в P/poly) BPP ⊂ P/poly.
∗
Док-во: Приведем идею доказательства: допустим, вероятности Pr{𝑀 (𝑥) = 1}, 𝑥 ∈ 𝐿
и Pr{𝑀 (𝑥) = 1}, 𝑥 ∉ 𝐿 различаются на 2 𝜖:
𝑥∈𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} =
1
+ 𝜖,
2
1
− 𝜖.
2
Тогда для любого конкретного 𝑥 подходят почти все выпадения случайных битов.
Значит, существует такое выпадение 𝑟, что оно подходит для всех 𝑥. Это значение 𝑟
можно включить в схему и запустить с ним алгоритм.
𝑥∉𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} =
u�
u�
Позже докажем утверждение, что BPP ⊂ ∑2 ⋂ ∏2 .
3. Классы с односторонней ошибкой
Определение 41: RPTIME = RPTIME (𝑇 (𝑛)) — это класс языков, распознаваемых
на вероятностной машине Тьюринга с односторонней ошибкой, т. е.
∃𝑀 ∶
!
𝑥∈𝐿
⇒
𝑥∉𝐿
⇒
1
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} > ,
2
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} = 0.
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Определение 42: Класс RP:
∞
RP = ⋃ RPTIME (𝑛u� ).
u�=1
Определение 43: Класс coRP:
coRP = {𝐿 ∶ 𝐿 ∈ RP} ∶
𝑥∈𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} = 1,
𝑥∉𝐿
⇒
1
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} < .
2
Определение 44: ZPTIME = ZPTIME (𝑇 (𝑛)) — это класс языков, распознаваемых
на вероятностной машине Тьюринга с ожидаемым временем работы O((𝑇 (|𝑥|)).
♣
Также существует класс языков ZPP с полиномиальным временем работы.
Поскольку любая последовательность битов, на которой получается «1», будет сертификатом (сертификат — это цепочка случайных битов, приводящих к ответу «1»),
то справедливо следующее соотношение:
RP ⊂ NP.
Очевидно, что
P ⊂ RP ⊂ BPP,
P ⊂ coRP ⊂ BPP.
Теорема 22 BPP = RP ⋂ coRP.
∗
Док-во: ⊂ Запустим программу на ZP-классе на достаточно долгое время. При неполучении ответа выдадим 1 (если используем RP) или 0 (если используем coRP).
⊃ Рассмотрим программы 𝑀1 и 𝑀2 , которые работают по следующим правилам:
𝑀1 ∶
𝑥∈𝐿
⇒
скорее всего 1,
𝑥∉𝐿
⇒
точно 0;
𝑥∈𝐿
⇒
точно 1,
𝑥∉𝐿
⇒
скорее всего 0.
𝑀2 ∶
После запуска этих программ невозможно будет определить ответ в случае, если
𝑀1 выдала бы ответ «0», а 𝑀2 — «1». Такое событие наступит с малой вероятностью.
Проводя итерации, за некоторое число запусков можно будет узнать правильный ответ
(аккуратный расчет математического ожидания количества запусков дает ответ «2»).
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
4
4. Независимость определения BPP и RP от значения
констант
Определение 45: BPPu�(|u�|) — это класс таких языков 𝐿, что существует вероятностная машина Тьюринга 𝑀 , такая что
!
𝑥∈𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} >
1
+ 𝛼(|𝑥|),
2
𝑥∉𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} <
1
− 𝛼(|𝑥|).
2
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Теорема 23 BPP u�1u� = BPP 12 −
1
u�
2u�
∗
.
Док-во: Приведем идею доказательства.
Будем множество раз подряд проводить запуск и выбирать варианты, которых боль1
шинство. Пусть было проведено 𝑁 запусков с исходной вероятностью 𝑝 > + 𝛼. Тогда
2
для вероятности ошибки верно следующее соотношение:
Pr{ошибка} ⩽ Pr {
1
1
(𝜉1 + ⋯ + 𝜉u� ) < } .
𝑁
2
Здесь 𝜉u� — независимые случайные величины, имеющие распределение Бернулли.
1
+ 𝛼,
2
1
Pr{𝜉u� = 0} = − 𝛼.
2
Pr{𝜉u� = 1} =
Как следует из центральной предельной теоремы, распределение {
стремится к нормальному распределению.
1
1
(𝜉1 + ⋯ + 𝜉u� ) < }
𝑁
2
Рис. 11.1
1
𝛼 есть обратный полином. Если взять 𝑁 как 2 , то ширина «колокола» будет при𝛼
мерно достаточной для покрытия нужного диапазона.
Для класа RP существует аналогичная теорема. Для вероятности Pr{𝑀 (𝑥) = 1}
берется следующая оценка:
𝑥∈𝐿
⇒
Pr{𝑀 (𝑥) = 1} >
1
.
poly
1
1
получить 1 − poly .
poly
2
Так как можно сделать ошибку экспоненциально малой, то существует выбор случайных битов, который подойдет для любого значения 𝑘. Значит, верно следующее соотношение:
BPP ⊂ P/poly.
Проводя испытания, можно вместо
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu