b = с - В начало

Лекция 2. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
2.1. Функциональная зависимость
Величины, участвующие в одном и том же физическом явлении, могут
быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой
соответствующее
изменение
других.
Например,
увеличение
(или
уменьшение) напряжения на участке цепи ведёт к обязательному увеличению
(или уменьшению) силы тока на этом участке. В таких случаях говорят, что
между переменными величинами существует функциональная зависимость,
причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её
часто обозначают буквой у), а другую – аргументом, или независимой
переменной (её обозначают буквой х).
Функциональную зависимость между х и у принято обозначать
символом y = f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение
у. то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных
функций обычно сводится к исследованию однозначных.
Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y = f(x), если
каждому
возможному
значению
аргумента
х
соответствует
одно
определённое значение функции у.
В физике понятие «функция» используется для исследования и
описания различных зависимостей физических величин, в том числе всех
физических законов, для эмпирического исследования физических процессов
и явлений; при решении задач графическим методом и т.д.
Среди свойств функции, изучаемых в школьном курсе математики и
находящих применение в физике (и других естественных науках), являются
следующие:
– монотонность функции (возрастание, убывание функции);
– четность и нечетность (что влияет на расположение графика
функции);
– промежутки знакопостоянства (значения аргумента, при которых
функция принимает положительные или отрицательные значения).
Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции
вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия
между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.
2.2. Способы задания функций
1. Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений
аргумента х1, х2, …, хN и соответствующий ему ряд отдельных значений
функции у1, у2, …, уN задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой
способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не
дает полного представления о характере функциональной зависимости
между х и у и не является наглядным.
2. Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют
примером функции Дирихле у = D(х): если х – рациональное число, то
значение функции D(х) равно 1, а если число х – иррациональное, то
значение функции D(х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D
(x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким-либо способом
установить, рационально или иррационально число х0.
3. Графический способ. Функциональная зависимость может быть
задана с помощью графика функции у = f(x). Преимуществом такого способа
задания является наглядность, позволяющая установить важные черты
поведения функции. Недостаток графического способа заключается в
невозможности применения математического аппарата для более детального
исследования функции.
4. Аналитический способ. При аналитическом способе задания
известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно
найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего
используется
именно
Преимуществами
такого
аналитический
способа
способ
задания
задания
являются
функций.
компактность,
возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность
применения математического аппарата для более детального исследования
поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции
присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления
значений функции.
Краткое рассмотрение различных способов задания функции при
изучении физических явлений показывает, что для подробного изучения ее
поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения
функции с построением ее графика (приложение 1).
Понятие «график» тесно связано с понятием «функция». При этом надо
различать понятия «график» и «график функции» (первое является более
общим понятием).
График (graphikos – начертательный (греч.)) представляет собой
чертёж, наглядно что-то изображающий (линия, построенная определённым
образом в определённой системе координат).
График функции – это линия, дающая цельное представление о
характере изменения функции по мере изменения аргумента, при этом
каждому значению х соответствует одно и только одно значение y.
Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости,
прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y = f(x).
Горизонтальную ось ОX называют осью абсцисс, вертикальную ось ОY –
осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение
для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её
особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных
вычислений. В математике, если между величинами х и у существует
функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать
аргументом, а какую – функцией. В случае изучения физических явлений
этот подход нельзя применять, поскольку любой из физических законов
строго определяет, какую из физических величин можно считать аргументом,
а какую – функцией.
Важность графического метода в физике весьма велика, поскольку
графическое представление физического процесса
– делает его более наглядным и тем самым облегчает понимание
рассматриваемого явления;
– способствует развитию абстрактного мышления, интуиции, умения
анализировать и сравнивать;
– предлагает более рациональный способ решения задач;
– наполняет абстрактные математические закономерности конкретным
физическим содержанием.
Применение графиков в физике не ограничивается наглядным
представлением
соответствующих
зависимостей
между
величинами.
Графики очень широко используются в физике в лабораторных работах.
Можно выделить следующие приёмы работы с графиками при
исследовании физических явлений, процессов, эффектов:
– определять вид функциональной зависимости между предложенными
физическими величинами;
– находить по значению известной величины значение неизвестной;
– находить значения величины, производной от отложенных по осям
величин;
– объяснять особенности протекания физического процесса, для
которого построен график;
– выявлять сходство и различия свойств изучаемых тел и веществ при
сравнении графиков;
– составлять задачи;
– составлять таблицу значений соответствующих физических величин
по их графической зависимости;
– идентифицировать объект, для которого построен график.
2.3. Простейшие функции
Пропорциональные величины. Если переменные величины y и x
прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними
выражается уравнением
y kx ,
где
k
–
есть
пропорциональности.
