Освоение дисциплины «Случайные процессы» необходимо начинать последовательно раздел за разделом. Освоение раздела начинать с теоретической справки , затем перейти к разбору приведенного решения типового примера. После разбора типового примера переходите к решению задачи в соответствии со своим вариантом. Если при решении задачи у Вас возникли трудности , обратитесь за помощью к преподавателю по электронной почте. Попытайтесь ответить, используя методическое пособие, на нижеприведенный перечень теоретических вопросов и практических задач: Перечень теоретических вопросов для контрольной работы по дисциплине «Случайные процессы» 1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. 2. Понятие случайной функции (случайного процесса). Классификация случайных процессов. 3. Дайте определение случайного процесса с дискретным временем и дискретными состояниями. Приведите конкретный пример такого процесса. 4. Дайте определение случайного процесса с дискретным временем и непрерывными состояниями. Приведите конкретный пример такого процесса. 5. Дайте определение случайного процесса с непрерывным временем и дискретными состояниями. Приведите конкретный пример такого процесса. 6. Дайте определение случайного процесса с непрерывным временем и непрерывными состояниями. Приведите конкретный пример такого процесса. 7. Дайте определения: реализации случайной функции, семейства реализаций, сечения случайной функции. 8. Дайте определение математического ожидания случайного процесса. Опишите схему вычисления математического ожидания на практике. 9. Дайте определение дисперсии и среднеквадратического отклонения случайного процесса. Опишите схему вычисления дисперсии и математического ожидания на практике. 10. Дайте определение корреляционной функции. 11. Плотность f(x) и кумулята F(x) равномерно распределенной случайной величины. Моделрование равномерно распределенной, на полуотрезке [a`; b) случайной величины в среде пакета Excel. 12. Плотность f(x) и кумулята F(x) нормально распределенной случайной величины. Моделрование нормально распределенной случайной величины в среде пакета Excel. 13. Плотность f(x) и кумулята F(x) экспоненционально (показательно) распределенной случайной величины. Моделрование поеазательного распределения в среде пакета Excel. 14. Дайте определение потока событий. Перечислите, и раскройте их смысл ,свойства потоков событий, которыми они могут обладать. 15. Дайте определение пуассоновского потока событий, простейшего потока событий. 16. Формула Пуассона. 17. Дайте определение Марковского процесса с дискретными состояниями . 18. Дайте определение дискретной цепи Маркова. 19. Опишите схему определения вероятностей состояний на любом k – ом шаге. 20. Дайте определение Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем. 21. Объясните , как по графу состояний составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. 22. Дайте определение понятию предельные(финальные) вероятности состояний. Перечень типовых практических задач для контрольной работы по дисциплине «Случайные процессы». 1. Задан случайный процесс: Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием случайных факторов К какому типу случайных процессов вы его отнесете (нужное подчеркнуть) ? 1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем. 1б. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. 2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем. 2б. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем. 2. Задан случайный процесс: Население города (или области) меняется с течением времени случайным (непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т. д. К какому типу случайных процессов вы его отнесете (нужное подчеркнуть) ? 1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем. 1б. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. 2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем. 2б. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем. 3. С помощью пакета Excel смоделировать 20 реализаций случайной величины равномерно распределенной на полуинтервале [ 2 ; 3). 4. . С помощью пакета Excel смоделировать 25 реализаций нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием mx =8 и средним квадратическим отклонением σx = 2 . 5. С помощью пакета Excel смоделировать 30 реализаций показательно распределенной случайной величины с параметром λ =4. 6. Смоделировать 20 реализаций случайной функции f(t , β ) = βsin(t), где β - равномерно распределенная на отрезке [2 , 5) случайная величина; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. 7. Смоделировать 20 реализаций случайной функции f(t , γ ) = sin(γt), где γ – нормально распределенная величина со средним а=4 и σ = 1 Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. 8.Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , β ) = βcos(t), где β - показательно распределенная случайная величина с параметром λ=3; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Построить графики этих сечений в Excel. 9. Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , β ) = βsin(t), где β - равномерно распределенная на отрезке [2 , 5) случайная величина; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Построить графики этих сечений в Excel. 10. Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , γ ) = sin(γt), где γ – нормально распределенная величина со средним а=4 и σ = 1 Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Построить графики этих сечений в Excel. 11 .Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , β , γ ) = βcos(t), где β - показательно распределенная случайная величина с параметром λ=3; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Построить графики этих сечений в Excel. 12. Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , β ) = βcos(t), где β - показательно распределенная случайная величина с параметром λ=3; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Вычислить и построить график математического ожидания mx случайного процесса . 13. Смоделировать 5 реализаций случайной функции f(t , γ ) = sin(γt), где γ – нормально распределенная величина со средним а=4 и σ = 1 Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Вычислить и построить график σx – среднего квадратического отклонения случайного процесса. 14. Смоделировать 20 реализаций случайной функции f(t , β ) = βsin(t), где β - равномерно распределенная на отрезке [2 , 5) случайная величина; Сечения выбрать в точках от 0 до 10 с шагом 1. Построить доверительный коридор [ mx - σx ; mx + σx ] для случайного процесса. 15. Радиоаппаратура отказывает в среднем один раз в месяц. Найти вероятность того, что в течение двух недель радиоаппаратура не откажет. 16. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Найти вероятность того, что за две минуты: не будет ни одного вызова; будет не более одного вызова. 17. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,003. Найти вероятность того, что в течении одной минуты произойдет а) ровно 2 обрыва нити; б)менее двух обрывов; в)более двух обрывов; г) хотя бы один обрыв. 18. Через фиксированные промежутки времени проводится контроль технического состояния прибора, который может находиться в одном из трех состояний: s1 — прибор работает, s2 — не работает и ожидает ремонта, s3 — ремонтируется. В начальный момент времени прибор работает. Задана матрица переходных состояний: Pij 1. 2. 3. 0,8 0,1 p13 0 p 22 0,6 p31 0 0,3 Составить граф состояний процесса; Вычислить неизвестные переходные вероятности. Смоделировать первых 3 шага процесса. 19. . Рассматривается работа центрального (ЦП) процессора мультипрограммной системы как однородная марковская цепь. ЦП в любой момент времени выполняет следующие действия: s1 — выполняет программы операционной системы; s2 — выполняет программы пользователя; s3 — находится в состоянии ожидания (простоя). В начальный момент времени ЦП находится в состоянии s1. Задана матрица переходных состояний: Pij p11 0,1 0,1 0,7 p22 0,1 0,8 0,05 p11 Необходимо: 1. Составить граф состояний процесса; 2. Составить матрицу переходных состояний. 3. Смоделировать первых 2 шага процесса. 20. Система S имеет 5 состояний: s1 , s2 , s3 , s4 , s5 . Интенсивности переходов из состояния в состояние заданы в таблице: λ12 λ13 λ14 λ15 λ21 λ23 λ24 λ25 λ31 λ32 λ34 λ35 λ41 λ42 λ43 λ45 λ51 λ52 λ53 λ54 2 0 1 0 0 0.5 0 0 3 0 2 1.5 1 0 0 0 0 0 0 4 Необходимо: 1. Составить размеченный граф состояний: 2. Составить систему линейных алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей состояний. 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений. Найти предельные вероятности состояний. 4. Сделать выводы.