некоторая
График
постоянная
прямой
величина
(коэффициент
пропорциональной
зависимости
представляет собой прямую линию (рис. 10), проходящей через начало
координат и образующей с осью абсцисс угол α, тангенс которого равен
постоянной k:
k tg
По этой причине коэффициент пропорциональности k
называется
часто угловым коэффициентом.
.
Рис. 10
Линейная функция. Линейной называется функция вида
y kx b .
Линейная функция представляет собой аналитическое выражение, в
котором переменные х и у входят в первой степени. График линейной
функции
представляет
прямую
линию
(рис.
11),
располагающеюся
относительно координатных осей различным образом, в зависимости от
постоянных коэффициентов k и b, которые могут принимать положительные
или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения
графика
линейной
функции
можно
воспользоваться
геометрическим
смыслом коэффициентов k и b или найти две точки прямой на плоскости,
например, точки пересечения с осями координат.
Свойства линейной функции: возрастает, если k >0, убывает, если k<0.
Рис. 11
Обратная
пропорциональная
зависимость.
Если
переменные
величины у и х обратно пропорциональны, то функциональная зависимость
между ними выражается уравнением
y
где
с
есть
некоторая
с
x
постоянная
величина.
График
обратной
пропорциональности представляет собой кривую линию (рис.12), называемая
гиперболой, состоящая из двух ветвей.
Свойства обратной функции:
1. Если с > 0, то функция убывает на открытом луче (– x, 0) и на
открытом луче (0, + ∞); если с < 0, то функция возрастает на (– ∞,0) и на (0, +
∞).
2. Не ограничена ни снизу, ни сверху.
3. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
4. Функция имеет асимптоты x = 0 и y = 0.
Рис. 12
Квадратичная функция. Квадратичной называется функция вида:
y ax2 bx c
где a, b, с
y ax2
– это постоянные величины (а ≠ 0) . В простейшем случае
(b = с = 0) график квадратичной функции есть кривая линия,
проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком этой
функции, представляет собой параболу (рис. 13). Каждая такая парабола
имеет ось симметрии (OY), называемую осью параболы.
Рис. 13
Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной
параболы. График функции
график функции
y ax2
y ax2 bx c
имеет ту же форму, что и
(при том же значении а), т.е. также есть парабола.
Ось этой параболы по-прежнему вертикальна, но вершина лежит не в начале
координат (рис.14), а в точке с координатами:
b
b2
;c
2a
4a
.
Рис. 14
Свойства функции квадратичной функции:
Для случая, а > 0
1. Убывает на луче
,
b
2a
, возрастает на луче
b
,
2a
.
2. Ограничена снизу, не ограничена сверху.
3. Непрерывна.
4. Выпукла вниз.
Для случая, а < 0
1. Убывает на луче
,
b
2a
, возрастает на луче
2. Не ограничена снизу, ограничена сверху.
3. Непрерывна.
b
,
2a
.
Степенная функция. Обычно степенными функциями называют
функции вида
y xr
где r – любое действительное число. Так, если r – натуральное число (r = n),
то получаем функцию
y xn .
График степенной функции
y xn
в случае четного показателя
степени n (n = 4, 6, 8, …) похож на параболу, а график степенной функции
y xn
в случае нечетного показателя степени n (n = 5, 7, 9, …) похож на
кубическую параболу.
Рис. 15
Рис. 16
На рисунке 16 представлен график степенной функции в случае, когда
показатель степени меньше 1, но больше 0.
2.4. Построение графиков в курсе физики на основе
функциональной зависимости
Графический
метод,
основой
которого
является
математика,
используется в курсе физики на различных этапах ее изучения. Это
естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего,
прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.
Он используется в физике для формирования и анализа изучаемых
физических понятий путем раскрытия их связей с другими понятиями, для
решения задач обобщения, систематизации знаний.
Графические задачи делятся на две большие группы:
1.
Задачи на построение графиков
2.
Задачи на получение информации из графиков
В свою очередь задачи на построение графиков делятся (по способу
задания) на два вида:
Табличный способ задания зависимости
Функциональный способ задания зависимости
Задачи на получение информации из графика делятся (по
характеру информации) на три вида:
Словесное описание процессов
Аналитическое
выражение
функциональной
зависимости,
представленной графиком
Определение по графику неизвестных величин
Чаще всего при построении графиков на зависимость одних величин
от других обучающиеся запоминают вид графика, не вдаваясь в подробности,
почему он проходит именно так, а не иначе. Когда зависимостей
накапливается достаточно много, начинаются ошибки в построении
графиков. В работе при построении графиков на различные зависимости
физических величин необходимо использовать функциональный подход.
В школьном курсе физики для построения графиков используются
всего семь функций. Графики этих функций изучаются еще в школьном
курсе математики. Учащиеся знают эти графики либо умеют их строить по
точкам. Задача
студентов сводится к тому, чтобы научиться в любой
физической формуле увидеть какую-либо функциональную зависимость,
определить ее вид, а затем установить ее соответствующий график.